Esercizio 1 Fisica Generale B - CORE · 2014. 1. 23. · Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica! Esercizio 6 •!Sia dato un diottro sferico aria-vetro con

3. Esercizi di Ottica

Fisica Generale B

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May 7, 2011

Esercizio 1

•! La fiamma di un fornello, continuamente e regolarmente rifornita di sale da cucina, costituisce una sorgente estesa di luce gialla.

•! Si trova che tale luce gialla è composta di due onde monocromatiche (dette righe D1 e D2 del sodio) di frequenza pari a 5.085!1014 s"1 e 5.090!1014 s"1.

•! Determinare per tali onde monocromatiche: –! La frequenza angolare;

–! Il periodo;

–! La lunghezza d’onda nel vetro (n = 1.5);

–! La lunghezza d’onda ridotta;

–! Il numero d’onda nel vetro (n = 1.5);

–! Il numero d’onda nel vuoto;

–! Il numero d’onda spettroscopico.

2!Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica!

Esercizio 1 (II)

•! Frequenza angolare:

•! Periodo:

!1 = 2"#1 = 6.283$ 5.085$1014 s%1 = 3.195$1015 s%1

!2 = 2"#2 = 6.283$ 5.090 $1014 s%1 = 3.198$1015 s%1

T1 =1!1

= 15.085"1014 s#1

= 1.967 "10#15 s = 1.967 fs

T2 =1!2

= 15.090 "1014 s#1

= 1.965"10#15 s = 1.965 fs


Esercizio 1 (III)

•! Lunghezza d’onda nel vetro (n = 1.5):

•! Lunghezza d’onda ridotta:

!1 =v"1

= cn"1

= 2.998#108

1.5# 5.085#1014m = 3.930 #10$7 m = 393.0 nm

!2 =v"2

= cn"2

= 2.998#108

1.5# 5.090 #1014m = 3.927 #10$7 m = 392.7 nm


!01 =c"1

= 2.998#108

5.085#1014m = 5.896 #10$7 m = 589.6 nm

!02 =c"2

= 2.998#108

5.090 #1014m = 5.890 #10$7 m = 589.0 nm

Esercizio 1 (IV)

•! Numero d’onda nel vetro (n = 1.5):

•! Numero d’onda nel vuoto:

k1 =2!"1

= 2!n#1c

= 6.2831.5$ 5.085$1014

2.998$108m%1 = 1.598$107 m%1

k2 =2!"2

= 2!n#2c

= 6.2831.5$ 5.090 $1014

2.998$108m%1 = 1.600 $107 m%1

k01 =2!"01

= 2!#1c= 6.2835.085$10

14

2.998$108m%1 = 1.066 $107 m%1

k02 =2!"02

= 2!#2c= 6.2835.090 $10

14

2.998$108m%1 = 1.067 $107 m%1


Esercizio 1 (V)

•! Numero d’onda spettroscopico:

!1 =1"01

=#1c= 5.085$10

14

2.998$108m%1 = 1.696 $106 m%1

! 2 =1"02

=#2c= 5.090 $10

14

2.998$108m%1 = 1.698$106 m%1


Esercizio 2

•! Facendo incidere un raggio di luce in un recipiente cilindrico pieno d’acqua (n = 4/3) e il cui fondo è formato da un emisfero di plexiglas, si nota che, se il raggio passa per il centro O e forma un angolo di 37° con la verticale in corrispondenza della superficie dell’acqua, si ha una riflessione all’angolo critico per il passaggio acqua-aria.

•! Determinare l’indice di rifrazione del plexiglas.

•! Se si toglie l’acqua dal recipiente, la luce attraversa o no la superficie di separazione plexiglas-aria?


Esercizio 2 (II)

•! L’angolo critico per il passaggio acqua-aria è dato da:

dunque:

•! Considerando la legge di Snell per la rifrazione plexiglas-acqua:

!c acqua " aria( ) = arcsin

n2

n1

= arcsinnaria

nacqua

= arcsin1

4 3= arcsin

34= 48.6°

!t = !c acqua " aria( ) = 48.6°

sin!isin!t

=nacquanplexiglas

" sin37°sin48.6°

= 4 3nplexiglas

" sin37°3 / 4

= 4 3nplexiglas

nplexiglas =4 3# 3 4sin37°

= 1sin37°

= 10.602

= 1.66


!"#$%&"'(

')*+',

'-%',

θi

Esercizio 2 (III)

•! Tolta l’acqua, l’angolo critico per il passaggio plexiglas-aria è dato da:

•! Poiché il raggio incide a un angolo di 37° rispetto alla verticale, cioè incide all’angolo critico, la luce non attraversa la superficie di separazione plexiglas-aria.

!c plexiglas " aria( ) = arcsin

n2

n1

= arcsinnaria

nplexiglas

= arcsin1

1.66= 37.0°


!"#$%&"'(

')*+',

'-%',

θi

!"#$%&"'()

'*%')

θi

Esercizio 3

•! Un fascio di luce, proveniente da un mezzo con indice di rifrazione n0 incide sulla superficie (parallela al piano xy) di un mezzo composto da N strati orizzontali di materiali trasparenti con indice di rifrazione ni formando un angolo !0 rispetto all’asse z.

•! Determinare il valore di (ni sin !i) per lo strato i-esimo.

•! Generalizzare la relazione precedente per il caso di un mezzo il cui indice di rifrazione è una funzione continua di z, cioè con n = n(z).

