Estatística - Bacen - Aula 00

Estatstica para Bacen (rea 4) Prof Vtor Menezes Aula 00

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 65

AULA 00: Conceitos iniciais

1. APRESENTAO .............................................................................................................................. 2

2. CRONOGRAMA DO CURSO ............................................................................................................. 3

3. ESTATSTICA: INTRODUO ........................................................................................................... 4

4. FORMAS DE APRESENTAO DE DADOS ..................................................................................... 12

5. FORMAS NO AGRUPADAS DE APRESENTAO DE DADOS........................................................ 12

6. DADOS TABELADOS AGRUPADOS POR VALOR .......................................................................... 18

7. FORMAS GRFICAS DE APRESENTAO DE DADOS AGRUPADOS POR VALOR ........................... 32

8. DADOS TABELADOS AGRUPADOS EM CLASSES ......................................................................... 35

9. FORMAS GRAFICAS DE APRESENTAO DE DADOS EM CLASSE ................................................. 39

10. QUESTES APRESENTADAS EM AULA ..................................................................................... 48

11. GABARITO ................................................................................................................................ 55



1. APRESENTAO

Ol pessoal!

Meu nome Vtor Menezes, sou Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da Unio (turma de 2006), lotado na Secretaria de Controle Externo do TCU em So Paulo.

Sou formado em engenharia eletrnica pelo Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA). Logo na faculdade percebi que meu negcio era fazer concurso, e sa da graduao direto para meu primeiro cargo: Auditor Fiscal do ICMS de Minas Gerais. L fiquei durante 1 ano e meio, e vim parar no cargo que hoje ocupo, no Tribunal de Contas.

Dou aulas para concursos pblicos desde 2005, sempre na rea de exatas. Hoje tenho a felicidade de ser professor do Estratgia Concursos, o melhor curso em pdf do Brasil.

Tambm sou professor do excelente site de vdeo-aulas Eu Vou Passar.

Por ltimo, mas no menos importante: sou professor do Tec Concursos, o melhor site de questes do pas. A propsito, a ferramenta se enquadra perfeitamente como complemento para qualquer curso que voc fizer. S de Estatstica so 1.261 questes comentadas (nmero que aumenta frequentemente).

Bom, chega de falar do prof e vamos falar do curso.

O curso ser de teoria e exerccios. Nos basearemos no edital do ltimo concurso. O contedo o seguinte:

ESTATSTICA: 1. Histogramas e Curvas de Freqncia. 2. Distribuio de frequncias: absoluta, relativa, acumulada. 3. Medidas de posio: mdia, moda, mediana e separatrizes. 4. Medidas de Disperso. 4.1. Desvio padro. 4.2. Coeficiente de variao. 5. Distribuies de probabilidade. 5.1. Distribuio binomial. 5.2. Distribuio normal.

Exerccios: na falta de definio de banca, iremos utilizar questes das principais bancas do pas, e que j foram responsveis pelo concurso do Bacen em anos anteriores: Esaf, Cespe, FCC e Cesgranrio. Podemos tambm complementar o estudo com questes de outras bancas.

Vamos ao cronograma do curso:



2. CRONOGRAMA DO CURSO

Aula Data Contedo Tpicos do edital

0 Disponvel Conceitos iniciais. Viso geral sobre os objetivos da estatstica descritiva e da estatstica inferencial. Formas de apresentao de dados. Dados brutos, dados em rol, diagrama de ramos e folhas, dados tabelados (agrupados por valor e agrupados em classe). Tipos de frequncia: simples, absoluta, relativa, acumulada. Formas grficas de apresentao de dados: grficos de colunas, de setores, histograma, polgono de frequncias.

1. Histogramas e Curvas de Freqncia. 2. Distribuio de frequncias: absoluta, relativa, acumulada.

1 2/5/2013 Mdia aritmtica, mdia geomtrica, mdia harmnica, mdia ponderada. Propriedades da mdia

3. Medidas de posio: mdia, moda, mediana e separatrizes.

2 9/5/2013 Medidas de disperso: desvio padro, varincia, amplitude, desvio mdio, coeficiente de variao, intervalo interquartlico. Box-plot.

4. Medidas de Disperso. 4.1. Desvio padro. 4.2. Coeficiente de variao.

3 16/5/2013 Anlise combinatria: combinao, permutao, arranjos, princpio fundamental da contagem.

Pr-requisito para probabilidade

4 23/5/2013 Probabilidade: eventos e espao amostral, probabilidade para eventos equiprovveis, abordagem frequentista da probabilidade, probabilidade condicional, probabilidade da interseco, probabilidade da unio, eventos independentes, eventos mutuamente excludentes, probabilidade do evento complementar, Teorema de Bayes, Teorema da probabilidade total, clculo de probabilidades usando anlise combinatria.

Pr-requisito para variveis aleatrias

5 30/5/2013 Variveis aleatrias: introduo. Esperana, varincia e desvio padro de variveis aleatrias, funo densidade de probabilidade, funo distribuio de probabilidade

Pr-requisito para normal e binomial

6 6/6/2013 Distribuio binomial. Distribuio normal 5. Distribuies de probabilidade. 5.1. Distribuio binomial. 5.2. Distribuio normal.



3. ESTATSTICA: INTRODUO

A estatstica cobrada em concursos usualmente dividida em duas partes: a descritiva e a inferencial. Para melhor entendimento, vejamos um exemplo.

Considere que nas eleies presidenciais de 2014, Dilma Rousseff e Acio Neves vo disputar o segundo turno.

O Jornal Nacional ento encomenda junto ao Data Folha uma pesquisa de inteno de voto.

Muito bem. O conjunto de todos os eleitores do pas a nossa populao.

POPULAO = TODO

Existem duas maneiras de nos referirmos populao.

Podemos dizer que a populao o conjunto de todos os eleitores. Seria formada pelo Joo, pelo Jos, pela Maria, etc.

Nesse primeiro caso, dizemos que a populao formada por elementos que possuem determinada caracterstica. Todos os eleitores so pessoas que possuem determinada caracterstica: tm ttulo de eleitor e podem votar para presidente.

Podemos tambm nos referir aos atributos que essas pessoas tm. Nesse segundo caso, a populao seria formada pelos conjuntos das intenes de voto:

{Dilma, Dilma, Acio, Nulo, Dilma, Branco, Acio, ...}

Seria timo se o Data Folha pudesse entrevistar todos os eleitores do pas. Se ele fizesse isso, teramos um censo. O censo consiste na anlise de todos os elementos da populao.

O grande problema que o censo geralmente caro e demorado. Imaginem o tanto de gente que o Data Folha teria que contratar para entrevistar todos os eleitores do pas. E o tempo que ia demorar...

Para evitar esse trabalho todo, o que se faz geralmente uma amostragem. Uma amostra um subconjunto da populao. um pedao da populao.

AMOSTRA = PARTE

E isso que o Data Folha faz. Ele escolhe um pedacinho da populao (ou seja, alguns eleitores), entrevista, e faz sua pesquisa.



Muito bem. Suponha ento que o Data Folha fez a tal da pesquisa. Segue um trechinho do resultado:

{Dilma, Dilma, Acio, Nulo, Dilma, Branco, Acio, ...}

Simplesmente pegar essa listagem e entregar para o Jornal Nacional nada vai adiantar. O que que o William Bonner vai fazer com isso? Ele vai ler cada inteno de voto?

No, assim no d.

Antes de tudo, o Data Folha precisa apresentar o resultado de sua pesquisa. Pode-se fazer isso usando grficos, tabelas, diagramas. Podemos tambm utilizar medidas que descrevem, resumidamente, o conjunto de dados. Tudo isso o objeto de estudo da estatstica descritiva.

Assim, o Data Folha poderia dizer que, para a pesquisa feita, a Dilma teve 40% das intenes de voto e o Acio teve 37% das intenes de voto. Esses dois percentuais descrevem, resumidamente, todo o resultado da pesquisa.

Poderia tambm ter sido feito um grfico:

Agora sim, o William Bonner j vai ter o que mostrar no Jonal. Ele poder apresentar esse grfico e dizer que a Dilma teve 40% das intenes de voto.

Ou seja, a estatstica descritiva, como o prprio nome indica, busca descrever um conjunto de dados.

S que a pesquisa do Data Folha no para por a. Feita a amostragem, calculadas as propores de intenes de voto para Dilma e Acio, preciso inferir o que ocorre na



populao. Nesse momento, utilizamos ferramentas de inferncia estatstica. Buscamos fazer generalizaes. Generalizar o resultado da amostra para toda a populao.

O Data Folha calcula ento que, na populao, com 95% de confiana, a Dilma tem 40% das intenes de voto, com margem de erro de 2% para mais ou para menos. Ou seja, na populao ela deve ter de 38% a 42% das intenes de voto. Clculos como esse so objeto de estudo da estatstica inferencial.

Podemos agora ver algumas questes de concurso:

Questo 1 ARCE 2006 [FCC]

O processo estatstico que consiste em uma avaliao direta de um parmetro, utilizando-se todos os componentes da populao, denomina-se:

a) amostragem

b) estimao

c) censo

d) parametrizao

e) correlao

Resoluo:

Quando temos acesso a todos os valores da populao, estamos realizando um censo.

Gabarito: C.

Questo 2 TERRACAP 2009 [UNIVERSA]

Julgue os itens a seguir.

I Uma cidade possui 1.000 habitantes. Um estatstico, necessitando fazer uma determinada pesquisa, entrevistou 200 pessoas. correto dizer que, nesse exemplo especfico, de uma amostra de 1.000 pessoas, o estatstico entrevistou uma populao de 200 indivduos.

