Transferencia de CalorEscoamento Sobre uma Placa Plana

Filipe Fernandes de Paulafilipe.paula@engenharia.ufjf.br

Departamento de Engenharia de Producao e MecanicaFaculdade de Engenharia

Universidade Federal de Juiz de Fora

Engenharia Mecanica

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Introducao

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Introducao

I No escoamento externo, a camada limite cresce livremente, naosendo limitada por superfıcies adjacentes;

I Sempre apresentando uma regiao em que gradientes de velocidade etemperaturas podem ser ignorados.

I O estudo de escoamentos externos sera limitado a problemas deconveccao forcada, sem mudanca de fase e baixa velocidade;

I Como visto anteriormente, o coeficientes de conveccao podem serobtidos por equacoes da seguinte forma:

Nux = f (x∗,Rex ,Pr) (1)

Nux = f (Rex ,Pr) (2)

I O estudo de conveccao recai em obter essas funcoes.

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Introducao

I Existem duas abordagem para se oter as funcoes 1 e 2:I Metodo experimental - Envolve fazer experimentos de transferencia

de calor em condicoes controladas em laboratorios, e relacionando osdados obtidos com os parametros adimensionais;

I Metodo teorico - E baseada na resolucao das equacoes da camadalimite vistas anteriormente;

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Metodo Empırico

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Metodo EmpıricoI Para encontrar a correlacao de troca de calor por conveccao de uma

determinada geometria, pode-se realizar experimentos da seguinteforma:

I Aquecer eletricamente o objeto ate uma temperatura Ts > T∞;I Medir Ts e T∞;I Medir a potencia eletrica do aquecedor (E · I 2).

I Pode-se entao, calcular o numero de Nusselt, Reynolds e Prandtl.

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Metodo EmpıricoI Entao, varia-se as condicoes do experimento;

I Mudando a velocidade, comprimento caracterıstico e utilizandodiferentes fluidos;

I Isso resultaria em muitos valores de Nu correspondendo a intervalosde Re e Pr, que podem ser plotados.

I Os dados obtidos podem ser representados por uma expressaoalgebrica da seguinte forma:

NuL = CRemL Prn (3)

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Metodo Empırico

I Como os parametros C , m e n da equacao 3 sao independentes danatureza do fluido, pode-se plotar os resultados em termos deNuL/Pr

n, o que gera uma unica reta;I Os coeficientes C , m e n variam com a geometria da superfıcie e

natureza do escoamento.

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Metodo Empırico

I E implıcito que as propriedade do fluido sao consideradas constantesao longo do escoamento;

I No entanto, as propriedades variam com a temperatura atraves dacamada limite;

I Existem duas formas de abordar esse problema:I As propriedade do fluido sao avaliadas em uma temperatura media,

chamada de temperatura de filme (Tf );

Tf =Ts + T∞

2(4)

I As propriedade do fluido sao avaliadas na propria temperatura dofluido (T∞), e um parametro adicional e multiplicado na equacao 3.Esse parametro, constantemente, e da forma(

Pr∞Prs

)r (µ∞

µs

)r

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A Placa Plana em Escoamento Paralelo

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Introducao

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Introducao

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IntroducaoI Apesar de simples, escoamento paralelo sobre uma placa plana,

ocorre em varias aplicacoes de engenharia;I Nessa geometria, escoamento laminar comeca na ponta da placa

(x = 0), ocorrendo transicao para turbulento em um ponto xcquando Reynolds crıtico Rex ,c (5 · 105) e atingido;

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Escoamento Laminar Sobre Uma Placa Isotermica

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Escoamento Laminar Sobre Uma Placa IsotermicaI Os parametros de conveccao podem ser obtidos atraves da

resolucao das equacoes da camada limite:I Equacao da continuidade:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (5)

I Equacao do momento:

u∂u

∂x+ v

∂v

∂y= v

∂2v

∂y2(6)

I Equacao da energia:

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y=∂2T

∂y2(7)

I E assumido escoamento permanente, incompressıvel, laminar,propriedades constantes, dissipacao viscosa negligenciavel edp/dx = 0;

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Solucao Hidrodinamica

I A solucao hidrodinamica e obtida atraves do metodo de Blausius;

I Definindo uma funcao ψ tal que,

u =∂ψ

∂yv = −∂ψ

∂x

I Novas variaveis dependente e independente podem ser definas como:

f (η) =ψ

u∞

√νx

u∞

η = y

√u∞νx

I Essas substuicoes simplificam a equacao diferencial parcial 6transformando-a em uma equacao diferencial ordinaria.

