Esercizi statistica e calcolo delle probabilita

8/22/2019 Esercizi statistica e calcolo delle probabilita

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Esercizi di: Statistica e Calcolo delle Probabilit

Esercizi di statistica e calcolo delle probabilitProf. M. GIORGIO 1

ESERCIZI DISTATISTICA E CALCOLO DELLE

PROBABILIT


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LISTA DEI SIMBOLI

S, ,A,B, {}: rispettivamente spazio campione evento impossibile ed . eventi generici.AB:A unioneB.

Aj

kk i=

: unione degli eventi daAi

adAj

.

AB:A intersezioneB.

A ;j

k

k i= : intersezione degli eventi daAi adAj.

A : evento complementare diA (negazione diA).

AB, AB: rispettivamente A incluso inB, A incluso strettamente inB.P(A): probabilit dell'eventoA.

P(): probabilit dell'evento definito dall'asserzione logica in ().P(AH): probabilit dell'eventoA condizionata al verificarsi diH.: qualsiasi.v.a.: variabile aleatoria.v.c.: variabile casuale ( sinonimo di variabile aleatoria).X: generica v.a.x: generica determinazione della v.a.X.

p(): funzione massa di probabilit.f(): funzione densit di probabilit.s-indipendenza: indipendenza stocastica.iid: v.a. indipendentemente ed identicamente distribuite.

X~N(,2): v.a.Xdistribuita secondo una Normale di parametri e .

X: valore atteso della v.a.X.

E(X): valore atteso diX.Var(X): varianza diX.

X: deviazione standard o scarto quadratico medio della v.a.X.

Cov(,): covarianza.

( )!

! !

n n

r r n r

=

: circa eguale(FELLER): es. di riferimento principale relativo all'esercizio


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1. Statistica descrittiva

1.1Dato il seguente insieme di misure, valutare la media, la mediana, la varianza, la

deviazione standard, il primo quartile, il terzo quartile e la differenza interquartile.109, 113, 111, 112, 111, 110, 106, 105, 108, 115

Soluzione

Media10

1 109+113+111+112+111+110+106+105+108+11510 10

110

i

i

x

== = =

=

Varianza

( )10 10

2 2

2 21 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

10 10109 +113 +111 +112 +111 +110 +106 +105 +108 +115

11010

8.6

i i

i i

x x

= =

= = =

= =

=

Deviazione standard

2 8.6 2.9 = = =

Mediana

Una volta ordinati i dati,105, 106, 108, 109, 110, 111, 111, 112, 113, 115essendo il campione di dimensione pari (n=10) la mediana si calcola come segue:


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( ) ( )10 10

1 15 62 2 2 2

2 2 2110 111

110.5

2

n n

e

x x x xx x

M

+ +

+ ++

= = = =

+= =

Primo quartile

Considero solo i valori minori della mediana105, 106, 108, 109, 110e riutilizzo, limitatamente a questa sotto-popolazione, la formula valida per la ricerca

della mediana

( )1 312

108n

Q x x+

= = =

Si osservi che in questo caso la dimensione della sotto-popolazione dispari (n=5).

Terzo quartile

Considero solo i valori maggiori della mediana111, 111, 112, 113, 115,e ricavo:

( )3 312

112n

Q x x+

= = =

Differenza interquartile

3 1 112 108 4IQR Q Q= = =


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1.2Un certo carattere distribuito in una popolazione nel modo seguente in funzione

dellet degli intervistati:

i Classe ni1 [20-30] 52 (30-40] 73 (40-50] 104 (50-60] 75 (60-70] 1

Valutare let media alla quale si presenta il carattere, let mediana, il primo ed il terzoquartile, individuare la classe modale; valutare varianza, deviazione standard e differenzainterquartile. Diagrammare frequenza relativa e cumulata. Valutare la frequenza relativadella classe (30-50] anni.

Soluzione

Simbologia:

ni=frequenza assoluta, fi=frequenza relativa, Fi=frequenza relativa cumulata, ci=centrodella i-esima classe

i Classe ni fi Fi ci

1 [20-30] 5 5/30 5/300.17 252 (30-40] 7 7/30 12/30=0.4 353 (40-50] 10 10/30 22/300.73 454 (50-60] 7 7/30 29/300.97 555 (60-70] 1 1/30 30/30=1 65

Media

1

1

1

5 7 10 7 125 35 45 55 65

30 30 30 30 30

42.3

k

i i k

ii ik

ii

i

c n

c f

n

=

==

= = = + + + + =

=

Mediana

Riconosciuto che la classe numero 3, (40-50], la classe mediana (3 infatti il pipiccolo valore di i per cui risulta Fi0.5) si pu scrivere:

( ) ( )3 13 3 33 3 1

0.50 0.50 0.4040 50 40

0.73 0.40

43.0

e

FM LI LS LI

F F

= + = + =

=

[20-30] una classe chiusa asinistra e chiusa a destra(30-40] una classe aperta asinistra e chiusa a destra


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Primo quartile

La classe che contiene il primo quartile la numero 2, (30-40] (2 il pi piccolo valoredi i per il quale risulta Fi0.25) si pu scrivere:

( ) ( )11 2 2 22 1

0.25 0.25 0.1730 40 30

0.40 0.1733.5

FQ LI LS LI

F F

= + = + =

=

Terzo quartile

La classe che contiene il terzo quartile la n 4, (50-60] (4 il pi piccolo valore di i peril quale risulta Fi0.75) si pu scrivere:

( ) ( )31 4 4 44 3

0.25 0.75 0.7350 60 50

0.97 0.73

50.8

FQ LI LS LI

F F

= + = + =

=

Classe modale

La classe modale (classe per la quale si osserva la massima frequenza (assoluta orelativa)] la classe n 3 (40-50].

Varianza

( ) ( )2 22 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 25 7 10 7 125 35 45 55 65 42.330 30 30 30 30

119.6

k k k k

i i i i i i i

i i i i

c n n c f c f = = = =

= = = =

= + + + + =

=

Deviazione standard

2 120 10.9 = = =

Diagramma della frequenza relativa

0.050.010.150.200.250.30

0.35

20-30 30-40 40-50 50-60 60-700.00

Frequenzarelativa


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Diagramma della frequenza relativa cumulata

Frequenza relativa della classe (30-50]

La frequenza relativa della classe (30-50] si ottiene sommando le frequenze relativedelle classi (30-40] e (40-50]:

2 3

7 10 1730 30 30

f f+ = + =

0.2

0.4

0.60.8

1

20-30 30-40 40-50 50-60 60-700.0

Frequenzarelativa

cumulata


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2. Algebra degli eventi

2.1Rappresentare mediante un diagramma di Venn gli eventi:

(i)AB;(ii)AB=SconAB=;(iii) A ;

(iv)AB conAB;

(v)ABS.

Soluzione

B A

(i) (ii)

B A

(iii)

A A

AB

(iv)

B A

(v)

B

AB

A


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2.2Si consideri lo spazio campione S{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e gli eventiA{1,2,3},B{3,4,5},C{4,5,6}; si scrivano i numeri che sono elementi di ciascuno degli eventi composti di

seguito definiti:(i) Non si verifica nA nB n C.(ii) Si verifica almeno uno dei tre eventi.(iii) Si verifica (esattamente o esclusivamente) uno dei tre eventi.(iv) Si verifica al pi uno dei tre eventi.(v) Si verificano al pi tre eventi.Si rappresenti, inoltre, su di un diagramma di Venn ciascuno degli eventi composti che stato appena definito.

Soluzione

(i) {0,7,8,9};(ii) {1,2,3,4,5,6};(iii) {1,2,6};(iv) {0,1,2,6,7,8,9};(v) S.


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2.3 (SVESHNIKOV)dedurre quando valgono rispettivamente le eguaglianze

(i)AB=A, (ii)AB=A

Soluzione

Risposta (i)

BAInfatti, in generale risulta:

( )A B A A B =

Da ci si ricava che per essere ( )A B A A B A = = deve risultare A B =

Risposta (ii)

AB

BA

AB

AB

A

A B


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2.4Un obiettivo consiste di 10 cerchi concentrici di raggio rk(k=1,2,...,10), con rk


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Nota

Si osservi che per rispettare la relazione logica che sussiste tra gli eventi

1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A ( j iA A per ogni i>j) gli eventi sul diagramma di venne sono stati

disegnati in maniera tale da garantire che per ogni i>j il verificarsi di jA implica il

verificarsi di iA .

In altri termini, il diagramma di Venn deve esser disegnato in maniera da evidenziare che:se si verifica, ad esempio, levento 1A (ovvero se abbiamo colpito linterno del cerchio di

raggio r1) allora sicuramente si verificano anche gli eventi 2 3 4 5 6, , , ,A A A A A (ovvero ci

troviamo sicuramente anche allinterno di tutte le circonferenze di raggio 2 3 4 5 6, , , ,r r r r r ).

Risposta (ii)10

5 6 7 8 9 10 55

k

k

C A A A A A A A A=

= = =

A7

A10

A6 A9

A5

A8


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2.5 (FELLER 15 PG. 25)Elaborare mediante le regole dell'algebra degli eventi le seguenti espressioni:

(i) (AB)(A B );

(ii) (AB)(BC);(iii) (AB)(AB)(AB ).

