eso 2

Actividades de ampliación

Unidad 1 | Divisibilidad. Números enteros

Unidad 1 Divisibilidad. Números enteros 1. Piensa en este acertijo: ¿cómo hay que ordenar las nueve cifras del 1 al 9, sin repetirlas y usándolas todas,

para obtener un múltiplo de 9?

2. Seguro que conoces perfectamente los criterios de divisibilidad de 2, 3, 5, 9, 10 y 11, pero existen otros. Por ejemplo, ¿serías capaz de descubrir el criterio de divisibilidad del 7?

3. Otro acertijo tradicional dice así: ¿qué cifra hay que poner en lugar de la X para que el número 58 4X7 439 sea múltiplo de 11?

4. Este es un acertijo clásico atribuido a Einstein que posiblemente ya conozcas, pero tal vez no sepas resolver con una base matemática lógica. Inténtalo.

–¿Cuántos años tienen ya tus tres hijas? –le preguntó un colega a Einstein.

–Seguro que lo aciertas. El producto del número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa –contestó el científico.

–Me falta un dato –añadió su colega.

–¡Ah! ¡Es verdad! La mayor toca el piano –contestó muy feliz Einstein.

5. Una conjetura es un enunciado que parece cierto pero que no ha podido ser demostrado totalmente. Por ejemplo: “todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos”. Aunque se han conseguido avances notables, aún no se dispone de una demostración completa. Compruébalo para números pares menores de 50.

6. Dos personas A y B juegan del siguiente modo:

Dado un número de objetos N (de manera que permita hacer varias jugadas a cada jugador), toman alternativamente, a su elección, uno, dos o tres objetos, con la condición de que el que retire el último objeto pierde en el juego.

¿Cómo tiene que jugar A para estar seguro de ganar?

7. Coloca el paréntesis donde corresponda:

a) 7 + 3 – 5 · 2 + 4 · 3 – 1 + 3 = 24 d) 7 + 3 – 5 · 2 + 4 · 3 – 1 + 3 = –10

b) 7 + 3 – 5 · 2 + 4 · 3 – 1 + 3 = –30 e) 7 + 3 – 5 · 2 + 4 · 3 – 1 + 3 = 17

c) 7 + 3 – 5 · 2 + 4 · 3 – 1 + 3 = 14

8. Un caracol sube por un palo de 20 metros de altura, ascendiendo 3 metros durante el día y resbalando 2 metros por la noche. ¿Cuánto tarda en llegar a la punta del palo?

9. Con seis bolas de billar, numeradas del 1 al 6, ¿será posible construir un triángulo invertido como el de la figura, utilizando todas las bolas, de tal modo que el valor de las bolas inferiores sea la diferencia en valor absoluto de las dos bolas superiores?

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Unidad 2 | Potencias y raíces cuadradas

Unidad 2 Potencias y raíces cuadradas 1. Potencias de base racional: La paradoja de Zenón. En el siglo V antes de Cristo, un filósofo griego, Zenón de Elea, quiso demostrar que el movimiento no existe, y

para ello razonó de la siguiente manera: “Si quiero ir de A a B, primero debo recorrer la mitad de la distancia AB. Después, la mitad de lo que queda; después, la mitad del resto…, y así sucesivamente. El proceso ha de repetirse infinitas veces y, por tanto, el tiempo que se requiere es infinito. En conclusión, nunca llegaré a B”.

Supongamos que queremos recorrer una distancia de 1 km. a) ¿Qué distancia recorreremos en cada paso siguiendo el proceso descrito por Zenón? Expresa el resultado

con un número racional. Calcula la distancia recorrida en los 5 primeros pasos.

b) ¿A qué valor se acerca n

21 si tomamos valores muy grandes de n?

