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Chapitre 6Espaces vectoriels normes, limites et suites
1 Espaces vectoriels normes
2 Definition des limites
Partie 1
Espaces vectoriels normes
Espaces vectoriels normes, limites et suites
1. Introduction
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 1/52
1. Introduction
‚ On a souvent a resoudre des problemes de maniere approchee.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 1/52
1. Introduction
‚ On a souvent a resoudre des problemes de maniere approchee.
‚ Typiquement, trouver une solution x d’une equation f pxq “ 0.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 1/52
1. Introduction
‚ On a souvent a resoudre des problemes de maniere approchee.
‚ Typiquement, trouver une solution x d’une equation f pxq “ 0.
‚ L’inconnu x peut etre un reel, un point du plan ou d’un espace de dimension plusgrande ou meme une fonction.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 1/52
1. Introduction
‚ On a souvent a resoudre des problemes de maniere approchee.
‚ Typiquement, trouver une solution x d’une equation f pxq “ 0.
‚ L’inconnu x peut etre un reel, un point du plan ou d’un espace de dimension plusgrande ou meme une fonction.
‚ On peut approcher x a l’aide de suites punq qui convergent vers ce point.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 1/52
1. Introduction
‚ On a souvent a resoudre des problemes de maniere approchee.
‚ Typiquement, trouver une solution x d’une equation f pxq “ 0.
‚ L’inconnu x peut etre un reel, un point du plan ou d’un espace de dimension plusgrande ou meme une fonction.
‚ On peut approcher x a l’aide de suites punq qui convergent vers ce point.
convergence
approximation
solution (limite)
�
x
un d(un, x) < �
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 1/52
1. Introduction
EXEMPLES
� La methode de Dichotomie.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
EXEMPLES
� La methode de Dichotomie.
On resout f pxq “ 0 d’inconnue x P ra, bs.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
EXEMPLES
� La methode de Dichotomie.
On resout f pxq “ 0 d’inconnue x P ra, bs.
‚ f : ra, bs Ñ R est continue, strictementmonotone et f paq ˆ f pbq ă 0.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
EXEMPLES
� La methode de Dichotomie.
On resout f pxq “ 0 d’inconnue x P ra, bs.
‚ f : ra, bs Ñ R est continue, strictementmonotone et f paq ˆ f pbq ă 0.
‚ L’equation f pxq “ 0 admet une uniquesolution α P ra, bs.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
EXEMPLES
� La methode de Dichotomie.
On resout f pxq “ 0 d’inconnue x P ra, bs.
‚ f : ra, bs Ñ R est continue, strictementmonotone et f paq ˆ f pbq ă 0.
‚ L’equation f pxq “ 0 admet une uniquesolution α P ra, bs.
On construit par dichotomie deux suites panq et pbnq adjacentes qui convergent vers α.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
‚ La methode s’applique a toutes les equations memes non lineaires.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
‚ La methode s’applique a toutes les equations memes non lineaires.
‚ La convergence est geometrique O`
12n
˘
¨
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
� La methode de Jacobi.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
� La methode de Jacobi.
On a un systeme AX “ B d’inconnue X
#
a11x ` a12y “ b1
a21x ` a22y “ b2
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
� La methode de Jacobi.
On a un systeme AX “ B d’inconnue X
#
a11x ` a12y “ b1
a21x ` a22y “ b2
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
� La methode de Jacobi.
On a un systeme AX “ B d’inconnue X
#
a11x ` a12y “ b1
a21x ` a22y “ b2
‚ On part de X0 “ px0, y0q
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
� La methode de Jacobi.
On a un systeme AX “ B d’inconnue X
#
a11x ` a12y “ b1
a21x ` a22y “ b2
‚ On part de X0 “ px0, y0q
‚ On resout les deux equations separe-ment,
#
x1 “1a11
“
b1 ´ a12y0
‰
y1 “1a22
“
b2 ´ a21x0
‰
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
� La methode de Jacobi.
On a un systeme AX “ B d’inconnue X
#
a11x ` a12y “ b1
a21x ` a22y “ b2
‚ On part de X0 “ px0, y0q
‚ On resout les deux equations separe-ment,
#
x1 “1a11
“
b1 ´ a12y0
‰
y1 “1a22
“
b2 ´ a21x0
‰
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
� La methode de Jacobi.
On a un systeme AX “ B d’inconnue X
#
a11x ` a12y “ b1
a21x ` a22y “ b2
‚ On part de X0 “ px0, y0q
‚ On resout les deux equations separe-ment,
#
x1 “1a11
“
b1 ´ a12y0
‰
y1 “1a22
“
b2 ´ a21x0
‰
‚ Puis on reitere le procede.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
� La methode de Jacobi.
On a un systeme AX “ B d’inconnue X
#
a11x ` a12y “ b1
a21x ` a22y “ b2
‚ On part de X0 “ px0, y0q
‚ On resout les deux equations separe-ment,
#
x1 “1a11
“
b1 ´ a12y0
‰
y1 “1a22
“
b2 ´ a21x0
‰
‚ Puis on reitere le procede.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
� La methode de Jacobi.
On a un systeme AX “ B d’inconnue X
#
a11x ` a12y “ b1
a21x ` a22y “ b2
‚ On part de X0 “ px0, y0q
‚ On resout les deux equations separe-ment,
#
x1 “1a11
“
b1 ´ a12y0
‰
y1 “1a22
“
b2 ´ a21x0
‰
‚ Puis on reitere le procede.
‚ On construit une suite de points Xk “pxk , ykq,
#
xk`1 “1a11
“
b1 ´ a12yk‰
yk`1 “1a22
“
b2 ´ a21xk‰
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
Convergence XkÑX
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
‚ Il y a des conditions sur A pour que la methode converge Xk Ñ X.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
‚ Il y a des conditions sur A pour que la methode converge Xk Ñ X.
‚ On peut generaliser la methode a des dimensions superieures.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
1. Introduction
‚ Il y a des conditions sur A pour que la methode converge Xk Ñ X.
‚ On peut generaliser la methode a des dimensions superieures.
Les approximations et limites s’ecrivent a l’aide de normes et de boules.Les encadrements ne s’appliquent qu’en dimension 1.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 2/52
2. Normes et distances
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 3/52
2. Normes et distances
Soit E un espace vectoriel de dimension finie m sur R ou sur C (note K).
