Estrutura de Concreto Armado - João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Estruturas de concreto armado

^/

FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE Df BRASÍLIA

Reitor pró têmporaRoberto A. R. de Aguiar

Vi cê-ReitorJosé Carlos Balthãzar

UriBDiretorNorberto Abreu e Silva Neto

Conselho EditorialNorberto Abreu e Silva NetoPresidente do Conselho

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Conselho Superior (01/09/2008 a 01/10/2008):

Prof°. António César Pinho Brasil JúniorProf°. Augusto César Bittencourt PiresProf°. Fernando Jorge Rodrigues NevesProf°. Ivan Marques de Toledo CamargoProf°. José Imana EncinasProf°. José Maurício Santos Torres MottaProf°. Marco Aurélio Gonçalves de OliveiraProP. Marie TogashiProf°. Milton Luiz SiqueiraProfa. Silvia Regina GobboProfa. Thérèse Hofmann Gatti Rodrigues da Costa

Administrador Judicial ProvisórioWashington Mala Fernandes

Estruturas deconcreto armado:

fundamentos de projeto,dimensionamento e verificação

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

^ edição revisada

Brasília, 2008

EDITORA

UnB

EQUIPE EDITORIAL

Supervisão editorialDlval Porto Lomba

Coordenação editorialRejane de Meneses

Preparação de originais e revisãoSonja Cavalcanti

DiagramaçãoHeonir S. Valentim e Raimunda Dias

CapaMárcio Duarte, sobre obra de ZèCésar{técnica mista em papelão)

Copyright © 2005 òy Finatec

Impresso no Brasil

Fotografias(Acervo pessoal do autor)

Capitulo l Palácio da AlvoradaCapitulo 2 Catedral de BrasíliaCapítulo 3 Palácio do ItamaratyCapítulo 4 Palácio do Itamaraty — escada do salão principalCapítulo 5 Palácio da JustiçaCapítulo 6 Palácio do PlanaltoCapítulo 7 Supremo Tribunal FederalCapítulo 8 Teatro Nacional de BrasíliaReferências Panteão da PátriaApêndice Universidade de Brasília - Instituto Central de Ciências

Este livro foi aprovado pelo Conselho Superior da FINATEC, noâmbito do seu Programa de Fomento: Auxílio à Publicação - Edital03/2001-2002.

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Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de Brasília

Clímaco, João Carlos Teatini de SouzaC639 Estruturas de concreto armado: fundamentos de proje-

to, dimensionamento e verificação / João Carlos Teatini deSouza Clímaco. - 2. ed. revisada. Brasília : Editora Universi-dade de Brasília : Finatec, 2008.

410 p. ;22cm.

ISBN 978-85-230-1223-6 (Editora Universidade de Brasília)ISBN 978-85-85862-37-4 (Finatec)

l. Concreto armado - projeto. 2. Concreto armado -dimensionamento e verificação, l. Título

CDU 624.012.45

À minha esposa, Rosana, e aos filhos, Joana, Júliã e Leonardo.

Aos meus pais, Nini e João (In memoriam).

Sumário

PREFACIO 11

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

l .1 Estudo do concreto armado na engenharia estrutural 17

1.2 Público-alvo.... 19

1.3 Objetivos 20

1.4 Descrição do conteúdo.. 22

1.5 Referências básica e complementar 23

1.6 Descrição das atividades de auto-avaliação 24

1.7 Auto-avaliação. 26

CAPÍTULO 2-BASES DA ASSOCIAÇÃO CONCRETO-AÇO

2.1 Objetivos 31

2.2 Origem do concreto armado... 31

2.3 Formas de associação entre concreto é aço 36

2.4 Histórico do emprego do concreto estrutural 42

2.5 Vantagens e desvantagens do concreto armado 44

2.6 Normas técnicas 46

2.7 Auto-avaliação 54


CAPITULO 3-FUNDAMENTOS DO PROJETO DE ESTRUTURAS DE

CONCRETO ARMADO

3.1 Objetivos 61

3.2 Classificação das peças estruturais 62

3.3 Simbologia 65

3.4 Análise da edificação 67

3.5 Análise da estrutura 68

3.6 Arranjo ou lançamento estrutural 70

3.7 Síntese estrutural 74

3.8 Segurança estrutural 75

3.9 Valores característicos 81

3.10 Valores de cálculo 89

3.11 Materiais constitutivos 95


CAPÍTULO 4-CÁLCULO DE PILARES ÀCOMPRESSÃO CENTRADA

4.1 Objetivos ...119

4.2 Conceitos preliminares 121

4.3 Pilares curtos e medianamente esbeltos: processo aproximado 135

4.4 Cálculo de pilares à compressão centrada 142

4.5 Prescrições da NBR 6118: 2003 144

4.6 Exemplos 156


Sumário

CAPÍTULO 5 - CÁLCULO DE ELEMENTOS LINEARES À FLEXÃO PURA

5.1 Objetivos 177

5.2 Conceitos preliminares 178

5.3 Modos de ruptura à flexão pura 182

5.4 Dimensionamento das seções à flexão pura no estado limite último ... 184

5.5 Prescrições da NBR 6118: 2003 201

5.6 Cálculo de seções retangulares com armadura dupla...... 205

5.7 Cálculo de seções em forma de "T" 209

5.8 Exemplos 216


CAPÍTULO 6- CÁLCULO DE ELEMENTOS LINEARES À FORÇA CORTANTE

6.1 Objetivos 233

6.2 Distribuição das tensões tangenciais na seção 234

6.3 Dimensionamento à força cortante pelo modelo da treiiça de Mõrsch.. 242

6.4 Prescrições da NBR6118: 2003 254

6.5 Compatibilízação dos cálculos à flexão e à força cortante 258

6.6 Exemplos 265

6.7 Auto-avaliação...., 277

CAPÍTULO 7 - CÁLCULO DE LAJES MACIÇAS RETANGULARES

7.1 Objetivos................................................................. 285

7.2 Considerações preliminares 287

7.3 Avaliação de cargas nas lajes 293

10 João Carlos Teatini de Souza Clímaco

7.4 Cálculo de esforços em lajes retangulares 298

7.5 Cargas das lajes nas vigas 309

7.6 Dimensionamento de lajes retangulares. , 310

7.7 Detalhamento 316

7.8 Exemplos.... 322

7.9 Auto-avaliação. 329

CAPÍTULO 8-VERIFICAÇÕES AOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇQ

8.1 Objetivos 343

8.2 Considerações preliminares 345

8.3 Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W) 348

8.4 Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF).......................... 355

8.5 Exemplos 369

8.6 Auto-avaliação... 378

REFERÊNCIAS 385

APÊNDICE

A.1 Roteiro para o cálculo de pilares pelo processo aproximado

da compressão centrada equivalente 393

A.2 Roteiro para o cálculo de elementos lineares à flexão pura 397

A.3 Roteiro para o cálculo de elementos lineares à força cortante 402

A.4 Roteiro para o cálculo de lajes retangulares maciças 405

Prefácio

Está publicação surgiu da necessidade de um textobase para a disciplina Estru-

turas de Concreto Armado 1, do curso de graduação em Engenharia Civil da Uni-

versidade de Brasília, Editada pela primeira vez em agosto/1993, em forma de

apostila, passou por um processo contínuo de revisão e complementação, tendo

sempre como objetivos principais a clareza didática, a concisão e o equilíbrio dos

aspectos técnicos e científicos dos assuntos tratados.

O texto propõe-se, principalmente, a auxiliar os que se iniciam no projeto de

estruturas de concreto. O conteúdo é dividido em oito capítulos, cinco deíes com

exemplos resolvidos, e, ao final de cada capítulo, consta Uma lista de exercícios

propostos de auto-avaliação, importantes para aumentar a habilidade do leitor na

matéria.

Nos três capítulos iniciais, são introduzidos os fundamentos do projeto de estrutu-

ras de concreto armado. Nos capítulos 4 a 8, apresentam-se os principais proce-

dimentos de cálculo e as disposições normativas para o dimensionamento e a

verificação dos elementos estruturais básicos de concreto armado: pilares à com-

pressão centrada, elementos lineares à flexão pura e à força cortante e lajes

maciças retangulares de edifícios. Esse ordenamento de conteúdos procura ser

compatível com a sequência usual do estudo de peças isoladas na Mecânica dos

Sólidos e Resistências dos Materiais: barras sob tração/compressão axial, mo-

mentos fletores e forças cortantes. Logo após vem o estudo de placas de concre-

to, em geral não abordado nas disciplinas básicas. Ao final, consta um Apêndice,

com quatro roteiros de consulta rápida para o cálculo de elementos isolados.

O trabalho tem por base a norma brasileira NBR6118: 2003- Projeto de estrutu-

ras de concreto - procedimento, historicamente conhecida como NB-1, que en-

1 2 João Carlos Teatini de Souza Clímaco

trou em vigor em março de 2004. Sendo relativamente recentes as mudanças

introduzidas, algumas com grande impacto em vários aspectos do cálculo e da

execução de estruturas de concreto armado, foram incluídos comentários e com-

parações com a versão anterior da NB-1, de 1978, visando contribuir para um

melhor entendimento dessa norma e estimular o seu efetivo cumprimento.

Não se teve a pretensão de esgotar nenhum dos assuntos tratados, sendo, por-

tanto, altamente recomendável consultar a bibliografia complementar apresentada.

É importante também ressaltar o excelente material didático e informativo hoje dis-

ponível nos meios de comunicação, em especial a Internet, de grande utilidade na

busca e atualização de conhecimentos. Embora sejam os estudantes de Engenha-

ria Civil e Arquitetura o seu principal público-alvo, espera-se que o trabalho possa

também auxiliar o dia-a-dia de profissionais envolvidos nessas áreas. As contribui-

ções e as sugestões porventura encaminhadas pelos leitores serão bem-vindas.

Um agradecimento sincero aos colegas do Departamento de Engenharia Civil e

Ambiental da Universidade de Brasília que, de diferentes formas, contribuíram

para o enriquecimento deste trabalho e, em particular, aos professores Eldon Londe

Mello e Marcello da Cunha Moraes, formadores de várias gerações de engenhei-

ros de estruturas e de cujos ensinamentos muito nos beneficiamos, e Guilherme

Sales Melo, pelas oportunas sugestões.

Cabe, também, agradecer ao saudoso professor Fernando Luiz Lobo Barbosa

Carneiro, um "mestre dos mestres", pela honra de ter sido por ele orientado no

mestrado. Reitero aqui a gratidão a ele manifestada na minha dissertação, em

1975, "pelo exemplo dado de que o conhecimento é algo tão importante que deve

ser transmitido integralmente a quem o deseja receber".

Agradeço aos professores Teresa Bardisa Ruiz e Jesus Martin Cordero, da

Universidad Nacional de Educación a Distancia- Uned, da Espanha, pelo apoio e

a orientação em estágio realizado na instituição, no ano 2000, de grande valia

para uma reflexão sobre minhas atividades didáticas no ensino superior, o qual,

acredito, necessita de uma urgente reavaliação no Brasil.

Prefácio 1 3

Presto uma homenagem a todos os profissionais envolvidos na construção de

Brasília, em especial Oscar Niemeyer, Joaquim Cardozo e seus colaboradores

anónimos, que deixaram ao mundo um legado de beleza, ousadia e competência:

a única cidade construída no século XX agraciada pela Unesco com o diploma de

Património da Humanidade. Como registro, as páginas iniciais dos capítulos des-

te livro trazem fotografias de alguns de seus monumentos.

Um tributo aos colegas professores universitários, em especial das instituições

públicas, pelo seu esforço muitas vezes pouco reconhecido. O conteúdo deste

trabalho-elaboração do texto, fotografias, figuras, digitação, etc.- foi totalmente

produzido pelo autor. Esse registro não deve ser entendido como motivo de orgu-

lho, mas de exemplo das condições muitas vezes precárias de nosso trabalho.

Agradeço ainda a contribuição dos alunos do curso de Engenharia Civil e do Pro-

grama de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da UnB. Além de

serem a motivação primeira, tiveram participação fundamental como usuários e

colaboradores nas incontáveis correções deste texto. Nos meus 31 anos como

professor da UnB, devo destacar a aprendizagem constante no convívio com os

estudantes, de que pretendo ainda desfrutar por muito tempo.

Pela foto da obra de arte da primeira capa - técnica mista em papelão - agradeço

ao autor, meu irmão ZèCésar, professor da Faculdade de Artes Visuais da Univer-

sidade Federal de Goiás.

•Finalmente, meu agradecimento à Editora Universidade de Brasília pela publica-

ção deste livro, em especial ao Heonir Valentim pela dedicação e boa vontade na

editoração eletrônica e à Sonja Cavalcanti pela revisão.

Brasília, setembro de 2005


Correio eletrôníco: [email protected]

l

Capítuilo 1j

INTRODUÇÃO !

1.1 .Estudo do concretolarmado na engelharia'estrutural l

1.2 Público-aLvo - \3 /Objetivos j l ',

; 1.4 / Descrição do conteúdo1.5/ Referencias básica e/ complem.ejjtar i

J .6---Descrição das atiyidades^de autoíavaliaçãoAutoravaliação

Introdução

1.1 ESTUDO DO CONCRETO ARMADO NA ENGENHARIA ESTRUTURAL

O ensino da engenharia estrutural nos cursos de graduação em Engenharia Civil

compreende, no início, um conjunto de disciplinas básicas, destinadas ao estu-

do e à análise teórica, em nível crescente de profundidade, de sistemas estrutu-

rais. Nessas disciplinas, os materiais constitutivos das peças estruturais são

considerados "ideais", ou seja: elásticos, homogéneos e isótropos.

Elásticos: apresentam resposta linear, isto é, quandosubmetidos a solicitações, as deformações sãoproporcionais às tensões.

Homogéneos: apresentam as mesmas propriedades em todosos seus pontos.

Isótropos: apresentam as mesmas propriedades em qualquerdireção, no ponto considerado.

No entanto, os materiais das estruturas reais apresentam as características

chamadas ideais deforma apenas parcial e, assim mesmo, com limitações. Na

atualidade, dois materiais estruturais são predominantes: o concreto e o aço.

Nas estruturas das edificações correntes, eles muitas vezes se complementam

e, outras vezes, competem entre si, pois estruturas com tipologia e função simi-

lares podem ser construídas com qualquer um dos dois materiais, com vanta-

gens e desvantagens para cada um.

Ainda nessa fase inicial do curso, estudam-se os materiais, as tecnologias e o

planejamento das construções, em cadeiras específicas, geralmente ministra-


das em paralelo. Pelo seu maior uso, o concreto e o aço são os materiais

estruturais mais estudados, assim como se dedica maior tempo às edificações

com estruturas de concreto armado.

Em uma segunda fase da graduação em Engenharia Civil, vem outro conjunto de

disciplinas, de carátertécnico-profíssionafizante, que se dedicam ao estudo dos

projetos de estruturas de concreto e metálicas, e, com menor ênfase, de madeira.

No caso do projeto de estruturas de concreto, por razões didáticas, o estudo é,

em geral, subdividido em disciplinas relativas ao concreto armado e protendido, às

estruturas de fundações, de pontes e especiais. A amplitude de conhecimentos

envolvidos é grande, sendo também grandes as variações nos conteúdos estuda-

dos, em cursos de graduação e de pós-graduação, no Brasil e no exterior.

A escola brasileira de ensino do concreto estrutural, historicamente, guardava

maior similaridade com a europeia, particularmente a da França, onde estudou a

maior parte de nossos primeiros especialistas no tema. Mais recentemente, é

também considerável a influência da Inglaterra, da Alemanha, da Espanha e dos

Estados Unidos.

Vale comentar, ainda, que, na maioria das universidades brasileiras, persiste uma

importante lacuna no ensino da engenharia estrutural, na transição da etapa inici-

al, de cunho mais teórico, para a de projeto, mais prática. Antes de se iniciar essa

segunda etapa, seria conveniente haver uma disciplina de caráter mais genérico,

que introduzisse os critérios básicos de projeto que direcionam a escolha dos

sistemas estruturais disponíveis, de acordo com a natureza das edificações. Nela

seriam estudados os diversos sistemas e materiais estruturais e respectivos mo-

delos teóricos de análise, explorando as suas possibilidades, simplificações e

[imitações para uso em estruturas reais. Uma das origens dessa lacuna na apren-

dizagem é a excessiva compartimentação do conhecimento, proveniente de uma

falsa ambiguidade entre teoria e prática e da pouca valorização nas universidades

do trabalho em equipe. É também digna de nota a ausência de um estudo siste-

mático da "história da engenharia" e suas conquistas, nos vários campos de co-

nhecimento, importante para a formação ampla do profissional.

Capítulo l - Introdução 1 9

Como consequência da lacuna mencionada, parte considerável dos estudantes

de Engenharia Civil sente, nessa transição, uma insegurança que leva, com

frequência, a questionamentos sobre a utilidade dos conhecimentos adquiridos

quanto à sua aplicação no projeto e na execução de estruturas. Hoje, essa

situação é, paradoxalmente, agravada pela disponibilidade ampla de programas

computacionais de cálculo estrutural, ferramentas de extrema utilidade nas mãos

de bons profissionais, mas inconvenientes e perigosas se usadas por pessoas

com qualificação inadequada.

O estudo das estruturas de concreto ocupa parte significativa da segunda etapa

dos currículos dos cursos de Engenharia Civil e, como mencionado, sua subdivi-

são em diversas disciplinas deve-se apenas a questões didáticas e práticas. Nes-

se sentido, deve-se sempre ter claro que a estrutura é apenas um subsistema da

edificação- um sistema global bem mais complexo. Em uma edificação conven-

cional, residencial ou comercial, por exemplo, podem ser distinguidos vários

subsistemas, além do estrutural: instalações (hidráulica e saneamento, elétrica,

telefonia, condicionamento ambiental, etc.), elevadores, vedações, fachadas, aca-

bamentos, manutenção, etc. Assim, é essencial que a eficiência da estrutura seja

analisada, sempre, em estreita relação com os demais subsistemas.

O bom desempenho de uma edificação, como um conjunto, nãoexiste como condição isolada, mas é o resultado da boa integração

e do trabalho em equipe, nas diversas etapas da vida útil da edificação:planejamento, projeto, execução, utilização e manutenção.

1.2 PUBLICO-ALVO

Esta publicação é destinada, principalmente, aos estudantes que se iniciam na

atividade, e por que não dizer, na "arte" de projetar estruturas de concreto. O traba-

lho se fundamentou na busca constante da clareza didática, concisão e simplicida-

de, tentando equilibrares aspectos científicos, técnicos e práticos da matéria.

20 João Carlos Teatíní de Souza Clímaco

Tentou-se também, sempre que possível, introduzir tópicos de interesse à exe-

cução, utilização e manutenção de estruturas de concreto que satisfaçam os

requisitos de qualidade e durabilidade. Espera-se que, de alguma forma, o texto

possa também ser útil no dia-a-dia dos profissionais que militam na área e,

ainda, àqueles que, por necessidade eventual, curiosidade ou desafio, desejem

ampliar seus conhecimentos sobre as estruturas de concreto.

1.3 OBJETIVOS

O objetivo geral deste trabalho é apresentar os conceitos fundamentais do proje-

to de estruturas de concreto armado e rever as propriedades dos materiais cons-

tituintes de interesse para o projeto e a durabilidade das edificações. São

apresentados os procedimentos para o dimensionamento, a verificação e as

disposições normativas de peças estruturais elementares: pilares à compres-

são centrada, vigas à flexão pura e à força cortante e lajes maciças retangulares

de edifícios.

Entende-se por cálculo ou dimensionamento de uma estrutura de concreto como

o conjunto de atividades de projeto que conduz à determinação das dimensões

das peças e respectivas armaduras de aço, bem como ao detalhamento da dispo-

sição dessas armaduras, no interior das peças e em suas ligações, a fim de

suportar as ações atuantes na edificação. Esse processo deve atender às dispo-

sições das normas técnicas pertinentes, para que a estrutura tenha uma garantia

adequada de segurança à ruptura e um bom desempenho sob as condições pre-

vistas de utilização e ambientais.

Normas técnicas são documentos que estabelecem as regras e asdisposições convencionais que visam garantir a qualidade na fabri-cação de um produto, a racionalização da produção e a transferên-

cia de tecnologias, nos diversos aspectos relativos à segurança, à

funcionalidade, à manutenção e à preservação do meio ambiente.

Capitulo l - Introdução 21

No que se refere, especificamente, ao estudo dos métodos e das disposições

normativas relativas ao projeto de estruturas de concreto armado, pretende-se

que esta publicação possa contribuir para os seguintes objetivos específicos:

a) Entender os fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado e das

diversas etapas envolvidas na definição da estrutura de uma edificação, a

partir da análise de seu projeto de arquitetura.

b) Entender os fundamentos do lançamento ou arranjo estrutural, etapa do projeto

em que se define a disposição das peças estruturais, em conformidade com

os projetos de arquitetura e instalações, a fim de suportar as ações na

edificação, em todo o seu trajeto até as fundações, atendendo aos requisitos

essenciais de viabilidade do processo de cálculo.

c) Efetuar uma revisão das propriedades do concreto e do aço - materiais

constitutivos das estruturas de concreto armado - relevantes para o projeto

estrutural.

d) Identificar os requisitos essenciais de projeto que contribuem para uma

execução correta e os principais parâmetros relativos à durabilidade e à vida

útil de uma edificação.

e) Dominar os procedimentos para dimensionamento e verificação de pilares à

compressão centrada; vigas à flexão pura e à força cortante e lajes maciças

retangulares de edifícios.

Pretende-se, ainda, que o leitor deste texto tenha sempre presente, como fator

essencial na garantia de qualidade de uma edificação, a indissociabilidade dos

condicionantes do projeto estrutural: segurança, funcionalidade, durabilidade e

economia.

22 João Carlos Teatini de Souza Climaco

1.4 DESCRIÇÃO DO CONTEÚDO

O conteúdo do texto está dividido em oito capítulos e um apêndice, abaixo listados:

Capítulo 1 - Introdução.

Capítulo 2 - Bases da associação concreío-aço.

Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado.

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada.

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura.

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares.

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço.

Apêndice - Roteiros para o cálculo de elementos estruturais básicos de concreto

armado, segundo a norma NBR 6118:2003.

Os Capítulos 1, 2 e 3 têm um caráter mais dissertativo e pretendem, de forma

bastante resumida, suprira lacuna na transiçãoteoria-prática, mencionada no

item 1.1.

O Capítulo 1 tem por objetivo contextualizar o trabalho no estudo da engenharia

estrutural e apresentar seu conteúdo.

O Capítulo 2 apresenta uma descrição geral e sucinta das bases da associação

entre o concreto e o aço para constituir o material estrutural concreto armado e

um resumo histórico de seu emprego, com as principais vantagens e desvanta-

gens. É feita, também, uma apresentação das normas técnicas pertinentes mais

utilizadas.

O Capítulo 3 discute as etapas que levam à definição da estrutura de uma edificação,

introduz os conceitos e os parâmetros envolvidos na segurança estrutural e apre-

senta as principais propriedades dos materiais (aço e concreto) de interesse para

o projeto de estruturas de concreto armado.

Capítulo 1 - Introdução 23

Os 'Capítulos-4, 5, '6, 7 e 8 têm caráter mais.prátíco, descrevendo os procedimen-

tos para o dimensionamento e a verificação das peças elementares de concreto

armado. De início, considera-se a atuação isolada das solicitações-força nor-

ma'I, -momento Hetor -e 'força cortante. Posteriormente, analisam-se as disposi-

'çSes -de cálculo referentes 'â atuação conjunta -"dos dois últimos. 1O cálculo de

SB'ções à flexão composta, resultante da combinação de força'normal e momento

'fletor, porsua(complexidadee-extensão escapa aos objetivos do presente texto.

O -Apêndice, '-Roteiros -para -o cálculo de 'elementos -estruturais básicos -de con-

creto armado, segundo a norma NBR 6118:2003", incluído ao final do texto, tem o

objetivo de servir a consultas rápidas, resumindo os conteúdos dos Capítulos 4,

'5,'6,7,-no-'que'se refere às-etapas "de-dimensionamento'das peças isoladas.

1.5 REFERÊNCIAS BÁSICA E COMPLEMENTAR

Pela natureza própria deste material de aprendizagem, referido às disciplinas de

estruturas de concreto armado do curso de Engenharia Civil da UnB, e pelos

temas e objetivos definidos, não se teve a pretensão de esgotar nenhum dos

assuntos tratados. Dessa forma, após o último capítulo deste texto, apresen-

tam-se vários títulos de interesse, que podem ser subdivididos em referências

básica e complementar.

Na qualidade de referência básica, estão referenciadas as normas técnicas

da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), em especial a NBR

6118: 2003 - Projeto de estruturas de concreto - procedimento. Historica-

mente conhecida como NB-1, a última versão dessa norma, editada em mar-

ço/2003, é indispensável ao acompanhamento deste texto, sendo constantes

as citações de itens ou artigos nela contidos. Cada vez que for mencionado

no texto um item da NBR 6118, ou das demais normas citadas, é altamente

recomendável a leitura desse item, para conhecimento do enunciado com-

pleto e das disposições normativas adicionais, sendo esse conteúdo consi-

derado parte integrante do assunto em questão. Nas referências de itens da


norma no texto, será usada a convenção NBR 6118 -v xx,xx.xx(xx.xx.xx =

numeração do item respectivo da norma).

No âmbito técnico-científico, a pluralidade bibliográfica é sempre desejável. Dessa

forma, são referenciadas várias publicações, de utilidade para o aprofundamento

dos temas abordados. Entre esses títulos complementares, pela propriedade na

conjugação dos aspectos didático e técnico-científico, merecem destaque: Fun-

damentos do projeto estrutural e Técnicas de armar as estruturas de concreto,

livros de autoria do professor Péricles Brasiliense Fusco (Escola Politécnica da

Universidade de São Paulo - EPUSP), e o Curso de concreto, em especial o

volume l, do engenheiro José Carlos Sussekind (ex-professor da PUC-Rio e proje-

tista de grande parte das obras recentes do arquiteto Oscar Niemeyer).

1.6 DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES DE AUTO-AVALIAÇÃO

A aplicação constante dos conhecimentos apreendidos é essencial a um proces-

so de aprendizagem motivado e dinâmico. Dessa forma, o texto contém ativida-

dês de auto-avaliação, em cada capítulo, com o objetívo de repassar e consolidar

os conteúdos, buscando aplicá-los a situações práticas.

