Errores

El trabajo en el laboratorio implica medir magnitudes físicas mediante la utilización de instrumentos que deben estar calibrados con un patrón de medida.

Así, determinar una magnitud física mediante unas medidas, es esencialmente compararla con un patrón de medida. Este patrón de medida debe ser universal, ya que si cada persona tuviera su propio patrón, sólo él comprendería su resultado y no podría establecer comparaciones, a menos que él conociera la equivalencia entre el patrón de la otra persona y el suyo.

En el proceso de determinar las magnitudes físicas experimentalmente por medidas o combinaciones de medidas, puede ocurrir que cuando se realiza la medida de esa misma magnitud un cierto número de veces, no todos los valores son iguales.

Por lo tanto, al determinar una magnitud física no se encuentra el valor exacto de ella; sino que, dentro del entorno en el cual están acotadas todas las medidas, se puede hallar el valor más probable de la misma, o sea la mejor estimación de la medida deseada.

A la incerteza de un valor la designaremos como x. De acuerdo con esto el resultado de cualquier medición debe expresarse de la forma:

xx (1)

donde x representa el valor más probable (valor medio) de la medida y x es su incerteza o

error (desviación media).

Tipo de errores. Existen tres tipos de errores experimentales:

Error de apreciación: es producido por la limitación de la escala del instrumento de medida utilizado.

Error Sistemático: Es característico del sistema de medición, puede ser debido a defectos del instrumento de medida o por problemas en el sistema de medición.

Error casual o aleatorio: proviene de causas desconocidas y aleatorias, generalmente el operador no se percata de este tipo de errores a menos que realice varias medidas y note diferencias en los resultados.

Estos errores se pueden minimizar aplicando tratamientos estadísticos a las medidas realizadas.

Cálculo de errores

Valor medio X : es la media aritmética de una serie de medidas efectuadas en condiciones semejantes (los mismos aparatos y métodos de medida). La media de las medidas es el valor más probable de la magnitud y se calcula de la siguiente forma

n

xxxX n

...21 (2)

ix representa cada uno de los valores medidos y n el número total de datos.

Desviación de una medida: es la diferencia entre un valor obtenido y el valor más probable de la magnitud que se mide.

XxX ii i= 1, 2,...,n (3)

Las desviaciones pueden ser positivas o negativas lo que nos indica que las medidas caen a uno u otro lado del valor medio. Cuando los errores son de tipo aleatorio el valor de la media será más próximo al valor verdadero cuanto mayor sea el número de medidas.

Desviación media: es el valor medio de los módulos de las desviaciones

n

X

X

n

i

i

1 (4)

Desviación media relativa (error relativo): se define como la razón entre la desviación media y el valor medio

X

XEr

(6)

Desviación media porcentual (error porcentual): se define como el error relativo multiplicado por 100.

100X

XE

% (7)

Propagación de errores

Generalmente el objetivo final de un trabajo experimental es conocer una magnitud que no se puede medir directamente, sino que es obtenida a través de cálculos hechos con otras magnitudes que si son medidas directamente. Debido a que las magnitudes de medidas directas envueltas en el cálculo tienen un error, se deben establecer reglas que permitan calcular la propagación de estos errores de acuerdo con la operación aritmética realizada. Así, tenemos:

Sea F una magnitud física que depende de las magnitudes distintas X,Y,...

,...,YXFF

Si medimos las magnitudes X,Y,... experimentalmente se dice que F es el resultado de una medida indirecta.

Suma y resta:

Sean los datos:

xxX yyY

YXF

ffF

yxf

El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o más magnitudes es la suma de los errores absolutos de dichas magnitudes:

yxf

El resultado se escribe

yxyxff

Multiplicación:

Sean los datos:

xxX yyY

(a)

(b)

YXF

ffF

yxf .

yyxxF

El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos de las medidas.

y

y

x

x

f

f

y

y

x

x

yx

f

.

