ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

INFERENZIALE Stefania Naddeo

2

INDICE 1. EVENTI E PROBABILITA’ 3 2. VARIABILI CASUALI 18 3. STATISTICHE CAMPIONARIE 34 4. INTERVALLI DI CONFIDENZA E TEST DI SIGNIFICATIVI TA’ 49 APPENDICE Tavola A: Funzione di ripartizione della normale standardizzata 59 Tavola B: Quantili della normale standardizzata 6 0 Tavola C: Quantili della chi-quadrato con g gradi di libertà 61 Tavola D: Quantili della t di Student con g gradi di libertà 63

3

1. EVENTI E PROBABILITA’ (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 7 delle dispense) Esercizio 1.1 Un esperimento consiste nel lancio di 3 monete equilibrate. Determinare tutti i possibili risultati associati a questo esperimento e calcolare le probabilità corrispondenti. Soluzione I possibili risultati sono

C C C C C T C T C T C C C T T T C T T T C T T T

Tutti gli eventi sono equiprobabili, per cui a ciascuno di loro è associata una probabilità pari a 1/8 = 0,125. Esercizio 1.2 Dati due eventi indipendenti A e B a cui è associata rispettivamente una probabilità P(A) = 0,6 e P(B) = 0,2, calcolare le probabilità associate agli eventi A|B, A∩B, A∪B. Soluzione P(A|B) = P(A) = 0,6 per l’indipendenza degli eventi P(A∩B) = P(A)P(B) = 0,6×0,2 = 0,12 per il teorema delle probabilità composte applicate ad eventi indipendenti P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = 0,6+0,2−0,12 = 0,68 per il teorema delle probabilità totali applicato ad eventi compatibili. Esercizio 1.3 Un esperimento consiste nel lanciare 3 volte una moneta equilibrata. Calcolare le probabilità associate agli eventi: A) nei primi due lanci si ottiene testa, B) nell’ultimo lancio si ottiene testa, C) in tutti e tre i lanci si ottiene sempre testa. Soluzione P(A) = 0,5×0,5 = 0,25 per l’indipendenza dei 2 eventi considerati e perchè non interessa conoscere la faccia ottenuta nel terzo lancio P(B) = 0,5 perchè non interessa sapere cosa si è ottenuto nei primi due lanci P(C) = 0,5×0,5×0,5 = 0,125 per l’indipendenza dei tre eventi considerati.

4

Esercizio 1.4 Un esperimento consiste nel lancio di due dadi equilibrati. Calcolare la probabilità che uno dei due dadi presenti la faccia 6 sapendo che il punteggio complessivo è risultato pari a 10. Soluzione I casi possibili, ossia le coppie che danno un risultato pari a 10, sono 3: 4 6 5 5 6 4 Di queste solo due sono i casi favorevoli, e cioè le coppie con un dado con la faccia 6 per cui la probabilità cercata è pari a 60,3/2 = Esercizio 1.5 Una popolazione è composta dall’80% di individui di sesso maschile e dal 20% di individui di sesso femminile. Sapendo che la quota di disoccupati è pari al 4% nel gruppo degli uomini e del 9% nel gruppo delle donne, determinare la probabilità che un individuo estratto in modo casuale dalla popolazione risulti disoccupato. Soluzione Sia M l’evento “maschio”, F l’evento “femmina” e D l’evento “disoccupato”, dal testo si ottengono queste probabilità: P(M) = 0,8 P(F) = 0,2 P(D|M) = 0,04 P(D|F) = 0,09. Sapendo che

( ) ( ) ( )FDPMDPDP ∩+∩=

e che ( ) ( ) ( )MPM|DPMDP =∩

( ) ( )FF)P|P(DFDP =∩

risulta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,050,20,090,80,04FF)P|P(DMPM|DPFDPMDPDP =×+×=+=∩+∩=

Esercizio 1.6 Un esperimento consiste nell’estrazione casuale di una carta da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilità che si ottenga: a) una carta di cuori o un asso, b) un re, sapendo che la carta estratta è una figura (cioè un re, una regina o un fante). Soluzione Sia C l’evento “carta di cuori”, A l’evento “asso”, R l’evento “re” e F l’evento “figura”. Si ha

5

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,30775216

521

524

5213

ACPAPCPACP ≅=−+=∩−+=∪ dove l’evento C∩A indica

l’evento “asso di cuori”.

b) ( ) ( )( ) 30,

31

124

12/524/52

FPFRP

F|RP ====∩=

Esercizio 1.7 Una prima urna contiene 6 palline bianche, 6 nere e 8 rosse ed una seconda urna contiene 9 palline bianche, 3 nere e 3 rosse. Determinare la probabilità che estraendo casualmente una pallina da un’urna scelta in modo casuale si ottenga una pallina bianca. Soluzione Indicato con B l’evento “pallina bianca”, con U1 l’evento “urna 1” e con U2 l’evento “urna 2” la probabilità di selezionare la prima o la seconda urna è

( ) ( ) 0,5UPUP 21 == . L’evento B può essere scomposto nella somma degli eventi composti “pallina bianca estratta dalla prima urna” e “pallina bianca estratta dalla seconda urna”, ossia

( ) ( ) ( )21 UBPUBPBP ∩+∩=

per cui, applicando il teorema delle probabilità composte, risulta

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,450,5159

0,5206

U)PU|P(BUPU|BPUBPUBPBP 221121 =×+×=+=∩+∩=

Esercizio 1.8 Un’urna contiene 10 palline, si cui 3 bianche e 7 nere. Calcolare la probabilità che che un campione casuale di 2 palline estratto con ripetizione sia composto da palline dello stesso colore. Soluzione Occorre calcolare la somma delle probabilità associate agli eventi incompatibili “entrambe le palline sono bianche” e “entrambe le palline sono nere”. Indicato con Bi l’evento “pallina bianca alla i-esima estrazione” e con Ni l’evento “pallina nera alla i-esima estrazione” si ha

( ) ( ) ( ) ( ) 58,0107

107

103

103

NPNPBPBP 2121 =×+×=+

data l’indipendenza degli eventi considerati. Esercizio 1.9 Un malato presenta un certo sintomo S che può essere causato dalla malattia M1 che si manifesta con una probabilità pari a 0,6 o dalla malattia M2 che si manifesta con probabilità 0,4. Sapendo che se è presente la malattia M1 il sintomo si presenta con probabilità 0,6 mentre se è presente la malattia M2 il sintomo si presenta con probabilità 0,9, determinare quale malattia risulta più probabile.

6

Soluzione Il problema si risolve calcolando le probabilità ( )S|MP 1 e ( )S|MP 2 che possono essere ottenute applicando la formula di Bayes. Dai dati del problema si ottiene P(M1)=0,6 P(M2) = 0,4 P(S|M1)=0,6 P(S|M2)=0,9 La probabilità di presentare il sintomo S risulta

( ) ( ) ( ) ( ) 0,720,4900,660M)PM|P(SMPM|SPSP 2211 =×+×=+= ,,

per cui

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) 0,50

0,720,4*0,9

SPM)PM|P(S

S|MP

0,500,72

0,6*0,6SP

MPM|SPS|MP

222

111

===

===

Le due malattie sono quindi equiprobabili. Esercizio 1.10 Un esperimento consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati. Calcolare le probabilità associate agli eventi: A) il punteggio complessivo è pari a 4, B) il punteggio complessivo è minore o uguale a 4. Soluzione Lanciando 3 dadi si possono ottenere 63=216 risultati diversi, tutti equiprobabili fra di loro. Di questi risultati solo le terne (1,1,2), (1,2,1) e (2,1,1) danno un punteggio pari a 4 per cui

( ) 8013,0216

3AP == .

Per la probabilità dell’evento B basta aggiungere alle tre terne precedentemente considerate la terna (1,1,1) per cui

( ) 1850,0216

4AP == .

Esercizio 1.11 Un’urna contiene palline numerate e colorate. Il 70% delle palline è di colore bianco e il restante 30% è di colore rosso. Sapendo che la probabilità che una pallina presenti un numero maggiore di 100 è 0,2 per le palline bianche ed è 0,5 per le palline rosse, calcolare la probabilità che avendo estratto una pallina con un numero maggiore di 100 si ottenga: a) una pallina bianca, b) una pallina rossa. Soluzione Indicato con B l’evento “pallina bianca”, con R l’evento “pallina rossa” e con M l’evento “pallina con numero maggiore di 100” il problema si risolve calcolando le probabilità

( )M|BP e ( )M|RP che possono essere ottenute applicando la formula di Bayes.

Dai dati del problema si ottiene P(B)=0,7 P(R) = 0,3

7

P(M|B)=0,2 P(M|R)=0,5 Risulta anche

( ) ( ) ( ) ( ) 0,290,5*3,00,2*7,0RR)P|P(MBPB|MPMP =+=+=

per cui

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) 0,5172

0,290,50,3

MPRR)P|P(M

M|RP

0,48280,29

0,20,7MP

BPB|MPM|BP

≅×==

≅×==

Esercizio 1.12 Un esperimento consiste nel lancio di 4 monete equilibrate. Determinare la probabilità associata agli eventi: A) tutte e 4 le monete presentano la faccia testa, B) almeno una moneta presenta la faccia testa. Soluzione P(A) = (0,5)4 = 0,0625 per il teorema delle probabilità composte applicato ad eventi indipendenti P(B) = 1 – (0,5)4 = 0,9375 perchè P(B) può essere calcolata come 1 meno la probabilità dell’evento “tutte le monete presentano la faccia croce”. Esercizio 1.13 Un esperimento consiste nel lanciare 5 volte un dado equilibrato. Determinare la probabilità che in tre lanci si ottenga uno stesso punteggio. Soluzione Conviene iniziare a determinare la probabilità associata ad una particolare successione di dadi e successivamente generalizzare l’ordine dei lanci. La probabilità che i primi 3 dadi presentino tutti un certo specifico punteggio, ad esempio la faccia 1, è data da

23

65

61

La probabilità che i primi 3 dadi presentino tutti uno stesso punteggio, quale che esso sia, è data dal prodotto della probabilità precedente per 6, dato che sono 6 i possibili punteggi che si possono ottenere lanciando un dado.

665

61

23

×

Infine la probabilità che 3 dadi qualsiasi presentino uno stesso punteggio è data dal prodotto della probabilità precedente per tutte le combinazioni di 5 elementi di classe 3

1929,0665

61

3

5 23

≅×

.

8

Esercizio 1.14 In una popolazione il 30% degli individui presentano una certa caratteristica A che manca invece ai restanti individui. Sapendo che nel gruppo degli individui con la caratteristica A l’80% presenta anche una caratteristica B, mentre nel gruppo di individui senza la caratteristica A solo il 20% possiede la caratteristica B, determinare la probabilità che un individuo estratto in modo casuale dalla popolazione presenti la caratteristica B Soluzione I dati forniti dal testo sono: P(A) = 0,3 P(B)=0,7

P(B|A) = 0,8 0,2)A|P(B = Per determinare P(B) è sufficiente ricordare che

0,380,70,20,30,8)A)P(AP(BA)P(A)P(B)AP(BA)P(BP(B) =×+×=+=∩+∩= || Esercizio 1.15 Un’azienda ha tre stabilimenti (A, B e C) che producono un certo articolo. Nella tabella successiva è riportato il numero di articoli prodotti da ogni stabilimento e le quote di articoli difettosi. Determinare la probabilità che estraendo in modo casuale un articolo se ne ottenga uno difettoso.

Stabilimento articoli prodotti quote difettosi A 100 0,03 B 200 0,02 C 200 0,04

Soluzione Dalla tabella si ottengono le seguenti probabilità: P(A)=100/500=0,2 e P(B)=P(C)=200/500=0,4. Indicato con D l’evento “articolo difettoso” si ha quindi P(D) = P(D∩A)+P(D∩B)+P(D∩C)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)= = 0,03×0,2 + 0,02×0,4 + 0,04×0,4 = 0,03. Esercizio 1.16 In una classe di alunni i maschi sono il doppio delle femmine. Sapendo che il motorino è posseduto dal 20% dei maschi e dal 10% delle femmine, determinare la probabilità che un alunno estratto a caso dalla classe abbia il motorino. Soluzione Indicato con M l’evento “maschio”, con F l’evento “femmina” dalle due uguaglianze successive si possono determinare le probabilità dei due eventi P(M) = 2P(F) P(M) + P(F) = 1 da cui si ottiene P(M) = 2/3

9

P(F) = 1/3 Indicato con A l’evento “motorino” sulla base dei dati del problema sono note le probabilità P(A|M) = 0,2 P(A|F) = 0,1 Dato che P(A) = P(A∩M)+P(A∩F)=P(A|M)P(M)+P(A|F)P(F) risulta

61031

0,132

0,2P(A) ,=×+×= .