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Solucao Hidrodinamica

I Utilizando as substituicoes de variaveis feitas, a EDP 6transforma-se em:

2∂3f

η3+ f

∂2f

η2= 0

I Condicoes de contorno:

u(x , 0) = v(x , 0) = 0 u(x ,∞) = u∞

I Condicoes de contorno para as variaveis de similaridade:

∂f

η

∣∣∣∣η=0

= f (0) = 0∂f

η

∣∣∣∣η=∞

= 1

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Solucao Hidrodinamica

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Solucao Hidrodinamica

I Assumindo que a espessura da camada limite hidrodinamica δ e talque u/u∞ = 0, 99, a solucao hidrodinamica fornece:

δ =5x√Rex

(8)

Cf ,x =0, 664√Rex

(9)

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Solucao Termica

I Conhecendo as condicoes da camada limite de velocidade, aequacao da energia 7 pode ser resolvida;

I Introduzindo a temperatura adimensional,

T ∗ =(T − Ts)

(T∞ − Ts)

I E assumindo T ∗ = T ∗(η), a equacao da energia torna-se:

∂2T ∗

∂η2+

Pr

2f∂T ∗

∂η= 0 (10)

I Pode-se notar a dependencia das condicoes hidrodinamicas com oaparecimento da variavel f .

I Com as seguintes condicoes de contorno:

T ∗(0) = 0 T ∗(∞) = 1

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Solucao Termica

I Sabendo que,

Nux =∂T ∗

∂y∗

∣∣∣∣y∗=0

(11)

I Com a solucao da equacao 10 em conjunto com a equacao 11, epossıvel encontrar a seguinte relacao:

Nux =hxL

kf= 0, 332Re

1/2x Pr1/3 Pr & 0, 6 (12)

I Tambem segue da solucao de 10 que,

δ

δt= Pr1/3 (13)

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Parametros Medios

I O coeficientes de friccao pode ser calculado pelas como se segue:

C f ,x =τ s,xρu2∞/2

(14)

τ s,x =1

L

∫ x

0τs,xdx (15)

I Para obter o coeficiente de friccao, utiliza-se:

C f ,x =1, 328√Rex

(16)

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Parametros Medios

I O numero de Nusselt medio pode ser obtidos pelas seguintesrelacoes:

Nux =hxL

kf(17)

hx =1

L

∫ x

0hxdx (18)

I Para obter o numero de Nusselt medio utiliza-se a seguinte relacao:

Nux = 0, 664Re1/2x Pr1/3 Pr & 0, 6 (19)

I Para escoamento laminar em toda placa, o termo x pode sersubstituido por L e as equacoes 16 e 19 podem ser utilizadas paracalcular condicoes medias em toda placa.

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Metais Lıquidos

I Sao fluidos com baixo numero de Prandtl;

I Para esses fluidos, a equacao 12 nao e valida;

I Pode-se utilizar a seguinte formulacao:

Nux = 0, 564Pe1/2x Pr . 0, 05, Pex & 100 (20)

I Onde Pex e o numero de Peclet e e dado por

Pex = RexPr (21)

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Relacao Abrangente

I Para qualquer numero de Prandtl, pode-se utilizar a seguinteformulacao:

Nux =0, 3387Re

1/2x Pr1/3

[1 + (0, 0468)2/3]1/4Pex & 100 (22)

I E aplicavel para qualquer numero de Prandtl;

I O numero de Nusselt medio pode ser calculado por:

Nux = 2Nux (23)

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Observacao

I Todas as propriedades do fluido utilizadas nas equacoes acima,devem ser avaliadas na temperatura de filme.

