Bacen Econometria - aula 4.pdf

8102019 Bacen Econometria - aula 4pdf

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983105983157983148983137 983092

Alexandre Barbosa de Lima e Andreacute Cunha

25122009

Este documento aborda os seguintes toacutepicos introduccedilatildeo agrave anaacutelise de seacuteriestemporais processos estocaacutesticos e processos AR MA ARMA e ARIMA



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AlexandreAndreacute httpwwwpontodosconcursoscombr BACEN 2k9

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1 Introduccedilatildeo3

2

Processos Estocaacutesticos12

21

Especificaccedilatildeo de um Processo Estocaacutestico 15

22 Estacionariedade 17

221 Estacionariedade de Segunda Ordem 18

23 Propriedades da Funccedilatildeo de Autocovariacircncia 19

24 Ergodicidade 19

3

Processos Lineares Estacionaacuterios 19

31 Ruiacutedo Branco 20

32 Processos Auto-Regressivos20

321 Modelos AR simples 20

322 Modelos AR( p) 29

323 Identificaccedilatildeo de Modelos AR( p) 30

33 Processos de Meacutedias Moacuteveis31

34 Processos Auto-Regressivos e de Meacutedia Moacuteveis33

341 Identificaccedilatildeo do Modelo 33

4

Processos Lineares Natildeo Estacionaacuterios 34

41 Modelo ARIMA 34

5 Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo37

6 GABARITO 42

7 Resoluccedilatildeo dos Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo 43



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1 Introduccedilatildeo

As seacuteries temporais podem ser estacionaacuterias ou natildeoestacionaacuterias A Figuras 1 e 2 ilustram uma seacuterie estacionaacuteria eoutra natildeo estacionaacuteria respectivamente

Note que a seacuterie da Fig 1 (a) flutua em torno de uma

mesma meacutedia (neste caso igual a zero) e que (b) a suavariabilidade parece ser constante ao longo do tempo Ascaracteriacutesticas (a) e (b) satildeo tiacutepicas de seacuteries estacionaacuteriasDefiniremos formalmente o que eacute uma seacuterie estacionaacuteria mais adiantenesta aula

Por outro lado a seacuterie da Fig 2 NAtildeO flutua em torno de umamesma meacutedia e eacute por esta razatildeo que ela eacute dita natildeo estacionaacuteria

Figura 1 seacuterie temporal estacionaacuteria



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As seacuteries temporais tambeacutem podem ser determiniacutesticas ouestocaacutesticas A seacuterie temporal estacionaacuteria determiniacutestica maissimples eacute dada por uma constante micro ou seja

(1) micro =t y

em que t denota o iacutendice de tempo Suponha que a seacuterie (1) tenha

iniacutecio no tempo 0=t Entatildeo ela consiste na sequecircncia 210 micro micro micro === y y y A Fig 3 ilustra (1) com 1= e 16 amostras

(ou pontos)

Figura 2 seacuterie temporal natildeo estacionaacuteria



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A seacuterie (1) seraacute estacionaacuteria e estocaacutestica se a ela foracrescentado um componente aleatoacuterio

t ε idecircntica e

independentemente extraiacutedo de uma distribuiccedilatildeo Normal )0( 2σ N

(2)t t

y ε micro +=

A seacuterie autoregressiva1

(3) 150 minus+=t t

y y micro

eacute estacionaacuteria e determiniacutestica Essa seacuterie converge para micro 2 agravemedida que t aumenta2 Ela se tornaraacute estacionaacuteria e estocaacutesticase a ela for acrescentado um termo

t ε como o de (2)

1 Esta seacuterie eacute auto-regressiva por que o valor atualt

y (valor de y no tempo t )

depende de 1minust y (valor de y no instante de tempo discreto imediatamente

anterior t -1) Diz-se que t representa o tempo discreto quando 210 plusmnplusmn=t ouseja quando Z t isin

Figura 3 seacuterie temporal estacionaacuteria determiniacutestica



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Uma seacuterie natildeo estacionaacuteria tem uma tendecircncia que podeter uma natureza determiniacutestica ou estocaacutestica Uma seacuterie natildeoestacionaacuteria determiniacutestica acrescida de um componente aleatoacuterioextraiacutedo de uma dada distribuiccedilatildeo flutua em torno de uma tendecircnciaPor exemplo a seacuterie

(4)t t

y t ε δ micro ++=

em que δ eacute um valor constante eacute natildeo estacionaacuteria comtendecircncia determiniacutestica (vide Fig 4)

2 1

2

1minus+=

t t y y micro rArr

42

2minus++= t t

y y

micro micro rArr

rArr 38

1

42 minus+++=

t t y y

micro micro Desenvolvendo para infinitos

termos temos que

micro micro micro 2)11(211

1

=+=

+= sum

infin

=i

i

t y

Figura 4 seacuterie natildeo estacionaacuteria com tendecircncia

determiniacutestica



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Uma seacuterie natildeo estacionaacuteria com tendecircncia estocaacutesticamove-se em torno de meacutedias flutuantes A seacuterie

(5) 1 t t t y y ε += minus

denominada passeio aleatoacuterio3 eacute natildeo estacionaacuteria com tendecircnciaestocaacutestica A Fig 2 mostra uma realizaccedilatildeo de um passeio aleatoacuterio

A seacuterie

(6) 1 t t t y y ε δ ++= minus

em que δ eacute uma constante denominada drift eacute conhecida como opasseio aleatoacuterio com drift (vide Fig 5)

3 A seacuterie (5) eacute chamada de passeio aleatoacuterio porque o valor da seacuterie no tempo t eacute

igual ao valor da seacuterie no tempo 1minust mais um movimento completamentealeatoacuterio determinado por

t ε

Figura 5 passeio aleatoacuterio σ = 1 com drift δ = 02 (linha cheiasuperior) sem drift δ = 0 (linha cheia inferior) e linha tracejadacom declividade 02



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O procedimento de estimaccedilatildeo dos paracircmetros de uma seacuterietemporal depende de a seacuterie ser estacionaacuteria ou natildeo Portanto deve-se primeiramente verificar se a seacuterie sob anaacutelise eacute ou natildeoestacionaacuteria As seacuteries estacionaacuterias satildeo anaacutelogas agraves seacuteriesconvergentes do caacutelculo

As inferecircncias estatiacutesticas feitas sobre uma seacuterie temporal soacuteteratildeo validade se os resiacuteduos do modelo estimado foremestacionaacuterios

Do que foi visto ateacute agora a ideacuteia central eacute a seguinte asseacuteries natildeo estacionaacuterias natildeo tecircm meacutedia e variacircncia (medidada variabilidade) constantes ao longo do tempocontrariamente agraves seacuteries estacionaacuterias [BUE08]

Em economia e financcedilas haacute seacuteries estacionaacuterias e natildeoestacionaacuterias Em geral retornos de accedilotildees4 satildeo seacuteries estacionaacuteriasA Fig 6 mostra a seacuterie dos retornos diaacuterios da New York StockExchange (NYSE ndash Bolsa de Valores de Nova York) de 02021984 a31121991 Eacute faacutecil constatar que o crash da bolsa ocorre em t = 938(19101987) pois os retornos oscilam com maiores amplitudes nasvizinhanccedilas desta data Os dados mostrados pela Fig 6 satildeo tiacutepicos deseacuteries de retornos de accedilotildees [SHU06] Em geral a meacutedia da seacuterieparece estar estabilizada em um valor proacuteximo de zero Entretanto avolatilidade (ou variabilidade) da seacuterie varia com o tempo De fato os

dados da Fig 6 possuem um cluster (aglomerado) de volatilidade emt = 938 Um dos problemas da anaacutelise deste tipo de seacuterie temporal eacutea previsatildeo da volatilidade dos retornos futuros Modelos Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) e devolatilidade estocaacutestica foram desenvolvidos com a finalidade de lidarcom este tipo de problema A boa notiacutecia eacute que estes modelos

4 Um dos objetivos em financcedilas eacute a avaliaccedilatildeo de riscos de uma carteira de ativos

(instrumentos) financeiros O risco eacute frequumlentemente mensurado em termos devariaccedilotildees de preccedilos dos ativos Seja t P o preccedilo de um ativo no instante t

normalmente um dia de negoacutecio A variaccedilatildeo de preccedilos entre os dias t -1 e t eacutedada por 1minusminus=∆

t t tPPP e a variaccedilatildeo relativa de preccedilos ou retorno liacutequido simples

por11

1

minusminus

minus ∆=

minus=

t

t

t

t t t

P

P

P

PP R Note que 1

1

minus=minust

t t

P

P R Chamamos

t R+1 de retorno

bruto simples Denotando t t P p log= (sendo o logaritmo na base e) definimos o

retorno composto continuamente ou simplesmente log-retorno como

1

1

)1log(log minus

minus

minus=+== t t t

t

t t p p R

P

Pr Na praacutetica eacute preferiacutevel trabalhar com

retornos que satildeo livres de escala do que com preccedilos pois os primeiros tecircmpropriedades estatiacutesticas mais interessantes (como estacionariedade) [MOR08]



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(avanccedilados) natildeo seratildeo vistos neste curso pois entendemos queestatildeo fora do escopo da prova do BACEN

Iacutendices de preccedilos satildeo exemplos comuns de seacuteries natildeoestacionaacuterias

Ateacute aqui chamamos as equaccedilotildees (2) a (6) pelo nome de ldquoseacuteriesrdquo Na verdade essas equaccedilotildees especificam modelos ouprocessos estocaacutesticos Um processo estocaacutestico eacute ummecanismo gerador de seacuteries temporais Esse mecanismogerador pode ser um programa de computador ou uma lei fiacutesica porexemplo Uma seacuterie temporal eacute uma realizaccedilatildeo de um processoestocaacutestico

Suponha o seguinte experimento as variaccedilotildees da tensatildeoeleacutetrica nos terminais de um resistor satildeo visualizadas na tela de um

Figura 6 Retornos diaacuterios da NYSE no periacuteodo 02021984 a31121991 (2000 dias) O crash da Bolsa ocorre em t = 938 Nodia 19 de outubro de 1987 conhecido como Black Monday o iacutendiceDow Jones Industrial Average (DJIA) despencou 2261



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osciloscoacutepio5 (vide Fig 7) como uma funccedilatildeo do tempo Essas(pequenas) flutuaccedilotildees aleatoacuterias da tensatildeo no resistor satildeo devidas agravecorrente de ruiacutedo teacutermico6 que atravessa o resistor Admita que acada instante em que pressionamos o botatildeo de reset do osciloscoacutepioconseguimos visualizar o graacutefico da tensatildeo durante o intervalo de 1

segundo que segue o reset Observaremos a cada oportunidade emque pressionarmos o reset uma forma de onda diferente na tela doosciloscoacutepio Devido agrave complexidade dos fatores que determinam aforma de onda obtida a cada reset natildeo haacute como usar as leis da Fiacutesicapara prever o formato exato do graacutefico que apareceraacute na tela doosciloscoacutepio Se noacutes repetirmos este experimento n vezesapareceratildeo n formas de onda (ou realizaccedilotildees) diferentes na tela doequipamento natildeo obstante as n formas de onda satildeo similares numsentido estatiacutestico dado que tecircm a mesma meacutedia e variacircncia7

As Figs 8 e 9 mostram 2 realizaccedilotildees de um processoestocaacutestico do tipo ruiacutedo teacutermico com distribuiccedilatildeo )10( N que foramsimuladas pelo programa R

