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Control I Respuesta en Frecuencia: Criterio de Nyquist
ESTABILIDAD
INTRODUCCIÓN
• La estabilidad tiene un papel importante en el diseño de los sistemas
de control, SC.
• Hallar a gran escala la estabilidad de los SC por métodos analíticos
no es sencillo.
– Se destaca analítico porque soluciones numéricas de ecuaciones
diferenciales no es problema para los modernos computadores
• Primer estudio sistemático de la estabilidad del control realimentado
hecho por Maxwell en su escrito "On Governors".
– Allí planteó las ecuaciones diferenciales de un regulador, las
linealizó alrededor del punto de equilibrio y concluyó que la
estabilidad depende de que las raíces de una cierta ecuación
(característica) tengan partes reales negativasU de A
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Control I Respuesta en Frecuencia: Criterio de Nyquist
…ESTABILIDAD: Introducción
– Maxwell buscó definir condiciones para los coeficientes de un
polinomio tales que garantizaran raíces con parte real negativa,
algo que logró sólo para los casos de segundo y tercer orden.
• Se ha visto que la respuesta transitoria de un SC, cuyo modelo se
describe por una ecuación diferencial lineal, de coeficientes
constantes, se rige por las raíces de la ecuación característica.
– Si alguna raíz tiene parte real positiva, la respuesta es inestable y
crece fuera de límites.
– A veces se presenta la saturación, una no linealidad que no se ha
considerado, la cual limita el crecimiento de la respuesta inestable
y el SC exhibe oscilaciones no lineales llamadas ciclo límite.
• Las especificaciones de operación del sistema de control exigen no
solo un sistema estable sino también un cierto margen de estabilidad.
U de A
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Control I Respuesta en Frecuencia: Criterio de Nyquist
…ESTABILIDAD: Introducción
– Como una protección ante los cambios de parámetros y para que
el sistema asegure la estabilidad en múltiples condiciones de
operación.
– El sobrenivel porcentual en la respuesta temporal y el máximo
resonante en la respuesta en frecuencia dependen del margen de
estabilidad.
• Existen varios conceptos de estabilidad, tal como la
– Estabilidad en el sentido de Lagrange.
– Estabilidad en el sentido de Poincaré.
– Estabilidad en el sentido de Lyapunov.
– Respuesta limitada.
– Estabilidad entrada-salida.
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…ESTABILIDAD: Introducción
• Normalmente se considera la estabilidad desde dos puntos de
observación:
– De estado cero (estabilidad externa): El sistema tiene condición
inicial nula pero tiene entrada diferente de cero.
– De entrada cero (estabilidad interna): el sistema no tiene entrada
pero sí una condición inicial diferente de cero
• En los sistemas no lineales, los diferentes conceptos de
estabilidad pueden dar resultados diferentes; para los sistemas
lineales e invariantes estas diferencias desaparecen. Para estos
últimos sistemas, la estabilidad interna puede analizarse con la
matriz de transición de estado, mientras que para la estabilidad
externa se dispone de la matriz de función de transferencia.
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…ESTABILIDAD: Introducción
• El procedimiento más obvio para hallar la estabilidad mediante
algún método conocido, es el de chequear la totalidad de los
posibles valores de los coeficientes de la ecuación característica
del sistema linealizado, para todos los rangos de interés, y luego
estudiar cada comportamiento. Si todos ellos tienden hacia el
equilibrio, el sistema es asintóticamente estable para el rango de
valores de interés.
– El trabajo que demanda este procedimiento es enorme.
– El método es fácil para sistemas de orden menor.
– A este proceder para hallar la estabilidad de los sistemas se lo
conoce como el "método indirecto".
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Control I Respuesta en Frecuencia: Criterio de Nyquist
…ESTABILIDAD: Introducción
• Un método mucho más elegante lo propuso Lyapunov hace un
poco más de un siglo,
– Se conoce como el "método directo de Lyapunov" o "segundo
método"
– Con el método es posible tener conocimiento de la estabilidad
sin realmente resolver las ecuaciones diferenciales o calcular las
raíces características
ESTABILIDAD EN EL SENTIDO DE LYAPUNOV
• Este concepto de estabilidad considera nulas las entradas al
sistema, el cual se perturba sólo por las condiciones iniciales
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…ESTABILIDAD: En el Sentido de Lyapunov
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• Estado de Equilibrio
Un estado xe de un sistema se dice ser un estado de equilibrio si
para un estado x(t0) = xe => x(t) = xe , para todo t > t0 , sin
que se aplique alguna entrada al sistema
• Sea un sistema continuo no-lineal y variante en el tiempo,
descripto por la ecuación estado
Los estados de equilibrio de este sistema serán aquellos
estados xe que cumplen con la ecuación:
– Se tiene una expresión similar para los sistemas discretos.
– Un sistema puede tener más de un estado de equilibrio.