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 3/52
2. Normes et distances
Soit E un espace vectoriel de dimension finie m sur R ou sur C (note K).
§ En pratique, E “ Km.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 3/52
2. Normes et distances
Soit E un espace vectoriel de dimension finie m sur R ou sur C (note K).
§ En pratique, E “ Km.
Definition (Norme, espace vectoriel norme)
Une norme sur l’espace vectoriel E est une application notee } ¨ } de E dans Rverifiant les trois proprietes suivantes :
piq @x P E, on a }x} ě 0 et }x} “ 0 ùñ x “ 0 (le vecteur nul),
pi iq @x P E, @λ P K, on a }λ x} “ |λ| ˆ }x} (avec un module),
pi i iq Inegalite triangulaire. @x, y P E, on a }x ` y} ď }x} ` }y}
Lorsqu’une norme est definie dans l’espace vectoriel E, on dit que E est un espacevectoriel norme.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 3/52
2. Normes et distances
Soit E un espace vectoriel de dimension finie m sur R ou sur C (note K).
§ En pratique, E “ Km.
Definition (Norme, espace vectoriel norme)
Une norme sur l’espace vectoriel E est une application notee } ¨ } de E dans Rverifiant les trois proprietes suivantes :
piq @x P E, on a }x} ě 0 et }x} “ 0 ùñ x “ 0 (le vecteur nul),
pi iq @x P E, @λ P K, on a }λ x} “ |λ| ˆ }x} (avec un module),
pi i iq Inegalite triangulaire. @x, y P E, on a }x ` y} ď }x} ` }y}
Lorsqu’une norme est definie dans l’espace vectoriel E, on dit que E est un espacevectoriel norme.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 3/52
2. Normes et distances
Soit E un espace vectoriel de dimension finie m sur R ou sur C (note K).
§ En pratique, E “ Km.
Definition (Norme, espace vectoriel norme)
Une norme sur l’espace vectoriel E est une application notee } ¨ } de E dans Rverifiant les trois proprietes suivantes :
piq @x P E, on a }x} ě 0 et }x} “ 0 ùñ x “ 0 (le vecteur nul),
pi iq @x P E, @λ P K, on a }λ x} “ |λ| ˆ }x} (avec un module),
pi i iq Inegalite triangulaire. @x, y P E, on a }x ` y} ď }x} ` }y}
Lorsqu’une norme est definie dans l’espace vectoriel E, on dit que E est un espacevectoriel norme.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 3/52
2. Normes et distances
Soit E un espace vectoriel de dimension finie m sur R ou sur C (note K).
§ En pratique, E “ Km.
Definition (Norme, espace vectoriel norme)
Une norme sur l’espace vectoriel E est une application notee } ¨ } de E dans Rverifiant les trois proprietes suivantes :
piq @x P E, on a }x} ě 0 et }x} “ 0 ùñ x “ 0 (le vecteur nul),
pi iq @x P E, @λ P K, on a }λ x} “ |λ| ˆ }x} (avec un module),
pi i iq Inegalite triangulaire. @x, y P E, on a }x ` y} ď }x} ` }y}
Lorsqu’une norme est definie dans l’espace vectoriel E, on dit que E est un espacevectoriel norme.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 3/52
2. Normes et distances
Soit E un espace vectoriel de dimension finie m sur R ou sur C (note K).
§ En pratique, E “ Km.
Definition (Norme, espace vectoriel norme)
Une norme sur l’espace vectoriel E est une application notee } ¨ } de E dans Rverifiant les trois proprietes suivantes :
piq @x P E, on a }x} ě 0 et }x} “ 0 ùñ x “ 0 (le vecteur nul),
pi iq @x P E, @λ P K, on a }λ x} “ |λ| ˆ }x} (avec un module),
pi i iq Inegalite triangulaire. @x, y P E, on a }x ` y} ď }x} ` }y}
Lorsqu’une norme est definie dans l’espace vectoriel E, on dit que E est un espacevectoriel norme.
§ Il y a d’autre notations possibles, ex : Npxq.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 3/52
2. Normes et distances
En changeant y en ´y , on a aussi grace au pi iq,
}x ´ y} ď }x} ` }y}
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 4/52
2. Normes et distances
En changeant y en ´y , on a aussi grace au pi iq,
}x ´ y} ď }x} ` }y}
y
x
kx�yk
kx+
yk
L’inegalite triangulaire
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 4/52
2. Normes et distances
VOCABULAIRE
� La norme de la difference }x ´ y} “ dpx, yq s’appelle distance de x a y .
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 5/52
2. Normes et distances
VOCABULAIRE
� La norme de la difference }x ´ y} “ dpx, yq s’appelle distance de x a y .
� Elle mesure l’ecart entre deux vecteurs et permet d’estimer des approximations.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 5/52
2. Normes et distances
Definition (Boules ouvertes, boules fermees)
Soient a P E et r ą 0 un reel. On appelle boule ouverte (resp. fermee) de centre aet de rayon r , l’ensemble des points x P E tels que dpa, xq ă r (resp. ď r). On lanote Bpa, rq (resp. Bf pa, rq).
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 4/52
2. Normes et distances
Definition (Boules ouvertes, boules fermees)
Soient a P E et r ą 0 un reel. On appelle boule ouverte (resp. fermee) de centre aet de rayon r , l’ensemble des points x P E tels que dpa, xq ă r (resp. ď r). On lanote Bpa, rq (resp. Bf pa, rq).
§ Le cas d’egalite dpa, xq “ r correspond a la sphere Spa, rq.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 4/52
2. Normes et distances
Une boule ouverte centree en a
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 5/52
2. Normes et distances
EXERCICE 1
Montrer l’inegalite triangulaire « a l’envers » : @x, y P E,ˇ
ˇ}x} ´ }y}ˇ
ˇ ď }x ˘ y}.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 6/52
2. Normes et distances
EXERCICE 1
Montrer l’inegalite triangulaire « a l’envers » : @x, y P E,ˇ
ˇ}x} ´ }y}ˇ
ˇ ď }x ˘ y}.
§ On dit que la norme est 1-lipschitzienne.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 6/52
2. Normes et distances
EXERCICE 2
Montrer que @x1, x2, . . . , xn P E, on a
}x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xn} ď }x1} ` }x2} ` ¨ ¨ ¨ ` }xn}
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 7/52
2. Normes et distances
Valeur absolue
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 8/52
2. Normes et distances
Valeur absolue
‚ La valeur absolue est une norme sur R.
