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Ergänzt und überarbeitet 06.02.2016

Erich Boeck

Relativitätstheorie und Elektrotechnik Theoretische Grundlagen der Elektrotechnik aus der Sicht der speziellen Relativitätstheorie

(überarbeitete Neuauflage)

Relativitätstheorie und Elektrotechnik

Dr. Erich Boeck 2

0 Inhaltsverzeichnis

0 Inhaltsverzeichnis ............................................................................................................... 2 1 Einleitung ............................................................................................................................ 3 2 Begriffe und Größen des elektrischen Feldes ..................................................................... 5

2.1 Ausgangspunkt elektrische Ladung ............................................................................. 6 2.2 Verschiebungsfluss, -dichte ......................................................................................... 7

2.3 Elektrisches Feld.......................................................................................................... 8 2.4 Strom und Stromdichte ................................................................................................ 9 2.5 Im Beobachtungssystem bewegte Ladungen ............................................................. 10

3 Begriffe mit Wirkungen bewegter Ladungen ................................................................... 11 3.1 Einsteins Relativitätsprinzip und Lorentztransformation .......................................... 11 3.2 Kraft zwischen zwei bewegten Ladungen ................................................................. 14 3.3 Allgemeines elektrisches Feld ................................................................................... 17 3.4 Potential und Spannung ............................................................................................. 18

3.5 Transformation von Raumladung und Stromdichte .................................................. 22 3.6 Kraft eines Stromes auf eine Probeladung - Induktionsgesetz .................................. 24 3.7 Verschiebungsfluss, -dichte und Kontinuitätsgleichung ........................................... 30 3.8 Einfluss eines Mediums auf die Felder ...................................................................... 32

3.9 Das Faraday’sche Magnetfeld ................................................................................... 33 3.10 Vorschlag für ein neues Magnetfeld ...................................................................... 34

3.11 Übergang zur relativistischen Elektrodynamik ...................................................... 38 3.12 Darstellung als Modell mit verteilten Elementen .................................................. 41

4 Zusammenfassung und Gegenüberstellung ...................................................................... 44 4.1 Klassische Darstellungsform, aber ohne Magnetfeld ................................................ 44

4.2 Darstellung mit dem Faraday’schen Magnetfeld ....................................................... 45 4.3 Darstellung mit vorgeschlagenem neuem Magnetfeld .............................................. 46 4.4 Vergleich, Vor- und Nachteile, Folgerungen ............................................................ 48

5 Physikalische Begriffe der Quantenphysik ....................................................................... 50 5.1 Von der klassischen zur Quantenphysik .................................................................... 50

5.2 Aussagen der Quantenfeldtheorie .............................................................................. 53 5.3 Ergebnis und Folgerungen ......................................................................................... 54

6 Resümee für Elektrodynamik und Relativitätstheorie ...................................................... 55

7 Anlagen ............................................................................................................................. 58

7.1 Relativitätsprinzip aus den axiomatischen Forderungen ........................................... 58 7.2 Berechnung des Feldes eines geraden Leiters ........................................................... 60 7.3 Berechnung der Induktivität eines Koaxialkabels ..................................................... 62 7.4 Berechnung der Induktivität einer Ringkernspule ..................................................... 63 7.5 Modell mit verteilten Elementen in Tensordarstellung ............................................. 64

8 Literaturverzeichnis .......................................................................................................... 68


Dr. Erich Boeck 3

1 Einleitung

Die Elektrotechnik ist vorrangig durch praktische und experimentelle Erfahrungen entstanden.

Eine theoretische und mathematische Formulierung wurde vielfach anschließend aufgrund

der gewonnenen Erkenntnisse erstellt. So erscheinen viele Gesetzmäßigkeiten als

„mathematischer Ausdruck einer Messkurve“ (z.B. das Ohm’sche Gesetz). Für die

Herausbildung der Vorstellungen in der Elektrotechnik hat diese Entwicklung nach meiner

Auffassung eine wesentliche Bedeutung gehabt, was insbesondere auch im Begriffssystem

der Elektrotechnik zum Ausdruck kommt.

In meiner Ausbildung habe ich Theorien grundsätzlich immer orientiert auf praktische

Anwendungen erfahren. Vielfach konnte ich dabei erleben, wie sich ganze Felder mit neuen

Gestaltungsmöglichkeiten eröffneten. Daraus folgt die Frage, welche Forderungen sind an

eine Theorie und ihre Vermittlung zu stellen, damit sie für eine praktische Tätigkeit als

unverzichtbares und hervorragendes „Werkzeug“ erkannt wird. Folgende Aspekte erscheinen

mir besonders wichtig:

– Die Theorie muss eine Plausibilitätsebene besitzen, die Anschaulichkeit und

Verständlichkeit anspricht und so Vorstellungskraft und Fantasie erreicht.

– Der Formalismus der Theorie muss für die Lernenden handhabbar sein bzw. bei der

Anwendung werden.

– Bei der Vermittlung sind unmittelbar relevante praktische Konsequenzen und

Schlussfolgerungen aufzuzeigen und die Anwendung muss selbst erlebt werden.

Seit der Herausbildung der Elektrotechnik wird nach meiner Meinung die Tätigkeit auf

diesem Gebiet von drei Besonderheiten dieser Technik bestimmt. Unabhängig von der immer

schnelleren Veränderung von Technologien sind Vorgänge und Prozesse der Elektrotechnik

– grundsätzlich intransparent und nur punktuell durch Messmittel sichtbar zu machen,

– von heute sogar noch stark zunehmender Komplexität und

– generell mit einer Eigendynamik versehen.

Diese Besonderheiten verbinden die Elektrotechnik deutlich mit der Informatik und der

Prozesssteuerung, sie sind aber auch politischen und ökonomischen Prozessen eigen (Dör89

S. 58). Der Umgang mit diesen Besonderheiten verlangt in der Vorstellung von

Elektrotechnikern ein gedankliches Abbild der Vorgänge und Prozesse sowie einen ständigen

Vergleich mit den punktuell sichtbaren Ereignissen. Nur auf diese Weise kann nach meiner

Erfahrung die tatsächliche Funktion kontrolliert, eine Anlage in Betrieb genommen, der

Prozess gesteuert und optimiert, eine Fehlfunktion korrigiert oder gar eine Anlage geplant,

projektiert und errichtet werden.

Für mich wären die genannten Abbilder ohne oben erwähnte Theorien nicht denkbar und so

hat Theorie eine entscheidende Rolle. Wo diese Theorien fehlen, können nur „individuelle

Theorien“ aus eigenen oft oberflächlichen Vorstellungen und praktischen Erfahrungen erzeugt

werden (mit Problemen, wie sie in (Dör89) letztendlich untersucht werden).

Im Altertum waren bereits die Erscheinungen der Anziehungskraft bei „geriebenem“

Bernstein oder bei einigen eisenhaltigen Mineralien bekannt. Es wird auch vermutet, dass

einige Ausgrabungen auf die Möglichkeit zum Galvanisieren (versilbern, vergolden)

hinweisen könnten (sogenannte Batterie von Bagdad). Im 16. und 17. Jahrhundert gab es

mehrere Versuche und Arbeiten zu Magnetismus und Reibungselektrizität. Exakte

Untersuchungen von Ladungen unternahm insbesondere Coulomb (Täu76 S. 238/9). Dennoch


Dr. Erich Boeck 4

begann eine systematische Untersuchung erst mit den Entdeckungen von Galvani und Volta,

die in ihrer Folge verwendbare Quellen hervorbrachten.

Ein entscheidender Schritt waren die durch Faraday entwickelten Vorstellungen von Feldern

und Feldlinien, verbunden mit dem Übergang zu einer Deutung durch Nahwirkungen, die zu

einer endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit aller Wechselwirkungen führten. Diese

Vorstellungen wurden dann von Maxwell mathematisch in anerkannter Weise formuliert und

weitergeführt. Damit wurden nun für die Physik zwei Probleme sichtbar:

Es muss auch im Vakuum einen Träger für die Felder (die Nahwirkungen) geben, dieses

begünstigte die Äthertheorie, und

die Felder waren nicht invariant gegenüber Galileitransformationen von einem

Inertialsystem in ein anderes. D.h., das bewährte Relativitätsprinzip aus der klassischen

Physik galt für die Felder nicht und dies trennte die physikalischen Theorien.

Die Problematik wurde nicht einfacher, nachdem Michelson und Morley in ihrem Versuch

keinen Ätherwind nachweisen konnten und sich damit die immer komplizierter werdende

Äthertheorie nicht bewährte.

Einsteins Gedanke, umgekehrt vorzugehen und das Relativitätsprinzip der Feldtheorie,

welches er in der Lorentztransformation erkannte, auf die klassische Physik anzuwenden,

schuf wieder eine einheitliche Physik. Dabei ergab sich aber als „Nebeneffekt“ das ersatzlose

Streichen der Äthertheorie und mit ihr vieler Vorstellungen, aus denen die Begriffswelt der

Elektrotechnik z.T. hervorgegangen war. Alle physikalischen Vorgänge waren ausreichend in

der mathematischen Formulierung enthalten und diese wiederum in hervorragender und

vielfältiger Weise praktisch bestätigt worden (Bor69 S. 192ff). Somit entstand aber ein

„Verzicht“ auf das Verständnis der Funktionsweise der oben genannten Nahwirkung. In der

folgenden Zeit wurde durch den Übergang zu mathematischen Räumen mit vierdimensionalen

Koordinaten und dem Tensorkalkül die Anschaulichkeit weiter „vernachlässigt“.

Dass dieses nicht notwendig so sein muss, soll in den folgenden Untersuchungen dargestellt

werden. Dazu werden Vorstellungen, Begriffe und deren Beziehungen konsequent hinterfragt,

von Beginn an mit der speziellen Relativitätstheorie verbunden und konsistent im

Gesamtrahmen der Theorie geordnet. Auf diese Weise sind die exakten Möglichkeiten einer

Plausibilitätsebene zu ergründen. Bei solchem Vorhaben kann auf eine tiefgründige

mathematische Ableitung und Untersuchung nicht verzichtet werden, zumal über die üblichen

Darstellungen hinausgegangen werden muss. Es zeigt sich, dass das Nahwirkungsprinzip

durchgängig nachzuweisen ist, aber dessen „Mechanismus“ in den Theorien nicht beschrieben

oder modelliert wird. Dagegen ergibt die konsequente Nutzung des Prinzips der Probeladung

eine vollständige Beschreibung aller Wirkungen der Felder und führt in plausibler Form zu

deren Begriffssystem.


Dr. Erich Boeck 5

2 Begriffe und Größen des elektrischen Feldes

Die Darstellung bzw. Ableitung der Grundbegriffe erfolgt in Lehrbüchern auf unter-

schiedliche Weise. Das reicht von einer historischen über eine Einführung aus praktischen

Erwägungen, aus vermeintlichen Analogien bis zu rein formalen Definitionen. Einige Autoren

beginnen mit den Maxwell’schen Gleichungen als eine Art von Axiomen.

Eine tatsächlich axiomatische Darstellung erscheint mir als die ehrlichste Variante für eine

Einführung und Definition der Grundbegriffe in der Elektrotechnik. Dabei wird von

verallgemeinerten und abstrahierten Erfahrungen ausgegangen, die zumindest z.Z. in dieser

abstrakten Form nicht vollständig bewiesen werden können.

Der Ausgangspunkt dafür sind die folgenden grundsätzlichen Beobachtungen zu elektrischen

Ladungen.

Die Erfahrungen zur Ladungserhaltung und des Ladungsausgleichs in der Natur (somit

in der Summe Neutralität), welche als integrale Eigenschaft unverzichtbar sind,

das Prinzip der Nahwirkung, das sich für eine Übereinstimmung mit der Realität

bewährt hat (auch ohne dafür einen konkreten Mechanismus zu beschreiben),

Beobachtungen zu Kraftwirkungen zwischen Ladungen, die mittels Probeladungen

weitgehend exakt und reproduzierbar untersucht werden können.

Daraus folgen vier axiomatische Forderungen:

AF1 Nach dem Prinzip der Nahwirkung muss zwischen „getrennten“ Ladungen eine

Verbindung bestehen, welche für die integrale Bilanz zur Neutralität sorgt

(Ladungserhaltung), vergleiche auch ( 2.4 ).

AF2 Nach dem Prinzip der Nahwirkung muss zwischen „getrennten“ Ladungen eine

Verbindung bestehen, welche die Bewegung der Ladungen in einer integralen

Bilanz vermittelt (Bestreben zum Ladungsausgleich; insbesondere auch

Ladungsbewegung im geschlossenen Stromkreis), vergleiche auch ( 3.67 ).

AF3 Die Kraft einer Ladung auf eine zu dieser ruhenden Probeladung Qp ergibt sich zu

K(x,y,z,t) = Qp E(x,y,z,t)

mit E als Wirkung der Ladung im Punkt P(x,y,z,t) auf Qp (was auf das

Coulomb’sche Gesetz zurückgeht und mit dem Prinzip Probeladung messbar ist).

AF4 Die Kraft einer bewegten Ladung auf eine mit vp bewegte Probeladung Qp ergibt

außerdem

KB(x,y,z,t) = Qp vp x EM(x,y,z,t)

mit EM als zusätzliche Wirkung der Ladung im Punkt P(x,y,z,t) (was auf die

Lorentzkraft zurückgeht und mit dem Prinzip Probeladung messbar ist).

Die Maxwell’schen Gleichungen folgen sodann unmittelbar aus diesen Forderungen und

benötigen keine weiteren axiomatischen Annahmen.

Aus diesen vier axiomatischen Forderungen folgt außerdem direkt das Relativitätsprinzip der

speziellen Relativitätstheorie (siehe Anlage 7.1).

Andererseits können die Forderungen AF2 und AF4 mit Hilfe der speziellen

Relativitätstheorie aus den Forderungen AF1 und AF3, welche bei ruhenden Ladungen sehr

gut direkt nachzuweisen sind, hergeleitet werden.

Im Folgenden soll der letztere Weg beschritten werden. Dazu müssen für die Form der

integralen Bilanz der Forderungen AF1 und AF2 adäquate Beschreibungen gefunden werden.


Dr. Erich Boeck 6

Die Begriffe sollen zuerst in einem Koordinatensystem untersucht werden, in dem die

erzeugenden Ladungen ruhen.

2.1 Ausgangspunkt elektrische Ladung

Die Ladung wählen wir als einzigen Ausgangspunkt, weil sie als Naturgröße betrachtet und

vielfältig nachgewiesen werden kann. In der Natur gibt es positive und negative Ladungen

immer in gleicher Menge, also ausgeglichen. Es kann aber zeitweilig in begrenzten Gebieten

durch Ladungstrennung (z.B. durch Reibung) ein Überschuss bzw. Mangel erzeugt werden,

auch wenn insgesamt der Ladungsausgleich immer bestehen bleibt. Dabei existiert eine

kleinste Ladungsmenge (Elementarladung q0 = 1,6 ∙ 10 -19 As) 1, d.h.:

Q = N ∙ q0 N = Anzahl .

( 2.1 )

Andererseits wird die Ladungsmenge, wenn sie nicht zur Punktladung vereinfacht werden

kann, durch die Raumladungsdichte ( ρ = Ladung pro Volumenelement ) ausgedrückt.

dV

dQρ und

V

dV ρQ

( 2.2 )

Für die elektromagnetischen Vorgänge und somit die Elektrotechnik hat es sich bewährt,

davon auszugehen, dass sich die Wirkungen der Ladung in Form einer Nahwirkung

ausbreiten. Das Prinzip besteht darin, dass von der Ladung eine Wirkung nur auf ihre

unmittelbare Umgebung erfolgt, diese dann die Wirkung wiederum auf ihre unmittelbare

Umgebung weitergibt usw. An einem betrachteten Raumpunkt kommt die Wirkung also mit

einer entsprechenden Zeitverzögerung an. Damit breiten sich für unsere Untersuchungen (in

der „makroskopischen“ Elektrotechnik) von einer Ladung als Nahwirkung in den Raum

zwei Faktoren aus, die wir beschreiben wollen. Das sind einmal ihre Verbindung mit der

gleichen Größe an Gegenladungen (AF1) und zum anderen eine in jedem Punkt des Raums

zu jeder Zeit messbare Kraftwirkung auf Ladungen (AF3). Beide Faktoren sind

miteinander verbunden, realisieren aber verschiedene Erfahrungstatsachen, sodass beide zu

beschreiben sind. Weil sich der erste Faktor unabhängig vom Material und seiner räumlichen

Anordnung ausbreitet, soll ihm eine primäre Rolle zugestanden werden. Bei praktischen

Berechnungen wird z.B. in der Regel von ihm ausgegangen (siehe (Lun91 S. 169)). Das heißt

auch, dass diese Nahwirkung eine wirkliche Existenz bekommt, auch wenn sie gerade nicht

gemessen wird und ihr Wirkungsmechanismus nicht bekannt ist. Damit werden alle von der

Ladung ausgehenden Wirkungen letztendlich auf Kräfte zwischen Ladungen bei

Beachtung des Nahwirkungsprinzips zurückgeführt.

Außerdem muss drittens die Bewegung der Ladungen selbst beschrieben werden.

1 Im metrischen Maßsystem hat die Ladung keine Grundmaßeinheit bekommen und wird in Amperesekunden

(As) gemessen, aber auch nach Coulomb mit C benannt.


Dr. Erich Boeck 7

2.2 Verschiebungsfluss, -dichte

Die von einer ruhenden Ladung ausgehende Nahwirkung, die eine Verbindung mit ihren

Gegenladungen realisiert, muss sich durch den dazwischen liegenden Raum ausbreiten. Bei

einer geschlossenen Hüllfläche um die Ladung (so, dass alle Gegenladungen noch außerhalb

liegen) müssen alle Wechselwirkungen durch diese Fläche hindurch (Abb. 2.1). Erhält diese

Wechselwirkung die Bezeichnung Verschiebungsfluss Ψ , beinhaltet der gesamte

Verschiebungsfluss unabhängig vom Material im Raum genau die Information über die

Menge der Ladung (in Abb. 2.1 gerade +Q).

Abb. 2.1: Ladung mit Verschiebungsfluss

Der nicht unbedingt gleichmäßige Fluss dieser Wechselwirkungen (Verschiebungsfluss) in

den Raum, wird durch die Definition einer Verschiebungsflussdichte D beschrieben.

D =

dΑ

d D = D eΨ

( 2.3 )

Dabei erfasst der Vektor D den Anteil des Flusses Ψ, der durch ein senkrecht zu ihm

stehendes Flächenelement (dA , Richtung eΨ) tritt, und hat die Richtung der Ausbreitung von

D als Nahwirkung, was hier als Fluss erscheint. Es gilt demnach der Zusammenhang

Qd gesamt

Hüllfläche

AD ,

( 2.4 )

welcher grundsätzlich die Vorstellung über den Verschiebungsfluss festlegt (AF1) 2. Danach

stellen positive Ladungen eine Quelle und negative eine Senke des Verschiebungsflusses dar

und die Ladung ist die Ursache.

In dieser Fassung des Verschiebungsflusses ist nicht enthalten, wie die Nahwirkung im Detail

funktioniert. Es wird aber die räumliche Verteilung und die Verbindung jeder Ladung mit der

gleichen Menge Gegenladungen wiedergegeben. Mathematisch ist die Verschiebungs-

flussdichte ein Vektorfeld (Betrag und Richtung in jedem Raumpunkt).

Der Verschiebungsfluss und die Verschiebungsflussdichte sind durch die Erscheinung der

Influenz nachweisbar und prinzipiell an jedem Ort messbar 3 (vergleiche (Lun91 S. 154-156)).

2 Damit wird auch die Maßeinheit von Ψ festgelegt. Eine Rechtfertigung der Definition von ( 2.3 ) ergibt sich

dagegen erst durch den experimentellen Zusammenhang in ( 2.6 ). 3 Da diese Methode nicht sehr praktikabel und auch umstritten ist, erfolgt die Messung normalerweise über das

Feld nach ( 2.6 ).

Ψ

dA

Hüllfläche

+Q


Dr. Erich Boeck 8

Geht der Verschiebungsfluss durch einen Körper, so werden Ladungen des Körpers in

Richtung zur Oberfläche verschoben (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Influenzkörper im Verschiebungsfluss

Diese Ladungstrennung erfolgt genau entsprechend der Größe des durch den Körper tretenden

Verschiebungsflusses 4. (Das hat sicher auch die Namensgebung beeinflusst.)

2.3 Elektrisches Feld

Befindet sich im Raumpunkt P(x,y,z) im Nahwirkungsfeld einer ruhenden Ladung eine

ruhende Probeladung 5 ( Qp ), so erfährt sie eine Kraft K (Abb. 2.3).

Abb. 2.3: Probeladung im Feld einer Ladung

Diese Kraft kann in jedem Punkt des Raumes gemessen werden und stellt somit ebenfalls als

mathematische Beschreibung ein Feld dar, das in jedem Punkt einen Vektor (Betrag und

Richtung) bestimmt. Da dieses Kraftfeld von der Größe der verwendeten Probeladung

abhängt, wird der Begriff des elektrischen Feldes von dieser Abhängigkeit entkoppelt.

pQ

KE EK pQ

( 2.5 )

Die Definition ( 2.5 ) erfolgt also aus der messbaren Kraft auf eine Probeladung. Mit dem

elektrischen Feld und der Verschiebungsflussdichte können die Ergebnisse der beiden oben

4 Material und Größe des Körpers sind so zu wählen, dass die Feldausbreitung nur vernachlässigbar verändert

wird und bewegliche Ladungen (wie in Metallen) vorhanden sind. Weitere Überlegungen siehe Kapitel 3.7 . 5 Die Probeladung soll so klein sein, dass sie vernachlässigbare Rückwirkungen auf das Feld ausübt. Sie dient

nur zur Messung.

– +

– +

– +

– + Influenzkörper

Ψ Ψ

+Q

Ψ

Probeladung in P(x,y,z) +Qp

K


Dr. Erich Boeck 9

genannten Wirkungsfaktoren (sowie AF1 und AF3) beschrieben werden. Dazu werden diese

Begriffe erfolgreich genutzt, auch wenn in beiden nicht enthalten ist, wie die Nahwirkung vor

sich geht 6.

Weil sich offensichtlich keine materiellen Objekte (Ladungen, Massen …) bewegen, wird

diese Erscheinung als elektrostatisches Feld bezeichnet.

Es sollte beachtet werden, dass hier dem Prinzip der Probeladung 5 eine entscheidende

Rolle zukommt. Allein die Kraftwirkung des Feldes auf eine Probeladung dient zur

Beschreibung des elektrischen Feldes, während auf eine Beschreibung der Funktionsweise

der Nahwirkung und somit auf einen „Zustand“ des Raumes nach Wegfall der Äthertheorie

vollständig verzichtet wird (Bor69 S. 192ff).

Das elektrische Feld und die Verschiebungsflussdichte haben die gleiche Richtung – die

Ausbreitungsrichtung der Nahwirkung – (siehe Abb. 2.3 , radiale Richtung) 8 und hängen

über die Dielektrizitätskonstante (eine Materialkonstante) unmittelbar zusammen. In jedem

Punkt des Raumes gilt:

D = E .

( 2.6 )

Die Dielektrizitätskonstante kann für jedes Material ermittelt werden. Sie wird in der Regel

als Faktor (r = relative Dielektrizitätskonstante) bezogen auf die Dielektrizitätskonstante für

Vakuum (0=8,854 10-12 As/Vm 7) angegeben 8. Dieser experimentell bestätigte

Zusammenhang ist plausibel, da die Verschiebungsflussdichte unabhängig vom Material die

Menge der Ladung übermitteln muss, die Kraftwirkung auf eine Probeladung aber durchaus

vom umgebenden Material beeinflusst werden kann. ( 2.6 ) bestätigt auch die Möglichkeit der

Definition von und D.

2.4 Strom und Stromdichte

Um die Bewegung der Ladungen selbst zu beschreiben (ohne von der Bewegung ausgehende

Wirkungen), wird die eingängige Rechengröße elektrischer Strom I 9 definiert. Der

Ausgangspunkt ist der Sonderfall des linienhaften Leiters (Abb. 2.4), der ruhend im

Beobachtungssystem angeordnet ist.