)),(),(()( ttutxftx
todopara ,0),0),(( 0ttttxf e
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…ESTABILIDAD: En el Sentido de Lyapunov
• Para un sistema lineal continuo caracterizado por:
– xe = 0 (el origen del espacio de estados), es siempre un estado
de equilibrio.U de A
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equilibrio este a
respectocon onesperturbacin representa estado de variableslasy
les,diferencia ecuaciones las olinealizadhan se cual delalrededor
estado el representay estado de espacio delorigen el es cual el
, :equilibrio de estado Único
SINGULAR NO es
equilibrioEn
inicialcondición como con
0x
Ax0Ax(t)
0(t)x
)x(tAx(t)(t)x
e
1
e
1
0
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…ESTABILIDAD: En el Sentido de Lyapunov
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00 todopara )( implica )( tttxtx
• Definición de sistema Estable (según Lyapunov)
El estado de equilibrio xe = 0 es estable en el sentido de Lyapunov,
o simplemente estable, si para cualquier escalar > 0, existe un
escalar (t0,) > 0 tal que
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…ESTABILIDAD: En el Sentido de Lyapunov
• Definición de Sistema Asintóticamente Estable
El estado de equilibrio xe = 0 es asintóticamente estable si:
1) es estable (en el sentido de Lyapunov)
2) para cualquier tiempo t0 y para cualquier estado inicial x0
suficientemente cercano al origen del espacio de estado, el
estado x(t) tiende al de equilibrio en cuanto t tiende a infinito, es
decir
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et xtxlím )(
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…ESTABILIDAD: En el Sentido de Lyapunov
– Si en las dos definiciones de estabilidad, el parámetro es
independiente de t0, entonces la estabilidad se dice que es
uniforme (cosa que siempre se cumple para sistemas
invariantes en el tiempo).
– También, si en éstas dos definiciones, el estado inicial x(t0)
no está restringido a que dicho estado esté lo suficientemente
cerca del origen (o sea que se cumple cualquiera sea del
estado inicial x(t0) del que se parta), entonces se dice que la
estabilidad es global.
– Notar que para sistemas lineales, la estabilidad asintótica es
siempre global. Esto permite hacer la siguiente definición:
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…ESTABILIDAD: En el Sentido de Lyapunov
• Definición de estabilidad asintótica
Un sistema lineal es asintóticamente estable si para ese sistema
el estado xe = 0 es asintóticamente estable.
– Se puede demostrar que la definición de estabilidad asintótica
se satisface cuando todos los valores propios del sistema
estudiado tienen valores con parte real negativa
• Las definiciones anteriores se ilustran en las siguiente figura para
un sistema de segundo orden. Las trayectorias 1 y 2 representan
casos estables y la trayectoria 3 un caso inestable, todo en el
sentido de Lyapunov
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…ESTABILIDAD: En el Sentido de Lyapunov
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x(t0)ε
δ
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1
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…ESTABILIDAD
Estabilidad BIBO
• Un sistema BIBO (entrada acotada-salida acotada) es estable si
su salida está limitada cuando su entrada está limitada.
– Para la estabilidad, no importa si la entrada es una señal de
mando o una perturbación.
– Si la entrada al sistema es r(t) y la salida y(t), el sistema es
estable BIBO si
– Se puede demostrar que la estabilidad BIBO requiere que
todas las raíces de la ecuación característica tengan parte real
negativa
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0 todopara )(
implica
0 todopara )(
t
t
ty
tr
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CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
INTRODUCCION
• El Criterio de Estabilidad de Nyquist, CEN, permite determinar la
estabilidad absoluta de un sistema lineal invariante en el tiempo.
• Se basa en la respuesta en frecuencia de la FT de red abierta del
SC.
• Permite determinar el número de raíces de la ecuacióncaracterística (polos de red cerrada del SC) que existen en elsemiplano derecho del plano S.
• El SC es estable cuando el resultado de la aplicación del CEN escero.
• También se pueden determinar las consideraciones respecto SCoscilatorios
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• El CEN se basa en los teoremas de la transformación conforme y
el teorema de la representación
– Transformación conforme:
Dada F(s) analítica (continua y derivable) en todo el plano S
salvo en sus polos, todo camino cerrado continuo en S que no
pase por ningún punto singular de F(s) se transforma en una
curva cerrada continua en el plano F(s), preservándose
distancias y ángulos de corte.