Essas atividades estão divididas em dois tipos:

^ exercícios resolvidos sobre o conteúdo exposto, em geral ao final de cada

capítulo, com uma discussão resumida dos aspectos mais relevantes ou

sujeitos a dúvidas;

^ lista de questões e exercícios propostos, no final de cada capítulo, no sentido

de motivar a auto-avaliação. Após os enunciados, são apresentados comentários

e sugestões para auxiliar sua resposta.

Cabe ressaltar que a maioria dos exercícios relativos ao dimensionamento ou

à verificação de peças estruturais de concreto armado não apresenta, com


frequência, uma resposta única. Um aspecto importante do projeto estrutural é

que diferentes arranjos das peças podem ser satisfatórios em uma mesma

edificação. Além disso, para um mesmo arranjo de lajes, vigas e pilares, po-

dem também ser viáveis peças estruturais com seções de concreto de dimen-

sões diferentes, o que conduz a áreas das armaduras de aço também diferentes.

E, no caso extremo, para peças com seções de concreto iguais, com iguais

solicitações e mesmas condições de agressividade ambiental e, portanto, mes-

mas áreas calculadas de armadura, podem ser escolhidas, entre as opções

comercialmente disponíveis, conjuntos de barras com diâmetros diferentes.

Dessa forma, diversas soluções podem ser tecnicamente viáveis para um mesmo

problema, e as respostas não devem ser encaradas como únicas, podendo

haver algumas mais convenientes, em função das condições impostas nos

enunciados.

O estudo das estruturas de concreto armado, assim como nas demais áreas da

Engenharia Civil e outras ciências, dá-se pelo acúmulo e encadeamento de co-

nhecimentos, o que exige do estudante rotina e dedicação. O tempo requerido de

estudo varia de pessoa para pessoa, envolvendo diversos fatores, como a base e

o conhecimento acumulados, a motivação e a identificação com o tema. No en-

tanto, um aspecto é consensual entre os especialistas em educação: para o

sucesso no processo de aprendizagem, respeitadas as características e as

metodologias particulares de estudo, é essencial o estabelecimento de rotinas,

com períodos regulares de estudo, em função do tempo disponível e dos graus de

dificuldade envolvidos. Vale ressaltar que, ainda segundo os especialistas, perío-

dos de tempo menores de dedicação mas com uma maior frequência têm eficiên-

cia mais alta que os períodos concentrados com maior espaçamento. Em resumo,

o estudo apenas nas vésperas de provas pode até conduzir à aprovação, mas não

a uma aprendizagem de qualidade.


1.7 AUTO-AVALIAÇÃO

1.7.1 Enunciados

1. Quais são os quatro fatores principais para garantir um projeto estrutural

adequado a uma edificação?

2. Qual é o significado do termo "lançamento" da estrutura de uma edificação?

3. Qual é o significado do termo "dimensionamento" de uma estrutura de concreto

armado?

4. Citar três razões pelas quais é quase impossível haver uma única solução

para problemas envolvendo o cálculo de estruturas de concreto armado.

1.7.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercíciospropostos

1. Segurança, funcionalidade, durabilidade e economia. Deve-se ressaltar que

tais condições são indissociáveis, ou seja, uma falha séria em qualquer

delas pode comprometer todo o projeto.

2. Significa definir o arranjo ou a disposição das peças estruturais, em conformidade

com o projeto de arquitetura, a fim de suportar as ações em uma edificação, em

todo o seu trajeto até as fundações. Cabe ainda lembrar que a estrutura é

apenas um subsistema da edificação, um sistema global bem mais complexo

e, dessa forma, a interação da estrutura com os demais componentes da

edificação é uma condição fundamental para o bom lançamento estrutural.

3. Significa calcularas dimensões das peças da estrutura, as áreas das armaduras

de aço das seções mais solicitadas, e fazer o seu detalhamento, isto é, o

desenho das barras no interior das peças bem como nas ligações entre elas.

4. As principais razões para haver, quase sempre, mais de uma solução para

problemas sobre o cálculo de estruturas de concreto armado são:


a) Diferentes arranjos estruturais podem ser viáveis para o projeto estrutural

de uma mesma edificação.

b) Em um mesmo arranjo estrutural podem ser utilizadas peças com

dimensões diferentes e, consequentemente, com áreas de aço diferentes.

c) Para uma determinada área de aço, podem ser escolhidas barras comerciais

com diâmetros diferentes. Para ficar mais claro, vale a pena analisar a

Tabela 4.4, no final do Capítulo 4, que fornece as áreas de seção de barras

da armadura para as bitolas padronizadas pela norma brasileira NBR 7480:

1996 - Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado.

A Tabela 4.4 fornece, diretamente, a soma das áreas das barras, A ,

expressas em cm2, para grupos de até dez barras ou fios.

Capítulo 2BASES DA ASSOCIAÇÃO

2.1 Qbjetivos2.2'XOrigem do concreto//

armado /'2.3 Formas de associação,^

entre concreto e aço/2.4 Histórico do emprego do

concreto estrutural2.5 Vantagens e 'desvantagens_ do concreto armado^2.6 Normas-técnicas -"2.7 Aútoâvaí.iaçãò~~

Bases da associação concreto-aço

2.1 OBJETIVOS

Os objetivos deste capítulo são:

a) Estabelecer as principais diferenças entre o concreto armado e o pretendido.

b) Conhecer a evolução histórica do uso do concreto armado.

c) Identificar as principais vantagens e desvantagens do concreto armado.

d) Introduziras normas técnicas, com um resumo de sua evolução e uma relação

das normas brasileiras de emprego mais frequente, para o projeto e a execução

de estruturas de concreto armado.

2.2 ORIGEM DO CONCRETO ARMADO

Nas construções da Antiguidade, os materiais estruturais mais empregados fo-

ram, nesta ordem: a pedra e a madeira e, mais tarde, as ligas metálicas. O em-

prego da pedra e da madeira data de, pelo menos, 3 mil anos e o das ligas,

principalmente o ferro fundido, vem de alguns séculos.

Um material de construção com finalidade estrutural deve apre-

sentar, como qualidades essenciais: resistência, durabilidade e

disponibilidade.

32 Jo.io C.-irlor. To.nttnl do Souzci Clim.ico

Os primeiros materiais utilizados apresentavam como principais características:

a) Pedra

Resistência elevada à compressão e baixa à tração; alta durabilidade;

dificuldades de transporte e moldagem.

b) Madeira

Durabilidade e resistências variáveis, em função de vários fatores, como o

tipo e a direção de aplicação das cargas em relação às fibras, proteção a

condições ambientais adversas, eíc. Em geral, parte substancial das madeiras

tem resistências à compressão e à tração deficientes para fins estruturais e

a maioria das que apresentam resistência satisfatória exigem custos elevados

de manutenção. Há que se ressaltar, ainda, as limitações impostas pelas

questões ecológicas e a necessidade de mão-de-obra especializada.

c) Ligas metálicas

Resistências elevadas à tração e à compressão, mas com problemas sérios

de durabilidade em vista da corrosão, com exigência de proteção em face de

condições adversas. Das ligas mais utilizadas, inicialmente, a de maior emprego

foi o ferro fundido. Com o aperfeiçoamento da tecnologia e dos processos

industriais de laminação de perfis, o aço sucedeu o ferro fundido, destacando-

se como material estrutural de grande viabilidade, principalmente a partir da

metade do século XIX, com a Revolução Industrial.

Um grande avanço ocorreu com o desenvolvimento dos chamados materiais

"aglomerantes", que endurecem em contato com a água e tornaram possível a

fabricação de uma "pedra artificial", denominada "concreto" ou "betão", com a

adição de materiais inertes, para aumentar o volume, dar estabilidade físico-

química e reduzir custos. Os romanos já utilizavam um tipo de concreto, usando

como aglomerantes a ca/e a pozolana, de extração natural ou como subprodutos

de outros materiais. As primeiras regras conhecidas de dosagem de materiais

para concreto são atribuídas a Leonardo da Vinci, mas o uso se propagou, prin-

Capitulo 2 - Bases da associação concreto-aço 3 3

cipalmente, a partir do estabelecimento de um processo de fabricação industrial

do cimento Portland, por Joseph Apsdin, na Inglaterra, em 1824, que passou a

ser reproduzido em todo o mundo.

Concreto = Aglomerante + Água + Agregado Miúdo + Agregado Graúdo

pasta^

argamassa

Dessa forma, tem-se o material estrutural "concreto" ou "concreto simples".

Como material estrutural, as principais características do concreto simples são;(

• boa resistência à compressão;

• baixa resistência à tração (1/5 a 1/15 da resistência à compressão);

• facilidades no transporte e na moldagem, podendo ser fundido nas dimensões

e nas formas desejadas;

• meio predominantemente alcalino (pH = 12 a 13,5), o que inibe a corrosão do

açodas armaduras;

• durabilidade elevada, semelhante à da pedra natural;

• emprego limitado a pequenas construções, em peças em que predominam

tensões de compressão não muito elevadas: sapatas de fundação e pisos

sobre terrenos compactados, peças pré-moldadas, arcos, pedestais, estacas,

tubos, blocos, etc.

Desde seus primórdios, o concreto foi ampliando o seu emprego na construção.

No entanto, era necessário superar a sua resistência deficiente à tração, parti-

cularmente nas peças submetidas à flexão. Daí surgiu o concreto armado: da

busca de um material estrutural em que se associasse a essa pedra artificial

um material com resistência satisfatória à tração, denominado armadura. Essa


2.3 FORMAS DE ASSOCIAÇÃO ENTRE CONCRETO E AÇO

2.3.1 Concreto armado

Conceito: é o material estrutural constituído pela associação do con-creto simples com uma armadura passiva, ambos resistindo solida-riamente aos esforços a que a peça estiver submetida.

As barras de aço incorporadas à peça de concreto são denominadas armadura

passiva quando seu objetivo é apenas resistir às tensões provenientes das ações

atuantes, sem introduzir nenhum esforço adicional à peça. Ou seja, as armaduras

em peças de concreto armado só trabalham se houver solicitação. Por exemplo,

enquanto uma viga estiver escorada e, portanto, sem atuação de cargas externas,

as barras de aço não sofrem tensão, a menos daquelas originadas peio processo

de endurecimento do concreto.

A solidariedade entre os materiais é uma propriedade garantida peia aderência

entre o aço e o concreto. O que assegura a existência do material "concreto

armado" é não haver deslizamento ou escorregamento relativo entre ambos quan-

do a peça for solicitada. Portanto, a solidariedade é uma condição básica para

que o conjunto se comporte como uma peça monolítica; ou seja, é indispensável

a aderência eficiente entre os materiais.

A aderência é, portanto, a propriedade que garante o cumprimento das leis bási-

cas que regem os sistemas estruturais elásticos, estudados na Teoria das Estru-

turas. Entre elas, por exemplo, "as seções transversais das peças permanecem

planas quando a carga cresce de zero até a sua ruptura", conhecida como hipóte-

se de Bernoulli. Ou: "as tensões normais na seção são diretamente proporcionais

às distâncias das fibras à linha neutra" - Lei de Navier. Essas leis regem o

comportamento elástico da estrutura, em que os materiais apresentam as ten-

sões proporcionais às deformações, como expressa a Lei de Hooke.

Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço

A Figura 2.1, a seguir, mostra um trecho longitudinal de uma viga de concreto

armado e a respectiva seção transversal retanguiar, com as armaduras longitudi-

nal e transversal. Estando o trecho submetido à flexão pura, sendo o momento

fletor M igual nas duas extremidades, a armadura longitudinal inferior, chamada

de flexão ou principal, será tracionada.

A armadura superior da viga estará comprimida, podendo ou não ser considerada

no cálculo, pois o concreto tem boa resistência à compressão. Mesmo não sendo

considerada, ela é necessária como armadura de montagem, denominada porta-

estribos. Por sua vez, os estribos constituem a armadura transversal e têm dupla

finalidade: resistir às tensões de tração provenientes do cisalhamento (por atua-

ção da força cortante ou do momento torçor- não existentes no caso da flexão

pura) e, também, como armadura de montagem, para manter a posição das bar-

ras longitudinais quando da concretagem da peça.

Na viga da Figura 2.1, a flexão pura provoca a rotação de cada seção em relação à

sua linha neutra. As seções transversais aã e bb assumem a posições a'a'e b'b'e,

como resultado, tem-se a curvatura do eixo neutro da peça. Ensaios de laboratório

mostram que as seções permanecem planas, confirmando a hipótese citada. Para

que isso ocorra, a aderência entre a armadura e o concreto deve garantira compa-

tibilidade de deformações, ou seja, que a uma mesma distância do eixo da peça as

fibras longitudinais de concreto têm deformação igual à das barras de aço no mes-

mo nível. Essa hipótese é utilizada, por exemplo, para determinar a posição da linha

neutra da seção transversal, na qual as tensões normais são nulas.

Seçãotransversa!

Corte longitudinal de trecho depeça sob flexão pura

b1 b

Deformaçõeslongitudinais

encurtamento

'

v&jff

Mxlinha (neutra ( ~J

\ estribo

armadurade tração

/tração 1

I,

t \ \o neutro

armadura

\=\

a' a b b'

*

-} /

a'alongan

/ v rotação da seçãol sob açao do

^ Seção da peça1 sem cargaenla

Figura 2.1 —Viga de concreto armado submetida à flexão pura

38 João Carlos Teatini de Souza Ctímaco

O papel da aderência nas peças de concreto pode ser mais bem entendido por

meio de uma analogia com o comportamento de vigas compostas por peças de

madeira, conforme apresentado por Fusco (1976) e mostrado na Figura 2.2. Su-

pondo que as duas vigotas de madeira da Figura 2.2 (a) estejam apenas

superpostas, sem nenhuma ligação efetiva, o modelo pode ser uma analogia para

uma viga em que o concreto e o aço não tenham aderência adequada. É o que

ocorre, por exemplo, se as barras de aço da armadura de uma viga forem untadas

com óleo ou outro material que reduza a aderência. Nesse caso, a peça executa-

da não pode ser considerada propriamente como de concreto armado e sim como

composta por dois materiais - concreto e aço - trabalhando, do ponto de vista

estrutural, sem solidariedade. As hipóteses citadas da Teoria das Estruturas, que

serão usadas nos capítulos seguintes deste trabalho, perdem a sua validade, pelo

menos parcialmente, ficando prejudicadas como sustentação teórica para a aná-

lise do comportamento da peça.

Na Figura 2.2 (b), supondo haver ligação eficiente entre as vigotas de madeira, por

colagem ou dispositivo mecânico, como, por exemplo, por meio de rebites, o

conjunto se comporta sob flexão como se fosse uma peça única. É uma analogia

para o que ocorre em elementos de concreto armado, em que exista aderência

eficiente entre concreto e aço.

deslizamento

\ ligação mecânica P

a) sem aderência entre as partes b) com aderência

Figura 2.2 -Analogias da aderência concreto-aço com vigas compostas de madeira

Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço 3 9

2.3.2 Concreto pretendido

Conceito: material estrutural constituído pela associação do concre-

to simples com uma armadura ativa, resistindo solidariamente aos

esforços a que a peça estiver submetida.

Deve-se notar que essa definição, com exceção da denominação "ativa" para a

armadura, é a mesma do concreto armado. Nas peças de concreto pretendido, a

armadura, constituída por cabos ou cordoalhas, é submetida a uma força de tra-

ção, aplicada por meio de macacos hidráulicos, antes de ser aplicado o carrega-

mento previsto. Ao serem retirados os macacos, estando as cordoalhas firmemente

ligadas a um sistema de ancoragem, serão induzidas tensões de compressão na

peça, antes de ela receber as cargas previstas. Daí o nome "pretensão" ou "pre-

tensão". Portanto, essa armadura é ativa, pois atua para reduzir, ou até mesmo

eliminar, as tensões de tração que serão produzidas no concreto quando for apli-

cado o carregamento definitivo.

A Figura 2.3 mostra um esquema simples de protensão, em uma viga de seção

transversal retangular, com um cabo de protensão ou cordoalha, coincidente com

o eixo da peça. Na Figura 2.3 (a), uma força axial de protensãoP é aplicada à viga

sem carga. Na Figura 2.3 (b), após se retirar o(s) macaco(s), é induzida uma força

de compressão na peça, por meio do sistema de ancoragem. À direita da figura,

vê-se um esquema das tensões prévias de compressão no concreto, uniformes

por ser o cabo axial. Após a peça ser submetida à carga prevista, que neste caso

se supõe uniformemente distribuída, vai ocorrer a superposição das tensões em

virtude da protensão com as tensões da flexão, com distribuição linear na altura

da seção, conforme a LeideNavier.AFigura2.3 mostra, mais à direita, o diagra-

ma de superposição de tensões, em que se pode ver que a protensão reduziu as

tensões de tração nas fibras inferiores e aumentou as de compressão nas superi-

ores. Se, nas fibras inferiores, as tensões tornam-se de compressão ou são anu-


ladas, tem-se a protensao completa. Quando se admite, ainda, alguma tração

nessas fibras, tem-se a protensao parcial.

ci) Protensao do cabo:

cabo

b) Compressão prévia:

c) Flexão sob carga:

I l 1 l l l l M l l I i l 1 I 1

ancoragemSeção a-a

Superposiçãode tensõesem serviço:

compressãoa

Figura 2.3 - Efeito da protensao de uma viga de seção retangular com cabo axial

Obviamente, a eficiência do processo aumenta com o(s) cabo(s) de protensao

posicionado(s) excentricamente em relação ao eixo da peça, de modo que se

apliquem tensões de compressão mais altas nas fibras mais tracionadas, no caso

as inferiores.

Existem diferentes métodos de pretensão, em função de como e quando se

materializa a aderência entre a armadura ativa e o concreto, podendo-se ter dois

tipos de concreto protendido: com aderência inicial ou com aderência posterior,

No concreto protendido com aderência inicial, o concreto é lançado nas formas,

em gerai metálicas, com os cabos já tracionados, ficando estes em contato

Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço 41

direto com o concreto no seu processo de endurecimento. Após o concreto

atingir a resistência necessária para absorver as tensões de compressão, po-

dem ser liberados os dispositivos externos de reação, contra os quais foi aplica-

da a força dos macacos, sendo então transferida a compressão ao concreto.

No concreto pretendido com aderência posterior, antes da concretagem,

posicionam-se no interior das formas bainhas metálicas ou de plástico, por

onde se introduzem os cabos, ainda sem tensão. Quando o concreto tiver alcan-

çado resistência suficiente, procede-se à protensão dos cabos, com os maca-

cos reagindo diretamente sobre as superfícies de concreto. Após a protensão,

faz-se a injeção de uma nata ou calda de cimento no interior da bainha, sob

pressão, através de dutos específicos. Essa nata deve ser bastante fluida para

garantir o preenchimento correto da bainha e a boa aderência entre a armadura

e o concreto.

Recentemente, na década de 1990, ganhou destaque um sistema de protensão

que usa cordoalhas de aço previamente "engraxadas", que correm dentro de tubos

plásticos, sem aderência, portanto, entre os cabos de protensão e o concreto.

Dessa forma, a transmissão de esforços dos cabos à peça de concreto é feita,

exclusivamente, por meio dos dispositivos de ancoragem, na extremidade das

cordoalhas. Esse sistema vem sendo bastante difundido, principalmente em lajes

pretendidas, pela maior simplicidade na execução, em razão do menor peso dos

macacos e de ser dispensada a injeção da nata de cimento, uma das principais

causas de problemas na execução de estruturas pretendidas.

Deve-se ressaltar, aind.a, qye os sistemas de protensão necessitam de armadu-

ras passiva.?, com barras convencionais. Essas armaduras são indispensáveis

para garantir uma resistência mínima à estrutura, independentemente da

pretensão, bem como para melhorar a distribuição de tensões em zonas especí-

ficas, como, por exemplo, as regiões de ancoragem.

Pode-s,e concluir do expostQ que o, cgncr^to protendido. é, do ponto de vista

tecnológico, um processo mais sofisticado, implicando, para obras comuns,


maiores custos nas etapas de projeto e execução. A redução das tensões de

tração em regiões predeterminadas permite viabilizar estruturas com maiores vãos

e/ou maiores cargas. Atécnica construtiva mais adequada a cada caso, concreto

armado ou pretendido, vai depender de uma análise de viabilidade técnico-econô-

mica que leve em conta a natureza da edificação, os carregamentos e as condi-

ções ambientais previstos, o prazo de execução, os recursos disponíveis, etc.

2.4 HISTÓRICO DO EMPREGO DO CONCRETO ESTRUTURAL

Curiosamente, os primeiros registros históricos de uso do concreto com algum

tipo de armadura com função estrutural não foram creditados a engenheiros. Es-

tes passaram a atuar apenas depois dos primeiros relatos de sucesso do materi-

al, no sentido de desenvolver seu grande potencial na construção em larga escala

e, com o conhecimento teórico e técnico, buscar o emprego racional e científico

do material. Algumas pequenas divergências persistem quanto a datas e/ou auto-

res do invento, especialmente se originadas de países diferentes. Na relação se-

guinte, apresenta-se de forma sucinta, pela ordem cronológica do evento, o nome

do responsável principal e a descoberta:

• 1849-Lambot: barco de concreto com rede metálica (França);

• 1849- Monier: vasos de concreto com armadura (França);

• 1852 - Coignet: primeiros elementos de construção - vigotas e pequenas

lajes (França);

1867/78 — Monier: registro de diversas patentes de elementos para a construção

de vasos, tubos e depósitos (França);

• 1871 - Brannon: estacas de fundação de concreto com armadura (Inglaterra);

• 1873 - Hyatt: colunas com armaduras vertical e helicoidal (USA);

• 1880 - Hennebique: primeira laje de concreto com armadura constituída por

barras de aço de seção circular, semelhante às atuais (França);


1892- Hennebique: patente do primeiro tipo de viga com armadura transversal

constituída de estribos (França);

1897-Rabut: primeiro curso sobre o concreto armado (França);

1902 - Mõrsch: primeira edição de um livro de sua coleção sobre concreto

armado, considerada até hoje como a mais importante referência histórica no

aspecto técníco-científico. Publicou resultados de inúmeros ensaios de

laboratórios e desenvolveu modelos de cálculo, alguns até hoje utilizados

(Alemanha);

1902/08 - Wayss e Freytag: publicação de vários trabalhos experimentais,

associados em firma especializada, até hoje existente (Alemanha);

1907-Koenen: propõe a compressão prévia em peças de concreto, princípio

básico do concreto pretendido (Alemanha);

1928 - Freyssinet: patente do primeiro sistema de protensão, tornando possível

o uso em grande escala da técnica (França).

No Brasil, o uso do concreto armado desenvolveu-se rapidamente no início do

século XX, sendo marcantes os seguintes eventos:

• 1908 - Hennebique: primeira ponte de concreto armado (Rio);

• 1912-RiedIinger; primeira firma de engenharia a construir edificações com

estruturas de concreto armado;

• 1913 — Wayss e Freytag: encampam a firma de Riedlínger, transformada em

uma filial.

Entre alguns eventos notáveis no Brasil, merecem destaque:

• 1908 - conclusão da construção do Edifício A Noite, no Rio de Janeiro, que

durante muitos anos foi record mundial em altura de edifícios com estrutura de

concreto armado;


• 1908-construção de ponte em Santa Catarina por Emílio Baumgart;

- 1955-1960 - construção de Brasília, com projetos principais de arquitetura/

urbanismo de autoria dos arquitetos Oscar Niemeyer e Lúcio Costa, entre

outros. As edificações/monumentos de Brasília, hoje Património Histórico da

Humanidade, com estruturas em concreto armado e pretendido extremamente

arrojadas e esbeltas, marcaram o desenvolvimento mundial desse tipo de

solução construtiva, com destaque para os projetos estruturais do engenheiro

Joaquim Cardozo.

Entre inúmeros engenheiros e pesquisadores que tiveram participação relevante

na história do desenvolvimento da pesquisa e do projeto de estruturas de concreto

armado e pretendido no Brasil, devem-se ressaltar os nomes de Emílio H. Baumgart,

AriTorres, António A. Noronha, Paulo Fragoso, Jayme Ferreira da Silva Jr., Telêmaco

Van Langendonck, Fernando L. Lobo B. Carneiro, Joaquim Cardozo e Aderson

Moreira da Rocha.

2.5 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO CONCRETO ARMADQ

Além daquelas já citadas, podem-se acrescentar outras vantagens na emprego

do concreto armado em estruturas das mais .diversas natu.rezas, valendo ser

mencionadas:

a) Facilmente adaptável às formas, por s.er Iança,dp em estado.. se.miflu.idQ, g

que abre enormes possibilidades p,ara a, concepção arqujtetôniça, Qs adjíivps,

plastificantes e fluidificantes, usados para aumentar a trabaínajb/l/dac/e ,e a

fluidez do concreto, possibilitam o uso do concreto bombeado, que permite

lançaj" g concreto em mangueiras sob pres.sfp, em granei63-. a)tuja_s, c,pm

redução significativa dos custos e prazos das tarefas de transporte e

lançamento.

b) Economia nas construções pela possibilidade de obtenção de materiais nas

proximidades da obra. Vale observar que toda cidade de porte médio py

granate tem, hoje, uma ou majs fábricas de cimento, nc- ,se,y entorno,


c) Facilidade e rapidez na construção com o uso de peças pré-moldadas,

estruturais ou não, e de tecnologias avançadas para a execução de formas e

escoramentos.

d) Durabilidade elevada. Os custos de manutenção das estruturas de concreto

são baixos, quanto atendidos os requisitos das normas técnicas pertinentes.

No entanto, deve-se ressaltar que a manutenção preventiva é essencial,

especialmente em edificações com exposição contínua a agentes agressivos

(ambiente marinho, poluição atmosférica, umidade excessiva, etc.) ou com

emprego do concreto aparente (sem argamassa de revestimento).

e) Boa resistência a choques, vibrações e altas temperaturas.

f} A resistência à compressão do concreto aumenta com a idade.

g) Uso de concretos de alta resistência ou alto desempenho. O grande impulso

na indústria de aditivos para concreto, em especial com o advento da sílica

ativa ou microssflica, permitiu obter concretos com elevadas resistências à

compressão, acima de 100 MPa. As vantagens no uso desses concretos são

enormes, principalmente nas peças comprimidas, com economia na redução

de dimensões e armaduras, além do aumento da durabilidade. No entanto, o

comportamento de peças estruturais com concretos de resistências muito

elevadas, superiores a 50 MPa, não é ainda plenamente conhecido, sendo

este um campo muito promissor para a pesquisa.