Esercizio 1.17 Data una prova che consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati, calcolare la probabilità che su uno dei tre dadi sia apparsa la faccia 6 sapendo che il punteggio complessivo è risultato pari a 8 Soluzione Le possibili terne di risultati che forniscono un punteggio complessivo pari a 8 sono 1 1 6 (che può presentarsi in 3 modi diversi) 1 2 5 (che può presentarsi in 6 modi diversi) 1 3 4 (che può presentarsi in 6 modi diversi) 2 2 4 (che può presentarsi in 3 modi diversi) 2 3 3 (che può presentarsi in 3 modi diversi) Di questi 21 risultati possibili solo le prime 3 terne (1,1,6), (1,6,1) e (6,1,1) sono i casi favorevoli all’evento considerato, per cui la probabilità cercata è

14290213

,≅ .

Esercizio 1.18 Si considerino 3 urne U1, U2 e U3 delle quali U1 contiene 4 palline rosse e 6 nere, U2 5 palline rosse e 5 nere e U3 7 palline rosse e 3 nere. Una persona ha scelto in modo casuale una delle tre urne e ha estratto una pallina di colore nero. Calcolare la probabilità che la pallina nera provenga da: A) U1, B) U2, C) U3 Soluzione Indicato con N l’evento pallina nera si vogliono calcolare le probabilità P(U1|N), P(U2|N) e P(U3|N) in base alla formula di Bayes. Si ottiene P(U1) = P(U2) = P(U3) = 1/3 P(N) = P(N∩U1)+P(N∩U2)+P(N∩U3)=P(N|U1)P(U1)+P(N|U2)P(U2)+P(N|U3)P(U3)=

= 0,6×(1/3) + 0,5×(1/3) + 0,3×(1/3) = 64,0

0,428660,4

(1/3)0,6P(N)

))P(UU|P(NN)|P(U 11

1 ≅×==

10

0,357160,4

(1/3)0,5P(N)

))P(UU|P(NN)|P(U 22

2 ≅×==

0,214360,4

(1/3)0,3P(N)

))P(UU|P(NN)|P(U 33

3 ≅×==

Esercizio 1.19 Dato un esperimento che consiste nel lancio di due monete equilibrate si verifichi se gli eventi E1 “su entrambe le monete appare la faccia testa” e E2 “su almeno una moneta appare la faccia testa” risultano indipendenti fra di loro. Soluzione La condizione di indipendenza si verifica se P(E1∩E2) = P(E1)P(E2) Dato che i risultati possibili sono 4 si ottiene P(E1) =1/4 perchè solo il risultato (T, T) risulta favorevole all’evento P(E2) =3/4 perchè i risultati (C, T), (T, C) e (T, T) risultano favorevoli all’evento. La probabilità che entrambi gli eventi si verifichino è data da P(E1∩E2) = 1/4 perchè l’intersezione dei due eventi dà luogo all’evento E1 I due eventi non sono quindi indipendenti fra di loro, dato che P(E1∩E2) = 1/4 ≠ P(E1)P(E2) = 3/16 Esercizio 1.20 Dato un esperimento che consiste nel lancio di due dadi equilibrati si verifichi se gli eventi E1 “sul primo dado appare un punteggio minore o uguale a 3”, E2 “sul primo dado appare la faccia 3, 4 o 5” e E3 “la somma del punteggio sui due dadi è pari a 9” risultano tutti indipendenti fra di loro. Soluzione La condizione di indipendenza si verifica se P(E1∩E2∩E3) = P(E1)P(E2)P(E3) e se gli eventi sono indipendenti a coppia. L’evento (E1∩E2∩E3) si verifica solo se compare la coppia di risultati (3, 6), per cui P(E1∩E2∩E3) = 1/36. L’evento E3 si verifica solo se compaiono le coppie (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) per cui P(E3) = 4/36 Dato che P(E1) = P(E2) = 3/6 la condizione di indipendenza fra i 3 eventi

7020361

364

63

63

))P(E)P(EP(E)EEP(E 321321 ,==××==∩∩ è verificata.

11

L’evento (E1∩E2) si verifica se esce il 3 sul primo dado, indipendentemente dal punteggio sul secondo per cui P(E1∩E2) = 1/6 e quindi la condizione di indipendenza fra gli eventi E1 e E2 non è verificata:

250369

63

63

))P(EP(E61061

)EP(E 2121 ,, ==×=≠==∩

Si conclude che gli eventi E1, E2 ed E3 non sono quindi tutti indipendenti fra di loro. Per quanto riguarda le altre coppie di eventi risulta che: l’evento (E1∩E3) si verifica se esce il 3 sul primo dado e 6 sul secondo per cui P(E1∩E3) = 1/36 e quindi la condizione di indipendenza fra fra gli eventi E1 e E3 non è verificata:

500364

63

))P(EP(E7020361

)EP(E 3131 ,, =×=≠==∩ .

L’evento (E2∩E3) si verifica se escono le coppie (3, 6), (4, 5), (5, 4) per cui P(E2∩E3) = 3/36 e quindi neanche la condizione di indipendenza fra fra gli eventi E2 e E3 è verificata:

500364

63

))P(EP(E3080363

)EP(E 2232 ,, =×=≠==∩ .

Esercizio 1.21 Una moneta non equilibrata ha una probabilità pari a 0,2 di presentare la faccia “testa”. Determinare la probabilità che lanciando 5 volte la moneta la faccia testa compaia per la prima volta: A) al primo lancio, B) al terzo, C) al quinto. Soluzione P(A) = 0,2 P(B) = 0,82×0,2 = 0,128 P(C) = 0,84×0,2 = 0,08192 Esercizio 1.22 In un dado non equilibrato la probabilità di ottenere una faccia pari è il doppio della probabilità di una faccia dispari. Determinare la probabilità che lanciando il dado si ottenga un punteggio inferiore o uguale a 3. Soluzione Indicato con A l’evento “punteggio pari” e con B l’evento “punteggio dispari” si ha P(A) = 2P(B) che, sostituito nell’uguaglianza P(A) + P(B) =1

12

fornisce 3P(B) = 1. Per cui P(B) = 1/3 e P(A) = 2/3. Indicato con Ei l’evento “uscita del numero i” (i=1,2,...,6) l’evento A è un evento composto, costituito dalla somma dei seguenti eventi elementari equiprobabili A = (E2∪E4∪E6)

per cui P(E2) = P(E4) = P(E6) = 2,092

33/2 ==

Allo stesso modo, per B risulta B = (E1∪E3∪E5) per cui le probabilità degli eventi elementari equiprobabili che lo compongono sono

e P(E1) = P(E3) = P(E5) = 1,091

33/1 == .

Indicato con C l’evento “punteggio inferiore o uguale a 3” si ha C = (E1∪E2∪E3) e quindi, data l’incompatibilità degli eventi elementari, si ottiene infine

P(C) = P(E1∪E2∪E3) = P(E1)+P(E2)+P(E3) = 4,094

91

92

91 ==++ .

Esercizio 1.23 In una moneta non equilibrata la probabilità di ottenere la faccia testa è 0,25. Determinare la probabilità che lanciando 5 volte la moneta si ottengano i seguenti risultati: A) tutte croci, B) testa al primo lancio e croce nei 4 lanci successivi, C) una testa e 4 croci a prescindere dall’ordine. Soluzione Per l’indipendenza dei lanci risulta P(A) = (0,75)5 ≅ 0,2373 P(B) = 0,25×(0,75)4 ≅ 0,0791 Infine, tenendo presente che i modi in cui possono presentarsi una testa e 4 croci è dato dalle combinazioni di 5 elementi di classe 1 (o di classe 4), si ha

0,3955(0,75)0,2515

P(C) 4 ≅×

= .

Esercizio 1.24 Si considerino due urne: la prima contiene 6 palline bianche e 4 nere e la seconda 12 palline bianche e 8 nere. Considerato l’esperimento che consiste nell’estrazione di una pallina da ciascuna urna, determinare la probabilità che si ottengano gli eventi: A) due palline bianche, B) due palline nere, C) una pallina bianca e una nera.

13

Soluzione Indicato con Bi l’evento “estrazione di una pallina bianca dall’urna i” e con Ni l’evento “estrazione di una pallina nera dall’urna i” (i=1,2) per l’indipendenza delle estrazioni risulta P(A) = P(B1∩B2) = 0,6×0,6 = 0,36 P(B) = P(N1∩N2) = 0,4×0,4 = 0,16 P(C) = P[(B1∩N2)∪(N1∩B2)] = P(B1∩N2) + P(B1∩N2) = 0,6×0,4 + 0,4×0,6 = 0,48. Esercizio 1.25

Dati due eventi A e B determinare P(A∩B) e )BP(A∩ sapendo che P(A)=0,6 e P(B|A)=0,7.

Soluzione P(A∩B) = P(B|A)P(A) = 0,7×0,6 = 0,42

)BP(A∩ = P(A)−P(A∩B) = 0,6–0,42 = 0,18.

Esercizio 1.26 Un esperimento consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati. Calcolare le probabilità dei seguenti eventi: A) tutti e tre i dadi presentano la faccia 2; B) tutti e tre i dadi presentano una stessa faccia; C) i tre dadi presentano 3 facce diverse. Soluzione Per l’indipendenza degli eventi la probabilità di A risulta

P(A) = (1/6)3 = 6290,004 e, di conseguenza, la probabilità di B è

P(B) = 6×(1/6)3 = 70,02 .

Per calcolare la probabilità dell’evento C si osservi che sul primo dado può presentarsi una faccia qualunque, sul secondo dado una delle 5 facce diverse dalla faccia apparsa sul primo dado e sul terzo dado una delle 4 facce diverse dalle facce apparse sul primo e secondo dado, per cui risulta

P(C) = 1×(5/6)×(4/6) = 50, Esercizio 1.27 Un esperimento consiste nel distribuire 4 palline (2 bianche e 2 nere) in 2 urne in modo che nessuna urna rimanga vuota. Successivamente si seleziona in modo casuale un’urna e si estrae una pallina. Verificare quale distribuzione di palline rende massima la probabilità di estrarre una pallina bianca. Soluzione Indicata con U1 la prima urna e con U2 la seconda, nella tabella successiva sono indicate le possibili configurazioni di palline (senza considerare le configurazioni ottenibili

14

scambiando U1 e U2) e le probabilità associate a ciascuna configurazione, dove la probabilità di selezionare la prima o la seconda urna è sempre uguale a 0,5

U1 U2 probabilità B BNN (0,5)×1 + (0,5)×(1/3)=2/3= 60,

N BBN (0,5)×0 + (0,5)×(2/3)=1/3= 30,

BN BN (0,5)×(0,5) + (0,5)×(0,5)= 0,5 NN BB (0,5)×0 + (0,5)×1= 0,5

In base ai risultati della tabella la configurazione che consente di massimizzare la probabilità di estrarre una pallina bianca è quella di mettere una pallina bianca in una delle urne e le restanti palline nell’altra. Esercizio 1.28 Dati due eventi indipendenti A e B determinare le loro probabilità sapendo che la probabilità che i due eventi si presentino contemporaneamente è 1/6 mentre la probabilità che nessuno dei due si verifichi è 1/3. Soluzione La probabilità che i due eventi si presentino contemporaneamente è 1/6 per cui P(A∩B) = P(A)P(B) = 1/6 (*) data l’indipendenza fra A e B. La probabilità che nessuno dei due si verifichi è 1/3 per cui 1−P(A∪B)=1−[P(A)+P(B)−P(A∩B)]=1−[P(A)+P(B)−1/6]=1/3 e quindi P(A)+P(B)=2/3+1/6=5/6

da cui si ottiene P(A)=5/6−P(B). Sostituendo questo risultato nella (*) si ottiene [5/6−P(B)]P(B)=1/6 e infine

[ ] 061

P(B)65

P(B) 2 =+− .

