1. Esercizi sui Vettori

Fisica Generale A

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September 17, 2010

Esercizio 1

• Due vettori, di norma, rispettivamente e , posti con l’origine coincidente, formano tra loro un angolo di rad.

• Trovare la norma del vettore: .

• Trovare inoltre l’angolo compreso tra i vettori e (espresso in radianti).

=6

10

c = a b

a c

2Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

c = c = a b = a b( )2

= a b( )i a b( ) =

= a ia a ib b ia + b ib = a2

+ b2

2 a b cos =

= 4 + 9 12cos1.88495 = 13 12 0.309012( ) = 13+ 3.70814 =

= 4.08756

Esercizio 1 (II)

• Abbiamo, innanzitutto:

• Per quanto riguarda la norma, si ha:

3

c

c

=6

103.14159 = 1.88495 rad

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 1 (III)

• Per quanto riguarda l’angolo , per la definizione di prodotto scalare, si ha:

per cui:

4

cos =a c

a c=a a b( )a c

=a2

a b

a c=a2

a b cos

a c=

=a b cos

c=2 3 0.309012( )

4.08756= 0.7161

= arccos 0.7161( ) = 0.773 rad

a c = a c cos

c

c

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 2

• Due vettori, di norma, rispettivamente e , posti con l’origine coincidente, formano tra loro un angolo di rad.

• Trovare la norma del vettore: .

• Trovare inoltre l’angolo compreso tra i vettori e (espresso in radianti).

=6

10

c = a + b

a c

5Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 2 (II)

• Abbiamo, innanzitutto:

• Per quanto riguarda la norma, si ha:

6

c = c = a + b = a + b( )2

= a + b( )i a + b( ) =

= a ia + a ib + b ia + b ib = a2

+ b2

+ 2 a b cos =

= 4 + 9 +12cos1.88495 = 13+12 0.309012( ) = 13 3.70814 =

= 3.04825

=6

103.14159 = 1.88495 rad

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

c

Esercizio 2 (III)

• Per quanto riguarda l’angolo , per la definizione di prodotto scalare, si ha:

per cui:

7

cos =a c

a c=a a + b( )a c

=a2

+ a b

a c=a2

+ a b cos

a c=

=a + b cos

c=2 + 3 0.309012( )

3.04825= 0.35199

= arccos 0.35199( ) = 1.21 rad

a c = a c cos

c

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 3

• In un piano sono fissati due assi cartesiani ortogonali x e y ( di versori rispettivamente e ).

• Dati i due vettori:

• Determinare la norma e l’angolo formato con il versore della somma e della differenza dei due vettori e .

8

ı ˆ

a = 2ı + ˆ

b = 5ı 7 ˆ

ı

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 3 (II)

• Possiamo innanzitutto calcolare la somma e la differenza vettoriale nella rappresentazione cartesiana:

• Possiamo quindi calcolare le norme:

• Per quanto riguarda gli angoli, abbiamo:

9

ˆ

ˆ

a b

a + b

a = 2ı + ˆ

b = 5ı 7 ˆ

a + b = 3ı 6 ˆ

a b = 7ı + 8 ˆ

a + b = 32+ 6

2= 45 = 6.71

a b = 72+ 8

2= 113 = 10.63

tan =a + b( )

y

a + b( )x

=6

3= 2

tan =a b( )

y

a b( )x

=8

7=8

7

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 3 (III)

• Da cui:

• Occorre a questo punto precauzione nello scegliere, tra le due soluzioni, quella corretta (ci sono 2 angoli, nel primo giro, con la stessa tangente, vedi figura).

• Nel caso della somma, la componente x è positiva mentre la componente y è negativa (vedi figura). Avremo perciò:

• Nel caso della differenza, la componente x è negativa mentre la componente y è positiva. Avremo perciò:

10

tan = 2

tan =8

7

=arctan( 2) = 1.11rad

+ arctan( 2) = 2.03rad

=arctan 8 7( ) = 0.85rad

+ arctan 8 7( ) = 2.29rad

= 1.11rad

= 2.29rad

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

ˆ

ˆ

a b

a + b

Esercizio 4

• Fissata una terna cartesiana ortogonale xyz e dati i due vettori:

determinare, nella rappresentazione cartesiana, i vettori:

• Determinare inoltre, per tali vettori, la norma e i 3 angoli formati con gli assi cartesiani.

