Esercitazione di Meccanica dei fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica

Esercitazione 6 - 12 Novembre 2015

Elementi di idraulica Esercizio 1 – Moto turbolento in una condotta d’acqua Una condotta, avente diametro interno pari a 300 mm, percorre un tratto lungo 300 m con un dislivello di 6 m fra l’imbocco e lo scarico. Si chiede di determinare, prima nell’ipotesi di tubo liscio, e poi nell’ipotesi di tubo scabro (avente scabrezza idraulica assegnata):

1. La velocità media e la portata di acqua fluente nella tubazione; 2. Il valore del numero di Reynolds, del fattore di attrito e della velocità di attrito; 3. La valutazione del profilo di velocità sulla sezione del tubo in termini di velocità massima

sull’asse, spessore del sottostrato laminare e dello strato di transizione e i valori della viscosità cinematica turbolenta nelle posizioni radiali: r/R = 0.20, 0.40, 0.60, 0.90 e 1.00.

Si assumano costanti la densità dell’acqua (ρ=1000 kg/m3) e la sua viscosità dinamica (μ=1.13·10-3 Pa·s). La scabrezza della tubazione venga assunta pari a K=45 µm. Per il calcolo del fattore di attrito in condizioni turbolente si faccia riferimento alle correlazioni riportate nella tabella seguente.

Correlazione Fattore d’attrito

Blasius 1/4

0.0791Re

f = per Re<20000

1/5

0.046Re

f = per Re>20000

Colebrook 1 1 1.2554log

3.7 ReKDf f

= − +

Soluzione Scriviamo prima di tutto l’equazione generalizzata di Bernoulli tra la sezione di ingresso e quella di uscita della tubazione:

2 21 1 2 2

1 22 2p v p vH H J

g gγ γ+ + = + + + (1)

dove J rappresenta le perdite di carico distribuite (si parla anche di cadente). L’equazione può essere semplificata tenendo conto dei seguenti aspetti:

• La tubazione è a sezione costante e quindi, in condizioni stazionarie, essendo la densità del fluido costante, la velocità del fluido nelle sezioni di ingresso e di uscita deve essere la stessa (altrimenti si avrebbe un accumulo da qualche parte); di conseguenza i contributi cinetici nel trinomio di Bernoulli si annullano a vicenda;

• Le due sezioni di ingresso e uscita si trovano alla pressione atmosferica (con ragionevole approssimazione) per cui anche i contributi di pressione nel trinomio di Bernoulli si annullano a vicenda.

Dunque l’equazione di Bernoulli si semplifica nella forma seguente:

1 2J H H H= − = ∆ (2) La cadente, ovvero le perdite di carico distribuite, possono essere scritte in funzione del fattore di attrito secondo quanto visto a lezione; in particolare, per tubazioni a sezione circolare la relazione è la seguente:

2

42

L vJ fD g

= (3)

Dal momento che siamo interessati prima di tutto al calcolo della velocità media con cui il fluido percorre la tubazione, dobbiamo andare a risolvere l’equazione sopra riportata, in cui l’incognita è proprio la velocità del fluido. Questa operazione non è così immediata dal momento che il fattore di attrito è in generale a sua volta una funzione anche della velocità del fluido. Inoltre nasce una ulteriore complicazione, legata al fatto che a priori non sappiamo se il moto è laminare oppure turbolento. Per ovviare a questo problema conviene ragionare in questi termini: si suppone prima che il moto sia laminare; si utilizzano le relazioni valide per questo regime di moto e si determina la velocità media con cui il fluido percorre la tubazione; a questo punto si calcola il numero di Reynolds e si controlla che il moto sia effettivamente la minare, come era stato ipotizzato. Se ciò non dovesse verificarsi, vuol dire che il moto è turbolento e che dunque è necessario ripetere il calcolo utilizzando le relazioni valide per il moto turbolento. Moto laminare Ipotizziamo dunque che il moto sia laminare, controllando poi alla fine se questa ipotesi è soddisfatta oppure no. Per il moto laminare di fluidi all’interno di tubazioni (lisce e scabre) il fattore di attrito ha la seguente espressione (dimostrata a lezione):

16Re

f = (4)

Il numero di Reynolds è definito nel modo seguente:

Re vDρµ

= (5)

Operando quindi una semplice sostituzione nell’equazione di Bernoulli si ottiene:

2 2 2

2

16 164 4 4 322 2 Re 2

L v L v L v LH f vD g D g D g vD D g

µ µρ ρ

∆ = = = = (6)

Con qualche passaggio puramente matematico si arriva a esprimere la velocità media con cui il fluido percorre la tubazione:

2

32D gv HL

ρµ

= ∆ (7)

In particolare, andando a inserire i dati del problema, si ottiene:

2

3

1000 0.3 9.81 6 48832 300 1.13 10

mvs−

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ (8)

