Estimasi

1

Pendugaan Parameter1 Pendahuluan

• Pendugaan Parameter Populasi dilakukan dengan menggunakan nilai Statistik Sampel,Misal :

1. x digunakan sebagai penduga bagi µ2. s digunakan sebagai penduga bagi σ3. p p atau $ digunakan sebagai penduga bagi π

• Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karenahampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter.

• Selang Kepercayaan = Konfidensi Interval = Confidence Interval☺ Didekati dengan distribusi Normal (Distribusi z atau Distribusi t)☺ Mempunyai 2 batas : batas atas (kanan) dan batas bawah (kiri)☺ Derajat Kepercayaan = Tingkat Kepercayaan = Koefisien Kepercayaan =

1 - α☺ α kemudian akan dibagi ke dua sisi, α/2 di atas batas atas dan α/2 di

bawah batas bawah

• Selang kepercayaan menurut Distribusi z dan Distribusi t

☺ Selang Kepercayaan dengan Distribusi z (Tabel hal 175)Nilai α dan Selang kepercayaan yang lazim digunakan antara lain:

Selang kepercayaan 90 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 9

α = 10 % → α/2 = 5 % → z z5 0 05 1 645% . .= =

Selang kepercayaan 95 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 95%α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =

Selang kepercayaan 99 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 99%

α = 1 % → α/2 = 0.5 % z z0 5% 0 005 2 575. . .= =

Contoh Distribusi z untuk SK 95 %

Luas = 0.5

-z0.025 = -1.96 z0.025 = 1.96""" """

Nilai z ini diketahui dari luas daerah tidakterarsir ini dalam Tabel Normal (z)

Luas = 0.95 × ½ = 0.4750.

Luas daerah terarsir =0.05 × ½ = 0.0025


2

☺ Selang Kepercayaan dengan Distribusi t (Tabel hal 177)

Nilai α (dan tentu saja α/2) sudah diterakan dalam Tabel.Perhatikan derajat bebas (db).Nilai t tabel tergantung dari nilai derajat bebas (db) dan nilai α/2 (Tabel hal 177)

Misal : Selang kepercayaan 95 %; db = 13 → 1 - α = 95%α = 0.5 % → α/2 = 2.5 % t tabel (db=13;α/2 = 2.5%) = 2.160

Contoh Distribusi t untuk SK 95 % ; db = 13

Selang Kepercayaan yang baik?Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat kepercayaan yang tinggi.

Banyak Selang Kepercayaan yang dapat dibentuk dalam suatu populasi adalahTidak terhingga, anda bebas menetapkan derajat kebebasan dan lebar selangnya.

Contoh 1: Di bawah ini terdapat 4 selang kepercayaan mengenai rata-rata umur mahasiswa. Semuaselang dibuat untuk populasi yang sama, manakah yang paling baik?

A. Selang kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 25 tahunB. Selang kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 27 tahunC. Selang Kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 27 tahunD. Selang Kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 25 tahun

Jawab : D, karena................................

Luas = 0.5

-t(α/2 0.025; db=13) = -2.160""" """

Nilai t ini diketahui dari nilai α/2 dan dbdalam Tabel t



-t(α/2 0.025; db=13) = -2.160

3

• Bentuk Umum Selang Kepercayaan

Batas Bawah < (Simbol) Parameter < Batas Atas

• Untuk Sampel Berukuran Besar :

Statistik - ( zα /2 ×Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( zα /2 × Std Error Sampel)

atauParameter = Statistik ± ( zα /2 ×Standard Error Sampel)

• Untuk Sampel Berukuran Kecil :

Statistik - ( t db( ; / )α 2 × Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( t db( ; / )α 2 ×Std Error

Sampel)atau

Parameter = Statistik ± ( t db( ; / )α 2 × Standard Error Sampel)

2. Pendugaan 1 Nilai Rata-rata

2.1. Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel besar (n ≥30)

• Nilai simpangan baku populasi (σ) diketahui• Jika nilai simpangan baku populasi σ tidak diketahui → gunakan simpangan baku

sampel (s)

Selang Kepercayaan 1

Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi adalah :

x z x z - n

< < + n

α α

σµ

σ2 2×

×

Jika σ tidak diketahui, dapat digunakan s

• Ukuran Sampel bagi pendugaan µ

Pada Derajat Kepercayaan (1-α) ukuran sampel dengan Error (galat) maksimal = E adalah

