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SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES POR EL MÉTODO DE LOS MAPAS DE
KARNAUGH
Anteriormente comentamos que habían otras formas de simplificar una función aparte de la simplificación algebraica. Otra manera de simplificar funciones es representándolas en lo que se conoce como mapas de Karnaugh. Éste constituye un método sencillo y apropiado para la minimización de funciones lógicas. El tamaño del mapa depende del número de variables, y el método de minimización es efectivo para expresiones de hasta 6 variables. Por supuesto que siempre podrán resolverse las simplificaciones por teoremas. Sin embargo, mucha gente considera que resulta más fácil visualizar las simplificaciones si se presentan gráficamente. Como ya se dijo, los mapas de Karnaugh pueden aplicarse a dos, tres, cuatro, cinco y seis variables ya que para más variables, la simplificación resulta tan complicada que conviene en ese caso utilizar teoremas mejor. Entonces, el mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una función lógica y así facilitar el diseño del correspondiente circuito lógico, todo en un proceso simple y ordenado.
Obtener la función de un Mapa de Karnaugh es el procedimiento inverso a la de la realización del mapa. Un término de la función coloca uno o mas "unos" en el mapa de Karnaugh. Tomar esos unos, agrupándolos de la forma adecuada, nos permite obtener los términos de la función. Utilizaremos los Mapas de Karnaugh para obtener una función mínima. Una expresión es mínima si no existe otra expresión equivalente que incluya menos términos y no hay otra expresión equivalente que conste con el mismo número de términos, pero con un menor número de literales. Pueden existir varias expresiones distintas, pero equivalentes, que satisfagan esta definición y tengan el mismo número de términos y literales.
La minimización de funciones sobre el mapa de Karnaugh se aprovecha del hecho de que las casillas del mapa están arregladas de tal forma que entre una casilla y otra, en forma horizontal o vertical
existe ADYACENCIA LOGICA. Esto quiere decir que entre una casilla y otra sólo cambia una variable.
Definimos los “términos mínimos adyacentes” desde el punto de vista lógico como dos términos mínimos que difieren sólo en una variable. Agrupando casillas adyacentes obtenemos términos que eliminan las variables que se complementan, resultando ésto en una versión simplificada de la expresión.
El procedimiento es el de agrupar "unos" adyacentes en el mapa. Cada grupo corresponderá a un término producto, y la expresión final dará un OR (suma) de todos los términos producto. Se busca obtener el menor número de términos productos posible.
Veamos ahora algunos ejemplos ya que creo que la mejor forma de entender este concepto es con ellos.
1.- Simplificar la función de dos variables F=A'B+AB'+AB
Lo primero que hay que hacer es representarlo en un mapa de dos variables. La forma de hacerlo es similar a una tabla. Veamos como sería la tabla de la verdad:
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Para un mapa de dos variables, el concepto sería algo como:
A \ B 0 1
0 m0 m1
1 m2 m3
OJO: Puse el signo “\” por comodidad pero en realidad es una línea completa desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha que divide esa celda en dos triángulos iguales. Las variables con las que se está trabajando se colocan en cada una
de esas divisiones. En este caso quiero hacer ver que la A es la columna y la B es la fila. De ahora en adelante lo mostraremos siempre así pero en realidad debería verse así:
Pues bien, mn representa los términos mínimos. Si tuviésemos la función expresada en forma canónica según sus términos mínimos ya sabríamos exactamente donde colocar todos los unos. Observen también que en el mapa se ve 0's y 1's tanto en la columna como en la fila. La columna indicaría cuando A=0 (también puede colocarse A' en vez del 0) y cuando A=1 (puede colocarse A). Sabiendo ésto, y con ayuda de la tabla de la verdad que nos indica cuales son los casos en los que se hace uno la función, veamos ahora como sería con un mapa de Karnaugh:
A \ B 0 1
0 0 1
1 1 1
O incluso podrían hacer algo como:
B' B
A' 0 1
A 1 1
O sea, que para llenar la tabla, pongo un uno en todos los términos mínimos que contenga la función (que para la función F=A'B+AB'+AB son m1, m2 y m3 respectivamente) o sencillamente donde la tabla de la verdad me indique [que son los grupos (A,B) = (0,1), (1,0) y (1,1)]. Dicho ésto, creo que ya pueden visualizar bien la forma en la que se
hace el mapa. Continuemos.