A questo punto dobbiamo però verificare che l’ipotesi di partenza di moto laminare sia effettivamente corretta; in altri termini dobbiamo verificare che il numero di Reynolds sia inferiore al valore critico di 2100:

8Re 1.29 10 2100vDρµ

= = ⋅ >> (9)

È evidente che il moto non può assolutamente essere considerato laminare. Di conseguenza l’ipotesi da cui eravamo partiti deve essere scartata: il moto risulta essere turbolento. Moto turbolento La velocità può essere determinata in maniera analoga a quanto fatto per il moto laminare. Bisogna però tenere in considerazione il fatto che le correlazioni per il fattore di attrito sono diverse a seconda che il tubo sia liscio oppure scabro. Per semplicità cominciamo a considerare il caso in cui il tubo sia liscio e solo successivamente passeremo a considerare il caso in cui questo sia scabro. Tubo liscio Il fattore di attrito per il moto di fluidi all’interno di tubazioni lisce può essere espresso attraverso diverse correlazioni, di origine semi-empirica, come quella di Blasius, di Nikuradse oppure di di Colebrook, riportate di seguito:

Correlazione Blasius

1/4

0.0791Re

f = per Re<20000

1/5

0.046Re

f = per Re>20000

Nikuradse ( )1 4log Re 0.70ff= −

Colebrook 1 1 1.2554log3.7 Re

KDf f

= − +

La correlazione di Colebrook può essere utilizzata anche per tubi scabri. Al suo interno compare infatti la variabile K (misura della scabrezza), che per un tubo liscio è semplicemente uguale a zero. La correlazione di Blasius è quella più semplice da utilizzare, dal momento che esprime in forma esplicita il fattore di attrito in funzione del numero di Reynolds. Le altre due correlazioni invece contengono questo legame in forma implicita e quindi in generale risultano di più difficile applicazione. Facciamo vedere meglio questi aspetti provando ad applicare prima la correlazione di Blasius e poi quella di Colebrook. Correlazione di Blasius La correlazione di Blasius è definita a tratti, a seconda del numero di Reynolds. Dal momento che non conosciamo a priori il numero di Reynolds (perchè non conosciamo la velocità), dobbiamo procedere per tentativi. Ipotizziamo prima di trovarci a Reynolds inferiore a 20000 e poi verifichiamo a posteriori che sia effettivamente così. Se ciò non dovesse accadere, significa che è necessario utilizzare la correlazione per Re>20000. Dunque, ipotizzando che Re<20000, il fattore di attrito è dato da:

1/4

1/4

0.0791 0.0791Re

fvDµ

ρ

= =

(10)

Quindi, partendo dall’equazione di Bernoulli nella forma (3), si arriva facilmente a trovare il seguente legame:

1/42 2

4 4 0.07912 2

L v L vH fD g D g vD

µρ

∆ = =

(11)

4/71/4

24 0.0791

HgD DvL

ρµ

∆= ⋅

(12)

Andando quindi a inserire i dati del problema si ottiene:

3.38 mvs

= (13)

Il corrispondente numero di Reynolds è nettamente maggiore di 20000, a significare che l’ipotesi di partenza era sbagliata, per cui deve essere utilizzata l’altra correlazione:

Re 898000 20000vDρµ

= = >> (14)

Quindi, ripetendo le stesse operazioni, ma facendo riferimento alla seguente correlazione:

1/5

1/5

0.046 0.046Re

fvDµ

ρ

= =

(15)

si arriva alla seguente espressione per la velocità media:

1/52 2

4 4 0.0462 2

L v L vH fD g D g vD

µρ

∆ = =

(16)

5/91/5

24 0.046

HgD DvL

ρµ

∆= ⋅

(17)

Inserendo i dati del problema si ottiene:

3.12 mvs

= (18)

e quindi una portata pari a:

2 3

0.2204D mQ v

sπ

= = (19)

Correlazione di Colebrook Il vantaggio di questa correlazione è legato al fatto che non è definita a tratti, ma valida per qualsiasi numero di Reynolds (purchè ci si trovi in regime turbolento); lo svantaggio è che il fattore di attrito non può essere esplicitato in funzione del numero di Reynolds.