Da questa equazione di secondo grado si ottengono le due soluzioni 1/2 e 1/3 che corrispondono alle due probabilità richieste. Esercizio 1.29 Un articolo viene ottenuto assemblando 3 diversi componenti: A, B e C. Sapendo che la probabilità che ciascuno dei componenti sia difettoso è pari a 0,02 per A, a 0,08 per B ed a 0,05 per C, si determini la probabilità che l’articolo non presenti parti difettose.

15

Soluzione Indicato con D l’evento “il componente è difettoso” le probabilità che i 3 componenti siano difettosi sono rispettivamente P(D|A) = 0,02 P(D|B) = 0,08 P(D|C) = 0,05 e quindi le probabilità che non siano difettosi sono

P(D |A) = 0,98

P(D |B) = 0,92

P(D |C) = 0,95 Dato che l’articolo finale è costituito dai 3 componenti, la probabilità che sia non difettoso, supposta l’indipendenza fra gli eventi, è data da

P(D |A)×P(D |B)×P(D |C) = 0,98×0,92×0,95 = 0,85652 Esercizio 1.30 Una prova consiste nel lanciare un dado equilibrato e poi, sulla base del punteggio ottenuto, nell’estrarre una pallina da un’urna differente secondo lo schema seguente: - se si ottiene 1 si estrae dall’urna U che contiene 9 palline bianche e 1 nera - se si ottiene 2, 3 o 4 si estrae dall’urna V che contiene 1 pallina bianca e 9 nere - se si ottiene 5 o 6 si estrae dall’urna W che contiene 5 palline bianche e 5 nere Sapendo che nella prova si è ottenuta una pallina bianca, determinare se sia più probabile che la pallina provenga dall’urna U, V o W. Soluzione Le probabilità associate alle 3 urne sono: P(U) = 1/6 P(V) = 3/6 P(W) = 2/6 Sapendo inoltre che in base ai dati del problema le probabilità di estrarre una pallina bianca condizionatamente alle diverse urne sono P(B|U) = 0,9 P(B|V) = 0,1 P(B|W) = 0,5 in base alla formula di Bayes si ottengono le probabilità

900,4060,3

(1/6)0,9P(B)U)P(U)|P(B

B)|P(U =×==

630,1360,3

(3/6)0,1P(B)V)P(V)|P(B

B)|P(V =×==

450,60,3

(2/6)0,5P(B)W)P(W)|P(B

B)|P(W =×==

dove

P(B) = 0,9×(1/6) + 0,1×(3/6) + 0,5×(2/6) = 630, .

16

Pertanto si può concludere che l’evento più probabile è che la pallina bianca estratta provenga dall’urna W. Esercizio 1.31 Un dado è truccato in modo che le probabilità dei punteggi riportati sulle facce assumono i valori indicati nella tabella seguente

punteggio probabilità 1 12/90 2 12/90 3 18/90 4 15/90 5 15/90 6 18/90

totale 1,00 Verificare che per tale dado l’evento A “punteggio pari” e l’evento B “punteggio divisibile per 3” risultano indipendenti fra di loro. Verificare se l’indipendenza esisterebbe anche nel caso in cui il dado fosse equilibrato. Soluzione Le probabilità associate ai due eventi sono: P(A) = 12/90 + 15/90 + 18/90 = 45/90 = 0,5 P(B) = 18/90 + 18/90 = 36/90 = 0,4 L’intersezione dei due eventi corrisponde all’evento “uscita della faccia 6”, per cui si ha P(A∩B) = 18/90 = 0,2. Dato che P(A)×P(B) = 0,5×0,4 = 0,2, gli eventi A e B sono indipendenti. Se il dado fosse equilibrato si avrebbe: P(A∩B) = 1/6 P(A)×P(B) = 3/6×2/6 = 1/6 per cui anche in questo caso i due eventi risulterebbero indipendenti. Esercizio 1.32 Un dado è truccato in modo che le probabilità dei punteggi riportati sulle facce è proporzionale al punteggio stesso (per cui, per esempio, la faccia 2 ha il doppio della probabilità della faccia 1 e così via). Determinare la probabilità che lanciando il dado si ottengano gli eventi: A) punteggio pari, B) punteggio dispari. Soluzione Indicata con p la probabilità P(1) associata alla faccia 1, la probabilità di ottenere un punteggio qualsiasi (ossia la probabilità dell’evento certo) è

17

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p =1 da cui si ottiene

211

p =

Si ha quindi

0,57142112

216

214

212

P(6)P(4)P(2)P(A) ≅=++=++=

0,4286219

215

213

211

P(5)P(3)P(1)P(B) ≅=++=++=

18

2. VARIABILI CASUALI (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 8 delle dispense) Esercizio 2.1 Data la seguente serie di osservazioni relative ad una variabile casuale continua X rilevata su 8 individui: 4,5 0,3 8,5 6,4 2,8 2,1 4,6 3,9 determinare il valore del terzo decile, della mediana e del coefficiente di variazione. Soluzione Una volta ordinata la serie si ottiene

x0,3 = 2,8 2,42

5,49,3x0,5 =+=

Si ha inoltre E(X) = 4,1375 E(X2) = 22,77125 V(X) ≅ 5,6523 e quindi s/m ≅ 0,5746. Esercizio 2.2 Data la seguente serie di osservazioni relative ad una variabile casuale continua X rilevata su 12 individui: 4,3 2,5 3,0 6,4 5,8 2,9 9,2 9,7 6,4 7,2 4,0 2,2 sintetizzare i dati in una distribuzione di probabilità costituita dalle classi 2-|3, 3-|7, 7-|10. Sulla base della distribuzione così ottenuta calcolare: a) la mediana, b) l’ottavo decile, c) la probabilità che un individuo presenti un valore della variabile superiore a 5. Soluzione La distribuzione risulta

X probabilità densità 2 -| 3 30,33 30,3333 3 -| 7 60,41 60,1041 7 -| 10 0,250 30,0833 totale 1,000

Si ottiene quindi:

a) 6,460,1041

3,00,53x0,5 =−+=

b) 6730,08

7500,87x0,8 ,

, =−+=

c) 1 – F(5) = 1 – [ 30, +0,104(5-3)] = 60,458

19

Esercizio 2.3 Data la seguente distribuzione di probabilità relativa ad una variabile casuale continua,

X probabilità 2 -| 4 0,3 4 -| 8 0,4 8 -| 20 0,3 totale 1,0

disegnare l’istogramma, il grafico della funzione di ripartizione e calcolare il valore atteso. Soluzione In base alle densità di probabilità riportate nella tabella seguente

X densità 2 -| 4 0,150 4 -| 8 0,100 8 -| 20 0,025

l’istogramma assume la forma

0

0,025

0,05

0,075

0,1

0,125

0,15

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Il grafico della funzione di ripartizione risulta

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

x

F(x)

La media della variabile è E(X) = 3×0,3 + 6×0,4 + 14×0,3 = 7,5.

20

Esercizio 2.4 Data una variabile casuale X la cui distribuzione di probabilità è approssimata dal modello

≤≤=

altrove0

1x0x2

1f(x)

si determini la funzione di ripartizione corrispondente e si calcoli la probabilità che la variabile X assuma un valore: a) inferiore a 0,25, b) superiore a 0,8. Si determini inoltre il valore dei primi due quartili della variabile. Soluzione

[ ] x2t21

dtt21 x

01/2

x

0

1/2- ==∫

per cui la funzione di ripartizione assume la forma

>≤≤<

=1x11x0x

0x0

F(x)

0,10560,81F(0,8)1b)

0,50,25F(0,25)a)

≅−=−==

Dall’uguaglianza p)F(xp = i due quartili risultano infine

25050x 0,5x

06250250x 0,25x2

5050

2250250

,),(

,),(

,,

,,

==⇒=

==⇒=

Esercizio 2.5 Data una variabile casuale X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello teorico, determinare la mediana e il valore atteso della X.

( )

≥

<<−

≤

=

5x1

5x11x241

1x0

F(x) 2

Soluzione Dall’uguaglianza

( ) 5,01x241 2

0,5 =−

si ottiene l’unica soluzione accettabile 6056,313x0,5 ≅= .

La funzione di densità di frequenza è data da

<<=altrove0

5x1x121

f(x)

per cui si ottiene 43,3x

121

dxx121

E(x)5

1

35

1

2 =

== ∫ .

21

Esercizio 2.6 Data una normale di parametri µ=10 e σ2=4, determinare: a) il primo decile, b) il terzo quartile, c) la quota di individui con un valore della variabile maggiore di 11,5. Soluzione a) x0,1 = µ + σu0,1 = 10 + 2× (−1,282) = 7,436 b) x0,75 = µ + σu0,75 = 10 + 2×0,674 = 11,348

c) ( ) 227,0773,0175,012

105,111F(11,5)1 =−=Φ−=

−Φ−=−

Esercizio 2.7 Data un’urna contenente 80 palline bianche e 20 nere, determinare la distribuzione di probabilità della v.c. “numero di palline bianche estratte” se la prova consiste nell’estrazione di una pallina dall’urna. Determinare il coefficiente di variazione di questa variabile, disegnare il grafico della sua funzione di ripartizione e scriverne l’espressione analitica. Soluzione Dato che si estrae una sola pallina dall’urna, la distribuzione della X è una v.c. Zero-Uno di parametro p=80/100=0,8. Pertanto la sua funzione di massa è f(x) = 0,8x0,2(1-x) x=0,1 Sapendo che E(X) = p = 0,8 V(X) = p(1-p) = 0,2×0,8 = 0,16 il coefficiente di variazione di X è

5080160

ms

,,, ==

L’espressione analitica della funzione di ripartizione è

≥<≤

<=

1x11x020

0x0F(x) ,

ed il grafico assume quindi la forma

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 0 1 2

x

F(x)

22

Esercizio 2.8 Data una variabile casuale Y che si distribuisce come una binomiale di parametri n=3 e p=0,2, scrivere l’espressione analitica della funzione di probabilità e disegnarne il grafico corrispondente. Soluzione

( ) 0,1,2,3y0,210,2y3

y)P(Yf(y) y3y =−

=== −

Da questa funzione si ottengono le probabilità associate ad ogni intensità della Y Y p(y) 0 0,512 1 0,384 2 0,096 3 0,008

totale 1,000 per cui la rappresentazione grafica assume la forma riportata nella figura seguente

0,512

0,384

0,096

0,0080

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2 3 4

Esercizio 2.9 Dato un esperimento che consiste nel lancio di 3 monete equilibrate, determinare la funzione di massa della variabile casuale Y “numero di teste nei primi due lanci. Soluzione I possibili risultati dell’esperimento (pari a 23=8) e i corrispondenti valori della Y sono riportati nella tabella successiva risultati Y C C C 0 C C T 0 C T C 1 T C C 1 C T T 1 T C T 1 T T C 2 T T T 2

23

dato che le terne sono equiprobabili la distribuzione di massa di Y risulta Y p(y) 0 2/8=0,25 1 4/8=0,50 2 2/8=0,25

totale 8/8=1,00 Esercizio 2.10 Data la variabile casuale definita nell’esercizio precedente, disegnare la sua funzione di massa, determinare l’espressione formale della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico. Soluzione Il grafico della funzione di massa assume la forma

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2 3

y

f(y)

L’espressione formale della funzione di ripartizione è data da

≥<≤<≤<

=

2y12y175,01y025,00y0

F(y)

ed il grafico corrispondente assume la forma riportata nel grafico successivo

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-1 0 1 2 3 4

y

F(y

)

24

Esercizio 2.11 Data una variabile casuale Y che si distribuisce come una binomiale di media pari a 3 e varianza pari a 2 determinare la probablità che Y sia uguale a 7. Soluzione Per trovare i parametri della binomiale bisogna risolvere il seguente sistema di equazioni

=−=

2p1np3np

)(

da cui si ottengono i valori dei parametri n=9 p=1/3

Pertanto 0,00731632

31

79

7)P(Y27

≅

== .