@x P R, |x | “ maxpx,´xq
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 8/52
2. Normes et distances
Valeur absolue
‚ La valeur absolue est une norme sur R.
@x P R, |x | “ maxpx,´xq
‚ R est un espace vectoriel norme. Les boules se reduisent a des intervalles.
Boule ouverte dans R
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 8/52
2. Normes et distances
Valeur absolue
‚ La valeur absolue est une norme sur R.
@x P R, |x | “ maxpx,´xq
‚ R est un espace vectoriel norme. Les boules se reduisent a des intervalles.
Boule fermee dans R
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 8/52
2. Normes et distances
Module
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 9/52
2. Normes et distances
Module
‚ Pour z P C, on pose z “ x ` iy avec x, y P R.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 9/52
2. Normes et distances
Module
‚ Pour z P C, on pose z “ x ` iy avec x, y P R.
‚ Le conjugue de z est z “ x ´ iy .
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 9/52
2. Normes et distances
Module
‚ Pour z P C, on pose z “ x ` iy avec x, y P R.
‚ Le conjugue de z est z “ x ´ iy .
‚ Le module de z est |z | “a
x2 ` y 2 “?z ˆ z .
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 9/52
2. Normes et distances
Module
‚ Pour z P C, on pose z “ x ` iy avec x, y P R.
‚ Le conjugue de z est z “ x ´ iy .
‚ Le module de z est |z | “a
x2 ` y 2 “?z ˆ z .
‚ z ÞÑ |z | est une norme sur C. C est un espace norme.
Boule ouverte dans C
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 9/52
2. Normes et distances
Module
‚ Pour z P C, on pose z “ x ` iy avec x, y P R.
‚ Le conjugue de z est z “ x ´ iy .
‚ Le module de z est |z | “a
x2 ` y 2 “?z ˆ z .
‚ z ÞÑ |z | est une norme sur C. C est un espace norme.
Boule fermee dans C
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 9/52
2. Normes et distances
‚ On definit l’ecriture polaire ou trigonometriquez “ re iθ avec
e iθ “ cos θ ` i sin θ
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 10/52
2. Normes et distances
‚ On definit l’ecriture polaire ou trigonometriquez “ re iθ avec
e iθ “ cos θ ` i sin θ
‚ C’est un point du cercle unite U descomplexes de module 1.
Conjugue et ecriture polaire d’un complexe
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 10/52
2. Normes et distances
‚ On definit l’ecriture polaire ou trigonometriquez “ re iθ avec
e iθ “ cos θ ` i sin θ
‚ C’est un point du cercle unite U descomplexes de module 1.
‚ Tout complexe z ‰ 0 s’ecrit sous laforme z “ re iθ ou r “ |z | et θ “ arg z(modulo 2π).
Conjugue et ecriture polaire d’un complexe
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 10/52
2. Normes et distances
‚ On definit l’ecriture polaire ou trigonometriquez “ re iθ avec
e iθ “ cos θ ` i sin θ
‚ C’est un point du cercle unite U descomplexes de module 1.
‚ Tout complexe z ‰ 0 s’ecrit sous laforme z “ re iθ ou r “ |z | et θ “ arg z(modulo 2π).
Conjugue et ecriture polaire d’un complexe
‚ Les calculs de puissances et de racines sont simplifies
@n P Z, zn “ r ne inθ
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 9/52
2. Normes et distances
Norme euclidienne
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 10/52
2. Normes et distances
Norme euclidienne
‚ Dans E “ Rm, on definit la norme euclidienne.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 10/52
2. Normes et distances
Norme euclidienne
‚ Dans E “ Rm, on definit la norme euclidienne.
‚ Pour x “ px1, x2, . . . , xmq et y “ py1, y2, . . . , ymq P Rm, on pose
px |yq “mÿ
i“1
xiyi et }x}2 “a
px |xq “
ˆ mÿ
i“1
x2i
˙12
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 10/52
2. Normes et distances
Norme euclidienne
‚ Dans E “ Rm, on definit la norme euclidienne.
‚ Pour x “ px1, x2, . . . , xmq et y “ py1, y2, . . . , ymq P Rm, on pose
px |yq “mÿ
i“1
xiyi et }x}2 “a
px |xq “
ˆ mÿ
i“1
x2i
˙12
‚ C’est la norme usuelle en geometrie euclidienne. Rm est un espace norme.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 10/52
2. Normes et distances
Proposition (Inegalites fondamentales et norme euclidienne)
On a les inegalites, pour tous vecteurs x, y P E,
piq Cauchy-Schwarz,ˇ
ˇpx |yqˇ
ˇ ď }x}2 ˆ }y}2
pi iq Minkowski, }x ` y}2 ď }x}2 ` }y}2
L’application x ÞÑ }x}2 est une norme sur E.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 11/52
2. Normes et distances
Proposition (Inegalites fondamentales et norme euclidienne)
On a les inegalites, pour tous vecteurs x, y P E,
piq Cauchy-Schwarz,ˇ
ˇpx |yqˇ
ˇ ď }x}2 ˆ }y}2
pi iq Minkowski, }x ` y}2 ď }x}2 ` }y}2
L’application x ÞÑ }x}2 est une norme sur E.
§ L’inegalite triangulaire pour la norme } ¨ }2 s’appelle aussi inegalite de Minkowski.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 11/52
2. Normes et distances
REMARQUE
‚ La norme euclidienne s’ecrit matriciellement.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 12/52
2. Normes et distances
REMARQUE
‚ La norme euclidienne s’ecrit matriciellement.
‚ On identifie x P Rm a une matrice colonne X PMm,1pRq, alors
}x}2 “ }X}2 “?tXX
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 12/52
2. Normes et distances
Boule euclidienne de dimension 2
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 13/52
2. Normes et distances
Boule euclidienne de dimension 3
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 13/52
2. Normes et distances
EXERCICE 3
Demontrer l’inegalite triangulaire dans R et dans C.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 14/52
2. Normes et distances
EXERCICE 4
Donner les solutions dans C de l’equation zn “ 1 avec n P N˚ (racines niemes de l’unite)
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 15/52
2. Normes et distances
EXERCICE 4
Donner les solutions dans C de l’equation zn “ 1 avec n P N˚ (racines niemes de l’unite)
Les placer sur une figure dans le plan complexe lorsque n “ 5.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 15/52
2. Normes et distances
EXERCICE 4
Donner les solutions dans C de l’equation zn “ 1 avec n P N˚ (racines niemes de l’unite)
Les placer sur une figure dans le plan complexe lorsque n “ 5.
