Estadistica y Probabilidades

UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS, ELECTRONICA E INDUSTRIALESTADISTICA Y PROBABILIDADES

Nivel: TERCEROCarreras: Sistemas, Electrónica e IndustrialDocente: Ing. LUIS MORALES

ESTADISTICA

INTRODUCCIÓN¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?Es una rama de las matemáticas que tiene por objetivo la recopilación, clasificación,interpretación o análisis y presentación de datos del fenómeno o hecho que se estáestudiando.

DEFINICION.- Es una ciencia cuantitativa que describe los fenómenos colectivos, losanaliza científicamente y predice conclusiones o resultados lo más objetivo posible.

OTRAS DEFINICIONES Es la ciencia de la recopilación, clasificación, presentación e interpretación de

datos. Es una ciencia incluida en el conjunto de las matemáticas, cuyo campo de acción es

el de recoger, ordenar, clasificar e interpretar los datos proporcionados por lainvestigación científica, permitiendo conocer a través de ellos con la mayorprecisión posible, los caracteres de los hechos y fenómenos observados o que seproduce en las diferentes ciencias.

OBJETIVOS DE LA ESTADÍSTICA Clasificar o reordenar, analizar y presentar gráficamente el conjunto de datos

obtenidos de manera que sea fácil reconocer los hechos más importantes osignificativos del fenómeno o problema a analizar.

Mediante el cálculo de probabilidades pretende predecir las condiciones futurasmediante el conocimiento de las condiciones pasadas y presentes. Ejemplo:crecimiento poblacional

Lograr información sobre una gran masa de hechos, tomando para ello unamuestra representativa. Ejemplo: elección de autoridades de un país.

TIPOS DE ESTADÍSTICA.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.- Se ocupa de la presentación y análisis de hecho o fenómeno,explicando sus diferentes partes, pero sin extraer conclusiones que puedan generalizarsea un todo.

Método de la estadística descriptiva.1. Recolección de datos.- Obtener los datos relacionados con el problema motivo de

estudio para lo cual utiliza técnicas de la investigación científica.2. Clasificación.- Ordenar y tabular datos.

3. Análisis.- Utilizar técnicas estadísticas para buscar aspectos relevantes.4. Presentación.- Mediante tablas o gráficos presentar los resultados obtenidos.

ESTADÍSTICA INFERENCIAL.- Extrae conclusiones válidas de una muestra de la poblacióninvestigada que una vez ensayada y analizada, pueden proporcionar ciertas característicascomunes de la población.

Método de la estadística inferencial.1. Delimitar el problema o fenómeno motivo de estudio.2. Formulación de hipótesis.- Describir o hacer el enunciado o enunciados que serán

objetos de comprobación (hipótesis) para que posteriormente sean admitidos orechazados.

3. Recolección de datos.- Obtener los datos relacionados con el problema motivo deestudio para lo cual utiliza técnicas de la investigación científica.

4. Clasificación.- Ordenar y tabular datos.5. Análisis.- Utilizar técnicas estadísticas para buscar aspectos relevantes.6. Aceptación o rechazo de la hipótesis.- Una vez que se ha aplicado la prueba

estadística conveniente, se debe realizar el ensayo de hipótesis, mediante el cualse la acepta o se la rechaza

7. Conclusiones.- Bajo el supuesto de no haber incurrido en fallas se toman lasdecisiones que sean confiables y oportunas para dar solución al problema.

INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICACuando se realiza una investigación las características básicas que debe tener la mismason:

• Validez.- Que sea demostrable.• Confiabilidad.- Que permita ser aplicable con igual o parecidos resultados.• Precisión.- Que su exactitud sea satisfactoria en concordancia con el objetivos de la

investigación.

Antes de realizar cualquier investigación es imprescindible determinar el fenómeno que seva a investigar y las características que nos interesa para el análisis es decir clarificar “Quées lo que queremos investigar”.

FENÓMENO ESTADÍSTICOEs la conformación de un grupo o colectivo alrededor de ciertas características quepermitan ser investigadas en cuanto a su comportamiento.

Los fenómenos pueden ser de carácter económico, social, político, deportivo u otros.

ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTADISTICAPermite señalar con claridad las fases o actividades necesarias en cuanto a unainvestigación.En un proceso de investigación estadístico se debe seguir cuatro fases fundamentales:

1. RECOPILACIÓN DE DATOSEsta fase tiene como objetivo recopilar u obtener información que se requiere en lainvestigación estadística. Los datos pueden recopilarse de fuentes interna y externa.

• Fuente Interna.- Los datos se obtienen dentro de la organización o institución queauspicia la investigación.

• Fuente Externa.- Los datos se obtienen de fuentes ajenas a la organización y se lospuede obtener a través de datos publicados, encuestas, observación directa.

2. CLASIFICACIÓN DE LOS DATOSLos datos recolectados de cualquier fuente deben ser organizados. Los de fuente interna yfuente externa mediantes datos publicados deben ser reelaboraos. Mientras los obtenidosa través de encuestas deben ser organizados mediante un proceso que abarca tres etapas.

2.1 Corrección de datos.- consiste en la depuración de datos, descartando respuestasvagas, incompletas y erróneas.

2.2 Organización de los datos.- Es un proceso de ordenamiento en función de lasimilitud de características y obedeciendo a cuatro aspectos diferenciales: TIEMPO,AREAS ESPECIALES, MAGNITUD Y MODALIDADES o CATEGORÍAS, las cualesdeterminan series cronológicas, geográficas, cuantitativas y cualitativasrespectivamente.

2.3 Tabulación.- Resumir los datos clasificados en tablas.

3. PRESENTACIÓN DE DATOSEs el proceso mediante el cual los datos deben presentarse definitivamente en forma claray adecuada para su respectivo análisis e interpretación.Los datos se pueden presentar de tres formas: textual, tabular, gráfica.

3.1 Presentación textual.- Es un tipo particular de presentación que se lo utiliza cuandola investigación abarca pocos datos y se los describe mediante palabras o símbolos.

Este tipo de presentación los utiliza usualmente los medios de comunicaciónimpresos.

3.2 Presentación tabular.- Se utiliza tablas para presentar la información la cual debecontener título, encabezado, columna matriz y cuerpo.

3.3 Presentación graficativa.- Se presenta los datos mediante gráficas comohistogramas, Diagramas de pastel, polígonos de frecuencia.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

TÉRMINOS ESTADÍSTICOS

VARIABLE: Es una característica cualitativa o cuantitativa que puede tomar diferentesvalores para cada uno de los elementos de la población. Ejemplo: Estaturas de losestudiantes de tercer nivel de la FISEI de la Universidad Técnica de Ambato.

VARIABLE DISCRETA: Es una característica cuantitativa que no puede tomar valorescomprendidos entre dos números enteros consecutivos. Ejemplo: Número de presidentesconstitucionales del Ecuador.

VARIABE CONTINUA.- Es una característica cuantitativa que puede tomar cualquier valornumérico. Ejemplo: Edad de los Presidentes constitucionales del Ecuador.

POBLACIÓN: Es el grupo o colectivo que va hacer investigado y que posee característicascomunes. Ejemplo: Profesores de educación media de la provincia de Tungurahua.Parámetros.- Son los valores numéricos que corresponden a las características de lapoblación. Ejemplo: Media aritmética de la edad de los profesores de educación media dela provincia de Tungurahua.

MUESTRA: Es una parte de la población de cuyo análisis se puede obtener característicasque corresponden a la población. Ejemplo: Profesor de educación media del cantónAmbato.Estadístico.- Son los valores numéricos que corresponden a las características de lamuestra. Ejemplo: Media aritmética de la edad de los profesores de educación media delcantón Ambato.

TAMAÑO DE LA MUESTRAPara calcular el tamaño de la muestra se puede recurrir a diferentes fórmulas en las cualesse toma en cuenta el tamaño de la población, el error que se considera aceptable en el

cálculo de la muestra, la expresión que se utilizara en éste módulo para dicho cálculo es lasiguiente: = ( − 1) + 1

Ejemplo: En una población de 10000 alumnos ¿Cuál es tamaño de la muestra si el errormáximo admisible es del 5%? = 10000(0.05) (10000 − 1) + 1n = 384.65z 386 alumnos

Características de la muestra:• Debe ser representativa.- Es decir que represente en verdad a toda la población

salvo el margen de error admisible.• Tamaño adecuado.- De tal modo que los resultados de la investigación no sean

dudosos por haber tomado una muestra muy pequeña.• Que el margen de error admisible esté dentro del límite aceptado por la estadística

< = 15%.

REDONDEO DE DATOSEn la actualidad, con el uso de las computadoras, se pueden obtener miles de cifrasdecimales o enteras, pero en la estadística no se requiere de la precisión absoluta, sinomás bien de la aproximación o redondeo de ciertos valores. Para realizar la aproximacióno redondeo se puede utilizar sistemas de redondeo.

Sistemas de redondeo:Sistema convencionalÉste sistema menciona que si el último dígito es menor que 5 se lo suprime y la cantidadresultante es la misma:

Donde:

n: Tamaño de la muestra

m: Tamaño de la población.

e: error admisible

Ejemplos:7,23 redondeando a la décima sería 7,210, 284 redondeando a la centésima sería 10,28

Si el último dígito es mayor o igual que 5, se lo suprime y el dígito anterior es redondeadoa la cifra inmediata superior.Ejemplos:8,277 redondeando a la centésima es 8,28

14,375 redondeando a la centésima es 14,38

Sistema internacionalCuando la cantidad entera de un número es impar se aumenta una unidad más.Ejemplo:39,5 redondeando a dos cifras enteras 40Si la fracción decimal es exactamente 5 y si le precede una cifra par, no varía el número.Ejemplo:74,5 redondeando a dos cifras enteras 74

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS

CONCEPTO.- Son los valores más representativos de un conjunto de datos o valores conlos cuales se pueden hacer comparaciones y que sirven de base para un sistemaestadístico.

TIPOS1. COMPUTACIONALES: Utilizan formulas comprobadas matemáticamente o

científicamente2. NO COMPUTACIONALES O POSICIONALES: Cuando se lo realiza por simple

observación o se utilizan fórmulas empíricas con principios de interpolación.

MEDIDAS COMPUTACIONALES

MEDIA ARITMETICA ( )Es la razón de la sumatoria de los valores de la variable para el número total de ellas.= ∑

Ejemplo:Mediante los siguientes datos hallar la media aritmética. 10, 8, 6, 5, 10, 7= 10 + 8 + 6 + 5 + 10 + 76= 8 Aproximado

MEDIA ARITMETICA PONDERADA ( )Consiste en asignar importancia “pesos” a cado uno de los valores de la variable:

= ∑ ∗∑Ejemplo: Promedio de calificaciones las materias seguidas en tercero.

= 9 7 + 4.1 1 + 8.5 6 + 8 9.1 + 10 7.4 + 10 8.342= 8.3MEDIA ARITMÉTICA CON FRECUENCIAS ( )Es utilizada cuando los valores de la variable se repiten muchas veces.

= ∑ ∗∑ ∗Del ejemplo de la media aritmética:

= 10 ∗ 2 + 8 ∗ 1 + 6 ∗ 1 + 5 ∗ 1 + 7 ∗ 12 + 1 + 1 + 1 + 1= 8 Aproximado

Materia Importancia NotaFísica 7 9Estadística 1 4.7Redes 6 8.5Programación 8 9.1Cálculo 10 7.4Circuitos 10 8.3

Propiedades de la media aritmética:

1.- La sumatoria de los valores de la variable X menos la media aritmética es ceroaproximadamente cero. ( − ) = 02.- La sumatoria ( − ). es mínimo cuando X=Desventaja:La media aritmética se ve muy afectada por valores extremos que tengan las variables.

MEDIA GEOMETRICA ( )

Se define como la raíz enésima del producto de los “n” valores que puede tomar lavariable X.

=Ejemplo: Hallar la media geométrica de los números 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12= √3 ∗ 5 ∗ 6 ∗ 6 ∗ 7 ∗ 10 ∗ 12= 6,4Ventaja:

Es menos influenciada por valores externos a diferencia de la media aritmética.

Desventaja:

No es aplicable cuando existe valor 0 o cuando en ciertos casos hay números negativos.

MEDIA ARMÓNICAEs el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los valores de la variable X.

= 1∑ 1

Ejemplo: Una persona viaja de A hasta B con una velocidad media de 30 millas por hora(mi/h) y regresa de B hasta A, a una velocidad media de 60 mi/h. Cuál es la velocidadmedia en el viaje completo. = 1130 + 1602= 40mi/h

La media armónica está asociada directamente con series mecánicas donde intervenga eltiempo.

MEDIDAS POSICIONALES

MEDIANA (MED)Es el valor más central de la serie, divide al conjunto de valores en 2 partes iguales. Se lapuede calcular mediante un promedio o por simple observación. La mediana es unparámetro de tendencia central muy aplicado y que es muy cercano a la media aritméticapero que no se ve influenciado en absoluto por los valores extremos. No se utiliza encálculos matemáticos muy profundos.

Ejemplo: encuentre la mediana de los siguientes números: 9.6, 8.0, 7.7, 6.5, 10.0, 9.9Para encontrar la mediana se sigue los siguientes pasos.

1. Ordenar los datos. Puede ser en forma ascendente o descendente.10.0 9.9 9.6 8.0 7.7 6.5

2. Si el número de datos es par, se escoge los dos valores más centrales y se les sacaun promedio.

= 9.9 + 8.02= 8.83. En el caso de que el número de datos sea impar, se escoge el valor central de los

datos ordenados. Ejemplo: en los datos 14, 9, 8, 6, 5, 4, 3 la mediana sería 6.

MODA (MOD)Es el valor que más se repite en una serie estadística

Ejemplo: encuentre la moda de los siguientes valores 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12.La moda es 6.Nota: Cuando existe más de un número que se repite el mismo número de veces se diceque no existe moda, a su vez que bimodal, trimodal, etc. Según sea el caso.Ejemplo: 3, 5, 6, 6, 7, 10,10, 12.Se puede decir que la moda es bimodal por el número 6 y 10; o a su vez que no existe moda.

CUANTILESEs el número de partes que se divide una serie estadística o un conjunto de valores. Setiene cuatro tipos de cuantiles a saber:

# De cuantiles y parte en que dividen a la serie.

CUANTILES # DE PARTES QUE DIVIDELA SERIE

# DE CUANTILES AENCONTRAR

Cuartiles (Qi) 4 3Quintiles (Ki) 5 4Deciles (Di) 10 9

Percentiles (Pri) 100 99

Para el cálculo de los cuantiles en datos no agrupados primeramente se debe ubicar laposición en la serie a través de fórmulas empíricas para posteriormente determinar elvalor correspondiente.

Las fórmulas empíricas para encontrar la posición de los cuantiles es:1.- Cuartiles: = ( + 1)42.- Quintiles: = ( + 1)53.-Decil: = ( + 1)104.-Percentil: = ( + 1)100

Ejemplo: La estatura en metros de siete estudiantes de ingeniería fueron: 1.83, 1.72, 1.77,1.80, 1.71, 1.85, 1.80; determinar el quintil número uno, decil número 6, cuartil número 3,percentil número 61.

Para poder calcular los cuantiles es necesario en primer lugar ordenar los valores ya seaen forma descendente o ascendente.

En forma descendente: 1.85 1.83 1.80 1.80 1.77 1.72 1.71Cuartil 3 3 = 3( + 1)43 = ( ) = 6 Es la posición que va a tener el valor en la serie

Para encontrar el valor se procede a contar las posiciones en forma descendente por lotanto el valor de cuartil 3 es V(Q3) = 1.72Quintil 1 1 = 1( + 1)51 = 1(7 + 1)5 = 1.6

Cuando la posición del cuantil no es un número entero se procede a interpolar el valor dela siguiente forma:

1. Se observa entre que datos esta contenido el valor dependiendo de la posicióncalculado, en éste ejemplo la posición es 1.6 por lo tanto el valor buscado estaráentre 1.85 y 1.83

2. Se interpola de la siguiente forma:( 1) = 1.85 − [0.6(1.85 − 1.83)]

Donde:

N: Número de valoresde la variable

i: Número de cuantil.

( 1) = 1.838 ≅ 1.84Decil 6 6 = 6( + 1)106 = 6(7 + 1)10 = 4.8( 6) = 1.80 − [0.8(1.80 − 1.77)]( 6) = 1.776 ≅ 1.78Percentil 61 61 = 61( + 1)10061 = 61(7 + 1)100 = 4.88( 61) = 1.80 − [0.88(1.80 − 1.77)]( 61) = 1.773 ≅ 1.77MEDIDAS DE DISPERSION PARA DATOS NO AGRUPADOS

CONCEPTO.- Es el grado de alejamiento de los valores de la serie estadística con respectoa una medida de tendencia central.