II Um estudante tinha 1 moeda, 1 folha de papel em branco e 1 caneta e, com esse material, resolveu fazer uma experincia. Arremessou uma moeda 20 vezes seguidas. Em cada uma das vezes, ele verificava se a face sorteada era cara ou coroa. Caso fosse cara, ele escrevia o nmero 1 no papel. Caso fosse coroa, ele escrevia o nmero 2 no mesmo papel. No final da experincia, o estudante obteve 7 coroas e somou todos os nmeros existentes no papel. Esse resultado foi atribudo a uma varivel X. Com isso, o resultado encontrado para X foi 27.

III Uma fbrica produz 100.000 lmpadas por ms. So sorteadas 100 lmpadas, e essas so mantidas acesas at queimarem, com o objetivo de calcular a vida mdia desse tipo de lmpada. A experincia, que utiliza um subconjunto de um grupo para calcular determinado



parmetro e admite que esse parmetro vlido para todo o grupo, um problema estudado pela estatstica inferencial.

Assinale a alternativa correta.

(A) Nenhum item est certo.

(B) Apenas os itens I e II esto certos.

(C) Apenas os itens I e III esto certos.

(D) Apenas os itens II e III esto certos.

(E) Todos os itens esto certos.

Resoluo.

Item I: a questo inverteu a utilizao dos termos populao e amostra. A populao corresponde ao todo, ao conjunto de todos os elementos que possuem certa caracterstica. No caso, a populao formada pelos 1.000 habitantes. A amostra qualquer subconjunto da populao. No caso, a amostra formada pelos 200 indivduos entrevistados. O item est errado.

Item II:

Foram 7 coroas e 13 caras. A soma dos pontos obtidos fica:

7 2 + 13 1 = 14 + 13 = 27 Realmente o resultado encontrado 27. O item est certo.

Item III: Quando generalizamos um resultado obtido em uma amostra para toda a populao, utilizamos ferramentas de inferncia estatstica. O item est certo.

Gabarito: D

Questo 3 SEFAZ AL 2002 [CESPE]

Julgue os seguintes itens.

1. Um censo consiste no estudo de todos os indivduos da populao considerada.

2. Como a realizao de um censo tipicamente muito onerosa e(ou) demorada, muitas vezes conveniente estudar um subconjunto prprio da populao, denominado amostra.

Resoluo:

1. item est perfeito! Quando analisamos todos os elementos de uma populao, temos um censo. Contrariamente, quando analisamos apenas uma parte da populao, temos uma amostra. Raramente se faz um censo, por razes de custo ( um procedimento caro) e tempo ( um procedimento demorado).

Item certo



2. Item correto

Para melhor entendimento, considere o censo realizado pelo IBGE. necessrio contratar muitas e muitas pessoas para percorrer o pas inteiro entrevistando as pessoas. Ou seja, algo caro. Alm disso, demora para conseguir abarcar todas as famlias do pas ( demorado).

Por isso to difcil realizar um censo. Um procedimento alternativo analisar s um pedao da populao, chamado de amostra. A partir da amostra obtida possvel ter ideia do que ocorre na populao.

Gabarito: certo, certo

3.1. Tipos de variveis

Para saber que tipo de grfico ou que tipo de medida podemos calcular, importante conhecer os tipos de variveis.

Uma varivel de interesse pode ser qualquer coisa. Pode ser o nmero de analfabetos de Belo Horizonte ao longo da dcada de 90, a temperatura mxima anual das cidades do Centro-Oeste, o PIB brasileiro ao longo do governo FHC etc.

Pois bem, estamos agora interessados em classificar as variveis.

Uma varivel pode ser qualitativa ou quantitativa. Para entender a diferena entre ambas, vou adaptar um exemplo constante do livro Estatstica Bsica, dos autores Bussab e Morettin.

Considere uma pesquisa que ser feita junto aos funcionrios de uma empresa. O questionrio contm os seguintes campos:

1 Grau de instruo (fundamental, mdio, superior)

2 Estado civil (solteiro, casado)

3 Nmero de filhos

4 Regio de procedncia (Centro-Oeste, Nordeste, Sul, Norte, Sudeste)

5 - Altura

Todos esses quatro campos correspondem a variveis.

As possveis respostas para o campo 3 (nmero de filhos) so nmeros. A pessoa pode ter 0, 1, 2, 3, 4 filhos. Tudo isso nmero. Uma varivel cujas realizaes so numricas dita quantitativa.

As variveis quantitativas podem ser discretas ou contnuas.



Uma varivel discreta apresenta valores que correspondem a um conjunto enumervel de pontos da reta real.

No entendi professor, como assim?

o seguinte. Quando uma varivel discreta, ns conseguimos enumerar seus valores. Por exemplo, para o campo 3, os possveis valores so:

1 valor: zero filhos

2 valor: 1 filho

3 valor: 2 filhos

E assim por diante.

Ns conseguimos ordenar os possveis valores. Mais que isso: conseguimos enumera-los. Ou seja, conseguimos relacionar todos eles, em uma dada ordem. Conseguimos dizer qual o primeiro valor possvel, qual o segundo valor possvel etc. Sabendo um dado valor, ns conseguimos determinar o prximo.

J o campo 5 (altura) corresponde a uma varivel contnua. Ns no conseguimos ordenar seus possveis valores. Dada uma altura, no conseguimos identificar qual a altura que viria a seguir. Isto ocorre porque ela pode assumir qualquer valor num intervalo real.

Considere a altura de 1,70 m. Qual a altura que viria logo aps este valor? No d para saber.

Uma pessoa poderia dizer que 1,71 m.

A outra pessoa poderia dizer que 1,701 m.

Outra pessoa diria que 1,7001 m.

E assim por diante. Para qualquer nmero que voc pensar, possvel determinar outro que esteja ainda mais prximo de 1,70. A varivel altura contnua.

O campo 1 corresponde a uma varivel qualitativa. Suas possveis realizaes no so nmeros. So um atributo, ou uma qualidade. Apesar de suas possveis realizaes no serem numricas, possvel orden-las. Dizemos que se trata de uma varivel qualitativa ordinal.

possvel ordena-las? Como assim?

Ns conseguimos estabelecer uma ordem. Por exemplo, comeando do grau de instruo inferior para o superior:

1 : nvel fundamental

2: nvel mdio

3: nvel superior.



Existem outras variveis qualitativas que no podem ser ordenadas. So as variveis qualitativas nominais. Um exemplo a varivel associada aos campos 2 e 4. Voc no consegue ordenar as regies de procedncia da forma como fizemos para o grau de escolaridade.

Resumindo, os tipos de variveis so:

quantitativas discretas (nmeros que podem ser enumerados)

quantitativas contnuas (nmeros que no podem ser enumerados)

qualitativas ordinais (atributos que podem ser ordenados)

qualitativas nominais (atributos que no podem ser ordenados)

Como vocs vero ao longo do curso, as questes de estatstica basicamente se restringem s variveis quantitativas (discretas ou contnuas). Para elas, poderemos calcular medidas como mdia, mediana, moda, varincia, desvio padro, etc.

Questo 4 Prefeitura do Rio de Janeiro 2002 [FJG]

Os dados de um determinado estudo representam muitas variveis para cada uma das pessoas que se submeteram ao estudo. Uma varivel considerada qualitativa a seguinte:

a) idade

b) altura

c) sexo

d) peso

Resoluo:

As variveis "idade", "altura" e "peso" correspondem a quantidades. So todas variveis quantitativas.

Por exemplo, podemos ter 45 anos de idade, 1,80 metros de altura e 87 kg. Tudo isso nmero.

A varivel "sexo" no quantitativa. Ela tem duas realizaes, correspondentes a dois diferentes atributos: "masculino" e "feminino". Trata-se de uma varivel qualitativa.

Gabarito: C

Questo 5 PF 2004 [CESPE]



Nos ltimos oito anos, a populao carcerria em uma unidade da Federao cresceu de 1.200 presos (1996) para 4.000 presos (2003). Essa populao carcerria formada por presos nas casas penais, seccionais e delegacias. Por causa desse crescimento, foram construdas novas cadeias pblicas, penitencirias e novos blocos carcerrios. Mesmo assim, no foi possvel resolver o problema de superlotao. Em 1996, a capacidade total de lotao das casas penais, seccionais e delegacias era de apenas 800 vagas. Aps a inaugurao das novas instalaes em 2003, o nmero de vagas aumentou para 3.200, o que resulta em deficit de 800 vagas. O grfico acima apresenta a evoluo temporal da populao carcerria (linha contnua) e do nmero de vagas (linha pontilhada) de 1996 a 2003.

Com base na situao hipottica e no grfico apresentados ao lado, julgue o item a seguir.

A capacidade total de lotao das casas penais, seccionais e delegacias (nmero de vagas) em 2000 uma varivel aleatria contnua.

Resoluo:

A capacidade total de lotao no pode assumir qualquer valor em um intervalo real. Ela assume apenas valores inteiros, como: 1, 2, 3, 4, .... Logo, uma varivel discreta.

Alm disso, se tomarmos seu valor exclusivamente no ano de 2000, temos uma observao, algo fixo, constante, que no varia. Ou seja, seu valor para o ano 2000 uma constante, e no varivel.

Gabarito: errado.


Um projeto de servios de assistncia social foi desenvolvido para ser implementado em todas as delegacias e plantes policiais de um estado brasileiro. Porm, antes da sua aplicao em todo o estado, ele foi implementado em 10 municpios, em carter experimental, por 12 meses. Esses municpios foram escolhidos aleatoriamente entre os 250 municpios do estado. Nesse perodo experimental, foram registradas 48.000 ocorrncias nos 10 municpios selecionados. Em 25% dessas ocorrncias, as pessoas envolvidas foram encaminhadas aos assistentes sociais. A partir dessas ocorrncias, os 100 assistentes sociais envolvidos nesse projeto atenderam, em mdia, 500 pessoas por ms. Os resultados



obtidos foram positivos, observando-se uma queda na reincidncia de denncias e ocorrncias registradas nesses municpios aps a implementao do projeto.

