Embed Size (px)
Citation preview
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ MADEN MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
Yrd.Doç.Dr. Ercan EMİR 2014
I
İÇİNDEKİLER
Sayfa
I. GİRİŞ ........................................................................................................................ 1
1.1. Temel Kavramlar ve Tanımlar ......................................................................... 1
1.2. Yardımcı Bilgiler ............................................................................................. 2
II. VEKTÖREL İŞLEMLER ...................................................................................... 4
2.1. Vektörler .......................................................................................................... 4
2.1.1. Vektörlerin sınıflandırılması .................................................................. 4
2.1.2. Vektörlerin özellikleri ............................................................................ 4
2.2. Vektörlerin Toplanması ................................................................................... 5
2.3. Vektörlerin Çıkarılması ................................................................................... 7
2.4. Vektörlerin Bileşenlerine Ayrılması ................................................................ 7
2.5. Bir Vektörün Bir Skaler ile Çarpımı ................................................................ 9
2.6. Birim Vektör .................................................................................................... 9
2.7. İki Vektörün Birim Vektör Cinsinden Toplamı ............................................... 10
2.8. İki Vektörün Birbiriyle Skaler Çarpımı ........................................................... 10
2.9. İki Vektörün Birbiriyle Vektörel Çarpımı ....................................................... 11
III. KUVVET VE MOMENT ..................................................................................... 14
3.1. Kuvvetin Tanımı ve Bileşke Kuvvet ............................................................... 14
3.2. Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti ....................................................... 15
3.3. Varignon Teoremi ............................................................................................ 17
IV. DENGE ................................................................................................................... 18
4.1. Bir Maddesel Noktanın Denge Durumu .......................................................... 18
4.2. Rijit Cismin Denge Durumu ............................................................................ 18
V. SÜRTÜNME ............................................................................................................ 19
5.1. Sürtünme Kuvveti ............................................................................................ 19
5.2. Kuru Sürtünme ................................................................................................. 20
5.3. Sürtünme Açıları .............................................................................................. 22
5.4. Kamalar ............................................................................................................ 24
5.5. Kayış (Halat) Sürtünmesi ................................................................................. 26
II
İÇİNDEKİLER (devamı)
Sayfa
VI. AĞIRLIK MERKEZİ ........................................................................................... 29
VII. DÜZLEMSEL TAŞIYICI SİSTEMLER ........................................................... 34
7.1. Tanım ............................................................................................................... 34
7.2. Mesnet veya Bağlardaki Tepkiler .................................................................... 34
7.3. Kuvvetlerin Sınıflandırılması .......................................................................... 37
7.4. Mesnet Tepkilerinin Hesabı ............................................................................. 39
7.5. En Çok Kullanılan Bazı Taşıyıcı Sistemler ..................................................... 41
VIII. ÇOK PARÇALI TAŞIYICI SİSTEMLER ...................................................... 42
8.1. Düzlem Kafes Sistemleri ................................................................................. 42
8.1.1. Tanım ve Sınıflandırılması .................................................................... 42
8.1.2. Çeşitli Yapılarda Kullanılan Kafes Sistem Türleri ................................ 43
8.1.3. Tam Bağlı Kafes Sistemler .................................................................... 45
8.1.4. Hesap Metodları ..................................................................................... 46
8.2. Üç Mafsallı Çerçeve ve Kemerler ................................................................... 49
8.3. Gerber Kirişleri ................................................................................................ 50
8.4. Çerçeveler ........................................................................................................ 51
IX. ATALET MOMENTLERİ ................................................................................... 53
9.1. Tanımlar ........................................................................................................... 53
9.2. Paralel Eksen (Steiner) Teoremi ...................................................................... 54
9.3 Basit Şekillerin Atalet Momentleri ................................................................... 55
9.4 Bileşik Şekillerin Atalet Momentleri ................................................................ 59
9.5 Kütlelerin Atalet Momentleri ............................................................................ 59
9.6 İnce Levhaların Atalet Momentleri ................................................................... 59
9.7 Asal Eksenler ve Asal Atalet Momentleri ........................................................ 60
9.8. Mohr Dairesi .................................................................................................... 63
X. VİRTÜEL İŞ METODU ......................................................................................... 65
10.1. Bir Kuvvetin İşi ............................................................................................. 65
10.2. Virtüel (Sanal) İş İlkesi .................................................................................. 65
10.3. Virtüel İş Prensibi .......................................................................................... 66
1
I. GİRİŞ
MEKANİK
Tanım: Kuvvetlerin etkisi altında bulunan cisimlerin denge ve hareket şartlarını anlatan ve inceleyen bilim dalıdır. Mekanikte kullanılan büyüklükler skalerler, vektörler ve tansörler olmak üzere üç grupta toplanır. Temel kavramlar: Uzay, zaman, kütle ve kuvvet.
1.1. Temel Kavramlar ve Tanımlar uzay : Olayların içinde meydana geldiği geometrik bir bölgedir. Herhangi bir noktanın veya cismin yeri ile ilgilidir. Referans eksen takımı : Bir cismin veya noktanın uzaydaki veya düzlemdeki konumu referans sistemine göre belirlenir. Herhangi bir P noktasının yeri, bir karşılaştırma noktası veya başlangıçtan itibaren verilen üç doğrultuda (0xyz eksen takımına göre) ölçülen üç uzunlukla tanımlanır. Bu uzunluklara P’nin koordinatları denir.
2) Şekil değiştiren cisimler mekaniği
3) Akışkanlar mekaniği
• Sıkıştırılamayan akışkanlar
• Sıkışabilen akışkanlar
y
x
z
P(x,y,z)
O
1) Rijit cisimler mekaniği
• Statik • Dinamik“Dengede bulunan cisimleri inceler.”
“Hareket halindeki cisimleri inceler.”
2
zaman : Olayların sıralanması ile ilgili bir ölçüdür. MKS birim sistemine göre birimi saniyedir (sn.). kuvvet : Bir cismin diğer bir cisme etkisidir. Bir kuvvet etkidiği cismi kendi doğrultusunda harekete zorlar. Kuvvet vektörel bir büyüklük olup MKS sitemine göre birimi kilogramdır. madde : Uzayda yer kaplayan herşeydir. Bir cisim kapalı bir yüzeyde çevrelenmiş maddedir. atalet : Maddenin hareketteki değişikliğe karşı direnç gösterme özelliğidir. kütle : Ataletin sayısal bir ölçüsüdür. Cisimleri belirli temel mekanik deneyler yönünden karakterize etmek ve karşılaştırılmakta kullanılır. maddesel nokta (tanecik, parçacık, zerre, partikül) : Boyutları ihmal edilebilir cisimdir. Maddesel nokta ile cismin kütlesinin bir noktada toplandığı kabul edilir. Statik dersinde öncelikle maddesel nokta mekaniği ele alınacaktır. rijit cisim (katı cisim) : Herhangi bir cismin herhangi iki noktası arasındaki uzaklık kuvvetlerin etkisine rağmen değişmezse bu cisme rijit cisim denir. Birbirine göre sabit yerler işgal eden çok sayıda maddesel noktanın bileşimidir. skaler : Yanlız büyüklüğü olan niceliklere skaler denir. Cebirsel işlemlerde kullanılırlar. Hacim, alan, yoğunluk, enerji, kütle, v.b. büyüklükler skaler büyüklüklerdir. vektör : Büyüklüğünün yanısıra uzayda bir de yönü olan niceliklere vektör adı verilir. Kuvvet, ivme, hız, v.b. nicelikler vektörel büyüklüklerdir. 1.2. Yardımcı Bilgiler Vektörel işlemlerde çözüme ulaşmada gerekli olan trigonometrik bağıntılar aşağıda verilmiştir: Pisagor teoremi : Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
b2 = a2 + c2
•
A
CB
cb
a
3
Kosinüs teoremi : Bir
ABC üçgeninin açıları ve kenarları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır:
a2 = b2 + c2 – 2bc.CosA b2 = a2 + c2 – 2ac.CosB c2 = b2 + a2 – 2ba.CosC
ACH b2 = ha2 + k2
ABH c2 = ha2 + l2
a = l + k k = a – l
ABH c
CosBl
l = c.CosB
Benzer şekilde, hb ve hc’ye göre de diğer bağıntılar elde edilir.
Sinüs teoremi : Bir
ABC üçgeninin açıları ve kenarları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır:
SinC
c
SinB
b
SinA
a
ABH c
hSinB a ha = c.SinB
ACH b
hSinC a ha = b.SinC
Benzer şekilde hb veya hc’ye göre bağıntılar yazıldığında SinC
c
SinB
b
SinA
a olduğu
bulunur. Sin-Cos değerleri : Belirli açı değerleri için Sin-Cos değerlerinin basitçe elde edilmesi:
X 0 /6 /4 /3 /2
Sin X 2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
Cos X 2
4
2
3
2
2
2
1
2
0
•
A
CB
c b
a
ha
H
c.SinB = b.SinC SinB
b
SinC
c
b2 = c2 + a2–2al = c2 + a2 – 2ac.CosB b2 = c2 – l2 + k2
k
l
•
A
CB
c b
a
ha
l k
H
4
II. VEKTÖREL İŞLEMLER
2.1. Vektörler Vektörler şiddeti, doğrultusu ve yönü bulunan matematiksel ifadelerdir. Bir vektör, bir ucu sınırlanmış, diğer ucu yönlendirilmiş bir doğru parçası ile gösterilir. Aşağıdaki şekilde bir a vektörü görülmektedir. OA’yı birleştiren doğru vektörün doğrultusunu, O noktası
vektörün başlangıç noktasını, okun ucu (A) vektörün yönünü ve OA doğru parçasının uzunluğu vektörün büyüklüğünü gösterir. 2.1.1. Vektörlerin sınıflandırılması serbest vektör : Şiddeti, doğrultusu ve yönü ile belirli olan fakat tatbik noktası önemli olmayan vektörlerdir (örneğin kuvvet çiftleri). bağlı vektör : Verilen bir maddesel noktaya etkiyen bir kuvveti gösteren bir vektörün uygulanma noktası belirlidir ve maddesel noktanın kendisidir. Böyle vektörlere bağlı vektör denir. kayan vektör : Tatbik noktaları kendi doğrultuları üzerinde hareket edebilen vektörlerdir. 2.1.2. Vektörlerin özellikleri eşit vektör : Uygulama noktaları aynı olsun veya olmasın, şiddet ve doğrultuları aynı olan iki vektöre eşit vektörler denir. negatif vektör : Verilen bir F
vektörü ile aynı şiddet ve doğrultuda olan
ancak yönü F’in zıt yönünde olan vektördür. – F
ile gösterilir.
-∞
+∞
0a 0
a 0
a
F
F
F
- F
O
A
a
5
Eş değer vektörler : Eğer iki vektör belirli bir amaç için aynı etkiyi yapıyorlarsa, bu vektörlere bu anlamda eş değerlidir denir. Eş değer vektörler her zaman eşit değildirler. Üç hal sözkonusudur:
1. Eşit vektörler eş değerlidir.
21 FF
kuvvetleri O noktası üzerine eşit dönme tesiri yapıyorlar.
2. Eşit vektörler eş değerli değildir.
21 FF
kuvvetlerinin yaptıkları iş eşit değildir. O noktası üzerine farklı dönme tesiri yapıyorlar.