[ ] n z= ×α σ/22

Ε

n dibulatkan ke bilangan bulat terdekat terbesar (fungsi ceiling)jika σ tidak diketahui, gunakan sE : error maksimal → selisih x dengan µ; E dinyatakan dalam persen (%)

4

Contoh 2:Dari 36 mahasiswa tingkat II diketahui bahwa rata-rata IPK = 2.6 dengan simpangan baku= 0.3.

a. Buat selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata IPKseluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =

x = 2.6s = 0.3

x zs

x zs

- n

< < +n0 025 0 025. .×

×

µ

2.6 - 1.96 36

) < < 2.6 + 1.96 36

)×

×

0 3 0 3. .µ

2.6 - 0.098 < µ < 2.6 + 0.098 2.502 < µ < 2.698

b. Buat selang kepercayaan 99 % untuk rata-rata IPK seluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % → z z0 5 0 005 2 575. % . .= = (selanjutnya.....selesaikan sendiri!!!)

c. Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 95 % tidaklebih dari 6 %?

E = 6 % = 0.06 s = 0.3

Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =

[ ] nz= α σ/2

2

Ε [ ] = ×1 96

0.06

2. 0.3

= ( . )9 8 2 = 9604. = 97

d. Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 99 % tidaklebih dari 6 %? (Kerjakan sebagai latihan)

5

2.2. Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel kecil (n < 30)dan nilai simpangan baku populasi (α) tidak diketahui → gunakan simpangan bakusampel (s)


Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi µ adalah :

x ts

x ts

db db - n

< < + n

( ; ) ( ; )α αµ2 2×

×

db = derajat bebas = n-1

Contoh 3:9 orang mahasiswa FE-GD rata-rata membolos sebanyak 10 hari/tahun dengan standardeviasi 1.8 hari.

Buat selang kepercayaan 95 % bagi rata-rata banyaknya hari membolos setiap tahun untukseluruh mahasiswa!

Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % = 0.025

x = 10 s = 1.8 db = n-1 = 9 -1 = 8 t (db=8; α/2 =0.025) = 2.306

x ts

x ts

db db - n

< < + n

( ; ) ( ; )α αµ2 2×

×

10 - 9

< < 10 + 9

2 30618

2 30618

..

..

×

×

µ

10 - 1.3836 < µ < 10 + 1.3836 8.6164 < µ < 11.3836

3. Pendugaan Beda 2 Rata-rata

3.1 Pendugaan Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel besar dan nilai ragam populasi( σ1

2 dan σ22 ) diketahui dan jika nilai ragam populasi ( σ1

2 dan σ22 ) tidak

diketahui → gunakan ragam sampel ( s12 dan s2

2 )

6


Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi µ µ1 2− adalah :

x xn n

x xn n1 2 1 2- - z < - < - + z α α

σ σµ µ

σ σ2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

× +

× +

σ12 dan σ2

2 tidak diketahui → gunakan s12 dan s2

2

Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2

Contoh 4:64 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka makan 48 kg ikandengan ragam = 8. 56 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan merekamakan 28 kg ikan dengan ragam = 7.

Tentukan selang kepercayaan 95 % untuk beda rata-rata banyak ikan yang dimakan setiapbulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris

x1 = 48 x2 = 28 x x1 2− = |48 - 28| = 20

n1 = 64 n2 = 56

s12 = 8 s2

2 = 7Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =

x xn n

x xn n1 2 1 2- - z < - < - + z α α

σ σµ µ

σ σ2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

× +

× +

20 - + 7

56 < < +

7

56 196

8

6420 196

8

641 2. .×

− + ×

µ µ

20 - 0.98 < |µ µ1 2− | < 20 + 0.98 19.02 < |µ µ1 2− | < 20.98

3.2. Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecildan nilai kedua ragam populasi tidak sama ( σ1

2 ≠σ22 ) dan

tidak diketahui → gunakan ragam sampel (s12 dan s2

2 )

7


Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ µ1 2− | adalah:

x xs

n

s

nx x

s

n

s

ndb db1 2 1 2- - t < - < - + t ( ; ) ( ; )α αµ µ2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

× +

× +

der

ajat bebas (db) =

( )