A partir dos dados apresentados no texto acima, julgue o item subseqente.

O nmero de ocorrncias registradas durante o perodo experimental de 12 meses nos 10 municpios selecionados (48.000) a realizao de uma varivel aleatria contnua.

Resoluo:

O nmero de ocorrncias, sendo fruto de uma contagem, pode apenas assumir valores inteiros no negativos, tais como: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.... Logo, no pode assumir qualquer valor em um dado intervalo real. Deste modo, uma varivel discreta, e no contnua.

Gabarito: errado

4. FORMAS DE APRESENTAO DE DADOS

Antes de estudarmos as medidas que descrevem de forma sucinta um conjunto de dados, precisamos saber de quais formas os dados podem ser apresentados. Basicamente, eles podem ser organizados das seguintes formas:

em ROL

em uma tabela, agrupados por valor

em uma tabela, agrupados em classes.

H ainda as formas grficas, que acabam guardando correspondncia a pelo menos uma das formas bsicas acima indicadas.

5. FORMAS NO AGRUPADAS DE APRESENTAO DE DADOS

5.1. Dados brutos

Considere uma pesquisa salarial no Bairro Alfa.

Para realizar a pesquisa, entrevistamos alguns chefes de famlia e perguntamos sobre seus salrios.

Os resultados obtidos foram:

Salrio dos moradores do Bairro Alfa amostra com dez salrios: R$ 5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$ 4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00.



O que significa a listagem acima? Significa que chegamos para um primeiro morador e perguntamos: qual o seu salrio? Ele responde: R$ 5.000,00. A gente pega e anota este valor. Fazemos a mesma pergunta para uma segunda pessoa. Ela responde: R$ 2.000,00. A gente pega e anota este valor. E assim por diante.

A estes dados desorganizados, chamamos de dados brutos. Eles esto simplesmente na ordem em que foram coletados. No receberam qualquer tratamento.

5.2. Rol

Se colocarmos nossos dados em ordem crescente (ou decrescente) temos um ROL. Geralmente em concurso s aparece o rol crescente. O rol da nossa pesquisa ficaria assim:

Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00.

O rol j uma primeira forma de organizar nossos dados. tambm uma maneira de apresentarmos nossos dados. Como ainda vamos utilizar este exemplo durante algum tempo ao longo da aula, vamos simplificar a escrita. Vamos tirar o smbolo R$ e indicar apenas as unidades de milhar.

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Ento rol apenas isto. Nada mais que um conjunto de nmeros (resultados de uma pesquisa, de um experimento etc.), colocados em ordem crescente (ou decrescente).

muito comum que se queira referir a um elemento em particular da nossa srie de dados. Uma notao muito usual : (l-se xis, ndice i). utilizada para nos referimos ao i-simo elemento. Vamos dar um exemplo.

Quem o terceiro elemento? A pergunta pode ser reescrita como:

Qual o valor de ? Resposta: o terceiro elemento 2 ( = 2)

Para chegar resposta, simplesmente nos dirigimos ao Rol e contamos. O primeiro elemento o 1, o segundo elemento o 2 e o terceiro elemento tambm 2.

Abaixo seguem mais valores de : X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7.



Somatrio

Conhecendo esta notao, podemos apresentar uma ferramenta muito importante em estatstica: o SOMATRIO.

O smbolo de somatrio :

A utilidade do somatrio possibilitar uma escrita mais compacta.

Desejamos saber qual o salrio total das pessoas pesquisadas. Ou seja, queremos somar todos os valores de salrios das dez pessoas entrevistadas.

Precisamos fazer o seguinte:

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36.

O salrio total das dez pessoas entrevistadas de R$ 36.000,00.

Em vez de escrever desta forma, poderamos escrever:

= 36

O que significa esta simbologia? Significa que queremos somar valores (pois h um smbolo de somatrio). Que valores queremos somar? Queremos somar valores de Xi. Quais valores de Xi? Aqueles para os quais i vai de 1 at 10.

A expresso = 36 nada mais que uma forma compacta de escrever X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36.

Passemos para outro exemplo. Para a nossa mesma srie de dados, vamos calcular

Sabemos que queremos somar valores (pois h um smbolo de somatrio). Queremos somar valores de Xi para os quais i vai de 2 at 5. Assim, queremos calcular a seguinte soma:

X2 + X3 + X4 + X5

Substituindo os valores, ficamos com:

= + + + = 2 + 2 + 2 + 3 = 9

Exemplos

Exemplo 1:

Considere a seguinte sequncia de dados:

2, 6, 1, 4, 6.



Obtenha o rol correspondente

Exemplo 2:


3, 1, 4, 2, 7, 3

Obtenha o valor de =

3

1i

iX

Exemplo 3:

Para a mesma sequncia de dados do exerccio anterior, obtenha ( )=

4

1

2

i

iX .

Resoluo

Resoluo - Exemplo 1:

ROL: 1, 2, 4, 6, 6

Resoluo Exemplo 2:

Primeiro passo: obtendo o ROL.

ROL: 1, 2, 3, 3, 4, 7

Identificando os termos.

X1 = 1; X2 = 2; X3 = 3; X4 = 3; X5 = 4; X6 = 7

Fazendo a soma:

= + + = 1 + 2 + 3 = 6

Resoluo Exemplo 3:

Fazendo a soma:

= 1 + 2 + 3 + 3 = 1 + 4 + 9 + 9 = 23

Propriedades do somatrio

O somatrio tem duas propriedades muito importantes, abaixo resumidas:

+ = + =



Em palavras:

O somatrio da soma a soma dos somatrios

O somatrio da diferena a diferena dos somatrios

Para entendermos isso, segue um exemplo.

Considere que X represente o seguinte conjunto de dados:

X: 2, 4, 6

Temos tambm o conjunto Y:

Y: 2, 3, 3

Vejam que:

= 2 + 4 + 6 = 12 = 2 + 3 + 3 = 8

Omiti os limites do somatrio, mas considere que estamos somando todos os trs valores (i varia de 1 at 3).

Agora vamos determinar o conjunto correspondente diferena entre X e Y:

2 2 0

4 3 1

6 3 3

Vejam que:

= 0 + 1 + 3 = 4 Que exatamente igual diferena dos somatrios:

= 4 = 12 8

Propriedades do somatrio:

+ = + =

5.3. Diagrama de ramos e folhas

A primeira forma de organizao de dados que ns vimos foi o ROL.



Pois bem, existe outra forma de apresentao de dados que guarda perfeita correspondncia com o ROL. Costumo dizer que um ROL modificado. o diagrama de ramos e folhas.

No diagrama de ramos e folhas ns separamos cada nmero em duas partes.

Os diagramas que mais caem em prova separam a unidade de um lado e o resto do nmero do outro lado. Assim, considere o seguinte ROL:

10, 11, 13, 14, 15, 15, 16, 18, 18, 19, 20, 22, 25, 26, 29.

Se quisssemos representar esses dados por meio de um diagrama de ramos e folhas, ficaria assim:

1 0134

1 556889

2 02

2 569

Observem como separamos cada nmero em duas partes. Na coluna da esquerda temos as dezenas. As dezenas seriam os ramos. Do lado direito, temos as unidades, que seriam as folhas. As folhas se prendem aos ramos.

Assim, 1 espao 0134, num diagrama de ramos e folhas, significa que, no ROL original, ns temos os nmeros 10, 11, 13, 14.

Outro detalhe. muito comum que os diagramas de ramos e folhas separem as unidades em dois grupos: de 0 a 4 e de 5 a 9.

Para entendermos isso, vamos focar nos nmeros que iniciam com 1 (10, 11, 13, ..., 19). Foram necessrias duas linhas para representar tais nmeros. Na primeira linha, representamos os nmeros de 10 a 14 (logo, o algarismo das unidades variou de 0 a 4). Na segunda linha, representamos os nmeros de 15 a 19 (unidade variando de 5 a 9).

Ento isso. Os diagramas que mais caem em concursos adotam as seguintes regras:

separam as unidades do resto do nmero (a unidade seria a folha)

para cada dezena so necessrias duas linhas: uma para as unidades de 0 a 4; outra para as unidades de 5 a 9

Por fim, cumpre destacar que no existe uma regra fixa para construo do diagrama de ramos e folhas. A ideia apenas isso: dividir os nmeros em duas partes. Em concursos, geralmente separamos as unidades do restante do nmero. O algarismo das unidades corresponderia s folhas.

Mas seria perfeitamente possvel, por exemplo, o seguinte ROL:

ROL: 1,23; 1,24; 1,56; 1,89; 2,31; 2,87; 3,14; 3,67; 4,45; 4,67; 4,89

E poderamos construir o seguinte diagrama:

1 23 24 56 89



2 31 87

3 14 67

4 45 67 89

Novamente separamos os nmeros em duas partes. Mas as folhas agora so os nmeros aps a vrgula. E os ramos so as unidades. Alm disso, no foram necessrias duas linhas para os nmeros iniciados com 1 (um vrgula qualquer coisa). Idem para os nmeros iniciados com 2, 3 e 4.

Exemplo 4:

Considere o seguinte ROL:

23, 24, 25, 26, 28, 28, 32, 38, 43, 44, 48, 51, 55, 59, 60, 65, 76, 79, 82.

Elabore o diagrama de ramos e folhas correspondente, adotando as seguintes regras:

- separe as unidades (folhas) das dezenas (ramos)

- para cada dezena, utilize duas linhas: uma para algarismos das unidades indo de 0 a 4; outra indo de 5 a 9.

Resoluo:

2 3 4

2 5 6 8 8

3 2

3 8

4 3 4

4 8

5 1

5 5 9

6 0

6 5

7

7 6 9

8 2

Notem que a primeira linha correspondente dezena setenta est em branco, pois no h nenhum nmero entre 70 e 74.