La dispersión de los datos intenta dar una idea de cuán esparcidos se encuentran éstos, esde mucha utilidad cuando se realiza un análisis estadístico en mediciones, en control deproducción, en investigación estadística y cuando se requiere realizar análisis de cualquierinformación que se investigue.Las más utilizadas son rango, rango semiintercuartil, rango percentil, MAD, desviacióntípica o estandar, coeficiente de variación.

RANGO (R)Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de valores de la serieestadística.= . – .Ejemplo: Cuál es el rango del conjunto de datos 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12= 12 – 10= 2

L.maxL.minR

RANGO SEMIINTERCUARTIL (RK)El rango semiintercuartil es la distancia dividida para dos entre el cuartil tres y el cuartiluno. = ( 3) − ( 1)2RANGO PERCENTIL (RPr)Es la distancia que existe entre el percentil noventa y el percentil diez.= ( 90) − ( 10)Ejemplo: Para los siguientes datos calcule el rango semiintercuartil y rango percentil. 12,6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.Antes de resolver se debe ordenar los datos en forma descendente o ascendente.18 15 12 10 7 6 5 3Se procede a calcular las posiciones y valores de los cuartiles y percentiles.

3 = 3( + 1)43 = 3(8 + 1)43 = 6.751 = 1( + 1)41 = 1(8 + 1)41 = 2.2590 = 90( + 1)10090 = 90(8 + 1)10090 = 8.110 = 10( + 1)10010 = 10(8 + 1)10010 = 0.9( 1) = 15 − [0.25(15 − 12)]( 1) = 14.25 ≅ 14.3( 3) = 6 − [0.75(6 − 5)]( 3) = 5.25 ≅ 5.3( 10) = 18( 90) = 3

Finalmente se calcula los valores de los rangos.= 5.3 − 14.32= 4.5= ( 90) − ( 10)= 3 − 18= 15

Recordar que el rango es una distancia por lo tanto no se toma en cuenta el signo.

DESVIACION MEDIA ABSOLUTA (MAD)

Permite determinar el promedio de las desviaciones con respecto a una medida detendencia central ya sea esta computacional o posicional.Computacional = ∑ | − |Posicional = ∑ | − |DESVIACION TÍPICA O ESTANDAR (σ)Permite calcular el grado de dispersión real de una serie estadística por que utilizadesviaciones cuadráticas para su cálculoComputacional

σ = ∑ ( − )=1 2Posicional

σ = ∑ ( − )=1 2

VARIANZA (σ2)La varianza no es más que la desviación típica elevada al cuadrado y es utilizada para elcálculo inicial de la dispersión pero tiene el inconveniente de que las unidades quedanelevadas al cuadrado.

σ = ∑ ( − )

•Diferencia

Desviación





σ = ∑ ( − )=1 2


σ = ∑ ( − )

•Diferencia

Desviación

•Promedio

Media•Sin el signo

Absoluta





σ = ∑ ( − )=1 2


σ = ∑ ( − )

VARIANZA EXPERIMENTAL (σ2)Es una variante de la varianza que se utiliza en el cálculo de la incertidumbregeneralmente presente en las mediciones.

σ = ∑ ( − )( − 1)COEFICIENTE DE VARIACION (CV)Permite determinar en porcentaje el grado de dispersión que existe en los valores de laserie estadística. = σ 100%Ejemplo 1: Para el conjunto de datos mostrados calcule todas las medidas de dispersiónanalizadas. 18, 15, 12, 10, 7, 6, 5, 3

= 18 – 3= 15Media aritmética = ∑

= 768= 9.5

Xi |Xi-X| (Xi-X)2

18 8.5 72.2515 5.5 30.2512 2.5 6.2510 0.5 0.257 2.5 6.256 3.5 12.255 4.5 20.253 6.5 42.25sumatoria 34 190

Desviación media absoluta

= ∑ | − |= 348= 4.3

Desviación Típica

σ = ∑ ( − )=1 2σ = 1908σ = 4.9

Varianza

σ = ∑ ( − )σ = 23.2

Coeficiente de variación = σ 100%= 4.99.5 ∗ 100%= 51.6%

DATOS AGRUPADOS

La agrupación de datos generalmente responde a necesidades de carácter metodológicodebido a que cuando se tienen demasiados valores de las variables investigadas esimposible analizarlos sin previamente ordenarlos o agruparlos de alguna manera. Razónmás que fundamental para utilizar conceptos como frecuencias, distribución defrecuencias, intervalos, clases que a continuación se definirán.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIASOrganizar los datos en series estadísticas de tipo cuantitativas a través de clases yfrecuencias para posteriormente determinar por separado mediante técnicas de conteo elnúmero de observaciones pertenecientes a cada una de ellas.

Tabla de distribución de frecuencias.- Colocar las clases y frecuencias en tablas“tabulación” para su posterior análisis mediante técnicas estadísticas.

Clase.- Categorías o niveles que se establece al clasificar o dividir los datos obtenidos enuna investigación.

Frecuencias (f) .- Es el número de veces que se repite un mismo valor de la variable. En ladistribución de frecuencias se considera la frecuencia de la clase que es el número devalores que están contenidos en una clase.

Tabla de distribución de frecuenciasCLASES f

0.1355 0.1287 50.1287 0.1219 60.1219 0.1151 100.1151 0.1083 140.1083 0.1015 90.1015 0.0947 50.0947 0.0879 1

Intervalo de clase.- Son todos los valores que están comprendidos entre dos límitesincluidos ellos. Ejemplo: en el intervalo de 70 a 75 están incluidos los valores de 70, 71, 72,73, 74, 75.

Límites de clase.- Son los valores extremos que forman el intervalo, siendo los valoresmás grande y más pequeño de la clase respectivamente. Del ejemplo anterior el límiteinferior es 70 y el límite superior es 75.

Límites reales de clase.- Son los valores verdaderos que se consideran como límitestomando en cuenta que los valores pueden aproximarse a un número determinado decifras significativas. Ejemplo: en los datos anteriores los límites reales son: 69.5 y 75.5.Se considera el limite real inferior (LRi) y límite real superior (LRs). Para encontrarlos sedebe considerar el número de cifras decimales que tiene los datos y aumentarle y quitarle5 a las últimas cifras según sea el caso.

Frecuencias declase

Clases

Ejemplo: los límites de un intervalo son 56.786 y 60.787. ¿Cuáles serán los límitesreales?LRi = 56.7855 LRs = 60.7875

Amplitud o recorrido de la variable “Rango” (R)Se define como la distancia o diferencia que se establece entre el valor mayor y el valormenor de la variable en el conjunto de datos recolectados.

= −Ancho del intervalo o longitud de clase (i).- Es la diferencia entre los límites realessuperior e inferior. = −

Número de intervalos (ni).- Constituye un número entero que refleja la totalidad de lasclases. Se puede calcular a través de las siguientes fórmulas.= √Fórmula de Esturges = 1 + 3.332 ∗ ( )Donde: n = número de datos.

En el caso de que se plantee el ancho del intervalo el número de intervalos será:= + 1

Generalmente se calcula primero el número de intervalos y luego el ancho del intervalocon la expresión. = − 1

NOTA: i tiene que tenerun decimal más que losque tienen en los datos.

NOTA: (ni) siempre va a

Ser un valor entero.

Frecuencia acumulada (fa).- Es la suma de las frecuencias a partir de la frecuencia delúltimo de los intervalos.

Frecuencia relativa (fr).- Es la relación que se establece al dividir la frecuencia de cadaclase para el número total de datos. =Frecuencia porcentual (%f).- Es el producto de la frecuencia relativa por el cien por ciento.% = ∗ 100%Marca de clase (Xm).- Es el valor promedio de cada intervalo.= +2Ejemplo: Elabore una tabla de distribución de frecuencias para los siguiente datospresentados.

0.110 0.110 0.126 0.112 0.117 0.113 0.135 0.107 0.1220.113 0.098 0.122 0.105 0.103 0.119 0.100 0.117 0.1130.124 0.118 0.132 0.108 0.115 0.120 0.107 0.123 0.1090.117 0.111 0.112 0.101 0.112 0.111 0.119 0.103 0.1000.108 0.120 0.099 0.102 0.129 0.115 0.121 0.130 0.1340.118 0.106 0.128 0.094 0.111

Rango: = −= 0.135 − 0.094= 0.041Número de intervalos (ni) = √= √50= 7.0711 ≅ 7

El número de intervalos no debe sermenor a 5 ya que las frecuencias

estarían muy concentradas

El número de intervalos no debe sermayor que 15 ya que las frecuancias

estarían muy dispersas.

Ancho del intervalo (i) = − 1= 0.0417 − 1= 0.0068Tabla de distribución de frecuenciasPara comenzar a elaborar la tabla se toma el valor mayor de los datos y se lo toma comolímite real superior es decir se lo adiciona 5 como última cifra decimal es decir: 0.135como límite real superior sería 0.1355.

Posteriormente para encontrar el límite real inferior se lo hace restando del límite realsuperior el ancho del intervalo. = −= 0.1355 − 0.0068= 0.1287Este límite calculado se convierte en el superior del siguiente intervalo y así se procedehasta obtener el número de intervalos calculados.

Tabla de distribución de frecuencias

CLASES Xm f fa fr %f0.1355 0.1287 0.1321 5 50 0.1000 10.00000.1287 0.1219 0.1253 6 45 0.1200 12.00000.1219 0.1151 0.1185 10 39 0.2000 20.00000.1151 0.1083 0.1117 14 29 0.2800 28.00000.1083 0.1015 0.1049 9 15 0.1800 18.00000.1015 0.0947 0.0981 5 6 0.1000 10.00000.0947 0.0879 0.0913 1 1 0.0200 2.0000

SUMATORIA 50 1.0000 100.0000

Nota: La primera y la última siempre debe tener un valor de frecuencia y no puede sercero.

PRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Para observar mejor los datos agrupados en la distribución de frecuencias se recurre a lapresentación gráfica de los mismos utilizando sistemas de referencia adecuados,generalmente el primer cuadrante del sistema cartesiano.

Histograma.- Un histograma es un conjunto de rectángulos que están juntos unos a otrosy que tienen el mismo espesor y que corresponde al ancho del intervalo. En el eje X serepresenta las clases y en el eje Y las frecuencias. Ejemplo

Polígonos de frecuencia.- Es un gráfico de trozos de la frecuencia de cada clase conrelación a las marcas de clase; se lo puede representar en el mismo gráfico del histogramasimplemente añadiendo un punto más antes y después de la última y la primera clase.El polígono de frecuencias se grafica utilizando las marcas de clase en el eje X y lasfrecuencias en el eje Y. Ejemplo

02468

10121416

46.3 42.1

50.5 46.3

Frec

uenc

ias

Histograma





42.1 37.9 33.7 29.5 25.3 21.1

46.3 42.1 37.9 33.7 29.5 25.3

Serie Estadística

Histograma





Diagrama de sectores “pastel”.- El diagrama de sectores es una representación de losdatos en un circulo para lo cual se utiliza los valores de la frecuencia porcentual (%f)distribuidos en los 360 grados que posee dicho circulo. Para lo cual se puede recurrirfácilmente a una regla de tres.

100 % 360 grados%f xEjemplo:

Diagrama de frecuencias acumuladas “Ojiva”.- El diagrama de frecuencias acumuladaspermite observar la tendencia de concentración de los datos según la longitud de lossegmentos dibujados.

02468

10121416

0,13

21

0,12

53

0,11

85

0,11

17

0,10

49

0,09

81

0,09

13

POLIGONO DE FRECUENCIAS

POLIGONO DEFRECUENCIAS

10,0

12,0

20,0

28,0

18,0

10,0

2,0

DIAGRAMA DE SECTORES

1

2

3

4

5

6

7

Para graficar se lo debe hacer colocando en el eje X las marcas de clase y en el eje Y lasfrecuencias acumuladas. Ejemplo

MEDIDAS DE TENDENCIAL CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS

CONCEPTO.- Son los valores más representativos de un conjunto de datos o valoresagrupados en la tabla de distribución de frecuencias con los cuales se pueden hacercomparaciones y que sirven de base para el análisis de un sistema estadístico.

TIPOSCOMPUTACIONALES: Utilizan formulas comprobadas matemáticamente o científicamentepara su cálculo pero que utilizan las frecuencias y marcas de cada clase a diferencia de losdatos no agrupados.

NO COMPUTACIONALES O POSICIONALES: Se utilizan fórmulas empíricas con principiosde interpolación y que utilizan las columnas de frecuencia, frecuencia acumulada y límitespara su cálculo.

MEDIDAS COMPUTACIONALES

MEDIA ARITMETICA ( )Es la razón de la sumatoria de los valores de la marca de clase por la frecuencia de cadaclase para el número total de datos.

0

10

20

30

40

50

60

0,1321 0,1253 0,1185 0,1117 0,1049 0,0981 0,0913

Frecuencia acumulada

Frecuencia acumulada

= ∑ ∗MEDIA GEOMETRICA ( )

Se define como el antilogaritmo de la razón entre la sumatoria del producto de lasfrecuencias de cada clase y el logaritmo decimal de las marcas de clase para el número dedatos.

El antilogaritmo es la operación contraria al logaritmo.

= ( ∑ ∗ )MEDIA ARMÓNICAEs el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de la marca de clase por lafrecuencia de cada una de las clases.

= 1∑ ∗ 1

Ejemplo: En la oficina de un diario, el tiempo que se tardan en imprimir la primera planafue registrado durante 50 días. A continuación se presentan los datos.

DATOS20.8 22.8 21.9 22 20.7 20.9 25 22.2 22.8 20.125.3 20.7 22.5 21.2 23.8 23.3 20.9 22.9 23.5 19.523.7 20.3 23.6 19 25.1 25 19.5 24.1 24.2 21.821.3 21.5 23.1 19.9 24.2 24.1 19.8 23.9 22.8 23.919.7 24.2 23.8 20.7 23.8 24.3 21.1 20.9 21.6 22.7

Determine las medidas de tendencia central computacionales.

Las operaciones de multiplicación ysumas se las realiza rápidamente en lamisma tabla de distribución defrecuencias

Rango: = −= 25.3 − 19= 6.3Número de intervalos (ni) = 1 + 3.332 ∗ log ( )= 1 + 3.332 ∗ log (50)= 6.661 ≅ 7Ancho del intervalo (i) = − 1= 6.37 − 1= 1.05Tabla de distribución de frecuencias

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

CLASES f Xm fa fr %f f*Xm f*log(Xm) f*(1/Xm)25.35 24.30 5 24.83 50 0.10 10.00 124.13 6.97 0.2024.30 23.25 14 23.78 45 0.28 28.00 332.85 19.27 0.5923.25 22.20 8 22.73 31 0.16 16.00 181.80 10.85 0.3522.20 21.15 7 21.68 23 0.14 14.00 151.73 9.35 0.3221.15 20.10 10 20.63 16 0.20 20.00 206.25 13.14 0.4820.10 19.05 5 19.58 6 0.10 10.00 97.88 6.46 0.2619.05 18.00 1 18.53 1 0.02 2.00 18.53 1.27 0.05

SUMATORIA 50 1.00 100.00 1113.15 67.31 2.26

Medidas computacionales

Media aritmética = ∑ ∗= 1113.1550= 22.26

Media geométrica

= ( ∑ ∗ )= ( 67.3150 )= (1.35)= 10 .= 22.20

Media Armónica

= 1∑ ∗ 1= 12.2650= 22.13

MEDIDAS POSICIONALES

MEDIANA (MED)

Es el valor más central de la serie estadística, divide al conjunto de las clases en 2 partesiguales. La mediana es un parámetro de tendencia central muy aplicado y que para sudeterminación se utiliza la columna de las frecuencias acumuladas junto con el ancho delintervalo.

= + 2 − ∗Donde:

: Límite real inferior de la clase de la mediana.

: Frecuencia acumulada anterior a la clase de la mediana.

: Frecuencia de la clase de la mediana.

: Ancho del intervalo.

MODA (MOD)

Es el valor que más se repite en una serie estadística, para su cálculo se utiliza la columnade las frecuencias junto con el ancho del intervalo.

= + ∆1∆1 + ∆2 ∗Donde

∆1 = −∆2 = −: Límite real inferior de la clase modal.


CUANTILES

Es el número de partes iguales que se divide una serie estadística, para su cálculo sedetermina con la columna de las frecuencias acumuladas y el ancho del intervalo.

CUARTIL (K)La fórmula utilizada para encontrar los cuartiles según su número es:

= + 4 − ∗Donde:

: Límite real inferior de la clase del cuartil.

: Frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.

: Frecuencia de la clase del cuartil.


j: Número del cuartil.

