Erler-Maccaferri 解についてishibash/SFT16/takahashi.pdfIntroduction Boundary condition changing operators Erler-Maccaferri solutions Chan-Paton factors Background Gauge Fields

IntroductionBoundary condition changing operators

Erler-Maccaferri solutionsChan-Paton factors

Background Gauge Fields

.

.Erler-Maccaferri解について

高橋　智彦

奈良女子大学研究院自然科学系

2016年 2月 22日弦の場の理論１６

(筑波大学東京キャンパス文京校舎)

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This talk is based on the work in collaboration with

石橋　延幸 (Tsukuba University)

岸本　功 (Niigata University)

in preparation (arXiv:16**.****)

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Introduction

Open string field theory has the possibility of revealingnon-perturbative aspects of string theory.

Recently, Erler and Maccaferri have proposed a method toconstruct classical solutions, which are expected to describe anyopen string background (2014).

Erler-Maccaferri’s solutions provide correct vacuum energy andgauge invariant observables.

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.. .1 Introduction.

. .2 Boundary condition changing operatorsboundary condition changing operatorstwo point functionsfour point functionsOPE of bcc

.. .3 Erler-Maccaferri solutions

modified bcc operatorsErler-Maccaferri解

.. .4 Chan-Paton factors

Erler-Maccaferri’s solution for N D-branesProjectorsBackground described by the solution

.. .5 Background Gauge Fields

background gauge fieldsbcc operators

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boundary condition changing operatorstwo point functionsfour point functionsOPE of bcc

boundary condition changing operators

X(z): a open string coordinate operator on the z plane

the usual doubling trick

z

Neumann b.c.

X

X

z

X

X

Dirichlet b.c.

To be precise, X(z) = X(z) for the Neumann b.c. and X(z) = −X(z)

for the Dirichlet b.c.. (cf. T-duality)

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We consider the following mixed boundary condition. If X(z)rotate by 2π around the origin, X(z) changes the sign.

z

O

XX

Neumann b.c.Dirichlet b.c.

So, X(z) satisfies anti-periodic boundary conditions on this plane.

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反周期境界条件をみたす X(z)をモード展開すると

X(z) = i

√α′

2

∑n∈Z+ 1

2

1

nαn z

−n

ゼロモードがないことに注意

真空 |0⟩A を ∂X(z) |0⟩A (z → 0) が正則となるように定義すると

αn |0⟩A = 0 (n =1

2,3

2, · · · )

A⟨0|αn = 0 (n = −1

2,−3

2, · · · )

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モード展開を使って ∂X(z)の２点関数が計算できる。

A⟨0| ∂X(z)∂X(w) |0⟩A = −α′

4

1

(z − w)2

(√z

w+

√w

z

)これより、エネルギー運動量テンソルの１点関数が計算できる。

A⟨0|T (w) |0⟩A = limz→w

{− 1

α′ A⟨0| ∂X(z)∂X(w) |0⟩A −1/2

(z − w)2

}=

116

w4

境界条件の境目 z = 0,∞にプライマリ場 σ∗ と σ∗ があると見なして良い。

A⟨0|T (w) |0⟩A = ⟨0| σ∗(∞)T (w)σ∗(0) |0⟩ h =1

16

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two point functions

h = 1/16より ⟨σ∗(z)σ∗(w)

⟩=

C

(z − w)1/8

SL(2, R)変換によって z と wは自由に動かせる。⟨σ∗(z)σ∗(w)

⟩=⟨σ∗(z

′)σ∗(w′)⟩

z =az + b

cz + d(ad− bc = 1)

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bccの OPEを

σ∗(w)σ∗(z) ∼g∗

(z − w)1/8+ · · · (z > w)

とすると

w zDirichlet bc

w z

⟨σ∗(w)σ∗(z)

⟩=

g∗

(z − w)1/8× ⟨0|0⟩Dirichlet

10 / 48





bccの OPEを

σ∗(w)σ∗(z) ∼g0

(z − w)1/8+ · · · (z < w)

とすると

w zNeumann bc

z w

⟨σ∗(w)σ∗(z)

⟩=

g0

(z − w)1/8× ⟨0|0⟩Neumann

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SL(2, R)不変性より

g0 × ⟨0|0⟩Neumann = g∗ × ⟨0|0⟩Dirichlet

よって g0 = g∗!