6. DADOS TABELADOS AGRUPADOS POR VALOR



Voltemos ao nosso rol l do comeo da aula, formado pelos salrios das pessoas do Bairro Alfa.

Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00.

Simplificando a escrita, temos:

ROL (salrios em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Como so apenas dez dados, at que no to difcil trabalhar com o ROL. Agora, imagine que tivessem sido entrevistadas cem mil pessoas. J pensou ficar escrevendo: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, .... uma quinhentas vezes. Depois 2, 2, 2, 2 ... umas mil vezes e assim por diante.

Isso sem levar em conta que ainda poderamos ter valores como 1,1 (mil e cem reais) ou 2,25 (dois mil duzentos e cinquenta reais).

Com um nmero muito grande de dados, trabalhar com o ROL pode no ser a melhor opo.

Pois bem, outra maneira de se trabalhar com os dados agrupar os valores iguais. Colocamos os dados em uma tabela, indicando a frequncia com que cada valor acontece.

Salrios (em R$ 1.000,00) Frequncia absoluta simples

1 1

2 3

3 1

4 2

5 1

6 1

7 1

Daqui a pouco falamos sobre os vrios tipos de frequncia. Por enquanto, basta saber que a frequncia absoluta simples nos indica quantas vezes um valor ocorre.

A frequncia do valor 1 (=mil reais) 1. Isto significa que temos uma pessoa com o salrio de mil reais.

A frequncia do valor 2 (= dois mil reais) 3. Isto significa que temos trs pessoas com salrio de dois mil reais. Ou ainda, o salrio de dois mil reais ocorre trs vezes.

Assim, em vez de escrever 2, 2, 2 (indicando que o valor dois ocorre trs vezes), apenas colocamos sua frequncia absoluta simples. Agrupamos todos os salrios de R$ 2.000,00 em uma nica linha. Dizemos que estamos agrupando os dados por valor.

A frequncia do valor 3 (=trs mil reais) 1. Isto significa que temos uma pessoa com o salrio de trs mil reais. Ou ainda, o salrio de trs mil reais ocorre uma vez. E assim por diante.

comum chamar essa relao de valores e suas respectivas frequncias (que pode ser expressa tanto por meio de tabelas, quanto de grficos) de distribuio de frequncias.

Vamos agora estudar os outros tipos de frequncia.



6.1. Frequncias

Um conceito recorrente em estatstica o conceito de frequncia. So de quatro tipos:

frequncia absoluta simples (f);

frequncia absoluta acumulada (F);

frequncia relativa simples (fr);

frequncia relativa acumulada (Fr).

Todas as frequncias guardam relao com o nmero de ocorrncias de um valor ou classe de valores. Em seguida, analisaremos cada tipo de frequncia.

6.2. Frequncias absolutas

A frequncia absoluta simples indica o nmero de ocorrncias de um valor ou classe de valores (obs: ainda nesta aula veremos o que uma classe).

Para exemplificar, voltemos aos nossos dados (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7).

Quantos valores iguais a 2 ns temos? (ou ainda: quantas pessoas ganham R$ 2.000,00?).

Resposta: so trs valores iguais a 2 (ou ainda: trs pessoas ganham R$ 2.000,00).

Dizemos que a frequncia absoluta simples do nmero 2 3.

O nmero 4 ocorre 2 vezes. Assim, a frequncia absoluta simples do nmero 4 2.

A tabela abaixo mostra as frequncias para cada valor de X.

Salrios (em R$ 1.000,00) Frequncia absoluta simples

1 1

2 3

3 1

4 2

5 1

6 1

7 1

TOTAL 10

Quando os dados esto agrupados por valor, natural que a gente queira se referir a um especfico valor e sua frequncia. Para tanto, usamos a notao (xis ndice i) para nos referirmos a cada valor e (efe ndice i) para nos referirmos a cada frequncia. Deste modo, o primeiro valor 1. Dizemos que = 1. Sua frequncia tambm igual a 1. Dizemos que = 1. O segundo valor 2. Ou seja, = 2. E sua frequncia igual a 3. Portanto, = 3.



Repare que o total das frequncias absolutas simples 10. E 10 justamente o nmero de pessoas pesquisadas. Isto no coincidncia.

Na tabela acima, indicamos quantas pessoas ganham cada um dos salrios. Se so 10 pessoas, natural esperar que, somando todas as frequncias, obtenhamos justamente 10.

Como regra geral, se tivermos n elementos, podemos dizer que:

=

Para o caso acima, temos 7 valores de frequncia. O somatrio de todas as frequncias fica:

= + + + + + +

= 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10

A frequncia absoluta acumulada nos d quantas observaes so menores ou iguais ao valor observado. Para a nossa sequncia de dados, podemos construir a seguinte tabela:

Salrios (em R$ 1.000,00) Frequncia absoluta acumulada

1 1

2 4

3 5

4 7

5 8

6 9

7 10

Tomemos como exemplo o valor 4 (linha em vermelho).

Quantos valores menores ou iguais a 4 ns temos? (ou ainda: quantas pessoas ganham de R$ 4.000,00 para baixo?)

Valor

observado (X)

Freqncia absoluta

simples1 12 33 14 25 16 17 1

TOTAL 10

sempre igual a n



Resposta: temos 7 valores menores ou iguais a 4 (so eles: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4). Ou ainda: sete pessoas ganham salrios menores ou iguais a R$ 4.000,00.

Portanto, a frequncia acumulada do valor 4 7.

Note que a ltima frequncia acumulada igual a 10 (exatamente o nmero de dados). Isto no coincidncia. Se o maior valor 7, ento todos os dados sero menores ou iguais a 7. Portanto, a frequncia absoluta acumulada do valor 7 10.

importante saber como se faz para, a partir da frequncia absoluta simples, chegar frequncia absoluta acumulada.

Suponha que temos apenas os valores de frequncias simples e queremos obter as frequncias acumuladas. Como fazer?

A primeira linha da coluna de frequncia acumulada coincide com a de frequncia simples.

Assim, o primeiro valor de frequncia acumulada igual a 1.

A partir da segunda linha, os valores comeam a se diferenciar. Tomamos o valor de frequncia acumulada da linha anterior (no caso 1). Tomamos o valor da frequncia simples da linha atual (no caso 3). Somamos os dois (1+3 = 4) e preenchemos a segunda linha da coluna de frequncia acumulada. Esta sequencia est expressa nas linhas de cor vermelha.

Valor

observado (X)

Freqncia absoluta

acumulada1 12 43 54 75 86 97 10

sempre igual a n

Valor

observado (X)

Freqncia absoluta

simples

Freqncia absoluta

acumulada1 1 12 3 43 1 54 2 75 1 86 1 97 1 10



Para a linha seguinte, a mesma coisa.

E o mesmo raciocnio segue at a ltima linha.

tambm importante saber como se calcula, a partir da tabela de frequncias acumuladas, os valores de frequncias simples. Basta fazer o procedimento inverso do descrito acima.

A primeira frequncia simples coincide com a primeira frequncia acumulada.

A partir da segunda linha, os valores comeam a diferenciar. Tomamos o valor de frequncia acumulada da linha atual (no caso, 4). Tomamos o valor de frequncia acumulada da linha anterior (no caso, 1). Subtramos um do outro. E obtemos a frequncia simples da linha atual. Este procedimento est expresso nas linhas azuis.

Valor

observado (X)

Freqncia absoluta

simples

Freqncia absoluta

acumulada1 1 12 3 43 1 54 2 75 1 86 1 97 1 10

1+3=4

Valor

observado (X)

Freqncia absoluta

simples

Freqncia absoluta

acumulada1 1 12 3 43 1 54 2 75 1 86 1 97 1 10

4+1=5

Valor

observado (X)

Freqncia absoluta

simples

Freqncia absoluta

acumulada

Memria

de clculo1 1 1 =12 3 4 =1+33 1 5 =4+14 2 7 =5+25 1 8 =7+16 1 9 =8+17 1 10 =9+1

Valor

observado (X)

Freqncia

absoluta simples

Freqncia

absoluta acumulada1 1 12 3 43 1 54 2 75 1 86 1 97 1 10



Para a linha seguinte, a mesma coisa.

E o procedimento segue at a ltima linha.

6.3. Frequncias relativas

As frequncias relativas so muito parecidas com as absolutas. A nica diferena que, em vez de estarmos interessados em valores absolutos, queremos saber valores relativos.

A palavra relativo tem a ver com relao. Em matemtica, relao sinnimo de diviso.

Pois bem, as frequncias relativas sero obtidas a partir de uma diviso. Diviso esta em que o denominador o nmero de dados.

A frequncia relativa simples dada pela frequncia absoluta simples dividida pelo nmero de dados.

Na nossa pesquisa de salrios, temos 10 valores (n = 10). Vamos, a ttulo de exemplo, calcular a frequncia relativa simples do nmero 2.

O nmero 2 ocorre trs vezes (a frequncia absoluta simples do nmero 2 trs; isto porque h trs pessoas que ganham R$ 2.000,00).

Para obter a frequncia relativa simples do nmero 2, basta dividir 3 por 10. A frequncia relativa simples do nmero 2 :

Valor

observado (X)

Freqncia

absoluta simples

Freqncia

absoluta acumulada1 1 12 3 43 1 54 2 75 1 86 1 97 1 10

5-4=1

Valor

observado (X)

Memria de

Clculo

Freqncia

absoluta simples

Freqncia

absoluta acumulada1 =1 1 12 =4-1 3 43 =5-4 1 54 =7-5 2 75 =8-7 1 86 =9-8 1 97 =10-9 1 10



! =310 = 0,3 = 30%

(l-se efe erre ndice dois, pois estamos nos referindo frequncia relativa simples do segundo valor).