3. Eş değer vektörler eşit değildir.
21 F2F
kuvvetlerinin yaptıkları iş eşittir. O noktası etrafında yaptıkları tesir aynıdır.
2.2. Vektörlerin Toplanması (Bileşkesi) Vektörlerin toplanması skaler çokluklardan farklıdır. Vektörel çokluklarda toplama demek, aynı düzlem içinde bulunan vektörlere eş değer olan tek vektörü bulmak demektir. Bu vektöre bileşke vektör denir ve ya ölçekli bir çizimle veya trigonometrik yolla hesaplanır. Grafiksel çözüm yöntemleri : 1. Poligon yöntemi (uçuca ekleme yöntemi) : Önce, bir A başlangıç noktasına a
vektörü
götürülüp, a
vektörünün ucuna b
vektörü eklenir. Başlangıç noktasından itibaren çizilen bir vektörle iki kenarı a
ve b
vektörleri olan bir üçgen oluşturulur. Üçgeni oluştururken
çizilen bu vektör a
ve b
vektörlerinin toplamı yani bileşkesidir.
x O A
1F
2F
disk
x O A
2F
1F
B
x O A
2F
1F
B
a
b
a
b
ba
A B
C
6
2. Paralelkenar yöntemi : a
ve b
gibi iki vektörün toplamı, iki vektörü bir A başlangıç noktasına götürüp a
ve b
kenar olmak üzere bir paralelkenar çizilerek elde edilir. A’dan
geçen köşegen a
ve b
vektörlerinin toplamını gösterir ve bu toplam a
+ b
ile gösterilir. Her iki yöntem için geçerli olmak üzere, a
+ b
vektörünün şiddeti, a
ve b
vektörlerinin çiziminde kullanılan ölçekten yararlanılarak, bu bileşke kuvvetinin uzunluğu ölçülerek bulunur. a
ve b
vektörleri ile kurulan üçgen veya paralelkenar a
ve b
için seçilen sıraya bağlı olmadığı için vektörlerde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
ba = ab
Trigonometrik çözüm : Vektör toplamlarını trigonometrik olarak hesaplayabiliriz.
ACD dik üçgeninden c hesaplandığında: 222 .. SinbCosbac 222222 ...2 SinbCosbCosabac 22222 .2 SinCosbCosabac Cosabbac .2222 (bknz. Kosinüs teoremi) olarak bulunur. Buna göre, bileşke kuvvetin şiddetinin hesaplanabilmesi için a
ve b
vektörlerinin şiddetinin ve bu vektörler arasındaki açının bilinmesi gerekmektedir. = 900 olduğunda, yani a
ve b
vektörleri birbirine dik ise, Cos 900 = 0 olduğundan
yukarıdaki bağıntı aşağıdaki şekilde olacaktır: 222 bac
a
b
a
b
ba
A
a
b
bac
A
a
bc
A ●
b
Cosb.
Sinb.
B D
C E
7
Bir başka ifadeyle, yukarıdaki şekilde
ADB dik üçgen olacağından çözüm bağıntısı yine yukarıdaki gibi olacaktır (Pisagor teoremi). = 00 olduğunda ise, a
ve b
vektörleri birbirine paralel olacağından c = a + b olacaktır.
İkiden fazla vektörün bileşkesi söz konusu olduğunda, önce iki vektörün bileşkesi bulunup, bu bileşke vektörle üçüncü vektörün bileşkesi alınacaktır. Bileşkesi bulunacak vektör sayısına göre bu işlem sürdürülecektir. 2.3. Vektörlerin Çıkarılması b
vektörünü a
vektöründen çıkarmak için b
vektörü ters yönde alınıp (- b
) a
vektörü ile toplanır.
c
= a
- b
= a
+(-b
)
Kosinüs teoremine göre a
- b
vektörünün şiddeti: c2 = Cosabbaba .2222 veya c2 = )180(.2222 Cosabbaba olarak bulunur. 2.4. Vektörlerin Bileşenlerine Ayrılması Bu işlem toplama işleminin tersidir. Verilen bir V
vektörünü, yine verilen 1 ve 2
doğrultuları boyunca uzanan iki vektörün toplamı olarak göstermek demektir.
1
2
O V
1
2
1
2
O V
1
2
a
b
- b
a
A b
c
= a
-b
Paralelkenar yöntemi
a
A
b
c
= a
-b
Poligon yöntemi
8
Eğer bir vektörün bileşenlerine ayırdığımız 1 ve 2 doğrultuları birbirine dik ise, bu bileşenlere o vektörün dik bileşenleri denir. Bu durumda, birbirine dik olan yatay ve düşey doğrultular x ve y eksenleri olarak adlandırıldığından, V
vektörünün dik bileşenleri xV
ve yV
şeklinde gösterilecektir.
Benzer işlemler uzay için yapıldığında, V
vektörünün dik bileşenleri xV
, yV
ve zV
olacaktır. Bir vektörün x, y ve z eksenleri ile yaptığı açıların kosinüslerine doğrultman kosinüsler denir. Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi V
vektörünün x, y ve z eksenleri ile yaptığı
açılar , ve olsun. Buna göre, V
vektörünün şiddeti:
2z
2y
2x VVVV
ve bileşenleri: Vx = V. Cos Vy = V. Cos Vz = V. Cos ile hesaplanır.
V
O
yx VVV
x
y
V
Vθtan
V
O
yV
xV
x
y
z
y
x
O
zV
yV
xV
V
9
2.5. Bir Vektörün Bir Skaler ile Çarpımı a
+ a
toplamını 2 a
ile, a
+ a
+ a
toplamını 3 a
ile ve daha genel olarak n tane eşit a
vektörünün toplamını n a
çarpımı ile göstermek daha pratik olacaktır. Bu nedenle, bir n
sayısı ile bir a
vektörünün çarpımı, a
ile aynı doğrultuda ve şiddeti n a
olan tek bir vektör olarak gösterilecektir. Yönü ise, n > 0 için a
vektörüyle aynı yönde, n < 0 için a
vektörünün tersi yönde olacaktır. 2.6. Birim Vektör Şiddeti bir birim olan vektördür. Bir vektörün Oxyz eksen takımındaki dik bileşenlerinin birim vektörleri i, j ve k ile gösterilir. Her vektörün kendisine ait bir birim vektörü vardır. Birim vektör e
ile gösterilir. Herhangi
bir a
vektörünün birim vektörü ( ae
) :
aa ea.aa
ae
Buradan; zyx VVVV
kji
k
j
i
.V.V.VV
.VV
.VV
.VV
zyx
zz
yy
xx
Eşitliğin her iki tarafı V’ye bölündüğünde:
kjiV
V
V
V
V
V
V
V zyx
ve
Cos.i + Cos.j + Cos.k elde edilir.
x
z
y
zV
yV
xV
O i
j k
V
i j
k
10
2.7. İki Vektörün Birim Vektör Cinsinden Toplamı
kji .a.a.aaaaa zyxzyx
kji .b.b.bbbbb zyxzyx
kji ).ba().ba().ba(cccbac zzyyxxzyx
Yeni vektörün bileşenleri:
cx = ax + bx
cy = ay + by cz = az + bz olmaktadır. 2.8. İki Vektörün Birbiriyle Skaler Çarpımı a
ve b
gibi iki vektörün skaler çarpımı öyle bir sayıdır ki, bu sayı iki vektörün uzunluğu ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir. Skaler çarpım “•” işareti ile gösterilir. Burada açısının durumu önemlidir:
1. = 00 ise; b.a0Cos.b.abac 0
b//a
2. = 900 ise; 090Cos.b.abac 0
ba
Buna göre; eğer iki vektör birbirine dik ise skaler çarpım sıfırdır veya skaler çarpımı sıfır olan iki vektör birbirine diktir. Birim vektörler için duruma bakıldığında; i j, i k ve j k olduğundan,
i . j = i . k = j . k = 0 ve
i . i = j . j = k . k = 1 olur. Bu durumda iki vektörün skaler çarpımı aşağıdaki gibi olacaktır:
kji .a.a.aaaaa zyxzyx
kji .b.b.bbbbb zyxzyx
).b.b.b).(.a.a.a(b.ac zyxzyx kjikji
zzyyxx b.a000b.a000b.ab.ac
zzyyxx b.ab.ab.ab.ac
Cos.b.abac
a
b
O
11
ba olduğunda;
2z
2y
2x
2 aaaab.a
2z
2y
2x aaaa olacaktır.
2.9. İki Vektörün Birbiriyle Vektörel Çarpımı Vektörel çarpım “” veya “x” işaretleri ile gösterilir. bxac
ile ifade edilen bir vektörel çarpım sonucu elde edilen c
vektörünün;
a) Şiddeti a.b.Sin şeklindedir.
b) Doğrultusu x-y düzlemine veya
çarpılacak vektörlerin bulunduğu
düzleme diktir.
c) Yönü sağ el kaidesi ile bulunur.
d) axbbxa (değişme özelliği yok)
Vektörel çarpım özelliklerinden aşağıdaki ilişkiler bulunabilir: 1. axbbxa
2. = 00 ise b//a
: c = a . b . Sin00 = 0 3. = 900 ise ba
: c = a . b . Sin900 = a . b Buna göre, iki vektör birbirine paralel ise vektörel çarpım sıfırdır veya iki vektörün vektörel çarpımı sıfırsa bu vektörler birbirine paraleldir. Birim vektörler için duruma bakıldığında; ba
i x j = k j x k = i k x i = j ve j x i = - k k x j = - i i x k = -j olur.
i
j
k(-) (+)
y
x
z
a
b
c
12
Bu durumda iki vektörün vektörel çarpımı aşağıdaki gibi olacaktır:
kji .a.a.aaaaa zyxzyx
kji .b.b.bbbbb zyxzyx
).b.b.b(x).a.a.a(bxac zyxzyx kjikji
0).(b.a.b.a.b.a0).(b.a).(b.aba0bxac yzxzzyxyzxyx ijikj.k
kji .b.aba.b.ab.a.b.ab.abxac xyyxzxxzyzzy
İki vektörün vektörel çarpımı bir determinantın açılımı şeklinde de gösterilebilir:
zyx
zyx
bbb
aaabxac
kji
kji .b.aba.b.ab.a.b.ab.abxac xyyxzxxzyzzy
Bu vektörler tanımda belirtildiği gibi x-y düzleminde bulunursa:
k.b.ababxac xyyx
olur.
xzy
xzy
bbb
aaa
ikj
X
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
X
yxz
yxz
bbb
aaa
jik
X
yzzy b.ab.a zxxz b.ab.a xyyx b.aba
(1) (2) (3)
13
14
III. KUVVET VE MOMENT
3.1. Kuvvetin Tanımı ve Bileşke Kuvvet Kuvvet; bir cismi harekete geçiren, onu yavaşlatan veya hızlandıran, şeklini değiştiren etkene denir. Böyle bir etki şiddet, doğrultu ve yöne bağlı olduğu için kuvvet vektörel bir büyüklüktür. Vektörel işlemler bir önceki bölümde anlatılmıştır. Burada, bu işlemler kuvvet için özetlenmiştir.
kji zyxzyx FFFFFFF
Burada, Fx, Fy ve Fz kuvvetin dik bileşenleridir. Kuvvetin şiddeti:
2z
2y
2x FFFF
doğrultusu ise:
F
FCos,
F
FCos,
F
FCos zyx olmaktadır.