2. Expresa como cociente de dos potencias:

a) 323

72·

72

−

− b) 2524

91

91

91

3. Escribe el resultado lo más simplificado posible.

a) ( ) ( )32 2

4 3

2 2 8 24 2 16 2⋅ − ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ b)

1 3

1 2 3 1

5 5 25:81 3 9

n n n

n n n

+ +

− − +

⋅⋅

4. Si elevamos 100 a la 100ª potencia y dividimos el resultado entre 11, ¿cuál es el resto?

5. a) ¿A qué valor se acerca 3n si n es grande?

b) ¿A qué valor se acerca 13

n

si n es grande?

c) ¿A qué valor se acerca 13

n −

si n es grande?

6. Tenemos una potencia de 3 de tres cifras y una potencia de 5 también de tres cifras. Si la cifra de las

decenas de la potencia de 5 coincide con la cifra de las decenas de la potencia de 3, ¿de qué potencia de 3 estamos hablando?

7. Simplifica las siguientes expresiones.

a) 7

73·37 b)

102·

425

8. Calcula las siguientes operaciones.

a) 625

4 b) 6254258 c)

250

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Unidad 3 | Fracciones y decimales

Unidad 3 Fracciones y decimales 1. a) Demuestra que si a c

b d< , entonces a a c c

b b d d+

< <+

(es decir, a cb d++

está entre las dos fracciones).

b) Utiliza esta propiedad para encontrar una fracción entre 35

y 49

.

Indicación: Primero tienes que demostrar que a a cb b d

+<

+, o lo que es lo mismo, ( ) ( )a b d b a c+ < + .

Después puedes demostrar la segunda parte de la desigualdad: dc

dbca<

++ .

2. Determina cuál es la vigésima cifra decimal de estos números cuando los expresamos como decimales:

123999

123990

4513

3. Ya sabes cómo encontrar el decimal que corresponde a una fracción. ¿Podrías saber qué tipo de decimal corresponde a una fracción observando su denominador? Para ayudarte, completa la siguiente tabla.

Fracción Decimal Tipo de decimal Descomposición en factores primos del denominador.

51

32

65

Añade algunas filas más para diferentes fracciones: 1 3 1 4 5 3 23 4 1 7, , , , , , , , ,10 20 22 9 12 50 16 11 13 15

.

4. Asocia cada uno de estos números con una de las cantidades dadas:

Números Cantidades

5,98 · 1022 Paso de un tornillo en milímetros

1,50 · 10–1 Masa del electrón en kilogramos

9,10 · 10–31 Masa de la Tierra en toneladas

5. En el prospecto de un analgésico se especifica que cada mL contiene 0,1 g de paracetamol. Las dosis

aconsejadas son las siguientes: de 0,03 a 0,04 g por kg de peso corporal como dosis diaria. a) ¿Cuántos mL al día pueden administrarse como máximo a un niño que pesa 8 kg? b) ¿Y si el niño pesa 15 kg? c) Si se desea administrar a un niño de 15 kg la dosis diaria en tres tomas cada ocho horas, ¿cuántos mL

deberán administrarse en cada toma?

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Unidad 4 | Magnitudes proporcionales

Unidad 4 Magnitudes proporcionales 1. Dos poblaciones A y B distan 350 km. Un coche sale de A hacia B a una velocidad de 110 km/h, y un

camión, de B hacia A con una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se encuentran?

Nota: El problema es equivalente a que un vehículo se desplace de una ciudad hacia otra a una velocidad de 110 + 90 = 200 km/h.

2. Un corredor de maratón comienza a entrenar a las 8 de la mañana a 8 km/h. A las 9 de la mañana, otro

corredor sale a 9,5 km/h. ¿A qué distancia alcanzará al primero?

3. En una granja, para alimentar a 30 cerdos durante 10 días se necesitan 450 kilos de pienso. ¿Cuánto pienso será necesario para alimentar a 50 durante un mes?

Nota: Aplica el método de reducción a la unidad.

4. Cinco máquinas trabajando 16 horas diarias fabrican 9600 tornillos. ¿Cuántos tornillos fabricarán 4 máquinas trabajando 24 horas al día?

5. Ocho obreros realizan una obra en 5 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 10 horas diarias?

Nota: Calcula las horas totales.

