Espacios de Priestley generalizados

Trabajo final de Licenciatura en Cs. Matematicas

Espacios de Priestley generalizados

Autor: Denis Anibal Tolaba

Director: Sergio A. Celani

Universidad Nacional del Centro

de la Provincia de Buenos Aires

Facultad de Ciencias Exactas

Departamento de Matematica

2017

Indice general

1 Conceptos preliminares 81.1 Conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Retıculos y semiretıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Filtros e Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Semiretıculos distributivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Filtros e ideales de Frink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Filtros optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Representacion tipo Stone 222.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Representacion por conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 DS-espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Dualidad tipo Priestley 293.1 Espacios de Priestley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Representacion por filtros optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Espacios de Priestley generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Dualidad para homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Relacion con los DS-espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Semiretıculos implicativos 544.1 Definiciones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Dualidad de Priestley para semiretıculos implicativos . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Extension distributiva libre 595.1 Homomorfismos superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Construccion de la extension distributiva libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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Agradecimientos

En primer lugar quiero agradecerle a Sergio por proponerme este tema, por confiar en mı yayudarme a realizar este trabajo.

A los docentes que han sido de mucha influencia en mi formacion como profesor y licenciado.A todos aquellos companeros de catedra e integrantes del Departamento de Matematica que mehan brindado su apoyo constante para que pudiera concluir esta etapa como estudiante.

En lo personal, a mis padres por apoyarme en todo sentido desde que inicie esta carrera, sincuestionamientos y confiando en cada una de las decisiones que he tomado a lo largo de estecamino.

A mis queridos hermanos por el aguante y carino de siempre a pesar de la distancia que nossepara, principalmente a Sergio que no solo es mi hermano sino tambien mi primer amigo y meha dado la posibilidad de ser tıo de un hermoso sobrino.

A mi abuela Margarita, a quien recuerdo con mucho carino por aquellos hermosos dıas de miinfancia.

A mis amigos de la vida. Diego y Fernan por las charlas de futbol, los dıas de playa y losmomentos de locura que hemos pasado.

A mis pseudo hermanas Juli, Flor y Yasmın por mantenernos unidos a pesar de la distancia ydarme todo el carino de una familia.

A Martin, Manu y Manolo por bancarme en las largas noches de estudio y compartir reencuen-tros, charlas y momentos de futbol junto a Dami y Tin.

A todas las amistades que he conseguido gracias a esta carrera y aun seguimos en contacto porcualquier medio. En particular agradecer a Mauro quien es un gran referente y por sobre todoun gran amigo. A Lu, Flor, Sil, Anto, Lau, Nati y Dai que siempre me bancan, estan al dıa conmi progreso y todos mis logros. Compartimos muchas cursadas y momentos de estudio, intensos,pesados, con altas y bajas ası como tambien lindos momentos de ocio, paseos, mates y charlas.

Por ultimo quiero dedicarle un especial agradecimiento a Lujan (Marilu como solıan decirle)por hacerme un lugar en su familia y considerarme un hijo mas. Son incontables las veces queme alentaste a terminar la carrera, a no quedarme estancado. Me hubiera encantado que pudierasverlo.

Nada de esto hubiera sido posible sin ustedes. Gracias!

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Introduccion

Las representaciones topologicas juegan un papel fundamental en muchas areas de la matemati-ca. En particular son importantes en el estudio de estructuras algebraicas ordenadas, como gruposreticulados, retıculos distributivos, algebras de Heyting, algebras de Boole, MV-algebras, etc. Losprimeros trabajos en esta direccion corresponden a los estudios que inicio Marshall H. Stone mo-tivados por ciertos problemas en la teorıa espectral de espacios de Hilbert. En su primer artıculo[20] Stone demostro que toda algebra de Boole es isomorfa al algebra de Boole de todos los con-juntos cerrados y abiertos de un espacio topologico compacto satisfaciendo la propiedad de queel conjunto de los abiertos y cerrados del espacio forman una base. Este tipo de espacios sonconocidos como espacios Booleanos o espacios de Stone. Posteriormente, en el artıculo [19], elmismo Stone extendio su representacion al caso de retıculos distributivos y algebras de Heyting,probando que todo retıculo distributivo puede ser identificado como el conjunto de los abiertos ycompactos de un espacio topologico T0 con la propiedad de que la familia de todos los abiertos ycompactos son una base de abiertos cerrada bajo intersecciones finitas. Esta clase de espacios sonconocidos como espacios espectrales. Los trabajos de Stone estaban motivados por problemassurgidos en el Analisis Funcional, pero la influencia de estos trabajos en otras ramas de la Ma-tematica ha sido fundamental. Particularmente produjo un fuerte impacto en Logica Matematica,Teorıa de Categorıas, Computacion teorica [22], Teorıa de la Medida y Topologıa General [14] yanillos conmutativos unitarios [13].

Los trabajos de Stone fueron los cimientos de una nueva rama de la matematica, conocida hoycomo Teorıa de dualidades. Esta rama intenta estudiar con herramientas categoricas dualidades oequivalencias entre categorıas algebraicas y categorıas donde los objetos son algun tipo de espaciotopologico. Todas estas dualidades son conocidas como dualidades tipo Stone cuando son exten-siones o generalizaciones de la dualidad desarrollada en los primeros trabajos de M. Stone. Otrarama de la matematica originada en los trabajos de Stone es la que hoy se conoce como topologıasin puntos (pointless topology) [14] y es una de las tecnicas mas importantes en el estudio desemanticas formales.

Varias decadas despues de los fundamentales trabajos de Stone, a fines de los 60 y principiosde los 70, Hilary Priestley definio la clase de los espacios topologicos ordenados compactos ytotalmente disconexos en el orden [17, 18]. Un espacio de Priestley se puede ver como un espaciode Stone con un orden adicional que interactua con la topologıa de una forma particular. Estosespacios son conocidos como espacios de Stone ordenados, o espacios de Priestley. En este casoel conjunto de los abiertos-cerrados y crecientes de un espacio de Priestley forman un retıculodistributivo acotado bajo las operaciones usuales de interseccion y union de conjuntos. H. Priestleydemostro que todo retıculo distributivo acotado es isomorfo al conjunto de todos los abiertos-cerrados y crecientes de un espacio de este tipo. Por lo tanto tenemos otro clase de representacion

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Indice general Indice general

para los retıculos distributivos mas geometrica que la representacion original de Stone. La dualidadde Priestley resulto ser una tecnica muy util en el estudio de estructuras algebraicas ordenadas,principalmente aquellas que son semanticas algebraicas de logicas proposicionales.

Todo retıculo distributivo consta de dos estructuras conviviendo entre sı. Si 〈L,∨,∧, 0, 1〉 esun retıculo distributivo, entonces 〈L,∨〉 y 〈L,∧〉 son semiretıculos de tal forma que producen elmismo orden y que estan relacionados por las propiedades de absorcion:

x ∧ (x ∨ y) = x

x ∨ (x ∧ y) = x.

Por otra parte, un resultado conocido afirma que todo retıculo es distributivo si y solo si el retıculode sus filtros es distributivo. Este resultado tambien puede ser formulado en terminos de ideales.Todo retıculo es distributivo si el retıculo de sus ideales es distributivo. Si ahora unicamente con-sideramos un semiretıculo con ınfimo y ultimo elemento 〈L,∧, 1〉 de tal forma que todo par deelementos tenga cota superior, es posible demostrar que el conjunto de los filtros forma un retıcu-lo. Esto se debe a que en la definicion de filtro intervienen unicamente el orden y la operacion deınfimo. La operacion de supremo no juega ningun papel. Por lo tanto, es natural estudiar la clase delos semiretıculos con ınfimo donde el conjunto de los filtros sea distributivo. George Gratzer [12]fue uno de los primeros en observar la importancia de los semiretıculos con la propiedad de que losfiltros forma un retıculo distributivo. A tales semiretıculos se los denomina semiretıculos distribu-tivos. Gratzer probo que la representacion topologica desarrollada por Stone podıa generalizarseal caso de los semiretıculos distributivos, para lo cual introdujo ciertos espacios topologicos queresultan una generalizacion natural de los espacios espectrales. Siguiendo esta lınea de trabajo, enlos artıculos [6], [7] y [8] se profundizo el estudio de esta clase de estructuras, dando diferentescaracterizaciones de esta nocion de distributividad y completando los resultados sobre represen-tacion que habıa comenzado Gratzer hasta obtener una dualidad categorica completa. La novedadprincipal de [6] es la caracterizacion de homomorfismos de ∧-semiretıculos que preservan ulti-mo elemento por medio de ciertas relaciones binarias definidas entre ciertos espacios espectrales.Es importante destacar que un retıculo acotado 〈L,∨,∧, 0, 1〉 es distributivo si y solo si el se-miretıculo 〈L,∧, 1〉 es distributivo. De igual manera, es posible probar que si 〈L,∧,→, 1〉 es unsemiretıculo implicativo, entonces el reducto 〈L,∧, 1〉 es distributivo [9], [15], [7].

Como ya mencionamos anteriormente, los semiretıculos distributivos tienen una buena repre-sentacion topologica por medio de una generalizacion de los espacios espectrales. Surge entoncesla siguiente pregunta: ¿Es posible construir una representacion al estilo Priestley de los semi-retıculos distributivos? Es decir ¿podemos construir una representacion topologica, pero utilizan-do espacios topologicos ordenados de tal forma que cuando estemos en presencia de un retıculodistributivo acotado obtengamos la dualidad original de Priestley? La respuesta es afirmativa. Enlos artıculos [2] y [3] Guram Bezhanishvili y Ramon Jansana desarrollaron una completa repre-sentacion y dualidad para los semiretıculos distributivos con primer elemento a traves de unageneralizacion de los espacios de Priestley. Mas precisamente en [2] se definen los espacios dePriestley generalizados como cuaternas 〈X,X0,≤, τ〉 donde 〈X,≤, τ〉 es un espacio de Priestley,y X0 es un subconjunto denso del espacio topologico 〈X, τ〉 tal que para cada x ∈ X existe uny∈ X0 tal que x ≤ y, y satisfaciendo algunas propiedades. Como se demuestra en este artıculo,

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existe una dualidad categorica entre la categorıa de los espacios de Priestley generalizados juntocon apropiados morfismos, y la categorıa de los semiretıculos distributivos con primer elementoy apropiados morfismos. Esto permitio, entre otras aplicaciones, caracterizar topologicamente alos filtros de semiretıculos, a los ideales de orden, a los ideales de Frink, a los filtros optimales,etc. Otra importante aplicacion de esta dualidad se muestra en el artıculo [3], donde se prueba laconexion de la familia de subsemiretıculos distributivos de un semiretıculo dado y ciertas relacio-nes definidas en el espacio de Priestley dual. Es interesante destacar que todo espacio de Priestleygeneralizado tiene asociado un espacio tipo espectral cuyo conjunto soporte es el subconjunto X0.Estos resultados sirven para relacionar la representacion tipo Stone dada en [6] con esta nuevarepresentacion.

Hay dos diferencias importantes entre las dos representaciones discutidas. Por un lado, los es-pacios tipo Stone o espectrales utilizados en los trabajos [6] y [8] son espacios T0, y el ordenasociado es el orden usual que se define en cualquier espacio topologico T0. En cambio los es-pacios de Priestley generalizados son T2 y el orden ≤ no es el mismo orden que el asociado ala topologıa. Otra diferencia importante es la complejidad de la definicion. La definicion de losespacios tipo Stone es mucho mas sencilla. En cambio la definicion de los espacios de Priestleygeneralizados es bastante mas compleja, pues interviene no solamente el conjunto base, sino tam-bien un orden y un subconjunto distinguido. Pero esa mayor complejidad se compensa por visiongeometrica de la dualidad y por las aplicaciones.

El objetivo de este trabajo es presentar de una forma unificada y lo mas accesible posible, losprincipales resultados sobre la representacion topologica para los semiretıculos distributivos conprimer elemento utilizando espacios de Priestley generalizados y dar algunas aplicaciones de estarepresentacion. Aprovecharemos estos resultados para determinar una dualidad para la variedadde los semiretıculos implicativos acotados, para lo cual introduciremos la nocion de espacios ge-neralizados de Esakia.

Este trabajo esta dividido en dos partes. La primera abarca los capıtulos 1 y 2, y esta destinadaa recordar los conceptos y resultados fundamentales para el desarrollo de los siguientes capıtulos.En la segunda que abarca los capıtulos 3, 4 y 5, se presenta la dualidad de Priestley para retıculosdistributivos acotados, luego se desarrolla tal dualidad para el caso de semiretıculos distributivosacotados, su extension para semiretıculos implicativos acotados y su relacion con la extensiondistributiva libre de semiretıculos distributivos.

En el capıtulo 1 introduciremos las nociones basicas asociadas a conjuntos ordenados, retıculosy semiretıculos. Y daremos nociones generales de filtros e ideales para semiretıculos que nospermitiran desarrollar una representacion topologica para ∧-semiretıculos distributivos acotados.

En el capıtulo 2 recordaremos los principales conceptos y resultados de los trabajos [6], [8] y[12] sobre la dualidad de tipo Stone para ∧-semiretıculos distributivos acotados. Varios de estosresultados son aplicados o generalizados en los proximos capıtulos.

En el Capıtulo 3, en primer lugar, recordaremos la dualidad de Priestley para retıculos distributi-vos acotados. Comprobaremos que todo retıculo distributivo acotado tiene asociado un espacio dePriestley y recıprocamente todo espacio de Priestley tiene asociado un retıculo distributivo acota-do. En la seccion siguiente daremos una representacion topologica para ∧-semiretıculos distributi-vos acotados por medio de filtros optimales. Esta representacion resulta ser la idea principal para la

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introduccion de los espacios de Priestley generalizados que se define en la siguiente seccion. Com-probaremos que todo espacio de Priestley generalizado tiene asociado un ∧-semiretıculo distribu-tivo acotado y recıprocamente cada ∧-semiretıculo distributivo acotado tiene asociado un espaciode Priestley generalizado. Luego daremos una dualidad entre homomorfismos de ∧-semiretıculosdistributivos acotados y morfismos de Priestley generalizados. Veremos que los morfismos entreespacios de Priestley generalizados son relaciones binarias definidas entre espacios de Priestleygeneralizados. Por ultimo veremos que todo espacio de Priestley generalizado. tiene asociado unDS-espacio acotado.

En el Capıtulo 4 daremos la nociones basicas para ∧-semiretıculos implicativos y espacios deEsakia. Extenderemos esta ultima a la nocion de espacio de Esakia generalizado y desarrollaremossu dualidad de tipo Priestley a partir de los resultados obtenidos en el capıtulo anterior.

En el Capıtulo 5 daremos una nueva nocion de homomorfismos de semiretıculos, los cualespreservan los supremos en caso que existan. Esta clase de homomorfismos seran utiles en la cons-truccion de la extension distributiva libre para semıreticulos distributivos. Mostraremos que paracada semiretıculo distributivo dicha extension existe y es unica salvo isomorfismos. Por ultimomostraremos algunas aplicaciones de la extension distributiva libre.

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1 Conceptos preliminares

En este capıtulo introduciremos las definiciones basicas y teoremas necesarios sobre conjuntosordenados, retıculos y semiretıculos que utilizaremos en el resto del trabajo. Se puede consultarlos libros [1] y [5] para ver las demostraciones y resultados correspondientes.

1.1. Conjuntos ordenados

Definicion 1.1. Un orden definido en un conjunto X es una relacion binaria “≤” en X tal quepara todo x, y, z ∈ X, se cumplen las siguientes condiciones:

1. x ≤ x (reflexiva).

2. Si x ≤ y e y ≤ x entonces se x = y (antisimetrica).

3. Si x ≤ y e y ≤ z entonces ser x ≤ z (transitiva).

El par (X,≤), donde ≤ es un orden sobre X, se dira conjunto (parcialmente) ordenado.

Definicion 1.2. Sea (X,≤) un conjunto ordenado. Un subconjunto Y ⊆ X es creciente, si paratodo x ∈ X, y ∈ Y tal que y ≤ x, entonces x ∈ Y . Un subconjunto Y ⊆ X es decreciente, sipara todo x ∈ X , y ∈ Y tal que x ≤ y, entonces x ∈ Y .

El menor subconjunto creciente que contiene a un subconjunto Y ⊆ X es el conjunto

[Y 〉 = {x ∈ X : y ≤ x, para algun y ∈ Y }.

De forma analoga, el menor subconjunto decreciente que contiene a un conjunto Y ⊆ X como

〈Y ] = {x ∈ X : y ≥ x, para algun y ∈ Y }.

Para el caso que Y = {a}, denotaremos por [{a}〉 = [a〉 y 〈{a}] = 〈a] a los conjuntos crecientey decreciente generados por a respectivamente.

Dado un conjunto ordenado (X,≤), el conjunto de todos los subconjuntos crecientes de X serasimbolizado por Pc (X) . De manera similar, el conjunto de todos los subconjuntos decrecientesde X sera simbolizado por Pd (X) . Observemos que (Pc (X) ,⊆) y (Pd (X) ,⊆) son conjuntosordenados.

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1.2 Retıculos y semiretıculos Conceptos preliminares

1.2. Retıculos y semiretıculos

Sea (X,≤) un conjunto ordenado y a, b ∈ X. El supremo y el ınfimo del conjunto {a, b}, siexisten, seran simbolizados por a ∨ b y a ∧ b, respectivamente. Es decir:

sup{a, b} = a ∨ bınf{a, b} = a ∧ b

En el caso de un subconjunto K ⊆ L, el supremo y el ınfimo de K sera simbolizado por∨K y∧

K respectivamente.

Definicion 1.3. Sea (L,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Diremos que (L,≤) es un retıculosi para todo subconjunto finito K ⊆ L existe el supremo

∨K y el ınfimo

∧K.

A partir de ahora, sin lugar a confusion, un retıculo (L,∧,∨) sera denotado directamente por suconjunto soporte L.

Definicion 1.4. Sea L un retıculo.

Diremos que L tiene primer elemento si existe un elemento, que denotaremos por 0, tal que0 ≤ x, para todo x ∈ L.

Diremos que L tiene ultimo elemento si existe un elemento, que denotaremos por 1, tal quex ≤ 1, para todo x ∈ L.

Diremos que un retıculo L es acotado si existe primer elemento 0 y ultimo elemento 1. Esdecir:

0 ≤ x ≤ 1, para todo x ∈ L.

Un retıculo L es completo si existe el ınfimo y el supremo de cualquier subconjunto novacıo.

Definicion 1.5. Sea L un retıculo. Diremos que L es distributivo si para todo a, b, c ∈ L, secumple que

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Es sencillo comprobar que la condicion de distributividad de la definicion anterior es equivalentea

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

Al igual que en la definicion de retıculos, podemos definir a un semiretıculo como un conjuntoordenado cumpliendo determinadas propiedades.

Definicion 1.6. Sea (S,≤) un conjunto ordenado. Diremos que (S,≤) es un supremo-semiretıcu-lo, o simplemente ∨-semiretıculo, si para todo par de elementos a, b ∈ S, existe el supremo a ∨ b.

Diremos que (S,≤) es un ınfimo-semiretıculo, o simplemente ∧-semiretıculo, si para todo parde elementos a, b ∈ S, existe el ınfimo a ∧ b.

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1.2 Retıculos y semiretıculos Conceptos preliminares

Los semiretıculos pueden ser caracterizados como estructuras algebraicas como veremos a con-tinuacion.

Definicion 1.7. Un semiretıculo es un algebra S = (S, ◦) del tipo (2) que satisface las siguientesidentidades:

1. (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z),

2. x ◦ y = y ◦ x,

3. x ◦ x = x.

Es decir, ◦ es una operacion binaria asociativa, conmutativa e idempotente.Sea S un semiretıculo. Diremos que S tiene ultimo elemento si existe un elemento, que denota-

remos por 1, tal que x ≤ 1, para todo x ∈ S.Dado un semiretıculo S = (S, ◦), podemos definir las siguientes relaciones binarias ≤∧,≤∨ en

S como:a ≤∧ b si y solo si a ◦ b = a

ya ≤∨ b si y solo si a ◦ b = b,

respectivamente.Mostraremos que las relaciones ≤∧ y ≤∨ son ordenes parciales sobre S, que se denominan el

orden inducido por ◦.

Teorema 1.8. Sea S = (S, ◦) un semiretıculo y sean ≤∧ y ≤∨ las relaciones binarias definidasanteriormente. Entonces

(S,≤∧) es un ∧-semiretıculo en el cual a ∧ b = a ◦ b, para todo a, b ∈ S, y

(S,≤∨) es un ∨-semiretıculo en el cual a ∨ b = a ◦ b, para todo a, b ∈ S.

Demostracion. Veamos que el par (S,≤∧) es un ∧-semiretıculo. Primero debemos probar que larelacion ≤∧ es un orden sobre S. De la condicion 3., se tiene que ≤∧ es reflexivo, pues a ≤∧ a siy solo si a ◦ a = a. Si a ≤∧ b y b ≤∧ a, entonces se tiene que a = a ◦ b = b ◦ a = b utilizandola condicion 2. Es decir, ≤∧ es antisimetrica. Finalmente, si a ≤∧ b y b ≤∧ c, entonces por lacondicion 1. se tiene que a ◦ c = (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) = a ◦ b = a, es decir que a ◦ c = a ysucede si y solo si a ≤∧ c, lo cual prueba que≤∧ es transitiva. Por lo tanto≤∧ es un orden parcialsobre S.

Probemos que a ◦ b = a ∧ b, para todo par de elementos a, b ∈ S. Claramente se ve que a ◦ bes una cota inferior de {a, b}, dado que a ◦ (a ◦ b) = (a ◦ a) ◦ b = a ◦ b, entonces a ◦ b ≤∧ a, yse prueba de manera similar que a ◦ b ≤∧ b. Veamos que a ◦ b es la mayor de las cotas inferiores.Sea c otra cota inferior de {a, b}, entonces (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) = a ◦ c = c, por consecuenciac ≤∧ a ◦ b, probando que a ◦ b es la mayor cota inferior de {a, b}. Por lo tanto tenemos quea ∧ b = a ◦ b.

Con argumentos similares se demuestra que≤∨ es un orden parcial sobre S, y que el par (S,≤∨)

es un ∨-semiretıculo.

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1.3 Filtros e Ideales Conceptos preliminares

Dado un retıculo L, se le puede asociar dos semiretıculos. Un ∧-semiretıculo y un ∨-semiretıculo.Como en esta memoria solo vamos a trabajar con ∧-semiretıculos, directamente nos referiremos aellos como semiretıculos. Tambien vamos a asumir que todo semiretıculo tiene ultimo elemento 1.A partir de ahora, si no hay lugar a confusion, un semiretıculo (S,∧) sera denotado directamentepor S.

1.3. Filtros e Ideales

En esta seccion vamos a revisar los principales resultados sobre filtros e ideales en semiretıculos.Particularmente nos interesa repasar las nociones de filtro irreducible, primo e ideal de orden. Paramas detalles ver [6] y [12].