Bir cismin aynı anda çeşitli büyüklük ve doğrultuda kuvvetlerin etkisi altında bulunduğunu düşünelim. Kuvvetler aynı düzlemin içinde bulunuyor ve doğrultuları kesişiyorsa, bu kuvvetlerin yapabileceği etkiyi tek başına yapabilecek bir kuvvet bulunabilir. Bu kuvvete verilen kuvvetlerin bileşkesi denilir. Bulunan bileşke kuvvet kuvvetlerin toplamıdır. Daha önce anlatıldığı gibi paralelkenar yöntemi, trigonometrik yöntem veya bileşenlerine ayırma yöntemi ile toplama işlemi yapılabilir. Aşağıda 1F
ve 2F
vektörlerinin toplama işlemi
bileşenlerine ayırma yöntemine göre gerçekleştirilmiştir:
1F
= F1x.i + F1y.j + F1z.k
2F
= F2x.i + F2y.j + F2z.k
1F
+ 2F
= (F1x+ F2x).i + (F1y+ F2y).j + (F1z+ F2z).k
kji zyx FFFF
z2z1z
y2y1y
x2x1x
FFF
FFF
FFF
yeni vektörün bileşenleri
Daha genel bir anlatımla bileşke kuvvet:
zyx
1nn RRRFR
Rx.i + Ry.j + Rz.k
15
zz
yy
xx
FR
FR
FR
bileşke vektörün bileşenleri
vektörün şiddeti:
2z
2y
2x
2z
2y
2x )F()F()F(RRRR
doğrultusu:
R
RCos,
R
RCos,
R
RCos zyx olacaktır.
Düzlemde bileşke kuvvet (z = 0 olduğundan): vektörün şiddeti:
2y
2x
2y
2x )F()F(RRR
doğrultusu:
R
RCos,
R
RCos yx olacaktır.
3.2. Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti Statik konusuna girilirken cisimlerin boyutlarının ihmal edilmesine dayanan maddesel nokta tanımı yapılmış, bu şekilde temel statik işlemlerinin daha kolay anlaşılması amaçlanmıştır. Rijit bir cisme etkiyen bir F
kuvveti
dikkate alındığında, bu kuvvetin rijit cisme etkisinde şiddeti, doğrultusu ve yönü kadar A uygulama noktasının yeri de önemli olmaktadır. A’nın yeri, koordinat merkezi olan O’yu A ile birleştiren r
vektörü yardımıyla kolayca
tanımlanabilir; bu vektöre A’nın yer vektörü denir.
o O
F
r
A
h
ji .R.RRRR yxyx
yyxx FR,FR
x
y
R
Rtan
R
O
yR
xR
x
y
16
kji .z.y.xOAr
Moment, bir kuvvetin döndürme etkisidir. Bir F
kuvvetinin O noktasına göre momenti, bu
kuvvetin yer vektörü ile çarpımına eşittir ve M0 ile gösterilir.
FxrFxOAM 0
İki vektörün vektörel çarpımı sonucu elde edilen vektörün yönü sağ el kuralı ile belirlenmektedir. Buna göre M0’ın yönü, r
yer vektörünü F
kuvvetinin üstüne götürecek
dönmenin yönü ile tanımlanır; bu dönme ise F
’in cisme yaptırmak istediği dönmedir. Bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin şiddeti, o noktada kuvvete inilen dikmenin boyu (h) ile kuvvetin şiddetinin çarpımına eşittir.
M0 = r.F.Sin =h.F Bu durumda, kuvvet eğer O noktasından geçiyorsa, bu noktaya göre moment sıfır (h = 0) olacaktır. Diğer bir ifadeyle, bir kuvvetin kendi tesir çizgisi üzerindeki bir noktaya göre momenti sıfırdır. Yer vektörü A noktası dışında F
kuvvet vektörünün tesir çizgisi üzerinde bir B noktası
gibi başka bir nokta alındığında, bu B noktasına göre moment aşağıdaki gibi olacaktır:
FxrM 0
FxrM Bı
0
Fx)ABr(M ı0
0FxAB
MFxrM
0
ı0
AB//F
0ı
0 MM
Buna göre, yer vektörü için alınacak noktanın, F
kuvvet vektörünün tesir çizgisi üzerinde
herhangibir nokta olması O noktasına göre moment değerini değiştirmemektedir.
B
x
y
z
F
Br
A
r
F
h
r
x
y
z
A (x,y,z)
●
17
Moment iki vektörün vektörel çarpımı olduğundan aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:
z0y0x00 MMMM
kji .M.M.MM z0y0x00
FxrM 0
).F.F.F()x.z.y.x(M zyx0 kjikji
zyx
0
FFF
zyxM
kji
kji .F.yxF.F.xF.z.F.zF.y xyzxyz
momentin bileşenleri ise:
M0x = yFz - zFy
M0y = zFx – xFz M0z = xFy – yFx olmaktadır.
F
kuvveti ve r
yer vektörü aynı düzlem içinde ise: M0 = xFy – yFx olacaktır. 3.3. Varignon Teoremi Bir noktada birleşen çok sayıda kuvvetin bileşkesinin bir 0 noktasına göre momenti, bu kuvvetlerin 0 noktasına göre momentlerinin toplamına eşittir. Buna göre, bir kuvvetin bir noktaya göre momenti de, bu kuvvetin bileşenlerinin aynı noktaya göre momentlerinin cebirsel toplamına eşit olmaktadır. Örneğin, gözönüne alınan nokta 0, bileşen kuvvetler F1, F2, …., Fn, bileşke kuvvet R, kuvvetlerin 0 noktasına uzaklıkları sırası ile h1, h2, …., hn ise: h.R = h1.F1 + h2.F2 + ………. + hn.Fn veya M = M1 + M2 + ……… + Mn olur.
z
y
x
O
z0M
oyM
0xM
oM
18
IV. DENGE
Bir rijit cisme etki eden dış kuvvetler sıfıra eşdeğer bir kuvvet sistemi oluşturuyorsa, yani dış kuvvetler sıfır kuvvet ve sıfır kuvvet çiftine indirgenebiliyorsa, o cisme dengededir denir.Bir cismin dengesi için gerek ve yeter şartlar:
0F
yani 0R
0)Fxr(M0
Kuvvetler ve momentler dik bileşenlerine ayrılarak rijit cismin dengesi için gerek ve yeter şartlar altı skaler denklemle de ifade edilebilir: 0F0F0F zyx
0Mx 0M y 0Mz
4.1. Bir Maddesel Noktanın Denge Durumu Bir maddesel noktaya etki eden bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise maddesel nokta dengededir. İki kuvvetin etkisi altında bulunan bir maddesel noktanın dengede olması, bu iki kuvvetin aynı şiddette, aynı tesir çizgisi üzerinde ve zıt yönde olması şartıyla mümkündür. Aynı düzlem içinde ikiden fazla kuvvet etkisi altındaki bir rijit cismin dengede olabilmesi için 0Fx ve 0Fy olmalıdır.
4.2. Rijit Cismin Denge Durumu İki kuvvet etkisindeki bir cisim dengede ise o iki kuvvetin şiddet ve tesir çizgileri aynı, yönleri zıt olmalıdır. Üç kuvvet etkisinde ve dengede olan bir cisimde ise bu üç kuvvetin tesir çizgileri ya bir noktada kesişir veya birbirine paralel olur. Tesir çizgileri aynı noktada keşisiyorsa çözüm yine kuvvet üçgenine göre gerçekleştirilebilir.
19
V. SÜRTÜNME
“Tahtaya tebeşirle yazı yazarken tebeşiri tahtaya doğru bastırır ve hareket ettiririz.Tebeşir ile tahta arasındaki sürtünme, tebeşirden parçacıklar kopmasına neden olur. Kopan bu parçacıklar tahtaya yapışırlar.Sürtünme gerekli olandan az ise tebeşir kayar ve tahtaya art arda birçok kez değer. O gıcırtı sesinin ortaya çıkmasının nedeni de budur. Tebeşir ile tahta arasındaki sürtünme kuvveti, tahta ile tebeşir arasındaki açıyla ve iki nesnenin değme alanlarının büyüklüğü ile bağlantılıdır. Sinir bozucu ses ile sürtünme az olduğunda karşılaşırız.” 5.1. Sürtünme Kuvveti Bazı problemlerde cisimlerin birbirlerine temas eden yüzeylerinin pürüzsüz (cilalı) olduğu kabul edilir. Gerçekte ise bütün yüzeyler az yada çok pürüzlüdür. Denge durumunda iki cismin birbirine uyguladığı etki ve tepki kuvvetlerinin doğrultusu, dayanma yüzeyine ait normal doğrultu olarak kabul edilir. Pürüzsüz veya cilalı dayanma diye isimlendirilen bu ideal durumun dışında etki veya tepki kuvvetleri sadece normal doğrultuda değil, teğetsel doğrultuda da bir bileşene sahiptir. Sürtünme sonucu ortaya çıkan bu teğetsel kuvvete sürtünme kuvveti adı verilir. Sürtünme kuvveti daima hareket eden cismin hareketini engelleyici yönde etki edecektir, yani yönü cismin hareket yönünün tersi yönde olacaktır. Birbirine değen iki cisim arasında sürtünmeden dolayı oluşacak kuvvetler aşağıda gösterilmiştir:
1s1t1n11 FNRRR
2s2t2n22 FNRRR
Pürüzlü yüzeylerdeki tepki kuvvetleri normal doğrultu ile mutlaka bir açı yapar. Normal üzerindeki bileşenler normal tepki, teğet üzerindeki bileşenler sürtünme kuvvetleridir. Yani tepki kuvvetlerinin teğet ve normal doğrultu üzerindeki bileşenleri sürtünme kuvvetler ile normal tepki olarak gösterilir.
1R
2R
1N
2N
1sF
2sF
n n
t
t
I
II
t: teğet n: normal
20
Sürtünme kuvveti ile normal kuvvetin oranına sürtünme katsayısı denir. Sürtünme katsayısı normal kuvvetten bağımsızdır; ancak sürtünme kuvveti normal kuvvetle doğru orantılıdır.
N
F=tanμ s
s
İki tür sürtünme vardır. Bunlar:
a) Kuru sürtünme (Coulomb sürtünmesi) b) Sıvı sürtünme
5.2. Kuru Sürtünme Bir cismin diğer bir cisim üzerinde kaymaya başladığı ana kadarki sürtünmeye statik sürtünme, haraket halinde iken söz konusu olan sürtünmeye de kinetik sürtünme denir.