Esercizio 2.12 Data un’urna che contiene 10 palline, si cui 7 bianche e 3 nere, si consideri un esperimento che consiste nell’estrazione di 3 palline senza ripetizione. Indicata con W la variabile casuale “numero di palline bianche estratte” determinare l’espressione della funzione di massa di W, la sua media e la sua varianza. Soluzione La funzione di massa di W assume la forma

( ) 0,1,2,3w

310

w33

w7

wWP =

−

==

mentre i valori della media e della varianza risultano

( ) 2,10,73NN

nnpWE 1 =×===

( ) ( ) 0,491-103-10

0,30,731NnN

p-1npWV =×××=−−=

Esercizio 2.13 Un’urna contiene 15 palline, si cui 3 bianche, 5 nere e 7 rosse. Calcolare la probabilità che che un campione casuale di 3 palline estratto senza ripetizione contenga: a) tutte palline bianche, b) almeno una pallina rossa, c) almeno 2 palline nere. Soluzione a) Indicando con Bi (i=1,2,3) l’evento “estrazione di una pallina bianca alla i-esima prova”, la probabilità cercata ( )321 BBBP ∩∩ corrisponde a ( ) ( ) ( )[ ]213121 BBBPBBPBP ∩×× ||

Risulta quindi

( ) 00220131

142

153

BBBP 321 ,≅××=∩∩

25

oppure, utilizzando una variabile ipergeometrica in cui la variabile W indica il numero delle palline bianche estratte si ha

00220

315

012

33

3WP ,)( ≅

==

b) La probabilità dell’evento “almeno una pallina rossa” si può calcolare come differenza fra 1 e la probabilità che nessuna pallina sia rossa. Utilizzando la distribuzione ipergeometrica in cui la variabile W indica il numero di palline rosse estratte si ha

87690

315

38

07

10WP1 ,)( ≅

−==−

c) sempre utilizzando una distribuzione ipergeometrica in cui la variabile W indica questa volta il numero di palline nere estratte si ottiene

24180

315

010

35

315

110

25

3)P(W2)P(W ,≅

+

==+=

Esercizio 2.14 Dato un esperimento che consiste nel lancio di due dadi equilibrati, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale S “somma dei punteggi ottenuti”. Soluzione I possibili risultati sono 62=36 e sono elencati di seguito (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Effettuando le somme dei valori delle coppie di risultati e tenendo presente che tutte le coppie sono equiprobabili, si ottiene la seguente distribuzione di probabilità

S p(s) 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36

10 3/36 11 2/36 12 1/36

totale 1,00

26

Esercizio 2.15 Un’urna contiene 20 palline di cui 16 sono bianche e 4 sono nere. Calcolare la probabilità che in un campione casuale di 5 elementi estratto senza ripetizione siano presenti: A) due palline bianche, B) due palline nere, C) tutte palline bianche, D) tutte palline nere. Soluzione Le probabilità richieste si possono trovare utilizzando il modello ipergeometrico in cui W indica il numero delle palline bianche

A) 0310050415

480

520

34

216

2)P(W ,.

≅=

==

B) 2167050415

3360

520

24

316

3)P(W ,.

≅=

==

C) 2817050415

4368

520

04

516

5)P(W ,.

≅=

==

D) 00)P(W == perchè questo evento è impossibile. Esercizio 2.16 Un esperimento consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati. Indicata con X la variabile casuale “numero di facce pari a 2 che sono apparse nel lancio” determinare la probabilità che X assuma i valori 0, 1, 2 e 3. Soluzione Data l’indipendenza degli eventi, le probabilità richieste si possono trovare utilizzando un modello binomiale di parametri n=3 e p=1/6, dove p indica la probabilità che uno dei dadi presenti la faccia 2.

579,065

61

03

0)P(X30

≅

==

347,065

61

13

1)P(X2

≅

==

069,065

61

23

2)P(X2

≅

==

005,065

61

33

3)P(X03

≅

==

Si osservi che la somma di tutte queste probabilità deve necessariamente risultare pari ad 1.

27

Esercizio 2.17 Data una partita di 20 articoli di cui il 15% risulta difettoso, determinare la probabilità che estraendo un campione di 2 elementi senza ripetizione si ottengano: A) due articoli difettosi, B) un articolo difettoso e uno non difettoso, C) due articoli non difettosi. Soluzione Dato che la partita è composta da 20 articoli di cui il 15% risulta difettoso, il numero di

articoli difettosi nella partita è 310015

20 =× .

L’estrazione è senza ripetizione, per cui le probabilità richieste si possono ottenere sulla base di un modello ipergeometrico in cui W indica il numero di articoli difettosi:

A) 01580190

3

220

017

23

2)P(W ,≅=

== ,

B) 2684019051

220

117

13

1)P(W ,≅=

== ,

C) 71580190136

220

217

03

0)P(W ,≅=

== .

Anche in questo caso le tre probabilità sommano necessariamente ad 1. Esercizio 2.18 Data la seguente distribuzione doppia relativa alle variabili casuali X e Y, si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale S=X+Y.

Y X

0 1 2 totale

1 0,05 0,05 0,10 0,20 2 0,05 0,10 0,15 0,30 3 0,10 0,20 0,20 0,50

totale 0,20 0,35 0,45 1,00 Soluzione La distribuzione richiesta si ottiene considerando tutti i risultati che forniscono uno stesso valore s di S e sommando le probabilità corrispondenti. Per esempio, la variabile S assume il valore 1 solo se X=1 e contemporaneamente Y=0, dove a questo risultato è associata una probabilità pari a 0,05, per cui P(S=1)=0,05. La S assume il valore 2 se X=1 e contemporaneamente Y=1, dove a questo risultato è associata una probabilità pari a 0,05, oppure se X=2 e contemporaneamente Y=0, dove a questo risultato è associata una probabilità pari a 0,05, pertanto P(S=2)=0,05+0,05=0,10. Seguendo questo stesso procedimento per tutti i possibili valori di S si ottiene la distribuzione riportata nella tabella successiva.

28

S p(s) 1 0,05 2 0,10 3 0,30 4 0,35 5 0,20

totale 1,00 Esercizio 2.19 Data un’urna contenente 3 palline bianche, 5 palline nere e 12 palline rosse, si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale Y “numero di palline nere estratte” per un campione di 4 palline estratte con ripetizione. Determinare il valore modale della variabile casuale Y. Soluzione Considerando in un unico gruppo le palline “non nere”, si può utilizzare un modello binomiale in cui la variabile Y indica il numero di palline nere estratte, il parametro p indica la probabilità di estrarre una pallina nera (p=5/20=0,25) e n=4 è il numero complessivo di palline estratte. La funzione di massa assume la forma

0,1,2,3,4y0,750,25y4

y)P(Y y4y =

== −

Calcolando le probabilità per tutti i possibili valori assunti dalla variabile casuale Y si ottengono i risultati riportati nella tabella successiva, dalla quale risulta che il risultato più probabile è pari ad 1.

Y p(y) 0 0,3164 1 0,4219 2 0,2109 3 0,0469 4 0,0039

totale 1,0000 Esercizio 2.20 Data una popolazione di 100 elementi in cui il 70% degli individui presenta una certa caratteristica A, determinare se sia più probabile che in un campione casuale di 3 elementi estratto senza ripetizione il numero di individui con la caratteristica A sia 0, 1, 2 oppure 3. Soluzione Il numero di individui con la caratteristica A nella popolazione è 70, mentre gli altri 30 non possiedono tale caratteristica. Indicata con W la variabile casuale “numero di individui con la caratteristica A”, in base al modello ipergeometrico risulta

29

0251,0700.161

060.4

3100

330

070

0)P(W ≅=

== , 1883,0700.161450.30

3100

230

170

1)P(W ≅=

== ,

4481,0700.161450.72

3100

130

270

2)P(W ≅=

== , 3385,0700.161740.54

3100

030

370

3)P(W ≅=

== .

Il risultato più probabile è che ci siano 2 individui con la caratteristica A in un campione casuale di 3 elementi. Esercizio 2.21 Una prova consiste nel lancio di due dadi non equilibrati. Indicata con X1 la variabile casuale “punteggio sul primo dado” e con X2 la variabile “punteggio sul secondo dado”, calcolare la probabilità che si ottenga un punteggio pari a 4 sapendo che le funzioni di massa delle due variabili sono quelle indicate nelle due tabelle successive.

X1 p(x1) X2 p(x2) 1 0,1 1 0,1 2 0,2 2 0,3 3 0,3 3 0,3 4 0,1 4 0,1 5 0,1 5 0,1 6 0,2 6 0,1

totale 1,0 totale 1,0 Soluzione Il punteggio pari a 4 si ha solo se si ottengono le coppie: (1, 3), (2, 2) e (3, 1). Pertanto l’evento composto cercato corrisponde all’unione delle seguenti coppie di eventi eventi [ ] [ ] [ ]1)(X3)(X2)(X2)(X3)(X1)(X 212121 =∩=∪=∩=∪=∩= Dato che le coppie di eventi sono incompatibili fra di loro, mentre gli eventi all’interno di ogni coppia sono indipendenti, la probabilitè cercata è data da

[ ] [ ] [ ] 1201030302030101)(X3)(XP2)(X2)(XP3)(X1)(XP 212121 ,,,,,,, =×+×+×==∩=+=∩=+=∩= Esercizio 2.22 Un’urna contiene 20 palline di cui 4 bianche, 6 nere e 10 rosse. Calcolare la probabilità che estraendo 5 palline senza ripetizione si verifichino gli eventi: A) 5 palline nere, B) almeno una pallina nera. Soluzione In base al modello ipergeometrico in cui W indica il numero di palline nere estratte, si ottiene

30

A) 0004,0504.156

5

20

0

14

5

6

5)P(W ≅=

== ,

B) 87090504150022

1

520

514

06

10)P(W11)P(W ,.. ≅−=

−==−=≥

Esercizio 2.23 Dato un esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale X che assume il valore 0 se il punteggio è inferiore o uguale a 3, valore 1 se il punteggio è 4 o 5 e valore 2 se il punteggio è 6. Si consideri poi l’esperimento che consiste nel lancio di due dadi equilibrati e si determini la distribuzione della variabile casuale S=X1+X2 dove le variabili X1 e X2 associate ai punteggi ottenuti sui due dadi hanno la medesima distribuzione di X. Soluzione La distribuzione di probabilità di X risulta

X p(x) 0 3/6 1 2/6 2 1/6

totale 1,00 Per quanto riguarda l’esperimento che consiste nel lancio di due dadi equilibrati, la distribuzione di probabilità di S è data da

S p(s) 0 9/36 1 12/36 2 10/36 3 4/36 4 1/36

totale 1,00 dato che, per esempio,

[ ]369

63

63

0)P(X0)P(X0)(X0)(XP 0)P(S 2121 =×==×===∩===

[ ] [ ]3612

63

62

62

63

0)(X1)(XP1)(X0)(XP 1)P(S 2121 =×+×==∩=+=∩===

e così via.

31

Esercizio 2.24 Data una collettività composta da 20 individui, di cui 12 uomini e 8 donne, calcolare la probabilità che estraendo un gruppo di 6 individui distinti il gruppo risulti composto da: A) tutte donne, B) tutti uomini, C) 3 donne e 3 uomini. Soluzione Dato che il gruppo deve essere formato da individui distinti, l’estrazione deve essere fatta senza ripetizione. Se si indica con W la variabile “numero di donne estratte”, si ottengono le seguenti probabilità

A) 000722076038

28

620

012

68

6)P(W ,.

≅=

==

B) 023839076038

924

620

612

08

0)P(W ,.

≅=

==

C) 31785307603832012

620

312

38

3)P(W ,.. ≅=

==

Esercizio 2.25 Data una collettività di 100 individui, di cui 10 sono disoccupati. determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “quota di disoccupati” per un campione di 4 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione La distribuzione della variabile casuale W “numero di disoccupati” si ottiene dal modello ipergeometrico di parametri N1=10, N2=90, n=4

0,1,2,3,4w

4100

w490

w10

w)P(W =

−

==

e da questa si ottiene facilmente la distribuzione della variabile casuale nW

Q =ˆ “quota di

disoccupati”, tenendo presente che QnW ˆ=

,143

,42

,41

0,q

4100

q4490

q410

)qQP( =

−

== .

