Esercitazione riepilogativa Statistica e calcolo delle probabilità” NO 6 CFU Prof. M. Giorgio

problema 1: Si verifichi se è possibile accettare l’ipotesi che il seguente campione casuale: 11.51, 10.22, 12.68, 11.42, 13.65, 13.39, 13.99, 12.90, 12.75, 13.98, 11.75 sia stato estratto da una popolazione Gaussiana di parametri incogniti (si ponga α=0.05). Allo scopo si effettui una stima puntuale dei parametri di tale popolazione da utilizzare come valori di tentativo e si completi (riempiendo solo le celle a sfondo grigio) la seguente tabella:

dati posizione empiriche zi teoriche 1 0.06 2 0.01 3 4 0.11 5 0.08 6 0.01 7 0.03 8 0.02 9 10 0.03 11 0.12

In caso di test non significativo (ovvero se il test non permette di rigettare l’ipotesi di Gaussianità) si effettui una stima per intervallo dei parametri del modello.

Suggerimento 1: 11 11

2

1 1138.24, 1751.92i i

i ix x

= == =∑ ∑

Suggerimento 2: Completare la tabella su questo foglio. problema 2 Una scatola contiene 15 elementi da 20 grammi e 5 da 15 grammi. Si estraggono a caso 6 elementi:

a) senza rimessa b) con rimessa

con quale probabilità non si supera il peso di 100 grammi? Esercizio 3 La variabile aleatoria X è uniformemente distribuita in (0,1). si formuli la densità di probabilità della v.a. Y L X= − ⋅ −1 1b g b gln e se ne calcoli il 50° percentile. problema 4 Assegnata la funzione densità della v.a. X:

2( ) 2 ; 0xf X e X−= ⋅ ≥ Si formulino la funzione densità e la funzione generatrice dei momenti della v.a. Y a X b= + . Si calcolino (nella maniera ritenuta meno onerosa) media e varianza delle variabili X e Y. problema 5 Cinque dispositivi si guastano rispettivamente dopo i tempi di funzionamento t1, t2, t3; t4, t5. Qual è la stima della loro vita media nell’ipotesi di modello di mortalità Esponenziale? Si pervenga alla soluzione usando il metodo della Massima verosimiglianza. problema 6 Su 10 lanci di una moneta si è ottenuto 8 volte testa. Valutare se è possibile rigettare l’ipotesi che la moneta sia corretta. Si porga α=0.05

Si effettui il test utilizzando un metodo esatto ed un metodo approssimato. problema 7 X è una v.a. di distribuzione incognita che può assumere i valori 0,1,2,3,4,5. Si sospetta si tratti di una v.a. Binomiale di parametri k=5 e p=0.65 ( ),X B k p⎡ ⎤⎣ ⎦∼ . Si verifichi l’ipotesi considerata utilizzando i dati raccolti in tabella (tali dati

sono stati ottenuti osservando un campione casuale estratto dalla v.a. X). Si ponga α=0.05. xi ni 0 7 1 58 2 185 3 330 4 310 5 110

Nota: la funzione ripartizione della. B(5,0.65) è la seguente ( ) ( )0 0F P X= ≤ 0.005 ( ) ( )1 1F P X= ≤ 0.054 ( ) ( )2 2F P X= ≤ 0.235 ( ) ( )3 3F P X= ≤ 0.572 ( ) ( )4 4F P X= ≤ 0.884 ( ) ( )5 5F P X= ≤ 1