N
W
sF
P
Fs
P
Fs1
Fk = Fs2
Fsmax
P1 P2 P3
Denge Hareket
Fk=k.N
N
W
sF
Yatay düzlemde sola hareket eden bir blok üzerine etki eden tepki kuvvetleri
P
n
t
W
N
sF
R
Eğik düzlemde sola hareket eden bir blok üzerine etki eden tepki kuvvetleri
P
21
W ağırlıklı bir blok yatay bir düzlemdeyken üzerine etki eden kuvvetler N ve W’dir. Bloğa yatay bir kuvvet uygulanırsa, karşılığında P’yi etkileyen Fs oluşur. P yatay kuvveti arttırılırsa Fs’de artar. Bu artış belli bir Fsmax değerine ulaşıncaya kadar devam eder. P’nin değeri daha fazla arttırılırsa Fs kuvveti artık P kuvvetini dengeleyemez ve blok kaymaya başlar. Bu anda, Fsmax değeri daha küçük Fk = k.N değerine düşer. Bunun nedeni, temas yüzeyleri birbirine göre hareket edince yüzeylerin pürüzlülükleri arasında daha az bir girişim olmasıdır. Bu andan sonra blok harekete devam eder ve Fk sabit bir değerde kalır. Deneyler sonucunda statik sürtünme kuvvetinin yüzey tepkisinin normal bileşeni (N) ile orantılı olduğu görülmüştür. Ayrıca s > k ve Fs > Fk şeklinde yorumlanır. Bir blok yatay bir yüzeyle temasta ise dört farklı durum ortaya çıkar:
1. Bloğa etkiyen kuvvet onu temas yüzeyi boyunca harekete zorlamaz. Bu durumda sürtünme kuvveti yoktur.
2. Bloğa etkiyen kuvvet cismi temas yüzeyi boyunca harekete zorlar, fakat hareket ettirecek kadar büyük değildir.
2 1
Fs = s.N (Denge hali) s : Statik sürtünme katsayısı N : Normal tepki
2
1
Fk = k.N (Hareket hali) k : Kinetik sürtünme katsayısı N : Normal tepki
NR
W
P
y
x
0F0F0F sx
0WPN0Fy
N = P + W
s = , 0F
0FP0F sxx
Px = Fs
0WPN0F yy
N = Py + W
N
W
sF
P
y
x
xP
yP
yx PPP
22
3. Hareket başlamak üzeredir ve sürtünme kuvveti en yüksek değerine ulaşmıştır. Yani Fs = s.N’dir ve çözüm denge denklemlerine göre gerçekleştirilir.
4. Blok kuvvetlerin tesiri altında hareket etmektedir ve artık denge denklemleri
uygulanamayacaktır. Sürtünme kuvveti Fk = k.N şeklindedir. Hareket denkemi: 5.3. Sürtünme Açıları Dayalı iki cismin birbirine yaptığı etki ve tepkinin doğrultusu ile dayanma noktasındaki normal doğrultu arasındaki açı sürtünme açısı adını alır. Sürtünme açısı; cilalı yada pürüzsüz dayanma halinde sıfır, sürtünmeli durumda ve kayma başlangıcında ise en büyük değerini alır. Bu açının tanjantı sürtünme katsayısına eşittir. : Sürtünme açısı tan =
N
W
N.F kk
P
y
x
xP
yP a.mF
0Fx Px > Fk
0WPN0F yy
N = Py + W
N
W
maxss FF
P
y
x
xP
yP
s = 0 , 0F
0FP0F maxsxx
Px = Fsmax = s.N
0WPN0F yy
N = Py + W
23
Bazı problemlerde denklemleri yazarken N normal tepki kuvveti ile Fs sürtünme kuvveti yerine bileşkeleri olan R’yi kullanmak daha uygundur. Yatay durumdaki W ağırlıklı bloğun üçüncü ve dördüncü hali incelendiğinde; III. durum: Hareket başlangıcı sırasında statik sürtünme açısı statik sürtünme katsayısına eşittir. IV. durum: Fs > Fk , s > k , tan s > tan k koşulları daima geçerli olacaktır. Bu bilgilerden sürtünme katsayısı verilmemiş olan problemlerde yararlanılabilir. Bir kısım malzemeye ait statik sürtünme katsayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Kinetik sürtünme katsayıları yaklaşık olarak bu değerlerden % 25 daha azdır.
Malzeme s Malzeme s
metal-metal 0.20-0.80 ahşap-kayaç 0.40 ahşap-ahşap 0.25-0.70 toprak-toprak 0.20-1.00 metal-ahşap 0.20-0.60 lastik-beton 0.60-0.80 kayaç-kayaç 0.40-0.70 lastik-buz 0.05-0.20 metal-kayaç 0.30-0.70 çelik-buz 0.03
N
Fθtanμ maxs
ss
W
maxsF
3P
y
x
x3P
y3P
R
N
s
k : Kinetik sürtünme açısı
N
Fθtanμ k
kk
W
kF
4P
y
x
x4P
y4P
R
N
k
24
5.4. Kamalar Büyük blokları ve ağır yükleri kaldırmakta ve dengeye getirmekte, konumlarında küçük düzeltmeler yapmakta yaygınca kullanılan basit makinalardır. Uygun şekil verilmiş kamalar temas yüzeylerindeki sürtünmeler nedeniyle yük altında sıkıştırılınca yerlerinde kalırlar. Kamalar büyük blokları ve ağır yükleri kaldırmakta kullanıldığından, problem çözümlerinde kamanın kütlesi verilmediğinde ihmal edilecektir. Kamanın eğik yüzeyi belli bir açıya sahiptir ve bu açı ≤ 50 ~ 100 değerini alır. Teorik örnek: Aşağıda görülen şekildeki gibi, bir A bloğunun hareket ettirilip B yüzeyine yaslatılabilmesi için D kamasına uygulanması gereken P kuvvetinin belirlenmesi istenmiş olsun.
0F
0NF0F 21sx
Fs1 = N2 …………………. (1)
0WFN0F A2s1y
N1 = Fs2 + WA …………… (2)
y
x Fs1 = s.N1
Fs2 = s.N2
1N
1sF
2sF
2N
AW
A
B P
A
C D
Çözüm için öncelikle serbest cisim diyagramları çizilip denge denklemleri yazılır: A bloğu için:
BR
DR
25
D kaması için:
0F
0SinNCosFFP0F 33s1sx ………… (3)
0NSinFCosN0F 13s3y …………….. (4)
Denge denklemlerinden yararlanılarak çözüme geçilir. Amaç bilinenler cinsinden P’yi ifade etmektir. Bilinenler A bloğunun ağırlığı (WA), sürtünme katsayısı (s) ve kamanın eğim açısı () olduğuna göre çözüm:
s
2121s
1s1s
21s
μ
NNNN.μ
N.μF
NF)1(
s
A12A2s1
2s2s
A2s1
μ
WNNWN.μN
N.μF
WFN)2(
(1) ve (2)’den 2
s
A1A11
2s2
s
A11
μ1
WNWNN.μ
μ
WNN
SinCosμNNμSinNCosNμNμP
NμN
SinNCosFFP)3(s31s33s1s
3s3
33s1s
SinμCos
NNNSinNμCosNNSinFCosN)4(
s
1313s313s3
SinCosμSinμCos
NNμSinCosμNNμP)3( s
s
11ss31s
Fs3 = s.N3
3N
3sF
1N
1sF
P
D
26
SinμCosμ
SinCosμ1Nμ
SinμCos
SinCosμμNP
ss
s1s
s
ss1
SinμCosμ
SinCosμ1
μ1
μWP
ss
s2
s
sA
5.5. Kayış (Halat) Sürtünmesi Kayış ve halat gibi bükülebilen elemanların makaralar, kasnaklar, tamburlar üzerinde kaymaya başlama sınırı, her tip kayış, kasnak tertibatı, bantlı frenler ve çıkrıkların yapımında önemlidir.
Şekildeki kasnak, T1 ve T2 kayış kuvvetleri, dönmeye engel olmak için gerekli M momenti ve R yatay tepkisinin etkisi altındadır. Momentin dönüş yönüne göre daima T2 > T1’dir. Kasnak ile halat birbirlerine ters yönde dönmek isteyecektir.
d
M R
O
T1
T2
: Sarım açısı (radyan) n defa sarılmış bir kasnak için: = n.2
n
t
T
d
T+dT
d/2
d/2
dN
dFs
O
dN: Kayış ve tambur arasındaki tepki kuvveti dFs = s.dN
Halat hareket yönü
27
Yukarıdaki şekilde elementer bir kayış parçasının serbest cisim diyagramı görülmektedir. Bu diyagramadan yararlanılarak yazılan denge denklemleri aşağıda verilmiştir:
0F
02
dCos)dTT(dF
2
dCos.T0F st
………… (1)
02
dSin)dTT(
2
dSin.TdN0Fn
………….. (2)
(1) yatay denkleminden: 02
dCos.dT
2
dTCosdF
2
dCos.T s
2
dCos.dTdN.μdF ss elde edilir.
d elemanı oldukça küçük seçildiği için d açısı çok küçük bir değer taşımaktadır. Bu
açının yarısı daha da küçük bir değer alacaktır. Bu durumda; 12
dCos
olarak
alınabilir. Buna göre yukarıdaki bağıntı aşağıdaki gibi yazılabilir:
s
s μ
dTdNdTdN.μ ………………... (3)
(2) düşey denkleminden: 02
dSin.dT
2
dSin.T
2
dSin.TdN
2
dSin.dT
2
dSin.T2dN
d açısının çok küçük bir değer taşıdığı belirtilmişti, buna göre
2
d0
2
dSin olarak
yazılabilir. Bu durumda, yukarıdaki bağıntı aşağıdaki şekli alacaktır:
TddN2
d.T2dN ……………… (4)
(3) ve (4) bağıntılarından:
θTdμ
dT
s
olarak bulunur.
28
d ve dT gibi parçaların toplamı belirli integral ile bulunur:
θd.μT
dTs
β
0
s
T
T
dθμT
dT2
1
β
0s
T
T.θμlnT 2
1
lnT2-lnT1 = s.
.βμT
Tln s
1
2
se
T
T
1
2
)TT(e.TT 1212s
şeklinde genel bağıntı elde edilmiş olur. Burada, T2 kayış yada halatın çekilen kısmındaki kuvveti, T1 ise karşı koyan kısmındaki kuvveti gösterir (T2 > T1). Daima radyan cinsinden ifade edilmesi gereken açısı 2’den daha büyük olabilir. Örneğin, halat n defa sarılmışsa:
= n.2
olur.
29
VI. AĞIRLIK MERKEZİ
K gibi bir rijit cisim n sayıda parçaya ayrılabilir. Bu parçaların hepsine yerçekim kuvvetinden doğan yerçekim ivmesi etki eder (g
). Parçalara etki eden
yerçekimi kuvvetleri dünyanın merkezine doğru yönlenmiştir, ancak açısal farklılıklar ihmal edilebilir derecede küçük olduğundan birbirlerine paralel olarak kabul edilebilirler. Bu durumda bileşkeleri de aynı doğrultuda tek bir kuvvet olmaktadır. Buna göre, bu cismin bütün ağırlıkları M g
gibi bir yer çekimi
kuvveti oluşturur. K cisminin kütlesi M ise; M = m1 + m2 + ............... + mn
W
=
n
1ii g.m
= M g
olacaktır.