QUINTIL (Q)La fórmula utilizada para encontrar los quintiles según su número es:

= + 5 − ∗Donde:

: Límite real inferior de la clase del quintil.

: Frecuencia acumulada anterior a la clase del quintil.

: Frecuencia de la clase del quintil.


j: Número del quintil.

DECIL (D)La fórmula utilizada para encontrar los deciles según su número es:

= + 10 − ∗Donde:

: Límite real inferior de la clase del decil.

: Frecuencia acumulada anterior a la clase del decil.

: Frecuencia de la clase del decil.


j: Número del decil.

PERCENTIL (Pr)La fórmula utilizada para encontrar los percentiles según su número es:

= + 100 − ∗Donde:

: Límite real inferior de la clase del percentil.

: Frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.

: Frecuencia de la clase del percentil.


j: Número del percentil.

Ejemplo: La tabla adjunta muestra los diámetros en centímetros de una muestra de 60bolas de cojinete manufacturados por una fábrica.1.738 1.729 1.743 1.740 1.736 1.741 1.735 1.731 1.726 1.737 1.728 1.7371.736 1.735 1.724 1.733 1.742 1.736 1.739 1.735 1.745 1.736 1.742 1.7401.728 1.738 1.725 1.733 1.734 1.732 1.733 1.730 1.732 1.730 1.739 1.7341.738 1.739 1.727 1.735 1.735 1.732 1.735 1.727 1.734 1.732 1.736 1.7411.736 1.744 1.732 1.737 1.731 1.746 1.735 1.735 1.729 1.734 1.730 1.740

Determine la mediana, la moda el cuartil 3, quintil 2, decil 5 y percentil 90. “Utilice la raízpara el cálculo del número de intervalos”Rango: = −= 1.746 − 1.724= 0.022Número de intervalos (ni) = √= √60= 7.746 ≅ 8Ancho del intervalo (i) = − 1= 0.0228 − 1= 0.0031

Medidas posicionales de tendencia central

CLASES f fa Xm1.7465 1.7434 3 60 1.74501.7434 1.7403 5 57 1.74191.7403 1.7372 9 52 1.73881.7372 1.7341 17 43 1.73571.7341 1.7310 14 26 1.73261.7310 1.7279 7 12 1.72951.7279 1.7248 4 5 1.72641.7248 1.7217 1 1 1.7233

SUMATORIAS 60

Mediana = + 2 − ∗Procedimiento de cálculo:

1. Determine el resultado de 602 = 302. Con el resultado anterior determine en la columna de la frecuencia acumulada en

que clase queda contenido dicho valor. En este ejemplo está en la clase número 4,

ya que el valor de 30 es mayor que 26 y menor 43.

3. Se localiza el , , observando en la tabla de distribución de

frecuencias. Los valores son:

= 1.7341 = 17 = 264. Se calcula la mediana = 1.7341 + 30 − 2617 ∗ 0.0031= 1.7348

Moda

= + ∆1∆1 + ∆2 ∗Procedimiento de cálculo

1. En la tabla de distribución de frecuencia se observa la clase que tiene mayorfrecuencia; ésta se convierte en la frecuencia modal y se obtiene también el

. En éste ejemplo la frecuencia modal es 17 y límite real inferior de la clasemodal es 1.7341. En el caso de haber más de una clase con la misma frecuenciano existirá moda.

2. Se localiza la frecuencia premodal que es aquella que está antes de la frecuenciamodal en éste ejemplo es 14, y de la misma forma la postmodal que es la que está

después de la frecuencia modal en éste ejemplo 9. “Se comienza a contar desde laúltima clase”.

3. Se calcula ∆1 y ∆2∆1 = − ∆1 = 17 − 14 = 3∆2 = − ∆2 = 17 − 9 = 84. Se calcula la moda.

= 1.7341 + 33 + 8 ∗ 0.0031= 1.7349Cuantiles

El procedimiento de cálculo es similar al de la mediana ya que hay que recordar que lamediana es un cuantil que divide en dos partes iguales a la serie estadística.

Cuartil 3.

= + 4 − ∗= 1.7372 + 3604 − 439 ∗ 0.0031

= 1.7379Quintil 2.

= + 5 − ∗= 1.7310 + 2605 − 1214 ∗ 0.0031

= 1.7337

Decil 5

= + 10 − ∗= 1.7341 + 56010 − 2617 ∗ 0.0031

= 1.7348Percentil 90

= + 100 − ∗= 1.7403 + 90 60100 − 525 ∗ 0.0031

= 1.7415MEDIDAS DE DISPERSION PARA DATOS NO AGRUPADOS

CONCEPTO.- Es el grado de alejamiento de los valores de la serie estadística con respectoa una medida de tendencia central.

RANGO (R)Es la diferencia entre el límite real superior de la primera clase y el límite real inferior dela última clase.

= – ú

RANGO SEMIINTERCUARTIL (RK)El rango semiintercuartil es la distancia dividida para dos entre el cuartil tres y el cuartiluno que se encuentren en la tabla de distribución de frecuencias.

R

= 3 − 12RANGO PERCENTIL (RPr)Es la distancia que existe entre el percentil noventa y el percentil diez encontrados en latabla de distribución de frecuencias.

= 90 − 10DESVIACION MEDIA ABSOLUTA (MAD)

Permite determinar el promedio de las desviaciones con respecto a una medida detendencia central ya sea esta computacional o posicional. Para su cálculo se utilizafrecuencias y marcas de clase.

Computacional = ∑ ∗ | − |Posicional = ∑ ∗ | − |DESVIACION TÍPICA O ESTANDAR (σ)Permite calcular el grado de dispersión real de una serie estadística por que utilizadesviaciones cuadráticas para su cálculo. Se determina con las frecuencias y marcas declase.Computacional

σ = ∑ ∗( − )=1 2Posicional

σ = ∑ ∗( − )=1 2

•Diferencia

Desviación






σ = ∑ ∗( − )=1 2

•Diferencia

Desviación

•Promedio

Media•Sin el signo

Absoluta






σ = ∑ ∗( − )=1 2


σ = ∑ ∗( − )COEFICIENTE DE VARIACION (CV)Permite determinar en porcentaje el grado de dispersión que existe en los valores de laserie estadística. = σ 100%Ejercicio: En el ejemplo anterior calcule las medidas de dispersión.

Medidas de dispersión para datos agrupados

CLASES f fa Xm f*|Xm-X| f*(Xm-X)^21.7465 1.7428 4 60 1.7447 0.0392 0.00041.7428 1.7391 7 56 1.7410 0.0427 0.00031.7391 1.7354 15 49 1.7373 0.0361 0.00011.7354 1.7317 20 34 1.7336 0.0259 0.00001.7317 1.7280 9 14 1.7299 0.0450 0.00021.7280 1.7243 4 5 1.7262 0.0348 0.00031.7243 1.7206 1 1 1.7225 0.0124 0.0002

SUMATORIAS 60 0.2361 0.0014

Rango = – ú= 1.7465 – 1.7206= .Rango semiintercuartil

= 3 − 12= 1.7372 + 3604 − 439 ∗ 0.0031

= 1.7379= 1.7217 + 1604 − 1420 ∗ 0.0031

= 1.7219= 1.7379 − 1.72192= .

Rango percentil

= 90 − 10= 1.7403 + 90 60100 − 525 ∗ 0.0031

= 1.7415= 1.7280 + 10 60100 − 59 ∗ 0.0031

= 1.7283= 1.7415 − 1.7283= .Desviación media absoluta

= ∑ ∗ | − |

= 0.236160= 0.0039Desviación típica o estandar

σ = ∑ ∗( − )=1 2σ = 0.001460

= .Varianza (σ2)

σ = ∑ ∗( − )σ = 0.001460= .

Coeficiente de variación

= σ 100%= 0.00481.7348 100%

= . %RELACIÓN ENTRE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL COMPUTACIONALES Y MEDIDAS DEDISPERSIÓN

CÁLCULO DE PERCENTILES

Los percentiles se pueden calcular en función de la media aritmética y la desviación típicao estandar (σ) de una forma rápida a través de unas constantes que dependen del númerode percentil.

La expresión para determinar dichos percentiles es:

= ± ∗Donde:Pr: Percentil

: Media aritméticaZ: Constante según el percentil elegido.σ: Desviación típica o estandar.

Valores de la constante Z según el percentil

Ejemplo de cálculo:En un estudio sobre la talla de una población de estudiantes se la media aritmética fue de1750 mm, y la desviación típica de 67,07 mm. Calcular los valores de estatura quequedaran comprendidos en el 90% de ésta población

Esto significa que se debe analizar los valores comprendidos entre el 5 y 95 % de lapoblación por lo cual es necesario calcular el percentil 5 y 95.

El valor de Z según la tabla para estos percentiles es de 1.65

5 = 1750 − 1.65 ∗ 67.075 = 1639.395 = 1750 + 1.65 ∗ 67.0795 = 1860.7Por lo tanto los valores de estatura que corresponden al 90% de la población está entre1639.3 mm y 1860.7 mm.

Utilidad de los percentiles

Los percentiles son muy útiles en el diseño y tienen mucha significancia en eldimensionamiento. Ejemplo: analice el siguiente gráfico.

Como dimensionar la estantería para que un porcentaje de la población no tenga ningúninconveniente en tomar la caja de la repisa. De una solución.

MOMENTOS ESTADÍSTICOS

Al igual que las medidas de dispersión y de tendencia central los momentos estadísticospermite también realizar un análisis estadístico de los datos que resulten de lainvestigación estadística.

Algunos de los momentos estadísticos son muy útiles en el análisis de curvas dedistribución de frecuencias por ejemplo en la determinación el sesgo y el curtosis.

Concepto.- Es un parámetro que permite un análisis cuantitativo de los datos de una serieestadística.Se definen los momentos con respecto a la variable X y con respecto a la media aritmética.

a) Con respecto a la variable X

→ − − éSu fórmula matemática es:

Para datos no agrupados

= ∑Para datos agrupados

= ∑ ∗El momento de grado 1 con respecto a la variable X es la media aritmética.

b) Con respecto a la media aritmética

→ − − é éSu fórmula matemática es:


= ∑ ( − )Para datos agrupados

= ∑ ∗ ( − )Si r = 1, el momento de grado 1 con respecto a la media aritmética es cero, si r = 2, elmomento de grado dos con respecto a la media aritmética es la varianza.

También se puede definir un momento con respecto a un valor constante cualquiera.


′ = ∑ ( − )Para datos agrupados

′ = ∑ ∗ ( − )Ejemplo 1:Para los valores 5, 8, 7, 3, 2, 1, 9 calcule el momento de grado 1, momento de grado 4,momento de grado 3 con respecto a la media aritmética.

a) Momento de grado 1

= ∑= 5 + 8 +7 +3 +2 + 1 + 97= 5

Este valor corresponde a la media aritmética.

b) Momento de grado 4.

= ∑= 5 + 8 + 7 + 3 + 2 + 1 + 97= 1968.7

c) Momento de grado 3 con respecto a la media aritmética

= ∑ ( − )= (5 − 5) + (8 − 5) + (7 − 5) + (3 − 5) +(2 − 5) + (1 − 5) + (9 − 5)7= 0

Ejemplo 1:Para la siguiente tabla de distribución de frecuencias calcule el momento estadístico 6 y elmomento 5 con respecto a la media aritmética.

Distribución de frecuencias

CLASES f fa Xm f*Xm1.7465 1.7434 3 60 1.7450 5.23491.7434 1.7403 5 57 1.7419 8.70931.7403 1.7372 9 52 1.7388 15.64881.7372 1.7341 17 43 1.7357 29.50611.7341 1.7310 14 26 1.7326 24.25571.7310 1.7279 7 12 1.7295 12.10621.7279 1.7248 4 5 1.7264 6.90541.7248 1.7217 1 1 1.7233 1.7233

SUMATORIAS 60 104.0894

= 104.089460= 1.7348

f*Xm^6 f*(Xm-X)^584.6875 0.0000000003

139.6479 0.0000000001248.6940 0.0000000000464.7526 0.0000000000378.6541 0.0000000000187.3036 0.0000000000105.8847 -0.000000000226.1872 -0.0000000002

1635.8117 -0.000000000001

a) Momento 6 = ∑ ∗= 1635.811760= .

b) Momento 5 con respecto a la media aritmética

= ∑ ∗ ( − )= −0.00000000000160= − .

MOMENTOS ESTADÍSTICOS ADIMENSIONALESPara evitar unidades particulares se utiliza los momentos adimensionales respecto a lamedia aritmética.Todo momento a dimensional se lo obtiene dividiendo para la desviación típica elevada alexponente del momento.

= = ( )Para momento adicional 1 su valor será cero, y para el momento adicional 2 su valor será1.

Ejemplo: Para los valores 5, 8, 7, 3, 2, 1, 9 calcule el momento adimensional 4.La media aritmética es 5.

a) Momento de grado 4 con respecto a la media aritmética

= ∑ ( − )= (5 − 5) + (8 − 5) + (7 − 5) + (3 − 5) +(2 − 5) + (1 − 5) + (9 − 5)7= 100.9

Desviación típica:

σ = ∑ ( − )=1 2σ = 587σ = 2.9

Momento adimensional 4 == 100.92.9= 34.8

SESGOEl sesgo es el grado de asimetría que tiene distribución de frecuencia, es decir, cuánto seaparta de la simetría. Si la curva del polígono de frecuencias suavizado “sin trazos rectos”de una distribución tiende a la derecha una cola más larga que a la izquierda, se dicesesgada a la derecha, o de sesgo positivo. Por lo contrario si la distribución tiene una colamás larga a la izquierda, se dice sesgada a la izquierda, o de sesgo negativo.

Sesgada a la derecha:

Sesgada a la izquierda:

Distribución normal:

Coeficiente de Karl Pearson (SK)

Para una distribución normal la media aritmética, la moda, y la mediana tienen el mismovalor. Mientras más diferente sean media aritmética y la moda, más asimétrica es la curvade distribución. El coeficiente de Karl Pearson mide el grado de asimetría en unidades dedesviación estándar con la siguiente expresión:

= −Si la media es mayor que la moda, entonces, SK es positivo. Es decir, el sesgo es positivo.Si la media es menor que la moda, SK es negativo, es decir el sesgo es negativo.Si la media es igual a la moda, SK=0 y la distribución es simétrica.

Ejemplo: Para un conjunto de datos el valor de la media es 0.2608, el valor de la moda es0.258. Por otra parte, el valor de la desviación estándar es 0.0408. Qué tipo dedistribución se tiene.

= 0.2608 − 0.2580.0408= 0.069Respuesta: Se tiene una distribución positiva o sesgada a la derecha.

Coeficiente de Arthur Bowley (SKK)Este coeficiente, utiliza para su cálculo los cuartiles de orden uno, dos y tres.

= − 2 +−Si SKK es positivo, el sesgo es positivo.Si SKK es negativo, el sesgo es negativo.Si SKK = 0, la distribución es simétrica.

Ejemplo: Calcular el coeficiente de Arthur Bowley para los datos en los cuales el cuartil 3tiene un valor de 0.291, el cuartil 2 tiene un valor 0.260 y el cuartil 1 tiene un valor de0.232.

= 0.291 − 2 ∗ 0.260 + 0.2320.291 − 0.232= 0.05El sesgo es positivo implica que es sesgada a la derecha.

Momento estadístico adimensional para la determinación del sesgo

La expresión más importante con sustento matemático para la determinación del sesgo esa través del momento estadístico adimensional 3.

→ á ó .=

Si es positivo, el sesgo es positivo.Si es negativo, el sesgo es negativo.Si = 0, la distribución es simétrica.

Ejemplo: Para la distribución de frecuencias presentada a continuación determine quétipo de curva de distribución se obtiene.

Distribución de frecuencias

CLASES f fa Xm f*Xm f*(Xm-X)^2 f*(Xm-X)^31.7465 1.7428 4 60 1.7447 6.9786 0.0004 0.0000041.7428 1.7391 7 56 1.7410 12.1867 0.0003 0.0000021.7391 1.7354 15 49 1.7373 26.0588 0.0001 0.0000001.7354 1.7317 20 34 1.7336 34.6710 0.0000 0.0000001.7317 1.7280 9 14 1.7299 15.5687 0.0002 -0.0000011.7280 1.7243 4 5 1.7262 6.9046 0.0003 -0.0000031.7243 1.7206 1 1 1.7225 1.7225 0.0002 -0.000002

SUMATORIAS 60 104.0907 0.0014 -0.00000013

Media aritmética = 104.090760= 1.7348Desviación típica

σ = 0.001460σ = 0.0049Momento adimensional 3. =Momento estadístico 3 con respecto a la media.= −0.0000001360= −2.1 10

= −2.1 100.0049= −0.02Esto implica que la curva de distribución de frecuencias está sesgada a la izquierda.