Soluzione

(i) A(ii) BAC;(iii) AB


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3. Calcolo delle probabilit

3.1Un test sull'inquinamento dell'aria atmosferica richiede che almeno due rilevamenti

consecutivi su una serie di tre diano risultato positivo per far scattare misure urgentiantinquinamento. I tecnici hanno a disposizione due dispositiviA eB ed noto dallecaratteristiche di targa che la probabilit di rilevamento dell'inquinamento del dispositivoA maggiore di quella diB. I tecnici decidono di scegliere la migliore sequenza di test inbase alla maggiore probabilit di rilevamento dell'inquinamento. Ci sono due possibilisequenze di test:

I test II test III test

serie 1 A B A

serie 2 B A B

I risultati dei test sono indipendenti l'uno dall'altro. Usare il calcolo delle probabilit perdecidere quale sequenza di test i tecnici debbano preferire.

Soluzione

La serie da preferire la serie 2 (N.B. Il risultato non intuitivo). PostopA=P(rilevamento dispositivo A),pB=P(rilevamento dispositivoB)p1=P(rilevamento sequenza 1),p2=P(rilevamento sequenza 2),i valori dip1 (analogo ragionamento perp2) si ottengono come probabilit dell'unione di

eventi favorevoli:

P[(ABA)(ABA)(ABA)],poich gli eventi considerati sono tra loro mutuamente incompatibili, la probabilit

dell'unione di eventi diventa:

P(ABA)+P(ABA)+P(ABA )=pA

pB

pA

+(1-pA

)pA

pB

+pA

pB

(1-pA

)=

=pApB[pA+(1-pA)+(1-pA)]=pApB(2-pA)


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In definitiva, si ha:p1=P(rilevamento sequenza 1)= pApB(2-pA).

Ragionando in maniera analoga per la sequenza 2 si ottiene:p2=P(rilevamento sequenza 2)= pApB(2-pB).

si vede che dal momento chepA>pB(2-pA)


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3.2Qual la probabilit che si realizzi la sequenza di tre sei consecutivamente in tre lanci di

un dado "corretto"?.Si indichi con 6

i

E l'evento esce 6 all'i-esimo lancio.

Soluzione

( )1 2 36 6 6

1 1 1 16 6 6 216

P E E E = =


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3.3Qual la probabilit che esca almeno un sei in una sequenza di tre lanci di un dado

"corretto"?

Soluzione

3 3

6 61 1

5 5 5 216 125 911 1

6 6 6 216 216i ii iP E P E

= =

= = = =

Nota

La relazione3 3

6 61 1

1i ii i

P E P E = =

=

si ricava a partire da

3 3

6 61 1

1i ii i

P E P E = =

= sfruttando luguaglianza

3 3

6 61 1

i i

i i

E E= =

= (legge di De

Morgan).


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3.4Qual la probabilit che esca esattamente un sei in una sequenza di tre lanci di un dado

"corretto"?

Soluzione

Si procede mediante enumerazione degli eventi elementari che realizzano l'eventocomposto sopra specificato. Essi sono:

1.1 2 36 6 6

E E E ( )1 2 36 6 6

1 5 5 256 6 6 216

P E E E = =

2.1 2 36 6 6

E E E ( )1 2 36 6 6

5 1 5 256 6 6 216

P E E E = =

3.1 2 36 6 6

E E E ( )1 2 36 6 6

5 5 1 256 6 6 216

P E E E = =

A noi interessa la probabilit dellunione di tali eventi.Tali eventi sono incompatibili pertanto la loro unione si pu ottenere sommando le

probabilit calcolate ai punti 1), 2) e 3):25 25 25 75

216 216 216 216+ + =


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3.5Qual la probabilit che escano tutte le facce del dado in sei lanci di un dado "corretto"?

Soluzione

6

6 5 4 3 2 1 6!6 6 6 6 6 6 6

fnp

n= = =

Nota

la valutazione della probabilit richiesta pu essere effettuata in 2 maniere

Prima maniera

Considerato che lanciando 6 volte un dado si possono ottenere 66 differenti sequenzedi risultati e considerato che tali sequenze (ordinate) sono equiprobabili (N.B. in virt

della correttezza del dado ogni sequenza pu essere ottenuta con probabilit6

16

), si

pu calcolare la probabilit richiesta come rapporto tra i casi favorevoli (numero disequenze ordinate che prevedono tutti esiti diversi) e il numero totale di sequenzeordinate che possibile ottenere. Come precedentemente osservato, totale disequenze ordinate che possibile ottenere pari a Tn =

66 . I casi favorevoli sono

invece fn =6!=654321. Pari al numero di sequenze (costituite dai 6 differenti esitipossibili) che differiscono per lordine con cui tali esiti sono stati ottenuti. Essendo il

numero di lanci pari al numero di facce del dado si dovranno infatti ottenerenecessariamente sequenze del tipo: 1,2,3,4,5,6; 1,2,3,4,6,5; 1,2,36,4,5 etc.Ovvero sequenze (ordinate) che differiscono non nei risultati ottenuti ma solo perlordine con cui essi si sono presentati.

Rapportando fn ad Tn si ottiene 66!6

fnp

n= = .

Seconda maniera

Definiti i seguenti eventi:1A ={Il primo lancio pu dare luogo ad un esito qualsiasi}

jA ={il j-esimo lancio da luogo ad un esito diverso da quello ottenuto nei j-1 lanci

precedenti}Si pu calcolata la probabilit richiesta come:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 3 4 5 6

1 2 1 3 1 2 4 1 2 3

5 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5

, , ,

, , , , , , ,

6 5 4 3 2 1

6 6 6 6 6 6

P A A A A A A

P A P A A P A A A P A A A A

P A A A A A P A A A A A A

=

=

=

=


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3.6Qual la probabilit, p, che in un gruppo di cinque persone ciascuno festeggi il

compleanno in un giorno diverso da quello degli altri?S assuma che le nascite si distribuiscono uniformemente tra tutti i giorni dell'anno (si

consideri un anno di 365 giorni).

Soluzione

Simbologia

nf l numero di casi favorevolin il numeroi di casi totali

risposta

5

365 364 363 362 361 1 365!

365 365 365 365 365 365 360!fn

p n= = =


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3.7Un contratto stipulato da una ditta di pulizie prevede una penale qualora il livello di

soddisfazione del cliente risulti minore del 95%.La squadra di pulizie composta da due addetti. La probabilit che l'addetto A svolga un

lavoro soddisfacente pari a 0.90. La probabilit che l'addetto B svolga un lavorosoddisfacente pari a 0.80.

Qual la probabilit che la squadra svolga un lavoro soddisfacente per il cliente?Pagher o meno la penale?

(i) Risolvere il problema nell'ipotesi d'indipendenza stocastica.(ii) Gli addetti erano stati soggetti a controllo in 100 casi con i risultati riportati nella

seguente tavola (dalla quale sono stati ricavati i valori di probabilit riportati

precedentemente nel testo). Risolvere il problema sulla base delle osservazioni effettuate everificare l'ipotesi in (i).

B B A 77 13 90

A 3 7 10

80 20 100

Soluzione:

Risposta (i)L'evento a cui siamo interessati "la squadra svolge un lavoro soddisfacente per il cliente"

si realizza nei seguenti casi: o solo l'operaio A svolge un lavoro soddisfacente ( )A B osolo l'operaio B svolge un lavoro soddisfacente ( )B A o entrambi gli operai svolgono unlavoro soddisfacente. ( )A B . In termini di eventi siamo interessati ad ( )A B .

La probabilit dell'unione di due eventiA eB :( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B = + , (1)

che per l'ipotesi di indipendenza stocastica diventa:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.98P A B P A P B P A P B = + =

in questa ipotesi la ditta non incorre nella penale.

Risposta (ii)

Dai rilievi effettuati possibile ricavare direttamente la probabilit associata all'eventoA B , per cui risulta:

( ) ( ) ( ) ( ) 0.90 0.80 0.77 0.93P A B P A P B P A B = + = + =

in questo caso la ditta incorrerebbe nella penale.


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E' facile verificare, data la validit delle seguenti disuguaglianze, che non validal'ipotesi d'indipendenza stocastica:

( ) ( ) ( ); ( | ) ( ); ( | ) ( )

0.77 0.770.77 0.90 0.80; 0.90; 0.80

0.80 0.90

P A B P A P B P A B P A P B A P B


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3.8In un'industria farmaceutica stato messo a punto un test per la diagnosi di gravidanza

precoce. Avendo definito gli eventi nel modo seguente:D={la diagnosi di gravidanza},G={la donna in gravidanza}. stato verificato che P(D|G)=0.98; P(D |G )=0.95. noto che P(G)=0.01.Quanto vale la P(G|D)?

Soluzione

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )0.98 0.01 0.1650.98 0.01 1 0.95 0.99

P D G P GP G D

P D G P G P D G P G

= =

+

= +

Nota

Si osservi che la probabilit che la donna sia in gravidanza passa dal valore 0.01 acirca 0.16 dopo il test, che pur essendo una probabilit ancora non soddisfacente perun test ben 16 volte pi grande di quella relativa allo stato di conoscenze prima deltest.In questo caso la sola applicazione reiterata del test pu portare ad un valore

soddisfacentemente elevato della probabilit di nostro interesse.