Una vez hecho el mapa, debemos marcar las regiones contiguas que manejen 1's. En el
siguiente dibujo vemos cómo se marcan dos regiones. Estas regiones son las simplificaciones. Como la región azul involucra solamente a la B, eso representa. La región roja, por su parte, involucra solamente a la A.
Una vez definidas las regiones o “agrupaciones”, se escribe la función simplificada y en este caso es F=A+B (Que es la respuesta obvia ya que el único 0 que contiene la función es M0 y dicho término máximo es A+B). Viendo la tabla de la verdad, también se deduce que la operación es una OR.
Las “agrupaciones” siempre se hacen en forma de rectángulo. En general, si
tenemos una función con n variables :
Un rectángulo que ocupa una celda equivale a un término
con n variables.
Un rectángulo que ocupa dos celdas equivale a un término
con n-1 variables.
Un rectángulo que ocupa 2n celdas equivale al término de valor
1.
Todos los rectángulos o agrupaciones contendrán un número par de
celdas (en realidad con 2n celdas) con la única excepción de cuando
es una celda única. Por lo tanto, para encontrar expresión más
simplificada se debe:
Minimizar el número de rectángulos que se hacen en el mapa
de Karnaugh, para minimizar el número de términos
resultantes.
Maximizar el tamaño de cada rectángulo, para minimizar el
número de variables de cada término resultante.
Veamos otro ejemplo: Simplificar la función de tres variables F=A'B+AB'C+C'Lo primero que hay que hacer es representarlo en un mapa de Karnaugh de tres variables. En el caso de 3 variables la forma genérica sería algo como:
A \ BC 00 01 11 10
0 m0 m1 m3 m2
1 m4 m5 m7 m6
Ok, ponga muchísima atención acá. En las tablas para tres variables,
colocamos una variable sóla (ya sea en la columna o en la fila) y las otras dos
variables juntas en el otro extremo. Yo lo coloco así por costumbre pero como
usted lo ordene no cambiará el resultado. OBSERVE con especial atención la
forma en la que varía los números en el mapa. En el caso de la fila que
contiene a BC, los bits que contienen NO incrementan en forma normal. En vez
de ello el cambio se hace de forma tal que los valores adyacentes reflejen
únicamente el cambio de un bit (algo así al estilo del código Gray o reflejado
que vimos en capítulos anteriores). Esto DEBE HACERSE ASÍ. De lo contrario
el mapa no serviría ya que celdas adyacentes podrían contener cambios de
más de una variable lo cual es impermisible. Observen también que debido a
esta característica los términos mínimos en las celdas no cambian
incrementando naturalmente en decimal. Se ve que en la fila de A' se
encuentran m0, m1, m3, y m2 respectivamente y en ese extricto orden. NOTA:
Un tip. El término mínimo que debe ir en cada celda se puede calcular
fácilmente convirtiendo los bits ABC a decimal. Por ejemplo, en la celda en la
que la combinación de los bits para ABC es 011 (cuyo valor decimal es 3), va
rellena con m3. Esta propiedad se cumple siempre y lo veremos en los casos
con más variables.