Abb. 2.4: Bewegte Ladungen im Leiter und Leiterquerschnitt

6 Bei ruhenden Ladungen tritt der Unterschied zu einer Fernwirkung noch nicht hervor und die Kraft entspricht

dem Coulomb’schen Gesetz. 7 Dieser Wert ergibt sich im metrischen Maßsystem; im Gauß’schen Maßsystem wäre 0 = 1 eine einfache Zahl. 8 Anisotrope Materialien mit Richtungsabhängigkeiten müssen gesondert betrachtet werden. 9 Im metrischen Maßsystem erhielt der Strom eine Grundmaßeinheit benannt nach Ampère (A) .

Leiter Leiterquerschnitt A

vd +q0

I I


Dr. Erich Boeck 10

Die Ladungen +q0 bewegen sich mit der mittleren Driftgeschwindigkeit vd in Richtung des

Stromes. (Elektronen mit −q0 würden sich mit −vd entgegengesetzt bewegen.) Der Strom

berechnet sich nun aus dem Anteil der Ladungsmenge, die pro Zeiteinheit durch den

Leiterquerschnitt tritt.

dt

dQ I

( 2.7 )

Diese Größe kann natürlich praktisch nicht sinnvoll direkt nach dieser Definition gemessen

werden 10, sondern es werden Wirkungen des Stromes genutzt.

Wenn die in der Regel ungleichmäßige räumliche Bewegung der Ladungen (des Stromes)

beschrieben werden muss, nutzt man den Begriff der Stromdichte S, indem der Anteil des

Stromes durch ein kleines Flächenelement (dA) senkrecht zur Stromrichtung (eI) berechnet

wird.

dA

I dS I eSS

tsflächeQuerschnit

dI AS

( 2.8 )

Die Stromdichte ergibt ebenfalls ein Vektorfeld das elektrische Strömungsfeld.

Die Darstellung der Stromdichte kann auch aus Driftgeschwindigkeit (vd = dsI/dt) und der

Raumladungsdichte 11 erfolgen

I I

I d

dA

I d

dAdt

dQ d

dVdt

dQ d ρ ee

svS

( 2.9 )

und entspricht so direkt der anschaulichen Vorstellung einer mit vd strömenden Raumladungs-

dichte ρ, bei der sich z.B. die Elektronen infolge ihres Feldes gegenseitig weiterschieben.

2.5 Im Beobachtungssystem bewegte Ladungen

Es ist nicht anzunehmen, dass von bewegten Ladungen gerade die gleichen Wirkungen

ausgehen wie von im Beobachtungssystem ruhenden. Deshalb müssen die oben definierten

Begriffe, bis sie verallgemeinert worden sind, jeweils in ihrem Ruhesystem ermittelt und in

das gewünschte Beobachtungssystem transformiert werden. Das heißt aber auch, dass

Begriffe und Größen, die Wirkungen durch bewegte Ladungen beinhalten, erst nach dieser

Verallgemeinerung erarbeitet werden können. Dazu müssen im nächsten Abschnitt die

Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie vorangestellt werden.

10 Es wäre nach dem Faraday’schen Abscheidungsgesetz aber in günstigen Fällen möglich. 11 Dabei sind für die Raumladungsdichte nur die beweglichen Ladungsträger mit ihrer jeweiligen

Geschwindigkeit anzusetzen (im Leiter nur die Elektronen mit vd–).


Dr. Erich Boeck 11

3 Begriffe mit Wirkungen bewegter Ladungen

3.1 Einsteins Relativitätsprinzip und Lorentztransformation

Die Einstein’sche spezielle Relativitätstheorie gilt heute als eine der am besten bestätigten

Theorien und gibt uns das Instrumentarium für die benötigten Transformationen (Reb99 S.

754/5).Für Inertialsysteme 12 mussten auch schon in der Newton’schen Physik die

physikalischen Gesetze unabhängig vom jeweiligen Beobachtungssystem sein. D.h., es kann

durch keine Messung ein ausgezeichnetes System ermittelt werden. Dies wird durch die

plausible Galileitransformation vom Koordinatensystem K{x,y,z} nach K´{x´,y´,z´} erreicht.

r´= r – vt t´= t r = ix + jy + kz ( 3.1 )

Diesem Prinzip widerspricht die experimentell mit hoher Genauigkeit gefundene Konstanz

der Vakuumlichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem.

Erst durch Einsteins Überlegungen zu den Begriffen der Gleichzeitigkeit (gleichzeitige

Ereignisse an verschiedenen Orten) und des gleichen Ortes (Ereignisse zu unterschiedlicher

Zeit am gleichen Ort) wurde ein neues Relativitätsprinzip gefunden. Die Messung dieser

Ereignisse musste mit Maßstäben und Uhren erfolgen, deren Signale nur mit endlicher

Geschwindigkeit übermittelt werden können. Einstein hat dazu in (Ein70 S. 21 ff) eine sehr

verständliche und plausible Darstellung gegeben. Dieses Relativitätsprinzip wurde von den

Maxwell’schen Gleichungen erfüllt, die eine Beschreibung der elektrodynamischen

Vorgänge darstellt, beruhend auf der Nahwirkungsvorstellung und deren Ausbreitung mit

Lichtgeschwindigkeit. Die Gesetze der Mechanik mussten neu formuliert werden. Sie gehen

aber für kleine Geschwindigkeiten 13 in die bis dahin bekannten Gesetze über und haben sich

für hohe Geschwindigkeiten hervorragend bestätigt.

Als Transformation vom Koordinatensystem K{x,y,z} nach K´{x´,y´,z´} ergibt sich danach

für die Komponenten von r der von Lorentz gefundene Zusammenhang für eine

Standardkonfiguration 14.

x´= 20

2

x

c/ v 1

t vx

x

y´= y z´= z t´=

20

2

20x

c/ v 1

c/x vt

x

( 3.2 )

Wenn die Gesetze der Elektrotechnik vollständig behandelt werden sollen, ist die

Standardkonfiguration oft nicht ausreichend. Liegen gleichförmige Bewegungen in beliebige

Richtungen vor (Abb. 3.1) und wird die Transformation in das Ruhesystem einer

12 Ein Koordinatensystem, das sich gleichförmig und geradlinig (also unbeschleunigt) gegenüber anderen

Koordinatensystemen bewegt. Beschleunigte Bezugssysteme werden erst in der allgemeinen Relativitätstheorie

behandelt. 13 Alle alltäglichen Vorgänge haben Geschwindigkeiten viel kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit. 14 Es entspricht der Standardkonfiguration in der Relativitätstheorie, wenn das neue System sich im

Ausgangssystem nur in x-Richtung bewegt.


Dr. Erich Boeck 12

Abb. 3.1: Bewegte Ladung und Probeladung

Ladung benötigt, müssen

das Koordinatensystem in die Bewegungsrichtung gedreht,

die Lorentztransformation entsprechend Standardkonfiguration durchgeführt und

das Koordinatensystem zurückgedreht werden. 15

Vereinfachend kann man Koordinaten und andere vektorielle Größen in zwei

Vektorkomponenten parallel ( ll ) und senkrecht () zur Transformationsgeschwindigkeit (v0)

zerlegen. Es ist zu beachten, dass die senkrechte Vektorkomponente in einer Ebene senkrecht

zur Richtung der Geschwindigkeit beliebig liegt und für mehrere Vektoren nicht die gleiche

Richtung haben muss (siehe auch (Reb99 S. 819)).

20

2

20

20

2 c/ v 1

c/ t t

c/ v 1

t

0

0

0

0

llllll

rvr

vrrrr

( 3.3 )

Transformationsvorschriften sind auch für die einzelnen physikalischen Größen ermittelt

worden. So sind z.B. Größen wie Ladung oder die Dielektrizitätskonstante invariant und

verändern sich nicht. Andere Größen, die bei den folgenden Überlegungen benötigt werden,

wie das Additionstheorem für Geschwindigkeiten (v´ aus v und der Transformations-

geschwindigkeit v0) und die Kraft (K´ aus K) ergeben sich als parallele und senkrechte

Vektorkomponenten:

2

001

1

2

001

0 1

1

1

c/1

c/ v 1

c/1t

20

20

1vv

v

vv

vvrv

ll

( 3.4 )

2

001

10112

001

1

2

001

1

2

00 11

c/1

PP

c/1

c/ v 1

c/1

)Pc/(20

20

vv

Kv

vv

K

vv

vKK

ll .

( 3.5 )

Dabei ist die Leistung (P = v∙K) in der Relativitätstheorie die mit der Kraft (K)

korrespondierende Größe. Der Index 1 weist auf die betrachtete Ladung oder das Teilchens

„1“ hin.

15 Durch die Längenkontraktion bleiben Winkel im Allgemeinen bei einer Lorentztransformation nicht erhalten.

Eine Komponentenaufteilung der Geschwindigkeit und nacheinander erfolgende Transformationen führen so zu

falschen Ergebnissen.

+Q vd

vp +Qp

x

z

y


Dr. Erich Boeck 13

Die Transformationen von drll , dr, dt zeigen deutlich das Problem der Gleichzeitigkeit oder

des gleichen Ortes. So folgt aus

rrr

vrvrrrr )d(

c/v 1

t) (t) d(dd

20

20

00 llllllll

gemessen zur gleichen Zeit t im System K{x,y,z}:

rr

rr dc/ v 1

ddd

20

20

llll ,

( 3.6 )

dagegen aus

rrr

vrvrrrr )d(

c/ v 1

)t ()t d(dd

20

20

00 llllllll

gemessen zur gleichen Zeit t´ im System K´{x´,y´,z´}:

rrrr dc/ v 1ddd 2

020llll

.

( 3.7 )

Genauso werden gemessen am gleichen Ort r in K{x,y,z}

20

20 c/ v 1

dttd

( 3.8 )

und gemessen am gleichen Ort r´ in K´{x´,y´,z´}

20

20 c/ v 1dttd .

( 3.9 )

Für die Flächenelemente und das Volumenelement nehmen wir noch eine dritte

Vektorkomponente hinzu, die sowohl auf rll als auch auf r im Sinne eines Rechtssystems

senkrecht steht (r). 16

drdrdrddddV

drdrddd

drdrddd

llll

llllll

ll

rrr

errA

errA

Die Transformation ergibt sich demzufolge, wenn drll enthalten ist, entsprechend der obigen

Formel ( 3.6 ) oder ( 3.7 ). Gemessen zu Zeiten des Zielsystems K´{x´,y´,z´} heißt das:

20

20

20

20

c/ v 1dVVd

dd

c/ v 1dd

AA

AA llll

.

( 3.10 )

Die Komponenten der Verschiebungsflussdichte einer Ladung lassen sich damit ausgehend

vom Ruhesystem K{x,y,z} in ein im Ruhesystem mit v0 bewegtes System K´{x´,y´,z´}

umrechnen. (Die Flächenelemente dAll und dA sind hier parallel und senkrecht zu v0

dagegen ist dAΨ senkrecht zur Ausbreitungsrichtung von .) Gemessen zu Zeiten des

Zielsystems K´{x´,y´,z´}, ergibt sich nach ( 2.3 ) und Abb. 3.2

16 Es ist zu beachten, dass z.B. die senkrecht zur Transformationsgeschwindigkeit liegende Fläche als Vektor,

der senkrecht auf der Fläche steht, ihre Richtung parallel zur Geschwindigkeit hat.


Dr. Erich Boeck 14

Abb. 3.2: Gleicher Anteil des Verschiebungsflusses durch dAΨ und dA

sowie mit llllll eeD

drdr

Qd

dA

dΨ 2

bzw.

eeDllll drdr

Qd

dA

dΨ 2

und invariantem Q die Transformation 17:

20

20 c/ v 1

DDDD llll .

( 3.11 )

Weil nach ( 2.6 ) D=E ist, erfährt mit invariantem auch das elektrische Feld unter gleichen

Voraussetzungen die gleiche Form der Transformation 18.

20

20 c/ v 1

EEEE llll

( 3.12 )

Nach dieser Betrachtungsweise können nun die im Kapitel 2 beschriebenen Größen für

bewegte Ladungen verallgemeinert werden.

3.2 Kraft zwischen zwei bewegten Ladungen

Das elektrische Feld der Ladung +Q aus Abb. 3.3 wird bestimmt im Koordinatensystem

K´{x´,y´,z´} (bewegt mit vd in K{x,y,z}) und transformiert in das Koordinatensystem

K´´{x´´,y´´,z´´} (bewegt mit v´p in K´{x´,y´,z´} bzw. mit vp in K{x,y,z}). Dabei ergibt sich

v´p nach ( 3.4 ) bei v0 = vd und v1 = vp sowie den Komponenten parallel und senkrecht

zu vd als

2

0dp

p

2

0dp

d p

pc/1

c/ v 1

c/1

20

2d

vv

v

vv

vvv

ll .

( 3.13 )

17 Das gilt, solange nicht zusätzliche Wirkungen zu berücksichtigen sind. Dies muss nachträglich noch einmal

überprüft werden, ist aber ausgehend vom Ruhesystem erfüllt. 18 Eine Transformation über K/Qp können wir erst durchführen, wenn K in Anteile vom Feld einer ruhenden

Ladung und dem zusätzlichen Anteil durch die Bewegung aufgeteilt werden kann (siehe ( 3.21 ), ( 3.23 )).

+Q

v0

dAΨ=dAcos<D,v0>

dA D=eΨdΨ/dAΨ

Dll=ell|D|cos<D,v0>

K

K´


Dr. Erich Boeck 15

Abb. 3.3: Richtung der Bewegungen und der Feldkomponenten

Dazu muss das nach ( 2.5 ) durch eine in K´{x´,y´,z´} ruhende Messprobeladung ermittelte

Feld E´ in Vektorkomponenten parallel und senkrecht zu v´p zerlegt (E´llp und E´p) und diese

nach K´´{x´´,y´´,z´´} (E´´, E´´llp und E´´p) entsprechend ( 3.12 ) transformiert werden 19.

E´´llp + E´´p = 20

2 c/v 1 p

p

p

E

E ll

( 3.14 )

In K´´{x´´,y´´,z´´} bestimmen wir für die dort ruhende Probeladung die Kraft 20

20

2 c/v 1Q Q

p

p

ppp

EEEK ll

( 3.15 )

Diese Kraft wird zweimal mit ( 3.5 ) zurücktransformiert.

1. Über K´{x´,y´,z´} mit v0=−v´p , veränderten Anstrichen – links Zielsystem, rechts

Ausgangssystem – und v1=v´´p (bei v´´p Null, somit P´´=v´´p∙K´´ ebenfalls Null)

2. Nach K{x,y,z} (unserem gewünschten Beobachtungssystem) mit v0=−vd , wiederum

veränderten Anstrichen und v1=v´p

Es wird

20

2 c/v 1 ppp KKK ll Kv pP 21 .

( 3.16 )

Daraus wird mit ( 3.15 )

EvEE

EK

ppp

p

pp

pp QP Qc/v 1

c/v 1Q

20

2

20

2

ll 21

( 3.17 )

Auf die Tatsache, dass sich die Kraft schon bei einer ruhenden Ladung genauso wie zwischen

zwei ruhenden Ladungen ergibt, kommen wir weiter unten zurück.

19 Es ist zu beachten, dass +Q in K´{x´,y´,z´} kein Magnetfeld erzeugt, es gäbe also keinen Fehler. 20 Es ist zu beachten, dass Qp in K´´{x´´,y´´,z´´} keine Kraft durch ein eventuelles Magnetfeld erfährt, es gäbe

also keinen Fehler. 21 Durch das Punktprodukt ist die zu v´p senkrechte Komponente von K´´ genauso von E´ beliebig.

K´

E´´

+Q

vd

vp

+Qp

x

z

y

v´p

vp

-vd

E´´ll p

E´´p

v´p

v´pll vd

vp

K´´


Dr. Erich Boeck 16

Die zweite Rücktransformation mit

2

0dp

d

2

0dp

d

2

0dp

2

0d

c/1

PP

c/1

c/ v 1

c/1

P)c/(20

2

vv

Kv

vv

K

vv

vKK

ll

( 3.18 )

führt nach dem Einsetzen der Komponenten aus ( 3.17 ) und von v´p aus ( 3.4 ) zu

20

220

2 c/ v 1cc/ v 1/Q d

2

0dpdp / EvvEEK ll . 22

( 3.19 )

Außerdem wird das elektrische Feld aus dem Ruhesystem K´{x´,y´,z´} nach K{x,y,z}

transformiert ( 3.12 ).

EE

EEE llll 2

02 c/ v 1 d

( 3.20 )

Der Vergleich von ( 3.19 ) und ( 3.20 ) bringt das folgende Ergebnis.

2

0

dppp

cQQ

EvvEK 23

( 3.21 )

Für die Leistung folgt bei gleicher Vorgehensweise

Kv pP .

( 3.22 )

Diese Ergebnisse sind nun zu interpretieren:

– In ( 3.21 ) folgen aus dem elektrischen Feld zwei Anteile für die Kraft.

– Der erste ergibt die Kraft wie zwischen zwei ruhenden Ladungen ( 2.5 ).

– Der zweite entsteht nur bei zwei bewegten Ladungen und entspricht der bekannten

Lorentzkraft (siehe auch (Mie72)), da für das Faraday’sche Magnetfeld

bekanntermaßen für eine Punktladung B = vd x E/c02 gilt.

– Dabei nimmt E den Platz des elektrischen Feldes ein, das im aktuellen System durch

eine ruhende Messprobeladung 24 ermittelt wurde. (Mit vp gleich Null entsteht

E=K/Qp.)

– Zu beachten war, dass bei der Herleitung nie zwei verschiedene senkrechte

Komponenten zur Verknüpfung kamen.

– Mit ( 3.22 ) haben wir offensichtlich einen Zusammenhang, der invariant gegenüber

Lorentztransformationen ist, wie ein Vergleich mit ( 3.17 ) zeigt.

Die nach ( 3.21 ) erhaltene Kraft umfasst alle Kraftanteile zwischen zwei bewegten Ladungen

und geht, wenn eine oder zwei Ladungen ruhen, in die Funktion ( 2.5 ) über.

Indem ( 3.21 ) nur über Kraft und Leistung mit ( 3.5 ) transformiert wird, kann ihre Invarianz

gezeigt werden und es folgen für E und über ( 2.6 ) für D die Transformationen:

22 Zusammenfassen zum Kreuzprodukt möglich, da die parallele Komponente von E´ dabei beliebig ist. 23 Zusammenfassen zum Kreuzprodukt möglich, da die parallele Komponente von E dabei beliebig ist. 24 Die Messprobeladung ruht z.B. dadurch, dass die auf sie wirkende Kraft durch eine mechanische Gegenkraft

gemessen wird (wie bei Coulomb mit einer Torsionswaage).


Dr. Erich Boeck 17

2

0

2

0

d2

0

0

2

0

2

0

2

0

d0

c/v1

c

c/v1

c

Dv

vD

DD

EvvE

EE llll 25 .

( 3.23 )

Diese Transformationen entsprechen (mit den für das Faraday’sche Magnetfeld bei

Punktladungen bekannten Beziehungen B = v x E/c02 und H = v x D) den Transformationen

für E und B sowie D und H. Es zeigt sich, dass ( 3.12 ) für eine im Ausgangssystem ruhende

Ladung (vd = 0) richtig war.

3.3 Allgemeines elektrisches Feld

Da zur Ableitung der Kraft zwischen zwei bewegten Ladungen kein Magnetfeld benötigt

wurde, soll im Weiteren auf das Magnetfeld verzichtet werden. Stattdessen definieren wir aus

der invarianten Kraft ( 3.21 ) ein allgemeines elektrisches Feld (F) einer Ladung, die sich mit

v bewegt und E erzeugt, das wiederum aber mit einer bewegten Probeladung (vp, Qp)

beobachtet wird. Somit wird die Definition ebenfalls (wie K) invariant.

FKEv

vEK

F p2

0

p

p

Q cQ

( 3.24 )

Diese Definition ist leider nicht völlig unabhängig von den Messbedingungen, da vp nicht

ohne Weiteres eliminiert werden kann. Es wird aber weiter hinten zu sehen sein, dass sie

kompatibel zum allgemeinen vierdimensionalen Feldtensor (Fαβ) ist. Durch das

verallgemeinerte elektrische Feld sind wir nun in der Lage, weitere Größen zu ermitteln, bei

denen Bewegungen mit ihren Wirkungen eine Rolle spielen.

25 Es ist zu beachten, dass alle senkrechten Anteile von E und D in einer Ebene senkrecht zur Richtung der

Geschwindigkeit liegen, aber nicht die gleiche Richtung haben müssen. Sie sind also vektoriell zu addieren.

Hierbei ist nicht auf 0 beschränkt.


Dr. Erich Boeck 18

3.4 Potential und Spannung

Wird die sich bewegende Probeladung in Abb. 3.4 auf ihrem Weg vom Punkt P1 nach P2 mit

dem Wegelement ds verfolgt, kann einerseits die Änderung ihrer potentiellen Energie und

andererseits die Änderung ihres Impulses untersucht werden.

Abb. 3.4: Weg der Probeladung

sEv

vEsFsK dc

QdQ dΔW

)r(P

)r(P

)r(P

)r(P

2

0

pp

)r(P

)r(P

p

2

1

2

1

2

1

( 3.25 )

Da die Geschwindigkeit vp immer in die Richtung des vom Integral verfolgten Weges zeigt,

muss das Spatprodukt {vp x (…)}∙ds auch stets Null sein und wir erhalten die bekannte Form,

mit der die Spannung (U) definiert werden kann:

)r(P

)r(Pp

)r(P

)r(P

p

2

1

2

1

dQ

W U dQΔW sEsE .

( 3.26 )

Nutzen wir einen absoluten Bezugspunkt (z.B. könnte die potentielle Energie im Unendlichen

Null sein, φ∞=0), erhalten wir den Begriff des elektrischen Potentials (φ).

21

)r(P

)r(Pp

Ud d dQ

W

sEsEsE

( 3.27 )

Wenn sich nach diesem Zusammenhang die Probeladung getrieben von der Kraft des Feldes

bewegt, nimmt ihre potentielle Energie ab (W bzw. φ werden kleiner bzw. der Umsatz ΔW

bzw. U steigen). Diese Energie wird in kinetische Energie, wenn vorhanden in

Reibungswärme oder in andere Energieformen umgewandelt (Energieumwandlung aus dem

Elektrischen ins Mechanische, in Wärme …). Wird dagegen durch eine äußere Kraft die

Probeladung gegen die Kraft des Feldes bewegt, erhöht sich ihre potentielle Energie

(Energieumwandlung vom Mechanischen … ins Elektrische). Daraus folgt ein negatives ΔW

bzw. U oder es wird als Urspannung (E0=−ΔW/Qp=ΔWZufuhr/Qp) bezeichnet.

Entsprechend Abb. 3.4 erhält man die Umkehrung (Lösung des Integrals) von ( 3.27 ) zu

+Q v

vp +Qp

x

z

y

P1(x1,y1,z1,t1)

P2(x2,y2,z2,t2)

ds


Dr. Erich Boeck 19

gradE 26.

( 3.28 )

Mit der Energie ist in der Relativitätstheorie der Impuls verbunden. Die Änderung des

Impulses der Probeladung ergibt sich, wenn entlang des gleichen Weges (Abb. 3.4), aber

über die Zeit integriert wird.

dtc

QdtQdt

)t(P

)t(P

20

pp

)t(P

)t(P

p

)t(P

)t(P

2

1

2

1

2

1

EvvEFKp

( 3.29 )

Verwenden wir eine Probeladung, die vorher bei P0(x0,y0,z0,t0) geruht hatte (d.h. den Impuls

p0=0 hatte), so ergibt sich der Impuls bei P(x,y,z,t) zu

dt

d dtdt 12

t(P)

)0t(P

0

pKppppKKp .

