UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS FISICAS Y QUIMICAS

Ingenieria Quimica

Curso:

3° Paralelo “B”

Integrantes:

Mendoza Pico Vicky Alejandra

Mendoza Macias Ana Madeline

TEMA:

Aplicación de la Estadistica en la determinacion de metales pesados en el agua

Estadistica Aplicada

Ing. Fatima Reyes

INDICE

INDICE...................................................................................................................................2

INTRODUCCION..................................................................................................................3

Objetivos.................................................................................................................................4

Objetivo General:................................................................................................................4

Objetivos Especificos:.........................................................................................................4

Marco Teorico.........................................................................................................................5

Estadistica Aplicada:...........................................................................................................5

1. Generalidades de la estadística.............................................................................5

1.1. Definición, características y limitaciones de la estadísticas:................................5

1.2. Fines y áreas de estudio........................................................................................5

1.3. Definiciones auxiliares, variable, población, redondeo de datos, notación sistemática y cifras significativas....................................................................................6

2. Distribucion de Frecuecias:..........................................................................................7

2.1. Toma de datos, Ordenacion de datos, Tabla de distribución de Frecuencias.......7

2.2. Presentación de las tablas de distribución de frecuencia, Gráficos: polígonos e histogramas de frecuencias, Centrogramas frecuencias relativas y acumuladas u ojivas

8

2.3. Tipos de Curvas de Frecuencias.........................................................................11

3. Medidas de Centralizacion.........................................................................................12

3.1. Promedio y medidas de centralización media aritmética media aritmética ponderada propiedades de la media aritmética.............................................................12

4. Medidas de dispercion........................................................................................21

4.1. Dispercion o variación de rango:........................................................................21

4.2. La desviación respecto a la media......................................................................21

4.3. Varianza..............................................................................................................22

MARCO TEORICO REFERENCIAL..................................................................................24

Metales en el agua.............................................................................................................24

CONCLUSIONES................................................................................................................32

RECOMENDACIONES.......................................................................................................33

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INTRODUCCION

La Estadistica Aplicada es la ciencia que estudia el campo de los datos numéricos finitos e infinitos convertidos en datos generales, es una herramienta muy importante para poder usar los parámetros que nos permitan llegar a un resultado real y concreto

La Investigacion de la metales pesados en el agua necesita una regularización por lo que usaremos los datos de la estadística aplicada para poder definir los rangos en los que se encuentran 50 muestras de aguas con relación a la cantdad de Mercurio que posean dichas muestras de aguas.

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Objetivos

Objetivo General:

Establecer datos Estadisticos sobre la determinación de metales pesados en el agua.

Objetivos Especificos:

Establecer fundamentos teóricos con relación a la Estadistica Investigar sobre los metales pesados que posee el agua Obtener una información veraz y autentica mediante la practica

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Marco Teorico

Estadistica Aplicada:

1. Generalidades de la estadística

1.1. Definición, características y limitaciones de la estadísticas:

1.1.1. Definicion: La estadística es comúnmente considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación sumisa, y que han sido recopilados a partir de otros datos numéricos. "La estadística es una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo, cuya mediación requiere una masa de observaciones de otros fenómenos más simples llamados individuales o particulares". (Gini, 1953.) "La estadística es la ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica como base a la explicación, descripción y comparación de los fenómenos". (Yale y Kendal, 1954).

Cualquiera sea el punto de vista, lo fundamental es la importancia científica que tiene la estadística, debido al gran campo de aplicación que posee. Otros autores tienen definiciones de la Estadística semejantes a las anteriores, y algunos otros no tan semejantes. Para Chacón esta se define como "la ciencia que tiene por objeto el estudio cuantitativo de los colectivos"; otros la definen como la expresión cuantitativa del conocimiento dispuesta en forma adecuada para el escrutinio y análisis. La más aceptada, sin embargo, es la de Minguez, que define la Estadística como "La ciencia que tiene por objeto aplicar las leyes de la cantidad a los hechos sociales para medir su intensidad, deducir las leyes que los rigen y hacer su predicción próxima".

1.1.2. Caracteristicas: Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos. La estadística

descriptiva, por ejemplo trata de la tabulación de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas. Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia, contabilidad, control de calidad y en otras actividades; estudios de consumidores; análisis de resultados en deportes; administradores de instituciones; en la educación; organismos políticos; médicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones.