Dicho esto continuemos. Aquí no realizaré la tabla de la verdad. En vez de ello colocaré los unos directamente sobre el mapa. Si usted quiere puede hacer la tabla de la verdad o llevar la función a su forma canónica. Yo sencillamente no lo hago para ahorrar tiempo ya que en este punto, esos temas ya deben ser dominados por ustedes. En todo caso el resultado de la función en sus formas canónicas simplificadas esF(A,B,C)=∏(1,7)=∑(0,2,3,4,5,6)
A \ BC 00 01 11 10
0 1 0 1 1
1 1 1 0 1
Coloqué los unos donde correspondía y ahora debemos buscar las regiones
que nos indiquen la función simplificada. Lo primero que debemos observar es
que las regiones pueden agruparse de los extremos del mapa, como la región
azul que vemos a continuación:
Esta región representa a C'. ¿Por qué queda C'? Observe que el rectángulo de
4 celdas son comunes a C=0. (Para facilitar el entendimiento de este punto,
coloque A en amarillo en el borde izquierdo para cuando A=1 y coloqué unas
llaves que indican cuando B=1 y C=1). Se ve que el rectángulo rodeado por
azul es C' (La llave con C no tiene ningún caso allí) y se ve que no importan los
valores de A ni de B ya que están complementados (0 ó 1 en ambas
variables). Vemos también que queda un bit en A'BC (que está en rojo) y uno
en AB'C (en amarillo), pero siempre conviene agruparlo lo más posible, en
regiones cuyas celdas sean potencias de 2. En este caso, los agrupamos con
el 1 contiguo, para que la región quede como A'B (ya que la elipse roja está
sobre A' y bajo B -vea la llave) y AB' (analícelo) respectivamente. Así, la
función resultante sería F=A'B+AB'+C'.
Veamos otro caso. Simplificar la función de cuatro
variables F(A,B,C,D)=∑(0,2,3,5,7,8,10,13)
En los casos de 4 variables podemos organizar de la siguiente forma:
AB \ CD 00 01 11 10
00 m0 m1 m3 m2
01 m4 m5 m7 m6
11 m12 m13 m15 m14
10 m8 m9 m11 m10
Note nuevamente la variación en las filas y columnas. Sólo un bit cambia en las
adyacencias. FÍJESE muy bien como quedaron organizados los términos
mínimos. Vea y deduzca que si combina los bits ABCD y convierte a decimal,
verá que la celda correspondiente contiene el término mínimo que explicamos
anteriormente que debería contener. Por ejemplo si AB,CD=10,11, (1011)2=11
y en dicha celda está m11.
Lo primero que hacemos es vaciar la función al mapa. Como ya tenemos la forma canónica, el vaciado es directo. Observe como queda el mapa.
AB \ CD 00 01 11 10
00 1 0 1 1
01 0 1 1 0
11 0 1 0 0
10 1 0 0 1
Ahora, lo siguiente es agrupar las variables en regiones. La primera región
agrupada son las esquinas (en rojo). Esta agrupación representa B'D' ya que
los valores comunes son B=0 y D=0. A y C tienen ambos valores, o sea, están
complementados. Como ejercicio muestre este mapa con las llaves indicando
donde las variables son 1 tal como mostré el caso anterior. No lo hago yo aquí
porque me consume mucho tiempo. Sigamos. La siguiente región la agrupo
con los 1's en verde y esta agrupación representa A'CD. Pude hacer el grupo
con el 1 a la derecha, pero hubiera significado agrupar un 1 ya agrupado (que,
como vimos, a veces es requerido para simplificar aún más la expresión), y
dejar otro 1, aún no agrupado, por agrupar. Así que se agrupa de esta forma
para obtener menos términos. Los 1's que quedan hasta este momento, en
azul, pueden agruparse juntos. Esto representa a BC'D. Por lo tanto la función
queda: F=B'D'+A'CD+BC'D.
Es importante notar que se puede agrupar otra region con un 1 verde y uno
azul y representaría A'BD. Esta región es una simplificación adicional válida,
que pudo haberse manejado e incluso agregado a la función. En ocasiones,
habrá varias formas de agrupar a los 1's. Todas son válidas, y representan
soluciones equivalentes. Sin embargo, hay que cuidar de siempre agrupar las
regiones lo más grandes posibles, y cuidando de agrupar a los 1's de manera
que se repitan lo menos posible. Como esos “unos” ya fueron agrupados no
requieren volver a serlo.
