7/21/2019 Espacios Con Producto Interno

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CAPITULO 4: ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

1. Determinar cuáles de los siguientes son productos internos en los espaciosdados. En caso de no serlo, explique que condición falla

a) u,v = 3u 1v1+4u 2v2 en ℜ2 con u=(u 1,u 2), v=(v 1,v2)

b) 22M en ×⋅+⋅+⋅+⋅=

44332211, babababa B A

con =43

21

aa

aa A y =

43

21

bb

bb B

c) ∑=

⋅=n

iii baq p

0

, en P n* con:

∑=

⋅=n

i

ii xa x p

0

)( y ∑=

⋅=n

i

ii xb xq

0

)(

d) ( ) ( )ℜ⋅=mxnM en A Btraza B A T ,

e) ∑=

⋅=n

iii y xY X

1

2, en ℜn

f) En ℜ2 con v 1=(x1,x2), v2=(y1,y2)

i. v1,v2 =x1y1 - x2y2 ii. v1,v2 =x1y2 - x2y1

g) )2()2()1()1()0()0(, q pq pq pq p ⋅+⋅+⋅= en P n*

2. Para cada uno de los productos internos encontrados en el numeral 1, halle sunorma asociada y la respectiva métrica. Analice las propiedades de la norma yde la métrica.

3. Analice las propiedades de norma en cada uno de los siguientes casos:a) ℜ→ℜ

n: 2 / 1

1

2

=→ ∑=

n

ii x X X , norma euclidiana

b) ℜ→ℜn:

{ } i xmáx X X i ∀=→ , norma del máximo

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c) ℜ→ℜn:

∑=

=→n

ii x X X 1 , norma de la suma

4. Demuestre que:a) v,θ = θ ,v =0, ∀ v∈V

b)22

4

1 U

4

1, V U V V U −−+=

c) ( )θ cos2222

B A B A B A ⋅−+=−

d)2222

22 V U V U V U +=−++

5. Demuestre que si {u,v} es un conjunto ortonormal en V, entonces2=− V U .

6. Sean:

==1

1V

b

aU y

use la desigualdad de Cauchy-Schwartz para demostrar que:

22

222baba +

≤

+

7. Sean A y B vectores no nulos en un espacio V, mutuamente perpendiculares.Demuestre que para cualquier número c, se cumple que:

A Bc A ≥⋅+

8. Sea } pvvv ,..., 21 un conjunto ortonormal. Verifique por inducción la siguiente

igualdad para p≥ 1. Si p p vcvcvc x ⋅++⋅+⋅= ...2211 entonces22

2

2

1

2... pccc x +++=

9. Sea { }k vvvS ,..., 21=

un conjunto ortogonal de vectores enℜ

n

distintos de cero.Si U esta en g(S) y ∑

=

⋅=k

iii vcU

1

, demuestre que:

k ivv

vU c

ii

ii ,...,2,1=

⋅

⋅= para ,

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10. Sea:

=

−

=−==

7

174

7

5

,

2

2

2

,

3

2

1

321 vvv B

Una base ortogonal para ℜ3. Sea 3

6

6

12ℜ∈−=U . Usando el ejercicio anterior,

encuentre los ci tales que: 332211 vcvcvcU ⋅+⋅+⋅=

11. Use el ejercicio 9. para demostrar que si un vector U de V es ortogonal a cadavector de una base ortogonal para V, entonces U= θ .

12. Sea A una matriz ortonormal, demuestre que:a) AU ⋅ AV=U ⋅V, ∀ U,V ∈ℜ n b) vAv =

13. Demuestre que si A es simétrica y ortonormal, entonces:a) A 2=Ι b) A=A -1

14. Diga si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso y justifiquesu respuesta.

a) u,v - v,u = 0b) Si los vectores v 1,v2,...,vp generan un subespacio W y si X es ortogonal

a cada v j, ∀ j=1,2,...,p, entonces X esta en W.c) El conjunto de todos los vectores de ℜ

n ortogonales a un vector fijo esun subespacio de ℜ

n.

15. Sea v=(a,b,c). Describe el conjunto H de vectores (x,y,z) que son ortogonales av.

16. Sea U una matriz cuadrada con columnas ortonormales. Explique por que U esinvertible.

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17. Sea pwww ,..., 21 una base ortogonal para un espacio W.

Sea qvvv ,..., 21 una base ortogonal para W ┴ . Es q p vvvwww ,...,,,..., 2121 unconjunto ortogonal? Explique.

18. Demuestre que si X está tanto en W como en W ┴ , entonces X= θ

19. Demuestre que una matriz U mxn tiene columnas ortogonales si y solo si U TU=Ιn.

20. Encuentre una base ortonormal para el espacio H={X ∈ℜ4 / x-y+z+w=0}.

Encuentre H ┴ .

21. Sea B={ 1+x, 1-x 2, 1+x+x 2 } una base para P 2*. Halle una base ortonormal para

P 2* usando como producto interno:

a) ∫−

⋅=1

1

)()(, dx xq x pq p

b) )2()2()1()1()0()0(, q pq pq pq p ⋅+⋅+⋅=

22. En P n*, sea ∫

−

⋅=1

1

)()(, dx xq x pq p un producto interno.

a) Es B={1,x,x 2,...,x n} una base ortonormal?b) Sean :

{ })()()(*

1 x p x pP x p H n −=∈=

y)()()( *

2 x p x pP x p H n −−=∈=

Son H 1 y H 2 subespacios ortogonales entre si?

23. Sea { }nvvv B ,..., 21= una base ortonormal de un espacio V, Demuestre que

para cada w∈V se cumple:

∑=

=n

iivww

1

22,

24. Sea V un espacio n-dimensional y sea { }n x x x B ,..., 21= una base ordenada para

V.a) Demuestre que [ ] [ ] B B Y X Y X ⋅=, es un producto interno en V.

b) Demuestre que i X i ∀= ,1

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c) Demuestre que B es una base ortonormal referida al producto internoaquí definido.

25. Determine si en el espacio C [-π ,π ] , el conjunto:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=π π π π π π π

nxsennx xsen x xsen xF ,

cos,...,

2,

2cos,,

cos,

2

1

es ortonormal relativo al producto:

∫−

=π

π

dx xg x f g f )()(,

26. Sea

44

||2

10

||02

1

||02

1

||2

10

×

−

= M

agregue si es posible las columnas que faltan para que M sea ortonormal.

27. Sea { }ni x x X T iin ,...,3,2,2 1

=∀=ℜ∈=− un subespacio de ℜ

n. Encuentre T ┴ .