32

Esercizio 2.26 Data una popolazione di 10 individui, di cui 4 presentano una certa caratteristica A determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “quota di individui con la caratteristica A” per un campione bernoulliano di 5 elementi. Soluzione La distribuzione della variabile casuale Y “numero di individui con la caratteristica A ” si ottiene dal modello binomiale di paramentri n=5 e p=4/10=0,4

0,1,...,5y0,60,4y5

y)P(Y y5y =

== −

e da questa si ottiene facilmente la distribuzione della variabile casuale nY

P=ˆ “quota di

disoccupati”, tenendo presente che PnY ˆ=

,...,151

0,p0,60,4p5

5)pPP( p55p5 =

== −

Esercizio 2.27 Dato un esperimento che consiste nell’estrazione con ripetizione di 3 palline da un’urna che contiene 10 palline bianche, 10 nere e 80 rosse, determinare il valore modale, la media e la varianza della variabile casuale “quota di palline rosse estratte”. Soluzione

La distribuzione della variabile casuale P “quota di palline rosse” si ottiene da un modello binomiale di parametri p=0,8 ed n=3

,132

,31

0,p0,20,8p3

3)pPP( p33p3 =

== −

Le probabilità associate ai diversi valori della variabile assumono i valori indicati nella tabella successiva, da cui risulta che il valore modale è 1.

P p( p ) 0 0,008

1/3 0,096 2/3 0,384

1 0,512 totale 1,000

La media è E(P )=p=0,8.

La varianza è 305,03

2,08,0n

)p1(p)PV( =×−×= .

Esercizio 2.28 Data un’urna che contiene 5 palline bianche e 15 nere, determinare la probabilità che estraendo 10 palline si ottengano 4 palline bianche se l’estrazione è effettuata: A) con ripetizione, B) senza ripetizione.

33

Soluzione Nel primo caso, indicata con Y la v.c. “numero di palline bianche estratte, la probabilità richiesta si ottiene da un modello binomiale di paramentri n=10 e p=5/20=0,25, per cui

A) 146000,750,254

104)P(Y 64 ,≅

== .

Nel secondo caso, invece, bisogna utilizzare un modello ipergeometrico di parametri N1=5, N2=15 e n=10

B) 13540756184

25025

1020

615

45

4)P(Y ,.

≅=

== .

Esercizio 2.29 Determinare la media e la varianza della variabile casuale Y “numero di palline bianche estratte” per l’urna considerata nell’esercizio precedente se l’estrazione è effettuata: A) con ripetizione, B) senza ripetizione. Soluzione Se l’estrazione è con ripetizione la Y si distribuisce come una binomiale di parametri n=10 e p=0,25 per cui E(Y) = np = 10×0,25 = 2,5 V(Y) = np(1-p) = 10×0,25×0,75 = 1,875 Se l’estrazione è senza ripetizione la Y si distribuisce come una ipergeometrica di parametri N1=5, N2=15 e n=10, per cui risulta

2,5205

10NN

nE(Y) 1 ===

0,9868120

10202015

205

101NnN

NN

1NN

nV(Y) 11 ≅−

−=−−

−= .

Esercizio 2.30 Data una variabile X che si distribuisce in modo normale con parametri µ e σ, determinare la probabilità che la X assuma un valore compreso: a) nell’intervallo (µ−σ, µ+σ), b) nell’intervallo (µ−2σ, µ+2σ). Soluzione Effettuando la solita operazione di standardizzazione della variabile X risulta

a) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 682011211σ

µσµU

σ

µσ-µPσ)(µXσ-µP ,≅−Φ=−Φ−Φ=

−+≤<−=+≤<

b) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 954012222σ

µσ2µU

σ

µ2σ-µPσ)2(µX2σ-µP ,≅−Φ=−Φ−Φ=

−+≤<−=+≤<

34

3. STATISTICHE CAMPIONARIE (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitoli 9 e 10 delle dispense) Esercizio 3.1 Data una popolazione in cui una variabile Z ha la seguente distribuzione di frequenza

Z frequenze ass. 1 5 2 3 3 2

totale 10 determinare le possibili composizioni di un campione di bernoulliano di 2 elementi estratto da questa popolazione e le probabilità corrispondenti. Soluzione Con riferimento ai possibili valori della variabile Z, i campioni diversi per gli elementi o per l’ordine di estrazione sono 32=9. Indicata con Xi (i=1, 2) la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione”, la distribuzione di probabilità di questa variabile assume la forma

Xi probabilità 1 0,5 2 0,3 3 0,2

totale 1,0 le possibili composizioni di un campione di bernoulliano di 2 elementi e le probabilità corrispondenti assumono i valori indicati nella tabella seguente

X1 X2 probabilità 1 1 0,52 = 0,25 1 2 0,5×0,3 = 0,15 1 3 0,5×0,2 = 0,10 2 1 0,3×0,5 = 0,15 2 2 0,32 = 0,09 2 3 0,3×0,2 = 0,06 3 1 0,2×0,5 = 0,10 3 2 0,2×0,3 = 0,06 3 3 0,22 = 0,04 1,000

Esercizio 3.2 Data una popolazione in cui una variabile Z ha una distribuzione Zero-Uno di parametro p=0,4 determinare le possibili composizioni di un campione di bernoulliano di 3 elementi estratto da questa popolazione e le probabilità corrispondenti. Soluzione Dato che la Z può assumere due soli valori diversi, i campioni diversi per gli elementi o per l’ordine di estrazione sono 23=8. Indicata con Xi la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione” si ha

35

X1 X2 X3 prob. 0 0 0 0,63 = 0,216 0 0 1 0,62×0,4 = 0,144 0 1 0 0,62×0,4 = 0,144 1 0 0 0,62×0,4 = 0,144 0 1 1 0,6×0,42 = 0,096 1 0 1 0,6×0,42 = 0,096 1 1 0 0,6×0,42 = 0,096 1 1 1 0,43 = 0,064 1,000

Esercizio 3.3 Data una popolazione di 3 elementi su cui una variabile Z assume rispettivamente i valori 2, 4 e 6, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 2 elementi estratto con ripetizione. Soluzione Avendo una popolazione formata da 3 individui, i possibili campioni bernoulliani diversi per gli individui estratti sono 32=9. Indicata con Xi la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione” e con X la media campionaria si ha

X1 X2 X 2 2 2 2 4 3 2 6 4 4 2 3 4 4 4 4 6 5 6 2 4 6 4 5 6 6 6

Tutti questi campioni sono equiprobabili per cui la distribuzione richiesta risulta

X )xp( 2 1/9 3 2/9 4 3/9 5 2/9 6 1/9

totale 1 Esercizio 3.4 Data una variabile Z che su una popolazione di 4 elementi assume i valori −1, 0, 1 e 3, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Verificare che la media di tale variabile casuale corrisponde alla media della variabile Z nella popolazione.

36

Soluzione Il numero dei possibili campioni diversi per gli individui estratti (e non per l’ordine in cui si estraggono) è uguale alle disposizioni senza ripetizione di 4 elementi di classe 2 ed è

quindi 2

34× = 6.

Indicata con Xi la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione” e con X la media campionaria si ha

X1 X2 X −1 0 −0,5 −1 1 0,0 −1 3 1,0 0 1 0,5 0 3 1,5 1 3 2,0

Tutti questi campioni sono equiprobabili per cui la distribuzione di probabilità della media campionaria risulta

X )xp(

−0,5 1/6 0,0 1/6 0,5 1/6 1,0 1/6 1,5 1/6 2,0 1/6

totale 1,0 La media della media campionaria è

E( X ) = 75061

261

5161

61

5061

50 ,,,, =×+×++×+×−

mentre la media della variabile Z è

E(Z) = 7504

311,=++−

per cui risulta verificata l’uguaglianza E( X ) = E(Z) Esercizio 3.5 Data una popolazione di 5 elementi su cui una variabile Z assume rispettivamente i valori 1, 2, 3, 4 e 5, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 3 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono è dato dalle

disposizioni senza ripetizione di 5 elementi di classe 2 ed è quindi pari a 2

45×=10. Indicata

con Xi la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione” e con X la media campionaria si ha

37

X1 X2 X3 X 1 2 3 2,0 1 2 4 32, 1 2 5 62, 1 3 4 62, 1 3 5 3,0 1 4 5 33, 2 3 4 3,0 2 3 5 33, 2 4 5 63, 3 4 5 4,0

Tutti questi campioni sono equiprobabili per cui la distribuzione risulta

X )xp( 2,0 0,1

32, 0,1

62, 0,2

3,0 0,2 33, 0,2

63, 0,1

4,0 0,1 totale 1,0

Esercizio 3.6 Data una popolazione di 4 individui su cui una variabile Z assume i valori 0, 1, 3 e 4, si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Si verifichi che tale variabile casuale è uno stimatore corretto della media della popolazione. Soluzione

Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi è 2

34× = 6.

Indicata con Xi la variabile casuale “valore di Z alla i-esima estrazione” e con X la media campionaria si ha

X1 X2 X 0 1 0,5 0 3 1,5 0 4 2,0 1 3 2,0 1 4 2,5 3 4 3,5

La distribuzione di probabilità della media campionaria risulta

38

X )xp( 0,5 1/6 1,5 1/6 2,0 2/6 2,5 1/6 3,5 1/6

totale 1,0 La media della media campionaria è

E( X ) = 261

5361

5262

261

5161

50 =×+×+×+×+× ,,,,

mentre la media della variabile Z è

E(Z) = µ = 24

431 =++

per cui risulta verificata l’uguaglianza E( X ) = E(Z) = µ e si può concludere che è verificata la correttezza dello stimatore X . Esercizio 3.7 Data una popolazione di 4 individui su cui una variabile Z assume i valori 1, 2, 3 e 4, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “varianza campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono è dato dalle disposizioni senza ripetizione di 4 elementi di classe 2 ed è quindi pari a 6. Indicata con X la media campionaria, con E(X2) il secondo momento e con S2 la varianza campionaria risulta

X1 X2 X E(X2) S2 1 2 1,5 2,5 0,25 1 3 2,0 5,0 1,00 1 4 2,5 8,5 2,25 2 3 2,5 6,5 0,25 2 4 3,0 10,0 1,00 3 4 3,5 12,5 0,25

La distribuzione della varianza campionaria risulta

S2 p(s2) 0,25 3/6 1,00 2/6 2,25 1/6 totale 1,0

39

Esercizio 3.8 Data una variabile Z che su popolazione di 4 individui assume i valori 0, 0, 1 e 3, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “varianza campionaria” per un campione di 3 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione Con riferimento al numero di individui che compongono la popolazione, il numero dei possibili campioni diversi per gli individui estratti è dato dalle disposizioni senza ripetizione di 4 elementi di classe 3 ed è quindi pari a 4. Indicata con X la media campionaria, con E(X2) il secondo momento e con S2 la varianza campionaria risulta

X1 X2 X3 X E(X2) S2 0 0 1 1/3 1/3 2/9 0 0 3 3/3 9/3 18/9 0 1 3 4/3 10/3 14/9 0 1 3 4/3 10/3 14/9

La distribuzione della varianza campionaria risulta

S2 p(s2) 2/9 = 20, 0,25

14/9 = 51, 0,50

18/9 = 2,0 0,25 totale 1,00

Esercizio 3.9 Data una variabile Z che su popolazione di 3 individui assume i valori 1, 3 e 5, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “varianza campionaria” per un campione di 2 elementi estratto con ripetizione. Soluzione Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono o per il loro ordine è dato da 32 = 9. Indicata con X la media campionaria, con E(X2) il secondo momento e con S2 la varianza campionaria risulta

X1 X2 X E(X2) S2 1 1 1 1 0 1 3 2 5 1 1 5 3 13 4 3 1 2 5 1 3 3 3 9 0 3 5 4 17 1 5 1 3 13 4 5 3 4 17 1 5 5 5 25 0

40

La distribuzione della varianza campionaria risulta S2 p(s2) 0 3/9 1 4/9 4 2/9

totale 1,00 Esercizio 3.10 Data una popolazione in cui il 20% degli individui presenta un valore di una variabile Z pari ad 1 mentre il restante 80% ha un valore pari a zero, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “varianza campionaria corretta” per un campione di due elementi estratto con ripetizione. Verificare inoltre che la media di questa variabile casuale corrisponde al valore della varianza della variabile Z nella popolazione. Soluzione La distribuzione di frequenza della Z è

Z quote 0 0,8 1 0,2

totale 1,00 per cui E(Z) = 0,2 V(Z) = 0,2×0,8 = 0,16. Con riferimento ai possibili valori della Z, il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono o per il loro ordine è dato da 22 = 4. Indicata con X la media campionaria, con L(x) la probabilità dell’ennupla campionaria, con E(X2) il secondo momento, con S2 la varianza campionaria e con 2S la varianza campionaria corretta risulta

X1 X2 L(x) X E(X2) S2 2S 0 0 0,64 0,0 0,0 0,00 0,0 0 1 0,16 0,5 0,5 0,25 0,5 1 0 0,16 0,5 0,5 0,25 0,5 1 1 0,04 1,0 1,0 0,00 0,0

La distribuzione della varianza campionaria corretta risulta

2S )sp( 2ˆ 0,0 0,68 0,5 0,32

totale 1,00 La media della varianza campionaria corretta è E( 2S ) = 0,0×0,68 + 0,5×0,32 = 0,16 e corrisponde quindi alla varianza V(Z) = 0,16 della variabile Z nella popolazione.