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3.9Supposto P(D|G)=P(D |G )=x e P(G )=0.99, quale valore deve assumere x perch

P(G|D) sia eguale a 0.999?

Soluzione

( )( ) ( ) ( )

0.9991

x P G

x P G x P G

=

+ ,

ossia:

( )0.01

0.9990.01 1 0.99

x

x x

=

+

da cui si ricava:

0.98901 0.999990.98902

x = =


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3.10Una famiglia possiede due televisori, uno a colori ed uno in bianco e nero. SiaA l'evento

il televisore a colori acceso eB levento il televisore in bianco e nero acceso.Poste P(A)=0.4, P(B)=0.3 e P(AB)=0.5, si trovi la probabilit degli eventi:(a) entrambi sono accesi,(b) il televisore a colori acceso e l'altro spento,(c) un solo televisore acceso,(d) nessuno dei televisori acceso.

Soluzione

Risposta (a)

Sono assegnate ( ) ( ) ( ), eP A B P A P B e si vuole calcolare ( )P A B .

Dalla relazione( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B = +

si ricava lespressione:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B = +

da questa, sostituendo i dati disponibili, si ottiene

( ) 0.4 0.3 0.5

0.2

P A B = + =

=

Risposta (b)

Bisogna calcolare ( )P A B .Partendo da:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A B A B P A B P A B = = +

si ricava:

( ) ( ) ( ) 0.4 0.2

0.2

P A B P A P A B = = =

=

Risposta (c)

Bisogna calcolare:

( ) ( ) ( ) ( )P A B A B P A B P A B = + .

Partendo da:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P A B P A B A B A B

P A B P A B P A B

= = = + +

si ricava:


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( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 0.20.3

P A B P A B P A B P A B + = = =

=

Risposta (d)

Bisogna calcolare:

( ) ( )P A B P A B = .Partendo da:

( ) ( ) ( ) ( ) 1P A B A B P A B P A B = + =

si ricava:

( ) ( ) ( )1 1 0.5 0.5P A B P A B P A B = = = =


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3.11Un lotto contiene 14 articoli: 10 buoni, 4 difettosi. Supposto di estrarre a caso (senza

reimmissione) 3 articoli dal lotto, si calcoli la probabilit che esattamente 2 di essi sianobuoni.

Soluzione

Indicati rispettivamente con iB e iD (con i=1,2,3) gli eventi:alla i-esima estrazione stato estratto un articolo buono e alla i-esima estrazione

stato estratto un articolo difettoso, si pu osservare che levento esattamente 2 fra i 3articoli selezionati siano buoni si realizza se si ottiene una delle seguenti sequenze dirisultati:

1.1 2 3

D B B ,

2. 21 3B D B ,3. 1 2 3B B D .Pertanto si pu scrivere:

( )

( ) ( ) ( )1 1 12 3 2 3 2 3

esattamente 2 fra i 3 articoli selezionati siano buoniP

P D B B B D B B B D

=

=

relazione che (per la incompatibilit degli eventi 1-3) si pu riscrivere come:

( )

( ) ( ) ( )1 1 12 3 2 3 2 3

esattamente 2 fra i 3 articoli selezionati siano buoni

.

P

P D B B P B D B P B B D

=

= + +

Calcolate le probabilit:

( )

( )

( )

1

1

1

2 3

2 3

2 3

4 10 9 4 9 1014 13 12 12 13 1410 4 9 4 9 1014 13 12 12 13 1410 9 4 4 9 10

14 13 12 12 13 14

P D B B

P B D B

P B B D

= =

= =

= =

sostituendo, si ottiene:

( )esattamente 2 fra i 3 articoli selezionati siano buoni

4 9 10 4 9 10 4 9 10 4 9 103

12 13 14 12 13 14 12 13 14 12 13 1490

0.49182

P =

= + + = =

= =


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Soluzione alternativa:

( )

( ) ( )

( )

esattamente 2 fra i 3 articoli selezionati siano buoni

4 10 4! 10! 4! 10! 10 94

1! 4 1 ! 2! 10 2 !1 2 2 10 93! 2!8! 214! 14! 14 13 1214 14 13 23! 14 3 ! 3!11! 3 23

900.49

182

P =

= = = = = =

= =

Nota

Indicato con:Fn il numero di eventi favorevoli (pari al numero di modi diversi in cui possibile

formare con i 14 articoli disponibili gruppi da 3 articoli di cui 2 buoni ed 1difettoso),

e conN il numero di eventi possibili (numero di modi diversi in cui possibile formare

con i 14 articoli disponibili gruppi da 3, comunque costituiti)la formula usata si ottiene dividendo Fn perN. importante osservare che i differenti N gruppi di 3 articoli considerati sonoincompatibili ed hanno tutti la stessa probabilit di essere selezionati (tali condizioni

devono essere necessariamente soddisfatte se si vuole calcolare la probabilit comeFn N).

Il numero di eventi favorevoli, Fn ,si ottiene moltiplicando il numero di modi in cui(a prescindere dallordine di estrazione) possibile selezionare 1 articolo difettoso da

un gruppo di 4 articoli difettosi, pari a4

1

(combinazioni di classe 1 di 4 elementi),

per il numero di modi in cui possibile estrarre i rimanenti 2 articoli (buoni) da un

gruppo di 10 articoli (buoni)10

2

:

4 10

1 2Fn

=

.

N (numero di casi possibili) si ottiene considerando indistinguibili gli articoli econteggiando (come prima) il numero, totale, di gruppi di dimensione 3 che

possibile formare con 14 articoli:14

3N

=

.


29/103



3.12Unindagine condotta tra le famiglie italiane che possiedono due automobili ha permesso

di accertare che: nel 70% dei casi lautomobile pi vecchia di fabbricazione italiana. nel 50% dei casi lautomobile pi nuova di fabbricazione italiana. nel 40% dei casi entrambe le automobili sono di fabbricazione italiana.Scelta a caso una famiglia tra quelle che sono state considerate per svolgere lindagine,

si calcolino le seguenti probabilit:P(B|A), P(A|B), ( )P A B e P(AB|almeno unautomobile di fabbricazione italiana).Dove conA si indicato levento {lautomobile pi vecchia di fabbricazione italiana}

e conB levento {lautomobile pi nuova di fabbricazione italiana}.

Soluzione

( )( )

( )0.4

0.570.7

P A BP B A

P A

= = =

( )( )

( )0.4

0.80.5

P A BP A B

P B

= = =

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

1

11 1 0.7 0.5 0.4

1 0.5

0.20.4

0.5

P A BP A B P A BP A B

P B P B P BP A P B P A B

P B

= = = =

+ + = = =

= =

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

almeno un'automobile di fabbricazione italiana

0.4 0.40.5

0.7 0.5 0.4 0.8

P A B

P A B A B P A B

P A B A B P A B P A B

=

= = = =

= = =+

Nota

( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B = con:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B A B A B = = = da questo si deduce che:


30/103



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

A B A B

A B A B A B A B

A B A B A B A B A B A B

A B

A B

=

= = = =

= ==


31/103



3.13In una grande citt, il 70 % dei conducenti dauto ha pi di 25 anni ed il 12% di essi

infranger il codice della strada durante il prossimo mese. I conducenti dauto con al pi25 anni rappresentano il 30% di tutti i conducenti dauto ed il 28% di essi infranger ilcodice della strada durante il prossimo mese.

1. Calcolare la probabilit che un conducente dauto commetta uninfrazionedurante il prossimo mese.

2. Se ci informano che un conducente dauto infranger il codice nel corso delprossimo mese, come valutiamo la probabilit che abbia pi di 25 anni?

Soluzione

Indicati con:I levento il conducente dellauto commette uninfrazione durante il prossimo mese

e conM levento il conducente dellauto ha pi di 25 anni.dal testo si ricavano le seguenti informazioni:

( ) 0.7P M = , ( ) 0.3P M = , ( ) 0.12P I M = , ( ) 0.28P I M = .

Risposta (1)

Dobbiamo calcolare ( )P I , per farlo usiamo il teorema delle probabilit totali:

( ) ( ) ( )

( )( )

0.12 0.7 0.28 0.3 0.168

P I P I M P M P I M P M = + =

= + =

Risposta (2)

Dobbiamo calcolare ( )P M I , per farlo usiamo il teorema di Bayes:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0.12 0.7

0.168

0.840.5

0.168

P I M P M P M I

P I M P M P I M P M

= = =

+

= =

Nota

Gli eventi M e M rappresentano una partizione dello spazio campione (talecondizione deve necessariamente essere verificata sia se si vuole utilizzare il teoremadelle probabilit totali che se si vuole utilizzare il teorema di Bayes).


32/103



3.14LurnaA contiene 7 biglie rosse e 3 biglie nere. Lurna B contiene 10 biglie rosse e 10

biglie nere. Si lancia un dado regolare a 6 facce. Se si ottiene un risultato maggiore ouguale a 2 si estrae una biglia dallurnaA in caso contrario si estrae una biglia dallurnaB.

