Esta semana logrará

25Repaso: semanas 18 a 24

Esta semana logrará:

Repasar los contenidos de la semana 18 a la 24.

Realizar los ejercicios del repaso para prepararse para la tercera prueba parcial.

Resolver problemas aplicando los conocimientos aprendidos en las semanas 18 a 24.

107Matemática − Semana 25

Querida y querido estudiante:

Se aproxima la tercera prueba parcial y debe prepararse adecuadamente, repasando los conteni-dos de la semana 18 a la 24.

Para aprovechar este repaso le recomendamos:

• Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles.

• Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar.

• Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno.

• Escuche la clase radial. Sus profesores locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios.

• Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.

¿Cómo será la prueba de evaluación?

La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana.

En la prueba encontrará:

• Una serie de agilidad mental para medir su destreza y rapidez de cálculo, en un tiempo límite de tres minutos.

• Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted resolvió en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:

responder preguntas,

rellenar el círculo de la opción correcta,

realizar operaciones y

resolver problemas.

• Cuando resuelva ejercicios y problemas debe dejar escrito el procedimiento.

• Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada.

Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.

108 IGER − Zaculeu

Ángulos1. Un ángulo es la abertura que hay entre dos líneas rectas que se unen en un punto llamado vértice.

Se puede representar con cualquier letra minúscula: a, b, c…

Los elementos que componen un ángulo son:

2. Clasificación de ángulos

Un ángulo se clasifica por su abertura y por su relación con otro ángulo.

2.1 Clasificación por su abertura

ángulo rectoa = 90º

ángulo agudob < 90º

ángulo obtuso180º > c > 90º

ángulo llanod = 180º

ángulo completoe = 360º

a b c d

e

2.2 Clasificación por su relación con otro ángulo

a. ángulos complementarios b. ángulos suplementarios Son dos ángulos que suman 90°. Son dos ángulos que suman 180°. a + b = 90º a + b = 180°

a

b a b

3. Complemento y suplemento de ángulos desconocidos

Para calcular ángulos complementarios o suplementarios de ángulos desconocidos:

• Planteamos una ecuación de primer grado sustituyendo los valores de a y b por sus medidas indicadas.

• Despejamos la incógnita x y operamos. • Hallamos el valor de cada ángulo sustituyendo x por su valor.

• Líneas (lados): L1, L2

• Vértice: A

• Abertura: a lado te

rminal

L 2

lado inicial L1A

a


El mundo de la matemática

Ejercicio 1Explique con sus palabras la diferencia entre:

1) Un ángulo agudo y un ángulo obtuso.

2) Dos ángulos suplementarios y dos ángulos complementarios.

Ejercicio 2Clasifique cada ángulo en agudo, recto, obtuso o llano de acuerdo a su abertura. Tiene un ejemplo.

0)

a

1)

b

2) c

3)

d

agudo

Ejercicio 3A. Encuentre la medida del ángulo complementario al ángulo dado. Tiene un ejemplo.

0)

a50º

1)

b20º

2)

c

15º 3)

d58º

a + 50º = 90º a = 90º – 50º a = 40º b = c = d =

B. Escriba sobre la línea la medida del ángulo suplementario al ángulo dado. Tiene un ejemplo.

0)

a 125º

1)

b 60º

2)

c80º

a + 125º = 180º a = 180º – 125º a = 55º b = c =


Ejercicio 4Aplique una ecuación para determinar el valor de los ángulos complementarios y suplementarios. Tiene un ejemplo.

0)

a

b

a = xb = 5x

1)

d

c c = 7xd = 8x

2)

f e

a + b = 90º x + 5x = 90º 6x = 90º

x = 90º6

x = 15º

a = x = 15º b = 5x = 5(15º) = 75º

3)

h

g

4)

zw

5)

j k

6)

m p

7)

k l

8)

q r40º

g = 2xh = 5x + 13º

k = 4x + 48ºl = 2x + 24º

q = 2xr = 4x – 10°

m = 8xp = 12x

j = 5xk = 4x

w = 4x + 20º z = x

e = 2x + 34ºf = 4x + 8º


Ángulos entre rectas1. Ángulos entre rectas

Cuando dos líneas paralelas son cruzadas por una línea diagonal, se forman ocho ángulos que los podemos definir por su posición en la siguiente clasificación.

c dfe

a b

hg

cf

a

h

a

e

Ángulos internos Ángulos externos Ángulos alternos internos

Ángulos alternos externos Ángulos correspondientes Ángulos opuestos por el vértice

ad

Estos ángulos se relacionan entre sí, de manera que si conocemos cuánto mide uno de ellos podemos determinar el valor de los otros tres.