5 O osciloscoacutepio eacute um instrumento de medida eletrocircnico que mostra o graacutefico da

tensatildeo versus tempo em sua tela6 O ruiacutedo teacutermico eacute o ruiacutedo gerado pela agitaccedilatildeo teacutermica dos eleacutetrons no interior do

resistor7 Isto de fato acontece porque o ruiacutedo teacutermico eacute um processo estocaacutesticoestacionaacuterio

Figura 7 osciloscoacutepio analoacutegico portaacutetil modelo Tektronix 475A





Figura 8 Realizaccedilatildeo 1 do ruiacutedo teacutermico






2 Processos Estocaacutesticos

Seja T um conjunto arbitraacuterio8 Um processo estocaacutestico (oualeatoacuterio) eacute uma famiacutelia9 )( T t t Y isin tal que para cada Tt isin )(tY

eacute uma variaacutevel aleatoacuteria (ou seja um processo estocaacutestico eacute umasequumlecircncia de variaacuteveis aleatoacuterias) [MOR08]

Observe que vaacuterios autores da aacuterea de seacuteries temporaisutilizam o termo seacuterie temporal como sinocircnimo de processoestocaacutestico o que natildeo estaacute de acordo com a definiccedilatildeo dada acimaContudo eacute comum o uso do termo seacuterie temporal como sinocircnimo deprocesso estocaacutestico (fizemos isso na introduccedilatildeo desta aula) Noteque o contexto indica se o termo seacuterie temporal refere-se a umprocesso aleatoacuterio ou a uma seacuterie temporal propriamente dita

Quando o conjunto T da definiccedilatildeo acima eacute o conjunto dosnuacutemeros inteiros Ζ = 0 plusmn1 plusmn2 diz-se )( T t t Y isin eacute umprocesso estocaacutestico de tempo discreto )( T t t Y isin eacute umprocesso de tempo contiacutenuo se T eacute tomado como o conjunto dosnuacutemeros reais Os processos analisados em Econometria satildeo detempo discreto Outras aacutereas do conhecimento como a Fiacutesica e aEngenharia tambeacutem estudam processos de tempo contiacutenuo aleacutem dosde tempo discreto O processo ruiacutedo teacutermico ilustrado pelas Figs 8 e9 eacute um processo de tempo contiacutenuo A seacuterie dos retornos diaacuterios daNYSE da Fig 6 eacute de tempo discreto

A rigor a variaacutevel aleatoacuteria )(t Y da definiccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo dedois argumentos )( ζ t Y T t isin Ωisinζ (ζ representa um resultado doexperimento aleatoacuterio) uma vez que eacute definida sobre um espaccediloamostral Ω Para cada resultado ζ tem-se uma realizaccedilatildeo(trajetoacuteria funccedilatildeo temporal ou seacuterie temporal) )(t y O conjunto detodas as realizaccedilotildees tambeacutem pode ser chamado de ensemble Note-se que uma funccedilatildeo temporal eacute uma funccedilatildeo determiniacutestica e que

para cada t fixo )(t y eacute um nuacutemero

O restante deste curso tambeacutem adota a notaccedilatildeo )(t Y (out Y )

para um processo estocaacutestico )( T t t Y isin o que eacute usual na literaturade seacuteries temporais

8 Pode ser o conjunto dos nuacutemeros inteiros ou dos nuacutemeros reais por exemplo9 Note que )(t y (ou

t y ) eacute uma realizaccedilatildeo (funccedilatildeo temporal) do processo aleatoacuterio

)( T t t Y isin Entatildeo o processo )( T t t Y isin consiste em um conjunto ou famiacuteliade funccedilotildees temporais (esta eacute uma definiccedilatildeo alternativa de processo estocaacutestico)O nuacutemero de realizaccedilotildees possiacuteveis eacute infinito







t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )

O conjunto de valores de )( T t t Y isin eacute chamado de espaccedilo de

estados S do processo estocaacutestico e os valores de )(t Y podem serchamados de estados O espaccedilo de estados pode ser contiacutenuo oudiscreto No primeiro caso )(t Y representa uma medida que variacontinuamente como o retorno de um ativo ou o volume (em reais)negociado em cada dia de uma bolsa de valores No segundo caso

)(t Y pode representar uma contagem como o nuacutemero de transaccedilotildeesde uma accedilatildeo durante um dia por exemplo [MOR08]

Um processo aleatoacuteriot y puramente estocaacutestico eacute uma

sequumlecircncia de variaacuteveis aleatoacuterias mutuamente independentesO ruiacutedo teacutermico eacute um exemplo de processo puramente estocaacutestico

Um processo Independente e Identicamente Distribuiacutedo(IID) denotado por y t ~IID eacute um processo puramenteestocaacutestico e Identicamente Distribuiacutedo O ruiacutedo teacutermicotambeacutem eacute um processo IID

Figura 11 Processo estocaacutestico como uma famiacutelia de funccedilotildeestemporais (realizaccedilotildees)









em que τ minust Y denota o processo no instante de tempo12 τ minust e τ micro minust eacute ameacutedia de τ minust Y

A variacircncia do processo )(t Y eacute definida como

(15) )()]([)()]([ 22 t t Y E t t t Y Var micro γ minus==

Repare que as definiccedilotildees (13) e (15) natildeo representam nenhumanovidade pois jaacute conhecemos as definiccedilotildees de meacutedia e variacircncia Oque pode causar uma certa estranheza eacute o fato da meacutedia e davariacircncia serem em geral dependentes do tempo isto seraacute verdadese o processo natildeo for estacionaacuterio

A funccedilatildeo de autocorrelaccedilatildeo (FAC) do processot

Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus

A grandeza )( t t τ ρ minus eacute uma medida do grau de dependecircncialinear entre as variaacuteveis aleatoacuterias τ minust Y e

t Y ou seja quantifica o

quanto o diagrama de dispersatildeo de τ minust Y versus t Y se aproxima de umareta

22 Estacionariedade

Um processo aleatoacuterio )(t Y eacute estacionaacuterio em sentido estrito(ou estritamente estacionaacuterio) se

(17) )()( 21212121 ct ct ct y y yF t t t y y yF nnY nnY+++=

para qualquer constante c

De acordo com (17) as propriedades estatiacutesticas de umprocesso estacionaacuterio em sentido estrito )(t Y natildeomudam com uma translaccedilatildeo do mesmo ou seja )(t Y e )( ct Y + possuem asmesmas estatiacutesticas para qualquer defasagem c Esta condiccedilatildeo eacutebastante forte e difiacutecil de ser verificada empiricamente porquemuitas vezes natildeo se sabe quais satildeo as distribuiccedilotildees finito-dimensionais que caracterizam um determinado processo aleatoacuterio napraacutetica Sendo assim adota-se uma caracterizaccedilatildeo parcial doprocesso por meio da estimaccedilatildeo de momentos de baixa ordem

12 O lapso de tempo τ entre as variaacuteveis aleatoacuteriast

y e τ minust y eacute denominado

defasagem ou lag (termo inglecircs)





como meacutedia autocorrelaccedilatildeo e autocovariacircncia e assume-seuma condiccedilatildeo mais fraca de estacionariedade conhecida comoestacionariedade fraca ou estacionariedade de segundaordem que seraacute definida mais adiante

221 Estacionariedade de Segunda Ordem

Um processo estocaacutestico )( T t t Y isin eacute fracamenteestacionaacuterio ou estacionaacuterio de segunda ordem se e somente se

(i) == )()]([ t t Y E constante para todo T t isin (ii) infinlt)]([ 2

t Y E para todo T t isin (iii) )( t t τ γ minus eacute uma funccedilatildeo apenas do valor absoluto da

defasagem ||τ

A primeira condiccedilatildeo afirma que a meacutedia eacute igual para todoperiacuteodo mesmo que a distribuiccedilatildeo da variaacutevel aleatoacuteria vaacute sealterando ao longo do tempo A segunda condiccedilatildeo afirma apenas queo segundo momento natildeo centrado deve ser finito ainda que desigualem diferentes instantes A terceira condiccedilatildeo estabelece que avariacircncia eacute sempre igual para todo instante de tempo e que aautocovariacircncia natildeo depende do tempo mas apenas dadistacircncia temporal (defasagem) τ entre as observaccedilotildees

Daqui para frente os processos estacionaacuterios de segundaordem seratildeo chamados simplesmente de processos estacionaacuterios(estaacute impliacutecito que satildeo estacionaacuterios de segunda ordem) e aautocovariacircncia de um processo estacionaacuterio seraacute denotada por )(τ γ Note que a FAC )(τ ρ de um processo estacionaacuterio eacute dada por

(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==

Note ainda que a variacircncia de um processo estacionaacuterio eacute dadapor

(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var

Visualmente observa-se estacionariedade se uma seacuterie flutuaem torno de uma meacutedia fixa e se a variacircncia da seacuterie eacute constante aolongo do tempo Natildeo obstante satildeo necessaacuterios testes estatiacutesticospara verificar ou natildeo a estacionariedade da seacuterie





23 Propriedades da Funccedilatildeo de Autocovariacircncia

Seja )( T t t Y isin um processo estacionaacuterio de meacutedia zero efunccedilatildeo de autocovariacircncia ][)(

t t Y Y E τ τ γ minus= Entatildeo )(τ γ satisfaz as

seguintes propriedades(i) 0)0( gtγ (ii) )()( τ γ τ γ minus= (iii) )0(|)(| γ τ γ le

Tipicamente a funccedilatildeo de autocovariacircncia de um processoestacionaacuterio tende para a sua meacutedia

24 Ergodicidade

Com a propriedade de estacionariedade apenas natildeo eacute possiacutevelestimar o modelo de uma seacuterie temporal Essencialmente eacutenecessaacuterio que o processo estocaacutestico estacionaacuterio gerador dos dadossatisfaccedila a propriedade de ergodicidade

Um processo estacionaacuterio eacute ergoacutedico quando os seusmomentos amostrais (meacutedias temporais que satildeo calculadasutilizando-se apenas uma uacutenica realizaccedilatildeo) convergem paraos momentos da populaccedilatildeo Portanto eacute possiacutevel estimar os

momentos (meacutedias estatiacutesticas) de um processo ergoacutedico setemos acesso a pelo menos uma realizaccedilatildeo do processo Aergodicidade eacute uma propriedade mais restritiva do que aestacionariedade ou seja todo processo ergoacutedico eacuteestacionaacuterio mas a reciacuteproca natildeo eacute verdadeira

Suponha uma particular realizaccedilatildeo s de um processoestocaacutestico justamente a uacutenica seacuterie que se observa A meacutediatemporal dessa seacuterie eacute dada por

sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1

Se )(s y convergir para existe ergodicidade Ou seja se ameacutedia temporal convergir para a meacutedia do processo )(t Y haacuteergodicidade Tendo isso a seacuterie temporal pode ser estimadanormalmente mesmo com uma realizaccedilatildeo apenas do processo

3 Processos Lineares Estacionaacuterios

Esta seccedilatildeo apresenta alguns tipos de processos estacionaacuteriosque satildeo bastante utilizados em Econometria Daremos ecircnfase aos





processos auto-regressivos (AR) de meacutedias moacuteveis (MA) ecombinaccedilatildeo destes denominados processos ARMA

31 Ruiacutedo Branco

Um processo fundamental para a anaacutelise das seacuteries temporaisde tempo discreto eacute o chamado ruiacutedo branco Uma sequumlecircncia

210 plusmnplusmn=t t

ε eacute um ruiacutedo branco se cada valor nela tivermeacutedia zero variacircncia constante e natildeo for correlacionado comqualquer realizaccedilatildeo da proacutepria seacuterie13 ou seja se as seguintesrelaccedilotildees satildeo vaacutelidas