Calcolare la probabilit di estrarre una biglia nera.

Soluzione

Indicati con:A levento la biglia viene estratta dallurnaAB levento la biglia viene estratta dallurna BN levento la biglia estratta neraUtilizzando il teorema delle probabilit totali (quasi sempre utile quando si devono

trattare esperimenti che, come in questo caso, sono realizzati in pi stadi),si pu scrivere:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P N P N A P A P N B P B= +

con:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

5 1esce un numero 2 , esce 1 ,

6 63 10

, ,10 20

P A P P B P

P N A P N B

= = = =

= =

Utilizzando questi dati si calcola:

( ) 3 5 10 1 1 1 4 1 0.3310 6 20 6 4 12 12 3

P N = + = + = = = .


33/103



3.15Un mazzo di carte napoletane (40 carte) viene ben mescolato e poi diviso in due

mazzetti rispettivamente da 10 carte e 30 carte. Il primo dei 2 viene disposto nellaposizioneA il secondo nella posizioneB.

Dovendo estrarre a caso una carta da uno di questi mazzetti ed avendo come obiettivolestrazione del 10 di denari, da quale dei 2 mazzetti operereste lestrazione?

Si effettui la scelta puntando a massimizzare la probabilit di successo.

Soluzione

Indichiamo con:D levento la carta estratta il dieci di denari.Supponiamo di estrarre la carta dal mazzetto in A. Non sapendo, con certezza, se il dieci

di denari inA o inB, per calcolare ( )P D dobbiamo procedere come segue:

( ) ( )

[ ]

( )

D il 10 in A 10 in A

D il 10 non in A il 10 non in A

D il 10 in A il 10 in A

1 10 110 40 40

P D P P

P P

P P

= + + = = =

= =

dove naturalmente il 10 non in 0P D A = perch non si pu estrarre il 10 dal

mazzetto inA se il 10 non inA.Analogamente, se ipotizziamo di estrarre la carta dal mazzetto inB otteniamo:

( ) ( )

[ ]

( )

il 10 in il 10 in

il 10 non in il 10 non in

il 10 in il 10 in

1 30 130 40 40

P D P D B P B

P D B P B

P D B P B

= + + = = =

= =

Si vede che la probabilit di successo non dipende dalla scelta che dobbiamo effettuare.

Nota

La probabilit ottenuta esattamente pari a quella di pescare il 10 di denari estraendoa caso una carta da un mazzo di 40 carte napoletane!


34/103



3.16Un mazzo di carte napoletane (40 carte) viene ben mescolato e poi diviso in due

mazzetti da 20 carte. Questi mazzetti vengono disposti uno nella posizione A ed uno nellaposizioneB. Dopo aver compiuto tale operazione, da un mazzo di carte francesi (52 carte,anchesse preventivamente ben mescolate) viene estratta a caso una carta. Se la cartaestratta di cuori si procede allestrazione (ancora a caso) di una carta dal mazzetto di 20carte napoletane disposto nella posizione A. In caso contrario si estrae una carta dalmazzetto disposto nella posizioneB.

Calcolare la probabilit che in questa seconda estrazione si ottenga il dieci di denari.

Soluzione

Simbologia

A indica levento la carta viene estratta dal mazzetto inAB indica levento la carta viene estratta dal mazzetto inBD indica levento viene estratto il 10 di denari)Si vuole calcolare ( )P D Utilizzando il teorema delle probabilit totali si pu scrivere:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D P D A P A P D B P B= +

pertanto, dedotto dal testo che:

( ) ( )13

estrarre una carta di cuori 52P A P= = ,

( ) ( ) ( )13 39

1 152 52

P B P A P A= = = = .

Per ricavare il risultato richiesto non resta che calcolare le probabilit condizionate( )P D A e ( )P D B .Analogamente a quanto fatto nellesercizio 3.15 calcoliamo:

( )1 20

20 40P D A = , ( )

1 20

20 40P D B =

quindi, sostituendo, otteniamo:

( )1 13 1 39 1 13 39 140 52 40 52 40 52 52 40

P D = + = + =

:

nota

nella espressione

( )1 20

20 40

P D A =


35/103



120

la probabilit che si verifichi leventoD estraendo daA dato che il 10 di denari

inA, mentre2040

la probabilit che il 10 di denari sia effettivamente inA.


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3.17Le probabilit che due allievi,A eB, vengano bocciati sono pari rispettivamente a 0.35 e

0.7. Si supponga che questi due eventi siano s-indipendenti. Calcolare:1. la probabilit che siaA siaB vengano bocciati;2. la probabilit che almeno uno venga bocciato;3. la probabilit che uno solo venga bocciato;4. la probabilit che un solo allievo venga bocciato, dato che almeno uno viene

bocciato.

Soluzione

Risposta 1

( ) 0.35 0.70 0.24P A B = =

Risposta 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0.35 0.70 0.24 0.80P A B P A P B P A B = + = + =

o, in alternativa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0.35 1 0.701 0.65 0.3 0.80

P A B P A B P A B = = = =

= =

Risposta 3

( ) ( ) ( ) ( ) 0.80 0.24 0.56P A B P A B P A B P A B + = = = o, in alternativa:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0.35 0.3 0.65 0.7 0.56

P A B P A B P A P B P A P B + = + =

= + =

Risposta 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0.56 0.690.8

P A B A B A BP A B A B A B

P A B

P A B A B P A B P A B

P A B P A B

= =

+ = = = =


37/103



4. Variabili aleatorie

4.1 (PARZEN)Siano assegnate le seguenti probabilit:

P(X=0)=0.10, P(X=1)=P(X=-1)=0.15, P(X=2)=P(X=-2)=0.30.(i) Verificare se si tratta di una funzione massa di probabilit ed, eventualmente,

calcolare:(ii) P(X1); (iii) P(X>1); (iv) P(-1


38/103



4.2 (PARZEN)Data la funzione ( ) 2 4F x x= per 0


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4.3Un servizio di vendita per corrispondenza dispone di quattro linee telefoniche. Sia Xil

numero di linee in uso in un dato momento. Supponendo che la pmf dellaX,p(x)=P(X=x), data da:

p(0)=0.1; p(1)=0.15; p(2)=0.3; p(3)=0.25; p(4)=0.2.Calcolare:

1. P(esattamente 2 linee siano in uso);2. P(almeno 2 linee siano in uso);3. P(tra 2 e 4 linee (estremi compresi) siano in uso).4. Trovare e rappresentare graficamente la funzione ripartizione, F(x)=P(Xx).5. Calcolare il valore atteso,E(X), e la varianza, Var(X), della v.a.X.

Soluzione

Risposta 1

( )(esattamente 2 linee siano in uso)= 2 0.3P P X= =

Risposta 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

4

2

(almeno 2 linee siano in uso) 2

2 3 4

0.3 0.25 0.2 0.75

x

P P X P X x

P X P X P X

=

= = = =

= = + = + = =

= + + =

Risposta 3

( ) ( )

( ) ( ) ( )

4

2

(tra 2 e 4 linee siano in uso) 2 4

2 3 4

0.3 0.25 0.2 0.75

x

P P X P X x

P X P X P X

=

= = = =

= = + = + = =

= + + =

Risposta 4

La variabileX una v.a. discreta che ha modalit 0,1,2,3,4.In corrispondenza di tali modalit la sua funzione ripartizione ( )F x assume i valori

riportati in tabella:

x 0 1 2 3 4F(x) 0.1 0.25 0.55 0.80 1

Questi valori possono essere ottenuti sfruttando la formula generale (N.B.X una v.a.discreta):

( ) ( ) ( ): i

i

i x x

F x P X x P X x

= = =

che per nel caso in esame produce le seguenti relazioni:


40/103



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 ,

1 0 1 0 1 ,

2 0 1 2 1 2 ,

3 0 1 2 32 3 ,

F P X

F P X P X F P X

F P X P X P X F P X

F P X P X P X P X F P X

= =

= = + = = + =

= = + = + = = + =

= = + = + = + = == + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 0 1 2 3 4

3 4 ,

F P X P X P X P X P X

F P X

= = + = + = + = + = =

= + =

Infine, ricordando che nel caso di v.a. discrete, la funzione ripartizione una funzione agradini si conclude che ( )F x assume valore 0 nellintervallo( ),0 , aperto a sinistra eaperto a destra, valore 0.1 nellintervallo [ )0,1 , chiuso a sinistra e aperto a destra, valore

0.25 nellintervallo [ )1,2 , valore 0.55 nellintervallo [ )2,3 , valore 0.80 nellintervallo[ )3,4 e valore 1 nellintervallo, [ )4, .