Definicion 1.9. Sea L un semiretıculo. Un subconjunto no vacıo F ⊆ L es un filtro de L si secumplen las siguientes condiciones:

1. Si x ∈ F y x ≤ y, entonces y ∈ F .

2. Si x, y ∈ F , entonces x ∧ y ∈ F .

Un filtro F es propio si F 6= L.

Observemos que si F es un filtro propio, entonces existe un elemento x ∈ F , y como x ≤ 1,entonces 1 ∈ F .

Definicion 1.10. Sea L un semiretıculo. Un subconjunto no vacıo I ⊆ L es un ideal de L si secumplen las siguientes condiciones:

1. Si y ∈ I y x ≤ y, entonces x ∈ I .

2. Si x, y ∈ I , y existe el supremo x ∨ y, entonces x ∨ y ∈ I .

Un ideal I es propio si I 6= L.

Un filtro de un semiretıculo es un subconjunto no vacıo, creciente y cerrado bajo ∧. Dualmente,un ideal es un subconjunto no vacıo, decreciente y cerrado bajo los supremos existentes ∨. Sim-bolizaremos por Fi(L) e Id(L) a los conjuntos de los filtros y de los ideales de L respectivamente,ambos ordenados por medio de la relacion de inclusion.

Observacion 1.11. En un retıculo la nocion de ideal definida anteriormente coincide con la usual.

Definicion 1.12. Sea L un semiretıculo y H un subconjunto de L no vacıo. El filtro generado porH es

[H) =⋂{F : F ∈ Fi(L) y H ⊆ F}.

El ideal generado por H es

(H] =⋂{I : I ∈ Id(L) y H ⊆ I}.

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Definicion 1.13. Un filtro F se dice que esta finitamente generado si F = [X), para algun subcon-junto finito no vacıo X ⊆ L. De manera analoga, un ideal I se dice que esta finitamente generadosi I = (X], para algun subconjunto finito no vacıo X ⊆ L.

Si H = {a}, entonces escribimos [a) y (a] y los llamaremos filtro principal generado por a eideal principal generado por a, respectivamente.

Notemos que el filtro (ideal) generado por un subconjunto no vacıo es el menor filtro (ideal) quecontiene al conjunto. Ahora daremos una caracterizacion de los filtros generados por un conjuntovalida tanto en semiretıculos como en retıculos. Una caracterizacion similar para ideales solo esvalida en el caso de retıculos.

Proposicion 1.14. Sea L un semiretıculo y H un subconjunto de L no vacıo. Entonces:

[H) = {x ∈ L : ∃{h0, ..., hn} ⊆ H y (h0 ∧ · · · ∧ hn ≤ x)}.

Si L es un retıculo, entonces

(H] = {x ∈ L : ∃{h0, ..., hn} ⊆ H y (x ≤ h0 ∨ · · · ∨ hn)}.

Teorema 1.15. Sea L un semiretıculo con ultimo elemento 1. Entonces:

1. 〈Fi(L),⊆〉 es un retıculo completo donde las operaciones estan definidas por:∧j∈J

Fj =⋂j∈J

Fj∨j∈J

Fj = [⋃j∈J

Fj)

2. Si L es un retıculo, entonces 〈Id(L),⊆〉 es un retıculo completo donde las operaciones estandefinidas por: ∧

j∈JIj =

⋂j∈J

Ij∨j∈J

Ij = (⋃j∈J

Ij ]

Del resultado anterior obtenemos como caso particular que si a, b ∈ L, entonces

[a) ∧ [b) = [a ∨ b), si existe a ∨ b[a) ∨ [b) = [a ∧ b)

y

(a] ∧ (b] = (a ∧ b](a] ∨ (b] = (a ∨ b], si existe a ∨ b.

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En todo lo que sigue vamos a considerar que todo semiretıculo tiene ultimo elemento. Por lotanto, tenemos que para cualquier par de elemntos a, b ∈ L, [a) ∩ [b) 6= ∅, es decir, cualquier parde elementos tiene una cota superior.

Definicion 1.16. Sea L un semiretıculo. Sea F un filtro propio de L. Entonces

1. F es irreducible si para todo F1, F2 ∈ Fi(L) tal que F = F1 ∩ F2, entonces F = F1 oF = F2. Es decir, F es irreducible si es un elemento irreducible en el semiretıculo de losfiltros Fi(L). Denotemos por X(L) al conjunto de todos los filtros irreducibles de L.

2. F es primo o debilmente irreducible si para todo F1, F2 ∈ Fi(L) tal que F1 ∩ F2 ⊆F ,entonces F1 ⊆ F o F2 ⊆ F . Es decir, F es primo si es un elemento primo en el se-miretıculo de los filtros Fi(L). Denotaremos con Xw(L) al conjunto de todos los filtrosprimos de L.

3. Un filtro propio F de L es maximal si para cada K ∈ Fi(L) tal que F ⊆ K, entoncesF = K o K = L.

Denotaremos con Ul(L) el conjunto de los filtros maximales de L.

4. Un filtro de orden F es un subconjunto de L tal que:

a) F 6= ∅ e F 6= L

b) ∀a ∈ L si b ≤ a y b ∈ F , entonces a ∈ F (creciente)

c) ∀a, b ∈ F, ∃c ∈ F/c ≤ a y c ≤ b.

5. Un ideal de orden I es un subconjunto de L tal que:

a) I 6= ∅ e I 6= L

b) ∀a ∈ L si a ≤ b y b ∈ I , entonces a ∈ I (decreciente)

c) ∀a, b ∈ I, ∃c ∈ I/a ≤ c y b ≤ c.

Denotemos por Fior(L) e Idor(L) a los conjuntos de todos los filtros e ideales de orden de L.

Definicion 1.17. Sea L un semiretıculo. Un ideal de orden propio I de L es primo si para cadaa, b ∈ L tal que a ∧ b ∈ I , entonces a ∈ I o b ∈ I .

Observacion 1.18. Si L es un semiretıculo, todo ideal de orden es un ideal.

Observacion 1.19. En general, las nociones de filtro primo e irreducible no coinciden. Justamenteuna de las caracterizaciones de los semiretıculos distributivo afirma que un semiretıculo es dis-tributivo cuando todo filtro primo es irreducible. Esto se demostrara en el Teorema 1.29 de lasiguiente seccion.

Lema 1.20. Sea L un semiretıculo. Entonces Xw(L) ⊆ X(L), es decir, todo filtro primo esirreducible.

Lema 1.21. Sea L un semiretıculo y sea F ∈ Fi(L). Entonces F es irreducible si y solo si, paratodo a, b /∈ F , existen c /∈ F y f ∈ F tal que a ∧ f ≤ c y b ∧ f ≤ c.

13

1.4 Semiretıculos distributivos Conceptos preliminares

Lema 1.22. Sea L un semiretıculo y sea F ⊆ L. Entonces F es un filtro primo si y solo siF c = {x ∈ L : x /∈ F} es un ideal de orden primo.

Vamos a dar ahora un teorema que es una generalizacion del teorema del filtro Primo parasemiretıculos que generaliza el resultado dado por G. Gratzer en [12]. Recordemos primero elsiguiente resultado.

Lema 1.23 (de Zorn). SeaA un conjunto y sea F un subconjunto de P(A). Supongamos que paratoda cadena C en el conjunto ordenado 〈F ,⊆〉 se verifica que

⋃C ∈ F . Entonces F tiene un

elemento maximal.

Teorema 1.24 (del Filtro Irreducible). Sea L un semiretıculo. Si F ∈ Fi(L) e I ∈ Idor(L) tal queF ∩ I = ∅, entonces existe un filtro irreducible P tal que F ⊆ P y P ∩ I = ∅.

Demostracion. Consideremos el conjunto

F = {H ∈ Fi(L) : F ⊆ H y H ∩ I = ∅}.

Dado que F ∈ F , entonces F 6= ∅. Es claro que la union de una cadena de elementos de F , esun elemento de F . Entonces, por el Lema de Zorn, existe un filtro maximal P en F . Tenemos queprobar que P ∈ Fi(L).

Sean a, b /∈ P y consideremos los filtros

Pa = [P ∪ {a}) y Pb = [P ∪ {b}).

Entonces Pa, Pb /∈ F , lo cual implica que Pa ∩ I 6= ∅ y Pb ∩ I 6= ∅. Luego, existen p1, p2 ∈ P yx, y ∈ I tal que p1 ∧ a ≤ x y p2 ∧ b ≤ y. Dado que I es un ideal de orden, entonces existe c ∈ Ital que c /∈ P, x ≤ c e y ≤ c. Tomando p = p1∧ p2, tenemos que p∧a ≤ c y p∧ b ≤ c. Por Lema1.21, concluimos que P ∈ X(L).

Corolario 1.25. Sea L un semiretıculo.

1. Si F ∈ Fi(L) y a /∈ F , entonces existe P ∈ X(L) tal que F ⊆ P y a /∈ P .

2. Si a � b, entonces existe P ∈ X(L) tal que a ∈ P y b /∈ P .

3. Todo filtro propio F es interseccion de los filtros irreducibles que lo contienen.

1.4. Semiretıculos distributivos

Es conocido que la propiedad de distributividad en retıculos puede ser caracterizada de diver-sas formas. Cuando intentamos extrapolar estos resultados a estructuras mas debiles, como lossemiretıculos algunas caracterizaciones dejan de ser equivalentes. Esto da lugar a la posibilidadde definir distintas clases de distributividad en semiretıculos. Nos concentraremos en la nocion dedistributividad mas estudiada y que aparece en otras estructuras algebraicas, como por ejemplo,los semiretıculos implicativos.

14


Definicion 1.26. Sea L un semiretıculo. Diremos que L es distributivo si para todo a, b0, b1 ∈ Ltal que b0 ∧ b1 ≤ a entonces existen a0, a1 ∈ L tal que b0 ≤ a0, b1 ≤ a1 y a = a0 ∧ a1.

El siguiente resultado relaciona la distributividad en semiretıculos con la distributividad enretıculos.

Lema 1.27. Sea L un semiretıculo distributivo. Entonces para todo a, b ∈ L, existe un d ∈ L talque a ≤ d y b ≤ d. Como consecuencia, Fi(L) es un retıculo.

Ahora mostraremos diferentes caracterizaciones de la nocion de distributividad dada en la De-finicion 1.26. La mayorıa de las caracterizaciones son generalizaciones de conocidos resultadossobre retıculos distributivos. La primera caracterizacion que presentamos se debe G. Gratzer [12].La segunda caracterizacion es en terminos de filtros irreducibles y primos. Esta caracterizacionfue demostrada en [6].

A partir de ahora, L denotara un ∧-semiretıculo con ultimo elemento 1.

Teorema 1.28. Sea L un semiretıculo. Entonces L es distributivo si y solo si Fi(L) es un retıculodistributivo.

Demostracion. ⇒) Supongamos que L es distributivo, entonces por el Lema 1.27, Fi(L) es unretıculo. Probemos que Fi(L) es distributivo. Sean I, J,K ∈ Fi(L). Veamos que

I ∨ (J ∩K) = (I ∨ J) ∩ (I ∨K).

Sabemos que en todo retıculo vale I∨(J ∩K) ⊆ (I∨J)∩(I∨K). Probemos la otra inclusion.Observemos que si F,H ∈ Fi(L), entonces F ∨H = {x = f ∧h : f ∈ F y h ∈ H}. En efecto,

x ∈ F ∨H si y solo si existen f ∈ F y h ∈ H tal que f ∧ h ≤ x, pero como L es distributivo,existen f1, h1 ∈ S tal que f ≤ f1, h ≤ h1 y x = f1 ∧ h1,donde f1 ∈ F y h1 ∈ H por ser F y Hfiltros.

Ahora veamos que(I ∨ J) ∩ (I ∨K) ⊆ I ∨ (J ∩K).

Sea a ∈ (I ∨ J) ∩ (I ∨K), entonces a ∈ (I ∨ J) y a ∈ (I ∨K), es decir,

a = a1 ∧ b1 = a2 ∧ b2

donde a1, a2 ∈ I, b1 ∈ J y b2 ∈ K. Como a1 ∧ b1 ≤ b2, por distributividad de S, tenemos queexisten a′1, b

′1 ∈ S tal que a1 ≤ a′1, b1 ≤ b′1 y b2 = a′1 ∧ b′1. Ademas, al ser b1 ≤ b′1 y J un filtro,

se tiene que b′1 ∈ J. Con un razonamiento similar, com a1 ≤ a′1, entonces a′1 ∈ I. Tambien comob2 = a′1 ∧ b′1, entonces b2 ≤ b′1 y por ser K un filtro se tiene que b′1 ∈ K. Por lo tanto b′1 ∈ J ∩K.

Como a = a2 ∧ b2 = (a2 ∧ a′1) ∧ b′1, donde a2 ∧ a′1 ∈ I y b′1 ∈ J ∩ K, concluimos quea ∈ I ∨ (J ∩K).⇐) Supongamos que Fi(L) es un retıculo distributivo. Sean a, b0, b1 ∈ L tal que b0 ∧ b1 ≤ a,

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entonces

[a) = [a ∨ (b0 ∧ b1))

= [a) ∩ ([b0) ∨ [b1))

= ([a) ∩ [b0)) ∨ ([a) ∩ [b1)).

Como a ∈ ([a)∩ [b0))∨ ([a)∩ [b1)), entonces existen a0 ∈ [b0) y a1 ∈ [b1). Es decir tenemos queb0 ≤ a0 y b1 ≤ a1 tal que a = a0 ∧ a1 y por lo tanto L es distributivo.

Teorema 1.29. Sea L un semiretıculo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. L es distributivo.

2. Xw(L) = X(L).

Demostracion. 1.⇒ 2. Por el Lema 1.20 tenemos queXw(L) ⊆ X(L). Nos queda por demostrarla otra inclusion. Sea P ∈ X(L) y F1, F2 ∈ Fi(L) tal que F1 ∩ F2 ⊆ P . Entonces, como Fi(L)

es distributivo,

P = (F1 ∩ F2) ∨ P= (F1 ∨ P ) ∩ (F2 ∨ P ).

Como P ∈ X(L), entonces P = F1 ∨P o P = F2 ∨P , lo cual implica que F1 ⊆ P o F2 ⊆ P.Por lo tanto, P ∈ Xw(L).

2. ⇒ 1. Utilizando el Teorema 1.28, vamos a demostrar que el conjunto Fi(L), consideradocomo un retıculo, es distributivo.

Sean F1, F2, F3 ∈ Fi(L). Bastara probar que

F1 ∩ (F2 ∨ F3) ⊆ (F1 ∩ F2) ∨ (F1 ∩ F3).

Supongamos lo contrario. Entonces existe a ∈ F1 ∩ (F2 ∨ F3)− (F1 ∩ F2)∨ (F1 ∩ F3). Por elCorolario 1.25, existe P ∈ Xw(L) = X(L) tal que (F1 ∩F2)∨ (F1 ∩F3) ⊆ P y a /∈ P , entoncesF1 ∩ F2 ⊆ P y F1 ∩ F3 ⊆ P . Por definicion de filtro primo, tenemos que F1 ⊆ P o F2 ⊆ P yF1 ⊆ P o F3 ⊆ P . Dado que a ∈ F1 y a /∈ P , entonces F2 ⊆ P y F3 ⊆ P, es decir, F2 ∨F3 ⊆ Py como consecuencia, se tiene que a ∈ F1 ∩ (F2 ∨ F3) ⊆ P , lo cual es una contradiccion.

Si L es un semiretıculo distributivo, entonces las nociones irreducible y primo coinciden. Enconsecuencia el Teorema 1.24 es verdadero para filtros primos. Por lo tanto el Teorema 1.24 seconvierte en el famoso Teorema del Filtro Primo para retıculos distributivos, o en el caso de alge-bras de Boole, en el Teorema del ultrafiltro.



16

1.5 Filtros e ideales de Frink Conceptos preliminares

2. Si F ∈ Fi(L) e I ∈ Idor(L) tal que F ∩ I = ∅, entonces existe un filtro primo P tal queF ⊆ P y P ∩ I = ∅.

Demostracion. 1. ⇒ 2. Como L es distributivo, tenemos que Xw(L) = X(L) por el Teorema1.29. Aplicando el Teorema 1.24, tenemos que existe P ∈ X(L) tal que F ⊆ P y P ∩ I = ∅.

2.⇒ 1. Probemos que el retıculo Fi(L) es distributivo. Sean F1, F2, F3 ∈ Fi(L). Sabemos que(F1 ∩ F2) ∨ (F1 ∩ F3) ⊆ F1 ∩ (F2 ∨ F3), ası que bastara con que probemos que

F1 ∩ (F2 ∨ F3) ⊆ (F1 ∩ F2) ∨ (F1 ∩ F3).

Supongamos que F1 ∩ (F2 ∨F3) * (F1 ∩F2)∨ (F1 ∩F3), entonces existe a ∈ F1 ∩ (F2 ∨F3)

tal que a /∈ (F1 ∩ F2) ∨ (F1 ∩ F3). Tenemos entonces que

[(F1 ∩ F2) ∨ (F1 ∩ F3)] ∩ (a] = ∅.

Por hipotesis, existe un filtro primo P tal que

(F1 ∩ F2) ∨ (F1 ∩ F3) ⊆ P y P ∩ (a] = ∅.

Entonces, a /∈ P . Es claro que F1 ∩ F2 ⊆ P y F1 ∩ F3 ⊆ P . Pero P es primo, luego tenemosque F1 ⊆ P o F2 ⊆ P , y por el mismo razonamiento F1 ⊆ P o F3 ⊆ P . Dado que a ∈ F1 ya /∈ P , tenemos que F1 * P y por lo tanto F2, F3 ⊆ P . Pero a su vez, como F2 ∨ F3 ⊆ P ya ∈ F2 ∨ F3 ⊆ P, entonces a ∈ P , lo cual lleva a una contradiccion.

Tenemos entonces que (F1∩F2)∨(F1∩F3) = F1∩(F2∨F3), y el retıculo Fi(L) es distributivo.Por el Teorema 1.28, concluimos que L es distributivo.

Resumimos en un teorema todas las caracterizaciones hasta aquı probadas.



2. Fi(L) es un retıculo distributivo.

3. Xw(L) = X(L).

4. Si F ∈ Fi(L) e I ∈ Idor(L) tal que F ∩ I = ∅, entonces existe un filtro primo P tal queF ⊆ P y P ∩ I = ∅.

Las equivalencias entre las condiciones (1) y (4) del Teorema 1.31 fueron demostradas por J.Varlet en [21]. La equivalencia entre (1) y (2) fue probada por G. Gratzer [12]. Por ultimo, lasequivalencias entre (1) y (3) fueron demostradas por S. Celani en [6].

1.5. Filtros e ideales de Frink

En esta seccion vamos a definir un nuevo tipo de filtro e ideal que seran de suma importanciaen la dualidad tipo Priestley para los semiretıculos distributivos. Estas nuevas nociones dependen

17

1.5 Filtros e ideales de Frink Conceptos preliminares

unicamente de una estructura de orden, no de la posible existencia de ınfimos o supremos. Paradenotar que X es un subconjunto finito de un conjunto A escribiremos X ⊆f A.

Las siguientes definiciones fueron dadas por O. Frink en su artıculo [11]. El motivo principalde Frink es dar algun tipo de extension de las nociones de filtro e ideal en conjuntos ordenados.

Definicion 1.32. Sea P un conjunto ordenado.

Un subconjunto F de P es un filtro de Frink si y solo si para todo X ⊆f F y para todoa ∈ P si ⋂

{(x] : x ∈ X} ⊆ (a] , entonces a ∈ F.

Un subconjunto I de P es un ideal de Frink si y solo si para todoX ⊆f I y para todo a ∈ Psi ⋂

{[x) : x ∈ X} ⊆ [a) , entonces a ∈ I.

Denotaremos al conjunto de filtros de Frink como FiF(P ) y al conjunto de ideales de Frinkcomo IdF(P ).

Una de las limitaciones del conjunto de ideales (filtros) de orden es que no forman un sistemade clausura y en consecuencia se pierden importantes propiedades, como por ejemplo no contarcon una nocion de ideal (filtro) de orden generado. A pesar de esto la nocion de ideal (filtro) deorden es necesaria para desarrollar una representacion topologica tipo espectral para semiretıculosdistributivos, como hemos visto anteriormente.

En contraposicion con las nociones de filtro e ideal de orden, los conceptos de filtros e idealesde Frink si producen sistemas de clausura y ademas existen descripciones de filtros e ideales deFrink generados por un conjunto.

Proposicion 1.33. [11] Sea P un conjunto ordenado. Entonces FiF(P ) e IdF(P ) son sistemas declausura.

Es sencillo demostrar que si F ∈ FiF(P ), entonces F es creciente. Similarmente, si I ∈IdF(P ), entonces I es decreciente.

En el siguiente resultado vemos cual es la relacion con las nuevas nociones introducidas.

Lema 1.34. Sea P un conjunto ordenado. Entonces Idor(P ) ⊆ IdF(P ) y Fior(P ) ⊆ FiF(P ).

Demostracion. Sea I∈ Idor(P ) y sean a1, . . . , an ∈ I tal que [a1) ∩ · · · ∩ [an) ⊆ [a).Probaremos que a ∈ I .Como I es un ideal de orden, existe c ∈ I tal que ai ≤ c para cada 1 ≤ i ≤ n. Entonces c ∈ [ai)

para cada 1 ≤ i ≤ n. De esta manera c ∈ [a1)∩ · · · ∩ [an) ⊆ [a) y en consecuencia c ∈ [a), luegoa ≤ c. Como c ∈ I e I es decreciente tenemos que a ∈ I . Por lo tanto I ∈ IdF(P ).

De forma analoga se puede probar que Fior(P ) ⊆ FiF(P ).

El siguiente resultado afirma que los ideales de Frink y los filtros de Frink coinciden con lasnociones usuales en semiretıculos, y por lo tanto en retıculos. Mas precisamente.

Lema 1.35. Si 〈L,∧〉 un ınfimo semiretıculo. Entonces FiF(L)− {∅} = Fi(L).Si 〈L,∨〉 un supremo semiretıculo. Entonces IdF(L)− {∅} = Id(L).

18

1.6 Filtros optimales Conceptos preliminares

Sabemos que en un ınfimo semiretıculo las nociones de filtro de orden y filtro de Frink coin-ciden. En el proximo lema es una especie de recıproca de esto. La demostracion queda comoejercicio para el lector.

Proposicion 1.36. SeaP un conjunto ordenado con ultimo elemento. Entonces Fior(P ) = FiF(P )

si y solo si P es un ınfimo semiretıculo.

Demostracion. Ver [11].

Sea P un conjunto ordenado. Por la proposicion 1.33 las familias FiF(P ) e IdF(P ) son sis-temas de clausura. En consecuencia son retıculos completos. Podemos entonces considerar losoperadores de clausura asociados y definir el filtro e ideal de Frink generado por un subconjuntoX ⊆ P . En tal caso vamos a denotar por FF(X) y IF (X) al filtro y al ideal de Frink generado porun conjunto X , respectivamente. Si X = {x1, . . . , xn}, entonces el ideal y el filtro finitamentegenerados seran denotados por IF(x1, . . . , xn) y FF(x1, . . . , xn), respectivamente. Debido a queFiF(P ) e IdF(P ) son retıculos completos, entonces el supremo y el ınfimo en FiF(P ) estan dadospor: ∧

F =⋂F y

∨F = FF(

⋃F),

para cualquier subfamilia F de FiF(P ). Similarmente, el supremo y el ınfimo en IdF(P ) estandefinidos por: ∧

I =⋂I y

∨F = IF(

⋃I),

para cualquier subfamilia I de IdF(P ).Ahora vamos a dar una util caracterizacion de los ideales y filtros de Frink generados por un

conjunto. La demostracion es inmediata.

