Esercizi per il Parziale 2, Prof. Fioresi, 2014

1. Cambi di base, determinante e inversa

1. Si trovino le coordinate del vettore v = (1,1, 2) espresso nella basecanonica, rispetto alla base B = {(1,4, 3), (5, 3,2), (4, 7, 0)}. Erichiesto luso della matrice del cambio di base.

2. Si trovino le coordinate del vettore p = 6 + 3t t2 R2[t] rispettoalla base B = {1 + t, 1 + t2, t+ t2}. E richiesto luso della matrice delcambio di base.

3. Sia T : R3 R3 lapplicazione lineare associata alla matrice A,rispetto alla base canonica:

A =

0 1 k1 2 0k k k + 4

a) Si dica per quali valori del parametro k si ha che T non e` iniettiva,per quali valori non e suriettiva e per quali valori non e biunivoca.

b) Posto k = 0, si calcoli linversa di A e linversa di T .

c) Sia B = {(1, 1, 0), (1, 2, 0), (0,1, 1)} unaltra base di R3. Scriverela matrice associata a T rispetto alla base canonica nel dominio e allabase B nel codominio.

4. Si consideri lapplicazione lineare:

T : R3 R3

(x, y, z) 7 (x+ 2y z, 3x y + z, 3x+ 4y + z)

a) Sia B = {(1,2, 0), (0,1, 1), (1,1, 0)} una base di R3. Scrivere lamatrice associata a T rispetto alla base alla base B nel dominio e allabase canonica nel codominio.

b) Si determini se T e un isomorfismo e nel caso lo sia si calcoli T1.

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2. Autovalori e Autovettori

1. Sia data lapplicazione lineare T : R2 R2 che nella base canonicae associata alla matrice:

A =

(1 17 7

)

a) Si calcolino autovalori e autovettori.

b) Lapplicazione T e diagonalizzabile? Si motivi accuratamente larisposta. In caso affermativosi scriva esplicitamente una opportunabase B.

c) Si scriva una matrice non diagonale simile ad A, ma diversa da A.

2. Si dia con chiarezza la definizione di matrici simili e si dimostri chematrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. E vero anche ilcontrario?

3. Si enunci con chiarezza la definizione di autovalore e di autovettore diuna applicazione lineare.

4. Si dica con chiarezza cosa significa che una applicazione lineare e` diag-onalizzabile.

5. Sia T : R2 R2 lapplicazione lineare associata alla matrice A,rispetto alla base canonica.

A =

(9 k5 9

)

a) Si determini per quali valori di k la matrice e diagonalizzabile.

b) Posto k = 0 Si calcolino autovalori e autovettori. e si scriva (se pos-sibile) una base B di R2 rispetto alla quale la matrice di T e` diagonale.

2

6. Data la matrice:

A =

2 3 30 5 30 3 1

a) Si calcolino autovalori e autovettori di A.

b) Si stabilisca se A e` diagonalizzabile e in caso affermativo, si determiniuna matrice diagonale D simile ad A.

3. Prodotti scalari, ortogonalita e Teorema di Rouche-Capelli

1. Si enunci con chiarezza il Teorema di Rouche`-Capelli e se ne dia unesempio significativo.

2. Si enunci con chiarezza la definizione di rango di una matrice.

3. Sia dato il sottospazio vettoriale W R4:

W = span{(1,1, 0, 1), (2,1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)}

a) Si determini W.

b) Si determini una base ortogonale per W e una base ortogonale perW rispetto al prodotto scalare standard in R4.

c) La base trovata al punto (b) resta una base ortogonale anche rispettoal prodotto scalare:

(x1, x2, x3, x4), (y1, y2, y3, y4) = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3 + 4x4y4 ?

d) Il prodotto scalare del punto (c) e definito positivo? E non de-genere? Si motivi la risposta.

e) Si scriva il prodotto scalare del punto (c) nella base

B = {(1, 1, 1,1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 2)}

3

4. Dato il sistema lineare: x1 + 2x2 = 1

3x1 + x2 x3 = 0

2x1 x2 x3 = k

Si determinino i valori di k per i quali il sistema ammette soluzione esi ricavino tutte le soluzioni.

5. Si enunci con chiarezza la formula di Grassmann.

4. Forme quadratiche e teorema spettrale

1. Data la forma quadratica q(x1, x2) = 5x2

1 4x1x2 + 5x

2

2.

a) Si scriva la matrice ad essa associata nella base canonica.

b) Si scriva la forma quadratica in forma canonica q(x1, x2) = ax2

1+bx2

2

per opportuni a e b.

c) Si disegni nel piano la curva q(x1, x2) = 48.

2. Data la forma quadratica q(x1, x2) = 3x2

1+ 2x2

2+ x2

3+ 4x1x2 + 4x2x3.

a) Si scriva la matrice A ad essa associata nella base canonica.

b) Si dica se q e definita positiva.

c) Si trovi (se possibile) una matrice P tale che D = P1AP sia diag-onale.

d) Si scriva la forma quadratica q1 associata a D e si stabilisca larelazione sussiste tra q1 e q.

3. Si disegni la curva x21 8x1x2 5x

2

2= 16.

4. Diagonalizzare tramite una trasformazione ortogonale la seguente ma-trice:

3 1 11 3 11 1 3

4

5. Diagonalizzare tramite una trasformazione ortogonale la seguente ma-trice:

3 2 42 6 24 2 3

6. Diagonalizzare tramite una trasformazione unitaria la seguente matrice:

(0 2i2i 0

)

7. Diagonalizzare tramite una trasformazione unitaria la seguente matrice:

(1 1 + i

1 i 0

)

8. Per ciascuno dei quattro esercizi precedenti si scriva il prodotto scalare(hermitiano nel caso delle ultime due matrici) associato a ciascuna dellematrici e si stabilisca se e non degenere e/o definito positivo.

9. Dimostrare che il prodotto di matrici ortogonali e una matrice ortog-onale. Se si intende usare un risultato (che non sia quanto si devedimostrare!) e necessario enunciarlo chiaramente. Si dimostri inoltreche le matrici ortogonali formano un gruppo.

10. Si dimostri che se A e una matrice simmetrica reale allora A ammettesempre un autovalore reale.

11. Si dimostri che un prodotto scalare reale definito positivo su V induceun isomorfismo tra V e V il suo duale.

12. Si dia una dimostrazione sintetica del fatto che dim(V ) = dim(V ).

13. Sia in R2 la base canonica e la base canonica duale e1e e

2. Si scriva

esplicitamente lapplicazione lineare e1+ e

2.

14. Si dia con chiarezza la definizione di prodotto tensoriale di due spazivettoriali e si enunci la proprieta universale del prodotto tensoriale.

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Facsimile di Parziale 2

Esercizio 1: Esercizio 3 della sezione cambio di base.

Esercizio 2: Esercizio 2, 4, 5 della sezione autovalori e autovettori.

Esercizio 3: Esercizio 3 della sezione ortogonalita e prodotti scalari,esercizi 9, 10 della sezione Forme quadratiche.

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