Il grafico della funzione ripartizione pertanto il seguente:

Risposta 5

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

4

0

0 0 1 0 2 2

3 3 4 4

0 0.1 1 0.15 2 0.3 3 0.25 4 0.2

2.3

x

E X x P X x

P X P X P X

P X P X

=

= = =

= = + = + = +

+ = + = =

= + + + + ==

00.20.40.6

0.81

-1 0 1 2 3 4 5

F(x)

x


41/103



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

42 22

0

422

0

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

0 0 1 0 2 2 3 3

4 4 2.3

0 0.1 1 0.15 2 0.3 3 0.25 4 0.2 2.3

1.51

x

x

Var X x E X P X x E X E X

x P X x E X

P X P X P X P X

P X

=

=

= = = =

= = = = = + = + = + = +

+ = =

= + + + + ==


42/103



4.4Una compagnia di assicurazioni offre ai suoi assicurati un certo numero di opzioni

differenti di pagamento del premio. Per un assicurato selezionato a caso, siaXil numero dimesi fra i pagamenti successivi. La cdfdella variabileX definita come segue:

( )

0 1

0.30 1 3

0.40 3 4

0.45 4 6

0.60 6 12

1 12

x

x

xF x

x

x

x


43/103



i ix ( )ip x1 1 0.3

2 3 0.13 4 0.054 6 0.155 12 0.4

Risposta 2

( ) ( )( ) ( )

2 4 4 1(3 6) ( )6 1 0.6 0.3

0.3

P X P x X x F x F x

F F = = =

= = =

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3 4 5

1 2 2

4

1- 1 ( ) 1- (3)

1 0.45

0.55

P X P X x p x p x p x

p x p x F x F

= = + + =

= + = = = = ==

Nota 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

1 2 3 4 51

1ii

p x p x p x p x p x p x=

= + + + + = ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 2

2 1 2 3 4 5 1 2

3 4 5

1

F x p x p x

F x p x p x p x p x p x p x p x

p x p x p x

= +

= + + + + + = = + +

Nota 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

4 1 2 3 41

6

1 3 4 6

i

i

F F x p x p x p x p x p x

p p p p

=

= = = + + + =

= + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 1 21

3

1 3

i

i

F F x p x p x p x

p p

=

= = = + =

= +

p(x)

Grafico della funzione massa di probabilit

00.10.20.30.4

0.50.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x


44/103



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 2

1 1

1 2 3 4

4

3

3 4

6 3

1 3

4 6

4 6

i i

i i

i

i

F F p x p x

p x p x p x p x p p

p p p x

P x X x P X

= =

=

= =

= + + + + =

= + = =

= =

Nota 3

La v.a, X, numero di mesi fra i pagamenti successivi una v.a. discreta, risultapertanto:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 6 4 6 3 12 4 12

6 3

P X P X P X P X

F F

< = = < < = < =

=


45/103



5. Modelli di variabili aleatorie

5.1Le prove desame per entrare in un college americano sono svolte da migliaia di studenti

ogni anno e misurano due indici: SAT ed ACT. Le due variabile punteggio conseguito agliesami sono ben approssimate da v.c. Normali. Negli ultimi anni, per il punteggio SAT stata stimata una media di 480 con una deviazione standard di 100; per il punteggio ACT stata stimata una media di 18 con una deviazione standard di 6.1. Una scuola di economia fissa pari 550 il punteggio SAT minimo per lammissione

dei nuovi studenti. Quale percentuale di studenti avr un punteggio maggiore di 550?2. Quale punteggio minimo deve essere fissato per il test ACT per avere una pari

percentuale di ammessi?3. Qual la probabilit che uno studente ammesso sulla base del test SAT abbia

ottenuto pi di 700?Soluzione

Premessa

Indichiamo conXil punteggio SAT:

( ) ( )2 2, 480,100X XX N N =

con Y il punteggio ACT

( ) ( )

2 2, 18,6Y T

Y N N = :

e conZla v.a. normale standard:

( )0,1Z N

Risposta (I)

( )

( ) ( )

550 550 550 480550

100

0.7 1 0.7 1 0.758

0.242

x x x

x x x

Z

XP X P P Z P Z

P Z F

> = > = > = > =

= > = = =

=

Si pu prevedere una percentuale di promossi pari al 24.5%.


46/103



Risposta (II)

Vogliamo individuare il valore di y tale che:

( ) ( )0.242 1 0.242 0.758P Y y P Y y> = = =

Quello che cerchiamo quindi il percentile di ordine 75.8 della v.a. Y.

Partendo dalla relazione:

( )

( )

0.7580.758

0.7580.758

0.758 Y YY Y

Y

Y

Y yP Y y P

yP Z P Z z

= = =

= =

si deduce che vale la seguente equazione:

0.758 0.758 0.758 0.758Y

Y Y

Y

y z y z = = +

che note:

0.758 0.7, 18, 6Y Yz = = =

Permette di calcolare:

0.758 18 0.7 6 22.2y = + =

Risposta (III)

IL testo richiede che si calcoli la seguente probabilit condizionata:( )700 550P X X> >

Effettuando i passaggi si ottiene:

( )( )

( )( )( )

700 550 700700 550

550 550

P X X P X P X X

P X P X

> > >> > = =

> >

Da cui essendo:

( )

( )

700 700700

700 700 4801 1 1 2.2

100

0.014

X X X

X X X

XZ Z Z

X

XP X P P Z

F F F

> = > = > =

= = = =

=

e

( )550 0.242P X > = (risposta I)

Si ottiene:

( ) ( )( )700 0.014700 550 0.057550 0.242

P XP X XP X

>> > = = =>


47/103



Nota

DettoA levento { }700X> eB levento { }550X > si ha:A implicaBA B A B A = :

AB

S


48/103



5.2Si valuti la probabilit di fare 13 al totocalcio giocando una sola colonna,Si valuti:i) la probabilit di fare (esattamente) 12 punti.ii) la probabilit di fare almeno 12 punti.

Soluzione

Premessa

Ipotizzeremo che i segni nella colonna vengano scelti:1. in maniera casuale2. indipendentemente dai pronostici effettuati per le altre partite presenti in schedina.Ne consegue che la probabilit di indovinare il risultato della generica partita presente in

schedina pari ad 13 (ipotesi 1).

In relazione alla i-esima partita possiamo pertanto definire la v.a. Bernoulliana1

1,3i

X B

che assume valore 1 nel caso di pronostico corretto e valore 0 nel caso di

pronostico errato.

In altri termini la v.a. iX tale che ( )1

13i

P X = = , ( )1 2

0 13 3i

P X = = = (qualunque sia

i=1,2,,13, ovveroper ognuna delle 13 partite).

Possiamo definire inoltre la v.a.13

1i

i

Y X=

= che stante le ipotesi 1 e 2 risulta essere lasomma di v.a. bernoulliane indipendenti ed identicamente distribuite (le bernoullianehanno lo stesso parametro).

Si deduce pertanto che1

13,3

Y B

.

Si osservi che per come sono state definite le iX la v.a. Y conta i punti fatti nellacolonna (numero di pronostici esatti)

Nota 1

( ) ( )1n yy

nP Y y p p

y

= =

Risposta (i)

( )( )

12 13 12 12

13

13 1 1 13! 1 2 212 1 13

12 3 3 12! 13 12 ! 3 3 3P Y

= = = =


49/103



Risposta (ii)

Levento fare almeno 12 punti si verifica se si fanno 12 o 13 punti. Si tratta pertanto dicalcolare:

( ) ( ) ( ) ( )

1313

12

12 13 12 13

13 1 113 3

y y

y

P Y Y P Y P Y

y

=

= = = = + = =

=

ci premesso, essendo

( )13 13 13

13

13 1 1 113 1

13 3 3 3P Y

= = = ,

vista anche la risposta i, si ricava che:

( ) ( ) 13 13 132 1 27

12 13 133 3 3

P Y Y= = = + =

Nota 2

In virt della incompatibilit degli eventi ( ) ( )12 e 13Y Y= = si ha:

( ) ( ) ( ) ( )12 13 12 13P Y Y P Y P Y = = = = + = .

La incompatibilit ( ) ( )12 13Y Y= = = si pu diagnosticare osservando checon una singola colonna non possibile che risultino contemporaneamente veri idue eventi {si sono fatti esattamente 12 punti}e {si sono fatti esattamente 13 punti}.


50/103



5.3Tra tutti coloro che bevono il caff prima di andare a letto, il 30% non riesce a dormire

nella notte. Quindici persone sono scelte a caso e sono costrette a bere caff.1. Qual la probabilit che almeno undici di loro riescano a dormire tutta la notte?2. Qual la probabilit che fra tre e sette di loro (estremi inclusi) riescano a dormire

tutta la notte?3. Qual la probabilit che nessuno di loro riesca a dormire tutta la notte?4. Quanti prevedete che dormiranno tutta la notte? Qual la varianza del loro numero?