Teorema 1.37. Sea P un conjunto ordenado. Sea X ⊆ P . Entonces

IF(X) = {a : ∃ {x1, . . . , xn} ⊆ X : [x1) ∩ · · · ∩ [xn) ⊆ [a)}

y

FF(X) = {a : ∃ {x1, . . . , xn} ⊆ X : (x1] ∩ · · · ∩ (xn] ⊆ (a]} .

1.6. Filtros optimales

Ahora estamos interesados en introducir y estudiar la nocion de filtro optimal en un conjuntoordenado. Los filtros optimales juegan un papel fundamental en el desarrollo de la teorıa de repre-sentacion por medio de espacios de Priestley de los semiretıculos distributivos acotados y de lossemiretıculos implicativos acotados, como veremos mas adelante.

Definicion 1.38. Sea P un conjunto ordenado. Un filtro de Frink propio F se dice optimal si sucomplemento F c es un ideal de Frink.

19


Vamos a denotar con Opt(P ) el conjunto ordenado de los filtros optimales de un conjuntoordenado P . A continuacion damos distintas caracterizaciones de la nocion de filtro optimal queseran de utilidad mas adelante. La demostracion es una simple aplicacion de la definicion y deconocidos conceptos en conjuntos ordenados.

Lema 1.39. Sea P un conjunto ordenado. Sea F un filtro de Frink propio. Entonces las siguientescondiciones son equivalentes:

1. F es optimal.

2. si a1, . . . an /∈ F yn⋂

i=1[ai) ⊆ [a), entonces a /∈ F .

3. Sin⋂

i=1[ai) ⊆ [a) y a /∈ F , entonces existe 1 ≤ i ≤ n tal que ai /∈ F .

De ahora en mas vamos a considerar semiretıculos distributivos acotados. En el proximo resul-tado vamos a dar un teorema tipo filtro primo. Este teorema permite separar filtros con ideales deFrink por medio de filtros optimales. Observemos su parecido con el Teorema del Filtro Irreduci-ble 1.24. Pero obervemos que el caso del teorema del Filtro irreducible necesitamos la nocion deideal de orden. En en proximo teorema se necesita la nocion de ideal de Frink.

Teorema 1.40 (del Filtro Optimal). Sea L un semiretıculo distributivo acotado. Sea F ∈ Fi(L) eI ∈ IdF(L). Si F ∩ I = ∅, entonces existe P ∈ Opt(L) tal que F ⊆ P y P ∩ I = ∅.

Demostracion. Sea F ∈ Fi(L) e I ∈ IdF(L) tal que F ∩ I = ∅. Consideremos el conjunto

F = {H ∈ Fi(L) : F ⊆ H y H ∩ I = ∅} .

Como F 6= ∅ y toda cadena de elementos de F esta en F , entonces podemos aplicar el lemade Zorn. Luego existe un elemento maximal P en F . Comprobemos que este filtro es optimal.

Supongamos que existen a1, . . . an /∈ P yn⋂

i=1[ai) ⊆ [a), pero a ∈ P . Consideremos los filtros

Fai = F (P ∪ {ai}). Entonces Fai /∈ F . Luego para cada 1 ≤ i ≤ n existen fi ∈ Fai y xi ∈ Itales que fi ∧ ai ≤ xi. Sea f =

∧fi. Entonces f ∧ ai ≤ xi. Luego⋂

[xi) ⊆⋂

[f ∧ ai) =⋂

([f) Y [ai)) = [f) Y⋂

[ai)

⊆ [f) Y [a) = [f ∧ a) .

La notacion Y indica el supremo entre los filtros principales. Como xi ∈ I ,⋂

[xi) ⊆ [f ∧ a) e Ies un ideal de Frink, entonces f ∧ a ∈ I , lo que es un absurdo. Por lo tanto, P es optimal.

Teorema 1.41. Sea L un semiretıculo distributivo. Entonces

1. Todo filtro primo es optimal, es decir, X(L) ⊆ Opt(L).

2. Para cada P ∈ Opt(L) existe un Q ∈ X(L) tal que P ⊆ Q, es decir, (X(L)] = Opt(L).

20


3. Todo filtro es interseccion de filtros optimales.

Demostracion. (1) Sea P un filtro primo. Sean a1, . . . an /∈ P y supongamos quen⋂

i=1[ai) ⊆ [a).

Si a ∈ P , entoncesn⋂

i=1[ai) ⊆ P , y al ser P primo, ai ∈ P para algun 1 ≤ i ≤ n, lo que es

imposible. Por lo tanto P es optimal.(2) Sea P optimal. Como P es propio, existe un a ∈ L tal que a /∈ P . Entonces P ∩ (a] = ∅.

Por el Teorema del Filtro Primo, existe un filtro primo Q tal que P ⊆ Q y a /∈ Q.(3) Es inmediato.

Observacion 1.42. Si L es un retıculo distributivo, entonces la nocion de filtro primo, filtro irre-ducible y filtro optimal coinciden.

21

2 Representacion tipo Stone

En esta seccion vamos a recordar la representacion de semiretıculos distributivos losDS−espacioscomo una generalizacion de los espacios espectrales definidos por M. Stone [19]. Recordemos quede acuerdo a la dualidad desarrollada por Stone todo retıculo distributivo es representable por me-dio de un espacio espectral. Los resultados que se presentaran en esta seccion estan desarrolladosen detalle en [6], y particularmente en [8].

2.1. Preliminares

Vamos a introducir ahora, las definiciones y resultados necesarios que utilizaremos en el restodel capıtulo. Comenzamos recordando algunas nociones topologicas basicas.

Definicion 2.1. Un espacio topologico es un par (X, τ), donde X es un conjunto no vacıo y τ esuna familia de subconjuntos de X con las siguientes propiedades:

1. ∅ y X estan en τ,

2. La union arbitraria de elementos de τ esta en τ,

3. La interseccion finita de elementos de τ esta en τ.

Definicion 2.2. Sea X un conjunto. Una base para una topologıa sobre X es una coleccion τ desubconjuntos de X, llamados elementos basicos, tal que:

1. Para cada x ∈ X, existe O ∈ τ tal que x ∈ O,

2. Si x ∈ O1 ∩O2, donde O1, O2 ∈ τ , entonces existe O3 ∈ τ tal que x ∈ O3 ⊆ O1 ∩O2.

Definicion 2.3. SeaX un conjunto. Una subbase Γ para una topologıa τ sobreX es una coleccionde subconjuntos de X tal que X =

⋃Oi∈Γ

Oi.

La siguiente definicion nos sera de gran utilidad.

Definicion 2.4. Sea X un conjunto y sea P(X) el conjunto de todos los subconjuntos de X . Unasubfamilia A ⊆ P(X) se dira dualmente dirigida, si para todo U, V ∈ A, existe W ∈ A tal queW ⊆ U ∩ V.

De ahora en mas, L denotara un ∧-semiretıculo con ultimo elemento 1. Recordemos que si(X,≤) es un conjunto ordenado, entonces la terna (Pc (X) ,∩, X) es un semiretıculo, dondePc (X) denota al conjunto de todos los subconjuntos crecientes de X .

22

2.2 Representacion por conjuntos Representacion tipo Stone

Definicion 2.5. [8] Sea X un espacio topologico y sea K una base de abiertos-compactos de X .Diremos que X es sober si satisface las siguientes condiciones:

X es T0,

Para cada subconjunto cerrado Y y cada subfamilia dualmente dirigida A ⊆ P (X) tal queY ∩ Ui 6= ∅, para todo Ui ∈ A, entonces Y ∩

⋂{Ui : Ui ∈ A} 6= ∅.

Veremos a continuacion que ciertas bases de un espacio topologico generan un semiretıculo dis-tributivo.

Sea X un espacio topologico y sea K una base de abiertos-compactos de X . Consideremos lafamilia

SK(X) = {U : U c ∈ K}.

Teorema 2.6. Sea X un espacio topologico y K una base de abiertos-compactos de X cerradabajo uniones finitas. Entonces

〈SK(X),∩, X〉

es un semiretıculo distributivo con ultimo elemento X .

Demostracion. Es claro que SK(X) es un semiretıculo pues K esta cerrada bajo uniones finitas.Sean U, V,W ∈ K tal que W ⊆ U ∪ V . Vamos a probar que existen U ′, V ′ ∈ K tal queW = U ′∪V ′, U ′ ⊆ U y V ′ ⊆ V . Por complementacion obtendremos que SK(X) es distributivo.Como W = (W ∩U)∪ (W ∩ V ) y los conjuntos W ∩U y W ∩ V son abiertos y K es una base,entonces existen subfamilias {Ui : i ∈ I} y {Vj : j ∈ J} de elementos de K tales que

W = (W ∩ U) ∪ (W ∩ V ) =⋃{Ui : i ∈ I} ∪

⋃{Vj : j ∈ J} .

ComoW es compacto, existenU1, . . . , Un, V1, . . . , Vm tales queW = U1∪· · ·∪Un∪V1∪· · ·∪Vm.ComoK es cerrado bajo uniones finitas, entonces U1∪· · ·∪Un = U ′, y V1∪· · ·∪Vm = V ′ ∈ K.Es claro queU ′ ⊆W∩U ⊆ U y V ′ ⊆W∩V ⊆ V . Por lo tanto, por complementacion obtenemosque SK(X) es distributivo.

El teorema anterior sera utilizado mas adelante en la representacion topologica de los semi-retıculos distributivos.

2.2. Representacion por conjuntos

Sea L un semiretıculo distributivo. Consideremos el conjunto ordenado X (L) y consideremostambien la aplicacion

ϕ : L→ Pc(X(L))

definida porϕ(a) = {P ∈ X(L) : a ∈ P}.

Ahora veremos que todo semiretıculo es isomorfo a un sub semiretıculo de cierto retıculo dis-tributivo de conjuntos.

23

2.3 DS-espacios Representacion tipo Stone

Teorema 2.7 (de Representacion). Sea L un semiretıculo distributivo. Entonces L es isomorfo ala subalgebra ϕ [L] = {ϕ(a) : a ∈ L} de Pc(X(L)).

Demostracion. Sea a ∈ L. Primero veamos que ϕ(a) ∈ Pc(X(L)). Sea P ∈ ϕ(a) y P ⊆ Q.Como P ∈ ϕ(a), entonces a ∈ P, pero entonces a ∈ Q, es decir, Q ∈ ϕ(a). Tenemos queϕ(a) ∈ Pc(X(L)).

Probemos ahora que ϕ(a∧ b) = ϕ(a)∩ϕ(b) y que ϕ(1) = X(L). Sea P ∈ ϕ(a∧ b), entoncesa ∧ b ∈ P. Como a ∧ b ≤ a y a ∧ b ≤ b, se tiene que a, b ∈ P , es decir, P ∈ ϕ(a) ∩ ϕ(b).Recıprocamente, si P ∈ ϕ(a) ∩ ϕ(b), entonces a ∈ P y b ∈ P. Como a ∧ b ∈ P, se tiene queP ∈ ϕ(a ∧ b). Claramente ϕ(1) ⊆ X(L). Sea P ∈ X(L) y sea a ∈ P , entonces a ≤ 1, es decir,1 ∈ P y P ∈ ϕ(1).

Nos falta demostrar por ultimo que la aplicacion ϕ es inyectiva. Sean a, b ∈ L tal que a 6= b.Veamos que ϕ(a) 6= ϕ(b). Como a 6= b, entonces a � b o b � a. Si a � b entonces [a) ∩ (b] = ∅.Por Teorema 1.24, tenemos que existe P ∈ X(L) tal que [a) ⊆ P y P ∩ (b] = ∅, entonces a ∈ Py b /∈ P, es decir, P ∈ ϕ(a) y P /∈ ϕ(b). Si b � a se razona de manera analoga. Por lo tanto ϕ esinyectiva y L ∼= ϕ [L].

2.3. DS-espacios

El teorema de representacion 2.7 es la herramienta esencial para demostrar la representacionpor conjuntos que estudiaremos en esta seccion. La idea es definir un espacio topologico sobreel conjunto de los filtros primos X(L) de un semiretıculo L. El espacio topologico asociado segenera por medio de una base, que como veremos, la base adecuada sera la familia de conjuntosϕ [L]c = {ϕ(a)c = X(L)− ϕ(a) : a ∈ L}.

Proposicion 2.8. Sea L un semiretıculo distributivo. Entonces:

1. X(L) =⋃{ϕ(a)c : a ∈ L},

2. Para todo a, b ∈ L y para todo P ∈ X(L) tal que P ∈ ϕ(a)c ∩ ϕ(b)c, existe un c ∈ L talque P ∈ ϕ(c)c ⊆ ϕ(a)c ∩ ϕ(b)c,

3. Para todo a ∈ L y para todo B ⊆ L, si

ϕ(a) =⋂{ϕ(b) : b ∈ B},

entonces existe un subconjunto finito B0 ⊆ B tal que

ϕ(a) =⋂{ϕ(b) : b ∈ B0}.

Demostracion. 1. Sea a ∈ L. Tomemos P ∈ ϕ(a)c, entonces P ∈ X(L) y ϕ(a)c ⊆ X(L). Por lotanto

⋃{ϕ(a)c : a ∈ L} ⊆ X(L). Veamos la otra inclusion. Sea P ∈ X(L). Como P es propio,

entonces existe a ∈ L tal que a /∈ P, es decir, P /∈ ϕ(a), o lo que es equivalente a decir queP ∈ ϕ(a)c. Hemos demostrado que X(L) =

⋃{ϕ(a)c : a ∈ L}.

24


2. Sean a, b ∈ L y P ∈ X(L) tal que P ∈ ϕ(a)c ∩ ϕ(b)c. Como

P ∈ (X(L)− ϕ(a)) ∩ (X(L)− ϕ(b))

entonces a, b /∈ P y por hipotesis, P ∈ X(L) = Xw(L). Como a, b ∈ P c y P c ∈ Ido(L),

entonces existe c ∈ P c tal que a ≤ c y b ≤ c, es decir, P ∈ ϕ(c)c. Nos resta probar queϕ(c)c ⊆ ϕ(a)c ∩ ϕ(b)c. Sea Q ∈ ϕ(c)c, entonces c /∈ Q y a, b /∈ Q, pues si a ∈ Q, como a ≤ c

y Q es filtro, entonces c ∈ Q, lo cual es una contradiccion. Entonces Q /∈ ϕ(a) y Q /∈ ϕ(b), esdecir Q ∈ ϕ(a)c ∩ ϕ(b)c. Por lo tanto P ∈ ϕ(c)c ⊆ ϕ(a)c ∩ ϕ(b)c.

3. Sea a ∈ L y B ⊆ L tal que ϕ(a) =⋂{ϕ(b) : b ∈ B}. Sea [B) el filtro generado por B.

Entonces a ∈ [B), pues en caso contrario, [B) ∩ (a] = ∅ y por Teorema 1.24 tenemos que existeP ∈ X(L) tal que [B) ⊆ P y a /∈ P. Pero esto implica que P ∈

⋂{ϕ(b) : b ∈ B} y P /∈ ϕ(a),

lo cual es una contradiccion. Entonces como a ∈ [B), tenemos que existe B0 = {b1, .., bn} ⊆ B

tal que b1 ∧ · · · ∧ bn ≤ a y

ϕ(b1 ∧ · · · ∧ bn) = ϕ(b1) ∩ · · · ∩ ϕ(bn) ⊆ ϕ(a).

Por lo tanto⋂{ϕ(b) : b ∈ B0} ⊆ ϕ(a). La inclusion ϕ(a) ⊆ ϕ(b1) ∩ · · · ∩ ϕ(bn) es inmediata.

Tenemos entonces que ϕ(a) = ϕ(b1) ∩ · · · ∩ ϕ(bn), es decir, ϕ(a) =⋂{ϕ(b) : b ∈ B0}.

Dado un semiretıculo distributivo L, por el punto 1 de la Proposicion 2.8, tenemos que la familia

ϕ [L]c = {ϕ(a)c = X(L)− ϕ(a) : a ∈ L}

es una subbase para una topologıa definida sobre X(L). Por el inciso (2), tenemos que ϕ [L]c esuna base para una topologıa τ sobre X(L). Entonces la estructura

〈X(L), τ〉

es un espacio topologico, donde ϕ [L]c es una base para la topologıa τ . Este espacio sera llamado elespacio dual de L, o el espacio espectral asociado a L. Esta clase de espacios son una generaliza-cion de los espacios que Marshall Stone estudio en relacion con los retıculos distributivos. Por esoeste tipo de espacios tambien se los suele llamar espacios tipo Stone o espacios tipo espectrales.

En la proxima proposicion vamos a caracterizar a los conjuntos abiertos, los abiertos y compac-tos y vamos a demostrar una propiedad fundamental que nos permitira definir a los DS-espacios.

Proposicion 2.9. Sea L un semiretıculo distributivo y sea 〈X(L), τ〉 el espacio dual de L. Enton-ces:

1. Un subconjunto propio U ⊆ X(L) es abierto en 〈X(L), τ〉 si y solo si existe un filtro F deL tal que U = ϕ(F )c, donde

ϕ(F ) = {P ∈ X(L) : F ⊆ P}.

2. Un subconjunto propio U ⊆ X(L) es un abierto-compacto en 〈X(L), τ〉 si y solo si existea ∈ L tal que U = ϕ(a)c,

25


3. Sea Y un subconjunto cerrado en 〈X(L), τ〉, y sea A ⊆ X(L) una subfamilia dualmentedirigida de subconjuntos abiertos-compactos tal que Y ∩ Ui 6= ∅, para todo Ui ∈ A,entonces Y ∩

⋂{Ui : Ui ∈ A} 6= ∅.

Demostracion. 1. ⇒) Sea U un subconjunto abierto de 〈X(L), τ〉 . Dado que ϕ(L)c es una basedel espacio 〈X(L), τ〉, se tiene que

U =⋃{ϕ(a)c : a ∈ B ⊆ L}.

Consideremos F = [B) el filtro generado por B. Tenemos entonces que

ϕ(F )c = {ϕ(a)c : a ∈ F}

=⋃a∈B.

{ϕ(a)c : a ∈ B}

Por lo tanto, U = ϕ(F )c.⇐) Recıprocamente, es inmediato chequear que si F es un filtro de L, entonces

ϕ(F ) =⋂{ϕ(a) : a ∈ F}.

Por lo tanto tenemos que ϕ(F )c es un abierto en L.2.⇒) Sea U un abierto-compacto en 〈X(L), τ〉 Por el inciso 1 tenemos que

U = ϕ(F )c =⋃{ϕ(a)c : a ∈ F}.

para algun filtro F de L. Dado que U es compacto, existen {a1, .., an} ⊆ F tal que

U = ϕ(a1)c ∪ · · · ∪ ϕ(an)c

= (ϕ(a1) ∩ · · · ∩ ϕ(an))c

= ϕ(a1 ∧ · · · ∧ an)c.

⇐) Sea U ⊆ X(L) y supongamos que existe a ∈ L tal que U = ϕ(a)c. Entonces U es abierto, ypor el inciso 3 de la Proposicion 2.8, tambien tenemos que U es compacto.

3. Sea Y un subconjunto cerrado en 〈X(L), τ〉 y sea K = {Ui : i ∈ I} una familia dualmentedirigida de subconjuntos abiertos-compactos de 〈X(L), τ〉 tal que Y ∩ Ui 6= ∅, para todo i ∈ I.

Por inciso 2, para cada i ∈ I , existe L tal que Ui = ϕ(ai)c. Consideremos el conjunto

H = {ai ∈ L : Ui = ϕ(ai)c}

y consideremos el ideal generado por H , es decir

(H] = {x ∈ L : x ≤ c, para algun c ∈ H}.

Probemos que (H] es un ideal de orden en A. Sean a, b ∈ (H], entonces existen c1, c2 ∈ H talque a ≤ c1 y b ≤ c2. Dado que ϕ(c1)c, ϕ(c2)c ∈ K, entonces por serK dualmente dirigida, existe

26


un c ∈ H tal queϕ(c)c ⊆ ϕ(c1)c ∩ ϕ(c2)c

es decirϕ(c1) ∪ ϕ(c2) ⊆ ϕ(c)

entonces a ≤ c y b ≤ c. Por lo tanto (H] ∈ Ido(L).

Como Y es cerrado, usando el inciso 1, tenemos que existe F ∈ Fi(L) tal que Y = ϕ(F ).

Probemos que F ∩ (H] = ∅. Supongamos lo contrario. Entonces existe a ∈ F y c ∈ H tal quea ≤ c. Por hipotesis, ϕ(F ) ∩ ϕ(c) 6= ∅, entonces existe P ∈ X(L) tal que F ⊆ P y c /∈ P. Perodado que a ∈ F y a ∈ P, como consecuencia se tiene que c ∈ P, lo cual es una contradiccion. Porlo tanto F ∩ (H] = ∅. Por Teorema 1.24, existe P ∈ X(L) tal que F ⊆ P y P ∩ (H] = ∅. Luego,P ∈ ϕ(F ) = Y y P ∈

⋂{Ui : i ∈ I}, es decir,

Y ∩⋂{Ui : i ∈ I} 6= ∅.

De esta forma la proposicion queda demostrada.

Las propiedades probadas anteriormente para el espacio (X(L), τ) motiva introducir una defi-nicion abstracta de los espacios asociados a los semiretıculos distributivos.

Ahora definiremos los espacios topologicos, tipo Stone, duales de los semiretıculos distributi-vos.

Si X es un espacio topologico, escribiremos conKO(X) a la familia de todos los subconjuntosde X que son abiertos y compactos. Notemos que

Si U, V ∈KO(X), entonces U ∪ V ∈ KO(X),

∅ ∈ KO(X).

Cuando el espacio es compacto, entonces X ∈ KO(X).

Definicion 2.10. [8] Sea X un espacio topologico. Diremos que X es un DS-espacio si es unespacio sober y el conjunto de todos los abiertos-compactos KO(X) forman una base para latopologıa.

De acuerdo al Teorema 2.6, siX es unDS-espacio, comoKO(X) es un base, la familia SKO(X)(X) =

{U : X − U ∈ KO(X)} es un semiretıculo distributivo bajo la operacion de interseccion de con-juntos. Si ademas el espacio X es compacto, entonces SKO(X)(X) tiene primer elemento ∅.

Para simplificar la notacion escribiremos S(X) en vez de SKO(X)(X).Por claridad formulamos el siguiente resultado.

Teorema 2.11. Sea (X, τ) un DS-espacio. Entonces

(S(X),∩, X)

es un semiretıculo distributivo. Si X es compacto, entonces (S(X),∩, ∅, X) es un semiretıculodistributivo con primer elemento ∅.

