Equilibrio de Un Cuerpo Rigido

Universidad Nacional de Piura Fac. De Ing. De Minas

Equilibrio de un cuerpo rígido.

En este trabajo se hace referencia al equilibrio para un cuerpo rígido, donde podremos observar las condiciones y características que debe tener un cuerpo rígido para poder establecer que este se encuentra en equilibrio. Para lo cual expresaremos las distintas fórmulas que establecen el equilibrio para dichos cuerpos y a su vez también, como es que podemos analizar un problema propuesto o de la vida cotidiana para su análisis y de esta manera determinar o saber si se encuentra en equilibrio o no, y las razones de esto.

Condiciones para el equilibrio de un cuerpo rígido.Para que podamos desarrollar las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido, es necesario que consideremos las condiciones primordiales del equilibrio, las cuales establecen que la suma de las fuerzas que actúan en cuerpo debe de ser cero, esto quiere decir que se encuentre en reposo si originalmente estaba en reposo, o a velocidad constante si originalmente estaba en movimiento.

Para analizar un cuerpo rígido, tomamos como referencia solo una parte del cuerpo y la analizamos en un diagrama de cuerpo libre, tomando en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre ella. Para esto debemos conocer que las fuerzas que actúan en un cuerpo rígido son de dos tipos; las fuerzas internas (fi), las cuales se generan entre la interacción de partículas en el cuerpo; y las fuerzas externas (Fi), que son aquellas que actúan en la parte exterior del cuerpo, tales como la gravedad, el peso, campos magnéticos, la electricidad, de contacto, etc.

Si dichas fuerzas las aplicamos en la ley de Newton, tendremos una expresión de la siguiente manera:

Fi + fi =0

Pero si esta misma formula la aplicamos en conjunto con otras partículas, tendremos una expresión de la siguiente manera:

∑Fi + ∑fi = 0

Si tomamos en cuenta que las fuerzas internas que actúan en un cuerpo rígido ocurren en pares colineales pero opuestos, según establece la tercera ley de Newton, por lo que se anulan entre si, solo nos quedarían las fuerzas externas, por lo que nuestra expresión quedaría solo de la siguiente manera:

∑Fi =0

Ahora, es importante también, tomar en cuenta que si queremos determinar si un cuerpo en reposo esta en equilibrio, es importante determinar los momentos con respecto al punto de análisis. Así que aplicando la ley distributiva del producto cruz tendremos:

ri x (Fi + fi) = ri x Fi + ri x fi = 0

1Mecánica Racional


Pero como las fuerzas internas son cero por las particularidades antes mencionadas, nos quedaría una expresión así:

∑Mo = ∑ri x Fi

∑Mo = 0

Así que las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido serian las siguientes:

∑Fi =0 ∑Mo = 0

Esto nos dice que para que un cuerpo rígido este en equilibrio, es necesario que cumpla con las siguientes condiciones:

Que la suma de las fuerzas externas sean igual a cero Que la suma de los momentos con respecto a un punto sea igual a cero.

Equilibrio en dos dimensiones.

Diagrama de cuerpo libre.Para que podamos aplicar correctamente las ecuaciones del equilibrio para un cuerpo rígido es necesario que conozcamos por completo todas sus fuerzas, tanto activas como reactivas, o externas e internas, y a su vez también los momentos que actúan sobre el cuerpo con respecto al punto (s) de análisis, para esto es necesario que tracemos un diagrama de cuerpo libre, en el cual podemos representar dichas fuerzas y momentos actuando sobre el cuerpo.

Pero antes de que plantemos como trazar un diagrama de cuerpo libre, es necesario que conozcamos ciertas particularidades importantes para el trazado de dicho diagrama.

Reacciones en los soportes. Un soporte previene el movimiento o desplazamiento de un cuerpo, esto quiere decir, que un soporte aplica una fuerza a un cuerpo y a su vez también aplica un momento par para evitar la tendencia a girar del cuerpo.

Fuerzas externas e internas. Estas fuerzas son las que actúan en el cuerpo o sobre este, y como su nombre lo indica, las fuerzas internas actúan en el interior del cuerpo; y las fuerzas externas actúan en su parte exterior.