6. Dos pintores emplean 5 horas en pintar un muro de 6 metros de alto por 15 de largo. Para pintar un muro de 5 metros de alto por 27 de largo se han contratado 3 pintores ¿Cuánto tardarán en pintarlo?

7. Un coche tarda 6 horas en recorrer la distancia entre Sevilla y Valencia. ¿Cuánto tardarán en recorrer dicho trayecto 12 coches iguales?

8. Un obrero tarda en levantar una pared 12 horas. ¿Cuánto tardarán en levantar la pared 12 obreros? ¿Y 1440 obreros? ¿Es lógico este último resultado?

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Unidad 5 | Expresiones algebraicas

Unidad 5 Expresiones algebraicas 1. Vamos a buscar una fórmula para encontrar el cuadrado de un trinomio: desarrolla la expresión

( )2a b c+ + , encontrando una fórmula general para este tipo de expresiones. Aplica dicha fórmula para calcular los siguientes cuadrados.

a) ( )22 3 4x x+ + b) ( )23 2 1x x+ +

2. Desarrolla la expresión ( )2a b c d+ + + , encontrando una fórmula general para este tipo de expresiones. Aplica dicha fórmula para calcular los siguientes cuadrados.

a) ( )22 3 4x x y+ + + b) ( )22 3 1xy y x+ + +

3. En 1856 se editó en Francia un libro muy curioso: Tabla de los cuadrados de los números 1 al 1000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de números… Compuesta por Alejandro Cossar. Desde nuestro punto de vista resulta bastante ridícula semejante publicación, ¿verdad? Sin embargo, no se trata de una original forma de pasatiempos, pues la utilidad de este tipo de tablas consistía en que permitían transformar productos en sumas y realizar productos de valores grandes más ágilmente. Evidentemente, en aquella época no había calculadoras. El mecanismo consistía en utilizar

igualdades como esta: ( ) ( )2 2

4a b a bab + − +

= .

a) ¿Sabrías demostrar esta igualdad?

b) Utiliza la igualdad para calcular 2479 · 1457 empleando los datos:

(2479 + 1457)2 = 15 492 096 y (2479 – 1457)2 = 1 044 484

Realiza la misma operación directamente. ¿Cómo te ha resultado más corto?

4. Se considera la expresión algebraica a2 + b2 + (ab)2.

a) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 0, b = 1.

b) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 7, b = 8.

c) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 5, b = 6.

d) Demuestra que la expresión dada resulta siempre un cuadrado perfecto si a y b son dos valores consecutivos. (Indicación: intenta expresarla como el cuadrado de un trinomio).

5. El binomio de Newton es una fórmula general que nos permite desarrollar potencias de cualquier exponente de un binomio. Empecemos tanteando los casos más sencillos.

a) Ya conoces la fórmula del cuadrado de una suma: ( )2 2 2 2x y x y xy+ = + + . ¿Podrías encontrar una fórmula

para desarrollar el cubo de una suma, ( )3x y+ ?

b) ¿Podrías encontrar a qué es igual ( )4x y+ ?

c) La fórmula del binomio de Newton es la siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 1 1 0...0 1 2 1n n n n n nn n n n nx y x y x y x y x y x yn n

− − −+ = + + + + +− , donde los coeficientes ( )nk se calculan

con la fórmula ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1 2 ... 3 2 11 2 ... 3 2 1 1 2 ... 3 2 1

n n nnk n k n k n k k k k

− − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

− − − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅.

Aplica la fórmula del binomio de Newton para calcular ( )51x + , ( )61x + .

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Unidad 6 | Ecuaciones

Unidad 6 Ecuaciones 1. Se quiere mezclar café de 4,50 euros/kilogramo con café de 7,75 euros/kilogramo produciendo un café

que se venderá a 6 euros por kilogramo.

¿Qué cantidad de cada café hay que mezclar si se quieren vender 500 kilogramos de la mezcla?

2. Un trabajador recibe un aumento de sueldo del 15 % en enero y una reducción del 15 % en febrero. ¿Cuál era el sueldo original si después de los cambios recibe 2000 euros?