•! Supponendo che la Terra sia piatta, determinare l’angolo di elevazione relativo " di una stella il cui angolo di elevazione apparente è "0 = 25° (l’indice di rifrazione dell’aria sulla superficie terrestre è n0 = 1.003).


Esercizio 3 (II)

•! Per la legge di Snell si ha, nella rifrazione fra lo strato i-esimo e lo strato (i + 1)-esimo:

•! Avremo perciò, per tutti gli strati:

•! Se l’indice di rifrazione è una funzione continua della quota z, cioè n = n(z), detto !(z) l’angolo del raggio rispetto alla verticale alla quota z si avrà analogamente (sostituendo l’indice i con l’argomento z):

sin!i+1sin!i

=nini+1

" ni sin!i = ni+1 sin!i+1

ni sin!i = n0 sin!0 , i = 1,2,3,…

n z( )sin! z( ) = n 0( )sin! 0( )


Esercizio 3 (III)

•! Se l’angolo di elevazione apparente della stella è "0!=!25°, l’angolo tra la stella e la verticale è:

•! Per quanto abbiamo detto si ha:

dove n# = 1, in quanto a grande distanza dalla terra c’è il vuoto, per cui:

•! Infine si ha:

!0 = 90°"#0 = 90°" 25° = 65°

n! sin"! = n0 sin"0

sin!" = n0 sin!0 = 1.003# sin65° = 1.003# 0.9063 = 0.9090!" = arcsin0.9090 = 65.37°

! = 90°"#$ = 90°" 65.37° = 24.63°


Esercizio 4

•! Un fascio di luce si propaga entro un tubo rettilineo lungo 1 km contenente normalmente aria in condizioni normali di pressione e temperatura (NTP) avente un indice di rifrazione n = 1.00029.

•! Qual è la differenza del tempo di percorrenza del tubo tra la condizione normale (aria a NTP) e la condizione in cui viene praticato il vuoto entro il tubo? Produrre il risultato con 2 cifre significative, prendendo c = 2.99792!108 m/s.


Esercizio 4 (II)

•! La velocità della luce nel vuoto è:

mentre nell’aria è:

•! Il tempo di percorrenza nel vuoto e nell’aria è, rispettivamente:

•! La differenza è perciò:

c = 2.99792 !108 m s

v =

cn=

2.99792 !108

1.00029m s = 2.99705!108 m s

tvuoto =sc= 1000m2.99792 !108 m s

= 3.33565!10"6 s = 3.33565 µs

taria =sv= 1000m2.99705!108 m s

= 3.33661!10"6 s = 3.33661µs

!t = taria " tvuoto =

= 3.33661#10"6 " 3.33565#10"6( )s == 9.7 #10"10 s = 0.97 ns


!"#!

$%&'&

Esercizio 5

•! Un’onda piana incide, parallelamente all’asse principale, su di un diottro sferico aria-vetro che rivolge la concavità alla luce. Il raggio del diottro è r = 30 cm e l’indice di rifrazione del vetro è 1.5. Trovare il punto F2 in cui convergono i raggi rifratti.

•! Supponiamo di invertire il verso di provenienza della luce. Si chiede ancora qual è il punto di convergenza F1 dei raggi rifratti.


Esercizio 5 (II)

•! Un’onda piana è prodotta da una sorgente puntiforme situata a distanza infinita. Utilizzando l’equazione del diottro:

con x!$!# si ha, considerando anche che il raggio di luce attraversa il diottro provenendo dalla parte concava, e dunque bisogna prendere R!<!0:

•! Il segno negativo indica che il fuoco si trova prima del diottro, e quindi che i raggi rifratti divergono.

1f2fR

2F 1FOC1n 2n

n1

x+

n2

!x=

n2 " n1

R

n2!x=n2 " n1R

# f2 = !x =n2

n2 " n1R = 1.5

1.5"1"30cm( ) = "90 cm


Esercizio 5 (III)

•! Se il raggio proviene dal vetro, utilizzando nuovamente l’equazione del diottro (con gli indici di rifrazione scambiati):

con x!$!# si ha, considerando anche che il raggio di luce attraversa il diottro provenendo dalla parte convessa, e dunque bisogna prendere R!>!0:

•! Il segno negativo indica che il fuoco si trova prima del diottro, e quindi che i raggi rifratti divergono.

1f2fR

2F 1FOC1n 2n

n2

x+

n1

!x=

n1 " n2

R

n1!x=n1 " n2R

# f1 = !x =n1

n1 " n2R = 1

1"1.530cm = "60 cm


Esercizio 6

•! Sia dato un diottro sferico aria-vetro con la superficie convessa per chi osserva all’esterno, dove il mezzo 2 è vetro di indice di rifrazione n2 = 1.5.

•! I raggi paralleli all’asse ottico convergono in un punto entro il vetro a una distanza di 40 cm dal diottro.

•! Nota la distanza x = 50 cm del punto oggetto A dal diottro, determinare la distanza del punto immagine.


Esercizio 6 (II)

•! In questo caso non conosciamo il raggio di curvatura del diottro, per cui non possiamo utilizzare l’equazione del diottro:

•! Conosciamo tuttavia la distanza focale f2 = 40 cm e i due indici di rifrazione n1 = 1 e n2 = 1.5, per cui siamo in grado di trovare l’altra distanza focale:

e utilizzare l’equazione:

n1

x+

n2

!x=

n2 " n1

R

f2 =n2

n2 ! n1R

f1 =n1

n2 ! n1R

"

#$$

%$$

&f1f2=n1n2

& f1 =n1n2f2 =

11.540 cm = 80

3cm

f1

x+

f2

!x= 1


1f 2 40cmf =R

2F1F O C1n 2n

A A!