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Demostracion. La prueba se sigue del Teorema 2.6.

Teorema 2.12. Sea L un semiretıculo distributivo. Entonces

(X(L), τ),

donde la topologıa τ es generada tomando como base la familia ϕ [L]c = {ϕ(a)c : a ∈ L}, es unDS-espacio y la aplicacion ϕ : L→ ϕ [L] es un isomorfismo.

Demostracion. Por la Proposicion 2.9, tenemos que (X(L), τ) es un DS-espacio donde el con-junto de todos los abiertos y compactos coincide con la familia ϕ [L]c = {ϕ(a)c : a ∈ L}. Por elTeorema 2.7 la aplicacion ϕ es un isomorfismo de semiretıculos.

Resumiendo lo anterior tenemos que:

1. Si L es un semiretıculo distributivo, entonces X(L) = (X(L), τ) es un DS-espacio.

Si ademas L tiene primer elemento 0, entonces el espacio X(L) es compacto.

2. Si X es un DS -espacio, entonces S(X) = (S(X),∩, X) es un semiretıculo distributivo.

Si el espacio X es compacto, entonces S(X) tiene primer elemento ∅.

Ademas de los puntos anteriores, tambien se puede demostrar lo siguiente:

Si L es un semiretıculo distributivo, entonces L es isomorfo al semiretıculo distributivoS(XL)) asociado al DS-espacio (X(L), τ) por medio de la aplicacion ϕ.

Si X es un DS-espacio, entonces X es homeomorfo al DS-espacio X(S(X)) asociado alsemiretıculo distributivo S(X) por medio de la aplicacion ε : X → X(S(X)) definida porε(x) = {U ∈ S(X) : x ∈ U}.

Los ıtems anteriores son necesarios para completar la dualidad entre los semiretıculos distributivosy los DS-espacios. No hacemos aquı los detalles pues el objetivo no es demostrar esta dualidad,sino estudiar la dualidad con los espacios de Priestley generalizados. Los detalles de las pruebasde todo esto se puede encontrar en los artıculos [6] y [7].

28

3 Dualidad tipo Priestley

En este capıtulo vamos a estudiar la dualidad desarrollada por Guram Bezhanishvili y RamonJansana en los artıculos [2, 3, 4] para los semiretıculos distributivos acotados. Esta dualidad es unaextension de la conocida dualidad para retıculos distributivos debida a Hilary Priestley [17] y [18].

La idea fundamental se basa en que todo semiretıculo distributivo acotado se lo puede sumergiren un retıculo distributivo (la extension distributiva libre) y que el espacio de Priestley de dichoretıculo permite recuperar el semiretıculo cuando se lo dota de ciertas restricciones, como porejemplo fijar en el espacio un subconjunto de filtros que corresponden a los filtros primos delsemiretıculo. Este subconjunto, junto con otras propiedades, permite recuperar el semiretıculo.

3.1. Espacios de Priestley

En esta seccion vamos a recordar la dualidad de Priestley para retıculos distributivos acotados.Daremos la nocion de espacio de Priestley y veremos que tiene asociado un retıculo distributivo.Tambien veremos que todo retıculo distributivo acotado tiene asociado un espacio de Priestley.

Definicion 3.1. Un espacio topologico ordenado es un triple 〈X,≤, τ〉 donde X es un conjunto,≤ es un orden parcial y τ una topologıa de X .

Un espacio topologico ordenado 〈X,≤, τ〉 es totalmente disconexo en el orden si para cadax, y ∈ X tales que x � y existe un conjunto U ⊆ X abierto-cerrado y creciente tal que x ∈ U ey /∈ U .

Un conjunto abierto-cerrado tambien es conocido como conjunto clopen. De aquı en adelanteusaremos esta denominacion.

Definicion 3.2. Un espacio de Priestley es un espacio topologico ordenado totalmente disconexoen el orden que es compacto.

Sea 〈X,≤, τ〉 un espacio de Priestley. Por un lado, denotaremos al conjunto de los cerrados(abiertos) crecientes por CC(X) (OC(X)). Y al conjunto de los cerrados (abiertos) decrecientespor Cd(X) (Od(X)). Por otro lado, al conjunto de clopen crecientes lo denotaremos por D(X). Yal conjunto de clopen decrecientes lo denotaremos por D(X)c.

Observacion. Notemos que〈D(X),∪,∩, ∅, X〉

y〈D(X)c,∪,∩, ∅, X〉

forman retıculos distributivos acotados.El retıculo distributivo acotado D(X) se dira el dual del espacio 〈X,≤, τ〉.

29

3.1 Espacios de Priestley Dualidad tipo Priestley

Proposicion 3.3. Sea un espacio de Priestley 〈X,≤, τ〉, entonces la coleccion

D(X) ∪D(X)c

es una subbase para la topologıa τ .

Demostracion. Sea O un abierto del espacio tal que O 6= ∅, X . Para cada x ∈ O vamos aencontrar dos clopen crecientes Ux y Vx tales que x ∈ Ux ∩ V c

x ⊆ O. De este modo

O =⋃Ux ∩ V c

x

x∈O

por lo que obtendremos lo deseado. Sea x ∈ O, consideremos los conjuntos

I = {y /∈ O : x � y} y J = {y /∈ O : y � x} .

Para cada y ∈ I sea Uy un clopen creciente tal que x ∈ Uy pero y /∈ Uy, y para y ∈ J sea Vyun clopen creciente tal que y ∈ Vy pero x /∈ Vy. Ası

Oc ⊆⋃y∈I

U cy ∪

⋃y∈J

Vy.

Puesto que Oc es cerrado y el espacio es compacto, es un subconjunto compacto. Por lo tanto,existen I ′ ⊆ I y J ′ ⊆ J finitos tales que

Oc ⊆⋃y∈I′

U cy ∪

⋃y∈J ′

Vy.

SeanUx =⋂Uy

y∈I′y Vx =

⋃Vy

y∈J ′. Ası, x ∈ Ux y x /∈ Vx. AdemasOc ⊆ U c

x∪Vx y en consecuencia

x ∈ Ux ∩ V cx ⊆ O

Observacion. De la proposicion anterior se sigue que en todo espacio de Priestley la coleccion delos conjuntos de la forma

B = {U ∩ V c : U, V ∈ D(X)}

es una base para la topologıa.

Proposicion 3.4. Sea un espacio de Priestley 〈X,≤, τ〉.

1. Los clopen crecientes forman una base para los abiertos crecientes, es decir, todo abiertocreciente es la union de una familia de clopen crecientes.

2. Los clopen decrecientes forman una base para los abiertos decrecientes, es decir, todoabierto decreciente es la union de una familia de clopen decrecientes.

3. Los clopen decrecientes forman una base para los cerrados decrecientes, es decir, todocerrado decreciente es la interseccion de una familia de clopen decrecientes.

30


4. Los clopen crecientes forman una base para los cerrados crecientes, es decir, todo cerradocreciente es la interseccion de una familia de clopen crecientes.

Las pruebas de las siguientes propiedades sobre espacios de Priestley se pueden encontrar en[17, 18].

Proposicion 3.5. Sea un espacio de Priestley 〈X,≤, τ〉, entonces:

1. x ≤ y si y solo si para todo U ∈ D(X), si x ∈ U entonces y ∈ U .

2. Si Y ⊆ X es cerrado decreciente y x ∈ X \ Y , existe un clopen decreciente U tal queY ⊆ U y x /∈ U .

3. Si Y,Z ⊆ X son cerrados disjuntos, el primero decreciente y el segundo creciente, entoncesexiste un clopen decreciente U tal que Y ⊆ U y Z ∩ U = ∅.

4. Si Y ⊆ X es cerrado creciente y x ∈ X \ Y , existe un clopen creciente U tal que Y ⊆ U yx /∈ U .

Ahora recordaremos como construir el espacio de Pristley asociado a una retıculo distributivo.Sea L un retıculo distributivo acotado. Sea X(L) el conjunto de los filtros primos de L. Para

cada a ∈ L, consideremos ϕ(a) = {P ∈ X(L) : a ∈ P}. Observemos que esta notacion ya fueutilizada en el caso de semiretıculos distributivos.

El Teorema de Representacion para retıculos distributivos acotados afirma que la aplicacionϕ : L → PC(X(L)) es un homomorfismo de retıculos distributivos acotados inyectiva. Es decirL ' ϕ[L]. De esta manera observemos que todo retıculo distributivo acotado es isomorfo a unsubretıculo D de un retıculo distributivo PC(X) para algun conjunto ordenado 〈X,≤〉.

Sea L un retıculo distributivo acotado. Consideremos la topologıa τ en X(L) determinada porla subbase

{ϕ(a) : a ∈ L} ∪ {ϕ(a)c : a ∈ L} .

Teorema 3.6. El espacio topologico ordenado X(L) = 〈X(L),⊆, τ〉 es un espacio de Priestley.

Demostracion. Supongamos que P,Q ∈ X(L) son tales que P * Q. Sea a ∈ P − Q. EntoncesP ∈ ϕ(a) pero Q /∈ ϕ(a). Por lo tanto el espacio es totalmente disconexo en el orden.

Veamos que el espacio es compacto. Sean I, J ⊆ L tales que

X(L) ⊆⋃a∈I

ϕ(a) ∪⋃ϕ(b)c

b∈J.

Sea H el ideal generado por I y sea F el filtro generado por J . Si I = ∅, H = {0} y si J = ∅,F = {1}. Si H ∩ F = ∅, entonces por el Teorema del Filtro Primo existe P ∈ X(L) tal queF ⊆ P y H ∩ P = ∅. Ası para cada a ∈ I , P /∈ ϕ(a); y para cada b ∈ J , P ∈ ϕ(b). Pero estocontradice la suposicion sobre I y J . Por lo tanto H ∩ F 6= ∅. Ahora razonamos por casos.

Si H = {0}, 0 ∈ F . Por tanto existen b1, . . . , bn ∈ J tales que b1 ∧ · · · ∧ bn = 0. Asıϕ(b1) ∩ · · · ∩ ϕ(bn) = ∅ con lo que X(L) = ϕ(b1)c ∪ · · · ∪ ϕ(bn)c.

31


Si F = {1}, 1∈ H . Por tanto existen a1, . . . , am ∈ I tales que a1 ∨ · · · ∨ am = 1. Asıϕ(a1) ∪ · · · ∪ ϕ(am) = X(L).

Si H 6= {0} y F 6= {1}, entonces I 6= ∅ y J 6= ∅. Sea c ∈ H ∩ F . Sean b1, . . . , bk ∈ J y seana1, . . . , aj ∈ I tales que

b1 ∧ · · · ∧ bk ≤ c ≤ a1 ∨ · · · ∨ aj .

Entonces, si P ∈ X(L) es tal que c ∈ P , de esa manera tenemos que P ∈ ϕ(a1 ∨ · · · ∨ aj). Ysi c /∈ P , P /∈ ϕ(b1 ∧ · · · ∧ bk). Por lo tanto, para cada P ∈ X(L) vale que

P ∈ ϕ(a1 ∨ · · · ∨ aj) ∪ ϕ(b1 ∧ · · · ∧ bk)c.

En los tres casos hemos encontrado un subcubrimiento finito. Se concluye que el espacio〈X(L),⊆, τ〉 es compacto.

Definicion 3.7. Dado un retıculo distributivo acotadoL el espacio topologico ordenado 〈X(L),⊆, τ〉es el espacio de Priestley de L, o espacio dual de L.

Hasta el momento hemos visto que todo retıculo distributivo acotado tiene asociado el espaciode Priestley 〈X(L),⊆, τ〉. Por otro lado hemos visto que todo espacio de Priestley 〈X,≤, τ〉 tieneasociado un retıculo distributivo acotado D(X).

Ahora nos interesa saber cual es la relacion entre L y D(X(L)) por un lado, y por otro lado larelacion entre X y X(D(X)).

Proposicion 3.8. Sea L un retıculo distributivo acotado, los clopen crecientes de su espacio dePriestley X(L) son los conjuntos de la forma ϕ(a) con a ∈ L; y los decrecientes son de la formaϕ(a)c con a ∈ L. Es decir

D(X(L)) = {ϕ(a) : a ∈ L}

yD(X(L))c = {ϕ(a)c : a ∈ L} .

Demostracion. Sea U un clopen creciente. Debemos probar que existe b ∈ L tal que U = ϕ(b).Si U = ∅, entonces U = ϕ(0) y si U = X(L), entonces U = ϕ(1).Si U 6= ∅, X(L). Sea P ∈ U , para cada Q /∈ U , P * Q puesto que U es creciente. Fijemos

para cada Q /∈ U , aQ ∈ P tal que aQ /∈ Q. Entonces

U c =⋃Q/∈U

U caQ

=⋃Q/∈U

ϕ(aQ)c.

Al ser U abierto, U c es cerrado y por tanto compacto. Ası

U c = U caQ1∪ · · · ∪ U c

aQn

para ciertos Q1, . . . , Qn ∈ U c. Pero P ∈ UaQ1∩ · · · ∩ UaQn

⊆ U . Sea aP = aQ1 ∧ · · · ∧ aQn .Ası

UaP = UaQ1∩ · · · ∩ UaQn

.

32


Por lo tanto,U =

⋃P∈U

UaP

Por compacidad, sean P1, . . . , Pm ∈ U tales que U = UaP1∪ · · · ∪ UaPm

. Entonces, si b =

aP1 ∨ · · · ∨ aPm tenemos que U = ϕ(b).Dualmente se prueba que un conjunto U es clopen decreciente si y solo si U = ϕ(b)c para algun

b ∈ L.

Sea L un retıculo distributivo acotado. Sabemos por el Teorema de Representacion de Stoneque L es isomorfo a ϕ[L] = {ϕ(a) : a ∈ L} , probaremos que ϕ es justamente el dual de X(L),

es decir ϕ[L] ' D(X(L)).

Teorema 3.9. Sea L un retıculo distributivo acotado. Sea 〈X(L),⊆, τ〉 su espacio de Priestleyasociado. Entonces L es isomorfo a D(X(L)) por medio de la funcion ϕ : L → D(X(L))

definida por ϕ(a) = {P ∈ X(L) : a ∈ P}.

Demostracion. Segun se ha visto D(X(L)) = {ϕ(a) : a ∈ L}. Por lo tanto ϕ es sobreyectiva.Probemos que es inyectiva. Supongamos que a, b ∈ L y a 6= b. De esta manera a � b o b � a.

Si a � b consideremos el filtro [a) y el ideal (b] que son disjuntos. Por el Teorema del FiltroPrimo existe un filtro primo P tal que [a) ⊆ P y P ∩ (b] = ∅. Ası P ∈ ϕ(a) pero P /∈ ϕ(b). Porlo tanto ϕ(a) 6= ϕ(b).

Si b � a razonamos analogamente. Por ultimo, es inmediato comprobar que se cumplen lassiguientes condiciones: ϕ(a)∩ϕ(b) = ϕ(a∧b), ϕ(a)∪ϕ(b) = ϕ(a∨b), ϕ(0) = ∅ y ϕ(1) = X(L).Por lo tanto ϕ es un isomorfismo de retıculos distributivos acotados.

Sea X = 〈X,≤, τ〉 un espacio de Priestley. Hemos visto que al dotar a la familia de conjuntosclopen crecientes D(X) de las operaciones de interseccion y union se obtiene un retıculo distri-butivo. Probaremos que el espacio de Priestley asociado a dicho retıculo es homeomorfo a X , encuanto a la topologıa, e isomorfo a X , en cuanto al orden.

Teorema 3.10. Sea X = 〈X,≤, τ〉 un espacio de Priestley. Entonces X y X(D(X)) son isomor-fos como conjuntos ordenados y homeomorfos como espacios topologicos por medio de la funcionε : X → X(D(X)) definida por ε(x) = {U ∈ D(X) : x ∈ U}.

Demostracion. Es facil ver que para cada x ∈ X , ε(x) es un filtro primo.Veamos que ε es inyectiva. Si x, y ∈ X y x � y o y � x. Si x � y, sea U ∈ D(X) tal que

x ∈ U e y /∈ U . Entonces U ∈ ε(x)− ε(y), en consecuencia ε(x) 6= ε(y). Si y � x, se argumentaanalogamente.

Veamos que ε es sobreyectiva. Sea P ∈ X(D(X)) y sean las familias de conjuntos

{Ui ∈ D(X) : Ui ∈ P} y {Vj ∈ D(X) : Vj /∈ P} .

Probemos que ⋂Ui ∩

⋂V cj 6= ∅.

33

3.2 Representacion por filtros optimales Dualidad tipo Priestley

Supongamos lo contrario. Entonces tenemos que⋂Ui ⊆

⋃Vi. Como

⋂Ui es un conjunto

cerrado, por compacidad obtenemos que existe una familia finita V1, . . . , Vn tal que⋂Ui ⊆ V1 ∪

. . .∪Vn = V . Luego, V c ⊆⋃U ci . Como V c es cerrado, entonces es compacto. Luego obtenemos

una familia finita U1, . . . , Uk tal que V c ⊆ U c1 ∪ . . . ∪ U c

k = (U1 ∩ . . . ∩ Uk)c = U c. Por lo tantoU ⊆ V , y como P es filtro, dado que U = U1 ∩ . . . ∩ Uk ∈ P implica que V ∈ P , lo que es unacontradiccion. Por lo tanto existe x ∈

⋂Ui ∩

⋂V cj . Luego es sencillo comprobar que ε(x) = P .

Demostremos que ε es un isomorfismo de orden. Sabemos que x ≤ y si y solo si para cadaU ∈ D(X) tal que x ∈ U , y ∈ U , es decir, si y solo si ε(x) ≤ ε(y).

Finalmente veamos que ε es continua. Dado que el espacio es Hausdorff y compacto tendremosque ε es un homeomorfismo. Basta mostrar que las preimagenes de elementos de la subbase sonconjunto abiertos. Sea U ∈ D(X),entonces

ε−1(ϕ(U)) = {x ∈ X : ε(x) ∈ ϕ(U)} = {x ∈ X : x ∈ U} = U

que es clopen. Ademas,

ε−1(ϕ(U)c) = {x ∈ X : ε(x) /∈ ϕ(U)} = {x ∈ X : x /∈ U} = U c

que es clopen.

3.2. Representacion por filtros optimales

En el Capıtulo 2 vimos que todo semiretıculo distributivo L se puede representar por medio deun semiretıculo de conjuntos. Dicha representacion se basa en considerar el conjunto de todos losfiltros primos de L y la familia ϕ [L] = {ϕ(a) : a ∈ L}. A partir de dicha representacion pudimosconstruir un espacio topologico sobre el conjunto X(L) tomando como base de la topologıa τ lafamilia de conjuntos ϕ [L] sober y con una base de abiertos y compactos.

Pero en los semiretıculos distributivos tambien podemos trabajar con la nocion de filtros op-timales. Dado un semiretıculo L, veremos que es posible definir en el conjunto ordenado de losfiltros optimales Opt(L) una topologıa. El espacio resultante es un espacio de Priestley. Sabemosque todo espacio de Priestley se le asocia un retıculo distributivo acotado. Dicho retıculo es el con-junto D(Opt(L)) de todos los conjuntos abiertos, cerrados y crecientes del espacio. ClaramenteL sera isomorfo a un semiretıculo de D(Opt(L)), y sera un isomorfismo en el caso de que Lsea un retıculo. Pero tambien puede existir otro semiretıculo distributivo L′ tal que D(Opt(L))

sea isomorfo a D(Opt(L′)) y sin embargo L y L′ no ser isomorfos. Por lo tanto la informacionque nos ofrece el conjunto de los filtros optimales no es suficiente para recuperar el semiretıculodistributivo inicial. Para poder recuperar el semiretıculo inicial deberemos parametrizar al espaciode Priestley. Dicho parametro sera un subconjunto del reducto del espacio topologico con ciertaspropiedades especiales. Una de ellas, por ejemplo, es que ese conjunto sera un subconjunto denso.

Lo que veremos a continuacion es primero un teorema de representacion utilizando los filtrosoptimales, y posteriormente veremos como construir una generalizacion de la nocion de espaciode Priestley que nos permitira recuperar el semiretıculo distributivo inicial.

34


Recordemos que un semiretıculo se dice acotado si tiene primer elemento 0. Todos los semi-retıculos considerados a partir de ahora son acotados.

Sea L un semiretıculo distributivo. Consideremos la funcion

β : L→ P(Opt(L))

definida porβ(a) = {P ∈ Opt(L) : a ∈ P} .

Entonces es sencillo probar el siguiente teorema de representacion.

Teorema 3.11. SeaL un semiretıculo distributivo acotado. Entonces la funcion β : L→ P(Opt(L))

es un homomorfismo de semiretıculos inyectivo. Por lo tanto β [L] = {β(a) : a ∈ L} es isomorfoa L.

Demostracion. Sea a ∈ L. Sea P ∈ β(a) y P ⊆ Q. Como P ∈ β(a), entonces a ∈ P, peroluego a ∈ Q, es decir, Q ∈ β(a). Tenemos que β(a) ∈ P(Opt(L)). Luego la funcion β esta biendefinida.

Probemos que β(a∧ b) = β(a)∩β(b). Sea P ∈ β(a∧ b), entonces a∧ b ∈ P. Como a∧ b ≤ ay a∧b ≤ b, se tiene que a, b ∈ P , es decir, P ∈ β(a)∩β(b). Recıprocamente, si P ∈ β(a)∩β(b),entonces a ∈ P y b ∈ P. Como a ∧ b ∈ P, se tiene que P ∈ β(a ∧ b).

Ademas, β(1) ⊆ Opt(L). Sea P ∈ Opt(L) y sea a ∈ P , entonces a ≤ 1, es decir, 1 ∈ P yP ∈ β(1). Por lo tanto β(1) = Opt(L).

Por ultimo probemos que la aplicacion β es inyectiva. Sean a, b ∈ L tal que a 6= b. Veamos queβ(a) 6= β(b). Como a 6= b, entonces a � b o b � a. Si a � b entonces [a)∩ (b] = ∅. Por Teorema1.40, tenemos que existe P ∈ Opt(L) tal que [a) ⊆ P y P ∩ (b] = ∅, entonces a ∈ P y b /∈ P, esdecir, P ∈ β(a) y P /∈ β(b). Si b � a se razona de manera analoga. Por lo tanto β es inyectiva yL ∼= β [L].

Recordemos que por medio del conjunto de los filtros primos X(L) podemos definir otro ho-momorfismo inyectivo

ϕ : L→ P(X(L))

porϕ(a) = {P ∈ X(L) : a ∈ P} ,

para cada a ∈ L y ademas L es isomorfo al semiretıculo ϕ [L] = {ϕ(a) : a ∈ L}. Como todofiltro primo es optimal, tenemos que la siguiente inclusion

ϕ(a) ⊆ β(a),

para cada a ∈ L.Ahora vamos a probar un resultado tecnico que sera necesario mas adelante.

Teorema 3.12. Sea L un semiretıculo distributivo acotado. Sean a1, . . . , an, a ∈ L. Entonces lassiguientes condiciones son equivalentes:

35


1.⋂

[ai) ⊆ [a).