O que isto significa? Significa que trinta por cento das pessoas pesquisadas ganham R$ 2.000,00.

A tabela abaixo nos mostra as frequncias relativas simples para os dados.

Salrio (em R$ 1.000,00)

Frequncia absoluta Simples (f)

Frequncia relativa Simples (fr)

1 1 0,1

2 3 0,3

3 1 0,1

4 2 0,2

5 1 0,1

6 1 0,1

7 1 0,1

TOTAL 10 1,0

Observe que cada valor de frequncia relativa igual respectiva frequncia absoluta dividida por 10 (porque foram 10 pessoas pesquisadas). Note tambm que a soma de todos os valores da coluna de frequncia relativa simples igual a 1. Isto sempre acontece.

A frequncia relativa acumulada dada pela diviso da frequncia absoluta acumulada por n. Fornece-nos o percentual de valores que so iguais ou menores ao valor analisado. A tabela abaixo mostra os valores de frequncia relativa acumulada.

Salrios (em R$ 1.000,00)

Frequncia absoluta acumulada )(F

Frequncia relativa acumulada )(Fr

1 1 0,1

2 4 0,4

3 5 0,5

4 7 0,7

Valor

observado (X)

Freqncia

relativa simples1 0,12 0,33 0,14 0,25 0,16 0,17 0,1

TOTAL 1

sempre igual a 1



Salrios (em R$ 1.000,00)

Frequncia absoluta acumulada )(F

Frequncia relativa acumulada )(Fr

5 8 0,8

6 9 0,9

7 10 1,0

O que significa dizer que a frequncia relativa acumulada do valor 4 0,7? Significa que 70% das pessoas entrevistadas ganham salrios iguais ou inferiores a R$ 4.000,00.

Note que a frequncia relativa acumulada do ltimo valor igual a 1. Isto sempre acontece.

Saber o que significa cada uma das frequncias muito importante para qualquer prova de estatstica. Contudo, no h questes que cobrem exclusivamente o seu conceito. Por isso, na sequncia, trago alguns exerccios propostos (no so de concursos) s para nos familiarizarmos com os conceitos vistos.

Por fim, um comentrio. Vimos como, a partir da frequncia absoluta simples, obter a frequncia absoluta acumulada (e vice-versa).

Para as frequncias relativas, o procedimento exatamente o mesmo. Se tivssemos apenas as frequncias relativas simples, para obter as frequncias relativas acumuladas faramos:

E se tivssemos apenas as frequncias relativas acumuladas, para obter as frequncias relativas simples faramos o seguinte:

Valor

observado (X)

Freqncia

relativa acumulada1 0,12 0,43 0,54 0,75 0,86 0,97 1

sempre igual a 1

Valor

observado (X)

Freqncia relativa

simples

Freqncia relativa

acumulada

Memria

de clculo1 0,1 0,1 =0,12 0,3 0,4 =0,1+0,33 0,1 0,5 =0,4+0,14 0,2 0,7 =0,5+0,25 0,1 0,8 =0,7+0,16 0,1 0,9 =0,8+0,17 0,1 1 =0,9+0,1



Exemplo 5:


2, 3, 1, 2, 4, 3, 9, 2, 10, 5, 12, 4, 4, 7, 2, 4, 1, 10, 3, 3.

a) obtenha o ROL

b) construa a tabela de frequncias absolutas simples

c) construa a tabela de frequncias absolutas acumuladas

d) construa a tabela de frequncias relativas simples

e) construa a tabela de frequncias relativas acumuladas

Resoluo:

a) Para achar o ROL, basta colocar os dados em ordem crescente.

ROL: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 10, 10, 12

b)

Valores Frequncia absoluta simples

1 2

2 4

3 4

4 4

5 1

7 1

9 1

10 2

12 1

TOTAL 20

Note que a soma de todas as frequncias simples igual a 20, que justamente o nmero de dados do nosso ROL.

c) Podemos construir a coluna de frequncias acumuladas a partir da coluna de frequncia simples.

Valor

observado (X)

Memria de

Clculo

Freqncia

relativa simples

Freqncia

relativa acumulada1 =0,1 0,1 0,12 =0,4-0,1 0,3 0,43 =0,5-0,4 0,1 0,54 =0,7-0,5 0,2 0,75 =0,8-0,7 0,1 0,86 =0,9-0,8 0,1 0,97 =1-0,9 0,1 1




Frequncia absoluta acumulada

Memria de clculo

1 2 2 =2

2 4 6 =2+4

3 4 10 =6+4

4 4 14 =10+4

5 1 15 =14+1

7 1 16 =15+1

9 1 17 =16+1

10 2 19 =17+2

12 1 20 =19+1

Note que a ltima frequncia acumulada simples igual ao nmero de dados do nosso ROL (=20).

d) Podemos obter as frequncias relativas simples a partir das frequncias absolutas simples.


Frequncia relativa simples

Memria de clculo

1 2 0,1 =2/20

2 4 0,2 =4/20

3 4 0,2 =4/20

4 4 0,2 =4/20

5 1 0,05 =1/20

7 1 0,05 =1/20

9 1 0,05 =1/20

10 2 0,1 =2/20

12 1 0,05 =1/20

TOTAL 20 1

Note que a soma de todas as frequncias relativas simples igual a 1.

e) Podemos obter as frequncias relativas acumuladas de duas formas. A partir da frequncia relativa simples ou a partir da frequncia absoluta acumulada (dividindo todos os valores por 20).

Primeira forma:

Valores Frequncia relativa simples

Frequncia relativa acumulada

Memria de clculo

1 0,1 0,1 =0,1

2 0,2 0,3 =0,1+0,2

3 0,2 0,5 =0,3+0,2

4 0,2 0,7 =0,5+0,2

5 0,05 0,75 =0,7+0,05

7 0,05 0,8 =0,75+0,05





Memria de clculo

9 0,05 0,85 =0,8+0,05

10 0,1 0,95 =0,85+0,1

12 0,05 1 =0,95+0,05

Note que o ltimo valor de frequncia relativa acumulada igual a 1.

Segunda forma:

Valores Frequncia absoluta acumulada


Memria de clculo

1 2 0,1 =2/20

2 6 0,3 =6/20

3 10 0,5 =10/2

4 14 0,7 =14/20

5 15 0,75 =15/20

7 16 0,8 =16/20

9 17 0,85 =17/20

10 19 0,95 =19/20

12 20 1 =20/20

Exemplo 6:

Considere a seguinte tabela:


1 2

3 5

5 2

7 1

Obtenha os valores de frequncia relativa acumulada.

Resoluo

Podemos, a partir da frequncia absoluta simples, obter a frequncia absoluta acumulada e, a partir desta, obter a frequncia relativa acumulada.

Obtendo as frequncias absolutas acumuladas:


Frequncia absoluta acumulada

Memria de clculo

1 2 2 =2

3 5 7 =2+5

5 2 9 =7+2

7 1 10 =9+1

Obtendo as frequncias relativas acumuladas:

Valores Frequncia absoluta Frequncia relativa Memria de clculo



acumulada acumulada

1 2 0,2 =2/10

3 7 0,7 =7/10

5 9 0,9 =9/10

7 10 1 =10/10

Exemplo 7:

Considere a seguinte tabela:

Valores Frequncia relativa acumulada

1 0,1

4 0,5

6 0,8

15 1,0

Sabendo que ao todo so 50 dados, obtenha os valores de frequncia absoluta simples.

Resoluo

Vamos obter os valores de frequncia relativa simples.

Valores Memria de clculo

Frequncia Relativa simples


1 =0,1 0,1 0,1

4 =0,5-0,1 0,4 0,5

6 =0,8-0,5 0,3 0,8

15 =1,0-0,8 0,2 1,0

Agora vamos obter os valores de frequncia absoluta simples.


Frequncia absoluta simples

Memria de clculo

1 0,1 5 =0,1 x 50

4 0,4 20 =0,4 x 50

6 0,3 15 =0,3 x 50

15 0,2 10 =02 x 50

Questo 7 MPU/2007 [FCC]

Uma empresa procurou estudar a ocorrncia de acidentes com seus empregados e realizou um levantamento por um perodo de 36 meses. As informaes apuradas esto na tabela a seguir:

Nmero de empregados Nmero de meses



acidentados

1 1

2 2

3 4

4 5

5 7

6 6

7 5

8 3

9 2

10 1

A porcentagem de meses em que houve menos de 5 empregados acidentados :

a) 50%

b) 45%

c) 35%

d) 33%

e) 30%

Resoluo:

A varivel em estudo o nmero de empregados acidentados em um ms. Ela assume o valor 1 uma vez. Isto significa que, em uma nica vez, tivemos 1 acidentado por ms. Por duas vezes, tivemos 2 acidentados por ms. Por quatro vezes tivemos 3 acidentados por ms. E assim por diante.

Poderamos representar a nossa varivel pelo seguinte ROL:

Nmero de acidentados por ms: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10

Em vez de fazer desta forma, o exerccio agrupou os valores iguais. Em vez de escrever o nmero 4 cinco vezes, a tabela nos informa que o nmero 4 tem frequncia 5. Dizemos que os dados esto agrupados por valor.

Vamos ver em quantos meses houve menos que cinco empregados acidentados por ms. A tabela abaixo destaca os valores procurados:



Em 12 meses tivemos menos que cinco empregados acidentados por ms (=1+2+4+5).

12 meses representa 33% de 36.

Gabarito: D.

Questo 8 Sefaz AL 2002 [CESPE]

Julgue o seguinte item.

Em uma distribuio de frequncias para um conjunto de n indivduos, pode-se calcular as frequncias relativas, dividindo-se cada frequncia absoluta pela amplitude da correspondente classe ou do intervalo.

Resoluo:

A frequncia relativa igual diviso da frequncia absoluta pela quantidade total de elementos (n). O item errou ao afirmar que o denominador a amplitude de classe.

