REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

SEDE BARCELONA

INTEGRANTES: Pablo Velásquez ; C.I.: 21.081.688

Celibeth Hurtado ; CI.: 24.877.83.09

Anderson Subero ; C.I.: 25.786.992

PROFESOR:Pedro Beltrán

MATERIA: ESTADISTICA.

BARCELONA 05 DE AGOSTO DE 2016.

Espacio MuestralEl conjunto de todos los resultados posibles diferentes de un determinado experimento

aleatorio se denomina, espacio muestral, asociado a dicho experimento y se suele

representar por Ω. A los elementos de Ω se les denomina sucesos elementales.

Ejemplos de espacio muestral:

1. El espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en el

lanzamiento de una moneda es Ω= {Cara, Cruz}.

2. El espacio muestral asoaciado al lanzamiento de un dado es Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Experimento DeterministicoEn estadística un experimento determinista es un  experimento o fenómeno que da lugar

a un resultado cierto o seguro, es decir, cuando partiendo de unas mismas condiciones

iniciales tenemos la certeza de lo que va a suceder. La relación causa-efecto se conoce

en su totalidad.

Ejemplos de experimentos deterministicos:

1. Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la

piedra bajará.

2. Si arrojamos la piedra hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado

intervalo de tiempo; pero después bajara.

Experimento AleatorioEs cualquier acción o proceso que no se tiene certeza de su resultado final, hasta tanto no

se ejecute. Este tipo de experimento debe satisfacer con los siguientes requerimientos:

Puede repetirse un número ilimitado de veces bajo las mismas condiciones.

Es posible conocer por adelantado todos los posibles resultados a que puede dar

origen.

No puede predecirse con exactitud un resultado en una realización particular del

experimento.

Ejemplos de experimentos aleatorios

1. La tirada de un dardo.

2. La extracción al azar de una muestra de N objetos de una población.

Algebra de EventosEn la definición de evento se pudo apreciar que un evento es un conjunto, por lo que los

eventos heredan las propiedades y teoría general de los conjuntos.

Evento Unión

Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La unión de los eventos A y B es el evento que consta de los elementos que pertenecen tanto a A como a B y se representa por(A B).

Complementos

El complemento del evento A es el evento de aquellos elementos que no pertenecen a A y se simboliza

por  .

Intersección

Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La intersección de los eventos A y B es el evento que contiene los elementos que simultáneamente pertenecen a A y a B y se represente por (AB).

Diferencia de Eventos

Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La diferencia de los eventos es el evento que contiene los elementos que pertenecen a A pero no a B

Diferencia Simétrica

Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A ∆ B al suceso que se verifica cuando o bien se verifica A y no se verifica B, o viceversa.

Definición Clásica de ProbabilidadesSea A un suceso cualquiera, entonces, la probabilidad de ocurrencia del suceso A, se denota P(A) y mide la frecuencia relativa con la cual ocurre dicho suceso. Su valor se determina mediante la expresión:

Ejemplo 1Se realiza el lanzamiento de un dado bien hecho, determine lo siguiente:

1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un tres?2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo? Solución:

a.  Suceso T = “obtener un tres”.                    T= {3}. Luego, la probabilidad de obtener un tres será:

b.  Suceso P = “sacar un número par”.            P = {2,4,6}. Luego, la probabilidad de obtener un número par será:

c.  Suceso Pr = “sacar un número primo”.       Pr = {1,2,3,5}. Luego, la probabilidad de obtener un número primo será:

  Ejemplo 2 En una baraja de 40 cartas, si se extrae una al azar. a. ¿cuál es la probabilidad de AS?; y b. ¿Sea de ESPADAS?Solución:

a. Suceso A = “extraer un As”.  Luego, la probabilidad de extraer un As será:b.

c. Suceso E = “extraer una de Espadas”.  Luego, la probabilidad de extraer una de Espadas será: 

d.