Entonces los pasos a seguir para simplificar una función son:
1. Convertir la expresión a una suma de productos si es
necesario. Ésto se puede realizar de varias maneras:
Llevándola algebraicamente a su forma canónica.
Construyendo una tabla de verdad, trasladando los valores al
mapa de Karnaugh.
2. Cubrir todos los unos del mapa mediante rectángulos
de 2n elementos. Ninguno de esos rectángulos debe contener ningún
cero.
Para minimizar el número de términos resultantes se hará el
mínimo número posible de rectángulos que cubran todos los
unos.
Para minimizar el número de variables se hará cada
rectángulo tan grande como sea posible. Ejemplo:
Véase que en este caso se ha unido la columna izquierda con la
derecha para formar un único rectángulo y que el “uno” en 001 se ha
emparejado con el “uno” de al lado con la idea de reducir ese término
en un literal.
3. Encontrar la suma de productos mínima. Ojo, como ya se dijo,
podemos encontrarnos con que puede haber más de una suma de
productos e incluso casos en que tengamos dos reducciones con el
mismo número de términos y literales siendo ambas válidas.
Cada rectángulo pertenece a un término producto.
Cada término se define encontrando las variables que hay en
común en tal rectángulo.
En nuestro ejemplo tenemos F(X, Y, Z) = Z’ + X’Y’ . Nótese que las
variables resultado son las que tienen un valor común en cada
rectángulo.
Cada rectángulo representa un término. El tamaño del rectángulo y el
del término resultante son inversamente proporcionales, es decir que,
cuanto más largo sea el rectángulo menor será el tamaño del término
final.
Cuando tenemos distintas posibilidades de agrupar rectángulos hay
que seguir ciertos criterios:
1. Localiza todos los rectángulos más grandes posibles,
agrupando todos los unos. Estos se llamarán implicantes
primos.
2. Si alguno de los rectángulos anteriores contiene algún uno
que no aparece en ningún otro rectángulo entonces es
unimplicante primo esencial. Éstos han de aparecer en el
resultado final de manera obligatoria.
3. El resto de los implicantes primos se podrán combinar para
obtener distintas soluciones.
Véase este ejemplo que ilustra lo dicho. Aquí los implicantes primos
son cada uno de los diferentes rectángulos obtenidos. Los
implicantes primos esenciales son el rectángulo rojo y el verde, por
contener “unos” que no son cubiertos por otros
rectángulos. Así todas las posibles soluciones han de
contener estos dos implicantes.
La mejor solución, por ser la que usa menos términos y menos literales
es: F( X, Y, Z, T ) = X’Y’ + XYT’ + XZT
Ejemplo. Para la función:
F=A'B'C'D'+A'BC'D'+ABC'D'+AB'C'D'+A'BC'D+ABC'D+AB'C'D+ABCD+AB'CD+A'B'CD'+A'BCD'+ABCD'+AB'CD'
el mapa es:
Supongamos por un momento que agrupamos los "unos" del mapa de
Karnaugh como se muestra en la siguiente figura:
Según esto tenemos cuatro términos que son:
término I : agrupa 8 unos y es de una variable. Ésta es A. Este término es un
implicante primo esencial.
término II : agrupa 4 unos y es de dos variables. Éstas son BC con C negado.
Es un implicante primo esencial.
término III : agrupa 2 unos y es de tres variables. Éstas son ACD con A y D
negados. NO es un implicante primo.
término IV : agrupa sólo un 1 y es de cuatro variables que son
ABCD todos negados. Éste, NO es un implicante primo.
Esa forma de organizar el mapa NO contiene ningún implicante
primo que NO sea esencial.
