TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES

1.1. Introducción.1.2. Objeto de la elasticidad y resistencia de materiales.1.3. Hipótesis simplificativas.1.4. Principios generales.1.5. Tensiones y deformaciones.

Conceptos previos:

• RESISTENCIA MECÁNICA. Es la capacidad de un material de oponerse a la rotura.

• RIGIDEZ. Es la capacidad de un material de oponerse a las deformaciones.

Tipos de problemas:

• DIMENSIONAMIENTO. Consiste en determinar el material y la sección necesaria para soportar una serie de cargas.

• COMPROBACIÓN. Una vez conocidas las cargas, las secciones y los materiales, consiste en comprobar si los elementos resisten o no los esfuerzos a los que están sometidos.

1.2. OBJETO DE LA ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES

1

1.2. OBJETO DE LA ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES

T. 2

adm

adm

Resolverestructura

Buscar sección más desfavorable

Distribuciónde tensiones en la sección

, ,

, . . .,

fN Q M

A c d g I

T. 9

T. 2, 3 y 4

T. 5, 6, 7 y 8

Tema 2 REPASO DE ESTÁTICA

Tema 3 DIAGRAMAS DE ESFUERZOS

Tema 4 TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

Tema 5 TORSIÓN UNIFORME

Tema 6 TEORÍA GENERAL DE LA FLEXIÓN

Tema 7 CORTADURA

Tema 8 SOLICITACIONES COMBINADAS

Tema 9 TRANSFORMACIÓN DE TENSIONES

Y CRITERIOS DE FALLO

Buscar el punto más

desfavorable

.Si MATERIAL

resis

Dimensionar

Resistencia II (3º)

1.3. HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVAS

x

y

zEl material se considera isótropo, homogéneo y continuo:

• ISÓTROPO. Sus propiedades físicas son iguales en cualquier dirección.

• HOMOGÉNEO. Una parte tiene igual composición química que cualquier otra parte.

• CONTINUO. No tiene huecos o intersticios.

• ELASTICO Y LINEAL, se puede aplicar la Ley de Hooke y se puede aplicar el principio de superposición.

2

1.4. PRINCIPIOS GENERALES

• PEQUEÑAS DEFORMACIONES Y PEQUEÑOS DESPLAZAMIENTOS.

Las ecuaciones de equilibrio se pueden aplicar en la configuración inicial.

1.4. PRINCIPIOS GENERALES

• PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS. Expresa que el estado de equilibrio debido a varias solicitaciones que actúan simultáneamente sobre el elemento es igual a la superposición de la solución de cada solicitación actuando independientemente.

Este principio es aplicable si el material es elástico y LINEAL.

• PRINCIPIO DE SAINT-VENANT. Establece que a partir de una distancia suficiente de los puntos de la superficie de un sólido elástico en los que está aplicado un determinado sistema de fuerzas, las tensiones y deformaciones son prácticamente iguales para todos los sistemas de fuerzas que sean estáticamente equivalentes al dado.

P2

P

2

P

d

3

22

2

3

1

22

33

32

2331

2112

11

13

n

0

f fT lim

S

d

S dSn n-

T T

f

S

n

(n)T

dS

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

n

(n)Tn

n

P´n

´n

P

n´

(n´)T

n

n nT

El vector tensión se

descompone en una

componente normal y otra

tangencial

La tensión en un punto depende del plano de corte que utilicemos

para su definición

4

2n

3n

1n

(2)T

(3)T (2)T

(2)T(3)T

(1)T

(2)T

(3)T

(1)T

P

P

P

1

12

2

3

3

Seccionemos un sólido por tres

planos paralelos a los planos

coordenados

Finalmente aislemos el punto de interés…

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

(1)

(2)

(3)

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 2 33 3

T

T

T

e e e

e e e

e e e

(1)

(2)

(3)

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

T

T

T

e

e

e

T ij je(i)

ij

TENSOR DE TENSIONES

22

2

3

1

22

33

322331

211211

13

El tensor de tensiones (o matriz de tensiones como se suele llamar en muchas ocasiones) DEFINE EL ESTADO TENSIONAL DEL PUNTO (Es decir si conocemos este tensor podremos saber las tensiones en otras direcciones,…)

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

5

Ejemplo:

zx

z

My

I

AV m

I t

100

x

y

z

100

20

20

000

010020

020100

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Stt

tSt

ttS

xy yx

xz zx

yz zy

Las tensiones tangenciales en un punto

correspondientes a dos planos perpendiculares, en la

dirección normal a la arista de su diedro, son iguales

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

En un SÓLIDO DEFORMABLE el desplazamiento de las partículas contiene:

• Movimiento como sólido rígido, que traduce en una traslación y un giro de la pieza.• Deformaciones, que pueden ser deformaciones lineales y deformaciones angulares.