Tf =Ts − T∞

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Escoamento Turbulento Sobre Uma Placa Isotermica

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Escoamento Turbulento Sobre Uma Placa Isotermica

I Nao e possıvel obter solucoes analıticas para as equacoes da camadalimite turbulenta;

I Utilizando o metodo experimental, a seguinte correlacao foi obtidapara escoamento turbulento,

Nux = 0, 0296Re4/5x Pr1/3 (25){

0, 6 . Pr . 60

Rex ,c . ReL . 107

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Escoamento Turbulento Sobre Uma Placa Isotermica

I O numero de Nusselt medio pode ser determinado por:

NuL = 0, 037Re4/5L Pr1/3 (26){

0, 6 . Pr . 60

Rex ,c . ReL . 107

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Condicoes de Camada Limite Mista

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Condicoes de Camada Limite Mista

I Quando a transicao de laminar para turbulendo ocorre em umaposicao xc da placa, o coeficiente convectivo e influenciado pelasduas parcelas;

I Nessa situacao pode-se calcular o coeficiente medio de conveccaotoda placa:

hL =1

L

(∫ xc

0hlamdx +

∫ L

xc

hturbdx

)(27)

I Obtendo-se,

NuL = (0, 037Re4/5L − 0, 037Re

4/5x ,c + 0, 664Re

1/2x ,c )Pr1/3 (28){

0, 6 . Pr . 60

Rex ,c . ReL . 108

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Condicoes de Camada Limite Mista

I Para um Reynolds crıtico Rex ,c = 5 · 105 ⇒ A = 871,

NuL = (0, 037Re4/5L − 871)Pr1/3 (29){

0, 6 . Pr . 60

Rex ,c . ReL . 108

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Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante

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Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante

I Uma superfıcie pode ser submetida a um fluxo constante de calorconstante;

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Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante

I Para um escoamento laminar tem-se:

Nux = 0, 453Re1/2x Pr1/3 Pr & 0, 6 (30)

I Enquanto para um escoamento turbulento tem-se:

Nux = 0, 0308Re4/5x Pr1/3 Pr & 0, 6 (31)

I A distribuicao de temperatura na placa e dada por:

Ts(x) = T∞ +q′′s

hx(32)

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Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante

I Como a taxa de transeferencia de calor total e facilmentedeterminado por q = q

′′s As , nao ha necessidade de calcular hx ;

I No entnato, pode-se determinar a temperatura media da superfıcieTs ,

(Ts − T∞) =q′′s L

kNuL(33)

I NuL pode ser obtido atraves da equacao 30:

NuL = 0, 680Re1/2x Pr1/3 Pr & 0, 6 (34)

I Pode-se usar qualquer equacao para NuL com boa aproximacao paraencontrar (Ts − T∞).

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Exemplos

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Metodologia Para Resolucao de Problemas

1. Identifique a geometria do problema;

2. Especifique a temperatura de referencia e avalie as propriedades dofluido nessa temperatura;

3. Calcule o numero de Reynolds e numero de Prandtl;

4. Selecione a equacao correta.

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Exemplo

I Exemplo 1 - Ar, a uma pressao de 6kN/m2 e a uma temperatura de300°C , escoa com uma velocidade de 10 m/s sobre uma placa planacom 0,5 m de comprimento. Determine a taxa de resfriamento, porunidade de largura da placa, necessaria para mante-la com umatemperatura superficial de 27°C .

I As propriedades k, Pr , cp e µ podem ser assumidas como constanteem relacao a pressao;

I Mas, a viscosidade cinematica ν = µ/ρ varia com a pressao devido asua dependencia da densidade.

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Exemplo

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Exemplo (7.25, 7.22)I Exemplo 2 - Considere condicoes climaticas nas quais os ventos

dominantes sopram ao longo de um predio elevado. O comprimentodo predio na direcao do vento e de 10 m e existem 10 janelas nestalateral.(a) Calcule o coeficiente convectivo medio para a primeira, a terceira e a

decima janelas quando a velocidade do vento e de 5m/s. Use umatemperatura do filme de 300K para avaliar as propriedadestermofısicas necessarias na correlacao.

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Exemplo (7.8)I Exemplo 3 - Uma placa plana, com largura de 1m, e mantida a uma

temperatura superficial uniforme de Ts = 150°C pelo uso demodulos retangulares geradores de calor, com espessura a = 10mme comprimento b = 50mm, que sao controlados independentemente.Cada modulo encontra-se isolado de seus vizinhos, bem como emsua superfıcie inferior. Ar atmosferico a 25°C escoa sobre asuperfıcie da placa a uma velocidade de 30m/s. As propriedadestermofısicas dos modulos sao k = 5, 2W /(m · K ),cp = 320J/(kg · K ) e ρ = 2300kg/m3.(a) Determine a geracao de energia necessaria (q), em um modulo

posicionado a uma distancia de 700 mm da aresta frontal;(b) Determine a temperatura maxima Tmax neste modulo de geracao.

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