(i) 0][ =t E ε t forall

(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall

(iii) 0][ =minusτ ε ε t t E para 0neτ

Um processot

ε do tipo ruiacutedo branco eacute denotado por

t ε ~ )0( 2σ RB Um ruiacutedo branco gaussiano ou normal eacute denotado

port

ε ~ )0( 2σ N

Diz-se que um processo que obedeccedila agraves condiccedilotildees (i) (ii) e (iii)acima eacute um ruiacutedo branco porque o seu espectro de frequumlecircncias eacutesimilar ao da luz branca que possui ldquotodasrdquo as frequumlecircncias14 Por

uacuteltimo observe que um ruiacutedo branco eacute um processoestacionaacuterio

32 Processos Auto-Regressivos

321 Modelos AR simples

3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo

(20) 110 t t tYY ε φ φ ++= minus

em que 0φ e 1φ satildeo paracircmetros et

ε ~ )0( 2σ RB Repare que estemodelo pode ser interpretado como um modelo de regressatildeo

13 Definiu-se meacutedia zero por conveniecircncia mas eacute possiacutevel definir ruiacutedo branco com

meacutedia natildeo nula (o que natildeo eacute usual)14 A anaacutelise de processos aleatoacuterios no domiacutenio da frequumlecircncia (ou anaacutelise espectral)

natildeo faz parte do escopo deste curso Este tipo de anaacutelise eacute amplamente

empregado nas ciecircncias naturais e sociais Uma excelente referecircncia sobre oassunto eacute o livro Spectral Analysis for Physical Applications Multitaper andConventional Univariate Techniques de Percival e Walden Ed Cambridge 1993





linear simples set

Y eacute a variaacutevel dependente e 1minust Y eacute a variaacutevelexplanatoacuteria O modelo (20) conhecido como modelo AR(1)tambeacutem pode ser posto na forma

(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=

em que B eacute o operador atraso unitaacuterio15 (ou operadorretroativo) definido por

(22) 1minus=t t

Y BY

Tomando a esperanccedila de ambos os membros da equaccedilatildeo (20)obtemos

][][ 110 minus+=t t Y E Y E φ φ

pois 0][ =t

E ε Sob a condiccedilatildeo de estacionariedade do modelo (20)

micro == minus ][][ 1t tY E Y E e portanto

micro φ φ micro 10+= ou

(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E

Este resultado tem duas implicaccedilotildees para Y t Em primeirolugar a meacutedia de

t Y existe se 11 neφ Em segundo lugar a meacutedia de

t Y

eacute zero se e somente se 00 =φ Portanto para um processo AR(1)

estacionaacuterio o termo constante 0φ estaacute relacionado agrave meacutedia de

t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]

Fazendo micro φ φ )1( 10 minus= o modelo AR(1) pode ser reescrito como

(24) t t t YY ε micro φ micro +minus=minus minus )( 11

conhecida como a forma de meacutedia ajustada muito utilizada pelosanalistas de seacuteries temporais16 Fazendo a transformaccedilatildeo micro minus=

t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t

X X ε φ += minus11

15 O operador B defasa a seacuterie em uma unidade de tempo discreto16

Eacute bastante usual quando vamos analisar uma dada seacuterie na praacutetica o uso doprocedimento de demean (desconto da meacutedia) ou seja na praacutetica sempreanalisamos a forma de meacutedia ajustada da seacuterie





A Fig 12 mostra realizaccedilotildees de processos AR(1) com 801 =φ e801 minus=φ

Demonstra-se que a variacircncia do modelo AR(1) eacute dada por

(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ

A condiccedilatildeo 12

1ltφ resulta do fato de que a variacircncia de uma

variaacutevel aleatoacuteria eacute limitada17 e natildeo negativa Consequumlentementea estacionariedade de um modelo AR(1) implica

17 Na verdade uma variaacutevel aleatoacuteria pode ter variacircncia infinita se a suadistribuiccedilatildeo de probabilidade for de cauda pesada Um exemplo bem conhecido

Figura 12 Simulaccedilotildees de processos AR(1) com φ 1=08 e φ 1=-08







A forma de meacutedia ajustada (25) do modelo AR(1) pode serreescrita como

(32) )( t t X B ε φ =

em que B B 11)( φ φ minus= denominado operador auto-regressivo deordem 1 eacute um polinocircmio18 na variaacutevel complexa B A equaccedilatildeocaracteriacutestica do modelo AR(1) eacute definida como

(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ

e a raiz de (33) eacute1 1 φ = B Demonstra-se que a estacionariedade do

modelo AR(1) eacute satisfeita se o valor absoluto (ou moacutedulo) da

18 Note que 2222 21)1()( B B B B φ φ φ φ +minus=minus= e que 21

2 )())(( minusminus ===t t t t

Y Y BY B BY B

Figura 13 FAC de modelos AR(1) com φ 1=08 e φ 1=-08





raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica (33) eacute maior do que 1 11

1

gtφ

ou

11 ltφ [MOR08] [TSA05]

IMPORTANTE PARA A PROVA

O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(

em que micro minus=t t

X Y ( micro denota a meacutedia de Y t ) eacute ESTACIONAacuteRIOquando a raiz de 01)( 1 =minus= B B φ φ cai fora do ciacuterculo unitaacuterio19Isto implica 11 ltφ

3212 O Modelo AR(2)

Um modelo AR(2) assume a forma

(34) 22110 t t t tY Y Y ε φ φ φ +++= minusminus

Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E

desde que 121 ne+φ φ Usando micro φ φ φ )1( 210 minusminus= podemos reescrever o

modelo AR(2) como

(36)t t t t

Y Y Y ε micro φ micro φ micro +minus+minus=minus minusminus )()()( 2211

ou como

(37) t t t t X X X ε φ φ ++= minusminus 2211

se fizermos a transformaccedilatildeo micro minus=t t

Y X

A Fig 14 mostra uma realizaccedilatildeo de modelo AR(2) de meacutedianula e paracircmetros 501 =φ e 302 =φ

19 Lembre que B estaacute definida no plano complexo





Demonstra-se que a autocovariacircncia do modelo AR(2) eacute dadapor [TSA05]

(38) 2211 minusminus += τ τ τ γ φ γ φ γ para 0gtτ

Dividindo-se (38) por0

γ obtemos a expressatildeo da FAC doprocesso AR(2)

(39) 2211 minusminus += τ τ τ ρ φ ρ φ ρ para 0gtτ

Em particular temos que a FAC de lag-1 satisfaz

(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

As Eqs (38) e (39) afirmam que a autocovariacircncia e aautocorrelaccedilatildeo de um processo AR(2) seguem uma equaccedilatildeode diferenccedilas auto-regressiva de ordem 2

A equaccedilatildeo caracteriacutestica do modelo AR(2) eacute

Figura 14 seacuterie AR(2) com φ 1=05 e φ 2=03





(41) 01)( 21 =minusminus= B B B φ φ φ

O modelo AR(2) eacute ESTACIONAacuteRIO quando as raiacutezes de01 21 =minusminus B B φ φ estiverem fora do ciacuterculo unitaacuterio Neste caso

pode-se demonstra-se que1φ e

2φ devem satisfazer agraves

seguintes restriccedilotildees (IMPORTANTES PARA A PROVA)[MOR04]

(i) 121 lt+φ φ (ii) 112 ltminusφ φ (iii) 11 2 ltltminus φ

Se as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica forem reais entatildeoo graacutefico da FAC do processo AR(2) eacute uma soma de

exponenciais Caso as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica sejaum par de complexos conjugados (isto eacute pares de raiacutezes do tipo

iwk B +=1 e iwk B minus=2 em que k e w satildeo nuacutemeros reais e 1minus=i

denota o nuacutemero imaginaacuterio) a FAC eacute constituiacuteda de uma senoacuteideamortecida20 A Fig 15 ilustra as FACs teoacutericas de modelos AR(2)com φ 1=05 e φ 2=03 (parte superior) e φ 1=10 e φ 2=-089 (parteinferior)

20 Estes resultados natildeo seratildeo demonstrados neste curso Mas eacute bom sabecirc-los paraa prova





Exemplo 1 Seja o modelo AR(2) t t t t X X X ε ++= minusminus 21 3050 Este

modelo eacute estacionaacuterio porque os coeficientes 501 =φ e 302 =φ satisfazem as trecircs restriccedilotildees dadas acima

180305021 lt=+=+φ φ

120503012 ltminus=minus=minusφ φ

1301 2 lt=ltminus φ

Tambeacutem podemos verificar que o modelo eacute estacionaacuterio se

calcularmos as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica det t t t

X X X ε ++= minusminus 21 3050

t t t t X X X ε =minusminus minusminus 21 3050

t t X B B ε =minusminus )30501( 2

Logo a equaccedilatildeo caracteriacutestica eacute

030501 2 =minusminus B B ou

015030 2=+minusminus B B

Figura 15 FACs de modelos AR(2)





cujas raiacutezes satildeo 17411 asymp B ou 8422 minusasymp B que estatildeo fora do ciacuterculounitaacuterio (vide Fig 16 abaixo)

ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284

eixo imaginaacuterio

eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)

Um processo )( T t t Y isin eacute AR de ordem p denotado porY t ~AR( p) se satisfaz agrave equaccedilatildeo de diferenccedilas

(42) 22110 t pt pt t t Y Y Y Y ε φ φ φ φ +++++= minusminusminus

em que p eacute um inteiro natildeo negativo pφ φ φ 10 satildeo paracircmetros reais et

ε ~RB(0σ 2)

Os resultados do AR(1) e do AR(2) podem ser generalizadospara o modelo AR( p) A meacutedia do modelo estacionaacuterio eacute

(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0

desde que 01 1neminusminusminus

pφ φ O modelo (42) pode ser colocado na formade meacutedia ajustada

Figura 16 Raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica do Exemplo 1





(44) t pt pt t t X X X X ε φ φ φ ++++= minusminusminus 2211


Y X

A equaccedilatildeo caracteriacutestica associada ao modelo eacute

(45) 01)( 1 =minusminusminus= B B B pφ φ φ

em que )( Bφ eacute chamado de operador auto-regressivo de ordem p

Se os moacutedulos de todas as raiacutezes de (45) forem maioresdo que 1 (raiacutezes FORA do ciacuterculo unitaacuterio) entatildeo a seacuterie

Y t ~AR( p) eacute estacionaacuteria

A FAC do modelo AR( p) eacute dada por

(46) p p minusminusminus +++= τ τ τ τ ρ φ ρ φ ρ φ ρ 2211 para 0gtτ

O graacutefico da FAC de um processo AR( p) eacute em geralconstituiacutedo de uma mistura de exponenciais (devidas agraves raiacutezesreais da equaccedilatildeo caracteriacutestica) e senoacuteides amortecidas(devidas aos pares de raiacutezes complexas conjugadas da

equaccedilatildeo caracteriacutestica)

323 Identificaccedilatildeo de Modelos AR( p)

Na praacutetica a ordem de uma seacuterie AR eacute desconhecida e deve serespecificada de forma empiacuterica Haacute duas abordagens para sedeterminar o valor de p i) uso da Funccedilatildeo de AutocorrelaccedilatildeoParcial (FACP) e ii) uso de algum criteacuterio de seleccedilatildeo(identificaccedilatildeo) de modelo Este uacuteltimo criteacuterio seraacute apresentado naseccedilatildeo sobre o modelo ARMA(pq)

3231 FACP de Modelos AR( p)

Sejami

φ o i-eacutesimo coeficiente de um processo AR(m) de modo

que o uacuteltimo coeficiente sejamm

φ Para este processo a FAC segue(46) Fazendo-se τ = 1 m em (46) e levando-se em conta que