つまり、bccの OPEでは

σ∗σ∗ = σ∗σ∗

bccの OPEを正確に評価するためには、bccの４点関数について知る必要がある。

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four point functions

G(z, w, xi) =

⟨∂X(z)∂X(w)σ∗(x1)σ∗(x2)σ∗(x3)σ∗(x4)

⟩⟨σ∗(x1)σ∗(x2)σ∗(x3)σ∗(x4)

⟩...1 z について 1-formである。...2 z =∞で正則である。すなわち、G ∼ O(z−2) (z ∼ ∞)。...3 z ∼ wで　　

G ∼ −α′

2

1

(z − w)2...4 z ∼ xi で　　

G ∼ (z − xi)−1/2 (i = 1, 3)

G ∼ (z − xi)−1/2 (i = 2, 4)

(w についても同様の条件が成り立つ) 13 / 48





Dixon-Friedan-Martinec-Shenker (87)

これらの条件から、Gの形が次のように決まる。

G(z, w, xi) = −α′

2ω(z)ω(w)

[1

2

(z − x1)(z − x3)(w − x2)(w − x4)(z − w)2

+1

2

(z − x2)(z − x4)(w − x1)(w − x3)(z − w)2

+A(xi)

]ここで

ω(z) = [(z − x1)(z − x2)(z − x3)(z − x4)]−12

A(xi)は xi の未知関数←これがわかれば Gが決まる。

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x1 = 0, x2 = x, x3 = 1, x4 =∞とすると、

G(z, w, x) = −α′

2ω(z)ω(w)

[1

2

z(z − 1)(w − x)(z − w)2

+1

2

(z − x)w(w − 1)

(z − w)2+A(x)

]ここで

ω(z) = [z(z − x)(z − 1)]−12

0 x 1 ∞

Neumann↓

Dirichlet↓

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0 x 1 ∞p →

X

2πi(−iα′p) =

∮dz∂X = −

∫ x

0dz∂X(z)× 2

∫ x

0dzG(z, w, x) = −πα′p

⟨∂X(w)σ∗(x1)σ∗(x2)σ∗(x3)σ∗(x4)

⟩⟨σ∗(x1)σ∗(x2)σ∗(x3)σ∗(x4)

⟩

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右辺は wについての特異性を調べると ω(w)に比例するから、⟨∂X(w)σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩⟨σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩ =−πα′p∫ x0 dzω(z)

× ω(w)

∴∫ x

0dzG(z, w, x) = −πα′p× (−πα′p)

ω(w)∫ x0 dzω(z)

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ここまでをまとめると

G(z, w, x) = −α′

2ω(z)ω(w)

[1

2

z(z − 1)(w − x)(z − w)2

+1

2

(z − x)w(w − 1)

(z − w)2+A(x)

]∫ x

0dzG(z, w, x) = π2α′2p2

ω(w)∫ x0 dzω(z)

よって

−α′

2

∫ x

0dzω(z)ω(w)

[1

2

z(z − 1)(w − x)(z − w)2

+1

2

(z − x)w(w − 1)

(z − w)2+A(x)

]= π2α′2p2

ω(w)∫ x0 dzω(z)

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w →∞の極限をとると

A(x)

∫ x

0dzω(z) +

1

2

∫ x

0dz(z − x)ω(z) + 2π2α′p2

1∫ x0 dzω(z)

= 0

A(x) = −1

2

∫ x0 dz(z − x)ω(z)∫ x

0 dzω(z)− 2π2α′p2

1[∫ x0 dzω(z)