Gabarito: errado

7. FORMAS GRFICAS DE APRESENTAO DE DADOS AGRUPADOS POR

VALOR

7.1. Colunas justapostas

Vamos pegar o mesmo rol trabalhado no comeo da aula (aquela pesquisa com os salrios dos moradores do bairro Alfa).

Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00.

Podemos representar estes dados em um grfico de colunas.

Nmero de empregados acidentados Nmero de meses1 12 23 44 55 76 67 58 39 210 1

meses com menos

de 5 empregados

acidentados por

ms



Este tipo de grfico bem comum no nosso dia a dia. A altura de cada coluna est relacionada com a respectiva frequncia absoluta de cada salrio.

Agrupamos todos os salrios de R$ 4.000,00 numa coluna de altura 2, o que indica que duas pessoas ganham R$ 4.000,00 por ms. Ou ainda, o valor 4.000,00 ocorre duas vezes. Da mesma forma, agrupamos todos os valores R$ 2.000,00 em uma coluna com altura 3, que indica que este valor ocorre 3 vezes. E assim por diante.

7.2. Colunas compostas

Aqui ns empilhamos as colunas, de forma que cada pedao tenha altura proporcional frequncia do respectivo valor. Assim, a coluna do valor R$ 1.000,00 trs vezes menor que a coluna do valor R$ 2.000,00. Se lembrarmos do ROL original, temos que apenas uma pessoa recebe R$ 1.000,00, enquanto trs pessoas recebem R$ 2.000,00.

7.3. Grfico de setores

Igualmente usual o grfico em forma de pizza:



A rea de cada fatia da pizza proporcional frequncia absoluta do valor.

Alm destes, h diversos outros tipos de grficos. Apesar de haver inmeras possibilidades, grficos para dados agrupados por valor pouco caem em prova.

Questo 9 SENADO 2002 [CESPE]

Julgue o item seguinte.

Considere os resultados apresentados na tabela abaixo, que foram obtidos a partir de informao da Fundao Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (CAPES), acerca dos programas de ps-graduao no Brasil avaliados no ano 2000.

Nessa situao, pode estar correta a representao dos dados da tabela no grfico de setores mostrado abaixo.

Resoluo:

Em um grfico de setores (em forma de pizza), cada setor (cada fatia da pizza) tem rea proporcional frequncia relativa do valor em anlise.



Exemplificando, se a frequncia relativa do conceito 6 de 10%, ento o setor correspondente ter rea igual a 10% da rea total.

A representao grfica dada no item est correta.

Gabarito: certo

8. DADOS TABELADOS AGRUPADOS EM CLASSES

Na nossa pesquisa salarial no bairro Alfa no so muitos os valores envolvidos. Foram entrevistadas apenas dez pessoas. Colocar os dados obtidos em ROL ou em uma tabela, de forma agrupada por valor, no to trabalhoso.

Agora imagine que pesquisamos os salrios de milhares de pessoas. Mesmo que colocssemos tais valores em uma tabela, de forma agrupada (por valor), ainda seriam necessrias muitas e muitas linhas.

Um trechinho da tabela poderia ser:

Valor observado (R$) Frequncia absoluta simples

R$ 500,00 12

R$ 500,01 2

R$ 500,02 3

R$ 500,03 6

... ...

E a tabela continuaria com centenas de linhas.

Nesses casos, preciso agrupar os valores um pouco mais. Podemos agrup-los em classes.

A tabela poderia ficar assim:

Classe de valor (R$) Frequncia absoluta simples

500,00 at 999,99 661

1.000 at 1.999,99 240

2.000 at 2.999,99 120

3.000 at 3.999,99 68

... ...

Cada faixa salarial uma classe. Classe apenas isto. uma faixa de valores, ou ainda, um intervalo de valores.

Na primeira classe, temos salrios entre R$ 500,00 e R$ 999,99. A tabela nos informa que 661 pessoas entrevistadas ganham salrios que esto nesta faixa de valores.

Na segunda classe, temos salrios entre R$ 1.000,00 e R$ 1.999,99. E a tabela informa que 240 pessoas ganham salrios nesta faixa de valores.

E assim por diante.



H uma simbologia especfica para representar os dados em classes de valores. Vamos passar a estud-la. Para tanto, voltemos ao nosso exemplo da pesquisa salarial dos moradores do bairro Alfa.

Relembrando nosso Rol:

R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$ 7.000,00.

Suponhamos agora que, em vez de divulgarmos todos os dados obtidos na pesquisa, colocamos apenas a seguinte tabela, agrupando os valores em classes:

Classes de valores Frequncia absoluta simples

[1;4) 5

[4;7) 4

[7;10) 1

Deste modo, h 5 pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00 (incluindo R$ 1.000,00 e excluindo R$ 4.000,00), h quatro pessoas que ganham entre R$ 4.000,00 e R$ 7.000,00 e h apenas uma pessoa que ganha entre R$ 7.000,00 e R$ 10.000,00.

No custa nada repetir a utilidade dos dados em classes. No nosso exemplo, foram apenas dez pessoas entrevistadas. um nmero pequeno. Poderamos perfeitamente divulgar todos os dados da pesquisa.

J num caso em que o nmero de dados muito grande, divulgar todos eles pode fazer com que fique difcil de fazer uma leitura adequada da pesquisa. s vezes se quer publicar o resultado num jornal, numa revista, num mural. O espao disponvel para as tabelas restrito. Imagine tentar colocar num mural o resultado de uma pesquisa que envolveu milhares de valores distintos. invivel apresentar todos eles. Seriam pginas e pginas de tabelas. Nestes casos, til apresentar somente a quantidade de valores em cada classe.

Assim procedendo, temos a vantagem de ganhar espao e de facilitar uma visualizao geral dos dados. S que, por outro lado, perde-se um pouco de informao. Por exemplo, analisando apenas a tabela com os valores em classes, no sabemos qual o salrio de cada uma das cinco pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00. Pode ser que todas elas ganhem um salrio de R$ 2.000,00. Pode ser que cada uma ganhe um salrio diferente (por exemplo: R$ 1.500,00; R$ 1.525,32; R$ 1.678,00; R$ 3.980,05; R$ 3.988,00). E poderamos listar inmeras outras possibilidades. Enfim, no temos como descobrir o salrio de cada uma delas. Apenas sabemos que h cinco pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00.

Resumindo: com os dados em classes, ganhamos espao, mas perdemos informao.

Aqui tambm podemos usar a expresso distribuio de frequncias, a exemplo do que fizemos com os dados agrupados por valor. L tnhamos a relao entre frequncias e respectivos valores. Aqui temos a relao entre as frequncias e respectivas classes.

Agora vamos detalhar um pouco mais a representao em classes de valores.

Vejamos a classe [4; 7). O colchete ao lado do quatro indica que o nmero 4 faz parte da classe. O parntesis ao lado do sete indica que o nmero 7 no faz parte da classe.

Logo, na classe de 4 a 7, estamos contando todas as pessoas que ganham de quatro mil reais (inclusive as que ganham exatamente R$ 4.000,00) at sete mil reais (sem contar as



que ganham exatamente R$ 7.000,00). Na verdade, como se nossa classe envolvesse as pessoas que ganham de R$ 4.000,00 at R$ 6.999,99.

E se a nossa classe fosse assim: [4; 7]?

Caso a nossa classe fosse [4;7], com dois colchetes, estaramos levando em considerao as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00 e tambm as que ganham exatamente R$ 7.000,00.

E se nossa classe fosse (4; 7)?

A estaramos levando em conta as pessoas que ganham de R$ 4.000,01 at R$ 6.999,99.

Uma outra forma de representar a classe [4;7) seria assim:

4 7

Ao lado do nmero quatro temos um trao vertical. Significa que estamos levando em conta as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00. Ao lado do nmero sete no tem um trao vertical. Significa que no estamos levando em conta as pessoas que ganham exatamente R$ 7.000,00.

E se a representao fosse assim: 4 7?

A no levaramos em conta nenhum dos extremos (pois no h nenhum trao vertical). Estaramos nos referindo s pessoas que ganham de R$ 4.000,01 a R$ 6.999,99.

Na classe [4; 7) dizemos que 4 o limite inferior. Dizemos tambm que 7 o limite superior.

A tabela abaixo mostra o limite inferior e superior para cada classe.

Classes de valores Limite inferior Limite superior

[1;4) 1 4

[4;7) 4 7

[7;10) 7 10

muito nome para saber no ? E vamos a mais alguns nomes...

diferena entre os limites superior e inferior, chamamos de amplitude de classe. No nosso exemplo, todas as classes tm a mesma amplitude de 3.

Classes de valores Limite inferior Limite superior

Amplitude de classe

[1;4) 1 4 3 = 4 1 [4;7) 4 7 3 (= 7 4)

[7;10) 7 10 3 (= 10 7) E, por fim, vamos ao ponto mdio de classe. O ponto mdio de classe a mdia dos limites superior e inferior.

Classes de valores Ponto mdio

[1;4) 2,5

[4;7) 5,5

[7;10) 8,5

Na primeira classe os limites so 1 e 4. Ento o ponto mdio da primeira classe fica:



1 + 42 = 2,5

Para as demais classes, o clculo anlogo.

Ah, outra coisa muito importante: a densidade de frequncia.

Densidade de frequncia igual frequncia simples dividida pela amplitude de classe.

Podemos tanto calcular:

A diviso entre a frequncia absoluta simples, dividida pela amplitude de classe;

A diviso entre a frequncia relativa simples, dividida pela amplitude de classe;

O mais importante dos clculos o da densidade de frequncia relativa (segundo item acima).