τ τ ρ ρ minus= (simetria par da FAC) obtecircm-se as Equaccedilotildees de Yule-Walker





(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211

que podem ser reescritas na forma matricial

(48)

=

minusminus

minus

minus

mmm

m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

1

21

21

11

Resolvendo-se as Equaccedilotildees de Yule-Walker sucessivamente

para m = 1 2 obteacutem-se

111 ρ φ =

11

1

21

1

22

1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =

e assim sucessivamente para os demaisiiφ pi lele4 A sequumlecircncia

21 =mmmφ eacute a FACP Demonstra-se que um modelo AR( p)tem 0nemm

φ para pm le e 0=mm

φ para pm gt [TSA05]

33 Processos de Meacutedias Moacuteveis

Considere o processo estocaacutestico

(49) 11 minusminus+=t t t

Y ε θ ε micro

em quet

ε ~RB(0σ 2) e eacute uma constante





Uma vez quet

Y depende do erro atualt ε e do erro no instante

de tempo discreto imediatamente anterior1minust ε entatildeo o processo (49)

eacute denominado meacutedias moacuteveis de ordem 1 sendo denotado porMA(1) (MA eacute a abreviatura de Moving Average) Se o processo

tambeacutem dependesse de 2minust ε seria chamado de MA(2) e assim pordiante

Eacute faacutecil demonstrar que a meacutedia do modelo MA(1) de (49) eacutedada por

(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var

Diz-se que )( T t t Y isin eacute um processo de meacutedias moacuteveis deordem q denotado por MA(q) se satisfizer agrave equaccedilatildeo de diferenccedilas

(52) qt qt t t Y minusminus minusminusminus+= ε θ ε θ ε micro 11

em que qθ θ micro 1 satildeo constantes reais et

ε ~RB(0σ 2)

Um processo )(t Y MA(q) sempre eacute estacionaacuterio21

com meacutedia e como as inovaccedilotildees (eacute o nome teacutecnico dos termos qt t t minusminus ε ε ε 1 )

do modelo satildeo natildeo correlacionadas pode-se obter facilmente avariacircncia do processo

(53) )1(][ 22

1

2

qt Y Var θ θ σ +++=

Suponha 0= A FAC do processo MA(q) eacute

(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq

Observe que a FAC de um processo MA(q) anula-se paraqgt||τ ou seja para defasagens maiores do que a ordem q do

modelo Este resultado eacute muito importante pois trata-se de

um criteacuterio de identificaccedilatildeo de seacuteries MA(q) 21 Isto acontece porque o modelo natildeo eacute recursivo





Define-se o operador de meacutedias moacuteveis de ordem q por

(55) B B B pθ θ θ minusminusminus= 1)( 1

Desta forma o processo MA(q) pode ser reescrito na formacompacta (estamos supondo que a meacutedia seja nula)

(56)t tY B ε θ )(=

34 Processos Auto-Regressivos e de Meacutedia Moacuteveis

Um processo auto-regressivo e de meacutedias moacuteveis de ordem( pq) denotado por ARMA( pq) eacute definido por

(57) qt qt t pt pt t Y Y Y minusminusminusminus minusminusminus+minus++minus=minus ε θ ε θ ε micro φ micro φ micro )()( 1111

em quet ε ~RB(0σ

2) Segue-se que a meacutedia do processo eacute micro Usandoos operadores auto-regressivo e de meacutedias moacuteveis definidosanteriormente podemos escrever (57) na forma compacta

(58)t t

X B B ε θ φ )()( =

em que micro minus=t t Y X

Um modelo muito usado na praacutetica eacute o ARMA(11) ou seja

(59) 11 minusminus minus+=t t t t

X X θε ε φ

Para um processo ARMA( pq) a condiccedilatildeo deestacionariedade eacute a mesma que para processos AR( p) ouseja as raiacutezes de φ φφ φ (B)=0 devem estar fora do ciacuterculo unitaacuterio

Demonstra-se que as autocorrelaccedilotildees de lags 1 2 q satildeoafetadas diretamente pelos paracircmetros de meacutedias moacuteveis enquantoque para τ gt q as mesmas comportam-se como nos modelos AR

341 Identificaccedilatildeo do Modelo

A ideacuteia baacutesica de um criteacuterio de seleccedilatildeo (ou criteacuterio deinformaccedilatildeo) de modelo ARMA eacute escolher as ordens k e l queminimizam a quantidade

(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ

lk σ eacute uma estimativa da variacircncia residual obtida ajustando-

se um modelo ARMA(k l ) agraves N observaccedilotildees da seacuterie e C (N ) eacute uma

funccedilatildeo do tamanho da seacuterie A quantidade N

N C lk

)()( + eacute denominada

termo penalizador e aumenta quando o nuacutemero de paracircmetrosaumenta enquanto que 2

ˆ

lk σ diminui

Akaike [MOR08] propocircs o criteacuterio de informaccedilatildeo

(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ

conhecido como AIC Deve-se especificar valores limites superiores K

e L para k e l e calcular (61) para todas as combinaccedilotildees possiacuteveis(k l ) com K k lele0 e Ll lele0 Em geral K e L satildeo funccedilotildees de N porexemplo K = L = ln L

Para o caso de modelos AR( p) o criteacuterio AIC reduz-se a

(62) N

k k AIC k

2ˆln)( 2 += σ K k le

Outro criteacuterio sistemaacutetico bastante utilizado eacute o Bayesian

Information Criteria (BIC)

(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ

Para o caso de modelos AR( p) o BIC reduz-se a

(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ

4 Processos Lineares Natildeo Estacionaacuterios

41 Modelo ARIMA

Seja o operador diferenccedila denotado por ∆ definido por

(65)t t t t

Y BY Y Y )1(1 minus=minus=∆ minus

e o operador soma denotado por S dado por





(66) =+++== minusminus

infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY

t t t Y Y BY B B112 )1()1( minusminus ∆=minus=+++

Se o processo X t que corresponde agrave diferenccedila de ordem d = 1 2 de Y t

(67)t

d

t

d

tY Y B X ∆=minus= )1(

eacute estacionaacuterio entatildeo pode-se representar X t por meio de ummodelo ARMA( pq)

(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆

eacute um modelo ARIMA( pd q) e diz-se que Y t eacute uma ldquointegralrdquo de X t pois

(70)t

d

t X S Y =

e eacute daiacute que surge o termo ldquointegradordquo do acrocircnimo ARIMA indicandoque (69) eacute um modelo integrado de ordem d denotado por Y t ~I (d )

Um processo ARIMA( pd q) possui d raiacutezes sobreo ciacuterculo unitaacuterio Este tipo de processo eacute dito natildeoestacionaacuterio homogecircneo (no sentido de ser natildeo explosivo) ouportador de raiacutezes unitaacuterias Observe-se que

(i) d = 1 corresponde ao caso de seacuteries natildeo estacionaacuteriashomogecircneas quanto ao niacutevel (oscilam ao redor de umniacutevel meacutedio durante algum tempo e depois saltam paraoutro niacutevel temporaacuterio)

(ii) d = 2 corresponde ao caso de seacuteries natildeo estacionaacuteriashomogecircneas quanto agrave inclinaccedilatildeo (oscilam numadireccedilatildeo por algum tempo e depois mudam para outradireccedilatildeo temporaacuteria)





Bibliografia

[BUE08] BUENO Rodrigo de Losso da Silveira Econometria de SeacuteriesTemporais Satildeo Paulo Cengage Learning 2008

[MOR04] MORETTIN Pedro A TOLOI Cleacutelia M C Anaacutelise de SeacuteriesTemporais Satildeo Paulo Editora Edgard Bluumlcher 2004

[MOR08] MORETTIN Pedro A Econometria Financeira ndash Um Cursoem Seacuteries Temporais Financeiras Satildeo Paulo Editora Bluumlcher 2008

[SHU06] SHUMWAY Robert H STOFFER David S Time Series Analysis and Its Applications with R Examples Springer 2006

[TSA05] TSAY Ruey S Analysis of Financial Time Series 2nd ed

Wiley-Interscience 2005





5 Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo

1 (Analista do BACEN - Aacuterea 32006FCC) Seja um modeloauto-regressivo de ordem 1 ou AR(1) em que )(t ε caracteriza oprocesso conhecido como ruiacutedo branco

1 t t t y y ε θ += minus com 0gtθ

Sabendo que1

21

minus

minus=

k

k θ sendo k um nuacutemero real e tambeacutem que a

seacuteriet y eacute estacionaacuteria tem-se que

A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

2 (Analista do BACEN2002ESAF) Considere a seacuterie temporalcom periodicidade determiniacutestica

)2sin()2cos( 21 t t xt

ε ε += com 210 plusmnplusmnisint

onde ε 1 e ε 2 satildeo realizaccedilotildees independentes da distribuiccedilatildeo normalpadratildeo Assinale a opccedilatildeo correta

A) A seacuterie temporal x t eacute estacionaacuteria e tem funccedilatildeo de autocovariacircncia)cos()( hh =γ

B) A seacuterie temporal x t eacute estacionaacuteria e tem funccedilatildeo de autocovariacircncia)()( hsenh =γ

C) A seacuterie temporal x t eacute estacionaacuteria e tem funccedilatildeo de autocovariacircncia)2cos()( hh =γ

D) A seacuterie temporal x t natildeo eacute estacionaacuteria

E) A seacuterie temporal x t eacute estacionaacuteria e tem funccedilatildeo de autocovariacircncia

)2sin()( hh =γ





3 (Analista do BACEN2001ESAF) A evoluccedilatildeo de uma seacuteriemensal de receitas apoacutes a remoccedilatildeo da tendecircncia e efeitos sazonaisdefine um processo fracamente estacionaacuterio que obedece agrave lei deformaccedilatildeo de um processo auto-regressivo de meacutedias moacuteveisARMA(pq) O natural p eacute a ordem da parte auto-regressiva e o

natural q a ordem do processo de meacutedias moacuteveis Sabe-se que afunccedilatildeo de autocorrelaccedilatildeo da seacuterie tem queda exponencial e que afunccedilatildeo de autocorrelaccedilatildeo parcial natildeo se anula na defasagem (ldquolagrdquo)de ordem 2 mas se anula a partir da defasagem (ldquolagrdquo) de ordem 3inclusive

Assinale a opccedilatildeo que daacute os valores de p e q

A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

4 Seja a seacuteriet t t

y y ε += minus1 conhecida como ldquopasseio aleatoacuteriordquo emque

t ε denota um ruiacutedo branco normal de meacutedia nula e variacircncia

unitaacuteria Assinale a opccedilatildeo correta acerca deste processo

A) Eacute do tipo MA(1)B) Eacute estacionaacuterio

C) Possui uma raiz unitaacuteria

D) Possui duas raiacutezes unitaacuterias

E) Eacute um processo ARMA(11)