CURTOSISLa curtosis mide cuan puntiaguda es una distribución con respecto a la distribuciónnormal. Si tiene un pico alto se dice que es leptocúrtica, mientras si es aplastada se diceque es platicúrtica. La distribución normal según éste criterio es mesocúrtica.

Leptocúrtica

Platicúrtica

Mesocúrtica

0

5

10

15

20

25

1,7200 1,7250

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS


Leptocúrtica

Platicúrtica

Mesocúrtica

1,7300 1,7350 1,7400 1,7450 1,7500

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS MEDIA ARITMÉTICA


Leptocúrtica

Platicúrtica

Mesocúrtica

1,7500

Momento estadístico adimensional para la determinación de la curtosis

Una medida del la curtosis utiliza el cuarto momento respecto a la media adimensional yviene dada por:

=Una distribución es mesocúrtica cuando = 3Una distribución es leptocúrtica cuando > 3Una distribución es platicúrtica cuando < 3

Otra medida de la curtosis se la puede obtener a través del cálculo del rangosemiintercuartil y el rango percentil.

Curtosis = → 0.263Ejemplo: En la tabla de distribución mostrada anteriormente calcule la curtosis.

f*(Xm-X)^40.000000040.000000010.000000000.000000000.000000010.000000020.000000020.00000010

Momento estadístico 4 con respecto a la media.= 0.0000001060= 1.7 10= 1.7 100.0049= 2.85

Esto implica que la curva de distribución de frecuencias platicúrtica.

Suma

TEORIA ELEMENTAL DEL MUESTREO

La teoría del muestreo estudia la relación entre una población y las muestras tomadas deella. Se utiliza para estimar magnitudes desconocidas de una población, tales como lamedia y la varianza llamados como parámetros de la población, a partir del conocimientode esas magnitudes “estadísticos” sobre muestras.Permite también determinar si las diferencias observadas entre dos muestras son debidasa variaciones fortuitas o si son realmente significativas. Ejemplo si la selección de circuitospara el armaje de un microcontrolador es mejor que la selección de otro tipo de circuitospara armar el mismo microcontrolador.

= ( )

Características de la muestra- Representativa. “Todos los elementos de la población tienen que tener la misma

oportunidad de ser considerado en la muestra”.- Tamaño adecuado.- De tal modo que los resultados de la investigación no sean

dudosos por haber tomado una muestra muy pequeña.- Que el margen de error admisible esté dentro del límite aceptado por la estadística

< = 15%.

Muestras aleatoriasPara que las conclusiones del muestreo y de la inferencia estadística sean válidas, lasmuestras deben escogerse representativamente de la población. El análisis de losmétodos de muestreo y problemas relacionados se llama diseño del experimento.Una forma para obtener una muestra representativa es mediante muestreo aleatorio deacuerdo con el cual, cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de serincluido en la muestra.Un método para lograr esto es recurrir a números aleatorios. Ver apéndice IX página 545“Estadística Spiegel Murray – segunda edición”

Muestra

Población

Muestreo con y sin reposiciónSi se saca un número de una urna, se lo puede volver a ponerlo o no, antes de la siguienteextracción. En el primer caso ese número puede salir de nuevo más veces, mientras queen el segundo caso sólo puede salir cada número una vez. Esos dos tipos de muestreo sellaman, respectivamente muestreo con reposición y muestreo sin reposición.

Ejemplo: Seleccionar 10 muestras de 4 estudiantes con reposición de la siguiente tabla:Altura de 100 estudiantes de los niveles básicos

1. Se debe asignar números a los 100 estudiantes comenzando desde el 0.Altura (pulgadas Xm Número de estudiantes Número de muestreo

60-62 61 5 00-0463-65 64 18 05-2266-68 67 42 23-6469-71 70 27 65-9172-74 73 8 92-99

2. Escoger números de la tabla de valores aleatorios y hacer una correspondencia alos intervalos en la “columna del número de muestra” en los cuales está contenidoasí, el número aleatorio 51 corresponde al intervalo 66 – 68 pulgadas porque en elnúmero de muestra está entre 23 y 64 y el valor que toma es el de la marca declase 67.

# de muestra Números aparecidos en la muestra Altura correspondiente1 51,77,27,46 67, 70, 67, 672 40,42,33,12 67, 67, 67,643 90,44,46,62 70, 67, 67, 674 16,28,98,93 64, 67, 73, 735 58,20,41,86 67, 64, 67, 706 19,64,08,70 64, 67, 64, 707 56,24,03,32 64, 67, 61, 678 34,9183,58 67, 70, 70, 679 70,65,68,21 70, 70, 70, 64

10 96,02,13,87 73, 61, 64, 70

Altura (pulgadas) Número de estudiantes60-62 563-65 1866-68 4269-71 2772-74 8

Total = 100

Distribuciones de muestreoSi se considera todas las posibles muestras de tamaño (n) en una población dada (con osin reposición), y para cada una de las muestras se calcula un estadístico (mediaaritmética, desviación típica, etc.) que varían para cada una de ellas, de éste modo seobtiene una distribución del estadístico que se llama distribución de la muestra.Si el estadístico utilizado es la media, se obtiene una “distribución de muestreo de lamedia”.

Distribución de muestreo de mediasSi se toman todas las posibles muestras de tamaño de “n”, sin reposición de una poblaciónfinita de tamaño m > n y de ellas se calcula la media y la desviación típica de la distribuciónde muestreo de medias se obtiene que:

== √ ∗ −− 1

Donde:: Media aritmética de la muestra.: Desviación típica de la muestra

: Desviación típica de la población.: Media aritmética de la población.

Para una población infinita o muestreo con reposición las relaciones son:

== √

Ejemplo: Para el problema anterior determine la media a partir de las muestras.

# de muestra Números aparecidos en la muestra Alturacorrespondiente

1 51,77,27,46 67, 70, 67, 67 67.82 40,42,33,12 67, 67, 67,64 66.33 90,44,46,62 70, 67, 67, 67 67.84 16,28,98,93 64, 67, 73, 73 69.35 58,20,41,86 67, 64, 67, 70 67.06 19,64,08,70 64, 67, 64, 70 66.3

7 56,24,03,32 64, 67, 61, 67 64.88 34,9183,58 67, 70, 70, 67 68.59 70,65,68,21 70, 70, 70, 64 68.5

10 96,02,13,87 73, 61, 64, 70 67.0Media de muestras 67.3

Para éste ejemplo a partir de las medias aritméticas de cada una de las muestras sedetermina la media de todas ellas y por lo tanto la media de la población será:

= = 67.3Para valores grandes de tamaño de la muestra “n” a partir de (n30), la distribución demuestreo de medias es aproximadamente normal independientemente de la poblaciónsiempre y cuando la media poblacional y la varianza sean finitas y el tamaño de lapoblación sea al menos el doble que de la muestra.

CORRELACION Y REGRESION ESTADISTICAMuchos fenómenos en la naturaleza están asociados a la relación de las variables querigen su comportamiento de tal modo que existen leyes que los gobiernan como es el casode una velocidad en el movimiento rectilíneo uniforme en el cual dicha velocidad dependedel cambio de posición en un intervalo de tiempo o la presión atmosférica que cambia conla altura de la localidad en la cual se mide. Existen otros fenómenos en los cuales es deinterés saber la relación que existe entre sus variables por ejemplo el consumo de gasolinade un auto en función del peso y la potencia del motor para lo cual sería convenienteencontrar una relación entre dichas variables. ¿Cómo hacerlo?

CORRELACIONEs el grado de relación que existe entre los datos o las variables en un fenómenoestadístico.Es el grado de interconexión entre las variables, para las cuales intenta determinar conqué precisión describe o explica la relación a través de una ecuación.

• Se dice que los datos están correlacionados si por su ubicación gráfica, puedendefinirse como parte de una familia, dependencia funcional o ley matemática.

• El grado de correlación se conceptúa como el nivel de acercamiento o alejamientorespectivamente de los datos respecto de una expresión funcional o ley.

Cuando todos los valores de la variable satisfacen una ecuación exactamente, se dice quelas variables están perfectamente correlacionadas. Ejemplo la circunferencias “C” y losradios “r” de todos los círculos están perfectamente correlacionados con la expresión.= 2

¿Existe correlación entre el peso de una persona y su altura?

Correlación simpleCuando la relación existe entre solo dos variable se habla de una correlación simple yregresión simple, y se dice que se tiene una variable independiente y otra dependiente,Caso contrario se trata de correlaciones y regresiones múltiples.

REGRESIÓNEs el proceso matemático que permite encontrar la relación que existe entre las variablesde un fenómeno estadístico, o permite determinar la función que más o mejor se ajuste alos datos correlacionados.

Aplicaciones del análisis de regresión• Descripción cuantitativa de las relaciones existentes entre una variable dada y un

conjunto de variables.• Interpolación entre valores de una función.• Predicción y pronóstico.• Selección entre varios modelos alternativos.

CORELACION LINEALSi dos variables X e Y que se estén analizando y que se las grafica en un sistemacoordenado dan como resultado puntos coordenados que parecen estar en una línearecta la correlación se la llama lineal.

Correlación lineal

Tipos de de correlacióna. Si la variable Y tiende a incrementarse cuando se incrementa X la correlación se

dice que es positiva o correlación directa.b. Si la variable Y disminuye cuando se incrementa X la correlación es negativa.c. Si todos los puntos parecen estar sobre una cierta curva la correlación es no lineal.

Correlación lineal positiva Correlación lineal negativa Sin correlación

Diagrama de dispersiónEl diagrama de dispersión es un gráfico en un sistema coordenado donde se representa lospuntos coordenados de las variables que se están analizando y que permiten observar lacorrelación que existe entre ellas.

Diagrama de dispersión

REGRESIÓN LINEALLa regresión lineal consiste en encontrar la ecuación de una línea recta para lo cual sepuede seguir los siguientes pasos.

1. Definir: Que variable es dependiente y cual independiente.2. Dibujar el diagrama de dispersión: Ubicar pares ordenados (solo puntos sin unir).3. Observar: Si existe correlación lineal ya sea positiva o negativa.4. Determinar: La ecuación de la línea recta.

Para encontrar la ecuación de la línea recta se puede utilizar las herramientas de lageometría analítica, en la cual una recta puede quedar defina por dos puntos y se puedeobtener la ecuación de una recta:

Considerando los dos puntos P1 y P2 de coordenadas (X1, Y1) y (X2, Y2) se puededeterminar la ecuación: − 1 = 2 − 12 − 1 ( − 1)

= 2 − 12 − 1Donde:: Pendiente de la recta. − 1 = ( − 1)O la ecuación general de la recta: = +El inconveniente al utilizar las ecuaciones anteriores es que solo se utiliza dos puntos de ladispersión por lo cual el grado de correlación no es tan bueno, para mejorar esto se puedeutilizar el método de los mínimos cuadrados.

REGRESIÓN LINEAL POR EL METODO DE MINIMOS CUADRADOSLa recta por mínimos cuadrados es aquella línea que tiene por propiedad que lassumatoria de las distancias al cuadrado de cada uno de los puntos de dispersión conrespecto a la recta es mínimo.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +⋯ = í

Recta de mínimos cuadrados

Para poder encontrar la recta de mínimos cuadrados se debe determinar los coeficientesde la ecuación general de la recta

= +Para lo cual se utiliza las siguientes expresiones:

+ =+ =Que pueden ser expresadas también como:

+ =+ =Estas expresiones representan un sistema de ecuaciones con incógnitas “a y b”, quepuede ser resuelto por cualquiera de los métodos de resolución des sistemas deecuaciones.

Ejemplo:En una fábrica se está analizando la relación que existe entre la fuerza aplicada a unabanda de transmisión de una máquina y la deformación que sufre. Los valores arrojadospor las pruebas fueron.

Fuerza (N) Deformación(mm)0.5 3.21 41.5 5.62 7.12.5 8.63 20

1. Dado que la deformación es consecuencia de la fuerza aplicada a la banda detransmisión, ésta es la variable dependiente y la fuerza la independiente.

Y: Deformación en mmX: Fuerza en Newton.

2. Diagrama de dispersión.

3. Del diagrama de dispersión se puede concluir que existe una correlación linealpositiva sobre todo en los primeros puntos coordenados por lo cual se procede adeterminar la ecuación de la recta que más se ajuste.

4. Determinar la ecuación de la recta

En un cálculo inicial se procederá a encontrar la ecuación con la expresión:

− 1 = 2 − 12 − 1 ( − 1)Se tomará los pares ordenados P1 (0.5; 3.2) y el punto P2 (2.5; 8.6)

− 3.2 = 8.6 − 3.22.5 − 0.5 ( − 0.5)− 3.2 = 2.7( − 0.5)

= . + . Para mejorar el cálculo se procede a determinar la recta por mínimos cuadrados:

Es necesario encontrar la sumatoria de la variable X y también su sumatoria al cuadrado,la sumatoria de la variable Y, como también la sumatoria del producto de X por Y.

+ =+ =

05

10152025

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5DEFO

RMAC

IÓN

(mm

)

FUERZA (N)

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

Tabulación para el método mínimos cuadrados

Fuerza (N) Alargamiento(mm)

X Y X^2 X*Y0.5 3.2 0.25 1.61 4 1 4

1.5 5.6 2.25 8.42 7.1 4 14.2

2.5 8.6 6.25 21.53 20 9 60

SUMATORIA 10.5 48.5 22.75 109.7∑ + ∑ = ∑22.75a + 10.5b = 109.7∑ + = ∑10.5a + 6b = 48.5Resolviendo para a y b se tiene que

a = 5.674 X – 1.846

y = 5,674x - 1,846

0

5

10

15

20

25

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

DEFO

RMAC

IÓN

(mm

)

FUERZA (N)

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

EVALUACIÓN Y SIGNIFICACIÓN DE LA CORRELACIÓN LINEALCuando se elabora el proceso de correlación lineal se llega a determinar una ecuación deuna línea recta a través de la regresión pero queda la incertidumbre de que si la rectaencontrada es la apropiada o si es posible encontrar otra línea “curva” que se ajuste mejora los datos, razón por la cual es necesario realizar la evaluación de la ecuaciónencontrada.

La evaluación se realiza con los valores de la variable dependiente “Y”, es decir los valoresque se encuentran reemplazando en la ecuación, y con ellos se determinan lasdesviaciones medias absolutas para comprobar a través de valores de tolerancia labondad de la recta de regresión, es decir si a futuro los pronósticos pueden ser o noabalizados.

Los parámetros de tolerancia son:

VARIACIÓN TOTAL (VT)Representa la sumatoria de las desviaciones cuadradas de los valores dados de la variableindependiente “Y” respecto a su media aritmética ( ).

= ( − )DONDE

: Valores de la variable dependiente.: Media aritmética de los valores de la variable dependiente.

VARIACIÓN EXPLICADA (VE)Representa la parte de la variación total que depende de la variable independiente “X”influenciando a la variable dependiente “Y”. Se calcula como la sumatoria de lasdesviaciones cuadradas de los valores de la variable dependiente pronosticada (Yc)respecto a la media aritmética ( ).

= ( − )VARIACION NO EXPLICADA (VI)Es la variación residual que refleja el comportamiento de las fluctuaciones de la variableindependiente “X” sobre la variable dependiente “Y”. Se calcula como la sumatoria de las

desviaciones al cuadrado de los valores de la variable dependiente “Y”, respecto de losvalores pronosticados (Yc).

= ( − )COEFICIENTE DE CORRELACION (CR)Expresa el grado de asociación de las dos variables dependiente e independiente.

=Para que la correlación se considere aceptable el valor de coeficiente de correlación debeser mayor que 0.75.

ERROR DE ESTIMACIÓN (m)El error de estimación se debe que al determinar la ecuación de una línea recta se cometeun error al calcular la pendiente de la misma.

∆ = −∑ ( − )El valor de “K” depende del número de variables en la correlación, en una correlaciónsimple es de solamente 2.

Ejemplo: Se desea hacer una correlación lineal entre la producción de dióxido de uranio(kg) de Rusia en el periodo 1989-1993 según la tabla presentada a continuación.

AÑO Kg(Dióxido de Uranio)

1989 144.61990 129.51991 107.51992 93.51993 80.5

Para poder trabajar con series cronológicas estas deben ser transformadas a cuantitativasse lo hace fácilmente numerando los años desde el 0.

# AÑO Kg(Dióxido de uranio)

0 1989 144.61 1990 129.52 1991 107.53 1992 93.54 1993 80.5

1. La producción de dióxido de uranio depende del año en cuestión por lo tantoY: Kg (Dióxido de uranio)X: Número de año

2. Diagrama de dispersión.

3. Del diagrama de dispersión se puede concluir que existe una correlación linealnegativa, por lo cual se procede a determinar la ecuación de la recta que más seajuste.