50cmx = x!

Esercizio 6 (III)

•! Avremo:

1f 2 40cmf =R

2F1F O C1n 2n

A A!

50cmx = x!

f1x+f2!x= 1 "

f2!x= 1#

f1x

!x =f2

1#f1x

= 40 cm

1#803 cm50 cm

= 40

1# 815

cm = 40715

cm = 40157cm = 85.7 cm


Esercizio 7

•! Si abbia un diottro aria-vetro con la superficie sferica convessa per chi osserva all’esterno e di raggio R = 25 cm.

•! Sull’asse principale, a una distanza di 1 cm dal centro O, nel vetro, vi è una bollicina B.

•! Se l’indice di rifrazione del vetro è n = 1.5, qual è la distanza apparente della bollicina?


•! Utilizzando l’equazione del diottro:

e considerando che il raggio di luce attraversa il diottro provenendo dalla parte concava, e dunque bisogna prendere R!<!0, si ha:

•! L’immagine si trova ancora entro il vetro, ma a una profondità minore dell’oggetto.

Esercizio 7 (II)

R2F1F OC

1 1.5n = 2 1n =

B

1cmx =

n1

x+

n2

!x=

n2 " n1

R

1.51cm

+ 1!x= 1"1.5"25cm

# !x = 11"1.5"25 cm

" 1.51 cm

= 10.02 "1.5

cm = "0.676 cm


Esercizio 8

•! Un diottro sferico aria-vetro (con la superficie sferica convessa per chi osserva all’esterno) ha raggio di curvatura R!=!20!cm e l’indice di rifrazione del vetro vale n = 1.5.

•! Un oggetto di dimensione l = 1 cm è posto normalmente all’asse principale, a una distanza x = 50 cm da O. Calcolare:

–! L’ingrandimento lineare trasversale G.

–! Il rapporto di convergenza K.


Esercizio 8 (II)

•! Utilizzando l’equazione del diottro troviamo la posizione dell’immagine x%:

•! Possiamo ora calcolare l’ingrandimento lineare trasversale e il rapporto di convergenza:

20cmR =

2F

1F OC1 1n =

2 1.5n =

AA!

50cmx = x!

n1x+n2!x=n2 " n1R

!x =n2

n2 " n1R

"n1x

= 1.51.5"120 cm

" 150 cm

= 1.50.025" 0.02

cm = 300 cm

G = !ll= !xxn1n2

= 30050

11.5

= 4

K = !""

= x!x= 50300

= 0.167


Esercizio 9

•! Un doppio diottro è costituito da un blocco di vetro di indice di rifrazione n = 1.5, limitato da una superficie piana e da una superficie sferica di raggio R = 40 cm. Il suo spessore vale s = 10 cm.

•! Determinare la posizione dell’immagine di un punto luminoso posto sull’asse principale a una distanza x = 20 cm dal diottro piano (scrivere la distanza dell’immagine dal diottro piano e specificare se essa si trovi sullo stesso lato o sul lato opposto del diottro piano rispetto all’oggetto).


Esercizio 9 (II)

40cmR =2F1F O!C

2 1.5n = 3 1n =1 1n =

OAA!!

10cms =20cmx =

A!

n1x+n2!x=n2 " n1R

!x =n2

n2 " n1R

"n1x

= 1.5

0 " 120 cm

= "1.5# 20 cm = "30 cm


•! Si tratta di un sistema ottico centrato. Per determinare la distanza dell’immagine A%% del punto A consideriamo l’immagine A! di A nel primo diottro come l’oggetto per il secondo diottro.

•! Utilizzando l’equazione del diottro sferico (con R!"!#) per il primo diottro si ha:

•! Il segno negativo indica che il punto A! si trova dalla stessa parte di A rispetto al primo diottro.

•! A% è l’oggetto per il secondo diottro.

Esercizio 9 (III)

•! Chiamando #% e #%% le distanze dell’oggetto e dell’immagine del secondo diottro dal secondo diottro, si ha:

•! L’equazione del diottro, per il secondo diottro, si scrive (considerando che un raggio di luce proveniente da A% attraversa il secondo diottro provenendo dalla parte concava, e dunque bisogna prendere R!<!0):

!" = s # !x = 10 cm# #30 cm( ) = 40 cm

n2

!"+

n3

!!"=

n3 # n2

R

!!" =n3

n3 # n2R

#n2!"

= 11#1.5#40 cm

# 1.540 cm

=

= 10.0125# 0.0375

cm = # 10.025

cm =

= #40 cm

40cmR =

2F1F O!C

2 1.5n = 3 1n =1 1n =

OAA!!10cms =20cmx =

A!

x!x!!

! "! ""


Esercizio 9 (IV)

•! La distanza dell’immagine A%% dal diottro piano è perciò:

•! L’immagine si trova a 30 cm dal diottro piano, dallo stesso lato dell’oggetto.

!!x = s + !!" = 10 cm+ #40 cm( ) = #30 cm


40cmR =

2F1F O!C

2 1.5n = 3 1n =1 1n =

OAA!!10cms =20cmx =

A!

x!x!!

! "! ""

Esercizio 10

•! Calcolare il raggio di curvatura di uno specchio sferico concavo, sapendo che un regolo lungo l = 2 cm, posto davanti allo specchio, a una distanza x = 25 cm dal vertice, ha un’immagine reale lunga l# = 4 cm.


