ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16

ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16 Sesión:4Fecha:09/01/16Título:MóvilesconGeogebraVeteranos

AnaMartínCaraballo,JoséMªVázquezdelaTorrePrieto Página1

1. Definicióndelugargeométrico.

Un lugar geométrico se define como un conjunto de puntos que cumplen una misma

propiedad.

En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son

elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...),mientras que en

otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos. Así, la

mediatriz, labisectriz, las cónicas, la cicloide, el caracoldePascal, la cisoidedeDioclesy

otrasfigurasgeométricascuriosassonlugaresgeométricos.

Ladefinicióndelugargeométricosepuedeextenderalespacio(esfera,cilindro,…),enesta

unidadvamosatrabajarsoloenelplano.

2. CómodescribirunlugargeométricoconGeogebra.

ParaconstruirunlugargeométricoconGeogebranecesitamosdosobjetos:

i. Unpuntoqueseráelquedescribaellugargeométrico.

ii. Otropuntoqueseráelquesemuevayhagaquelascondicionescambien,ypor

tanto,existaunlugargeométrico.

3. Ejemplo1…Algunosejemplosfácilesdelugaresgeométricos.

A. MEDIATRIZ:Lugargeométricodelospuntosequidistantesalosextremosdeun

segmento.

B. BISECTRIZ: Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un

ángulo.Labisectrizdeunánguloeslarectaquepasandoporelvérticedelángulo

lodivideendosángulosiguales.

C. CÓNICAS



a. Circunferencia: Lugar geométrico de todos los puntos del plano que

equidistandeotropuntofijoycoplanariollamadocentroenunacantidad

constantellamadaradio.

b. Elipse:Lugargeométricodetodoslospuntosdelplano,talesquelasuma

delasdistanciaaotrosdospuntosfijos,llamadosfocos,esconstante.

c. Hipérbola: Lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que el

valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,

llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices (que es una

cantidadpositiva).

d. Parábola: Dada una recta L, llamada directriz, y un punto fijo F (no

pertenecientealarecta),llamadofoco,ellugargeométricodelospuntos

queequidistandelarectaLyelpuntoFsedenominaparaboladefocoFy

directrizL.



4. Ejemplo2…..ELCARACOLDEPASCAL

A. Planteamientodelproblema.

Se considera la circunferencia x2 + y2 = 4 (circunferencia de centro el origen y

radio 2). Calcular el lugar geométrico descrito por el punto P, pie de las

perpendiculares trazadas desde el punto A(0,4) a las tangentes a dicha

circunferencia.

B. ResolucióndelproblemaenGeogebra.

a. Dibujamosenlaventanagráficaunacircunferenciacentradaenelorigen

yderadio2,asícomoelpuntoA(0,4).

b. Colocamos sobre la circunferencia un punto genérico B a fin de que le

podamosmover,ysobreestepuntohacemospasarlarectatangentetala

circunferenciaquepasaporél.

c. DesdeelpuntoAhacemostrazarlaperpendicularpadichatangentet,y

dondeintersectencolocamosunpuntoP.

d. Activamos el rastro del punto P clicando con el botón derecho sobre

dichopunto.

e. Clicamos sobre la herramienta Elección y hacemos que el punto B se

muevasobrelacircunferencia.Deestemodo,elpuntoPseirápunteando

ellugargeométricoquebuscamos.



f. Sihacemosvisible lahojadecálculoenelMenúVista,podemosobtener

lascoordenadas(x ,y) de lospuntosdel lugargeométricoquemarcael

puntoPconelrastreoactivado.

Como alternativa al último paso, se puede visualizar el lugar geométrico

haciendousoprecisamentede laherramienta“LugarGeométrico”,enelqueen

primerlugarsepinchaconelratónelpuntodellugargeométricodeseado,yen

segundo lugar el punto que vamos amover. Por tanto, si pinchamos con esta

herramienta primero el punto P y luego el punto B obtenemos el lugar

geométricosolicitado,peroestavezdeformacontinuaenlugarde“porpuntos”.

