EstatísticaO que é:

É a ciência que coleta, organiza e interpreta dados colhidos entre um grupo aleatório de pessoas.

Divisão da estatística:

Estatística geral

Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a todas as fases do estudo dos fenômenos de massa. A estatística geral ainda pode ser dividida em dois subgrupos:

1. Estatística descritivaDiz respeito à coleta, organização, classificação, apresentação e descrição dos dados a serem observados.

2. Estatística indutiva

Visa tirar conclusões sobre a população a partir de amostras. Refere-se à maneira de estabelecer conclusões para toda uma população observando apenas parte dela.

Conceitos:

PopulaçãoÉ todo o conjunto de elementos que possuam ao menos uma característica comum observável.

AmostraÉ uma parte da população que será avaliada por um critério comum.

Dados estatísticosSão os valores associados às variáveis de pesquisas.

Frequências

1. O número de vezes em que a variável ocorre é chamado frequência absoluta e é indicado por ni

2. Definimos frequência relativa ( fi )

como a razão entre a frequência absoluta (ni) e o número total de

observações (n) , ou seja:

n

nf ii

Velocidade Freqüência

Absoluta

F.A

Freqüência Relativa (simples)

F.R

Freqüência absoluta

acumulada

F.A.A

Freqüência Relativa

acumulada

F.R.A

60|---- 70

70|---- 80

80|---- 90

90|---- 100

Total

9

6

3

O quadro a seguir apresenta a velocidade em km/h com que os motoristas foram multados em uma determinada via municipal.

2

20

72 63 78 61 92 83 67 65 79 6574 89 96 74 63 87 64 75 68 68

45%

30%

15%

10%

9

15

1820

45%

75%

90%

100%

Velocidade Freqüência

Absoluta

F.A

Freqüência Relativa (simples)

F.R

Freqüência absoluta

acumulada

F.A.A

Freqüência Relativa

acumulada

F.R.A

60|---- 70

70|---- 80

80|---- 90

90|---- 100

Total

9

6

3

Com base na tabela, responda:

2

20

45%

30%

15%

10%

9

15

1820

45%

75%

90%

100%

a) Quantos Motoristas foram multados com velocidade de 80km/h a 90km/h?

b) Qual é o percentual de Motoristas multados com velocidade de 70km/h a 80km/h?

c) Quantos Motoristas foram multados com velocidade abaixo de 90km/h?

d) Qual o percentual de Motoristas multados com uma velocidade abaixo de 80km/h?

3

30%

18

75%

Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza)

Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado foi o seguinte:

Atividade Esportiva

Nº de alunos

Freqüência Absoluta

Freqüencia relativa

Voleibol 80 20%Basquetebol 120 30%

Futebol 160 40%

Natação 40 10%

Total 400 100%

Representação GráficaSetores Circulares (Pizza)

Preferência

20%

30%

40%

10%

Volei

Basquete

futebol

natação

Representação GráficaSetores Circulares (Pizza)

Preferência

20,00%

30,00%

40,00%

10,00%

volei

basquete

futebol

natação

144°

108°

72°36°

(PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo candidato recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a esse candidato?

a) 42° b) 168° c) 90° d) 242° e) 84°

1500 360o

350 xo

x = 84°

MédiasMédia Aritmética Simples

Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:

n

x...xxx n21

Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana:

X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14

7 7

Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final:

Média Aritmética Ponderada

(UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova.

Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi:

7,322321

2.(6,2)2.x3.(7,5)2.(7,3)1.(6,5)

56 + 2x = 73 x = 8,5

Média Geométrica

Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da amostra

nn21 ......x.xxx

66.4.9x 3

Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9.

A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Veja:

63.12h

Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria?

Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais. Supondo um salário inicial de R$100,00.

1,1287413 2).(1,07)(1,2).(1,1x

Salário Final

7%

12%

20%R$100,00

% de aumento

Salário Inicial

R$120,00

R$120,00 R$134,4

R$134,4 R$143,08

Salário Final

12,8741%R$100,00

% de aumento

Salário Inicial

R$112,8741

R$112,8741 R$127,405624512,8741%

12,8741%R$127,4056245 R$143,08

Percentual médio de aumento: 12,8741%

Média Harmônica

Média Harmônica - É o inverso da média aritmética dos inversos.

Exemplo: Determine a média harmônica dos números 6, 4 e 9.

108

19

336

19

39

1

4

1

6

1

Média aritmética dos inversos:

Inverso da Média aritmética dos inversos: 5,6819

108

A média harmônica é um tipo de média que privilegia o desempenho harmônico do candidato. Terá melhor desempenho o candidato que tiver um desempenho médio em todas as provas, do que aquele que for muito bem numa e muito mal noutra. Exemplo:

Outros Conceitos•Rol

Consiste na organização dos dados em ordem crescente.

Exemplo: Notas obtidas em uma prova de matemática no primeiro ano do ensino médio:

E = {1,3,1,9,10,7,6,3,4,1,8,8,10,2,2}

Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.

Mediana (Md)

É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados.

Exemplo: Determine a mediana do Rol abaixo:

Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.

7 elementos

7 elementos

Como o elemento 4 ocupa a posição central, dizemos que ele é a mediana dos dados coletados acima.

IMPORTANTE!!!!

Caso o número de elementos do Rol for par, calculamos a mediana pela média aritmética dos dois elementos centrais.

Moda (Mo)É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados.

Exemplo: O número 1 é a Moda do exercício anterior, posto que aparece três vezes no Rol.

Desafio!!!

(Fuvest – SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e dos reprovados 68,8.

72,220

12.(77)8.(65)Média

a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos pontos extras.

b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?