Bu bileşke kuvvetin yani cismin ağırlığının uygulama noktasına ağırlık merkezi denilir ve G ile gösterilir. W
bileşkesinin etkiyeceği G noktasının koordinatlarını elde etmek için, W
’nin GG xvey eksenlerine göre momentlerinin, parça ağırlıklarının aynı eksenlere göre
momentleri toplamına eşit olduğu ( bknz. Varignon teoremi) yazılır.
n
1iiinn2211Gy wxwx........wxwxWx:M
n
1iiinn2211Gx wywy........wywyWy:M
m
mxx
m
mx
gm
gmx
W
wxx Gn
1ii
n
1iii
n
1ii
n
1iii
n
1iii
G ............................................ (1)
m
myy
m
my
gm
gmy
W
wyy Gn
1ii
n
1iii
n
1ii
n
1iii
n
1iii
G ............................................ (2)
x M g
G
m1
m2 m3 m4
mn g
K cismig
30
Cismi oluşturan parçaların da sonsuz sayıda taneciklerden oluştuğu düşünülürse G noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olacaktır: Uzay için GGG z,y,xG :
dm
zdmz
dm
ydmy
dm
xdmx GGG
K cismi; kütlesi m ve yüzey alanı A olan n adet parçadan meydana gelen, yoğunluğu ve kalınlığı t olan homojen bir plaka şeklinde düşünülürse:
A.t.mA.t
m
v
m
olur ve buradan, (1) ve (2) bağıntıları ile verilen G noktası koordinatları aşağıdaki gibi olacaktır:
A
Ax
A.t.
Ax.t.
m
mxx G
A
Ay
A.t.
Ay.t.
m
myyG
Plaka şeklindeki K cisminin sonsuz sayıda elemandan oluştuğu düşünülürse GG y,xG :
dA
ydAy
dA
xdAx GG olur.
Benzer şekilde; uzunluğu L ve en kesiti a olan homojen bir tel, kütlesi m ve uzunluğu l olan n adet parçaya bölündüğünde:
lala
..m.
m
v
m
ağırlık merkezi GG y,xG :
l
l
l
l yy
xx GG olur.
*Eğer bir eksen ağırlık merkezinden geçerse o eksene göre statik moment sıfır olacaktır.
31
Çok kullanılan biçimlerin ağırlık merkezleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:
BİÇİM GÖRÜNÜM x y ALAN
Üçgen
3
b
3
h
2
bh
Dörttebir daire
3
4r
3
4r
4
2r
Yarım daire
0
3
4r
2
2r
Dörttebir elips
3π
4a
3π
4b
4
πab
Yarım elips
0
3π
4b
2
πab
Yarım parabol (20)
8
3a
5
3h
3
2ah
Parabol (20)
0
5
3h
3
4ah
Parabol parçası (20)
4
3a
10
3h
3
ah
h
a
y
x
y = kx2
O
hy
x a
G G
O O
a
y
x
r
O
G G
O
by
x O
G G
a
O
b
h
y G
O x
32
BİÇİM GÖRÜNÜM x y ALAN
Parabol parçası (genel)
a2n
1n
h2n4
1n
1n
ah
Daire dilimi
3α
αSin2r.
0
r2
Dörtebir daire yayı
2r
2r
2
r
Yarım daire yayı
0
2r
r
Daire yayı
α
αSinr.
0
2r
y
x
r
O
G G
O
h
a
yG
x
y = kxn
O
G
x
O
r
G
x
O
r
33
Bir cisme ait ağırlık merkezinin yeri belirlenirken: 1) Uygun bir eksen takımı seçilir. Bu eksen takımı genellikle dik kenarlardır. Simetri
özelliği bulunan şekillerde eksen takımı orta noktadan geçirilir. 2) Cisim belirli geometrik şekillere ayrılıp numaralandırılır. 3) Bir tablo oluşturulur. 4) Tablodan yararlanılarak ağırlık merkezi koordinatları hesaplanır. 5) Bulunan koordinatlara göre ağırlık merkezi şekil üzerinde gösterilir.
34
VII. DÜZLEMSEL TAŞIYICI SİSTEMLER
7.1. Tanım Bir mühendislik yapısına etki eden dış yüklerin istenmeyen yer değiştirmelere sebep olmasını önleyerek ve istenilen güvenlik sınırları içinde kalarak hareketi kısıtlayan rijit veya şekil değiştiren sistemlere taşıyıcı sistem denir. Bazı taşıyıcı sistemler geometrilerine veya taşıdıkları yüklere göre sınıflandırılırlar. Kirişler, çerçeveler, kemerler, kafes sistemler, kablolar taşıyıcı sistemlere örnektir. Taşıyıcı sistemlerin zemin ve diğer cisimler yardımıyla düzlemdeki hareketlerinin kısıtlandığı noktalara bağ veya mesnet denir. Bu noktalarda oluşan kuvvetlere bağ kuvvetleri veya mesnet tepkileri denir. 7.2. Mesnet veya Bağlardaki Tepkiler Düzlem taşıyıcı sistemlere gelen tepkiler mesnetlerin türüne göre aşağıdaki gibi gruplandırılır: a) Tesir çizgisi bilinen tepkiler : Tesir çizgisi bilinen bir tepki oluşan mafsallar (bağlar); cilalı yüzeyler, kayıcı mesnetler, pandül ayaklar (sarkaç şeklinde) ve kablolardır.
KAYICI MAFSAL
Tepki Gösterim
CİLALI YÜZEY
Tepki
F
F
35
KABLO
Tepki
PANDÜL AYAK
Tepki Gösterim
b) Doğrultusu bilinmeyen bir kuvvetin oluştuğu tepkiler : Bu gruptaki tepkileri oluşturan mesnetler sabit ve pürüzlü (sürtünmeli) yüzeylerdir.
SABİT MESNET
Tepki Gösterim
veya
PÜRÜZLÜ YÜZEY
Tepki
xF
yF
F
F
xF
yF
F
F
36
Bu tür mesnetlerde cisim mesnet etrafında dönebilir ancak herhangi bir öteleme yapamaz. Bu gruptaki tepkiler iki bilinmeyenlidir; x ve y bileşenleri ile gösterilir. Bu bileşenlerin yönleri serbest cisim diyagramlarında keyfi seçilebilir. Pürüzlü yüzeylerde yüzeye dik olan kuvvet dışarı yönlendirilir. c) Bir kuvvet ve bir kuvvet çiftinin oluşturduğu tepkiler : Bu tepkilerin oluşturduğu mesnetlere ankastre mesnet denir. Bu tür mesnetler cismin her türlü hareketine engel olurlar.
ANKASTRE MESNET
Tepki Gösterim
d) Tesir çizgisi bilinen bir kuvvet ve bir kuvvet çiftinin oluşturduğu tepkiler : Bu tür tepkilerin oluştuğu mesnetlere kayıcı ankastre mesnet denir. Bu mesnetlerde belli bir doğrultuda hareket serbestliği vardır. Dolayısıyla hareket doğrultusuna dik bir kuvvet ile bir kuvvet çifti oluşur.
KAYICI ANKASTRE MESNET
Tepki
Mesnet tepkilerinin yönü başlangıçta istenildiği gibi seçilebilir. Elde edilen sonuç işaret kabulünün doğru veya yanlış olduğunu gösterir. Negatif işaret mesnet tepkisinin yönünün şiddeti aynı kalmak şartıyla ters yönde olacağını gösterir.
M
F
M
yF
xF M
F
37
7.3. Kuvvetlerin Sınıflandırılması Taşıyıcı sistemlere etki eden kuvvetler aşağıdaki gibi sınıflandırılır: a) Tekil ve yayılı kuvvetler: Bir noktaya veya çok küçük alanlara etkiyen kuvvetlere tekil kuvvetler denir. Örneğin, kirişlere asılan ağırlıklar, bir masa ayağının etkisi gibi kuvvetler tekil kuvvetlerdir. Kuvvetler bir kiriş veya döşemenin kenar ağırlığı, bir kum yığının ağırlığı, rüzgar basıncı ve sıvı basıncı gibi doğrusal veya alansal şekilde yayılı da olabilir. Kirişin ağırlığı doğrusal yayılı yük iken diğerleri alansal yayılı yük olabilir.
Birim alana veya birim boya etkiyen yüke yayılı yükün şiddeti denir. Birim boya etkiyen yük birimi kg/m, ton/m, Nt/m gibi ifade edilebilirken, birim alana etkiyen yük birimi kg/m2, ton/m2, Nt/m2 şeklinde ifade edilir.
Doğrusal yayılı yükler düzgün üçgen, yamuk, parabolik vs. türlerde olabilirler. Bunlar, yayılış biçimlerini gösteren yük diyagramları ile gösterilirler.
1F
2F
3F
3F
2F
1F
4F
q = f(x)
q
a
Düzgün yayılı yük
q
a
Parabolik yayılı yük
a
q q0
Üçgen yayılı yük
38
Statikte yayılı kuvvetler yerine eşdeğer tekil kuvvetler alınarak işlem yapılır. Yani yayılı kuvvet yerine tekil kuvvet konabilir. Tekil kuvvetin şiddeti yük diyagramının altındaki alana eşittir. Tesir çizgisi ise bu diyagramın ağırlık merkezinden geçer.
b) Dış ve iç kuvvetler : Dış kuvvetler incelenen cismin serbest cisim diyagramında gösterilmesi gereken kuvvetlerdir. Bunlar cisme doğrudan etkiyen kuvvetler ile ağırlık kuvveti ve cismin mesnetlendiği veya başka cisimlere bağlandığı noktalardaki kuvvetlerdir. Cisim bir kaç parçadan meydana gelmişse, bu parçaların bileşim noktalarında birbirine uyguladıkları kuvvetler iç kuvvetlerdir. Bir cismin iki parçaya ayrıldığı (A ve B gibi) düşünülürse, ayırma yüzeyinde bu parçalardan birinin diğerine (B’den A’ya) etki ettiği kuvvet cisim için iç kuvvet olduğu halde A için bir dış kuvvettir.
AR
BR
A B
W
1F
2F
3F
4F
A B
1F
2F
a.qR
a / 2 a / 2
2
q.R 0a
q0
2a / 3 a / 3
a
0
dz.qR
xG
a
39
7.4. Mesnet Tepkilerinin Hesabı Düzlem kuvvetler halinde denge denklemleri sayısı üçtür. Bunların biri moment denklemi diğer ikisi x ve y eksenleri üzerindeki iz düşüm denklemidir. Bu üç denklemden üçten fazla olmamak şartıyla bilinmeyenler çözülür. Her tip yükleme için denge denklemleri yardımıyla mesnet kuvvetleri hesaplanabilen sistemlere izostatik (statikçe belirli) sistemler denir. Bu tür cisimlere de tam bağlı denir. Tam bağlı bir cisim statikçe belirli, statikçe belirli bir cisim tam bağlıdır.
Mesnet tepkilerinin (bağ kuvvetlerinin) sayısı denge denklemlerinden fazla ise bu sistemlere hiperstatik (statikçe belirsiz) sistemler denir. Rijit cisim bu durumda fazla bağlıdır denir.