Esercizio 10 (II)

•! Per calcolare il raggio di curvatura occorre avere la distanza dell’oggetto e la distanza dell’immagine. Quest’ultima si può trovare a partire dall’ingrandimento lineare trasversale:

•! Il raggio di curvatura può essere calcolato utilizzando l’equazione dello specchio sferico:

A!

Q

i rA O

! "!FC

xx!

Rf

G = !ll= " !x

x# !x = " !l

lx = "

4cm2cm

25 cm = "50 cm

1x!1"x= !

2R

R =2

1"x! 1x

=2

1!50cm

! 125cm

= !2503cm =

= !33.3cm


Esercizio 11

•! Un punto luminoso si trova sull’asse ottico di uno specchio concavo di raggio R = 40 cm a una distanza x = 50 cm dal vertice. Determinare:

–! La distanza dell’immagine;

–! L’ingrandimento di questa.

•! Si ripetano i calcoli per il caso di uno specchio convesso.


Esercizio 11 (II)

•! Utilizzando l’equazione dello specchio sferico si ha (poiché lo specchio è concavo il raggio è negativo):

•! Poiché tale distanza è negativa, l’immagine è reale. L’ingrandimento lineare trasversale è dato da:

A!

Q

i rA O

! "!FC

50cmx =x!

40cmR = !f

1x!1"x= !

2R

"x =1

1x+ 2R

=1

150 cm

+ 2!40 cm

=1

0.02 ! 0.05cm = !33.3 cm

G = !ll= " !x

x= "

"33.350

= 0.667


Esercizio 11 (III)

•! Se lo specchio è convesso, il raggio è positivo e si ha:

•! Poiché tale distanza è positiva, l’immagine è virtuale. L’ingrandimento lineare trasversale è dato da:

Qir

A!A O! "!

F C50cmx = x! 40cmR = +

f

1x!1"x= !

2R

"x =1

1x+ 2R

=1

150 cm

+ 240 cm

=1

0.02 + 0.05cm = 14.3 cm

G = !ll= " !x

x= "14.350

= "0.286


Esercizio 12

•! Qual è il raggio l$ dell’immagine del Sole ottenuta con uno specchio concavo di raggio R = 5 m, ammettendo che il raggio del Sole sia 1/n della distanza x del Sole dalla Terra, con n = 220.


Esercizio 12 (II)

•! Utilizzando l’equazione dello specchio sferico si ha (poiché lo specchio è concavo il raggio è negativo):

•! Poiché x >> R, in questa equazione possiamo porre x " #.

•! Il testo del problema ci dice che il raggio l del Sole è pari a 1/n della distanza x del Sole dalla Terra , con n = 220:

•! L’ingrandimento lineare trasversale si scrive:

da cui:

1x!

1"x= !

2R

!1"x= !

2R

# "x = f =R2= !2.5 m

l =1nx, n = 220

Qir

OFCx!"

x f! =5mR = !

G = !l

l= " !x

x

!l = "l !xx= "

1nx

!xx= " !x

n= "

R2n

= ""5 m2 # 220

= 1.136 cm


Esercizio 13

•! Una lente biconvessa di indice di rifrazione nvetro = 1.5 ha una distanza focale F = 40 cm nell’aria.

•! Qual è il valore F$ della distanza focale quando la lente è immersa nell’acqua, se l’indice di rifrazione dell’acqua è nacqua = 1.33?


Esercizio 13 (II)

•! Abbiamo visto che la distanza focale di una lente sottile si scrive:

•! Avremo perciò nell’aria:

e nell’acqua:

•! Dividendo membro a membro le due precedenti equazioni si ha:

1F

= n !1( ) 1"R!1""R

#$%

&'(

con n =n2n1

=nlentenesterno

=nvetronesterno

1F

=nvetro

1!1

"

#$%

&'1(R!

1((R

"#$

%&'= nvetro !1( ) 1

(R!

1((R

"#$

%&'

1!F=

nvetro

nacqua

"1#

$%

&

'(

1!R"

1!!R

#$%

&'(

!FF

=nvetro "1nvetro

nacqua

"1=

nacqua nvetro "1( )nvetro " nacqua


Esercizio 13 (III)

•! Ovvero:

!F =nacqua nvetro "1( )nvetro " nacqua

F =1.33 1.5"1( )1.5"1.33

40 cm = 156.5 cm


Esercizio 14

•! La superficie curva di una lente piano-convessa ha un raggio di curvatura R = 10 cm.

•! Qual è la sua distanza focale nell’aria e nell’acqua, se l’indice di rifrazione nel vetro è nvetro = 1.5 e quello dell’acqua è nacqua = 1.33?


Esercizio 14 (II)

•! La distanza focale di una lente sottile si scrive, essendo R!! " # (lente piano-convessa):

con:

•! Avremo perciò nell’aria:

e nell’acqua:

1F

= n !1( ) 1"R!

1""R

#$%

&'(= n !1( ) 1

"R

n =

n2

n1

=nlente

nesterno

1Faria

=nvetro1

!1"

#$%

&'1(R= nvetro !1( ) 1

(R) Faria =

(Rnvetro !1

=10 cm1.5!1

= 20 cm

1Facqua

=nvetronacqua

!1"

#$

%

&'1(R

) Facqua =(R

nvetronacqua

!1=10 cm1.51.33

!1= 78.2 cm


Esercizio 15

•! Date due lenti sottili a contatto di distanza focale F1!=!30!cm e F2!=!$20!cm, qual è la distanza focale F del sistema risultante?