5 Uma seacuterie financeira segue o modelot t t t y y y ε ++= minusminus 21 890 em que

t ε ~RB(0σ

2) Assinale a alternativa com uma afirmativa falsa sobre

este processo

A) Natildeo eacute um modelo auto-regressivo e de meacutedias moacuteveis

B) Natildeo eacute um modelo de meacutedias moacuteveis

C) Eacute auto-regressivo de ordem 2

D) O processo eacute natildeo estacionaacuterio

E) O processo eacute estacionaacuterio

6 Julgue as assertivas a seguir





I) A grosso modo diz-se que um processo estocaacutestico eacuteestacionaacuterio se suas meacutedia e variacircncia forem constantes aolongo do tempo e o valor da covariacircncia entre dois periacuteodosde tempo natildeo depender da defasagem entre os doisperiacuteodos mas dos tempos efetivos em que a covariacircncia eacute

calculadaII) Tipicamente a FAC de um processo AR( p) declina

exponencialmente ou com um padratildeo de onda senoidalamortecida ou ambos

III) O passeio aleatoacuterio eacute um processo natildeo estacionaacuterio

A) (I) eacute verdadeira (II) e (III) satildeo falsas

B) (I) eacute falsa (II) e (III) satildeo verdadeiras

C) Todas satildeo falsas D) Todas satildeo verdadeiras

E) Apenas (II) eacute verdadeira


I) As observaccedilotildees de um ruiacutedo branco satildeo correlacionadas

II) a seacuteriet t

y t ε δ micro ++= em que e δ satildeo constantes t denota otempo e

t ε eacute um ruiacutedo branco eacute natildeo estacionaacuteria com

tendecircncia aleatoacuteriaIII) Um processo aleatoacuterio corresponde a uma realizaccedilatildeo de uma

seacuterie temporal

A) Todas satildeo falsas


C) (I) eacute verdadeira (II) e (III) satildeo falsas

D) Todas satildeo verdadeiras






8 (Analista do BACEN ndash Aacuterea 1 ndash Contaacutebil-Financeira1997CESPEAdaptada) Com o auxiacutelio dos graacuteficos julgue os itens abaixo a respeito de correlaccedilatildeo e de seacuteries temporais

y

x

y

x

Graacutefico I diagrama de dispersatildeo Graacutefico II diagrama de dispersatildeo

Graacutefico III graacutefico de resiacuteduos

1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)

R e s iacute d u o s

1) No Graacutefico I o coeficiente de correlaccedilatildeo linear de Pearson eacuteaproximadamente igual a 1

2) No graacutefico II existe forte correlaccedilatildeo entre as variaacuteveis

representadas3) O graacutefico III indica que a componente tendecircncia natildeo foieliminada no modelo de seacuterie temporal ajustado

4) Seacuteries com meacutedia e variacircncia constantes ao longo do tempo satildeodenominadas estacionaacuterias

5) Seacuteries temporais de observaccedilotildees com periacuteodo anual devem serajustadas considerando-se quatro componentes principaistendecircncia (T) sazonal (S) ciacuteclica (C) e irregular (I) - sendo oseu modelo multiplicativo claacutessico expresso pela equaccedilatildeo Yi = Ti

x Si x Ci x Ii em que Yi eacute a observaccedilatildeo no ano i





Julgue os itens a seguir

9 Um processo ergoacutedico natildeo eacute estacionaacuterio

10 Um processo de meacutedias moacuteveis de ordem q denotado por MA(q)

nem sempre eacute estacionaacuterio





6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E





7 Resoluccedilatildeo dos Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo



Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo

Seja o processo AR(1) de meacutedia nula (micro = 0)

t t t y y ε φ += minus11

Aprendemos que o modelo AR(1) acima eacute estacionaacuterio se esomente se a raiz de 01)( 1 =minus= B B φ φ cai fora do ciacuterculo

unitaacuterio22 Isto implica 11 ltφ rArrrArrrArrrArr 11 1 ltltminus φ

No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ






Logo temos que resolver as inequaccedilotildees (I) 11

21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k

(impostas pela estacionariedade do modelo) e (III) 01

21gt

minus

minus

k

k

(porque o enunciado especificou 0gtθ )

RESOLUCcedilAtildeO DA INEQUACcedilAtildeO (I)

11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k

k Vamos chamar a funccedilatildeo do

numerador de 23)( +minus= k k y e a do denominador de 1)( minus= k k g

Agora temos que determinar as raiacutezes de y (k ) e g(k ) e as posiccedilotildeesdas respectivas retas (declividadegt0 rArr crescente e declividadelt0 rArr

decrescente)23)( +minus= k k y

023 =+minus k rArr 3

2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1

+ minusminusminusminus

+

+

minusminusminusminus

minusminusminusminus minusminusminusminus


y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk

RESOLUCcedilAtildeO DA INEQUACcedilAtildeO (II)

11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k

rArr k k y minus=)( e 1)( minus= k k g

-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k

RESOLUCcedilAtildeO DA INEQUACcedilAtildeO (III)

01

21gt

minus

minus

k

krArr k k y 21)( minus= e 1)( minus= k k g

k k y 21)( minus=

021 =minus k rArr 2 1=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k

Como (I) (II) e (III) devem ser satisfeitas simultaneamente temosque k deve satisfazer

3 2ltk ou 1gtk capcapcapcap 10 ltlt k capcapcapcap 12 1 ltlt k

cuja representaccedilatildeo graacutefica eacute

123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E













E) A seacuterie temporal x t eacute estacionaacuteria e tem funccedilatildeo de autocovariacircncia)2sin()( hh =γ

Resoluccedilatildeo

Uma anaacutelise raacutepida das alternativas sugere que o aluno deve calcular

a meacutedia e a autocovariacircncia da seacuterie temporal dada Repare que oexaminador chama o processo )2sin()2cos( 21 t t xt ε ε += de seacuterietemporal o que eacute comum na literatura conforme alertamos na aula

Caacutelculo da meacutedia

)]2sin()2cos([][ 21 t t E x Et

ε ε += )]2sin([)]2cos([][ 21 t E t E x E t ε ε += ][)2sin(][)2cos(][ 21 ε ε E t E t x E

t+= (porque cos(2t) e sin(2t) satildeo funccedilotildees

determiniacutesticas)

0)2sin(0)2cos(][ times+times= t t x E t(porque a normal padratildeo tem meacutedia nula)

0][ == micro t x E rArr logo haacute estacionariedade de primeira ordem pois a

meacutedia eacute constante e este fato elimina a alternativa D

Caacutelculo da autocovariacircncia

Aprendemos que

)])([(][ht ht t t ht t

x x E x xCov minusminusminus minusminus= micro micro

Como 0=t micro para qualquer t segue-se que

))](2sin())(2cos([)]2sin()2cos([][][ 2121 ht ht t t E x x E x xCovht t ht t

minus+minustimes+== minusminus ε ε ε ε

)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2

11ht t E ht t E x xCov ht t minus+minus=minus ε ε ε

)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2

2 21ht t E ht t E minus+minus+ ε ε ε

][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22

11ε ε ε E ht t E ht t x xCov ht t minus+minus=minus





][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2

2 21ε ε ε E ht t E ht t minus+minus+

Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21

=ε ε E (ε 1 e ε 2 satildeo natildeo correlacionados)

haja vista que ε 1 e ε 2 satildeo realizaccedilotildees independentes da distribuiccedilatildeo

normal padratildeo Neste caso

)22sin()2sin()22cos()2cos(][ ht t ht t x xCovht t

minus+minus=minus

Para prosseguir com a soluccedilatildeo precisamos aplicar as seguintesidentidades trigonomeacutetricas

[ ])]cos()cos(2

1sinsin y x y x y x +minusminus= e [ ])]cos()cos(

2

1coscos y x y x y x ++minus=

[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2

1][ ht t ht t ht t ht t x xCov

ht tminus+minus+minus+minus+++minus=minus

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus

)()2cos(][ hh x xCov ht t γ ==minus rArr estacionariedade de segunda ordem23

GABARITO C

3 (Analista do BACEN2001ESAF) A evoluccedilatildeo de uma seacuterie

mensal de receitas apoacutes a remoccedilatildeo da tendecircncia e efeitos sazonaisdefine um processo fracamente estacionaacuterio que obedece agrave lei deformaccedilatildeo de um processo auto-regressivo de meacutedias moacuteveisARMA(pq) O natural p eacute a ordem da parte auto-regressiva e onatural q a ordem do processo de meacutedias moacuteveis Sabe-se que afunccedilatildeo de autocorrelaccedilatildeo da seacuterie tem queda exponencial e que afunccedilatildeo de autocorrelaccedilatildeo parcial natildeo se anula na defasagem (ldquolagrdquo)de ordem 2 mas se anula a partir da defasagem (ldquolagrdquo) de ordem 3inclusive


A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1

23 Essa questatildeo possui um elevado grau de dificuldade pois envolve foacutermulastrigonomeacutetricas natildeo elementares Esta questatildeo eacute ldquoum ponto fora da curvardquo Tenhaem mente a seguinte maacutexima do concurseiro ldquoo oacutetimo eacute inimigo dobomrdquo Portanto para passar num concurso puacuteblico vocecirc precisa maximizar a

pontuaccedilatildeo TOTAL natildeo necessariamente ldquogabaritarrdquo todas as provas Se vocecircconstatar que uma determinada questatildeo eacute difiacutecil tente resolvecirc-la somente nofinal da prova se sobrar algum tempo





D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo

Como a autocorrelaccedilatildeo tem queda exponencial trata-se um modeloAR( p) Este fato por si soacute jaacute elimina as alternativas B C e D em queaparecem meacutedias moacuteveis

Um modelo AR( p) tem FACP 0nemm


φ para pm gt

Logo trata-se de um modelo AR com p =2 paracircmetros

GABARITO E

4 Seja a seacuterie t t t y y ε += minus1 conhecida como ldquopasseio aleatoacuteriordquo emque

t ε denota um ruiacutedo branco normal de meacutedia nula e variacircnciaunitaacuteria Assinale a opccedilatildeo correta acerca deste processo

A) Eacute do tipo MA(1)

B) Eacute estacionaacuterio




Resoluccedilatildeo

A equaccedilatildeo caracteriacutestica do passeio aleatoacuterio eacute

1 ndash B = 0 rArr B =1 (uma raiz unitaacuteria) O passeio aleatoacuterio de umprocesso I (1) (integrado de ordem 1) Logo natildeo eacute estacionaacuterio Aleacutemdisso observe-se que o passeio aleatoacuterio eacute AR

GABARITO C5 Uma seacuterie financeira segue o modelo

t t t t y y y ε ++= minusminus 21 890 em que

t ε ~RB(0σ 2) Assinale a alternativa com uma afirmativa falsa sobre

este processo




D) O processo eacute natildeo estacionaacuterioE) O processo eacute estacionaacuterio





Resoluccedilatildeo

O processo eacute AR(2) com paracircmetros φ 1=10 e φ 1=089 Esteprocesso natildeo eacute estacionaacuterio porque φ 1 + φ 1=189gt1

Podemos chgar agrave mesma conclusatildeo (natildeo estacionariedade) secalcularmos as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica do modelo

1- x -089 x 2=0

As raiacutezes satildeo x 1=06379 e x 2=-17615 rArr | x 2|=17615gt1 (esta raizestaacute fora do ciacuterculo unitaacuterio)

GABARITO D


IV) A grosso modo diz-se que um processo estocaacutestico eacuteestacionaacuterio se suas meacutedia e variacircncia forem constantes aolongo do tempo e o valor da covariacircncia entre dois periacuteodosde tempo natildeo depender da defasagem entre os dois periacuteodosmas dos tempos efetivos em que a covariacircncia eacute calculada

V) Tipicamente a FAC de um processo AR( p) declina exponencial-mente ou com um padratildeo de onda senoidal amortecida ouambos

VI) O passeio aleatoacuterio eacute um processo natildeo estacionaacuterio



C) Todas satildeo falsas



Resoluccedilatildeo

A alternativa (I) eacute falsa porque o valor da covariacircncia entre doisperiacuteodos de tempo depende apenas da defasagem entre os doisperiacuteodos