Soluzione

Premessa

Sotto ipotesi non eccessivamente restrittive (si veda la nota), si pu assumere che la v.a.,X, che conta il numero di persone (tra le 15 selezionate) che riesce a dormire nella notte si

distribuisce come una Binomiale, ( ),X B n p , di parametri n=15,p=0.7:

( ) ( ) ( )1515

1 0.7 1 0.7n x xx x

nP X x p p

x x

= = =

Risposta 1

( ) ( )15

15

11

1511 0.7 1 0.7 0.51

xx

x

P Xx

=

= =

Risposta 2

( ) ( )7 15

3

153 7 0.7 1 0.7 0.05xx

x

P Xx

=

= =

Risposta 3

( ) ( )15 00 7150 0.7 1 0.7 0.5 10

0P X

= = =

Risposta 4

Noto che per una v.a. binomiale valgono i seguenti risultati:

( ) ( )0

1n

n xx

x

nE X x p p n px

= = =

( ) ( ) ( ) ( )2

0

1 1n

n xx

x

nVar X x E X p p n p p

x

=

= =

posto n=15 ep=0.7 si ricava:( ) 15 0.7 10.5E X n p= = =

( ) ( )1 15 0.7 0.3 3.15Var X n p p= = =


51/103



Nota

Ad ognuna delle 15 persone selezionate si pu associare una v.a., ( ), 1, 2,...,15iY i = ,che assume valore 1 se lindividuo in questione riesce a dormire nella notte evalore 0 in caso contrario. Poich le 15 persone considerate sono scelte a caso da una

popolazione in cui vi una percentuale pari al 70% di individui che riesce a dormirenella notte (N.B. il testo dice che il 30% non riesce), le iY possono essere

considerate v.a. bernoulliane ( )1,B p di uguale parametro,p=0.7.Supposto inoltre che i 15 individui siano stati estratti da una popolazione didimensione estremamente grande (rispetto alla dimensione del campione, n=15) le iYpossono essere considerate anche (approssimativamente) s-indipendenti.Ne risulta che:

15

0i

i

X Y=

= ,In quanto somma di v.a. bernoulliane indipendenti ed identicamente distribuite, unabinomlale ( ),B n p di parametri n=15 ep=0.7.


52/103



5.4Tra i viaggiatori che passano attraverso un rivelatore di metallo dell'aeroporto una

percentuale pari a 0.1% lo attiva, facendo suonare lallarme. DettoXil numero di personeche attivano il rivelatore in un gruppo di 500 selezionate a caso:

1. qual una buona approssimazione della pmf della variabileX?2. calcolare P(X=2) (in maniera approssimata).3. calcolare P(X2) (in maniera approssimata).

Soluzione

Risposta 1

La variabile aleatoria X, sotto ipotesi non eccessivamente restrittive (si veda lesercizioprecedente), pu essere considerata distribuirsi come una Binomiale, ( ),X B n p , di

parametri n=500,p=0.001:

( ) ( ) ( )500500

1 0.001 1 0.001n x xx x

nP X x p p

x x

= = =

.

Una buona approssimazione di tale v.a. pern grande ep piccolo si ottiene considerandola seguente v.a. di Poisson, ( )X P n p :

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

500 0.001exp exp 500 0.001

! !

0.5 exp 0.5 .!

x x

x

n pP X x n p

x x

x

= = = =

=

Risposta 2

( )( )

( )2

0.52 exp 0.5 0.076.

2!P X = = =

Risposta 3

( )

( )

( )

( )

( )

1

2 0

0.5 0.52 exp 0.5 1 exp 0.5 0.910.

! !

x x

x x

P Xx x

= =

= = =


53/103



5.5Un dispositivo riparabile e "continuamente" sorvegliato caratterizzato da una

frequenza di guasto media pari a 0.001 guasti/ora.Si valuti la probabilit di dover effettuare 2 riparazioni in 10 ore di funzionamento

effettivo.

Soluzione

Indicati conXi guasti registrarti in 10 orePossiamo calcolare:

( )( ) ( )

2 20.00110 0.01

5

0.001 10 0.012 e e e

! 2! 24.9 10

x

ttP X

x

= = = = =

=


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5.6Un dispositivo riparabile sorvegliato periodicamente (un controllo ogni 2 ore)

caratterizzato da una frequenza di guasto media pari a 0.001 guasti/ora.i) Si valuti la probabilit di dover effettuare y=2 riparazioni in 10 ore di

funzionamento effettivo.ii) Si valuti la probabilit di dover effettuare un numero y di riparazioni comprese tra 2

e 4 riparazioni (estremi inclusi: 2 4Y ) in 6 ore di funzionamento effettivo.

Soluzione

Premessa

Se il dispositivo sorvegliato periodicamente (un controllo ogni due ore) in ogni singolointervallo di due ore si pu registrare al pi un guasto. Infatti leventuale guasto sarebbe

rilevato solo in occasione della operazione periodica di controllo.Risposta (i)

Indicati con iX i guasti registrarti nella i-esima missione di 2 ore (i=1,2,..,5)Possiamo calcolare:

( )( )

0

0.001 2 0.0020 e e e0!

0.998

t

i

tP X

= = = = =

=

( ) ( )1 1 0

1 0.998 0.002

i iP X P X = = = =

= =

La singolaiX quindi una v.a. Bernoulliana di parametrop=0.002.

Assunta lindipendenza delleiX si deduce che la variabile che conta i guasti:

5

1i

i

Y X=

= Binomiale di parametri 5 e 0.002n p= = :

( )5,0.002Y B .con:

( ) ( )55

0.002 1 0.002yy

P Y y y

= = .Si pu pertanto calcolare:

( ) ( )( )

5 22 2 3

5

5 5!2 0.002 1 0.002 0.002 0.998

2 2! 5 2 !

3.976 10

P Y

= = = =

=

Risposta (ii)

In questo caso gli intervalli sono solo 3 (6 ore divise in 3 intervalli da 2).

La variabile Y che conta i guasti sar pertanto ancora Binomiale di parametri3 e 0.002n p= = .


55/103



( )3,0.002Y B .Con:

( ) ( )33

0.002 1 0.002yy

P Y yy

= =

.

Vogliamo calcolare la probabilit:( ) ( ) ( ) ( )

( )4

2

2 4 2 3 4

y

P Y P Y P Y P Y

P Y y=

= = + = + = =

= =

Ma per la nostra Binomiale risulta ( )4 0P X= = (non pi di un guasto per intervallo non pi di 3 guasti in 3 intervalli).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

3

2

3 33 3

2 2

3 2 3 32 3

2 3 5 9 5

2 4 2 3 2 3

3 31 0.002 1 0.998

3! 3!0.002 1 0.002 0.002 1 0.002

2! 3 2 ! 3! 3 3 !

3 0.002 0.998 0.002 1.1976 10 8.0000 10 1.1984 10

y

y yy y

y y

P Y P Y Y P Y P Y y

p py y

=

= =

= = = + = = = =

= = =

= + =

= + = + =


56/103



5.7Il direttore di un ristorante specializzato in piatti di pesce vuole determinare quante

aragoste vive deve aver a disposizione ogni giorno per soddisfare le richieste della propriaclientela. Assumendo che il numero, X, di aragoste richieste sia una v.a. di Poisson esapendo che i clienti ordinano in media sette aragoste al giorno determinare:

1. la probabilit che avendo a disposizione nove aragoste il ristoratore non riesca afar fronte alle richieste della giornata,

2. il numero (minimo) di aragoste che il ristoratore deve avere a disposizione ognigiorno per garantirsi una probabilit pari almeno a 0.95 di soddisfare tutte lerichieste

Soluzione

Risposta 1Bisogna calcolare la probabilit che il numero,X, di aragoste richieste sia superiore a 9:

( ) ( ) ( )9

10 0

9 1x x

P X P X x P X x

= =

> = = = = con:

( ) ( )exp!

x

P X xx

= = e ( ) 7E X= = .

Sostituendo si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

9 9

10 0 0

0 1 9

79 exp 1 exp 1 exp 7! ! !

7 7 71 exp 7 exp 7 ... exp 7

0! 1! 9!

1 0.0009 0.0064 ... 0.1015 1 0.830

0.170

x x x

x x x

P Xx x x

= = =

> = = = =

= + + + =

= + + + = ==

Risposta 2

Vogliamo determinate il pi piccolo valore di x (indichiamolo con x ) che soddisfa larelazione:( ) 0.95P X x (il valore cercato costituisce, per definizione, il 95-esimo percentile,

0.95x , della v.a.X).La ricerca viene fatta per tentativi.Osservato che calcolando la probabilit ( )P X x con x=9,10,11 e 12, rispettivamente,

risulta:

( ) ( ) ( )9

0

79 9 exp 7

!0.830 0.95

x

X

x

P X Fx=

= = =

= <


57/103



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1010 9

0 0

7 7 710 10 exp 7 exp 7 exp 7

! ! 10!

0.830 0.071 0.901 0.95

x x

X

x x

P X Fx x= =

= = = + =

= + =

si evince che il valore cercato, x ( )0.95x , pari a 12.


58/103



5.8Riprendendo lesempio precedente supponiamo che il direttore intendesse utilizzare

ununica vasca per far fronte alle esigenze di due ristoranti. Assumendo che X ed Y,numero di aragoste richieste in un giorno rispettivamente nel primo e nel secondoristorante, siano v.a. di Poisson s-indipendenti e sapendo che nel primo ristorante i clientiordinano in media sette aragoste al giorno mentre nel secondo ne ordinano in media 5determinare la probabilit che avendo a disposizione 15 aragoste il ristoratore non riesca afar fronte alle richieste della giornata.

Soluzione

Bisogna calcolare la probabilit che il numero, Z=X+Y, di aragoste complessivamenterichieste in una giornata sia superiore a 15.