( ) ( ) ( ) ( )

sn

sn

sn

snn n

12

1

22

2

12

1

22

2

2

21

221 1

+

− + −

db : dibulatkan ke bilangan bulat terbesar terdekat (fungsi Ceiling)Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan x1 > x2

Contoh 5:12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter( x2 22= ) teh dengan Ragam = 16. ( s2

2 16= )10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter( x1 36= ) teh dengan Ragam = 25. ( s1

2 25= )

Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai tidak sama, hitung :

a. derajat bebas bagi distribusi t

db = ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sn

sn

sn

snn n

12

1

22

2

12

1

22

2

2

21

221 1

+

− + − = [ ] [ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2510

1612

2

2510

2 1612

210 1 12 1

+

− + −=

= [ ] [ ]( . . )

( . ) ( . )

2 5 1333

2 5 9 1333 11

2

2 2

+

+= [ ] [ ]

14 6944

0 6944 01616

. ...

. . ...+=

14 6944

08560

. ...

. ... = 17.165 = 18

b. Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yangdiminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris

Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005db = 18

Nilai t (db = 18; α/2 = 0.005) = 2.878

8

x xs

n

s

nx x

s

n

s

ndb db1 2 1 2- - t < - < - + t ( ; ) ( ; )α αµ µ

2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

× +

× +

36 22 225

10

16

1236 22 2

25

10

16

121 2− × +

− × +

- .878 < - < + .878 µ µ

14 - 5.53 < |µ µ1 2− | < 14 + 5.63 8.37 < |µ µ1 2− | < 19.63

3.3 Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecildan nilai kedua ragam populasi sama ( σ1

2 =σ22 ) dan tidak diketahui

→ gunakan ragam sampel gabungan (sgab2 )



x xn n

x xn ndb db1 2 gab 1 2 gab- - t s < - < - + t s

( ; ) ( ; )α αµ µ2 2

1 1 1 1

1 21 2

1 2

× × +

× × +

sn s n s

n ngab2 1 1

22 2

2

1 2

1 1

2=

− −+ −

( ) ( ) + dan s sgab gab= 2

dan derajat bebas (db) = n n1 2 2+ −


Contoh 6:

12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter( x2 22= ) teh dengan Ragam = 16. ( s2

2 16= )10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter( x1 36= ) teh dengan Ragam = 25. ( s1

2 25= )

Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai sama, hitung :

a. derajat bebasb. Ragam dan Simpangan baku gabungan kedua sampelc Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang

diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris.a. db = n n1 2 2+ − = 10 +12 - 2 = 20

9

b. sn s n s

n ngab2 1 1

22 2

2

1 2

1 1

2=

− −+ −

( ) ( ) + =

( ) ( ).

9 25 11 16

20

401

2020 05

× + ×= =

s sgab gab= 2 = 20 05 4 477. . ...=

c. Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005db = 20

Nilai t (db = 20; α/2 = 0.005) = 2.845

x xn n

x xn ndb db1 2 gab 1 2 gab- - t s < - < - + t s ( ; ) ( ; )α αµ µ

2 2

1 1 1 1

1 21 2

1 2

× × +

× × +

36 22 2 4 4771

10

1

1236 22 2 4 477

1

10

1

121 2− × × +

− × × +

- .845 < - < + .845 . ... . ...µ µ

14 - 5.45 < |µ µ1 2− | < 14 + 5.45 8.55 < |µ µ1 2− | < 19.45

3.4 Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari data berpasangan (paired data) sampel-sampel kecil

Data berpasangan didapat dari 1 individu (yang relatif) sama yang dikenai 2 perlakuan.

Selang Kepercayaan 6:


d ts

nd t

s

ndbd

dbd− ×

< − < + ×

; / ; /α αµ µ2 1 2 2

derajat bebas (db) = n-1


x1

n : banyak pasangan datadi : x1i- x2i: selisih pasangan data ke-i untuk i = 1,2,3,...n

10

d : rata-rata dIn

dd i∑=

s d2

: ragam nilai d sd d

ndi2

2

1=

−−

∑ ( )

s d : simpangan baku d2dd ss =

Contoh 7: Banyak produk rusak pada 2 shift diukur dari 4 karyawan.