( 3.30 )

Zur Untersuchung dieser Beziehung werden davon der Rotor und die Divergenz gebildet. So

ist ersichtlich, welche Wirbel und Quellen p erzeugen. Der Rotor bzw. die Divergenz werden

jeweils zu einem festgehaltenen Zeitpunkt t (gleiche Zeit) am Ort der Probeladung r(x,y,z)

und einer differenziellen Ortsverschiebung dr = ds gebildet 27.

dtc

)(Q)(20

pp

EvvrotErotprot

( 3.31 )

Der erste Term in ( 3.31 ) (rotE) wird für unsere Anordnung (Abb. 3.4), in der ein reines

Potentialfeld (oder Gradientenfeld E=−gradφ) vorliegt 26, durch rot(gradφ)=0 zu Null. Der

zweite Term kann nach der Produktenregel unter Beachtung der Vektoreigenschaften

entwickelt werden.

ppppp div div)()()( vBBvBgradvvgradBBvrot

( 3.32 )

Dabei wurde nur zur Vereinfachung der Schreibweise 2

0c

EvB

gesetzt. Da vp kein

Vektorfeld ist und zum festgehaltenen Zeitpunkt nur am Ort der Probeladung existiert, kann

dies nur als konstanter Parameter gelten und seine Ableitung wird Null (erster und vierter

Term in ( 3.32 ) fallen weg). Der dritte Term wird wieder entwickelt.

)()()(div ErotvvrotEEv

( 3.33 )

In ( 3.33 ) ist v ein konstanter Parameter (existiert nur am Ort von +Q) und seine Ableitung ist

Null. Der zweite Term ist aus gleichem Grund Null wie für ( 3.31 ), sodass in ( 3.32 ) auch

der dritte Term wegfällt. Es bleibt

26 Das Feld E war im aktuellen System mit einer dort ruhenden Messprobeladung ermittelt worden, die selbst

keine Impulsänderung erfährt, und die Probeladung Qp soll keine Rückwirkungen auf das Feld haben. 27 Die Integration erfolgt über t, sodass die partiellen Ableitungen nach dem Ort unter dem Integral erfolgen

können.


Dr. Erich Boeck 20

dtc

Q)(20

pp

Ev

gradvprot .

( 3.34 )

Da vp die Bewegungsgeschwindigkeit von Qp ist, wird mit vpdt=dsp substituiert und die

Integration entlang eines Weges und die Ableitung in Wegrichtung (–dsp∙grad) 28 heben sich

auf.

BrotAEvEv

gradsprot

:eiche verglc

Qc

dQ)(20

p20

pp

( 3.35 )

Vor einer Diskussion dieses Ergebnisses soll die Divergenz untersucht werden.

dtc

div)div(Q)div(20

pp

EvvEp

( 3.36 )

Weil Qp eine Probeladung ist und keine Rückwirkungen 29 haben soll, muss in ( 3.36 ) der

erste Term verschwinden. Der zweite Term wird wieder entwickelt.

BrotvvrotBBv div ppp

( 3.37 )

Weil vp wiederum kein Vektorfeld ist, bleibt nur der zweite Term von ( 3.37 ) und wird noch

einmal entwickelt.

vEEvEgradvvgradEEvrot div div )()()(

( 3.38 )

Auch hierbei existiert v nur am Ort von +Q und kann nicht wie ein Feld am Ort von Qp

abgeleitet werden und für div E gilt das Gleiche wie bei ( 3.36 ). Es bleibt

dt c

Q)div( p2

0

p

Egradvvp .

( 3.39 )

Da vp kein Feld ist und somit zu festem Zeitpunkt als konstanter Parameter gelten muss, gilt

dt } )( {c

Qdt } {

c

Q)div( p2

0

p

p20

p

gradvgradvEvgradvp .

( 3.40 )

Eine Änderung des Feldes am festen Ort von Qp erfolgt nur durch die Bewegung der Ladung

Q mit v in der Zeit dt, was anstelle der Änderung zu fester Zeit über den Weg ds =vdt genutzt

werden kann.

28 Da das Feld entlang des Weges abnimmt (die Entfernung wird größer, Abb. 3.5), haben dsp und grad

entgegengesetzte Richtungen. 29 Die Probeladung darf selbst keine Quelle oder Senke für das Feld sein.


Dr. Erich Boeck 21

Abb. 3.5: Feld von +Q am Ort s–ds und s zur Zeit t und beim Ort s zur Zeit t und t+dt

Aus Abb. 3.5 ist erkennbar, dass

–v E/s = (–v ∙ grad)E = E/t

gibt. Des Weiteren soll wiederum mit vp dt = dsp substituiert werden (vp ist die

Bewegungsgeschwindigkeit von Qp) und die Integration entlang des Weges über die

Ableitung in Wegrichtung (–dsp∙grad) 30 heben sich auch hier auf.

t με div :he vergleic

tμεQ

tc

Q)div(

)t

( dc

Q } )( d{

tc

Q)div(

0000p2

0

p

p2

0

p

p2

0

p

Ap

gradsgradsp

( 3.41 )

Mit Gleichung ( 3.41 ), die der Lorenzkonvention entspricht 31, und Gleichung ( 3.35 ) werden

genau die bekannten Definitionen des Vektorpotentials erfüllt.

Das Vektorpotential war als mathematische Lösung aber ohne direkten Bezug zu

physikalischen Größen gefunden und definiert worden. Nach obigen Untersuchungen können

wir das Vektorpotential direkt als

A = p / Qp mit dA/dt = F = E +

2

0

pc

Evv

( 3.42 )

identifizieren bzw. definieren.

Es würde allerdings auch der Anteil der Lorentzkraft

2

0

pB2

0

p

p

Bewegung

Bc

dtdmit dtcQ

dt EvvA

Evv

KA

( 3.43 )

30 Da das Potential entlang des Weges abnimmt (größere Entfernung Abb. 3.5), haben dsp und grad

entgegengesetzte Richtungen. 31 Gegenüber der Coulombkonvention (divA=0) können mit der Lorenzkonvention invariante Gleichungen

formuliert werden. Es wurde die bekannte Beziehung c0–2 = 00 benutzt.

+Q

v

vp +Qp

x

z

y

t

t+dt

ds

E+dE zu t+dt

E+dE E

s s–ds

Zur festen Zeit t:

Am gleichen Ort s:


Dr. Erich Boeck 22

entsprechend der obigen Untersuchung als Definition ausreichen 32, da bereits dadurch die

Bedingungen ( 3.35 ) und ( 3.41 ) des Vektorpotentials erfüllt sind.

Somit entsteht der Impuls der Probeladung durch die Quelle div A, wenn φ/t existiert, und

durch den Wirbel rot A, wenn bewegte Ladungen ein Feld E erzeugen.

Mit unserem allgemeinen elektrischen Feld haben wir nun aus der Energieänderung und der

Impulsänderung zwei Potentialfelder nach dem Prinzip der Probeladung abgeleitet – das

skalare Potential φ und das Vektorpotential A.

Die Potentiale transformieren sich wie Energie und Impuls.

Vergleiche:

p2

0

2

0

2

00

2

0

2

0

0

2

0

2

0

2

00

2

0

2

0

0

Q: | c/v1

W)c/(

c/v1

WW

c/v1

)c/(

c/v1

pvp

ppv

AvA

AAv

ll

ll

( 3.44 )

Diese Transformation ist schon seit langem in dieser Form für φ und A bekannt. Genauso wie

die Raumkoordinaten (r) und die Zeit (t), die Kraft (K) und die Leistung (P), elektrisches Feld

und (vxE)/c2 (entspricht dem Magnetfeld) oder Energie und Impuls gibt es viele Größen, die

sich bei einer Transformation gegenseitig ineinander umwandeln.

3.5 Transformation von Raumladung und Stromdichte

Das einfache Modell, das seit Abb. 3.1 verfolgt wird, muss wesentlich erweitert werden,

damit Vorgänge mit elektrischen Strömen untersuchen werden können.

Abb. 3.6: Leiter mit beweglichen (vd) und festen Ladungen

Der Leiter in Abb. 3.6 besteht z.B. aus Kupfer und hat eine gleiche Anzahl positiver an ihren

Gitterplätzen feststehender Ionen und frei beweglicher Elektronen. Die Elektronen –q0 sollen

sich alle mit der mittleren Driftgeschwindigkeit vd = i(–vd) bewegen und so den Strom I

ergeben. Im Volumenelement dV=dA∙ds ergibt sich die Raumladung ρ nach ( 2.2 ) und die

Stromdichte S nach ( 2.9 ).

Ein Beobachter im System K´{x´,y´,z´,t´}, das sich mit v0 in Stromrichtung bewegt, sieht nun

mit –v0 bewegte Ionen und mit ca. –i(v0+vd) bewegte Elektronen. Außerdem erscheinen ds

32 Offensichtlich trifft diese Definition für das Faraday’sche Magnetfeld zu. In (Reb99 S. 667) wird darauf

hingewiesen, dass ( 3.35 ) und ( 3.41 ) noch weitere Eichtransformationen offen lassen. In Abschnitt 3.10 wird

gezeigt werden, dass mit Definition ( 3.42 ) dieser Freiheitsgrad vergeben ist.

Leiter

Leiterquerschnitt A

vd –q0

I I

ds

+q0

+ + +

+ +


Dr. Erich Boeck 23

und somit dV verkleinert. Dagegen sieht er in dV und dV´ die gleiche Anzahl Ionen und

Elektronen, d.h. die gleichen Ladungsmengen. Für die Ionen gilt demzufolge:

020

20

0

20

20

20

20

c/v1

ρ)(ρρ

c/v1

ρ

c/v1dV

dQ

Vd

dQρ

vvvS

( 3.45 )

Aus ( 3.45 ) kann die Beziehung (siehe (Bor69 S. 253))

22

022

020

20

220

220

220

2ρcρ)c/v1(cρcρvρcS

( 3.46 )

abgeleitet werden, die invariant bezüglich Lorentztransformationen ist. Damit ergeben sich

die Transformationsgleichungen (für Abb. 3.6 ist S+=0 einzusetzen):

20

20

0

20

20

200

c/v1

ρ

c/v1

c/ρρ

vSS

Sv.

( 3.47 )

Mit dieser Transformation folgt analog für die Elektronen 33:

20

20

0d

20

20

0

20

20

20d0

20

20

200

c/v1ρ

c/v1

ρ

c/v1

c/1ρ

c/v1

c/ρρ

vvvSS

vvSv

( 3.48 )

Waren im System ruhend zum Leiter ρ+ = − ρ– (d.h. ρges = 0), S+ = 0 und S– = vd ρ– = Sges ,

ergibt sich in einem mit v0 bewegten System

20

20

d

20

20

20d0

ges

c/v1ρ

c/v1

c/ρρ

vS

vvges .

( 3.49 )

Für den bewegten Beobachter erscheint somit der Leiter als negativ geladen, während der

ruhende Beobachter ihn als ungeladen sieht 33.

33 (ρ−=neg, vd=−ivd ) Das Ergebnis muss noch genauer untersucht werden (siehe Anfang und Ende Kapitel 3.6).

Alle S sind parallel zu v0; eine zusätzlich senkrecht vorhandene Stromdichte ergäbe S´= S.

.

.


Dr. Erich Boeck 24

3.6 Kraft eines Stromes auf eine Probeladung - Induktionsgesetz

Eine zum Leiter ruhende Probeladung (Abb. 3.7) erfährt sowohl von den ruhenden Ionen wie

von den bewegten Elektronen eine Kraft 34.

Abb. 3.7: Probeladung neben einem Leiter ruhend

Wird durch die Probeladung (infolge der Kraftwirkungen) ein ungeladener Leiter beobachtet,

so sieht man dagegen mit einer mit den Elektronen (vd) mitbewegten Probeladung wegen

20

2d

20dd

ges

c/v1

c/ρρ

vv einen positiv geladenen Leiter. Weil beide Fälle symmetrisch sind

(Ionen ruhen und Elektronen haben −ivd bzw. Elektronen ruhen und Ionen haben +ivd), ist

dieses Verhalten nicht plausibel. Da es außerdem durch Messungen nicht nachgewiesen

werden kann 35, wird im Weiteren davon ausgegangen, dass ein Beobachter mit einer z.Z.

unbekannten Geschwindigkeit vn den Leiter ungeladen sieht (d.h. ρ+ = −ρ– für einen mit vn

bewegten Beobachter).

Das Koordinatensystem K´{x´,y´,z´,t´) soll sich mit vn in Richtung des Stromes (x–Richtung

in Abb. 3.7) bewegen. Die in dV´=ds´∙dA´ vorhandenen Ionen (dQ+) und Elektronen (dQ–)

erzeugen elektrische Felder (dE´+ und dE´–), die mit in K´{x´,y´,z´,t´) ruhenden

Messprobeladungen ermittelt werden und auf unsere mit v´p=−vn bewegte Probeladung

entsprechend ( 3.21 ) die Kraft (dK´) ausüben.

2

0dp

2

0dpp c/ddc/dd Qd EvvEEvvEK

( 3.50 )

In diesem System soll der Beobachter einen ungeladenen Leiter sehen, d.h. dQ+= −dQ– und

somit für die ruhende Messprobeladung dE´+= −dE´– . Mit v´d+=−vn und v´d– (nach der

Addition für Geschwindigkeiten) wird:

20nd

20

2n

dnd20

ndnp

c/1

c/v1mit

c

d)(Qd

vvvvv

EvvvK

.

Durch das Kreuzprodukt in dK´ existiert nur eine Komponente senkrecht zu vn und die

Leistung dP´=vn∙dK´ ist Null. Die Transformation nach K{x,y,z,t} über ( 3.5 ) ergibt mit

v1=v´p=−vn und v0=−vn :

34 Der Versuch einer ähnlichen Ableitung in (Sch76) kann hier nicht verfolgt werden, da er wichtige Probleme

auslässt und so nicht allgemeingültig ist. 35 Bei z.B. ca. 10 A und 1mm2 erreicht vd nur ca. 1 mm/s, d.h. vd

2/c02≈3∙10–23

.

Leiter

A

vd –q0

I I

dsL

+q0

+ + +

+ +

x

y

z

rds→p

+Qp


Dr. Erich Boeck 25

2

0

2

n

2

0

2

n

2

0nd

2

0

2

n

2

0

dnp2

0

2

n

2

0

2

n

c/v1

c/v1

c/1

c/v1

c

dQ

c/v1

c/v1dd

vv

EvvKK .

( 3.51 )

In ( 3.51 ) ist die parallele Komponente von dE´− wegen des Kreuzproduktes ohne Belang,

sodass nur die senkrechte Komponente nach ( 3.23 ) transformiert werden muss.

20

2n

20dn

20

2n

20dn

c/v1

c/vv1d

c/v1

c/)d(dd

EEvvE

E 36

( 3.52 )

Nach Einsetzen von ( 3.52 ) in ( 3.51 ) erhalten wir die in K{x,y,z,t} beobachtete Kraft

20

dnp2

0

dnp

c

dQ

c

dQd

Evv

EvvK

und es ergibt sich das allgemeine elektrische Feld (dF) sowie in unserem Fall das mit

ruhender Probeladung gemessene elektrische Feld (dE) zu:

2

0

dn

p c

d

Q

ddd

Evv

KEF ,

( 3.53 )

d.h., die Kraft ist nicht Null, sondern es gibt einen Unterschied für die Kraft ausgehend von

einer bewegten bzw. einer ruhenden Ladung, wenn vn≠0 ist. Es bleibt zu untersuchen, welche

Größe für vn anzusetzen ist. Um die Kraft bzw. das Feld – ausgehend vom gesamten Leiter –

auf unsere ruhende Probeladung zu berechnen, sind die Kräfte aller im Leiter bewegten

Ladungen zu addieren, d.h., es ist über den Leiter (−∞<sL<+∞, sL entspricht x in Abb. 3.7) zu

integrieren (Überlagerungsprinzip). Die Integration ist für unser Modell 37 (entsprechend Abb.

3.7) konvergent und lautet, wenn der senkrechte Abstand der Probeladung von der Mitte des

Leiters r genannt wird:

evEv

vK

EFr 2π

I μ

c

)(sd)(s

Q

0n

Qruhenden der Ort Am

Leiter

2

0

LLdn

pp

38.

( 3.54 )

Für unseren Leiter können wir das Integral über vd x dE− in ( 3.54 ) auch nach Einführung

einer wirksamen Geschwindigkeit vw und eines Summenfeldes E− durch

M

gesamt

2

0

2

0w

Leiter

2

0

LLd

cc)/ (

c

)(sd)(sEB

EvEv

Ev

39

( 3.55 )

ersetzen (B bzw. EM erst einmal nur eine abkürzende Schreibweise 40).

36 Die Richtung von vd =−ivd ist die gleiche wie von −vn und senkrecht zu dE− . 37 Das Modell wird sich im Weiteren als zu einfach erweisen, deshalb wird noch eine Korrektur erfolgen. Siehe

Ende dieses Kapitels. 38 e ist sowohl senkrecht auf vd als auch auf dE− im Sinne eines Rechtssystems. Das Ergebnis folgt für

I(sL)≈const≠f(sL), was der üblichen Berechnung nach dem Durchflutungsgesetz entspricht. Vergleiche auch das

Ringintegral mit dem Biot-Savart’schen Gesetz vd x dE−/c02= 0vdρ−Ads x r/4πr3=0Ids x r/4πr3.

39 E− am Ort von Qp gesehen und B bzw. EM am Ort von Qp gemessen. E−=∫dE−≈ρ−A/2πr0 und vw≈vd (bei

I(sL)≈const) für das benutzte Modell. 40 B und EM siehe Kapitel 3.9 und 3.10, da als Gesamtgröße über die Kräfte messbar eine sinnvolle Abkürzung.


Dr. Erich Boeck 26

Zur Untersuchung soll von ( 3.54 ) die Rotation berechnet werden. Dazu werden zu gleicher

Zeit t0 die partiellen räumlichen Ableitungen gebildet.

BvBgradvBvrotErot div)(}{ nnn

Die Ableitungen von vn=const wurden bei der Entwicklung weggelassen und div B wird mit

der analogen Begründung Null wie schon bei ( 3.33 ). Es bleibt:

/dxdv nn BBgradvErot .

( 3.56 )

Für unser Modell (Abb. 3.7) ergibt rot E = 0, weil B in gleichem Abstand vom Leiter

konstant ist und nur die Ableitung in Richtung des Leiters (durch das Punktprodukt) bleibt.

Existiert dagegen eine zeitliche Änderung des Stromes I(t) = ρ− vd∙A gemessen am gleichen

Ort x0 , so besteht gemessen zur gleichen Zeit t0 ein I(x) entlang des Leiters infolge der

endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit des Stromes im Kupferleiter. Damit erweitert sich

unsere Frage nach vn dahingehend: Für welche Geschwindigkeit können wir (vn∙grad)B

(gleiche Zeit t0) durch B/t (gleicher Ort x0) ausdrücken. Es ist offensichtlich nur für vn

gleich der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Stromes im Kupferleiter (cku< c0) der Fall. Dieser

Fall hat die Besonderheit, dass ein sich mit cku entlang des Leiters bewegender Beobachter in

seinem System immer ein gleiches I´(x´) sieht, d.h. einen stationären Leiter ohne zeitliche

Änderungen. Identifizieren wir vn = icku , erhalten wir die Maxwell’sche Gleichung

pQruhenden der Ort Am

Leiter

2

0

LLd

c

)(sd)(s

tt

EvBErot .

( 3.57 )

Das negative Vorzeichen folgt aus der Tatsache, dass ein an festem Ort zunehmendes I(t)

dagegen zu fester Zeit ein in Richtung des Stromes und somit seiner Ausbreitung

abnehmendes I(x) ergibt.

Abb. 3.8: Leiterschleife neben einem Leiter

Betrachten wir die Probeladung als Ladung in einem Wegelement einer Induktionsleiter-

schleife (dsI) nach Abb. 3.8, so folgt aus einer Integration von ( 3.54 ) bzw. ( 3.57 ) über die

Leiterschleife (zusätzlich zu der Integration über den Leiter 41) die induzierte Spannung bzw.

in entgegengesetzte Richtung eine induzierte Urspannung (d.h. auch, dass hier kein reines

Potentialfeld besteht).

41 In Abb. 3.8 entspricht das Wegelement dsL = dx und der Weg sL = x .

dsL

x

y

z

Leiter

A

vd –q0

I I +q0

+ + +

+ +

+Qp

K

uind

dsI


Dr. Erich Boeck 27

oder

Schleifeder Fläche

Schleifeder Fläche eifeLeiterschl

Iind

eifeLeiterschl

I

Leiter

2

0

LLdku

eifeLeiterschl

Iind

dt

d du

dc

))(s(ρd)s(c du

ABAErotsE

sEv

isE

42

( 3.58 )

Die beiden Gleichungen ( 3.58 ) können mit dem Modell in Abb. 3.8 für eine Leiterschleife

gelöst werden und ergeben (auch wenn B als magnetische Flussdichte herkömmlich berechnet

würde) dasselbe Resultat. Der physikalische Gedankengehalt ist aber sehr verschieden:

– Die erste Gleichung zeigt deutlich die Voraussetzung, dass für die Ausbreitung des

Stromes durch eine Nahwirkung entlang des Leiters vd(sL) und/oder ρ−(sL) 43 vorhanden

sein müssen. Bei Gleichstrom ist dies nicht der Fall (d.h. uind=0). Wenn sich der Strom

zeitlich ändert, kann dagegen (durch die Nahwirkung) der Strom niemals sofort über den

gesamten Leiter den neuen Wert annehmen. Wäre cku=∞ , gäbe es keine vd(sL) und/oder

ρ(sL) und somit keine Ruheinduktion. Der Strom hätte sofort überall den neuen Wert.

– Dagegen steht in der zweiten Gleichung letzten Endes nur der Zusammenhang zwischen

den gemessenen Größen (uind und d/dt).

Nun erweitern wir unser Modell um eine mechanische Bewegung der Leiterschleife (vm) und

nehmen an, dass ein Sekundärstrom unsere Probeladung mit vI bewegt (Abb. 3.9).

Abb. 3.9: Leiterschleife mit mechanischer Bewegung der Schleife (vm) und Sekundärstrom (vI)

An diesem Modell kann eine eventuelle Veränderung durch vI und eine gleichzeitig

auftretende Bewegungsinduktion untersucht werden. Es wird mit dem veränderten

2

0kumI

2

kumI

2

0kumI

ku m Ip

c/c)(1

c/c 1)(

c/c)(1

c20

ivv

vv

ivv

ivvv

llll

aus ( 3.50 ) anstatt ( 3.53 )

42 Das Ringintegral läuft in Abb. 3.8 von der Pfeilspitze zum Pfeilanfang der induzierten Spannung, welche sich

an einem äußeren Widerstand durch den Strom infolge der Kräfte ergäbe (siehe auch Abb. 3.10). 43 Nur dann wird das äußere Ringintegral (über dsI) nicht Null, da ein Teil der Leiterschleife näher am größeren

Strom ist.

dsL

x

y

z

Leiter

A

vd –q0

I I +q0

+ + +

+ +

+Qp

uind

dsI

vI

vm


Dr. Erich Boeck 28

20

dkumI2

0

dp

c

d)c(

c

d d

Evivv

EvvE .

( 3.59 )

Dabei ist zu sehen, dass vI und vm durch die Rechnung nur „hindurchlaufen“ und auch ohne

Nahwirkung bestehen bleiben 44. „vI“ führt zu einer Kraft, die immer senkrecht zum Leiter ist,

keine zusätzliche Induktion bewirkt, aber als Antriebskraft (z.B. für elektrische Maschinen)

genutzt wird. Dagegen führt „vm“ zu einer zusätzlichen Induktionsspannung – der bekannten

Bewegungsinduktion. Folglich ist der prinzipielle physikalische Unterschied deutlich. Die

Bewegungsinduktion beruht auf der Lorentzkraft und benötigt eine Nahwirkung zu ihrem

Verständnis nicht unmittelbar. Die Ruheinduktion entsteht durch die Lorentzkraft und die

Ausbreitung von Stromänderungen als Folge einer Nahwirkung. Beide haben die Form

uind=∫(v x B)∙dsLeiter=∫KLorentz∙dsLeiter/ΔQ mit v als Geschwindigkeit der Leiterschleife vom

ruhenden Feld B aus betrachtet 45. (Ein mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit icku mitbewegter

Beobachter sieht einen stationären Leiter und zeitkonstante Felder.) Beide führen jeweils für

einen Betrachter ruhend zur Leiterschleife (d.h. ruhende Probeladungen) zu uind=d{∫B∙dA}/dt

(entsprechend rotE=−B/t).

Diese gleichartige Betrachtung und die Rückführung auf Kräfte können für die anfangs

genannte Plausibilitätsebene sehr gut eingesetzt werden.