]2

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ここで∫ x

0dzω(z) =

∫ x

0dzz−1/2(z − x)−1/2(z − 1)−1/2

= −∫ 1

0dt t−1/2(1− t)−1/2(1− xt)−1/2

= −Γ(1/2) Γ(1/2)F (1/2, 1/2, 1;x)∫ x

0dz(z − x)ω(z) = x

∫ 1

0dt t−1/2(1− t)−1/2(1− xt)−1/2

= xΓ(1/2) Γ(3/2)F (1/2, 1/2, 2;x)

d

dxF (1/2, 1/2, 1;x) =

1

4(1− x)−1F (1/2, 1/2, 2;x)

1

F (1/2, 1/2, 1;x)2= −πx(1− x) d

dx

F (1/2, 1/2, 1; 1− x)F (1/2, 1/2, 1, x)

を使うと、A(x)を超幾何関数で表すことができる。20 / 48





⟨∂X(z)∂X(w)σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩⟨σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩= −α

′

2ω(z)ω(w)

[1

2

z(z − 1)(w − x)(z − w)2

+1

2

(z − x)w(w − 1)

(z − w)2

+x(1− x) ddx

lnF (1/2, 1/2, 1;x)

+2πα′p2x(1− x) ddx

F (1/2, 1/2, 1; 1− x)F (1/2, 1/2, 1;x)

]

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T (z)の１点関数を計算したときと同様に、w → z の極限をとれば⟨T (z)σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩⟨σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩ =1

16

(1

z+

1

z − 1− 1

z − x

)2

+x(1− x)

2z(z − x)(z − 1)

d

dx

{lnF (1/2, 1/2, 1;x)

+2πα′p2F (1/2, 1/2, 1; 1− x)F (1/2, 1/2, 1;x)

}=

1/16

(z − x)2+

1

z − x

[− 1

8

(1

x+

1

x− 1

)−1

2

d

dx

{lnF

(1

2,1

2, 1;x

)+ 2πα′p2

F(12 ,

12 , 1; 1− x

)F(12 ,

12 , 1;x

) } ]+ · · ·

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T (z)と σ∗(x)との OPEを使って、z ∼ xの特異性をみると、

d

dxln⟨σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩= −1

8

(1

x+

1

x− 1

)−1

2

d

dx

{lnF

(1

2,1

2, 1;x

)+ 2πα′p2

F(12 ,

12 , 1; 1− x

)F(12 ,

12 , 1;x

) }

積分すれば（ようやく）４点関数が導かれる。⟨σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩=

C

|x|18 |1− x|

18

1√F(12 ,

12 , 1;x

) exp(−πα′p2

F(12 ,

12 , 1; 1− x

)F(12 ,

12 , 1;x

) )

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最終的な４点関数は pで足しあげて⟨σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩=

C

|x|18 |1− x|

18

1√F(12 ,

12 , 1;x

)×∫dp exp

(−πα′p2

F(12 ,

12 , 1; 1− x

)F(12 ,

12 , 1;x

) )

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OPE of bcc

x→ 0 ⟨σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩→ C

∫dp |x|−

18+α′p2 + · · ·

x→ 1 ⟨σ∗(0)σ∗(x)σ∗(1)σ∗(∞)

⟩→ C√

α′|1− x|−

18 + · · ·

これから bccの OPEを読み取ると

σ∗(0)σ∗(x) = C

∫dp |x|−

18+α′p2eipX(0) + · · · (x > 0)

σ∗(x)σ∗(0) =C√α′|x|−

18 + · · · (x < 0)

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二点関数にすると、x > 0のとき⟨σ∗(0)σ∗(x)

⟩= C

∫dp |x|−

18+α′p2

⟨0∣∣eipX(0)

∣∣0⟩N

x < 0のとき ⟨σ∗(x)σ∗(0)

⟩=

C√α′|x|−

18⟨0∣∣0⟩

D

二つは等しいから⟨0∣∣eipX(0)

∣∣0⟩N= δ(p),

⟨0∣∣0⟩

D=√α′

したがって、⟨0∣∣0⟩

N⟨0∣∣0⟩

D

=δ(0)√α′

=V

2π√α′

=T25 V

25

T24 V 24

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modified bcc operators

σ(z) = ei√

h/α′X0(z) σ∗(z)

σ(z) = e−i√

h/α′X0(z) σ∗(z)

先の例では h = 1/16であり、x→ 0+の極限をとると

σ(0)σ(x) = C∆p = C2π

V=

2π√α′

V

σ(0)σ(x) =C√α′

= 1

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正則化された bcc場を.