Esercizio 15 (II)

•! I raggi paralleli provenienti dall’infinito vengono fatti convergere sul fuoco, a distanza F1 = 30 cm dalla prima lente.

•! Tale punto, a distanza F1 = 30 cm dalla prima lente, è l’oggetto per la seconda lente (x1 = " F1 = "30 cm).

•! Il fuoco del sistema formato dalle 2 lenti è l’immagine della seconda lente, la cui distanza si ottiene utilizzando l’equazione della lente:

•! In altre parole la convergenza del sistema è la somma delle convergenze delle due lenti.

1x1

+1x 2

=1F2

F = x2 =1

1F2

! 1x1

=1

1F2

! 1!F1

=1

1F2

+ 1F1

=1

1!20 cm

+ 130 cm

= !60 cm


Esercizio 16

•! Un’onda piana incide parallelamente all’asse ottico su una lente biconvessa sottile di vetro avente indice di rifrazione n = 1.5.

•! I raggi di curvatura della lente valgono entrambi R = 20 cm.

•! La lente galleggia sul mercurio.

•! Dove convergono i raggi dell’onda?


Esercizio 16 (II)

•! Il fascio di luce proveniente dall’infinito parallelamente all’asse ottico, incontra nel suo percorso, nell’ordine: –! Un diottro convesso aria-vetro;

–! Uno specchio concavo (la superficie di separazione vetro-mercurio);

–! Un diottro concavo vetro-aria.

•! La distanza del fuoco A1 del diottro convesso aria-vetro si ottiene dall’equazione del diottro (diottro convesso, R > 0):

1A

2A3A

naria!

+nvetrox1

=nvetro " naria

R

x1 =nvetro

nvetro " nariaR

"naria!

=1.5

1.5"120 cm

" 0= 60 cm


Esercizio 16 (III)

•! Per lo specchio concavo l’oggetto A1 si trova alla distanza x!1 = $60 cm, in quanto è posto al di là dello specchio. Utilizzando l’equazione dello specchio si trova la distanza dell’immagine A2 prodotta dallo specchio (specchio concavo, R < 0):

il segno negativo indica che l’immagine si trova al di sopra dello specchio.

•! Rispetto al diottro concavo vetro-aria, A2 si trova alla distanza x!2 = $60/7 cm, in quanto è posto al di là del diottro.

1!x1"1x2

= "2R

# x2 =1

1!x1+ 2R

=1

1"60 cm

+ 2"20 cm

= "607cm


1A

2A3A

Esercizio 16 (IV)

•! Utilizzando l’equazione del diottro si trova la distanza dell’immagine A3 prodotta dal diottro (diottro concavo, R < 0):

•! I raggi dell’onda convergono nel punto A3 situato nell’aria a 5 cm dalla lente.

nvetro!x2

+nariax3

=naria " nvetro

R

x3 =naria

naria " nvetroR

"nvetro!x2

=1

1"1.5"20 cm

" 1.5

" 607cm

= 5 cm


1A

2A3A

Esercizio 17

•! Un tubo cilindrico di lunghezza opportuna è diviso in due parti da una lente biconvessa sottile di vetro (nvetro = 1.5) aventi i raggi di curvatura entrambi uguali a R = 20 cm.

•! Una delle due parti del cilindro è piena d’aria, l’altra di un liquido trasparente di indice di rifrazione nliquido = 1.2.

–! Dove va a convergere un raggio che entra nel tubo parallelamente all’asse, dalla parte dove vi è l’aria?

–! Se si inverte il senso di provenienza della luce, dove converge il raggio?


Esercizio 17 (II)

•! Il sistema non può essere trattato come una lente in quanto il primo e il terzo indice di rifrazione sono tra loro diversi.

•! Occorre trattare il sistema come un sistema ottico centrato formato da 2 diottri: il diottro aria-vetro e il diottro vetro"liquido.

•! Un raggio che entra nel tubo parallelamente all’asse, dalla parte dove vi è l’aria proviene da una sorgente puntiforme posta a x!"!#. Possiamo trovare la sua immagine prodotta dal primo diottro utilizzando l’equazione del diottro (R > 0 in quanto il raggio vede il primo diottro convesso):

1.2liquidon =1arian =

1.5vetron =

nariax

+nvetro!x

=nvetro " naria

R!x =

nvetronvetro " naria

R"nariax

= 1.51.5"120 cm

" 0= 60 cm


Esercizio 17 (III)

•! L’immagine prodotta dal primo diottro diventa l’oggetto per il secondo diottro.

•! Poiché la lente è sottile, il suo spessore è trascurabile, e dunque tale oggetto per il secondo diottro si trova alla distanza x = "60 cm (il segno negativo denota il fatto che tale oggetto si trova oltre il secondo diottro). Utilizzando di nuovo l’equazione del diottro per il secondo diottro, si ha (R < 0 in quanto il raggio vede il secondo diottro concavo):

•! Il fascio converge nel liquido, a 30 cm dalla lente.

nvetrox

+nliquido

!x=nliquido " nvetro

R

!x =nliquido

nliquido " nvetroR

"nvetrox

= 1.21.2 "1.5"20 cm

" 1.5"60 cm

= 30 cm



1.5vetron =

Esercizio 17 (IV)

•! Se si inverte il senso di provenienza della luce, ragionando come nel caso precedente, si ha per il primo diottro (R > 0):

e per il secondo diottro (x = "100 cm, R < 0):

nliquidox

+nvetro!x

=nvetro " nliquido

R!x =

nvetronvetro " nliquido

R"nliquidox

= 1.51.5"1.220 cm

" 0= 100 cm

nvetrox

+naria!x=naria " nvetro

R!x =

narianaria " nvetro

R"nvetrox

= 11"1.5"20 cm

" 1.5"100 cm

= 25 cm



1.5vetron =

Esercizio 18

•! Si ha una lente piano-concava, sottilissima, posta orizzontalmente, con la sua concavità rivolta verso l’alto, e piena di un liquido il cui indice di rifrazione è nliquido = 1.318.