41

Esercizio 3.11 Data una variabile Z che su una collettività di 4 individui assume i valori 0, 0, 1 e 3, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “varianza campionaria corretta” per un campione di 3 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione Con riferimento al numero di individui che compongono la popolazione, il numero dei

possibili campioni diversi per gli individui estratti è 434 =

.

Indicata con X la media campionaria, con E(X2) il secondo momento, con S2 la varianza campionaria e con 2S la varianza campionaria corretta si ottiene

X1 X2 X3 X E(X2) S2 2S 0 0 1 1/3 1/3 2/9 1/3 0 0 3 1 3 2 3 0 1 3 4/3 10/3 14/9 7/3 0 1 3 4/3 10/3 14/9 7/3

Dato che ogni campione è equiprobabile, la distribuzione della varianza campionaria corretta risulta

2S )sp( 2ˆ 1/3 0,25 7/3 0,50 9/3 0,25

totale 1,00 Esercizio 3.12 Data una variabile Z che su una collettività di 4 elementi assume rispettivamente i valori 1, 2, 2 e 2, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Verificare che lo stimatore “media campionaria” risulta corretto. Soluzione

Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono è 624 =

.

Per semplicità si può assegnare un’etichetta ai 4 elementi della popolazione. Assegnando le lettere “a”, “b”, “c” e “d” agli individuidella popolazione, gli individui estratti sono riportati dalle prime due colonne della tabella successiva, i corrispondenti valori della variabile Z nella terza e quarta colonna e nella quinta colonna il valore della media campionaria.

prima estrazione

seconda estrazione

X1 X2 X

a b 1 2 1,5 a c 1 2 1,5 a d 1 2 1,5 b c 2 2 2,0 b d 2 2 2,0 c d 2 2 2,0

42

La distribuzione della media campionaria risulta quindi X )xp(

1,5 0,5 2,0 0,5

totale 1,0 La media della media campionaria è E( X ) = 1,5×0,5 + 2×0,5 = 1,75

e corrisponde quindi alla media E(Z) = 7514

2221,=+++

della variabile Z nella popolazione.

Pertanto lo stimatore risulta essere corretto. Esercizio 3.13 Data una variabile Z che su una collettività di 4 elementi assume rispettivamente i valori 0, 1, 2 e 3, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “mediana campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione

Il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono è 624 =

.

Dato che ciascun campione è composto da 2 soli elementi, la mediana campionaria, indicata con X0,5, corrisponde alla semisomma degli elementi estratti

X1 X2 X0,5 0 1 0,5 0 2 1,0 0 3 1,5 1 2 1,5 1 3 2,0 2 3 2,5

La distribuzione della mediana campionaria risulta quindi

X0,5 p(x0,5) 0,5 1/6 1,0 1/6 1,5 2/6 2,0 1/6 2,5 1/6

totale 1,0 Esercizio 3.14 Data una variabile Z che su una popolazione di 10 individui assume il valore 0 con frequenza pari a 2 ed il valore 1 con frequenza 8, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “somma campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione.

43

Soluzione Con riferimento ai possibili valori della variabile Z, il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono è 22 = 4. Indicata con T la variabile casuale “somma campionaria” si ottiene

X1 X2 T L(x) 0 0 0

902

91

102 =×

0 1 1 9016

98

102 =×

1 0 1 9016

92

108 =×

1 1 2 9056

97

108 =×

La distribuzione della mediana campionaria risulta quindi

T p(t) 0 2/90 1 32/90 2 56/90

totale 1,0 Esercizio 3.15 Data una variabile Z che su una collettività di 5 elementi assume rispettivamente i valori 1, 2, 3, 3 e 6 determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione. Verificare che la media campionaria è uno stimatore corretto. Soluzione Con riferimento al numero di individui della popolazione, il numero dei possibili campioni diversi per gli elementi che vi compaiono (e non per l’ordine degli elementi stessi) è pari a

1025 =

.

Si ottiene X1 X2 X 1 2 1,5 1 3 2,0 1 3 2,0 1 6 3,5 2 3 2,5 2 3 2,5 2 6 4,0 3 3 3,0 3 6 4,5 3 6 4,5

I 10 campioni sono equiprobabili per cui la distribuzione della media campionaria risulta

44

X )xp( 1,5 0,1 2,0 0,2 2,5 0,2 3,0 0,1 3,5 0,1 4,0 0,1 4,5 0,2

totale 1,0 La media della media campionaria è E( X ) = 1,5×0,1 + 2×0,2 +...+ 4,5×0,2 = 3

e corrisponde quindi alla media E(Z) = 35

63321 =++++ della variabile Z nella popolazione.

Pertanto lo stimatore risulta essere corretto. Esercizio 3.16 Data una variabile Z che nella popolazione si distribuisce in modo normale con media pari a 100 e varianza pari a 25, calcolare la probabilità che la media di un campione casuale di 16 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore compreso fra 98 e 102. Soluzione Dato che X ∼ N(100, 5/4) la probabilità richiesta risulta

( ) ( ) 89,016,124/510098

4/5100102

102X98P =−Φ=

−Φ−

−Φ=≤<

Esercizio 3.17 Data una variabile Z che nella popolazione si distribuisce come una normale di parametri µ=4 e σ=3, calcolare la probabilità che la media di un campione casuale di 16 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore: a) inferiore o uguale a 2, b) maggiore di 5, c) compreso fra 2 e 5. Soluzione Dato che X ∼ N(4, 3/4) le probabilità richieste risultano

a) ( ) ( ) 004,067,275,042

2XP =−Φ=

−Φ=≤

b) ( ) ( ) 092,033,1175,045

15XP =Φ−=

−Φ−=>

c) ( ) 904,0004,0908,075,0

4275,0

455X2P =−=

−Φ−

−Φ=≤<

45

Esercizio 3.18 Data una popolazione in cui il 20% degli individui possiede una certa caratteristica A, calcolare la probabilità che un campione casuale di 10 individui estratto con ripetizione contenga: a) nessun elemento con la caratteristica A, b) almeno un elemento con la caratteristica A. Soluzione Indicata con Y la variabile casuale “numero di elementi campionari con la caratteristica A” risulta:

a) ( ) 1074080200

100YP 100 ,,, ≅×

==

b) ( ) ( ) 8926080200

100YP11YP 100 ,,, ≅×

==−=≥

Esercizio 3.19 Data una variabile Z che in una popolazione di 100 individui assume il valore 0 con frequenza pari a 20 e il valore 1 con frequenza 80, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione di 3 elementi estratto senza ripetizione. Soluzione Utilizzando il modello ipergeometrico si ottiene immediatamente la distribuzione di probabilità della quota campionaria Q che corrisponde esattamente alla distribuzione di probabilità della media campionaria X . Posto N1=80, N2=20 e n=3, si ha

( ) 1,32

,31

,0q

3

100

q33

20

q3

80

qQP =

−

==

per cui risulta

X )xp( 0 0,0071

1/3 0,0940 2/3 0,3908 1 0,5081

totale 1,0000 Esercizio 3.20 Data una popolazione normale di varianza unitaria, calcolare la probabilità che la varianza campionaria corretta di un campione bernoulliano di 21 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore inferiore o uguale a 2.

46

Soluzione La soluzione si ottiene tenendo presente che sotto ipotesi di normalità, la variabile ( )

2

2S1n

σ− ˆ

si distribuisce come una chi-quadrato con n-1 gradi di libertà. Pertanto

( ) ( ) ( ) ( )

σ×−≤χ=

σ×−≤

σ−=≤ − 2

21n22

22 21n

P21nS1n

P2SPˆ

ˆ

per cui risulta

=×≤χ 401

220P 2

20

e dalle tavole risulta che la probabilità cercata è pari a 0,995.

Esercizio 3.21 Data una popolazione normale di varianza pari a 100, calcolare la probabilità che la varianza campionaria corretta di un campione bernoulliano di 10 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore maggiore di 30. Soluzione Analogamente all’esercizio precedente, si ha

( ) ( ) ( ) ( )

σ×−>χ=

σ×−>

σ−=> − 2

21n22

22 301n

P301nS1n

P30SPˆ

ˆ

per cui risulta

=×>χ 72100

309P 2

9 ,

e dalle tavole risulta che la probabilità cercata è pari a 0,975. Esercizio 3.22 Data una popolazione normale di media pari a 10 e varianza 25, calcolare la probabilità che la media campionaria di un campione casuale di 100 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore: a) inferiore o uguale a 9, b) maggiore di 12, c) compreso fra 9 e 12. Soluzione Dato che X ∼ N(10; 0,5) le probabilità richieste risultano

a) ( ) ( ) ( ) 023,02125,0109

9XP =Φ−=−Φ=

−Φ=≤

b) ( ) ( ) ...0000,0415,01012

112XP ≅Φ−=

−Φ−=>

c) ( ) 977,012X9P ≅≤<

47

Esercizio 3.23 Data una variabile la cui distribuzione nella collettività può essere approssimata da una normale di media pari a 50 e varianza 25, calcolare la probabilità che la media campionaria di un campione casuale di 10 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore: a) uguale a 48, b) minore di 48, c) maggiore di 48. Soluzione Dato che

X ∼ N(50; 105 )

le probabilità richieste risultano

a) ( ) 048XP == dato che si tratta di una variabile casuale continua

b) ( ) ( ) 1040261105

504848XP ,, =−Φ=

−Φ=<

c) ( ) ( ) 896,026,11105

5048148XP =Φ−=

−Φ−=>

Esercizio 3.24 Data una variabile Z che nella collettività si distribuisce approssimativamente in modo normale con media pari a 40 e scarto quadratico medio 4, determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale “media campionaria” per un campione casuale di 25 elementi estratto da questa popolazione. Calcolare il valore dei tre quartili di questa variabile casuale. Soluzione Dalla distribuzione della variabile Z risulta che X ∼ N(40; 0,8) Pertanto i tre quartili risultano:

39,46080,674)(0,840x0,25 =−×+=

40x0,5 =

,5392040,6740,840x0,25 =×+=

Esercizio 3.25 Determinare la probabilità che in un campione bernoulliano di 1.000 elementi la quota di elementi con una certa caratteristica A sia compresa fra 0,19 e 0,22 sapendo che la quota di elementi con tale caratteristica nella popolazione è pari a 0,2. Soluzione Sia p la quota di individui con la caratteristica A nella popolazione e P la variabile casuale “quota di individui con la caratteristica A presenti nel campione”. Dato che per campioni di numerosità elevata la distribuzione di tale variabile casuale può essere approssimata dal modello normale

48

P ∼

−×n

p)(1pp,N

la probabilità richiesta risulta

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 72801790581790581

00018020

20190

00018020

20220220P190P ,,,,,

.,,

,,

.,,

,,,ˆ, =−Φ+Φ=−Φ−Φ=

×−Φ−

×−Φ=≤<

Esercizio 3.26 Data una popolazione in cui il 40% degli individui possiede una certa caratteristica A, mentre il restante 60% non la possiede, determinare la probabilità che in un campione bernoulliano di 2.000 elementi la quota di elementi con una certa caratteristica A sia compresa fra il 37% ed il 43%. Soluzione Sia p=0,4 la quota di individui con la caratteristica A nella popolazione e P la variabile casuale “quota di individui con la caratteristica A presenti nel campione”. Dalla distribuzione asintotica di tale variabile casuale