Peso y Centro de Gravedad. El peso es una fuerza que se ejerce sobre el cuerpo, y viene dada en relación de la gravedad, dicha fuerza es la resultante de las fuerzas totales que actúan en el cuerpo, y se encuentra localizada en el centro de gravedad del mismo. Este centro de gravedad en ocasiones cuando el cuerpo tiene una forma conocida o es homogéneo está localizado en el centro geométrico (centroide), mas sin embargo cuando tiene una forma irregular, es necesario localizarlo.

Modelos idealizados. Para que podamos analizar correctamente una situación de equilibrio, tanto de la vida real como planteada, es necesario que idealicemos de la mejor

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manera nuestro diagrama o modelo analítico, para que sea lo más apegado posible a la realidad y de esta manera poder obtener datos confiables y lo mas exactos posibles.

Procedimiento para trazar un diagrama de cuerpo libre.Para que podamos trazar un diagrama de un cuerpo rígido en forma correcta es necesario que sigamos o cumplamos con los siguientes pasos:

Trazar el contorno. Imaginar el cuerpo de estudio aislado o recortado de su entorno para poder analizarlo mejor.

Mostrar todas las fuerzas y momento par. Trazas las fuerzas externas que actúan en el cuerpo y el momento par con respecto a las diferentes fuerzas.

Identificar cada carga y dar las dimensiones. Es necesario que identifiquemos cada fuerza y momento con sus respectivos datos (magnitud y dirección). Las que sean desconocidas es necesario catalogarlas con una letra para poder determinarlas.

Ecuaciones de equilibrio.Anteriormente aviamos determinado las ecuaciones que son fundamentales para establecer que un cuerpo se encuentra en equilibrio, las cuales nos dicen que; ∑F=0 y la ∑Mo=0. Pero en un plano de coordenadas, una forma más práctica o sencilla sumar las fuerzas, es descomponiendo y sumando cada uno de sus componentes, estableciendo que un cuerpo está en equilibrio siempre que:

∑Fx=0 ∑Fy=0

Y en el caso de los momentos, este se puede expresar como la suma algebraica de todos los momentos de par y los momentos de todas las componentes de las fuerzas, de la siguiente manera:

∑Mo=0

Equilibrio en tres dimensiones.

Diagrama de cuerpo libre.Al igual que un problema bidimensional, para resolver un problema tridimensional es necesario trazar un diagrama de cuerpo rígido para el caso que se vaya a analizar, pero para ellos es necesario conocer los tipos de reacciones de los soportes y algunos otros puntos importantes.

Reacciones de los soportes. Al igual que un caso bidimensional, la fuerza se desarrolla por la restricción de un soporte al desplazamiento del miembro y momento par, es dado cuando la tendencia a rotar por parte de un cuerpo, es restringida.

Diagramas de cuerpo libre. De la misma manera que en que determinamos los pasos o partes para trazar un diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido en un sistema bidimensional, también aplica para un tridimensional. Primero aislamos el cuerpo a

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analizar, después rotulamos o marcamos todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y a su vez los momentos con respecto a un sistema de coordenadas X, Y, Z.

Ecuaciones de equilibrio.Como ya se estableció, para que un cuerpo rígido sometido a un sistema bidimensional y tridimensional de fuerzas, la resultante de dichas fuerzas debe ser igual a cero y de las mimas manera el momento de par resultante debe ser cero. Dichas condiciones pueden ser establecidas de dos maneras: Como una ecuación escalar y una ecuación vectorial.

Ecuación vectorial de equilibrio. Estas ecuaciones son las que establecen que un cuerpo está en equilibrio si cumple con las condiciones ya mencionadas, y se representan de la siguiente manera:

∑Fi =0 ∑Mo = 0

Ecuación escalar de equilibrio. Si las fuerzas externas y los momentos que actúan sobre el cuerpo, los aplicamos de forma vectorial cartesiana y sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio con respecto a los componentes i, j, k, tendremos:

∑Fi = ∑Fxi + ∑Fyj +∑Fzk =0

∑Mo = ∑Mxi + ∑Myj + ∑Mzk =0

Siendo independientes cada uno de los componentes, estas establecen que:

∑Fx =0 ∑Fy =0 ∑Fz =0

∑Mx =0 ∑My =0 ∑Mz =0

Ejercicios:

1. Problema: Si la barra homogénea de 3 kg se le aplica una fuerza vertical F = 25 N, determinar el módulo del momento resultante respecto del punto O. (g =

10 m/s2).F

3 m 1 m

O

Resolución:El momento resultante respecto de un cierto punto es la resultante de los momentos generados por cada una de las fuerzas. En este caso, se obtiene sumando algebraicamente cada uno de ellos.