As desvantagens mais marcantes do concreto armado como material estrutural

são:

a) Peso próprio elevado (massa específica = 2.500 kg/m3). Aobtenção de concretos

leves para fim estrutural é tecnicamente viável, com a substituição da brita

comum, no todo ou em parte, por agregados leves, como, por exemplo, a argila

expandida. A redução da massa específica pode ser significativa, chegando

para o concreto estrutural a valores da ordem de até 1.600 kg/m3. No entanto,

esses agregados resultam em aumento apreciável de custos, para emprego em


obras convencionais, além de ser necessário avaliar melhor os aspectos de

durabilidade, pois esses concretos tendem a ser, também, mais porosos.

b) Fissuração inerente à baixa resistência à tração. Atendência à fissuração se

inicia na moldagem das peças, pela retração do concreto, característica

intrínseca à sua composição, e persiste durante toda a vida útil da estrutura,

pelas condições ambientais e de utilização, movimentação térmica, etc.

c) Consumo elevado de formas e escoramento e execução lenta, quando

utilizados processos convencionais de montagem de formas e concretagem.

As normas técnicas determinam prazos mínimos para a retirada de formas e

respectivos escoramentos, para as diferentes peças estruturais, O uso de

agentes aditivos para concreto, com diversas finalidades, deve ter

acompanhamento técnico adequado.

d) Dificuldade em adaptações posteriores. Alterações significativas na edificação

exigem revisão do projeto estrutural, o que implica, muitas vezes, a necessidade

de reforço da estrutura.

e) O concreto não é um material inerte e interage com o ambiente. As condições

de agressividade ambiental vão determinar, em cada caso, a espessura da

camada de concreto de cobrimento e proteção das armaduras.

2.6 NORMAS TÉCNICAS.

2.6.1 Generalidades

A massifícação e o constante aumento do emprego do concreto estrutural resulta-

ram na necessidade de se estabelecer padrões de procedimento, dando origem

às normas e aos regulamentos técnicos. As primeiras normas e instruções técni-

cas foram elaboradas na Alemanha (1904), França (1906) e Suíça (1909).

O objetivo das normas é uniformizar, em uma determinada região ou país, os

procedimentos para projeto, controle dos materiais e execução, no sentido de


estabelecer padrões aceitáveis de segurança, funcionalidade e durabilidade para

as edificações. As normas também buscam fornecer métodos de cálculo que

tornem mais simples o trabalho dos profissionais, definindo os (imites de sua

aplicação.

No Brasil, existem dois organismos responsáveis peia normalização, a Associação

Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), entidade privada que é o Fórum Nacional de

Normalização, e o Instituto Brasileiro de Metrologia (Inmetro), entidade governa-

mental. O conteúdo das normas brasileiras é de responsabilidade dos Comités

Brasileiros (CB) e dos Organismos de Normalização Setorial (ONS). As normas

são elaboradas por Comissões de Estudo (CE), formadas por representantes dos

vários setores envolvidos: produtores, consumidores e neutros (universidades, la-

boratórios e outros). Os projetos das normas brasileiras são elaborados no âmbi-

to dos CB e ONS e circulam para consulta pública entre os associados da ABNT

e demais interessados.

No caso do projeto e da execução de edificações com estruturas de concreto

armado e pretendido, as normas da ABNT são divididas nas seguintes catego-

rias: Classificação (CB), Especificação (EB), Método de Ensaio (MB), Proce-

dimento (NB), Padronização (PB), Simbologia (SB) e Terminologia (TB). As

normas de cada categoria são identificadas pelos respectivos prefixos (CB,

EB, etc.), acompanhados por números de ordem e pelo ano da edição em

vigor. Toda norma está sujeita a revisões periódicas regulares, em intervalos

preestabelecidos. Após cada revisão, mantém-se o número de ordem da nor-

ma, mudando-se na identificação o ano da edição vigente. Por exemplo, a

norma brasileira para o projeío de estruturas de concreto armado foi identificada

pela ABNT como NB-1, com as edições subsequentes NB-1/40, NB-1/60, NB-

1/78 e, recentemente, a NB-1/2003.

O Inmetro registra as normas, independentemente das categorias citadas, pelo

prefixo NBR, acompanhado de um número de ordem diferente daquele da ABNT.

As duas notações são usadas na prática; a NB-1 é identificada pelo Inmetro

como NBR 6118. Esta última notação será usada neste texto.

•48 João Carlos Teatiní de Souza Clímaco

Apresenta-se, a seguir, uma relação de alguns títulos de normas relativas a estru-

turas de concreto, em diversos aspectos: projeto, execução, ensaios de mate-

riais componentes e controle tecnológico, com os respectivos números de

ordem, da ABNT e do Inmetro, e o ano da edição em vigor. As normas conside-

radas mais importantes para o uso do presente texto são apresentadas em

itálico.

Normas - procedimentos

• NBR 6118:2003 (NB-1) Projeto de estruturas de concreto-procedimento

• NBR 7187:2003 (NB-2) Projeto de pontes de concreto armado e pretendido -

procedimento

• NBR 6120:1978 (NB-5) Cargas para o cálculo de estruturas de edificações

• NBR 6122:1996 Projeto e execução de fundações

• NBR 6123:1987 Forças devidas ao vento em edificações

• NBR 7188:1982 (NB-6) Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre

• NBR 7189: 1983 (NB-7) Cargas móveis para projeto estrutural de obras

ferroviárias

• NBR 7191: 1951 (NB-16) Execução de desenhos para obras de concreto

simples ou armado

• NBR 8681: 2003 (NB-862) Ações e segurança nas estruturas

• NBR 9062:1985 (NB-949) Projeto e execução de estruturas de concreto pré-

moldado

• NBR 12654:1992 Controle tecnológico de materiais componentes do concreto

? NBR 12655:1996 (NB-1418) Preparo, controle e recebimento de concreto

• NBR 14931:2003 Execução de estruturas de concreto-procedimento


Classificação

• NBR 8953: 1992 (CB-130) Concreto para fins estruturais; classificação por

grupos de resistência

Especificações

• NBR 5732:1991 (EB-1) Cimento Portland comum

• NBR 5733:1991 (EB-2) Cimento Portland de alta resistência inicial

• NBR 7480: 1996 (EB-3) Barras e fios de aço destinados a armaduras para

concreto armado

• NBR 7211:1982 (EB-4) Agregados para concreto

Métodos de ensaio

• NBR 5739:1994 (MB-3) Ensaio de compressão de corpos de prova cilíndricos

de concreto

• NBR 7222:1994 (MB-212) Argamassa e concreto-determinação da resis-

tência à tração por compressão diametral de corpos de prova cilíndricos

• NBR8522:1984 Concreto-determinação do módulo de deformação estática

e diagrama tensão-deformação

• NBR 9607:1986 (NB-1029) Provas de carga em estruturas de concreto armado

e protendido

• NBR 12142:1992 Concreto-determinação da resistência à tração na flexão

em corpos-de-prova prismáticos

Simbologia

• NBR 7808:1982 (SB-75) Símbolos gráficos para o projeto de estruturas


• NBR 12519:1991 Símbolos gráficos de elementos, símbolos qualificativos e

outros símbolos de aplicação geral

2.6.2 A norma brasileira para o projeto de estruturas de concreto:NBR 6118 (NB-1)

A primeira redação desta norma foi aprovada pela ABNT em 1940, com o título

Cálculo e execução de obras de concreto armado, tendo como base a Norma

para execução e cálculo de concreto armado, editada pela Associação Brasilei-

ra do Concreto, em 1931, e adotada pela Associação Brasileira de Cimento

Portland.em 1937. A redação de 1940 sofreu modificações, em 1943 e em 1949/

1950, que foram consolidadas na edição da NB-1/1960, que vigorou até 1978,

sendo levemente modificada em 1980.

A edição da NB-1/78 introduziu grandes mudanças à sistemática de cálculo,

principalmente com a adoção do método de cálculo dos estados limites, uma

concepção inovadora para o dimensionamento e a verificação de segurança,

proposta pelo Comité Europeu do Concreto (CEB), em 1972. Introduziu, tam-

bém, um maior rigor na verificação do comportamento da estrutura quanto aos

estados limites de utilização ou de serviço, em especial no que se refere à

verificação da fissuração e à estimativa de flechas. Alguns procedimentos da

NB-1/60 foram alterados profundamente, com destaque para as exigências do

cálculo de pilares à flexão composta e a consideração da deformação lenta do

concreto para análise de estruturas sob ações de longa duração.

Em 1994, foi publicado um texto preliminar parcial de revisão da NB-1/78. Sete

anos depois, foi lançada a primeira proposta do texto completo da nova norma.

Em março de 2003, após, aproximadamente, uma década de elabo-ração e intensas discussões, foi aprovada a nova edição da NBR6118, que passou a vigorar a partir de 30 de março de 2004.

Capitulo 2 - Bases da associação concreto-aço 51

Seguindo uma tendência mundial, a nova edição buscou unificar as normas relati-

vas ao projeto de estruturas de concreto armado e pretendido e, segundo dispõe

sua "Introdução", cabe a ela "definir os critérios gerais que regem o projeto de

estruturas de concreto, sejam elas de edifícios, pontes, obras hidráulicas, portos

ou aeroportos, etc. Assim, ela deve ser complementada por outras normas que

fixem critérios para estruturas específicas".

O "Prefácio" da NBR6118:2003-Mtem 1 resume o objetivo da norma conforme

os itens transcritos abaixo, na íntegra:

"1.1 Esta Norma fixa os requisitos básicos exigíveis para projeto de estruturas

de concreto simples, armado e pretendido, excluídas aquelas em que se

empregam concreto leve, pesado ou outros especiais.

1.2 Esta Norma aplica-se às estruturas de concretos normais, identificados por

massa específica seca maior do que 2.000 kgf'/m3, não excedendo 2.800

kgf/m3, do grupo l de resistência (C10 a C50), conforme classificação da

NBR 8953. Entre os concretos especiais excluídos desta Norma estão o

concreto-massa e o concreto sem finos.

1.3 Esta Norma estabelece os requisitos gerais a serem atendidos pelo projeto

como um todo, bem como os requisitos específicos relativos a cada uma de

suas etapas.

1.4 Esta Norma não inclui os requisitos gerais a serem atendidos para evitar os

estados limites gerados por certos tipos de ação, como sismos, impactos,

explosões e fogo.

1.5 No caso de estruturas especiais, taís como de elementos pré-moldados,

pontes e viadutos, obras hidráulicas, arcos, silos, chaminés, torres, estruturas

off-shore, ou em que se utilizam técnicas construtivas não convencionais,

tais como formas deslizantes, balanços sucessivos, lançamentos

progressivos e concreto projetado, as condições desta Norma ainda são

aplicáveis, devendo no entanto ser complementadas e eventualmente

ajustadas em pontos localizados, por Normas Brasileiras específicas."


A NBR 6118: 2003 incluiu alguns tópicos antes não abrangidos, dos quais vale

citar os seguintes capítulos;

5. Requisitos gerais de qualidade da estrutura e avaliação da conformidade do

projeto.

6. Diretrizes para a durabilidade das estruturas de concreto.

7. Critérios de projeto que visam à durabilidade,

25. Interfaces do projeto com a construção, utilização e manutenção.

Quanto aos tópicos novos, vale lembrar que o texto do Projeto de revisão da

Norma NB-1, de 2001, mencionava em seu "Prefácio" que esses tópicos foram

incluídos "por exigência da modernidade" e pela necessidade da adoção de uma

nova filosofia de projeto que, "além da atenção indispensável à segurança e funcio-

nalidade da estrutura, destacasse a importância da qualidade da edificação como

produto". No que diz respeito à durabilidade, declarava que "todas as normas mais

recentes tratam com grande ênfase dessa questão; o estado atual de nossas estru-

turas atesta o quanto é necessário um enfoque mais incisivo dessa questão".

O referido Projeto de revisão fazia uma consideração importante sobre o seu con-

teúdo, que, apesar de não constar da versão final, merece ser transcrita:

"Uma norma não é um livro técnico ou um manual. Assim, esta nor-

ma deve ser usada por engenheiros com formação em estruturas e

com bibliografia disponível para esclarecimento de dúvidas."

O cumprimento das disposições das normas técnicas e dos códigos de edificação

pertinentes tem sua obrigatoriedade regulada pela legislação, na forma resumi-

da abaixo:

a) Lei n£ 4150 (21/11/1962)

Determina, para obras públicas, a aplicação obrigatória dos requisitos das

Normas da ABNT.

Capitulo 1 - Bases da associação concreto-aço 5 3

b) Lei n? 8078 (11/09/1990): Código de Proteção e Defesa do Consumidor

Art. 39, VIII; "É vedado ao fornecedor de produtos ou serviços: colocar, no

mercado de consumo, qualquer produto ou serviço em desacordo com as

normas expedidas pelos órgãos oficiais competentes ou, se normas específicas

não existirem, pela ABNT ou outra entidade credenciada pelo Conselho Nacional

de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - Conmetro".

Adicionalmente, cabe mencionar que as disposições das normas brasileiras po-

dem, às vezes, ser insuficientes, por razões diversas. Nesses casos, é aconse-

lhável recorrer a outras normas internacionais; os documentos técnicos mais

frequentemente utilizados são:

/ Código-Modelo e demais boletins técnicos da Federação Internacional do

Concreto (FIB), entidade que resultou da fusão do Comité Euro-lnternacional

do Concreto (CEB) com a Federação Internacional de Pretensão (FIP), com

sede em Lausanne, Suíça. A edição hoje em vigor desse código é o Model

Code 1990- Boletim de Informação n- 203. A FÍB congrega a maior parte das

associações científicas e pesquisadores do mundo, em especial com base

na Europa.

/ ACI-318M: Building code requirements for structural concrete - do American

Concrete Institute (ACI), que tem base principal na América do Norte, mas

influência marcante em todo o mundo, inclusive em vários países da Ásia.

Dos países da América Latina, o Brasil é o único que não segue esse

código.

/ Eurocode n- 2: Design of concrete structures - elaborado com o objetivo de

ser a base da norma unificada de todos os países da Comunidade Económica

Europeia.

Desses documentos, o MC-90 tem um caráter mais doutrinário e teóríco-científi-

co, enquanto o EC-2 e o ACI-318M, em especial este último, são de natureza

mais prática.



2.7.1 Enunciados

1. Citar duas propriedades indispensáveis a qualquer material estrutural,

2. Por que o concreto simples pode ser considerado uma "pedra artificial"?

3. Qual a principal deficiência do concreto simples que deu origem ao surgimento

do material estrutural "concreto armado"?

4. Citar outros tipos de materiais, além do aço, que podem ser utilizados na

fabricação de armaduras de peças de concreto armado.

5. Qual é a principal diferença entre o concreto armado e o pretendido?

6. Para o texto entre aspas abaixo, preencha os campos vagos, selecíonando

as palavras/expressões mais adequadas da lista fornecida (em itálico), a fim

de tornar o texto conceitualmentecorreto e o mais abrangente possível:

"Em peças de concreto pretendido com o emprego do processo de aderência

, os cabos são introduzidos dentro de

estando o concreto Após a pretensão dos cabos,

por meio de macacos hidráulicos, é feita a injeção de

de cimento, sob pressão, para garantir a(o) entre

a armadura e o concreto."

fluido solidariedade eficiência posterior bainhas resina

nata endurecido cordoalhas inicial fissurado atrito

7. Pode existir o material estrutural concreto armado sem haver aderência entre

a armadura e o concreto? E o concreto pretendido?

8. Na história da evolução do uso do concreto armado, citar três personagens e

datas que podem ser considerados muito importantes pela contribuição, do

ponto de vista técnico-científico.

9. Na relação de palavras/expressões abaixo, indique aquelas vantagens que

podem ser consideradas inerentes ao concreto como material estrutural:


peso próprio aderência resistência a choques

durabilidade isolamento acústico resistência à compressão

pré-moldagem resistência à tração facilidade em adaptações posteriores

10.Que contribuições introduzidas nas edições de 1978 e 2003 da norma NBR

6118, para o projeto de estruturas de concreto, podem ser consideradas mais

significativas?


1. As principais propriedades de um material estrutural são a resistência e a

durabilidade. Há, ainda, outros fatores importantes que vão influenciaro custo,

em especial a disponibilidade dos materiais, que se traduz na facilidade de

obtenção dos materiais componentes. Têm também influência o grau de

sofisticação do projeto de arquitetura, o nível de detalhamento do projeto e de

racionalização da execução, os padrões exigidos de especialização da mão-

de-obra, a agressividade ambiental prevista e as respectivas características

de um programa de manutenção preventiva.

2. Porque apresenta propriedades semelhantes à pedra natural, quanto à

resistência e à durabilidade, com a vantagem de poder ser moldado em formas

variadas. Entretanto, sabe-se, cada vez com maior precisão, que essa pedra

artificial não é tão inerte quanto a natural. O concreto permite a penetração de

agentes agressivos que podem reagir com os seus componentes, em diferentes

graus. Nesse sentido, para garantir a durabilidade, têm grande importância:

permeabilidade do concreto, qualidade do acabamento das peças, proteção

adequada aos diferentes tipos de exposição e agressividade do meio, assim

como manutenção preventiva.

3. A baixa resistência à tração. A resistência à tração do concreto pode ser

tomada, aproximadamente, como 1/10 da resistência à compressão. Sendo

assim, em uma peça fletida, as fibras tracionadas estão sujeitas à físsuração


por fendilhamento com um nível de tensão dez vezes inferior às fibras

comprimidas. É por isso que, na Antiguidade, se priorizava o uso de arcos,

em que a peça pode estar toda comprimida, como solução estruturai para

vencer vãos maiores e transmitir as cargas às colunas, e estas às fundações.

Vale a pena observar, por exemplo, edificações como os Arcos da Lapa, no

Rio de Janeiro, e as igrejas antigas, construídas em pedra e madeira.

4. Algumas fibras naturais, como o bambu e o sisal, que têm resistência elevada

à tração, podem ser utilizadas como armaduras de peças de concreto armado,

mas necessitam de proteção por apresentarem problemas com a ação da

umídade no interior do concreto. As fibras sintéticas, como de carbono ou

vidro, imersas em resinas poliméricas, principalmente o epóxi, têm tido emprego

crescente, com as vantagens do peso reduzido e da imunidade à corrosão.

No entanto, ainda não se superaram, completamente, os problemas com altas

temperaturas e umidade, além do seu custo elevado.

5. A diferença refere-se ao papel da armadura: no concreto armado ela é passiva,

enquanto no concreto pretendido a armadura é ativa, pois introduz esforços à

peça estrutural, antes de as cargas previstas serem aplicadas.

6. A resposta correta é: "Em peças de concreto pretendido com o emprego do

processo de aderência POSTERIOR, os cabos são introduzidos dentro de

BAINHAS, estando o concreto ENDURECIDO. Após a pretensão dos cabos,

por meio de macacos hidráulicos, é feita a injeção de NATA de cimento, sob

pressão, para garantira SOLIDARIEDADE entre a armadura e o concreto."

Comentários:

/ Se você colocou cordoalhas em lugar de bainhas no segundo espaço vazio,

verifique, no 2-parágrafo do item 2.3.2, que cordoalha e cabo tem o mesmo

significado, indicando um conjunto de barras trançadas de aço (ou outro

material).

S O concreto pretendido com aderência posterior só é possível com o concreto da

peça estrutural já endurecido, sendo então capaz de fornecer reação às forças


introduzidas pelos macacos hidráulicos. A pretensão com aderência inicial,

processo em geral utilizado na produção de peças pré-moldadas, exige

dispositivos especiais de reação, acoplados às formas e externos à peça.

/ No quarto espaço, pode-se usar a palavra "calda" em vez de nata de cimento.

/ No último espaço, a palavra solidariedade traduz uma propriedade inerente à

aderência eficiente entre o aço e o concreto, uma condição essencial ao

comportamento monolítico da peça estrutural.

7. Não, a aderência é indispensável à existência do concreto armado, para

garantir que a deformação das barras seja a mesma do concreto em seu

entorno. Quanto à segunda parte da pergunta, pode existir concreto pretendido

sem haver aderência entre a armadura e o concreto. É o que ocorre com o

sistema de cordoalhas "engraxadas", que transmitem forças externas à peça,

exclusivamente, pelas extremidades de seus dispositivos de ancoragem.

No entanto, esse sistema exige, também, armaduras passivas, do tipo

convencional, indispensáveis para garantir uma resistência mínima aos

elementos estruturais.

8. Do ponto de vista técnico-científico, entre as muitas contribuições importantes,

pode-se destacar:

/ Hennebique (França -1880 e 1892): primeira laje de concreto armado com

armadura semelhante às atuais e vigas com armadura transversal constituída

de estribos, para combate à força cortante.

/ Rabut (França-1897): primeiro curso sobre concreto armado.

/ Mõrsch (Alemanha -1902): primeiro livro de sua coleção sobre concreto armado.

Até hoje, o cálculo das armaduras de combate ao cisalhamento na flexão e na

torção tem por base a teoria denominada "Analogia da treliça de Mõrsch".

Cabe ressaltar que essa escolha tem, obviamente, caráter um tanto subjetivo.

Se a seleção fosse feita, por exemplo, por um construtor, talvez se escolhesse

Coignet, um dos pioneiros citados no item 2.4; um engenheiro de fundações,

por sua vez, dificilmente deixaria de escolher Brannon.


9. Dos aspectos citados no enunciado, são vantagens do concreto como material

estrutural: resistência à compressão, resistência a choques, durabilidade e

pré~moldagem, conforme visto no item 2.5. Entre os demais, a aderência é um

requisito indispensável à existência do concreto armado, não sendo correto

classificá-la como vantagem. Quanto ao isolamento acústico, as peças de

concreto estrutural, pela massa específica elevada, podem fornecer isolamento

satisfatório desde que tenham espessura adequada. Os demais itens, peso

próprio, resistência à tração e facilidade em adaptações posteriores, não podem

ser classificados como vantagens.

10. Entre as inúmeras contribuições da norma brasileira para o projeto de estruturas

de concreto, descritas no item 2.6, são, em geral, consideradas como as

mais significativas, pela inovação em termos de filosofia de projeto:

*/ NBR6118:1978: introdução no dimensionamento do Método de Cálculo dos

Estados Limites e de critérios mais rigorosos para controle da fissuração e

estimativa de flechas de estruturas em serviço.

/ NBR 6118: 2003: introdução de requisitos explícitos relativos à garantia de

qualidade de projeto e de um enfoque mais incisivo sobre a questão da

durabilidade, além de englobar o projeto de concreto simples, armado e

protendido.

Capítulo 3FUNDAMENTOS DOPROJETO DE ESTRUTURASDE CONCRETO ARMADO

3.1 Objetivos3.2 Classificação das peças

estruturais3.3 Simbologia3.4 Análise da edificação3.5 "Análise da estrutura3.è Arranjo ou lançamento

estrutural3.7 Síntese estrutural3.8 Segurança estrutural3.9 Valores característicos3.10 Valores de cálculo3.11 Materiais constitutivos3.12 Auto-avaliação

Fundamentos do projeto de estruturas deconcreto armado

3.1 OBJETIVOS

No Capítulo 1, item 1.1, foi discutida uma lacuna existente no ensino da engenha-

ria estrutural, na transição das disciplinas da fase inicial, de conteúdo mais teóri-

co, para aquelas da fase de projeto, necessariamente mais práticas. O presente

capítulo pretende suprir essa lacuna, pelo menos em parte, no que se refere ao

projeto de estruturas de concreto armado.

Dessa forma, espera-se que o estudo desse conteúdo forneça ao leitor as bases

para o entendimento dos seguintes pontos:

a) Características e funções das peças ou elementos componentes de uma

estrutura de concreto.

b) Etapas relativas à disposição, arranjo ou lançamento (nome mais usado na

prática) das peças que compõem uma estrutura de concreto armado de uma

edificação, tendo como ponto de partida o seu projeto de arquitetura.

c) Natureza dos distintos métodos de cálculo para estruturas de concreto armado.

d) Grandezas e parâmetros de segurança utilizados nos métodos de cálculo

previstos na norma NBR 6118:2003.

e) Propriedades dos materiais constitutivos — concreto e aço -, de interesse para o

projeto estrutural, bem como as exigências do controle tecnológico dos materiais.

f) Requisitos para garantia de durabilidade de uma edificação, envolvendo os

conceitos básicos de segurança, funcionalidade, manutenção e vida útil de

estruturas de concreto armado.


Ainda sobre a transição citada no ensino da engenharia estrutural, considera-se

de grande importância para os objetivos anteriormente descritos a leitura dos

capítulos 1, 2 e 4 do livro Fundamentos do projeto estrutural (Fusco, 1976),

bibliografia complementar que melhor preenche a lacuna mencionada. Para o

correto entendimento dos objetivos do capítulo, é de interesse estabelecer, de

início, o conceito seguinte:

Projetar a estrutura de uma edificação consiste em conceber um

sistema cujos elementos com finalidade resistente se combinam,

de forma ordenada, para cumpriruma determinada função, que pode

ser: vencer um vão, como nas pontes; definir um espaço, como nos

diversos tipos de edifícios; ou conter um empuxo, como nas paredes

de contenção, tanques e silos.

3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS PEÇAS ESTRUTURAIS

Denomina-se estrutura o conjunto das partes consideradas resistentes de uma

edificação. Para que uma estrutura tenha sua capacidade resistente assegura-

da, é necessário conhecer o comportamento de suas peças ou elementos es-

truturais.

Segundo a NBR 6118, item 14.4- Elementos estruturais: "as estruturas podem

ser idealizadas como a composição de elementos estruturais básicos, classifica-

dos e definidos de acordo com a sua forma geométrica e a sua função estrutural".

É, portanto, de interesse estabelecer uma classificação das peças em conjuntos

que tenham comportamento estrutural similar, cuja análise seja viável segundo

modelos esquemáticos próprios, existentes na Teoria da Estruturas.