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– Teorema de la Representación:
Dada F(s) con P polos y Z ceros, considerando inclusive su
multiplicidad, incluidos en un contorno cerrado continuo del
plano S recorrido en sentido horario que no pase por ningún
punto singular de F(s), éste se transforma en una curva
cerrada continua en el plano F(s) en la cual se producen N
rodeos en sentido horario al origen, tal que:
N=Z-P
donde:
N > 0 Sentido horario
N < 0 Sentido antihorario
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APLICACIÓN DEL CEN PARA LOS SC
Para el SC mostrado
Y(s)G(s)
H(s)
R(s) E(s)
-B(s)
G(s)H(s) 1
G(s)
)(
)(
sR
sY
SC del destabilida la determinan F(s)
de ceros los que obvio es ,)(D
(s)N G(s)H(s) 1 F(s) Si
f
f
s
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APLICACIÓN DEL CEN PARA LOS SC
Para aplicar el CEN a los sistemas físicos se requiere que
lim G(s)H(s) = 0 ó Constante cuando w ∞
En la siguiente figura se muestra el teorema de la representación de
modo gráfico
F(s)
X
X
O
jw
σ
Im[F(s)]
Re[F(s)]
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APLICACIÓN DEL CEN PARA LOS SC
• En dicha figura puede observarse que se rodea un polo de la
función F(s) en sentido horario.
• Rodear un polo de una función en un sentido implica lograr un
rodeo al origen en sentido contrario.
• Este resultado es lógico al realizar dicho polo una contribución
total de 360o de fase en la función (en oposición de fase debido a la
característica de un polo).
• El efecto contrario se verificaría al evaluar un cero.
• El criterio de estabilidad de Nyquist escoge como función
evaluable el propio polinomio característico.
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APLICACIÓN DEL CEN PARA LOS SC
• Se evalúa la existencia de ceros del polinomio F(s)=1+G(s)H(s)
en un contorno que contiene todo el semiplano derecho del
plano S, mediante la aplicación del teorema de la
representación.
• Se supone el conocimiento, a priori, de la función de
transferencia en lazo abierto G(s)H(s) (de este modo, el
parámetro P queda determinado como el número de polos en
lazo abierto que se encuentran en el semiplano derecho del
plano S).
• Mediante la transformación del contorno denominado recorrido
de Nyquist (que contiene todo el semiplano derecho del plano S)
a través de la función F(s), se conocen el número de rodeos al
origen en el plano F(s) (y su signo).
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APLICACIÓN DEL CEN PARA LOS SC
• Aplicando el teorema de la representación, se determina el
número de ceros de la ecuación característica Z (polos en lazo
cerrado) que existen en semiplano derecho del plano S.
• Este procedimiento es suficiente para determinar si un sistema
es estable y, además, permite determinar la existencia de raíces
de la ecuación característica sobre el eje imaginario.
En la figura se muestra el recorrido de Nyquist
Como el sistema de red abierta es causal
lim [1+G(s)H(s)] = ctes∞
jw
σ
∞
Control I Respuesta en Frecuencia: Criterio de Nyquist
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APLICACIÓN DEL CEN PARA LOS SC
• Cuando la trayectoria de Nyquist corresponde al eje imaginario
del plano S se tiene
1 + G(s)H(s)|s = jw = 1 + G(jw)H(jw)
lo cual lleva al estudio de la respuesta en frecuencia del sistema
de red abierta, la cual se hace en el plano G(jw)H(jw).
Im[F(jw)]
Re[F(jw)]1
G(jw)H(jw)
Im[G(jw)H(jw)]
Re[G(jw)H(jw)]
-1
G(jw)H(jw)
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APLICACIÓN DEL CEN PARA LOS SC
• Se denomina diagrama de Nyquist a la transformación del
recorrido de Nyquist.
• El diagrama de Nyquist se realiza a partir del diagrama polar
conjuntamente con su simétrico respecto al eje real.
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
• Dada G(s)H(s) sin polos ni ceros en el eje imaginario s=jw, si
G(s)H(s) tiene k polos en semiplano derecho del plano S y si
lims∞ G(s) H(s)= cte, para que el lugar G(jw)H(jw) tenga
estabilidad al variar w desde -∞ a ∞ deben producirse k rodeos
al punto -1+j0 en sentido antihorario.
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APLICACIÓN DEL CEN PARA LOS SC
Si se define
• N= número de rodeos a -1+j0; en sentido horario (N>0) y
sentido antihorario (N<0).
• P= polos en red abierta en semiplano derecho del plano S.
• Z= polos en red cerrada en semiplano derecho del plano S.
• Para que un sistema sea estable debe cumplir la condición:
Z=N+P=0.
Control I Respuesta en Frecuencia: Criterio de Nyquist
Bibliografía
• Ogata, K.; “Ingeniería de control Moderna”, 3ª Ed., 1998
Prentice Hall; secciones 8-7 a 8-9 y 13-2.
• Dorf, R. y Bishop, R.; “Sistemas de Control Moderno”, 10ª Ed.,
2005 Prentice Hall; secciones 9-3 a 9-4.
• Internet: http://ib.cnea.gov.ar/~dsc/capitulo5/Capitulo5.htm,
consultado en 11- 2010
U de A
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