3. Un terremoto emite una onda primaria que viaja a 5000 metros/segundo por tierra y otra secundaria que viaja a 2900 metros/segundo. La diferencia de tiempo entre la llegada de ambas ondas permite a las estaciones sismológicas determinar el epicentro del terremoto.

Supón que una estación midió 30 segundos entre la llegada de las ondas. ¿A qué distancia está el epicentro?

4. En una cartulina de 12 × 9 centímetros se quiere pintar una cruz de anchura uniforme. Halla el ancho de la cruz si está formada por dos bandas, horizontal y vertical, que se cortan en perpendicular de lado a lado de la cartulina y es exactamente la mitad de la superficie total de la misma.

5. Un grifo puede llenar un depósito en 5 horas menos que otro; juntos lo llenan en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará cada uno en llenar el depósito?

6. Si, desde el suelo, se lanza un objeto verticalmente, con una velocidad de 5,3 kilómetros/segundo, su altura en kilómetros después de t segundos es h = 5,3t – 0,5t2.

a) Encuentra el tiempo en que h = 0 e interpreta el resultado obtenido.

b) Encuentra los tiempos en que el objeto está a 500 metros del suelo.

c) Construye una tabla de valores e intenta deducir la altura máxima que alcanza el objeto.

7. Algunas ecuaciones, aparentemente complicadas, pueden reducirse a ecuaciones de segundo grado. Son ecuaciones que contienen radicales.

El problema es que, a veces, al convertirlas en ecuaciones de segundo grado, aparecen soluciones que no lo son de la ecuación original.

Por ejemplo, para resolver la ecuación 1 7x x− = − se elevan ambos miembros al cuadrado y se desarrolla el segundo miembro:

( )22( 1) 7x x− = − ⇒ 21 14 49x x x− = − + ⇒ 2 15 50 0x x− + =

Sus soluciones son x = 10 y x = 5, y sustituyendo en la ecuación, la válida es solo x = 10.

Resuelve las siguientes operaciones.

a) 44 =−+ xx

b) 35 −=− xx

c) 2232 =−−+ xx

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Unidad 7 | Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Unidad 7 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

1. Resuelve el sistema siguiente: {2 52

x yxy

+ ==

Para ello sigue los siguientes pasos:

• Despeja y de la primera ecuación.

• Sustituye en la segunda.

• Opera y obtén una ecuación de segundo grado.

• Resuelve la ecuación.

2. Sigue los pasos de la actividad anterior para resolver los sistemas siguientes.

a) 2 110

x yxy− =

= b) 5 2 14

4x y

xy+ =

=

3. Resuelve los siguientes sistemas.

a) 2 2 1 0

5x xx y

− + = + =

b) 2 2 3 0

3x xxy

+ − = = −

4. Resuelve el sistema siguiente: 1

2 22 2 1

x y zx y zx y z

− + = + − = − + =

Aplicamos el método de sustitución que conocemos, pero ahora para tres incógnitas.

• Despeja z en la primera ecuación.

• Sustituye z en las otras dos ecuaciones.

• Opera y obtén un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

• Resuelve el sistema por el método que prefieras.

5. Sigue los pasos de la actividad anterior para resolver: 4

2 2 71

x y zx y z

x y

+ + = + + = − = −

6. ¿Qué fracción es igual a 13

cuando se suma 1 al numerador y es igual a 14

cuando se suma 1 al

denominador? 7. Un hombre tiene 222,90 € en billetes de 50 euros y monedas de 50 y 20 céntimos. La mitad de los billetes

de 50 euros y la quinta parte de las monedas de 50 céntimos suman 103,50 euros. La séptima parte de las monedas de 50 céntimos y la tercera parte de las monedas de 20 céntimos suman 4,30 euros. ¿Cuántos billetes y cuántas monedas de cada tipo tiene?

8. La diferencia entre la cifra de las unidades de un número y la de las decenas es 2. Si al número le

añadimos 18 unidades, el número resultante es el formado por las cifras en orden inverso. Halla el número.