La variabileZcome somma di v.a. Poisson s-indipendenti ancora una v.a. di Poisson di

media pari alla somma delle medie diXe Y. Possiamo pertanto scrivere:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )7 5 12

! !

7 5 12! !

z z

E X E YE Z

z z

E Z E X E YP Z z e e

z z

e ez z

+

+

+ = = = =

+= =

e quindi calcolare:

( ) ( ) ( ) ( )15 15

16 0 0

1215 exp 1 exp 1 exp 12

! ! !1 0.844

0.156.

z z z

x z x

P Zz z z

= = =

> = = = =

= ==

Nota

Se in entrambi i ristoranti il numero medio di aragoste richieste fosse stato pari a 7mettendo da parte 9+9=18 aragoste si sarebbe ottenuto:

( )( ) ( )7 7 147 7 14

! !

z z

P Z z e e

z z

+ += = = ,

( )18

14

0

1418 1 1 0.883 0.117

!

z

P Z ez

> = = = .Da tale risultato si evince che lutilizzo di un magazzino centralizzato (a menodegli ovvi costi/problemi logistici) offre rilevanti vantaggi.Infatti, sempre nellipotesi di s-indipendenza delle v.a. X ed Y, la probabilit diriuscire a soddisfare tutte le richieste nel caso in cui le scorte siano gestiteseparatamente (9 aragoste nel primo ristorante e 9 nel secondo, per un totale di 18aragoste), risulta pari a:


59/103



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

9 9

0 0

2

9 9

7 79 9 exp 7 exp 7

! !

0.830 0.689

x y

x y

P X Y

P X P Y x y= =

=

= =

= =

laddove la probabilit di soddisfare tutte le richieste (con le stesse 18 aragoste) nelcaso di magazzino centralizzato pari a:

( ) ( )18 1 18 1 0.117 0.883P Z P Z = > = = .


60/103



5.9Il servizio assistenza clienti di una grande azienda evade le richieste di intervento in un

tempo, T, che si distribuisce come una variabile aleatoria esponenziale di media 5h:

( ) 51 0.t

TF t e t

= > Avendo appena inoltrato una richiesta di intervento siamo interessati a calcolare:1. la probabilit che la nostra richiesta venga evasa nelle prossime 3 ore?2. la probabilit che la nostra richiesta venga evasa nelle prossime in un tempo

compreso tra 3 e 5 ore.3. Verificare infine che la media di T pari a 5 e calcolare la sua varianza

Soluzione

Risposta (1)

( ) ( )3

3 3 1 exp 0.455

P T F < = = =

Risposta (2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 3

3 0 03 5 5 3

5 31 exp 1 exp 0.63 0.45

5 5

0.18

T T T T T P T f t dt f t dt f t dt F F < = = = =

= = = =

Media e varianza di T

( ) ( ) 50 0

15

t

TE T t f t dt t e dt

= =

con ( )( ) 51

5

t

T

T

dF tf t e

dt

= =

Calcolando lintegrale per parti si ottiene:

( )

( )

5 5 5 5 5

0 0 00 0

15 55

5 0 1 5

t t t t t

E T t e e dt e dt e dt e = + = = = =

= + =


61/103



( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

2 2 5

0 0

2 2 5

0

2 25 5 5

0 0 0

2 25 5 5

0 0 0

2 25

0

2 5

1ar 5

5

12 5 5

5

1 1 12 5 55 5 5

1 1 12 5 5

5 5 5

12 5 5 1

5

1

5

t

T

t

t t t

t t t

t

t

V T t E T f t dt t e dt

t t e dt

t e dt t e dt e dt

t e dt t e dt e dt

t e dt E T

t e d

= = =

= =

= + =

= + =

= + =

=

2 2

0

2 25

0

2 5 5

15

5

t

t

t e dt

+ =

=

Integrando per parti si ottiene:

( )

2 25 5 5 5

0 0 00

2

2 2

2 5 2 5 .

t t t t

t e dt t e t e dt t e dt

E T

= + = =

= =

Da cui sostituendo si ricava:

( ) 2 2 2 250

2

1ar 5 2 5 5

55 25.

t

V T t e dt

= = =

= =

Nota 1

In generale per una v.a. esponenziale vale la relazione:

( ) ( )2

Var T E T =

Nota 2

Per calcolare la varianza si poteva anche usare direttamente la relazione:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

22 2

0 0

2

2 2 25 5

0 0

1 12 5 5 25

5 5

T T

t t

Var T E T E T t f t dt t f t dt

t e dt t e dt

= = =

= = =


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6. Stima puntuale

6.1Una prova di tenuta effettuata su 915 radiatori d'auto selezionati casualmente da una

certa popolazione ha evidenziato la presenza di perdite di liquido refrigerante attraverso leguarnizioni in 127 casi.

i) Effettuare una stimapuntuale della proporzione, p, di radiatori che presentano lostesso difetto nell'intera popolazione.

ii) Valutare il livello d'incertezza associato a detta stima.iii) Richiamare le eventuali ipotesi su cui basato il calcolo.

Soluzione:

Risposta (i)

Metodo dei momenti

Strategia 1

Possiamo pensare ai risultati dellesperimento come ad un campione bernoulliano didimensione n=915. In questo caso indicata con iX la v.c. Bernoulliana: ( )~ 1,iX B p cheassume (per li-esimo radiatore) valore 1 quando li-esimo radiatore perde e valore 0quando non perde.Risultando: ( ) , 1,2,...,915iE X p i= =

possiamo scrivere:

) ) )1 11 1

1 1 1 ; 2 ; 3 .n n

i i

i i

p x x p x xn n

= =

= = = = = si ricava pertanto:

915

1 1 127 0.139915 915

n

i i

i i

x x

pn

= == = = =

.

Strategia 2

Possiamo pensare ai risultati dellesperimento come ad un campione casuale di

dimensione k=1 estratto da una v.a. Binomiale (per ottenere il valore della v.a. Binomiale


63/103



contiamo il numero di radiatori che perdono su 915 totali controllati). In questo casoindicata con Yla v.c. Binomiale:

( ) ( )~ , 915,Y B n p B p= risultando:

( ) 915E Y n p p= = possiamo scrivere:

) ) )1 11 1

1 1 1 ; 2 ; 3 .

k k

i i

i i

n p y y n p y yk k

= =

= = = = = si ricava pertanto:

1

1 1

1 1 127 127 127 127 0.139

1 1 915

k

i i

i i

n p y y pk n= =

= = = = = = = .Risultato che (come deve essere) coincide con quello ottenuto utilizzando la strategia 1

Nota915

1i

i

Y X=

=

Metodo della massima verosimiglianza

Strategia 1

Campione Bernoulliano:

Ricordando che ( )1,iX B p una particolare Binomiale ( ),B m p con m=1.Ricaviamo la espressione della funzione massa di probabilit della Bernoulliana

partendo dalla formula della Binomiale:

( ) ( )1

1111 1m

m x xmm

p p p px x

=

.

Espressione da cui osservato che le ix possono assumere solo i valori 1 e 0 (le ix sono

Bernoulliane) e che1 1

10 1

= =

si ottiene:

( ) ( )1

1xx

iP X x p p= = .

Utilizzando tale espressione della funzione massa di probabilit delle iX ricaviamo:

( ) ( ) ( )1 11

1

; 1 1

nn

iii

i

n xx n xx

i

L p p p p p= =

=

= = x ,ovvero:

( ) ( ) ( )1 1

; ln ln 1n n

i i

i i

l p x p n x p= =

= +

x ,

da cui derivando rispetto ap si ottiene:


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( )1 1

;

1

n n

i i

i i

x n xdl l p

dp p p

= =

=

x,

uguagliando a zero e risolvendo rispetto ap si ottiene lo stimatore cercato:

( )

( )

( )1 11 1

10

1 1

k kn n

i ii ii ii i

p x p n xx n x

p p p p

= == = = =

( )1 1

1 0k k

i i

i i

p x p n x= =

=

1 1 1 1

0 0k k k k i i i ii i i i

x p x np p x x np= = = =

+ = =

1 127 0.139915

n

i

i

x

pn

== = =

Strategia 2

Campione Binomiale:

Y una v.a. Binomiale ( ),B n p con n=915.La funzione massa di probabilit di Y la seguente:

( )1n yy

np p

y

.

Ricaviamo pertanto:

( ) ( )1

; 1 iik

n yy

y

L p p p

=

= y ,che essendo k=1 si riduce a:

( ) ( ) ( )111

; 1 1n y n yy yn nL p p p p py y

= =

y

ovvero

( ) ( ) ( ) ( ); ln ln ln 1n

l p y p n y py

= +

x ,

da cui derivando rispetto ap si ottiene:( );

1

dl l p y n y

dp p p

=

y,

espressione che posta uguale a zero e risolta rispetto ap fornisce lo stimatore cercato:

Supposto 0p e ( )1 0p


65/103



( )( ) [ ]

( )

10

1 1

p y p n yy n y

p p p p

= =

che supposto 0p e 1 0p permette di scrivere:( ) [ ] 1 0p y p n y =

0 0y p y n p p y y n p + = = 127

0.139915

yp

n= = = .