İzostatik Sistemler
40
Bilinmeyen mesnet tepkisi sayısı ile denge denklemlerinin sayısı arasındaki fark hiperstatik sistemin mertebesini gösterir. Örneğin, iki mafsallı bir düzlem çerçevede dört adet bilinmeyen mesnet tepkisi vardır. Denge denklemleri sayısı üç olduğuna göre iki mafsallı çerçeve birinci mertebeden hiperstatik bir sistemdir. Bilinmeyen tepki sayısının denge denklemi sayısından az olduğu sistemlere eksik bağlı veya oynak sistem denir. Bu tip sistemlerde her yükleme için denge sağlanamaz ancak bazı özel yükleme durumlarında denge sağlanabilir. Tepkilerin sayısı denge denklemi sayısına eşit olduğu halde bağların uyumsuzluğu nedeniyle mesnet tepkileri hesaplanamaz. Bu durumda sistemin yetersiz bağlı olduğu söylenir. Yetersiz bağlar da statikçe belirsizlik doğurur.
F
F
Denge var. Denge yok.
F
Denge var.
F
Denge yok.
Yetersiz bağlı sistemler
41
7.5. En Çok Kullanılan Bazı Taşıyıcı Sistemler Statikçe belirli sistemlerde mesnet tepkilerinin hesabı serbest cisim diyagramından yazılan denge denklemleri ile yapılır.
Basit kiriş Çıkmalı kiriş (balkon)
Konsol kiriş
Kolon
Çerçeve
Kemer
42
Bir çok cismin birbirlerine belli bir biçimde bağlanması ile elde edilen sistemlerdir. Kafes sistemler, çerçeveler, Gerber kirişleri örnek olarak gösterilebilir. Bu sistemlerin hesabından iç bağ ve dış bağ (mesnet) kuvvetlerinin bulunması anlaşılır. Dış bağ kuvvetlerinin hesabında denge denklemlerinin yeterli olduğu sistemlerde önce mesnet tepkileri hesaplanır. İç bağ kuvvetleri ise sistemi iç bağlarından elemanlarına ayırarak her bir elemanın denge denklemi yazılarak elde edilir. Serbest cisim diyagramında iç bağ kuvvetleri için etki-tepki prensibi dikkate alınır. 8.1. Düzlem Kafes Sistemleri
8.1.1 Tanım ve Sınıflandırılması Birbirlerine sürtünmesiz mafsallarla bağlı doğru eksenli çubuklardan oluşan çok parçalı taşıyıcı sistemlerde yükler mafsallara etki ediyorsa, böyle sistemlere kafes sistemler denir. Kafes sistemlerin mafsal noktalarına düğüm noktaları denir. Bir çok mühendislik problemlerinde özellikle köprü, çatı, pilon v.s. taşıyıcı sistemlerin projelendirilmesinde pratik ve ekonomik bir çözüm sağlar.
düğüm noktası
(mafsal)
Kafes sistem
VIII. ÇOK PARÇALI TAŞIYICI SİSTEMLER
43
8.1.2. Çeşitli Yapılarda Kullanılan Kafes Sistem Türleri Kafes sistemlerde dügüm noktaları perçinli veya kaynaklı birleşmelerle birleştirilir. Diğer çok bağlı sistemlerde olduğu gibi kafes sitemlerde kendi içlerinde tam bağlı, fazla bağlı ve az bağlı (bknz. Bölüm 7.4) olabilirler.
Statiğin konusuna giren kafes sistemler gerek mesnet, gerekse çubuk kuvvetleri yönünden izostatik olanlardır. Burada da tam bağlı kafes sistemlere örnekler verilmiştir. Tipik çatı kafes kirişleri :
Pratt
Howe
Fink
Tam bağlı Az bağlı Fazla bağlı
44
Tipik köprü kafes kirişleri :
Pratt
Howe
Warren
Baltimore
K kafes kirişi
45
8.1.3. Tam Bağlı Kafes Sistemler A) Basit kafes sistemler : Kendi içinde tam bağlı en basit kafes sistem üçgen kafes sistem denilen üç çubuğu ve üç düğüm noktası bulunan sistemdir. Bu üçgen baz alınıp iki yeni çubuk ve yeni bir düğüm noktası ekleme yöntemiyle bir basit kafes sistem elde edilir. Bu işlem sırasında yeni düğüm noktasında birleşen iki çubuğun aynı doğrultuda olmaması gerekir. Basit kafes sistemlerde toplam düğüm noktası sayısı (mesnetler dahil) d ve toplam çubuk sayısı ç ise aşağıdaki bağıntı yazılabilir:
2d-ç = 3 Pratt, Howe ve Warren kafes sistemleri basit kafes sistemleridir. B) Bileşik kafes sistemler : Basit iki veya daha fazla kafes sistemi birbirlerine mafsal veya çubuklarla tam bağlanarak elde edilen kafes sistemlerdir. 2d-ç = 3 bağıntısı bu sistemlerde de geçerlidir. Fink, Baltimore ve K kafes kirişleri bileşik kafes sistemleridir. C) Karmaşık kafes sistemler : Kuruluş biçimleri belli bir kurala uymayan kafes sistemleridir. Her düğüm noktasında en az üç çubuk bulunur.
F
46
8.1.4. Hesap Metodları Kafes sistemlerde düğüm noktaları sürtünmesiz mafsallarla oluştuğundan ve çubukların ağırlıkları ihmal edildiğinden çubuklar sadece eksenel kuvvet etkisindedir. Eksenel kuvvet çekme veya basınç olabilir. Kafes sisteminin hesabından amaç bilinen dış yüklerin etkisinde eksenel çubuk kuvvetlerinin bulunmasıdır. Kafes sistemlerinin çubuk kuvvetleri analitik ve grafiksel yöntemle hesaplanabilir. Analitik yöntem olarak düğüm noktaları yöntemi, Ritter kesimi ve çubuk değiştirme yöntemi kullanılabilir. A) Düğüm noktaları yöntemi : Düğüm noktaları yönteminde öncelikle, tüm kafes sisteminin serbest cisim diyagramından yararlanılarak mesnet tepkileri hesaplanır. Çözüme iki çubuklu düğümden başlanarak, bu düğüm noktasının denge denklemlerinden bilinmeyen iki çubuk kuvveti hesaplanır. Hesaplanan değerler (etki-tepkiden) komşu düğüm noktalarına iletilir ve o düğümler için bilinen değerler olur. Aynı işlem, ardışık olarak, iki bilinmeyenli diğer düğümlere uygulanarak bütün çubuk kuvvetleri bulunur. Çubuk kuvvetlerinin yönü başlangıçta daima çekme yönünde seçilebilir. Sonucun işareti (+) çıkarsa çekme, (-) çıkarsa basınç olduğu anlaşılır. Sonuçta çubuk kuvvetleri bir tablo halinde düzenlenebilir. Aşağıda verilen kafes sistemi için düğüm noktaları yönteminin çözüm aşamaları verilmiştir. Önce verilen şekil üzerinde düğüm noktaları adlandırılarak çubuklar numaralandırılmıştır. Buna göre, serbest cisim diyagramı çizilmiştir.
basınç çekme
1F
2F
A B
C
1
2
3 4
5 D
47
A düğümü için: Serbest cisim diyagramı çizilip denge denklemleri yazılır.
C, D ve B düğüm noktaları için de aynı çözüm yolu takip edilerek diğer çubuk kuvvetleri bulunur. Aşağıda, belirtilen düğüm noktaları için serbest cisim diyagramları verilmiştir.
C düğümü : D düğümü : B düğümü :
B) Kesim (Ritter) yöntemi : Kafes sisteminin bütün çubukları değil de ara kısımdaki bir kaç çubuğun hesabı söz konusu olduğu zaman ve bileşik kafes sistemlerinin hesabında kullanılan bir yöntemdir. Kafes sistem, hesaplanması istenen çubuklardan üçü kesilerek iki parçaya ayrılır ve her bir parçaya ait serbest cisim diyagramı çizilir. Parçalardan birine, özellikle daha az sayıda kuvvet etkisinde olana ait denge denklemleri yazılarak aranan çubuk kuvvetleri bulunur. Denge denklemlerini, bilinmeyen kuvvetlerin kesişme noktalarına göre alınan iki moment ve düşey veya yatay bir izdüşüm denklemi şeklinde yazmak işlemleri daha çok kısaltır.
D
F2
S5 S2
S3
C F1
S1
S3
S4 By
S5
S4
B
S1
Ax
Ay S2
.bulunurSveS
0Sin.SA0F
0Cos.SSA0F
0F
21
1yy
12xx
.bulunurB,A,A
0M
0F
0F
0F
yyx
y
x
1F
2F
A B
C
1
2
3 4
5 xA
yA
yBD
48
Aşağıda verilen kafes sistemi, kesim yöntemi ile ikiye bölünmüştür. Elde edilen parçalara bakıldığında, I nolu parça üzerinde çözüme gidilmesi, yani denge denklemlerinin I nolu parçaya göre yazılıp çubuk kuvvetlerinin hesaplanması, II nolu parçaya göre daha kolay çözüme ulaşılmasını sağlayacaktır.
C) Çubuk değiştirme (Henneberg) yöntemi : Karmaşık kafes sistemlerde her düğüm noktasında en az üç çubuk bulunması ve kuruluşlarında belli bir kurala uyulmaması nedeniyle ilk iki yöntem doğrudan kullanılamaz. Bu durumda çubuk değiştirme yöntemi kullanılır. Bu yöntemde, çubuklardan biri yerinden alınarak başka iki düğüm noktası arasına konulur. Dikkat edilecek nokta, çubuğun yerinin değiştirilmesi sonucu kafes sistem tam bağlılığını korumalı ve düğüm noktaları yönteminin kullanılması mümkün olmalıdır.
A
S1
S2
S3
F1
Ax
Ay
F2
B
F3
By
S1
S2
S3
I II
F4 F4
A B
1
2
3
F1 F2 F3
49
8.2. Üç Mafsallı Çerçeve ve Kemerler Birinci mertebeden hiperstatik bir sistem olan iki mafsallı çerçeve veya kemere bir ara mafsal eklenirse elde edilen sistem üç mafsallı sistem adını alır. Mafsal moment kabul etmiyen bir bağ türü olduğundan mafsala göre sistemin bir yarısına etki eden kuvvetlerin momentleri toplamı sıfır etmelidir. Böylece denge denklemlerine ek olarak bir moment denklemi daha elde edilir. Dört bilinmeyen için dört denklem yeterli olduğundan üç mafsallı çerçeve veya kemerin izostatik olduğu anlaşılmış olur. Üç mafsallı sistemin çerçeve veya kemer oluşu mesnet tepkileri yönünden bir fark yaratmaz. Ara mafsallardaki mafsal kuvvetlerini bulmak için sistem mafsallarından bölünerek parçalara ayrılır. Her bir parçanın dengesinden bilinmeyenler kolayca hesaplanır. Üç mafsallı sistemlerin mesnet tepkileri grafik yöntemle de bulunabilir.
A B
C
I II
Ay
Ax
Cx
Cy
Cy
Cx
Bx
By
50
8.3. Gerber Kirişleri İki mesnetli basit kiriş yerine daha çok mesnetli bir sürekli kiriş söz konusu olabilir. Böyle bir sürekli kirişin mesnet tepkilerinin sayısı üçten fazla olduğundan izostatik değil hiperstatiktir. Bu sistemi izostatik hale getirmek için hiperstatiklik mertebesi kadar ara mafsalın uygun şekilde sisteme yerleştirilmesi gerekir. Böylece izostatik hale getirilen kirişlere Gerber kirişleri adı verilir. Gerber kirişlerinin mesnet tepkileri genel olarak denge denklemlerine ara mafsal sayısı kadar eklenecek denklemlerle bulunabileceği gibi mafsallı sistemlerde uygulandığı şekilde sistemi mafsallardan parçalamak suretiyle de hesaplanabilir. Gerber kirişinin ara mafsallardan bölünmesi halinde; basit kiriş, çıkmalı kiriş ve konsol kiriş gibi izostatik sistemler elde edilir. Bunların mesnet tepkileri ayrı ayrı bulunarak Gerber kirişine ait tepki kuvvetleri kolayca belirlenir.