1.1.3. Limitaciones de la Estadistica:

1.2. Fines y áreas de estudio : La estadística es un potente auxiliar de muchas ciencias y actividades humanas: sociología, sicología, geografía humana, economía, etc..

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La estadística está relacionada con el estudio de proceso cuyo resultado es más o menos imprescindible y con la finalidad de obtener conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales observaciones.El resultado de estudio de dichos procesos, denominados procesos aleatorios, puede ser de naturaleza cualitativa o cuantitativa y, en este último caso, discreta o continúa.Son muchas las predicciones de tipo sociólogo, o económico, que pueden hacerse a partir de la aplicación exclusiva de razonamientos probabilísticos a conjuntos de datos objetivos como son, por ejemplo, los de naturaleza demográfica.Las predicciones estadísticas, difícilmente hacen referencia a sucesos concretos, pero describen con considerable precisión en el comportamiento global de grandes conjuntos de sucesos particulares. Son predicciones que, en general, no acostumbran resultar útiles.Para saber quien, de entre los miembros de una población importante, va a encontrar trabajo o a quedarse sin él; o en cuales miembros va a verse aumentada o disminuida una familia concreto en los próximos meses. Pero que, en cambio puede proporcionar estimaciones fiables del próximo aumento o disminución de la taza de desempleo referido al conjunto de la población; o de la posible variación de os índices de natalidad o mortalidad.

1.3. Definiciones auxiliares, variable, población, redondeo de datos, notación sistemática y cifras significativas :

1.3.1. Definicion auxiliar: La Estaditica estudia los métodos científicos para recoger, organiza, resumir y analizar datos, asi como para sacar conclusiones validas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis. Este términos se usa para denotar los propios datos, los números derviados de ellos, tales como los promedios.

1.3.2. Poblacion y Muestreo: Al examinar datos generales, enteros, se le llama POBLACION y al ser casi imposible examinar todos los datos en general, por lo que se examina una pequeña parte de esa Poblacion, a la cual se le denomina MUESTRA.

Una Poblacion puede ser finita o infinita, puede ser en series interminables, o en datos concretos. Por otro lado una Muestra es la parte representativa de una población.

1.3.3. Variables: una variable es un símbolo, como tal siempre se reprenta con las ultimas letras del alfabeto, X, Y, Z, que pueden tomar un conjunto prefijado de valores, llamado domino de sesa variable. Si la variable puede tomar un solo valor, se llama constante. Una variable que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados se dice que es una Variable Continua; en caso contrario diremos que la Variable es Discreta.Ejemplo: N numero de hijos (Variable Discreta)

H altura de una persona (Variable Continua)

1.3.4. Redondeo de datos: el resultado de redondear un numero como 63.9 en unidades es 64,0 pues 63,9 esta mas próximo de 64 que de 63. Al redondear

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86,385 en centésimas nos hallamos ante un dilema, yua que esta equidistante de 86.38 y de 86.39. se adopta en tales casos la costumbre de lledondear al entero par que prece al 5. Asi pues 86.385 se redondea a 86.38 y 36.375 se redonde a 36.38.

1.3.5. Notacion Cientifica: al escirbir números, especialmente los que tiene muchos ceros antes o después del punto decimal, es utilizada la notación científica mediante potencias de 10.

Ejemplo: 864,000,000 = 8.64 x108 y 0.00003416 = 3.416 x10−5

La multiplicación de exponencial positiva corre la coma hacia la derecha y la multiplicaion exponencial negativa corre la coma hacia la izquierda.

1.3.6. Digitos Significativos: los dígitos empleados, a parte de los ceros necesarios para localizar el punto decimal, se llaman dígitos significativos o cifras significativas, del numero.

2. Distribucion de Frecuecias:

2.1. Toma de datos, Ordenacion de datos, Tabla de distribución de Frecuencias.

2.1.1. Filas de datos: Una Fila de datos consiste ne datos recogidos que no han sido organizados numéricamente, por ejemplos, el peso de 150 personas diabéticas.

2.1.2. Ordenacion: Una Ordenacion es un conjunto de datos numéricos en orden creciente o decreciente. La diferencia entre el mayor y el menor se llama rango de ese conjunto de datos. Asi, si el mayo peso entre los 150 diabeticos es 230 lbs y el menor es 200 lbs, el rango es 230 – 200 = 30 lbs.