Puede verse que a medida que agrupamos mayor cantidad de
"unos", el término tiene menos literales. El agrupamiento se hace
con una cantidad de "unos" que son potencias de 2. Así agrupamos 2
minterm's, 4 minterm's y 8 minterm's. Cada vez que aumentamos el rectángulo,
el término va eliminando una variable. En una función de 4 variables, un
término que tenga un sólo "uno" tendrá las cuatro variables. De hecho es un
término canónico. Al agrupar dos minterm's eliminaremos una variable y el
término quedará de tres variables. Si agrupamos cuatro "unos" eliminaremos
dos variable quedando un término de dos variables y finalmente si agrupamos
ocho "unos" se eliminaran tres variable para quedar un término de una única
variable. Todo esto se debe a la adyacencia entre casillas y cada vez que
agrupamos, se eliminan las variables que se complementan.
En este ejemplo obtenemos F=A'B'C'D'+A'CD'+BC'+A
Pero en realidad, ésta no es la función mínima... ¿cierto? El mismo mapa
podemos agruparlo de otra forma y obtener:
Ésta forma de agruparlos nos da como resultado: F=D'+BC'+A que sí es
expresión mínima. Es importante que al "tomar" un uno, se agrupe con todos
los unos adyacentes, aunque éstos ya sean parte de otros grupos. Fíjense que
el minterm en ABCD=(1100)2 es común a los tres términos. Aquí, los tres
grupos son implicantes primos esenciales por lo que todos deben ir incluidos en
la función simplificada.
Vamos de nuevo. Recuerden que para simplificar funciones utilizando mapas
de Karnaugh hay que tener en cuenta que:
Podemos concluir que cada casilla (minterm) en un mapa de Karnaugh de n variable tiene n casillas adyacentes lógicamente, o sea, que se diferencian en las adyacencias por una sola variable (se complementan). Esta información es de gran utilidad en los casos de 5 y 6 variables.
Al combinar las casillas en un mapa de Karnaugh, agruparemos un número de minterm's que sea potencia de dos. Así, al agrupar dos casillas eliminamos una variable, al agrupar cuatro casillas eliminamos dos variables, y así sucesivamente. De hecho podemos concluir que al agrupar 2n casillas, eliminamos n variables.
Debemos agrupar tantas casillas como sea posible; cuanto mayor sea el grupo, el término producto
resultante tendrá menos literales. Es importante incluir todos los "unos" adyacentes a un minterm que sea igual a uno.
Para que hayan menos términos en la función simplificada, debemos
formar el menor numero de grupos posibles que cubran todas las
casillas (minterm's) que sean iguales a uno. Un "uno" puede ser utilizado
por varios grupos, no importa si los grupos se solapan. Lo importante es
que si un grupo está incluido completamente en otro grupo, o sus "unos"
están cubiertos por otros grupos, no hace falta incluirlo como término.
Veamos otro caso en el que repasamos lo que significa “términos implicantes”. En el siguiente mapa de Karnaugh:
Los términos I, II y III son implicantes primos. El término IV no es implicante primo.
Los términos I y III son implicantes primos esenciales.
El término II no es un implicante primo esenciales.
La función se obtiene con los términos I y III
Mapas de Karnaugh con 5 y 6 variables
Los ejemplos anteriores se realizaron con funciones de hasta 4 variables. Para mapas de Karnaugh de 5 y 6 variables el procedimiento es esencialmente el mismo y sólo hay que recordar que
un término mínimo tiene adyacente a otro minterm, tanto en forma horizontal o vertical, qué muestra diferencia en una sola variable.