Como foi adicionado 5 pontos a todos os alunos, a média de toda turma sobe para 72,2 + 5 = 77,2. Sabemos que alguns alunos (x) anteriormente reprovados conseguiram, após o aumento, aprovar.Assim:

x = 3

AmplitudeÉ a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dadosEx.: Os valores seguintes representam o número de gols marcados pela seleção brasileira nas últimas 5 copas do mundo.

11, 14, 18, 10, 9

Amplitude = 18 – 9 = 9

Variância

Desvio Padrão:

É a raiz quadrada da variância

VDp

Bim 1º 2º 3º 4º

notas 5 8 6 9

É a média aritmética dos quadrados dos desvios.

Um aluno obteve as seguintes notas na disciplina de matemática nos 4 bimestres:

Média aritmética = 7

4

9685

Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2 nota 2: 8 – 7 = 1 nota 3: 6 – 7 = - 1

nota 4: 9 – 7 = 2

2,54

21)(1(-2)V

2222

1,582,5Dp

Quanto mais próximo de zero é o desviopadrão, mais homogênea (regular) é a amostra.

Candidatos que obtém menor desvio padrão são considerados mais regulares.

Bim 1º 2º 3º 4º

notas 5 8 6 9

Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo.

N 1 N 2 N 3 N 4Paulo 5 2 5 8João 4 8 3 5

Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular?

Média aritmética = Paulo

54

8525

Média aritmética = João

54

5384

Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0Paulo nota 2: 2 – 5 = - 3 nota 3: 5 – 5 = 0 nota 4: 8 – 5 = 3

Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1João nota 2: 8 – 5 = 3 nota 3: 3 – 5 = -2 nota 4: 5 – 5 = 0

4,54

232023)(20PauloVariância

2,124,5VPadrãoDesvio

3,54

2022)(232(-1)JoãoVariância

1,873,5VPadrãoDesvio

Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.

TEORIA DA INFORMAÇÃO - EXERCÍCIOS ENEM( ENEM )O gráfico abaixo ilustra o resultado de um estudo sobre o aquecimento global. A curva mais escura e contínua representa o resultado de um cálculo em que se considerou a soma de cinco fatores que influenciaram a temperatura média global de 1900 a 1990, conforme mostrado na legenda do gráfico. A contribuição efetiva de cada um desses cinco fatores isoladamente é mostrada na parte inferior do gráfico.

Os dados apresentados revelam que, de 1960 a 1990, contribuíram de forma efetiva e positiva para aumentara temperatura atmosférica:

A) aerossóis, atividade solar e atividade vulcânica.B) atividade vulcânica, ozônio e gases estufa.C) aerossóis, atividade solar e gases estufa.D) aerossóis, atividade vulcânica e ozônio.E) atividade solar, gases estufa e ozônio.

De acordo com o gráfico, os únicos fatores que apresentaram contribuição efetiva e positiva de 1960 a 1990 são: (I) gases estufa; (II) atividade solar; (III) ozônio. Resposta: E

(ENEM 2004) - “Comprimam-se todos os 4,5 bilhões de anos de tempo geológico em um só ano.

Nesta escala, as rochas mais antigas reconhecidas datam de março. Os seres vivos apareceram

inicialmente nos mares, em maio. As plantas e animais terrestres surgiram no final de novembro.”

(Don L. Eicher, Tempo Geológico) Meses (milhões de anos):

Na escala de tempo acima, o sistema solar surgiu no início de janeiro e vivemos hoje à meia-noite

de 31 de dezembro. Nessa mesma escala, Pedro Álvares Cabral chegou ao Brasil também no mês

de dezembro, mais precisamente na:

A) manhã do dia 01. B) tarde do dia 10.

C) noite do dia 15.    D) tarde do dia 20.   

E) noite do dia 31.

( ENEM ) RESOLUÇÃO

( ENEM – 2000 ) O Brasil, em 1997, com cerca de 160 X 106 habitantes, apresentou um consumo de energia da ordem de 250.000 TEP (tonelada equivalente de petróleo), proveniente de diversas fontes primárias. O grupo com renda familiar de mais de vinte salários mínimos representa 5% da população brasileira e utiliza cerca de 10% da energia total consumida no país. O grupo com renda familiar de até três salários mínimos representa 50% da população e consome 30% do total de energia. Com base nessas informações, pode-se concluir que o consumo médio de energia para um indivíduo do grupo de renda superior é x vezes maior do que para um indivíduo do grupo de renda inferior. O valor aproximado de x é:

TOTAL DE HABITANTES: 160.106 HABITANTES ENERGIA GASTA: 250 000

RENDA SUPERIOR

5% DA POPULAÇÃO:

pessoas8.10.160.10100

5 66

10% DA ENERGIA:

TEP25.10000 .250100

10 3

CONSUMO POR PESSOA:

TEP/PESSOA3,125.108.10

25.10 36

3

RENDA INFERIOR

50% DA POPULAÇÃO:

pessoas80.10.160.10100

50 66

30% DA ENERGIA:

TEP75.10000 .250100

30 3

CONSUMO POR PESSOA:

TEP/PESSOA0,9375.1080.10

75.10 36

3

Logo:

3,30,9375.10

3,125.103

3

A população mundial esta ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

(ENEM-2010)Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:a) 490 e 510 milhões.b) 550 e 620 milhões.c) 780 e 800 milhões.d) 810 e 860 milhões.e) 870 e 910 milhões.

y = 363. e0,03x

y = 363. e0,03. 30 y = 363. e0,3. 3

y = 363. (e0,3)3

y = 363. 1,353

y = 363. 2,46y 893 milhões

AUTOR : PROFESSOR RICARDO

RICARDINHO MATEMÁTICA