2. β(a) ⊆n⋃

i=1

β(ai).

3. ϕ(a) ⊆n⋃

i=1

ϕ(ai).

Demostracion. (1) ⇒ (2) Supongamos que P ∈ β(a) y P /∈n⋃

i=1

β(ai). Entonces, P /∈ β(ai), es

decir, ai /∈ P, para cada 1 ≤ i ≤ n. Como P es optimal y⋂

[ai) ⊆ [a), entonces por Lema 1.39

a /∈ P , contradiccion. Por lo tanto β(a) ⊆n⋃

i=1

β(ai).

(2)⇒ (3) Notemos que ϕ(a) = β(a) ∩X(L). Por lo tanto,

ϕ(a) = β(a) ∩X(L) ⊆n⋃

i=1

β(ai) ∩X(L) =

n⋃i=1

ϕ(ai).

.(3) ⇒ (1) Supongamos que existen a1, . . . , an, a ∈ L tales que

⋂[ai) * [a). Entonces existe

b ∈⋂

[ai) y b /∈ [a), es decir, a � b. Por el teorema del Filtro Primo, existe P ∈ X(L) tal que

a ∈ P y b /∈ P . Luego, P ∈ ϕ(a) ⊆n⋃

i=1

ϕ(ai). De esta forma ai ∈ P para algun 1 ≤ i ≤ n. Como

b ∈⋂

[ai), entonces ai ≤ b para todo 1 ≤ i ≤ n. En consecuencia obtenemos que b ∈ P , lo quees un absurdo.

Teorema 3.13. Sea L un semiretıculo distributivo acotado. Entonces

〈ϕ [L] ,∩, ∅,X (L)〉

y〈β [L] ,∩, ∅,Opt(L)〉

son semiretıculos distributivos isomorfos.

Demostracion. La prueba es inmediata teniendo en cuenta que ϕ [L] ∼= L ∼= β [L].

Consideremos un conjunto ordenado 〈X,≤〉 y sea Pc(X) el conjunto ordenado de todos lossubconjuntos crecientes. Consideremos un subconjunto E ⊆ Pc(X) tal que 〈E,∩, X〉 es un se-miretıculo distributivo. Consideremos el conjunto

D(E) = {A = U1 ∪ · · · ∪ Un : Ui ∈ E} .

Diremos que D(E) es la clausura bajo uniones finitas de E.

36

3.3 Espacios de Priestley generalizados Dualidad tipo Priestley

Entonces es sencillo comprobar que

〈D(E),∩,∪, X〉

es un retıculo distributivo. Si E es acotado, es decir, si ∅ ∈ E, entonces 〈D(E),∩,∪, ∅, X〉 es unretıculo distributivo acotado. De esta manera, dado un semiretıculo distributivo L, los retıculos

〈D(ϕ [L]),∩,∪, ∅, X(L)〉

y〈D(β [L]),∩,∪, ∅,Opt(L)〉

son retıculos distributivos acotados.Sabemos que los semiretıculos 〈ϕ [L] ,∩, X(L))〉 y 〈β [L] ,∩,Opt(L)〉 son isomorfos. Ahora

veremos que la clausura bajo uniones de dichos conjuntos son retıculos distributivos isomorfos.Este retıculo, sera lo que llamaremos mas adelante la extension libre de L.


〈D(ϕ [L]),∩,∪, ∅, X(L)〉 ∼= 〈D(β [L]),∩,∪, ∅,Opt(L)〉 .

Demostracion. Consideremos la funcion f : D(ϕ [L]) −→ D(β [L]) definida por

f(ϕ(a1) ∪ · · · ∪ ϕ(an)) = β(a1) ∪ · · · ∪ β(an).

Es claro que f esta bien definida. Ademas f que es un homomorfismo de retıculos sobreyectivo.Por la Proposicion 3.12 obtenemos que

ϕ(a1) ∪ · · · ∪ ϕ(an) = ϕ(b1) ∪ · · · ∪ ϕ(bm)

si y solo siβ(a1) ∪ · · · ∪ β(an) = β(b1) ∪ · · · ∪ β(bn).

Entonces f es inyectiva. Por lo tanto f es un isomorfismo de retıculos.

3.3. Espacios de Priestley generalizados

Sea L un semiretıculo distributivo acotado. Recordemos que la funcion

β : L→ P(Opt(L)),

definida porβ(a) = {P ∈ Opt(L) : a ∈ P}

nos permite probar el Teorema de Representacion 3.11 que afirma que L es isomorfo a un sub-semiretıculo de P(Opt(L)). Ahora vamos a dotar de una topologıa tipo Priestley al conjunto

37


Opt(L) de tal forma que, con algunos otros parametros, se pueda recuperar una copia isomorfa deL.

Consideremos la familia

SL = {β(a) : a ∈ L} ∪ {β(b)c : b ∈ L} .

Esta familia forma una subbase para una topologıa τ definida en el conjunto Opt(L) pues

Opt(L) =⋃{β(a) : a ∈ L} ∪ {β(b)c : b ∈ L} .

Notemos que U es un basico si y solo si existen conjuntos finitos {a1, . . . , an}y {b1, . . . , bm} deL tales que

U = β(a1) ∩ · · · ∩ β(an) ∩ β(b1)c ∩ · · · ∩ β(bm)c

= β(a1 ∧ · · · ∧ an) ∩ β(b1)c ∩ · · · ∩ β(bm)c

= β(a) ∩ β(b1)c ∩ · · · ∩ β(bm)c.

Por lo tanto los basicos de la topologıa τ son de la forma β(a)∩β(b1)c∩· · ·∩β(bm)c, para algunafamilia finita {a, b1, . . . , bm} de L. Es decir,

Teorema 3.15. SeaL un semiretıculo distributivo acotado. Consideremos la topologıa τ generadapor la subbase SL. Entonces la terna

〈Opt(L),⊆, τ〉

es un espacio de Priestley.

Demostracion. Comprobemos que el espacio 〈Opt(L),⊆, τ〉 es compacto. Sean A,B ⊂ L talesque

Opt(L) =⋃{β(a) : a ∈ A} ∪ {β(b)c : b ∈ B} .

Consideremos el filtro generado por B, es decir, F (B), y el ideal de Frink generado por A, esdecir,

IF (A) =

{c ∈ L : ∃a1, . . . an ∈ L

n⋂i=1

[ai) ⊆ [c)

}.

Si suponemos queF (B) ∩ IF (A) = ∅,

entonces por el Teorema del Filtro Optimal, existe un P ∈ Opt(L) tal que F (B) ⊆ P y P ∩IF (A) = ∅. Luego,

P ∈⋂{β(b) : b ∈ B} y P /∈

⋃{β(a) : a ∈ A} .

En consecuenciaP /∈

⋃{β(a) : a ∈ A} ∪ {β(b)c : b ∈ B} .

38


Lo que es un absurdo. Por lo tanto, existe un elemento c ∈ F (B) ∩ IF (A). Entonces existe

a1, . . . an ∈ A y b1, . . . , bm ∈ B tales que b1 ∧ · · · ∧ bm ≤ c yn⋂

i=1[ai) ⊆ [c). Luego por Teorema

3.12,β(b1 ∧ · · · ∧ bm) = β(b1) ∩ · · · ∩ β(bm) ⊆ β(c) ⊆

⋃{β(ai) : 1 ≤ i ≤ n}

y en consecuencia⋃{β(ai) : 1 ≤ i ≤ n} ∪ β(b1)c ∪ · · · ∪ β(bm)c = Opt(L).

Con esto hemos probado que el espacio es compacto.El espacio es totalmente disconexo, pues para cada par P,Q ∈ Opt(L) tal que P * Q existe

un a ∈ P y a /∈ Q. Por lo tanto, P ∈ β(a) y Q /∈ β(a).

Como 〈Opt(L),⊆, τ〉 es un espacio de Priestley, entonces el retıculo dual formado por todoslos cerrados-abiertos y crecientes

D(Opt(L)) = (D(Opt(L)),∪,∩, ∅,Opt(L)) ,

es un retıculo distributivo acotado. Este es un retıculo que contiene una copia isomorfa al semi-retıculo L. Para poder recuperar el semiretıculo vamos a tener que considerar ciertas restriccionesal espacio de Priestley 〈Opt(L),⊆, τ〉. Ahora nos dedicaremos a estudiar cuales son dichas res-tricciones. Esto nos llevara a definir el concepto de espacio de Priestley generalizado.

Primero veamos que papel cumple el conjunto de los filtros irreducibles en el espacio〈Opt(L),⊆, τ〉.

Lema 3.16. Sea L un semiretıculo distributivo acotado. Consideremos el espacio de PriestleyOpt(L) = 〈Opt(L),⊆, τ〉. Entonces

1. El conjunto de los filtros primos X(L) es un subconjunto denso de Opt(L).

2. Todo abierto creciente U de Opt(L) es union de elementos de {β(a) : a ∈ L}.

Demostracion. (1) Debemos probar que cl(X(L)) = Opt(L). Pero esto es equivalente a probarque para todo basico no vacıo U del espacio Opt(L) intersecta a X(L), es decir, U ∩X(L) 6= ∅,para todo basico U 6= ∅.

Sea U un basico no vacıo. Entonces existen a, b1, . . . , bn ∈ L tales que

U = β(a) ∩ β(b1)c ∩ · · · ∩ β(bn)c.

Como U 6= ∅, entonces β(a) *⋃{β(bi) : 1 ≤ i ≤ n}. Luego por Teorema 3.12 ϕ(a) *⋃

{ϕ(bi) : 1 ≤ i ≤ n}, es decir, existe un P ∈ ϕ(a) y P /∈⋃{ϕ(bi) : 1 ≤ i ≤ n}. Luego,

P ∈ ϕ(a) ∩ ϕ(b1)c ∩ · · · ∩ ϕ(bn)c ∩X(L).

Por lo tanto X(L) es denso en Opt(L).

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(2) Sea U un abierto y creciente de Opt(L). Sea P ∈ U . Para cada Q /∈ U , al ser U creciente,P * Q. Luego para cada Q /∈ U existe un aQ ∈ L tal que aQ ∈ P y aQ /∈ Q. Entonces

U c ⊆⋃{β(aQ)c : Q /∈ U} y P ∈

⋂{β(aQ) : Q /∈ U} .

ComoU c es cerrado y el espacio es compacto, entoncesU c es compacto. Luego, existen aQ1 , . . . , aQn ∈L tales queP ∈ β(aQ1∧· · ·∧aQn) = β(aP ) y β(aP ) ⊆ U . Por lo tanto,U =

⋃{β(aP ) : P ∈ U}.

Sea L un semiretıculo distributivo acotado. Si U es un conjunto clopen creciente del espacio〈Opt(L),⊆, τ〉, entonces existen a1, . . . , an ∈ L tales que

U = β(a1) ∪ · · · ∪ β(an).

En particular cualquier conjunto de la forma β(a) es un clopen creciente. Ahora vamos a caracte-rizar exactamente los clopen crecientes que son de esta forma.

Teorema 3.17. Sea L un semiretıculo distributivo acotado. Consideremos el espacio de PriestleyOpt(L) = 〈Opt(L),⊆, τ〉. Sea U un clopen creciente de Opt(L). Entonces las siguientes condi-ciones son equivalentes:

1. U = β(a), para algun a ∈ L.

2. U c = (X(L) ∩ U c] .

3. maxU c ⊆ X(L).

Demostracion. (1) ⇒ (2) Como X(L) ⊆ Opt(L), entonces X(L) ∩ U c ⊆ U c, y al ser U c

decreciente, se tiene que (X(L) ∩ U c] ⊆ U c.Sea P ∈ U c = β(a)c. Entonces a /∈ P . Luego P ∩ (a] = ∅, y por el Teorema del Filtro

Primo, existe un Q ∈ X(L) tal que P ⊆ Q y a /∈ Q. Luego, P ∈ (X(L) ∩ U c]. Por lo tanto,U c = (X(L) ∩ U c].

(2)⇒ (3) Sea P ∈ maxU c. Entonces P ∈ U c = (X(L) ∩ U c], luego existe Q ∈ X(L) ∩ U c

tal que P ⊆ Q. Pero al ser P maximal en U c, P = Q ∈ X(L).(3) ⇒ (1) Como U es clopen creciente, entonces existen a1, . . . , an ∈ L tales que U =

β(a1) ∪ · · · ∪ β(an). Consideremos el filtro F =⋂{[ai) : 1 ≤ i ≤ n} y el ideal de Frink I =

IF (a1, . . . , an). Si F ∩ I = ∅, por Teorema del filtro Optimal existe un P ∈ Opt(L) tal queF ⊆ P y P ∩ I = ∅. Entonces, para cada 1 ≤ i ≤ n, ai ∈ I y ai /∈ P. Luego, P /∈ U =

β(a1) ∪ · · · ∪ β(an). Por dualidad de Priestley existe un Q ∈ maxU c tal que P ⊆ Q. Porhipotesis, Q es primo y ademas F =

⋂{[ai) : 1 ≤ i ≤ n} ⊆ P ⊆ Q. Luego, ai ∈ Q para algun

1 ≤ i ≤ n, lo que es imposible. Por lo tanto, F ∩ I 6= ∅. Entonces existe un a ∈ F ∩ I . Esdecir, a ∈

⋂{[ai) : 1 ≤ i ≤ n} y

⋂{[ai) : 1 ≤ i ≤ n} ⊆ [a). Entonces a = a1 ∨ · · · ∨ an, y en

consecuencia U = β(a).

Ya estamos en condiciones de definir el espacio de Priestley dual de un semiretıculo distributivo.Primero definimos a los subconjuntos admisibles.

40


Definicion 3.18. Sea 〈X,≤, τ〉 un espacio de Priestley. Sea X0 un subconjunto denso de X .Diremos que un clopen U es admisible en X0 si maxU c ⊆ X0.

Dado un espacio de Priestley 〈X,≤, τ,X0〉 generalizado, denotamos con X∗ o con S(X) alconjunto de todos los clopen admisibles en X0, es decir

S(X) = {U ∈ D(X) : maxU c ⊆ X0} .

Ya estamos en condiciones de dar la definicion de los espacios tipo Priestley duales a los semi-retıculos distributivos acotados.

Observacion 3.19. Recordemos que un conjunto I = {Ui ∈ S(X)} es directo si para cada familiafinita U1, . . . , Un ∈ I existe un V ∈ I tal que Ui ⊆ V para cada 1 ≤ i ≤ n.

Definicion 3.20. Un espacio de Priestley generalizado es una estructura 〈X,≤, τ,X0〉 tal que

1. 〈X,≤, τ〉 es un espacio de Priestley.

2. X0 es un subconjunto denso de X tal que X = (X0] .

3. x ∈ X0 si y solo si Ix = {U ∈ S(X) : x /∈ U} es un conjunto directo.

4. El orden ≤ queda determinado por los conjuntos admisibles. Es decir, x ≤ y si y solo si∀U ∈ S(X) x ∈ U implica que y ∈ U.

Notemos que cuando X = X0 las condiciones (2) a (4) son redundantes.


〈Opt(L),⊆, τ,X(L)〉

es un espacio de Priestley generalizado.

Demostracion. Hemos probado anteriormente que 〈Opt(L),⊆, τ〉 es un espacio de Priestley.Tambien demostramos que el conjunto X(L) es un subconjunto denso de 〈Opt(L),⊆, τ〉 . Porel Teorema 3.17 un clopen creciente U es admisible si y solo si U = β(a), para algun a ∈ L. Porlo tanto

S(Opt(L)) = β [L] .

Probemos que x ∈ X(L) si y solo si Ix = {β(a) : x /∈ β(a)}. Sea x ∈ X(L) y sean β(a), β(b) ∈Ix. Entonces x /∈ β(a), β(b) y en consecuencia a, b /∈ x. Como x es un filtro primo de L, tenemosque [a) ∩ [b) * x. Por lo tanto existe c ∈ [a) ∩ [b) tal que c /∈ x. De esta manera x /∈ β(c) ytenemos que β(a) ∪ β(b) ⊆ β(c). Por lo tanto β(c) ∈ Ix y este es directo.

Sea Ix directo y supongamos que x /∈ X(L). Entonces existen filtrosF1 yF2 tales queF1∩F2 ⊆x pero F1 * x y F2 * x. Sean a ∈ F1 − x y b ∈ F2 − x, entonces x /∈ β(a), β(b). Luegoβ(a), β(b) ∈ Ix. Como Ix es directo, existe β(c) ∈ Ix tal que β(a)∪β(b) ⊆ β(c). De esta manerac /∈ x y c ∈ [a) ∩ [b) ⊆ F1 ∩ F2 ⊆ x. Por lo tanto c ∈ x, lo cual es una contradiccion.

Es claro que el orden ⊆ queda determinado por el conjunto de los admisibles.

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Teorema 3.22. Sea 〈X,≤, τ,X0〉 un espacio de Priestley generalizado. Entonces

〈S(X),∩, ∅, X〉

es un semiretıculo distributivo acotado.

Demostracion. Probemos que S(X) es cerrado bajo intersecciones. Sean U, V ∈ S(X). Entonces

max((U ∩ V )c) = max(U c ∪ V c) ⊆ maxU c ∪maxV c ⊆ X0.

Por lo tanto, U ∩ V ∈ S(X).Ademas max(Xc) = max(∅) = ∅ ⊆ X0. Luego, X ∈ S(X).Tambien, max(∅c) = maxX ⊆ X0, y por lo tanto ∅ ∈ S(X).Veamos ahora que S(X) es distributivo. Consideremos U, V,W ∈ S(X) tal que U ∩ V ⊆ W .

Entonces W c ⊆ U c ∪ V c. Para cada x ∈ max(W c) tenemos que x ∈ U c o x ∈ V c. Por lotanto, W ∈ Ix y U ∈ Ix o V ∈ Ix. Como x ∈ X0, entonces por (3) de la definicion de espaciode Priestley generalizado tenemos que W,U ∈ Ix o W,V ∈ Ix. Si W,U ∈ Ix entonces existeUx ∈ Ix tal que W ∪ U ⊆ Ux. Si, W,V ∈ Ix entonces existe Vx ∈ Ix tal que W ∪ V ⊆ Vx. Porlo tanto

W c =⋃{Kx : x ∈ max(W c)}

donde Kx = U cx o Kx = V c

x . Como W c es compacto, y cada conjunto Kx es abierto, entoncesexiste subconjuntos finitos A y B de maxW c tal que

W c =⋃{U c

x : x ∈ A} ∪⋃{V c

x : x ∈ B} .

Sea U ′ =⋂{Ux : x ∈ A} y V ′ =

⋂{Vx : x ∈ B}. Es claro que U ⊆ U ′ y V ⊆ V ′ y U ′, V ′ ∈

S(X). ComoW c = U ′c∪V ′c, entoncesW = U ′∩V ′ . Por lo tanto 〈S(X),∩, ∅, X〉 es distributivo.

De los resultados anteriores obtenemos el siguiente teorema de representacion.

Teorema 3.23 (de Representacion). Para cada semiretıculo distributivo acotado L existe un es-pacio de Priestley generalizado 〈X,≤, τ,X0〉 tal que L es isomorfo a S(X).

Probaremos a continuacion algunas propiedades que seran necesarias mas adelante.

Lema 3.24. Sea X un espacio de Priestley generalizado. Entonces

1. Para cada U ∈ D(X), cl(U ∩X0) = U .

2. Para toda familia U1, . . . , Un, U ∈ S(X), tenemos que⋂[Ui) ⊆ [U) si y solo si U ⊆

⋃Ui.

3. La clausura de S(X) bajo uniones finitas es D(X).

4. La familia S(X) ∪ {U c : U ∈ S(X)} es una subbase del espacio de X .

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Demostracion. (1) Sea U ∈ D(X). Como X0 es denso en X y U es abierto, entonces cl(U ∩X0) = cl(U). Como U es cerrado cl(U) = U . Por lo tanto, cl(U ∩X0) = U .

(2)Supongamos que⋂

[Ui) ⊆ [U). Primero veamos que U ∩X0 ⊆⋃Ui. Sea x ∈ U ∩X0. Si

x /∈⋃Ui, entonces x /∈ Ui, para cada 1 ≤ i ≤ n. Por condicion (3) de la definicion 3.20, existe

V ∈ S(X) tal que Ui ⊆ V para cada 1 ≤ i ≤ n, y x /∈ V . Entonces V ∈⋂

[Ui) ⊆ [U), esdecir, U ⊆ V , como x ∈ U esto implica que x ∈ V , lo que es una contradiccion. Por lo tantoU ∩ X0 ⊆

⋃Ui. Entonces cl(U ∩ X0) ⊆

⋃Ui y por el punto (1), cl(U ∩ X0) = U . Entonces

U ⊆⋃Ui.

Supongamos que U ⊆⋃Ui. Para la otra implicacion consideremos V ∈

⋂[Ui). Entonces

Ui ⊆ V , para cada 1 ≤ i ≤ n. Luego,⋃Ui ⊆ V . Luego U ⊆ V, es decir, V ∈ [U). Por lo tanto⋂

[Ui) ⊆ [U).(3) Sea S(X)∪ la clausura bajo uniones finitas de S(X). Claramente S(X) ⊆ D(X) y como

D(X) esta cerrado bajo uniones, S(X)∪ ⊆ D(X). Comprobemos la otra inclusion. Sea U ∈D(X). Ya que ∅, X ∈ S(X), podemos suponer que U 6= ∅, X . Fijamos x ∈ U . Para cada y /∈ U ,como U es creciente, x � y. Luego, por condicion (4) de la definicion 3.20 para cada y /∈ U existeun Uy ∈ S(X) tal que x ∈ Uy e y /∈ Uy. Entonces,

U c ⊆⋃{

U cy : y /∈ Uy

}.

ComoU c es compacto, existen y1, . . . , yn /∈ U tales queU c ⊆ U cy1∪· · ·∪U

cyn = (Uy1∩· · ·∩Uyn)c.

Luego x ∈ Ux = Uy1 ∩ · · · ∩ Uyn ⊆ U . Como S(X) es cerrado bajo intersecciones finitas, Ux ∈S(X). En consecuencia, U =

⋃{Ux : x ∈ U}, y como X es compacto, existen x1, . . . , xn ∈ U

tales que U = Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn , es decir U ∈ S(X). Por lo tanto S(X)⋃

= D(X).(4) Por dualidad de priestley, sabemos que la familiaD(X)∪{Ac : A ∈ D(X)} es una subbase

para la topologıa de X . Entonces la familia {A−B : A,B ∈ D(X)} es una base. Por el punto(3) anterior, A =

⋃ni=1 Ui y B =

⋃mj=1 Vj , con Ui, Vj ∈ S(X), para 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m.

Luego

A−B =

n⋃i=1

Ui −m⋃j=1

Vj =

n⋃i=1

(Ui ∩m⋂j=1

V cj ).

Entonces los elementos de la base {A−B : A,B ∈ D(X)} son intersecciones finitas de elemen-tos de S(X)∪{U c : U ∈ S(X)}. Por lo tanto, la familia S(X)∪{U c : U ∈ S(X)} es una subbasede la topologıa de X .

