Estática y Dinámica Analítica - E.T.S.I.A.- Escuela ...€¦ · Principio de los trabajos virtuales ... Método de los desplazamientos independientes Método de los multiplicadores

Estática y Dinámica Analítica

Mecánica IITemas 6 y 7

Manuel Ruiz Delgado

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Aeronauticos

Universidad Politecnica de Madrid

Estatica y Dinamica Analıtica– p. 1/25

Mecánica analítica

Equilibrio y sistemas reónomos

Principio de los trabajos virtuales

Principio de D’Alembert

Ecuación general de la Dinámica

Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomosFuerzas generalizadas y términos cinéticosEcuaciones de LagrangeEcuaciones de equilibrioSistemas potenciales

Ecuaciones de Lagrange para sistemas no holónomosMétodo de los desplazamientos independientesMétodo de los multiplicadores de Lagrange

Cálculo de las fuerzas de ligadura

Ecuación de la energía para sistemas holónomosEstatica y Dinamica Analıtica– p. 2/25

Equilibrio y sistemas reónomos

Equilibrio: un sistema material tiene una configuración deequilibrio cuandoabandonado el sistema en reposo en dichaconfiguración, permanece indefinidamente en reposo:

ri(t) = rei ; vi(t) = 0 ∀t

Ligaduras finitas no estacionarias:f(ri, t) = 0

f(rei , t) = 0 ;

��

��

��N∑

i=1

∇if · 0 + ft(rei , t) = 0 ∀t

Cinemáticas no estacionarias:N∑

i=1

Ai (rj , t) · vi + B (rj , t) = 0

0 + B(rej , t)

= 0 ∀ t

Sólo puede haber equilibrio en los puntos que cumplan estascondiciones:en los que las ligaduras no se mueven.



Formulaci on gen erica

Condición de equilibrio de un sistema (Newtoniana):FD

i (rei ,0, t) + FL

i (rei ,0, t) = 0, i = 1, . . . , N

Son3N condiciones independientesSi damos un desplazamiento virtual arbitrario:

δW =N∑

i=1

(

FDi + FL

i

)

· δri = 0 ∀ δri PTV

Por ser una combinación lineal de vectores nulos.Como losδri forman un espacio vectorial de dimensión3N , alexigir ∀ δri, tenemos3N condiciones independientes: el PTV esequivalente a las3N ecuaciones NewtonianasLa formulación genérica del PTV no aporta nada nuevo:• igual número de ecuaciones que la Estática Newtoniana• siguen estando lasfuerzas de ligadura.



Formulaci on detalladaEl PTV es útil cuando hayg ligaduras ideales: sus fuerzas notrabajan en losDVCL (espacio vectorial de dimensiónn= GDL)

Sistema en equilibrio:FDi + FL

i = 0, i = 1, . . . , N

Damos un desplazamiento virtual arbitrario:

δW =∑N

i=1

(FD

i + FLi

)· δri = 0 ∀ δri

Si el δri es unDVCL,∑N

i=1 FLi · δri = 0,

δW =N∑

i=1

FDi · δri = 0 ∀ DVCL

Ecuación general de la estáticaNo aparecen lasfuerzas de ligadura∀ DVCL ⇔ n= GDL ecuaciones independientesEs condiciónnecesaria: se deduce de las newtonianas



Es condiciónsuficiente: demostración por reducción al absurdoSupongamos que se cumple elPTV, pero el sistemano está enequilibrio: empezará a moverse con aceleracionesri distintas decero:FD

i + FLi = miri

En un tiempo infinitesimaldt, partiendo del reposo, cadapartícula se desplazadri = ri dt2/2 (∈ Desp. Posibles)Tomando comoDVCL los DP δri = ǫ ri,

dW =N∑

i=1

(

FDi + FL

i

)

· δri =N∑

i=1

miri · riǫ =N∑

i=1

miri2 ǫ ≥ 0

En contra de la hipótesisLuego no puede cumplirse elPTV y no haber equilibrio.Queda por demostrar que losdri = ǫ ri sonDVCL



Se derivan las ecuaciones de las ligaduras; inicialmenteri,

��

��

��

�N∑

i=1

∂∇if

∂t· ri +

N∑

i=1

∇if · ri + ftt = 0

��

��

��N∑

i=1

∂Ai

∂t· ri +

N∑

i=1

Ai · ri + Bt = 0

Para serDVCL, los ri deben cumplirlas congeladas,N∑

i=1

∇if · ri = 0;N∑

i=1

Ai · ri = 0

Sólo sonDVCL en los esclerónomos,ft = B = 0

En los reónomos sólo consideramos los puntos fijos:ft = B = 0

En esos puntos, losri sí sonDVCL.