  

Diagrama de ÁrbolUn diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.Ejemplo:- En una perrera “X” predominan 2 razas, BOXER Y LABRADOR. Cada vez que

adoptan, deben matar un perro de cualquier de las 2 razas, la perrera funciona asi. Si una mujer u hombre adopta a cualquier raza de perro, deben matar un bóxer o un labrador. Diariamente van 50 personas a adoptar perros, en la mayoría de los casos 30 de esas personas son mujeres y 20 son hombres. Que probabilidad hay que maten 1 boxer siendo la mujer quien adopta a un perro? Sabiendo que hay 10 boxer y 20 labradores.

- (A) 10,3 %- (B) 20,4 %- (C) 100%- (D) 19.8 %

Probabilidad condicionalEs la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento

B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en

el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa

o pueden no tener relación causal.

Teorema de la probabilidad totalSea A1... An. Un sistema completo de eventos tales que la probabilidad de cada uno de

ellos sea distinta de cero y B sea un evento cualquiera del que se conocen las

probabilidades condicionales P(B/A1).

Entonces, la probabilidad del evento B, llamada probabilidad total, se calcula empleando

la formula:

P(B)= P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)...+P(An).P(B/An).

Teorema de la probabilidad de BayesSe utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva

información, y es:

P (Ai/B)= P(Ai).P(B/Ai) / P(B)

Donde: P (Ai)= Probabilidad a priori( Análisis de probabilidades con una asignación

inicial).

P ( B / Ai )= Probabilidad condicional.

P (B) = Probabilidad Total.

P (Ai / B)= Probabilidad a Posteriori( Probabilidades Revisadas).

Ejercicio ilustrativo

A)- Una compañía de transporte público tiene 3 líneas en una ciudad, de forma que el

45% de los autobuses cubre el servicio de la línea n°1, el 25% cubre la línea n°2 y el 30%

cubre la línea n°3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe

es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.

Simbología:

A1= cubre el servicio de la línea 1.

A2= cubre el servicio de la línea 2.

A3= cubre el servicio de la línea 3.

B1= sufre una avería.

B2= No sufre avería.

Datos:

P (A1)= 45%= 0,45

P (A2)= 25%= 0,25

P (A3) = 30% = 0,30

P (B1/A1) = 2% = 0,02

P (B1/A2) = 3% = 0,03

P (B1/A3) = 1% = 0,01

Las probabilidades de no sufrir una avería para cada línea son de:

P(B2/A1)=1-P(B2/A1)=1-0,02= 0,98

P(B2/A2)=1-P(B2/A2)=1-0,03= 0,97

P(B2/A3)=1-P(B2/A3)=1-0,01= 0,99

A) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

Solución:

P (B1) = P (A1).P(B1/A1)+P(A2).P(B1/A2)+P(A3).P(B1/A3)

P (B1) = 0,45.0,02+0,25.0,03+0,3.0,01= 0,0195

B) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería, empleando

teorema de probabilidad total.

Solución:

P(B2)= P(A1).P(B2/A1)+P(A2).P(B2/A2)+P(A3).P(B2/A3)

P(B2)= 0,45.0,98+0,25.0,97+0,3.0,99= 0,9805

O también, sabiendo que P(E)= 1-P(E), entonces (B2)= 1-P(B2)= 1-0,0195= 0,9805

C) ¿De que línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

Se debe calcular 3 probabilidades a posteriori con el teorema de bayes

Línea 1, sabiendo que sufre una avería:

P(A1/B1)= P(A1).P(B/A1)/P(B1)= 0,45.0,02/0,0195= 0,4615

Línea 2, sabiendo que sufre una avería:

P(A2/B1)= P(A2).P(B/A2)/P(B1)=

0,25.0,03/0,0195= 0,3846

Línea 3, sabiendo que sufre una avería:

P(A3/B1)= P(A3).P(B/A3)/P(B1)=0,3.0,01/0,0195= 0,1538

Lo más probable es que la línea 1 sufra averías; Siendo P(A1/B1)= 0,4615, el mayor.