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EstatísticaProf. Edson Nemer
Site: www.professornemer.com
Ementa• Introdução a Estatística
• Medidas de Tendência Central
• Medidas de Dispersão
• Revisão de Análise Combinatória
• Probabilidade
• Distribuição Normal
• Intervalo de Confiança
Probabilidade
Além de apresentar dados e realizar cálculos nos dados obtidos, também é interessante poder fazer algum tipo de inferência.
Introdução
Um pesquisador que tenha anotado a idade e a pressão arterial de seus pacientes, pode montar tabelas e gráficos que descrevam como varia a pressão de seus pacientes em função da idade.
Mas esse pesquisador também poderia estender suas conclusões a outros pacientes, além daqueles que ele examinou, ou seja, ele gostaria de fazer uma inferência.
Para fazer inferência estatística, usam-se técnicas que exigem o conhecimento de probabilidade, embora, consciente ou inconscientemente, a probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisão em situações de incerteza.
Probabilidade
A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento.
Por exemplo, se lançarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos afirmar se vai dar cada ou coroa.
A probabilidade nos indicará uma medida de quão provável é a ocorrência de determinado evento.
Em várias situações é desejável se ter uma medida (avaliação numérica) de quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro:
Lançamento de um produto;
Evolução de uma doença;
Probabilidade de chover em um determinado período;
Probabilidade de um candidato vencer uma eleição;
Probabilidade
É a experiência onde os resultados são imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, em cada repetição dessa experiência é impossível prever, com absoluta certeza, qual resultado será obtido; além disso, a ocorrência de um deles exclui a ocorrência dos demais.
Experiência Aleatória
Como exemplo, imagine o lançamento de um dado não viciado. Os resultados possíveis são:
1 2 3 4 5 6ou ou ou ou ou
Pontos importantes: Você não pode prever qual o valor que sairá na próxima
jogada do dado; A ocorrência de um valor exclui a ocorrência dos demais pois é
impossível você tirar dois valores em uma única jogada do dado. Se saiu o “2”, não tem como ter saído um outro número.
Experiência aleatória
Eventos simples = Resultados mutuamente exclusivos pois não podem ocorrer duas faces de um dado ao
mesmo tempo.
Probabilidade
É o conjunto de todos os eventos simples (resultados mutuamente exclusivos) de uma experiência aleatória.
Espaço Amostral S
Como exemplo de espaços amostrais, temos:
o Lançamento de um dado: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
o Lançamento de uma moeda: S = { cara, coroa}
o Lançamento de duas moedas: S = {( cara, cara); ( cara, coroa); ( coroa, cara); ( coroa, coroa)}
Probabilidade
Na definição clássica de probabilidade, tomamos um espaço amostral finito S={a1, a2, a3,...,an}, no qual os pontos amostrais ai (i=1,2,...,n) podem ter a mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, são considerados equiprováveis.
Medidas de Probabilidades
Então, todo subconjunto do espaço amostral diz-se um evento, sendo sua probabilidade dada por:
P(A)
Como exemplo, suponha um dado não viciado. Espera-se que as várias faces sejam equiprováveis, ou seja, que qualquer das faces do dado tenha a mesma probabilidade de sair quanto as outras. A probabilidade de sair o número “5” é:
P(5)
Número de casos favoráveis ao evento “5” é igual a 1 porque só existe um número “5” no dado.
Número de casos possíveis é igual a 6 porque pode sair um de seis números possíveis (1, 2, 3, 4, 5 e 6)
Probabilidade
Para o mesmo exemplo anterior, qual seria a probabilidade de sair um número ímpar?
Medidas de Probabilidades
P(ímpar)
Número de casos favoráveis ao evento “ímpar” é igual a 3 pois existem três faces do dado com número ímpar(1,3 e 5).Número de casos possíveis é igual a
6 porque pode sair um de 6 números possíveis (1, 2, 3, 4, 5 e 6)
Para o mesmo exemplo anterior, qual seria a probabilidade de sair um número menor do que “5”?
P(num<5)Número de casos favoráveis ao evento “ímpar” é igual a 4 pois existem quatro faces do dado com número menor do que 5 (1,2, 3 e 4).Número de casos possíveis é igual a
6 porque pode sair um de 6 números possíveis (1, 2, 3, 4, 5 e 6)
ProbabilidadeMedidas de Probabilidades
Probabilidade
Medidas de Probabilidades
Considere mais um exemplo. Uma carta será retirada ao acaso do baralho. Qual é a probabilidade de sair um Ás?
P(5)
Número de casos favoráveis ao evento “sair Ás” é igual a 4 pois existem quatro Ases em um baralho.
Número de casos possíveis é igual a 52 porque existem 52 cartas em um baralho.
E qual é a probabilidade de sair uma figura?
P(figura)
Número de casos favoráveis ao evento “sair figura” é igual a 12 pois existem 12 figuras em um baralho.
Número de casos possíveis é igual a 52 porque existem 52 cartas em um baralho.
ProbabilidadeRegras Básicas da Probabilidade
I. Campo de variação das probabilidades
ou
A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a 0 (zero), porém menor ou igual a 1, isto é:
Se é certo ocorrer determinado evento, a probabilidade desse evento é 1, ou 100%;
Se é impossível ocorrer determinado evento, a probabilidade desse evento é 0(zero).