P ∼

−×n

p)(1pp,N

la probabilità richiesta risulta

( ) ( ) 0,99412,742Φ

2.0000,60,4

0,40,37Φ

2.0000,60,4

0,40,43Φ0,43P0,37P =−=

×−−

×−=≤<

49

4. INTERVALLI DI CONFIDENZA E TEST DI SIGNIFICATIVI TA’ (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 11 delle dispense) Esercizio 4.1 Da una popolazione in cui una variabile Z si distribuisce in modo normale con media µ ignota e con varianza σ2 = 9 è stato tratto un campione di 8 elementi la cui media è risultata uguale a 6. Determinare l’intervallo di confidenza di µ al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Sotto l’potesi che la distribuzione di Z è normale e che la varianza della popolazione è nota, la variabile

nσ

µ-X

si distribuisce come una normale standardizzata, per cui l’intervallo di confidenza della media della popolazione è delimitato dagli estremi

≅×=σ0789,8

9211,3

8

396,16

nux 0,975 mm

Esercizio 4.2 Da una popolazione normale è stato estratto un campione casuale di 16 elementi di media pari a 10 mentre la varianza corretta è pari a 9. Determinare l’intervallo di confidenza di µ al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Sotto l’potesi che la distribuzione di Z è normale con varianza ignota, la variabile

ns

µ-X

si distribuisce come una t di Student con n-1 gradi di libertà. Data la scarsa numerosità campionaria, l’intervallo di confidenza della media della popolazione è delimitato dagli estremi

( )

=×=59825,11

40175,8

43

131,210n

s0,975tx 15 mm

Esercizio 4.3 Dato un campione casuale di 16 elementi estratto da una popolazione normale su cui la media campionaria è pari a 6 e la varianza campionaria a 3,75, costruire l’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 1−α=0,99. Soluzione La varianza campionaria corretta risulta

50

43,751516

s1n

ns 22 =×=

−=

per cui l’intervallo di confidenza di µ al livello di probabilità 0,99 è delimitato dagli estremi

( )

=×=4735,7

5265,4

42

947,26n

s0,995tx 15 mm

Esercizio 4.4 Date le seguenti osservazioni campionarie tratte da una popolazione normale -2 -3 0 1 2 2 3 5 costruire l’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Si ottiene

8571,6s0,1x 2x ≅=

L’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 0,95 è (-1,1896; 3,1896) dato che

( )

+−

=×=1896,3

1896,1

88571,6

365,21n

s0,975tx 7 mm

Esercizio 4.5 Dato un campione casuale di 500 elementi su cui la media campionaria è risultata pari a 19,80 e la varianza corretta a 160, costruire l’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Data l’elevata numerosità campionaria, la variabile

ns

µ-X

si distribuisce come una normale standardizzata. L’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 0,95 è quindi delimitato dagli estremi

≅×=9087,20

6913,18

500160

96,180,19n

sux 0,975 mm

Esercizio 4.6 Dati i seguenti risultati campionari,

Classi Freq. ass.

-2 -| 2 20 2 -| 4 20 4 -| 6 10

Totale 50

51

costruire l’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 1−α=0,90. Soluzione Sulla base dei valori campionari rilevati risulta

3,83674950

3,76s2,2x 2x ≅×==

L’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di probabilità 0,90 è quindi delimitato dagli estremi

≅×=6557,2

7443,1

508367,3

645,12,2n

sux 0,95 mm

Esercizio 4.7 Da una popolazione normale è stato estratto un campione casuale di 20 elementi di media pari a 100 e varianza corretta 4. Determinare l’intervallo di confidenza della varianza della popolazione al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Sotto ipotesi di normalità, la variabile

2S

1)(n

σ− ∼ 2

1n−χ

per cui l’intervallo di confidenza di σ2 è delimitato dagli estremi ( )

( )( )

( ) 8,53268,907

419

α/2χ

s1-n

2,313532,85

419

α/21χ

s1-n

21n

2

21n

2

≅×=

≅×=−

−

−

Esercizio 4.8 Dato un campione casuale di 18 elementi estratto da una popolazione normale in cui la varianza corretta è risultata pari a 25, costruire l’intervallo di confidenza di σ2 al livello di probabilità 1−α=0,90. Soluzione L’intervallo di confidenza della varianza della popolazione al livello di probabilità 0,90 è (15,40; 49,01) dato che ( )

( ) 40,1559,272517

95,0

s1-n217

2

≅×≅χ

( )( ) 01,49

672,82517

05,0

s1-n217

2

≅×≅χ

52

Esercizio 4.9 Dato un campione casuale di 45 elementi estratto da una popolazione normale in cui la varianza è risultata pari a 7,9 , costruire l’intervallo di confidenza di σ2 al livello di probabilità 1−α=0,99. Soluzione

La varianza campionaria corretta è pari a 104445

7,9s2 =×= per cui l’’intervallo di

confidenza della varianza della popolazione al livello di probabilità 0,99 è (6,12; 18,66) dato che

( )( ) 12,6

89,711044

995,0

s1-n244

2

≅×≅χ

( )( ) 66,18

58,231044

005,0

s1-n244

2

≅×≅χ

Esercizio 4.10 Dato un campione casuale di 5000 elementi estratto da una popolazione normale in cui la varianza corretta è risultata pari a 160, costruire l’intervallo di confidenza di σ2 al livello di probabilità 1−α=0,95. Soluzione Data l’elevata numerosità campionaria si utilizza la distribuzione asintotica

1)2/(n

S2

22

−σσ− ∼ ( )1 0,N

per cui l’’intervallo di confidenza della varianza della popolazione al livello di probabilità 0,95 è delimitato dagli estremi

1n2

u1

s

/2-1

2

−αm

.

Risulta quindi

0153,964

49992

1,961

160

1n2

u1

s

0,975

2

≅+

=

−+

2865166,

49992

1,961

160

1n2

u1

s

0,975

2

≅−

=

−−

Esercizio 4.11 In un campione casuale di 5000 elementi la quota di individui con una certa caratteristica A è risultata pari a 0,24. Determinare l’intervallo di confidenza della quota di individui con tale caratteristica nella popolazione al livello di probabilità 1−α=0,95.

53

Soluzione Per campioni di numerosità elevata lo stimatore P del parametro p di una popolazione

Zero-uno si distribuisce come una variabile normale con media p e varianza pari a

p(1−p)/n. Pertanto l’intervallo di confidenza della quota è delimitato dagli estremi

( )

≅×=−0,2518

0,2282

50000,760,24

1,960,24n

p1pup 0,975 mm

Esercizio 4.12 Determinare l’intervallo di confidenza della quota di individui con una certa caratteristica A nella popolazione al livello di probabilità 1−α=0,95 sapendo che su un campione casuale di 1000 individui estratto da questa popolazione il numero di individui con la caratteristica A è risultato pari a 600. Soluzione L’intervallo di confidenza della quota è delimitato dagli estremi

( )

≅×=−0,6304

0,5696

10000,40,6

1,960,6n

p1pup α/2-1 mm

Esercizio 4.13 Determinare l’intervallo di confidenza della quota di individui favorevoli all’abrogazione di una legge al livello di probabilità 1−α=0,99 sapendo che su un campione casuale di 2000 individui estratto da questa popolazione il numero di individui favorevoli all’abrogazione è risultato pari a 750. Soluzione L’intervallo di confidenza richiesto è delimitato dagli estremi

( )

≅×=−0,4029

0,3471

20000,6250,375

2,5760,375n

p1pup α/2-1 mm

Esercizio 4.14 Su un campione di 9 elementi estratto da una popolazione normale di varianza nota σ2=4 è stata ottenuta una media campionaria pari a 148. Verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 150 al livello di significatività α=0,05. Soluzione Per la verifica dell’ipotesi nulla bisogna utilizzare la distribuzione della media campionaria considerata sotto la condizione che H0 : µ = µ0 = 150 sia vera. La statistica

nσ

µ-X 0

54

si distribuisce come una normale standardizzata, per cui il valore della statistica

332150148

nσ

µx 0 =−≅−

va confrontato con il quantile di ordine 1−α/2 della normale standard. Dato che il risultato ottenuto è maggiore di u0,975=1,96 l’ipotesi nulla deve essere rifiutata al livello di significatività α=0,05. Esercizio 4.15 Date le seguenti osservazioni campionarie tratte da una popolazione normale 0,8 1,0 1,1 1,2 1,2 1,3 1,4 2,0 verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 1,5 al livello di significatività α=0,10. Soluzione

1257,011,078

s11,0xs

6725,1)X(E25,1xE(X)

2x

2

2

≅×==

===

Sotto l’potesi che la distribuzione di Z è normale con varianza ignota, la variabile

ns

µ-X

si distribuisce come una t di Student con n-1 gradi di libertà. La statistica

9944,181257,0

50,125,1

ns

x 0 ≅−≅µ−

risulta maggiore del quantile t7(0,95)=1,895 per cui l’ipotesi nulla H0:µ=1,5 va rifiutata al livello di significatività α=0,10. Esercizio 4.16 Dato il seguente campione casuale estratto da una popolazione normale 2 2 3 3 3 5 6 7 verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 3 al livello di significatività α=0,05. Soluzione Risulta E(X) = 3,875 E(X2) = 18,125 V(X) = 3,109375 5536,3S2 ≅ La statistica

313,1

85536,3

3875,3

ns

x 0 ≅−≅µ−

risulta minore del quantile t7(0,975)=2,365 per cui non si ha motivo di respingere l’ipotesi H0:µ=3 al livello di significatività α=0,10.

55

Esercizio 4.17 Dato un campione casuale di 100 elementi su cui la media è risultata pari a 820 e la varianza corretta a 1000, verificare l’ipotesi che la media della popolazione sia pari a 800 al livello di significatività α=0,05. Soluzione Data l’elevata numerosità campionaria, per la statistica

ns

µ-X

si può utilizzare la distribuzione asintotica. Per verificare l’ipotesi nulla H0: µ = 800 il risultato della statistica

325,6

1001000

800820

ns

x 0 ≅−≅µ−

va quindi confrontato con il quantile della normale standardizzata u0,975=1,96. Dato che 6,325>1,96 l’ipotesi nulla va rifiutata al livello di significatività α=0,05. Esercizio 4.18 Su un campione bernoulliano di 10 elementi estratto da una popolazione normale la varianza campionaria corretta è risultata pari a 120. Verificare l’ipotesi che la varianza della popolazione sia pari a 100 al livello di significatività α=0,05. Soluzione La variabile

2S

1)(n

σ− ∼ 2

1n−χ

Pertanto, data l’ipotesi H0:σ2=100, il risultato della statistica ( )

8,10100

1209s1n20

2x =×=

σ−

va confrontato con i due quantili di ordine α/2 e 1−α/2 della chi-quadrato con n-1 gradi di libertà. Dato che 10,8 risulta compreso fra i due quantili

( )( ) 02,19975,0

70,2025,029

29

=χ=χ

non c’è motivo di rifiutare l’ipotesi nulla al livello di significatività α=0,05.

56

Esercizio 4.19 Su un campione bernoulliano di 10 elementi estratto da una popolazione normale sono state rilevate le seguenti intensità della variabile oggetto di studio 1 2 2 2 3 3 3 4 5 5 Verificare l’ipotesi che la varianza della popolazione sia pari a 3 al livello di significatività α=0,01. Soluzione Si ottiene

7,16,19

10s6,1s

6,10)X(E3xE(X)

2x

2x

2

=×==

===

I due quantili della chi-quadrato con 9 gradi di libertà sono ( )( ) 59,23995,0

735,1005,029

29

=χ

=χ

e, dato che la statistica ( )

3,53

7,19s1n20

2x =×=

σ−

risulta compresa fra questi due quantili non c’è motivo di rifiutare l’ipotesi nulla H0:σ2=3 al livello di significatività α=0,01. Esercizio 4.20 Verificare l’ipotesi H0: σ2 = 5 al livello di significatività α=0,01 per una variabile normale Z sapendo che su un campione bernoulliano di 5 elementi estratto da questa popolazione sono state rilevate le seguenti intensità 1,2 2,3 2,5 3,1 4,9 Soluzione

85,148,145

s48,1s8,2xE(X) 2x

2x =×====

La statistica ( )

48,15

85,14s1n20

2x =×=

σ−

risulta compresa fra i due quantili ( )( ) 86,14995,0

207,0005,024

24

=χ=χ

per cui non c’è motivo di rifiutare l’ipotesi nulla al livello di significatività α=0,01.