P

Px

Q

RR'

Q'

P'

Configuración

de referencia

Configuración deformada

PX

Las deformaciones se originan como consecuencia del movimiento relativo entre partículas

6

1 111 12 13 11 12 132 2

1 121 22 23 21 22 232 2

1 131 32 33 31 32 332 2

E E E

E E E

E E E

E

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

2dX

1dXO

B

B'

A

A'

2

1

1

UdX

X

2

2

2

UdX

X

11

1

UdX

X

1

2

1

2

2

UdX

X• Es una simplificación de la teoría de las deformaciones finitas

• Se asumen pequeñas deformaciones y pequeños desplazamientos

• Al tensor se le conoce como tensor de deformaciones de Cauchy

31 1 2 1

1 2 1 3 1

32 1 2 212

1 2 2 3 2

3 3 31 2

1 3 2 3 3

1 1

2 2

1 1( )

2 2

1 1

2 2

UU U U U

X X X X X

UU U U U

X X X X X

U U UU U

X X X X X

TE = J + J

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

1 111 12 132 2

1 121 22 232 2

1 131 32 332 2

=

Deformaciones lineales Deformaciones angulares

Deformación en una dirección cualquiera.

Longitudinal Transversal

7

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

1) Extensiometría

2) Fotoelasticidad

3) Otras técnicas

x

y

O 45º45º

a

b

c

1 1

2 2,n

MEDIDAS EXPERIMENTALES4

4

4

6 10

4 10

8 10

a x

b

c y

12

¿ ?xy

12

12

x xy

xy y

12 xy

1 14 12 224

41 1 12 2 2

6 104 10

8 10

xy

b

xy

( )b n n

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

ELASTICO Y LINEAL: Ecuación constitutiva. Ley de Hooke

33

33

(1)

11

(3)

11

2

3

1

22 22

33

11

22

11

22

33

(2)

11

(1) (2) (3) 1111 11 11 11 22 33

E E E

3333

E

11 22 33E

principio de superposición

8

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

ELASTICO Y LINEAL: Ecuación constitutiva. Ley de Hooke

1111 22 33

2222 11 33

3333 11 22

E E E

E E E

E E E

13 13 23 2312 1212 13 23; ;

2 2 2 2 2 2G G G

23

2

3

1

221122

1122

21

EG

1tr( )

E EI

11 11

22 22

33 33

1122 12

113132

123232

10 0 0

10 0 0

10 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

E E E

E E E

E E E

E

E

E

1.5. TENSIONES Y DEFORMACIONES.

ELASTICO Y LINEAL: Tensiones en función de deformaciones. Ecuaciones de Lamé.

1tr( ) tr( ) tr( )tr( )

E EI

1 1 2tr( ) tr( ) tr( )3 tr( )

E E E

1tr( )

E EI

tr( ) tr( )1 2

E

1tr( )

1 2EI tr( )

1 (1 )(1 2 )

E EI

ecuaciones de Lamé

9

10

1

TEMA 2. REPASO DE ESTÁTICA

2.1. Introducción2.2. Tipos de apoyos y cargas2.3. Ecuaciones de equilibrio del sólido rígido.2.4. Estructuras isostáticas e hiperestáticas2.5. Estabilidad de una estructura.2.6. Cálculo de reacciones y fuerzas entre elementos.2.7. Propiedades mecánicas de una sección. Área, centro de

gravedad y momentos de inercia

2

Ubicación del tema en el contenido de la asignatura

( )

DEFORMACIONES

menores que las admisiblesResolver estructura

Buscar sección más desfavorable

CalcularDistribución de

tensiones

-Comprobar punto mas desfavorable

-Dimensionar (h,…)

.

MATERIAL

resis

Esfuerzos internos en una sección: , ,

Propiedades de la sección

fN Q M

Area

CentrodeGravedad

Momento de Inercia

( )

TENSIONES

menores que las admisibles

11

3

2.1. INTRODUCCIÓN

La Estática es una parte de la mecánica que estudia de forma gráfica y/o analíticalas condiciones de equilibrio que deben cumplir las cargas aplicadas sobre cuerposrígidos.

Cuando las fuerzas exteriores están distribuidas en forma tal que se equilibran entresí, el cuerpo se encuentra en reposo o equilibrio estático.

El primer paso para un análisis de equilibrio estructural es idealizar la estructura:

4

2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGAS

APOYO MOVILPermite el movimiento en una dirección y el giro.