2.1.3. Tabla de Distribucion de Frecuencias: al resumir grandes colecciones de datos, es útil distribuirlos en clases o categorías, y determinar el numero de individuos que pertenecen a cada clase, llamado frecuencia de clase, se llama distribución de frecuencias.

Ejemplo:

Pesos en (lb)Numero de Personas

100- 110 10111- 121 20122-132 34

133-14316

60

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En el primer intervalo de 100-110 lbs, hay 10 personas, esto es lo que corresponde a la frecuencia- 10.Este tipo de agrupación de datos se les denomina datos agrupados. También existen los datos no agrupados que se realizan simplemente detallando cada clase o categoría.

2.1.4. Intervalo de clase y limites de clase: Un intervalo de clase se representa como 100-110 como se muestra en la tabla anterior. Aquí podemos encontrar los limites que son limite inferiro (100) y k limite superior (120).

2.1.5. Fronteras de Clase: Si se dan pesos de 1 lb, el intervalo de clase de 100-110 incluye teóricamente todas las mediadas desde 99.50 a 110.50. Estos números, indicados mas brevemente por los números exactos 99.5 y 110.5, se llaman Limite inferior real y Limite superior real, respectivamente o Frontera inferior de clase y Frontera superior de clase.Este numero se obtiene de un promedio entre el limite superior de una clase con el inferior de la siguiente dividido para dos.

2.1.6. Tamaño o Anchura de un intervalo de clase.- El tamaño o anchura de un intervalo de clase es la diferencia entre las fronteras de clase superior e inferiro. Si todos los intervalos de clase de una distribución de frecuencias tienen la misma anchura denotado por c. en tal caso, c es igual a la diferencia entre dos limites inferiores o superios de calses sucesivas. Para los datos de la tabla anterios, por ejemplo la anchura del intervalo de clase c= 110.5 – 99.5 = 121.5 – 110.5 = 11.

2.1.7. Marca de Clase.- la marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obitene preomediando los limites inferior y superior de clases. Asi que las marcas de clase del intervalo 100-110 es (100+110)/2= 105. Denominado también punto medio de la calse.

2.2. Presentación de las tablas de distribución de frecuencia, Gráficos: polígonos e histogramas de frecuencias, Centrogramas frecuencias relativas y acumuladas u ojivas .

2.2.1. Reglas Generales para formar distribuciones de frecuencias:

Determinar el mayor y menor de todos los datos, para hallar el rango. Dividir el rango en un numero a decuado de intervalos de clase del mismo tamaño. Suelen

tomarse entre 5-20 intervalos. Determinar el numero de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase, esto es

hallar las frecuencias de clase. Esto se logra mejor con una hoja de recuentos.

2.2.2.Gráficos: polígonos e histogramas de frecuencias: los histogramas y polígonos de frecuencia son dos representaciones graficas de las distribuciones de frecuencia.

2.2.2.1. Un histograma o Histograma de Frecuencias , consiste en un conjunto de rectángulos con : a) Base en el eje X horizontal; centros en las marcas de clase y

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losgitudes iguales a los tamaños de los intervalos de clase y b) áreas proporcionales a las frecuencias de las clases.Si los intervalos de clase tienen todos las misma anchura, las alturas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de clase, y entonces es costumbre tomar las alturas iguals a las frecuencias de clase. En caso contrario, deben ajustarse las alturas.

N° personas

40

30

20

10

99 110 121 132 143100 111 122 133 144

Peso en Lb2.2.2.2. Un polígono de frecuencia es un grafico de trozos de la frecuencia de

clase con relación a la marca de clase. Puede obtenerse conectando los puntos medios de las partes superiores.

N° personas

40

30

20

10

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99 110 121 132 143100 111 122 133 144

Peso en LbHistograma y poligno de Frecuencias correspondientes a la distribución de freciencias de pesos en la tabla expuesta. Se indican sobre los mismos ejes de la figura. Suelen añadirse las longitudes PQy RS a las marcas de clase extremas como asociadas a una frecuencia de clase cero. En tal caso la suma de las áreas de los rectángulos del histograma es igual al área total limitada por el poligno de frecuencias y el eje X.