δW =

N∑

i=1

FDi · δri = 0 ∀ DVCL

PTV: La condición necesaria y suficiente para que un sistemamaterial sometido a ligaduras ideales tenga una configuraciónde equilibrio es que en dicha configuración se anule el trabajovirtual de las fuerzas directamente aplicadas paracualquierdesplazamiento virtual compatible con las ligaduras.

PTV ↔ Ecuación general de la estáticaEn sistemasreónomossólo se puede aplicar en los puntos en que

ft = B = 0En los demás no puede haber equilibrio.


Principio de D’Alembert

2a ley de Newton para un sistema deN partículas:FD

i + FLi = miri = pi, i = 1 . . . N

Se pueden poner en la forma

FDi + FL

i − pi = FDi + FL

i + FIi = 0 , i = 1 . . . N

Equivale a plantear el equilibrio de cada partícula relativo a unosejes con origen en la propia partícula.Principio de D’Alembert: Las ecuaciones delmovimientode unsistema material se obtienen planteando, en cada instante,elequilibrio entre las fuerzas dadas, las de ligadura, ylas de inercia.Se reduce a un problema de estática: Aplicar elPTVPero las ecuaciones siguen siendo diferenciales, no algebraicas


Ecuación general de la Dinámia

Aplicamos a un sistema el principio de D’Alembert y damos DV:

Fi − pi = 0 ⇒ δW =∑N

i=1 (Fi − pi) · δri = 0, ∀ δri

Aplicamos ahora elPTV: si losδri sonDVCL, las fuerzas deligadura no trabajan, y queda

N∑

i=1

(

FDi − pi

)

· δri = 0 ∀ DVCL

Esta es laEcuación general de la DinámicaNo aparecen las fuerzas de ligadura

∀ DVCL: Hayn ecuaciones independientes (no GDL)


Ecuación general de la Dinámia

Ej.: aplicar la ecuación general de la dinámica al péndulo simple:

FD = mg (cos θ ur − sin θ uθ)

FL = λur

r = (x, z) = R (sin θ,− cos θ) = Rur

δr = ∂r

∂θ δθ = R ∂ur

∂θ δθ = Ruθ δθ

r = −Rθ2 ur + Rθ uθ

θ

z

x

µ

Aplicamos la EGD

δW =(

µ∇f + FD − mr)

· δr = 0, ∀ δr

δW =(

−mg sin θ − mRθ)

δθ = 0 ∀ δθ ⇒ θ +g

Rsin θ = 0

y se llega a la ecuación del péndulo que ya conocemos


Ecuaciones del movimiento (S. Holónomos)

Para un sistema holónomo,δri =∑n

j=1

∂ri

∂qjδqj (δqj arbitrarios)

Sustituyendo en la ecuación general de la dinámica,

N∑

i=1

(

FDi − pi

)

· δri =N∑

i=1

(

FDi − pi

)

·

n∑

j=1

∂ri

∂qjδqj

=

=n∑

j=1

[N∑

i=1

(

FDi − pi

)

·∂ri

∂qj

]

δqj =n∑

j=1

(Qj − Pj) δqj = 0

Fuerzas generalizadas:Qj =∑N

i=1 FDi ·

∂ri

∂qj= f(qj , qj , t)

Términos cinéticos: Pj =∑N

i=1 pi ·∂ri

∂qj= f(qj , qj , qj , t)


Ecuaciones de equilibrio (S. Holónomos)

La ecuación general de la estática queda,

δW =n∑

j=1

Qj δqj = 0 ∀δqj

Como losδqj son independientes y arbitrarios (sist. holónomo),sólo se cumple si los coeficientes son todos cero,

Qj = 0 j = 1, . . . , n

Queda un sistema den ecuacionesalgebraicas, en generalnolineales, conn incógnitas. Se resuelven para obtener lasposiciones de equilibrioqe

j (t).