Utilizarestasegundaalternativadespuésdehabercalculadoellugargeométrico

delaotraforma.

C. Historiadelacurvaobtenida.

El lugar geométrico en cuestión es el CARACOL (O LIMAÇON) DE PASCAL,

descubierto por el padre de Blaise Pascal, Étienne Pascal (1588-1651) y

denominadaasíporel francésGilles-PersonneRoverbalen1650cuandoutilizó

deestacurvacomoejemplodesusmétodosdedibujodetangentes,endefinitiva

paraelestudiodeladiferenciación.

EstacurvayahabíasidoestudiadaporAlbertoDurero(1471-1528)aquiensele

debeverdaderamentesudescubrimiento,muchoantesdequePascalcentrarasu

atención en ella, y 125 años antes de la denominación de Roverbal. Durero

propusounmétododedibujodelcaracol,aunquenolodenominólimaçon,sino

arácnidaoarañaen suobra “Vnderweysungdermessungmitdemzirckelund

richtscheyt”(Núremberg,1525).

El nombre de limaçon proviene del término en latín limax (caracol). Étienne

Pascal mantuvo correspondecia con Mersenne, en cuya casa se celebraban

reuniones con lasmatemáticas como tema fundamental de lasmismas, y a las

queacudíangeómetrasfamosos,entreellosRoverbal,quienutilizóesteforopara

darleelnombreconelquelaconocemosactualmente.



5. Ejemplo3…..CISOIDEDEDIOCLES


Se considera la circunferencia de expresión (x − 2)2 + y2 = 4. Se traza la recta

tangente t a dicha circunferencia por el extremo diametralmente opuesto al

origendecoordenadas.Trazamosporelorigenunarectacualquieram.Hallarel

lugar geométrico de los puntos P tales que la distancia desde el origen de

coordenadas a P sea igual que la distancia de la intersección de la recta m

cualquieraconlacircunferencia(PuntoA)alpuntoB.


a. Con la herramienta círculo con centro y radio, pinchar en la ventana

gráfica de geogebra en el punto (2, 0) y radio 2, así dibujamos la

circunferencia dada. La otra posibilidad es introducir la expresión de la

circunferenciaenlabarradeentradadelaventanaalgebraica.

b. Dibujar una recta que pase por el origen de coordenadas y un punto

genéricodelacircunferencia(PuntoA).

c. Dibujar la recta tangente a la circunferencia en el punto (4, 0), o bien

introducirenlabarradeentradalaexpresióndeestarecta(x=4).



d. Colocarunpuntoen la intersecciónde la rectagenéricaquepasaporel

origenconlarectax=4(PuntoB).

e. ConlaherramientacompásmedimosladistanciaquehaydelpuntoAalB

yllevamosesadistanciaalorigendecoordenadas.Dondeintersecteconla

rectagenéricacolocamoselpuntoPlugargeométricosolicitado.

f. ActivamoselrastroenelpuntoP,detalmodoquemoviendoelelpuntoA

(con la herramienta selección), el punto P va dejando el rastro y

dibujandoellugargeométricopedido.

Como alternativa a este últimopunto, podemos hacer uso de la herramienta

“LugarGeométrico”,pinchandoprimerosobreelpuntoPqueeselencargado

de trazar el lugar solicitado, y después sobre el punto A (el B también es

válido),deestemodoobtendremosuntrazadocontinuoenlugardeporpuntos

dellugargeométricoencuestión.


El lugar geométrico en cuestión es la CISOIDE DE DIOCLES. Diocles (240-180

a.C.) fue contemporáneo deNicómedes (280-210 a.C). Llevó a cabo su estudio

con el finde resolver el problema “délico” dehallar la longituddel ladodeun

cubocuyovolumenfueradosveceseldeuncubodado(laduplicacióndelcubo)1.