.

. ..

.

.

Σ = QΨtv

(1√

1 +KBσ

1√1 +K

)Σ = QΨtv

(1√

1 +KBσ

1√1 +K

)とおく。ここで、σ = σ(0)I, σ = σ(0)I。

σσ = 1などから、ΣΣ = I。また、QΨtvΣ = 0, QΨtvΣ = 0。

ポイントは

Σ ∼ σ(0)I, Σ ∼ σ(0)I

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Erler-Maccaferri解

Erler-Maccaferri (’14).

.

. ...

.Ψ0 = Ψtv − ΣΨtvΣ

Ψtv はタキオン真空解。−ΣΨtvΣはタキオン真空上での古典解であることがわかる。

作用の値は

S[Ψ0;QB] = S[Ψtv;QB] + S[−ΣΨtvΣ;Qtv]

=1

6g

∫Ψ3

tv −1

6g

∫(ΣΨtvΣ)

3

ND境界の bccの場合からつくって古典解に対して、

= T25V25 − T24V 24

D25ブレーン上の SFTにおける D24ブレーン解を表す。 29 / 48





1

6g

∫(ΣΨtvΣ)

3 =

Ψtv Ψtv

Ψtv

σ

σ σ

σ

σ σ

Ψtv

Ψtv

ΣΣ = 1を使って bcc を消すと

=

Ψtv Ψtv

Ψtv

Ψtv

Ψtv

=1

6g

∫D24

Ψ2tv

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Erler-Maccaferri解 (’14).

.

. ...

.Ψ0 = Ψtv − ΣΨtvΣ

一般の bccを使って、任意の BCFTをつなぐ古典解が構成できると主張

energyと closed string tadpole(overlap)は正しく再現される

EM解で展開した cohomologyについて議論しているが不十分か? (Bonora-Tolla (’14))

tachyon lump解を構成し、解の成分場 (tachyon profile)を計算している。

多重ブレーン解を構成し、Chan-Paton因子が生じる可能性を述べている。

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There is one question related to the degree of freedom of stringfields in the background.

We have one string field in the theory on a single D-brane.

However, in the case that the multi-brane solution provides thebackground of the N D-branes, the number of string fieldsincreases to N2 around the solution.

Here, it is natural to ask how to generate N2 string fields orChan-Paton factors from one string field.

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On the other hand, it is well-known that matrix theories are able todescribe various D-branes (BFSS 1996, IKKT 1996).

In matrix theories, D-branes are created by classical solutions asblock diagonal matrices. After expanding a matrix around thesolution, block matrices can be understood as representing openstrings connecting each D-brane.

Here, it should be noted that there are similarities between thematrix and the open string field: the matrix is deeply tied to theopen string degree of freedom, and an open string field isinterpreted as a matrix in which the left and right indicescorrespond to the left and right half-strings(Witten 1985).

Then, it seems plausible that N2 string fields on N D-branes areembedded like block matrices in a string field on a D-brane.

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We consider multi-brane solutions in the Minkowski background forsimplicity.

For N D-brane solutions, the bcc operators can be given by

σa(z) = eika·X(z), σa(z) = e−ika·X(z) (a = 1, 2, · · · , N),

where kµa satisfy k2a = 0 and ka · kb < 0 (a = b).

For example, we can take kµa = (a, 1,√a2 − 1, 0, · · · , 0).

KMTT (2014).

.

. ..

.

.

limϵ→0

σa(ϵ)σb(0) = limϵ→0

ϵ−ka·kb = δa,b

ka · kb

ab

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Erler-Maccaferri’s solution

Using the tachyon vacuum solution ψT, and Σa, Σa,Erler-Maccaferri provided a multi-brane solution as.