2. Cálculo de ángulos entre rectas

El tamaño de los ángulos entre rectas se calcula aplicando las relaciones de semejanza y los con-ceptos de ángulos complementarios (a + b = 90º) y suplementarios (a + b = 180º).

2.1 Cálculo de ángulos entre rectas definidos por una incógnita

Para calcular ángulos entre rectas seguimos estos pasos:

• Plantear una ecuación de primer grado aplicando las relaciones de ángulos entre rectas y resolver la ecuación.

• Hallar el valor de cada ángulo sustituyendo la incóg-nita por el valor encontrado en el paso anterior.

• Escribir la respuesta.

a + b = 180ºa + 60º = 180º

a = 180º – 60ºa = 120º

c = ac = 120º


Ejercicio 5A. Observe la figura, luego complete cada expresión con la información que se le pide. Tiene un

ejemplo.

hge f

ca bd

0) Dos pares de ángulos correspondientes son: (a, e) y (c, g)

1) Dos ángulos alternos externos son:

2) Dos ángulos alternos internos son:

3) Dos ángulos opuestos por el vértice son:

4) Por su relación, los ángulos e y d son:

5) Por su relación, los ángulos g y f son:

B. Aplique las relaciones de semejanza para calcular el valor de los ángulos indicados en cada figura. Tiene un ejemplo.

0) a b

c

a = 120º

b = ?

c = ?

1) d e

gf

d = 80º

e = ?

f = ?a + b = 180º

120º + b = 180º b = 180º – 120º b = 60º c = b c = 60º

2) m p

tn

m = 120º

n = ?

t = ?

3) w x

zy

y = 65º

w = ?

x = ?


La circunferencia1. Una circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está

dentro de la circunferencia.

1.1 Elementos de la circunferencia

C

arco

d

cuerda

r

2. Posiciones relativas entre dos circunferencias

Exteriores Interiores Concéntricas Tangentes exteriores

Tangentes interiores Secantes

d d dd

d

3. Longitud del arco se calcula con esta fórmula:

AB = πra°180°

Se lee: La longitud del arco entre los puntos A y B es igual a pi por el radio (r), por el ángulo (a), dividido entre 180 grados.

Ejercicio 6Trace los elementos de la circunferencia indicados. Tiene un ejemplo.

0) diámetro1) centro2) radio3) cuerda4) arco


Ejercicio 7Encuentre la longitud de arco AB en los ejercicios siguientes. Preste atención al ángulo y a la medida del radio. Tiene un ejemplo.

0)

B

A

r = 10 cmα = 150º

AB = πrαº180º

AB = 3.14(10 cm)(150º)180º

AB = 3.14(1500 cm)180

AB = 4710 cm180

AB = 26.17 cm

1)

r = 6 mα = 90º

B

A

2)

r = 25 cmα = 180º

B A

3)

B

A

r = 15 cmα = 40º

Ejercicio 8Resuelva los problemas aplicando los ejercicios de la longitud de arco. Trabaje en su cuaderno.

1) El péndulo de un reloj mide 50 cm de largo y al balancearse del punto A al punto B describe un ángulo de 30º. ¿Cuál es la longitud de arco que recorre en cada balanceo?

2) Se desea iluminar una plaza de forma circular de 10 m de radio con 5 postes que sostendrán las lámparas. ¿A qué distancia se debe colocar cada poste para que queden distribuidos de manera uniforme?

3) Un automóvil realiza un viraje en un retorno de 3.6 m de radio, a un ángulo de 135º. ¿Qué distancia recorre al automóvil en el viraje?

30ºA B

r = 10 m


El teorema de Tales1. El teorema de Tales

El teorema de Tales establece que si varias rectas paralelas son intersecadas por otras dos rectas, las medidas de los segmentos comprendidos entre las paralelas son proporcionales entre sí.

C

B

A

L1 L2

A'

B'

C'

De acuerdo al teorema y los segmentos de las rectas de la imagen se cumple esta proporción:ABA'B'

= BCB'C'

Se lee: el segmento AB es proporcional al segmento A'B' lo mismo que BC es proporcional a B'C'.

2. Para calcular un segmento desconocido cuando se conocen los otros segmentos seguimos estos pasos:

• Planteamos una proporción aplicando el teorema de Tales.