DioclestambiénestudióelproblemadeArquímedesdecortarunaesferaporun

plano demanera que los volúmenes de las dos partes tengan una proporción

dada. La atribución de la cisoide de Diocles puede comprobarse en los

comentariosdeArquímedesdeSiracusa(287-212a.C),ensulibroLaesferayel

cilindro.EnellosArquímedesafirmaquelacisoidefuecreadaporDioclesyaél

seatribuye.

1 El problema de la duplicación del cubo, junto con el de la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo son considerados los tres problema clásicos griegos de la época heroica, denominada así, puesto que las únicas herramientas usadas para su resolución eran tan sólo el compás y la regla.



6. Ejemplo4…..CUÁRTICAPIRIFORME


SeconsideralacircunferenciaCdeexpresión(x−a2)2+y2=(a/2)2.Setrazala

rectapperpendicularalejedeabcisasporelpuntoAgenéricodecoordenadas

(b,0).Setrazaunarectagenéricamquepasaporelorigendecoordenadas,yque

corta a la recta p en el punto M. Por el punto M hacemos pasar una recta s

paralela al eje de abcisas que corta a la circunferencia C en R y S. Por R y S

trazamossendasrectasparalelasapquecortanalarectamenlospuntosPyQ.

HallarellugargeométricodescritoporlospuntosPyQ.


a. Dibujamos la circunferencia C genérica eligiendo la herramientas de

circunferenciadadocentroyunpuntodelamisma(porejemplo).

b. Eligiendolaherramientaderectaquepasapordospuntos,dibujamosla

recta genérica que pasa por el origen m y un punto al azar D de la

circunferenciaC.



c. Dibujamosunarectaverticalgenéricapintroduciendosuexpresiónenla

barradeentrada(x=b,siendobunnúmerorealpositivo).

d. Porelpuntode interseccióndemconp trazamoselpuntoMy la recta

horizontals,paraelloenherramientaselegimoslarectaparalelaquepasa

porunpunto.

e. Por los puntos de intersección de s y la circunferencia C, dibujamos los

puntosRySylasrectasverticales,mediantelaherramientarectaparalela

aotra(p)quepasaporunpunto.

f. Enlospuntosdeinterseccióndelasrectasverticalesconlarectagenérica

mcolocamosnuestrospuntosPyQy activamosenellos el rastro.Para

ellohacemosclicenellosconelbotónderechoydesplegandoelmenúde

diálogo elegimos la opción Activar Rastro. Elegimos la herramienta

SeleccionarymovemoselpuntoDdeestemodoalmoverselospuntosPy

Qrepresentanellugargeométricobuscado.

Como alternativa a este último punto podemos hacer uso de la

herramientaLugarGeométrico.Unavezelegidaestapinchamosprimero

sobre el puntoP y luego elDpara visualizar la primeraparte del lugar

geométrico solicitada de forma continua. Y después con la misma

herramienta pinchamos sobre el punto Q primero y a continuación el

puntoRyvisualizamosdeestemodoellugargeométricocompleto.


El lugargeométricoencuestiónes laCUÁRTICAPIRIFORME, tambiénconocida

como GOTA DE AGUA. Esta curva fue estudiada por Gohierre de Longchamps

(1842-1906)en1886,entreotrascurvasque fueronnombradasdespuésdeél.

AnteriormentehabíasidoestudiadaporJohnWallis(1616-1703)en1685ypor

PierreOssianBonnet(1819-1892)en1844.



7. Ejemplo5…..LACURVADELAHECHICERA


SeconsideralacircunferenciaCdeexpresiónx2+(y-a/2)2=(a/2)2.Escogemos

unpuntoBenlarectay=aylounimosconelorigendecoordenadasO.Llamamos

D a la intersección de OB con la circunferencia. Marcamos P el punto de

intersección de la vertical trazada desde B con la horizontal trazada desde D.