.

. ..

.

.

Ψ0 = ψT −N∑a=1

ΣaψTΣa

The solution Ψ0 provides a correct vacuum energy for N D-branes:

S[Ψ0;QB] = −(N − 1)S[ψT;QB].

Expanding the string field around the solution as Ψ = Ψ0 + ψ, wecan obtain the action for the fluctuation ψ:

S[Ψ;QB] = S[Ψ0;QB] + S[ψ;QΨ0 ].

Does S[ψ;QΨ0 ] describes the theory on the N D-branes?35 / 48





Projectors

To clarify the physical interpretation of S[ψ;QΨ0 ], we introduce Nprojection states as follows: KMTT (2014).

.

. ...

.

Pa = ΣaΣa (a = 1, · · · , N).

In addition to Pa, we define the 0th projection as a complementaryprojector:.

.

. ..

.

.

P0 = 1−N∑a=1

Pa,

where 1 denotes the identity string field.

36 / 48





With the help of these projectors, the string field Ψ can bepartitioned into (N + 1)× (N + 1) blocks:.

.

. ..

.

.

Ψ =

N∑α=0

N∑β=0

PαΨPβ =

Ψ00 Ψ01 · · · Ψ0N

Ψ10 Ψ11 · · · Ψ1N...

.... . .

...ΨN0 ΨN1 · · · ΨNN

where Ψαβ is defined as the (α, β) sector of Ψ; Ψαβ ≡ PαΨPβ .

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The second term in Erler-Maccaferri’s solution is a solution to theequation of motion at the tachyon vacuum.

Then, the second term is represented as

−N∑a=1

ΣaψTΣa =

0 0 0 · · · 00 −Σ1ψTΣ1 0 · · · 00 0 −Σ2ψTΣ2 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · −ΣNψTΣN

.

Accordingly, it turns out that the N D-brane solution at thetachyon vacuum is given as a block diagonal matrix.

This is a similar result to the case of matrix theories (BFSS,IKKT).

38 / 48





Background described by the solution

Now, we consider the fluctuation ψ around the N D-branesolution.

Using the projectors, ψ can be written by matrix representation:

ψ =N∑

α=0

N∑β=0

ϕαβ.

Here, we consider change of variables of ϕαβ .

ϕab can be rewritten as

ϕab = PaϕabPb = Σa(ΣaϕabΣb)Σb.

So, we can change the variables from ϕab to ϕab = ΣaϕabΣb.39 / 48





Similarly, writing ϕ0a = χaΣa, ϕa0 = Σaχa, the fluctuation ψ isrepresented as.

.

. ..

.

.

ψ = χ+

N∑a=1

χaΣa +

N∑a=1

Σaχa +

N∑a=1

N∑b=1

ΣaϕabΣb

=

χ χbΣb

Σaχa ΣaϕabΣb

,

where we rewrite ϕ00 as χ.

40 / 48





Using QTΣα = QTΣα = 0, we find a matrix representation ofQΨ0ψ:.

.

. ..

.

.

QΨ0ψ =

P0(QTχ)P0 P0(QT0χb)Σb

Σa(Q0Tχa)P0 Σa(QBϕab)Σb

.

41 / 48





As a result, the action expanded around Ψ0 can be rewritten as.

.

. ..

.

.

S[ψ;QΨ0 ] = S[ϕab;QB] + S′[χ, χa, χa, ϕab],

where each action is given by

S[ϕab;QB] = −1

g2

∫ (1

2

N∑a=1

N∑b=1

ϕbaQBϕab +1

3

N∑a=1

N∑b=1

N∑c=1

ϕabϕbcϕca

)

and

S′[χ, χa, χa, ϕab] = − 1

g2

∫ (1

2χQTχ+

N∑a=1

χaQT0χa +1

3χ3

+

N∑a=1

χaχχa +

N∑a=1

N∑b=1

χaϕabχb

).