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F = N 25

2 m

W = 3 0N

3 m

O

Luego: F F0 0

W W0 0

M 25 N 3m M 75 N m

M 30 N 2m M 60 N m

Res0M 75 60

Res0M 15N m

El signo positivo indica que el efecto de rotación neto de la barra es en sentido antihorario.

2. Problema: Determinar el valor del momento de la fuerza F = 100 N respecto del punto O.

3 7°

4 m

8 m

O

F

Resolución: Este problema vamos a resolverlo por dos métodos.El primer método consiste en determinar previamente la distancia del centro de momentos a la línea de acción de F.

3 7°

4 m5 mO

3 md

5 3°

5 m

lín ea d e acció nd e F

F

Por criterios puramente geométricos deducimos que d = 4 mLuego el momento de la fuerza F respecto del punto O será:

F F0 0M 100N 4m M 400N m

El signo positivo es porque la rotación que la fuerza produce al cuerpo es en sentido antihorario.

El segundo método implica en descomponer la fuerza F en una componente horizontal Fx = 60 N y una componente vertical Fy = 80 N y luego determinar el

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momento producido por cada una de estas y finalmente sumar algebraicamente estos

8 m

4 m 4 m

3 7 ° F

F x

F y

O

= 6 0N

= 8 0N

F F0 0

F F0 0

M 60N 4m M 240N m

M 80N 8m M 640N m

x x

y y

Res0M 240 640

Res0M 400N m

El momento resultante, es el momento producido por la fuerza F que es la resultante de los componentes Fx y Fy.

3. Problema: Si la barra homogénea de 4 kg de masa se encuentra en equilibrio en la forma que se indica, determinar la tensión de la cuerda vertical. (g = 10

m/s2).

O

Resolución: Hagamos D.C.L. de la barra teniendo presente que la fuerza de reacción en el extremo O debe tener una dirección vertical, porque las otras dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo son verticales.

L L

RF = 4 0Ng

T

O

Asumiendo que la longitud de la barra es 2L, aplicamos la segunda condición de equilibrio tomando momentos respecto del punto O.

F F0 0M M

gFT0 0M M

T (2L) 40(L)

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T 20N

4. Problema: Si la masa de la barra homogénea mostrada es de 3 kg, determinar el módulo de la tensión de la cuerda horizontal y de la reacción en el pasador

(g=10 m/s2).

O

3 m

8 m

Resolución: Hagamos D.C.L. de la barra, teniendo presente que las tres fuerzas deben ser concurrentes, y apliquemos la segunda condición de equilibrio tomando momentos respecto del punto O.

O

3 m

T

F = 3 0Ng

R d = 4m

Cuando la fuerza de gravedad de la barra actúa en su punto medio, se demuestra, por la propiedad de la base media que d= 4 m. A partir de este momento existen dos maneras de llegar a la solución de este problema.

La primera forma consiste en aplicar la segunda condición de equilibrio, respecto del punto O, determinar el valor de la tensión T y finalmente construir el triángulo de fuerzas.

0 0M M T(3) = 30(4)

T 40N

Del triángulo de fuerzas construido se deduce que:

R

T = 4 0

3 0

R 50N

Veamos la forma alternativa de resolver este problema.Teniendo presente la concurrencia de las tres fuerzas, y que d = 4 m, se deduce de la figura que:

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Construyamos el triángulo de fuerzas teniendo presente esto:

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R

T

3 0

Resolviendo el triángulo rectángulo notable formado se deduce que:

T 40N R 50N

5. Problema: Si la barra de una masa despreciable se encuentra en equilibrio tal como se muestra. Determine el módulo de la tensión en la cuerda. (g = 10

m/s2).

3 7°

5 m 3 m

A

4 ,5 kg

Resolución: Realizamos el D.C.L. de la barra; como la barra está articulada en A, no sabemos el módulo ni la dirección de la reacción que ejerce la articulación sobre la barra; por lo tanto en el D.C.L. se trazarán las componentes rectangulares de esta articulación tanto en la dirección horizontal como vertical.

3 7 °

5 m 3 m

A

4 , 5 N

T

R M

R V

3 m

Tomando momentos respecto de A y aplicando la segunda condición de equilibrio.

F F0 AM M T 45NA AM M

T · 3m 45N · 8m

T 120N

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