Impide uno de los desplazamientos => Reacción(perpendicular a la superficie en el punto de

contacto)

Principio de acción y reacción: Las fuerzas en la parte eliminada son iguales y de sentido contrario.

R

RR

R

12

5

2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGAS

APOYO FIJO

Permite el giro.

Impide los desplazamientos vertical y horizontal => Reacción de dirección desconocida

RYR

XR

Desde un punto de vista práctico es mejor descomponer la reacción de dirección desconocida en una componente Rx y otra componente Ry

NOTA: Siempre aparece una reacción por cada movimiento que esté impedido.

YR

XR

6

2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGAS

EMPROTRAMIENTO

(o nudo rígido) Impide los tres grados de libertad ( desplazamiento vertical, horizontal y giro )

A

AM

A

V

AR

H

AR

AM

A

V

AR

H

AR

13

7

2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGAS

DESLIZADERAS

Si la deslizadera es articulada, impide el

desplazamiento relativo entre los elementos en la dirección perpendicular al

eje

Si la deslizadera es rígida, impide el desplazamiento

relativo entre los elementos en la dirección perpendicular

al eje, y el giro

A

8

2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGAS

CABLE El cable es un elemento que solo trabaja a TRACCION.

T

T

T

T

Direcciondel

movimiento

La fuerza de contacto es normal a la dirección del movimientoCONTACTO

UNION ENTRE ELEMENTOS

(Articulada o Rígida)

BA

B

A BM

BH

BV

AH

AV

A

BAH

AV

BM

BH

BV

14

9

Tipos de fuerzas:

• PUNTALES. Aplicadas en un punto del sólido.

• DE SUPERFICIE O DISTRIBUIDAS. Aplicadas en una superficie del sólido.

• DE VOLUMEN. Aplicadas de forma homogénea en todo el volumen del sólido. Ej: Peso

Unidades: kgf, N, dina (1N =105dina) (1kgf = 9.8N)

2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGAS

M

F

B

A

W

CdG

10

• SISTEMAS EQUIVALENTES. Son los que producen el mismo efecto en el sólido.

2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGAS

Ejemplo:

15

11

2.3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO DEL SÓLIDO RÍGIDO

0 0 0

0 0 0

x y z

x y z

F F F

M M M

0 0 0x y OF F M

Un sólido se encuentra en equilibrio estático cuando mantiene un balance de fuerzas y momentos. Estorequiere que dicho equilibrio se cumpla en los tres ejes.

EQUILIBRIO en 3D. (6 ecuaciones)

EQUILIBRIO en 2D. (3 ecuaciones)

La aplicación de las condiciones de equilibrio permite determinar reacciones desconocidas, bien sea conel terreno o con otro elemento

12

2.4. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTATICAS

Antes de empezar con el análisis de fuerzas en una estructura es necesario conocer el grado dedeterminación de la estructura y analizar su estabilidad.

Si todas las fuerzas internas y reacciones pueden obtenerse con las ecuaciones de la estática diremos quela estructura es ESTATICAMENTE DETERMINADA o ISOSTATICA

Si las ecuaciones de la estática no son suficientes para calcular todos los esfuerzos entre elementos y/oreacciones, diremos que la estructura es ESTATICAMENTE INDETERMINADA o HIPERESTATICA.

El numero de incógnitas que no podemos resolver constituye el GRADO DE HIPERESTATICIDAD

3 (Estaticamente determinada)

3 (Estaticamente indeterminada)

r b ISOSTATICA

r b HIPERESTATICA

: º

: º

r n de reacciones

b n de barras o elementos

B

A

B

A

3 1

3 ( )

r b

r b ISOSTATICA4 1

3 ( , 1)

r b

r b HIPERESTATICA Grado

(1)

16

13

2.5. ESTABILIDAD DE UNA ESTRUCTURA

ESTABILIDAD. Las ecuaciones (1) son condición necesaria pero no suficiente para que tenga lugar el equilibrio estático, ya que existen situaciones particulares en las que dicho equilibrio no se verifica, como por ejemplo en los siguientes casos:

3

3

r b inestable

r b inestable si hay elementos parcialmente

restringidos o restricciones inadecuadas

: º

: º

r n de reacciones

b n de barras o elementos

ELEMENTOS PARCIALMENTE RESTRINGIDOS.Cuando al aplicar una determinada carga sobre un elemento del sistema no aparece una reacción que contrarreste el efecto de dicha carga.

RESTRICCIONES INADECUADAS. Cuando todas las reacciones del sistema convergen en un punto, o bien, son paralelas.