57

Esercizio 4.21 Verificare l’ipotesi H0: σ2 = 1.000 al livello di significatività α=0,10 per una variabile normale Z sapendo che su un campione bernoulliano di 500 elementi estratto da questa popolazione si è ottenuta una varianza campionaria corretta pari a 1.600. Soluzione Data l’elevata numerosità campionaria si utilizza la distribuzione asintotica

1)2/(n

S2

22

−σσ− ∼ ( )1 0,N

La statistica, considerata sotto ipotesi nulla,

1)2/(n

S20

20

2

−σσ−

va quindi confrontata con il quantile di ordine 1−α/2 della normale standardizzata. Dato che

645,1u4773,92/499000.1

000.16001.95,0 =>≅

×−

si rifiuta l’ipotesi nulla al livello di significatività α=0,01. Esercizio 4.22 Date le seguenti informazioni ottenute su un campione di 200 elementi estratto da una popolazione normale

Classi Freq. ass.

80 -| 120 30 120 -| 180 100 180 -| 220 70 Totale 200

verificare l’ipotesi H0: σ2 = 1200 al livello di significatività α=0,05. Soluzione Dai dati della tabella si ottiene

7789,155.1150.1199200

s150.1s160xE(X) 2x

2x ≅×====

La statistica

1)2/(n

S20

20

2

−σσ−

va confrontata con il quantile di ordine 1−α/2 della normale standardizzata. Dato che

96,1u3676,02/199200.1

200.17789,1551.975,0 =<≅

×−

58

non si ha motivo rifiutare l’ipotesi nulla al livello di significatività α=0,01. Esercizio 4.23 Sapendo che su un campione bernoulliano di numerosità pari a 1000 sono 840 gli elementi che presentano una certa caratteristica A, verificare l’ipotesi che nella popolazione la quota di elementi con tale caratteristica sia pari a 0,7 al livello di significatività α=0,10. Soluzione Per verificare l’ipotesi H0: p=0,7 si utilizza la statistica

( )66,9

10003,07,0

7,084,0

np1p

pp

00

0 ≅×−=

−−

che va confrontata con il quantile di ordine 1−α/2 della normale standard. Dato che 9,66 risulta maggiore di u0,95=1,645 l’ipotesi nulla deve essere rifiutata al livello di significatività α=0,10. Esercizio 4.24 Da un’urna sono state estratte 4.000 palline con ripetizione. Verificare al livello di significatività α=0,05 l’ipotesi che la quota di palline bianche presenti nell’urna sia pari al 50% sapendo che nel campione estratto 1.900 palline sono risultate di colore bianco. Soluzione Per verificare l’ipotesi H0: p=0,5 si utilizza la statistica

( )16,3

40005,05,0

5,0475,0

np1p

pp

00

0 ≅×−=

−−

che risulta maggiore di u0,975=1,96 per cui l’ipotesi deve essere rifiutata al livello di significatività α=0,10.

59

Tavola A Funzione di ripartizione della variabile casuale n ormale standardizzata

u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,500 0,504 0,508 0,512 0,516 0,520 0,524 0,528 0,532 0,536

0,1 0,540 0,544 0,548 0,552 0,556 0,560 0,564 0,567 0,571 0,575

0,2 0,579 0,583 0,587 0,591 0,595 0,599 0,603 0,606 0,610 0,614

0,3 0,618 0,622 0,626 0,629 0,633 0,637 0,641 0,644 0,648 0,652

0,4 0,655 0,659 0,663 0,666 0,670 0,674 0,677 0,681 0,684 0,688

0,5 0,691 0,695 0,698 0,702 0,705 0,709 0,712 0,716 0,719 0,722

0,6 0,726 0,729 0,732 0,736 0,739 0,742 0,745 0,749 0,752 0,755

0,7 0,758 0,761 0,764 0,767 0,770 0,773 0,776 0,779 0,782 0,785

0,8 0,788 0,791 0,794 0,797 0,800 0,802 0,805 0,808 0,811 0,813

0,9 0,816 0,819 0,821 0,824 0,826 0,829 0,831 0,834 0,836 0,839

1,0 0,841 0,844 0,846 0,848 0,851 0,853 0,855 0,858 0,860 0,862

1,1 0,864 0,867 0,869 0,871 0,873 0,875 0,877 0,879 0,881 0,883

1,2 0,885 0,887 0,889 0,891 0,893 0,894 0,896 0,898 0,900 0,901

1,3 0,903 0,905 0,907 0,908 0,910 0,911 0,913 0,915 0,916 0,918

1,4 0,919 0,921 0,922 0,924 0,925 0,926 0,928 0,929 0,931 0,932

1,5 0,933 0,934 0,936 0,937 0,938 0,939 0,941 0,942 0,943 0,944

1,6 0,945 0,946 0,947 0,948 0,949 0,951 0,952 0,953 0,954 0,954

1,7 0,955 0,956 0,957 0,958 0,959 0,960 0,961 0,962 0,962 0,963

1,8 0,964 0,965 0,966 0,966 0,967 0,968 0,969 0,969 0,970 0,971

1,9 0,971 0,972 0,973 0,973 0,974 0,974 0,975 0,976 0,976 0,977

2,0 0,977 0,978 0,978 0,979 0,979 0,980 0,980 0,981 0,981 0,982

2,1 0,982 0,983 0,983 0,983 0,984 0,984 0,985 0,985 0,985 0,986

2,2 0,986 0,986 0,987 0,987 0,987 0,988 0,988 0,988 0,989 0,989

2,3 0,989 0,990 0,990 0,990 0,990 0,991 0,991 0,991 0,991 0,992

2,4 0,992 0,992 0,992 0,992 0,993 0,993 0,993 0,993 0,993 0,994

2,5 0,994 0,994 0,994 0,994 0,994 0,995 0,995 0,995 0,995 0,995

2,6 0,995 0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996

2,7 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997

2,8 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998

2,9 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999

3,0 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999

60

Tavola B Quantili della variabile casuale normale standardiz zata

p up

0,001 -3,090

0,005 -2,576

0,010 -2,326

0,025 -1,960

0,050 -1,645

0,100 -1,282

0,150 -1,036

0,200 -0,842

0,250 -0,674

0,300 -0,524

0,350 -0,385

0,400 -0,253

0,450 -0,126

0,500 0,000

0,550 0,126

0,600 0,253

0,650 0,385

0,700 0,524

0,750 0,674

0,800 0,842

0,850 1,036

0,900 1,282

0,950 1,645

0,975 1,960

0,990 2,326

0,995 2,576

0,999 3,090

61

Tavola C Quantili della variabile casuale chi-quadrato con g gradi di libertà

p

g

0,005 0,010 0,025 0,050 0,950 0,975 0,990 0,995

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

0,000 0,000 0,001 0,004 3,841 5,024 6,635 7,879

0,010 0,020 0,051 0,103 5,991 7,378 9,210 10,60

0,072 0,115 0,216 0,352 7,815 9,348 11,34 12,84

0,207 0,297 0,484 0,711 9,488 11,14 13,28 14,86

0,412 0,554 0,831 1,145 11,07 12,83 15,09 16,75

0,676 0,872 1,237 1,635 12,59 14,45 16,81 18,55

0,989 1,239 1,690 2,167 14,07 16,01 18,48 20,28

1,344 1,646 2,180 2,733 15,51 17,53 20,09 21,95

1,735 2,088 2,700 3,325 16,92 19,02 21,67 23,59

2,156 2,558 3,247 3,940 18,31 20,48 23,21 25,19

2,603 3,053 3,816 4,575 19,68 21,92 24,72 26,76

3,074 3,571 4,404 5,226 21,03 23,34 26,22 28,30

3,565 4,107 5,009 5,892 22,36 24,74 27,69 29,82

4,075 4,660 5,629 6,571 23,68 26,12 29,14 31,32

4,601 5,229 6,262 7,261 25,00 27,49 30,58 32,80

5,142 5,812 6,908 7,962 26,30 28,85 32,00 34,27

5,697 6,408 7,564 8,672 27,59 30,19 33,41 35,72

6,265 7,015 8,231 9,390 28,87 31,53 34,81 37,16

6,844 7,633 8,907 10,12 30,14 32,85 36,19 38,58

7,434 8,260 9,591 10,85 31,41 34,17 37,57 40,00

8,034 8,897 10,28 11,59 32,67 35,48 38,93 41,40

8,643 9,542 10,98 12,34 33,92 36,78 40,29 42,80

9,260 10,20 11,69 13,09 35,17 38,08 41,64 44,18

9,886 10,86 12,40 13,85 36,42 39,36 42,98 45,56

10,52 11,52 13,12 14,61 37,65 40,65 44,31 46,93

11,16 12,20 13,84 15,38 38,89 41,92 45,64 48,29

11,81 12,88 14,57 16,15 40,11 43,19 46,96 49,64

12,46 13,56 15,31 16,93 41,34 44,46 48,28 50,99

13,12 14,26 16,05 17,71 42,56 45,72 49,59 52,34

13,79 14,95 16,79 18,49 43,77 46,98 50,89 53,67

62

Tavola C Quantili della variabile casuale chi-quadrato con g gradi di libertà (segue)

p

g

0,005 0,010 0,025 0,050 0,950 0,975 0,990 0,995

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

14,46 15,66 17,54 19,28 44,99 48,23 52,19 55,00

15,13 16,36 18,29 20,07 46,19 49,48 53,49 56,33

15,82 17,07 19,05 20,87 47,40 50,73 54,78 57,65

16,50 17,79 19,81 21,66 48,60 51,97 56,06 58,96

17,19 18,51 20,57 22,47 49,80 53,20 57,34 60,27

17,89 19,23 21,34 23,27 51,00 54,44 58,62 61,58

18,59 19,96 22,11 24,07 52,19 55,67 59,89 62,88

19,29 20,69 22,88 24,88 53,38 56,90 61,16 64,18

20,00 21,43 23,65 25,70 54,57 58,12 62,43 65,48

20,71 22,16 24,43 26,51 55,76 59,34 63,69 66,77

21,42 22,91 25,21 27,33 56,94 60,56 64,95 68,05

22,14 23,65 26,00 28,14 58,12 61,78 66,21 69,34

22,86 24,40 26,79 28,96 59,30 62,99 67,46 70,62

23,58 25,15 27,57 29,79 60,48 64,20 68,71 71,89

24,31 25,90 28,37 30,61 61,66 65,41 69,96 73,17

25,04 26,66 29,16 31,44 62,83 66,62 71,20 74,44

25,77 27,42 29,96 32,27 64,00 67,82 72,44 75,70

26,51 28,18 30,75 33,10 65,17 69,02 73,68 76,97

27,25 28,94 31,55 33,93 66,34 70,22 74,92 78,23

27,99 29,71 32,36 34,76 67,50 71,42 76,15 79,49

63

Tavola D Quantili della variabile casuale t di Student con g gradi di libertà

p

g 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

3,078 6,314 12,71 31,82 63,66

1,886 2,920 4,303 6,965 9,925

1,638 2,353 3,182 4,541 5,841

1,533 2,132 2,776 3,747 4,604

1,476 2,015 2,571 3,365 4,032

1,440 1,943 2,447 3,143 3,707

1,415 1,895 2,365 2,998 3,499

1,397 1,860 2,306 2,896 3,355

1,383 1,833 2,262 2,821 3,250

1,372 1,812 2,228 2,764 3,169

1,363 1,796 2,201 2,718 3,106

1,356 1,782 2,179 2,681 3,055

1,350 1,771 2,160 2,650 3,012

1,345 1,761 2,145 2,624 2,977

1,341 1,753 2,131 2,602 2,947

1,337 1,746 2,120 2,583 2,921

1,333 1,740 2,110 2,567 2,898

1,330 1,734 2,101 2,552 2,878

1,328 1,729 2,093 2,539 2,861

1,325 1,725 2,086 2,528 2,845

1,323 1,721 2,080 2,518 2,831

1,321 1,717 2,074 2,508 2,819

1,319 1,714 2,069 2,500 2,807

1,318 1,711 2,064 2,492 2,797

1,316 1,708 2,060 2,485 2,787

1,315 1,706 2,056 2,479 2,779

1,314 1,703 2,052 2,473 2,771

1,313 1,701 2,048 2,467 2,763

1,311 1,699 2,045 2,462 2,756

1,310 1,697 2,042 2,457 2,750