(Der Term −B/t beinhaltet offenbar nicht grundsätzlich eine Nahwirkung.)

Auch wenn diese Ergebnisse mit den Erwartungen übereinstimmen, muss noch eine

Ungenauigkeit unseres Modells korrigiert werden. Die Kraft selbst aus Gleichung ( 3.54 )

entsteht auch bei Gleichstrom, ist relativ groß, wurde aber nie beobachtet (nur rotE bzw. uind

werden bei Gleichstrom Null).

Bei genauer Überlegung fällt auf, dass das Modell in Abb. 3.7, Abb. 3.8 und Abb. 3.9

gegenüber der Realität zu stark vereinfacht wurde. In jedem geschlossenen Stromkreis wird

von der Quelle gleichzeitig in den „Hinleiter“ ein Strom eingespeist, welcher sich mit cku

vorwärts ausbreitet, und aus dem „Rückleiter“ entnommen, was sich rückwärts genauso mit

cku ausbreitet. Somit muss der Teil „Rückleiter“ von einem System K´´{x´´,y´´,z´´,t´´}, das

sich mit −vn=icku in K{x,y,z,t} bewegt, beobachtet werden. In diesem Fall erhalten wir statt

Gleichung ( 3.53 ):

20

dku

p c

dc

Q

ddd

Evi

KEF

und für die Rotation ergibt dies anstatt Gleichung ( 3.56 ):

/dxdc c kuku BiBgradiErot .

Da dieses Mal das an einem festen Ort zunehmende I(t) zu fester Zeit ein in Richtung des

Stromes (und somit entgegen seiner Rückwärtsausbreitung) zunehmendes I(x) ergibt, wird

wegen −( icku ∙grad)B (gleiche Zeit t0) gleich −B/t (gleicher Ort x0) der Rotor identisch mit

( 3.57 ) wiederum:

pQruhenden der Ort Am

Rückleiter

2

0

LLd

c

)(sd)(s

tt

EvBErot .

In Abb. 3.10 sind die Kräfte gegenübergestellt, die durch die Ausbreitung in Stromrichtung

(rote Pfeile) und gegen Stromrichtung (blaue Pfeile) entstehen. Dabei werden die Kräfte desto

44 Bei Weiterführung der Rechnung sowohl für Gleichstrom als auch für cku→ ∞ 45 Betrachtungsstandpunkt, aber mit Transformation des Ergebnisses in das System ruhend zur Leiterschleife.


Dr. Erich Boeck 29

geringer, je weiter sie von der Ausbreitungsquelle und somit den Leiterteilen mit schon

größerem Strom I(x)=ρ−(x) vd(x)∙A entfernt sind.

Da die Kräfte entgegengesetzte Richtungen haben, ist deutlich zu sehen, dass der Rotor in

beiden Fällen die gleiche Richtung haben muss.

Abb. 3.10: Kräfte in der Leiterschleife infolge beidseitiger Stromausbreitung

Folgende Überlegungen verdeutlichen, dass die Stromausbreitung (die Ausbreitung des

Stromanstiegs) von jeder Seite zur Hälfte erfolgt. Auf der Einspeiseseite des Leiters wird der

Strom erhöht, d.h., es fließen mehr Elektronen in Richtung Quelle hinaus, als sofort hinterher-

rücken können. Damit entsteht eine positive Raumladung der feststehenden Ionen. Auf der

Entnahmeseite des Leiters wird der Strom ebenfalls erhöht, d.h., es fließen mehr Elektronen

in den Leiter hinein, als sofort weiterrücken können. Hier entsteht eine negative Raumladung

durch den Elektronenüberschuss. Nur, wenn beide Prozesse bis zum anderen Ende des Leiters

hindurchlaufen, gibt es nach Beendigung des Stromanstieges einen Ausgleich und der Leiter

hat überall gleich viele Elektronen und Ionen. An einem feststehenden Ort addieren sich die

von beiden Seiten kommenden Anstiege zum richtigen I(t) und die gegenüber einem

einseitigen Modell 46 halben Kräfte (Abb. 3.10) ergeben zusammen die gleiche Differenz. Bei

Gleichstrom ist der Strom über dem Leiter konstant (I(x)=const). Die Kräfte sind dann nicht

vom Abstand abhängig und somit heben sie sich völlig auf 47.

Dieses korrigierte Vorstellungsmodell stimmt jetzt mit allen bekannten experimentell

bestätigten physikalischen Erkenntnissen überein und führt die Induktion vollständig auf

eine Kraftwirkung zurück.

In eine mathematische Herleitung müssen also alle entscheidenden beobachteten

physikalischen Gegebenheiten bewusst eingebracht werden, um eine Übereinstimmung mit

der Realität zu sichern.

Indem wir von Gleichung ( 3.57 ) die Divergenz bilden, was für ein beliebiges B(t) zu Null

führen muss, erhalten wir noch eine weitere Maxwell’sche Gleichung.

0div divt

div0

BBrotE

( 3.60 )

Das zeigt, dass B=(v x E/c02)gesamt keine Quellen und Senken besitzt, von denen es ausgeht

bzw. an denen es endet. Die abkürzende Schreibweise B fasst hier die Wirkungen von vielen

sich bewegenden Ladungen in einer Art Rechengröße zusammen, das soll weiter untersucht

werden.

46 Z.B. wären dafür in Abb. 3.10 nur die „roten“ Kräfte, aber doppelt so groß vorhanden. 47 Da die Ausbreitung von beiden Seiten über den ganzen Leiter erfolgen muss, ist auch die x-Position der

Leiterschleife in unserem Modell belanglos.

Ausbreitung Entnahme schon entnommener Strom

x

y

z

vd –q0

I I +q0

+ + +

+ +

K

uind

K

Ausbreitung Einspeisung schon eingespeister Strom

icku


Dr. Erich Boeck 30

In diesem Abschnitt wurde das Ruheinduktionsgesetz nur mit Hilfe der Kraftwirkungen

zwischen bewegten Ladungen, der Ausbreitung von Stromänderungen als Nahwirkung und

den Transformationen der speziellen Relativitätstheorie abgeleitet. Ein Magnetfeld war dazu

nicht erforderlich.

Es ergibt sich nun, dass ein zum Leiter ruhender Beobachter bei Gleichstrom tatsächlich

einen ungeladenen Leiter sieht. Der Mechanismus und die Bedingungen dabei konnten

genauer geklärt werden. So breitet sich eine Stromänderung von beiden Seiten einer Quelle

aus. Ein Beobachter sieht, solange zeitliche Änderungen stattfinden, einen stationären Leiter,

wenn er sich mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit neben dem Leiter mitbewegt. Über die

Kräfte (als plausibler Antrieb für eine induzierte Spannung) ist darüber hinaus genau sichtbar,

welcher Teil der Leiterschleife welchen Beitrag zur Induktionsspannung leistet. Der

Unterschied zur Bewegungsinduktion, die die Nahwirkung nicht explizit erfordert, wurde

deutlich. Der Zusammenhang mit einer Nahwirkung oder ein plausibler Antrieb ist dagegen in

der einfacher anwendbaren Maxwell’schen Gleichung rotE=−B/t (bzw. in der für w

Leiterschleifen geltenden Gleichung uind= w d/dt) nicht eindeutig erkennbar.

3.7 Verschiebungsfluss, -dichte und Kontinuitätsgleichung

Zur Vervollständigung der Vorstellungen über den Verschiebungsfluss sind noch einige

Überlegungen anzufügen. Nach dem Gauß’schen Satz wird Gleichung ( 2.4 ) zu

Volumen

ges

VolumenHüllfläche

dV ρQΨdV divd DAD

und, da dies allgemein gelten muss, folgt somit aus dieser Darstellung des Verschiebungs-

flusses direkt die bekannte Maxwell’sche Gleichung.

ρ div D

( 3.61 )

Diese besagt (in mathematischer Formulierung), dass ein Verschiebungsfluss von Ladungen

ausgeht oder an ihnen endet. Des Weiteren folgt aus Gleichung ( 3.24 ) 48

2

0

p0

0 cc

c

Evv

EF

( 3.62 )

eine Gleichung, in der beide Klammerausdrücke die gleiche Maßeinheit besitzen. Nach

Multiplikation dieser mit c02 wird daraus

DvvDF p00

2

0 ccεc

( 3.63 )

und auch hierbei besitzen beide Klammerausdrücke die gleiche Maßeinheit. Durch Vergleich

von ( 3.62 ) und ( 3.63 ) findet man die Beziehung

DvDvEv

02

00

2

0

μcε

1

c

49.

( 3.64 )

48 Wenn keine Punktladung (vxE/c0

2)ges (vergleiche ( 3.55 )) und (vxE/c2)ges in Medien (vergleiche Absatz 3.8) 49 Es wurden die bekannten Beziehungen c0

–2=00 (in Medien c–2= bei (vxE/c2)ges) benutzt.


Dr. Erich Boeck 31

Damit ist mit Dv der Bewegungsanteil 50 als Gegenstück zur Verschiebungsflussdichte D

gefunden 51 (vergleiche auch Transformation nach ( 3.23 )).

Für diesen Ausdruck soll die Rotation durch Entwickeln berechnet werden.

vDDvDgradvvgradDDvrot div div

Dabei ist die Rotation zur gleichen Zeit am gewünschten Punkt P(r) und der Verschiebung

um dr zu bestimmen. An diesem Ort ist die Bewegung der erzeugenden Ladung v kein Feld

und so als Konstante aufzufassen. Analog zu Abb. 3.5 wird −(v∙grad)D = D/t und mit

( 3.61 ) sowie S = v ρ 52 folgt somit

gest

SD

SDvrot

,

( 3.65 )

wiederum eine bekannte Maxwell’sche Gleichung. Wird von ( 3.65 ) die Divergenz gebildet,

erhält man wegen div(rot{ })=0 und nach Einsetzen von ( 3.61 )

0t

ρdivoder 0

tdiv

S

DS .

( 3.66 )

Dieses entspricht der bekannten Kontinuitätsgleichung. Danach müssen die Bilanz aus Zu-

und Abfluss von Ladungen sowie der Speicherung und Entnahme von Ladungen pro Zeit in

einem Volumen in der Summe Null sein, was auch völlig plausibel ist.

Während das el. Feld E und (2

0c/Ev )gesamt über ihre Kraftwirkungen gemessen werden

können, ist eine direkte Messung von ( Dv )gesamt als Gegenstück für die Verschiebungsfluss-

dichte nicht bekannt. Die Integralform von ( 3.65 ) – das Durchflutungsgesetz –, aber auch ein

Teilintegral davon können mit der Rogowskispule nachgewiesen werden (Lun91 S. 217 und

230 ff).

Fläche umrundete

umfasst

Fläche umrundete

gesges

Ring

Idd)(d)( ASADvrotsDv

Da der Messeffekt letzten Endes bei der praktischen Realisierung auf das Induktionsgesetz

(also eine Kraftwirkung) zurückgeht, ist die Methode umstritten. Dieses gilt ähnlich auch für

die Verschiebungsflussdichte D, denn die Messung durch die Influenz geht letztendlich auch

auf die Kraft auf Ladungen zurück. In (Bec73 S. 115/6) wird auf diese Schwierigkeit weiter

eingegangen und darauf verwiesen, dass D und hier genauso H=(vxD)ges offenbar eine Art

Rechengrößen darstellen. Dagegen versuchen andere Autoren sogar, diese Begriffe zu

umgehen, was dann aber nicht durchgehalten werden kann. Das Problem geht auf die

vernünftige Auffassung zurück, in einer Theorie keine nicht notwendigen Größen

einzuführen.

Bei uns wurde in Kapitel 2 und speziell 2.2 die Verschiebungsflussdichte D infolge von AF1

als Nahwirkung eingeführt, welche die Weitergabe der Verbindung zu ihren Gegenladungen

durch den Raum unabhängig von dessen Material beschreibt. Genauso gibt ( Dv )gesamt nach

AF2 als Nahwirkung zusätzlich den Bewegungszustand zu ihren Gegenladungen durch den

Raum unabhängig von dessen Material weiter 53. Da in der Praxis wie auch nach ( 3.66 ) eine

Ladungstrennung nur zeitweilig möglich ist und immer wieder ein Ausgleich erfolgt, ist es

50 Hier kann analog die abkürzende Schreibweise (vxD)ges=H=DM genutzt werden, siehe Kapitel 3.9 und 3.10. 51 Mit dem Zusammenhang zwischen den Größen 1/0c0

2=0 (bzw. 1/c2= in Materie). 52 divD wird am Punkt r gebildet und ρ(r) mit v(r) ergibt dort S(r). 53 In Folge werden Ladungen nur in einem geschlossenen Stromkreis (inklusive Verschiebungsstrom) bewegt,

deutlich sichtbar an ( 3.67 ).


Dr. Erich Boeck 32

sinnvoll, die Verbindung der Ladung mit ihrer Gegenladung auch unabhängig von den

Kraftwirkungen zu beschreiben. Im Gesamtzusammenhang wird das auch an den

Gleichungen ( 3.61 ) und ( 3.65 ) deutlich. Solange der Mechanismus der Nahwirkung nicht

genauer bekannt ist, kann diese Beschreibung natürlich nur die Ergebnisse dieser

Wirkungen wiedergeben. Zumindest als Rechengröße, die die Ergebnisse der genannten

Nahwirkung günstig beschreibt, haben beide Begriffe ähnliche Berechtigung wie z.B. der el.

Strom, welcher praktisch auch nur über andere Größen (Spannungsabfall, magnetische

Kräfte…) gemessen wird.

3.8 Einfluss eines Mediums auf die Felder

Nachzutragen ist der Einfluss, den ein Medium im Unterschied zum Vakuum auf die Größen

(vxD)ges und (vxE/c02)ges verursacht. Experimentell gesichert sind die Beziehungen D = E und

B = H (oder auch E = S), deren Verhalten gegenüber Lorentztransformationen in (Reb99

S. 546ff, 614ff,709ff) gezeigt wurde, sowie Beziehungen an Materialgrenzen 54 (Abb. 3.11).

Abb. 3.11: Senkrecht und parallel zur Materialgrenze

Dieses Verhalten zeigt, dass ein Verschiebungsfluss D sowie der magnetische Fluss B, der

senkrecht () durch eine Materialgrenze geht, stetig sein müssen (was hineinfließt, muss

herausfließen; vergleiche ( 3.60 ) und ( 3.61 )). Dagegen verändern sich in diesem Fall E und

H entgegengesetzt wie die Materialkonstanten bzw. . Genau in umgekehrter Weise verhält

es sich parallel (II) zu einer Materialgrenze 55.

senkrecht: D1 = D2 B1 = B2 E1/E2 = 2/1 H1/H2 = 2/1

parallel: E1II = E2II H1II = H2II D1II /D2II = 1/2 B1II /B2II = 1/2

Gleiche Ergebnisse sollen sich für (vxD)ges und (vxE/c02)ges ergeben.

Aus D1 = D2 wird nach Multiplikation und Zusammenfassen für alle Ladungen

(vxD1)ges = (vxD2)ges,

was genau mit H1II = H2II übereinstimmt (wenn in Abb. 3.11 die Bewegung der Ladungen v 56

nach vorn zeigt).

54 Es sollen hier Überlegungen zu homogenen isotropen Medien ausreichen. 55 An der Grenzfläche sollen keine Ladungen, Urspannungen bzw. Ströme existieren. 56 Die Geschwindigkeit der Ladungen v hängt nicht vom Material ab.

E

D

divD=0 rotE=0

H

B

divB=0 rotH=0


Dr. Erich Boeck 33

Aus B1 = B2 wird mit B = H, H = (vxD)ges sowie D = E

1H1 = 2H2

1 (vxD1II)ges = 2 (vxD2II)ges

11 (vxE1II)ges = 22 (vxE2II)ges .

Daraus folgt c02 (vxE/c0

2)ges = (c0/c)2 (vxE/c02)ges = (vxE/c2)ges und dies stimmt mit B

überein. (Vergleiche Beispielrechnungen in Anlage 7.2.)

Demzufolge wird das Kraftgesetz ( 3.21 ) in Medien zu:

, QQ c

QQ ppp2

dppp BvE

EvvEK

ges und es folgt der Zusammenhang:

(vxE/c2)ges = () (vxE)ges = (vxD)ges.

Detailliertere Untersuchungen für Felder in Materialien erfolgen z.B.in (Reb99 S. 546ff,

614ff,709ff).

3.9 Das Faraday’sche Magnetfeld

Wie kann auf der Basis der vorangegangenen Überlegungen ein Magnetfeld konzipiert

werden? Dazu sind folgende Anforderungen zu berücksichtigen:

1. Ein skalarer Fluss (mit bezeichnet) soll ein Analogon zum el. Strom darstellen und

muss in unserem vorangegangenen Kalkül neu geschaffen werden.

2. Eine vektorielle Flussdichte (als Flussanteil pro senkrechtem Flächenelement in

Richtung des Flusses − mit B bezeichnet) soll als Analogon zur Stromdichte fungieren

und muss identifiziert werden.

3. Damit der Fluss eine skalare Größe wird, muss = ∫ B∙dA sein.

4. Ein Fluss muss beim (senkrechten) Durchgang durch verschiedene Medien (wie der

Strom) stetig sein.

5. Es muss in Flussrichtung ein skalarer magnetischer Spannungsabfall (mit Vm

bezeichnet) definiert werden können.

Für die Flussdichte kommt (vxE/c2)gesamt als auch (vxD)gesamt infrage. Beide Ausdrücke haben

die gleiche Richtung, der erste würde zur Maßeinheit Vs/m2 und der zweite zu A/m führen 57.

Ausschlaggebend ist, dass B = (vxE/c2)gesamt stetig durch Materialgrenzen geht. Parallel zur

Grenze darf es unstetig sein.

Dagegen ist H = (vxD)gesamt senkrecht zu einer Materialgrenze unstetig, aber parallel dazu

stetig (siehe Abb. 3.11). Damit definieren wir weiterhin:

AEv

d c

)( Φ

Fläche gesamt

2

.

Und aus

2

1

gesamtm d)(V sDv

57 Im Gauß’schen Maßsystem hätten beide die gleiche Maßeinheit und im Vakuum sogar die gleiche Größe.


Dr. Erich Boeck 34

kann mit einem Integrationsweg in Flussrichtung ein magnetischer Spannungsabfall definiert

werden.

Wir erhalten formal ein Magnetfeld, dem wir eine Vorstellung analog dem el. Strom zuordnen

können. Die Maxwell’schen Gleichungen ( 3.57 ), ( 3.61 ), ( 3.65 ) und ( 3.60 ) behalten

selbstverständlich die bekannte Form. und Vm sind keinen wirklichen Erscheinungen

zuzuordnen, sondern bleiben eine komplexe Wirkung, sie können aber analog zu Strom und

Spannung verwendet werden. Außer über Kräfte (Lorentzkraft, induzierte Spannungen, …)

existiert auch kein wirklicher messtechnischer Zugang.

Obwohl die Analogie zum el. Strom es in gewissem Maße suggeriert, ist die Richtung des

magn. Flusses nicht identisch mit der Ausbreitungsrichtung der Nahwirkung, wie es bei Strom

und Verschiebungsfluss der Fall ist. Als Ungereimtheit erscheint darüber hinaus, dass eine

Kraftwirkung einerseits auf das el. Feld, aber andererseits auf die Flussdichte führt. Genauso

wie das Gesamtfeld F wird auch der Feldtensor Fαβ vom el. Feld, jedoch von der magn.

Flussdichte gebildet.

Dieses Magnetfeld, das Faraday experimentell und mit seiner Vorstellungskraft auf ganz

anderem Wege gefunden hat, ist aber in wichtigen Bereichen sehr gut anwendbar und somit

heute unverzichtbar. Es existieren erprobte und bewährte Berechnungsmethoden sowie ganze

Kataloge von berechneten Anordnungen.

3.10 Vorschlag für ein neues Magnetfeld

Kann ein Magnetfeld definiert werden, das wie der el. Strom (mit seiner Ausbreitungsrichtung

bei Änderungen) oder wie der Verschiebungsfluss in die Richtung der Nahwirkung fließt?

Dazu sind folgende Gesichtspunkte einzubeziehen:

1. Es sollte die bewegte Ladung auch direkt als Ursache erscheinen.

2. Die Richtung des Flusses geht in die Ausbreitungsrichtung der Nahwirkung.

3. Eine Flussdichte und ein Spannungsabfall/Potential sind zu definieren.

Die Lösung liegt in der Überlegung, dass z.B. die Verschiebungsflussdichte – mit ihrer

Ursache einer skalaren Größe – in die Ausbreitungsrichtung der Nahwirkung fließt und so die

Größe der Ladungsmenge weiterreicht. Ein neuer magnetischer Fluss muss nun seine Ursache

(die bewegte Ladung, d.h. für eine Punktladung vQ – im Folgenden mit QM bezeichnet 58)

weiterleiten. Damit fließt ein Vektor (Betrag und Wirkungsrichtung) in Ausbreitungsrichtung.

An die Stelle der skalaren Größe tritt hier ein Vektor. Durch eine geschlossene Oberfläche um

eine bewegte Ladung 59 fließt somit insgesamt 60:

inhalt-Volumen

inhalt-Volumen

fläche-Ober

MgesM dV)t

(dV)()(dD

SDvrotDvAΨQ gesges .

( 3.67 )

Gibt es keine Änderung der Ladungen pro Zeit, wird ( 3.67 ) auf der rechten Seite zu

Q dV ρ vv .

58 Zur Unterscheidung verwenden wir die Buchstaben des elektrostatischen Feldes mit dem Index „M“. 59 Bei mehreren Ladungen ist nach dem Überlagerungsprinzip (vxD)gesamt anstelle (vxD) zu setzen. Befindet sich

innerhalb der Oberfläche der geschlossene Stromkreis, wird QM = 0 (vergleiche auch Anlagen 7.3 und 7.4). 60 Nach dem Gauß’schen Satz und mit ( 3.65 ). Aus ( 3.67 ) folgt auch das Durchflutungsgesetz.


Dr. Erich Boeck 35

Somit haben wir den Weg gefunden, da eine Flussdichte DM = v x D in Ausbreitungsrichtung

der Nahwirkung stetig durch Materialgrenzen geht (vergleiche H in der rechten Darstellung

von Abb. 3.11). Eine solche Vorstellung von ΨM ist genau analog zu ( 2.4 ) − dem

Verschiebungsfluss Ψ. Die Definition ergibt sich somit zu:

A

MMNah

Nah

MM d und

d

d)( DAΨe

A

ΨDvD ges 59.

( 3.68 )

Dabei zeigen die Richtungen von dANah und von eNah in die Ausbreitungsrichtung der

Nahwirkung 61 (entspricht der Richtung von D, da die gleiche Nahwirkung) und sie sind

senkrecht zu DM und ΨM (ΨM hat die Richtung von v). Die Maxwell’sche Gleichung ( 3.65 )

wird nach Vergleich mit ( 3.67 ) und ( 3.68 ) zu

gesMt

SD

SDrot

.

Völlig konsistent zu ( 2.2 ) ergibt sich aus ( 3.67 ) auch die Beschreibung einer räumlichen

Verteilung der bewegten Ladungen

t

ρ tdV

d Mges

Dv

DS

QS .

( 3.69 )

Für den Spezialfall eines linienhaften Leiters, in dem normalerweise keine Ladungen

gespeichert werden, folgt dann

dt

dQd I

heLeiterfläc

AS

und somit

ML

heLeiterfläc

LL ΔΔQd ρΔIΔ QvAvss .

( 3.70 )

Dabei wird davon ausgegangen, dass v und somit ΔQM über die Leiterlänge ΔsL (und über

den Leiterquerschnitt) eine konstante Richtung haben. Hier wird ein erster Unterschied bei

der Handhabung von QM gegenüber Q sichtbar: Durch den Vektorcharakter können nicht

beliebig große Gebiete zusammengefasst werden. (Man denke an einen gebogenen Leiter.)

Damit werden bewegte Ladungen QM bzw. ΔQM = I ΔsL (also der Strom) zum Antrieb des

Magnetfeldes. Es hat also wie das elektrische Feld mit Q ebenfalls eine natürliche Quelle 62.