Questo vuol dire che quello che dobbiamo fare è risolvere il seguente sistema di equazioni algebriche nelle incognite v e f:

2

1 1.2554logRe

42

f f

L vH fD g

= −

∆ =

(20)

Attraverso la risoluzione (numerica) di questo sistema si arriva a determinare sia il fattore di attrito, che la velocità media del fluido. Tuttavia, in questo caso specifico, non è necessario adottare questa procedura numerica, ma si può procedere in maniera più agevole e diretta con qualche passaggio. In particolare, abbiamo visto a lezione che il fattore di attrito è dato dalla seguente definizione:

212

Wfv

τ

ρ= (21)

Per tubi a sezione circolare si ha poi:

4 4WD DP g HL L

τ ρ= ∆ = ∆ (22)

Quindi il prodotto Re f che compare nella correlazione di Colebrook non è una incognita, ma può essere scritto in funzione dei dati noti del problema:

2

1 2Re1 22

WvD D g HDfLv

τρ ρµ µρ

∆= = (23)

In particolare si ha:

1 2Re 455352

D g HDfL

ρµ

∆= = (24)

Quindi l’equazione di Colebrook può essere utilizzata per calcolare in maniera esplicita il fattore di attrito:

1 1.255 1.2554log 4log 18.2345535Ref f

= − == − = (25)

0.003006f = (26)

Noto il fattore di attrito ricaviamo il numero di Reynolds:

ReRe 830000

ff

= = (27)

Dal numero di Reynolds risaliamo alla velocità media con cui il fluido percorre la tubazione e alla sua corrispondente portata:

3.128 mvs

= (28)

2 3

0.2214D mQ v

sπ

= = (29)

È evidente che questa velocità è in ottimo accordo con quella che avevamo valutato attraverso la correlazione di Blasius. Verifica dell’ipotesi di tubo liscio Il risultato che abbiamo ottenuto è stato ricavato nell’ipotesi che il tubo fosse liscio. Dobbiamo verificare se questa assunzione è corretta. Un tubo può essere considerato idraulicamente liscio se l’altezza media delle asperità sulla sua superficie interna è sufficientemente più piccola dello spessore dello starto laminare che si forma in vicinanza delle pareti stesse (cioè le asperità devono essere completamente immerse nel sottostrato laminare). Andiamo a verificare se questo effettivamente si realizza. La velocità di attrito, secondo quanto visto a lezione, è data da:

*

2v fv= (30)

* 0.12132f mv v

s= = (31)

Lo spessore di riferimento è invece pari a:

6* * 9.31 10 9.31refy m m

v vµ υ µρ

−= = = ⋅ = (32)

Quindi lo spessore del sottostrato laminare è dato da:

65 5 5 9.31 10 46.5lam refy y y mη µ−= = = ⋅ ⋅ = (33)

È evidente che la misura delle scabrezze (K=45 micron) è dello stesso ordine di grandezza dello spessore del sottostrato laminare. Quindi l’ipotesi di tubo liscio non è da ritenersi corretta. Tubo scabro La correlazione di Blasius non può essere utilizzata per tubi scabri. Dobbiamo ricorrere a quella di Colebrook in cui viene tenuta in considerazione la misura della scabrezza K:

1 1 1.2554log3.7 Re

KDf f

= − +

(34)

Il fattore di attrito è dunque pari a:

61 1 1.255 1 45 10 1.2554log 4log 16.673.7 3.7 0.30 45535Re

KDf f

− ⋅= − + = − + =

(35)

0.003600f = (36)

Il numero di Reynolds, la velocità e la portata sono pari a:

ReRe 756000

ff

= = (37)

2.86 mvs

= (38)

2 3

0.2024D mQ v

sπ

= = (39)

Si vede che la portata è più bassa rispetto a quella che era stata valutata nell’ipotesi di tubo liscio. Valutazione dei profili di velocità La velocità di attrito è data dalla seguente espressione:

* 0.12132f mv v

s= = (40)

La velocità massima (in corrispondenza dell’asse della tubazione) può essere ricavata secondo quanto visto a lezione:

max3 2.502

φ φ= − (41)

cioè:

max 3 2.502ref ref

vvv v

= − (42)

*max

3 3 3 32.50 2.50 2.50 1 2.50 1 3.752 2 2 2 2 2 2ref

f f fv v v v v v v v v

= + = + = + = + = +

(43)

max 1 3.75 1.1591 3.312f mv v v

s

= + = =

(44)

Per la valutazione del rapporto tra la viscosità turbolenta e quella laminare è necessario fare qualche passaggio. Nella zona pienamente turbolenta sappiamo che:

22 2 2 2

W tdv dv dv dvk y k ydy dy dy dy

τ ρ ρ µ

= = =

(45)

dove la viscosità turbolenta è:

2 2t

dvk ydy

µ ρ= (46)

Introducendo le variabili normalizzate, la viscosità turbolenta può essere riscritta come segue:

2 2 2 2 2 2 2 2 2reft ref ref ref

ref

vd d d dk y k y v k kd y d d dφ φ φ φµ ρ η ρ η ρ η υ µ ηη η η η

= = = = (47)

in cui è stata introdotta la viscosità laminare. Tenendo conto che nella zona pienamente turbolenta si ha:

1dd kφη η= (48)

si ottiene che:

2 2t dk kd

µ φη ηµ η

= = (49)

Abbiamo pertanto trovato il rapporto tra le viscosità turbolenta e laminare in funzione del raggio r:

( )* *

* 1 1tR

ref

y y v v R r rk k k v k R r k ky R R

µη η

µ υ υ υ = = = = − = − = −

(50)

Questo risultato ha senso fino al bordo superiore del sottostrato di transizione, cioè fino a 30η = ,

ovvero fino a 430 2.79 10refy y m−= = ⋅ . In altri termini questo significa che la formula sopra riportata può

essere applicata fino a un raggio 40.30 2.79 10 0.299721r m−= − ⋅ = , ovvero fino a un rapporto / 0.9990r R = I valori richiesti in corrispondenza delle diverse traverse sono riportati nella seguente tabella:

rR

0 0.20 0.40 0.60 0.80 0.90 1.00

tµµ

6440 5152 3864 2576 1288 644 -

Esercizio 2 – Svuotamento di un serbatoio Da un serbatoio a base circolare (di sezione pari a D=2.5 m), contenente olio (viscosità dinamica μ=0.04 Pa·s e densità ρ=870 kg/m3) si diparte una tubazione liscia costituita da due diversi tronchi: il primo con un diametro interno pari a (6+0.05C1) cm e lunghezza L1=35 m; il secondo, avente diametro interno di (2.0+0.05N3) cm e lunghezza L2=25 m, sbocca nell’atmosfera. L’olio riempie inizialmente il serbatoio fino ad un’altezza (misurata rispetto all’asse della tubazione, secondo quanto riportato in figura) pari a H0=11 m. Trascurando le perdite di carico concentrate, ma tenendo in considerazione quelle distribuite, si determini il tempo necessario ad ottenere lo svuotamento del serbatoio fino ad una altezza HF=4 m. Nella scrittura dell’equazione di Bernoulli si trascuri il contributo cinetico sulla sezione di uscita della tubazione.

Moto nelle tubazioni lisce

0.25

16 2300 moto laminare

0.079 10000 moto turbolento

DD

DD

f ReRe

f ReRe

= ≤

= >

Soluzione Scriviamo l’equazione di Bernoulli tra un punto sul pelo libero dell’olio contenuto nel serbatoio (sezione 0) e la sezione di uscita (sezione 2) in un generico istante di tempo durante il processo di svuotamento:

2 21 1 2 2

2 2 ∆ ∆

+ + = + + + dis conc

p v p v p pHg gγ γ γ γ

(0.51)

Con H si intende l’altezza dell’olio misurata a partire dalla tubazione e che quindi risulta essere compresa tra H0 (all’istante iniziale) e HF (in corrispondenza della fine del processo di svuotamento). Le pressioni dei due punti possono essere considerate pari alla pressione atmosferica e quindi si ha:

2 20 2

2 2 ∆ ∆

+ = + + dis conc

v v p pHg g γ γ

(0.52)

Possiamo poi trascurare la velocita’ del punto 0 (verificando a posteriori che essa sia effettivamente piccola dal momento che il diametro del serbatoio e’ decisamente piu’ grande di quello della tubazione, cosi’ che il contributo cinetico nell’equazione di Bernoulli possa essere trascurato):

22

2 ∆ ∆

= + + dis conc

v p pHg γ γ

(0.53)

Nel testo viene detto esplicitamente di trascurare per semplicita’ il contributo cinetico anche sulla sezione di uscita (verificando poi a posteriori la bonta’ di questa semplificazione). Di conseguenza l’equazione di Bernoulli diventa molto semplice:

∆ ∆= + dis conc

p pHγ γ

(0.54)

Seguendo le indicazioni riportate nel testo e’ poi possibile trascurare anche le perdite di carico concentrate, per cui l’equazione di Bernoulli diventa:

∆= dis

pHγ

(0.55)

Le perdite di carico distribuite possono essere espresse attraverso il fattore d’attrito utilizzando le correlazioni riportate nel testo e tenendo conto del fatto che la tubazione di scarico e’ costituita da due tratti di sezione diversa:

2 22 21 1 2 2 1 2

1 2 1 1 2 21 2 1 21 2

24 42 2

∆ ∆ ∆= + = + = +

dist

L v L v L Lp p p f f f v f vD g D g g D Dγ γ γ

(0.56)

E’ pero’ necessario sapere se il moto e’ laminare oppure turbolento. La cosa piu’ semplice da fare e’ porsi in una delle due ipotesi e verificare che effettivamente sia corretta. Ad esempio, ipotizziamo che il moto sia laminare e quindi, se assumiamo che questa ipotesi sia corretta, si ha:

16 16= =

D

fRe vD

µρ

(0.57)

In particolare, con qualche passaggio, otteniamo l’espressione della velocita’ in funzione dell’altezza:

2 21 2 1 21 2 1 22 2

1 1 1 2 2 2 1 2

2 16 16 32 ∆= + = +

dist

L L L Lp v v v vg v D D v D D g D D

µ µ µγ ρ ρ ρ

(0.58)