Veamos a continuación el caso de 5 variables. Aquí hay 25 = 32 posibilidades. Una de las formas de ver el mapa es:
Ésta será la forma que nosotros usemos. Se observa que se separan los casos
para A=0 y A=1 para hacerlo más fácil de entender y que en las adyacencias
sólo una variable cambia. Todos los números en las celdas hacen referencia a
los términos mínimos. También debe saber que, tanto en este caso como en el de 6 variables, la adyacencia también se cumple para las mismas celdas de los cuadros que se encuentren al lado tanto horizontal como verticalmente (Sólo horizontal en 5 variables y ambos
sentidos en 6). O sea, el término mínimo 31 es adyacente al 15. De la misma
forma los términos mínimos 31 y 30 son adyacentes a los 15 y 14
respectivamente. Se ve también que, al igual que en los otros casos, los
términos mínimos que corresponden a cada celda pueden calcularse
convirtiendo el número binario de la respectiva combinación ABCDE. Por
ejemplo, para ABCDE=(10110)2 =22, el término mínimo en la celda es el m22.
Supongamos el siguiente caso: Simplificar la función
F=∑ (0,2,8,11,15,18,20,21,27,28,29,31)
Colocando un uno en los términos mínimos correspondientes, tenemos que:
De forma análoga a lo que hemos venido haciendo, agrupamos los términos
mínimos. Una forma ideal de agruparlos sería:
Vemos que ningún término queda solo y que se hicieron la menor cantidad de
grupos posibles. Esta función quedaría en su forma simplificada:
F=A'C'D'E'+BDE+B'C'DE'+ACD'
que son los grupos I, II, III y IV
respectivamente.
Por último, para el caso de 6 variables
tenemos 64 combinaciones posibles y la
forma para expresar el mapa que
nosotros usaremos será:
Se observa que se separan los casos para A=0, A=1, B=0 y B=1. Por supuesto
que, como en el resto de los casos, todos los números en las celdas hacen
referencia a los términos mínimos. También se cumple que los términos
mínimos que corresponden a cada celda pueden calcularse convirtiendo el
número binario de la respectiva combinación ABCDEF. Por ejemplo, para
ABCDEF=(101101)2=45, el término mínimo en la celda es el m45. Aquí la
adyacencia es un poco más difícil de ver. Por ejemplo, las casillas con los
términos mínimos (63,62) es adyacente, además de a todas las adyacencias
normales del cuadro, a (47,46) y a (31,30). Otro ejemplo, m0 es adyacente
a m1, m4, m2, m8,m16 y m32. (OJO: pero NO a m48 ya que aquí hay dos
variables distintas con respecto a m0).
Como ejercicio, resuelva el siguiente mapa:
La solución a este problema está en esta misma carpeta y el nombre de la imagen solución es el mismo que el de la imagen problema agregándole “_Solucion” (sin los paréntesis) al final.
Para practicar les voy a dar un programa “freeware” muy intuitivo y fácil de usar, aunque limitado a 4 variables. Llenan la tabla de la verdad y a medida que van colocando los unos, se va llenando el mapa de Karnaugh, a la vez que se van agrupando los términos y mostrando el resultado abajo. A/B/CD representa AB'C'D. Usan /X para simular la raya sobre la letra que representa el símbolo de negado (al igual que el tilde). También se pueden marcar los unos directamente en el mapa de Karnaugh. Es un archivo pequeño y no se requiere instalación. Hagan clickaquí para bajarlo.
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NOTA AGREGADA: He conseguido otro programa bastante bueno y gratuito. El programa fue creado por Javier García Zubía y su página web está en http://paginaspersonales.deusto.es/zubia/. Allí encontrarán varios links. El programa en cuestión está en BOOLE-DEUSTO: Descarga gratuita (español) . También allí encuentran un manual en BOOLE-DEUSTO: Manual (español). El programa que me interesó más está dentro del archivo comprimido BOOLE_SP con nombre boole.exe.
Si no quieren leer el manual (cosa que deberían), luego de usarlo un rato se entiende como funciona. No es para nada tan fácil de usar como el otro programa que les di, pero si muchísimo más completo con muchas más opciones. Muy Interesante. He hecho ejemplos de hasta 12 variables. También tiene varios métodos para la entrada de los datos. Pruébenlo.