A alternativa (II) eacute verdadeira conforme o exposto na aula teoacuterica

A uacuteltima assertiva eacute verdadeira pois o processo aleatoacuterio eacute integrado

de ordem 1





GABARITO B


IV) As observaccedilotildees de um ruiacutedo branco satildeo correlacionadasV) a seacuterie

t t y t ε δ micro ++= em que e δ satildeo constantes t denota o

tempo et

ε eacute um ruiacutedo branco eacute natildeo estacionaacuteria com

tendecircncia aleatoacuteria

VI) Um processo aleatoacuterio corresponde a uma realizaccedilatildeo de umaseacuterie temporal


B) (I) eacute falsa (II) e (III) satildeo verdadeirasC) (I) eacute verdadeira (II) e (III) satildeo falsas



Resoluccedilatildeo

A alternativa (I) eacute falsa porque 0][ =minusτ ε ε t t E para 0neτ Uma sequumlecircncia210 plusmnplusmn=t

t ε eacute um ruiacutedo branco se cada valor nela tiver meacutedia

zero variacircncia constante e natildeo for correlacionado com qualquerrealizaccedilatildeo da proacutepria seacuterie

A alternativa (II) eacute falsa porque eacute natildeo estacionaacuteria com tendecircn-cia determiniacutestica

A assertiva (III) eacute falsa tendo em vista que os dados de qualquerseacuterie temporal podem ser pensados como sendo gerados porum processo aleatoacuterio ou estocaacutestico

GABARITO A

8 (Analista do BACEN ndash Aacuterea 1 ndash Contaacutebil-Financeira1997CESPEAdaptada) Com o auxiacutelio dos graacuteficos

julgue os itens abaixo a respeito de correlaccedilatildeo e de seacuteries temporais





y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)



7) No graacutefico II existe forte correlaccedilatildeo entre as variaacuteveisrepresentadas

8) O graacutefico III indica que a componente tendecircncia natildeo foieliminada no modelo de seacuterie temporal ajustado


10) Seacuteries temporais de observaccedilotildees com periacuteodo anual

devem ser ajustadas considerando-se quatro componentesprincipais tendecircncia (T) sazonal (S) ciacuteclica (C) e irregular (I) - sendo o seu modelo multiplicativo claacutessico expresso pelaequaccedilatildeo Yi = Ti x Si x Ci x Ii em que Yi eacute a observaccedilatildeo no ano i

Resoluccedilatildeo

No item 1) o graacutefico mostra que natildeo haacute dependecircncia linear entrey e x pois os pontos natildeo se aproximam de uma reta De fato adependecircncia funcional entre y e x eacute praticamente inexistente pois y

tende a flutuar em torno de um valor meacutedio constante Logo aafirmaccedilatildeo estaacute ERRADA





GABAR TO ERRADO

No item 2) o graacutefico mostra que haacute uma dependecircncia funcional natildeolinear entre y e x logo existe uma forte correlaccedilatildeo de natureza natildeolinear entre as variaacuteveis Lembre-se de que eacute possiacutevel definir outrostipos de correlaccedilatildeo aleacutem da linear Portanto a afirmaccedilatildeo estaacute

CERTA

No item 3) o graacutefico dos resiacuteduos do modelo estimado mostra queainda haacute uma tendecircncia natildeo linear que natildeo foi eliminada pelo modeloestimado da seacuterie temporal A afirmaccedilatildeo estaacute CERTAApresentaremos o toacutepico ldquoestimaccedilatildeo do modelordquo na proacutexima aula

Um processo estacionaacuterio (de segunda ordem) tem meacutedia evariacircncias constantes e uma funccedilatildeo de autocovariacircncia quenatildeo depende do tempo mas apenas da distacircncia temporal

(defasagem) τ entre as observaccedilotildees Logo o item 4) estaacute CERTO (apesar de incompleto se considerarmos a definiccedilatildeo de processoestacionaacuterio)

De modo geral uma seacuterie econocircmica pode apresentar quatro partesdistintas

yt = tendecircncia + sazonalidade + componenteestacionaacuterio + ruiacutedo

Observe que o item 5) menciona que o modelo geneacuterico seriamultiplicativo o que estaacute incorreto pois eacute aditivo conforme aequaccedilatildeo dada acima O item 5) estaacute ERRADO

GABARITO E C C C E



ResoluccedilatildeoUm processo estacionaacuterio eacute ergoacutedico quando os seus momentosamostrais (meacutedias temporais que satildeo calculadas utilizando-se apenasuma uacutenica realizaccedilatildeo) convergem para os momentos da populaccedilatildeoPortanto eacute possiacutevel estimar os momentos (meacutedias estatiacutesticas) deum processo ergoacutedico se temos acesso a pelo menos uma realizaccedilatildeodo processo A ergodicidade eacute uma propriedade mais restritiva do quea estacionariedade ou seja todo processo ergoacutedico eacuteestacionaacuterio mas a reciacuteproca natildeo eacute verdadeira

GABARITO ERRADO




10 Um processo de meacutedias moacuteveis de ordem q denotado por MA(q)nem sempre eacute estacionaacuterio

Resoluccedilatildeo

Um processo MA(q) sempre eacute estacionaacuterio pois natildeo envolverecursotildees como a classe mais geral dos processos ARMA( pq)

GABARITO ERRADO



Paacutegina 2 de 54


983107983151983150983156983141983290983140983151

1 Introduccedilatildeo3

2

Processos Estocaacutesticos12

21

Especificaccedilatildeo de um Processo Estocaacutestico 15

22 Estacionariedade 17

221 Estacionariedade de Segunda Ordem 18

23 Propriedades da Funccedilatildeo de Autocovariacircncia 19

24 Ergodicidade 19

3

Processos Lineares Estacionaacuterios 19

31 Ruiacutedo Branco 20

32 Processos Auto-Regressivos20

321 Modelos AR simples 20

322 Modelos AR( p) 29

323 Identificaccedilatildeo de Modelos AR( p) 30

33 Processos de Meacutedias Moacuteveis31

34 Processos Auto-Regressivos e de Meacutedia Moacuteveis33

341 Identificaccedilatildeo do Modelo 33

4

Processos Lineares Natildeo Estacionaacuterios 34

41 Modelo ARIMA 34

5 Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo37

6 GABARITO 42

7 Resoluccedilatildeo dos Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo 43



Paacutegina 3 de 54










Paacutegina 4 de 54



(1) micro =t y



(ou pontos)




Paacutegina 5 de 54



t ε idecircntica e


(2)t t

y ε micro +=


(3) 150 minus+=t t

y y micro


t ε como o de (2)








Paacutegina 6 de 54



(4)t t

y t ε δ micro ++=


2 1

2

1minus+=

t t y y micro rArr

42

2minus++= t t

y y

micro micro rArr

rArr 38

1

42 minus+++=

t t y y


termos temos que


1

=+=

+= sum

infin

=i

i

t y


determiniacutestica



Paacutegina 7 de 54





A seacuterie





t ε




Paacutegina 8 de 54











por11

1

minusminus

minus ∆=

minus=

t

t

t

t t t

P

P

P

PP R Note que 1

1

minus=minust

t t

P

P R Chamamos

t R+1 de retorno



1

1

)1log(log minus

minus

minus=+== t t t

t

t t p p R

P





Paacutegina 9 de 54














































t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

mmm

m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

1

21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

1

22

1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO



Paacutegina 3 de 54










Paacutegina 4 de 54



(1) micro =t y



(ou pontos)




Paacutegina 5 de 54



t ε idecircntica e


(2)t t

y ε micro +=


(3) 150 minus+=t t

y y micro


t ε como o de (2)








Paacutegina 6 de 54



(4)t t

y t ε δ micro ++=


2 1

2

1minus+=

t t y y micro rArr

42

2minus++= t t

y y

micro micro rArr

rArr 38

1

42 minus+++=

t t y y


termos temos que


1

=+=

+= sum

infin

=i

i

t y


determiniacutestica



Paacutegina 7 de 54





A seacuterie





t ε




Paacutegina 8 de 54











por11

1

minusminus

minus ∆=

minus=

t

t

t

t t t

P

P

P

PP R Note que 1

1

minus=minust

t t

P

P R Chamamos

t R+1 de retorno



1

1

)1log(log minus

minus

minus=+== t t t

t

t t p p R

P





Paacutegina 9 de 54














































t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

mmm

m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

1

21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

1

22

1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO



Paacutegina 4 de 54



(1) micro =t y



(ou pontos)




Paacutegina 5 de 54



t ε idecircntica e


(2)t t

y ε micro +=


(3) 150 minus+=t t

y y micro


t ε como o de (2)








Paacutegina 6 de 54



(4)t t

y t ε δ micro ++=


2 1

2

1minus+=

t t y y micro rArr

42

2minus++= t t

y y

micro micro rArr

rArr 38

1

42 minus+++=

t t y y


termos temos que


1

=+=

+= sum

infin

=i

i

t y


determiniacutestica



Paacutegina 7 de 54





A seacuterie





t ε




Paacutegina 8 de 54











por11

1

minusminus

minus ∆=

minus=

t

t

t

t t t

P

P

P

PP R Note que 1

1

minus=minust

t t

P

P R Chamamos

t R+1 de retorno



1

1

)1log(log minus

minus

minus=+== t t t

t

t t p p R

P





Paacutegina 9 de 54














































t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

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+++=

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mmmmmmm

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ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

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(48)

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m

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ρ

ρ

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φ

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ρ ρ

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21

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11

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ρ

ρ

ρ ρ

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21

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1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

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ρ ρ

φ =








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Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

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(54)

lt

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minus

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τ

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θ θ θ θ θ

ρ

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qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

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minus

minus

k

krArr 01

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minus

minus

k

krArr 0

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minus

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k






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+

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y

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Sendo assim 01

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k

k

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k

k


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0=minus k rArr 0=k

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+

+




y

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k


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1)( minus= k k g

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-

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+

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y

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Portanto 01

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minus

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO



Paacutegina 5 de 54



t ε idecircntica e


(2)t t

y ε micro +=


(3) 150 minus+=t t

y y micro


t ε como o de (2)








Paacutegina 6 de 54



(4)t t

y t ε δ micro ++=


2 1

2

1minus+=

t t y y micro rArr

42

2minus++= t t

y y

micro micro rArr

rArr 38

1

42 minus+++=

t t y y


termos temos que


1

=+=

+= sum

infin

=i

i

t y


determiniacutestica



Paacutegina 7 de 54





A seacuterie





t ε




Paacutegina 8 de 54











por11

1

minusminus

minus ∆=

minus=

t

t

t

t t t

P

P

P

PP R Note que 1

1

minus=minust

t t

P

P R Chamamos

t R+1 de retorno



1

1

)1log(log minus

minus

minus=+== t t t

t

t t p p R

P





Paacutegina 9 de 54














































t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

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(48)

=

minusminus

minus

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φ

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ρ ρ

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φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO



Paacutegina 6 de 54



(4)t t

y t ε δ micro ++=


2 1

2

1minus+=

t t y y micro rArr

42

2minus++= t t

y y

micro micro rArr

rArr 38

1

42 minus+++=

t t y y


termos temos que


1

=+=

+= sum

infin

=i

i

t y


determiniacutestica



Paacutegina 7 de 54





A seacuterie





t ε




Paacutegina 8 de 54











por11

1

minusminus

minus ∆=

minus=

t

t

t

t t t

P

P

P

PP R Note que 1

1

minus=minust

t t

P

P R Chamamos

t R+1 de retorno



1

1

)1log(log minus

minus

minus=+== t t t

t

t t p p R

P





Paacutegina 9 de 54














































t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

mmm

m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

1

21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

1

22

1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

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1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