•! Determinare la distanza focale F del sistema ottico così costituito, sapendo che l’indice di rifrazione del vetro di cui è costituita la lente è nvetro = 1.436 e che il raggio di curvatura della lente è R = 1.77 cm.


Esercizio 18 (II)

•! Per quanto visto nell’esercizio 15, la convergenza del sistema è la somma delle convergenze delle 2 lenti.

•! La convergenza di una singola lente è data da:

per cui, per la lente di vetro si ha (R% $ #, R%% > 0):

mentre, per la lente di liquido, si ha (R% > 0, R%% $ #):

1F

=1F1

+1F2

1F

= n !1( ) 1"R!

1""R

#$%

&'(

1F1

= nvetro !1( ) ! 1""R

#$%

&'(= 1.436 !1( ) ! 1

1.77 cm#$%

&'(= !0.246 cm!1

1F2

= nliquido !1( ) 1"R

#$%

&'(= 1.318!1( ) 1

1.77cm#$%

&'(= 0.180 cm!1


1.318liquidon =

1.436vetron =

Esercizio 18 (III)

•! Abbiamo perciò:

1F= 1F1

+ 1F2

= !0.246 + 0.180( )cm!1 = !0.066 cm!1

F = 1!0.066cm!1 = !15.2 cm


1.318liquidon =

1.436vetron =

Esercizio 19

•! Si ha una sorgente puntiforme A che è posta sull’asse di una lente convergente sottile a una distanza p = 40 cm dalla lente stessa, di distanza focale F = 25 cm.

•! La lente, a sua volta, dista l = 15 cm da un blocco di vetro di indice di rifrazione n = 1.5, che presenta alla lente una faccia piana e normale all’asse ottico della lente stessa.

–! Dove si forma l’immagine della sorgente nel vetro?

–! Supposto che la sorgente non sia puntiforme ma circolare, di diametro 2r = 1 cm, qual è il diametro d dell’immagine?


Esercizio 19 (II)

•! L’immagine della lente sottile si trova a una distanza dalla lente data dall’equazione della lente:

•! Tale immagine è l’oggetto per il diottro. Essa si trova a una distanza dal diottro pari a (il segno negativo indica che si trova al di là del diottro):

•! La distanza dell’immagine del diottro si trova utilizzando l’equazione del diottro, con R " #: A

40cmp = 15cml =

1F 2F

1.5n =

25cmF =

1x1+ 1x2

= 1F

! x2 =1

1F" 1x1

= 11

25 cm" 140 cm

= 66.7 cm

!1 = l " x2 = 15cm" 66.7cm = "51.7cm

n1!1

+n2!2

=n2 " n1R

= 0, per R#$


Esercizio 19 (III)

•! L’immagine si forma a 77.5 cm di profondità nel blocco di vetro.

•! L’ingrandimento lineare trasversale della lente è:

mentre l’ingrandimento lineare trasversale del diottro è:

•! L’ingrandimento totale è perciò:

•! Infine il diametro dell’immagine:

n1!1

+n2!2

= 0 " !2 = #n2n1!1 = #1.5

1#51.7 cm( ) = 77.5 cm

G1 =

x2

x1

=66.740

= 1.67

G2 =

!2

!1

n1

n2

=77.5"51.7

11.5

= "1

G = G1G2 = 1.67 !1( ) = !1.67

d = 1 cm G = 1.67cm


A

40cmp = 15cml =

1F 2F

1.5n =

25cmF =

Esercizio 20

•! Un oggetto, posto sull’asse ottico di una lente sottile convergente, a una distanza p = 4 cm da essa, dà un’immagine a una distanza q = 10 cm e dalla stessa parte dell’oggetto.

•! Si avvicini l’oggetto di s = 0.4 cm alla lente, a partire dalla posizione precedente. Calcolare:

–! A quale distanza dalla lente si formerà l’immagine;

–! Il valore dell’ingrandimento G (nella configurazione in cui l’oggetto è già stato avvicinato).


Esercizio 20 (II)

•! Per l’equazione della lente:

•! Nella seconda posizione si ha:

•! Per quanto riguarda l’ingrandimento lineare trasversale si ha:

1p+ 1q= 1F

! F = 11p+ 1q

= 114 cm

+ 1"10 cm

= 6.67 cm

!p = p " s = 4 " 0.4( )cm = 3.6 cm

1!p+ 1

!q= 1F

# !q = 11F" 1

!p

= 11

6.67 cm" 13.6 cm

= "7.82 cm

G = !q!p= "7.82 cm3.6 cm

= "2.17


Esercizio 21

•! Due lenti sottili convergenti, di distanza focale f1!=!25!cm e f2!=!35!cm rispettivamente, hanno una distanza reciproca di d = 10 cm e inoltre sono coassiali. Determinare:

–! La posizione dell’immagine di un oggetto posto a una distanza x1 = 50 cm dalla prima lente;

–! L’ingrandimento del sistema.