11

a = 11ı 7 ˆ + 9k

b = 14ı + 5ˆ k

a + b

a b

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 4 (II)

• I vettori somma e differenza, nella rappresentazione cartesiana, si trovano semplicemente sommando e sottraendo le componenti:

• Le norme si calcolano direttamente dalle componenti:

12

a = 11ı 7 ˆ + 9k

b = 14ı + 5ˆ k

a + b = 25ı 2 ˆ + 8k

a b = 3ı 12 ˆ +10k

a + b = a + b( )x

2

+ a + b( )y

2

+ a + b( )z

2

= 625+ 4 + 64 = 693 = 26.3

a b = a b( )x

2

+ a b( )y

2

+ a b( )z

2

= 9 +144 +100 = 253 = 15.9

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 4 (III)

• Per quanto riguarda i 3 angoli osserviamo che per un vettore generico (vedi figura) si ha:

• Questi 3 coseni prendono il nome di coseni direttori. Essi non sono tra loro indipendenti in quanto sono legati dalla relazione:

13

v

v

vx= v i ı = v cos

vy= v i ˆ = v cos

vz= v i k = v cos

cos =vx

v

cos =

vy

v

cos =vz

v

cos2

+ cos2

+ cos2

= 1

cos2

+ cos2

+ cos2

=vx

2

v

2+

vy

2

v

2+vz

2

v

2=

vx

2+ v

y

2+ v

z

2

v

2= 1

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 4 (IV)

• Nei nostri due casi le uguaglianze:

si scrivono:

14

cos+=a + b( )

x

a + b, cos

+=a + b( )

y

a + b, cos

+=a + b( )

z

a + b

cos =a b( )

x

a b, cos =

a b( )y

a b, cos =

a b( )z

a b

cos =v

x

v

, cos =

vy

v

, cos =v

z

v

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 4 (V)

• Poiché:

• Si ha:

15

+= arccos

25

26.3= 0.32rad

+= arccos

2

26.3= 1.65rad

+= arccos

8

26.3= 1.26rad

= arccos3

15.9= 1.76rad

= arccos12

15.9= 2.43rad

= arccos10

15.9= 0.89rad

a + b = 25ı 2 ˆ + 8k

a b = 3ı 12 ˆ +10k,a + b = 26.3

a b = 15.9

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 5

• Sia fissata una terna cartesiana ortogonale xyz e siano dati i due vettori:

• Determinare il prodotto scalare .

• Determinare, la norma e gli angoli formati con gli assi cartesiani del prodotto vettoriale: .

16

a = 11ı 7 ˆ + 9k

b = 14ı + 5ˆ k

a b

a ib

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 5 (II)

• Per quanto riguarda il prodotto scalare:

• Per quanto riguarda il prodotto vettoriale:

• La sua norma è:

17

a = 11ı 7 ˆ + 9k

b = 14ı + 5ˆ k

a ib = 11 14 7 5+ 9 1( ) = 110

a b = 382+137

2+153

2= 208.9

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

a b = det

ı ˆ k

11 7 9

14 5 1

=

= ı det7 9

5 1ˆdet

11 9

14 1+ k det

11 7

14 5=

= 7 45( ) ı 11 126( ) ˆ + 55+ 98( ) k = 38ı +137 ˆ +153k

Esercizio 5 (III)

• Calcoliamo gli angoli utilizzando i coseni direttori:

18

cos =a b( )

x

a b, cos =

a b( )y

a b, cos =

a b( )z

a b

= arccos38

208.9= 1.75rad

= arccos137

208.9= 0.856rad

= arccos153

208.9= 0.749rad

a b = 38ı +137 ˆ +153k

a b = 208.9

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 6

• Calcolare il volume del parallelepipedo che ha per spigoli i 3 segmenti AB, AC e AD, dove le coordinate dei punti A, B, C e D, rispetto a una terna ortogonale prefissata sono (in centimetri):

19

A 28,35, 16( ), B 43,62, 24( ), C 13,47,18( ), D 30,26, 22( )

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

Esercizio 6 (II)

• Abbiamo:

20

A 28,35, 16( ), B 43,62, 24( ), C 13,47,18( ), D 30,26, 22( )

B A = 15 ı + 27 ˆ 8 k

C A = 41 ı +12 ˆ + 34 k

D A = 2 ı 9 ˆ 6 k

Domenico Galli – Fisica Generale A – E 1. Esercizi sui Vettori

B A( ) C A( )i D A( ) = det15 27 8

41 12 34

2 9 6

=

= 15det12 34

9 627det

41 34

2 68det

41 12

2 9=

= 15 72 + 306( ) 27 246 68( ) 8 369 24( ) == 15 234 27 178 8 345 = 4056

V = B A( ) C A( )i D A( ) = 4056 cm3

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Domenico Galli Dipartimento di Fisica

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