Uma classificação usual na Teoria das Estruturas tem como base um critério

geométrico, que define na peça três comprimentos característicos: LI, L2 e

L3. O critério adota o seguinte princípio: dois comprimentos característicos que

Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado 63

estão dentro da relação 1:10 são considerados com a mesma ordem de grande-

za. Isto é, se LI <10L2 e L2 <_10L1, diz-se que a ordem de grandeza dos

dois comprimentos é a mesma: [LIJ ~ [L2]'. De acordo com esse critério

geométrico, as peças estruturais são assim classificadas:

a) Blocos: [L1] = [L2] = [L3](blocos de fundação)

Placas: cargas normaisao plano médio (lajes)

L3

L2

L3

b) Barras; [U ] = [L2] < [L3](vigas, pilares, tirantes, arcos)

LIChapas; cargas no plano

médio (vigas-paredee paredes estruturais)

c) Peças laminares: [LI] ~ [L2] > [L3J

L2

LI

LICascas: superfície

média curva

Figura 3.1 - Classificação das peças estruturais por critério geométrico

No caso específico de estruturas de concreto estrutural, a norma NBR 6118 -»•

14.41 classifica os elementos estruturais na forma seguinte:

Elementos lineares: "são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em

pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal, sendo também

denominados barras" (item 14.4.1). Essa definição é mais abrangente que a do

1 Nesta publicação, o número após a seta indica o item da NBR 6118: 2003 correspondente ao assuntoabordado no texto, em que é apresentado, em geral, de forma concisa, devendo-se consultar a norma paraesclarecimentos complementares.


critério geométrico citado. Por exemplo, para uma seçao transversa! de largura

20 cm x altura 50 cm, pelo primeiro critério o elemento seria classificado como

linear apenas para comprimentos acima de 5,0 m, enquanto pela NBR6118já

seria elemento linear com comprimento a partir de 1,50 m.

Conforme a sua função e geometria, os elementos lineares recebem designações

próprias, a seguir apresentadas:

-í* Vigas: elementos lineares em que a flexão é preponderante.

<* Pilares: elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical,

em que as forças normais de compressão são preponderantes.

*Í* Tirantes: elementos lineares de eixo reto em que as forças normais de tração

são preponderantes.

*> Arcos: elementos lineares curvos em que as forças normais de compressão

são preponderantes, agindo ou não simultaneamente com esforços solicitantes

de flexão, cujas ações estão contidas em seu plano.

Elementos de superfície: "elementos em que uma dimensão, usualmente cha-

mada espessura, é relativamente pequena em face das demais" (item 14.4.2).

Conforme a sua função estrutural, geometria e natureza das ações, recebem as

designações a seguir:

*t* Placas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais

a seu plano. As placas de concreto são usualmente denominadas lajes,

*> Chapas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações contidas

em seu plano. Chapas de concreto em que o vão for menor que três vezes a

maior dimensão da seção transversal são usualmente denominadas vigas

parede.

<*- Cascas: elementos de superfície não plana.

*> Pilares parede: elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente

dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão. Para


que se tenha um pilar parede, em alguma dessas superfícies, a menor

dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção

transversal da peça.

3.3 SIMBOLOGIA

A simbologia e as respectivas notações empregadas neste texto, para expressar

as grandezas de interesse no projeto de estruturas de concreto, é aquela adotada

pela NBR 6118 desde a edição de 1978, que é decorrente de um acordo internaci-

onal, firmado pelo Comité Euro-lnternacional do Concreto (CEB), a Federação

Internacional da Protensão (F/P) e o Instituto Americano do Concreto (ACI), em

1972. O objetivo desse acordo foi unificar as representações das grandezas estru-

turais nos vários países, a fim de tornar mais acessível a literatura técnica e cien-

tífica internacional, tendo predominado no acordo o idioma inglês.

Conforme a NBR 6118, no item 4.1 da Seção 4, a simbologia para estruturas de

concreto é constituída por símbolos-base, constituídos por uma letra principal

(maiúscula ou minúscula) de mesmo tamanho e no mesmo nível do texto corren-

te, simbolizando uma dada grandeza ou termo, e que é acompanhada por símbo-

los subscritos ou índices, de identificação (em geral, letras minúsculas).

Seguem alguns exemplos da notação de grandezas e/ou índices, selecionados da

.lista de símbolos-base fornecida pela NBR 6118 —>• 4.2. Uma mesma letra pode ser

usada em mais 'de um símbolo, desde que não haja possibilidade de confusão.

Entre parênteses, apresenta-se o termo em inglês que deu origem ao símbolo.

c-concreto, compressão, deformação Jenta (creep)

:s -aço (sfee/), retração (shrínkage)

y -escoamento '(y/e/d/ng)

t - traça o


/ - resistência de um material

F- ação genérica (force)

S - solicitação genérica

k- característico

d- projeto, cálculo (design)

Na montagem da notação relativa a uma grandeza de interesse estrutural, o pri-

meiro índice indica o material, em geral, seguido pelo tipo de esforço e sua natu-

reza. Como exemplo, descrevem-se abaixo algumas notações utilizadas no cálculo,

da NBR 6118-v 4.2:

fck: resistência característica do concreto à compressão (poderia ser usado f

mas não há necessidade de se duplicar o índice "c");

f[k : resistência característica do concreto à tração (poder-se-ia usar/ , mas

pode-se omitir o índice "c", em razão de não haver possibilidade de confusão

com a resistência à compressão);

/ d: resistência de cálculo do aço à compressão ou à tração (não há necessidade

do índice "s", do aço, por ser o índice y, que indica o escoamento, uma

propriedade típica do aço, que o concreto não possui);

Fd: valor de cálculo de uma ação genérica;

Sk: valor característico de uma solicitação genérica;

G à: deformação específica de escoamento de cálculo do aço à tração;

7 : coeficiente de majoração das ações/solicitações.

As grandezas representadas pelos símbolos da NBR 6118 devem ser expres-

sas em unidades do Sistema Internacional (SI). Esse sistema será adotado no

presente texto, de forma preferencial. No entanto, em determinadas situações,


outras unidades são usadas, em respeito à prática da engenharia nacional e

por conveniência didátíca.

3.4 ANÁLISE DA EDIFICAÇÃO

Conceito: etapa iniciai do projeto que tem por objetivo delimitar a

edificação em relação ao meio físico externo e definir as partes que

vão constituir o subsistema "estrutura".

De modo geral, o projeto estrutural é inviável sem a introdução de diversas simpli-

ficações, que objetivam reduzir o problema real a um conjunto de subproblemas

passíveis de solução,

Por exemplo: a distinção entre partes resistentes e não resistentes da estrutura

é, até certo ponto, arbitrada pelo projetista da estrutura. É o caso das alvenarias

de edifícios, que, em geral, são consideradas sem finalidade estrutural. No en-

tanto, elas colaboram, muitas vezes de modo significativo, na resistência aos

esforços horizontais, como os decorrentes das ações de vento. O fato de não

serem consideradas no projeto como parte da estrutura facilita o cálculo e a

adoção de modificações posteriores.

Outra simplificação corrente é a decomposição da estrutura, de modo que suas

partes possam ser estudadas separadamente. Essa decomposição pode ser

"real" ou "virtual", tendo por finalidade possibilitar o emprego de métodos conhe-

cidos e comprovadamente eficientes para o cálculo de peças estruturais isola-

das. De acordo com sua natureza, os métodos oferecem diferentes graus de

precisão, o que deve ser levado em consideração na decomposição.

Decomposição real

A estrutura é efetivamente dividida em partes, por meio de "juntas de separação"

que, além de simplificar o cálculo, contribuem na diminuição da intensidade dos


esforços decorrentes dos estados de coação da estrutura, isto é, aqueles esta-

dos cujos esforços decorrem de deformações impostas à estrutura. Em particular,

como as juntas de separação atenuam os efeitos decorrentes das variações de

temperatura, essas juntas são usualmente chamadas de "juntas de dilatação".

Decomposição virtual

A divisão é apenas para fins de cálculo, por meio de juntas virtuais, que subdivi-

dem a estrutura em partes cujo comportamento pode ser analisado isoladamente.

A condição essencial nessa decomposição é garantir a compatibilidade na trans-

missão dos esforços entre as partes que na realidade são monolíticas.

3.5 ANÁLISE DA ESTRUTURA

Conceito: conjunto de simplificações adicionais, após a análise

inicial da edificação, que visam tornar o projeto estrutural exequível,

por meio de novas decomposições virtuais, subdividindo a estru-

tura em grupos de elementos estruturais mais simples, que pos-

sam ser tratados separadamente por modelos esquemáticos daTeoria das Estruturas.

As simplificações não devem nunca perder de vista o comportamento real da

estrutura como um todo, para numa etapa posterior comprovar a adequação e-a

compatibilidade dos modelos adotados na análise da estrutura.

Algumas das simplificações mais comuns nos projetos de estruturas de concreto

armado são:

a) Uma viga pode ser calculada como contínua, admitindo-se apoios simples

nos pilares. Posteriormente, deve-se considerar a ação de pórtico nas ligações

viga-pilar, cujos momentos vão induzir a solicitação deflexão composta nos

pilares extremos.


b) A massa específica do concreto armadç é suposta constante e uniforme,

independentemente da resistência do concreto, da natureza e da taxa de

armadura da peça estrutural. Segundo a NBR 6118 —*• 8.2.2 , se a massa

específica real não for conhecida, adota-se para efeito de cálculo o valor

pca=2500kg/m3.

c) O peso próprio de uma laje é tomado como uma carga uniformemente

distribuída, atuando na superfície da laje, e de uma viga, como uma carga

distribuída em linha.

Dessa forma, tem-se:

<* Lajes: g ~ 25h kgf/m2, sendo h a espessura da laje em cm;

*** Vigas: g- = 2500 bw- h kgf/m, sendo b a largura e h a altura da seção

transversal da viga, com valores em metros.

d) A carga que uma laje aplica sobre uma viga de bordo, que lhe fornece apoio, é

admitida como uniformemente distribuída.

Segundo a NBR 6118 -^ 14.2.1:

"O objetivo da análise estrutural é determinares efeitos das ações em uma estru-

tura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de

serviço. A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços in-

ternos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a

estrutura".

O item 14.2.2 - Premissas necessárias à análise estrutural dispõe:

"A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista, que permita represen-

tar de maneira clara todos os caminhos delineados pelas ações até os apoios da

estrutura".


No item 14.3-Hipóteses básicas, a norma estabelece que "as condições de

equilíbrio devem ser necessariamente respeitadas" e que "as equações de

equilíbrio poderão serestabeíecidas com base na geometria indeformada da

estrutura (teoria de 1^-ordem), exceto nos casos em que os deslocamentos

alterem de maneira significativa os esforços internos (teoria de 2^ ordem)".

Esta última é de consideração obrigatória, por exemplo, em pilares com es-

beltez elevada com respeito à flambagem, como será visto no Capítulo 4

deste texto.

Na análise estrutural, é importante classificar as cargas atuantes nas estrutu-

ras, associando-as aos elementos capazes de fornecer a capacidade resistente

adequada:

<* Cargas concentradas: devem ser resistidas preferencialmente por barras (vigas,

pilares, tirantes, arcos). Podem ocorrer situações em que a laje se apoia

diretamente sobre os pilares, sendo chamada de laje plana ou cogumelo.

*í* Cargas distribuídas em linha: na maioria dos casos provenientes de reações

das lajes nas vigas de bordo ou de paredes, devendo ser resistidas por barras.

No caso de cargas de valor secundário podem ser absorvidas diretamente

pelas lajes.

*> Cargas distribuídas em superfície: resistidas pelas lajes, podendo ser dispostas

vigas intermediárias, com o objetivo de se reduzir a espessura das lajes.

3.6 ARRANJO OU LANÇAMENTO ESTRUTURAL

Conceito: etapa do projeto estrutural em que se define a disposi-ção das peças da estrutura, a fim de se obter seu melhor ajuste aoprojeto de arquitetura, levando-se em consideração o fator econó-mico, as facilidades construtivas e a eficiência global da edificação.

Capitulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado 71

Segundo Fusco (1976), a superestrutura de uma edificação se subdivide em três

categorias, conforme a finalidade e a responsabilidade na segurança global da

edificação:

• Estrutura terciária: tem a finalidade de suportar a aplicação direta das cargas

distribuídas em superfície, sendo usualmente composta pelas lajes.

• Estrutura secundária: confere resistência localizada às diferentes partes da

construção, recebendo cargas diretas ou apenas as reações da estrutura

terciária, sendo usualmente composta pelas vigas.

• Estrutura primária: garante a resistência global da construção, sendo

usualmente composta pelos pilares.

Os esquemas estruturais mais correntes no cálculo estrutural são;

• Estruturas reticuladas: constituídas pela associação de vigas, arcos, pórticos,

treliças, grelhas.

• Estruturas de superfície: constituídas por placas, chapas, cascas.

• Estruturas tridimensionais: constituídas por blocos.

Em vista das características particulares de cada projeto, é difícil estabelecer re-

gras genéricas para o lançamento de estruturas. Em geral, os princípios básicos

para o lançamento de estruturas de concreto armado de edifícios comuns são:

© Evitar que a resistência global da estrutura dependa de um número reduzido

de peças e, dessa forma, que existam peças excessivamente solicitadas em

relação às demais.

(D Buscar o menor trajeto possível para as cargas, desde seus pontos de aplicação

até os apoios externos (fundações). O ideal seria a existência de pilares em

todos os cruzamentos de vigas, o que, no entanto, é de difícil obtenção na

maioria dos casos.


(D Evitar peças excessivamente delgadas, porque causam dificuldades para a

disposição das armaduras, para a concretagem e para o adensamento

(vibração) do concreto.

® Evitar interligar peças delgadas e espessas, a fim de prevenirzonas de transição

com tensões internas elevadas, provocadas por retração e efeitos de temperatura.

(D Evitar o uso de peças muito espessas, com dimensões maiores que 80 cm

nas três direções, porque o elevado calor de hidratação do concreto pode

provocaro aparecimento de fissuras; quando essas peças forem imprescindíveis,

cuidados especiais devem ser tomados na concretagem.

© O lançamento da estrutura deve contribuir para a facilidade na execução da

obra, além de permitir acesso para atividades de manutenção e eventuais

reparos das peças.

Além dos princípios acima, são válidas para a maioria dos edifícios comuns,

residenciais ou comerciais, as seguintes diretrizes práticas para o lançamento

estrutural de vigas e pilares:

a) Os arranjos das vigas e dos pilares devem ser tratados simultaneamente,

pois são interdependentes: a disposição dos pilares condiciona o arranjo

das vigas e vice-versa.

b) A escolha da estrutura de um edifício de vários andares começa, em geral,

pelo pavimento tipo, repetido várias vezes no projeto de um edifício de

múltiplos andares.

c) O arranjo estrutural tem início com a disposição do vigamento do piso, a partir

da análise da situação das paredes principais e das posições possíveis dos

pilares neste e em outros pavimentos.

d) Ê conveniente que a posição dos pilares seja mantida nos demais pavimentos

além do pavimento tipo, mesmo em pavimentos com arranjo estrutural de

lajes e vigas diferente do tipo, com vistas à economia de formas, continuidade

de barras dos pilares e fluxo de cargas.


e) Quando nenhuma das soluções encontradas para a posição dos pilares nos

pavimentos superiores satisfazem ao andar térreo (pilotis, lojas, etc.), sendo

necessário mudar sua posição, o vigamento do teto do andar térreo deverá

fornecer apoio conveniente aos pilares superiores, funcionando como estrutura

de transição.

f) A disposição de vigas sob as paredes principais de alvenaria é conveniente. Em

cómodos com dimensões muito pequenas (2 a 5 m), pode-se dispensar

algumas das vigas, ficando as paredes apoiadas diretarnente sobre a laje. Nos

casos de cómodos muito grandes (salões com vãos de 6 a 8 m), pode ser

necessário projetar um vigamento intermediário, ou usar laje nervurada ou mista.

g) O arranjo das vigas determina os comprimentos dos bordos das lajes. Deve-

se buscar vãos económicos (<6m), observando as características do projeto

de arquitetura.

h) Em vigas que se apoiam em outras vigas, esses apoios são, na realidade,

deslocáveis. No caso de edifícios usuais, os deslocamentos de apoio são

desprezados ou considerados apenas de modo aproximado, desde que as

flechas das vigas obedeçam aos limites da NBR6118.

i) Nos apoios de vigas sobre outras vigas, ocorre torção nos apoios, que pode

ser de compatibilidade (secundária) ou de equilíbrio (principal). Na escolha

das dimensões das seções das vigas deve-se garantir boa rigidez à flexão

(altura bem maíorque a largura), para prevenírflechas e rotações excessivas.

As vigas de suporte terão, assim, baixa rigidez à torção, podendo os momentos

torçores serdesprezados, e com os apoios das vigas secundárias funcionando

como rótulas.

j) A seção transversal das vigas e dos pilares é, quase sempre, condicionada

pelo projeto de arquitetura que, frequentemente, exige que as vigas e os pilares

fiquem embutidos nas paredes; nesses casos, a largura da seção é definida

em função da espessura acabada das paredes onde ficarão embutidos: 8 cm

para paredes de 10 cm de espessura; 10 a 12 cm para paredes de 15 cm de

espessura; 20 a 22 cm para paredes de 25 cm de espessura.

74 Joio Carlos Teatini de Souza Climaco

k) A padronização de dimensões das seções transversais de vigas e pilares,

bem como a repetição de vãos de vigas e lajes, resulta em simplificação do

cálculo estrutural, economia nas formas e maior rapidez de execução. Sempre

que possível, é conveniente que as vigas externas tenham a mesma espessura

das internas.

I) A posição dos pilares deve permitir um bom projeto de fundações, levando em

conta as áreas de circulação e o tráfego de veículos nas garagens. Se possível,

os eixos dos pilares devem coincidir com os cruzamentos das vigas, para

menor trajeto de cargas e para evitar excentricidades iniciais de força normal

que provocam flexão composta nos pilares.

m) O espaçamento dos pilares define os vãos das vigas e não deve ser inferior a

3 m nem superior a 8 m, salvo em casos especiais.

n) Um fator sempre preponderante nas dimensões da seção dos pilares, em

especial nos pavimentos inferiores, é a observância da taxa máxima de

armadura longitudinal relativa à área de concreto, p=8,0 % , daNBR6118->

17.3.5.3.2, inclusive na região do trespasse de armaduras longitudinais dos

pilares em pavimentos consecutivos.

3.7 SÍNTESE ESTRUTURAL

Conceito: etapa do projeto em que se efetua a superposição dosesforços determinados no cálculo dos elementos estruturais iso-lados. A estrutura retoma o carátertridimensional, pela justaposi-

ção dos elementos estruturais considerados em sua análise.

Nessa fase, deve-se verificar, com o máximo rigor, a compatibili-

dade das decomposições e das simplificações efetuadas.

A aplicação do princípio da superposição somente é válida se a estrutura tem

geometria adequada e se as peças estruturais têm resposta linear em seu con-


junto, isto é, se os materiais componentes dessas peças, sob cargas de servi-

ço, trabalham no regime elástico.

Um ponto importante, frequentemente negligenciado no projeto estrutural, diz res-

peito à não-consíderação da possibilidade de apoio de peças da estrutura, sob

ação de cargas previstas, em elementos sem finalidade estrutural. Tal fato pode

implicar comprometimento da funcionalidade (fissuração, desaprumo, etc.) e até

colapso desses elementos, no caso de não possuírem resistência efetiva. Pode,

além disso, constituir-se em problema estrutural sério, caso esses elementos

resistam, de alguma forma, aos esforços introduzidos, passando a consistir em

apoios não previstos no projeto.

3.8 SEGURANÇA ESTRUTURAL

3.8.1 Conceito

Na engenharia estrutural, a estrutura de uma edificação é considerada segura

quando atende, simultaneamente, aos seguintes requisitos:

a) Mantém durante sua vida útil as características originais do projeto, a um

custo razoável de execução e manutenção.

b) Em condições normais de utilização, não apresenta aparência que cause

inquietação aos usuários ou ao público em geral, nem falsos sinais de alarme

que lancem suspeitas sobre sua segurança.

c) Sob utilização indevida, deve apresentar sinais visíveis - deslocamentos e

fissuras - de aviso de eventuais estados de perigo.

Cabe aqui enfatizar a importância de dois conceitos que não têm merecido

tratamento adequado na engenharia estrutural: vida útil e manutenção estru-

tural. A NBR 6118: 2003, oportunamente, trata a questão da durabilidade da

edificação de um ponto de vista mais científico, mesmo que de forma ainda um


tanto superficial. O estágio atuai de conhecimento aponta para a necessidade de

estabelecimento de critérios objetivos para a definição da vida útil de uma estrutu-

ra e os níveis adequados de manutenção para sua garantia.

São obrigações do profissional competente projetar e construir edificações dura-

douras a custos acessíveis; é também fundamental passar a considerar no Brasil,

como já ocorre em muitos países, a durabilidade e a manutenção estruturai com

importância compatível à dedicada ao projeto e à execução.

3.8.2 Estados limites de desempenho

Conceito: estados que definem impropriedade para o uso da estru-

tura, por razões de segurança, funcionalidade ou estética, desem-

penho fora dos padrões especificados para sua utilização normal

ou interrupção de funcionamento em razão da ruína de um ou mais

de seus componentes.

Os estados limites podem se referir à estrutura toda, a elementos estruturais ou a

regiões locais de elementos. De acordo com a NBR 6118 -^ 10.2, devem ser

considerados os estados limites últimos e de serviço:

•*• Estado Limite Último (ELU):

NBR 6118 —*• 3.2.1: "Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer

outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estru-

tura". O item 10.3 da norma prescreve que "a segurança das estruturas de

concreto deve sempre ser verificada, em relação aos seguintes estados limi-

tes últimos:

a) estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo

rígido;


b) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura,

no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais (...)

admitindo-se, em geral, as verificações separadas das solicitações normais e

tangenciais; todavia, quando a interação entre elas for importante, ela estará

explicitamente indicada nesta Norma;

c) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura,

no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;

d) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas;

e) estado limite último de colapso progressivo;

f) outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos

especiais".

Portanto, atingido um ELU, a estrutura esgota sua capacidade resistente, e a

utilização posterior da edificação só será possível após a realização de obras de

reparo, reforço ou mesmo substituição da estrutura.

*í* Estado Limite de Serviço (ELS):

NBR6118-M 0,4: "Estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabi-

lidade das estruturas, aparência, conforto do usuário e à boa utilização funcional

das mesmas, seja em relação aos usuários, seja em relação às máquinas e aos

equipamentos utilizados".

Atingido um ELS, a estrutura apresenta um desempenho fora dos padrões espe-

cificados para a utilização normal da edificação e/ou comportamentos inadmis-

síveis para a manutenção da própria estrutura, mas sem risco iminente de ruína

do sistema.. Um estado limite de serviço pode se caracterizar por flechas exces-

sivas em lajes ou vigas, fissuração inaceitável, vibração excessiva, recalques

diferenciais elevados, etc.


Alguns ELS que podem exigir verificação em estruturas de concreto armado são:

a) fissuração excessiva, afetando a aparência, a durabilidade ou a estanqueidade;

b) deslocamentos (flechas) ou deformações que afetem a aparência e/ou o uso

efetívo da edificação ou causem danos inaceitáveis a elementos não estruturais;

c) tensões de compressão no concreto excessivas, produzindo deformações

irreversíveis e microfissuras que possam levar à perda de durabilidade;

d) vibrações resultando em desconforto, alarme ou perda de funcionalidade.

3.8.3 Métodos de cálculo

Dimensionar uma estrutura de concreto significa definir as dimen-

sões das peças e as armaduras correspondentes, a fim de garan-

tir uma margem de segurança prefixada aos estados limites

últimos e um comportamento adequado aos estados limites de

serviço, tendo em vista os fatores condicionantes de economia e

durabilidade.

Do ponto de vista da segurança, os métodos de cálculo para dimensionamento de

estruturas de concreto armado podem ser classificados segundo dois critérios

complementares:

a) Classificação quanto aos princípios de verificação da segurança:

(D Método das tensões admissíveis: a segurança é verificada pela comparação

das tensões decorrentes dos carregamentos máximos com as tensões

admissíveis dos materiais empregados.

(D Método dos estados limites: a segurança é verificada pela comparação

das solicitações, majoradas por coeficientes de segurança, com os esforços

resistentes das seções calculados considerando mineração nas

resistências dos materiais.


b) Classificação quanto aos parâmetros de segurança:

© Método determinístíco: os parâmetros que introduzem a segurança (na

majoração de solicitações e na mineração de resistências dos materiais)

são considerados grandezas fixas.

(D Método probabilístico: os parâmetros de segurança são variáveis com

representação estatística ou fixados por norma técnica.

O método de cálculo adotado pela NBR 6118, a partir de edição de 1978, seguiu a

proposta do Código-Modelo do CEB/FIP, de 1972, sendo uma combinação dos

métodos anteriormente descritos a)® e b)(D e identificado como o "Método

Semiprobabilístico de Estados Limites". O termo "semiprobabilístico" se justifica

pela impossibilidade de dartratamento estatístico pleno a todas as grandezas de

interesse para a segurança estruturai.

3.8.4 Ações e solicitações

Conforme a NBR 6118, no item M.2-Ações a considerar.

"Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que

possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame,

levando se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço".

Numa estrutura em serviço, os carregamentos se traduzem em estados de ten-

são nas peças estruturais; considera-se que as ações são a causa e as solicita-

ções o efeito:

• Ação: qualquer influência ou conjunto de influências (permanentes, variáveis

ou acidentais, excepcionais e deslocamentos ou deformações impostas) capaz

de produzir estados de tensão na estrutura.

• Solicitação: qualquer esforço ou conjunto de esforços (força normal ou cortante,

momento fletor ou torçor) decorrente das ações que atuam na estrutura.


A complexidade na avaliação de ações em estruturas levou as normas brasilei-

ras a dedicar um texto exclusivo ao assunto, a NBR 8681: 2003 -Ações e

segurança nas estruturas, editada em conjunto com a recente NBR 6118, De

acordo com essas normas (NBR 6118 -> 11.2.2), as ações classificam-se em

permanentes, variáveis e excepcionais, devendo ser respeitadas nas ações a

considerar as peculiaridades de cada tipo de construção e as normas a ela

aplicáveis.