• Sustituimos los datos.

• Operamos aplicando la propiedad de extremos y medios.

• Despejamos el valor desconocido y hallamos su valor.

Ejercicio 9Observe las rectas y encuentre el valor de x por medio de 2 proporciones diferentes. Tiene un ejemplo.

3 2

x 1.8

0) x

1.8 = 3

2 x(2) = 3(1.8);

x = 5.42

x = 2,7 cm

1) x

3 = ________


Ejercicio 10Aplique el teorema de Tales para encontrar el valor de x en cada figura. Tiene un ejemplo.

0)

15

10 8

x

x15

= 810

(10)x = 8(15)

x = 8(15)10

x = 12010

x = 12

2)

24

16

x4

1) 9 cm

6 cm7 cm

x 3)

3

2 5

x

Ejercicio 11Aplique el teorema de Tales para resolver los problemas siguientes. Trabaje en su cuaderno.

1) Una persona que mide 1.70 m proyecta una sombra de 1 m. En ese mismo instante un edificio proyecta sombra de 25 m. Calcule la altura del edificio.

2) Una bandera se encuentra ondeando en la parte superior de su asta. De acuerdo a las medidas de la ilustración, ¿Cuál es la altura del asta?

sombra = 25 msombra = 1 m

1.70 m

8 m

6 m

12 m

x


Congruencia y semejanza de triángulos1. Dos triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos son iguales, aunque se encuentren en

una posición distinta.

1.1 Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si cumplen con una de estas propiedades:

a. lado – lado – lado (LLL)

C

A B

AC = DF

AB = DECB = FE

F

D E

c. ángulo – lado – ángulo (ALA)

C

A Ba b

a = d

b = e

AB = DE

F

D Ed e

b. lado – ángulo – lado (LAL)

aA B

C AC = DF

AB = DE

a = d D E

F

d

d. lado – lado – ángulo (LLA)

C

A Ba

AC = DF

CB = FE

a = d

F

D Ed

2. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son pro-porcionales.

2.1 Criterios de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si cumplen al menos uno de los criterios de semejanza.

c. Todos sus lados son proporcionales

A

C

B D

F

E

a. Los tres ángulos son iguales

A

C

B D E

F

b. Dos lados proporcio-nales y el ángulo entre ellos es igual

A

C

B D

F

E

Si conocemos dos lados de un triángulo, podemos hallar el lado desconocido de un triángulo semejante cuando conocemos uno de sus lados. El procedimiento es el siguiente:

• Plantear la proporción con los datos de los triángulos.

• Multiplicar aplicando la propiedad de extremos y medios.

• Despejar el valor desconocido y operar.

• Escribir la respuesta.


Ejercicio 12Lea cada enunciado, luego rellene el círculo de la opción que lo completa correctamente.

1) Dos triángulos son congruentes si la medida de sus lados es…

2) Una característica de dos triángulos semejantes es que...

Ejercicio 13A. Los pares de triángulos siguientes son congruentes. Complete la medida de los tres ángulos y de

los tres lados para cada triángulo.

1)

6 cm9.33 cm

40º

50º

7.15 cm

2) 4 m

40º

60º

6.13 m

6.13 m80º

3)

7.25 cm

25º

25 cm

8 cm

65º

igual desigual proporcional

los lados son iguales los ángulos son iguales los ángulos son proporcionales


B. Aplique la semejanza de triángulos para encontrar las medidas de los lados expresados con varia-bles. Tiene un ejemplo.

0)

8

6y3 4

x

y3 = 6

4(4)y = 6(3)

y = 6(3)4

y = 184

y = 4.5

1)

12 y

x

8 9

2

2) 12 x

y

105

8

3)

6

12

109

18

x


Teorema de Pitágoras1. El teorema de Pitágoras sirve para calcular el valor de cualquier lado de un triángulo rectángulo

cuando conocemos los otros dos. El teorema dice que:

a

b

cEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c²) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a2 + b2).

c2 = a2 + b2

2. Cálculo de los catetos y de la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Para encontrar el valor de cualquier lado de un triángulo rectángulo despejamos la variable correcta del teorema de Pitágoras.

hipotenusa c cateto a cateto b c2 = a2 + b2 a2 = c2 – b2 b2 = c2 – a2

Ejercicio 14Aplique el teorema de Pitágoras para hallar el lado desconocido en los triángulos rectángulos. Tiene un ejemplo.