Les racines 5-iemes de l’unite
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 15/52
2. Normes et distances
EXERCICE 5
Dans E “ Rm euclidien, developper les identites remarquables }x ` y}22, }x ´ y}2
2.Retrouver ainsi le theoreme de Pythagore.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 16/52
2. Normes et distances
REMARQUE
On peut generaliser la norme euclidienne a un espace complexe E “ Cm, en ajoutantun module,
@x “ px1, . . . , xmq P Km, }x}2 “
ˆ mÿ
i“1
|xi |2
˙12
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 17/52
2. Normes et distances
REMARQUE
On peut generaliser la norme euclidienne a un espace complexe E “ Cm, en ajoutantun module,
@x “ px1, . . . , xmq P Km, }x}2 “
ˆ mÿ
i“1
|xi |2
˙12
§ Elle est surtout utilisee en lien avec le produit scalaire et les calculs de projectionsorthogonales.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 17/52
2. Normes et distances
Autres normes
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 18/52
2. Normes et distances
Autres normes
‚ Pour les calculs de limites, on definit d’autres normes.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 18/52
2. Normes et distances
Autres normes
‚ Pour les calculs de limites, on definit d’autres normes.
‚ Pour x “ px1, . . . , xmq P Km, on pose,
}x}8 “ max1ďiďm
|xi | “ sup1ďiďm
|xi | et }x}1 “
mÿ
i“1
|xi |
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 18/52
2. Normes et distances
Les boules associees ont des formes differentes.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 19/52
2. Normes et distances
Les boules associees ont des formes differentes.
Boule octaedrique (norme 1)
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 19/52
2. Normes et distances
Les boules associees ont des formes differentes.
Boule spherique (norme 2)
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 19/52
2. Normes et distances
Les boules associees ont des formes differentes.
Boule cubique (norme 8)
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 19/52
2. Normes et distances
‚ Ces normes ne mesurent pas les vecteurs de la meme facon.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 20/52
2. Normes et distances
‚ Ces normes ne mesurent pas les vecteurs de la meme facon.
‚ Elles s’encadrent les unes et les autres,
@x P Km, }x}8 ď }x}2 ď?m}x}8 et }x}8 ď }x}1 ď m}x}8
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 20/52
2. Normes et distances
‚ Ces normes ne mesurent pas les vecteurs de la meme facon.
‚ Elles s’encadrent les unes et les autres,
@x P Km, }x}8 ď }x}2 ď?m}x}8 et }x}8 ď }x}1 ď m}x}8
‚ Elles tendent simultanement vers 0 et donnent les memes resultats pour les limites.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 20/52
2. Normes et distances
‚ Ces normes ne mesurent pas les vecteurs de la meme facon.
‚ Elles s’encadrent les unes et les autres,
@x P Km, }x}8 ď }x}2 ď?m}x}8 et }x}8 ď }x}1 ď m}x}8
‚ Elles tendent simultanement vers 0 et donnent les memes resultats pour les limites.
Pour les etudes de limites, les differentes normes sont equivalentes
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 20/52
2. Normes et distances
EXERCICE 6
Soit A “ pai j qi ,jPv1,nw P MnpCq. On pose NpAq “ maxiPv1,nw
nÿ
j“1
|ai j |. Montrer que
l’application N ÞÑ NpAq definit une norme sur MnpCq.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 21/52
2. Normes et distances
EXERCICE 7
Tracer explicitement les boules unites fermees Bf p0, 1q pour les normes 1, 2 et 8 dansl’espace R2.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 22/52
3. Vocabulaire de la topologie
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 23/52
3. Vocabulaire de la topologie
En dimension ą 1, les domaines d’etude peuvent etre de formes variees, plus complexesque de simples intervalles.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 23/52
3. Vocabulaire de la topologie
En dimension ą 1, les domaines d’etude peuvent etre de formes variees, plus complexesque de simples intervalles.
Un pave ra,bsˆrc,ds
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 23/52
3. Vocabulaire de la topologie
En dimension ą 1, les domaines d’etude peuvent etre de formes variees, plus complexesque de simples intervalles.
Une boule ouverte Bpa,rq
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 23/52
3. Vocabulaire de la topologie
En dimension ą 1, les domaines d’etude peuvent etre de formes variees, plus complexesque de simples intervalles.
Un domaine A de forme quelconque
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 23/52
3. Vocabulaire de la topologie
En dimension ą 1, les domaines d’etude peuvent etre de formes variees, plus complexesque de simples intervalles.
La nature du domaine d’etude peut modifier les proprietes obtenues.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 23/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLES
� Si f : ra, bs Ñ C est continue sur ra, bs (ferme et borne), alors elle y est bornee.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 24/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLES
� Si f : ra, bs Ñ C est continue sur ra, bs (ferme et borne), alors elle y est bornee.
� Si f : I Ñ R est continue sur l’intervalle I (convexe), alors elle verifie la PVI.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 24/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLES
� Si f : ra, bs Ñ C est continue sur ra, bs (ferme et borne), alors elle y est bornee.
� Si f : I Ñ R est continue sur l’intervalle I (convexe), alors elle verifie la PVI.
� Si f est C1 sur un intervalle I ouvert et si f 1 “ 0 sur I, alors f est constante sur I.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 24/52
3. Vocabulaire de la topologie
‚ On generalise le vocabulaire : ouvert, ferme, borne, convexe aux dimensionssuperieures.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 25/52
3. Vocabulaire de la topologie
‚ On generalise le vocabulaire : ouvert, ferme, borne, convexe aux dimensionssuperieures.
‚ Un intervalle ouvert n’englobe pas ses bornes, alors que c’est le cas pour un intervalleferme.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 25/52
3. Vocabulaire de la topologie
Definition (Interieur d’une partie, partieouverte)
Soit A une partie de E.
‚ On dit qu’un point x P E est interieura A s’il est au centre d’une boule fermeeincluse dans A, soit Dε ą 0 tel queBf px, εq Ă A. On note x P 8A.
‚ On dit que A est ouverte si tousses points sont des points interieurs, soitA “ 8A.
frontière
intérieur
Point interieur a une partie et partie ouverte
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 26/52
3. Vocabulaire de la topologie
Definition (Interieur d’une partie, partieouverte)
Soit A une partie de E.