2.2.3. Distribuciones de Frecuencias Relativas.- la frecuencia Relativa de una Clase es su freceuncia dividida por la frecuencia total de todas las cases yuse expresa generalmente como un porcentaje. Por ejemplo, la frecuencia relativa de la clase 100-110 de nuestra tabla es = 10/80= 0.13%. la suma de las frecuencias relativas de todas las cases obviamente es 1 o sea 100 por 100.Si se sustituyen las frecuencias de la tabla de pesos por las correspondientes frecuencias relativas, la tabla resultante se llama una distribución de frecuencias relativas, distribución de porcentajes o tablas de frecuencias relativas.La representación graficas de distribuciones de frecuencias relativas se puede obtener del histograma o del polígono de frecuencias sin mas que cambiar la escala vertical de freceuncias a frecuencias relativas, manteniendo exactamente el mismo diagrama. Los graficos resultantes se llaman histogramas de frecuencias relativas y polígonos de frecuencias relativas.

2.2.4. Distribuciones de Frecuencias Acumuladas y Ojivas.

La frecuenica total de todos los valores menores que la frontera de clase sumerior de un intervalo de clase dado se llama frecuencia acumulada hasta que ese intervalo de clase inclusive. Por ejemplo, la frecuencia acumulada hasta el intervalo de clase 122-132 = 10+20+34 = 64.Una tabla que presente tales frecuencias acumuladas se llama una distribución de frecuencias acumuladas, tabla de fecuencias acumuladas , o brevemente una distribución acumulada, y se muestra en la siguiten tabla2.3.

Tabla 2.3Menor

queFa

109.5 0110.5 10121.5 30132.5 64

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143.5 80Un grafico que recoja las frecuencias acumuladas por debajo de cualquiera de las fronteras de clase superiores respecto de dicha frontera se llama un polígono de frecuencias acumuladas y ojiva, y se ilustro en la figura 2.3.A ciertos efectos, es deseable considerar una distribución de frecuencias acumuladas de todso los valores mayores o iguales que la frontera de clase inferior de cada intervalo de clase. Como eso hace considerar pesos de 109.5 o mas, de 110.5 o mas etc, se le suele llamar una distribución acumulada o mas, mientras que la antes considerada es una distribución acumulada menor que. Es fácil deducir una de otra. Las correspondientes ojivas se conocen con los mismos apodos. Siempre que nos refiramos a distribuciónes acumuladas u ojivas sin mas, estaremos hablando del caso menor que.

2.2.5. Distribucion de Frecuencias Relativas y Ojivas de porcentajes.

La frecuencia acumulada relativa o Frecuencia acumulada de porcentanjes, es la drecuencia acumulada dividida por la frecuencia total. Si se usan frecuencias acumuladas relativas en la tabla en vez de frecuencias acumuladas, los resultados se llaman distribuciones de frecuencias acumuladas relativas y poligomos de frecuencias relativos, respectivamente.

2.2.6. Curvas de freceuncia y Ojivas suavizadas.- los datos recogidos pueden considerarse usualmente como pertenecientes a una muestra de una población grande. Ya que son posibles muchas observaciones sobre esa población, es teóricamente posible escoger intervalos de clase muy pequeños y tener todavía números razonables de observaciones en cada clase. Asi que cabe esperar que el polígono de freceuncias o el polígono de frecuencias relativas para una gran población tenga tantos pequeños segmentos queaparezcan como casi una curva continua, a las que nos referimos como curva de frecuencias o curva de frecuencias relativas, respectivamente.Es sensato esperar que dichas curvas teóricas sean aproximables suavizando los polígonos de frecuencias o los polígonos de frecuencias relativas de la muestra, tanto mejor la aproximación cuanto mayor sea el tamaño de la muestra. Por esa razón, una curva de frecuencias se cita a veces como un polígono de frecuencias suavizado.De forma análoga, se obtienen ojivas suavisadas de polígonos de frecuencias acumuladas u ojivas. Suele ser mas fácil suavizar una ojiva que un polígono de frecuencias.

2.3. Tipos de Curvas de Frecuencias.

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3. Medidas de Centralizacion .

3.1. Promedio y medidas de centralización media aritmética media aritmética ponderada propiedades de la media aritmética

3.1.1. Medias de Centralizacion: La medidas de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

3.1.2. Media aritmética: La media aritmética  es el valor obtenido al sumar  todos los  datos  y dividir  el resultado entre el  número total dedatos .

 es el símbolo de la  media aritmética .