42 / 48





background gauge fields

Abouelsaood-Callan-Nappi-Yost (’86)

S = − 1

4πα′

∫Σd2σ∂αXµ∂

αXµ +

∫∂ΣAµ(X)dXµ

= − 1

4πα′

∫Σd2σ∂αXµ∂

αXµ +

∫Σd2σFµνX

µX ′ν

端点に異なる電荷 q1, q2 もつ弦を考える。X = (X1 + iX2)/√2,

X = (X1 − iX2)/√2とすると

.

.

. ..

.

.

S =1

2πα′

∫Σdtdσ(X ˙X −X ′X ′)

+iθ

4πα′

∫dt[q1(X

˙X − XX)∣∣∣σ=0

+ q2(X˙X − XX)

∣∣∣σ=π

]ここで、2πα′F12 = −θ とする。

43 / 48





境界条件は、qiθ = tan(ϕi/2) (i = 1, 2)として.

.

. ..

.

.

∂X = eiϕ2∂X (z ∈ R−)

∂X = e−iϕ1∂X (z ∈ R+)

∂X = e−iϕ2∂X (z ∈ R−)

∂X = eiϕ1∂X (z ∈ R+)

Neumann-Dirichlet の場合の ±を eiϕi に一般化した条件。

さらに、X と X のゼロモード xと xが交換関係.

.

. ..

.

.

[x, x] = − 2πα′

(q1 + q2)θ

をみたす。つまり、端点で電荷が異なる開弦では非可換時空が出現。

44 / 48





bcc operators

q1 = 0, q2 = q の場合

O

q

∂Xe−2πiλ∂X (λ = ϕ/2π)σ

F = 0F = 0

σ と σ の共形次元は.

.

. ..

.

.

h =λ(1− λ)

2

45 / 48





Ishibashi-Kishimoto-TT (in preparation)

bcc の４点関数を求めると.

.

. ..

.

.

⟨σ(0)σ(x)σ(1)σ(∞)

⟩= x−2h(1− x)−2h 1

F (λ, 1− λ, 1;x)

×∫d2p exp

[− πα′

tanπλp2 − πα′

sinπλp2F (λ, 1− λ, 1; 1− x)F (λ, 1− λ, 1;x)

]OPEを読み取ると、x > 0として

σ(0)σ(x) ∼ x−2hα′∫d2p e−

πα′tanπλ

p2xα′p2eipX(0)

σ(0)σ(x) ∼ x−2hα′ cosπλ

∫d2p e−

πα′tanπλ

p2xα′p2 cos2 πλeipX(0)

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二つの OPEから二点関数を計算して、それらが等しいことより⟨eipX(0)

⟩F=0

= δ2(p)⟨eipX(0)

⟩F

= δ2(p)1

cosπλ= δ2(p)

√det(δµν + 2πα′Fµν)

p = 0とおいて.

.

. ..

.

.

⟨0∣∣0⟩

F=⟨0∣∣0⟩

F=0

√det(δµν + 2πα′Fµν)

Born-Infeld作用が導かれた！

この bccを用いれば、Erler-Maccaferriの方法により Fµν が凝縮する古典解を構成できる。

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まとめ

boundary condition changing operatorsについて。

Erler-Maccaferriは、bccを使えばあらゆる（BCFTを変化させる）古典解が構成できると主張した。

しかし、X0 を特別扱いしているので、「あらゆる」は言い過ぎ。EMの方法では D instantonはつくれない。

多重ブレーン解から Chan-Paton因子を導く方法が提唱されている。(KMTT)

Fµν が凝縮する古典解を構成した。(IKT)

コンパクト化した場合の解は非可換トーラスと関連。

Fµν の凝縮は Bµν の凝縮とも関係しているので、非可換時空や閉弦の凝縮について考察できればさらに面白くなるはず。

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Documents

Erler-Maccaferri 解についてishibash/SFT16/takahashi.pdfIntroduction Boundary condition changing operators Erler-Maccaferri solutions Chan-Paton factors Background Gauge Fields