Esercizio 21 (II)

•! L’immagine della prima lente si trova alla distanza da essa:

•! Tale immagine è l’oggetto della seconda lente e si trova a una distanza da essa pari a (il segno negativo indica che l’oggetto si trova al di là della lente):

•! L’immagine prodotta dalla seconda lente si trova alla distanza da essa:

A

50cmx = 10cmd =

1x1+ 1x2

= 1f1

! x2 =1

1f1" 1x1

= 11

25 cm" 150 cm

= 50 cm

!1 = d " x2 = 10 cm" 50 cm = "40 cm

1!1

+ 1!2

= 1f2

!2 =1

1f2" 1!1

= 11

35 cm" 1"40 cm

= 18.7 cm


Esercizio 21 (III)

•! Per quanto riguarda l’ingrandimento, si ha:

G = G1G2 =x2x1

!2!1

= 505018.7"40

= "0.467


A

50cmx = 10cmd =

Esercizio 22

•! Data una lente sottile convergente di distanza focale f, calcolare a quale distanza dalla lente occorre porre un oggetto affinché la sua immagine reale abbia dall’oggetto distanza minima.


Esercizio 22 (II)

•! Data l’equazione della lente:

si tratta di trovare la distanza x1 che rende minima la somma:

•! Abbiamo:

•! Nel punto di l minimo si deve avere:

1x1

+1x2

=1f

l = x1 + x2

x2 =1

1f! 1

x1

=fx1

x1 ! f

l = x1 1+f

x1 ! f

"

#$%

&'= x1

x1 ! f + fx1 ! f

=x1

2

x1 ! f

dldx1

= 0 ! ddx1

x12

x1 " f= 0


Esercizio 22 (III)

•! Si ha:

•! Si ha perciò il minimo per x = 2f. In corrispondenza di tale minimo:

dldx1

= 0dx1

x12

x1 ! f=2x1 x1 ! f( )! x12

x1 ! f( )2=x12 ! 2 fx1x1 ! f( )2

=x1 x1 ! 2 f( )x1 ! f( )2

dldx1

= 0 "x1 = 0x1 = 2 f

#$%

&%dldx1

> 0 " x ' 0,2 f() *+

x1 = 2 f

x2 =fx1x1 ! f

= f 2 f2 f ! f

= 2 f2

f= 2 f

"

#$

%$

& l = x1 + x2 = 4 f


Esercizio 23

•! Un oggetto si trova sull’asse ottico di una lente, a una distanza x1 = 81.5 cm da questa. La lente è convergente e sottile e della potenza P = 1.9 diottrie.

•! Dietro la lente si trova uno specchio piano orientato a 45º rispetto all’asse ottico. Lo specchio riflette i raggi sulla superficie libera dell’acqua contenuta in una bacinella. L’indice di rifrazione dell’acqua è n = 1.33. La somma delle distanze specchio-acqua e specchio-lente è 101 cm.

–! Qual è la profondità h che deve avere la bacinella affinché l’immagine dell’oggetto si formi sul fondo?

–! Dove si formerà l’immagine se al posto della superficie libera dell’acqua si mette uno specchio concavo di raggio R = 20.5 cm?


Esercizio 23 (II)

•! La posizione dell’immagine della lente si trova mediante l’equazione della lente:

•! Tale immagine è l’oggetto per il diottro aria-acqua della superficie dell’acqua nella bacinella. Rispetto a tale superficie esso si trova alla distanza:

•! Dunque (segno negativo) si trova oltre tale superficie.

1x1+ 1x2

= 1F

x2 =1

1F! 1x1

= 1

1.9 m!1! 181.5 cm

= 1

1.9 m!1! 10.815 m

= 1.486 m = 148.6 cm

1 81.5cmx =

C A

B

1.33n =

101cmCA AB l+ = =

h

O

!1 = 101 cm"148.6 cm = "47.6 cm


Esercizio 23 (III)

•! La posizione dell’immagine del diottro si trova mediante l’equazione del diottro:

•! Dunque l’immagine del diottro si trova a 63.3 cm dal diottro (cioè dalla superficie dell’acqua della bacinella).

•! Affinché l’immagine dell’oggetto si formi sul fondo la bacinella dovrà perciò avere la profondità:

n1!1

+n2!2

=n2 " n1R

= 0

!2 = "!1n2n1

= " "47.6 cm( )1.331 = 63.3 cm

h = 63.3 cm


1 81.5cmx =

C A

B

1.33n =

101cmCA AB l+ = =

h

O

Esercizio 23 (IV)

•! Nel caso in cui al posto della superficie libera dell’acqua si mette uno specchio concavo di raggio R = 20.5 cm, l’immagine della lente è l’oggetto per tale specchio. Esso si trova, rispetto allo specchio, alla distanza (segno negativo cioè oltre lo specchio):

•! Utilizzando l’equazione dello specchio (concavo, R < 0):

•! Il segno negativo indica che l’immagine si trova al di sopra dello specchio.

•! Non finisce qui in quanto l’immagine dello specchio diviene nuovamente l’oggetto per la lente.

1 81.5cmx =

C A

B

101cmCA AB l+ = =

O

!1 = 101 cm"148.6 cm = "47.6 cm

1!1

" 1!2

= " 2R

# !2 =1

2R+ 1!1

= 12

"20.5 cm+ 1"47.6 cm

= "8.43 cm


Esercizio 23 (V)

•! L’immagine dello specchio si trova a una distanza dalla lente pari a:

•! Utilizzando l’equazione della lente:

•! L’immagine è nello stesso spazio in cui si trova l’oggetto, a una distanza di 122 cm dalla lente.