Las ecuaciones han quedado reducidas al no mínimo:n = GDLNo aparecen las fuerzas de ligadura


Ecuaciones de equilibrio (S. Holónomos)

Ej: dos partículas, varilla, corredera;(x1, 0);(x1 + L cos θ, L sin θ)

δr1 = [1, 0] δx1

δr2 = [1, 0] δx1 + [−L sin θ, L cos θ] δθx

z

1

2

θ

x1

Qx1= −m1g k · [1, 0] − m2g k · [1, 0] = 0

Qθ = −m1g k · [0, 0] − m2g k · [−L sin θ, L cos θ] = −m2gL cos θ

Las ecuaciones de equilibrio son

0 = 0 − m2gL cos θ = 0 ⇒ θ = ±π

2∀ x1

Hay infinitas soluciones: en cualquierx1, vertical hacia arriba (π/2) ohacia abajo (−π/2).


Ecuaciones del movimiento (S. Holónomos)

La ecuación general de la dinámica queda,

δW =n∑

j=1

(Qj − Pj) δqj = 0 ∀δqj

Como losδqj son independientes y arbitrarios (sist. holónomo),sólo se cumple si los coeficientes son todos cero,

Pj = Qj j = 1, . . . , n

Queda un sistema den ecuacionesdiferenciales de 2o orden, conn incógnitas. Se integran con las condiciones iniciales de cadacaso para obtener lasqj(t).

Las ecuaciones han quedado reducidas al no mínimo:n = GDLNo aparecen las fuerzas de ligadura


Términos cinéticos

LosPj se pueden obtener directamente de la energía cinética:

N∑

i=1

pi · δri =N∑

i=1

miri ·

n∑

j=1

∂ri

∂qjδqj

=n∑

j=1

(N∑

i=1

miri ·∂ri

∂qj

)

δqj

ri ·∂ri

∂qj=

d

dt

(

ri ·∂ri

∂qj

)

︸︷︷︸

a)

− ri ·d

dt

(∂ri

∂qj

)

︸︷︷︸

b)

a) ri =n∑

j=1

∂ri

∂qjqj +

∂ri

∂t⇒

∂ri

∂qj=

∂ri

∂qj⇒ ri ·

∂ri

∂qj=

∂

∂qj

(1

2r2i

)

b)d

dt

(∂ri

∂qj

)

=∂

∂qj

(dri

dt

)

=∂ri

∂qj⇒ ri ·

∂ri

∂qj=

∂

∂qj

(1

2r2i

)


Términos cinéticos

Sustituyendo en la ecuación general de la dinámica,

Pj =n∑

i=1

mi

[d

dt

(

ri ·∂ri

∂qj

)

− ri ·d

dt

(∂ri

∂qj

)]

=

=d

dt

[

∂

∂qj

(N∑

i=1

1

2mir

2i

)]

−∂

∂qj

(N∑

i=1

1

2mir

2i

)

=d

dt

(∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj

Donde laT (qj, qj , t) es la energía cinética.

Esquizofrenia de laT en este cálculo:En las derivadas parciales∂

∂, lasqj y qj se consideran

parámetros independientes

En la derivada totalddt , se consideran funciones del tiempo


Ecuaciones de Lagrange (S. Holónomos)

Sustituyendo estasPj en la ecuación general de la dinámica,

δW =n∑

j=1

(d

dt

(∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj− Qj

)

δqj = 0 ∀δqj

Se llega a lasEcuaciones de Lagrange:

d

dt

(∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj= Qj j = 1 . . . n

Sonn ecuaciones diferenciales conn incógnitas:qj(t)

Se calculan lasQj y se poneT en función de lasqj y las qj .

Las ecuaciones salen automáticamente: sólo hay que derivar.