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Unidad 8 | Funciones. Propiedades globales

Unidad 8 Funciones. Propiedades globales 1. Se muestran en la siguiente gráfica los gastos e ingresos de 6 familias en un año.

a) ¿Qué familias tuvieron los mismos gastos? ¿Y los mismos ingresos?

b) Ordena las familias por orden de menor a mayor gasto, y después, de menores a mayores ingresos.

c) ¿Qué familia consiguió ahorrar más?

2. Dibuja una gráfica con las siguientes características.

• Dominio de x = –8 hasta x = 7

• Recorrido de x = 1 hasta x = 5 • Continua

• Mínimo en (–4, 1) y en (4, 2)

• Máximo en (–1, 4)

• Un tramo constante desde x = 1 hasta x = 3

3. Un caracol quiere subir una pared de 28 metros. En la primera hora sube 12 metros, pero en la segunda descansa y se escurre 4 metros hacia abajo. Después vuelve a subir 12 metros en la tercera hora y a bajar 4 en la cuarta. Siguiendo este proceso:

a) Representa la función que relaciona el tiempo, en horas, con la distancia, en metros, a la que se encuentra del suelo.

b) ¿Cuántas horas tarda en lograr ascender toda la pared?

4. En un periódico aparece la siguiente gráfica.

a) ¿Qué magnitudes se relacionan?

¿A qué situación podría corresponder dicha gráfica?

b) ¿Son funciones? ¿Por qué?

c) ¿Tiene sentido unir los puntos?

d) ¿Cuándo crece y cuándo decrece?

¿Por qué?

e) ¿Cuál fue el resultado final?

A partir de los datos que puedes obtener en las gráficas, realiza una nueva en la que representes la diferencia de puntos a favor de A a lo largo del tiempo.

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Unidad 9 | Funciones de proporcionalidad directa e inversa

Unidad 9 Funciones de proporcionalidad directa e inversa

1. Halla la ecuación de la bisectriz del primer cuadrante y responde a las siguientes cuestiones.

a) ¿Cuál es su pendiente?

b) ¿Qué ángulo forma con el eje horizontal?

c) Una función lineal que forme un ángulo de 30º con el eje horizontal, ¿estará por encima o por debajo de la bisectriz?

2. Halla el punto de corte de las rectas r: y = 2x – 1 y s: y = –x – 4. Para ello:

a) Resuelve el sistema de ecuaciones que forman las rectas.

b) Representa ambas rectas en la misma gráfica y encuentra su intersección.

3. A partir de las dos rectas de la actividad anterior:

a) Elige un punto de la recta r, distinto del de intersección con s, y halla la ecuación de la paralela a s por el mismo.

b) Elige un punto de la recta s, distinto del de intersección con r, y halla la ecuación de la paralela a r por el mismo.

c) Las cuatro rectas forman una figura geométrica, ¿sabes cuál?

d) Halla el vértice que falta.

4. Las rectas r: y = x + 1, s: y = –x – 1 y t: 1 52 2

y x= − + determinan un triángulo. Halla sus vértices.

5. La recta x + y = 3 forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo isósceles. Halla su área.

6. Halla la ecuación de las rectas paralelas a los ejes que pasan por el punto (–1, 3).

7. Dibuja una función de manera que al trazar una paralela al eje de abscisas por el punto (0, 2) corte a la

función en tres puntos.

¿Podrías dibujar otra función que corte por tres puntos a la paralela al eje de ordenadas por el punto (4, 0)?

8. Indica cuál de las siguientes fórmulas es la que corresponde a la función de la gráfica.

a) x

y 4= b)

xy 4−= c)

xy 6= d)

xy 8=

i) ii) iii) iv)

9. Para realizar cierto trabajo son necesarias 100 horas. Elabora una tabla que exprese el número de horas

que corresponde a cada una según el número de personas que realicen el trabajo. ¿De qué tipo de función se trata? Halla la función y represéntala.

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Unidad 10 | Medidas. Teorema de Pitágoras

Unidad 10 Medidas. Teorema de Pitágoras

1. El comandante de una nave se encuentra a las 5 horas 35 minutos y 7 segundos en un punto situado en las coordenadas 25º 30' Norte y 45º 45' Este.