Ejemplo:

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Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

3.1.3. Media aritmética para datos agrupados: Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Ejercicio de media aritméticaEn un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media .

x i f i x i · f i

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

42 1 820

3.1.4. Mediana: Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me . La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.Calculo de la mediana:

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Ordenamos los datos de menor a mayor. Si la serie tiene un número impar de medidas  la mediana es

la puntuación central  de la misma.2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me= 5

Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales .

7, 8, 9, 10, 11, 12 Me= 9.5

3.1.4.1. Cálculo de la mediana para datos agrupados: La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas .

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .

L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.  es la semisuma de las frecuencias absolutas. F i -1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. a i es la amplitud de la clase. La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

EjemploCalcular  la mediana  de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

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f i F i

[60, 63) 5 5

[63, 66) 18 23

[66, 69) 42 65

[69, 72) 27 92

[72, 75) 8 100

100

100 / 2 = 50Clase modal: [66, 69)

3.1.5. Moda: La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.Se representa por Mo .

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas .Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia  y esa frecuencia es la máxima, la distribuciones bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas .

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9Si dos puntuaciones adyacentes  tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

L i es el límite inferior de la clase modal.f i es la frecuencia absoluta de la clase modal.f i - -1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.f i -+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.a i es la amplitud de la clase.

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También se utiliza otra fórmula  de la moda que da un valor aproximado  de ésta:

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EjemploCalcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

f i

[60, 63) 5

[63, 66) 18

[66, 69) 42

[69, 72) 27

[72, 75) 8

100

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula  de la moda aproximada  cuando existen distintas amplitudes es:

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EjemploEn la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda .

f i h i

[0, 5) 15 3

[5, 7) 20 10

[7, 9) 12 6

[9, 10) 3 3

50

3.1.6. Cuartiles: Los cuartiles son los tres valores  de la variable quedividen a un conjunto de datos ordenados  en cuatro partes iguales .

Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al25%, al 50% y al 75%  de los datos . Q2 coincide con la mediana .Cálculo de los cuartiles1 Ordenamos  los datos  de menor a mayor .2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil  mediante la

expresión  .Número impar de datos

2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

Número par de datos2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

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Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra  , en la tabla de las frecuencias acumuladas .

L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.N es la suma de las frecuencias absolutas.F i -1 es la frecuencia acumulada  anterior a la clase mediana.a i es la amplitud de la clase.3.1.7. Deciles: Los deciles son los nueve valores que dividen la serie

de datos en diez partes iguales.Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.D5 coincide con la mediana.Cálculo de los deciles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra  , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.N es la suma de las frecuencias absolutas.F i -1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.a i es la amplitud de la clase.

Ejercicio de decilesCalcular los deciles  de la distribución de la tabla:

fi Fi

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

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65

Cálculo del primer decil

Cálculo del segundo decil

3.1.8. de datos  en 100 partes iguales.Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los

datos.P50 coincide con la mediana.Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra  , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.N es la suma de las frecuencias absolutas.F i -1 es la frecuencia acumulada  anterior a la clase mediana.a i es la amplitud de la clase.

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Ejercicio de percentilesCalcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:

fi Fi

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Percentil 35

Percentil 60

4. Medidas de dispercion

4.1. Dispercion o variación de rango: Las medidas de dispersión  nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.

Rango o recorridoEl rango  es la diferencia  entre el mayor  y el menor  de los datos  de una distribución estadística.

4.2. La   desviación respecto a la media :  es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética .

D i = x - x

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las

desviaciones respecto a la media .

La desviación media se representa por 

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EjemploCalcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

4.3. Varianza : La varianza  es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por  .

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza  vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Ejercicios de varianzaCalcular la varianza  de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la varianza  de la distribución de la tabla:

xi fi xi · fi xi2 · fi

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[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