‚ On dit qu’un point x P E est interieura A s’il est au centre d’une boule fermeeincluse dans A, soit Dε ą 0 tel queBf px, εq Ă A. On note x P 8A.
‚ On dit que A est ouverte si tousses points sont des points interieurs, soitA “ 8A.
frontière
intérieur
Point interieur a une partie et partie ouverte
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 26/52
3. Vocabulaire de la topologie
Definition (Interieur d’une partie, partieouverte)
Soit A une partie de E.
‚ On dit qu’un point x P E est interieura A s’il est au centre d’une boule fermeeincluse dans A, soit Dε ą 0 tel queBf px, εq Ă A. On note x P 8A.
‚ On dit que A est ouverte si tousses points sont des points interieurs, soitA “ 8A.
frontière
intérieur
Point interieur a une partie et partie ouverte
§ x est interieur a A s’il n’est pas en contact direct avec la frontiere.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 26/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLES
� L’intervalle ouvert sa, br est une partie ouverte de R.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 27/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLES
� L’intervalle ouvert sa, br est une partie ouverte de R.
§ Sa frontiere est reduite a a et b.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 27/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLES
� L’intervalle ouvert sa, br est une partie ouverte de R.
§ Sa frontiere est reduite a a et b.
� La boule ouverte Bpa, rq est une partie ouverte de E.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 27/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLES
� L’intervalle ouvert sa, br est une partie ouverte de R.
§ Sa frontiere est reduite a a et b.
� La boule ouverte Bpa, rq est une partie ouverte de E.
§ Sa frontiere est la sphere Spa, rq.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 27/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLES
� L’intervalle ouvert sa, br est une partie ouverte de R.
§ Sa frontiere est reduite a a et b.
� La boule ouverte Bpa, rq est une partie ouverte de E.
§ Sa frontiere est la sphere Spa, rq.
� Dans R2, les demi-plans tx ą 0u, ty ą 0u sont des parties ouvertes du plan.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 26/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLES
� L’intervalle ouvert sa, br est une partie ouverte de R.
§ Sa frontiere est reduite a a et b.
� La boule ouverte Bpa, rq est une partie ouverte de E.
§ Sa frontiere est la sphere Spa, rq.
� Dans R2, les demi-plans tx ą 0u, ty ą 0u sont des parties ouvertes du plan.
Inegalite stricte continue ùñ partie ouverte
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 26/52
3. Vocabulaire de la topologie
Definition (Adherence, partie fermee)
Soit A une partie de E.
‚ On dit qu’un point x P E est adherenta A si toute boule fermee centree en xrencontre A, @ε ą 0, Bf px, εqXA ‰ H.On note x P A.
‚ On dit que A est fermee si tout pointde E adherent a A est element de A, soitA “ A.
adhérence = intérieur + frontière
Point adherent et partie fermee
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 27/52
3. Vocabulaire de la topologie
Definition (Adherence, partie fermee)
Soit A une partie de E.
‚ On dit qu’un point x P E est adherenta A si toute boule fermee centree en xrencontre A, @ε ą 0, Bf px, εqXA ‰ H.On note x P A.
‚ On dit que A est fermee si tout pointde E adherent a A est element de A, soitA “ A.
adhérence = intérieur + frontière
Point adherent et partie fermee
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 27/52
3. Vocabulaire de la topologie
Definition (Adherence, partie fermee)
Soit A une partie de E.
‚ On dit qu’un point x P E est adherenta A si toute boule fermee centree en xrencontre A, @ε ą 0, Bf px, εqXA ‰ H.On note x P A.
‚ On dit que A est fermee si tout pointde E adherent a A est element de A, soitA “ A.
adhérence = intérieur + frontière
Point adherent et partie fermee
§ x est adherent a A s’il est en contact direct avec A.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 27/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLE
� Un intervalle ferme ra, bs de R est une partie fermee.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 28/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLE
� Un intervalle ferme ra, bs de R est une partie fermee.
� Les intervalles ra,`8r, s ´ 8, as ou s ´ 8,`8r sont fermes.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 28/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLE
� Un intervalle ferme ra, bs de R est une partie fermee.
� Les intervalles ra,`8r, s ´ 8, as ou s ´ 8,`8r sont fermes.
§ s ´ 8,`8r est aussi ouvert (sa frontiere est vide) . . .
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 28/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLE
� Un intervalle ferme ra, bs de R est une partie fermee.
� Les intervalles ra,`8r, s ´ 8, as ou s ´ 8,`8r sont fermes.
§ s ´ 8,`8r est aussi ouvert (sa frontiere est vide) . . .
� Une boule fermee est une partie fermee.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 27/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXEMPLE
� Un intervalle ferme ra, bs de R est une partie fermee.
� Les intervalles ra,`8r, s ´ 8, as ou s ´ 8,`8r sont fermes.
§ s ´ 8,`8r est aussi ouvert (sa frontiere est vide) . . .
� Une boule fermee est une partie fermee.
Inegalite large ou egalite continue ùñ partie fermee
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 27/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXERCICE 8
Soit A Ă E. On note Ac le complementaire de A dans E. Montrer que A est une partieouverte de E si et seulement si son complementaire Ac est une partie fermee de E.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 28/52
3. Vocabulaire de la topologie
EXERCICE 9
Montrer que la reunion ou l’intersection de deux parties ouvertes (resp fermees) de Eest encore ouverte (resp fermee). Application : montrer qu’une sphere est une partiefermee.
Partie 1 : Espaces vectoriels normes 29/52
Partie 2
Definition des limites
Espaces vectoriels normes, limites et suites
1. Definition
Partie 2 : Definition des limites 30/52
1. Definition
Definition (Limite d’une suite)
Soient punqně0 une suite de points de E et ` P E. On dit que punqně0 tend vers lalimite ` et on note un Ñ ` (lorque n Ñ `8) lorsque
@ε ą 0loomoon
bloc 1
, DN ě 0L
@n P N, n ě Nloooooooooooooooomoooooooooooooooon
bloc 2
ùñ }un ´ `} ď εloooooomoooooon
bloc 1
On dit aussi dans ce cas que punqně0 converge vers `.