*> As ações permanentes: "São as que ocorrem com valores praticamente

constantes durante toda a vida da construção. Também são consideradas

como permanentes as ações que crescem no tempo tendendo a um valor

limite constante" (NBR 6118-> 11.3). As ações permanentes classificam-

se em:

</ Diretas: constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos pesos dos

elementos construtivos fixos e das instalações permanentes (item

11.3,2).

/ Indiretas: constituídas pelas deformações impostas por retração e

fluência do concreto, deslocamentos, de apoio, imperfeições geométricas

e pretensão, se houver (item 11.3.3).

-<* As ações variáveis classificam-se em:

/ Diretas: constituídas pelas cargas acidentais previstas para q uso da

construção, pela ação do vento e da água e pelas ações variáveis durante

a construção, supostas nas situações mais desfavoráveis,! ressalvadas,

as simplificações permitidas por normas brasileiras específicas, (item

11.4.1).

i/ Indiretas: constituídas pelas variações de temperatura, uniformes ou

não, pelas ações dinâmicas (item 11.4.2).


3.9 VALORES CARACTERÍSTICOS

3.9.1 Definição

Conceito: Valor característico de uma grandeza de interesse estru-tural é um valorfixado com uma certa probabilidade de não ser ultra-passado no sentido desfavorável para a segurança.

Os valores característicos são adotados por critérios estatísticos e normativos,

com a finalidade de viabilizar o cálculo estrutural, em face do caráter aleatório das

ações, das solicitações e das resistências dos materiais.

Os valores característicos das grandezas de interesse para o projeto de estrutu-

ras de concreto são fixados com base nas expectativas das situações mais des-

favoráveis que a estrutura possa passar ao longo de sua vida útil, para garantir sua

segurança e funcionalidade, mas devem também guardar uma íntima relação com

o comportamento real da estrutura em serviço.

Para definir os valores característicos dos materiais, deve ser considerada a dis-

persão dos resultados dos ensaios dos materiais empregados e as característi-

cas constitutivas próprias do concreto e do aço.

Para os valores característicos das ações, considera-se a incerteza na precisão

de seus valores, conforme a finalidade da edificação. Para as solicitações, é con-

siderada a incerteza nos métodos de cálculo de esforços, sempre levando em

conta a possibilidade de ocorrência de situações desfavoráveis.


3.9.2 Resistência característica dos materiais

3.9.2.1 Conceito

De acordo com a NBR 6118 -^ 12.2:

"Os valores característicos f. das resistências são os que, numlote de material, têm uma determinada probabilidade de seremultrapassados, no sentido mais desfavorável para a segurança."

Esse item ainda dispõe: "Usualmente é de interesse a resistência característica

inferior,^ cujo valor é menor que a resistência média,/ , embora por vezes

haja interesse na resistência característica superior,^ , cujo valore maior que

f . Para efeitos desta Norma, a resistência característica inferior é admitida comoJ m '

sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos

elementos de um dado lote de material."

A norma admite a hipótese de que as resistências dos materiais obtidas dos

ensaios de controle possam ser representadas por uma distribuição normal do

tipo Gauss. A resistência característica inferior é determinada a partir da resistên-

cia média, com um quantil de 5% da distribuição considerada, isto é, com uma

probabilidade prefixada de que apenas 5% dos resultados de ensaios tenham

valores abaixo do valor característico.

Dessa forma, tem-se:

• fm = valor médio da distribuição com relação à frequência de ocorrência

de resultados do lote (resistência média do material à tração ou

compressão)

• s = desvio-padrão dos resultados de ensaio em relação ao valor médio

• fktnf = resiste1"10'3 característica inferior do lote de material ensaiado


A partir da adoção do quantil de 5% na distribuição normal, tem-se:

/.,=/ -1,65s (3.1)J k,mf J m } \

3.9.2.2 Resistência característica do concreto à compressão

A norma NBR 12655: 1996 - Concreto: preparo, controle e recebimento, pres-

creve em seu item 5, Responsabilidade pela composição e propriedades do con-

creto: "O concreto para fins estruturais deve ter definidas todas as características

e propriedades de maneira explícita, antes do início das operações de

concretagem. O proprietário da obra ou o responsável técnico por ele designado

deve garantir o cumprimento desta Norma e manter documentação que compro-

ve a qualidade do concreto, conforme descrito em 5.3".

O item 5.1 da mesma norma estabelece as responsabilidades do profissional

responsável pelo projeto estrutural, transcritas a seguir:

"a) registro da resistência característica do concreto (fck) em todos os desenhos

e memórias que descrevem o projeto tecnicamente;

b) especificação, quando necessário, dos valores de f, para as etapas

construtivas, tais como: retirada de cimbramento, aplicação de pretensão ou

manuseio de pré-moldados;

c) especificação dos requisitos correspondentes à durabilidade da estrutura e de

propriedades especiais do concreto, tais como: consumo mínimo de cimento,

relação água/cimento, módulo de deformação estático mínimo na idade da

desforma e outras propriedades necessárias à estabilidade e durabilidade da

estrutura, durante a fase construtiva e durante sua vida útil, de acordo com a

NBR6118".

Portanto, cabe ao projetista estrutural estabelecer o valor da resistência caracte-

rística, f. , a partir do qual deve ser fixado o valor da resistência à compressão


média a "j" dias, ou resistência de dosagem, f ., conforme dispõe a norma

NBR 12655 -*• 6.4.3:

f -=f * + 1>65 s , (3.2)J cj J ck 3 d

com:

f = resistência de dosagem ou resistência média do concreto à compressão

prevista para a idade de "j" dias, em MPa (NBR 6118 -> 8.2.4: "Quando não

for indicada a idade, as resistências referem-se à idade de 28 dias");

$d = desvío-padrão da dosagem, em MPa.

A NBR 1 2655 -> 6.4.3.1 prescreve que, quando não se determina o valor do

desvio-padrão a partir de ensaios, sejam adotados valores de acordo com

três condições de preparo do concreto: a melhor (condição A) aplicável a

concretos com resistência à compressão até^ = 80 MPa (classe C80)

e a mais precária (condição C), aplicável apenas a concretos com f. <15

MPa (classes CIO e C15):

/CondiçãoA: sd - 4,0 MPa , resultando em: fc,=fck+ 6,6 MPa/Condição B: s d = 5,5 MPa , resultando em: fc-=fck+ 9,1 MPa/Condição C: s = 7,0 MPa , resultando em: fc. =fck + 11,6 MPa

Ainda segundo a NBR 1 2655, item 5.2, cabem as seguintes responsabilidades ao

profissional responsável pela execução da obra:

"a) escolha da modalidade de preparo do concreto;

b) quando o concreto for preparado pelo executante da obra, este deve ser

responsável pelas etapas de execução do concreto e pela definição da condição

de preparo;

c) escolha do tipo de concreto a ser empregado e sua consistência, dimensão

máxima do agregado e demais propriedades, de acordo com o projeto e com

as condições de aplicação;

Capitulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado 85,

d) atendimento a todos os requisitos de projeto, inclusive quanto à escolha do

tipo de cimento Portland a ser empregado;

e) aceitação do concreto (NBR 12655: item 4.4);

f) cuidados requeridos pelo processo construtivo e pela retirada do escoramento,

levando em consideração as peculiariedades dos materiais (em particular do

cimento) e as condições de temperatura".

No início da obra, devem ser estabelecidos os procedimentos para a realização do

controle tecnológico do concreto, por laboratório idóneo, visando comprovar que

na execução se atende o valor de resistência^, especificado no projeto.

As disposições da NBR 12655 definem os valores para a formação dos lotes de

concreto para amostragem, conforme a solicitação principal dos elementos da

estrutura (Tabela 2): compressão ou compressão e flexão (pilares e paredes es-

truturais) ou flexão simples (vigas e lajes).

O item 7.2.3 da NBR 12655 define dois tipos de controle da resistência:

*> Controle estatístico do concreto por amostragem parcial;

*> Controle do concreto por amostragem total.

Para cada tipo de controle é prevista por essa norma uma forma de cálculo do

valor estimado da resistência característica, f. ,, dos lotes de concreto, nos•* cK,esl '

itens 7.2.3.1 e 7.2.3.2.

O controle por amostragem total é mais rigoroso, sendo aplicável a critério do

responsável técnico pela obra, e a resistência característica do concreto é esti-

mada a partir de exemplares extraídos de cada amassada do concreto.

Com os resultados do controle tecnológico, o laboratório fornece ao responsável

técnico a resistência característica estimada do concreto para o lote estudado

(fck ). Com base no item 7.2.4 da mesma norma - Aceitação ou rejeição dos

lotes de concreto, tem-se a aceitação automática se f , > f ,.1 y J ck, est — J ck


Em casos de rejeição do lote, sendo fck <fck, cabe aos responsáveis pelo

projeto e pela obra definir a(s) providência(s) a se adotar no trecho da estrutura em

quesesituaolote-problema, seguindo o disposto na NBR 6118 -»• 25.3- Existên-

cia de não-conformidades em obras executadas.

As providências podem ser, pela ordem de aplicação: revisão do projeto, ensaios

de testemunhos do concreto extraídos do lote e provas de carga. Constatada a

não-conformidade final de parte ou de toda a estrutura, no item 25.3.3, a norma

prescreve:

"a) determinaras restrições de uso da estrutura;

b) providenciar o projeto de reforço;

c) decidir pela demolição parcial ou total".

É importante ter em conta que todas as ações anteriores implicam custos adicio-

nais, não computados no custo original da edificação.

3.9.2.3 Resistência característica do concreto à traçao

As determinações experimentais da resistência à traçao indireta, fc[s , e da resistên-

cia à traçao na flexão, f ,, devem ser obtidas de ensaios realizados segundo as

normas NBR 7222 e NBR 12142,2 respectivamente. Aresistência à traçao indireta é

feita por meio dos ensaios de compressão diametral de corpos de prova cilíndricos,

internacionalmente conhecido como "método brasileiro" (ou splittingtest). A resistên-

cia do concreto à traçao direta^ pode ser considerada igua! a 0,9fcfs ou 0,7fclf

Na falta de ensaios para a obtenção experimental de fc[s e fc , exigida só em

casos especiais, a resistência à traçao do concreto pode ser obtida da correspon-

2 NBR 7222:1994 {MB-212) - Argamassa e concreto - determinação da resistência à traçao por compressãodiametral de corpos de prova cillndrícos - método de ensaio,NBR 12142: 1992 - Concreto ~ determinação da resistência à traçao na flexão em corpos de prova pris-máticos - método de ensaio (desenvolvido pelo engenheiro Fernando Lobo Carneiro).


dente resistência característica à compressão, pelas expressões abaixo (NBR

6118—> 8.2.5), com /* e f. em MPa:i' J ctm J ck

/„ =0,3fL2'3 (3.3)J ctm * J ck

f L~F=Q>7f =0,22f M (3.4)J ctk,mf * J ctm 3 J ck

f .L =l>3ffH, = 0>39fí2/3 (3-5)J ctk,sup * J ctm * •* ck v '

Essas expressões são empregadas em diversos procedimentos de cálculo, em

especial naqueles relativos às verificações ao estado limite de fissuração.

3.9.2.4 Resistência característica do aço à compressão e à traçõo

Os valores característicos da resistência de escoamento, f k, da resistência à

tração^íjt e da deformação na ruptura evk devem ser obtidos de ensaios de

tração realizados segundo a NBR 6152. O valor de / para os aços sem

patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação

residual convenciona] de 0,2%. As resistências características do aço à tra-

ção (f , ) e à compressão (f k) são praticamente iguais, como mostram

resultados experimentais, desde que dispositivos especiais sejam usados para

prevenir a flambagem da barra no ensaio à compressão (versubitem 3.11.1.3

deste capítulo).

Em razão de o controle de qualidade ser rigoroso na produção do aço e as varia-

ções de resistência reduzidas, adota-se como resistência característica a tensão

mínima de escoamento,/, no caso de haver ensaios de recepção, sendo aceito

o valor nominal declarado pelo fabricante, em caso contrário.

Dessa forma, adota-se;

f =f = resistência característica nominal de escoamento do aço.


3.9.3 Ações e solicitações características

Conforme a finalidade da edificação e a possibilidade de situações desfavorá-

veis, considera-se a incerteza na estimativa de valores das ações e nos méto-

dos de cálculo de esforços.

/Ações características

No estágio atua! dos conhecimentos, mesmo para as ações que, em princípio,

podem ser representadas estatisticamente, não há dados experimentais sufi-

cientes para a determinação de valores característicos, com o rigor que prevê

sua definição. Por essa razão, recorre-se à quantificação das ações por seus

valores representativos ou nominais, a partir da análise das condições previs-

tas para a execução e a utilização da estrutura.

No Brasil, o projeto estrutural deve observar as disposições da norma específica,

NBR 6120:1980 (ou N B-5)- Cargas para o cálculo de estruturas de edificações.

As ações variáveis podem ter seus valores reduzidos para as verificações aos

estados limites de serviço, como será visto no Capítulo 8.

Solicitações características

São os esforços solicitantes nas peças da estrutura, calculados por modelos

apropriados da Teoria da Estruturas, a partir dos valores característicos das

ações. Dessa forma, a solicitação característica para uma ação genérica, F,, é

expressa por:

Sk = efeito de Fk


3.10 VALORES DE CALCULO

3.10.1 Definição

Conceito: os valores de cálculo de uma grandeza de interesse estru-tural são obtidos dos valores característicos, multiplicando-os porcoeficientes de ponderação, que visam prever a possibilidade deocorrência de valores mais desfavoráveis, seja na execução ou du-rante a vida útil da estrutura, sob utilização nas condições previstas

em projeto.

Materiais: deve ser introduzida mineração nas resistências características,

prevendo a possibilidade de ocorrerem resistências ainda inferiores àsj^, em

razão de problemas executivos e deficiências nos materiais constitutivos,

inerentes à própria natureza das construções de concreto, e de imperfeições

no controle tecnológico.

Ações/solicitações: devem ser previstas majorações, para levar em conta a

possibilidade de ocorrência de valores de esforços maiores que os obtidos da

análise estrutural, por fatores como a imprecisão na avaliação de cargas,

hipóteses aproximadas dos métodos de cálculo, imperfeições geométricas

na execução das peças, em relação às dimensões originais de projeto, e

outras inevitáveis imperfeições na execução.

3.10.2 Resistências de cálculo

A resistência genérica de cálculo de um material é dada por (NBR 6118 -»• 12.3.1):

J d ~J k' ^ m

O coeficiente de mineração genérico,é dado por (item 12.1):

Y ~ Y , • Y •> * Y ? (3.6)' jrt ' m J f tn2 ,' m3 ^ '


onde:

v ,: considera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos;1 ml

Jm2: considera a diferença entre a resistência obtida no corpo de prova e na

estrutura;

y : considera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em

projeto do ponto de vista das resistências.

A norma expressa as resistências de cálculo dos materiais como se segue (NBR

6118-+12.3.3):

Concreto:

S à compressão:

v^ à tração:

Aço:

S à compressão ou à tração: / =f k.

f =f /YJ cd J ck 'c

J til ~* tk * c

(3.7)

(3.8)

Para cálculos no estado limite último, a norma fornece os valores seguintes:

Tabela 3.1 - Valores dos coeficientes y e y (NBR 6118, item 12.4.1, Tabela 12.1)

Combinações

Normais

Especiais ou de construção

Excepcionais

Concreto (yc)

1,4

1,2

1,2

Aço (YS)

1,15

1,15

1,0

No mesmo item, a norma prescreve ainda aumentos eventuais nos coeficientes

Y e Y :• r • ,v

Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado 9 1

"Para a execução de elementos estruturais nos quais estejam previstas condi-

ções desfavoráveis (por exemplo, más condições de transporte, ou adensamento

manual, ou concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente

y deveser multiplicado por 1,1.

Admite-se, nas obras de pequena importância, o emprego de aço CA-25 sem a

realização do controle de qualidade estabelecido na NBR 7480,3 desde que o

coeficiente de segurança para o aço seja multiplicado por 1,1".

Nos casos de edificações usuais, os valores mais comuns dos coe-

ficientes de minoração das resistências dos materiais são:

y = 1,15 e j ~ 1,4 .' .v ' > c '

Em certos tipos de solicitação, como torção, cisalhamento, aderência, pressão

em áreas reduzidas, estados múltiplos de tensão, etc., a norma trabalha, ainda,

com os valores últimos de cálculo de forças e tensões, que consistem em limites

a serem verificados para as forças e as tensões atuantes, em cada caso, obtidas

das solicitações máximas de cálculo.

As verificações relativas aos estados limites de serviço não exigem a minoração

dos coeficientes dos materiais, tornando-se y = 1,0 . Como será discutido no1 m '

Capítulo 8 deste trabalho, a suposição de que as resistências características dos

materiais são as que melhor representam a estrutura sob utilização normal ba-

seia-se no fato de que o comportamento aos ELS depende, principalmente, das

propriedades médias dos materiais, sem influência significativa das variações lo-

calizadas nas características do concreto e do aço. Tendo em vista a segurança à

ruptura, as variações localizadas justificam a aplicação dos coeficientes de

minoração de resistências nos cálculos relativos aos ELU.

3 NBR 7480:1996 (EB-3) - Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado-especificação.


3.10.3 Ações e solicitações de cálculo

Os valores de cálculo das ações genéricas, Fd, são obtidos a partir dos cor-

respondentes valores representativos, multiplicando-os pelos coeficientes de

ponderação, y Conforme a NBR 6118 -> 11.7 e justificado na NBR 8681: 2003

-Ações e segurança nas estruturas, item 4.2.3.1, esse coeficiente de segu-

rança j . deve ser desdobrado em coeficientes parciais, que "possam ser dis-

criminados em função de peculiaridades dos diferentes tipos de estruturas e

de materiais de construção considerados":

onde:(3.9)

y : considera a variabilidade das ações;

y _ : considera a simultaneidade de atuação das ações, para verificações nos ELS;

y : considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por.A*

problemas construtivos, seja por deficiência do método de cálculo.

Para cálculos no estado limite último, segundo o item citado da norma NBR 8681:

2003, adota-se o coeficiente de segurança y, , que assume os valores

da tabela seguinte:

Tabela 3.2 - Valores do coeficiente ff-yfl- Jfl (NBR 6118, Tabela 11.1 - modificada)

Combinaçõesde ações

Normais

Especiais ou de construção

Excepcionais

Permanentes(Y )\i g/

D® F

1,4 1,0

1,3 1,0

1,2 1,0

Variáveis(Y,)

G T

1,4 1,2

1,2 1,0

1,0 0

Recalques deapoio e retração

D F

1,2 0

1,2 0

0 0

Onde: D é desfavorável, F é favorável, G é geral e Té temporáriaí1' Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio dasestruturas, especialmente as pré-moídadas, esse coeficiente pode ser reduzidopara 1,3.


Ainda pela NBR 8681: 2003, item 4.2.3.1: "o índice do coeficiente y. pode ser

alterado para identificara ação considerada, resultando os símbolos y , y , y ,

y , respectivamente, para as ações permanentes, para as ações diretas variáveis,

para a pretensão e para os efeitos de deformações impostas (ações indiretas)".

A NBR 611 8 -> 11.8.1 determina que "um carregamento é definido pela combina-

ção das ações que têm possibilidades não desprezíveis de atuarem simultanea-

mente sobre a estrutura, durante um período preestabelecido".

Para os ELU, o subitem 11.8.2.4 apresenta, na Tabela 11.3, expressões gerais

para as combinações últimas usuais das ações.

Considerando as estruturas de concreto armado de edificações comuns, a com-

binação última oriunda da tabela citada pode ser escrita na seguinte forma sim-

plificada:

L. , id ' g gfc ' q qk ' e £K

onde:

(3-10)\

F k = ações permanentes diretas (peso próprio, equipamentos fixos);

F k = ações variáveis diretas (sobrecargas de utilização);

F k = ações indiretas em razão de deformações impostas à estrutura (variações

de temperatura, retração, recalques de apoio, etc.).

y , y , JE ~ coeficientes de ponderação da ação considerada, da Tabela 3.2,

anterior.

Na expressão (3.10), buscam-se as situações mais desfavoráveis, que conduzam

a valores máximos das solicitações de cálculo das seções. É o caso de o peso

próprio ser uma ação com efeito favorável à segurança da estrutura, em que se

deve tomar o coeficiente y =1,0.


*t* Solicitações de cálculo

Segundo a NBR 8681: 2003- Ações e segurança nas estruturas, item 5.1.2.1,

sendo o cálculo dos esforços feito em regime elástico linear, uma determinada

solicitação de cálculo produzida por uma ação característica genérica, Fk, è

expressa por:

Sd = yfSk - y (esforço devido a F^ (3.11)

Para cálculos no estado limite último de estruturas comuns de concreto arma-

do, em geral, os esforços de cálculo são obtidos diretamente da multiplicação

dos esforços característicos das ações permanentes e variáveis pelo coeficiente

yf— 1,4, e expressos na forma seguinte:

(3.12)

Admite-se, dessa forma, que a passagem da estrutura ao ELU ocorra em um

regime linear, com um acréscimo de 40% nos esforços solicitantes de serviço.

Para as verificações aos estados limites de serviço, não é exigida a majoração

das solicitações, ou seja, toma-se j = 1,0, pelas razões descritas no final do

item anterior 3.9.

Como será visto no Capítulo 8, os valores de cálculo das solicitações para os

estados limites de serviço são os característicos, podendo até se tomar valores

inferiores, para solicitações causadas por ações variáveis de diferentes origens e

probabilidade reduzida de ocorrência simultânea.


3.11 MATERIAIS CONSTITUTIVOS

3.11.1 Aços para concreto armado

3.11.1.1 Características principais

O item 8.3.1 da NBR 6118 estabelece: "Nos projetos de estruturas de concreto

armado deve ser utilizado aço classificado pela NBR 7480, com o valor caracterís-

tico da resistência de escoamento nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60".

A norma citada (NBR 7480:1996 - Barras e fios de aço destinados a armaduras

para concreto armado-especificação) apresenta a seguinte classificação quanto ao

processo de fabricação e o valor característico da resistência de escoamento ( f.):

Barras

produtos de diâmetro nominal ou bitola > 5, #777772, obtidos exclusivamente por

laminação a quente. As propriedades físicas são introduzidas no processo de

laminação, em decorrência da composição química (teor de ferro e carbono).

São denominados aços de dureza natural ou ctoces e considerados de alta

ductilídade.

>• Categorias CA-25 (f = 250 MPa) e CA-50 (f = 500 MPa).

<* Fios

produtos de diâmetro nominal < 10 mm, obtidos por trefílaçao ou processo

equivalente. As propriedades físicas são resultantes do processo de laminação

do aço e de sua composição química e de um posterior tratamento mecânico,

a baixas temperaturas (torção, trefilação, etc.). São denominados aços

encruados e de ductilidade normal.

> Categoria CA-60 (f = 600 MPa).


Na notação brasileira, o prefixo CA abrevia apôs para Concreto Armado, com o

número na sequência indicando a resistência característica de escoamento,/

ou /, em kgf/mm2.

Quanto às propriedades mecânicas de tração, a NBR 7480 estabelece que a

resistência característica de escoamento das barras de aço é obtida do diagrama

tensão-deformação (cr - e) dos ensaios à tração, tomada como a tensão corres-

pondente ao patamar de escoamento. Para os aços sem patamar de escoamen-

to, a resistência de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação

residual ou permanente de 0,2 %.

Nas edições anteriores à norma NBR 7480/96 e da NBR 6118, os aços com e sem

patamar de escoamento eram classificados como classes Ae B, respectivamen-

te, notação que prevaleceu por muito tempo no Brasil. A NBR 7480:1996 não usa

mais as letras A ou B para a categoria do aço. A utilização do aço classificado

como CA-50B era bastante frequente e, dessa forma, deve-se ter atenção nas]

verificações do cálculo de estruturas existentes construídas com esse tipo

aço, pois o diagrama de cálculo (cr- e) apresentava peculiariedades que afeíavar

o cálculo, em especial das peças fletidas.

A seguir apresentam-se algumas considerações práticas sobre os aços fabrica-

dos no Brasil, extraídas da NBR 7480 e NBR 6118 -> 8.3:

a) O aço da categoria CA-50 é usado em todos os tipos de armadura, longitudinal

ou estribos. O aço CA-60 é empregado apenas na armadura longitudinal de

lajes e nos estribos de vigas e pilares, sendo que, no caso de estribos, como

será visto adiante, não resulta em economia, apesar de sua maior resistência

característica. O aço CA-25 é de emprego limitado apenas a pequenas obras.

b) Os aços CA-25 e CA-50 são fornecidos em bitolas de 5 mm a 40 mm (barras).

O CA-25 é produzido em barras com superfície iisa e o CA-50 em barras com

saliências na superfície, denominadas "mossas", que têm a finalidade de

melhorar, mecanicamente, a aderência aço-concreto, necessária pela maior

resistência desse aço.


c) Os aços CA-60 são fornecidos na forma de fios com entalhes na superfície e

bitolas de 2,4 mm a /#/77m(verTabela 4.1, ao final do Capítulo 4, que apresenta

as bitolas padronizadas da norma NBR 7480).

d) As barras comerciais são fornecidas em feixes ou em rolos, com comprimentos

de até 11 m, com tolerância de 9%. Sob encomenda, podem ser fornecidas

barras de até 26 m de comprimento, com aumento médio de preço de 15%,

bem como diâmetros nominais diferentes podem ser produzidos a pedido do

consumidor,

e) A NBR 7480 exige a identificação obrigatória das barras com bitola CP> 10

mm, feita porlaminação em relevo ao longo da superfície, com espaçamento

não inferior a 2 m, indicando o fabricante e a classe do aço. A identificação de

barras com bitola 0 < 10 mm ê feita pela pintura de suas extremidades, de

acordo com um código de cores da norma (por exemplo: CA-60, cor azul, CA-

50, branca).

f) Os aços encruados por processo a frio não devem sofrer emendas por solda,

pois o aquecimento das barras pode provocar a perda das propriedades

mecânicas obtidas com o tratamento mecânico a baixas temperaturas.

g) Permite-se o emprego simultâneo de diferentes categorias de aço em uma

mesma peça, desde que uma delas seja usada na armadura principal e outra

apenas nas armaduras secundárias.

h) O valor da massa específica do aço de armadura passiva (qualquer categoria)

pode ser admitido igual a 7850 kg/m3.