A probabilidade de ocorrer um número menor do que 8 no lançamento de um dado é 1 ou 100%.(evento certo)
A probabilidade de ocorrer um número maior do que 8 no lançamento de um dado é 0(evento impossível).
ProbabilidadeRegras Básicas da Probabilidade
II. Probabilidade do Espaço Amostral S
A probabilidade do Espaço Amostral S é igual a 1. Isto é:
III. Regra da Adição de Probabilidades
A probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B (ou de ambos) é igual a:
Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos, isto é:
Então:
ProbabilidadeRegras Básicas da Probabilidade
III. Regra da Adição de Probabilidades
Exemplo: Suponha que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha.Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de ter saído uma bola colorida, isto é, azul ou vermelha?
Ora, a probabilidade de sair bola azul é:
E a probabilidade de sair bola vermelha é:
Então a probabilidade de sair bola azul ou vermelha é dada pela soma:
Os eventos são mutamente exclusivos (a bola sorteada não pode ser azul e vermelha ao mesmo tempo)
=0
ProbabilidadeRegras Básicas da Probabilidade
III. Regra da Adição de Probabilidades
Exemplo: Imagine, agora, que uma carta será retirada ao acaso de um baralho.
Qual a probabilidade de ter saído uma carta de espadas ou um Ás?
Como um baralho tem 52 cartas, das quais 13 são de espadas e quatro são ases, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair um Ás ou uma carta de espadas seria:
Mas esta resposta estaria errada porque existe uma carta, o Ás de espadas, que é tanto Ás como espadas. Logo, teria sido contado duas vezes. E a resposta certa é:
ProbabilidadeRegras Básicas da Probabilidade
IV. Probabilidade de um evento complementar
Exemplo: Qual a probabilidade de se retirar uma carta qualquer de um baralho, exceto copas?
A probabilidade de se retirar uma carta de copas de um baralho é dada por:
ProbabilidadeIndependência estatística
Dados dois eventos independentes, A e B, a probabilidade da ocorrência conjunta é definida pela regra da multiplicação:
Dois eventos estão estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro.
Se lançarmos uma moeda por duas vezes, a probabilidade de obter uma cara no segundo lance não é afetada pelo resultado do primeiro lance.
Exemplo: No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de sair duas caras?
No caso de lançamento de duas moedas, existem quatro resultados possíveis:S = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}. Cada resultado é igualmente provável e tem probabilidade igual a ¼.
Portanto, a probabilidade de sair uma sequência de duas caras é:
ProbabilidadeProbabilidade condicionada
Se a condição de independência estatística não for satisfeita, deve ser usada uma fórmula mais geral, envolvendo probabilidades condicionadas.
Denomina-se probabilidade condicional à probabilidade de ocorrer determinado evento sob uma dada condição.
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que o evento B ocorra, dado que o evento A já ocorreu, é a probabilidade condicionada de B, escrita por P(B/A).
Da mesma forma, escrevemos a probabilidade da ocorrência de A, condicionada à ocorrência de B, como P(A/B)
ProbabilidadeProbabilidade condicionada
Exemplo: Suponha que existam 10 rótulos de papel em uma urna que podem ser distinguidos pelo número e pela cor: por exemplo, os rótulos numerados por 1, 2 e 3 são amarelos e os restantes, brancos.
1
2 3
7 9
86
4
5
10
Se todos forem colocados em uma urna e retirados ao acaso, a probabilidade de extrair um rótulo particular é igual a 1/10.
Se, porém, após retirar um rótulo ao acaso, e sabendo que ele é amarelo, como calcular a probabilidade de que o rótulo sorteado seja o de número 1?
Em outras palavras, o rótulo deve ter o número 1 e ser amarelo.
Agora o número possível de acontecimentos favoráveis está reduzido de 10 para 3, pois são 3 os rótulos amarelos.
Probabilidade
Probabilidade condicionada 1
2 3
7 98
6
4
5
10
Neste momento, o cálculo da probabilidade condicionada é realizado da seguinte maneira:
De modo geral, dados dois eventos A e B, que não são independentes, a probabilidade condicionada de A, dado B, é definida como:
ou seja, como a razão entre a probabilidade do evento conjunto A e B ocorrer e a probabilidade da ocorrência de B.
ProbabilidadeProbabilidade condicionada
Exemplo: Suponha agora que uma carta é retirada de um baralho. Qual é a probabilidade de ser um rei preto sabendo que a carta retirada foi uma figura (valete, dama ou rei)?
Sejam A ={rei preto} e B = {figura}.
i) Como existem dois reis pretos no baralho, os quais são, também, figuras, tem-se que:
ii) Como existem doze figuras em um baralho, tem-se que:
Portanto, tem-se que:
ProbabilidadeRevisão geral: Considere a tabela de estudantes abaixo:
i) Qual a probabilidade de um estudante ser do sexo masculino?
No de casos favoráveis ao sexo masculino = 72
No de casos possíveis = 203
P { homem } = 72
203= 0,448 = 44,8%
ii) Qual a probabilidade de ser mulher, sabendo que é do 3º ano?
P{homem/3oano}=
iii) Qual a probabilidade de ser mulher do 2º ano?
=
iv) Qual a probabilidade de ser mulher ou 2º ano?
=
=