4. Regresión lineal por el método de los mínimos cuadrados+ =+ =

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

DIÓ

XIDO

DE

URA

NIO

(Kg)

# AÑO

DIAGRAMA DE SIPERSIÓN

Tabulación datos

X Y X^2 X*Y0 144.6 0 01 129.5 1 129.52 107.5 4 2153 93.5 9 280.54 80.5 16 322

SUMATORIA 10 555.6 30 947

∑ + ∑ = ∑30a + 10b = 947∑ + = ∑10a + 5b = 555.6Resolviendo para a y b se tiene que

a = -16.42

b = 143.9

Por lo cual la ecuación será = − . + .

La producción baja con forme transcurre los años.

y = -16,42x + 143,9R² = 0,991

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

DIÓ

XIDO

DE

URA

NIO

(Kg)

# AÑO

DIAGRAMA DE SIPERSIÓN Lineal (DIAGRAMA DE SIPERSIÓN)

5. Evaluación de la correlación lineal.Se elabora la tabla para la evaluación de la correlación lineal según los parámetrosnecesarios de cálculo.

Evaluación y significación de la Correlación.

X Y X^2 X*Y Yc (Y-Yc)^2 (Y- )^2 (Yc- )^2 (Xi- )^20 144.6 0 0 143.9 0.49 1120.91 1074.53 41 129.5 1 129.5 127.48 4.08 337.82 267.65 12 107.5 4 215 111.06 12.67 13.10 0.00 03 93.5 9 280.5 94.64 1.30 310.46 271.59 14 80.5 16 322 78.22 5.20 937.58 1082.41 4

SUMATORIA 10 555.6 30 947 23.74 2719.89 2696.18 10

Medias aritméticas de las variablesIndependiente = ∑

= 105= 2Dependiente = ∑

= 555.65= 111.12Variación total (VT) = ( − )= 2719.89Variación explicada (VE) = ( − )= 2696.18Variación no explicada (VI)

= ( − )= 23.74Coeficiente de correlación (CR) =

= 2696.182719.89= 0.996

El valor del coeficiente es mayor que 0.75 lo que se considera una buena correlación.

Error de estimación (m)

∆ = −∑ ( − )∆ = 23.745 − 210∆ = 0.89

REGRESIONES NO LINEALESMuchas ocasiones el cálculo del coeficiente de correlación determina que la regresiónlineal no sea la que más se ajusta a los datos de dispersión, por lo cual es necesarioencontrar líneas que se ajusten de mejor forma a dichos datos, para ello se puede recurrira las mismas ecuaciones que determina el método de mínimos cuadrados.

LA PARABOLA DE MÍNIMOS CUADRADOSLa parábola de mínimos cuadrados se acerca a los puntos de dispersión por medio de laecuación:

= + +Las ecuaciones que permiten calcular los valores constantes (a, b, c) son:

+ + =+ + =+ + =Ejemplo: La tabla mostrada a continuación representa la temperatura media anual envarios sitios de País de acuerdo a su altura del nivel del mar.

Altura (metros) Temperatura ( C )10 32

200 27800 23

1200 201500 172500 153000 133500 12

La dispersión resultante es:

Realice una regresión no lineal con los datos.1. Se procede a calcular los coeficientes y las sumatorias para establecer las

ecuaciones.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

DISPERSIÓN NO LINEAL

DISPERSIÓN NO LINEAL

Regresión no linealAltura

(metros) Temperatura ( C )X Y X^2 X^3 X^4 x^2*Y X*Y

10 32 100 1000 10000 3200 320200 27 40000 8000000 1600000000 1080000 5400800 23 640000 512000000 4.096E+11 14720000 18400

1200 20 1440000 1728000000 2.0736E+12 28800000 240001500 17 2250000 3375000000 5.0625E+12 38250000 255002500 15 6250000 1.5625E+10 3.9063E+13 93750000 375003000 13 9000000 2.7E+10 8.1E+13 117000000 390003500 12 12250000 4.2875E+10 1.5006E+14 147000000 42000

12710 159 31870100 9.1123E+10 2.7767E+14 440603200 192120

2. Formar el sistema de ecuaciones.

+ + =2.78 10 + 9.11 10 + 3.2 10 = 4.4 10+ + =9.11 10 + 3.2 10 + 12710 = 192120+ + =3.2 10 + 12710 + 8 = 159

Resolviendo el sistema de ecuaciones tendríamos:

= 2 10 = −0.01 = 30.6y = 2x10 -6 X2 - 0.010X + 30.60

y = 2E-06x2 - 0,010x + 30,60

0

5

10

15

20

25

30

35

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

REGRESIÓN NO LINEAL

DISPERSIÓN NO LINEAL Polinómica (DISPERSIÓN NO LINEAL)

PROBABILIDADES

TEORÍA DE PROBABILIDADESINTRODUCCIÓN

La teoría de probabilidades es muy importante en muchos campos de estudio comoeconomía, administración y la INGENIERÍA no se es indiferente, ya que siempre senecesita tomar decisiones ante situaciones de incertidumbre preguntándose por ejemplocuánto horas durará un circuito electrónico, el software desarrollado será aceptado paramás del 50% del mercado para el cual fue diseñado, para un cierto político cuantosvotantes lo hicieron por él, para un ingeniero industrial sería importante saber cuántoshoras de funcionamiento tendrá una máquina en su área de producción antes que sedañe.

Todos estos cuestionamientos provienen de fenómenos cuyo resultado no puede seranticipado con certeza, si no que existe cierta probabilidad de que un cierto resultado sedé, a diferencia de los fenómenos cuyo resultado se determina unívocamente a partir deciertas condiciones, por ejemplo, los resultados de mediciones geométricas, cálculosfinancieros o procesos mecánicos.

Históricamente se puede decir que las probabilidades surgieron de los juegos de azar enlos siglos XV y XVI con resolución de puntuales problemas de juego de dados por personascomo: Blaise Pascal y Pierre de Fermat.

Otras personas influyentes fueron Christian Huygens quien publicó el primer libro deprobabilidades, James Bernoulli y Abraham de Moivre fueron las personas que másinfluyeron en el desarrollo de probabilidades.

Por el Año de 1812 Pierre de Laplace introdujo gran cantidad de ideas nuevas y técnicasmatemáticas en su libro, Teoría Analítica de Probabilidades con lo cual la probabilidad yano solo estaba destinada a los juegos de azar sino aplicaciones más allá de ella.

DEFINICIÓN TEÓRICA

Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir odeterminar cuantitativamente la posibilidad de que un experimento produzca undeterminado resultado.

Es el estudio de las posibilidades de que ocurra o no un evento.

EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS

EXPERIMENTO ALEATORIO (ϵ)

Los experimentos u operaciones reales o hipotéticos pueden dividirse en dos clases:determinísticos y no determinísticos.

Determinístico.- Si los resultados del experimento están completamente determinados ypuede describirse por una fórmula matemática llamado modelo Determinístico. Ejemplos:

a) Soltar una piedra desde una cierta altura “Caída libre de los cuerpos”.b) Colocar una pelota en el agua “Principio de flotación”.c) Los cambios de aceleración que produce una fuerza “Segunda ley de Newton”

No Determinístico.- Si los resultados del experimento no pueden predecirse con exactitudantes de realizar el experimento. Ejemplos:

a) Lanzar una moneda y observar el resultado “cara o sello”.b) Lanzar una moneda y observar el número que aparece “uno, dos, tres, cuatro,

cinco, seis”.c) Observar el número de autos que pasan por una estación de servicio en un día

“uno, dos, tres,……, n”.

Características de un experimento no Determinístico:

Cada experimento puede repetirse indefinidamente sin cambiar esencialmente lascondiciones.

Cada experimento es no Determinístico. Cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden describirse de

antemano con precisión. En el caso del lanzamiento de la moneda susposibilidades son cara o sello no sabremos cual sale pero si los resultados posible.

“Por lo tanto un experimento aleatorio es aquel que tiene las tres característicasmencionadas”.

Para denotar un experimento aleatorio se utilizará el símbolo: “ϵ”

Ejemplos de experimentos aleatorios:

ϵ1: Fabricar artículos, hasta fabricar cinco defectuosos y contar el número total deartículos fabricados.

ϵ2: Elegir un punto en el intervalo cerrado [0 ,1].

ϵ3: Verificar el estado de un transistor (0 = apagado, 1 = encendido).

ϵ4: Elegir un presidente de un curso de 30 estudiantes.

ϵ5: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos y no defectuosos.

ESPACIO MUESTRAL (Ω)

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio (ϵ).

Por lo cual es muy conveniente utilizar notación de conjuntos y consecuencia de elloutilizar algebra de conjuntos.

Ejemplos:

1) ϵ1: Lanzar una moneda y observar su resultado.Ω1 = cara, sello

2) ϵ2: Lanzar un dado y observar el número resultante.Ω2 = 1, 2, 3,4, 5, 6

3) ϵ3: Fabricar artículos hasta producir 5 defectuosos y contar el total de números deartículos producidos.Ω3 = 5, 6, 7, 8, 9, 10,…………

4) ϵ4: Contar el número de vehículos que llegan a una estación de servicio a recargargasolina.Ω4 = 0, 1, 2, 3, 4,………….

5) ϵ5: Verificar el estado de un transistor (0 = apagado, 1 = encendido).Ω5 = 0, 1

6) ϵ6: Elegir un punto en el intervalo cerrado [0 ,1].Ω6 = X є R/ 0 ≤ X ≤ 1

7) ϵ7: Elegir un presidente de un curso de 30 estudiantes.Ω7 = A1, A2, A3, A4, A5,…, A30 A: Representa a cada uno de los estudiantes

Clasificación del Espacio Muestral

1. El espacio muestral puede ser finito o infinito

Espacio muestral finito.- Posee un determinado número de posibilidades, o se le puedeconsiderar como un experimento sin reposición.

Ejemplo:

ϵ2: Lanzar un dado y observar el número resultante.

Ω2 = 1, 2, 3,4, 5, 6

Espacio muestral infinito.- Posee un número indeterminado de posibilidades, o se lepuede considerar un experimento con reposición.

Ejemplo:

ϵ4: Contar el número de vehículos que llegan a una estación de servicio a recargargasolina.Ω4 = 0, 1, 2, 3, 4,………….

2. El espacio muestral puede ser Simple o compuesto

Espacio muestral simple.- Es el espacio que resulta de un solo experimento aleatorio.


Ω2 = 1, 2, 3,4, 5, 6

Espacio muestral compuesto.- Es aquel que resulta de dos o más experimentos simplessucesivos o simultáneos.

ϵ1: Lanzar una moneda y un dado a la vez

¿Cuál será su espacio muestral?

Para responder la pregunta anterior se debe incluir el criterio que los espacios muestralescompuestos son de dos tipos básicos aquellos que están unidos por la letra gramatical “O”y la letra gramatical “Y”.

Experimentos unidos por la “O” excluyente

Un experimento compuesto “ϵ”, es una O – combinación de los experimentos simples, ϵ1y ϵ2 si, sólo si el experimento “ϵ” ocurre, cuando el experimento, ϵ1 ó ϵ2 ocurre (pero noambos).

Ejemplo: Considere el experimento, que consiste en lanzar un dado o una moneda. HallarEl espacio muestral para éste experimento.

ϵ: lanzar un dado o una moneda.

El experimento consiste de dos simple unidos por la “O”.

ϵ1: Lanzar una moneda y observar su resultado.

Ω1 = cara, sello


Ω2 = 1, 2, 3,4, 5, 6

Ω = Ω 1 O Ω 2 Por lo tanto el espacio muestral será:

Ω = cara, sello, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Experimentos unidos por la “Y”

Un experimento compuesto “ϵ”, es una Y – combinación de los experimentos simples, ϵ1y ϵ2 si, solamente si, el experimento “ϵ” ocurre, cuando ambos experimentos, ϵ1 Y ϵ2ocurren.

Una consecuencia directa del experimento compuesto por la Y – combinación es que suespacio muestral resultante es el producto cartesiano de los espacios muestrales de losexperimentos simples correspondientes. Es decir: Ω = Ω1 x Ω2

Ejemplo: Cuál es el espacio muestra de lanzar una moneda y un dado a la vez:

ϵ: Lanzar una moneda y un dado a la vez.

Experimentos simples:


Ω1 = cara, sello


Ω2 = 1, 2, 3,4, 5, 6

Ω = Ω1 x Ω2: Por lo tanto el espacio muestral será:

Ω= (C, 1); (C, 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6); (S, 1); (S, 2); (S, 3); (S, 4); (S, 5); (S, 6)

Cuando se desea determinar un espacio muestral resultado de una Y – combinación dedos experimentos aleatorios simples es útil usar tablas de doble entrada para encontrardicho espacio muestral.

Ejemplo: Se lanzan dos monedas simultáneamente y se observan las secuencias de caras osellos. Determine su espacio muestral.

ϵ: Se lanzan dos monedas simultáneamente y se observan las secuencias de caras o sellos.

Ω = Ω1 x Ω2


Ω1 = cara, sello


Ω2 = cara, sello

SEGUNDA MONEDA

PRIMERA MONEDA

CARA SELLO

CARA CARA- CARA CARA - SELLO

SELLO SELLO - CARA SELLO - SELLO

Ω = cara-cara, cara-sello, sello-cara, sello-sello

Ejemplo: Se lanzan dos dados simultáneamente y se observan los resultados. Determinesu espacio muestral.

ϵ: Se lanzan dos dados simultáneamente y observar los resultados.

Ω = Ω1 x Ω2


ϵ1: Lanzar una dado y observar su resultado.

Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6


Ω2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

SEGUNDO DADO

PRIMER DADO

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 5)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Debido a que el espacio muestral resultando es un conjunto de pares ordenados se pudeutilizar la simbología de la teoría de conjuntos para representarlo así:

Ω = (x, y) / x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6

En muchos casos es más sugerente utilizar un diagrama para encontrar el EspacioMuestral de un experimento compuesto, éste es llamado Diagrama de Árbol.

Ejemplos:

1) Se lanza una moneda tres veces. Hallar el espacio muestral resultante de ésteexperimento.

ϵ: Se lanza una moneda tres veces y se observan los resultados

El experimento consiste de tres experimentos simples unidos por la “Y”. Po lo tanto sepuede dividir en tres experimentos que dan espacios muestrales simples así:

Ω = Ω1 x Ω2 x Ω3


Ω1 = cara, sello


Ω2 = cara, sello


Ω3 = cara, sello

Aplicando el diagrama de árbol se tendrá:

Ω = CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS2) Cuál es el espacio muestral en el lanzamiento de una moneda hasta que salga cara.

C

SC

SC

SC

S

Ω = C, S, SC, SSC, SSS, SSSC, SSSS …

3) Cuál es el espacio muestral en el lanzamiento de dos dados simultáneamente.

Ω = (x, y) / x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6

4) Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican en defectuososy no defectuosos se observan los artículos y se anotan su condición, el procesocontinua hasta observar dos artículos defectuosos o hasta que se observen 3artículos no defectuosos. ¿Cuál es su espacio muestral?

56

D1

123

4

56

D2

123

4

Ω = DD, DNDD, DNDNDD, DNDNDN, DNDNN, DNNDD, DNNDN, DNNN, NDD, NDNDD,NDNDN, NDNN, NNDD, NNDN, NNN

3. El espacio muestral puede ser discreto o continuo

Espacio muestral discreto

Si tiene un número finito o infinito numerable de elementos.

Espacio muestral discreto finito: Si el espacio muestral tiene un número finito deelementos. Ejemplo

ϵ: Lanzar una dado y observar su resultado.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Es espacio muestral discreto finito ya que no puede haber valores enél como 2.5, 3.4 etc.

Espacio muestral discreto infinito: Cuando puede establecerse una correspondencia uno auno con el conjunto de los enteros positivos de modo que pueda ser enumerado como 1,2, 3,4,…….. Ejemplo:

ϵ: Lanzar una moneda hasta que ocurra cara.

Ω = C, SC, SSC, SSSC, SSSSC,……

Espacio muestral continuo

Un espacio muestral es continuo si tiene un número no numerable de elementos. Es decirtodos los elementos posibles en un intervalo. Ejemplo

ϵ: Elegir un punto en el intervalo cerrado [0 ,1].

Ω = X є R/ 0 ≤ X ≤ 1 se puede escoger un número infinito de valores entre esos dospuntos.