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Hagan el siguiente ejercicio a mano y luego, con la tabla de la verdad o la forma canónica que consiguieron, prueben el programa.
F(x, y, z,w) = x’y’z’w + x’y’z + x’yz’w' + xy’z’ + xyz’
TEMA 5: CONDICIONES IRRELEVANTES (DON'T CARE).
Hasta ahora siempre hemos visto en nuestras tablas de la verdad los casos para cuando una combinación cualquiera en las entradas hacen nuestra salida del circuito cierta (un 1), y solíamos asumir que el resto de ellas eran falsas (cero). Ésto no es siempre cierto. Al momento de diseñar nuestros circuitos se nos pueden presentar casos en los que una combinación en la entrada no sea de nuestro interés. Estas condiciones que no nos importan se conocen como “condiciones irrelevantes” o también con la frase inglesa “don't care”. Estas condiciones suelen expresarse en las tablas de la verdad con una 'X' y al momento de realizar la simplificación de la función podemos asumir que este valor es uno o cero según más nos convenga (lo que haga la expresión aún más reducida). Incluso podemos sencillamente ignorar este valor si no obtenemos ningún beneficio de él. Pero me imagino que se preguntarán, ¿Cómo es eso de una combinación en la entrada que no nos importa? Bien, un ejemplo clásico es que al circuito se le entregue para procesar
un número en BCD. Ya sabemos que el código BCD usa 4 bits para expresar los 10 dígitos decimales pero de esta forma sobran otras seis combinaciones que no se usan (1010, 1011, 1100, 1101, 1110 y 1111). Pues bien, si nuestro circuito procesará este número en BCD, en nuestra tabla de la verdad tendríamos seis casos que no nos importan ya que sencillamente nunca ocurrirán.
Veamos un ejemplo también clásico para ejemplificar ésto. Supongamos que se pide diseñar un circuito que debe reconocer cuando un número entre 1 y 9 es primo. Para este caso tendríamos una tabla de la verdad como la que sigue:
A B C D Out
0 0 0 0 X
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 X
1 0 1 1 X
1 1 0 0 X
1 1 0 1 X
1 1 1 0 X
1 1 1 1 X
Se observa que en la entrada que representaría el valor decimal 0 se coloca X ya que este caso no está dentro de los presentados en el enunciado (entre 1 y 9). De forma análoga, los casos del 10 al 15 tienen X por la misma razón. En ciertas bibliografías muestra la expresión:
d(A,B,C,D) =∑ (0,10,11,12,13,14,15)
para representar los casos que no importan (letra “d” por don't care).
Bien, ahora, veamos como se vería un mapa derivado de esta tabla de la verdad:
CD\AB 00 01 11 10
00 X 0 X 0
01 0 1 X 0
11 1 1 X X
10 1 0 X X
Ok. Vemos que la mejor forma de considerar los casos irrelevantes es haciendo que donde va m0, m12, y m14 haya cero y en el resto un uno. Así podremos hacer el menor
número de grupos y a la vez los hacemos lo más grandes posibles, tal y como vemos en el siguiente mapa:
Así obtendríamos la función de salida:
F = BD + B'C
Veamos otro ejemplo. Sabiendo que su circuito recibirá una entrada BCD, el mismo debe determinar cuando el número de entrada es par. (Aunque según para algunos lo que diré a continuación no es cierto, asuma para este ejemplo que que el cero es par).
A B C D Par
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 X
1 0 1 1 X
1 1 0 0 X
1 1 0 1 X
1 1 1 0 X
1 1 1 1 X
De esa tabla de la verdad podemos concluir el siguiente mapa:
CD\AB 00 01 11 10
00 1 1 X 1
01 0 0 X 0
11 0 0 X X
10 1 1 X X
Se hace bastante fácil de ver que la mejor forma de agrupar es:
que se resume como: Par = D', conclusión bastante obvia según la tabla de la verdad donde se ve que para los casos que importan, la salida es igual al bit menos significativo negado (siempre que D=1 la división entre dos daría resto de 1).