Che ovviamente coincide con il risultato ottenuto utilizzando la strategia 1.

Nota

Gli stimatori e le stime fornite dal metodo dei momenti (come spesso capita)coincidono con quelle fornite dal metodi della massima verosimiglianza.

Risposta (ii)Lincertezza di stima pu essere valutata calcolando lerrore quadratico medio dellostimatore.

Lo stimatore ottenuto uno stimatori corretto ( )E P p = pertanto lerrore quadraticomedio coincide con la sua varianza:

( )( )1 p pVar P

n

=

Una stima della varianza dello stimatore si pu ottenere sostituendo la stima p ottenuta

al valore incognitop.

( )( ) 4

127 1271

1 915 915 1.31 10915

p pVar P

n

= = =

Risposta (iii)

Nel fare i calcoli si supposto:1) ( )~ 1,iX B p 1,2,...,915i = 2) le iX sono s-indipendenti (la loro funzione massa di probabilit congiunta pari al

prodotto delle marginali).


66/103



6.2 (ERTO)Per ognuno dei k=200 giorni di monitoraggio ambientale sono stati selezionati

(casualmente) e sottoposti ad analisi n=10 provini di aria.I risultati ottenuti sono riportati nella seguente tabella:

Numero di provini inquinati sudieci (xi)

0 1 2 3 4 totale

Frequenze osservate (ki) 133 52 12 3 0 200

Assunto che il numero di provini inquinati su n=10 ha una distribuzione Binomiale diparametrop, si formuli la stima tale parametro utilizzando:(i) Il metodo dei momenti;(ii) Il metodo della massima verosimiglianza.

Soluzione

Risposta (i)

DettaXla v.c. Binomiale: ( )~ ,X B n p risulta: ( ) 10E X n p p= = .Calcolata:

200 3

1 1 0

1 1 1200 200

0 133 1 52 2 12 3 3 85

0.425200 200

k

i i i

i i i

x x x i kk = = =

= = = =

+ + +

= = =

e posto:0.425 10x p n p= = =

si ricava:0.425

0.042510

xp

n= = = (N.B.

XP

n= )

Risposta (ii)

( ) ( ) ( )1 1 1

k kn xx

ii i

n

L p P X x p px

= =

= = = ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

ln ln 1

ln ln ln 1

ii

kn xx

i i

k

i i

i i

nl p L p p p

x

nx p n x p

x

=

=

= = =

= + +

da cui derivando rispetto ap si ottiene:( )

1 1

ki i

i

dl p x n x

dp p p=

= espressione che posta uguale a zero e risolta rispetto ap fornisce lo stimatore cercato:


67/103



( ) ( )

( ) ( )

1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

1

1

0 1

1 1

1

0

ki i

i

k k k k

i i i i

i i i i

k k

i i

i i

k k k

i i i

i i i

k

i

i

k

i

i

x n x

p p

x n x x n x

p p p p

p x p n x

x p x p n k p x

x p n k

xx

pn k n

=

= = = =

= =

= = =

=

=

=

= =

= =

= + =

= =

= =

si ottiene pertanto:

1 0.42510

k

i

i

xx

pn k n

== = =

(N.B.

XP

n= )

Nota

si vede che nel caso in esame gli stimatori ottenuti ai punti (i) e (ii) coincidono.


68/103



6.3I giovani cetacei appartenenti ad una certa colonia sono colpiti da una malattia cronica.

Tenendo sotto controllo un campione di 4 esemplari ammalati alcuni ricercatori registranola loro morte nei seguenti giorni, conteggiati a partire dal giorno in cui la malattia si eramanifestata:

10, 30, 40 58.ipotizzato che la v.c., T, tempo intercorrente tra il manifestarsi della malattia e la morte

del generico cetaceo si distribuisca esponenzialmente:(i) ricavare una stima del tempo medio intercorrente tra listante in cui i cetacei

manifestano la malattia e la loro successiva morte;(ii) stimare la probabilit che per un generico cetaceo ammalato risulti T>50.

Soluzione

Premessa{ }1 2, , , nx x x= x .

( )1

expXx

f x

=

( )E X= .

Risposta (i)

Metodo dei momenti:

) ( ){ 1 11 g = = ; ) 11

2n

i

i

x n=

=

;

)4

1 1

3 4 34.5n

i i

i i

x n x= =

= = =

Massima verosimiglianza:

( ) ( ) 11 1

1 1; ; exp exp

nn n

ii ii n

i i

xxL f x

=

= =

= = =

x

( ) ( ) ( ) 1; ln ; lnn

iix

l L n

== = x x la stima si ottiene risolvendo rispetto a si ottiene:

( ) 12

;n

iixl n

= = +

x da cui uguagliando a zero si ricava lequazione:

12

0

n

iixn

= + = che (ipotizzato 0 )


69/103



si pu riscrivere come:

1 0

n

iix

n

= + = .Da tale equazione si ottiene la stima:

1n

ii x

n == .

Nel fare i calcoli si supposto che fosse diversa da zero, pertanto una eventualesoluzione 0 = dovr essere considerata non accettabile).

Si osservi che anche in questo caso metodo dei momenti e massima verosimiglianzaforniscono la medesima soluzione.

Risposta(ii)

Osservato che:

( ) ( ) 50 5050 1 50 1 1 exp expTP T F

> = = =

il problema richiede che venga effettuata una stima di tale probabilit.Una soluzione al problema si pu facilmente ottenere ponendo:

( )50 50 50 exp exp 0.235 34.5

P T

> = = =


70/103



6.4 stato sottoposto a controllo un campione di 10 individui appartenenti ad una certa

comunit che lavora in un ambiente a rischio.Lesame dei rispettivi livelli di azotemia (X) ha rilevato i seguenti valori:

41, 23, 39, 48, 21, 28, 20, 24, 40, 46.Noto che la v.c.X~N(,2), si effettui la stima di , 2 e utilizzando:

(i) il metodo dei momenti;(ii) il metodo della massima verosimiglianza.

Soluzione

Risposta (i) Metodo dei momenti

DettaXla v.c. Normale: ( )2~ ,X N risulta:

( )

( )

1

2 2 2 2 2 22 1 2 1

,E X

Var X

= == = = + = +

si pu pertanto scrivere:

)( )

( )1 1

22 1

,1

,

g

g

= = = = +

; )1

1

22

1

2

n

i

i

n

i

i

x n

x n

=

=

=

=

;

) ( )1

1 2

22 2 2 1

2 211

3

nn

ii i n

in

in

iii i

i

x n x xx n

x xx

x nx n

n

==

==

=

= = == + = = =

Sostituendo i dati si ottengono le stime:10

1 1

10 33n

i i

i i

x x n x= =

= = = =

( ) ( )102 2

2 1 1 106.210

n

i i

i i

x x x x

n = =

= = =

Risposta (ii) Metodo della massima verosimiglianza

{ }1 2, ,....., nx x x x=

( )2

1 1exp

22X

xf x

=


71/103



( ) ( )2

1 1

2

1

1 1, ; exp

22

1 1exp

22

n n

iX i

i i

n ni

i

xL f x

x

= =

=

= = =

=

x

( ) ( ) ( )2

1

1, ; ln , ; ln 2 ln

2

ni

i

xl L n n

=

= =

x x .Derivando rispetto ai parametri da stimare si ha:

( )( )

12

1

2 1, ;

2

n

ini i

i

xx

l

=

=

= =

x

( ) ( ) ( )

2 2

3 31 1

1 2 1 1

, ; 2

n n

i ii i

n

l n x x = =

= = + x Uguagliando a zero le espressioni ottenute e mettendo a sistema si ottiene (quando siuguaglia a zero si introducono i per indicare che le soluzioni del sistema sono le stimericercate):

( )1

2

0

n

i

i

x

=

=

( )2

31

1 0

n

i

i

nx

= + =

da cui supposto 0 si pu scrivere:

( )1

0n

i

i

x =

=

( )2

21

1 0

n

i

i

n x =

+ = .Risolvendo la prima si ricava:

( )1 1

0n n

i i

i i

x x n = =

= =

.

Sostituendo nella seconda si ricava:

( ) ( )2 22

21 1

1 1 0

n n

i i

i i

n x x xn

= =

+ = = Si vede che gli stimatori, e quindi le stime ottenute, coincidono con quelli fornite dal

metodo dei momenti.


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Nota 1

( )( )

2

2 2 2 21

1 1 1 1

2 2

1 1

2 2

1

1 1 1 12 2

1 12

1

n

i n n n n

ii i i i

i i i i

n n

i i

i i

n

i

i

x x

x x x x x x x xn n n n n

nx x x xn n n

x xn

=

= = = =

= =

=

= + = + =

= + =

=

Nota 2

Sia il metodo dei momenti che quello della massima verosimiglianza forniscono per2 lo stimatore non corretto:

( )2

2 1

n

i

i

X X

n =

= .

Per ottenere lo stimatore corretto bisogna moltiplicare( )

2

2 1

n

i

i

X X

n =

=

per il

fattore di correzione1

n

n :

( ) ( )2 2

2 2 1 11 1 1

n n

i i

i iX X X Xn n

Sn n n n

= = = = =

.


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6.58 esemp

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