Sea X = 〈X,≤, τ,X0〉 un espacio de Priestley generalizado. Para cada x ∈ X consideremosel conjunto

ε(x) = {U ∈ S(X) : x ∈ U} .

Ahora vamos a probar que podemos considerar una funcion ε : X → Opt(S(X)).

Teorema 3.25. Sea X un espacio de Priestley generalizado. Entonces para cada x ∈ X , tenemosque ε(x) ∈ Opt(S(X)). Si x ∈ X0, entonces ε(x) es un filtro primo o irreducible de S(X).

Demostracion. Sea x ∈ X , probemos que ε(x) es un filtro de S(X). Por un lado sean U ∈ S(X)

y V ∈ ε(x) tal que V ⊆ U . Entonces x ∈ V y en consecuencia x ∈ U . Luego U ∈ ε(x). Por otro

43


lado, si U, V ∈ ε(x) entonces x ∈ U, V . Luego x ∈ U ∩ V y en consecuencia U ∩ V ∈ ε(x). Porlo tanto ε(x) es un filtro de S(X).

Probemos que S(X)− ε(x) es un ideal de Frink. Supongamos que U1, . . . , Un ∈ S(X)− ε(x),

U ∈ S(X) yn⋂

i=1

[Ui) ⊆ [U). Por (2) del Lema anterior tenemos U ⊆n⋃

i=1

Ui. Como x /∈n⋃

i=1

Ui

entonces x /∈ U . Por lo tanto, U ∈ S(X) − ε(x) y en consecuencia S(X) − ε(x) es un ideal deFrink, es decir, ε(x) ∈ Opt(S(X)).

Por ultimo, supongamos que x ∈ X0. Sean U, V ∈ S(X) tales que U, V /∈ ε(x). Entoncesx /∈ U y x /∈ V , se sigue que U, V ∈ Ix. Como Ix es directo, existe un W ∈ S(X) tal queU ∪ V ⊆W y x /∈W . Por lo tanto ε(x) ∈ X(S(X)).

Teorema 3.26. Sea X un espacio de Priestley generalizado. Entonces la funcion

ε : X → Opt(S(X))

es un isomorfismo de orden, un homeomorfismo y ademas ε [X0] = X(S(X)).

Demostracion. Es claro que por la condicion (4) de la Definicion de espacio de Priestley gene-ralizado tenemos que para todo x, y ∈ X , x ≤ y si y solo si ε(x) ⊆ ε(y). Entonces ε es unisomorfismo de orden. Probemos que ε es sobreyectiva. Sea P ∈ Opt(S(X)). Consideremos lasfamilias {Ui ∈ S(X) : Ui ∈ P} y {Vj ∈ S(X) : Vj /∈ P} . Entonces probemos que⋂

{Ui : Ui ∈ P} ∩⋂{

V cj : Vj /∈ P

}6= ∅.

Supongamos lo contrario. Entonces⋂{Ui : Ui ∈ P} ⊆ {Vj : Vj /∈ P} ,

y como⋂{Ui : Ui ∈ P} es un subconjunto cerrado de un espacio compacto, entonces es com-

pacto. Luego existe una familia finita {V1, . . . , Vn} tal que⋂{Ui : Ui ∈ P} ⊆ V1 ∪ . . . ∪ Vn.

Luego V c1 ∩ · · · ∩ V c

n ⊆⋃{U c

i : Ui ∈ P}, y nuevamente por compacidad obtenemos un conjuntofinito {U1, . . . , Uk} tal que V c

1 ∩ · · · ∩ V cn ⊆ U c

1 ∪ · · · ∪ U ck . Entonces, U = U1 ∩ · · · ∩ Uk ⊆

V1 ∪ · · · ∪ Vn. Como S(X) es un semiretıculo, U ∈ S(X) y ademas U ∈ P , por ser filtro. Como⋂[Vi) ⊆ [U) si y solo si U ⊆ V1 ∪ · · · ∪ Vn , teniendo en cuenta que Vi /∈ P , y P es optimal,

Por (2) del Lema 1.39 tenemos que U /∈ P , lo que es una contradiccion. Por lo tanto existe unx ∈

⋂{Ui : Ui ∈ P} ∩

⋂{V cj : Vj /∈ P

}. Ahora es sencillo comprobar que ε(x) = P , y por lo

tanto ε es sobreyectiva.Por teorema anterior sabemos que para cada x ∈ X0, ε(x) ∈ X(S(X)). Veamos que

ε |X0 : X0 → X(S(X))

es sobreyectiva. Sea P ∈ X(S(X)). Como P es tambien optimal, y ε es sobreyectiva, entoncesexiste x ∈ X tal que ε(x) = P . Debemos probar que x ∈ X0. Supongamos que x /∈ X0. Entoncesel conjunto Ix = {U ∈ S(X) : x /∈ U} no es directo. Es decir, existen U, V ∈ Ix tales que para

44

3.4 Dualidad para homomorfismos Dualidad tipo Priestley

cualquier W ∈ S(X) si U ∪ V ⊆ W , entonces W /∈ Ix, es decir, x ∈ W . Por lo tanto, para cadaW ∈ [U) ∩ [V ) tenemos que W ∈ ε(x). Entonces [U) ∩ [V ) ⊆ ε(x) y como ε(x) = P es primo,tenemos que U ∈ ε(x) o V ∈ ε(x), es decir, x ∈ U o x ∈ V , lo que es una contradiccion. Enconsecuencia x ∈ X0. Como conclusion tenemos que ε [X0] = X(S(X)).

Solo nos resta probar que ε es un homeomorfismo. Por el ıtem (4) del Lema 3.24 tenemosque la familia S(X) ∪ {U c : U ∈ S(X)} es una subbase para la topologıa de X . Entonces lafamilia {β(U) : U ∈ S(X)}∪{β(U)c : U ∈ S(X)} es una subbase para la topologıa en el espaciode priestley 〈Opt(S(X)),⊆, τ,X(S(X))〉 asociado al semiretıculo S(X). Entonces dado U ∈S(X) tenemos que:

x ∈ ε−1(β(U))⇔ ε(x) ∈ β(U)⇔ U ∈ ε(x)⇔x ∈ U.

Por lo tanto, ε−1(β(U)) = U . De igual forma se demuestra que ε−1(β(U c)) = U c. En conse-cuencia ε es una funcion continua y biyectiva entre espacios compactos y de Hausdorff, entoncesε es un homeomorfismo.

Resumimos lo hecho hasta ahora en los siguientes ıtems:

Dado un semiretıculo distributivo acotado L, la estructura

〈Opt(L),⊆, τ,X(L)〉

es un espacio de Priestley generalizado.

Si 〈X,≤, τ,X0〉 es un espacio de Priestley generalizado. Entonces

• La funcion β : L → S(Opt(L)) es un isomorfismo de semiretıculos distributivosacotados. Por lo tanto, L ∼= S(Opt(L)).

• La funcion ε : X → Opt(S(X)) es un isomorfismo de orden y un homeomorfismo.

Para completar una dualidad entre los semiretıculos distributivos acotados y los espacios de Priestleygeneralizados debemos definir apropiados morfismos y probar que dichos morfismos estan conec-tados categoricamente. Este es el objetivo de la proxima seccion.

3.4. Dualidad para homomorfismos

En esta parte vamos introducir diferentes morfismos entre espacios de Priestley generalizadosque corresponden a los homomorfismos entre semireticulos distributivos acotados. Muchos de losresultados estan motivados por los resultados analogos dados en el caso de los DS-espacios.

Sean A,B semiretıculos distributivos. Una aplicacion h : A→ B es un homomorfismo si:

1. h(a ∧ b) = h(a) ∧ h(b).

2. h(1) = 1.

45


Recordemos que para la dualidad entre semiretıculos y DS-espacios, un homomorfismo h : A→B entre dos semiretıculos distributivosA yB se representa por una relacion binariaRh ⊆ X(B)×X(A) definida por (P,Q) ∈ Rh si y solo si h−1(P ) ⊆ Q. Esta relacion cumple las propiedadessiguientes:

1. Para cada P ∈ X(B), Rh(P ) es un conjunto cerrado en el DS-espacio de A.

2. Para cada a ∈ A, se tiene que hRh(ϕ(a)) = ϕ(h(a)).

De esta forma se construye una dualidad entre la categorıa de los semiretıculos distributivos y lacategorıa de losDS-espacios donde los morfismos entreDS-espacios son relaciones que cumplenlas dos condiciones anteriores. Para mas detalles sobre la conexion entre homomorfismos de semi-retıculos distributivos y relaciones definidas entre susDS-espacios se puede consultar los trabajos[6] y [8].

Ahora veremos que estas ideas pueden ser extendidas al caso de considerar espacios de Priestleygeneralizados. Asociaremos a cada homomorfismo de semiretıculos distributivos una relacion de-finida entre sus conjuntos de filtros optimales. Caracterizaremos a estas relaciones y veremos queson justamente los objetos duales de los homomorfismos de semiretıculos.

Dado un homomorfismo h : A → B entre dos semiretıculos distributivos acotados, definimosla relacion binaria asociada al homomorfismo

Rh ⊆ Opt(B)×Opt(A)

como(P,Q) ∈ Rh ⇔ h−1(P ) ⊆ Q,

donde h−1(P ) = {x ∈ A : h(x) ∈ P}.Tambien recordemos que dada una relacion R entre dos conjuntos X e Y , notaremos con hR a

la funcion hR : P(Y )→ P(X) definida por

hR(U) = {x ∈ X : R(x) ⊆ U} ,

para cada U ∈ P(Y ).Sea R ⊆ X × Y una relacion binaria. Para cada x ∈ X, definimos el conjunto

R(x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ R}.

Lema 3.27. Sea h : A → B un homomorfismo entre dos semiretıculos distributivos acotados.Entonces las siguientes condiciones son verdaderas:

1. (⊆ ◦Rh◦ ⊆) ⊆ Rh.

2. h(a) /∈ P si y solo si existe un Q ∈ Opt(A) tal que h−1(P ) ⊆ Q y a /∈ Q.

3. β(h(a)) = hRh(β(a)), para cada a ∈ A.

46


Demostracion. (1) Sea (P,Q) ∈⊆ ◦Rh◦ ⊆. Entonces existe U ∈ Opt(A) y V ∈ Opt(B) tal queP ⊆ V, (V,U) ∈ Rh y U ⊆ Q . De esta manera,

h−1(P ) ⊆ h−1(V ) ⊆ U ⊆ Q.

Por lo tanto, (P,Q) ∈ Rh.(2) Sea h(a) /∈ P . Entonces a /∈ h−1(P ). Como h es una funcion que preserva el ınfimo,

entonces h−1(P ) es un filtro de A. Entonces existe un filtro optimal Q de A tal que h−1(P ) ⊆ Q

y a /∈ Q. La otra direccion es inmediata.(3) Sabemos que x ∈ β(h(a)) si y solo si h(a) ∈ x si y solo si a ∈ h−1(x). Ademas x ∈

hRh(β(a)) si y solo si ∀y ∈ Opt(A), (x, y) ∈ Rh ⇒ a ∈ y si y solo si ∀y ∈ Opt(B), h−1

Rh(y) ⊆

x⇒ a ∈ y .Ahora bien h−1

Rh(x) = A o h−1

Rh(x) es un filtro propio de A. Por un lado, si h−1

Rh(x) = A

entonces para cada y ∈ Opt(A) tenemos que h−1Rh

(x) * y. Por lo tanto a ∈ h−1(x) y ∀y ∈Opt(B), h−1

Rh(y) ⊆ x ⇒ a ∈ y son trivialmente verdaderas. Ademas a ∈ h−1(x) si y solo si

∀y ∈ Opt(B), h−1Rh

(y) ⊆ x⇒ a ∈ y .Por otro lado si h−1

Rh(x) es un filtro propio de A, por el Teorema del filtro optimal, h−1

Rh(x) es

interseccion de todos los filtros optimales de A que lo contienen. Entonces a ∈ h−1(x) si y solosi ∀y ∈ Opt(B), h−1

Rh(y) ⊆ x⇒ a ∈ y . Por lo tanto, β(h(a)) = hRh

(β(a)).

Ahora estamos en condiciones de definir las relaciones que seran los duales de los homomorfis-mos.

Denotaremos a un espacio generalizado 〈X,≤, τ,X0〉 simplemente por el conjunto principalXcuando no exista confusion. Tambien recordemos que el conjunto

S(X) = {U ∈ D(X) : maxU c ⊆ X0} ,

es un semiretıculo distributivo acotado.

Definicion 3.28. SeanX e Y dos espacios de Priestley generalizados. Un subconjuntoR ⊆ X×Yes una meet-relacion generalizada (∧-relacion generalizada), o una relacion de Priestley generali-zada, o un morfismo generalizado de Priestley, si:

1. Para todo U ∈ S(Y ), se tiene que hR(U) ∈ S(X).

2. Para cada x ∈ X , si y /∈ R(x), existe U ∈ S(Y ) tal que R(x) ⊆ U e y /∈ U .

Si R ⊆ X × Y es una relacion de Priestley generalizada, entonces la funcion

hR : S(Y )→ S(X)

es un homomorfismo de semiretıculos. Diremos que la relacion R es total si satisface la condicionadicional

Para cada x ∈ X existe un y ∈ Y tal que (x, y) ∈ R.

47


En este caso hR(∅) = ∅.

Proposicion 3.29. Sean X e Y dos espacios de Priestley generalizados. Sea R⊆ X × Y una∧-relacion generalizada. Entonces las siguientes condiciones se verifican:

1. ≤X ◦R ⊆ R.

2. R◦ ≤Y⊆ R.

Demostracion. (1) Sean x ≤X y e (y, z) ∈ R. Si (x, z) /∈ R por condicion (2) de la Definicion3.28 existe U ∈ S(Y ) tal que R(x) ⊆ U e z /∈ U . Por condicion (1) de la Definicion 3.28hR(U) ∈ S(X). Como R(x) ⊆ U se sigue que x ∈ hR(U). Como hR(U) es creciente, entoncesy ∈ hR(U) y en consecuencia R(y) ⊆ U y z ∈ U ; lo cual es una contradiccion. Por lo tanto≤X ◦R ⊆ R.

(2) Sean (x, y) ∈ R e y ≤Y z. Si (x, z) /∈ R por condicion (2) de la Definicion 3.28 existeU ∈ S(Y ) tal que R(x) ⊆ U e z /∈ U . Entonces y/∈ U , lo cual es una contradiccion dado queR(x) ⊆ U implica que y ∈ U . Por lo tanto R◦ ≤Y⊆ R.

Como consecuencia inmediata de la definicion de espacios de Priestley generalizados tenemos elsiguiente teorema.

Teorema 3.30. Sean X e Y dos espacios de Priestley generalizados y R ⊆ X × Y una relacionde Priestley generalizada. Entonces la aplicacion hR : S(Y )→ S(X) es un homomorfismo.

Demostracion. Sean U, V ∈ S(Y ). Entonces hR(U ∩ V ) = hR(U) ∩ hR(V ). Ademas hR(Y ) =

X

Teorema 3.31. Sean A y B dos semiretıculos distributivos acotados. Sea h : A → B un homo-morfismo de semiretıculos preservando cero. Entonces la relacion

Rh ⊆ Opt(B)×Opt(A)

dada por(P,Q) ∈ Rh ⇔ h−1(P ) ⊆ Q

es una relacion de Priestley generalizada tal que β(h(a)) = hRh(β(a)), para cada a ∈ A.

Demostracion. El punto 1) y 2) de la Definicion 3.28 se deduce del ıtem 2) y 3) del Lema 3.27.

Recordemos que dado un espacio de Priestley generalizado X = 〈X,≤, τ,X0〉 la funcion

ε : X → Opt(S(X))

dada porε(x) = {U ∈ S(X) : x ∈ U} .

48


Teorema 3.32. Sean X e Y dos espacios de Priestley generalizados. Sea R ⊆ X × Y un ∧-relacion generalizada. Entonces

(x, y) ∈ R si y solo si (ε(x), ε(y)) ∈ RhR.

Demostracion. Sea (x, y) ∈ R. Si U ∈ h−1R (ε(x)) entonces hR(U) ∈ ε(x), luego x ∈ hR(U) y

en consecuencia R(x) ⊆ U . Por hipotesis y ∈ R(x) entonces y ∈ U , de esta manera U ∈ ε(y) yen consecuencia h−1

R (ε(x)) ⊆ ε(y). Luego, ε(x), ε(y)) ∈ RhR.

Supongamos que (x, y) /∈ R, por (2) de la Definicion 3.28 existe U ∈ S(Y ) tal que R(x) ⊆ U

e y /∈ U . Por lo tanto y /∈ U y x ∈ hR(U). De esta manera U /∈ ε(y) y hR(U) ∈ ε(x). Luego,h−1R (ε(x)) * ε(y). Por lo tanto (x, y) ∈ R si y solo si (ε(x), ε(y)) ∈ RhR

.

La composicion de dos ∧-relaciones generalizadas no siempre es otra ∧-relacion generalizada.En consecuencia definiremos una nueva composicion que asegure que sea una ∧-relacion genera-lizada.

Consideremos las relaciones de Priestley generalizadasR ⊆ X×Y y S ⊆ Y ×Z. Cada relaciontiene asociado un homomorfismo de semiretıculos distributivos. Sean hR : S(Y ) → S(X) yhS : S(Z)→ S(Y ) los homomorfismos asociados. Definimos la relacion

S ∗R ⊆ X × Z

por(x, z) ∈ S ∗R si y solo si (ε(x), ε(z)) ∈ RhR◦hS

.

Observemos que

(x, z) ∈ S ∗R si y solo si ∀U ∈ S(Z) (x ∈ (hR ◦ hS)(U)) entonces z ∈ U .

El siguiente resultado es necesario para comprobar que efectivamente la composicion ∗ produceuna relacion de Priestley generalizada.

Lema 3.33. Sean X,Y, Z espacios de Priestley generalizados. Consideremos ∧-relaciones gene-ralizadas R ⊆ X × Y y S ⊆ Y × Z. Entonces para cada U ∈ S(Z) se tiene que

(hR ◦ hS)(U) = h(S∗R)(U).

Demostracion. Sea x ∈ X , entonces

x ∈ (hR ◦ hS)(U)⇔ (hR ◦ hS)(U) ∈ ε(x)

⇔ U ∈ (hR ◦ hS)−1(ε(x))

⇔ ∀z ∈ Z ((x, z) ∈ S ∗R⇒ z ∈ U⇔ (S ∗R)(x) ⊆ U⇔ x ∈ h(S∗R)(U).

Por lo tanto, (hR ◦ hS)(U) = h(S∗R)(U).

49

3.5 Relacion con los DS-espacios Dualidad tipo Priestley

Teorema 3.34. Sean X,Y, Z espacios de Priestley generalizados. Consideremos ∧-relacionesgeneralizadas R ⊆ X × Y y S ⊆ Y × Z. Entonces

1. La relacion S ∗R es una ∧-relacion generalizada.

2. La composicion ∗ es asociativa.

3. ≤X⊆ X ×X es una ∧-relacion generalizada.

4. Si ≤X ◦R = R y R◦ ≤Y = R.

Demostracion. (1) Por un lado, por hipotesis para todo (x, z) /∈ S ∗ R existe U ∈ S(Z) tal quex ∈ (hR ◦ hS)(U) y z /∈ U . Por lema anterior se deduce que S ∗ R(x) ⊆ U y z /∈ U . Por otrolado, por hipotesis, para todo U ∈ S(Z), se tiene que hS(U) ∈ S(Y ) y hR ◦ hS(U) ∈ S(X). Porlema anterior tenemos que hS∗R(U) ∈ S(X). Por lo tanto S ∗R es una ∧-relacion generalizada.

(2) Sea T ⊆ Z ×W una ∧-relacion generalizada. Probaremos que T ∗ (S ∗R) = (T ∗ S) ∗RSea x ∈ X y w ∈W , por lema anterior tenemos:

(x,w) ∈ T ∗ (S ∗R)⇔ (∀U ∈ S(W ))(x ∈ h(S∗R) ◦ hT (U)⇒ w ∈ U)

⇔ (∀U ∈ S(W ))(x ∈ hS ◦ hR ◦ hT (U)⇒ w ∈ U)

⇔ (∀U ∈ S(W ))(x ∈ hR ◦ h(T∗S)(U)⇒ w ∈ U)

⇔ (x,w) ∈ (T ∗ S) ∗R.

(3) Se sigue del punto (4) de la definicion de espacios generalizados de Priestley.(4)Se sigue de la Proposicion 3.29.

3.5. Relacion con los DS-espacios

Hemos visto que a un semiretıculo distributivo acotado se le puede definir dos tipos de espaciostopologicos y esto genera dos tipos de dualidades. La dualidad utilizando los DS-espacios acota-dos generaliza la conocidad dualidad de Stone para retıculos distributivos acotados por medio deespacios sober, conocida tambien como dualidad espectral. La otra dualidad, apela a una extensionde la dualidad desarrollada por H. Priestley para los retıculos distributivos acotados por medio deespacios topologicos ordenados compactos y totalmente disconexos en el orden. En consecuencia,las dos dualidades deben estar ıntimamente conectadas. De hecho, la categorıa de losDS-espacioses isomorfa a la categorıa de los espacios de Priestley generalizados. Para lograr este resultado de-bemos pasar por los semiretıculos distributivos acotados. Ahora veremos de una forma directaque todo espacio de Priestley generalizado tiene asociado naturalmente un DS-espacio acotado.La construccion directa de un espacio de Priestley generalizado a partir de un DS -espacio es unproblema abierto.

Consideremos un espacio de Priestley generalizado 〈X,≤, τ,X0〉. Recordemos que D(X) esel retıculo distributivo acotado de todos los clopen crecientes del espacio de Priestley asociado〈X,≤, τ〉. Tambien recordemos que

S(X) = {U ∈ D(X) : maxU c ⊆ X0}

50


es un semiretıculo distributivo acotado.Consideremos la familia

S(X)c = {X0 − U : U ∈ S(X)} .

Lema 3.35. Sea 〈X,≤, τ,X0〉 un espacio de Priestley generalizado. Entonces la familia

{X0 − U : U ∈ S(X)} ,

es una base para una topologıa τ0 definida sobre X0.

Demostracion. Sean U, V ∈ S(X). Consideremos un x ∈ (X0 − U) ∩ (X0 − V ). Entoncesx ∈ X0 y x /∈ U, V . Luego por la definicion de espacio de Priestley generalizado 3.20, existe unW tal que x /∈W y U ∪ V ⊆W . Entonces

x ∈ X0 −W ⊆ (X0 − U) ∩ (X0 − V ).

Por lo tanto, S(X)c es una base para una topologıa τ0.

Teorema 3.36. Sea 〈X,≤, τ,X0〉 un espacio de Priestley generalizado. Entonces la terna

〈X0, τ0〉

es un DS-espacio compacto donde τ0 es la topologıa generada por la familia S(X)c.

Demostracion. Por el lema anterior, {X0 − U : U ∈ S(X)} es base de la topologıa τ0.Sea KO(X0) el conjunto de todos los abiertos y compacto del espacio 〈X0, τ0〉. Probemos que

KO(X0) = {X0 − U : U ∈ S(X)} .