Si lo desean, para practicar, tome los ejemplos y ejercicios del capítulo pasado y reemplacen algunos ceros por X a su antojo y vean los diferentes resultados que pueden obtener.
UNIVERSALIDAD DE LAS COMPUERTAS NAND Y NOR
Las compuertas NAND y NOR son llamadas universales debido a que
a través de la combinación de éstas pueden obtenerse las AND, OR y
NOT. Ésto quiere decir que cualquier circuito puede implementarse (si
bien es cierto que no necesariamente de forma más eficiente) con
sólo compuertas de alguno de esos tipos. Una compuerta NAND no es
mas que una AND con una NOT a la salida. Análogamente, una
compuerta NOR es una OR con una NOT en la salida.
Voy a aprovechar unos gráficos que conseguí en Internet para mostrar como pueden combinarse las NAND y las NOR para crear los distintos tipos de compuertas que usamos en nuestras funciones booleanas y también para mostrar como se expresan gráficamente esas compuertas.
FORMA NORMAL
NAND NOR
OJO: Recuerden que colocar una raya sobre la variable indica que ésta está negada, como si pusiéramos el tilde (').
NOTA: Existen otras compuertas que tienen las mismas funcionalidades que las NAND y las NOR. Para el caso de las NAND tenemos la compuerta OR con todas sus entradas negadas (el símbolo es el mismo de la or pero con un círculo en cada entrada indicando que son negadas). Claro, sabemos por Morgan que A'+B' = (AB)'. De forma análoga, la compuerta NOR puede verse como una compuerta AND con todas sus entradas negadas (el símbolo es una AND con círculos en todas sus entradas.).
Se ve que la única diferencia entre una NAND y una AND y entre una OR y una NOR es el círculo que se encuentra en el lado de la salida de la compuerta. Los casos más interesantes son para la construcción de una AND con NOR y de una OR con NAND en los que se ve la aplicación del teorema de Morgan.
En realidad, al menos en los circuitos integrados, los circuitos se construyen con mucha más frecuencia con compuertas NAND y NOR que con las AND, OR y NOT. Esto es debido a que esas compuertas son mucho más fáciles de construir y requieren de la integración de menos transistores.
Entonces, todo circuito puede ser llevado a formas estructuradas por puras compuertas NOR o puras compuertas NAND. Si se quiere implementar con compuertas NAND se lleva la función a una forma de suma de productos y se niega dos veces ya que sabemos, por el principio de involución, que así obtenemos la misma función original. Al momento de negar hacemos uso del Teorema de Morgan . Si en cambio se quiere ver con compuertas NOR debe llevarse a una forma de producto de sumas y negar dos veces.
Ejemplos: Implementar F = AB + CD + E con compuertas NAND.
F = [(AB+CD+E)']' = [(AB)'.(CD)'.E']'
que es una implementación con 5 compuertas NAND. El gráfico se hizo en clase. No lo coloco aquí por falta de tiempo para hacerlo.
Veamos que pasa si se pide implementar con NOR. Tenemos F = (A+B)(C+D)E, que se ve que ya está en forma de producto de términos sumas. De hecho, esta función es la dual de la anterior. Al aplicar involución obtenemos: F = [(A+B)'+(C+D)'+E']'. Ver la clase para el diagrama del mismo.
Estos dos ejemplos tienen sólo dos niveles de ejecución. Las entradas van a una compuerta y las salidas de éstas van a su vez a la entrada de otra. Si la salida del segundo nivel fuese a otra compuerta, entonces se diría que tiene tres niveles de ejecución.
NOTA: Esto ya es de clases pasadas, pero recuerden que si les digo que F(A,B,C)=∑(0,6), F' será la suma de los términos mínimos que son cero en la tabla de la verdad o en el mapa de K.