Ecuaciones de Lagrange (S. Holónomos)

ej.: Punto sobre cilindro: r = Rur + z uz, δr = Rδθ uθ + δz uz

FD = −mg k → Qθ = 0 ; Qz = −mg

T =1

2m(

z2 + R2θ2)

y

z

Rδθδz

x θ

Ecuación general de la dinámica, directamente:

δW =[

−mg uz − m(

−Rθ2 ur + Rθ uθ + z uz

)]

·(Rδθ uθ + δz uz) =

= R2θ δθ + (−mg − mz) δz = 0 ∀ δθ, δz →

{θ = 0

z = −g

Mediante las ecuaciones de Lagrange:

Tz = mz Tz = mz Tz = 0 → mz − 0 = −mg

Tθ

= mR2θ Tθ

= mR2θ Tθ = 0 → mR2θ − 0 = 0


Sistemas holónomos potenciales

Si todas las fuerzas dadas derivan de un potencial ordinario:

FDi = −∇iV (r1, . . . , rN , t)

Las fuerzas generalizadas valen:

Qj =N∑

i=1

FDi ·

∂ri

∂qj= −

N∑

i=1

∇iV ·∂ri

∂qj= −

∂V (qj , t)

∂qj

Puesto que

∂V

∂qj=

∂V

∂x1·∂x1

∂qj+

∂V

∂y1·∂y1

∂qj+ · · · +

∂V

∂zN·∂zN

∂qj=

= ∇1V ·∂r1

∂qj+ · · · + ∇NV ·

∂rN

∂qj


Sistemas holónomos potenciales: equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio se pueden escribir como:

Qj = −∂V

∂qj= 0 ;

∂V

∂qj= 0 j = 1 . . . n

Ej.: dos varillas pesadas unidas por un muelle

V = mgzABG + mgzBC

G +1

2kAC2 =

= mga

2cos θ + mg

a

2cos θ +

1

2k4a2 sin2 θ =

= V (θ) = mga cos θ + 2ka2 sin2 θ

dV

dθ= −mga sin θ+4ka2 sin θ cos θ ⇒

{θ = 0, π

θ = cos−1 mg4ka

A C

By

x

θ


Sistemas holónomos potenciales: movimiento

Ecuaciones de Lagrange para sistemas potenciales (pot. ordinario):

d

dt

(∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj= 0 + Qj = 0 −

∂V

∂qj=

��

��

��d

dt

(∂V

∂qj

)

−∂V

∂qj

Si se define la funciónlagrangianaL = T − V ,

L = T − Vd

dt

(∂L

∂qj

)

−∂L

∂qj= 0 j = 1 . . . n

También haypotenciales generalizados,Qj = −∂V

∂qj+

d

dt

(∂V

∂qj

)

Si hay fuerzas potenciales y no potenciales,

d

dt

(∂L

∂qj

)

−∂L

∂qj= Qj j = 1 . . . n



Ej.: punto sobre cilindro, el potencial es el del peso,V = mgz , queya está en función de una coordenada generalizada. Podemos escribirla lagrangiana:

L =1

2m(

z2 + R2θ2)

− mgz

Con esto se pueden ya escribir las ecuaciones de Lagrange,

Lz = mz Lz = mz Lz = −mg → mz + mg = 0

Lθ

= mR2θ Lθ

= mR2θ Lθ = 0 → mR2θ − 0 = 0

La generación de las ecuaciones es bastante más directa, pues enmuchos casos el potencial es conocido. En vez de calcular lasfuerzasgeneralizadas punto por punto, se hallan las derivadas parciales delpotencial.



Ej.: Fuerzas no potenciales:oscilador armónico amortiguado.El potencialdel muelle se incluye en la lagrangiana:

L = T − V =1

2mx2 −

1

2kx2 d

dt

∂L

∂x−

∂L

∂x= Qx

Se calcula laQx de la fuerza no potencial,disipativa:

F = −c z i, δr = δx i, δW = −c x δx = Qx δx ⇒ Qx = −c x

Ecuación de Lagrange, única porque sólo hay un grado de libertad:

Lx = mx Lx = mx Lx = −kx → mx + kx = −c x

Por Mecánica Newtoniana:mx + c x + k x = 0.



Ej.: Movimiento kepleriano: La fuerza gravitatoria es potencial:

F = −µm

r3r → V (r) = −

µm

r→ L =

1

2m(

r2 + r2θ2)

+µm

r

Lr = mrθ2 −µm

r2; Lr = mr ; Lr = mr →

→ mr − mrθ2 +µm

r2= 0

Lθ = 0 ; Lθ

= mr2θ ; Lθ

= mr2θ + 2mrrθ →

→ mr2θ + 2mrrθ = 0 → r2θ = C

Se llega a las mismas ecuaciones de Mecánica Newtoniana.

θ /∈ L Coordenada cíclica o ignorable→ Integral primeraEstatica y Dinamica Analıtica– p. 25/25

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