0) 37 cm

35 cm

a

1)

21 cm

20 cm

c

c2 = a2 + b2

a2 = c2 – b2

a2 = (37 cm)2 – (35 cm)2

a2 = 1369 cm2 – 1225 cm2

a2 = 144 cm2

a2 = 144 cm2 a = 12 cm


2)

a

20 cm

25 cm

3) 13 cm

16 cm

b

4)

12 m

9 m

c

5) 12 cm

13 cm

b


Razones trigonométricasLa trigonometría es una rama de la matemática que se dedica al estudio de las razones trigonométricas.

Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados del triángulo rectángulo y dependen de los ángulos del mismo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el coseno y la tangente.

Las razones trigonométricas que hemos estudiado esta semana son:

sen α = cateto opuestohipotenusa = a

c

cos α = cateto adyacentehipotenusa = b

c

tan α = cateto opuestocateto adyacente = a

b

c

b

a

B

ACα

β

Ejercicio 15Utilice su tabla de valores de las funciones trigonométricas y determine el valor para los ángulos siguientes. Tiene un ejemplo.

0) sen 45º = 0.71

1) tan 28º =

2) cos 55º =

3) sen 16º =

4) tan 0º =

5) sen 24º =

6) tan 15º =

7) cos 0º =

8) sen 36º =

9) cos 50º =

Ejercicio 16Observe las medidas de los triángulos y escriba las medidas que completan las razones trigonomé-tricas. Tiene un ejemplo.

1)

4

35

α

sen α = 35

cos α = tan α =

2)

8

10 12.81

α

sen α = cos α = tan α =


Ejercicio 17Encuentre los lados indicados en los triángulos, utilice la función trigonométrica correspondiente. Tiene un ejemplo.

0)

928º

yx

tan 28º = x

9 cos 28º =

9y

9 (tan 28º) = x y (cos 28º) = 9

9(0.53) = x y = 9

cos 28º

x = 4.77 y = 9

0.88 y = 10.23

1)

15 cm

60º

y

x

2)

5 m

30º

y

x


Realice lo que se le pide en cada apartado. Hágalo lo más rápido que pueda.

A. Escriba a la par de cada ángulo, su ángulo complementario o suplementario según sea el caso. Tiene un ejemplo para cada uno.

0) x2 = 64, x = 8

1) x2 = 81, x =

2) x2 = 16, x =

3) x2 = 25, x =

4) x2 = 9, x =

5) x2 = 36, x =

6) x2 = 4, x =

7) x2 = 49, x =

8) x2 = 0, x =

0) x = 4, x = 16

1) x = 6, x =

2) x = 7, x =

3) x = 10, x =

4) x = 9, x =

5) x = 1, x =

6) x = 8, x =

7) x = 3, x =

8) x = 0, x =

B. Escriba el valor de x que hace verdadera la expresión. Tiene un ejemplo.

0) 60º + 30º = 90º

1) 25º + = 90º

2) 30º + = 90º

3) 20º + = 90º

4) 55º + = 90º

5) 75º + = 90º

6) 80º + = 90º

7) 45º + = 90º

8) 25º + = 90º

9) 72º + = 90º

10) 24º + = 90º

11) 16º + = 90º

0) 70º + 110º = 180º

1) 30º + = 180º

2) 40º + = 180º

3) 10º + = 180º

4) 55º + = 180º

5) 60º + = 180º

6) 50º + = 180º

7) 75º + = 180º

8) 20º + = 180º

9 80º + = 180º

10) 100º + = 180º

11) 150º + = 180º


Agilidad de cálculo mental

Orientaciones sobre la prueba parcial

Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. logrado en proceso

no logrado

Des

pués

de

estu

diar

... Repaso los contenidos de la semana 18 a la 24.

Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la tercera prueba parcial.

Me siento bien preparado o preparada para la prueba de evaluación.

Revise su aprendizaje

¡Llegó el momento de la prueba!

Ya está listo para su tercera prueba de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.

No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas.

Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto.

Presente su prueba limpia y ordenada.

¡Ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.

i serie. 1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos.INSTRUCCIONES: Rellene el círculo que corresponde al resultado correcto.

1) De las siguientes secuencias numéricas, la que representa una progresión geométrica es…

Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientador(a).

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resol-verla, escriba su nombre, número de carné, número de centro y fecha.

Grupo: Zaculeu Materia: MatemáticaPrueba: Tercera A-2016

Nombre: Carné: Círculo de estudio N.º: Fecha:

1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 5, 8 1, 2, 4, 8, 16

Punteo:


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