Banyak Produk yangrusak

Nama Shift malam(x1)

Shift Pagi(x2)

di d (di - d ) (di - d )²

A 10 3 7 8 -1 1B 15 5 10 8 2 4C 9 4 5 8 -3 9D 12 2 10 8 2 4

Σ di=32 Σ(di - d )²=18

n = 4 dd

ni=

∑= =

32

48

sd d

ndi2

2

1=

−−

∑ ( )= =

18

36 dan s sd d= 2 = =6 2 449. ...

Selang kepercayaan 99% untuk data berpasangan tersebut adalah:Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005db = n-1 = 4-1 = 3 Nilai t (db = 3; α/2 = 0.005) = 5.841

d ts

nd t

s

ndbd

dbd− ×

< − < + ×

; / ; /α αµ µ2 1 2 2

8 58412 449

48 5841

2 449

41 2− ×

< − < + ×

.. ...

.. ...

µ µ

8 7 15 8 7 151 2− < − < +. ... . ..µ µ

0 85 15151. .< − <µ µ

11

4. Pendugaan Proporsi

• Pengertian proporsiπ = proporsi populasip = proporsi "sukses" dalam sampel acak

1 - p = q = proporsi "gagal" dalam sampel acak

Misal : kelas "sukses" → "menyukai seafood"kelas "gagal" → "tidak menyukai seafood"

4.1 Pendugaan 1 Nilai Proporsi dari sampel besar Pendugaan Proporsi lebih lazim menggunakan sampel besar, jadi lebih lazim menggunakanDistribusi z.

Selang Kepercayaan 7:

Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi π adalah :

p zp q

n p z

p q

n - < < +α απ

2 2×

×

×

×

ingat→ 1 - p = q

• Ukuran Sampel untuk pendugaan proporsi

Ukuran Sampel pada Selang Kepercayaan (1-α) dengan Error (galat) maksimal= E

nz p q

E=

× ×

α /22

2

n di ceiling!

n : ukuran sampelE : error maksimal → selisih p dengan π

Contoh 8:Dari suatu sampel acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood.

a. Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi yang menyukaiseafood

Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z2 5 0 025 1 96. % . .= =p = 160/500 = 0.32 q = 1 - p = 0.68

12

p zp q

n p z

p q

n - < < +α απ

2 2×

×

×

×

0.32 - < < 0.32 + 1 960 32 0 68

5001 96

0 32 0 68

500..

. ...

. .×

×

×

×

π

0.28 < π < 0.36

b. Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 95 % dan Error maksimal = 2%

nz p q

E=

× ×

α /22

2

=

196 0 32 0 68

0 02

2

2

. . .

.

× ×

= 2089.8304 = 2090

4.2. Pendugaan Beda 2 Proporsi dari sampel-sampel besar


Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi π π1 2− adalah :

p pp q

n

p q

np p

p q

n

p q

n1 2 1 2- - z

< - < - + z

α απ π2 2

1 1

1

2 2

21 2

1 1

1

2 2

2

××

+×

×

×+

×

Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak atau gunakan p p1 2>

Contoh 9:Dari 1000 penduduk Jakarta, 700 menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru ( p2 =0.70)Dari 800 penduduk Surabaya, hanya 200 yang tidak menyetujui aturan lalulintas baru( q1 0 25= . )

Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi beda proporsi penduduk Jakarta dan Surabayayang menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru.

kelas "sukses" = menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru.

p2 = 0.70 → q p2 21= − = 1 - 0.70 = 0.30

q1 0 25= . → p q1 11= − = 1 - 0.25 = 0.75

p p1 2− = |0.75 - 0.70| = 0.05

Selang kepercayaan 90 % → α = 10 % → α/2 = 5 % → z z5 0 05 1 645% . .= =

13

p pp q

n

p q

np p

p q

n

p q

n1 2 1 2- - z

< - < - + z

α απ π2 2

1 1

1

2 2

21 2

1 1

1

2 2

2

××

+×

×

×+

×

0 05800 1000

0 05800 10001 2. . - 1.645

0.75 0.25 0.7 0.3 < - < + 1.645

0.75 0.25 0.7 0.3×

×+

×

×

×+

×

π π

0 05 0 051 2. . - (1.645 0.02108...) < - < + (1.645 0.02108...)× ×π π

0 05 0 051 2. . - 0.03467... < - < + 0.03467...π π

0.01532... < - < 0.08467...π π1 2

selesai

Documents

Estimasi