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MARCO TEORICO REFERENCIAL

Metales en el agua

los consimudores , o por la lluvia ácida que agrieta los suelos y pueden llegar por estas grietas los metales pesados a las aguas subterraneas o simplemente la lluvia acida los El término de metal pesado refiere a cualquier elemento químico metálico que tenga un relativa alta densidad y sea tóxico o venenoso en concentraciones bajas.Los ejemplos de metales pesados incluyen el mercurio (Hg), cadmio (Cd) el arsénico (As), el cromo (Cr), el talio (Tl), y el plomo (Pb).Los metales pesados son componentes naturales de la corteza de tierra.No pueden ser degradados o ser destruidos.En un grado pequeño se incorporan a nuestros cuerpos vía el alimento, el agua potable y el aire.Como elementos de rastro, algunos metales pesados (e.g. cobre, selenio, cinc) son esenciales mantener el metabolismo del cuerpo humano.Sin embargo, en concentraciones más altas pueden conducir al envenenamiento.El envenenamiento por metal pesado podría resultar, por ejemplo, de la contaminación del agua potable (e.g. tuberias del plomo), las altas concentraciones en el aire cerca de fuentes de la emisión, o producto vía la cadena de alimento.

Los metales pesados son peligrosos porque tienden a bioacumularse.La bioacumulación significa un aumento en la concentración de un producto químico en un organismo biológico en un cierto plazo, comparada a la concentración del producto químico en el ambiente.Se analizan (metabolizado) o se excretan los compuestos acumulan en cosas vivas cualquier momento se toman y se almacenan más rápidamente que ellos.

Los metales pesados pueden entrar un abastecimiento de agua por medio de residuos industriales y de deposita corrientes, los lagos, los ríos,etc.

Los metales pesados son, en general, tóxicos para los seres humanos, y además su característica de ser bioacumulativos (no pueden ser eliminados por el cuerpo) provoca que las concentraciones permitidas en el agua de consumo humano por la legislación vigente (RD 140/03) sean muy pequeñas.

Al tratarse de varios elementos, mostraremos a modo de ejemplo una lista con los límites establecidos en el agua de consumo humano para los principales metales pesados:

Mercurio: 1 microgramo/lNíquel: 20 microgramos/lCobre: 2 miligramos/lPlomo: 25 microgramos/lCromo: 50 microgramos/l

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Se realizo un análisis de determinación de Mercurio en el agua a 50 muestras de aguas de diferentes lugares de el Canton Portoviejo, y dieron los siguientes resultados con relación a el Mercurio:

15252018232018163014

18212325202029281422

12181725231918202025

14162418251615232225

20161820251618171920

De acuerdo a estos datos realizar los respectivos Análisis Estadísticos con los conceptos conocidos:

Frecuencias en orden numérico:x f12 114 315 216 517 218 819 220 921 122 223 424 125 728 129 2

Rango: (29-11)+1=18

Ancho de clase: 186

=3

Datos Agrupados:

Página 25

x f12 15 6

16 - 18 1519 - 21 1222- 24 725- 27 728 - 30 3

5050

POLIGONOS E HISTOGRAMA DE FRECUENCIA

x f fia fr fra Mc12 14 6 6 0,12 0,12 1315-17 15 21 0,3 0,42 16

18 - 20 12 33 0,24 0,66 1921- 23 7 40 0,14 0,8 2224- 26 7 47 0,14 0,94 2527 - 39 3 50 0,06 1 28

50 1

20

15

10

5

11 14 17 20 23 26 2912 15 18 21 24 27 30

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Elaborado por: Mendoza Vicky y Macías Ana.Fuente: Niveles de Mercurio de 50 Muestras de Agua.

OJIVA MENOR QUE

x f Lir - LsrMenor

que fia fr fra11,5

12 14 6 11,5 - 14,5 14,5 6 0,12 0,1215-17 15 14,5 - 17,5 17,5 21 0,3 0,42

18 - 20 12 17,5 - 20,5 20,5 33 0,24 0,6621- 23 7 20,5 - 23,5 23,5 40 0,14 0,824- 26 7 23,5 - 26,5 26,5 47 0,14 0,9427 - 29 3 26,5 - 29,5 29,5 50 0,06 1

50 1

50 1

40 0,8

30 0,6

20 0,4

10 0,2

11 14 17 20 23 26 29 12 15 18 21 24 27 30

Elaborado por: Mendoza Vicky y Macias AnaFuente: Niveles de Mercurio de 50 Muestras de Agua

MEDIA ARITMETICA

Metodo largo

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x f Mc f* Mc12 14 6 13 7815-17 15 16 240