Vejamos como fazer:

Classes de valores

Frequncia relativa

Amplitude de classe

Densidade de freq. relativa

[1;4) 0,5 3 0,5/3 = 0,166

[4;7) 0,4 3 0,4/3 = 0,133

[7;10) 0,1 3 0,1/3 = 0,0333

Utilizaremos o conceito de densidade de frequncia relativa quando estudarmos as medidas separatrizes.

Questo 10 SEFAZ SC 1998 [FEPESE]

A tabela abaixo mostra a distribuio de frequncia dos salrios mensais, em reais, de 95 funcionrios da empresa TUDO TOPA LTDA.

Em relao a essa tabela, a porcentagem de funcionrios que ganham menos de R$ 7.000,00 de:

a) 21,1%

b) 15,7%

c) 36,9%

d) 63,1%

e) 78,9%



Resoluo:

Abaixo destacamos as frequncias correspondentes aos funcionrios que ganham menos de R$ 7.000,00:

Somando todas as frequncias:

12 + 10 + 20 + 18 = 60 60 funcionrios, entre os 95 existentes, ganham menos de R$ 7.000,00.

O percentual de funcionrios correspondente :

6095

60100 = 60%

Quando substitumos o denominador 95 por 100, ns diminumos um pouco o resultado. Na verdade, a resposta correta um pouco maior que 60%.

Gabarito: D

9. FORMAS GRAFICAS DE APRESENTAO DE DADOS EM CLASSE

Nas aulas de inferncia eu costumo fazer um paralelo entre estatstica descritiva e inferencial. Isso ajudar a entendermos melhor as futuras aulas.

Um dos paralelos que faremos envolve justamente a utilizao de dados em classe. Para permitir tal paralelo, importante j destacarmos algumas coisas.

Para dados em classe, no nos referimos frequncia de um valor especfico. Referimo-nos apenas frequncia de uma classe de valores (ou de uma faixa de valores).

Isso muito importante no caso de variveis contnuas.

Vejamos. Considere uma pesquisa sobre a composio etria de uma cidade. As pessoas podem ser classificadas em: jovens, adultos, idosos. Temos uma varivel qualitativa. Mas isso no impede que a gente calcule a frequncia de cada possvel valor da nossa varivel.



Assim, para X = idoso, podemos ter, por exemplo, 80.000 observaes. A frequncia absoluta 80.000.

O mesmo se aplica para uma varivel quantitativa discreta.

Mas agora considerem que temos um termmetro mgico, capaz de medir a temperatura de um ambiente com infinitas casas aps a vrgula.

Nesse caso, estamos diante de uma varivel contnua. simplesmente impossvel ns listarmos todos os possveis valores de X, para depois determinar as frequncias de cada um deles.

Deste modo, se medirmos a temperatura em diversos instantes, o mximo que d para fazer calcular as frequncias associadas a classes, ou faixa de valores.

Exemplo: podemos dizer que em 23% das medies a temperatura esteve entre 20C e 30C. Estamos associando a frequncia 23% faixa 20 30.

O resultado disso que as representaes grficas utilizadas para dados em classe servem particularmente para variveis contnuas. Existem questes que exploram justamente este aspecto.

9.1. Histograma

Considere o seguinte exemplo.

Quarenta alunos de um curso fizeram uma prova de 20 questes, cada uma delas valendo 0,20. Deste modo, se um aluno acertar todas as questes, sua nota seria igual a 4.

As notas obtidas pelos alunos esto resumidas na tabela abaixo.

Notas Frequncia

0 1 5

1 2 10

2 3 20

3 4 5

Conforme j estudamos, temos dados agrupados em classes.

Uma forma grfica que guarda perfeita correspondncia com os dados acima dispostos o histograma.

O histograma para os dados acima ficaria:



A primeira coluna, vermelha, corresponde primeira classe. A sua altura guarda relao com a frequncia da primeira classe: ela indica que temos 5 notas na primeira classe. A sua base coincide com os extremos da classe.

Deste modo, a primeira coluna indica que a primeira classe vai de 0 at 1 e que, nesta classe, temos 5 ocorrncias.

Vamos agora para a segunda coluna (verde). O histograma nos indica que esta classe vai de 1 at 2. Indica ainda que temos 10 ocorrncia nesta classe.

Analogamente, a frequncia da terceira classe 20 e seus extremos so 2 e 3 (ver coluna azul).

Por fim, a ltima classe vai de 3 at 4, possuindo frequncia 5 (ver coluna amarela).

Histograma apenas isso. um monte de barrinhas, cada uma delas representando uma classe.

9.2. Polgono de frequncias

Vamos voltar ao histograma obtido na seo anterior.

Considere o seguinte histograma:



Se ns passarmos uma linha unindo todos os pontos mdios das laterais superiores dos retngulos do histograma, obtemos o seguinte grfico:

Este grfico acima chamado de polgono de frequncia. uma forma alternativa de representao de dados, que pode substituir o histograma.

Questo 11 IRB 2006 [ESAF]

Histograma e Polgono de frequncia so:

a) a mesma representao grfica (idnticas) de uma distribuio de frequncia.

b) um texto descritivo e uma representao grfica de uma distribuio de frequncia.

c) um texto descritivo e uma funo grfica de uma distribuio de frequncia.

d) duas representaes grficas de uma distribuio de frequncia.

e) duas representaes grficas de uma distribuio de frequncia, porm com sentidos opostos.

Resoluo:

O histograma uma representao grfica. Temos vrias barras, cada uma associada a uma classe. A altura das barras tem relao com a frequncia da classe, no caso das amplitudes

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4



de classe serem todas iguais. Se forem diferentes, a altura das barras tm relao com a densidade de frequncia da classe (falaremos sobre densidade de frequncia mais adiante).

O polgono de frequncia um grfico de linhas que relaciona valores e frequncias.

Gabarito: D

Questo 12 Petrobras 2010 [CESGRANRIO]

Histogramas e polgonos de frequncias so duas representaes grficas de distribuies

(A) uniformes.

(B) de frequncias.

(C) de acumulaes.

(D) no uniformes.

(E) assimtricas.

Resoluo.

Vimos que histogramas e polgonos de frequncia so formas grficas de representarmos dados em classes.

Ao conjunto formado pelas classes, associadas s suas respectivas frequncias, comum darmos o nome de distribuio de frequncias. Assim, o histograma e o polgono de frequncias representariam graficamente uma distribuio de frequncias.

Gabarito: B

Questo 13 SEFAZ RS 2009 [FUNDATEC]

Na revista Selees de setembro de 2009 foram publicados os resultados da 8o edio da Pesquisa Marcas de Confiana, tambm apresentados atravs de alguns tipos de grficos, dentre eles, os dois primeiros que esto abaixo, sendo os outros dois fictcios. A sequncia correta dos grficos abaixo , respectivamente,



a) Polgono, Colunas, histograma, barras.

b) Histograma, colunas, barras, polgono.

c) Colunas, barras, histograma, polgono

d) Histograma, polgono, barras, colunas.

e) Barras, colunas, histograma, polgono

Resoluo:

Na primeira figura temos um grfico de colunas. As colunas so colocadas ao longo do eixo horizontal e suas alturas tm relao com as frequncias de cada observao.

Na segunda figura temos um grfico de barras. semelhante ao grfico de colunas. A diferena que as barras so colocadas ao longo do eixo vertical.

A terceira figura corresponde a um histograma. Nesse caso, cada barrinha corresponde a uma classe de valores (e no a um valor nico, como ocorria com o grfico de colunas),

A quarta figura o polgono de frequncia. Fazemos assim. Partimos do histograma. Marcamos os pontos correspondentes aos centros dos lados superiores dos retngulos. Em seguida, unimos esses pontinhos com linhas, formando o polgono de frequncias.

Gabarito: C




Observe a tabela a seguir com as frequncias e percentuais do tipo de empresa atuante em um municpio:

Se houvesse interesse em representar a tabela acima de uma forma grfica, qual seria o grfico mais apropriado?

a) Histograma.

b) Grfico em setores.

c) Diagrama em caixas.

d) Diagrama de pontos.

e) Diagrama de disperso.

Resoluo:

Alternativa A - INCORRETA. Para utilizao de um histograma, devemos ter dados em classes. No o caso dos dados em anlise, onde sequer temos uma varivel quantitativa.

Alternativa B - CORRETA. O grfico em setores perfeito para a representao de variveis qualitativas, pois ele mostra a composio das partes, geralmente em forma de porcentagem. Exemplificando, para os dados acima teramos o seguinte grfico:

Alternativa C - INCORRETA. Para utilizao do diagrama de caixa, precisamos conhecer os quantis da distribuio (1, 2 e 3 quartis). Ainda estudaremos esse assunto em outra aula.



Alternativas D e E - INCORRETAS. Os dois tipos de diagrama so apenas utilizados para variveis quantitativas. Ainda estudaremos tais diagramas.

Gabarito: B


Considere o seguinte roteiro:

passo 1: no eixo horizontal, marque, sucessivamente, os limites de cada classe;

passo 2: no eixo vertical, marque, em escala, os valores relativos s freqncias absolutas das classes;

passo 3: para a primeira classe, construa um retngulo cuja base o intervalo dessa classe e a altura a freqncia absoluta dessa classe;

passo 4: para a classe seguinte, construa um retngulo adjacente ao primeiro, cuja base tambm o Intervalo dessa classe seguinte e a altura a freqncia absoluta dessa segunda classe;

passo 5: repita o procedimento para as outras classes.

O grfico resultante denomina-se:

a) linha

b) setores

c) categrico

d) histograma

Resoluo:

Notem que estamos construindo vrios retngulos. Ento s podemos ter ou um grfico de colunas ou um histograma.

A diferena entre um e outro a seguinte. No histograma, cada retngulo se refere a uma classe de valores. Em um grfico de colunas, cada retngulo se refere a um valor isolado.

No caso desta questo, vejam que as bases se referem s classes. Logo, temos um histograma.