Partie 2 : Definition des limites 30/52
1. Definition
Definition (Limite d’une suite)
Soient punqně0 une suite de points de E et ` P E. On dit que punqně0 tend vers lalimite ` et on note un Ñ ` (lorque n Ñ `8) lorsque
@ε ą 0loomoon
bloc 1
, DN ě 0L
@n P N, n ě Nloooooooooooooooomoooooooooooooooon
bloc 2
ùñ }un ´ `} ď εloooooomoooooon
bloc 1
On dit aussi dans ce cas que punqně0 converge vers `.
§ Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente (elle n’a aucune limite).
Partie 2 : Definition des limites 30/52
1. Definition
‚ Etablir une convergence, c’est faire une majoration ou une approximation.
Partie 2 : Definition des limites 31/52
1. Definition
‚ Etablir une convergence, c’est faire une majoration ou une approximation.
‚ Pour n assez grand,
}un ´ `} ď εðñ dpun, `q ď εðñ un P Bf p`, εq
Partie 2 : Definition des limites 31/52
1. Definition
‚ Etablir une convergence, c’est faire une majoration ou une approximation.
‚ Pour n assez grand,
}un ´ `} ď εðñ dpun, `q ď εðñ un P Bf p`, εq
‚ un est une approximation de ` a ε pres.
`
un
Bf (`, ")
Partie 2 : Definition des limites 31/52
1. Definition
Definition et proposition (Convergence et majoration)
Soit punqnPN une suite de points de E.
‚ On dit que punqnPN est bornee s’il existe un reel M tel que @n P N on ait}un} ď M.
‚ Si la suite punqnPN converge vers ` P E, alors elle est bornee.
Partie 2 : Definition des limites 32/52
1. Definition
Definition et proposition (Convergence et majoration)
Soit punqnPN une suite de points de E.
‚ On dit que punqnPN est bornee s’il existe un reel M tel que @n P N on ait}un} ď M.
‚ Si la suite punqnPN converge vers ` P E, alors elle est bornee.
§ Une partie A Ă E est bornee si elle estincluse dans une boule centree sur 0.
Partie 2 : Definition des limites 32/52
1. Definition
Definition et proposition (Convergence et majoration)
Soit punqnPN une suite de points de E.
‚ On dit que punqnPN est bornee s’il existe un reel M tel que @n P N on ait}un} ď M.
‚ Si la suite punqnPN converge vers ` P E, alors elle est bornee.
§ Une partie A Ă E est bornee si elle estincluse dans une boule centree sur 0.
M
A
0
B(0, M)
u0
u1
u2
un
Suite ou partie bornee
Partie 2 : Definition des limites 32/52
1. Definition
EXEMPLE
La convergence en moyenne de Cesaro.
Soit punqnPN une suite de points de E qui converge vers une limite ` P E, alors la suitepvnqnPN definie par
vn “u1 ` ¨ ¨ ¨ ` un
n
converge aussi vers `.
Partie 2 : Definition des limites 33/52
1. Definition
REMARQUES
‚ La convergence et la limite d’une suite ne dependent pas de la norme utilisee.
Partie 2 : Definition des limites 34/52
1. Definition
REMARQUES
‚ La convergence et la limite d’une suite ne dependent pas de la norme utilisee.
‚ La definition est modulaire.
Partie 2 : Definition des limites 34/52
1. Definition
REMARQUES
‚ La convergence et la limite d’une suite ne dependent pas de la norme utilisee.
‚ La definition est modulaire.
Le bloc 1 dans la definition traduit que un approche ` autant que l’on veut.
Partie 2 : Definition des limites 34/52
1. Definition
REMARQUES
‚ La convergence et la limite d’une suite ne dependent pas de la norme utilisee.
‚ La definition est modulaire.
Le bloc 1 dans la definition traduit que un approche ` autant que l’on veut.
Le bloc 2 traduit que n est assez grand.
Partie 2 : Definition des limites 34/52
1. Definition
REMARQUES
‚ La convergence et la limite d’une suite ne dependent pas de la norme utilisee.
‚ La definition est modulaire.
Le bloc 1 dans la definition traduit que un approche ` autant que l’on veut.
Le bloc 2 traduit que n est assez grand.
‚ On peut donner des variantes.
Partie 2 : Definition des limites 34/52
1. Definition
REMARQUES
‚ La convergence et la limite d’une suite ne dependent pas de la norme utilisee.
‚ La definition est modulaire.
Le bloc 1 dans la definition traduit que un approche ` autant que l’on veut.
Le bloc 2 traduit que n est assez grand.
‚ On peut donner des variantes. un Ñ `8 (pour une suite reelle)
Partie 2 : Definition des limites 34/52
1. Definition
REMARQUES
‚ La convergence et la limite d’une suite ne dependent pas de la norme utilisee.
‚ La definition est modulaire.
Le bloc 1 dans la definition traduit que un approche ` autant que l’on veut.
Le bloc 2 traduit que n est assez grand.
‚ On peut donner des variantes. un Ñ `8 (pour une suite reelle)
f ptq ´ ÑtÑa
` (pour une fonction f : I Ñ E)
Partie 2 : Definition des limites 34/52
1. Definition
Proposition (Caracterisation sequentielle des limites)
Soit f une fonction d’un intervalle I de R a valeurs dans E et a un point adherenta I et ` P E. Alors f ptq ´ Ñ
tÑa` si et seulement si pour toute suite ptnqnPN de points
de I avec tn Ñ a, on a f ptnq ´ ´ ÑnÑ`8
`
Partie 2 : Definition des limites 35/52
1. Definition
Proposition (Caracterisation sequentielle des limites)
Soit f une fonction d’un intervalle I de R a valeurs dans E et a un point adherenta I et ` P E. Alors f ptq ´ Ñ
tÑa` si et seulement si pour toute suite ptnqnPN de points
de I avec tn Ñ a, on a f ptnq ´ ´ ÑnÑ`8
`
Toute limite peut se ramener a des limites de suites.
Partie 2 : Definition des limites 35/52
1. Definition
EXERCICE 10
Ecrire les definitions des limites suivantes, pour une fonction f : I Ñ E, f ptq ´ ´ ÑtÑ`8
`,
f ptq ´ ÑtÑ
ąa`, puis lorsque f est a valeurs reelles, f ptq ´ Ñ
tÑa`8.
Partie 2 : Definition des limites 36/52
1. Definition
EXERCICE 11
Caracterisation sequentielle de l’adherence
Soient A une partie de E. Montrer qu’un point x P E est adherent a A si et seulements’il existe une suite punqnPN de points de A qui converge vers x .