El error se obtiene multiplicando la función F con la suma de los errores relativos de las medidas, esto es:

y

yyx

x

xyxf

..

yxxyf

El resultado se escribe

yxxyyxff

División:

Sean los datos: xxX yyY

YXF ffF

y

xf

yyxxF

El error relativo del cociente es igual a la suma de los errores relativos de las medidas.

y

y

x

x

f

f

El error se obtiene multiplicando la función F con la suma de los errores relativos de las medidas, esto es:

y

yf

x

xff

y

y

y

x

x

x

y

xf

2y

yx

y

xf

El resultado se escribe

2y

yx

y

x

y

xff

Potencia: Sea m un número entero o fraccionario, positivo o negativo

Sean los datos:

xxX

mXF ffF

mxf

El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el error relativo de la magnitud.

x

xm

f

f

El error está dado por

x

xxmf

m

xxmfm

1

El resultado se escribe

xxmxffmm

1

Cifras significativas Las cifras significativas del valor de una magnitud determinada experimentalmente mediante una medida, son todos dígitos leídos en el instrumento, contados desde la izquierda a partir del primer dígito diferente de cero, sin tener en cuenta la posición de la coma decimal.

Ejemplos:

1,23 m = 123 cm

tienen 3 cifras significativas.

0,48 s y 0,0052 s

tienen 2 cifras significativas.

10.000 m = 10,000 km. tienen 5 cifras significativas.

En vista de que es importante el número de cifras significativas con que se expresa el resultado, anotamos aquí algunas reglas que ayudan al manejo de las cifras significativas:

Regla 1: No se debe suprimir dígitos leídos, ni se debe agregar dígitos a los leídos.

Se debe tener especial cuidado en escribir un resultado siempre con el mismo número de cifras significativas, aun cuando se cambien las unidades en las cuales se le expresa. Por ejemplo, si tenemos el resultado de 2,17 kg, donde el 7 es la última cifra significativa, y se cambia el resultado a gramos, no se debe escribir 2,170 g, porque indicará "4 cifras significativas". Para evitar esta equivocación, se usan las potencias de base 10, expresando el resultado en gramos: 2,17 x 103 g.

Regla 2: El error, X, no debe tener más de dos cifras significativas.

Regla 3: Una vez determinado el error, sus cifras significativas determinan la precisión del dato: la última cifra significativa del error y del valor están en el mismo lugar decimal.

Regla 4: En la adición y sustracción de números, que son resultados de una medida (y por esto limitado en su precisión), el resultado tiene tantos dígitos en la derecha del punto decimal como lo tiene el número con menos dígitos en la derecha del punto decimal. Ejemplo: 3,125 + 3,2 = 6,3.

Regla 5: En la multiplicación y división de números, que son resultado de una medida, el resultado tiene tantas cifras significativas como lo tiene el multiplicando y/o dividendo con menos cifras significativas.

Ejemplo: 1060

2153,

*,

Redondeo de cifras

El hecho de escribir con n cifras un número que tenga más de n cifras significativas, se llama redondear éste a n cifras.

Un número se puede redondear a ciertas cifras, prescindiendo de uno o más de sus últimos dígitos.

Cuando el primero de los dígitos que se desea suprimir es menor que 5, e1 último dígito que se mantiene no se modifica; cuando el primer dígito a suprimir es mayor o igual a 5, se aumenta en una unidad la última cifra conservada.

El redondeo no debe hacerse en forma sucesiva, sino siempre con respecto a la cifra original. Por ejemplo:

Redondear 3,246 g a dos cifras significativas: 3,2 g

Si el redondeo se hubiera hecho en forma sucesiva, el resultado sería:

3,246 g 3,25 g 3,3 g

Los resultados son diferentes.

EJEMPLO PARA HALLAR LA DENSIDAD

VV

mm

Primero hallamos el volumen

HAV .

HDV *.4

2

.4

No tiene desviación

Como el diámetro es

ddD

2DF ffF

2df

El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el error relativo de la magnitud.

d

d

f

f

2

El error está dado por

d

ddf

22

ddf 12

2

El resultado se escribe

dddffD .222

Ahora desarrollamos el producto de

HD *2

dddffD .2

22

hhH

HDR 2

rrR

hfr .

hhffR

El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos de las medidas.

h

h

f

f

r

r

h

h

f

f

hf

r

.

El error se obtiene multiplicando la función F con la suma de los errores relativos de las medidas, esto es:

h

hhf

f

fhfr

..

hffhr

El resultado se escribe

hffhhfrr

hDV *.4

2

hffhhfrrV 44

hffhhfV 44

VVV

Ahora hallamos la densidad

V

m

VV

mm

El error relativo del cociente es igual a la suma de los errores relativos de las medidas.

V

V

m

m

El error se obtiene multiplicando la función F con la suma de los errores relativos de las medidas, esto es:

V

V

m

m

V

V

V

m

m

m

V

m

2V

Vm

V

m

El resultado se escribe

2V

Vm

V

m

V

m

ESPERO QUE HAYA SIDO CLARO EL EJEMPLO