Gabarito: D




O grfico acima, construdo com base em uma amostra de trabalhadores brasileiros, uma adaptao de um artigo publicado no jornal Folha de S. Paulo, em 24/3/2002.

Com base nessas informaes, julgue o item a seguir, referente aos trabalhadores includos na amostra.

85% dos trabalhadores atualmente empregados ganharam no ltimo ms at 5 salrios-mnimos.

Resoluo:

Destacamos na figura abaixo as classes que correspondem aos salrios menores ou iguais a 5 salrios mnimos:

Somando as frequncias:

8% + 20% + 31%+ 26% = 85% De fato, 85% dos trabalhadores includos na amostra receberam at 5 salrios mnimos.

Gabarito: certo



Encerramos aqui nossa aula demonstrativa.

Bons estudos!

Vtor Menezes

10. QUESTES APRESENTADAS EM AULA

Questo 1 ARCE 2006 [FCC]

O processo estatstico que consiste em uma avaliao direta de um parmetro, utilizando-se todos os componentes da populao, denomina-se:

a) amostragem

b) estimao

c) censo

d) parametrizao

e) correlao

Questo 2 TERRACAP 2009 [UNIVERSA]

Julgue os itens a seguir.

I Uma cidade possui 1.000 habitantes. Um estatstico, necessitando fazer uma determinada pesquisa, entrevistou 200 pessoas. correto dizer que, nesse exemplo especfico, de uma amostra de 1.000 pessoas, o estatstico entrevistou uma populao de 200 indivduos.

II Um estudante tinha 1 moeda, 1 folha de papel em branco e 1 caneta e, com esse material, resolveu fazer uma experincia. Arremessou uma moeda 20 vezes seguidas. Em cada uma das vezes, ele verificava se a face sorteada era cara ou coroa. Caso fosse cara, ele escrevia o nmero 1 no papel. Caso fosse coroa, ele escrevia o nmero 2 no mesmo papel. No final da experincia, o estudante obteve 7 coroas e somou todos os nmeros existentes no papel. Esse resultado foi atribudo a uma varivel X. Com isso, o resultado encontrado para X foi 27.

III Uma fbrica produz 100.000 lmpadas por ms. So sorteadas 100 lmpadas, e essas so mantidas acesas at queimarem, com o objetivo de calcular a vida mdia desse tipo de lmpada. A experincia, que utiliza um subconjunto de um grupo para calcular determinado parmetro e admite que esse parmetro vlido para todo o grupo, um problema estudado pela estatstica inferencial.

Assinale a alternativa correta.

(A) Nenhum item est certo.

(B) Apenas os itens I e II esto certos.

(C) Apenas os itens I e III esto certos.

(D) Apenas os itens II e III esto certos.

(E) Todos os itens esto certos.




Julgue os seguintes itens.

1. Um censo consiste no estudo de todos os indivduos da populao considerada.

2. Como a realizao de um censo tipicamente muito onerosa e(ou) demorada, muitas vezes conveniente estudar um subconjunto prprio da populao, denominado amostra.


Os dados de um determinado estudo representam muitas variveis para cada uma das pessoas que se submeteram ao estudo. Uma varivel considerada qualitativa a seguinte:

a) idade

b) altura

c) sexo

d) peso


Nos ltimos oito anos, a populao carcerria em uma unidade da Federao cresceu de 1.200 presos (1996) para 4.000 presos (2003). Essa populao carcerria formada por presos nas casas penais, seccionais e delegacias. Por causa desse crescimento, foram construdas novas cadeias pblicas, penitencirias e novos blocos carcerrios. Mesmo assim, no foi possvel resolver o problema de superlotao. Em 1996, a capacidade total de lotao das casas penais, seccionais e delegacias era de apenas 800 vagas. Aps a inaugurao das novas instalaes em 2003, o nmero de vagas aumentou para 3.200, o que resulta em deficit de 800 vagas. O grfico acima apresenta a evoluo temporal da populao carcerria (linha contnua) e do nmero de vagas (linha pontilhada) de 1996 a 2003.

Com base na situao hipottica e no grfico apresentados ao lado, julgue o item a seguir.

A capacidade total de lotao das casas penais, seccionais e delegacias (nmero de vagas) em 2000 uma varivel aleatria contnua.




Um projeto de servios de assistncia social foi desenvolvido para ser implementado em todas as delegacias e plantes policiais de um estado brasileiro. Porm, antes da sua aplicao em todo o estado, ele foi implementado em 10 municpios, em carter experimental, por 12 meses. Esses municpios foram escolhidos aleatoriamente entre os 250 municpios do estado. Nesse perodo experimental, foram registradas 48.000 ocorrncias nos 10 municpios selecionados. Em 25% dessas ocorrncias, as pessoas envolvidas foram encaminhadas aos assistentes sociais. A partir dessas ocorrncias, os 100 assistentes sociais envolvidos nesse projeto atenderam, em mdia, 500 pessoas por ms. Os resultados obtidos foram positivos, observando-se uma queda na reincidncia de denncias e ocorrncias registradas nesses municpios aps a implementao do projeto.

A partir dos dados apresentados no texto acima, julgue o item subseqente.

O nmero de ocorrncias registradas durante o perodo experimental de 12 meses nos 10 municpios selecionados (48.000) a realizao de uma varivel aleatria contnua.

Questo 7 MPU/2007 [FCC]

Uma empresa procurou estudar a ocorrncia de acidentes com seus empregados e realizou um levantamento por um perodo de 36 meses. As informaes apuradas esto na tabela a seguir:

Nmero de empregados acidentados

Nmero de meses

1 1

2 2

3 4

4 5

5 7

6 6

7 5

8 3

9 2

10 1

A porcentagem de meses em que houve menos de 5 empregados acidentados :

a) 50%

b) 45%

c) 35%

d) 33%

e) 30%

Questo 8 Sefaz AL 2002 [CESPE]

Julgue o seguinte item.



Em uma distribuio de frequncias para um conjunto de n indivduos, pode-se calcular as frequncias relativas, dividindo-se cada frequncia absoluta pela amplitude da correspondente classe ou do intervalo.

Questo 9 SENADO 2002 [CESPE]

Julgue o item seguinte.

Considere os resultados apresentados na tabela abaixo, que foram obtidos a partir de informao da Fundao Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (CAPES), acerca dos programas de ps-graduao no Brasil avaliados no ano 2000.

Nessa situao, pode estar correta a representao dos dados da tabela no grfico de setores mostrado abaixo.


A tabela abaixo mostra a distribuio de frequncia dos salrios mensais, em reais, de 95 funcionrios da empresa TUDO TOPA LTDA.

Em relao a essa tabela, a porcentagem de funcionrios que ganham menos de R$ 7.000,00 de:

a) 21,1%

b) 15,7%



c) 36,9%

d) 63,1%

e) 78,9%

Questo 11 IRB 2006 [ESAF]

Histograma e Polgono de frequncia so:

a) a mesma representao grfica (idnticas) de uma distribuio de frequncia.

b) um texto descritivo e uma representao grfica de uma distribuio de frequncia.

c) um texto descritivo e uma funo grfica de uma distribuio de frequncia.

d) duas representaes grficas de uma distribuio de frequncia.

e) duas representaes grficas de uma distribuio de frequncia, porm com sentidos opostos.

Questo 12 Petrobras 2010 [CESGRANRIO]

Histogramas e polgonos de frequncias so duas representaes grficas de distribuies

(A) uniformes.

(B) de frequncias.

(C) de acumulaes.

(D) no uniformes.

(E) assimtricas.

Questo 13 SEFAZ RS 2009 [FUNDATEC]

Na revista Selees de setembro de 2009 foram publicados os resultados da 8o edio da Pesquisa Marcas de Confiana, tambm apresentados atravs de alguns tipos de grficos, dentre eles, os dois primeiros que esto abaixo, sendo os outros dois fictcios. A sequncia correta dos grficos abaixo , respectivamente,



a) Polgono, Colunas, histograma, barras.

b) Histograma, colunas, barras, polgono.

c) Colunas, barras, histograma, polgono

d) Histograma, polgono, barras, colunas.

e) Barras, colunas, histograma, polgono


Observe a tabela a seguir com as frequncias e percentuais do tipo de empresa atuante em um municpio:

Se houvesse interesse em representar a tabela acima de uma forma grfica, qual seria o grfico mais apropriado?

a) Histograma.

b) Grfico em setores.

c) Diagrama em caixas.

d) Diagrama de pontos.

e) Diagrama de disperso.




Considere o seguinte roteiro:

passo 1: no eixo horizontal, marque, sucessivamente, os limites de cada classe;

passo 2: no eixo vertical, marque, em escala, os valores relativos s freqncias absolutas das classes;

passo 3: para a primeira classe, construa um retngulo cuja base o intervalo dessa classe e a altura a freqncia absoluta dessa classe;

passo 4: para a classe seguinte, construa um retngulo adjacente ao primeiro, cuja base tambm o Intervalo dessa classe seguinte e a altura a freqncia absoluta dessa segunda classe;

passo 5: repita o procedimento para as outras classes.

O grfico resultante denomina-se:

a) linha

b) setores

c) categrico

d) histograma


O grfico acima, construdo com base em uma amostra de trabalhadores brasileiros, uma adaptao de um artigo publicado no jornal Folha de S. Paulo, em 24/3/2002.

Com base nessas informaes, julgue o item a seguir, referente aos trabalhadores includos na amostra.

85% dos trabalhadores atualmente empregados ganharam no ltimo ms at 5 salrios-mnimos.



11. GABARITO

1 c

2 d

3 certo certo

4 c

5 errado

6 errado

7 d

8 errado

9 certo

10 d

11 d

12 b

13 c

14 b

15 d

16 certo

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Estatística - Bacen - Aula 00