Aus der Lorentzkraft, d.h. dem Bewegungsanteil von unserer Gesamtkraft F, definieren wir

nun das magnetische Feld EM völlig analog zu ( 2.5 ).

MMp2ppBewc

Q EQEv

uK

ges

( 3.71 )

Die Definition EM = (vxE/c2)ges mit EM = DM wird hier gewählt, damit die Bedingungen an

Materialgrenzen und das Kraftgesetz konsistent bleiben.

Das Feld ist wiederum aus der Kraft abgeleitet und somit auch messbar. Mit ( 3.35 ) und dem

Vektorpotential A aus ( 3.42 ) ergibt sich analog zum elektrostatischen Feld (dort E=−gradφ)

hier das magn. Feld zu

61 Die linke Formel von ( 3.68 ) ist nur für dANah und in kartesischen Koordinaten so einfach angebbar. 62 Der Anteil D/t folgt eigentlich aus der vierdimensionalen Ableitung (inhomogene DGL; siehe Seite 47) und

erlangt außerdem nur bei elektromagnetischen Wellen praktische Bedeutung (Bec73 S. 141).


Dr. Erich Boeck 36

rotAE M .

( 3.72 )

Somit übernimmt das Vektorpotential A direkt die Potentialfunktion in diesem Magnetfeld

und man könnte mit ΔA eine Spannungsfunktion festlegen.

z)y,(x,P

z)y,(x,P

M

z)y,P(x,

Bezug

M

2

1

dΔ d EsAEsA 63

( 3.73 )

Dabei zeigt ds (wie dANah) in die Richtung der Nahwirkung. EM hat die gleiche Richtung wie

DM, so dass A und ΨM ihrerseits die gleiche vektorielle Richtung besitzen ( auf ds und auf

EM) und beide in die Ausbreitungsrichtung der Nahwirkung fließen (bzw. abfallen).

Unsere eingangs formulierten Forderungen werden damit vom so gestalteten Magnetfeld

erfüllt und AF2 und AF4 sind konkret gefasst.

Wird ( 3.72 ) in das Induktionsgesetz ( 3.57 ) 64 eingesetzt und beachtet, dass rot(grad{ }) = 0

auf beiden Seiten (vergleiche ( 3.31 )) bei der Lösung dieser Differenzialgleichung

hinzugefügt werden muss, ergibt sich eine weitere bekannte Form des Gesetzes.

rot{E+gradφ} = − rot{A/t +gradφ}

E= −2gradφ −A/t = −gradφ −AB/t 65 ( 3.74 )

Wird in die Lorenzkonvention ( 3.41 ) die Substitution (AB, B reiner Bewegungsanteil siehe (

3.43 ) vergleiche (Reb99 S. 667))

A = AB + und = B /t

eingesetzt, werden

div A = 00 /t und EM = rot A

zu

div AB + div = 00 B /t + 00 2/t2 und EM = rot AB + rot .

Mit div = ·() = und rot = rot grad = 0 sowie der Eichtransformation

c02 2/t2 = 0 (siehe (Reb99 S. 667))

werden daraus

div AB = 00 B/t und B = rot AB .

Für A = p/Qp und somit A/t = gradφ + AB/t 65 muss aber mit der obigen Substitution

()/t = grad werden, was tatsächlich eine Lösung von c2 2/t2 = 0 66 ist. Damit

folgt dann /t = (d.h. genauso B = 0) und aus den beiden Substitutionsgleichungen

werden A/t = gradφ + AB/t sowie = . Ein Freiheitsgrad zu zusätzlichen

Eichtransformationen ist mit der Definition A = p/Qp also nicht mehr offen. Die

Lorenztransformation von A und erfolgt nach ( 3.44 ). EM = rotA, sowie divA 66 und alle

Maxwell’schen Gleichungen bleiben unverändert.

63 Für den Rotor ergibt sich eine Abhängigkeit vom Koordinatensystem, diese einfache Umkehrung gilt nur bei

kartesischen Koordinaten (siehe auch Anlage 7.4) 64 ( 3.57 ) war am Ort der ruhenden Qp abgeleitet worden. 65 Es war A/t=F=−gradφ+AB/t ; vergleiche ( 3.24 ), ( 3.28 ), ( 3.42 ) und ( 3.43 ). Es liegt kein reines

Potentialfeld mehr vor, mit dem Anteil von AB/t sind vielmehr „Urspannungen“ verbunden. Bei Ruhe (Qp

ruht) wird dagegen A/t=F=E=−gradφ. 66 Dabei ist wie bei ( 3.36 ) für divE dt 0 zu setzen, da hier eine gleichartige Ableitung vorliegt.


Dr. Erich Boeck 37

Bildet man von ( 3.72 ) die Divergenz, ergibt sich noch die fehlende Maxwell’sche Gleichung

0div M E

entsprechend zu ( 3.60 ).

Für genügend kleine Gebiete (ds und dANah), in denen ΔA und ΔΨM noch konstante

Richtungen haben, kann ein skalarer magn. Widerstand definiert werden.

M

M

MNah

MMMd

d

dA

dsμ Rmit R

DA

Es

Ψ

AΨA 67

( 3.75 )

Der gesamte magn. Widerstand muss durch Reihen- und Parallelschaltung bei Beachtung der

Richtungen von ΔA und ΨM gebildet werden. Für dieses Magnetfeld soll (anstelle des

Koppelflusses Φkop beim Faraday’schen Magnetfeld) eine Koppelspannung ΔAKop eingeführt

werden. Dazu wird die sich senkrecht zum Leiter ausbreitende (abfallende) magnetische

Spannung nach ( 3.73 ) entlang des gesamten Leiters addiert (Windungszahl mal Länge einer

Windung = w lLW = Leiterlänge).

)( I LdΔ wdΔΔA Kop

schleife-Leiter

L

Leitersdes Länge

LKop sAsA

( 3.76 )

Hierbei ergibt sich das Ringintegral über eine Leiterschleife bei richtiger Reihen- und

Parallelschaltung gerade so, dass ΨMges=w lLW I multipliziert mit RM zu der bekannten

Induktivität L führt (siehe auch Anlage 7.3). Aufgrund von ( 3.58 ) und ( 3.72 ) wird

I Ldt

d dΔw

dt

ddwu

schleife-Leiter

L

schleife-Leiter

Lind

sAsE

( 3.77 )

und wir erhalten die bekannte Strom–Spannungs–Beziehung für eine Induktivität.

In den Anlagen 7.3 und 7.4 werden mit diesem Magnetfeld zwei Anordnungen berechnet.

Dabei ist das vollkommen andere Herangehen an die Berechnung im Vergleich mit dem

Faraday’schen Magnetfeld zu erkennen. Die Berechnungen erbringen natürlich die gleichen

Ergebnisse, wenn gleichartige Näherungen durchgeführt werden.

Wie in Kapitel 2.1 für das elektrische Feld gehen von dem Ausgangspunkt bewegte Ladung

QM wiederum zwei Wirkungsfaktoren aus, die durch das vorgeschlagene Magnetfeld

beschrieben werden:

– Die Weitergabe der Ursache mit einer Nahwirkung und

– eine Kraftwirkung auf andere bewegte Ladungen.

Damit haben wir eine analoge physikalische Vorstellung entwickelt und vergleichbare

Anschaulichkeit erreicht. Der Preis dafür, dass die Ausbreitungsrichtung der Nahwirkung

zusätzlich einbezogen wurde, ist ein durch die gerichteten Größen und die Vektorprodukte

höherer Schwierigkeitsgrad bei der mathematischen Handhabung.

67 ds und dANah liegen anders als beim Faraday’schen Magnetfeld.


Dr. Erich Boeck 38

3.11 Übergang zur relativistischen Elektrodynamik

Mit dem vorgeschlagenen Magnetfeld ist ein adäquater Übergang zum Tensorkalkül und der

vierdimensionalen Raumzeit möglich, bei dem die physikalischen Vorstellungen nicht einem

Formalismus weichen müssen. Der Tensorkalkül wird somit einfach eine effektive

Schreibweise für unsere physikalischen Zusammenhänge.

Bei der Darstellung der vierdimensionalen Raumzeit schließen wir uns der neueren Literatur

(z.B. (Reb99 S. 798ff)) an. Deshalb schreiben wir als Komponente mit dem Index „0“ eine

reelle Zeitkoordinate c0t und mit den Indices „1“ bis „3“ die drei kartesischen

Raumkoordinaten x, y, z als kontravarianten Vektor (obere Indices)

{xα}={x0, x1, x2, x3}={c0t, x, y, z}

und als kovarianten Vektor (untere Indices)

{xα}={x0, x1, x2, x3}={c0t, −x, −y, −z} .

Außerdem verwenden wir das metrische Maßsystem 68. Da keine Rechnungen ausgeführt

werden sollen, können weitere Zusammenhänge und Rechenregeln z.B. in (Reb99 S. 798ff)

verfolgt werden. Hier wird nur die koordinatenabhängige Schreibweise benutzt und es sollen

griechische Indices für die vierdimensionalen Tensorkomponenten verwendet werden.

Der Vierervektor der Geschwindigkeit ergibt sich mit c0 als Nullkomponente und den

Komponenten des Geschwindigkeitsvektors u zu:

uα = (u0, u1, u2, u3) = (c0, ux, uy, uz) γ kontravarianter Vektor und

uα = (u0, u1, u2, u3) = (c0, −ux, −uy, −uz) γ kovarianter Vektor. ( 3.78 )

Dabei ist γ der Faktor 20

2 c/u1/1 , wird mit dem Betrag der aktuellen Geschwindigkeit u

gebildet und bewirkt in diesem Fall die Invarianz des Vierervektors gegenüber

Lorentztransformationen. Durch Multiplikation mit der Ladung Q erhalten wir einen

Vierervektor der bewegten Ladung

Qα = (Q0, Q1, Q2, Q3) = uα Q = (c0, ux, uy, uz) γ Q . ( 3.79 )

Dieser besitzt als Nullkomponente ein Äquivalent zur ruhenden Ladung und ansonsten die mit

u bewegte Ladung. Diese können wir z.B. als Probeladung für eine bewegte Ladung

einschließlich ihres Ruheanteils einsetzen. Ähnlich erhält man einen Vierervektor der

Stromdichte mit

Sα = (S0, S1, S2, S3) = (c0 ρ, S1, S2, S3) mit ρ = dQ/dV = γ dQ/dV0 = γ ρ0 69

Sα = uα ρ0 = (c0, ux, uy, uz) γ ρ0 , ( 3.80 )

welcher einerseits ein Äquivalent zur Raumladung ρ (Nullkomponente) ist, andererseits mit

der Stromdichte S = u ρ verbunden ist und so die räumliche Verteilung unserer bewegten

Ladungen beschreibt.

68 Leider gibt es in der Literatur eine Fülle von Varianten, sodass diese Festlegungen vorangestellt werden

müssen. Hier werden die Möglichkeiten kontra- und kovarianter Vektoren/Tensoren genutzt, wodurch imaginäre

Komponenten nicht benötigt werden. 69 Siehe ( 3.10 ) ρ muss wegen dV transformiert werden, 0 (im Ruhesystem von dQ) kann als Invariante genutzt

werden ( vergleiche auch (Nol12 S. 66)).


Dr. Erich Boeck 39

Ein Vierervektor des Verschiebungsflusses, der die Nahwirkungen weitergibt und die

axiomatischen Forderungen AF1 und AF2 (Abschnitt 2) erfüllt – die der ruhenden und der

bewegten Ladung – kann mit

Ψαges = Qα

( 3.81 )

definiert werden. Somit erhalten wir für eine gesamte Flussdichte, die beide Anteile beinhaltet

und die Ausbreitung als Nahwirkung im Raum beschreibt, den mit Hαβ bezeichneten

schiefsymmetrischen Vierertensor aus beiden Flussdichten.

0DDDc

D0DDc

DD0Dc

DcDcDc0

H

MxMyz0

MxMzy0

MyMzx0

z0y0x0

( 3.82 )

Hαβ ist mit Fαβ ( 3.83 ) bezüglich c0D mit dem Materialfaktor 1/c02 = c2/c0

2 verbunden,

dagegen für DM nur mit . Im Vakuum ergibt sich derselbe Faktor. Eine Lösung durch

Ersetzen von c0D durch cD und E/c0 durch E/c führt allerdings offensichtlich nicht zu

invarianten Tensoren 70. Eine formale Lösung erfolgt in Anlage 7.5. (Vergleiche auch mit der

Darstellung in ( 3.63 ), ( 3.64 ) und Absatz 3.8.

Noch deutlicher wird der Vorteil bei der Definition des Gesamtfeldes aus Gesamtkraft und

Probeladung, die vollkommen analog zu unserem allgemeinen elektrischen Feld in ( 3.24 )

erfolgt und die axiomatischen Forderungen AF3 und AF4 (Abschnitt 2) erfüllt. Vergleiche

auch mit der Darstellung in ( 3.62 ). Es ergibt sich die kurze elegante Schreibweise mit einem

schiefsymmetrischen Vierertensor Fαβ für das Gesamtfeld (vp ist nur noch in Q bzw. u):

Kβ = Qα Fαβ = QProbe uα F

αβ 71

mit einer Darstellung der Komponenten von Fαβ in Matrixform folgt

0EEc/E

E0Ec/E

EE0c/E

c/Ec/Ec/E0

F

MxMy0z

MxMz0y

MyMz0x

0z0y0x

( 3.83 )

und

Kβ = (K0, K1, K2, K3) = (P/c0, Kx, Ky, Kz) γ . ( 3.84 )

Dabei ist P = u · K die Leistung der bewegten Probeladung und führt zur Nullkomponente des

Vierervektors der Kraft (siehe auch ( 3.5 )). Für eine Probeladung mit der Geschwindigkeit

Null wird Qα = (c0, 0, 0, 0) QProbe 72 und die Multiplikation mit dem Feldtensor Fαβ ergibt:

70 Das Produkt FαβFαβ=2(E2/c2-EM

2) erhält dann c2 statt c02.

71 Hierbei wurde die Einstein’sche Summenkonvention benutzt, sodass über den Ausdruck, wenn gleiche untere

und obere Indices vorkommen, die Summe über diesen Index von 0 bis 3 zu bilden ist, ohne dass ein

Summenzeichen explizit geschrieben wird. 72 γ wird für u=0 zu 1.


Dr. Erich Boeck 40

KβRuhe = (0, Kx, Ky, Kz) = QProbe (0, Ex, Ey, Ez)

mit

EβRuhe = (0, Ex, Ey, Ez)/γv = (E0, E1, E2, E3) und γv= 2

0

2 c/v1/1 73.

( 3.85 )

(Es ist durch Ausmultiplizieren entsprechend Zeilenvektor Qα mal Matrix Fαβ ersichtlich.)

Dieses EβRuhe entspricht genau unserem durch eine ruhende Probeladung gemessenen

elektrischen Feld ( 2.5 ). Dabei ist EβRuhe ein Vierervektor (Tensor 1. Stufe invariant

gegenüber Lorentztransformationen). Er ist aber nach einer Transformation im neuen

Koordinatensystem nicht mehr durch eine in diesem ruhende Probeladung gemessen und

somit dort unbrauchbar. Mit ( 3.85 ), den Beziehungen in ( 3.68 ), ( 3.71 ) und der

Geschwindigkeit der das Feld erzeugenden Ladung v kann der Feldtensor Fαβ ähnlich wie in (

3.24 ) ausgedrückt werden.

Fαβ = (vα EβRuhe − Eα

Ruhe vβ)/c0

2 mit vα = (c0, vx, vy, vz) γv

und

Kβ = Qα (vα Eβ

Ruhe − EαRuhe v

β)/c02

( 3.86 )

Die Beziehung ( 3.86 ) steht für das Kreuzprodukt in ( 3.24 ), während die Nullkomponenten

einem Punktprodukt entsprechen. Ein Übergang zur Matrixschreibweise des Tensors würde

wieder ( 3.84 ) ergeben. Durch die Tensorschreibweise wird hier mit ( 3.86 ) aber eine

explizite Schreibweise erreicht.

Nicht als Letztes lassen sich die beiden Potentialfunktionen φ und A zu einem

Gesamtpotential zusammenfassen.

Φα = (Φ0, Φ1, Φ2, Φ3) = (2φ/c0, Ax, Ay, Az) 74

( 3.87 )

Es wird: Fαβ = (∂Φ ∂Φ) bei ∂α =(∂/∂c0t, ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) bzw. ∂α =(∂/∂c0t, ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z),

d.h. −2gradφ −A/t und rotA .

Diese Schreibweise entspricht damit der Zusammenfassung von Energie und Impuls einer

Probeladung dividiert durch die Größe der Probeladung und somit genau der Vorstellung

analog ( 3.27 ) und ( 3.42 ) bei Beachtung ihrer Verbindung entsprechend ( 3.74 ).

Auch auf der Ebene der Tensorschreibweise in der vierdimensionalen Raumzeit finden wir

die gleiche Vorstellung von der Ausgangsgröße Ladung mit zwei Wirkungsfaktoren und

deren Ausbreitung als Nahwirkungen entsprechend den axiomatischen Forderungen aus

Abschnitt 2 realisiert:

– Vermittlung ihrer Größe und ihres Bewegungszustandes (Forderung AF1, AF2),

– Kraftwirkung auf andere Ladungen (Forderung 3, 4).

Genauso konnte aus Energie und Impuls der Probeladung ein Potential festgelegt werden. Es

bleibt die gleiche Problematik beim Messen der Größen und auch hier sind nur die Ergebnisse

der Nahwirkung in der Beschreibung enthalten.

73 „v“ ist die Geschwindigkeit der das Feld E erzeugenden Ladung im aktuellen Koordinatensystem. 74 In der Literatur gibt es unterschiedliche Definitionen ( (Nol12 S. 66), (Reb99 S. 859ff)). Diese ist mit ( 3.83 )

sowie den Definitionen auf Seite 47 konsistent.


Dr. Erich Boeck 41

3.12 Darstellung als Modell mit verteilten Elementen

Interessante Gesichtspunkte ergeben sich noch einmal bei einer Darstellung als Modell mit

verteilten Elementen (Boe78). Dabei werden die Wirkungsfunktionen in einem

Volumenelement dV (bzw. ΔV für Verfahren mit der „Finite-Elemente-Methode“) in der

Form einer „elektrischen“ Ersatzschaltung mit verteilten Parametern ausgedrückt, wie sie von

den Telegrafengleichungen bekannt sind. Abb. 3.12 zeigt schematisch die Komponenten der

Stromdichte, die durch das Volumenelement strömt 75. Alle Maxwell’schen Gleichungen

sollen durch diese Funktionsdarstellung erfüllt werden. Für eine bessere Übersichtlichkeit der

Abbildung werden die Komponenten zu einem Vektor zusammengefasst. Es werden drei

Anteile benötigt:

– für die Verschiebungsflussdichte D,

– die Leitungsstromdichte SL und

– die magnetische (Verschiebungs-)Flussdichte DM .

Abb. 3.12: Räumliches Modell mit verteilten Elementen (nur für Stromdichte)

Die Verkopplung kann mit Spannungs- und Stromquellen realisiert werden. Abb. 3.13 zeigt

das vollständige Modell. Die Maxwell’schen Gleichungen ergeben sich dafür aus den

Knotenpunkt- und den Maschengleichungen. Die Richtungen im Zweig für DM sind so

dargestellt, dass dieser Zweig als vor den anderen aus der Ebene herausführend (x-Richtung)

gesehen werden muss, wenn SL genau nach rechts (y-Richtung) läuft.

75 R"=1/κ und CR"=dCR/dV=ρ/U sind speziell auf das Volumenelement bezogene Parameter.

Sz+dSz

Sy

Sx

Sz

Sx+dSx

Sy+dSy

x

y

z

dy

dz Rx"dx

Rz"dz

Ry"dy

CR"ds

dx


Dr. Erich Boeck 42

Abb. 3.13: Modell mit verteilten Elementen für D, SL und DM

Man erhält aus

dem oberen Knoten : dD = divD → divD = ρ ,

der oberen Masche : E = gradU – ΔAB/t → rotE = – EM/t ,

dem mittleren Knoten : dSL=dSR=divSLds =–(ρ/t)ds , → divSL= /t

der mittleren Masche : E = gradU – ΔAB/t ,

dem unteren Knoten : dDM=dDML+dDMV=rotDM → rotDM = SL + D/t 76 und

der unteren Masche : EM = rotΔA → divEM = 0 77 .

(Zusätzlich gelten: D=εE, SL=κE und EM=μDM .)

Dieses Modell zeigt sehr deutlich, dass dem Volumenelement dV nur von seinen unmittelbar

benachbarten Volumenelementen D, SL, DM sowie U (bzw. φ) und ΔA (bzw. A) übergeben

wird. Um die Funktionen in dV zu realisieren sind darüber hinaus keinerlei Informationen

76 Die mathematische Form rotDM hat aus der Sicht der Ausbreitungsrichtung die physikalische Aussage einer

Divergenz, das zeigt der Knotenpunktsatz (genauso wie die Definitionen von DM). 77 Die mathematischen Formen rotΔA bzw. divEM haben aus der Sicht der Ausbreitungsrichtung die

physikalische Aussage eines Gradienten bzw. einer Rotation, das zeigt der Maschensatz (genauso wie die

Definitionen von EM und ΔA).

D D+dD

U =ρ/CR" U+dU

E∙ds

dEind=

(ΔAB/t)∙ds

∙ds/ε

dD=

ρ ds

dU

dEind=

(ΔAB/t)∙ds

SL SL+dSL

U =ρ/CR" U+dU

E∙ds

∙ds/κ

dSR=

ds ρ/t

CR"ds

dU

DM

DM+dDM

ΔA

ΔA+dΔA

dΔA=dsAxEM

μdsAx

dDML=

dsAxSL

dDMV=

dsAxD/t

ds in Richtung von E, D, S

Ausbreitungsrichtung, dsA

Vektorrichtung


Dr. Erich Boeck 43

oder Wirkungen von entfernten Volumenelementen notwendig und es werden D, SL, DM

sowie U und ΔA wiederum nur an unmittelbar benachbarte Volumenelemente weitergegeben.

Das heißt, es wird ein echtes Nahwirkungsprinzip in diesem Modell verdeutlicht.

Würden wir hierbei auf ein Magnetfeld (DM, EM) „verzichten“, müsste nach ( 3.55 ) der

Zusammenhang c

d

dVOrt von amLadungenbewegten alleüber

2

0

d

Ev

für EM und analog für DM in jedem dV

berechnet werden 78. Dazu wären Informationen über Größe und Bewegung aller Ladungen

(unabhängig von ihrer Entfernung) zur Bestimmung der notwendigen Resultate für dV

erforderlich. Auch ein Ersetzen von D = E und DM = EM/ würde zumindest Informationen

über innere Parameter der Nachbarelemente erfordern. Diese Vorgehensweise würde dem

Prinzip einer echten Nahwirkung entgegenstehen. Außerdem ist der Charakter des in dieser

Theorie implementierten Nahwirkungsprinzips so deutlich erkennbar:

Die Weitergabe von Ergebnissen der von Ladungen ausgehenden Wirkungen (über die

definierten Felder mit Hilfe von Funktionsbausteinen) nur an direkt benachbarte

Volumenelemente, ohne einen „Mechanismus“ für die Wechselwirkungen selbst in

diesem Modell zu beschreiben.

Aus dieser Sicht sind alle vier axiomatischen Forderungen AF1 bis AF4 notwendig. Neben

der Verbindung mit der gleichen Menge Gegenladungen (D entsprechend AF1) den

Kraftwirkungen auf Ladungen (nach AF3 und AF4; als Gesamtkraft entsprechend F für E

und EM) muss für das Nahwirkungsprinzip der Bewegungszustand (hier DM nach AF2)

übertragen werden, um das genannte Nahwirkungsprinzip vollständig zu realisieren.

Das Modell kann durch Hinzufügen weiterer Elemente (z.B. für Diffusionsströme,

Rekombinations- und Generationsvorgänge) ausgebaut werden. Dazu muss die

Leitungsstromdichte nach Notwendigkeit in Teilmodelle für die Trägerarten aufgeteilt

werden. Teilmodelle können auch zusammengefasst werden (so D nach Übergang zu D/t

mit SL zur Gesamtstromdichte S). Genauso können theoretisch ganz andere

Nahwirkungsprozesse wie die Wärmeleitung/Speicherung mit Quellen durch SL einbezogen

werden (Boe78).