Recibe la orden de desplazarse 35º 45' hacia el norte y 90º 20' hacia el oeste.

a) Ubica en el mapa su posición actual. ¿Cuál será su nueva ubicación?

b) ¿A qué hora llegó si el viaje lo realizó en 9 horas 40 minutos y 55 segundos?

c) ¿De qué tipo de nave se trata?

2. a) En el reloj son las tres en punto. A partir de este momento, ¿a qué hora por primera vez la aguja del minutero formará un ángulo de 180o con la aguja horaria?

b) En el reloj son las doce en punto. ¿A qué hora volverán a coincidir las agujas del minutero y la horaria?

3. Ana y Pedro se encuentran y se saludan. “¡Hola, buenas tardes!, ¿qué hora es?”, pregunta Ana, y Pedro responde: “Suma los cinco sextos del tiempo que hay entre la medianoche y ahora a la tercera parte del tiempo que hay entre ahora y la próxima medianoche, y sabrás qué hora es”.

Ana se queda un poco perpleja y se arrepiente de preguntar la hora. Podrías ayudarla tú y decirle qué hora es.

4. En el semicírculo de la figura se han inscrito los ángulos

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , yA B C D E F .

Si oA 50ˆ = , calcula cuánto miden los otros ángulos.

5. En un triángulo rectángulo, sus catetos, a y b, miden, respectivamente, 9 y 12 cm. Sobre cada lado del triángulo se construyen tres triángulos equiláteros.

Calcula sus áreas y observa qué relación existe entre ellas. (Redondea tus cálculos a décimas).


Unidad 10 | Medidas. Teorema de Pitágoras

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Unidad 11 | Semejanza. Teorema de Tales

Unidad 11 Semejanza. Teorema de Tales

1. Dado el trapecio isósceles de la figura:

a) Dibuja un trapecio semejante que sea el doble de grande. Calcula sus áreas. ¿Cuál sería la razón k' entre las áreas del mayor y del menor de los trapecios?

b) Realiza gráficamente la división en k' trapecios como el de la figura del trapecio dibujado en el apartado a.

c) Construye un hexágono regular de lado 6 cm, comprueba que su superficie es ocho veces la del trapecio isósceles dado. Realiza gráficamente la división del hexágono en los ocho trapecios.

d) Construye un triángulo equilátero de lado 9 cm, comprueba que su superficie es el triple que la del trapecio isósceles dado. Realiza gráficamente la división del triángulo en los tres trapecios.

2. Dentro de un círculo de radio 3 cm se ha dibujado la superficie sombreada.

a) Dibuja una superficie semejante a la sombreada dentro de un círculo de radio 9 cm.

b) Calcula los perímetros de la figura dada y de la figura semejante que has dibujado. ¿Qué razón de semejanza existe entre los perímetros?

c) Calcula las superficies de la figura dada y de la figura semejante. ¿Qué razón de semejanza existe entre las superficies?

3 En casa de Ana están construyendo un pozo circular de 5 metros de radio y quieren que tenga 10 metros de profundidad. Ana, que mide 1,80 m, observa que si se sitúa a 2 m del borde puede unir su visual del borde superior del pozo y del borde inferior, si dicha visual se encuentra en un plano que contiene al diámetro y es perpendicular al pozo.

¿Habrán terminado ya de construir los 10 metros de fondo? Razona la respuesta.

4. En el triángulo ABC rectángulo en C se traza su bisectriz CD y luego el segmento DE paralelo a CB.

Calcula DE si sabes que CB = 5 cm y CA = 8 cm.

5. Julio quiere saber la altura de una torre y observa que en la visual del punto más alto de la misma se encuentran alineadas las copas de dos árboles, uno de 4 m que se encuentra a 800 m de la torre y otro de 14 m que se encuentra a 600 m de la torre.

Calcula la altura de la torre.

