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Equivalencia y Minimizacion de Automatas FinitosDeterministas
Implementacion de Metodos Computacionales(TC2020)
M.C. Xavier Sanchez Dı[email protected]
Tabla de contenidos
1 Equivalencia de AFDs
2 Simplificacion de AFDs
2 / 22
Definicion de EquivalenciaEquivalencia de AFDs
Definicion 1
Dos automatas M1 y M2 son equivalentes, M1 ≡M2, cuando aceptanexactamente el mismo lenguaje.
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EquivalenciaEquivalencia de AFDs
¿Son estos dos automatas equivalentes?
A B
a
b
a
b
A B C
a
b
a
b a
b
4 / 22
¿Como podemos probarlo?Equivalencia de AFDs
Sistematicamente, probando con las palabras de σ∗ = {ε, a, b, aa, ab, . . . }¿Que pasa si no son equivalentes? Simplemente nunca acabaremos.
Podemos probar todas las posibilidades mediante un arbol de estados in-compatibles.
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¿Como podemos probarlo?Equivalencia de AFDs
Sistematicamente, probando con las palabras de σ∗ = {ε, a, b, aa, ab, . . . }¿Que pasa si no son equivalentes? Simplemente nunca acabaremos.
Podemos probar todas las posibilidades mediante un arbol de estados in-compatibles.
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¿Como podemos probarlo?Equivalencia de AFDs
Sistematicamente, probando con las palabras de σ∗ = {ε, a, b, aa, ab, . . . }¿Que pasa si no son equivalentes? Simplemente nunca acabaremos.
Podemos probar todas las posibilidades mediante un arbol de estados in-compatibles.
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¿Como podemos probarlo?Equivalencia de AFDs
Sistematicamente, probando con las palabras de σ∗ = {ε, a, b, aa, ab, . . . }¿Que pasa si no son equivalentes? Simplemente nunca acabaremos.
Podemos probar todas las posibilidades mediante un arbol de estados in-compatibles.
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Arbol de comparacionEquivalencia de AFDs
A B
a
b
a
b
A′ B′ C ′
a
b
a
b a
b
(A,A′)
(B,B′)
(A,C ′)
(A,B′)×(B,C ′)×
a b
a
a
b
b
6 / 22
q0 q1
q4 q5
q2 q3
q6 q7
a
b a
b a
b
a, b
a
b
a
b
a
b
a
b
B C A D
E
a
b
a
b a
b
a, b
a
b
¿Por que simplificar AFDs?Simplificacion de AFDs
Una maquina M puede tener estados redundantes.
q3
q4
q5
a
b
a
b
a, b
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¿Por que simplificar AFDs?Simplificacion de AFDs
Una maquina M puede tener estados redundantes.
q3
q4
q5
a
b
a
b
a, b
8 / 22
Eliminacion de estados equivalentesSimplificacion de AFDs
Borrar transiciones:
q3
q4
q5
a
b
a, b
9 / 22
Eliminacion de estados equivalentesSimplificacion de AFDs
Redirigir transiciones:
q3
q5
a
b
a, b
10 / 22
Deduccion de estados distinguiblesSimplificacion de AFDs
Dos estados son distinguibles si son incompatibles: uno es final y elotro es no final.
Si tenemos transiciones δ(p0, σ) = p y δ(q0, σ) = q, donde p, q sondistinguibles, entonces tambien p0 y q0 son distinguibles.
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Deduccion de estados distinguiblesSimplificacion de AFDs
Dos estados son distinguibles si son incompatibles: uno es final y elotro es no final.
Si tenemos transiciones δ(p0, σ) = p y δ(q0, σ) = q, donde p, q sondistinguibles, entonces tambien p0 y q0 son distinguibles.
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Deduccion de estados distinguiblesSimplificacion de AFDs
5
3
4 2
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a, b
234
5
1 2 3 4
234
5
1 2 3 4
234
5
1 2 3 4
234
5
1 2 3 4
12 / 22
Deduccion de estados distinguiblesSimplificacion de AFDs
5
3
4 2
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a, b
234
5
1 2 3 4
2 ×3 ×4 ×5 × ×
1 2 3 4
2 ×3 ×4 ×5 ×
1 2 3 4
2 ×3 ×4 × × ×5 × × ×
1 2 3 4
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Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
Formar clases de estados de un automata que pudieran ser equivalentes.
Al seguir examinando las clases, podremos percatarnos de si es necesariovolver a dividirlas.
Si las clases ya no pueden dividirse mas, entonces hemos encontrado elautomata mas pequeno.
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Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
Formar clases de estados de un automata que pudieran ser equivalentes.
Al seguir examinando las clases, podremos percatarnos de si es necesariovolver a dividirlas.
Si las clases ya no pueden dividirse mas, entonces hemos encontrado elautomata mas pequeno.
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Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
Formar clases de estados de un automata que pudieran ser equivalentes.
Al seguir examinando las clases, podremos percatarnos de si es necesariovolver a dividirlas.
Si las clases ya no pueden dividirse mas, entonces hemos encontrado elautomata mas pequeno.
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Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
5
3
4 2
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a, b
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Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
5
3
4 2
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a, b
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Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
5
3
4 2
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a, b
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Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
A C B
a
b
a
b
a, b
18 / 22
Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
a
b
c
d
e
f
0
1
0
1
0
10
1
0
1
0, 1
19 / 22
Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
a
b
c
d
e
f
0
1
0
1
0
10
1
0
1
0, 1
20 / 22
Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
a
b
c
d
e
f
0
1
0
1
0
10
1
0
1
0, 1
21 / 22
Simplificacion por clases de equivalenciaSimplificacion de AFDs
a b c
0
1
0
1
0, 1
22 / 22