Le velocita’ nelle due sezioni sono legate tra di loro e piu’ convenientemente possono essere scritte facendo riferimento alla portata volumetrica:

2 21 2

1 24 4= =

D DQ v vπ π (0.59)

1 22 21 2

4 4 = =v Q v QD Dπ π

(0.60)

Quindi le perdite di carico possono essere riscritte nel modo seguente:

1 2 1 21 22 2 4 4

1 2 1 2

32 128 ∆= + = + =

dist

L L L Lp v v Q Qg D D g D Dµ µ α

γ ρ πρ (0.61)

Dove per semplicita’ si e’ indicato:

1 24 41 2

128 = +

L Lg D Dµα

πρ (0.62)

Di conseguenza l’equazione di Bernoulli diventa:

=H Qα (0.63)

=HQα

(0.64)

Ora, la massima velocita’ di ha in corrispondenza dell’altezza H0 e la minima in corrispondenza dell’altezza HF. Pertanto basta verificare che in corrispondenza di H0 il moto sia effettivamente laminare nel secondo tratto di tubo (avente la sezione piu’ piccola), andando a calcolare il numero di Reynolds:

000 2 02

2

4 = =HQ v Q

Dα π (0.65)

02 2

0 =v DRe ρµ

(0.66)

Ovviamente se il moto e’ laminare quando la velocita’ ha il valore massimo, a maggior ragione sara’ sicuramente laminare durante tutte le fasi successive. Utilizzando i dati del problema si trova che effettivamente il moto e’ laminare. Adesso dobbiamo scrivere il bilancio massivo per poter descrivere la dinamica di svuotamento:

dm Qdt

ρ= − (0.67)

dV Qdt

= − (0.68)

2

4= −SD dH Q

dtπ (0.69)

2 2

4 4= − = − = −

S S

dH HQ Hdt D D

βπ π α

(0.70)

Dove per semplicita’:

2

4=

SDβ

π α (0.71)

Questa equazione differenziale puo’ essere integrata andando a separare le varibili e cio’ consente di ottenere il tempo desiderato:

= − ⋅dH dtH

β (0.72)

( )ln = −H tβ (0.73)

0−= tH H e β (0.74)

0

1 ln

= −

FHtHβ

(0.75)

Volendo si puo’ verificare se effettivamente l’aver trascurato la velocita’ con cui si sta abbassando il pelo libero dell’olio e’ qualcosa di ragionevole oppure no. Basta calcolare tale velocita’ e confrontarla con il contributo geometrico nell’equazione di Bernoulli:

2

04=SD v Qπ (0.76)

0 2

4=

S

v QDπ

(0.77)

0 2

4= <<

S

v H HDπ α

(0.78)

Esercizio 3 – Condotta Idraulica con Cambiamento di Sezione Due bacini d’acqua il cui dislivello è pari a 10 m sono collegati da una tubazione costituita da:

• 1 tronco di tubo con D1 = 200mm e L1 = 150 m • 1 tronco di tubo con D2 = 300mm e L2 = 150 m

I 2 tronchi, in serie fra di loro, sono realizzati in cemento ( k1 = k2 = 0,6 mm ) e si aprono a spigolo netto nei 2 bacini. Le proprietà fisiche dell’acqua, a 15° C, sono le seguenti: ρ=1000 kg/m3, μ=1.3 cP. Si può assumere che il regime idraulico corrisponda a quello di tubo idraulicamente scabro e si consiglia di maggiorare del 20% i fattori di attrito così calcolati. Si chiede di valutare la portata fluente fra i 2 bacini idraulici, valutando perdite di carico distribuite e localizzate, confrontandole fra di loro per importanza relativa. Si chiede altresì di tracciare i diagrammi dei carichi totali e dell’altezza piezometrica lungo la linea. Per il calcolo del fattore di attrito si utilizzi la seguente correlazione:

101 /4 log

3.7k D

f= −

Soluzione

Esercizio 4 – Spinta su gomito di Tubazione Dell’acqua, alla temperatura di 20° C, scorre nella misura di 60 l/s, in un gomito a 60° che deflette la corrente verso l’alto. La sezione di entrata nel gomito (Sez1) ha diametro D1 = 4" ( 101,6 mm ), la sezione di uscita (Sez2) ha diametro D2= 3" (76,2 mm), il volume interno del gomito è stimato in V =1,2 l. Sulla scorta dei dati assegnati e delle proprietà fisiche dell’acqua si chiede di fare le valutazioni e i calcoli intesi stabilire:

1. Se il regime fluidodinamico sia pienamente turbolento (Re > 105).

2. Le forme appropriate del bilancio di quantità di moto e di energia meccanica che si applicano al problema.

3. Quale sia la differenza di pressione fra entrata e uscita nelle 2 ipotesi: a. assenza di dissipazioni (moto di fluido perfetto non viscoso) b. presenza di dissipazione con legge assegnata.