Í) O valor do coeficiente de dilatação térmica do aço pode ser admitido igual a

10~5 °C~l, para intervalos de temperatura entre 20 e 150 °C.

j) O valor do módulo de elasticidade do aço, na falta de ensaios ou valores

fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido igual a 210 GPa.


3,11.1.2 Áços com patamar de escoamento definido (CA-25 e CA-50)

Os aços classificados como de dureza natural devem apresentar no diagrama

tensão x deformação (a x e), obtido de ensaios de barras à tração ou compres-

são, um patamar de escoamento bem definido, como mostrado na Figura 3.2, a

seguir.

A inclinação da reta na origem é aproximadamente constante para os três tipos

de aço normatizados. A tangente do ângulo a é denominada módulo de elasti-

cidade ou de Young, tendo o seu valor estabelecido pela NBR 6118 -*• 8.3.5:

£ = 2,lxlQ5 MPa = 210 GPa.

fyk

f yd

diagrama característico

diagrama de cálculo

-T

-y-d=2,lxl05

VMPa

v 10 %o

Figura 3.2 - Diagrama tensão x deformação de aços CA-25 e CA-50 (dureza natural)

As deformações específicas do aço por unidade de comprimento são números

adimensionais, expressos na notação mm/m ou simplesmente %o, por questão

de comodidade para se tratar com números muito pequenos. Por exemplo, a

deformação específica de escoamento de cálculo, s „ do aço CA-50 é igual a

0,00207 e é expressa como 2,07 %o. Isto significa que uma barra desse aço


com comprimento de 1,0 metro deve escoar quando for atingida uma deforma-

ção de 2,07 mm.

A deformação específica do aço é limitada, ao final do patamar de escoamento,

pelo valor convencional máximo 10 %o, para evitara ocorrência de deformações

plásticas excessivas de armaduras tracionadas no estado limite último. Os aços

brasileiros para concreto armado têm, no entanto, deformações de ruptura muito

superiores ao valor convencional. O aço CA-50, por exemplo, pode ultrapassar

100 %o (ou 10%) de deformação específica de ruptura, com variação substancial

no valor máximo atingido, em função do diâmetro da barra.

É importante destacar que na maior parte dos ensaios à tração de amostras de

aço, realizados no Laboratório de Ensaios de Materiais do Departamento de En-

genharia Civil e Ambiental da UnB, constatou-se que as barras de aços classifica-

dos como CA-50 com diâmetro (Cp) inferior a 12,5 mm não apresentam, em geral,

patamar de escoamento definido no diagrama a - e, fato também observado em

ensaios em outros centros de pesquisa no Brasil. Esse patamar, na realidade,

apresenta-se, deforma nítida, apenas nas barras com 0>10mm.

3.11.1.3 Aços sem patamar de escoamento definido (CÁ-60)

Para os aços sujeitos ao processo de encruamento a frio, as propriedades físicas

são alteradas e o diagrama tensão x deformação, obtido de ensaios de barras à

tração, não apresenta patamar de escoamento definido. Após um trecho inicial

linear, que se estende até um valor da tensão chamado de limite de proporciona-

lidade, o diagrama torna-se uma curva, como mostra a Figura 3.3. O alongamento

máximo é também limitado ao valor 10 %0, para evitar deformações plásticas ex-

cessivas na ruptura.


fyk

J fy*

diagrama deensaio à tração

296o 10%0

Figura 3.3 - Diagrama tensão x deformação de aços CA-60 (encruados)

Para os aços sem um patamar de escoamento definido, a NBR 6118: 2003, no

item 8.3.6, estabelece a tensão de escoamento convencional,/^, como a orde-

nada correspondente ao ponto de cruzamento da curva a-e com uma reta para-

lela à reta de origem, traçada a partirdaabcissadeO,2% (ou2%o). Esse valor é a

deformação específica residual ou permanente medida no ensaio de uma barra à

tração em que a carga aplicada volta a zero.

3.11.1.4 Diagrama simplificado de cálculo para aços CA-25, CA-5Q e CA-60

A NBR 6118 -+ 8,3.6 apresenta para cálculos nos estados limites de serviço e

último um diagrama simplificado de cálculo tensão x deformação, mostrado na

Figura 3.4, a seguir, válido para os aços com ousem patamar de escoamento, no

intervalo de temperatura entre 20 e 150 °C, e que pode ser aplicado para ambos

os tipos de tensões, tração e compressão.

Pelo disposto no diagrama simplificado de cálculo da norma, para todos os aços

brasileiros para concreto armado, valem as expressões a seguir:

cr = E . 8 para O < e < s ,s c s * — s — yd

cr =/ , para e ,<£ < l O %cs J yd f yd — s —

(3.13)


diagrama característico

diagrama de. cálculo

fana = E = yd ~ 2,lxl05MPa = 2.100GPa

v 10 96o

Figura 3.4 - Diagrama cr - e simplificado de cálculo para aços CA-25, CA-50 e CA-60

A Tabela 3.3 apresenta os valores das grandezas relativas às propriedades de

interesse no projeto estrutural, em que foi utilizado o coeficiente de minoração

fs ~ A •/j.

Tabela 3.3 - Propriedades mecânicas dos aços para concreto armado

Aço

CA-25

CA-50

CA-60

ffiWPa)

250

500

600

/ , = /y;,;5J yd -1 yk '

217

435

522

B,,, (%«)

1,035

2,070

2,484

f'yd (MPa)

217

420

420

A última coluna da direita da tabela mostra valores da tensão /' rrfl que representa

a resistência máxima de cálculo de armaduras de aço comprimidas em peças de

concreto armado. Esses valores correspondem à deformação específica de es-

magamento do concreto à compressão axial, fixada por norma em 2%o. Essa

102 João Carlos Teatiní de Souza Clímaco

limitação é indispensável, pois as barras de aço, isoladamente, não garantem a

capacidade resistente da peça de concreto armado, no caso de o concreto entrar

em processo de esmagamento por compressão. É uma disposição que se impõe,

por exemplo, no cálculo da armadura longitudinal comprimida de pilares, como

será visto no Capítulo 4.

A Tabela 3.3 foi construída com o valor usual do coeficiente de minoração da

resistência do aço, y =1,15, Para valores diferentes, as resistências e as

deformações das tabelas deverão ser recalculadas. É o caso, por exemplo, do

emprego de aço CA-25 sem a realização do controle de qualidade, em obras de

pequena importância, em que se exige que o coeficiente de minoração do aço

seja multiplicado por l,l, como prescreve a NBR 6118, item 12.4.1.

3.11.2 Concreto

3.11.2.1 Características

Os dispositivos da norma NBR 6118 (item 8.2.1) se aplicam a concretos

compreendidos nas classes de resistência até C50 (/ = 50 MPa), do grupo l

da norma NBR 8953: 1992 - Concreto para fins estruturais: classificação por

grupos de resistência.

A seguir apresentam-se algumas considerações práticas sobre o concreto utiliza-

do no Brasil, extraídas da NBR 6118 -^ 8.2:

a) O valor mínimo da resistência característica à compressão para concretos

apenas com armadura passiva, isto é, para estruturas de concreto armado,

éfck = 20 MPa (classe C20). Essa resistência mínima adotada a partir

da NBR 6118: 2003 é um avanço com relação aos baixos valores

tradicionalmente usados nas obras no Brasil. O uso de concretos com

resistências mais elevadas é uma tendência irreversível, pois, além de

representar economia nos volumes de concreto e aço, significa maior

durabilidade da estrutura.


b) Para concretos com armadura ativa, estruturas de concreto protendido, o

valor mínimo é 25 MPa(C\asse C25). A Classe Cl 5 pode ser usada apenas

em fundações e em obras provisórias.

c) A norma aplica-se a concretos de massa específica normal, isto é, concretos

que, depois de secos em estufa, apresentam uma massa específica (p)

entre 2000 kg/m3 e 2800 kg/m3.

d) Em casos de não serem realizados ensaios, para efeito de cálculo, pode-se

adotar para o concreto simples p = 2400 kg/m3 e para o concreto armado

p = 2500 kg/m3.

e) A norma estabelece, de forma implícita, parâmetros para a taxa volumétrica

das armaduras de aço em estruturas de concreto armado, ao declarar: "Quando

se conhecer a massa específica do concreto utilizado, pode-se considerar

para valor da massa específica do concreto armado aquela do concreto simples

acrescida de 100 a 150 kg/m3".

f) O valor do coeficiente de dilatação térmica do concreto pode ser admitido

igual a IO'5 °C~}, para efeito de análise estrutural.

3.11.2.2 Diagrama tensão-deformaçÕo do concreto à compressão

O diagrama a - 8 obtido de ensaios à compressão de corpos de prova cilíndri-

cos de concreto não apresenta trecho linear, conforme mostra a Figura 3.5 (a), a

seguir.

Os concretos de resistência mais alta apresentam uma inclinação mais acentua-

da no início da curva, mas verifica-se experimentalmente ser aproximadamente

constante o valor da deformação específica correspondente à tensão máxima, em

torno de 2 mm/m (2%o), que é adotado como o encurtamento de ruptura do

concreto sob compressão uniaxial.


0,3 f

0,85 f.cd

ruptura àcompressãoaxial

2 %o = 2 mm/m 2%0

ruptura àflexãosimples

3,5%

a) Diagrama de ensaios à compressão b) Diagrama a - 6 idealizado

Figura 3.5 - Diagramas tensão x deformação do concreto à compressão

A Figura 3.5 (b) mostra o diagrama tensão-deformação "idealizado"Kçrevisto peia

norma, para análises no estado limite último.

Para o cálculo de elementos de concreto armado no regime elástico, é neces-

sário estabelecer o conceito de módulo de elasticidade ou de deformação do

concreto, mesmo não havendo trecho perfeitamente linear no diagrama CT - s.

Segundo a NBR 6118 -* 8.2.10.1: "Para tensões de compressão menores que

0,5 fc, pode se admitir uma relação linear entre tensões e deformações, ado-

tando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado pela expressão

constante em 8.2.8".

A determinação experimental do módulo de deformação do concreto é prevista

em norma específica, a NBR 8522:1994 : Concreto-Determinação do módulo

de deformação estática e diagrama tensão-deformação — Método de ensaio.

Segundo essa norma, considera-se para o concreto o "módulo de deformação

tangente inicial corda! a 30%fc, ou outra tensão especificada em projeto".

Na falta de determinação experimental e não existindo dados precisos sobre

a resistência do concreto a 28 dias, as normas internacionais apresentam


expressões, de caráter empírico, para estimativa do módulo de elasticidade

do concreto, em função da resistência à compressão.

Pela NBR 6118 -> 8.2.8, o módulo de elasticidade tangente inicial do concreto é

estimado pela expressão seguinte, com / e E { na unidade MPa:

E 4 = 5600 f a" MPa (3.14)

Para fins de análises elásticas de projeto, especialmente para a determinação de

esforços solicitantes e para a verificação dos estados limites de serviço, pode ser

adotado o chamado módulo de elasticidade secante, à compressão e à tração,

multiplicando por 0,85 o módulo tangente da expressão (3.14).

Esse módulo secante é considerado, portanto, um valor representativo para as

tensões atuantes em serviço, na maioria das estruturas;

E = 0,85 E . - 4760 f . J/2 MPa (3.15)CS ' C! J CK \

No diagrama idealizado tensão-deformação de cálculo do concreto à compres-

são, mostrado na Figura 3.5 (b), usualmente chamado diagrama parábola-retân-

gulo, o valor de uma tensão genérica de compressão no concreto, < j , no trecho

parabólico do diagrama é estipulado na NBR 6118 -> 8.2.10.1 pela expressão:

ac = 0,85 f^ [l-(l- ee/0,002)'J (3.16)

O coeficiente de redução 0,85, aplicado sobre a resistência à compressão de cál-

culo, f ,, na expressão (3.16) visa estabelecer a tensão máxima de compressão do

concreto que leve em conta as ações de longa duração atuando na estrutura.

O coeficiente 0,85 considera três fatores:

a) A diminuição de resistência do concreto quando sujeito à ação de cargas de

longa duração. Ensaios com cargas aplicadas de forma lenta mostram que,

em média, as resistências obtidas são 25% menores que às dos ensaios

usuais, de curta duração.


b) O aumento da resistência do concreto após os 28 dias, prazo*em que se

considera ter sido atingida a resistência máxima do concreto. Entretanto, na

realidade, a resistência continua crescendo, podendo alcançar valores até

20% superiores, em média, após um ano.

c) Diferenças nas propriedades do concreto da estrutura com relação ao moldado

nos corpos de prova. Ensaios demonstram que corpos de prova mais esbeltos

que os cilíndricos usuais, de dimensões 15 x 30 cm, apresentam uma diminuição

média de 5% nas resistências à compressão.

O coeficiente resultante da influência dos três fatores citados, que ficou conhecida

como efeito Rusch, pesquisador alemão que a enunciou, é obtido pelo produto de

três fatores:

0,85 = 0,75 x 1,20x0,95 (3.17)

3.11.2.3 Deformações do concreto

As deformações do concreto estrutural, desde o momento de sua moldagem e

após solicitação, podem ser classificadas em dois grupos:

/ Próprias ou autógenas: ocorrem mesmo antes da retirada do escoramento da

estrutura e de sua entrada em carga, em virtude das características de

porosidade e permeabilidade do material. É o caso das deformações de retração

e térmicas.

S Deformações sob carga: produzidas após a retirada do escoramento da

estrutura e sua entrada em carga, compreendendo as deformações imediata

e lenta. Esta última ocorre ao longo do tempo, sendo também denominada

"fluência".

A seguir, serão apresentadas algumas considerações sucintas sobre essas defor-

mações, cujo estudo é bastante complexo, apenas como informação de carater

inicial:


a) Retração

Conceito: fenómeno de variação espontânea de volume das peças

de concreto, em razão da estrutura interna porosa e da ação de

forças capilares. É um processo acentuado nas primeiras idades,

tendendo a se estabilizar após meses ou mesmo anos, em função

defatores diversos-ambientais, de execução e dimensionais.

Nas peças com cura do concreto ao ar livre, a retração pode ter três causas

distintas:

<* Retração química, de secagem ou primária:

Resulta da contração das partículas do gel, camada que se forma em torno

dos grãos de cimento, na reação com a água durante o processo de hidratação.

A reação é exotérmica, podendo a temperatura no interior do concreto ser

superior à externa, fato marcante em obras de concreto massa, comum em

barragens de concreto.

<* Retração de evaporação:

Decorre da evaporação, por capilaridade, da parte da água de amassamento

excedente àquela para hidratação do cimento, necessária para dar

trabalhabilidade ao concreto.

<* Retração de carbonatação ou secundária:

Ocorre em ambientes com alto teor de dióxido de carbono (CO2), como garagens

e estacionamentos, em presença de umidade, com a carbonatação dos

produtos decorrentes da hidratação do cimento.

A retração é analisada pela NBR6118->8.2.11, cuja Tabela 8.1 fornece valores

para a deformação específica de retração do concreto, s (t , t ), em função da

umidade ambiente e da espessura equivalente 2A /u, onde A é a área da

1 08 João Carlos Teatiní de Souza Clímaco

seção transversal e ti é o perímetro dessa seção em contato com a atmosfera.

Os termos (t , t ) representam, respectivamente, a idade do concreto com a

retração já estabilizada, em tempo infinito, e à época de introdução do primeiro

carregamento. Segundo a norma: "Os valores dessa tabela são relativos a tem-

peraturas do concreto entre 10 e 20°C, admitindo-se, entretanto, temperaturas

entre O e 40°C".

£=2r\ /

. v - a . v • . v •A P • L* t " 17 V

- n f M i

tempo t

â

A ' V - L - * ' £7

a &, . v - o

tempo t~°° (l a 3 anos)

es oo

tempo

Diagrama de evolução da retraçãodo concreto com a idade

Figura 3.6 - Deformação do concreto por retração(o índice "s" refere-se ao termo em inglês: shrínkage]

Da Tabela 8.1, e como expressa o diagrama da Figura 3.6 (b), os valores do encur-

tamento específico de retração, após a estabilização no tempo °°, a serem consi-

derados nas peças estruturais de concreto armado, variam entre os extremos:

e = -0,08 %o => umídade = 90%; espessura equivalente = 20 cm, to = 20 dias

8 = -0,44 %Q sumidade = 40%; espessura equivalente -20cm', to = 5 dias.


Os fatores principais que influenciam a retraçao são: consumo de cimento; finura

do cimento; fator água/cimento; adensamento e cura do concreto; dimensões da

peça; disposição das armaduras; gradiente de temperatura interna externa; umi-

dade relativa do ar; variações de temperatura; intensidade do vento.

As fissuras no concreto em virtude da retraçao têm como características:

• Pouca profundidade, uniforme em toda a sua extensão.

- Estabilizam-se rapidamente quando não associadas a outros fatores.

- Em peças laminares, as fissuras apresentam o aspecto de uma malha ou

mapa, cortando-se em ângulos de aproximadamente 90°.

• Em peças alongadas, ou barras, as fissuras têm espaçamento aproximadamente

uniforme ao longo da peça.

b) Deformações térmicas

As variações de temperatura atuam de forma permanente nas estruturas, provo-

cando nas peças: encurtamentos - com as diminuições de temperatura - e alon-

gamentos, com os aumentos. Se as deformações térmicas são restringidas pelos

vínculos existentes na estrutura, nela são introduzidas: tensões de tração, se

encurtamentos são restringidos, e tensões de compressão, para alongamentos

restringidos. A consideração dos efeitos de temperatura nas estruturas de concre-

to é complexa, envolvendo muitos fatores, tais como a variação não uniforme de

temperatura, a vinculação efetiva entre as peças, diferenças nos vãos e seções

transversais, etc.

Uma vantagem essencial da associação concreto-aço é o fato de os materiais

apresentarem valores bastante próximos para o coeficiente de dilatação térmica

linear (10 ~5oC~J*), o que vem minimizar as tensões térmicas internas entre os

materiais.


A NBR 6118 -» 11.4.2.1 admite que "a variação da temperatura da estrutura,

causada globalmente pela variação da temperatura da atmosfera e pela insolação

direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da constru-

ção e das dimensões das peças que a compõem," No caso mais geral para

estruturas usuais, para peças cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, a

norma dispõe que deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno

da média de ±10 a 15°C.

Aedição de 1978 da NBR 6118, em seu item 3.1.14, apresentava uma disposição

que dispensava o cálculo de esforços em razão das variações de temperatura em

estruturas cuja dimensão máxima em planta não superasse 30 m e em estruturas

permanentemente envolvidas por terra ou água. Tal disposição não consta da nova

edição, no item 11.4.2.1, que prescreve apenas: "Em edifícios de vários andares

devem ser respeitadas as exigências construtivas prescritas por esta Norma para

que sejam minimizados os efeitos das variações de temperatura sobre a estrutura

da construção".

A dimensão máxima de 30 m era questionada por especialistas, como, por exem-

plo, J.C. Sussekind, no livro Curso de concreto, vol.1 (1980): "É excessivamente

simplista (e errado) afirmar-se que, limitada a 30 m a distância entre juntas de

dilatação de uma estrutura, a mesma estará livre de esforços elevados oriundos

de deformações impostas". A crítica é pertinente e indica que o espaçamento das

juntas de dilatação exige uma análise mais acurada pelo projetista no lançamento

estrutural, para seu correio posicionamento.

Em estruturas hiperestáticas, mesmo obedecidas as exigências de norma, se o

"núcleo rígido" da estrutura, cuja inércia pode ser considerada infinita (composto,

em geral, por caixas de escadas e poços de elevadores), não coincide com o

centro de dilatação da estrutura, elevados deslocamentos podem ser impostos à

estrutura, principalmente aos pilares periféricos. Dessa forma, é recomendável,

nesses casos, posicionar o núcleo rígido o mais próximo possível do centro do

prédio, em planta, a fim de reduzir as deformações impostas por variações de

temperatura. Vale ainda acrescentar que as deformações de retração se superpõem


às de temperatura. No caso de se considerar o encurtamento máximo de retração

da norma antes descrito, e = 0,44%o ~ 44 x 10~3, ele equivale a umaCS,oo '

diminuição uniforme de temperatura de 44°C \s deformações absolutas oriundas das variações de temperatura, A/,

determinantes para o espaçamento das juntas de dilatação, podem ser estima-

das pela expressão:

A/«e t í / (3.18)

onde:

/ = distância do centro de dilatação da estrutura à seção considerada;

e = a At = deformação específica axial em virtude de uma variação uniforme de

temperatura de At °C, sendo o coeficiente de dilatação térmica

linear do concreto armado tomado como a.^,—10'5 °C~i.CA

As tensões de origem térmica, se restringidas, podem provocar fissuração prema-

tura do concreto. No caso, por exemplo, de uma viga biengastada de concreto

armado, com a resistência do concreto fck = 20 MPa, submetida a uma redução

uniforme de temperatura de 10°C, o encurtamento do concreto em virtude da

variação de temperatura seria:

ecí= a At = IO'5 . 10 = IO'4 = 0,1%*.

Da expressão (3.15), calcula-se Ec~21300 MPa, com o qual se obtém a tensão

de tração no concreto em virtude da variação de temperatura, admitindo a estrutu-

ra em regime elástico, na forma seguinte: ac/ =Ec. ecl — 2,13 MPa.

Da expressão (3.4), obtém-se resistência à tração do concreto:

A =/ ,*• ,= 0,22 f t2/3 = 1,55 MPaJ ik J ctk,mf ' J ck '


1=1

Sendo a tensão de tração a superior à resistência característica do concreto à

tração, podem aparecer fissuras na peça. Isso vai depender, também, de outros

aspectos do dimensionamento, como a rigidez relativa das peças, a disposição

de armaduras e a qualidade da execução.

c) Deformação lenta ou fluência

Ao se retirar o escoramento, a estrutura entra em carga e ocorre uma deformação

imediata inicial das peças, de natureza elástica. Com o aumento da idade, as

deformações no concreto continuam a crescer, mesmo sob um estado de cargas

constante. Esse fenómeno é conhecido como deformação lenta ou fluência, as-

sociado à natureza do material, com uma elevada presença de vazios no interior

do concreto. A deformação final da peça será, portanto, a soma das deformações

imediata, e , e lenta da fluência, ecc, que tende a se estabilizar após um período

de alguns anos, num valor 6 , conforme mostra a Figura 3.7 (o índice "c"CC, CO

refere-se ao termo fluência em inglês: creep).

P\ D

A .•4,

P

•Q

-4D

b- '

/S

CO

x

tempo

moldagem

\ • ^ p

' -4,

f

fc- 'Q

•4D

t- '

Scc\

Tfc•

J7

'

a

• .D

fc- '

t = to temporetirada do t> toescoramento

Coo

CO

tempo

to t (=00

Diagrama de deformações imediata elenta (fluência) do concreto com a idade

Figura 3.7 - Deformação imediata e fluência do concreto


Os principais fatores de maior influência no valor da deformação lenta são: a

idade do concreto quando da aplicação da carga, a umidade relativa do ar e as

dimensões relativas das peças. Afluência é também abordada pela NBR6118

no item 8.2.11, com a Tabela 8.1 fornecendo valores para o coeficiente de

fluência (p (t , t^), em função da umidade ambiente e da espessura equiva-

lente 2Ae/n, onde Ác é a área da seção transversal e w é o seu perímetro em

coníato com a atmosfera.

A consideração da fluência no cálculo de flechas é obrigatória, obtendo-se por

processo aproximado a denominada "flecha diferida", decorrente das cargas de

longa duração (item 17.3.2.1.2) associadas às ações permanentes na estrutura.

A flecha diferida da fluência é obtida multiplicando-se a flecha imediata do

cálculo elástico por um coeficiente que leva em conta o aumento do encurta-

mento do concreto com o tempo e a consequente alteração na curvatura das

peças fletidas. ATabela 17.1 do item citado indica para concretos com idade

igual ou superior a 70 meses (5, 8 anos) um fator multiplicador da flecha ime-

diata igual a 2,0. A consideração incorreta desse efeito é, muitas vezes, res-

ponsável por sérios problemas estruturais e de funcionalidade da edificação,

como, por exemplo, o apoio de elementos estruturais em peças não resisten-

tes, tema que será visto no Capítulo 8.



3.12.1 Enunciados

1. Para os valores da deformação específica e = 1,5 mm/m e 2,1 mm/m,

determinaras tensões correspondentes para barras de aços CA-25, CA-50 e

CA-60, a partir dos respectivos diagramas idealizados de cálculo da NBR

6118, e verificar a situação dessas barras quanto ao escoamento.

2. Para os valores da tensão a =400; 500 e 600 MPa, determinaras valoress

das deformações específicas correspondentes, a partir dos diagramas

idealizados de cálculo dos aços CA-50 e CA-60.

3. Para uma barra de aço com bitola 0 = 20 mm, submetida a uma força de

tração de 100 kN, determinar a deformação específica correspondente para

os aços CA-50, CA-60 e CA-25.

4. Para uma barra de aço com bitola 0 = 12,5 mm, submetida a uma força de

tração de 25 kN,determinar a deformação específica correspondente para o

aço CA-25, usado em obra de pequena importância, sem a realização do

controle de qualidade.

5. Repetir o exercício 3, tomando as barras de aço com bitolas 0 (mm) = 10;

12,5; 16; 22; 25; 32 e 40, para o aço CA-50.

6. O projeto estrutural de uma obra especificou o concreto da classe C-20. Durante

a concretagem de um pavimento constatou-se uma alteração significativa na

umidade dos agregados, sendo obtido o valor ^fckesi = 17 MPa. Que

providências devem ser tomadas em relação à parte já concretada?

7. Numa obra projetada com fck ~ 25 MPa, foram ensaiados os corpos de

prova dos exemplares de um lote de 50 m3 de concreto, sendo obtidos os

seguintes resultados individuais da resistência à compressão do concreto

(em MPa): 30; 25; 25; 27; 22,5; 28; 26; 28; 29; 32; 33; 24 e 29.

Determinar o valor de f. esí segundo o controle estatístico por amostragem

parcial da NBR 12655: 1996,


8. Segundo dados do Departamento de Engenharia Civil e Ambiental da UnB, para

um volume de concreto estrutural de 97.000 m3/mês lançado nas obras no Dis-

trito Federal, no ano de 2004, foram ensaiados 8.900 corpos de prova, pelos

laboratórios de controle tecnológico em atividade. Calcular a percentagem do

concreto estrutural que passou porefetivo controle de aceitação naquele ano,

segundo o controle estatístico por amostragem total da norma NBR12655:1996.