!x1 = 101 cm" 8.43 cm = 92.6 cm

1!x1+ 1

!x2= 1F

!x2 =1

1F" 1

!x1

= 1

1.9 m"1" 192.6 cm

= 1

1.9 m"1" 10.926 m

= 1.22 m = 122 cm


1 81.5cmx =

C A

B

101cmCA AB l+ = =

O

Esercizio 24

•! Calcolare lo spessore minimo di una lamina a quarto d’onda avente indice di rifrazione veloce , con R = 333, e indice di rifrazione lento , per un’onda avente lunghezza d’onda ridotta $0 = 650 nm.

•! Su tale lamina incide un fascio di luce polarizzato ellitticamente di componenti (detto x l’asse veloce e y l’asse lento):

•! Determinare l’angolo % che il piano di polarizzazione della luce uscente forma con l’asse x.

nv = 1+ R 1000nl = nv + R 32

Ex = E0 cos !t " kz( )Ey = E0

R1000

cos !t " kz +#2

$%&

'()

*

+,

-,


Esercizio 24 (II)

•! Lo spessore minimo della lamina a quarto d’onda è dato dall’espressione:

•! Sostituendo i dati si ha: !z =

"0

41

nl # nv

nv = 1+R1000

= 1+ 3331000

= 1.333

nl = nv +R32

= 1.333+ 33332

= 1.903

!z ="04

1nl # nv

= 650 nm4

11.903#1.333

= 285.0 nm


Esercizio 24 (III)

•! Se sulla lamina incide l’onda polarizzata ellitticamente:

l’onda uscente avrà componenti (essendo x l’asse veloce):

e dunque sarà polarizzata linearmente. Il rapporto tra le ampiezze delle due componenti è perciò:

Ex = E0 cos !t " kz( )Ey = E0

R1000

cos !t " kz +#2

$%&

'()

*

+,

-,

Ex = E0 cos !t " kz + #( )Ey = E0

R1000

cos !t " kz +$2+ # "

$2

%&'

()*= E0

R1000

cos !t " kz + #( )+

,-

.-

tan! =EyEx

= R1000

! = arctan R1000

= arctan 3331000

= 0.321 rad = 18.4°

0 0xE E=

0 0 1000yRE E=

!


Esercizio 25

•! Nell’esperimento di Young la luce uscente da due fenditure produce frange di interferenza su di uno schermo.

•! Interponendo sul cammino di uno dei raggi una lastrina di vetro, di indice di rifrazione n = 1.5, la frangia centrale di interferenza si sposta nella posizione che prima era occupata dalla frangia di quarto ordine.

•! Se la lunghezza d’onda della luce utilizzata è $0 = 500 nm, determinare lo spessore della lastrina.


Esercizio 25 (II)

•! Inizialmente, senza lastrina, per la frangia del quarto ordine si ha:

•! Nello stesso punto, dopo avere inserito la lastrina, si deve avere:

dove r%2 è il cammino ottico del raggio 2, ovvero, essendo s lo spessore della lastrina e n il suo indice di rifrazione:

•! Abbiamo perciò:

r1 ! r2 = 4"

r1 ! "r2 = 0

!r2 = sn + r2 " s( ) #1

r1 ! r2 = 4"

r1 ! sn + r2 ! s( ) = 0

#$%

&%


D1r

2r

d

!r2

1rd

s

Esercizio 25 (III)

•! La lastrina è spessa perciò 4 µm.

r1 ! r2 = 4"

r1 ! sn + r2 ! s( ) = 0#$%

&%' 4" ! sn + s = 0 ' s n !1( ) = 4"

s = 4"n !1

= 4 (500 nm1.5!1

= 4 µm


D1r

2r

d

!r2

1rd

s

Esercizio 26

•! Tre polarizzatori sono sovrapposti (vedi figura) in modo che l’asse di trasmissione facile del terzo è perpendicolare all’asse di trasmissione facile del primo, mentre l’asse di trasmissione facile del secondo forma un angolo !! con l’asse di trasmissione facile del primo.

•! Determinare il rapporto If/Ii tra l’intensità della luce uscente dal terzo polarizzatore e l’intensità della luce (non polarizzata) incidente sul primo polarizzatore.


I II

III

!

Esercizio 26 (II)

•! Poiché l'onda incidente non è polarizzata, supponiamo casuale la sua direzione di polarizzazione, istante per istante; l'intensità I1 dopo il primo polarizzatore si può ottenere perciò integrando sull'angolo giro la legge di Malus:

•! Per quanto riguarda il secondo polarizzatore, applichiamo semplicemente la legge di Malus (essendo ! l’angolo tra il I e il II polarizzatore):

I1 = Ii cos2! = Ii

12"

cos2! d!0

2"

# = Ii12"

" =Ii2

I2 = I1 cos2!


I II

III

!

Esercizio 26 (III)

•! Infine, analogamente per il terzo polarizzatore (essendo !/2 !! l’angolo tra il secondo e il terzo polarizzatore) si ha, per la legge di Malus:

I f = I2 cos2 !

2"#

$%&

'()


I II

III

!

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Domenico Galli Dipartimento di Fisica

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Esercizio 1 Fisica Generale B - CORE · 2014. 1. 23. · Domenico Galli – Fisica Generale B – E 3. Esercizi di Ottica! Esercizio 6 •!Sia dato un diottro sferico aria-vetro con