EVENTO

Se define como un subconjunto del espacio muestral. Por lo que al espacio muestraltambién se lo considera como el conjunto universo. Se representa con las letrasmayúsculas del alfabeto (A, B, C, D…Z). El evento A se lo puede representar como ATΩ

Ejemplo:

ϵ: Salga par en el lanzamiento de un dado

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = 2, 4, 6

Evento elemental

Cuando tiene solamente una posibilidad. Ejemplo

ϵ: Que un transistor esté encendido

Ω = encendido, apagado A = encendido

Evento Nulo

No existe ningún elemento en el subconjunto.

A = 0

SUCESOS

Son los elementos más básicos de un espacio muestral o un evento. Se representan conlas letras minúsculas x, y, z. Ejemplo:

ϵ: Sacar un cuatro en una baraja

A = 4 corazón rojo, 4 corazón negro, 4 trébol, 4 brillos

Un suceso puede ser: x = 4 corazón negro

PROBABILIDAD

Definición

La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos (sucesos) favorables yel número total de casos (sucesos) posibles, siempre que nada obligue a creer que algunosde estos sucesos debe tener preferencia a los demás, lo que hace que todos seanigualmente posibles.

Para determinar la expresión matemática se considera lo siguiente:

El número total de sucesos posibles: N(Ω)

El número de sucesos del evento A: N(A)

La probabilidad del evento A: P[A][ ] = ( )(Ω) = ú úCorolarios:

1. La probabilidad de un evento A cualquiera está comprendido entre 0 y 1.0 ≤ [ ] ≤ 12. P[A] = 0, si A es un evento imposible.3. P[A] = 1, si A es el evento seguro.

4. Puesto que todos los sucesos de Ω = 1, 2, 2,..., n son igualmente probables,se tiene que P[i] = 1/n, i = 1, 2, 3, …, n.

Y por lo tanto P[Ω] = ∑ P[i] = 1Ejemplo 1: Probabilidad de sacar un número par en un lanzamiento de un dado

ϵ: Lanzamiento de un dado

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 N(Ω) = 6

A: sacar un número par

A = 2, 4, 6 N(A) = 3 [ ] = ( )(Ω) = 36[ ] = 12Ejemplo 2: Se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad que ocurran a lo másdos caras.

ϵ: Lanzar una moneda tres veces

Ω = CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS N(Ω) = 8

A: Ocurre a lo más dos caras

A = SSS, SSC, SCS, CSS, CCS, SCS, SCC N(A) = 7

[ ] = ( )(Ω) = 78[ ] = 78Ejemplo 3: Se elige una carta aleatoriamente de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es laprobabilidad que sea una carta negra?

ϵ: Extraer una carta de 52

Ω = La baraja completa N(Ω) = 52

A: Obtener una carta negra

A = 13 corazón negro, 13 trébol N(A) = 26

[ ] = ( )(Ω) = 2652[ ] = 12No Probabilidad (Q)

La no probabilidad se considera como el evento que no va a ocurrir en un experimentoaleatorio.

Matemáticamente se considera como:[ ] = 1 − [ ]Del ejemplo 3: Cuál es la probabilidad de que no salga una carta negra[ ] = 1 − 12[ ] = 12Tendencia

Es la división entre la probabilidad para la no probabilidad.= [ ][ ]Tendencias Favorables y en Contra

Tendencia Favorable = [ ][ ]Tendencia En Contra = [ ][ ]Ejemplo: Que tendencia a favor existe que al lanzar un dado para que salga un número par

ϵ: Lanzamiento de un dado

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 N(Ω) = 6

A: sacar un número par

A = 2, 4, 6 N(A) = 3 [ ] = ( )(Ω) = 36

[ ] = 12[ ] = 1 − 12[ ] = 12 = [ ][ ]= 1: 1OPERACIONES CON EVENTOS

SUB – EVENTOS

Dados dos eventos A y B se dice que A está contenido en B o que A es sub – evento de B, sitodo seceso favorable A, es favorable a B; es decir si ocurre el evento A también ocurre elevento B. Simbólicamente: ⊂ , ∈ → ∈

Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar una moneda hasta que ocurra cara y contarel número de lanzamientos de la moneda. En dicho experimento se define los eventos:

A: “Se necesita por lo menos 20 lanzamientos”

B: “Se necesita más de 5 lanzamientos”

ϵ: Lanzar una moneda hasta que ocurra cara y contar el número de lanzamientos de lamoneda.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6,…..

A: “Se necesita por lo menos 20 lanzamientos”

A = 20, 21, 22, 23,…..


ΩB

A

B = 6, 7, 8, 9, 10,…..

Se puede concluir que: ⊂EVENTOS IGUALES

Dos eventos A y B son iguales (A = B), si ⊂ ⊂

A = B: Ω / A y є B

Ejemplo: Un experimento consiste lanzar un dado hasta que salga seis y contar el númerode lanzamientos. En dicho experimento se considera los siguientes eventos:

A: Se necesita a lo más 10 lanzamientos.

B: Se necesita menos de 11 lanzamientos.

ϵ: Lanzar un dado hasta que salga seis y contar el número de lanzamientos.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5,…..

A: Se necesita a lo más 10 lanzamientos.

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

B: Se necesita menos de 11 lanzamientos.

B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Se puede concluir que: =UNIÓN DE EVENTOS

Dado dos eventos A y B, la unión de A con B ( ∪ ) genera un evento formado por lossucesos que pertenecen a A o a B o de ambos.

ΩB

A

A U BΩ

∪ = ∈ Ω/ ∈ A ∨ ∈ BEjemplo: Un experimento consiste en observar a los estudiantes que ingresan a un barhasta que uno de ellos sea una persona conocida. En dicho experimento se define lossiguientes eventos:

A: Observar 10 estudiantes

B: Observar más de 12 estudiantes.

ϵ: Observar a los estudiantes que ingresan a un bar hasta que uno de ellos sea unapersona conocida.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5,…..

A: Observar 10 estudiantes

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

B: Observar más de 12 estudiantes.

B = 13, 14, 15, 16, 17,…..∪ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, … . . INTERSECCIÓN DE EVENTOS

La intersección de dos eventos A con B ( ∩ ) genera un evento formado por todos lossucesos favorables a A y a B, es decir ambos eventos ocurren A y B.

∩ = ∈ Ω/ ∈ A ∧ ∈ BEjemplo: Un experimento consiste en lanzar una moneda hasta que ocurra cara y contar elnúmero de lanzamientos de la moneda. En dicho experimento se define los eventos:

A: “Se necesita un número par de lanzamientos”

ΩB A

A B


ϵ: Lanzar una moneda hasta que ocurra cara y contar el número de lanzamientos de lamoneda.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6,…..

A: “Se necesita un número par de lanzamientos”

A = 2, 4, 6, 8, 10,….


B = 11, 12, 13, 14, 15,….. ∩ = 12, 14, 16, 18, … DIFERENCIA DE EVENTOS

La diferencia de dos eventos A – B, es un nuevo evento formado por los sucesosfavorables a A y que no son favorables a B.

− = ∈ Ω/ ∈ A ∧ ∉ BDel anterior ejemplo: − = 2, 4, 6, 8, 10− = 11, 13, 15, 17, … . EVENTO COMPLEMENTO (A´)

Es un evento (A’) que contiene todos los sucesos que no tiene o no posee el evento A.

ΩA B

A

A´

Ω

= Ω −′ = ∈ Ω/ ∉ AEjemplo: Cual es el complemento del evento sacar un número par en el lanzamiento de undado.

ϵ: Lanzar un dado

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

A: Sacar un número par.

A = 2, 4, 6 ′ = 1, 3, 5EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, se dice que son mutuamenteexcluyentes si no pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno excluye laocurrencia del otro. ⋂ = 0Ejemplo:

Se lanza un dado dos veces. Sean los eventos

A: La suma de los puntos obtenidos en los dos lanzamientos es 7

B: En los dos dados se obtiene el mismo número

Son estos eventos mutuamente excluyentes.

A: (3,4); (4,3); (1,6); (6,1); (5,2); (2,5)B: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)

Respuesta: Los eventos son mutuamente excluyentes ya que ⋂ = 0EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOSUn conjunto de eventos son colectivamente exhaustivos si la unión de ellos es igual alespacio muestral. 1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ … .∪ = ΩEjemplo: Sea el experimento contar el número de personas atendidas por un banco en unperiodo de tiempo. En el cual se tiene los siguientes eventos

A: Se han atendido a menos de 20 personas.

B: Se han atendido a exactamente 25 personas.

C: Se han atendido exactamente 15 personas.

Los eventos A, B, C son colectivamente pues la unión de ellos generan el espacio muestral.

LEYES DISTRIBUTIVAS DE LOS CONJUNTOS APLICABLES A EVENTOS

Dados los eventos A, B, C se tiene que:∩ ( ∪ ) = ( ∩ ) ∪ ( ∩ )∪ ( ∩ ) = ( ∪ ) ∩ ( ∪ )LEYES DE MORGAN ( ∩ )′ = ′ ∪ ′( ∪ )′ = ′ ∩ ′PROPOSICIONES ÚTILES EN OPERACIONES CON EVENTOS

Proposiciones Interpretación de Conjuntos

Por lo menos uno de los eventos A o B ocurren ∈ ∪Ambos eventos A y B ocurren ∈ ∩No ocurre A ∈ ′Ni A ni B ocurren ∈ ′ ∩ ′Exactamente ocurre uno de los eventos ∈ ( ∩ ) ∪ ( ∩ )No más de los eventos A o B ocurren ∈ ( ∩ )′Si ocurre A también B ⊆A y B se excluyen mutuamente ∩ = 0Evento A o evento B ∪Evento A y evento B ∩Ejemplo: Dados los eventos A, B, C del espacio muestral Ω. Expresar medianteoperaciones entre conjuntos los eventos:

a) Tan solo ocurre A.b) Si ocurre A, no ocurre B.c) Por lo menos uno de los eventos ocurren.

Solución:

a) Puede ocurrir A, y simultáneamente no ocurre B y no ocurre C por lo cual el eventoresultante es: ∈ ∩ ′ ∩ ′

b) Si no ocurre B entonces ocurre B’, es decir que “si ocurre A, también ocurre B’, elevento es ∈ ∩ ′.

c) Ocurrirán (A y B) o (A y C) o (B y C) o (A y B y C), pero éste último está contenido enlos tres primeros eventos. El resultado es: ∈ ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ∩ )

PRODUCTO CARTESIANODados los eventos A y B, se llama producto cartesiano de A con B, denotado “A x B”, alconjunto de pares ordenados cuyos primeros elementos pertenecen a A y cuyos segundoselementos pertenecen a B. = ( 1, 2)/ 1 ∈ 2 ∈ Ejemplo: Se lanzan dos dados simultáneamente y se observan los resultados. Se definenlos eventos:

A: “Los resultados de los dados son iguales”

B: “la suma del resultado de los dos dados es menor o igual a 3”

Cuál es el resultado de A x B.

ϵ: Se lanzan dos dados simultáneamente y observar los resultados.

Ω = Ω1 x Ω2



Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6


Ω2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6

SEGUNDO DADO

PRIMER DADO

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 5)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Debido a que el espacio muestral resultando es un conjunto de pares ordenados se pudeutilizar la simbología de la teoría de conjuntos para representarlo así:

Ω = (x, y) / x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6

A: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)B: (1,1); (1,2); (2,1) = ( 1, 2)/ 1 ∈ 2 ∈

ANÁLISIS COMBINATORIO

TÉCNICAS DE CONTEO

La técnicas de conteo ayudan a determinar el número de elementos que tiene un espaciomuestral o un evento y que son de utilidad en el momento de calcular una probabilidad.

1. MULTIPLICACIÓN

Si un experimento aleatorio u operación (ϵ1) ocurre de n1 formas y si para cada una deestas, un experimento u operación (ϵ2) ocurre de n2 formas, entonces los dosexperimentos juntos ocurren de n1 x n2 formas.

En forma general: n = n1 x n2 x n3 x n4 x…..x nk

Ejemplo 1: ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio“lanzar una moneda y un dado simultáneamente”?

ϵ: Lanzar una moneda y un dado simultáneamente


ϵ1: Lanzar una moneda.

Ω1 = Cara, Sello N (Ω1) = 2

ϵ2: Lanzar una dado.

Ω2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 N (Ω2) = 6( ) = ( ) ( )( ) =( ) =

Ejemplo 2: Una persona puede viajar de una ciudad A a otra ciudad B de 5 formas y de B aC de 6 formas. ¿De cuantas formas puede ir de A a C pasando por B?

ϵ: Ir de A hacia C pasando por B.

ϵ1: Ir de de A hacia B.

Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5 N (Ω1) = 5

ϵ2: Ir de B hacia C.

Ω2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 N (Ω2) = 6( ) = ( ) ( )( ) =( ) =Existen 30 formas de ir de A hacia C pasando por B.

COROLARIO: Si es que el número de formas en que pueden ocurrir los experimentossimples es igual es decir: = 1 = 2 = 3 = ⋯ =Se tiene que el total de formas que puede ocurrir un experimento compuesto por dichosexperimentos simples es: (Ω) =Ejemplo3: Se lanza una moneda sucesivamente seis veces ¿De cuantas formas ocurre?

ϵ: Lanzar seis veces una moneda sucesivamente.

ϵ1: lanzar una moneda.

Ω1 = Cara, Sello N (Ω1) = 2( ) = ( )( ) =( ) =




Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5 N (Ω1) = 5






Ω1 = Cara, Sello N (Ω1) = 2( ) = ( )( ) =( ) =




Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5 N (Ω1) = 5






Ω1 = Cara, Sello N (Ω1) = 2( ) = ( )( ) =( ) =

Ocurre de 64 formas diferentes.

2. ADICIÓN

Si un experimento aleatorio u operación (ϵ1) ocurre de n1 formas y un experimento uoperación (ϵ2) ocurre de n2 formas, entonces el experimento aleatorio u operación (ϵ),que consiste en realizar (ϵ1 o ϵ2) “no pueden ocurrir juntos” ocurre de la siguiente forma:( ) = ( ) + ( )Siempre y cuando los espacios muestras de los experimentos simples sean disjuntos.

En forma general: ( ) = ( ) + ( ) + … + ( )Ejemplo 1: Consideremos el experimento de lanzar una moneda o un dado. ¿De cuántasformas ocurre?

ϵ: lanzar un dado o una moneda.

El experimento consiste de dos simple unidos por la “O”.


Ω1 = cara, sello N (Ω1) = 2


Ω2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 N (Ω2) = 6( ) = ( ) + ( )( ) = +( ) =Ejemplo 2: Una persona puede viajar de A hacia B por vía aérea o por vía terrestre ydispone de 5 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuantas formas puede hacer el viaje?

ϵ: Formas de viajar de A hacia B.

ϵ1: Ir de de A hacia B en vía aérea.

Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5 N (Ω1) = 5

ϵ2: Ir de de A hacia B en vía terrestre.

Ω2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 N (Ω2) = 6( ) = ( ) + ( )

( ) = +( ) =COROLARIO: Si A y B son conjuntos disjuntos se tiene que;( ∪ ) = ( ) + ( )En general si se tiene los eventos A1, A2, A3,…, Ak

= ( )3. PERMUTACIONES

Número factorial

Sea “n” un número entero positivo, el factorial de n se denota por ! y se define como elproducto de todos los enteros consecutivos de 1 hasta n.

Ejemplo 1: Cual es el número factorial de 3

3! = 3 x 2 x 1 = 6

Permutación ( )Una permutación es un arreglo de todos o parte de los elementos “sucesos” de unconjunto “espacio muestral o evento”.

Muchas veces para encontrar el número de sucesos que tiene un espacio muestral N(Ω) oun evento N(A) es necesario determinar todas las ordenaciones o arreglos.

Ejemplo 1: Asumiendo que se tiene un conjunto A = a, b, c. Cuál es el número dearreglos con los elementos de A:

Respuesta:

Arreglos: abc, acb, bac, bca, cab, cba 6 arreglos.

Por lo tanto una permutación se puede calcular con un número factorial así:= !La anterior fórmula se lee: “Número de permutaciones de n objetos tomados de n en n” yequivale al factorial de un número.

“En las permutaciones el orden de los elementos es importante”.

Ejemplo2: Un inspector quiere revisar la forma como trabajan sus operarios en las 6maquinas que posee, pero quiere caerles de sorpresa. ¿De cuantas formas lo puedehacer? = !6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Lo puede hacer de 720 formas.

Ejemplo3: En una elección de candidatas para reina se tienen 10 chicas los jueces quierendeterminar de cuantas formas se pueden ordenar en un fila sabiendo que 2 chicas nopueden estar juntas.

9! x 8 = 2903040 formas

Ejemplo4: Se tienen 12 niños en un aula de clase la profesora quiere ponerle en una filapero 4 niños siempre deben estar juntos.