Heute steht Software für die „Finite-Elemente-Methode“ zur Untersuchung der elektrischen

und magnetischen Felder von Spulen und Magnetanordnungen zur Verfügung und wird z.B.

im Elektromaschinenbau genutzt.

Im Anhang 7.5 wird dieses Modell auf die Verwendung von Tensoren umgeformt.

78 Wenn sich auch positive Ladungen bewegen, sind diese ebenfalls einzubeziehen.


Dr. Erich Boeck 44

4 Zusammenfassung und Gegenüberstellung

4.1 Klassische Darstellungsform, aber ohne Magnetfeld

Im vorangegangenen Kapitel 3 war zu sehen, dass auf das Magnetfeld prinzipiell verzichtet

werden könnte. Damit erfolgt eine Kurzdarstellung der Begriffe und ihrer Struktur in

nachfolgender Weise:

1. Ausgangspunkt:

Ladung (invariant 79) Q Naturgröße

Raumladungsdichte 81 ρ=dQ/dV dV ρQ

Volumen

bei räumlicher Verteilung

2. Bewegung der Ladungen mit der mittleren Driftgeschwindigkeit vd :

El. Strom Definition: I=dQ/dt Rechengröße

Stromdichte S= I

IdA

dIe

=ρ− vd bei räumlicher Stromverteilung

Kontinuitätsgleichung divS+ρ/t=0 Ladungserhaltung

3. Wirkungsweitergabe, Nahwirkung:

Verschiebungsfluss Ψ Nahwirkungsweitergabe

Festlegung über 81 Ψges=Q= AD d

Verschiebungsflussdichte D=

edA

dΨ bei räumlicher Flussverteilung

4. Kraftwirkung auf eine Probeladung Qp , bewegt mit der Geschwindigkeit up :

Gesamtkraft (invariant 80) K=QpF messbar Zusatz P=up∙K (invariant 80)

Gesamtfeld Definition: F=K/Qp =E+up×(vd×E)/c02 Feld E gemessen mit up=0

Aus Potentialen 81 E=−2gradφ−A/t −gradφ=gradU

Beziehung zum Fluss D= E

zur Stromdichte S = κ E

5. Potentiale aus Energie- und Impulsänderung der Probeladung:

El. Potential Definition: φ=W/Qp mit W=

s1 ·dsK el. Spannung U=φ1 − φ2

Vektorpotential Definition: A=p/Qp mit p= s1

s0 ·dtK mit ΔA=A2−A1

Die Maxwell’schen Gleichungen ergeben sich in dieser Darstellung sofort aus den

Definitionen 81 sowie durch die Analyse von Dvrot entsprechend ( 3.65 ).

79 Invariant gegenüber einer Lorentztransformation. 80 Das Gesetz ist invariant gegenüber einer Lorentztransformation. 81 Durch Bilden von rotE und divrotE ergeben sich die Maxwell’schen Gleichungen ( 3.57 ) und ( 3.60 ) bzw.

durch Anwenden des Gauß’schen Satzes auf Q die Gleichung ( 3.61 ).


Dr. Erich Boeck 45

Es sind demzufolge bereits in dieser Darstellung alle Gesetze des Elektromagnetismus

enthalten und sicher wäre es möglich, Methoden zu erarbeiten, mit denen alle notwendigen

Berechnungen und Untersuchungen durchgeführt werden könnten, ohne ein Magnetfeld

einzuführen.

4.2 Darstellung mit dem Faraday’schen Magnetfeld

Als Rechengrößen sollen komplexe Wirkungen zusammengefasst werden, sodass neue

Begriffe erscheinen, aber nur als „Ersatz“ und Zusammenfassung für vorhandene.

Die ersten drei Darstellungspunkte entsprechen Abschnitt 4.1 :

1. Ausgangspunkt:

2. Bewegung der Ladungen mit der mittleren Driftgeschwindigkeit vd :


Die nächsten beiden werden reduziert:

4. Kraftwirkung auf eine Probeladung Qp:

Kraft K=QpE messbar

El. Feld Definition: E=K/Qp

Aus Potentialen: E=−gradφ−AB/t

Beziehung zum Fluss D= E


5. Potential aus Energieänderung der Probeladung:

Elektrisches Potential φ=W/Qp mit W=

s1 ·dsK el. Spannung U=φ1 − φ2

Ein Magnetfeld wird ergänzt:

6. Magnetischer Fluss, Flussdichte:

magn. Fluss Definition mit =

Fläche

AB d

Flussdichte Definition: B=

e

dA

d {=(vxE−/c2)ges} in Analogie zur el. Stromdichte

magn. Feld Definition: H=grad Vm {=(vxD− ges)} in Analogie zum el. Feld

magn. Spannung Vm Definition mit Vm=

W eg

sH d

magn. Urspannung Θ Definition mit Θ = umfasst

Ströme Um

Id sH

Die ersten Maxwell’schen Gleichungen ( 3.56 ), ( 3.60 ) und ( 3.61 ) ergeben sich wie bei

Abschnitt 4.1 aus den Definitionen und die letzte ( 3.65 ) kann aus der Analyse der magn.


Dr. Erich Boeck 46

Urspannung für einen geschlossenen Umlauf um Ströme mit Berücksichtigung der

Kontinuitätsgleichung abgeleitet werden.

4.3 Darstellung mit vorgeschlagenem neuem Magnetfeld

In dieser Darstellung ergeben sich zwei parallele Begriffe für die ruhende und die bewegte

Ladung. Dazu werden nach Aufteilung in Ruhe- und Bewegungsanteil ähnlich wie beim

Faraday’schen Magnetfeld komplexe Wirkungen zu neuen Begriffen als „Ersatz“ eingeführt.

1. Ausgangspunkt:

Ladung/bewegte Ladung Q QM Naturgröße

Spezialfall für Punktladung QM=u Q

Spezialfall für linienhaften Leiter ΔQM=I ΔsLeiter

Ladungs-, Stromdichte ρ=dQ/dV Sges=dQM/dV bei räumlicher Verteilung

Umkehrung 82 dV ρQ

Volumen

Volumen

ges

Volumen

M dVt)dV/( SDSQ

Verbindung beider durch D/t

Kontinuitätsgleichung divS+ρ/t=0 Verbindung→Ladungserhaltung

2. Spezialfall der Bewegung von Ladungen in linienhaften Leitern mit vd :

El. Strom Definition: I=dQ/dt Umkehrung:

Stromdichte aus dem Strom S= I

IdA

dIe

=ρ−vd I heLeiterfläc

dAS


Verschiebungsfluss Ψ ΨM Nahwirkungsweitergabe

Festlegung über 82 Ψges=Q= AD d ΨMges=QM= Md DA

Verschiebungsflussdichte D= Nah

NahdA

dΨe

DM= Nah

Nah

M

dA

de

Ψ

bei räuml. Flussverteilung

4. Kraftwirkung auf eine Probeladung Qp , bewegt mit der Geschwindigkeit up:

Ruhe-, Bewegungskraft Kruh=QpE Kbew=QMpxEM messbar

Feld Definition: E=Kruh/Qp EM=KbewxeQMp/QMp

Aus Potentialen82 E=−2gradφ−A/t EM=rot A Verbindung beider durch A/t

Beziehung zum Fluss D= E DM=(1/μ) EM



Potentiale Definition: φ=W/Qp A=p/Qp

mit W=

r(P) ·dsK p=

t(P)

) t(P0

·dtK

Spannungen U=φ1 − φ2 ΔA=A2−A1

Es ist deutlich zu erkennen, dass

82 Durch Anwenden des Gauß’schen Satzes auf Q bzw. QM und durch Bilden von rotE und divEM ergeben sich

die Maxwell’schen Gleichungen.


Dr. Erich Boeck 47

– alle Maxwell’schen Gleichungen direkt in den Begriffsdefinitionen enthalten sind 82,

– sich unsere Vorstellungen konsistent in beiden Teilen gestalten und unsere neuen Begriffe

QM, ΨM, DM, EM von der natürlichen Ursache – der bewegten Ladung – einschließlich der

Nahwirkung abgeleitet werden.

– sich die Zusammenfassung beider Teile in einem Tensor zu einer gemeinsamen

Begriffsdefinition (Abschnitt 3.11) direkt anbietet.

Für eine gemeinsame Darstellung ergibt sich eine sehr effektive Schreibweise:

1. Ausgangspunkt und Ursache:

Ladung/bewegte Ladung Q QM Qα = (c0, ux, uy, uz) γ Q 83

Spezialfall für Punktladung Q QM=u Q Qα = (c0, ux, uy, uz) γ Q

Ladungs-, Stromdichte ρ=dQ/dV S = dQM/dV Sα = uαρ0 = (c0, ux, uy, uz)γρ0 83


Verschiebungsfluss Ψ ΨM Ψα

Festlegung über Ψges = Q ΨMges = QM Ψαges = Qα

= AD d = Md DA

Verschiebungsflussdichte D=Nah

Nah

dA

dΨ

e DM=

Nah

NahM

dA

d

eΨ Hαβ=

3. Kraftwirkung auf eine Probeladung Qp , bewegt mit der Geschwindigkeit up :

Ruhe-, Bewegungskraft Kruh=QpE Kbew=QMpxEM Kβ = Qα Fαβ 84 (= QProbe uα Fαβ)

Feld Definition: E=Kruh/Qp EM=KbewxeQ/QMp Fαβ=

Aus Potentialen: E= EM=rot A Fαβ = (∂Φ ∂Φ) siehe 74


Potentiale Definition: φ=W/Qp A=p/Qp Φα = (2φ/c0, Ax, Ay, Az)

Die Maxwell’schen Gleichungen im Sinne der Divergenz ergeben sich hier als inhomogene

Differentialgleichungen ∂β Hαβ = Sα

entsprechen divD=ρ und rotDM−D/t=SL ,

und die Gleichungen im Sinne der Rotation als homogene Differenzialgleichungen

∂α Fβγ+∂β Fγα+∂γ Fαβ=0 85

entsprechen divEM=0 und rotE+EM/t=0 .

Der physikalische Inhalt der elektrodynamischen Vorgänge abgeleitet aus der Ladung, den

vier Forderungen AF1 bis AF4 als Nahwirkungsprinzip und der Relativitätstheorie kann so

adäquat dargestellt werden. Die Quelle ist die Naturgröße Qα (bzw. Sα ohne Idealisierung als

Punktladung), die gesamte Nahwirkung wird durch Ψα bzw. Hαβ weitergegeben und das

gesamte Feld durch Kβ = Qα Fαβ aus der Kraft definiert.

83 Die Verbindung D/t (bzw. EM/t) erscheint in der Tensorform nicht als Quelle sondern folgt aus den

entsprechenden vierdimensionalen Ableitungen des Gesamtfeldes Hαβ (bzw. Fαβ). ρ0 siehe ( 3.45 ) und ( 3.80 ). 84 Hier eine explizite Schreibweise der Definitionsgleichung des Gesamtfeldes. 85 Siehe auch Fußnoten 76 und 77. Nur die Indexkombinationen {α,β,γ} mit {0,1,2} bzw. {0,2,1}, {0,3,1} bzw.

{0,1,3}, {0,2,3} bzw. {0,3,2} und {1,3,2} bzw. {1,2,3} ergeben je zwei gleiche nicht triviale Gleichungen (bei

insgesamt 64 Kombinationen für 3 aus 4).

0DDDc

D0DDc

DD0Dc

DcDcDc0

MxMyz0

MxMzy0

MyMzx0

z0y0x0

0EEc/E

E0Ec/E

EE0c/E

c/Ec/Ec/E0

MxMy0z

MxMz0y

MyMz0x

0z0y0x

−2gradφ−A/t


Dr. Erich Boeck 48

4.4 Vergleich, Vor- und Nachteile, Folgerungen

Der Verzicht auf die Einführung eines Magnetfeldes hätte den

Vorteil:

Es werden keinerlei Begriffe eingeführt, die nicht unbedingt notwendig sind.

Nachteil:

Das Nahwirkungsprinzip kommt nicht zur Geltung. Anstatt v und E von jeder Ladung für

den betrachteten Punkt muss (vxE/c2)ges messtechnisch ermittelt werden.

Ohne die Beherrschung der Vektoranalysis und des notwendigen Formalismus der

speziellen Relativitätstheorie sind die Wirkungen bewegter Ladungen sowie selbst

einfache Berechnungen nicht vermittelbar. D.h., in Schule, Gymnasium und Berufsschule

könnte diese Form nicht gelehrt werden.

Das Faraday’sche Magnetfeld entspricht der historischen Entwicklung und hat den

Vorteil:

Es ist als Analogieschluss zum elektrischen Strom und mit seinen linearen Gleichungen

(für einfache Anordnungen) auch in Schule, Gymnasium und Berufsschule gut

vermittelbar.

Nachteil:

Die „Ersatz-“ bzw. Rechengrößen weisen nach heutigem Erkenntnisstand (keine

Äthertheorie) nicht auf die Ursachen hin, sondern implizieren bei Schülern neue, aber

nicht vorhandene Ursachen.

Die Ausbreitungsrichtung der Nahwirkung wird in dieser Vorstellung nicht beschrieben.

Das vorgeschlagene Magnetfeld hat den

Vorteil:

Die neuen Begriffe QM, ΨM, DM, EM werden von der natürlichen Ursache einschließlich

einem Nahwirkungsprinzip abgeleitet. Sie stellen den Bewegungsanteil einer Aufteilung

der Beschreibung in Ruhe und Bewegungsanteil dar.

Physikalisches Verständnis und Anschaulichkeit können bis in die Tensorschreibweise

der relativistischen Elektrodynamik beibehalten werden.

Nachteil:

Ohne die volle Beherrschung der Vektorrechnung kann diese Form der Theorie nicht

vermittelt werden.

Selbst einfache Anordnungen benötigen mehr mathematischen Aufwand und es fehlen

(zumindest noch) erprobte Methoden und Aufgabenkataloge.

Bewegte Ladungen als Ursache für das Magnetfeld sind seit längerem bekannt und in den

Lehrmeinungen heute fest verankert. (Schon Ampère hat auch für magnetische Materialien

auf molekulare Ströme hingewiesen (Lun91 S. 219).) Ein Verzicht auf das Magnetfeld in der

Theorie hat sich aber nicht durchgesetzt. Gegen einen Verzicht spricht außer historischen

Gründen die einfache Handhabung gerade des Faraday’schen Magnetfeldes für grundlegende

Anordnungen (z.B. Spulen mit geschlossenen Eisenkernen verschiedener Geometrie). Die

Überlegungen in Kapitel 3.12 zeigen darüber hinaus, dass eine vollständig funktionierende

Nahwirkungsvorstellung einen Bewegungsanteil benötigt. Diese analog zu Strom (bzw.

Verschiebungsfluss) und Spannung zu handhabenden Größen sind insbesondere auch

messtechnisch in geeigneter Form verfügbar.


Dr. Erich Boeck 49

Theoretische Untersuchungen zu magnetischen Monopolen, die bislang noch nicht

nachgewiesen werden konnten (Reb99 S. 469ff), zeigen immer wieder, dass noch keine

abgeschlossenen Erkenntnisse vorliegen. Dennoch werden neue Erkenntnisse im

Mikrobereich unsere „makroskopischen“ vielfach experimentell gesicherten Gesetze in dieser

„effektiven Theorie“ (im Sinne von (Haw10 S. 35)) nicht grundlegend beeinflussen, sondern

höchstens Interpretationen korrigieren. Auch dann wird ein Ingenieur mit den bekannten

Theorien weiter seine Aufgaben erfüllen, weil sie für ihn alles enthalten.

Die Situation mit drei verschiedenen theoretischen Fassungen für die Erscheinungen des

Magnetfeldes (die einen praktisch gleichen Gültigkeitsbereich und gleiche Genauigkeit

aufweisen) verdeutlicht, dass Theorien

– nicht einfach eine logische Zusammenfassung von Beobachtungen sind, sondern von

Menschen und ihren Ordnungsideen gestaltet werden (siehe auch (Fis02 S. 17 u. ff))

– und erst weitere Erkenntnisse zeigen werden, welche Theorie ausreichend

entwicklungsfähig ist oder ob weitere Varianten und Ideen erforderlich sind.

Bei der Vermittlung auch allgemeinbildender theoretischer Kenntnisse der Elektrotechnik

sollte heute zumindest ein Hinweis auf das Relativitätsprinzip der Feldtheorie und somit auf

die Relativitätstheorie und prinzipielle Zusammenhänge zwischen bewegten Systemen

dazugehören. Danach dürfte es das Verständnis (Plausibilitätsebene) nicht behindern, wenn

Begriffe auf das reduziert werden, was notwendig und gesichert ist. So können das

Magnetfeld z.B. als erfolgreich anzuwendende Analogiekonstruktion zum elektrischen Strom

eingeführt und die Begriffe und Vm als Rechengrößen für komplexe Wirkungen bewegter

Ladungen dargestellt werden.

Im Rahmen einer theoretischen Elektrotechnik sollte zusätzlich mit dem vorgeschlagenen

Magnetfeld und den durch die Relativitätstheorie verdeutlichten Zusammenhängen die

Vorstellungskraft weiter vertieft werden.

Dem Verständnis fügt es nach meiner Erfahrung auch keinen Schaden zu, wenn eine

erfolgreich anwendbare und handhabbare Theorie noch nicht als endgültig abgerundet

erscheint. Das gilt besonders, wenn die „effektive Theorie“ eine erkennbar in sich

geschlossene und vollständige Struktur erreicht hat.

Die Plausibilitätsebene von Theorien hängt auch vom Erfassen und Verstehen ihrer inneren

Logik und Struktur ab. Eine nur in Bruchstücken erfasste Theorie kann die mit ihr mögliche

praktische Gestaltungsfähigkeit nicht erreichen. Deshalb wurde in den Untersuchungen Wert

darauf gelegt, die physikalischen Vorstellungen vom Anfang bis zur Formulierung im

Rahmen der vierdimensionalen Raumzeit durchgängig zu gestalten.

Besonders auffallend bei der gezeigten Entwicklung der Theorie ist, dass eine detaillierte

Wirkungsweise (ein „Mechanismus“) für die elektromagnetischen Vorgänge und

Wechselwirkungen nicht beschrieben wurde bzw. werden konnte sowie dieser andererseits

auch nicht notwendig war. Das Prinzip der Probeladung erlaubte es sinnvolle Definitionen zu

finden, um alle Vorgänge effektiv zu beschreiben.

Dennoch folgt daraus der Gedanke, in Theorien der Mikrowelt (vornehmlich der Quanten-

und Quantenfeldtheorie) danach zu suchen. Im nächsten Abschnitt soll dafür ein Zugang zu

diesen Theorien angeführt werden, der insbesondere auch deren Charakter der Beschreibung

von Vorgängen und Gesetzmäßigkeiten deutlich werden lässt.


Dr. Erich Boeck 50

5 Physikalische Begriffe der Quantenphysik

Aus physikalischen Beobachtungen folgen in der Regel Modelle zur Beschreibung des

Verhaltens und diese werden dann zu Theorien erweitert und zusammengefasst. Aus den

Modellen (und Theorien) werden Voraussagen abgeleitet, welche dann durch Beobachtungen

verifiziert werden können. Die Beschreibung in Modellen kann durch verschiedene Methoden

(unterschiedliche mathematische Strukturen und Formalismen, verschiedene graphische

Symbole usw.) erfolgen. Besonders interessant ist die Ebene, auf der die Modellbeschreibung

geschieht. So kann einerseits

eine möglichst vollständige Beschreibung z.B. des äußeren und inneren physikalischen

Verhaltens oder

eine Beschreibung nur aller äußeren Beobachtungen (Blackbox – Prinzip) mit allen dazu

notwendigen Parametern (z.B. Ersatzschaltbild des Transformators), aber genauso

eine Beschreibung der äußeren Beobachtungen nur für einen interessierenden

Anwendungsfall (z.B. Vierpolersatzschaltung eines Transistors)

vorhanden sein. In (Haw10 S. 12/13, 35, 42-45) werden Überlegungen zu Modellen,

effektiven Theorien (welche die Beschreibung nicht auf Subelemente zurückführen), der

Möglichkeit verschiedener Theorien für den gleichen Sachverhalt (welche alle ihre

Berechtigung haben) u.A. behandelt.

Im Folgenden soll untersucht werden, was die Quantenphysik in diesem Sinne beschreibt.

5.1 Von der klassischen zur Quantenphysik

Ein für unser Vorhaben geeigneter Zugang zur Quantenphysik wird in (End06 S. 13-95)

verständlich und nachvollziehbar entwickelt und soll hier kurz skizziert werden.

Als Anknüpfungspunkt wurden in (End06 S. 14) die Grundlagen der klassischen Mechanik

nach Newton verwendet. Schon Newton nutzt in seinem ersten Axiom einen Zustandsbegriff

(zumindest indirekt den Zustand der Ruhe ohne Einwirkung von Kräften). In der

Weiterentwicklung der Axiomatik durch Euler mit der Feststellung von „inneren Prinzipien“

(aus denen Newtons erstes Axiom folgt) und „äußeren Prinzipien“ für die Bewegung

(Bewegungsänderungen insbesondere durch Einwirkung von Kräften) wird in (End06 S. 18)

eine Vorbereitung auch zur Nutzung für nichtklassische Systeme gesehen.

Eine Untersuchung des linearen ungedämpften harmonischen Oszillators als Modellsystem

zur Beschreibung periodischer Vorgänge wird mit verallgemeinerten Koordinaten und

Geschwindigkeiten vorgenommen ( iqmit q verallgemeinerte Koordinaten und iqmit qverallgemeinerte Geschwindigkeiten; i für alle Freiheitsgrade (End06 S. 20)). Nach dem

Übergang zu den Lagrange’schen und den Hamilton’schen Bewegungsgleichungen treten die

einzelnen Körper und deren Bewegungseinschränkungen nicht mehr explizit auf und es kann

von ihren Eigenschaften abgesehen werden. Das trifft auch für nichtklassische Systeme zu

(End06 S. 21). Die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen führen für das genannte Modell-

system zu konservativen Systemen (T(q,p) kinetische, V(q) potentielle und E Gesamtenergie).

H(q,p) = T(q,p) + V(q) = E = const ( 5.1 )


Dr. Erich Boeck 51

Mit der Hamilton - Funktion H(q,p) (p kanonischer Impuls anstelle von q ) ergibt sich dabei

eine Erhaltungsgröße, weil diese nicht explizit von der Zeit abhängt (End06 S. 23). Das kann

des Weiteren zur Zustandsbeschreibung genutzt werden. Bei solchen konservativen

Systemen, die aus mehreren (bis auf Ort und Geschwindigkeit) gleichen Körpern bestehen,

können diese untereinander ohne Veränderung der Erhaltungsgrößen vertauscht werden. (Das

führt bei quantenmechanischen Systemen zur Ununterscheidbarkeit.)

Euler hat dem Zustandsbegriff bereits eine zentrale Bedeutung gegeben, wie es auch in der

Quantenmechanik der Fall ist (End06 S. 30). Eine Änderung der Zustandsgröße ist von der

Zustandsgröße selbst unabhängig.

Im Weiteren wurde nach Helmholtz mit dem Konzept der Konfiguration (entspricht den

Lagebeziehungen der Körper) ein Zusammenhang zwischen der Gesamtenergie und der

Konfiguration eines Systems von Körpern dargestellt (End06 S. 41). Nach ( 5.1 ) ergibt sich

für Konservative Systeme, dass ohne äußere Einwirkungen nur Konfigurationen entsprechend

der Erhaltungsgröße E = T + V = const möglich sind. (End06 S. 43).

Aus einer Untersuchung, welche Konfigurationen für die Körper passend sind, folgt ein

Auswahlproblem, das auf nichtklassische Systeme erweitert wird (End06 S. 45-67).

Zusammengefasst sind für die klassische Newton’sche Mechanik Konfigurationen

entsprechend E – V(x) 0 sowie Impulskonfigurationen entsprechend E – T(p) 0 möglich.