6. María, para calcular la altura de un edificio, mide las sombras que proyectan ella y el edificio a una determinada hora del día. Observa que la diferencia que existe entre las sombras es de 15 veces la suya.

¿Qué altura tiene el edificio, si María mide 1,75 m?

7. Si ABC y CDE son dos triángulos opuestos por el vértice con las medidas que se dan del triángulo CDE y sabiendo que:

CE = 25

BE

AB es paralelo a ED.

Calcula la longitud de AB, BC y AC.

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Actividades de refuerzo

Unidad 12 | Cuerpos geométricos

Unidad 12 Cuerpos geométricos

1. Un ortoedro de altura 12 cm y base cuadrada de lado 9 cm se corta por un plano que pasa por un vértice

de la cara superior y por la diagonal de la base, dividiéndolo en dos partes, una de ellas una pirámide triangular.

a) Realiza el dibujo esquemático del corte y de las dos figuras geométricas resultantes.

b) Dibuja esquemáticamente el desarrollo de la pirámide triangular. ¿Podrías calcular su área total?

2. En un cubo de arista 10 cm inscribimos un poliedro que tiene como vértices los centros de sus caras. ¿Qué nuevo poliedro regular es este? ¿Cuánto mide su arista?

Nota: si un poliedro se puede inscribir en otro, se denominan poliedros duales.

3. Por un plano paralelo a la base de radio 5 cm y a 4 cm de ella hemos cortado un cono obteniendo una sección circular de 3 cm. Calcula qué altura tenía el cono y cuánto medía su generatriz.

4. Tenemos dos cajas, A y B.

A. Tiene forma de prisma hexagonal regular recto de altura 15 cm y de 5 cm cada lado de la base.

B. Tiene forma de ortoedro de 15 cm de alto y base un cuadrado de 5 cm de lado.

¿En cuál de las dos cajas podríamos guardar un lapicero de 18 cm de longitud?

5. Con un papel de tamaño DIN A4 (21 × 29,7 cm) queremos construir un cono cuyo radio de la base sea el mayor posible.

¿Podrías decirnos el radio de la base y su altura?

6. Ya conoces el cuboctaedro, poliedro semirregular que se obtiene al cortar un

cubo por los planos que unen los puntos medios de los tres lados de cada vértice. Queda formado por 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros.

El cubo truncado se obtiene al cortar las esquinas del cubo a un tercio del vértice. Está formado por 6 hexágonos regulares y 8 triángulos equiláteros.

a) Dibuja el poliedro y su desarrollo plano.

b) A partir del tetraedro se puede obtener el tetraedro truncado. Averigua cómo hay que cortarlo para obtener el poliedro semirregular y dibuja la figura resultante.

c) Si se corta un octaedro de una determinada manera, también se obtiene un poliedro semirregular, el octaedro truncado. ¿Cómo hay que cortarlo? ¿Cómo es la figura resultante?

7. Dentro de un cubo de lado 10 cm se construye una esfera. Dentro se inscribe un cubo, y dentro del cubo, otra esfera. Calcula la medida de los radios de las dos esferas.


Unidad 13 | Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Unidad 13 Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

1. Un reloj de arena de 16 cm de altura está formado por 2 conos y dos semiesferas de 8 cm de diámetro de la base. a) Calcula el volumen que ocupa la arena. b) Si sabes que al darle la vuelta cae la arena a razón de 0,335 cm3 por segundo, calcula

el tiempo que tarda en pasar de un recipiente a otro.

2. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de

ancho y 4 m de alto, con un grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a hacer de mortero, que lleva en volumen las siguientes proporciones: 4 partes de arena fina de densidad 1,6 g/mL, 1 parte de cemento de densidad 1,8 g/mL y 1 parte de agua de densidad 1 g/mL. ¿Podrías contestar a las siguientes preguntas? a) ¿Qué volumen de mortero se necesita para construirlo? b) ¿Cuántos kg de cemento y de arena se necesitan? c) ¿Cuántos litros de agua?