Partie 2 : Definition des limites 37/52
1. Definition
EXERCICE 12
En utilisant la caracterisation sequentielle de l’adherence, retrouver le fait qu’une boulefermee, puis une sphere sont des parties fermees.
Partie 2 : Definition des limites 38/52
2. Proprietes des limites
Partie 2 : Definition des limites 39/52
2. Proprietes des limites
Resultats d’unicite
Partie 2 : Definition des limites 40/52
2. Proprietes des limites
Resultats d’unicite
Proposition (Unicite et suites extraites)
Soit punqnPN une suite de points de E qui converge vers un point ` P E.
piq La limite ` est unique, c’est-a-dire que si un Ñ `1, alors ` “ `1.
pi iq Toute suite extraite puϕpnqqnPN, ou ϕ : N Ñ N est une application strictementcroissante est convergente et converge egalement vers `.
Partie 2 : Definition des limites 40/52
2. Proprietes des limites
Resultats d’unicite
Proposition (Unicite et suites extraites)
Soit punqnPN une suite de points de E qui converge vers un point ` P E.
piq La limite ` est unique, c’est-a-dire que si un Ñ `1, alors ` “ `1.
pi iq Toute suite extraite puϕpnqqnPN, ou ϕ : N Ñ N est une application strictementcroissante est convergente et converge egalement vers `.
Partie 2 : Definition des limites 40/52
2. Proprietes des limites
Resultats d’unicite
Proposition (Unicite et suites extraites)
Soit punqnPN une suite de points de E qui converge vers un point ` P E.
piq La limite ` est unique, c’est-a-dire que si un Ñ `1, alors ` “ `1.
pi iq Toute suite extraite puϕpnqqnPN, ou ϕ : N Ñ N est une application strictementcroissante est convergente et converge egalement vers `.
§ On peut noter ` “ lim un l’unique limite de la suite punqnPN.
Partie 2 : Definition des limites 40/52
2. Proprietes des limites
Resultats d’unicite
Proposition (Unicite et suites extraites)
Soit punqnPN une suite de points de E qui converge vers un point ` P E.
piq La limite ` est unique, c’est-a-dire que si un Ñ `1, alors ` “ `1.
pi iq Toute suite extraite puϕpnqqnPN, ou ϕ : N Ñ N est une application strictementcroissante est convergente et converge egalement vers `.
§ On peut noter ` “ lim un l’unique limite de la suite punqnPN.
Pour montrer qu’une suite n’a aucune limite,il suffit de trouver deux suites extraites qui ont des limites differentes.
Partie 2 : Definition des limites 40/52
2. Proprietes des limites
EXEMPLES
� La suite de terme general p´1qn n’a aucune limite lorsque n Ñ `8.
Partie 2 : Definition des limites 41/52
2. Proprietes des limites
EXEMPLES
� La suite de terme general p´1qn n’a aucune limite lorsque n Ñ `8.
� Les suites de termes generaux cos nθ, sin nθ et e inθ n’ont aucune limite, sauf valeursparticulieres de θ.
Partie 2 : Definition des limites 41/52
2. Proprietes des limites
Proposition (Proprietes des suites geometriques)
La suite geometrique pznqnPN de raison z P C est
piq bornee si et seulement si |z | ď 1,
pi iq convergente si et seulement si z “ 1 (limite 1) ou |z | ă 1 (limite nulle).
Partie 2 : Definition des limites 42/52
2. Proprietes des limites
Proposition (Proprietes des suites geometriques)
La suite geometrique pznqnPN de raison z P C est
piq bornee si et seulement si |z | ď 1,
pi iq convergente si et seulement si z “ 1 (limite 1) ou |z | ă 1 (limite nulle).
§ Il y a divergence dans tous les autres cas.
Partie 2 : Definition des limites 42/52
2. Proprietes des limites
Limite et coordonnees
Partie 2 : Definition des limites 43/52
2. Proprietes des limites
Limite et coordonnees
Proposition (Convergence et suites de coordonnees)
Soient punqnPN une suite d’elements de Km, avec @n P N, un “ pxpnq1 , x
pnq2 , . . . , x
pnqm q
et ` “ p`1, . . . , `mq P Km. Alors on a un Ñ ` si et seulement si @k P v1, mw,
xpnqk ´ ´ Ñ
nÑ`8`k .
Partie 2 : Definition des limites 43/52
2. Proprietes des limites
Limite et coordonnees
Proposition (Convergence et suites de coordonnees)
Soient punqnPN une suite d’elements de Km, avec @n P N, un “ pxpnq1 , x
pnq2 , . . . , x
pnqm q
et ` “ p`1, . . . , `mq P Km. Alors on a un Ñ ` si et seulement si @k P v1, mw,
xpnqk ´ ´ Ñ
nÑ`8`k .
§ Ce resultat s’adapte a un espace E de dimension m muni d’une base.
Partie 2 : Definition des limites 43/52
2. Proprietes des limites
EXEMPLE
Limite d’une suite de matrices
An “
ˆ
1n e´n
sin nn 1
˙
PM2pRq pour n P N.
Partie 2 : Definition des limites 44/52
2. Proprietes des limites
EXEMPLE
Limite d’une suite de matrices
An “
ˆ
1n e´n
sin nn 1
˙
PM2pRq pour n P N.
An ´ ´ ÑnÑ`8
ˆ
0 00 1
˙
Partie 2 : Definition des limites 44/52
2. Proprietes des limites
EXEMPLE
Limite d’une suite de matrices
An “
ˆ
1n e´n
sin nn 1
˙
PM2pRq pour n P N.
An ´ ´ ÑnÑ`8
ˆ
0 00 1
˙
§ L’espace M2pRq peut etre identifie a R4 et muni d’une des normes usuelles.
Partie 2 : Definition des limites 44/52
2. Proprietes des limites
EXEMPLE
Limite d’une suite de matrices
An “
ˆ
1n e´n
sin nn 1
˙
PM2pRq pour n P N.
An ´ ´ ÑnÑ`8
ˆ
0 00 1
˙
§ L’espace M2pRq peut etre identifie a R4 et muni d’une des normes usuelles.