Konfigurationen bzw. Impulskonfigurationen entsprechend E – V(x) 0 bzw. E – T(p) 0

ermöglichen zwar eine der klassischen analoge Theorie, die aber in der Wirklichkeit keine

Entsprechung hat. Beide Konfigurationen bzw. Impulskonfigurationen gemeinsam (d.h. alle

Konfigurationen werden angenommen) ermöglichen dagegen kein im gesamten Bereich

gültiges klassisches Bewegungsgesetz. D.h., für diesen Fall muss die Verbindung zwischen

klassischer Kraft und klassischem Impuls bei äußeren Einwirkungen für die Zustands- und

Bewegungsgleichungen durch eine völlig neue Beschreibung mit neuen nichtklassischen

Größen für den Gesamtbereich ersetzt werden. Weil nun keine punktweisen Beziehungen von

V und T für jede einzelne Konfiguration/Impulskonfiguration erstellt werden können, sind

dazu alle Konfigurationen mit allen Impulskonfigurationen zu verbinden (End06 S. 68).

Die Energie soll weiterhin nur durch x- und p- abhängige Ausdrücke (Vnkl, Tnkl) gebildet

werden. Da die Konfigurationen bzw. Impulskonfigurationen nicht mehr begrenzt sind,

können nur effektive Ausdehnungen im Raum bzw. Impulsraum angegeben werden und die

nichtklassischen Ausdrücke (Vnkl, Tnkl) selbst müssen für die Energie begrenzt bleiben. Das

wird durch Multiplikation mit begrenzenden Funktionen realisiert. In (End06 S. 69) werden

dazu FEnkl(x/x0) und GEnkl(p/p0) eingeführt (mit x0 und p0 charakteristische Länge und Impuls

und somit F und G dimensionslos). Die Gesamtenergie Enkl für ein nichtklassisches System

ergibt sich dann aus der Integration ( 5.2 ) über alle Vnkl = FEnkl(x/x0)V(x) und Tnkl =

GEnkl(p/p0)T(p) zu:

dp )(p/pG

dp T(p) )(p/pG

dx )(x/xF

dx V(x) )(x/xFE

0Enkl

0Enkl

0Enkl

0Enkl

nkl .

( 5.2 )

Die Funktionen FEnkl(x/x0) und GEnkl(p/p0) beziehen sich beide auf die Energie, sind so nicht

unabhängig voneinander und können auch als Gewichtsfunktionen (Wahrscheinlichkeiten)

der Beiträge jeder Konfiguration bzw. Impulskonfiguration angesehen werden. Sind die

möglichen Konfigurationen bzw. Impulskonfigurationen auf eine klassische Bahn beschränkt,

folgt aus ( 5.2 ) die klassische Darstellung (End06 S. 70). Dabei müssen FEnkl(x/x0) und

GEnkl(p/p0) immer positiv bleiben. Das wird mathematisch durch


Dr. Erich Boeck 52

FEnkl(x/x0) = |fEnkl(x/x0)|2 = f Enkl (x/x0) fEnkl (x/x0) bzw.

GEnkl(p/p0) = |gEnkl(p/p0)|2 = g Enkl(p/p0) gEnkl(p/p0)

( 5.3 )

und somit durch den Übergang zu Wahrscheinlichkeitsamplituden erreicht (End06 S. 71) (mit

f, g, f und g komplex bzw. konjugiert komplex) . Für die Verbindung zwischen fEnkl(x/x0) und

gEnkl(p/p0) kommen nur Integraltransformationen infrage, um alle Konfigurationen mit allen

Impulskonfigurationen für den nichtklassischen Fall zu verbinden. In (End06 S. 72) wurde die

Fouriertransformation gewählt, die alle mathematisch notwendigen Bedingungen erfüllt.

0

0E

p x

px i

0Ep

dp )(p/pg e

2π

1 )(x/xf 00

0

0E

p x

px i

0Ex

dx )(x/xf e

2π

1)(p/pg 00

( 5.4 )

Nach Einführen des Hamiltonoperators für V(x) und T(p) und Einsetzen in ( 5.2 ) wird in

(End06 S. 75) gezeigt, dass die Forderungen

0 )x/x(f ]E(x)H[ 0Enklnkl und

0 )p/p(g ]E(p)H[ 0Enklnkl

( 5.5 )

die Erfüllung der Gleichung ( 5.2 ) garantieren.

Schließlich ist mit etwas Umformen der Gleichungen ( 5.5 ) zu erkennen, dass diese den

stationären Schrödinger-Gleichungen in Orts- bzw. Impulsdarstellung entsprechen. Dabei ist

)x/x(ffür ψ(x) x 0Enkl0 und )p/p(gfür (x) p 0Enkl0 einzusetzen. Für x0 p0 wird der Wert

ermittelt (End06 S. 76) (Vergleiche auch (Reb05 S. 95) zeitunabhängige Schrödinger-

Gleichung).

EH und EψψH

( 5.6 )

Durch Untersuchungen zur möglichen und „verträglichen“ Zeitabhängigkeit der beiden

Funktionen fEnkl(x/x0) und gEnkl(p/p0) werden die Gleichungen ( 5.5 ) in (End06 S. 85-94) zu

den nichtstationären Schrödinger-Gleichungen verallgemeinert (Vergleiche auch (Reb05 S.

75) allgemeine Wellengleichung).

H t

i und ψH ψ t

i

( 5.7 )

Die Schrödinger’sche Wellengleichung wird zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeits-

amplituden sowie der Wahrscheinlichkeiten ||2 selbst verwendet. Somit manifestieren sich

in ihr die Grundlagen der gesamten Quantenmechanik.

Zusammenfassend wurden folgende Modifikationen bzw. Verallgemeinerungen gegenüber

der klassischen Mechanik vorgenommen:

1. Nach Übergang zu den Lagrange’schen und den Hamilton’schen

Bewegungsgleichungen treten die einzelnen Körper und ihre Eigenschaften nicht mehr

explizit auf.

2. Mit dem Euler’schen Zustandsbegriff und dem Helmholtz’schen Konzept der

Konfigurationen wurden anstatt E – V(x) 0 alle Konfigurationen (E – V(x) 0 sowie

E – V(x) 0) und genauso alle Impulskonfigurationen zugelassen.


Dr. Erich Boeck 53

3. Da keine punktweisen Beziehungen für jede einzelne Konfiguration bzw.

Impulskonfiguration mehr bestehen, sind durch neue nichtklassische Größen alle

Konfigurationen mit allen Impulskonfigurationen verbunden worden.

4. Das wird durch Multiplikation mit begrenzenden Funktionen (oder

Wahrscheinlichkeiten) realisiert.

5. Der Übergang zu Wahrscheinlichkeitsamplituden verbindet alle Konfigurationen mit

allen Impulskonfigurationen und umgekehrt, was für diesen nichtklassischen Fall

jeweils durch eine gegenseitige Fouriertransformation realisiert wird.

6. Die Zeitabhängigkeit der beiden Funktionen fEnkl und gEnkl ergibt dann die endgültige

Schrödinger’sche Wellengleichung.

Aufgrund dieser Vorgehensweise erscheint klar ersichtlich zu sein, dass die Quantenmechanik

generell nicht das Verhalten einzelner Teilchen (Quantenobjekte) beschreibt, sondern ein

Modell für die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Zustände (insbesondere Orte und

Impulse) darstellt. Genauso können den Funktionen fEnkl bzw. gEnkl jeweils nur in

ihrer Gesamtheit eine Bedeutung zugesprochen werden. Einzelne Komponenten dieser

Funktionen (z.B. einzelne Wellen aus der Fourierdarstellung) können im Allgemeinen nicht

interpretiert werden.

5.2 Aussagen der Quantenfeldtheorie

In der Quantenfeldtheorie geht es darum, Teilchen und Felder einheitlich zu beschreiben, um

deren Wechselwirkungen adäquat behandeln zu können. Dafür müssen die Quantentheorie,

die Feldtheorie und die spezielle Relativitätstheorie vereint werden. Dieses kann auf

verschiedenen Wegen erfolgen (vergleiche (Reb05 S. 614)). So wird z.B. bei der

– kanonischen Feldquantisierung von einem klassischen Lagrange’schen und

Hamilton’schen Formalismus aus der Übergang zu Operatoren für alle Variablen und

Feldvariablen vorgenommen oder bei der

– Feynman’schen Pfadintegralmethode erfolgt eine Summation aller möglichen Pfade

für Wirkungen zwischen Quelle und Ziel.

In (End06 S. 26-29) werden zuerst das Modell linearer harmonischer Oszillatoren zu einem

Modellsystems vieler gekoppelter harmonischer Oszillatoren erweitert und dann deren

Schwingungszustände als Normalmoden dargestellt. Das führt zu einem Modellsystem

ungekoppelter harmonischer Oszillatoren. Nach der Entwicklung in Normalmoden kann

die quantenmechanische Beschreibung (analog wie in Kapitel 5.1) jedoch hierbei auf die

Orts- und Impulsvariablen der Normalmoden ausgeführt werden (End06 S. 136-138). Die

Hamiltonfunktion wird so eine Summe einzelner (ungekoppelter) Oszillatoren.

Den Variablen der Normalmoden werden danach Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

zugeordnet und so die Besetzungszahldarstellung erreicht (wie bei den beiden vorgenannten

Wegen letztendlich auch).

So stellt die Quantentheorie für Vielteilchensysteme ein Modellsystem dar, das von einem als

bekannt vorausgesetztem Grundzustand Anregungszustände des Gesamtsystems

(entsprechend der Besetzungszahldarstellung) beschreibt. Diesen Anregungszuständen

werden dann Quasiteilchen zugeordnet.

Anschließend erfolgt in (End06 S. 155-165) der Übergang vom genannten Vielteilchensystem

zur Quantenfeldtheorie. Die dynamischen Variablen sind dabei Felder, d.h. räumlich

verteilte Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden. Hierbei werden die Feldvariablen der


Dr. Erich Boeck 54

Normalmodenentwicklung unterzogen, die Normalmoden quantisiert und dafür die

Besetzungszahldarstellung eingeführt.

In der Quantenelektrodynamik werden insbesondere Wechselwirkungen zwischen

elektromagnetischem Feld und anderen Quantenobjekten (Elektron, Positron…) beschrieben.

Dafür hat Feynman die nach ihm benannten Graphen entwickelt, um alle dabei möglichen

Übergänge erfassen, darstellen und in die Berechnung einbeziehen zu können. Auch bei

dieser graphischen Modellierung geht es immer um die Wahrscheinlichkeiten. Dazu können

durch die Graphen alle Erhaltungsgrößen zu Beginn und nach einem Übergang eindeutig

kalkuliert werden (siehe z.B. (Reb05 S. 756ff), (Fey11 S. 101ff)). Eine Beschreibung, ein

Modell des tatsächlichen Ablaufs ist aber nicht damit verbunden. So ist sicher die Aussage in

(Fey11 S. 49) zu verstehen: „ … die Physik … muss sich damit bescheiden, lediglich die

Wahrscheinlichkeit, mit der ein Photon auf einen Detektor auftreffen wird, vorherzusagen,

ohne ein befriedigendes Modell über den tatsächlichen Ablauf dieses Geschehens anbieten zu

können.“

5.3 Ergebnis und Folgerungen

In der Quantentheorie, der Quantenfeldtheorie und der Quantenelektrodynamik wurden

Modelle und Modellsysteme entwickelt, die mit hoher Genauigkeit Wahrscheinlichkeiten für

Quantenereignisse beschreiben, welche makroskopisch beobachtet und verifiziert werden

können. Das entspricht auch genau der Situation aller Beobachtungsmöglichkeiten. In der

Quantenmechanik kann letzten Endes nur die Beeinflussung makroskopischer Parameter (z.B.

von Sensoren) durch Quantenereignisse gemessen werden. So wird in (Daw78 S. 16/17)

formuliert, in der Quantenmechanik kann „nur mit Hilfe von „Geräten“ untersucht werden,

d.h. mit Hilfe makroskopischer Systeme, die die Einwirkungen der Mikroobjekte in die

makroskopische Sprache übersetzen.“ Bilanzen für makroskopisch erfassbare

Erhaltungsgrößen (z.B. Energie, Impuls, Ladung …) werden durch die Wahrscheinlichkeiten

ihrer Verteilung dargestellt und letztlich durch die Modelle sichergestellt. Dagegen erscheinen

Übergangsvorgänge in ihren detaillierten Abläufen nicht.

Genauso stellen Quasiteilchen Anregungen eines ganzen Systems dar, können nicht

unabhängig von diesem System betrachtet und auch nicht als Zustand an einem isolierten Ort

interpretiert werden. Daher können Quasiteilchen (z.B. Photonen) die Erhaltungsgrößen z.B.

des elektromagnetischen Feldes sichern. Sie geben aber keine Auskunft darüber, wie eine

bestimmte Feldgröße zu einer Zeit an einen Ort kommt.

Somit erscheint die anfangs bereits angesprochene Ebene für die Modellbeschreibung als eine

Beschreibung aller äußeren Beobachtungen (ähnlich dem Blackbox – Prinzip) mit allen dazu

notwendigen Parametern. Diese Modelle sind auf dieser Ebene naturgemäß vollständig

(zumindest bei entsprechender Ausgestaltung).

Bei der Entwicklung und später der Interpretation der Quantentheorie wurden überdies

unterschiedliche Modellvorstellungen erarbeitet: so fast zeitgleich die Heisenberg’sche

Matrizenmechanik und die Schrödinger’sche Wellenmechanik und später auf der Letzteren

aufbauend die Bohm’sche Mechanik. Trotz unterschiedlichen gedanklichen Hintergrundes ist

deren mathematische Übereinstimmung nachweisbar und diese sind genau gleich (wenn deren

Formalismen ebenso lösbar sind). Sicher durch diesen Hintergrund wurden in (Haw10 S. 35,

42) immer wieder Ausführungen zu Modellen, Theorien bzw. effektiven Theorien erörtert.


Dr. Erich Boeck 55

6 Resümee für Elektrodynamik und Relativitätstheorie

Werden die Begriffe der Elektrodynamik darauf reduziert, was entsprechend der

experimentellen Erfahrungen und deren theoretischen Beschreibung unbedingt gesichert ist

(vergleiche Kapitel 4.4), können diese Begriffe auch für die spezielle Relativitätstheorie nur

noch diese Bedeutung haben. Folgerichtig konnte und musste diese Betrachtungsweise mit

ihrer Vorstellung auch bis zum Tensorkalkül und der vierdimensionalen Raumzeit konsistent

bleiben und durfte (wie in 3.11 gezeigt) keine Widersprüche ergeben.

Die spezielle Relativitätstheorie übernimmt das Relativitätsprinzip und die Beschreibung der

Felder von der Elektrodynamik, deshalb ist auch in der speziellen Relativitätstheorie die

eigentliche elektromagnetische Wechselwirkung mit ihrem Nahwirkungsprinzip nicht

wirklich enthalten. Es sollten somit keine Aussagen getroffen bzw. Schlussfolgerungen über

diese Wechselwirkung formuliert werden.

Die Aussage, dass sich alle physikalischen Wirkungen maximal mit Lichtgeschwindigkeit

(c0) ausbreiten können, ist somit nicht vollständig bewiesen (allerdings auch nicht widerlegt).

Mit „makroskopischen“ Messungen sind solche Größen in einem Punkt der Raumzeit

beobachtbar wie die Kraft F, die Energieänderung W, die Impulsänderung p, die Ladung Q

und Ähnliche 86. Deshalb sollte obige Aussage wie folgt vorsichtiger formuliert werden.

Physikalische Wirkungen, die makroskopisch beobachtbar sind, stehen an jedem Ort

frühestens zu einer Zeit zur Verfügung, die einer Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit (c0)

entspricht.

Auf diese Weise steht also das Ergebnis der elektromagnetischen Wechselwirkung nach einer

Zeit zur Verfügung, die einer Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit entspricht. Über die

Wechselwirkung selbst erfolgt aber keine Aussage. Damit wird nicht bewiesen, dass es

schnellere Wirkungen gibt, aber wir sind zumindest nicht berechtigt, es für z.Z. nicht direkt

beobachtbare in keiner Theorie unmittelbar beschriebene Wirkungen auszuschließen.

Wichtige Konsequenzen wären:

Makroskopisch beobachtbare Teilchen und Wirkungen können nach wie vor nur

Geschwindigkeiten erreichen, die kleiner als (bestenfals gleich wie) die

Lichtgeschwindigkeit (c0) sind. Das folgt daraus, dass die makroskopisch

beobachtbaren Kräfte für zu schnelle Teilchen nicht mehr rechtzeitig zur Verfügung

stehen und somit keine weitere Beschleunigung ermöglichen.

Elementarteilchen wie Photonen müssen nicht mehr ausschließlich punktförmige

Teilchen sein, da über innere „nicht beobachtbare Wechselwirkungen“ keine

einschränkenden Aussagen erfolgen sollten.

Felder können nicht ohne weiteres als Zustand des Raumes interpretiert werden, bis

eine brauchbare Beschreibung der elektromagnetischen Wechselwirkung gefunden

worden ist. Sie beschreiben aber zutreffend die Wirkungen auf Probeladungen 87.

86 Auch in der Quantenmechanik wird mit Hilfe makroskopischer (Mess-) Systeme die Einwirkung von

Mikroobjekten auf makroskopische Parameter beobachtet (siehe 5.3). 87 In der Äthertheorie war diese Interpretation prinzipiell möglich. Durch deren ersatzlose Aufhebung muss eine

Interpretation als Zustand des Raumes folgerichtig fortfallen, andernfalls ergibt sich wieder eine unterschwellige

unbekannte Äthervorstellung.


Dr. Erich Boeck 56

Die genannten Konsequenzen zeigen, dass in der „makroskopischen“ Physik für die

Anwendung der speziellen Relativitätstheorie keine Einschränkungen entstehen. Auch die

Untersuchungen in der Quantenmechanik sind nicht unmittelbar betroffen. Es könnte aber

eine gewisse Öffnung für weiterführende Fragestellungen erfolgen. Z.B. wäre die Frage nach

physikalischen Vorgängen innerhalb von Quantenobjekten dann zuzlässig.

Dabei kann für die elektromagnetische Wechselwirkung davon ausgegangen werden,

gilt für die Ergebnisse einer Wechselwirkung das Superpositionsprinzip und

müssen wie bei einer Nahwirkung nur die unmittelbar an einem Volumenelement V

durch die Wechselwirkung ankommenden „Ergebnisse“ bekannt sein (um alles für das

Volumenelement ermitteln zu können 88),

dann muss diese Wechselwirkung auch selbst dem Superpositions- und dem Nahwirkungs-

prinzip unterliegen. Somit wird auch die von Faraday eingeführte Nahwirkungsvorstellung

noch einmal bestätigt.

Die Frage nach der Abhängigkeit der Kräfte von der Geschwindigkeit bei ihrer Einwirkung

auf die Bewegung von Körpern verursacht keine unmittelbare Änderung der

Relativitätstheorie. Die beobachtete Wirksamkeit der Kraft (K) auf die Beschleunigung ( x )

wird durch

) (m dt

d m xxK

( 6.1 )

beschrieben. Die dabei erfasste Abhängigkeit von der Geschwindigkeit ( x v ) des Teilchens

kann ohne weiteres dem Proportionalitätsfaktor – Masse (m) – zugeordnet werden.

2(v/c) 1m/ M(v)mit M(v) dt

d xK

( 6.2 )

Somit ergeben sich tatsächlich keine Änderungen in der Theorie und jede weitere

Interpretation sollte verschoben werden bis plausible Erkenntnis des Prozesses der

Wechselwirkung zur Realisierung der Nahwirkung vorliegen.

Bereits Einstein hat starre Körper als Koordinatensystem und Beobachter mit Maßstäben und

Uhren verwendet (Ein05 S. 892/3). Damit wurde ein Beobachtungssystem zur Grundlage der

Untersuchungen. Das Beobachtungssystem benötigt

einen Bezugskörper (repräsentiert ein Koordinatensystem),

Maßstäbe und Uhren sowie

ein Signal (hier Lichtstrahlen) zur Feststellung der Koinzidenz eines Ereignisses mit

einem Punkt (Ort und Zeit) auf dem Bezugskörper.

In der Praxis können Messungen nur mit einem konkreten Beobachtungssystem ausgeführt

werden. Durch Einstein wurde es auch in die Theorie zur Beschreibung der Raumzeit

eingeführt. Es ist dabei fest mit den physikalischen Eigenschaften der verwendeten „Materie“

verbunden.

In der speziellen Relativitätstheorie gehört dazu die Verbindung der Konstanz der

Vakuumlichtgeschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip (gleiche Gestalt der Beobachtungen

in Inertialsystemen). Das erforderte ein vierdimensionales pseudoeuklidisches

88 Vergleiche mit Abschnitt 3.12.


Dr. Erich Boeck 57

Koordinatensystem (c0t, x, y, z) sowie die Lorentztransformation zwischen inertialen

Beobachtungssystemen.

Unter dem Einfluss von Gravitation breiten sich Lichtstrahlen nicht mehr geradlinig (also mit

konstanter Geschwindigkeit) aus. Deshalb musste in der allgemeinen Relativitätstheorie das

Beobachtungssystem verändert werden. Weil Lichtstrahlen weiterhin zur Feststellung der

Koinzidenz genutzt werden sollten, ergab sich ein nichtstarrer Bezugskörper mit zudem

allgemeinen Koordinaten (Bezugsmolluske (Ein70 S. 70)). Durch die Metrik dieser

pseudoriemannschen Koordinaten bewegt sich Licht auf Geodäten (kürzeste Verbindung

zweier Punkte) und somit wird wieder eine eindeutige Feststellung der Koinzidenz möglich.

Die Metrik wird in jedem Raumzeitpunkt nur von der Wirkung der Gravitation und dem

aktuellen Bewegungszustand des Beobachtungssystems festgelegt. (Auch hierbei ist ein

„Mechanismus“ für die gravitative Wechselwirkung nicht erforderlich. Es wäre die Wirkung

auf eine Probemasse ähnlich wie die auf eine Probeladung ausreichend.)

Mit dem Beobachtungssystem wurde die Beschreibung einer real existierenden Raumzeit

ermöglicht, die in einer dialektischen Beziehung zu allgemeinen abstrakten Raum- und

Zeitvorstellungen steht. Ohne allgemeine Vorstellung von Raum- und Zeit (wie auch in der

Philosophie) gibt es keine konkrete Raumzeit. Abstrakte Vorstellungen sind praktisch nicht

nutzbar und die konkrete Raumzeit realisiert solche nicht direkt. So wird teils sogar gefordert,

Raum als Ursache physikalischer Vorgänge wegzulassen (Bor69 S. 267).

Jedes Beobachtungssystem hat seinen Gültigkeits- und Anwendungsbereich und ist ohne

Materie nicht möglich. So sind mit den beiden oben genannten Beobachtungssystemen

sicherlich keine Ereignisse beobachtbar, die sich schneller als Licht bewegen (sie werden von

Lichtstrahlen nicht erreicht). Andererseits ist z.B. noch kein Signal bekannt, mit dem eine

genügende Auflösung für den Mikrobereich möglich wäre.

Diese Überlegungen sollten zeigen, dass der Begriff des Beobachtungssystems – konsequent

angewandt – zu mehr Anschaulichkeit und Plausibilität in den Theorien führen kann, selbst

wenn zu vermuten ist (Haw10 S. 39), dass wir ein verzerrtes Bild der Wirklichkeit mit jedem

Beobachtungssystem sehen.


Dr. Erich Boeck 58

7 Anlagen

7.1 Relativitätsprinzip aus den axiomatischen Forderungen

Zum Auffinden eines in den axiomatischen Forderungen AF1 bis AF4 enthaltenen

Relativitätsprinzips soll von folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden:

1. Alle physikalischen Gesetze gelten in der gleichen Form in allen inertialen

Beobachtungssystemen.

2. Eine Umrechnung der Messwerte vom Ausgangs- zum Zielbeobachtungssystem

erfolgt nur als Funktion der Geschwindigkeit des Zielsystems im Ausgangssystem.

3. Naturkonstanten wie c0, 0, oder 0 sowie Naturgrößen (wie eine Punktladung Q) sind

in allen Beobachtungssystemen gleich.

Die Ladungsanordnung in Abb. 7.1 wurde so einfach gewählt, damit außer den

grundlegenden Abhängigkeiten alle weiteren Einflüsse vermieden werden (nur

Punktladungen, Bewegungen in x - Richtung mit gleicher Geschwindigkeit).