14

2.5. ESTABILIDAD DE UNA ESTRUCTURA

ESTABILIDAD. Ejemplos:

33 3 1

1

restable

b

88 3 2

2

restable

b

33 3 1 ( )

1

rinestable reacciones concurrentes

b

33 3 1 ( )

1

rinestable reacciones paralelas

b

77 3 3

3

rinestable

b

17

15

2.6. CÁLCULO DE REACCIONES Y ESFUERZOS INTERNOS

Pasos a seguir:

• Idealizar la estructura o el mecanismo.

• Comprobar que se cumplen las condiciones de equilibrio y estabilidad.

• Aislar la estructura, representando las reacciones que aparecen en los apoyos.

• Aislar los elementos de la estructura, representando los esfuerzos internos que aparecen en los puntos de unión. En la unión de dos elementos los esfuerzos internos que aparecen son iguales pero de sentido contrario en cada uno de los elementos.

• Aplicar las ecuaciones de equilibrio en la estructura o en cada uno de los elementos aislados según convenga.

NOTA: Se pueden plantear tres ecuaciones por cada

elemento.

16

2.6. CÁLCULO DE REACCIONES Y ESFUERZOS INTERNOS

Ejemplo:

66 3 2

2

restable

b

18

17

2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN:

ÁREA•El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales.

•Cualquier superficie plana puede dividirse en figuras sencillas y calcularse su área como suma de las áreas de dichas figuras.

•Unidades: m2, cm2, mm2, …

A b h2

b hA 2A r

18

2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN:

CENTRO DE GRAVEDAD

•El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.

•El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Por ejemplo, el centro de gravedad de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.

•El centro de gravedad está en los ejes de simetría.

•El centro de gravedad de una superficie plana puede dividirse en figuras sencillas y calcularse sus coordenadas a partir de los centros de gravedad y de las áreas de dichas figuras.

1 1

1 1

n n

i i i ii i

G Gn n

i ii i

x A y Ax y

A A

19

19

2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN:

3

1

3

1

3

1

3

1

757.7 1054.8

13.8 10

506.2 1036.6

13.8 10

n

i ii

G n

ii

n

i ii

G n

ii

x Ax mm

A

y Ay mm

A

20

2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN:MOMENTOS DE INERCIA

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema departículas en rotación, respecto a un eje de giro.El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje degiro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.Dada una sección plana transversal A de un elemento estructural, el momento de inercia sedefine para cada eje de coordenadas contenido en el plano de la sección A mediante lasiguiente fórmula:

Donde:•Ieje, es el momento de inercia respecto del eje. •dA, es el diferencial de área, de la sección A. •deje, es la mínima distancia del elemento dA al eje escogido.

•Unidades: m4, cm4, mm4, …•Ejemplo:

2

eje eje

A

I d dA

/ 23 3/ 2

2 2

00

2 23 12

hh

x

A

y b b hI y dA y b dy

dy

xy

b

/ 2h

dA

ejedeje

20

21

2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN:MOMENTOS DE INERCIA

• PRODUCTO DE INERCIA. Puede ser positivo o negativo.

• MOMENTO POLAR DE INERCIA. Respecto del origen de coordenadas.

• TEOREMA DE STEINER. Establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes

xy

A

I x y dA

2 2 2 2 2

O x y

A A A A

I r dA x y dA x dA y dA I I

yx

O

yx dA

r

Gx

dx

G 2

Gx xI I A d

NOTA IMPORTANTE: Sólo se puede aplicar si uno de los dos ejes es el que pasa por el centro de gravedad.

22

2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN:MOMENTOS DE INERCIA

• El momento de inercia de una superficie plana puede dividirse en figuras sencillas y calcularse a partir de los momentos de inercia de dichas figuras, aplicando el Teorema de Steiner si fuera necesario.

• Ejemplo:

21

23

2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN.(Área, centro de gravedad y momentos de inercia)

24

2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN.(Área, centro de gravedad y momentos de inercia)

22

25

2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN.(Área, centro de gravedad y momentos de inercia)

26

Ejercicio 2.1. Calculo de CdG y Momentos de Inercia

23

27

Ejercicio 2.1.

28

Ejercicio 2.1.

24

29

Ejercicio 2.2.

30

Ejercicio 2.2.

25

31

Ejercicio 2.2.

26

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

HA=2.625kN R

A=-0.375kN R

B=5.03kN

HC=1.875kN R

C=-1.875kN H

D=-4.5kN

RD=5.25kN H

E=-2.625kN R

E=3.375kN