18 - 20 12 19 22821- 23 7 22 15424- 26 7 25 17527 - 29 3 28 84

50 959

χ=95950

=19,18

Metodo Corto:x f Mc d=Mc-A F*d

12 14 6 13 -3 -1815-17 15 16 0 0

18 - 20 12 19 3 3621- 23 7 22 6 4224- 26 7 25 9 6327 - 29 3 28 12 36

50 159

A=16

χ=16+ 15950

=19.18

METODO DE COMPILACION

x f Mc U F*U12 14 6 13 -1 -615-17 15 16 0 0

18 - 20 12 19 1 1221- 23 7 22 2 1424- 26 7 25 3 2127 - 29 3 28 4 12

50 53

χ=16+35350

=19.18

MEDIA ARMONICA:

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x f Mc F/Mc12 14 6 13 0,4615-17 15 16 0,94

18 - 20 12 19 0,6321- 23 7 22 0,3224- 26 7 25 0,2827 - 29 3 28 0,11

50 2,74

A= 502,74

=18.24

MEDIA CUADRATICA

x f Mc Mc2 F*Mc212 14 6 13 169 101415-17 15 16 256 3840

18 - 20 12 19 361 433221- 23 7 22 484 338824- 26 7 25 625 437527 - 29 3 28 784 2352

50 19301

xc2=19301

50⇒ xc=√ 19301

50=19,64

Mediana

x f Mc Lir - Lsr fia12 14 6 13 11,5 - 14,5 615-17 15 16 14,5 - 17,5 21

18 - 20 12 19 17,5 - 20,5 3321- 23 7 22 20,5 - 23,5 4024- 26 7 25 23,5 - 26,5 4727 - 29 3 28 26,5 - 29,5 50

50

Χ=17,5+3( 25−2112 )=18.5

QUARTIL 3

Q3=3 (50 )

4=37.5

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x f Mc Lir - Lsr fia12 14 6 13 11,5 - 14,5 615-17 15 16 14,5 - 17,5 21

18 - 20 12 19 17,5 - 20,5 3321- 23 7 22 20,5 - 23,5 4024- 26 7 25 23,5 - 26,5 4727 - 29 3 28 26,5 - 29,5 50

50

Q3=20,5+3( 37.5−337 )=22,42

PERCENTIL 30

P30=30 (50 )

100=15

x f Mc Lir - Lsr Fia12 14 6 13 11,5 - 14,5 615-17 15 16 14,5 - 17,5 21

18 - 20 12 19 17,5 - 20,5 3321- 23 7 22 20,5 - 23,5 4024- 26 7 25 23,5 - 26,5 4727 - 29 3 28 26,5 - 29,5 50

50

Q3=14,5+3( 15−615 )=16.3

DESVIACION MEDIA:

x f Mc|Mc -

X| F|Mc-X|12 14 6 13 6,18 37,0815-17 15 16 3,18 47,7

18 - 20 12 19 0,18 2,1621- 23 7 22 2,82 19,7424- 26 7 25 5,82 40,7427 - 29 3 28 8,82 26,46

50 173,88

χ=19.18

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MD=173,8850

=3.47

RANGO INTER-QUARTILES:

Q1=14.5+3(12.5−6 )

15=15.8

Q3=14,5+3( 15−615 )=16.3

Q=16.3+15.82

16.05

VARIANZA

x f Mc |Mc - X| |Mc-X| ¿ Mc−X∨¿2¿F∨Mc−X∨¿2¿

12 14 6 13 6,18 37,08 1374,93 8249,5615-17 15 16 3,18 47,7 2275,29 34129,35

18 - 20 12 19 0,18 2,16 4,67 55,9921- 23 7 22 2,82 19,74 389,67 2727,6724- 26 7 25 5,82 40,74 1659,75 11618,2327 - 29 3 28 8,82 26,46 700,13 2100,39

50 173,88 58881,20

s2=58881,2050

=1177.62

DESVIACION TIPICA

S=√ 58881,2050

=√1177.62=34.31

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CONCLUSIONES

La Estadistica Aplica es una herramienta de gran ayuda para mostrar los datos reales mediante formulas establecidas

La utilización de la Estadistica Aplicada puede dar mayor visualización de los datos mediante graficos

La Estadistica Aplicada simplifica pasos para llegar a los resultados que se quieren obtener.

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RECOMENDACIONES

Es recomendable aprender a usar las formulas antes de aplicarlas ya que aunque su uso es fácil, puede ser confuso al momento de aplicarlas

Se recomienda investigar antes de aplicar los conocimientos que se ha obtenido

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