1. Para cada categoria de aço, enquadrar as deformações dadas em um dos

trechos, linear elástico ou patamar de escoamento, do diagrama de cálculo

a - e da Figura 3.4, conforme os valores da Tabela 3.3. Obter as tensõess s ^ '

no aço de uma das expressões (3.13).

2. Enquadrar as tensões dadas em um dos trechos do diagrama de cálculo da

Figura 3.4, conforme o aço e os respectivos valores da Tabela 3.3. Observar

que os aços podem não conseguir atingir alguns dos valores da tensão.

Obter as deformações específicas a partir de uma das expressões (3.13).

3. Calcular, inicialmente, a tensão na barra. Se o valor for inferior ao da ten-

são de escoamento de cálculo do aço, da Tabela 3.3, obter a deformação

específica da primeira das expressões (3.13). Se a tensão for superior,

significa que o aço não alcança a força aplicada para a bitola dada,

4. Similar ao exercício 3. No caso do CA-25 em obra de pequena importância

e sem controle de qualidade, do último parágrafo do item 3.11.1.4-Capítu-

lo 3, fazer a alteração do coeficiente de mineração da resistência do aço,

y , e as consequentes mudanças nos valores da tensão e da deformação

de escoamento de cálculo do aço da Tabela 3.3.

5. Calcular as tensões correspondentes a cada bitola. A área da seção de

cada bitola pode ser obtida diretamente da Tabela 4.4 - Capítulo 4. Deter-

minar as deformações específicas como no exercício 3.


6. Ver o item 3.11.2, alínea a) e a parte final do item 3.9.2.2 - Capítulo 3,

. referente à Aceitação ou rejeição dos lotes de concreto.

7. Ver o item 3.9.2.2 - Capítulo 3 e a norma NBR 12655: 1996- Concreto:

preparo, controle e recebimento, item 7.2.3, no que se refere ao controle

da resistência do concreto.

8. Vero item 7.2.3 da NBR 12655. Supor todo o concreto produzido por cen-

trais (do volume mensal do DF, cerca de 2/3 vêm de centrais de concreto,

sendo o restante moldado nas próprias obras, em geral de pequeno porte.

A preferência pelo concreto usinado é um fato recente, em virtude do custo

acessível-pela forte concorrência no setor-, da melhor qualidade do ma-

terial e das áreas reduzidas dos canteiros de obras). O controle por

amostragem total (100%) prevê o ensaio de exemplares de cada amassa-

da, no caso um caminhão betoneira, com capacidade usual de 8,0 m3. Em

geral, moldam-se quatro corpos de prova (CPs) por caminhão, sendo dois

rompidos aos sete e dois aos 28 dias.

• SWSíSBHI

Capítulo 4

^PPWP^

CALCULO DE PILARES • ;-À COMPRESSÃO CENTRADA

H.1 Objetivos f; x

4.2 Conceitos preliminares4.3 Pilares curtos e

medianamente esbeltos:processo aproximado

4.4 Cálculo de pilares àcompressão centrada

4.5 Prescrições da NBR 6118:2003

4.6 Exemplos4.7 Auto-avaliação

Cálculo de pilares à compressão centrada

4.1 OBJETIVOS

Conceito: pilares são elementos lineares de eixo reto, em geral

verticais, em que as forças normais de compressão são preponde-rantes e que têm a função de transmitir às fundações as açõesatuantes na estrutura.

Conforme descrito no item 3.6 do Capítulo 3, os pilares são classificados como

parte da estrutura primária da superestrutura de uma edificação, essencial à sua

segurança global.

Nos pilares usuais de edifícios, predominam a força normal e o momento fletor,

denominados "solicitações normais" por induzirem tensões normais à seção trans-

versal da peça. De acordo com a consideração, ou não, do momento fletor no

cálculo, tem-se a classificação:

*> Compressão centrada, axial ou simples: quando apenas forças normais -

paralelas ao eixo longitudinal - solicitam o pilar, podendo ser desprezados

os momentos fletores.

*> Flexão composta: quando a força normal e o momento fletor atuam

conjuntamente. De acordo com a natureza das tensões normais na seção,

pode ser denominada flexocompressão ou flexotração. Considerando, ainda,

os momentos fletores atuantes em relação aos eixos principais de inércia

da seção transversal, a flexão composta pode ser classificada em:

^ Flexão composta plana, normal ou reta: os momentos fletores atuam

segundo apenas um dos eixos principais da seção.


Flexão composta oblíqua: os momentos fletores atuam nos dois eixos

principais.

ytraçodo planosolicitante

Figura 4.1 - Seção retangular sob flexão composta oblíqua

No caso geral de pilares de edifícios, se levadas em conta todas as simplificações

e os desvios associados ao projeto e à execução, a flexão composta predomina

de forma absoluta. Com o refinamento dos métodos de cálculo e maior arrojo das

edificações, as normas internacionais passaram a exigir que o cálculo de pilares

fosse sempre feito à flexão composta, com a consideração, em peças mais

esbeltas, dos chamados "efeitos de 2^ ordem", em que o equilíbrio é analisado a

partir da configuração deformada das peças estruturais.

A norma brasileira NBR 6118, a partir da edição de 1978, passou também a

adotar esse procedimento. No entanto, em face da grande complexidade do

problema, que em certos casos exige, ainda, a consideração da fluência do

concreto, as normas permitem que, sob condições estabelecidas, possam ser

adotadas determinadas simplificações de cálculo. Entre essas destacam-se:

não-consideração dos efeitos de 2- ordem em situações mais favoráveis;

decomposição da flexão composta oblíqua em duas flexões compostas planas

relativas aos eixos principais da seção; cálculo da seção considerando uma única

flexão composta plana e cálculo simplificado do pilar à compressão centrada.

A alternativa do cálculo simplificado à compressão centrada, como será discutido

no presente capítulo, é de rara ocorrência na prática e permitida apenas em

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada 121

situações bastante favoráveis. No entanto, seu estudo é de interesse para intro-

duzir as disposições de norma sobre o cálculo de pilares, além de ser um proce-

dimento previsto em várias normas como método para a determinação do limite

inferior da área da armadura longitudinal de pilares.

Do conteúdo deste capítulo, espera-se que o leitor adquira um entendimento

satisfatório sobre os seguintes pontos:

a) Disposição e finalidade das armaduras longitudinal e transversal em pilares de

concreto armado.

b) Características principais dos pilares das estruturas de edifícios.

c) Noções básicas do fenómeno da flambagem de pilares de concreto armado.

d) Visão geral das diversas situações de cálculo de pilares de concreto armado.

e) Procedimentos para o cálculo simplificado de pilares à compressão centrada:

situações possíveis e disposições da NBR 6118.

f) Prescrições da norma sobre dimensões da seção transversal de concreto,

arranjo das armaduras longitudinal e transversal, taxas mínima e máxima de

armadura em pilares simples e principais disposições construtivas visando à

durabilidade.

4.2 CONCEITOS PRELIMINARES

4.2.1 Disposição e finalidade das armaduras

Nos pilares de concreto armado, as armaduras são dispostas nas direções longi-

tudinal e transversal ao seu eixo, com diferentes finalidades. A Figura 4.2, a se-

guir, mostra a disposição das armaduras de um pilar de concreto armado, no

trecho entre dois pisos, em um corte longitudinal e na seção transversal, sendo:

A' : área das seções das barras da armadura longitudinal comprimida;

A' : área comprimida de concreto. Na prática, salvo casos especiais, é tomada igual

à área da seção transversal do pilar, sem descontar a área da armadura A' .

1 22 João Carlos Teatini de Souza Climaco

lajem

viga

a v-

trespasse comancoragem reta

- armadura fransversalde estribos: diâmetro

e espaçamento s.

Corte longitudinal

armaduralongitudinal: •6 barras retasde diâmetro

Seção. transversal

(corte aã)

Figura 4.2 -Armaduras em pilares de concreto armado

<* Armadura longitudinal (principal)

Constituída por barras de aço retas, paralelas ao eixo longitudinal do pilar, tem

a função de resistirás tensões de compressão, em colaboração com o concreto,

permitindo, com isso, a redução das dimensões da seção transversal, em

virtude da maior resistência do aço. Para o aço CA-50, de uso mais comum,

a resistência de escoamento, / = 500 MPa, é cerca de 25 vezes a resistência

mínima à compressão do concreto, f. = 20 MPa, estabe/ec/da para

estruturas de concreto armado pela NBR6118: 2003. Nos pilares sob flexão

composta, a armadura longitudinal pode trabalhar toda comprimida ou uma

parte comprimida e outra tracionada. As barras retas estendem-se em todo o

comprimento do pilar, sendo prolongadas acima da face superior da viga/laje

que sustenta, trecho chamado de espera ou arranque, necessário para fazer a

emenda por trespasse à barra correspondente do pilar superior, a fim de garantir

o caráter monolítico da peça (ver Figura 4.2).

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada 1 23

<* Armadura transversal (estribos)

- Gònstituíba pof barrás'transversaís ao eixo do pilar, dobradas na forma de

estribos fechados, com a função de evitar a flambagem das barras

longitudinais e manter sua posição durante a concretagem. A versão anterior

da norma (NB-1/78) continha também disposições sobre os chamados

pilares cintados, nos quais o espaçamento reduzido entre os estribos da

armadura transversal (s < 8 cm) aumenta a capacidade resistente da peça

à força normal, efeito decorrente do confinamento ou da restrição das

deformações laterais do concreto do núcleo do pilar. Entretanto, a

consideração desse efeito não está mais prevista na edição 2003 da norma,

o que, em princípio, deveria implicar a sua não-utílização. No entanto, o

cintamento é um recurso ainda bastante utilizado no reforço de pilares

com resistência deficiente. Na técnica de reforço estrutural com mantas

flexíveis de polímero reforçado com fibras (FRP), inclusive, o processo de

cálculo da capacidade resistente de pilares reforçados tem por base o

cintamento do concreto do núcleo, pela restrição às deformações laterais

fornecida pelas mantas de reforço.

4.2.2 Pilares de estruturas usuais de edifícios

O item 14.6.7 da NBR 6118 - Estruturas usuais de edifícios-aproxímações

permitidas admite o estudo das cargas verticais utilizando o modelo clássico

de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, com a exigência das

seguintes correções adicionais:

a) Nos vãos das vigas, os momentos positivos não podem ser menores que os

obtidos do cálculo supondo engastamento perfeito da viga nos apoios internos.

b) Para uma viga solidária com o pilar intermediário, se a largura do apoio

medida na direção do eixo da viga for maior que 1/4 da altura do pilar, o valor

absoluto do momento negativo não pode ser menor que o de engastamento

perfeito nesse apoio.

1 24 João Carlos Teatini de Souza Ctímaco

c) Quando não se fizer o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares

com a viga, do efeito de pórtico, deverão ser considerados nos apoios extremos

- na viga e nos iramos superior e inferior do pilar — valores de momentos

fletores obtidos multiplicando o momento de engastamento perfeito do vão

extremo da viga, suposto biengastado, pelas expressões a seguir. Os

coeficientes multiplicadores visam equilibrar os três momentos no apoio,

por meio de uma ponderação das rigidezes (/-, = /,/£,) das três barras que

constituem o nó do pórtico. Sendo no vão extremo da viga o momento de

engastamento perfeito M , tem-se:

>• Momento na viga: M . —M .(r..+ r )/( r . + r. .+ r )a vig eng ^ mf sup ' ^ vig tnf sup /

>~ Momento no tramo superior do pilar: M ~M .r / (r , +r.,+ r )r r sup eng sup ^~ vig tnf sup J

>• Momento no tramo inferior do pilar: M. , = M , r.,/(/'. + r., + r )1 mj eng mj ^- vig mj sup J

Da alínea c) das correções previstas pela norma, fica claro que é exigida ape-

nas nos pilares extremos a consideração obrigatória dos momentos fletores,

calculados por processo aproximado com o auxílio das expressões acima.

Dessa forma, pode-se entender, também, como uma outra aproximação permi-

tida em estruturas usuais de edifícios a não-obrigatoriedade da consideração

dos momentos fletores transmitidos pela vigas aos pilares intermediários. Essa

mesma disposição era expressa, só que de maneira direta, na norma NB-1/78,

item 3.2.3: "Os pilares intermediários poderão ser calculados sem consideração

de momentos fletores a eles transmitidos pelas vigas".

A Figura 4.3, a seguir, mostra uma planta de quatro lajes (L1 a L4). As linhas

cheias representam os eixos das vigas (V1 a V6), todas elas contínuas de dois

vãos (a e b). Nos cruzamentos das vigas, os pontos cheios representam os

eixos dos pilares de apoio (P1 a P9).


T/;Via v; AVlb

Pilar intermediário (P5):\NiT

nCompressão

- - 1

sf 4 '

yl

â

© ^

V2a

/"~\(H) ^

V3a

r \ V2b

V3b

\'^do

g pilar

Pilares extremos -(P4eP6):

W> P/Í --4 :A|>M

G Í

^ H

Pilares extremos -/P7 o PJÇl-

^to- T

axial, oucentrada

direção x

y compostaplana

direção y

Flexãocompostaplana

Pilares de canto (PI, P3, P7, P9):FlexSo composta oblíqua (momentos Mc e My)

Figura 4.3 - Situações para cálculo de pilares de estruturas usuais de edifícios

Supondo cada pilar da Figura 4.3 com o eixo alinhado no cruzamento dos

eixos das vigas que suporta e conforme sua posição relativa, os pilares podem

ser classificados em:

*> Pilar intermediário: o cálculo pode ser feito sem considerar os momentos

fletores transmitidos pelas vigas.

*> Pilar extremo: é obrigatório considerar o momento transmitido pelo vão

extremo da viga nele apoiada. O cálculo à flexão composta plana pode ser

substituído pelo processo simplificado à compressão centrada, atendidas

certas condições.

<* Pilar de canto: cálculo à flexão composta oblíqua.


No presente capítulo, será abordado apenas o cálculo simplificado de pilares à

compressão centrada da NBR 6118, possível sob condições específicas. No exem-

plo da Figura 4.3, esse tipo de cálculo seria permitido para o pilar intermediário,

P5, e pilares extremos, P2, P4, P6 e P8. Para os pilares de canto, P1, P3, P7 e

P9, é obrigatório o cálculo à flexão composta oblíqua. Conforme comentado, o

cálculo à compressão centrada é um caso raro na prática, mas de interesse

didático, para se introduzir o estudo de pilares de concreto armado. Esse cálculo

é previsto em algumas normas para se estabelecer o limite inferior da armadura

longitudinal de pilares.

4.2.3 Noções básicas de flambagem

Conceito: flambagem é um fenómeno de instabilidade de equilíbrio,

que pode provocar a ruptura de uma peça com a compressão pre-

dominante, antes de se esgotar a sua capacidade resistente à com-

pressão.

Aflambagem de um pilaré um efeito de 2^ ordem, que, segundo a NBR 6118->

15.2: "são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira ordem

(em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial),

quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração

deformada."

0 parâmetro adotado como referência para a consideração dos efeitos da

flambagem é o índice de esbeltez, Ã, definido na forma seguinte:

! = /// com i = (I/A)1/2 (4.1)

onde:

/ = comprimento de flambagem do pilar;

1 = raio de giração da seção em relação a um eixo baricêntrico;


/ = momento de inércia da seção em relação ao mesmo eixo;

A = areada seção transversal.

Comprimento de flambagem ou comprimento equivalente (/J

Segundo a NBR 6118 -> 15.4.2: "As estruturas são consideradas, para efeito

de cálculo, como de nós fixos, quando os deslocamentos horizontais dos nós

são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2- ordem são

desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1- ordem). Aiém

disso, no item 15.6, a norma dispõe: "Nas estruturas de nós fixos, o cálculo

pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente,

como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais

que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura

efetuada segundo a teoria de 1 ordem". Segundo essa teoria, o equilíbrio da

estrutura é estudado a partir da configuração geométrica inicial, isto é, sem

considerar a deformação das peças sob carga.

O comprimento de flambagem, 1QÍ de um pilar vinculado nas extremidades

deve ser o menor dos seguintes valores (ver Figura 4.4):

(4'2)

onde:

/ = distância entre as faces internas dos elementos vinculados ao pilar;

h = altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura;

/ = distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar

está vinculado.


viga

r

-i--Cortelongitudinal

Figura 4.4 - Comprimento de flambagem de pilar vinculado nas extremidades

Para outras condições de vínculos nas extremidades de pilares de concreto arma-

do, sendo / a distância de centro a centro das vigas entre as quais se situa o pilar,

o comprimento de flambagem pode assumir outros valores, conforme mostra a

Figura 4.5, a seguir. A opção no cálculo por uma das quatro alternativas mostra-

das na figura deve se justificada de forma consistente, conforme a rigidez relativa

do pilar e das vigas de extremidade.

-í

3<

<?

*9

te /

Figura 4.5 - Comprimentos de flambagem para várias condições de apoio


<* Raio de giração

O maior risco de flambagem de um pilar está associado à rotação da seção

transversal em relação ao eixo de momento de inércia mínimo, isto é, o eixo

para o qual se obtém o valor de A . Denomina-se "direção de maior esbeltez"

da seção do pilar a direção perpendicular ao eixo que fornece o valor/ .; o eixo

1, no caso da Figura 4.6. Dá-se o nome "plano de flambagem" ao plano que

contém o eixo longitudinal reto do pilar e o mesmo eixo curvo após flambagem;

é o plano perpendicular à seção da Figura 4.6 e contém o eixo 1.

eixo dapeçaindeformada

( eixo de inérciamínima: /l max

2 \ máximo deflambagem em

l torno deste eixo

... rã comprimida

No caso particular de pilares de seção retangular, sendo b e h as dimensões

menoremaiorda seção, respectivamente, o índice de esbeltez À é dado pela

expressão (4.3):

(4.3)


Quando um pilar está submetido apenas a uma força normal axial N, de valor

crescente, sem restrições aos deslocamentos transversais, o fenómeno da

instabilidade de equilíbrio por "flambagem" ocorre quando a força atinge um valor

crítico, conhecido como "força ou carga de Euler", dada pela expressão (4.4).

Denomina-se Teoria de 2^ Ordem â análise estrutural que considera o efeito das

deformações de flambagem, que causam a ampliação dos momentos fletores

solicitantes, calculados a partir da configuração indeformada da peça.

N

a,

N-,Euler

N

=7i2EI/l (4.4)^ '

a

Força Normal x Deslocamento

Figura 4.7 - Flambagem de pilar sob força normal axial

A edição anterior da norma, NB-1/78, dispunha, entre seus critérios de segurança

(item 5,1), que: "Quando for determinada díretamente a solicitação de flambagem,

admite-se que há segurança se essa solicitação não é inferior a 3 vezes a

solicitação correspondente à ação característica". Portanto, por esse critério,

deve ser: N p , > 3 N,. Essa disposição não consta da NBR 6118: 2003,Euler k r y '

provavelmente em virtude do maior rigor da nova versão na análise dos efeitos de

2- ordem. No entanto, trata-se de uma informação relevante e de interesse prático.


4.2.4 Considerações sobre a flambagem de pilares de concretoarmado

Os pilares de concreto armado, mesmo aqueles com elevados índices de

esbeltez, Á, não estão sujeitos à flambagem propriamente dita, como ocorre

com os pilares metálicos. Os momentos atuantes nos extremos dos pilares,

causados pelas diversas excentricidades existentes (acidental ou de execução;

inicial da força normal excêntrica; transmitida pelas vigas; oriundas de efeitos de

2a ordem e da fluência do concreto), bem como das restrições nas ligações

fazem com que prevaleça a ruptura por flexão composta, com o esmagamento

do concreto e/ou escoamento do aço. Assim, nos pilares de concreto armado,

o essencial é garantir a dutilidade da peça para evitar ruptura frágil. Apesar de

inadequada, a expressão "verificação à flambagem" será utilizada neste texto,

pelo uso comum na prática.

Segundo NBR 6118 ~> 15.8.2, os esforços locais de 2^-ordem em elementos

isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez, Ã, calculado da

expressão (4.1), for menor que um valor limite À j , dado pela expressão (4.5).

Esse índice limite Aydepende da excentricidade relativa de bordem, expressa

no termo e;//7, da vinculação dos extremos da coluna isolada e do diagrama de

momentos de Bordem no pilar, traçado a partir das equações de equilíbrio com

a geometria indeformada da estrutura, expressos no termo ab.

A consideração da flambagem em pilares de concreto armado pode ser dispensada

quando;

25 + 12,5 e, /hÃ * Ã j = —-i

ab (4.5)com 35 í l, ^ 90

O termo a, é dado pela NBR 6118 -> 15.8.2, alíneas a) a d), como segue:

132 João Carlos Teàtihi de Souza Clímaco

a) Para pilares biapoiados sem cargas transversais:

^ l, O > ab=0,60+0,40MB/MÁ >0,40^> momentos de 1 ordem nos extremos

do pilar: MAéo maior dos dois momentos em valor absoluto; MB: positivo se

traciona a mesma face de MA e negativo caso contrário (ver Figura 4.8).

b) Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da

altura:

*+ ab = 1,0

c) Para pilares em balanço:

^ 1,0 >ab = 0,80 + 0,20MC/MA > 0,85 => MÃ: momento de is ordem

no engaste; MC: momento de bordem no meio do pilarem balanço.

d) Para pilares biapoiados com momentos menores que o momento mínimo de

1* ordem, da NBR 6118 -> 11.3.3.4.3:

^ ccô = 1,0, sendo h a dimensão da seção na direção da excentricidade e}

da força normal N, o momento mínimo da norma é dado por:

M,, . = TV, (0,015 + 0,03h) ( h em metros) (4.6)dl,mm d l * J - s \ J \

U-•

1MA eMB ;tracionam ja mesma '.face

t

r> ^_

MA &i

ii\Ã eMB

tracionamfacesopostas

M~ MT>

'illli\

ilii/

b)

Influência dos sentidos dos momentos fletoresde l"ordem nos extremos depilares biapoiados:

caso a) situação mais desfavorável quanto àflambagem: ambos os momentostracionam a mesma face do pilar;

caso b) situação mais favorável: momentostracionam faces opostas do pilar, commenores deslocamentos da seçãocenfral.

Figura 4.8 - Efeito dos momentos nos extremos do pilar


4.2.5 Disposições para o cálculo de pilares desprezando os efeitosde 2- ordem (flambagem)

© Pilares intermediários de edifícios

Não é obrigatório considerar os momentos fletores transmitidos pelas vigas.

Tem-se, portanto, a situação da alínea d) da NBR 6118 -> 15.8.2, descrita

anteriormente, com o^ = 1,0. Assim, da expressão (4.5), tem-se:

35 < (À,l = 25 + 12,5e1/h) £ 90 (4.7)

No caso de haver momentos causados por excentricidades iniciais de força

normal deslocada em relação ao eixo do pilar, a análise deve ser feita

considerando a alínea a) do item 1 5,8.2 da norma.

Pilares extremos de edifícios

É obrigatória a consideração dos momentos transmitidos pelas vigas, valendo,

então, as alíneas a) a c) do item 15.8.2. No caso de haver momentos

causados por excentricidades iniciais de forças normais, eles vão se sobrepor

aos momentos das vigas.

A excentricidade mínima de 1$ ordem da força normal, e , proveniente de

imperfeições geométricas do eixo do pilar na estrutura descarregada, produ-

zidas por desvios de execução, é obtida da Expressão (4.6), na forma;

c . = 1,5 + õ,03h (h em centímetros) (4.8)

Os pilares intermediários e extremos que se enquadram na desigualdade da

expressão (4.5) são classificados como curtos (A<35) ou medianamente

esbeltos (35 < À < 90} e podem ser calculados sem considerar as

deformações provenientes da flambagem.

Portanto, no cálculo de pilares de concreto armado, os seguintes limites devem

ser observados conforme o índicedeesbeltez(NBR6118-> 15.8.1 a 15.8.3):


a) À < 35 => Pilares curtos: pode-se desprezar no cálculo o efeito das

deformações de 2^ ordem, ou seja, a possibilidade de

flambagem;

b) 35 < A < 90 => Pilares medianamente esbeltos: as deformações de 2^

ordem podem ou não ser desprezadas, dependendo da

desigualdade À < À'

c) 90 < Ã < 200 => Pilares esbeltos: consideração obrigatória do efeito das

deformações de 2- ordem e da fluência do concreto.

*+* A > 90 => consideração obrigatória da fluência

^ Ã > 140 => obrigatório o método não-linear geral, com a consideração

da relação momento-curvatura real em cada seção.

Nos casos a) e b), o pilar pode ser dimensionado apenas com os momentos

de is ordem, ou seja, com os diagramas da estrutura indeformada. Esse

cálculo pode ser substituído, conforme a NBR 6118 -*• 17.2.5.1, por um

processo aproximado de compressão centrada equivalente, para seções

retangulares ou circulares com armadura simétrica, como será visto adiante.

4.2.6 Comentários gerais sobre o cálculo de pilares de concretoarmado

a) Na maioria dos edifícios usuais, sendo o concreto moldado in loco, pode-

se considerar as estruturas como constituídas por pórticos índeslocáveis,

ou seja, com nós fixos. Nas construções pré-moldadas, é comum ser

necessário considerar os pórticos deslocáveis.

b) Na maioria dos casos de estruturas usuais, os pilares são medianamente

esbeltos. O uso de pilares esbeltos conduz a excesso de armação, sendo

antieconômicos e de concretagem difícil. Os pilares esbeltos ocorrem,

principalmente, por exigência de pé-direito maior, em edifícios industriais ou em

projetos especiais de arquítetura.


c) A estabilidade horizontal das estruturas de edifícios é garantida pelo

contraventamento, que consiste em sub-estruturas que, pela sua grande rigidez

a ações horizontais, restringem os deslocamentos provocados por essas ações

na estrutura. O contraventamento de estruturas usuais é fornecido por lajes,

caixas de elevadores e escadas, paredes estruturais e alvenarias. Os elementos

que não contribuem para o contraventamento são ditos "contraventados". Nas

estruturas recentes, com a tendência de redução do número de vigas, aumento

dos vãos dos painéis de lajes e substituição de paredes de alvenaria por

esquadrias ou divisórias, cresce a importância da verificação da estabilidade

horizontal.