A B C
D
I
Ay By
Ax
Dy
Dx
II
Cy
Dy
Dx
51
8.4. Çerçeveler Kafes sistemler tamamen mafsallardan ve normal kuvvet çubuklarından oluşan sistemlerdir. Normal kuvvet etkisindeki çubuklarda kuvvetler çubuk eksenleri boyunca etki etmektedir. Çerçeveler birçok kuvvetin etkidiği elemanları bulunan, yükleri taşımak için tasarlanmış ve genellikle sabit, tam bağlı sistemlerdir. Yani elemanlarından en az bir tanesi üç ya da daha çok kuvvet etkisindedir. Genellikle bu kuvvetler elemanların eksenleri doğrultusunda etkimez; bunların doğrultuları bilinmez ve bundan ötürü bu kuvvetler bilinmeyen iki bileşeni ile gösterilir.
W
A
B
CE
D
G
I
W
Ax
B
C
E
D
Ay
A
Çerçevenin tümünün serbest cisim diyagramı
FT
52
II (a) II (b)
II (c)
RB
B
E -RE
(Bknz. Bölüm 7.2 pandül ayak)
WRE
-Cy
E-Cx
C F
Ax
B
C
D
Ay
A
Cy Cx
-RB
T
53
IX. ATALET MOMENTLERİ 9.1. Tanımlar Düzlem bir şeklin atalet momenti veya ikinci mertebe alan momenti mukavemette çok kullanılan matematiksel bir tanımdır. Örneğin, düzlem şekle ait alan elemanı dA, bu elemanın x eksenine uzaklığı y ise şeklin x eksenine göre atalet momenti:
AdyI 2x
integrali ile tanımlanır. Benzer biçimde aynı düzlem şeklin veya alanın y eksenine göre atalet momenti:
AdxI 2y
olur. Görüldüğü gibi atalet momenti düzlem şeklin matematiksel bir özelliğidir. Bir düzlem şeklin atalet momenti, o şeklin alanı veya ağırlık merkezi gibi özellikleri kadar açık biçimde göz önünde canlandırılamaz. Ancak, boyutları verilen bir şekil için sayısal olarak hesaplanabilir. Atalet momentleri alan ile uzaklığın karesinin çarpımı olduğundan L4 boyutundadır. Çoğu zaman cm4 bazen de m4 ile ölçülürler. Atalet momentlerinin tanımında uzaklıkların karesi geçtiği için, bunlar ister pozitif, ister negatif olsun, pozitif olarak hesaba girerler ve sonuç da daima pozitif olur. Çarpım atalet momenti
AxydI xy
integrali ile tanımlanır. Bu değer pozitif, negatif veya sıfır olabilir. 0’dan uzaklığı gösteren r’ye göre tanımlanan
AdrI 2o
integraline de 0’ya göre kutupsal atalet moment denir. r2 = x2 + y2 olduğundan, Io = Ix + Iy olduğu kolayca görülebilir. Bilinmesi gereken bir diğer önemli ifade ise atalet yarıçapıdır. Şekilde görüldüğü gibi, A alanlı cisim, x ekseninden aynı uzaklıkta uzun (sonsuz ince) bir şerit haline dönüştürülürse, bunun uzaklığı olan ix’e atalet yarıçapı denir.
x
y
dA y
x
O
r
54
Bu şerit için atalet momenti
Ix = ix2A
olduğundan atalet yarıçapı
A
Ii xx
olarak bulunur. Benzer şekilde;
A
Ii
yy
ve
A
Ii oo
şeklinde yazılabilir ve burada io
2 = ix2 + iy
2 olduğu görülmektedir. 9.2. Paralel Eksen (Steiner) Teoremi Özellikle bileşik alanların atalet momentlerinin hesabında belirli bir eksen takımı için atalet momentlerinin hesaplanması gerekecektir. Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleri bulunabilirken, bu eksenlere paralel olan diğer eksenlere göre atalet momentlerine ihtiyaç olacaktır.
A ix
x
x´
y´
dA
dx
G
x dy
y
O
55
Ağırlık merkezinden geçen ̅, eksenlerine göre atalet momentleri I ̅ ve I olsun. Bunlara paralel x´, y´ eksenlerine göre atalet momentleri bulunmak istensin. ̅ ve x´ eksenleri arasındaki dik uzaklık dx ve ve y´ eksenleri arasındaki dik uzaklık dy şeklinde tanımlanmaktadır. x´ eksenine göre atalet momenti
AdyI2
x
olur, oysa y´= y + dx olduğundan atalet momenti
AAAA xxxx dddyd2dyddyI 222
şeklinde yazılabilir. Sağ yandaki ilk integral ̅ eksenine göre atalet momentidir, yani I ̅’tir. İkinci integral ̅ eksenine göre statik momenttir ve ̅ ekseni ağırlık merkezi ekseni olduğu için bu integral sıfır olur. Üçüncü integral ise A kesit alanıdır. Buna göre;
Ix´= I ̅ + Adx2
olur ve benzer şekilde
Iy´= I + Ady2
elde edilir. Bu yönteme paralel eksen teoremi (Steiner teoremi) denir. Paralel eksen teoremi; bir alanın ağırlık merkezine göre atalet momenti bilinirken paralel başka bir eksene geçmekte, veya tam tersi durum için kullanılabilir. Ağırlık merkezinden geçmeyen iki eksen için kullanılırken önce ağırlık merkezine göre bulunup ikinci bir taşıma daha yapılmalıdır. Paralel eksen teoremine göre; bir alanın ağırlık merkezinden geçen bir eksene göre atalet momenti, o eksene paralel olan bütün eksenlerinkine göre en küçüğü olmaktadır. Çünkü başka eksenler için daima bir sayı eklenmesi gerekmektedir. 9.3 Basit Şekillerin Atalet Momentleri Basit şekillerin atalet momentlerinin bilinmesi bileşik şekillerin atalet momentlerinin bulunmasında kolaylık sağlayacaktır. Aşağıda dikdörtgen, üçgen ve daire için atalet momentlerinin hesaplanışı verilmiştir. Dikdörtgen: Bir dikdörtgenin ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre I ̅ , I ve Io atalet momentlerinin ve atalet yarıçaplarının hesaplanışı:
I ̅’i hesaplamak için, aynı y uzaklığında olan alan elemanlarından oluşan yatay bir şerit seçilir. dA = bdy olduğundan
32/h
2/h
22 bh12
1ydbyIAdyI
xx
elde edilir.
y
dy
b
h G
•
56
Benzer şekilde I hesaplandığında
32/b
2/b
22 hb12
1xdhxIAdxI
yy
bulunur. Dikkat edilirse, I ̅ ile farkı, bağıntıda ‘b’ ile ‘h’ın yerlerinin değişmiş olmasıdır. Bu durumda kutupsal atalet momenti
)hb(12
A
12
hb
12
bhIII 22
33
o yx
ve atalet yarıçapları
32
h
12bh
bh
A
Ii
3 x
x , 32
b
12bh
hb
A
Ii
3 y
y
32
hb
12A
)h(bA
A
Ii
2222o
o
olarak bulunur. Üçgen: Bir üçgenin tabanından geçen eksene göre atalet momentinin hesaplanışı: Üçgende tabana paralel bir şerit
alındığında dA=xdy olacaktır. Ayrıca benzer üçgenlerden
bh
yhx
h
yh
b
x
yazılabilir.
Bu durumda atalet momenti
12
bhybd
h
yhydAyI
3h
0
22
x
olarak bulunur.
b
h
x
dy
y
x
57
Daire: Bir dairenin merkezine göre kutupsal atalet momenti ile çapına göre atalet momenti nin ve atalet yarıçaplarının hesaplanışı:
Daire üzerinde O’dan aynı r uzaklığında bulunan elemanların oluşturduğu bir halka elemanı alınırsa, bu halka elemanının alanı dA = 2rdr olacaktır. Buna göre, kutupsal atalet momenti
2
Rrdr2rdArI
4R
0
22o
olarak bulunur.
I ̅’i bulmak için dairenin eksenlere göre simetri oluşundan yararlanılabilir. Bu durumda;
Io = I ̅+I = 2I ̅ 4
πRI
2
1I
4
o x
ve atalet yarıçapları
2
R
R2
R
A
Ii
2
4o
o
2
R
R4
R
A
Iii
2
4
x
yx
olarak bulunur. Bileşik şekillerin atalet momenti problemlerinin çözümü için bilinmesi gerekli olan basit şekillerin atalet momentleri aşağıda tablo halinde verilmiştir.
Dikdörtgen
12
hbI,
12
bhI
3
y
3
x
3
hbI,
3
bhI
33 yx
y
x
R
r dr
o
G
y´
x´ b
h
58
Üçgen
36
bhI
3
x
12
bhI
3
x
Daire
4
rII
4 yx
2
rI
4
o
Yarım Daire
8
πrII
4 yx
4
πrI
4
o
Dörtte Bir Daire
16
rII
4 yx
8
rI
4
o
Elips
4
πbaI,
4
πabI
33 yx
)bab(a4
πI 22o
o
y
r
x
y
r
x o
G -
y
x
G
o
r
y
o
a
b
G
h/3
x´ b
h
59
9.4. Bileşik Şekillerin Atalet Momentleri Düzlem bileşik şekiller önce atalet momentleri bilinen basit şekillere bölünür. İstenen eksene göre, paralel eksen teoremi de kullanılarak, her bir parçanın atalet momenti hesaplanır. Bunların matematiksel toplamı bileşik şeklin atalet momentini verir. Bileşik şekilde mevcut boşlukların atalet momentleri negatif işaretle işlem görür. Mukavemette genellikle ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleri kullanılır. Bu nedenle önce şeklin ağırlık merkezi belirlenir, sonra ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleri bulunur. 9.5. Kütlelerin Atalet Momentleri Bir kütle elemanının eksenel atalet momenti kütle elemanı ile elemanın eksene olan uzaklığının karesinin çarpımına eşittir. Bir kütle elemanının düzlemsel atalet momenti kütle elemanı ile elemanın düzleme olan uzaklığının karesinin çarpımına eşittir. Bir kütlenin eksenel veya düzlemsel atalet momenti bütün elemanlarının eksene veya düzleme göre atalet momentlerinin toplamına eşittir.
momentleriataletEksenel
md)yx(I
md)zx(I
md)zy(I
22
22
22
z
y
x
momentleriataletDüzlemsel
mdxI
mdyI
mdzI
2
2
2
yz
xz
xy
Ix = Ixy + Ixz olmaktadır. 9.6. İnce Levhaların Atalet Momentleri
dmyI 2x
dmxI 2y
yx II)dmy(xdmρI 222o
dm
x
x
y
y
60
Paralel eksen teoremine göre atalet momenti:
I´= I + md2
Bir eksene göre cismin jinasyon yarıçapı:
m
Ik x
x
m
Ik
yy
9.7 Asal Eksenler ve Asal Atalet Momentleri Bir alanın bir eksene göre atalet momenti bilinirken, ona paralel başka eksenlere göre atalet momentlerini belirlemek için paralel eksen teoremi kullanılır. Bir alanın bir x, y eksen takımına göre Ix, Iy ve Ixy atalet momentleri bilinirken, bu eksen takımına göre açısı kadar dönmüş x´, y´ eksenlerine göre Ix´, Iy´ ve Ixy´ atalet momentlerinin hesabında ise farklı bir yol izlenir.
