EstatísticaO que é:

É um conjunto de técnicas de pesquisa na qual se coleta, organiza e interpreta dados colhidos entre um grupo aleatório de pessoas.

Divisão da estatística:Estatística geral

Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a todas as fases do estudo dos fenômenos de massa. A estatística geral ainda pode ser dividida em dois subgrupos:

1. Estatística descritivaDiz respeito à coleta, organização, classificação, apresentação e descrição dos dados a serem observados.

2. Estatística indutiva

Visa tirar conclusões sobre a população a partir de amostras. Refere-se à maneira de estabelecer conclusões para toda uma população observando apenas parte dela.

Conceitos:

PopulaçãoÉ todo o conjunto de elementos que possuam ao menos uma característica comum observável.

AmostraÉ uma parte da população que será avaliada por um critério comum.

Dados estatísticosSão os valores associados às variáveis de pesquisas.

Formas de organizar dados estatísticos

• Tabela

• Gráfico

Frequências

1. O número de vezes em que a variável ocorre é chamado frequência absoluta e é indicado por ni

2. Definimos frequência relativa ( fi ) como a

razão entre a frequência absoluta (ni) e o

número total de observações (n) , ou seja:

n

nf ii

Velocidade Freqüência

Absoluta

F.A

Freqüência Relativa (simples)

F.R

Freqüência absoluta

acumulada

F.A.A

Freqüência Relativa

acumulada

F.R.A

60|---- 70

70|---- 80

80|---- 90

90|---- 100

Total

9

6

3

O quadro a seguir apresenta a velocidade em km/h com que os motoristas foram multados em uma determinada via municipal.

2

20

72 63 78 61 92 83 67 65 79 6574 89 96 74 63 87 64 75 68 68

45%

30%

15%

10%

9

15

1820

45%

75%

90%

100%

Velocidade Freqüência

Absoluta

F.A

Freqüência Relativa (simples)

F.R

Freqüência absoluta

acumulada

F.A.A

Freqüência Relativa

acumulada

F.R.A

60|---- 70

70|---- 80

80|---- 90

90|---- 100

Total

9

6

3

Com base na tabela, responda:

2

20

45%

30%

15%

10%

9

15

1820

45%

75%

90%

100%

a) Quantos Motoristas foram multados com velocidade de 80km/h a 90km/h?

b) Qual é o percentual de Motoristas multados com velocidade de 70km/h a 80km/h?

c) Quantos Motoristas foram multados com velocidade abaixo de 90km/h?

d) Qual o percentual de Motoristas multados com uma velocidade abaixo de 80km/h?

3

30%

18

75%

(PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo candidato recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a esse candidato?

a) 42° b) 168° c) 90° d) 242° e) 84°

1500 360o

350 xo

x = 84°

MEDIDAS DE TENDÊNCIASão as medidas estatísticas que descrevem a tendência

que os dados têm de agrupamento em torno de certos valores

MÉDIA MEDIANA MODA

MEDIDAS DE DISPERSÃO

São as medidas estatísticas que descrevem o comportamento de um grupo de valores em torno das medidas de tendência central

DESVIO MÉDIO VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO

MédiasMédia Aritmética Simples

Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:

n

x...xxx n21

Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana:

X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14

7 7

Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final:

Média Aritmética Ponderada

(UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova.

Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi:

7,322321

2.(6,2)2.x3.(7,5)2.(7,3)1.(6,5)

56 + 2x = 73 x = 8,5

Média Geométrica

Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da amostra

nn21 ......x.xxx

66.4.9x 3

Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9.

A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Veja:

63.12h

Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria?

Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais. Supondo um salário inicial de R$100,00.

1,1287413 2).(1,07)(1,2).(1,1x

Salário Final

7%

12%

20%R$100,00

% de aumento

Salário Inicial

R$120,00

R$120,00 R$134,4

R$134,4 R$143,08

Salário Final

12,8741%R$100,00

% de aumento

Salário Inicial

R$112,8741

R$112,8741 R$127,405624512,8741%

12,8741%R$127,4056245 R$143,08

Percentual médio de aumento: 12,8741%

Outros Conceitos•Rol

Consiste na organização dos dados em ordem crescente.

Exemplo: Notas obtidas em uma prova de matemática no primeiro ano do ensino médio:

E = {1,3,1,9,10,7,6,3,4,1,8,8,10,2,2}

Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.

Mediana (Md)

É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados.

Exemplo: Determine a mediana do Rol abaixo:

Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.

7 elementos

7 elementos

Como o elemento 4 ocupa a posição central, dizemos que ele é a mediana dos dados coletados acima.

IMPORTANTE!!!!

Caso o número de elementos do Rol for par, calculamos a mediana pela média aritmética dos dois elementos centrais.

Moda (Mo)É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados.

Exemplo: O número 1 é a Moda do exercício anterior, posto que aparece três vezes no Rol.

AmplitudeÉ a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dadosEx.: Os valores seguintes representam o número de gols marcados pela seleção brasileira nas últimas 5 copas do mundo.

11, 14, 18, 10, 9

Amplitude = 18 – 9 = 9

Variância

Desvio Padrão:

É a raiz quadrada da variância

VDp

Bim 1º 2º 3º 4º

notas 5 8 6 9

É a média aritmética dos quadrados dos desvios.

Um aluno obteve as seguintes notas na disciplina de matemática nos 4 bimestres:

Média aritmética = 7

4

9685

Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2 nota 2: 8 – 7 = 1 nota 3: 6 – 7 = - 1

nota 4: 9 – 7 = 2

2,54

21)(1(-2)V

2222

1,582,5Dp

Quanto mais próximo de zero é o desviopadrão, mais homogênea (regular) é a amostra.

Candidatos que obtém menor desvio padrão são considerados mais regulares.

Bim 1º 2º 3º 4º

notas 5 8 6 9

DÉSVIO MÉDIO

É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios.

DESVIO PADRÃO - SÉ a medida de dispersão mais geralmente

empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O desvio padrão baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como : a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por  S .

• A fórmula acima é empregada quando tratamos de uma população de dados não-agrupados.

VARIÂNCIA - S²

É o desvio padrão elevado ao quadrado. A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.

Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo.

N 1 N 2 N 3 N 4Paulo 5 2 5 8João 4 8 3 5

Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular?

Média aritmética = Paulo

54

8525

Média aritmética = João

54

5384

Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0Paulo nota 2: 2 – 5 = - 3 nota 3: 5 – 5 = 0 nota 4: 8 – 5 = 3

Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1João nota 2: 8 – 5 = 3 nota 3: 3 – 5 = -2 nota 4: 5 – 5 = 0

4,54

232023)(20PauloVariância

2,124,5VPadrãoDesvio

3,54

2022)(232(-1)JoãoVariância

1,873,5VPadrãoDesvio

Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.

A população mundial esta ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

(ENEM-2010)Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:a) 490 e 510 milhões.b) 550 e 620 milhões.c) 780 e 800 milhões.d) 810 e 860 milhões.e) 870 e 910 milhões.

y = 363. e0,03x

y = 363. e0,03. 30 y = 363. e0,3. 3

y = 363. (e0,3)3

y = 363. 1,353

y = 363. 2,46y 893 milhões