Esercitazione 1: Sistemi a un grado di libert

Esercitazione 1Sistemi a un grado di libert: soluzione con le trasformate di Laplace e Fourier.

Si consideri un sistema meccanico il cui comportamento descritto dalla seguente equazione differenziale:

con condizioni iniziali nulle Per questo sistema meccanico sono considerate due applicazioni.Applicazione 1:

Il sistema soggetto alla forzante a1(t)=10(1-e-t), t=[0;30]; determinare, con il metodo della trasformata di Laplace, la risposta x(t) delsistema al variare (combinato) di 1, 3 e 5 Hz e = 0, 0.05, 1 e 2; spiegare perch (e come) il limite asintotico di x(t) varia con.

Applicazione 2:Il sistema ( =0.05) sia soggetto alla forzante a2(t)=sin(2 300t)e-100t, t=[0;0.2]; determinare, con i metodi della trasformata di Laplace e della trasformata di Fourier, la risposta x(t) del sistema al variare di 100, 500 e 700 Hz; valutare, nel caso di =100, leffetto dellutilizzo della stessa forzante ma definita nellintervallo t=[0;0.02]; diagrammare, nei tre casi di, la funzione di risposta in frequenza del sistema e la trasformata di Fourier di .

Applicazione 1:

Il primo punto dell'applicazione 1 richiede di calcolare la risposta del sistema alla forzante con la trasformata di Laplace. In particolare, essendo le condizioni iniziali omogenee, la soluzione si riduce allintegrale di Duhamel:

Naturalmente la funzione h(t) cambier a seconda del valore del coefficiente di smorzamento . Per eseguire i calcoli si utilizzato il programma Matlab e, in particolare, per risolvere lintegrale si usato il metodo dei trapezi, facendo particolare attenzione al fatto che la variabile di integrazione e non t e alla la discretizzazione temporale. Di seguito si mostrano i risultati ottenuti per la prima applicazione:

CASO: wn= 2 ;= 0, 0.05, 1, 2

CASO: wn= 3; = 0, 0.05, 1, 2

CASO: wn= 10; = 0, 0.05, 1, 2

Per rispondere alla seconda richiesta dell'applicazione 1, cio spiegare perch e come il limite asintotico di x(t) varia con , necessario calcolare il limite asintotico delle quattro risposte analitiche determinate precedentemente.

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Calcoliamo :

non esiste, perch il coseno osciller sempre tra -1 e +1non esiste, perch il coseno osciller sempre tra -1 e +1

All'aumentare di la risposta sar sempre una somma di armoniche, di ampiezza decrescente all'aumentare di , con valore oscillante intorno alla costante , anch'essa decrescente all'aumentare di .

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Calcoliamo :

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Calcoliamo :

Calcoliamo :

Allora il valore asintotico della risposta x(t) alla forzante varia con la frequenza propria con andamento:

Applicazione 2:Come per l'applicazione 1 anche nell'applicazione 2 necessario calcolare la trasformata di Laplace del sistema allo scopo di determinarne la risposta alla la forzante . Le condizioni iniziali sono sempre omogenee e l'equazione che regge il sistema dinamico diventa:

perci si avr:

A differenza della prima applicazione, in questo caso il valore della fissato a 0.05 consentendoci di analizzare solamente per .Attraverso la trasformata di Laplace la soluzione ottenuta grazie allimplementazione Matlab possibile diagrammare per i tre valori di la risposta del sistema:

Dopo aver studiato il sistema mediante la trasformata di Laplace si passa ora alla trasformata di Fourier. A differenza di prima la trasformata di Fourier gi implementato in Matlab (comando fft). importante per fare attenzione alla frequenza di campionamento utilizzata nella fft. Infatti, il campionamento deve essere effettuato con una frequenza opportuna affinch il contenuto in frequenza del segnale sia valutato correttamente (almeno fino ad una prefissata ). Vale la formula di Nyquist:

Se non si rispetta questa condizione, nell'analisi comparir il fenomeno di aliasing, cio il contenuto in frequenza non correttamente determinato a causa di overlap tra i vari rami. Il risultato sar che il segnale campionato (ottenuto per antitrasformazione) non avr lo stesso andamento nel tempo di quello continuo.L'algoritmo usato in Matlab per il calcolo della FFT ottimizzato per il caso di segnali campionati in punti ( p numero intero). Sia N il numero di intervalli temporali e N+1 il numero dei valori del segnale . Calcolando la trasformata di Fourier del segnale, Matlab fornisce un vettore delle stesse dimensioni (N+1 componenti), avente i coefficienti dal numero al numero complessi coniugati di quelli dal numero 2 al numero . Le componenti utili del vettore sono quelle dalla 1 alla . La condizione di Nyquist viene allora ulteriormente precisata:

La la frequenza fino alla quale si vuole che il contenuto in frequenza sia valutato correttamente. La si valuta come il valore massimo tra la frequenza naturale del sistema e il contenuto in frequenza della forzante Si rappresenta cos il modulo della trasformata Con questa suddivisione stato possibile valutare la trasformata di Fourier della forzante senza rischio di aliasing, ottenendo i risultati esposti in figura. E' da sottolineare che si voluto rappresentare solo il ramo "utile" della trasformata di Fourier; infatti il modulo della trasformata di Fourier della forzante risulta simmetrico rispetto alla mezzeria dell'intervallo delle frequenze.

Solo alcune componenti sono "utili" per la trasformata ,invece tutte lo sono quando si vuole effettuare l'antitrasformata mediante il comando "ifft".Avendo costruito il vettore di con la particolare struttura ottenuta con il comando "fft", per poter calcolare l'antitrasformata del prodotto tra e con il comando "ifft", necessario "forzare" la struttura del vettore. Oltre alla trasformata di Fourier della risposta x(t), il programma calcola la trasformata di Fourier della derivata della risposta, ovvero della velocit v(t) del sistema.

L'ultima richiesta dell'applicazione 2 quella di valutare l'effetto dell'utilizzo della stessa forzante ma definita nell'intervallo di tempo.

Le risposte nel tempo del sistema alla forzante nell'intervallo differiscono per le due tecniche risolutive usate, Laplace e Fourier. Evidentemente la soluzione ottenuta con le trasformate di Fourier quella non corretta; il motivo legato all'impiego stesso della trasformata di Fourier numerica (FFT), che riduce il campo di applicabilit alle forzanti (e quindi alle risposte) che tendano asintoticamente a 0 nel dominio temporale di interesse. Tuttavia, su un intervallo di tempo cos breve, come quello considerato, la forzante non tende asintoticamente a 0. Questo un tipico esempio di applicazione di trasformata di Fourier ad un problema per il quale l'applicazione non corretta.