Pour une suite de vecteurs ou de matrices, la limite se fait coefficient parcoefficient
Partie 2 : Definition des limites 44/52
2. Proprietes des limites
Operations sur les limites
Partie 2 : Definition des limites 45/52
2. Proprietes des limites
Operations sur les limites
Proposition (Operations sur les limites)
Soient punqnPN et pvnqnPN des suites de points de E qui convergent respectivementvers ` et `1 P E. Alors
piq Pour tous λ, µ P K, λun ` µvn Ñ λ`` µ`1 (linearite de la limite)
pi iq Pour tout produit possible (multiplication, produit scalaire, produit matriciel)note ˆ, on a un ˆ vn Ñ `ˆ `1.
Partie 2 : Definition des limites 45/52
2. Proprietes des limites
EXEMPLE
Soit A PMppRq diagonalisable, avec spA Ă Bp0, 1q (ouverte).
Partie 2 : Definition des limites 46/52
2. Proprietes des limites
EXEMPLE
Soit A PMppRq diagonalisable, avec spA Ă Bp0, 1q (ouverte).
§ On montre que An ´ ´ ÑnÑ`8
0 (la matrice nulle)
Partie 2 : Definition des limites 46/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Partie 2 : Definition des limites 47/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Theoreme (de completude)
Toute partie A non vide et majoree de R admet une borne superieure, c’est-a-direun plus petit majorant, note supA.
– supA est un majorant de A, c’est-a-dire que @a P A, a ď supA,
– supA est le plus petit majorant de A, c’est-a-dire que @m P R avec m ă supA,alors m n’est pas majorant de A, soit Da P A tel que a ą m.
Partie 2 : Definition des limites 47/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
‚ On a un resultat analogue pour les parties minorees.
Partie 2 : Definition des limites 48/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
‚ On a un resultat analogue pour les parties minorees.
‚ Toute suite monotone admet une limite.
Partie 2 : Definition des limites 48/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
‚ On a un resultat analogue pour les parties minorees.
‚ Toute suite monotone admet une limite.
‚ Toute suite croissante et majoree converge vers sa borne superieure.
Partie 2 : Definition des limites 48/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
‚ On a un resultat analogue pour les parties minorees.
‚ Toute suite monotone admet une limite.
‚ Toute suite croissante et majoree converge vers sa borne superieure.
‚ On peut obtenir des limites par encadrements (theoreme des « gendarmes »).
Partie 2 : Definition des limites 48/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
‚ On a un resultat analogue pour les parties minorees.
‚ Toute suite monotone admet une limite.
‚ Toute suite croissante et majoree converge vers sa borne superieure.
‚ On peut obtenir des limites par encadrements (theoreme des « gendarmes »).
‚ On peut passer a la limite dans une inegalite.
Partie 2 : Definition des limites 48/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
‚ On a un resultat analogue pour les parties minorees.
‚ Toute suite monotone admet une limite.
‚ Toute suite croissante et majoree converge vers sa borne superieure.
‚ On peut obtenir des limites par encadrements (theoreme des « gendarmes »).
‚ On peut passer a la limite dans une inegalite.
Toute suite monotone de reels admet une limite (finie ou non).
Partie 2 : Definition des limites 48/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Etude des suites recurrentes
Partie 2 : Definition des limites 50/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Etude des suites recurrentes
‚ Soit punqnPN definie par son premier terme u0 P R et,
un`1 “ f`
un˘
, n ě 0
ou f est une fonction de R dans R.
Partie 2 : Definition des limites 50/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Etude des suites recurrentes
‚ Soit punqnPN definie par son premier terme u0 P R et,
un`1 “ f`
un˘
, n ě 0
ou f est une fonction de R dans R.
‚ On peut visualiser leur comportementsur un graphique.
Partie 2 : Definition des limites 50/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Etude des suites recurrentes
‚ Soit punqnPN definie par son premier terme u0 P R et,
un`1 “ f`
un˘
, n ě 0
ou f est une fonction de R dans R.
‚ On peut visualiser leur comportementsur un graphique.
y = f(x)
u0
u1
un
y=
x
Comportement d’une suite recurrente
Partie 2 : Definition des limites 50/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Etude des suites recurrentes
‚ Soit punqnPN definie par son premier terme u0 P R et,
un`1 “ f`
un˘
, n ě 0
ou f est une fonction de R dans R.
‚ On peut visualiser leur comportementsur un graphique.
‚ Sous certaines conditions, il y a conver-gence vers un point fixe de f ,
f pxq “ x ðñ f pxq ´ x “ 0.
y = f(x)
u0
u1
un
y=
x
Comportement d’une suite recurrente
Partie 2 : Definition des limites 50/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Etude des suites recurrentes
‚ Soit punqnPN definie par son premier terme u0 P R et,
un`1 “ f`
un˘
, n ě 0
ou f est une fonction de R dans R.
‚ On peut visualiser leur comportementsur un graphique.
‚ Sous certaines conditions, il y a conver-gence vers un point fixe de f ,
f pxq “ x ðñ f pxq ´ x “ 0.
‚ C’est la methode d’iteration.
y = f(x)
u0
u1
un
y=
x
Comportement d’une suite recurrente
Partie 2 : Definition des limites 50/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
REMARQUE
‚ La convergence n’est pas garantie.
Partie 2 : Definition des limites 52/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
REMARQUE
‚ La convergence n’est pas garantie.
‚ Il peut y avoir des instabilites et meme des comportements chaotiques.
Partie 2 : Definition des limites 52/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
REMARQUE
‚ La convergence n’est pas garantie.
‚ Il peut y avoir des instabilites et meme des comportements chaotiques.
‚ Exemple avec l’application logistique definie par
@x P r0, 1s, f pxq “ k ¨ x ¨ p1´ xq avec k “ 3, 9.
Partie 2 : Definition des limites 52/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Comportement chaotique d’une suite recurrente
Partie 2 : Definition des limites 52/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Comportement chaotique d’une suite recurrente
Partie 2 : Definition des limites 52/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Comportement chaotique d’une suite recurrente
Partie 2 : Definition des limites 52/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Comportement chaotique d’une suite recurrente
Partie 2 : Definition des limites 52/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
Comportement chaotique d’une suite recurrente
Partie 2 : Definition des limites 51/52
3. Proprietes specifiques des suites reelles
EXERCICE 14
Etudier la suite definie par a ą 0, u0 ą 0 et la relation de recurrence
un`1 “1
2
´
un `a
un
¯
Justifier notamment la convergence en utilisant les resultats rappeles en debut deparagraphe.
Partie 2 : Definition des limites 52/52