3. Con una plancha rectangular de 10 por 20 cm se pueden construir dos cilindros según se unan por los

bordes mayores o menores. ¿Tendrían los dos cilindros la misma capacidad? 4. ¿Qué volumen de agua hay que extraer de un depósito lleno que tiene forma de cono invertido cuyo radio de

la base es de 9 m y su altura de 12 m, para que la altura del agua descienda 4 metros? 5. Hemos creado una figura decorativa que tiene forma de prisma recto de base cuadrada y es

el doble de alto que de ancho, hemos dibujado la mitad de cada una de sus caras trazando una diagonal en cada una de ellas, obteniendo una superficie total de 45 cm2. El material usado es ébano. Si su densidad es de 1,26 g/mL, ¿podrías decirnos cuánto pesará cada figura?

6. Una gran cúpula semiesférica de 20 m de radio cubre un invernadero hecho de cristal que tiene forma de pirámide recta de base cuadrada que queda inscrita en la semiesfera. Calcula la cantidad de vidrio necesaria para su construcción.

7. Se desea construir una piscina de 25 m de largo por 15 m de ancho. Su corte vertical (está

en el dibujo) en el sitio menos profundo cubre 1 m, y en el más profundo, 4 m. a) Si se desea enlosar la parte interior con unas baldosas que cuestan a 20 € el metro

cuadrado, ¿cuánto nos costará el total de baldosas necesarias? b) Si 1 m3 de agua nos lo a 0,7141 €, ¿cuánto nos costaría llenarla hasta 20 cm del

borde?

8. Dado el ortoedro ABCDEFGH, de altura 8 cm y base cuadrada de 4 cm, realiza la división del mismo en las tres pirámides cuadrangulares AEFGH, ABFGC y ACDHG. Ayúdate de un dibujo esquemático.

Calcula sus volúmenes y comprueba que el de cada una es igual a la tercera parte del volumen del ortoedro.



Unidad 14 | Estadística y probabilidad

Unidad 14 Estadística y probabilidad

1. El peso en kg de los alumnos de una clase viene dado por el histograma adjunto.

a) Realiza la tabla de frecuencias de dichos datos.

b) Calcula su peso medio, el intervalo modal.

c) ¿Qué porcentaje de alumnos pesan más de 80 kg?

2. Se ha preguntado a los alumnos de un centro por el número de asignaturas suspensas que han tenido en una evaluación.

La tabla de valores de la derecha muestra los resultados obtenidos incompletos, pues alguien nos ha borrado los otros datos.

a) Ayúdanos a reconstruir la tabla.

b) ¿Cuántos alumnos tiene el centro?

c) Calcula la moda y la mediana.

d) ¿Qué porcentaje de alumnos suspende al menos dos asignaturas?

3. Estudia y deduce razonadamente la variación que sufre la media y la desviación media de una distribución de datos si:

a) Se le suma una constante c a cada valor de la variable.

b) Se multiplica por una constante c cada valor de la variable.

4. Tenemos dos bolsas, una con 3 chicles de menta y 4 de fresa, y otra con 4 caramelos de plátano y 5 de

regaliz. Elegimos al azar primero un chicle y luego un caramelo. Calcula la probabilidad de elegir:

a) Un chicle de menta y un caramelo de plátano

b) Un caramelo de plátano

c) Un chicle de menta o un caramelo de regaliz

5 En Ratolandia vive el ratón Eugenio, que tiene fama de ser un genio y se ha construido una madriguera con cuatro guaridas como la del gráfico que se adjunta, y después de mucho pensar decidió guardar sus provisiones de queso en su guarida B.

Tiene como vecina a una ratita Calista, que se cree muy lista y le quiere robar el queso entrando una sola vez a la madriguera, ahora que Eugenio se ha ido a ver a su novia Minnie. Contesta a las siguientes preguntas. a) ¿Qué probabilidad tiene Calista de conseguir el queso?

b) Realmente, ¿Eugenio ha actuado como corresponde a su fama?, ¿ha guardado el queso en el sitio más seguro?

Razona la respuesta.

Suspensas: xi Alumnos: fi %

0 150 37,5

1 50

2 20

3

4 30

5 o más 20

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