4. Quale sia la spinta, in modulo e nelle 2 componenti, sul gomito esercitata dell’acqua fluente, e quale sia la direzione, o verso, di applicazione nelle 2 ipotesi citate sub 3.

5. Quale sia l’importanza relativa, sulla forza risultante, del peso della massa d’acqua contenuta nel gomito e della dissipazione di energia.

Si assumano i seguenti dati: ρ=1000 kg/m3, μ=1. cP., P2 = 1.07 atm (assolute), ev=0.40 (coefficiente dell’energia cinetica dissipata). Soluzione

Esercizio 5 – Fluido non newtoniano: legge di potenza a due parametri L’ossido di propilene (ρ=0.830 g/cm3) a temperatura ambiente è un liquido a comportamento non newtoniano, che segue la seguente legge di potenza a due parametri:

1nzdvm

drµ

− =

I parametri m e n dipendono fortemente dalla temperatura, secondo quanto riportato nella tabella seguente:

Temperatura [K] m [Pa·sn] n 293 0.994 0.532 313 0.706 0.544 333 0.486 0.599

Si vuole determinare l’inclinazione rispetto alla superficie orizzontale di un tubo a sezione circolare di lunghezza pari a (3+0.01C3) m e diametro interno di (2+0.05C3) cm, affinché al suo interno possa scorrere una portata di ossido di propilene pari a 1 kg/min, supponendo che la temperatura sia di 20 °C. Si determini inoltre la velocità del fluido in corrispondenza dell’asse della tubazione. Si immagini ora di voler muovere la stessa portata indicata al punto a, avendo però posizionato il tubo in direzione perfettamente orizzontale. La potenza da fornire al fluido è maggiore alla temperatura di 20 °C oppure alla temperatura di 60 °C? Soluzione La portata massiva e’ data dalla seguente espressione:

( )1

30

1 23

nLP P RRm

mLn

π ρ − =

+ (0.79)

Di conseguenza la differenza di pressione (piezometrica) in grado di assicurare tale portata e’ data dalla seguente espressione:

( )0 3

1 32

n

L

mmL nP PR Rπ ρ

+ − =

(0.80)

Nel caso di tubo inclinato, la differenza di pressione piezometrica e’ data semplicemente da:

( )0 sinLP P gH gLρ ρ θ− = = (0.81) Pertanto l’angolo cercato e’ pari a:

0arcsin LP PgL

θρ−

=

(0.82)

Il profilo di velocita’ e’ dato dalla seguente espressione:

( )11/ 1

0 112 1

nnLP P R R rv

mL Rn

+ − = − +

(0.83)

Lungo l’asse in particolare si ha:

( ) 1/0

12 1

nLP P R Rv

mLn

− = +

(0.84)

Parte b. La potenza e’ data dal prodotto tra la differenza di pressione piezometrica e la portata volumetrica. Quindi e’ sufficiente utilizzare le espressioni ricavate sopra:

( )0 3

1 32

n

L

mmL nW P P Q QR Rπ ρ

+ = − =

(0.85)

Essendo la portata indipendente dalla temperatura, e’ sufficiente confrontare il valore di ( )0 LP P− alla

temperatura di 20°C con quello alla temperatura di 60

Esercizio 6 – Fluido di Bingham in una tubazione a sezione circolare All’interno di un tubo cilindrico verticale di lunghezza L=(1+0.1x) m e di diametro interno pari a D=(2+0.1x) cm scorre un fluido alla Bingham. Si chiede di valutare:

1. se il diametro D sia superiore al diametro critico oltre al quale si stabilisce lo scorrimento del materiale per effetto del proprio peso;

2. la portata fluente per effetto del peso della colonna di fluido e il raggio del nucleo centrale in movimento rigido;

3. le velocità assiali media e massima del fluido in corrispondenza di una generica sezione; 4. la differenza di pressione da applicare agli estremi del tubo verticale perché la portata

volumetrica calcolata sopra diventi doppia e quanta sia la potenza meccanica da erogare. Si assumano le seguenti proprietà:

3

40

0

850

100.80

ρ

τµ

−

=

== ⋅

kgmbarPa s

Soluzione Diametro critico al limite dello scorrimento:

04τρ

=CDg

(0.86)

Con i dati del problema si ha che il fluido può scorrere sotto l’effetto del proprio peso:

> CD D (0.87) Raggio del nucleo centrale e portata fluente:

2 4τ ρ∆

= =WpR DgL

(0.88)

0 0ττ

=W

rR

(0.89)

00

ττ

=W

r R (0.90)

43 0 0

0

4 114 3 3

τ τ τπµ τ τ

= − +

W

W W

Q R (0.91)