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22

1

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τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






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1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

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-

+

0

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+

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y

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Portanto 01

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

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Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO



Paacutegina 7 de 54





A seacuterie





t ε




Paacutegina 8 de 54











por11

1

minusminus

minus ∆=

minus=

t

t

t

t t t

P

P

P

PP R Note que 1

1

minus=minust

t t

P

P R Chamamos

t R+1 de retorno



1

1

)1log(log minus

minus

minus=+== t t t

t

t t p p R

P





Paacutegina 9 de 54














































t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

mmm

m

m

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m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

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111 ρ φ =

11

1

21

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1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

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k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

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k

k


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k

k



11

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k






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Sendo assim 01

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11

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k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO



Paacutegina 8 de 54











por11

1

minusminus

minus ∆=

minus=

t

t

t

t t t

P

P

P

PP R Note que 1

1

minus=minust

t t

P

P R Chamamos

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1

1

)1log(log minus

minus

minus=+== t t t

t

t t p p R

P





Paacutegina 9 de 54














































t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

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2211

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(48)

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minusminus

minus

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m

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ρ

ρ

ρ

φ

φ

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ρ ρ

ρ ρ

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21

21

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111 ρ φ =

11

1

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

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112

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1

1

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1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

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τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

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minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

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minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

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minus

k

k

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k

k


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23

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0=minus k rArr 0=k

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Portanto 01gt

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k


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y

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Portanto 01

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k

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123

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Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





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[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO



Paacutegina 9 de 54














































t1

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tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

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y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

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γ τ τ γ

τ γ τ ρ

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22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

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(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

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y1

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(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

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3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

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t Y E



t Y



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=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




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(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

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(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

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minusminus

minus

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mmmmmmm

mmmmm

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φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

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minusminus

minus

minus

mmm

m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

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1

1

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1

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21

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11

1

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1

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

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11

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ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

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(54)

lt

gt

=++++++minus

=

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0

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1

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τ ρ

τ

τ θ θ

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ρ

τ

τ τ τ

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qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


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X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

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N C lk



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lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

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lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

1

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B)3

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C)2

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D) 13

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)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

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21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

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minus

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k

k


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minus

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k

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k






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+

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y

g

yg

Sendo assim 01

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k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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k

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k

k


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k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

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+

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y

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Portanto 01gt

minus

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kquando 10 ltlt k


01

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k


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1)( minus= k k g

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y

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123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

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)2cos(

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)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO








































t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

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22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

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γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

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s y N

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)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

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Y E [TSA05]




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(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

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(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

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ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

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+++=

minusminus

minus

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mmmmmmm

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mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

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11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

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m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

1

21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

1

22

1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

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-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





























t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

mmm

m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

1

21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

1

22

1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

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-

+

0

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1

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y

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Portanto 01

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

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1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO























t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

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mmm

m

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ρ

ρ

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φ

φ

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ρ ρ

ρ ρ

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1

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1

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21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

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1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

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lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

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N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

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k

k


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k

k



11

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k

krArr 01

1

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minus

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minus

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k






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1)( minus= k k g

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23 1


+

+




y

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Sendo assim 01

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k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

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minus

k

k

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k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

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y

g

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Portanto 01gt

minus

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k

kquando 10 ltlt k


01

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minus

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k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

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-

+

0

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+

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y

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yg

Portanto 01

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO







t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

mmm

m

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m

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ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

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21

21

11



111 ρ φ =

11

1

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1

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1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

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312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

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minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

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minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

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minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


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1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

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1

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-

+

1





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+

+




y

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yg

Portanto 01

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

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1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

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minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

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2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





t1

t2

tn

Y (tζ )

y 2(t )

micro (t )

t

y 1(t )

y n(t )

y 3(t )





















Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

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minus

minus

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φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

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(48)

=

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minus

minus

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m

m

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m

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ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

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1

2

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21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

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1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

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1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

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1

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τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

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qq

qq











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em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

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lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

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D) 13

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E)3

2

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A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


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minus

minus

k

k



11

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minus

k

krArr 01

1

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minus

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k

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k






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23 1


+

+




y

g

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Sendo assim 01

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minus

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k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

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minus

k

k

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minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


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minus

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k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

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y

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Portanto 01

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

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1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

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2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO














Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

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minusminus

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22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

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γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

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φ

φ micro

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t Y E



t Y



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=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




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(24) fica na forma

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(26)2

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σ

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(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

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ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

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micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

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φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

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(48)

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

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112

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ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

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=++++++minus

=

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0

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11

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11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

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qq

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(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




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(61) N

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)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

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minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO












Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

mmm

m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

1

21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

1

22

1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

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1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

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++= σ





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ˆ




N C lk



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(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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E)3

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1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

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D) 13

2ltlt k

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2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

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k

k


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minus

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k

k



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k

krArr 01

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k

krArr 0

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k






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+

+




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Sendo assim 01

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minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

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k

k

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minus

k

k


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23

-

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1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

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+

+




y

g

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Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

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minus

minus

k


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-

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Portanto 01

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k

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Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

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)2cos(

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)2cos(

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO










Y eacute definida

por

(16))()(

)()(

t t t t

t t t t

γ τ τ γ

τ γ τ ρ

minusminus

minus=minus




22 Estacionariedade

















defasagem ||τ



(18))0(

)(

)0()0(

)()(

γ

τ γ

γ γ

τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

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(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




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(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





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1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

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t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

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mmmmmmm

mmmmm

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φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

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2211

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(48)

=

minusminus

minus

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mmm

m

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ρ

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φ

φ

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ρ ρ

ρ ρ

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21

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111 ρ φ =

11

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ρ

ρ

ρ ρ

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112

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21

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1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

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Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

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(54)

lt

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=++++++minus

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0

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1

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τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

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++= σ





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ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

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(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

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lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

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k

krArr 01

1

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minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

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kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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minus

k

k

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minus

k

k


-+

23

-

+

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k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

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0 1


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+




y

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Portanto 01gt

minus

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01

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minus

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k


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y

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Portanto 01

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kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

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1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

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minusminus+

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO










defasagem ||τ



(18))0(

)(

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)()(

γ

τ γ

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τ γ τ ρ ==


(19) 2)0()]([ σ γ ==t Y Var











24 Ergodicidade





sum==

N

t

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s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

mmm

m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

1

21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

1

22

1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

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minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO










24 Ergodicidade





sum==

N

t

st

s y N

y1

)()( 1














(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

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ρ φ φ ρ φ ρ

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m

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m

m

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ρ

ρ

φ

φ

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ρ ρ

ρ ρ

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1

1

1

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1

2

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21

21

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111 ρ φ =

11

1

21

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22

1

1

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

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112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

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1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

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minus+

0

0

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11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

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Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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2

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)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

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2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

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k

k



11

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k

krArr 01

1

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k

krArr 0

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k






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1)( minus= k k g

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+

+




y

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Sendo assim 01

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k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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k

k

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k

k


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23

-

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0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

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0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

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k

kquando 10 ltlt k


01

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minus

minus

k


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1)( minus= k k g

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y

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Portanto 01

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

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1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

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minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO











(ii) ][ 22 σ ε =t

E t forall


Um processot



port

ε ~ )0( 2σ N





3211 O Modelo AR(1)

Considere o modelo












linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

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φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

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11211


(48)

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ρ

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111 ρ φ =

11

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

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1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

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N C lk



ˆ

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(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

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(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

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lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

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C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

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k

k θ φ







21lt

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k

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k






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+

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y

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Sendo assim 01

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kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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k

k

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k

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-+

23

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1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

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+

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y

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Portanto 01gt

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01

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k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

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g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





linear simples set


(21) 10 t t t

Y BY ε φ φ ++=


(22) 1minus=t t

Y BY



pois 0][ =t




(23)1

0

1][

φ

φ micro

minus==

t Y E



t Y



t Y e 00

=φ implica 0][ =t

Y E [TSA05]




t tY X

(24) fica na forma

(25)t t t










(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

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(48)

=

minusminus

minus

minus

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m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

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21

21

11



111 ρ φ =

11

1

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1

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

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312

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33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

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minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






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1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

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+

+




y

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Sendo assim 01

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minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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k

k

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k

k


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23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

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minus

minus

k


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1)( minus= k k g

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-

+

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Portanto 01

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k

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123

0 1

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1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





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[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO







(26)2

2

11

)(φ

σ

minus=

t Y Var para 12

1ltφ













(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

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Y X













Sejami









(47)

+++=

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111 ρ φ =

11

1

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

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112

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21

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1

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1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

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τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

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τ τ τ

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qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

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B)3

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C)2

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D) 13

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E)3

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2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

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k

k


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k

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k






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y

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Sendo assim 01

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2ltk ou 1gtk


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k

k

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k

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0=minus k rArr 0=k

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Portanto 01gt

minus

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k

kquando 10 ltlt k


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k


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y

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Portanto 01

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

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Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

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minusminus+

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO








(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

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1][ φ φ

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t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

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180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

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φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

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11211


(48)

=

minusminus

minus

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ρ

ρ

ρ

φ

φ

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ρ ρ

ρ ρ

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111 ρ φ =

11

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

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112

11

21

312

21

11

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1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

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qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

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em que 2

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lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

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(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

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lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

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N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

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B)3

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C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

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minus

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k

k


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minus

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k






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23 1


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y

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Sendo assim 01

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k

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2ltk ou 1gtk


11

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0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO






(32) )( t t X B ε φ =


(33) 01)( 1 =minus= B B φ φ





Y Y BY B BY B







1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

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φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

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2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

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m

m

mm

m

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ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

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21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

1

22

1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

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D) 13

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E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

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k

k



11

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minus

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k

krArr 01

1

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minus

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k

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1

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minus

+minus

k






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1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

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+

+




y

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Sendo assim 01

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minus

+minus

k

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3

2ltk ou 1gtk


11

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k

k

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k

k


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23

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1





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0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

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+

+




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Portanto 01gt

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k

kquando 10 ltlt k


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minus

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k


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1)( minus= k k g

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Portanto 01

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k

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123

0 1

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1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

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hhhh x xCov ht t

minusminus+

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO






1

gtφ

ou



O processo AR(1)

t t X B ε φ =)(



3212 O Modelo AR(2)



Neste caso

(35)21

0

1][ φ φ

φ

micro minusminus==

t Y E


modelo AR(2) como

(36)t t t t


ou como



Y X













(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

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ρ φ φ ρ φ ρ

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2211

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ρ

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φ

φ

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ρ ρ

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1

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1

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21

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111 ρ φ =

11

1

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

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312

21

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33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

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Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

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1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

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ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





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ˆ




N C lk



ˆ

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(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

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k

k


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minus

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k

k



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minus

k

krArr 01

1

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k

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minus

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k






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1)( minus= k k g

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+

+




y

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Sendo assim 01

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minus

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k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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k

k

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k

k


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23

-

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k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

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y

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Portanto 01gt

minus

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k

kquando 10 ltlt k


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minus

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k


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1)( minus= k k g

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-

+

0

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y

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Portanto 01

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

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2

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO











(40)2

11

1 φ

φ ρ

minus=

























180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

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φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

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11211


(48)

=

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11

1

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1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

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312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

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D) 13

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1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

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B)3

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C)2

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D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

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k

k (II) 1

1

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minus

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k

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y

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Sendo assim 01

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11

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k

k

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minus

k

k


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23

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k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO






















180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

mmmmm

mmmmm

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

22112

11211


(48)

=

minusminus

minus

minus

mmm

m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

1

21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

1

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1

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1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