Sea U ∈ S(X). Supongamos que

X0 − U ⊆⋃{X0 − V : V ∈ A ⊆ S(X)} .

Entonces(X0 − U ] ⊆

⋃{(X0 − V ] : V ∈ A ⊆ S(X)} .

Recordemos que (X0 − U ] = X − U , para cada U ∈ S(X). Entonces

X − U ⊆⋃{X − V : V ∈ A ⊆ S(X)} .

Como X − U es un conjunto cerrado en el espacio de Priestley 〈X,≤, τ〉, entonces X − U escompacto. Por lo tanto, existe una familia finita V1, . . . , Vn tal que X − U ⊆ (X − V1) ∪ . . . ∪(X − Vn). Entonces, X0 −U ⊆ (X0 − V1)∪ . . .∪ (X0 − Vn). Por lo tanto X0 −U es compacto.Como X0 − U es un abierto, entonces {X0 − U : U ∈ S(X)} ⊆ KO(X0).

Sea U ∈ KO(X0). Como U es un abierto, es union de elementos de {X0 − U : U ∈ S(X)}, yal ser compacto, es union finita de elementos de {X0 − U : U ∈ S(X)}. Como S(X) es cerrado

51


bajo intersecciones finitas, entonces {X0 − U : U ∈ S(X)} es cerrado bajo uniones finitas. Porlo tanto, U ∈ {X0 − U : U ∈ S(X)}. En consecuencia, KO(X0) = {X0 − U : U ∈ S(X)}.

Como ∅ ∈ S(X), entonces X0 = X0 − ∅ ∈ KO(X0), y por lo tanto X0 es compacto. Essencillo comprobar que X0 es T0.

Consideremos un subconjunto cerrado Y de X0 y una subfamilia {Ui = X0 − Vi : i ∈ I} dual-mente directa de abiertos y compactos de X0, es decir, es una subfamilia de S(X)c. Supon-gamos que Y ∩ Ui 6= ∅, para cada i ∈ I . Como F es cerrado, entonces existe una familia{Wk : k ∈ K} ⊆ S(X) tal que Y =

⋂{Wk : k ∈ K} . Como (X0 − Vi] = X − Vi, entonces

{X − Vi : i ∈ I} es tambien es una familia directa. En consecuencia la familia I = {Vi : i ∈ I}de elementos de S(X) es un ideal de orden. Consideremos el filtro F generado por la familia{Wk : k ∈ K}. Entonces es facil probar que F ∩ I = ∅. Luego existe un filtro primo o irreducibleP de S(X) tal que F ⊆ P y P ∩ I = ∅. Como 〈X,≤, τ,X0〉 un espacio de Priestley generaliza-do, existe un x ∈ X tal que ε(x) = P . Entonces x ∈ Y y x ∈ Vi, para todo i ∈ I . Por lo tantox ∈ Y ∩

⋂{X0 − Vi : i ∈ I}. Luego, 〈X0, τ0〉 es un DS-espacio compacto.

Sea 〈X,≤, τ,X0〉 un espacio de Priestley generalizado. De acuerdo al teorema anterior, el es-pacio 〈X0, τ0〉 es un DS-espacio, donde KO(X0) = {X0 − V : V ∈ S(X)}. Entonces

D(X0) = {U ⊆ X0 : X0 − U ∈ KO(X0)} .

Por lo tanto, U ∈ D(X0) si y solo si existe V ∈ S(X) tal que X0 − U = X0 − V . Es decir,U = V ∩X0. Entonces

D(X0) = {U ⊆ X0 : ∃V ∈ S(X) (U = V ∩X0)} .

Esta observacion sera utilizada en el siguiente teorema.

Teorema 3.37. Sean X e Y dos espacios de Priestley generalizados. Sea R ⊆ X × Y una ∧-relacion generalizada. Entonces la relacion

R0 = R ∩ (X0 × Y0),

es una ∧-relacion entre los DS-espacios X0 e Y0.

Demostracion. Sea U ∈ D(Y0). Entonces existe un V ∈ S(Y ) tal que U = V ∩X0. Probemosque hR0(U) = hR(V ) ∩ X0. Sea x ∈ hR(V ) ∩ X0. Entonces R(x) ⊆ V y x ∈ X0. Luego,R0(x) ⊆ V ∩ Y0 = U , es decir, x ∈ hR0(U).

Para la otra inclusion, supongamos que x ∈ hR0(U) pero x /∈ hR(V )∩X0. EntoncesR(x) * V.

Por lo tanto existe un y ∈ Y tal que y ∈ R(x) y y /∈ V . Luego, y ∈ Y − V = (Y0 − V ], es decir,existe un z ∈ Y0 tal que y ≤ z y z /∈ V . Como (x, y) ∈ R e y ≤ z, entonces (x, z) ∈ R. Luego,(x, z) ∈ R0, es decir, z ∈ R0(x) ⊆ U , pero esto implica que z ∈ U∩Y0 = V , lo que es imposible.Por lo tanto, x ∈ hR(V ) ∩X0.

Como hR0(U) = hR(V )∩X0,X0−hR0(U) = X0−hR(V ), y como hR(V ) ∈ S(X), entonceshR0(U) ∈ D(X0).

52


Probemos que la relacion R0 es punto cerrada. Sea (x, y) ∈ X0 × Y0, tal que y ∈ R0(x).Entonces y /∈ R(x). Como R es punto cerrada, existe un U ∈ S(Y ) tal que R(x) ⊆ U e y /∈ U .Entonces y /∈ U ∩Y0 = V ∈ D(Y0). Luego hemos encontrado un V ∈ D(Y0) tal que R0(x) ⊆ Ve y /∈ V . Por lo tanto R0 es punto cerrada.

53

4 Semiretıculos implicativos

De la misma manera en que se realizo para semiretıculos distributivos acotados, en este capıtulose hara la construccion de un espacio topologico asociado a los semiretıculos implicativos, llama-dos espacios generalizado de Esakia.

4.1. Definiciones preliminares

Recordemos la definicion de semiretıculos implicativos [15] y [16].

Definicion 4.1. Un semiretıculo implicativo, o IS-algebra, es un algebra 〈L,∧,→, 1〉 de tipo(2,2,0) tal que:

1. 〈L,∧, 1〉 es un semiretıculo,

2. para todo a, b, c ∈ L,a ∧ b ≤ c si y solo si a ≤ b→ c.

En la siguiente proposicion recopilamos algunas propiedades de las IS-algebras.

Proposicion 4.2. Sea L una IS-algebra. Entonces las siguientes propiedades son validas:

1. 1→ a = a, a→ 1 = 1.

2. b ≤ a→ b.

3. a ≤ b si y solo si a→ b = 1.

4. a ≤ (a→ b)→ b.

5. Si a ≤ b, entonces c→ a ≤ c→ b y b→ c ≤ a→ c.

6. a ∧ (a→ b) = a ∧ b.

7. a→ (b→ c) = (a ∧ b)→ c = (a→ b)→ (a→ c).

8. a→ (b ∧ c) = (a→ b) ∧ (a→ c).

9. ((a→ b)→ a)→ b = a→ b.

10. a→ (b→ a) = 1.

11. (a→ (b→ c))→ ((a→ b)→ (a→ c)) = 1.

54

4.1 Definiciones preliminares Semiretıculos implicativos

Demostracion. Ver [9].

Veamos ahora un ejemplo que sera de fundamental importancia en la representacion de los semi-retıculos implicativos.

Primero recordemos que dado un conjunto ordenado 〈X,≤〉 en el conjunto de todos los sub-conjuntos crecientes Pc(X) es posible definir una operacion binaria⇒ de la siguiente forma:

U ⇒ V = {x ∈ X : [x) ∩ U ⊆ V } ,

para cada U, V ∈ Pc(X). Notemos que la operacion⇒ tambien puede ser definida como

U ⇒ V = (U ∩ V c]c

para cada U, V ∈ Pc(X).

Lema 4.3. Para cada conjunto ordenado 〈X,≤〉 la estructura 〈Pc(X),∩,⇒, X〉 es un IS-alge-bra.

Definicion 4.4. Una IS-algebra L es acotada, si existe un elemento 0 ∈ L tal que 0 6= 1 yx ∧ 0 = 0, para todo x ∈ L.

Definicion 4.5. SeanA yB dos semiretıculos implicativos. Sea h : A→ B una funcion. Diremosque h es un homomorfismo de semiretıculos implicativos si satisface las siguientes condiciones:

1. h(1) = 1.

2. h(a −→ b) ≤ h(a)→ h(b), para todo a, b ∈ A.

Ahora probaremos que en semiretıculos implicativos la nocion de homomorfismo coincide conla nocion de homomorfismo de semiretıculo.

Proposicion 4.6. Sean A y B dos semiretıculos implicativos. Sea h : A→ B una funcion tal queh(1) = 1. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes.

1. h(a ∧ b) = h(a) ∧ h(b), para todo a, b ∈ A.

2. h(a −→ b) ≤ h(a)→ h(b), para todo a, b ∈ A.

Demostracion. 1)⇒ 2) Sean a, b ∈ A, de ıtem (6) de la Proposicion 4.2 se deduce que a ∧ (a→b) ≤ b. Como h satisface 1), h es una funcion monotona creciente. Luego h(a∧ (a→ b)) ≤ h(b).Nuevamente por 1) h(a ∧ (a→ b)) = h(a) ∧ h(a→ b) ≤ h(b). Y por definicion de implicacion,

h(a→ b) ≤ h(a)→ h(b).

2) ⇒ 1) Probemos primero que h es monotona creciente. Sea a ≤ b, entonces a → b ≤ 1. Deesta manera h(a → b) = h(1) = 1. Luego por 2) se tiene h(a → b) = 1 ≤ h(a) → h(b). Por lotanto h(a)→ h(b) = 1 y en consecuencia h(a) ≤ h(b).

55

4.2 Dualidad de Priestley para semiretıculos implicativos Semiretıculos implicativos

Como a ∧ b ≤ a y a ∧ b ≤ b entonces h(a ∧ b) ≤ h(a) y h(a ∧ b) ≤ h(b). Por lo tanto

h(a ∧ b) ≤ h(a) ∧ h(b).

Por ıtem (2) de la Proposicion 4.2 tenemos que a ≤ b→ a = 1 ∧ (b→ a) = (b→ b) ∧ (b→ a).Luego por ıtem (8) de la Proposicion 4.2 a ≤ b → (a ∧ b). Como h es monotona h(a) ≤ h(b →(a ∧ b)), entonces por 2) tenemos h(a) ≤ h(b)→ h(a ∧ b). Luego por definicion

h(a) ∧ h(b) ≤ h(a ∧ b).

4.2. Dualidad de Priestley para semiretıculos implicativos

Recordemos que un espacio de Esakia, es un espacio de Priestley X = 〈X, τ,≤〉 donde todoconjunto decreciente (U ] es clopen para cada clopen U .

Probaremos que un ∧-semiretıculo implicativo acotado L es isomorfo a S(Opt(L)). De estamanera, obtendremos un nuevo teorema de representacion para ∧-semiretıculos implicativos aco-tados y probaremos que un espacio generalizado de EsakiaX es isomorfo en orden y homeomorfoa Opt(S(X)).

Sean L un ∧-semiretıculo implicativo acotado. Para a, b ∈ L consideremos

β(a)→ β(b) = (β(a)− β(b)]c

= {x ∈ Opt(L) : [x) ∩ β(a) ⊆ β(b)}.

Lema 4.7. Sean L un ∧-semiretıculo implicativo acotado y a, b ∈ L. Entonces

β(a→ b) = β(a)→ β(b).

Demostracion. Probemos ⊆). Supongamos que x ∈ β(a → b) e y ∈ [x) ∩ β(a). Por un ladotenemos a → b ∈ x y por otro x ⊆ y y a ∈ y. Luego, a, a → b ∈ y, en consecuencia b ∈ y ey ∈ β(b). Por lo tanto, [x)∩ β(a) ⊆ β(b). Entonces x ∈ β(a)→ β(b), por lo tanto probamos queβ(a→ b) ⊆ β(a)→ β(b).⊇) Ahora supongamos que x ∈ β(a)→ β(b). Si x /∈ β(a→ b) entonces a→ b /∈ x. Sea F el

filtro de L generado por {a}∪x. Si existe c ∈ F ∩ (b] entonces existe d ∈ x tal que a∧d ≤ c ≤ b.De esta manera, d ≤ a → b y en consecuencia a → b ∈ x lo cual es una contradiccion. Porlo tanto, F ∩ (b] = ∅. Por teorema del filtro primo, existe y ∈ X(L) tal que F ⊆ y y b /∈ y,de lo cual se deduce que x ⊆ y, a ∈ y y b /∈ y. Luego, y ∈ [x) ∩ β(a) e y /∈ β(b). Entonces[x) ∩ β(a) * β(b) por lo que x /∈ β(a) → β(b), tenemos una contradiccion. Se concluye que, six ∈ β(a)→ β(b) entonces β(a)→ β(b) ⊆ β(a→ b).

SeaX un espacio de Priestley. Observemos que para cada clopenU enX tiene la forman⋃

i=1

(Ui−

56


Vi), donde Ui, Vi ∈ D(X) y para X un espacio de Esakia (U ] es clopen para cada clopen U de X .Sea X un espacio generalizado de Priestley, entonces cada clopen U en X tiene la forma

n⋃i=1

m⋂j=1

(Ui − Vj) donde Ui, Vj ∈ S(X).

Definicion 4.8. Sea X un espacio generalizado de Priestley y U un clopen en X . Llamaremos a

U clopen de Esakia si U =

n⋃i=1

(Ui − Vi) donde U1, . . . , Un, V1, . . . , Vn ∈ S(X).

Lema 4.9. Sea X un espacio generalizado de Priestley y U un clopen de Esakia en X . Entoncesmax(U) ⊆ X0.

Demostracion. Sea U un clopen de Esakia, entonces existe U1, . . . , Un, V1, . . . , Vn ∈ S(X) tal

que U =n⋃

i=1

(Ui − Vi). De esta manera

max(U) = max[n⋃

i=1

(Ui − Vi)] ⊆n⋃

i=1

max(Ui − Vi) =n⋃

i=1

max(Ui ∩ V ci ).

Dado que Ui es un conjunto creciente, V ci un conjunto decreciente y Vi ∈ S(X); es decir Vi es un

clopen admisible en X0; tenemos que max(Ui ∩ V ci ) ⊆ max(V c

i ) ⊆ X0. Por lo tanto,

max(U) ⊆n⋃

i=1

max(Ui ∩ V ci ) ⊆

n⋃i=1

max(V ci ) ⊆ X0.

Es importante senalar que la inversa del Lema 4.9 no es valida en general.

Definicion 4.10. Llamaremos a un espacio generalizado de Priestley X , espacio generalizado deEsakia si para cada clopen de Esakia U en X , se tiene que (U ] es clopen.

Para un espacio generalizado de Esakia X y U, V ∈ S(X), consideremos

U → V = (U − V ]c = {x ∈ X : [x) ∩ U ⊆ V }.

Proposicion 4.11.

1. Si L es un semiretıculo implicativo acotado, entonces

Opt(L) = 〈Opt(L), τ,⊆, X(L)〉

es un espacio generalizado de Esakia.

2. Si X es un espacio generalizado de Esakia, entonces

S(X) = 〈S(X),∩,→, X, ∅〉

57


es un ∧-semiretıculo implicativo acotado.

Demostracion. (1) Sea L un semiretıculo implicativo acotado. Entonces L es un semiretıculodistributivo acotado, luego Opt(L) es un espacio generalizado de Priestley. Sea U un clopen de

Esakia en Opt(L), sabemos que U =

n⋃i=1

(β(ai) − β(bi)) donde a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ L.

Por Lema 4.7β(ai) → β(bi) = (β(ai)− β(bi)]c = β(ai → bi) ∈ S(Opt(L)). Por lo tanto,

[β(ai) → β(bi)]c = (β(ai)− β(bi)] es un clopen en Opt(L) para cada i ≤ n. De esta manera,

(U ] =n⋃

i=1

(β(ai)− β(bi)] es un clopen en Opt(L) y en consecuencia Opt(L) es un espacio

generalizado de Esakia.(2) SeaX un espacio generalizado de Esakia, entoncesX es un espacio generalizado de Priestley

y 〈S(X),∩, X, ∅〉 es semiretıculo distributivo acotado. Sean U, V ∈ S(X), entonces U − V

es un clopen de Esakia. Ası, (U − V ] es un clopen en X y por Lema 4.9 max (U − V ] =

max(U − V ) ⊆ X0. Se deduce que U → V = (U − V ]c ∈ S(X).Por ultimo, probemos para cada U, V ∈ S(X), U ∩W ⊆ V si y solo si W ⊆ U → V .Consideremos que U ∩ W ⊆ V . Supongamos que x ∈ W tal que x /∈ U → V , entonces

[x) ∩ U * V . Por hipotesis, [x) ∩ U ⊆ W ∩ U ⊆ V , por lo tanto [x) ∩ U ⊆ V lo cual es unacontradiccion. Luego W ⊆ U → V .

Consideremos que W ⊆ U → V . Supongamos que x ∈ U ∩ W tal que x /∈ V , entoncesx ∈ U y x ∈ W . Por hipotesis, x ∈ U → V , entonces tenemos que [x) ∩ U ⊆ V . En particularx ∈ [x) ∩ U , por lo tanto x ∈ V , lo cual es una contradiccion. Luego U ∩W ⊆ V .

De esta manera probamos que 〈S(X),∩,→, X, ∅〉 es un semiretıculo implicativo acotado.De este resultado se concluye que para cada ∧-semiretıculo implicativo acotado L tenemos que

S(Opt(L)) = β[L]. Ası, obtenemos el siguiente teorema de representacion.

Teorema 4.12. (Teorema de Representacion) Para cada semiretıculo implicativo acotado L te-nemos que L ' S(Opt(L)), es decir, para cada ∧-semiretıculo implicativo acotado L existe unespacio generalizado de Esakia X tal que L es isomorfo a S(X).

58

5 Extension distributiva libre

Dado un semiretıculo distributivo acotado L, el retıculo distributivo acotado

D(L) = {U = β(a1) ∪ . . . ∪ β(an) : ai ∈ L}

juega un papel muy importante. En este capıtulo vamos a probar queD(L) puede ser caracterizadoen forma abstracta. Primero recordemos que en un semiretıculo distributivo L, y de acuerdo conel Teorema 3.14, los retıculos distributivos

D(ϕ [L]) = 〈D(ϕ [L]),∩,∪, X(L)〉

yD(β [L]) = 〈D(β [L]),∩,∪,Opt(L)〉

son isomorfos. Si L es acotado, entonces D(ϕ [L]) y D(β [L]) tambien son acotados. Para simpli-ficar la notacion escribiremos D(L) para denotar a cualquiera de estos retıculos distributivos.

5.1. Homomorfismos superiores

Recordemos que un homomorfismo de semiretıculos es una funcion que preserva el ınfimo, elultimo elemento y eventualmente el primer elemento. Para dar la definicion de extension distributi-va libre de un semiretıculo necesitaremos primero introducir una nueva nocion de homomorfismo.Vamos a definir aquellos homomorfismos de semiretıculos que preservan los supremos existentesy que juegan un papel importante en el estudio de la extension libre de un semiretıculo distributivo,como veremos en la seccion 5.2.

Ahora caracterizaremos a los homomorfismos de semiretıculos en terminos de filtros propios.

Proposicion 5.1. Sean L1 y L2 dos semiretıculos distributivos acotados. Consideremos una fun-cion h : L1 → L2. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. h−1(F ) ∈ Fi(L1), para todo filtro propio F de L2.

2. h es un homomorfismo acotado.

Demostracion. (1) ⇒ (2) Sean a, b ∈ L. Supongamos que h(a ∧ b) � h(a) ∧ h(b). Entoncesexiste un filtro primo P de L2 tal que h(a∧ b) ∈ P y h(a)∧h(b) /∈ P . Entonces a∧ b ∈ h−1(P ),y como P es filtro, h(a), h(b) /∈ P . Luego, a, b /∈ h−1(P ), lo que es imposible pues h−1(P ) esun filtro.

59

5.1 Homomorfismos superiores Extension distributiva libre

De forma similar podemos probar que h(a) ∧ h(b) ≤ h(a ∧ b). Como 1 ∈ h−1(F ) ∈ Fi(L1),para todo filtro F de L2, entonces h(1) = 1. Si h(0) 6= 0, entonces existe un filtro primo P de L2

tal que h(0) ∈ P . Luego, 0 ∈ h−1(P ), lo que es un absurdo pues h−1(P ) es un filtro propio.(2) ⇒ (1) Sea F ∈ Fi(L2). Como h(1) = 1, 1 ∈ h−1(F ). Como 0 = h(0), entonces

h−1(F ) 6= L1. Sean a, b ∈ L1 tal que a ≤ b y a ∈ h−1(F ). Luego, h(a) ≤ h(b), pues hes una funcion monotona. Entonces h(b) ∈ F , pues F es filtro. De esta forma obtenemos queb ∈ h−1(F ). Supongamos que a, b ∈ h−1(F ). Entonces h(a), h(b) ∈ F , y como F es filtro,h(a)∧ h(b) = h(a∧ b) ∈ F , es decir, a∧ b ∈ h−1(F ). Por lo tanto h−1(F ) es un filtro propio deL1.

En general, si L1 y L2 son dos semiretıculos distributivos acotados y h : L1 → L2 es un ho-momorfismo, no necesariamente deben preservar los supremos existentes. Ahora definiremos unaclase particular de homomorfismo de semiretıculos que seran justamente aquellos que preservenlos supremos existentes.

Definicion 5.2. Sean L1 y L2 dos semiretıculos distributivos acotados y h : L1 → L2 es unhomomorfismo. Diremos que h preserva todos los supremos finitos existentes, o que es un sup-homomorfismo, o que es un homomorfismo superior, si para cada a1, . . . , an ∈ L1, si existea1 ∨ · · · ∨ an en L1, entonces h(a1) ∨ · · · ∨ h(an) existe en L2 y ademas

h(a1 ∨ · · · ∨ an) = h(a1) ∨ · · · ∨ h(an).

Teorema 5.3. Sean L1 y L2 dos semiretıculos distributivos acotados y h : L1 → L2 es unhomomorfismo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Para cada a1, . . . , an, b ∈ L1, sin⋂

i=1

[ai) ⊆ [b), implica quen⋂

i=1

[h(ai)) ⊆ [h(b)).

2. h−1(I) es un ideal de Frink de L1 para cada ideal de Frink I de L2.

3. h−1(P ) es un filtro optimal de L1 para cada filtro optimal P de L2.

4. h preserva todos los supremos finitos existentes.

Demostracion. (1) ⇒ (2) Sea I un ideal de Frink de L2. Sean a1, . . . , an ∈ h−1(I) y b ∈ L tal

quen⋂

i=1

[ai) ⊆ [b). Entonces h(a1), . . . , h(an) ∈ I . Comon⋂

i=1

[h(ai)) ⊆ [h(b)) e I es un ideal

de Frink de L2, tenemos que h(b) ∈ I . Es decir, b ∈ h−1(I). Por lo tanto, h−1(I) es un ideal deFrink de L1.