Velocità assiali media e massima:

2π=

QvR

(0.92)

2

0max

0

12

τµ

= − W rRv

R (0.93)

Differenza di pressione e potenza:

43 0 0

0

4 114 3 3

τ τ τπµ τ τ

= − +

Wnew

W W

Q R (0.94)

4

0 0

3 0 0

0

4 113 3

4

τ τ τλ

τπ τ τ τµ

= − + =

new W

W W

Q

R (0.95)

3 0

04

λτπµ

= newQ

R

(0.96)

44 113 3

λ = − +X X X (0.97)

44 113 3

λ + = +

X X (0.98)

4

1

113

43

λ+

+=

+

k

k

XX (0.99)

0ττ

=W

X (0.100)

2 2τ ρ∆ ∆ = = +

W

P p RR gL L

(0.101)

2 τ ρ∆

= −Wp g

L R (0.102)

= ⋅∆newW Q p (0.103)

Esercizio 7 – Fluido a comportamento non-newtoniano Si consideri un fluido polimerico a comportamento non newtoniano, che segue la seguente legge di potenza a due parametri:

1mzdvn

drµ

− =

Il fluido percorre una lunga tubazione orizzontale a sezione circolare avente raggio interno R e lunghezza L, spinto da una differenza di pressione pari a 0 LP P∆Ρ = − . Si chiede di determinare:

1. l’espressione analitica del profilo di velocità in funzione della coordinata radiale r in una sezione generica della tubazione;

2. l’espressione analitica della portata w con cui il fluido percorre la tubazione. Assumendo che il fluido abbia una densità di 850 kg/m3 e parametri m=1.50 e n=0.050 Pa·s e supponendo che il tubo abbia un raggio interno R=(3+0.05x) cm, si determini la forza di pompaggio necessaria per muovere una portata w=4 kg/s su una distanza L=300 m. Soluzione

Scriviamo prima di tutto il legame che esiste tra lo sforzo tangenziale rzτ e il gradiente di velocità zdvdr

:

1m mz z z z

rzdv dv dv dvn ndr dr dr dr

τ µ−

= − = − = −

(0.104)

Scrivendo un bilancio globale di quantità di moto tra le sezioni di ingresso e di uscita della tubazione, secondo quanto visto a lezione e durante le esercitazioni, si ha:

2rzP rL

τ ∆= (0.105)

Utilizzando la (0.104), si arriva alla seguente equazione differenziale:

( )2

0

mz

z

dv Pn rdr L

v r R

∆ − = = =

(0.106)

L’equazione sopra riportata può essere facilmente risolta attraverso il metodo di separazione delle variabili:

1/1/

2

mmzdv P r r

dr Lnβ∆ = − = −

(0.107)

1/

0 0

z zv v mzdv r drβ= −∫ ∫ (0.108)

1 1

1/

0 1z

mv mz

mrv r dr Cm

β β+

= − = − ++∫ (0.109)

L’incognita C può essere determinata imponendo la condizione al contorno di adesione sulla parete interna della tubazione ( ) 0zv r R= = :

1 1

1

mmRCm

β+

=+

(0.110)

1 11 1 11 1 1

11 1

mm m m

zm m rv R r R

m m Rβ β

++ + +

= − = − + +

(0.111)

Quindi, in ultima analisi, il profilo analitico di velocità risulta essere il seguente:

11/ 1

12 1

mm

zP m rv R RLn m R

+ ∆ = − +

(0.112)

La portata può essere determinata a partire dalla sua espressione, andando a integrare su tutta la sezione di passaggio:

0 02 2

R R

z zw r v dr rv drπ ρ πρ= =∫ ∫ (0.113)

Scrivendo in termini più compatti l’espressione analitica del profilo di velocità:

1 11/ 1 1

1 12 1

mm m

zP m r rv R R

Ln m R Rλ

+ + ∆ = − = − +

(0.114)

si va a determinare la portata massiva:

1 1 1 2

10 0 0 01

12 2 1 2mR R R R

mz

m

rw rv dr r dr rdr r drR

Rπρ πρλ πρλ

++

+

= = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ (0.115)

1 32 22 2

1 1

12 22 3 1 2 3 1 3 1

m

m

R R m R m mw R Rm m m

Rπρλ πρλ πρλ

+

+

+ = − = − = + + +

(0.116)

Quindi:

1/3

3 1 2

mm Pw R Rm Ln

πρ ∆ = + (0.117)

Per determinare la potenza di pompaggio necessaria e’ prima di tutto necessario calcolare la differenza di pressione in grado di assicurare la portata richiesta utilizzando la (0.117):

3

3 1 2m

w m LnPm RRπρ

+∆ =

(0.118)

Quindi si determina lo sforzo sulla parete dalla (0.86):

2WP RL

τ ∆= (0.119)

Infine si determina la forza di pompaggio:

2 WF RLπ τ= ⋅ (0.120)

Esercizio 8 – Fluido di Bingham in una tubazione a sezione anulare Si consideri un fluido in moto all’interno di un condotto a sezione anulare di lunghezza L, avente raggio interno pari a k·R (con 0<k<1) e raggio esterno pari a R, secondo quanto riportato nella Figura. Il fluido ha un comportamento non newtoniano e segue la seguente legge (da non confondere con quella di Bingham):

0 0z

rzdvdr

τ µ τ= − +

Sapendo che la differenza di pressione in grado di assicurare il moto del fluido e’ pari a 0 LP P P∆ = − , si chiede di determinare l’espressione analitica dei profili di velocità e degli sforzi tangenziali rzτ in funzione della coordinata radiale r in una

sezione generica della tubazione. Si determini la coordinata radiale in corrispondenza della quale la velocità assiale raggiunge il massimo valore. Utilizzando i dati riportati nella Tabella, si determini la massima velocità raggiunta dal fluido e gli sforzi tangenziali sulle pareti, interna ed esterna, della tubazione.

Variabile Simbolo Valore Differenza di pressione P∆ 1 bar Viscosità del fluido 0µ 0.05 Pa·s

Sforzo tangenziale critico 0τ 5 Pa

Lunghezza della tubazione L 100 m Rapporto tra i raggi della tubazione k 0.3+0.01x Raggio esterno della tubazione R 5 cm

Soluzione Scrivendo un bilancio globale di quantità di moto tra le sezioni di ingresso e di uscita della tubazione, secondo quanto visto a lezione e durante le esercitazioni, si ha:

( )rzd Pr rdr L

τ ∆= (0.121)

Integrando una prima volta:

212rz

Pr r CL

τ ∆= + (0.122)

1

2rzCP r

L rτ ∆

= + (0.123)

Utilizzando la legge di Bingham, puo’ essere ottenuta l’equazione differenziale che descrive il moto del fluido:

10 0 2

zdv CP rdr L r

µ τ ∆− + = + (0.124)

Integrando nuovamente si ha:

( ) ( )20 1 0 2ln

4zPv r r C r r CL

µ τ∆− = + − + (0.125)

Le due costanti di integrazione possono essere determinate imponendo la condizione di adesione sulle due pareti, interna ed esterna della tubazione:

( )( )

0

0z

z

v r kR

v r R

= =

= = (0.126)

( )

( )

2 21 0 2

21 0 2

ln 04

ln 04

P k R C kR kR CLP R C R R CL

τ

τ

∆ + − + =∆ + − + =

(0.127)

Sottraendo le due equazioni sopra riportate e’ possibile ottenere la prima costante di integrazione:

( ) ( )2 21 0

11 ln 1 04

P R k C R kL k

τ∆ − + − − =

(0.128)

( ) ( )2 20

1

1 14

1ln

P R k R kLC

k

τ∆− − + −

=

(0.129)

Utilizzando una delle due equazioni in (0.93) si puo’ ottenere la seconda costante:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 0 0 0

lnln 1 1

14 4 4 ln

RP P PC R C R R R R R k R kL L L

k

τ τ τ∆ ∆ ∆ = − − + = − + + − − −

(0.130)

Inserendo le costanti appena determinate nella (0.91) si ottiene finalmente il profilo cercato:

( )2 2

2 0

0 0

1 11 ln 1 ln1 14 ln ln

zP r k R r k Rv r R R

L R r R rk k

τµ µ

∆ − − = − − − − −

(0.131)

La massima velocita’ puo’ essere determinata facilmente cercando il massimo del profilo sopra riportato. Fortunatamente abbiamo gia’ a disposizione la derivata dalla (0.88). Quindi:

10 0 0

2zdv CP r

dr L rµ τ∆

− = + − = (0.132)

20 1 0

2P r r CL

τ∆− + = (0.133)

2 20 0 1 0 0 1

max

4 22

22

P PC CL Lr

P PL L

τ τ τ τ∆ ∆± − ± −

= =∆ ∆

(0.134)

Ovviamente delle due soluzioni solo una delle due avrà significato fisico accettabile. La velocita’ massima e’ quindi data dalla (0.131) valutata nella coordinata rmax L’espressione analitica degli sforzi tangenziali e’ a questo punto estremamente semplice da ricavare. Partendo dalla (0.123) e’ sufficiente sostituire il valore della costante C1:

( ) ( ) ( )2 2

20

0

1 1 1141 1 12 2ln 2ln ln

rz

P R k R k kP P r k R RLr RL L R r rr

k k k

ττ τ

∆− − + − −∆ ∆ − = + = − +

(0.135)

La seconda parte dell’esercizio ovviamente può essere risolta andando semplicemente a sostituire nella (0.131) e nella (0.135) i dati assegnati.