Yeni x´, y´ koordinatları ile x, y koordinatları arasındaki bağıntılar şekildeki dA elemanı için aşağıdaki gibi olacaktır:
x´ = x Cos + y Sin
y´ = y Cos - x Sin Bu değerlere göre atalet momentinin tanımından:
dAxSinxydACos2SindAyCosdA)xSin(yCosdAyI 222222x
22 SinICosSin2ICosII yxyxx
elde edilir. Benzer işlemler Iy´ ve Ixy´ için tekrarlandığında
x
y
y
x
x´ y´
dA
O
x´ y´
yCos
xSin
ySin xCos
61
22 CosICosSin2ISinII yxyxy
)Sin(CosICos)SinI(II 22 xyyxxy
bulunur. Aşağıda verilen trigonometrik bağıntılardan yararlanıldığında
2
2SinCosSin,
2
2Cos1Cos,
2
2Cos1Sin 22
yeni eksen takımına göre atalet momentleri aşağıdaki gibi olacaktır:
Sin2ICos22
II
2
III xy
yxyxx ………………………………….… (1)
Sin2ICos22
II
2
III xy
yxyxy ……………………………………. (2)
Cos2ISin22
III xy
yxxy ……………………………………………… (3)
Ix´ ve Iy´ bağıntıları taraf tarafa toplandığında Ix´+ Iy´ = Ix + Iy ……………………………………………………...………… (4) olarak bulunur. Bu toplam kutupsal atalet momentini verdiğine göre elde edilen sonuç doğaldır. Iy´ atalet momenti (2) veya (4) bağıntısı yardımıyla hesaplanabilmektedir, ancak (4) bağıntısı daha pratik çözüm vermektedir. x, y eksen takımına göre Ix, Iy ve Ixy atalet momentleri bilinirken, bu eksen takımına göre açısı kadar dönmüş x´, y´ eksenlerine göre Ix´, Iy´ ve Ixy´ atalet momentleri (1), (2 veya 4) ve (3) bağıntıları yardımıyla hesaplanabilmektedir. Buna göre, (1), (2), (3) ve (4) bağıntıları atalet momentleri hesabında genel bağıntılar olmaktadır. Çarpım atalet momentini sıfır yapan eksenlere asal eksenler ve bu eksenlere göre bulunan atalet momentlerine de asal atalet momentleri denir. x, y eksenlerine göre Ixy sıfır olursa, yani Ix ve Iy asal atalet momentleri olduğunda genel bağıntılar:
Cos22
II
2
III
yxyxx ……………………………..…………………. (5)
Cos22
II
2
III yxyx
y ……………………………..…………………. (6)
62
Sin22
III
yxxy ………………………………………..…………………. (7)
şeklini almaktadır. Asal eksenler, aynı zamanda atalet momenti değerlerinin ekstremum, yani maksimum ve minimum olduğu eksenlerdir. x, y eksen takımına göre Ix, Iy ve Ixy atalet momentleri bilinirken asal eksenler ve asal atalet momentleri bulunmak istendiğinde ise matematikteki ekstremum nokta hesabında kullanılan yöntemden yararlanılır. Bunun için öncelikle (1) bağıntısının türevi alınır (dIx´/d = 0):
Sin2ICos22
II
2
III xy
yxyxx
02Cos2I)2Sin2(2
IIoo
xy
yx
buradan;
yx
xy
II
2Itg2 o
………………………………………..…………………….. (8)
elde edilir. Bu ise, atalet momentlerinin maksimum ve minimum değerleri aldığı eksenlere ulaşmak için x, y eksen takımının ne kadarlık bir o açısıyla döndürülmesi gerektiğini verir. Bu şekilde bulunan x´ ve y´ eksenlerine asal atalet eksenleri denir. (1) ve (2) bağıntısında o açısı yerine konularak Ix´ ve Iy´ asal atalet momenti değerleri hesaplanır. (1) bağıntısının ikinci türevinin işaretine göre Ix´ ve Iy´ asal atalet momenti değerlerinin hangisinin maksimum veya minimum olduğu belirlenir. Asal atalet momentlerinin değerini elde etmek için (8)’deki bağıntıdan elde edilen 2o açısını (1), (2) ve (3) denklemlerinde yerine koymak gerekir. Bu durumda, şağıdaki ilişkiler elde edilir:
22
maks1 I2
II
2
IIII xy
yxyx
………………..………………….. (9)
22
min2 I2
II
2
IIII xy
yxyx
………………..…………….…….. (10)
Ixy´ = 0
O halde, asal atalet eksenlerine göre çarpım atalet momenti sıfırdır. Bu özellik asal atalet ekseninin tanımında geçmektedir. Ayrıca, bir kesit alanın simetri ekseni varsa, yukarıda açıklandığı gibi, o eksenle ona dik eksene göre çarpım atalet momenti sıfır olduğundan, bu eksen takımı asal eksen takımı olur.
63
9.8. Mohr Dairesi Bir önceki bölümde (9.7) yeralan (1) ve (3) numaralı denklemler aşağıda verildiği gibi yazılıp karesi alınırsa
22
Sin2ICos22
II
2
III
xy
yxyxx ………………………………….… (11)
2
2Cos2ISin2
2
III
xyyx
xy ……………………………………………… (12)
2SinISin2.ICos2
2
II22Cos
2
II
2
III 222
22
xyxyyxyxyx
x ... (13)
2CosICos2.ISin2
2
II22Sin
2
III 222
22
xyxyyxyx
xy …………… (14)
elde edilir. (12) ve (13) bağıntıları taraf tarafa toplandığında açısından bağımsız aşağıdaki denklem elde edilir:
22
22
I2
III
2
III xy
yxxy
yxx
………………………………………. (15)
Burada; 2
IIIort
yx ve 22
I2
IIR xy
yx
denilirse,
222ort RIII xyx …………………………………………………………… (16)
denklemi elde edilir. Bu denklem merkezinin apsisi Iort ve ordinatı sıfır olan R yarıçaplı bir daire gösterir. İşte bu daire Mohr dairesi olarak bilinir.
64
Mohr dairesi yardımıyla asal atalet momentleri ve açısı grafiksel yöntemle bulunabilir. Ix, Iy, Ixy verilmiş olsun. Mohr dairesine ait iki noktayı bulmak için koordinatları (Ix, Ixy) olan A noktası ile koordinatları (Iy, Iyx) olan B noktası alınır. Bu iki nokta birleştirildiğinde dairenin merkezi elde edilir. AB çap olacak şekilde bir daire çizilir. Asal atalet momentlerini bulmak için önce Mohr dairesinde x ekseni üzerindeki çapa götüren açı ölçülür (2p). Bu açının yarı değeri asal eksenlerin yerini gösteren açıyı verir. Benzer şekilde, Mohr dairesi yardımıyla asal atalet momenti değerlerinden yararlanılarak açısı kadar döndürülmüş eksenler için atalet momenti değerleri grafiksel yöntemle belirlenebilir. Bu defa; asal atalet momenti değerlerinden yararlanılarak Mohr dairesi çizilir. Şekildeki A ve B noktaları arasındaki çap asal eksenleri temsil etmekte olup, döndürme açısının iki katı kadar döndürülür. Yeni çapın daireyi kestiği noktalar aranan değerleri verir. Şekildeki C ve D noktaları bu değerleri vermektedir.
Imin Imaks
Ixy
Ix, Iy
A(Ix, Ixy)
M o 2p
B(Iy, Iyx)
Ixy
Ix, Iy M C 2
A(Ix, 0)
B(Iy, 0)
C(Ix´, Ixy´)
D(Iy´, Iyx´)
65
X. VİRTÜEL İŞ METODU Rijit cisimlerin dengesi ile ilgili problemlerde bilinmeyenler Fx, Fy ve belirli bir noktaya göre alınan moment denge denklemleri yardımıyla çözülür. Burada, bir kuvvetin işi kavramına dayanan ve belirli türdeki problemlerin çözümü için önerilen farklı bir yöntem anlatılacaktır. 10.1. Bir Kuvvetin İşi
Bir A noktasından bir A´ noktasına bir F
kuvveti etkisi altında hareket eden bir maddesel noktanın işi:
r
d.FdW olmaktadır. Burada r
d vektörüne maddesel
noktanın yer değiştirmesi veya deplasmanı denir. İş;
dW = FdrCos olarak da yazılabilir.
Bileşenler cinsinden elemansal iş;
kji zyx FFFF
zkyjxir dddd
dW = (Fxi + Fy j + Fz k).(dxi + dyj + dzk) dW = Fxdx + Fydy + Fzdz şeklinde olacaktır. dW skaler bir büyüklük olduğundan, işin şiddeti ve işareti vardır ancak doğrultusu yoktur. dar açı ise iş pozitif, geniş açı olduğunda ise iş negatif olur. 10.2. Virtüel (Sanal) İş İlkesi
n21 F,......,F,F
kuvvetlerinin etkisinde bulunan maddesel nokta A’dan A´ noktasına kadar yer değiştirdiğinde, bu yer değiştirme çok küçük olduğundan, buna bir virtüel deplasman denir ve r
ile gösterilir. Her bir n21 F,......,F,F
kuvvetinin r
virtüel deplasmanı sırasındaki yaptığı işe virtüel iş denir.
F
F
A´
A r
d
r
rr
d
O
1F
2F
nF
r
A
A´
66
Bir maddesel noktanın r virtüel yer değiştirmesi sırasında n21 F,......,F,F
kuvvetlerinin
yaptığı toplam iş:
r
r
rrr
.RW
).F........FF(W
.F.........F.FW
n21
n21
olarak bulunur. n21 F,......,F,F
kuvvetlerinin yaptığı toplam virtüel işin, bu kuvvetlerin
bileşkesi olan R
bileşke kuvvetinin yaptığı işe eşit olduğu görülmektedir. Bir maddesel noktanın sonlu bir yer değiştirmesi sırasında, etki eden bileşke kuvvetin yapacağı virtüel iş, yolun değişik bir tutum izlemesinden dolayı integral ile çözülebilir:
10.3. Virtüel İş Prensibi Bir maddesel noktaya etki eden kuvvetlerin yaptırdıkları virtüel işlerin cebirsel toplamı sıfır ise kuvvetler daima dengededir. Diğer bir ifadeyle, çeşitli kuvvetlerin etkisindeki bir maddesel nokta dengede ise bu kuvvetlerin yaptırdığı virtüel işlerin cebirsel toplamı daima sıfıra eşittir.
A
B
y
x
z
B
A
AB zyx )dFdFdF(W zyx