(2) ⇒ (3) Supongamos que P es filtro optimal P de L2. Como H es un homomorfismo desemiretıculos distributivos, h−1(P ) es un filtro. Como P c = L2 − P es un ideal de Frink de L2,entonces h−1(P c) = h−1(P )c es un ideal de Frink de L1. En consecuencia, h−1(P ) es un filtrooptimal de L1.

(3)⇒ (4) Supongamos que a1, . . . , an ∈ L1 y que existe el supremo a1 ∨ · · · ∨ an. Como h esun homomorfismo de semiretıculos, entonces h es monotona. Luego h(ai) ≤ h(a1∨· · ·∨an), para

60

5.2 Construccion de la extension distributiva libre Extension distributiva libre

cada 1 ≤ i ≤ n. Es decir, h(a1 ∨ · · · ∨ an) es una cota superior del conjunto {h(a1), . . . , h(an)}.Sea c otra cota superior de {h(a1), . . . , h(an)} y supongamos que h(a1 ∨ · · · ∨ an) � c. Entoncespor el teorema del Filtro Optimal, existe un optimal P de L2 tal que h(a1 ∨ · · · ∨ an) ∈ P yc /∈ P . Como h(ai) ≤ c para cada 1 ≤ i ≤ n, entonces h(ai) /∈ P , es decir, ai /∈ h−1(P ),para cada 1 ≤ i ≤ n. Como L1 es distributivo, el retıculo Fi(L1) es distributivo. Ademas comoexiste el supremo a1 ∨ · · · ∨ an entonces tenemos que [a1 ∨ · · · ∨ an) = [a1) ∩ · · · ∩ [an) . Comoconsecuencia de que h−1(P ) es optimal, a1 ∨ · · · ∨ an /∈ h−1(P ), es decir, h(a1 ∨ · · · ∨ an) /∈ P ,lo que es una contradiccion. Por lo tanto existe el supremo del conjunto {h(a1), . . . , h(an)}.

Notemos que como h es creciente y existe el supremo h(a1) ∨ · · · ∨ h(an), entoncesh(a1) ∨ · · · ∨ h(an) ≤ h(a1 ∨ · · · ∨ an). Si suponemos que la otra desigualdad no es verdadera,entonces existe un filtro optimal P de L2 tal que h(a1 ∨ · · · ∨an) ∈ P y h(a1)∨ · · · ∨h(an) /∈ P .De donde obtenemos que h(ai) /∈ P , es decir, ai /∈ h−1(P ), para cada 1 ≤ i ≤ n. Razonandoigual que antes y teniendo en cuenta que [a1 ∨ · · · ∨ an) = [a1) ∩ · · · ∩ [an) y que h−1(P ) es unfiltro optimal de L1, concluımos que a1 ∨ . . . ∨ an /∈ h−1(P ), lo que es una contradiccion. Conesto hemos probado que h(a1) ∨ · · · ∨ h(an) = h(a1 ∨ · · · ∨ an).

Los sup-homomorfismos que son ademas un isomorfismo de orden (y por lo tanto inyectivos)cumplen una propiedad adicional que sera de utilidad mas adelante.

Lema 5.4. Sean L1 y L2 dos semiretıculos distributivos acotados y h : L1 → L2 es un sup-homomorfismo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. h es un isomorfismo de orden.

2. Sin⋂

i=1

[h(ai)) ⊆ [h(b)), entoncesn⋂

i=1

[ai) ⊆ [b), para cada a1, . . . , an, b ∈ L1.

Demostracion. (1) Sea h es un isomorfismo de orden. Sean a1, . . . , an, b ∈ L1 y supongamos quen⋂

i=1

[h(ai)) ⊆ [h(b)). Sea d ∈n⋂

i=1

[ai). Entonces ai ≤ d, y como h es creciente, h(ai) ≤ h(d),

para cada 1 ≤ i ≤ n. Luego, h(d) ∈n⋂

i=1

[h(ai)) ⊆ [h(b)), es decir, h(b) ≤ h(d), y al ser h un

isomorfismo de orden, b ≤ d. Por lo tanton⋂

i=1

[ai) ⊆ [b).

(2) ⇒ (1) Sean a, b ∈ L1 tales que h(a) ≤ h(b), es decir [h(b)) ⊆ [h(a)). Luego, [a) ⊆ [b).Por lo tanto b ≤ a.

5.2. Construccion de la extension distributiva libre

Definicion 5.5. Sea L un semiretıculo distributivo. Diremos que un par 〈D, e〉 es una extensionlibre de L, o que es el distributive lattice envelope de L, si

1. D es un retıculo distributivo,

61


2. e : L→ D es un homomorfismo superior inyectivo, y

3. Para cada elemento de a ∈ D existe un subconjunto finito no vacıo X ⊆ L tal que a =∨e[X].

Para denotar a una extension libre de L vamos a escribir 〈D, e〉 o directamente D, si no hayriesgo de confusion. Notemos que si D es una extension distributiva libre de L, entonces e [L]

genera al retıculo D. Ahora vamos a probar que una extension libre cumple cierta propiedad deextension, que existe y que ademas es unica, salvo isomorfismos.

Teorema 5.6. Sea L un semiretıculo distributivo. Sea 〈D, e〉 una extension distributiva libre deL. Entonces para cada retıculo distributivo D1 y para cada homomorfismo superior f : L→ D1

existe un unico homomorfismo f : D → D1, tal que f = f ◦ e.

Demostracion. Supongamos que 〈D, e〉 es una extension libre de L. Sea D1 un retıculo distribu-tivo y sea f : L→ D1 un homomorfismo superior. Probemos que existe un unico homomorfismof : D → D1, tal que f = f ◦ e.

Sean a, b ∈ D. Por la propiedad (2) de la Definicion 5.5, existen subconjuntos finitos {x1, . . . , xn}y {y1, . . . , yk} de L tales que

a = e(x1) ∨ · · · ∨ e(xn) y b = e(y1) ∨ · · · ∨ e(yk).

Supongamos que a = b, es decir, e(x1) ∨ · · · ∨ e(xn) = e(y1) ∨ · · · ∨ e(yk). Entonces,

[e(x1)) ∩ · · · ∩ [e(xn)) = [e(y1)) ∩ · · · ∩ [e(yk)) .

Luego,[e(x1)) ∩ · · · ∩ [e(xn)) ⊆ [e(yj)) ,

para todo 1 ≤ j ≤ k. Como e es un homomorfismo superior inyectivo tenemos que

[x1) ∩ · · · ∩ [xn) ⊆ [yj)

para todo 1 ≤ j ≤ k. Como f es un homomorfismo superior

[f(x1)) ∩ · · · ∩ [f(xn)) ⊆ [f(yj)) ,

para todo 1 ≤ j ≤ k. Por lo tanto

[f(x1)) ∩ · · · ∩ [f(xn)) ⊆ [f(y1)) ∩ · · · ∩ [f(yk)) .

Aplicando un argumento similar podemos probar la otra inclusion, con lo cual obtendremos laigualdad

[f(x1)) ∩ · · · ∩ [f(xn)) = [f(y1)) ∩ · · · ∩ [f(yk)) ,

y teniendo en cuenta que D es un retıculo deducimos que

f(x1) ∨ · · · ∨ f(xn) = f(y1) ∨ · · · ∨ f(yk).

62


Por lo tanto podemos definir una funcion f : D → D1 como

f(a) = f(x1) ∨ · · · ∨ f(xn),

donde a = e(x1)∨· · ·∨e(xn) para algun conjunto finito {x1, . . . , xn} deL. Es sencillo comprobarque f es un homomorfismo de retıculos. Ademas, si x ∈ L, entonces

(f ◦ e)(x) = f(e(x)) = f(x).

Por lo tanto f = f ◦ e.Probemos que la funcion f es unica. Supongamos que existe otra funcion g : D → D1 tal

que f = g ◦ e. Sea a ∈ D. Entonces existe un conjunto finito {x1, . . . , xn} ⊆ L tal que a =

e(x1) ∨ · · · ∨ e(xn). Luego,

g(a) = g(e(x1) ∨ · · · ∨ e(xn)) = g(e(x1)) ∨ · · · ∨ g(e(xn))

= f(x1) ∨ · · · ∨ f(xn) = f(e(x1)) ∨ · · · ∨ f(e(xn))

= f(e(x1) ∨ · · · ∨ e(xn)) = f(a).

Por lo tanto g = f .

Teorema 5.7. Sea L un semiretıculo distributivo. Sea 〈D, e〉 una extension distributiva libre deL. Sea D1 un retıculo distributivo y sea f : L→ D1 un homomorfismo superior. Entonces

(1) Si f es inyectiva, entonces f es inyectiva.

(2) Si f es sobreyectiva, entonces f es sobreyectiva.

Demostracion. (1) Sean a, b ∈ D tales que f(a) = f(b). Entonces existen subconjuntos finitos{x1, . . . , xn} y {y1, . . . , yk} de L tales que a = e(x1) ∨ · · · ∨ e(xn) y b = e(y1) ∨ · · · ∨ e(yk).Luego,

f(a) = f(e(x1) ∨ · · · ∨ e(xn)) = f(e(y1) ∨ · · · ∨ e(yk)) = f(b).

Ya que f es un homomorfismo superior tenemos que f(e(x1)) ∨ · · · ∨ f(e(xn)) = f(e(y1)) ∨· · · ∨ f(e(yk)) y por lo tanto[

f(e(x1)))∩ · · · ∩

[f(e(xn)

)=[f(e(y1))

)∩ · · · ∩

[f(e(yk)

).

Como [f(e(x1))) ∩ · · · ∩ [f(e(xn)) ⊆ [f(e(yj))) para cada 1 ≤ j ≤ k y f es un homomorfismosuperior inyectivo, entonces

[e(x1)) ∩ · · · ∩ [e(xn)) = [e(x1) ∨ · · · ∨ e(xn)) ⊆ [e(yj))

para cada 1 ≤ j ≤ k. Luego, e(yj) ≤ e(x1)∨ · · · ∨ e(xn) para cada 1 ≤ j ≤ k y en consecuenciae(y1)∨· · ·∨e(yk) ≤ e(x1)∨· · ·∨e(xn). Utilizando un argumento similar obtenemos la desigualdad

63


e(x1) ∨ · · · ∨ e(xn) ≤ e(y1) ∨ · · · ∨ e(yk). Entonces,

a = e(x1) ∨ · · · ∨ e(xn) = e(y1) ∨ · · · ∨ e(yk) = b.

Por lo tanto f es inyectiva.(2) Es inmediato.

Ahora probaremos que la extension distributiva libre existe y es unica. Como veremos en laprueba del siguiente teorema, el par 〈D(L), β〉, o el par 〈D(L), ϕ〉, o directamente D(L) es elejemplo canonico de extension distributiva libre.

Teorema 5.8. Sea L un semiretıculo distributivo. Entonces la extension libre de L existe y esunica, salvo isomorfismos.

Demostracion. Consideremos el par 〈D(L), β〉. Sabemos que β : L→ D(L) es un homomorfis-mo superior inyectivo y que ademas β [L] genera al retıculo distributivo D(L). Por lo tanto el par〈D(L), β〉 es una extension distributiva libre de L.

Ahora vamos a probar que si 〈D1, e1〉 y 〈D2, e2〉 son dos extensiones distributivas libres, enton-ces D1 es isomorfo a D2. Como 〈D1, e1〉 es una extension distributiva libre y e2 : L→ D2 es unhomomorfismo superior inyectivo, entonces existe un unico homomorfismo inyectivo e2 : D1 →D2 tal que e2 ◦e1 = e2. Probemos que la funcion e2 : D1 → D2 es biyectiva. Por el lema anterior,como e2 es inyectiva, e2 es inyectiva. Veamos que es sobreyectiva. Sea b ∈ D2. Entonces existeuna familia finita {x1, . . . , xn} de L tal que b = e2(x) ∨ . . . ∨ e2(xn). Consideremos el elementoa = e1(x1) ∨ . . . ∨ e1(xn)∈ D1. Entonces

e2(a) = e2(e1(x1) ∨ . . . ∨ e1(xn))

= e2(e1(x1)) ∨ . . . ∨ e2(e1(xn))

= (e2 ◦ e1)(x1) ∨ . . . ∨ (e2 ◦ e1)(xn)

= e2(x) ∨ . . . ∨ e2(xn).

Por lo tanto e2 es biyectiva, entonces es un isomorfismo de retıculos.

Lema 5.9. Sea L un semiretıculo distributivo. Sea 〈D, e〉 su extension libre. Entonces

1. [e [F ]) ∈ Fi(D), para cada F ∈ Fi(L),

2. e−1(H) ∈ Fi(L), para cada H ∈ Fi(D).

Demostracion. (1) Consideremos un filtro F ∈ Fi(L). Sean a, b ∈ [e [F ]). Entonces existef1, f2 ∈ F tal que e(f1) ≤ a y ϕ(f2) ≤ b. Entonces e(f1 ∧ f2) ≤ a ∧ b, y como f1 ∧ f2 ∈ F ,entonces a ∧ b ∈ [e [F ]). Claramente [e [F ]) es creciente y ademas 1 ∈ [e [F ]). Por lo tanto[e [F ]) ∈ Fi(D).

(2) SeaH ∈ Fi (D). Sean a, b ∈ L tal que a ≤ b y a ∈ e−1(H). Entonces e(a) ∈ H y dado quee es un homomorfismo creciente tenemos que e(a) ≤ e(b) . En consecuencia e(b) ∈ H . Luegob ∈ e−1(H). Por lo tanto e−1(H) ∈ Fi(L).

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5.3 Aplicaciones Extension distributiva libre

5.3. Aplicaciones

Vamos a finalizar este trabajo demostrando algunas aplicaciones de la extension distributivalibre de un semiretıculo distributivo. Vamos a analizar la relacion que existe entre ideales de Frinke ideales de Frink primos de un semiretıculos distributivo L, e ideales e ideales primos de laextension libre 〈D, e〉.

Recordemos que un ideal de Frink I es primo si a ∈ I o b ∈ I , cuando a ∧ b ∈ I . Vamosa denotar con IFp(L) el conjunto ordenado de los ideales de Frink primos de L. El conjuntoordenado de los ideales primos de un retıculo distributivo L es denotado por Idp(L).

Teorema 5.10. Sea L un semiretıculo distributivo. Sea 〈D, e〉 su extension libre. Entonces

1. IdF (L) ∼= Id(D).

2. IdFp(L) ∼= Idp(D) .

Demostracion. (1) Consideremos J ∈ IdF (L). Entonces sea I(e(J)) el ideal generado por e(I)

en D. Es decir, a ∈ I(e(J)) si y solo si existen a1, . . . , an ∈ J tales que a = e(a1)∨ · · · ∨ e(an).Definimos la aplicacion

α : IdF (L)→ Id(D)

porα(J) = I(e(J)),

para cada J ∈ IdF (L).Veamos que α es un isomorfismo de orden sobreyectivo. Sean J1, J2 ∈ IdF (L). Es claro que si

J1 ⊆ J2 entonces I(e(J1)) ⊆ I(e(J2)). Para probar la otra inclusion, supongamos que I(e(J1)) ⊆I(e(J2)) y que J1 * J2. Entonces existe un elemento a ∈ J1 tal que a /∈ J2. Como a ∈ J1,entonces e(a) ∈ e(J1) ⊆ I(e(J1)) ⊆ I(e(J2)). Entonces existen a1, . . . , an ∈ J2 tales quee(a) ≤ e(a1)∨· · ·∨e(an). Entonces

⋂[e(ai)) ⊆ [e(a)), y como e es un homomorfismo superior

inyectivo obtenemos⋂

[ai) ⊆ [a). Ya que a1, . . . , an ∈ J2 y J2 es un ideal de Frink, a ∈ J2, loque es un absurdo. Por lo tanto, J1 ⊆ J2.

Veamos que α es sobreyectiva. Consideremos un ideal H ∈ Id(D). Veamos que e−1(H) ∈IdF (L). Sean a1, . . . , an ∈ e−1(H) y supongamos que

⋂[ai) ⊆ [a). Entonces e(a1), . . . , e(an) ∈

H . Como H es un ideal e(a1) ∨ . . . ∨ e(an) ∈ H , y como es decreciente e(a) ∈ H . Luego,a ∈ e−1(H). Por lo tanto e−1(H) ∈ IdF (L).

Como e−1(H) es un ideal de Frink, veamos ahora queα(e−1(H)) = H , es decir, I(e(e−1(H))) =

H . Sea a ∈ H . ComoH es un ideal deD, existen a1, . . . , an ∈ L tales que a = e(a1)∨· · ·∨e(an).Como e(ai) ≤ a ∈ H , entonces e(ai) ∈ H . Luego ai ∈ e−1(H) y en consecuencia, e(ai) ∈e(e−1(H)) ⊆ I(e(e−1(H))). Por lo tanto, a = e(a1) ∨ · · · ∨ e(an) ∈ I(e(e−1(H))).

Para la otra inclusion, consideremos a ∈ I(e(e−1(H)), entonces existen a1, . . . , an ∈ e−1(H)

tales que a = e(a1) ∨ · · · ∨ e(an). Como e(ai) ∈ H y al ser H un ideal de D, a = e(a1) ∨ · · · ∨e(an)∈ H .

(2) Sea J un ideal de Frink primo. Veamos que α(J) = I(e(J)) es un ideal primo de D. Seaa ∧ b ∈ I(e(J)). Entonces existen a1, . . . , an, b1, . . . , bk ∈ L tal que a = e(a1) ∨ · · · ∨ e(an) y

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b = e(b1) ∨ · · · ∨ e(bk). Luego,

a ∧ b =

n∨i=1

e(ai) ∧k∨

l=1

e(bl) =∨i,l

(e(ai) ∧ e(bl)) ∈ I(e(J)).

Entonces e(ai)∧ e(bl) = e(ai ∧ bl) ∈ e(J). Luego, al ser J primo, y e inyectivo, ai ∈ J o bl ∈ J .Si observamos la secuencia a1∧b1, . . . , a1∧bk y suponemos que a1 /∈ J , entonces b1, . . . , bk ∈ J

y en consecuencia, b =k∨

l=1

e(bl) ∈ I(e(J)).En caso contrario tendrıamos que a1 ∈ J . Ahora si

observamos la secuencia a2 ∧ b1, . . . , a2 ∧ bk y suponemos que a2 /∈ J , entonces tenemos que

b =k∨

l=1

e(bl) ∈ I(e(J)). En caso contrario obtendrıamos que a2 ∈ J . Siguiendo ası podemos

seguir con el razonamiento para cada secuencia ai ∧ b1, . . . , ai ∧ bk y suponiendo que ai /∈ J ,

obtenemos que b =k∨

l=1

e(bl) ∈ I(e(J)), o ai ∈ J . Por lo tanto, a =n∨

i=1

e(ai) ∈ I(e(J)) o

b =k∨

l=1

e(bl) ∈ I(e(J)). Entonces I(e(J)) es un ideal primo de D.

Consideremos un ideal H ∈ Idp(D). Sabemos que e−1(H) ∈ IdF (L). Sean a, b ∈ L tal quea∧b ∈ e−1(H). Entonces e(a∧b) = e(a)∧e(b) ∈ H , y comoH es primo, e(a) ∈ H o e(b) ∈ H .Es decir, a ∈ e−1(H) o b ∈ e−1(H). Por lo tanto, e−1(H) es un ideal de Frink primo.

Ahora vamos a estudiar la relacion que existe entre filtros optimales de un semiretıculo distri-butivo L y su extension distributiva libre D(L).

Teorema 5.11. Sea L un semiretıculo distributivo. Sea 〈D, e〉 la extension libre de L. Entonces

1. Si F ∈ Opt(L), entonces [e(F )) ∈ X(D).

2. Si P ∈ X(D), entonces e−1(P ) ∈ Opt(L) y ademas P =[e(e−1(P ))

).

Demostracion. (1) Consideremos F ∈ Opt(L). Es sencillo comprobar que [e(F )) es un filtro deD(L). Sean a, b ∈ D(L) tales que a ∨ b ∈ [e(F )). Entonces existe f ∈ F tal que ϕ(f) ≤ a ∨ b.Como a, b ∈ D(L), existen b1, . . . , bn, a1, . . . , an ∈ L tales que a = e(a1) ∨ · · · ∨ e(an) yb = e(b1) ∨ · · · ∨ e(bm). Entonces e(f) ≤ e(b1) ∨ · · · ∨ e(bn) ∨ e(c1) ∨ · · · ∨ e(cm), y por elTeorema 3.12, [a1)∩· · ·∩ [an)∩ [b1)∩· · ·∩ [bm) ⊆ [f). Como f ∈ F y F es optimal, existe algunai ∈ F para 1 ≤ i ≤ n, o existe un bj ∈ F , para 1 ≤ j ≤ m. Entonces existe algun e(ai) ∈ e(F )

para 1 ≤ i ≤ n, o existe un e(bj) ∈ e(F ), para 1 ≤ j ≤ m. Luego, a ∈ [e(F )) o b ∈ [e(F )). Porlo tanto [e(F )) es primo.

(2) Sea P ∈ X(D(L)). Es facil comprobar que e−1(P ) es un filtro optimal de L. Tambien essencillo comprobar que

[e(e−1(P ))

)⊆ P . Sea a ∈ P . Entonces existen a1, . . . , an ∈ L tales que

a = e(a1) ∨ · · · ∨ e(an). Como P es un filtro primo de D(L), entonces existe un ai ∈ L tal quee(ai) ∈ P . Luego ai ∈ e−1(P ) y en consecuencia e(ai) ∈ e(e−1(P )) ⊆

[e(e−1(P ))

).

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Teorema 5.12. SeaL un semiretıculo distributivo y sea 〈D, e〉 su extension libre. Entonces Opt(L) ∼=X(D).

Demostracion. Consideremos la aplicacion λ : Opt(L)→ X(D) definida por

λ(F ) = [e(F )) .

Por afirmacion (1) del Teorema anterior λ esta bien definida. Tambien sabemos que es sobreyec-tiva. Veamos que λ es un isomorfismo de orden. Sean F1, F2 ∈ Opt(L) tales que F1 ⊆ F2.Sea a ∈ [e(F1)). Entonces existe un f ∈ F1 tal que e(f) ≤ a. Como a ∈ D, entonces existena1, . . . , an ∈ L tales que a = e(a1)∨· · ·∨e(an). Luego de e(f) ≤ e(a1)∨· · ·∨e(an) y teniendoen cuenta que e es un homomorfismo superior inyectivo, obtenemos que [a1) ∩ · · · ∩ [an) ⊆ [f),y como F1 es optimal, existe un ai ∈ F1. Luego e(ai) ∈ e(F1) ⊆ [e(F1)) ⊆ [e(F2)). Entoncese(ai) ∈ [e(F2)) y por lo tanto a ∈ [e(F2)).

Si [e(F1)) ⊆ [e(F2)), entonces es facil comprobar que F1 ⊆ F2. Por lo tanto λ es un isomorfis-mo de orden y en consecuencia Opt(L) ∼= X(D).

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Documents

Espacios de Priestley generalizados