Número de formas = 4!x8!x9

4. VARIACIONES ( )Las variaciones es el número de permutaciones de n objetos diferentes tomados de r a r.= !( − )!Ejemplo 1: Un grupo está formado por 5 personas y desea formar una comisión integradopor presidente y secretario. ¿De cuantas formas puede nombrarse esa comisión?

5 2 = 5!(5 − 2)!5 2 = 20Ejemplo 2: Encontrar el número total de enteros positivos que pueden formarseutilizando los dígitos 1, 2, 3, 4, si ningún digito ha de repetirse cuando se forma unnúmero. # = 4 1 + 4 2 + 4 3 + 4 4# = 4!(4 − 1)! + 4!(4 − 2)! + 4!(4 − 3)! + 4!(4 − 4)!# = 4 + 12 + 24 + 24

# = 64

5. PERMUTACIONES CIRCULARES (nPc)

Son aquellas que se forman cuando se hace ordenamientos alrededor de un círculo. Enéste tipo de agrupaciones no hay primero ni último elemento. Para poder calcular unapermutación circular con n elementos se debe fijar uno y los (n-1) restantes puedencambiar de lugar de ( − 1)! formas diferentes tomando todas las posiciones sobre lacircunferencia relativa al primer punto.

Las permutaciones circulares se denotan por (nPc)= ( − 1)!Ejemplo 1: De cuantas maneras pudieron sentarse los apóstoles en la última cena si lamesa fuera circular. = ( − 1)!13 = (13 − 1)!13 = 12!Ejemplo 2: Existen 8 personas en una familia y poseen un comedor circular, cuando sesientan a comer 2 de los integrantes no deben estar juntos por que pelean. ¿De cuantasformas pueden sentarse en la mesa?# = 6 ∗ 5# = (6 − 1)! ∗ 5# = 5! ∗ 5PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

El número de permutaciones distintas de n objetos de los cuales n1 son de una clase, n2de una segunda clase,…, nk de una k-ésima clase y todo los demás objetos de clase 1, sedenota por: 1, 2, … ,1, 2, … , = n!1! 2! … !Ejemplo 1: Un estante de una librería tiene capacidad para 10 libros de matemáticas quetiene pasta verde, 8 de física de pasta roja y 7 de química de pasta azul. ¿De cuantasmaneras puede colocarse los libros según los colores?

25 10,8,7 = 25!10! 8! 7!25 10,8,7 = 21034600Ejemplo 2: Suponga que un día obscuro nacen en cierto hospital cuatro pares de mellizos,idénticos, dos pares de mellizas, idénticas, nueve niños y once niñas. Se utiliza una tinta noindeleble para escribir sus nombres. El día siguiente (aún obscuro) la tinta desaparece.¿De cuantas maneras es posible mezclar a los niños?32 2,2,2,2,2,2 = 32!2! 2! 2! 2! 2! 2!32 2,2,2,2,2,2 = 32!(2!)COMBINACIONES ( )

Las combinaciones son las ordenaciones de un subconjunto de r elementos de unconjunto que tiene n elementos diferentes. Y se llama combinaciones de los n elementostomados de r en r.

“En las combinaciones el orden de los elementos no es importante”.

Si se tiene un conjunto formado por los elementos a, b, c, d. Cuáles serán lascombinaciones que se pueden hacer tomando de una en una, de dos en dos, de tres entres y de cuatro en cuatro.

1. De 1 en 1.a, b, c, d

2. De 2 en 2.

a, b, a, c, a, d, b, c, b, d, c, d

3. De 3 en 3a, b, c, a, b, d, a, c, d, b, c, d

4. De 4 en 4a, b, c, d

Por lo tanto la expresión que permite calcular el número de combinaciones es:= !! ( − )!Ejemplo 1: Se extraen dos cartas de una baraja de 52. ¿De cuantas maneras se puedehacer esto?

Se necesita subconjuntos de dos cartas sin importar el orden por lo tanto se tiene losiguiente:

52 2 = 52!2! (52 − 2)!52 2 = 52!2! (50)!52 2 = 1326Ejemplo 2: un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.

a) ¿De cuantas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas?b) Si las tres primeras preguntas son obligatorias. ¿De cuantas maneras puede

escoger las preguntas?c) Si tiene que contestar 4 de las 5 preguntas. ¿De cuantas formas puede hacerlo?

a) 10 8 = 10!8! (10 − 8)!10 8 = 10!8! 2!10 8 = 45b) 7 5 = 7!5! (7 − 5)!7 5 = 7!5! 2!7 5 = 21c) si tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas, lo haría , y las 4 preguntasrestantes seleccionará de las 5 preguntas finales, lo cual lo haría de . Entonces las 8preguntas se seleccionan de la siguiente forma.∗ = ∗ =EJERCICIOS DE PROBABILIDADES

1. En una caja hay 20 bolas numeradas del 1 al 20, se extrae al azar una bola. ¿cuál esla probabilidad que el número de la bola extraída?a) No exceda de 20?b) Sea por lo menos 15?

ϵ: Extraer una bola de la caja.

Ω: 1, 2, 3, 4,…, 20 N(Ω) = 20

a) A: El número de la bola extraída no exceda de 20A: 1, 2, 3, 4,…, 20 N(A) = 20 Ya que cualquier bola que se extraiga nosupera 20. [ ] = N(A)N(Ω)[ ] = 2020[ ] = 1

b) B: El número de bola extraída sea por lo menos 15.B: 15, 16, 17, 18, 19, 20 N(B) = 6[ ] = N(B)N(Ω)[ ] = 620[ ] = 310

2. En una compañía hay 6 varones y 4 damas que aspiran a ser miembros de uncomité. Si se desea escoger 2 al azar escribiendo los nombres en hojas de papel ysacándoles de una urna. ¿Cuál es la probabilidad que los dos sean hombres?

ϵ: Extraer 2 nombres de los diez.

Como cada conjunto que se saca es de dos personas el espacio muestral se transforma enun problema de combinación.

Ω: (A, B); (A, C); (A, D);… N(Ω) = 10C2

A: Las dos personas elegidas son hombres

N(A) = 6C2 [ ] = N(A)N(Ω)[ ] = 6C210C2[ ] = 13

3. Un experimento aleatorio consiste en disponer los dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 uno acontinuación del otro; calcular la probabilidad de:a) Que el 3 aparece junto al cuatro y en ese orden.b) El número formado sea par.

ϵ: Disponer los dígitos uno a continuación de otro.

Ω: 23456789, 24685379,… N(Ω) = 8P8 = 8!a) A: El tres aparece junto al cuatro y en ese orden

A: 23456789, 34256978, 85967342,… N(A) = 7P7 = 7! Ya que el 3y 4 deben estar juntos en ese orden como un solo número por lo cual solo bastaríaen permutar 7 números. [ ] = N(A)N(Ω)[ ] = 7!8![ ] = 18

b) B: El número formado sea par.B: 34256978, 85967342,… N(B) = 7P7 = 4 x 7! Para que sea pardebe terminar en 2, 4, 6, 8 por lo cual existen 4 formas de que termine el númeroen par y los demás números pueden ordenarse en forma de permutaciones.

[ ] = N(B)N(Ω)[ ] = 4 x 7!8![ ] = 124. En el consejo universitario cada una de las 17 facultadas está representada por el

decano y Subdecano. Se nombra una comisión de 17 miembros elegidos al azar.Determine la probabilidad de que una determinada facultad esté representada.

ϵ: Nombrar una comisión de 17 miembros elegidos al azar.Ω: Arreglos formados por la combinación de todos los representantes tomados de17 en 17 N(Ω) = 34C17A: Una determinada facultad esté representada.

Significa que cada una de las facultas debe tener un representante. Para facilitar elcálculo se puede encontrar el complemento del evento “A” y luego restar delespacio muestral así:

A’: Una facultad dada no esté representada.A’: Arreglos formados por la combinación de todos los representantes quitandouna facultad tomados de 17 en 17 N(A′) = 32C17

[ ′] = N(A′)N(Ω)[ ′] = 32C1734C17[ ′] = 833[ ] = [Ω] − [ ′][ ] = 1 − 833[ ] = 2533AXIOMAS DE PROBABILIDAD Y PROPIEDADES

Axioma 1: Para cada evento A definido en el espacio muestral “Ω” se tiene que:0 ≤ [ ] ≤ 1La probabilidad del evento A está entre 0 y 1.

Axioma 2: La probabilidad del espacio muestral “Ω” es:[ ] = 1Axioma 3: Para cualquier número finito “k” de eventos mutuamente excluyentesdefinidos en el espacio muestral “Ω” se tiene que:

= [ ]De éste axioma si se tienen dos eventos A y B los cuales son mutuamente excluyentesdefinidos en el espacio muestral “Ω”. Se tiene que:

A Ω

[ ∪ ] = [ ] + [ ]Axioma 4: Si se tiene el evento imposible A definido en el espacio muestral “Ω” se tieneque: [ ] = 0Axioma 5: Para cada evento A definido en el espacio muestral “Ω” se tiene que:[ ] = 1 − [ ′] O[ ′] = 1 − [ ]Axioma 6: Si se tiene los eventos A y B definidos en el espacio muestral “Ω” tales que

ATB se tiene que: [ ] ≤ [ ]Axioma 7: Si se tiene los eventos A y B definido en el espacio muestral “Ω” y si ellos seintersecan entre sí, se tiene:

[ ∪ ] = [ ] + [ ] − [ ∩ ]Axioma 8: Si A, B, C son tres eventos cualesquiera definidos en el espacio muestral “Ω” ysi ellos se intersecan entre sí, se tiene:

B

A

B

Ω

A

B

Ω

[ ∪ ∪ ] = [ ] + [ ] + [ ] − [ ∩ ] − [ ∩ ] − [ ∩ ] − [ ∩ ∩ ]Ejemplo 1: La probabilidad de que llueve en Latacunga en Diciembre es 0.10, de quetruene es 0.05 y que llueve y truene es de 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueve otruene ese día?

Sean los eventos:

A: Llueve en Latacunga en Diciembre

B: Truene en Latacunga en Diciembre

C: Llueve o truene en Latacunga en Diciembre = ∪Sean las probabilidades:

P[A] = 0.10 P[B] = 0.05 [ ∩ ] = 0.03[ ] = [ ∪ ] = [ ] + [ ] − [ ∩ ][ ] = 0.10 + 0.05 − 0.03[ ] = 0.12Ejemplo 2: La probabilidad que la central de riesgos de la provincia de Tungurahua recibaa lo más 5 llamadas telefónicas en un día es 0,20; y por lo menos 9 llamadas en un día es0.50. ¿Cuál es la probabilidad que la central de riesgos reciba 6, 7 u 8 llamadas en un día?

ϵ: La central de riesgos de Tungurahua recibe en un día una llamada telefónica.

Ω: 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

Sean los eventos:

A: La central de riesgos reciba a lo más 5 llamadas.

A: 0, 1, 2, 3, 4, 5 [ ] = 0.2B: La central de riesgos reciba por lo menos 9 llamadas.

B: 9, 10, 11, 12, 13, 14,... [ ] = 0.5C: La central de riesgos reciba 6, 7 u 8 llamadas

C: 6, 7, 8

Los eventos no tienen intersección por lo cual se tiene:

C

[Ω] = [ ∪ ∪ ]1 = 0.2 + 0.5 + [ ][ ] = 0.3Ejemplo 3: De un grupo de personas, el 30% practica fútbol y el 40% juega ajedrez. De losfutbolistas el 50% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente una persona. ¿Cuál es laprobabilidad?

a) ¿Practica sólo uno de estos deportes?b) ¿No practique ni futbol ni ajedrez?

ϵ: Elegir aleatoriamente una persona de un grupo de personas.Ω: 1, 2, 3, 4, 5,...nSean los eventos:

A: La persona elegida es futbolista. [ ] = 0.3B: La persona elegida juega ajedrez. [ ] = 0.4

a) ¿Practica sólo uno de estos deportes?

C: La persona elegida practica solo uno de estos deportes. = ( ∩ ) ∪ ( ∩ )

Los eventos ( ∩ ) ( ∩ ) son mutuamente excluyentes por lo cual se tiene:[ ] = [ ∩ ] + [ ∩ ][ ] = 0.15 + 0.25[ ] = 0.4b) ¿No practique ni futbol ni ajedrez?

Sea el evento:

A

B

Ω

15%15% 25%

D: la persona elegida no practica ni futbol ni ajedrez. = ( ∪ )′[ ] = [( ∪ )′][ ] = 1 − [ ∪ ][ ] = 1 − 0.55[ ] = 0.45PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional está determinada o condicionada a la ocurrencia de un eventodado que ya ocurrió otro.

Si se considera un evento A y un evento B definido en un espacio muestral Ω. Se tieneque:

Si se quisiera determinar la ocurrencia del evento A dado que ya a ocurrido el evento B setendría gráficamente:

Es evidente que la probabilidad del evento A es diferente cuando ya a ocurrido un eventoanterior definido en dicho espacio muestral. Si el evento B fue el que ya ocurrió se tieneque el espacio muestral queda restringido a dicho evento, y es obvio pensar que el

A

B

Ω

A

B

Ω

complemento de B no ha ocurrido por lo cual se puede definir “probabilidad del evento Adado que ya ocurrió B”. Y se denota por [ / ] cuya fórmula matemática es:

[ / ] = [ ∩ ][ ]De esta fórmula también se deriva la expresión:[ /Ω] = [ ∩ Ω][Ω] = [ ]Ejemplo 1: Se considera el experimento lanzar un dado y observar su resultado en el cualse definen los eventos:

A: “Se observa un número impar”

B: “Se observa un número mayor que 3”.

Determina la probabilidad de A dado que ya ocurrió B:

ϵ: Lanzar un dado y observar su resultado.

Ω: 1, 2, 3, 4, 5, 6 N(Ω) = 6

A: 1, 3, 5 N(A) = 3

B: 4, 5, 6 N(B) = 3

∩ = 5[ ∩ ] = 16 [ ] = 12[ / ] = 1612[ / ] = 13

6

B

Ω

15

A

3

4

Ejemplo 2: En un estudio sociológico sobre la fidelidad en el matrimonio se obtuvo elsiguiente modelo probabilístico, calificando al hombre y a la mujer como fiel (F) o infiel (I).

MUJER

HOMBRE F IF 0.22 0.24I 0.31 0.23

¿Cuál es la probabilidad condicional de que un esposo sea fiel, dado que su esposa es fiel?

Se denotara por:

Hombre fiel (HF)

Mujer fiel (MF) [ / ] = [ ∩ ][ ][ / ] = 0.220.22 + 0.31[ / ] = 0.415Axiomas

Axioma 1: 0 ≤ [ / ] ≤ 1Axioma 2: [Ω/ ] = 1Axioma 3: Para un conjunto de n eventos A1, A2, A3,..., An, mutuamente excluyentes setiene:

[ / ] = [ / ]Axioma 4: [∅/ ] = 0Axioma 5: [ ′/ ] = 1 − [ / ] = 1Axioma 6: Si ATB; [ / ] < [ / ]Axioma 7: [ ∪ / ] = [ / ] + [ / ] − [ ∩ / ]Ejemplo 1: En una universidad de 10000 estudiantes y 1000 profesores, el 10% de losprofesores son zurdos y el 90% derechos, mientras que en los estudiantes éste porcentaje

es lo contrario. Se selecciona al azar un miembro de la Universidad y se encuentra que esderecho. ¿Cuál es la probabilidad que se haya selecciona un estudiante?

ϵ: Seleccionar al azar un miembro de la universidad y observar si es derecho o izquierdo;

Ω: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...,11000 N(Ω) = 11000

D: “El miembro seleccionado es derecho”

E: “el miembro seleccionado es estudiante”

A calcular: [ / ] = [ ∩ ][ ]

Tamaños: ( ∩ ) = 1000( ) = 1900 [ / ] =[ / ] = 1019

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

La regla de la multiplicación permite calcular la probabilidad de la intersección de dos omás eventos: Si se tiene dos eventos A y B y que no son mutuamente excluyentes sepuede establecer que: La probabilidad de que ocurra A y B “ ∩ ” es igual a laprobabilidad de la ocurrencia de uno de ellos multiplicado por la probabilidad condicionalque ocurra el segundo, dado que el primero ha ocurrido.[ ∩ ] = [ ]. [ / ][ ∩ ] = [ ]. [ / ]Ejemplo: Una urna contiene 5 bolas blancas y 6 negras; se extrae al azar sucesivamente ysin reposición, ¿cuál es la probabilidad que las dos resultan blancas?