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D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

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k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

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minus

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k

krArr 01

1

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minus

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k

krArr 0

1

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minus

+minus

k






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1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

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+

+




y

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Sendo assim 01

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+minus

k

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3

2ltk ou 1gtk


11

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minus

k

k

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k

k


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23

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0=minus k rArr 0=k

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0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


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minus

minus

k


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1)( minus= k k g

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-

+

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y

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Portanto 01

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123

0 1

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Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





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[ ])]cos()cos(2


2


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1)222cos()222cos(

2



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2

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO







180305021 lt=+=+φ φ

















ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

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ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

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11

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

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ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

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Y ε θ ε micro

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Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




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(53) )1(][ 22

1

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(54)

lt

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τ

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X X θε ε φ





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)()(ˆln)( 2

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++= σ




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k k AIC k




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N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

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N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

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d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

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Bibliografia














Sabendo que1

21

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k



A) 12

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B)3

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C)2

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D) 13

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)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

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10 - E








Sabendo que1

21

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k



A) 12

1

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B)3

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C)2

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D) 13

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E)3

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Resoluccedilatildeo





No enunciado1

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minus==

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minus

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Sendo assim 01

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123

0 1

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Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


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2

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO






ImB

ReB

1

Plano Complexo

x

raizB

1=1174

x

raizB

1= -284


eixo real

_______________________________________________________

322 Modelos AR( p)




ε ~RB(0σ 2)


(43) p

t Y Eφ φ

φ micro

minusminusminus==

1][

1

0










Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

+++=

minusminus

minus

minus

mmmmmmm

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φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

()

2211

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

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112

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21

312

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11

33

1

1

1

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1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

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minus+

0

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11

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1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

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qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

1

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B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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E)3

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)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

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ltlt k

B)3

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C)2

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D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

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k

k (II) 1

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k

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23 1


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y

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Sendo assim 01

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k

kquando

3

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11

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k

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k

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k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

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y

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Portanto 01

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123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

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2

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO







Y X













Sejami









(47)

+++=

+++=

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minusminus

minus

minus

mmmmmmm

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φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

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2211

22112

11211


(48)

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minusminus

minus

minus

mmm

m

m

mm

m

m

ρ

ρ

ρ

φ

φ

φ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

1

1

1

2

1

2

1

21

21

11



111 ρ φ =

11

1

21

1

22

1

1

1

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

21

11

33

1

1

1

1

1

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

φ =








Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

gt

=++++++minus

=

minus

minus+

0

0

11

22

1

11

τ ρ

τ

τ θ θ

θ θ θ θ θ

ρ

τ

τ τ τ

τ q

qq

qq











(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

1

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B)3

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C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

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minus

minus

k

krArr 01

1

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minus

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k

krArr 0

1

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minus

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k






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+

+




y

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Sendo assim 01

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k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


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k

k

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k

k


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23

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0=minus k rArr 0=k

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+




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g

yg

Portanto 01gt

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k

kquando 10 ltlt k


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k


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1)( minus= k k g

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-

+

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1

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k

kquando 12 1 ltlt k




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12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





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[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

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2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

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)2cos(][

hhhh x xCov ht t

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





(47)

+++=

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ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ

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ρ

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11

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ρ

ρ

ρ ρ

ρ

φ =

112

11

21

312

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11

33

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ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

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Y ε θ ε micro

em quet






Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

1

2



(54)

lt

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=++++++minus

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minus+

0

0

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τ ρ

τ

τ θ θ

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ρ

τ

τ τ τ

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qq

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em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

lk

)()(ˆln)( 2

++= σ





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

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Sabendo que1

21

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k



A) 12

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B)3

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1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

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minus==

k

k θ φ







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minus

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k (II) 1

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krArr 01

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k






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1)( minus= k k g

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+

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y

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Sendo assim 01

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k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


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k

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0=minus k rArr 0=k

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k

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k

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GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






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2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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Mas 1][][ 22

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2


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)2cos(

2

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2

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2

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minusminus+

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





Uma vez quet






(50) micro =][t

Y E

a variacircncia por

(51) 221 )1(][ σ θ +=t Y Var




ε ~RB(0σ 2)




(53) )1(][ 22

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X B B ε θ φ )()( =




X X θε ε φ





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N C lk lk P

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++= σ





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)(2ˆln)( 2

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N lk BIC

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+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








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it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

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Bibliografia














Sabendo que1

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k



A) 12

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C)2

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D) 13

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E)3

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1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

1

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B)3

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C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

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minus

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k

k


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k

k



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k

krArr 01

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k






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23 1


+

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y

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Sendo assim 01

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kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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k

k

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k

k


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k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

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Portanto 01

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kquando 12 1 ltlt k




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GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

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1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO








(56)t tY B ε θ )(=




em quet ε ~RB(0σ


(58)t t

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X X θε ε φ





(60) N

N C lk lk P

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N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

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d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

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B)3

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C)2

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D) 13

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2

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)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

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k



A) 12

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B)3

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C)2

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D) 13

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E)3

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Resoluccedilatildeo





No enunciado1

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k θ φ







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Sendo assim 01

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12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





em que 2

ˆ




N C lk



ˆ

lk σ diminui


(61) N

lk lk AIC

lk

)(2ˆln)( 2

++= σ




(62) N

k k AIC k




(63) )(ln

ˆln)( 2

lk N

N lk BIC

lk++= σ


(64) ln

ˆln)( 2

N

N k k BIC k

+= σ


41 Modelo ARIMA


(65)t t t t








infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO






infin

=minussum 21

0

t t t

i

it t Y Y Y Y SY



(67)t

d

t

d



(68) )()()( t B X B t ε θ φ =

Neste caso

(69) )()()( t BY B t

d ε θ φ =∆


(70)t

d

t X S Y =









Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





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[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

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2

)2cos(

2

)2cos(

2

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2

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





Bibliografia














Sabendo que1

21

minus

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k



A) 12

1

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B)3

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C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

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E)3

2

2

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)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

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minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

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yg

Sendo assim 01

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+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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minus

k

k

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minus

k

k


-+

23

-

+

1





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0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

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-

+

0

-

+

1

-+

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-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

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2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k










)2sin()( hh =γ








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

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minus

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k

krArr 01

1

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k

krArr 0

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minus

+minus

k






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1)( minus= k k g

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23 1


+

+




y

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yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

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-

+

0

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1

-+

12

-

+

1





12 1


+

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y

g

yg

Portanto 01

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minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

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1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO








A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2C) p=1 e q=1

D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0










t ε ~RB(0σ


este processo





















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

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k

k (II) 1

1

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minus

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k

k


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k

k



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minus

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k

krArr 01

1

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k

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1

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k






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1)( minus= k k g

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23 1


+

+




y

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Sendo assim 01

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k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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k

k

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minus

k

k


-+

23

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+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

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yg

Portanto 01gt

minus

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k

kquando 10 ltlt k


01

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minus

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k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

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-

+

0

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+

1

-+

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+

1





12 1


+

+




y

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yg

Portanto 01

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minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

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2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO















II) a seacuteriet t




seacuterie temporal











y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO






y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)




















6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

minusgtminus

minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

-

+

1

-+

12

-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


][)22sin()2cos(][)22cos()2cos(][ 22






][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

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2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO













6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

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C)2

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D) 13

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E)3

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2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







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minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

minus

+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

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minus

k

k

rArr 01 gtminus

minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




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g

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Portanto 01gt

minus

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k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

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1

-+

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+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





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2


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1)222cos()222cos(

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2

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2

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2

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hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





6 GABARITO

1 ndash E

2 ndash C

3 ndash E

4 ndash C

5 ndash D

6 ndash B

7 ndash A

8 ndash E C C C E

9 ndash E

10 - E








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


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minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

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minus

minus

k

krArr 0

1

23lt

minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

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Sendo assim 01

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minus

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k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

21

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minus

k

k

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minus

k

k


-+

23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01gt

minus

minus

k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

-

+

0

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1

-+

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-

+

1





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

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GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


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1)222cos()222cos(

2



2

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hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO








Sabendo que1

21

minus

minus=

k



A) 12

1

ltlt k

B)3

2ltk ou 1gtk

C)2

1ltk ou 1gtk

D) 13

2ltlt k

E)3

2

2

1ltlt k

Resoluccedilatildeo





No enunciado1

211 minus

minus==

k

k θ φ







21lt

minus

minus

k

k (II) 1

1

21minusgt

minus

minus

k

k


21gt

minus

minus

k

k



11

21lt

minus

minus

k

krArr 01

1

21ltminus

minus

minus

k

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1

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minus

+minus

k






2=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

23 1


+

+




y

g

yg

Sendo assim 01

23lt

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+minus

k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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minus

k

k

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minus

k

k


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23

-

+

1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

+




y

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yg

Portanto 01gt

minus

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k

kquando 10 ltlt k


01

21gt

minus

minus

k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

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-

+

0

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12 1


+

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y

g

yg

Portanto 01

21gt

minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

12 1

1

12 23

Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


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2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

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2

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2

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2

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hhhh x xCov ht t

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO






21lt

minus

minus

k

k (II) 1

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k

k


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k

k



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k

krArr 01

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k

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k






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23 1


+

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y

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yg

Sendo assim 01

23lt

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k

kquando

3

2ltk ou 1gtk


11

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minus

k

k

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minus

k

k


-+

23

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1





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

0 1


+

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y

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Portanto 01gt

minus

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k

kquando 10 ltlt k


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k


k k y 21)( minus=


1)( minus= k k g

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+

0

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1

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1





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+

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y

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yg

Portanto 01

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k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

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1

12 23

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GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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Mas 1][][ 22

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minus+minus=minus


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2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

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2

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hhhh x xCov ht t

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





k k y minus=)(

0=minus k rArr 0=k

1)( minus= k k g

01=minusk rArr 1=k

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+

+




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Portanto 01gt

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1)( minus= k k g

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-

+

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+

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y

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yg

Portanto 01

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minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

0 1

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1

12 23

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GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






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2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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][)22sin()2sin(][)22cos()2sin( 2


Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


[ ])]cos()cos(2


2


[ ] [ ])222cos()222cos(2

1)222cos()222cos(

2



2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(

2

)2cos(][

hhhh x xCov ht t

minusminus+

minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





12 1


+

+




y

g

yg

Portanto 01

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minus

minus

k

kquando 12 1 ltlt k




123

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12 1

1

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Logo 3 22 1 ltlt k

GABARITO E














Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






)]22sin()2cos([)]22cos()2cos([][ 2

2


)]22sin()2sin([)]22cos()2sin([ 2


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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





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2


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2



2

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2

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2

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2

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minusminus+

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO










Resoluccedilatildeo












Aprendemos que






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2


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2

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2

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GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





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Mas 1][][ 22

21== ε ε E E e 0][ 21





minus+minus=minus


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2


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1)222cos()222cos(

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2

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2

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2

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2

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minus+=minus


GABARITO C




A) p=0 e q=0

B) p=0 e q=2

C) p=1 e q=1







D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





D) p=2 e q=2

E) p=2 e q=0

Resoluccedilatildeo




φ para pm gt


GABARITO E








Resoluccedilatildeo






este processo









Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo



1- x -089 x 2=0


GABARITO D










Resoluccedilatildeo




de ordem 1





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





GABARITO B




tempo et








Resoluccedilatildeo






GABARITO A







y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





y

x

y

x



1 21 32 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (em anos)








Resoluccedilatildeo







GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





GABAR TO ERRADO


CERTA







GABARITO E C C C E




GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO





Resoluccedilatildeo


GABARITO ERRADO

Documents

Bacen Econometria - aula 4.pdf