Hallar el lugar geométrico descrito por el punto P al mover el punto B, cuya

ecuaciónseráf(x)=a3/(x2+a2).

Paraa=1,eláreaqueencierraestacurvaconelejeOXesigualaπ.


a. Dibujamos la circunferencia C genérica eligiendo la herramientas de

circunferenciadadocentroyradioiguala4(porejemplo).

b. Eligiendo la herramienta de tangentes, dibujamos la recta tangente a la

circunferenciaCenelpuntoA.



c. MarcamosunpuntoBenlarectatangenteyconlaherramientasegmento

unimosBconelorigendecoordenadasO.

d. Marcamos el punto de intersección D, de este segmento con la

circunferenciaC.

e. Trazamos una recta paralela a la recta tangente que pase por D y una

perpendicularalarectatangentequepaseporB.

f. MarcamoselpuntoPinterseccióndeestasdosrectas.

g. Activamosel rastroenelpuntoP.Paraellohacemosclicenellosconel

botón derecho y desplegando el menú de diálogo elegimos la opción

ActivarRastro.ElegimoslaherramientaSeleccionarymovemoselpunto

B de este modo al moverse el punto P representa el lugar geométrico

buscado.

Como alternativa a este último punto podemos hacer uso de la

herramientaLugarGeométrico.Unavezelegidaestapinchamosprimero

sobreelpuntoPyluegoelBparavisualizarellugargeométricosolicitado

deformacontinua.


María Gaetana Agnesi, matemática, filósofa y lingüista, es conocida

popularmenteporlacurvadelahechicera.

La mal llamada curva de la hechicera la había estudiado previamente

Fermaten1703yGrandi,en1718,labautizóconelnombredeversoria

(en latín)oversiera (en italiano), refiriéndoseal caboquehacegirar la

veladeunanave.

Cuando Colson aprende italiano para traducir al inglés una obra tan

importante, confundió versiera con avversiera (hechicera) y lo tradujo

comowitchofAgnesi(labrujaAgnesi)produciéndoselaparadojadeque

una mujer que dedicó su vida y su fortuna a los demás pase a la

posteridadconelsobrenombredebruja.



8. Ejemplo6…..CARDIOIDE


A.1.Planteamoselproblemadeunacircunferenciaquerueda,sindeslizamiento,

por el exterior de otra circunferencia de igual radio que permanece inmóvil

podríanser,porejemplo,dosmonedasdeigualvalor.¿Quétrayectoriadescribira

unpuntofijodelacircunferenciarodante?

A.2.DeterminarellugargeométricoqueresultarácuandoBseaunpuntosituado

enelexteriordelacircunferencia,ocuandoseaelcentrodelacircunferencia.

A.3. ¿Qué pasa si los radios de las circunferencias no son iguales? Probamos

definiendodosdeslizadoresparalascircunferencias

1.-¿Qué figurasobtenemossi losradiosde lascircunferenciassonnúmeros

enteros?

2.-¿Quésucedesilarelaciónentrelosradiosnoesunnúmeroentero?

3.-¿Ysilacircunferenciaquesedeslizaesderadiomayorquelainmóvil?



9. Ejemplo6…..Otras----OIDES

A. CICLOIDE:Curvageneradaporunpuntofijodeunacircunferenciaqueruedasin

deslizamientoalolargodeunarecta.

Basándonos en este tipo de curvas existen dos grandes grupos: hipocloides y epicloides.

Algunasdeellasyalashemosvisto.

B. HIPOCLOIDE:Curvageneradaporunpuntofijodeunacircunferenciaquerueda

sindeslizamientoporlaparteinternadeotracircunferencia.

A. EPICLOIDE:Curvageneradaporunpunto fijodeunacircunferenciaque rueda

sin deslizamiento por la parte externa de otra circunferencia (por ejemplo el

caridoidevistoanteriormente).

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