Se considera los eventos:

A1: “La primera bola resultó blanca”

A2: “La segunda bola resulto blanca”

E: “Las dos bolas resultan blancas”

La probabilidad buscada es del evento : 1 ∩ 2, es decir es la intersección de los doseventos. [ ] = [ 1 ∩ 2] = [ 1]. [ 2/ 1]

En la urna existe 11 bolas de las cuales 5 son blancas, por lo cual:[ 1] =Después de la ocurrencia del evento A1, queda 10 bolas de las cuales 4 son blancas, luego[ 2/ 1] =Por lo tanto [ ] = 511 410[ ] = 211EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES

Dados dos eventos A y B se dicen que son independientes si la probabilidad de ocurrenciade uno de ellos no afecta para nada la probabilidad de ocurrencia del otro, caso contrarioson dependientes[ ∩ ] = [ ]. [ / ] Eventos Dependientes[ ∩ ] = [ ]. [ ] Eventos Independientes

Ejemplo 1: Sean los eventos A1 y A2 “cara en el quinto lanzamiento” y “cara en el sextolanzamiento” de una moneda, respectivamente. Determine la probabilidad de que salgacara en ambos intentos[ 1 ∩ 2] = [ 1]. [ 2] Ya que son independientes[ 1 ∩ 2] = . =

PROBABILIDAD COMPLETA Y TEOREMA DE BAYES

Antes de definir lo que se es una probabilidad completa o el teorema de Bayes hay que definirciertos parámetros muy importantes para poder comprender lo antes mencionado así:

PARTICIÓN DE UN ESPACIO MUESTRAL

Se dice que la colección de eventos B1, B2, B3,..., Bk del espacio muestral Ω representan unapartición del espacio muestral si cumplen las siguientes condiciones:

a) Los eventos B1, B2, B3,..., Bk son mutuamente excluyentes.

b) Los eventos B1, B2, B3,..., Bk son colectivamente exhaustivos.

= Ωc) La probabilidad de cada uno de los eventos es mayor que cero.[ ] > 0

PROBABILIDAD TOTAL

Sean los eventos B1, B2, B3,..., Bk que forman una partición del espacio muestral entonces paracualquier evento A definido en el mismo espacio muestral se cumple:

[ ] = [ ] [ / ] = [ 1] [ / 1] + [ 2] [ / 2] +⋯+ [ ] [ / ]

Ω

B1 B2 B3 B4 Bk

B1 B2 B3 B4 Bk

Ω

A

Corolario: Si B es un evento en Ω tal que 0 < [ ] < 1, entonces para cualquier evento A en Ω setiene que: [ ] = [ ] [ / ] + [ ′] [ / ′]Ejemplo: En un laboratorio hay tres jaulas. En la jaula “I” hay 2 ratas negras y 3 blancas, la jaula“II” tiene 4 ratas negras y 2 blancas y la jaula “III” contiene 5 negras y 5 blancas. Se selecciona alazar una jaula y se saca una rata de esa jaula. ¿Cuál es la probabilidad que la rata sea blanca?

Solución:

ϵ: Sacar una rata de una jaula elegida al azar de tres existentes.

Ω: 11 ratas negras, 10 ratas blancas

Se definen los eventos;

I: La jaula “I” es seleccionada.

II: La jaula “II” es seleccionada.

III: La jaula “III” es seleccionada.

A: La rata escogida es blanca

[ ] = [ ] [ / ] + [ ] [ / ] + [ ] [ / ][ ] = 13 . 35 + 13 . 26 + 13 . 510[ ] = 4390

TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes se puede considerar como una operación inversa al de la probabilidad total.

Sean los eventos B1, B2, B3,..., Bk que forman una partición del espacio muestral Ω y el evento Adefinido también en Ω se tiene que:

[ / ] = [ ] [ / ]∑ [ ] [ / ]

Corolario: Si A y B son eventos en Ω tales que P[A] > 0 y 0 < P[B] <1 entonces:

[ / ] = [ ] [ / ][ ] [ / ] + [ ′] [ / ′]Ejemplo: Del problema anterior suponer que la rata escogida fue blanca. ¿Cuál es la probabilidadque venga de la primera jaula?

[ / ] = [ ] [ / ][ ][ / ] = 13 354390[ / ] = 1843

VARIABLES ALEATORIAS

Cuando se calcula probabilidades muchas veces los elementos de los espacios muestrales sonabstractos por ejemplo en el lanzamiento de una moneda sus elementos son: “cara, sello” y porello muchas veces también es difícil escribir el Ω asociado a un experimento aleatorio cuando suselementos no son números, sobre todo cuando se trata de experimentos que definen espaciosmuestrales discretos infinitos y continuos.

Cuando se maneja variables aleatorias se introduce el concepto de función de la misma forma quese trata en álgebra; así se denomina la función de probabilidad “P” cuyo dominio es (Ω) yrango el intervalo de números reales [0, 1] se tiene que:

P: (Ω) → [0, 1]Pero cuando los elementos son abstractos no se puede aplicar un cálculo matemático, por lo cuales conveniente que el dominio de la función P sea también un conjunto de los números realespara esto se debe asignar un valor numérico ℝ Ω , a lo que se denomina“cuantificar los sucesos”.

Ejemplo: Considere el experimento aleatorio lanzar una moneda tres veces, y en él se define elevento número de caras obtenidas. Determine una función que permita asignar valores a lossucesos de dicho evento.

ϵ: Lanzar una moneda tres veces

Ω: CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS

A: CCC, CCS, CSS, SSS

Debido a que el evento sólo pide el número de caras los sucesos CCS, CSC, SCC son iguales asícomo también los sucesos, CSS, SCS, SSC.

Se puede definir la función:

X(CCC) = 3

X(CCS) = X(CSC) = X(SCC) = 2

X (CSS) = X(SCS) = X(SSC) = 1

X(SSS) = 0

Es decir, la función X en Ω definida por X() = “número de caras obtenidas al lanzar una monedatres veces” es una función a valores reales, que tiene como dominio el espacio muestral Ω y elsubconjunto de números reales, = / = 0, 1, 2, 3 como rango

X: Ω → 0, 1, 2, 3

En el ejemplo se podría determinar la probabilidad correspondiente a que salga tres caras, doscaras, una cara y cero caras, observado que son eventos independientes los lanzamientos de lasmonedas así:

[3] = [ ] = 18

[2] = [ ] = [ ] = [ ] = 38[1] = [ ] = [ ] = [ ] = 38[0] = [ ] = 18Definición variable aleatoria.- Se llama variable aleatoria a cualquier función definida en unespacio muestral Ω y con rango o recorrido en un subconjunto finito o infinito de los númerosreales, el cual asigna un único valor de ℝ Ω.

El dominio de la variable aleatoria X es Ω (conjunto de partida) y el rango orecorrido es un subconjunto de los reales que se va a denotar como (conjunto deLLEGADA).

Notación:= ℝ / ( ) = , Ω = (Ω)Ejemplo: Sea X una variable aleatoria que se considera como el beneficio de un jugador, en unjuego en el que se tira un dado y el jugador gana 100 dólares, si sale los números 1 o 3, no gana nipierde si sale los números 2 o 5, pierde 100 dólares si sale 4 o 6. Cuál es su recorrido

El dominio de X es:

Ω: 1, 2, 3, 4, 5, 6 es decir las posibilidades del dado. N(Ω) = 6

Los valores que toma la función en su recorrido que también se les puede llamar imágenes sonsegún el enunciado:

X(1) = X(3) = 100 $; X(2) = X(5) = 0; X(4) = X(6) = -100 $

Por lo cual l recorrido es:= 100, 0, −100 óCálculo de probabilidades en el recorrido de una función

Cada elemento del rango Rx de la variable aleatoria X tiene una probabilidad que han sidoinducidas por las probabilidades asignadas a los posibles resultados del espacio muestral Ω através de la función X, lo cual implica que se puede utilizar la teoría de probabilidades para calcularprobabilidades en Rx.

Al igual que se habla de eventos como subconjuntos del espacio muestral, a través de la variablealeatoria también se puede hablar de eventos como subconjuntos de Rx, con la siguiente notación:

[X() = x] o [X = x] que se lee: “la variable aleatoria toma el valor de x”

P[X = x] se lee: “La probabilidad que la variable aleatoria tome el valor de x”

Ejemplo: Del problema anterior cuál es la probabilidad que la persona que juega gane 100 dólares.

Para que gane 100 dólares la persona, el dado lanzado debe salir 1 o 3[ = 100$] = [ ∪ ]Donde:

Se definen los eventos

A: Sale 1 en el lanzamiento del dado N(A) = 1

B: Sale 3 en el lanzamiento del dado N(B) = 1

[ = 100$] = [ ] + [ ]Los eventos no tienen intersección. [ = 100$] = 1/6 + 1/6

[ = 100$] = 26 = 13EVENTOS EQUIVALENTES

Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio ϵ, y X una variable aleatoria conrango Rx definida sobre Ω. Un evento A en Ω y un evento Ex en Rx son equivalentes si:= Ω ( )⁄

Simplemente, si A es un evento en Ω que consiste de todos los resultados posibles para el cual( ) , entonces A y son equivalentes

Si A es un evento en Ω tal que = Ω ( ) =⁄ su evento equivalente en Rx es = ,lo cual se denota por [X = a], es decir el evento [X = a] es el conjunto de puntos en el espacio Ωque son aplicados en el número real a por la función X.

Ejemplo: En el experimento aleatorio lanzar una moneda tres veces, y X() = número de carasobtenidas.

Sea = Ω ( ) = 2⁄ su evento equivalente es CCS, CSC, SCC o [X = 2]

Y sea = 1, 0 se tendría que A = CSS, SCS, SSC, SSS o = Ω ( ) = 1, 0⁄ o [X = 1 o 0]

En forma general se tiene que:= Ω ( ) =⁄ ó , se denota por [X = a, b]= Ω < ( ) <⁄ , se denota por [a < X < b]

Definición.- Si A es un evento en el espacio muestral Ω y un evento en el rango de lavariable aleatoria X, entonces definimos la probabilidad como:[ ] = [ ], = Ω ( )⁄

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Definición.- Una variable aleatoria X se dice que es discreta si su rango RX es un conjunto finito oinfinito numerable así:= 1, 2, 3, … Ejemplo: suponiendo que el número de días de trabajo de un año en particular es 280 y losrecords de los empleados se marcan cada día cada día que ellos se ausentan. Se seleccionaaleatoriamente un record y se observa los días marcados. Cuál es el rango de la variable aleatoria.

Respuesta

La variable aleatoria se define como el número de días ausentes del trabajo, por lo cual:= 0, 1, 2, … , 280La variable aleatoria es discreta con un número finito de posibles valores.

FUNCIÓN O LEY DE PROBABILIDAD

Definición.- Sea X una variable aleatoria discreta con rango . Una función definida por( ) = [ = ] = [ ] / ( ) = Donde la suma es sobre los sucesos tal que ( ) = y satisface las siguientescondiciones: ( ) > 0

( ) = [ = ] = 1∈∈A esta ésta última expresión se la conoce como función o ley de probabilidad.

Distribución de probabilidad

La colección de pares ordenados [(x, ( ) ), ] se llama distribución de probabilidad.

Nota: si ∉ , [X = x] es un evento imposible, por lo tanto ( ) = [ = ] = 0.

La distribución de probabilidad se representa en tablas o gráficamente:

Representación tabular de la distribución de probabilidad

x x1 x2 x3 . . .( ) = [ = ] ( 1) ( 2) ( 3) . . .

Representación gráfica de la distribución de probabilidad

Para cualquier evento definido en RX como puede ser A, B, C o ya el conocido EX , se lo puededefinir como sigue: [ ] = ( ) = [ = ]∈∈Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda tres veces considere la variable aleatoria que define elnúmero de caras menos el número de sellos. Compruebe la ley de probabilidad y halle ladistribución de probabilidad den forma tabular y gráfica.

ε: Lanzar una moneda tres veces

Ω: CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS

X() = #caras - #sellos

Por lo tanto su recorrido será: = −3, −1, 1, 3

(3) = [ = 3] = [ ] = 18(1) = [ = 1] = [ ] + [ ] + [ ] = 38(−1) = [ = −1] = [ ] + [ ] + [ ] = 38(−3) = [ = −3] = [ ] = 18Representación tabular

x -3 -1 1 3( ) = [ = ] 1/8 3/8 3/8 1/8

Representación gráfica

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La función de distribución o distribución acumulativa es un concepto muy importante dentro delestudio de las variables aleatorias. Y se les considera sí a eventos que tienen la forma:[ ≤ ] [ ≤ ]

Definición.- Sea X una variable aleatoria discreta con rango = 1, 2, 3, … y función deprobabilidad, ( ) = [ = ] , sea x un número real cualquiera, la Función de Distribución deX se denota por “F(x)” y se define como:

( ) = [ ≤ ] = ( ) = [ = ]Del ejemplo anterior se determino la distribución de probabilidad como:

x -3 -1 1 3( ) = [ = ] 1/8 3/8 3/8 1/8

Determine: F(-3), F(-1), F(1), F(3).

Si x < -3, se tiene que:

( ) = [ ≤ ] = ( ) = 0Si x = -3,

(−3) = [ ≤ −3] = ( ) = (−3) = 18Si x ∈ [−3, −1 >

( ) = [ ≤ ] = ( ) = (−3) = 18Si x = -1

(−1) = [ ≤ −1] = ( ) = (−3) + (−1) = 18 + 38 = 48Si x ∈ [−1, 1 >

( ) = [ ≤ ] = ( ) = (−3) + (−1) = 48Si x = 1

(1) = [ ≤ 1] = ( ) = (−3) + (−1) + (1) = 48 + 38 = 78Si x ∈ [1, 3 >

( ) = [ ≤ ] = ( ) = (−3) + (−1) + (1) = 78Si x = 3

(3) = [ ≤ 1] = ( ) = (−3) + (−1) + (1) + (3) = 78 + 18 = 1Si x > 3 ( ) = [ ≤ ] = ( ) = (−3) + (−1) + (1) + (3) = 1

0, si x < -3

1/8, si -3 ≤ x < -1

F(x) = 4/8, si -1 ≤ x < 1

7/8, si 1 ≤ x < 3

1, si x 3

x -3 -1 1 3( ) = [ = ] 1/8 3/8 3/8 1/8F(x) 1/8 4/8 7/8 1

Propiedades de la función de distribución

Se usa la siguiente notación:(∞) lim→ ( ) (−∞) lim→ ( )PROPIEDAD 1: 0 ≤ ( ) ≤ 1 para todo ( ) , pues F(x) es una probabilidad para cualquier (x)real y las propiedades están limitadas por 0 y 1.

PROPIEDAD 2: F(x) es una función no decreciente.

Sean x1, x2 ( ) tales que x1 ≤ x2, entonces se tiene / ≤ 1 ⊂ / ≤ 2En función de las probabilidades se tiene:( 1) = [ ≤ 1] ≤ [ ≤ 1] = ( 2)PROPIEDAD 3: (∞) = [ / < ∞] = [ < ∞] = 1, / < ∞ es el conjunto de todos los números reales.(−∞) = [ / < −∞] = [ < − ∞] = 0,

/ < −∞ es el conjunto nulo

PROPIEDAD 4: Sea , , si x es tal que≤ < , entonces F(x) = F(xk)

Es decir, la función F(x) es constante e igual a F(xk) para todo [ , ). Esto implica, que si Xes una variable discreta, F(x) es una función “escalonada” y la altura de un escalón en ( )es igual a la P[X = xk]De esta propiedad se deriva que:

a) La función de distribución da directamente

P[X ≤ a] = F(a)b) P[X a] = 1 - P[X < a] = 1 – F(a – 1), Si a es entero

= 1 – F([a]), si a no es entero.c) La función de distribución F(x) se puede usar para determinar probabilidades de cualquier

clase con relación a X; en particular consideremos el evento.( < < ), , <Se considera los siguientes eventos:

A = ε Ω / X() ≤ a = (X ≤ a)

B = ε Ω / a < X() ≤ b = ( a < X ≤ b)

Desde que a y b son dos números reales cualesquiera tales, que a < b, entonces es claro que∩ = 0.

Luego, [ ∪ ] = [ ] + [ ]Pero, ∪ = ( ≤ , , < ≤ ) = ( ≤ )Por lo tanto: [ ≤ ] = [ ≤ ] + [ < ≤ ]( ) = ( ) + [ < ≤ ]De donde [ < ≤ ] = ( ) − ( )También se puede calcular [ ≤ ≤ ][ ≤ ≤ ] = [ = ó < ≤ ],Desde que los eventos (X = a) y ( < ≤ ) son excluyentes, se tiene que:

[ ≤ ≤ ] = ( ) − ( ) + [ = ]Suponiendo que se desee calcular [ < < ] se tiene que:[ < < ] = [ < < ] − [ = ]

[ < < ] = ( ) − ( ) − [ = ]

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