Abb. 7.1: Bewegte Ladung und Probeladung

Im Beobachtungssystem K{x,y,z} ergibt sich die Kraft zwischen beiden Ladungen (Ruhe-

und Bewegungsanteil) nach den Axiomen AF3 und AF4 89, vergleiche auch ( 3.21 ) 90.

EE

EvvEEKK )

c

v (1 QQ

cQQQ

2

0

2

pp2

0

ppp IIIIII

Dabei ist in v x E nur die Komponente E von E (senkrecht zu v) wirksam.

Im Beobachtungssystem K´{x´,y´,z´}, welches sich mit den Ladungen Q und Qp mitbewegt,

folgt analog:

EEKK pp QQ IIII

Entsprechen die Umrechnungen der Messwerte (Transformation nach Voraussetzung 2) den

Funktionen II(v) und (v) 91, werden

IIIIII KK (v) sowie KK (v) und somit

IIIIII EE (v) sowie EE )/c v (1 Q (v) 2

0

2

p

89 Auf Seite 5 wurden diese Kräfte gemäß experimentellen Erfahrungen zu Axiomen postuliert; siehe ferner D in

( 2.4 ), DM in ( 3.67 ), deren Umkehrungen ( 2.3 ) und ( 3.68 ), dazu den Zusammenhang mit E, EM in ( 3.64 ). 90 Für eine Punktladung kann B=vxE/c0

2 aus dem Biot-Savart’schen Gesetz bestimmt werden. 91 Es ist nicht anzunehmen, dass parallel und senkrecht zu v die gleiche Transformation erscheint.

+Q v

v

+Qp

y

x

E

EII

E


Dr. Erich Boeck 59

und es ergibt sich durch Gleichsetzen für die Komponenten der Kraft

IIIIIIIIIIII EEKK pp QQ (v) (v) und

EEKK p2

0

2

p Q )c

v (1Q (v) (v) .

Mit 0 E'II = D'II = eII dQ/dA' und 0 E' = D' = e dQ/dA'II, gemäß den Axiomen AF1 und

AF2 92, werden daraus mit dA' = II dA (Fläche liegt , Flächenvektor II zu v) und

dA'II = dAII (Fläche liegt II, Flächenvektor zu v)

IIIIIIIIIIII eeEE )dAdQ/(Q )A(dQ/dQ εQ εQ (v) pppp

)( )dAdQ/(Q)( )A(dQ/dQ εQε )c

v (1Q (v) ppp2

0

2

p eeEE IIII .

Hieraus müssen sich zwangsläufig

1(v) II und

2

0

2 c/v1/1(v)

ergeben, was zumindest für diese einfache Anordnung konsistent ist.

Weil dA = dy x dz und II = 1 sowie dAII = dz x dx und = sind, wird offensichtlich nur dx

mit umgerechnet.

Bei den weiteren Überlegungen sind Fragen der gleichen Zeit bzw. des gleichen Ortes zu

lösen. Für zwei Ereignisse kann der Ortsunterschied dx im Zielsystem entweder bei fester

Zeit t des Ausgangssystems mit dem Ortsunterschied dx oder am gleichen Ort x mit dem

Zeitunterschied dt verbunden sein. Zusätzlich muss die Bewegung des Zielsystems und somit

in obiger Anordnung von x(t) = x0 + vt jeweils vt abgezogen werden. Zu gleicher Zeit im

Ausgangssystem wird somit

20c/v 1

t) (t) d(d γ) d(d

2

vxvxxxxxxx .

Das impliziert die Transformation für x im Ausgangs-, zu x im Zielsystem

20c/v 1

t

2

vxx sowie y = y und z = z

( 7.1 )

entsprechend dy und dz.

Bewegt sich in K{x,y,z} ein Lichtstrahl mit c0 = x/t = x/t in x – Richtung (bei Beachtung der

Voraussetzung 3) wird die Umrechnung von t nach t einfach sichtbar

20

20 c/v 1

c/ xt

c/v 1

ttt

2

00

2

00

vcvccx und demzufolge

20c/v 1

xc

vt

t2

2

0

.

( 7.2 )

Das in den axiomatischen Forderungen AF1 bis AF4 entsprechend der Voraussetzungen 1, 2

und 3 enthaltene Relativitätsprinzip ist mit den Transformationen ( 7.1 ) und ( 7.2 ) zu

realisieren, welche mit der Lorentztransformation übereinstimmen.

92 Mit ( 2.4 ) und ( 3.67 ) sowie deren Umkehrungen ( 2.3 ) und ( 3.68 )


Dr. Erich Boeck 60

7.2 Berechnung des Feldes eines geraden Leiters

Nach dem Faraday’schen Magnetfeld folgt aus dem Durchflutungsgesetz für einen unendlich

langen geraden dünnen Leiter:

r 2π

IH und somit

r 2π

IμB

Eine Berechnung mit dem neu vorgeschlagenen Magnetfeld erfolgt über (vxD)ges.

Abb. 7.2: Unendlich langer gerader Leiter

Nach Abb. 7.2 wird |DM| zu (cos realisiert hier die Komponente senkrecht zu vd):

0

3/222d

0

3/222dgesdM)r(x 4π

dx A ρ 2

)r(x 4π

dQ 2 )(

rv

rvDvD

0

3/222

0

3/222

dM

)r(x

dx

2π

r I

)r(x 4π

dxr A vρ 2 D

H r 2π

I DM

BDE r 2π

Iμ μ MM

Das Ergebnis zeigt DM ≙ H und EM ≙ B.

Das gleiche Resultat ergibt sich bei Benutzung der Bilanzgleichung ( 3.67 ) für einen

konzentrischen Zylinder um den Leiter (bei /t=0).

r π2

ID Idαr D

dx Iddx)(dαdx

dV)t

()(d

M

2

0

M

schnittLeiterquer

2

0

d

inhalt-Volumen

fläche-Ober

d

ASDvr

DSDvA

Auch für unterschiedliche Materialien, die konzentrisch um den Leiter angeordnet sind,

folgen dieselben Resultate wie nach dem Faraday’schen Magnetfeld.

Für Materialien, die halbseitig zum Leiter angeordnet sind (Abb. 7.3),

Abb. 7.3: Leiter mit halbseitig unterschiedlichen Materialien

vd + dx

A

r

x x

D

B2

I

1;1 2;2

H2 B1

H1


Dr. Erich Boeck 61

kann wiederum das Durchflutungsgesetz verwendet werden.

r π)μ(μ

I μμBB

r π)μ(μ

I μH

r π)μ(μ

I μH

I )/μμ (1 Hr π Hr π Hr πd

21

2121

21

12

21

21

21121

sH

Eine formale Berechnung über (vxD)ges nach dem neu vorgeschlagenen Magnetfeld führt nicht

zu diesem richtigen Ergebnis (es fehlt die Wirkung der Ausbreitungsgeschwindigkeit).

Der Weg über die Bilanzgleichung ( 3.67 ) unter Voraussetzung EM1 = EM2 (= B) an der

Materialgrenze zeigt Folgendes (bei /t=0):

. I dαr )D v)(μ/μ(1

dx IddxD vrdα D vrdαdx

dV)t

()(d

)(μ/μ)( )(μ)(μ

c c c

2/

2/

1d21

schnittLeiterquer

2/

2/

2/3

2/

2d1d

inhalt-Volumen

fläche-Ober

d

1d212d2d21d1

2

22

2d

2

11

1d

2

1

1dM1

AS

DSDvA

DvDvDvDv

DvDvEvE

Damit werden:

. r π)μ(μ

I μμE

r π)μ(μ

I μμE

r π)μ(μ

I μD

r π)μ(μ

I μD

21

21M2

21

21M1

21

1M2

21

2M1

Diese entsprechen der Berechnung nach dem Durchflutungsgesetz.

Dieses Beispiel demonstriert, dass die beiden zueinander analogen Bilanzgleichungen ( 2.4 )

und ( 3.67 ) eigenständige Informationen beinhalten (vergleiche auch 4.3).

M

inhalt-VolumenHüllfläche

M

inhalt-VolumenHüllfläche

dV)t

(d bzw. QQdV ρd QD

SDAAD

Die Wirkungen von EM1 und EM2 (senkrecht zu deren Ausbreitungsrichtung) sind genauso

wie die von E1und E2 an der soeben behandelten Materialgrenze gleich. Es sind aber

anscheinend zusätzlich zu den Materialkonstanten ( und ) die Ausbreitungsgeschwin-

digkeiten c1 und c2 zu berücksichtigen.

Die für diesen Fall experimentell bestätigte Erkenntnis B1 = B2 entspricht EM1 = EM2.


Dr. Erich Boeck 62

7.3 Berechnung der Induktivität eines Koaxialkabels

Es soll ein gerades Stück eines konzentrischen Koaxialkabels der Länge l berechnet werden.

Abb. 7.4: Koaxialkabel (Strom fließt im Innenleiter nach vorn, im Außenleiter nach hinten)

Ausgehend von Gleichung ( 3.67 ) mit dem konzentrischen Zylindervolumen Länge mal

Kreisfläche ( l πr2 ) erhalten wir (ohne D/t):

Länge

fläche-KreisLänge

fläche-Kreis

M dAds dAds)( SDrot .

Da die Gleichung für jede Länge gilt, müssen schon die inneren Integrale gleich sein. Mit

dem Stokes’schen Satz folgt somit das Durchflutungsgesetz.

umfasst

fläche-Kreis

eKreisflächum Ring

M Id d ASsD

Bilden wir das Integral auf einem konzentrischen Ring, so ist |DM| aus Symmetriegründen

konstant und DM zeigt immer in die Richtung von ds. Wir erhalten in den Bereichen:

2

i

2

Mr π

r π Ir 2 D Innenleiter

Ir 2 M D Isolator

)r(r π

)r (r π Ir 2

2

a1

2

a2

22

a2M

D Außenleiter

Mit EM=μDM wird im Bereich des Isolators die magnetische Spannung

i

I

r

r

I

r

r

M

r

r

MNahr

rln

2π

μI

r

dr

2π

μIddΔ

iii

eeErEsA .

Dabei war EM immer senkrecht auf dr und das Ergebnis zeigt in die Richtung des Stromes im

Innenleiter. Auf einer konzentrischen Zylinderfläche ist aus Symmetriegründen |DM|=const

und es steht jedes Flächenelement dA senkrecht auf DM, sodass sich ΨM ebenfalls in Richtung

des Stromes (eI) ergibt.

l Ir 2π

Ilr 2πd II

ntel(r)Zy linderma

MMges eeDAΨ

Weil nun ΨMges für jeden Zylinderring gleich bleibt und dΔA auf dem ganzen Zylinderring

gleich groß ist und immer in dieselbe Richtung zeigt, wird der magnetische Widerstand 93

l 2

)r/ln(rμ

l I 2

)r/ln(r μIR ia1ia1

M

.

93 Dieser magn. Widerstand unterscheidet sich vom Faraday’schen Magnetfeld.

r

ra1

ri

EM, DM

ra2 0 ≤ r ≤ ri Innenleiter

ri ≤ r ≤ ra1 Isolator

ra1 ≤ r ≤ ra2 Außenleiter


Dr. Erich Boeck 63

Die Induktivität L für den Bereich des Isolators ergibt sich nach ( 3.76 ) zu

i

a1IIMgesM

Leiter

Leiter

Kop

r

rln

2

μll) 0l(R

I

1dΔ

I

1

I

ΔAL

eeΨsA .

Der erste Term in der Klammer steht für die Integration entlang des Innenleiters und der

zweite zurück entlang des Außenleiters. (Da ΔA beim Innenleiter von ri bis ra1 integriert

wurde, kann für den Rückleiter ΔA nur von ra1 bis ra1 integriert werden und wird Null.) Die

Induktivität stimmt mit der Rechnung nach dem Faraday’schen Magnetfeld überein. Durch

die Symmetrie und die günstigen Richtungen war diese Rechnung nur unwesentlich

komplizierter, da die Kreuzprodukte zwar zu beachten waren, sich aber kaum ausgewirkt

haben.

7.4 Berechnung der Induktivität einer Ringkernspule

Es soll ein hochpermeabler Ring mit kreisförmigem Querschnitt vom Radius rq (rq << rR dem

Radius des Ringes) dicht mit einer Lage Windungen umwickelt sein (Abb. 7.5).

Abb. 7.5: Ringkernspule und ihr Querschnitt

Da der Ring eine viel höhere Permeabilität besitzt, hat er einen viel höheren magnetischen

Widerstand und es wird dadurch in Luft nur ein vernachlässigbarer Spannungsabfall ΔA

entstehen 94. Bilden wir auf dem mittleren Umfang (lm) das Durchflutungsgesetz, wird

m

MmM

l

Ml

μwIE d.h. I wlD d

m

sD .

Da rq << rR ist, sollen DM und EM als hinreichend konstant angesehen werden. Es ergibt sich

der magnetische Spannungsabfall von rq bis zur Mitte (r=0)

qq

q

r

0

MUmfang

r

0

M

0

r

M drEddΔ erEEsA .

Nach ( 3.75 ) folgt die Koppelspannung (eUmfang hat die Richtung von dsL – entspricht der

Stromrichtung – mit |dsL|=rdα)

Il

μπrwπ2

2

r

l

μwIwrdα drEwΔA

m

2

q2

2

q

m

2

schleife-Leiter

0

r

0

MKop

q

.

94 Vergleichbare Näherung zur Vernachlässigung des äußeren Φ beim Faraday’schen Magnetfeld.

EM, DM

nach vorn

Ψ und in die

gleiche Richtung

ΔA auf einer Linie

|ΔA|=const

I rq

Ausbreitungsrichtung

lm =2πrR

Eisenkern

Leiter


Dr. Erich Boeck 64

Für L=ΔAKop/I ergibt sich auch hier das gleiche Ergebnis wie bei der Rechnung nach dem

Faraday’schen Magnetfeld (Phi76 S. 98).

Es ist aber nicht einfach möglich, den magnetischen Widerstand zu bestimmen. Zwar haben

in jedem kleinen Volumenelement dΔA und dΨ die gleiche Richtung, aber im Gegensatz zum

Beispiel in Anlage 7.3 sind schon im benachbarten Volumenelement die Richtungen etwas

anders.

Bei einer Betrachtung in Zylinderkoordinaten muss hier berücksichtigt werden, dass rot ΔA

eine andere Form annimmt und somit ( 3.73 ) ebenfalls angepasst werden muss (EM zeigt in

unserem Fall in z-Richtung).

zrα

Mdα

)d(

r

1

dr

)d(r

r

1e

AAArotE

In diesem Beispiel existiert nur ein ΔAα und das Integral wird

r

0

MM

r

0

r

0

MM

2

drrEr

1

2

rE)r(ΔA

)r(Ardrdr

)Ad(rdrrEE

2

r

Und somit wird nach Integration über den Leiter (entspricht w Leiterschleifen)

2

schleife-Leiter

0

q

Mq2

schleife-Leiter

0

qqKop dαr 2

Erwdαr )r(ΔAwΔA

und wir erhalten das gleiche Ergebnis wie oben.

Mit dΨM entsprechend ( 3.68 ) wird der magnetische Widerstand aus einer Parallelschaltung

m

M

2

0

mm

M

m

Ma

amM

Ma

amM

a

aM

M

mMM

l 4

μR

μ

2 l2

μ

dα l2

R

1

μ

dα l2

μDr

dαr lD2

Er

dαr lD2

)r(ΔA

)r(dΨ)

R

1d(

rdα lD)r(dΨ

Der magnetische Gesamtwiderstand scheint aber eine Täuschung zu sein, da kein Fluss ΨMges

existiert, der hindurchfließt. Weil DM immer in z-Richtung zeigt, ergibt das Kreuzprodukt mit

dA (zeigt immer in radiale Richtung) ein ΨM in Richtung des Kreisumfanges. Die Integration

von Vektoren, die „aneinander gehängt“ einen geschlossenen Kreis ergeben, ist Null. (Beim

Beispiel in Anlage 7.3 hätten wir auch Null erhalten, wenn wir die Zylinderfläche um Hin-

und Rückleiter gelegt hätten.)

Das verdeutlicht die Problematik beim Umgang mit dem vektoriellen Fluss ΨM und der

vektoriellen Spannung ΔA.

7.5 Modell mit verteilten Elementen in Tensordarstellung

Werden die Komponenten von D und DM in Abb. 3.13 zum Verschiebungsflusstensor H

zusammengefasst, SL in den Tensor S überführt sowie dΔΦ = (∂Φ∂Φ)ds = Fds

als Gesamtspannung verwendet, folgt Abb. 7.6.

.

.


Dr. Erich Boeck 65

Abb. 7.6: Modell in Tensordarstellung

Dabei bedeuten die Schreibweisen:

U/c0 wird zu ΔΦ mit Φα = (2φ/c0, Ax, Ay, Az) (der Bezugspunkt ist hier ohne Belang).

dU/c0 wird zu dΔΦ und im Sinne eines Gradienten zu (∂Φ ∂Φ) ds = F ds .

Der Faktor M 95 verbindet H mit F, sodass alle c0D mit 1/c0 = (c/c0)2 und alle DM mit

multipliziert werden und so E/c0 und EM ergeben.

FM = {0, EM} hat nur Komponenten von EM im schiefsymmetrischen Tensor.

Mit dem Faktor K = {1/c0, 0. 0, 0} wird KS KS + FM = F. ähnlich

95 MHαβ entsprticht dem H in (Reb99 S. 864), M beinhalter die Materialabhängigkeit und wirkt wie ein Operator.

DM

DM+dDM

ΔA

ΔA+dΔA

dΔA=dsAxEM

μdsAx

dDML=

dsAxSL

dDMV=

dsAx (c0D)/t

ds in Richtung von E, D, S

Ausbreitungsrichtung, dsA

Vektorrichtung

c0D c0(D+dD)

U/c0=ρ/c0CR" (U+dU)/c0

E∙ds/c0

dEind/c0=

(ΔAB/t)∙ds

∙ds/c02

c0dD

=c0ρds

dU/c0

dEind/c0=

(ΔAB/t)∙ds

SL SL+dSL

U/c0=ρ/c0CR" (U+dU) /c0

E∙ds/c0

∙ds/κ c0

dSR=

ds ρ/t

c0CR"ds

dU/c0

H H+∂H

ΔΦ= ρ/c0CR" ΔΦdΔΦ

dΔΦ=(∂Φ∂Φ)ds=Fds

FMds ∂Hg

= S

MHds

(KSKS)

ds

S S+∂S


Dr. Erich Boeck 66

Die Faktoren ds geben den Änderungen die Größe für das Volumenelement, treten in

Gleichungen auf beiden Seiten auf und fallen so letztendlich heraus.

Der Faktor/Operator M ist wie folgt zu handhaben.

F

0EEc/E

E0Ec/E

EE0c/E

c/Ec/Ec/E0

1000

0100

0010

000

0DDDc

D0DDc

DD0Dc

DcDcDc0

1000

0100

0010

000

μ

HμH

MxMy0z

MxMz0y

MyMz0x

0z0y0x

MxMyz0

MxMzy0

MyMzx0

z0y0x0 20

2

20

2

c

c

c

c

MMM

M beinhaltet die Materialabhängigkeit des ruhenden Mediums (K mit MH=F). M wird

beim Übergang in ein mit v bewegtes Beobachtungssystem (K) selbst nicht transformiert. Es

wird mit D = E und EM = DM

M H = M αγ

βδH

γδ = αγ

βδF

γδ = F .

Nach Vergleich der Komponenten auf beiden Seiten ergibt sich:

EII = (1/)DII und EMII = DMII sowie

E + vxEM = (1/){D + vxH/c02} und

EM vxE/c02 = {DM vxD} .

Nach Umformen und Ineinander - Einsetzen werden daraus 96:

E = 2{(1v2/c2)D + (1c02/c2)vxH/c0

2} und

(1/)EM = 2{(1 (c2/c02)v2/c0

2)DM (1c2/c02)vxD} .

Darin kommen zumindest für homogene isotrope Medien die Effekte in bewegten Medien mit

nεμ/c/cc 00 (Brechungsindex) zum Tragen.

Da in K nur die Materialabhängigkeit steht, ist dieses ebenfalls nicht zu transformieren. Der

Ausdruck KS KS + FM ist ein schiefsymmetrischer Tensor zweiter Stufe, was durch

sein Transformationsverhalten überprüft werden kann. Damit kann die Leitungsstromdichte

S mit F im Modell funktional über verknüpft werden. Auf analoge Weise wie oben ergibt

sich mit KγS

γ´ KαγS

γ´, ausgehend vom ruhenden Medium (K mit ´= 0), für ein mit v

bewegtes Beobachtungssystem (K):

KS KS = KγS

γ´ KαγS

γ´ mit γS

γ´= = = S

und es wird:

.

96 Vergleiche auch (Reb99 S. 803) und (Kar11 S. 50), für c=c0 bzw. v=0 werden wieder E= D, EM = DM und S

= (E + vxEM) bzw. E.

z

y

x

x

2

00

S

S

)γρ vS(

)γS v/cρ(c

z

y

x

0

S

S

S

ρc

000κc/S

000κc/S

000κc/S

κc/Sκc/Sκc/S0

0z

0y

0x

0z0y0x


Dr. Erich Boeck 67

.

Aus KγS

γ´ KαγS

γ´ + αγ

βδFM

γδ = F folgt durch Vergleich der Komponenten:

SL = γ(E + vxEM) 97 .

So können in diesem Modell formal D und DM zu Hαβ bzw. mit M zu Fαβ sowie E=S/ und EM

ebenfalls zu Fαβ zusammengefasst werden.

Der Knotenpunkt führt zu:

∂βHαβ = Sα und entspricht der inhomogenen DGL im Sinne der Divergenz

(vergleiche: divD = 0 und rotDM ∂D/∂t = SL), außerdem wird:

∂Sα = 0 ,

und der Maschenumlauf (oben über MHds) führt zu:

dΔΦ = (∂Φ ∂Φ) ds = MH ds = Fαβ ds im Sinne eines Gradienten

(vergleiche: E/c0 = 2grad(/c0) ∂A/∂c0t und EM = rotA; ohne ds).

Daraus wird nach weiterer Differenziation die homogene DGL ∂α Fβγ+∂β Fγα+∂γ Fαβ = 0

(entsprechend rotE + ∂EM/∂t = 0 und divEM = 0). Somit ergeben sich alle Maxwell’schen

Gleichungen.

Wird der Maschenumlauf alternativ über den unteren Weg geführt:

dΔΦ = (∂Φ ∂Φ) ds = (KS KS)ds + FMds = Fαβds 98

folgt das gleiche Resultat.

Die Stromquelle fügt das durch SL erzeugte Magnetfeld hinzu, die Spannungsquelle fügt

durch eine Anpassung an Fαβds die Induktion ein. Die Induktion durch ∂A/∂c0t von dΔΦ ist

in Fαβds enthalten. Genauso sind und ∂D/∂t in ∂βHαβ bereits berücksichtigt. Alle

Materialeigenschaften sind nur in M und K und demzufolge fest mit dem Volumenelement

dV (d.h. dem Ort) verbunden. Es sind also keine Informationen über entfernten Quellen oder

über die Nachbarelemente erforderlich.

Eine Formulierung des Modells von Abb. 7.6 mit Hilfe von Tensoren kann eventuell auch als

lokaler Minkowskiraum in der allgemeinen Relativitätstheorie genutzt werden.

97 γ(SII´v´)=SII, S´=Sbzw. E´II= EII, E´=γ(E+vxEM) sowie S´=E´und ´=0; Vergleiche auch (Reb99 S.

863ff) und (Kar11 S. 50) 98 (1/κc0)SL =SL/(c0)=E/c0 sowie zusätzlich mit EM aus FM


Dr. Erich Boeck 68

8 Literaturverzeichnis

Bec73, Becker, Richard und Sauter, Fritz:. 1973. Theorie der Elektrizität Band 1 (21.

Auflage). Stuttgart : B. G. Teubner, 1973.

Boe78, Boeck, Erich. 1978. Theoretische Untersuchungen des Impulsverhaltens von

Lumineszenzdioden. Wissenschaftliche Zeitschrift der Universität Rostock. 27. Jahrgang

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe, 1978, Heft 9, S. 989-994.

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