4.3 PILARES CURTOS E MEDIANAMENTE ESBELTOS: PROCESSOAPROXIMADO

4.3.1 Disposições da NBR 6118

Conforme antes mencionado, a NBR 611 8 -> 17.2. 5.1 admite um processo aproxi-

mado à compressão centrada equivalente, como uma opção ao cálculo à flexão

composta, para pilares curtos e medianamente esbeltos com seções retangula-

rés ou circulares e armadura simétrica que se enquadrem na expressão (4.5),

desde que a força normal reduzida de cálculo, v, obedeça ao limite seguinte:

fcd)^0,7 (4.9)onde:

N Sd = força normal solicitante de cálculo na seção;

A3 = área da seção transversal de concreto comprimido;

/ , = resistência de cálculo do concreto à compressão.

A força normal característica, Nk(ou simplesmente N), soma das reações das

vigas no pilar, obtidas do cálculo estático da estrutura e acumuladas dos pavimentos

superiores, é majorada para se obter a força de cálculo, Nsd = /, Nk. No cálculo

simplificado à compressão centrada equivalente, Nsd é majorada adicionalmente,

136 João Carlos Teatini de Souza CEimaco

por um coeficiente simbolizado neste texto como 7 , com o qual se obtém a

força normal equivalente:N_, = r N~. = r YfN.y ^ Sd,eq ' u Sd ' u ' f k

Planta de Formas (trechos): Situações de cálculo:1

laje

pilarintermediário

vfg7. '//

laje

\

pilarextremo

viga //

' /%

viga

laje

$6 Jfzlaje

>

laje

gZ

normal:

h

b) Compressão centradaequivalente:

essão 1L1

N&1

Figura 4.9 - Processo aproximado para cálculo de pilares à compressão centrada equivalente

O coeficiente de majoração / é função da excentricidade de 1- ordem, e}, medida

na mesma direção da dimensão h da seção, e do parâmetro P relacionado à

disposição das armaduras na seção transversal, pela expressão seguinte:

y, =l+P(es/h) (4.10)

Para pilares intermediários de edifícios, conforme o item 4.2.2, no cálculo de y

não é obrigatório consideraras excentricidades associadas aos momentos trans-

mitidos pelas vigas. No entanto, mesmo com a força normal axial, devem ser

consideradas as imperfeições geométricas da execução da estrutura, conforme o

item 11.3.3.4 da norma, exigindo que na "verificação de um lance de pilar, deve ser


considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar".

Essa excentricidade, usualmente denominada "acidental", desse item da norma e

da expressão (4.8), é dada por:

ea = 1/400 > elm.n = 1,5 + 0,03h (em centímetros) (4.11)

Para pilares extremos, é obrigatória a consideração da excentricidade de 12.

ordem da força normal, oriunda do momento transmitido pela viga, Msd, e

dada por el — MSd/Nsd, Na edição anterior da norma, NB-1/78, o cálculo era

mais conservador, com a soma da excentricidade acidentai, tomada no sentido

mais desfavorável, à de 1 ordem. A excentricidade total da força normal seria:

e = e + e . Essa exigência não prevaleceu na NBR 6118: 2003.

O parâmetro/?da expressão (4.10) relaciona-se à posição das barras longitudinais

na seção transversal, majorando a excentricidade relativa e/h e sendo dado pela

NBR 6118-M7.2.5.1 na forma seguinte:

B= (4.12)(0,39 -f- 0}01 a) - 0,8d7h

onde:

d' = distância do centro de gravidade da armadura à borda paralela mais próxima;

a - parâmetro que depende do arranjo das barras longitudinais simétricas na

seção, como mostra o exemplo da Figura 4.10. É definido a partir da

razão a do número de barras dispostas nas bordas paralelas aos lados

b e h da seção, pela expressão (4.13). Essa expressão foi ligeiramente

modificada em sua forma, com relação à do item 17.2.5.1 da norma, para

um melhor entendimento. Q numerador indica o número de barras que

efetivamente contribuem no combate ao momento Msd, relativo à

excentricidade e}jí na direção principal paralela ao lado h.


***• para seçoes transversais retangulares:

=> a = -l/a se a<ls s

=> a= a se a > ls s

^ a= 6 se a > 6s

*t* para seçoes circulares:

=> a~-4

n b — número de barrasda área A1 s nas bordasparalelas ao lado b

QMu l

h

à']

S A t

—

~~

{^ O

0 ^f

3 //

3| G

W &

ÍV ®•^YyrfU ®J e

D \j\fv, Qx

5 ee> o ro G

H—

\

^

—

x

v\* ^\ ^^^ nft ~ número de

~* /y barras da/, área Á1 s/ nas bordas

paralelas~* (j}} ao lado h

-cmm

Figura 4.10 -Arranjo das armaduras na seção transversal, que define o parâmetro a

O objetívo dos parâmetros a e d'/h é condicionar um arranjo de barras longitudinais

na seção mais adequado aos efeitos da solicitação de flexão. No entanto, esses

parâmetros não são conhecidos no início do cálculo, pois o arranjo das barras na

seção só pode ser definido após o cálculo da área de aço. A disposição das

barras deve ser compatível com os valores pressupostos, inicialmente, para a e

d', para evitar que se altere o /? inicial e se tenha de refazer o cálculo. No caso

da disposição de barras do exemplo da Figura 4.10, obtém-se, da expressão

(4.13), o valor: a = (n b - l)/(n h -1) = (4-7)7(7-7) = 0,5.

Dos limites impostos após a expressão (4.13) resulta, então, a = -2 para as< L

A distância d' = c + 0 + 0/2 depende da espessura do cobrimento nominalnom t ' r

de concreto das armaduras, dos diâmetros dos estribos, <P , e das barras

longitudinais, 0, Para estruturas de edifícios com agressividade ambiental fraca

ou moderada (classes I e II -Tabela 4.2, do item 4.5.4.1 deste capítulo), o

cobrimento nominal deve ser c =25 mm ou 30 mm. Do item 4.5.2.1-, osnom '

diâmetros mínimos são; 10 mm, para as barras longitudinais, e 5 mm para os

estribos. Para a bitola longitudinal 0 — 20 mm, estribos com & = 5 mm, que

Capitulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada 139

atendem à maioria dos casos da prática, tem-se d3 = 25 + 5 +20/2 = 40 mm

(classe l).

Considerando o arranjo de armaduras da Figura 4.10, em que a = -2, fazendo

d' = 40 mm e tomando para o lado h da seção os valores 12 cm (mínimo do item

4.5.1, a seguir) e 100 cm (a título de exemplo), a distância relativa d'/h irá variar

entre 4/12 = 0,30 e4/100 — 0,04. Entrando com esses valores na expressão

(4.12), tem-se:

/3= II{[0,39 + 0,01 (-2)] -0,8. 0,3} = 7,69 e

fl= l /{[0,39 + 0,01 (-2)] - 0,8. 0,04} = 2,96

Portanto, da Figura 4.10, das expressões (4.10) a (4.13) e do exemplo acima,

pode-se concluir:

a) A distância relativa d7h tem grande influência sobre o parâmetro /?. Quanto

maior dVh, maior será fl e o coeficiente / , da expressão (4.10).

b) Nas seções retangulares, quanto maior for o número de barras dispostas junto

às bordas solicitadas pelo efeito exclusivo do momento fletor, Msd, mais alto

será o valor de «(limitado a oc=6). Como esse arranjo é favorável no combate

à flexão, o valor do parâmetro/ídiminui e, em consequência, o coeficiente de

majoração y . No caso da seção da Figura 4.10, se considerada a flexão

relativa à excentricidade na direção principal paralela ao lado b, da expressão

(4.13), seria: a= (nh - l)/(nb -7) = (7-l)/(4~l) =2 e a = as=2. Para as

mesmas distâncias relativas dVh anteriores, 0,3 e 0,04, a expressão (4.12)

resultaria nos valores de /? = 5,88 e 2,65.

c) Nas seções circulares, quadradas ou retangulares próximas à quadrada, a

definição prévia da direção mais desfavorável quanto à flexão, no que tange

principalmente à excentricidade acidental, pode ser complexa. Por essa razão,

as expressões citadas resultam em valores mais altos do parâmetro/?e do

coeficiente r .' a


Para pilares intermediários, em que não se consideram os momentos das vigas,

o maior valor do coeficiente 7 é obtido para a excentricidade acidental mais

desfavorável, ou seja, na direção principal paralela a b, sendo b < h. Para pilares

extremos sob flexão composta plana oriunda dos momentos transmitidos pelas

vigas, deve ser pesquisada a direção mais desfavorável, //ou b, que vai fornecer

o maior valor do coeficiente adicional 7 , para aplicar no cálculo simplificado à

compressão centrada equivalente. O exemplo do item seguinte pode ajudar a

entender melhor a questão.

4.3.2 Exemplo

Determinar a força normal para o cálculo simplificado à compressão centrada

equivalente de um pilar intermediário curto de seção retangular 20 x 40

cm2, com armadura longitudinal constituída por 6020 (seis barras de diâmetro

20 mm), dispostas na seção transversal conforme a figura, para uma força

normal N. = 600 kN e concreto com resistência f , — 20 MPa.K J CK

40cm

a) Parâmetros da seção transversalII20cn}

=f,/l,4~14,3MPa;

A* c ~ 20 x 40 = 800 cm2 -* área da seção de concreto;

Y f—1,4 (menor dimensão da seção > 19 cm => item 4.5.1 - Dimensões .mínimas),

b) Verificação do valor da força norma] reduzida (v)

Q processo aproximado previsto na NBR 6118 -+ 17.2.5-1, conforme a

expressão (4.9), só pode ser aplicado quando v ^ 0,7, como a seguir se

verifica:

v =NSd /(A'efJ = It4x 60000/(800x 143) = 0,73 > 0,7 => OK


c) Cálculo do coeficiente de majoração adicional 7 , para o cálculo simplificado

Denominando b = 20 cm, a menor dimensão da seção, e h — 40 cm, a

maior, o cálculo deve serfeito nas duas direções principais na seção, paralelas

aos dois lados.

(D Cálculo para a excentricidade na direção principal paralela à menor

dimensão, b = 20 cm:

Excentricidade na direção paralela ao lado b, da expressão (4.11):

e = e]b= 1,5 + 0,03 x b = 1,5 + 0,03 x 20 = 2,1 cm =>eb/b = 2,1/20 = 0,105

Observação: o enunciado não forneceu o comprimento / do pilar, necessário

para se obter o valor ea~ 1/400, da expressão (4.11). Esse valor, na realidade,

só vai prevalecer para pilares com pé-direito muito elevados. Por exemplo,

para a menor dimensão da seção admitida pela norma, 12 cm, tem-se elb =

1,5 + 0,03 x 12 =1,86 cm', esse valor só seria superado pelo 1/400 em

pilares com / > 400 x 1,86 = 7,44 m.

Da expressão (4.13): a= (nh - l)/(nb -1) = (3-7)7(2-7) = 2 => ex = ay = 2.

Como mostrado no item anterior, para um pilar de estrutura de edifício urbano

usual, com agressividade ambiental fraca, com d' = 40 mm, tem-se:

J3 = l / [(0,39 + 0,01 x 2) - 0,8. 0,2] = l / 0,25 = 4,0

Da expressão (4.10): /j( = l +/3(e}/h ) = l + 4x 0,105 = 1,42

(D Cálculo para a excentricidade na direção principal paralela à maiordimensão,

h = 40 cm:

Excentricidade na direção paralela ao lado h, da expressão (4.11):

eh = e}h = 1,5 + 0,03xh=l,5 + 0,03x40=2}7cmê/h = 2,7/40 = 0,068

Da expressão (4.13): a= (nb- l)/(n h -7) = (2-7)7(5-7) = 0,5 => a^-2

para a < l


Com d1 = 40 mmt tem-se:

/ ?= - / / { [ 0,39 + 0,01 x (-2)] - Q,8.(4,0 / 40)} = l / 0,29 « 3,45

Da expressão (4.10): ju = l + p(e}/h) = l 4- 3,45x0,068 = 1,23

Dos cálculos nas situações (De®, vê-se que a condição mais desfavorável,

como era previsto, ocorre para a excentricidade considerada na direção principal

paralela à menor dimensão da seção, ou seja, para a situação ©, com a qual

se obtém: /w= 1,42.

d) Força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada:

Nsd,eq = /„ YfNk = 1>42 x 1'4 x 60° = 1>" x 60° = L194 m

4.4 CÁLCULO DE PILARES À COMPRESSÃO CENTRADA

4.4.1 Hipóteses básicas

As hipóteses prescritas na NBR 6118 -M 7.2.2, para elementos lineares sujeitos

a solicitações normais no estado limite último, no caso de pilares à compressão

centrada, são:

a) A resistência máxima de cálculo do concreto à compressão é dada por f'cd =

0,85fcd, em que o fator0,#5 leva em conta a influência de efeitos de longa duração

sobre o concreto, conforme a expressão (3.17), do item 3.11.2.2 do Capítulo 3.

b) A resistência máxima do aço à compressão é limitada pelo encurtamento

convencional de ruptura do concreto, tomado como 2 %o. A Tabela 3.3 do

Capítulo 3 fornece os valores da resistência máxima à compressão para

barras comprimidas,/' d, para os aços brasileiros para concreto armado

utilizados atuaímente no Brasil.

c) As tensões normais produzidas pela solicitação de compressão axial são

supostas uniformemente distribuídas na seção transversal.


4.4.2 Dimensionamento

O esforço normal dé;cáloulo;à-compressão centrada equivalente, Nsde , deve

ser resistido solidariamente pelo concreto e pelo aço. Admite-se que as tensões

em ambos os materiais são uniformes, com as correspondentes parcelas

resistentes sendo obtidas da multiplicação das resistências máximas de cálculo

dos materiais pelas respectivas áreas. No dimensionamento ao estado limite

último, a ruptura do pilar ocorre por esmagamento do concreto, quando atingido

o encurtamento específico de 2 %o ou 2 mm/m.

NSd3eg

N

1'1

11

1-- r\ >\ transversal

(área de concreto A'c)

\ \ longitudinal (área A's}

Figura 4.11 - Cálculo simplificado de pilares à compressão centrada

A segurança do pilar à ruptura no ELU por compressão centrada estará garantida

se for atendida a expressão fundamental do equilíbrio:

onde:

N ,,Sd,eq Ra =f> ,A> + f ,A'J ctl c J ydyd **- s (4.14)

Ns, = força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão

centrada;

NRd = força normal resistente de cálculo da seção de concreto armado;

cá= resistência máxima de cálculo do concreto à compressão - 0,85f ,;


Á'c = área da seçao transversal de concreto comprimido;

/' id = resistência máxima do aço à compressão [imitada pelo encurtamento

de ruptura do concreto, 2 %o (Tabela 3.3 do Capítulo 3);

A* = área da seção da armadura longitudinal comprimida (a Tabela 4.4,

ao fim deste capítulo, fornece a área das bitolas padronizadas pela

NBR7480:1996).

Observação: da área total da seção de concreto poderia ser descontada

a área de aço, o que, em geral, não é feito, por ser essa área limitada

pela taxa máxima de armadura p = A' /A' < 8% , abordada nor ' S C

item 4.5.2.1, sendo considerada tolerável a diferença resultante.

Da expressão (4.14), obtérrvse a área da seção da armadura longitudinal neces-

sária para o equilíbrio da seção comprimida de concreto armado:

A*/'*

4.5 PRESCRIÇÕES DA NBR 6118: 2003

4.5.1 Dimensões mínimas das seções - coeficiente de segurançaadicional y

1 n

Segundo a NBR 6118 -M 3.2.3, a seção transversal dos pilares maciços, qualquer

que seja sua forma, não deve ter dimensão menor que 19 cm,

O mesmo item dispõe ainda: "Em casos especiais, permite-se a consideração

de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem as ações a

serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional / , de

acordo com o indicado na Tabela 13.1 e na seção 11. Em qualquer caso, não se

Capítulo A - Cálculo de pilares à compressão centrada 145

permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2". Essa exigência

obriga que um pilar de seção retangular com a menor dimensão 12 cm tenha a

outra dimensão com, no mínimo, 30cm.

O valor do coeficiente adicional é dado pela expressão:

1,0 ^rn = 1,95 - 0,05 b <; 1,35 (4.16)

Sendo: b = menor dimensão da seção transversal do pilar, em centímetro.

A edição anterior da norma, NB-1/78, também exigia um acréscimo de segurança

para valores da menor dimensão da seção inferiores a 20 cm. No entanto, em

vez do coeficiente adicionai 7 , adotava o coeficiente de majoração yf= 1,8

em lugar do valor usual 1,4.

Portanto, para pilares com b < 19 cm, no dimensionamento pelo processo

aproximado à compressão centrada equivalente, as forças normais solicitantes

finais de cálculo são:

r N „. = 7 r N~, = r r 7,-íV. (4.17)' n Sd,eq ' n ' u Sd ' n ' u ' f k ^ '

Segundo a NBR 6118 -> 14.4.2.4, no caso da seção transversal retangular ou

composta por superfícies associadas, "o elemento será considerado pilar apenas

se em todas as superfícies a maior dimensão for inferior a cinco vezes a menor",

ou seja, h <. 5b. Caso contrário, o cálculo deve ser feito como pilar parede ou

parede estrutural, com outras exigências.

Para o cálculo de pilares com seção vazada, não recomendados por razões de

execução e manutenção, mas, às vezes, encontrados na prática, como nos

pilares de pontes com seções transversais de grandes áreas, não há

recomendações específicas na NBR 6118. É razoável adotar nesses casos as

disposições anteriormente apresentadas, especialmente quanto à espessura

das paredes.


4.5.2 Armadura longitudinal de pilares

4.5.2.1 Diâmetro mínimo e valores limites

De acordo com a NBR 6118 -> 18.4.2.1, o diâmetro ou bitola, 0, das barras

longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da menor dimensão

da seção transversal:

10mm< $£ b/8 (4.18)

A exigência de (imites mínimo e máximo para as taxas de armadura de peças de

concreto armado visa garantir a dutilidade, preservar a validade dos modelos de

cálculo adotados e evitar altas concentrações de armadura que possam

comprometer o adensamento e a compactação adequados do concreto.

A norma dispõe, no item 17.3.5.3, que a taxa de armadura longitudinal de pilares,

referida à área da seção transversal, p = A' /Á1 , deve observares seguintes

valores limites:

(4.19)À f £ p,,,,,,. = õ,0%

•*•* c \,

Das expressões (4.19) e (4.9), a taxa mínima de armadura pode ser expressa por:

p . =0,15 N~,/(f .Á' ) = 0,15 v f Jf . (4.20)~ min * Sá Vi/ yd c ' * J cd J yd ^ '

ATabela 4.1, a seguir, apresenta os valores de p . para resistências características

do concreto entre 20 e 50 MPa e força normal reduzida de cálculo, v, de 0,1 a

1,0. As linhas sombreadas da tabela demarcam os valores da força normal

reduzida de cálculo, v>_ 0,7, para os quais a NBR 6118 admite o cálculo pelo

processo aproximado de compressão centrada equivalente. A tabela permite a

interpolação linear para valores intermediários de v.

Capitulo A - Cálculo de pilares à compressão centrada 147

Tabela 4.1 - Valores de p , (%) para aço CA 50 e coeficientes r ~ 1,4 e v = 1,15"min \ ~ J 'c ' 's '

__^-^^

Valores de v

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8 ,

s 0;9= -

1,0

fcd (MPa)20

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400 »

OT400:

- &H&;0,493

25

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,431

*0,493T

veOJ554^

0,61*6

30

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,444

0,518

0,597

" Cfôtó"*

0,739-

35

0,400

0,400

0,400

0,400

0,431

0,518

0,604

ff,690>»

¥*ój&yfâ*0,862

í 40

0,400

0,400

0,400

0,400

0,493

0,591

0^690 i

frofâíto*<5ã®&* 0,985^

45

0,400

0,400

0,400

0,444

0,554

0,665

*. 0,776-

Qojtís?í»ásíjàt»;.víSfftw ?

50

0,400

0,400

0,400

0,493

0,616

0,739

* 0,863

•OfffSe?J,fD8

W, 232

nt-

ccav

cn

rc

rfc

D

ãcc

c

cD

f

ctf

cfl

A armadura máxima, limitada a 8% da área real da seçao, deve ser respeitada

inclusive nas regiões de trespasse, em que ocorre a sobreposição e a emenda

das barras longitudinais da armadura. Essa exigência da norma implica a

observância de um valor bem inferior da taxa máxima nos trechos centrais do

pilar, fora da região de trespasse. Caso seja necessário o trespasse de todas as

barras, para garantir a ligação monolítica dos trechos superior e inferior do pilar, a

taxa de armadura fora do trespasse deve ser < 4%.

Para um dimensionamento económico e arranjos de armaduras que permitam

uma boa concretagem, a taxa de armadura longitudinal na região central do pilar,

havendo ou não emendas portrespasse, deve estar situada entre 1% e 4%.

Da expressão fundamental de equilíbrio, (4.14), no limite da segurança, ou seja,

NS, — NRd, a área de concreto da seção do pilar pode ser escrita em função de

uma taxa genérica de armadura longitudinal, p, na forma seguinte:


(4.21)

4.5.2.2 Disposição dos armaduras

Conforme dispõe a NBR 6118 -> 18.4.2.2, "as armaduras longitudinais devem

ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência

do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma

barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas

ao longo do perímetro".

Portanto, na definição do número mínimo de barras da seção transversal, o

critério principal é a existência de uma barra longitudinal em cada canto de

estribo poligonal, como mostra a Figura 4.12. Nas seções compostas de

retângulos, todos os estribos devem estar ancorados dentro do núcleo comum

a dois retângulos.

n = 4

n = 6

PIl_

w~u

an = j

aw

n = 10

Figura 4.12 — Número mínimo de barras longitudinais em seções de pilares


O espaçamento livre entre as barras longitudinais de pilares, medido no plano da

seção e fora da região de emendas, como mostra a Figura 4.13, não deve

ultrapassar o menor dos dois valores: 400 mm e duas vezes a menor dimensão

da seção. Não deve ser, também, inferior ao maior dos valores: 20 mm, o diâmetro

da barra e 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado (NBR6118-+ 18.4.2.2).

3

Figura 4.13 - Espaçamento das barras longitudinaisna seção transversal de pilares

Segundo a NBR 6118 -t-18.2.4- Proteção contra flambagem das barras: "Sempre

que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à

superfície do elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para evitá-la.

Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais

situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância

de 200 do canto, se nesse trecho de comprimento 20$f não houver mais de

duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse

trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares."

Esses estribos suplementares devem ter o mesmo diâmetro do estribo, podendo-

se utilizar barras, retas, isoladas, terminadas em, ganchos, conforme a Figura

4.14. Essaabarras, chamadas grampos, deve.m envolve^ as. barras, longjtudinajs,

em seus extremos. No caso de haver mais de uma barra a ser protegida junto à

extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver inclusive o estribo

principal.


1 1

• v

• • 1 pi 1 • •-J,^N

estribo n grampo CFigura 4.14 - Dispositivos para proteção contra flambagem das barras

Essa disposição deve ser indicada de modo destacado no detalhamento dos

pilares, pois a flambagem das barras longitudinais é uma das causas principais

de ruptura dessas peças. Esse foi o caso do Edifício Palace 2, no Rio de Janeiro,

em 1998, em que o cobrimento de concreto deficiente e a ausência de grampos

foram apontados entre as principais razões do colapso.

Ainda do mesmo item da norma: "No caso de estribos curvilíneos, cuja

concavidade esteja voltada para o interior do concreto, não há necessidade de

estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em

uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal

será ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo

poligonal".

4.5.3 Armadura transversal de pilares

De acordo com a NBR 6118 —^ 18.4.3: "A armadura transversa/ de p/lares,

constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve

ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na

região de cruzamento com vigas e lajes". As funções dos estribos em pilares

usuais são as seguintes:

a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais;

b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais.


O diâmetro <P( das barras dos estribos não pode ser inferior a 5 mm nem a 1/4 da

armadura longitudinal, ou seja, 0/4.

O espaçamento longitudinal dos estribos, st, medido na direção paralela ao eixo

do pilar, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores:

a) 200 mmh) menor dimensão da seçãoc) 24$ O aços CA -25d) 12$ & aços CA -50

(4.22)

-^ ^

1

-^~~~~

x

"h

-

-

-

-

^^^ armadura Seção transversallongitudinal (corte aã)(bitola (/)) -^^^^ cnom

a 9 *-*v

/' 9 «^\ /^^ (bitola $ t)

9 9

b* • l1-h

iiom

Figura 4.15 — Espaçamento de estribos em pilares de concreto armado

No detalhamento, deve ser informado, em cada trecho do pilar com comprimento

/, o número de estribos, n, dado por:

n = (l/st) +1 (4.23)

O comprimento total reto da barra para fabricar cada estribo deve ser informado

nas plantas de armação. Para a seção retangular&x/z, da Figura 4.15, dados os

valores do cobrimento nominal, c , no item seguinte 4.5.4.1, e acrescentando' nnm' «


o comprimento 100 mm para prever os ganchos de fechamento do estribo nos

dois extremos da barra, tem-se o comprimento reto do estribo:

c = 2(b + h-4c )+10cmreto *- notnj

(4.24)

4.5.4 Disposições para o detalhamento das armaduras de pilares

4.5.4.1 Espessura da camada de cobrimento de concreto

Uma estrutura de concreto tem sua durabilidade fortemente condicionada pe-

las características do concreto, em especial a resistência à compressão e

correspondente relação água-címento, e pela espessura e qualidade do con-

creto de cobrimento das armaduras. No primeiro aspecto, a melhoria da quali-

dade dos cimentos, paradoxalmente, pode ter influência negativa pelo fato de

se obter concretos com resistência razoável a partir de relações água-cimen-

to elevadas, porém com porosidade e permeabilidade elevadas. Quanto ao

cobrimento de concreto, é um aspecto frequentemente negligenciado na exe-

cução deficiente, por não serem colocados os espaçadores para as barras de

aço nas formas, por ocasião da concretagem, ou pelo uso de espaçadores

inadequados.

Para as barras mais externas da armadura, em geral os estribos, a espessura da

camada do cobrimento nominal de concreto (c ). em que está embutida umav nom'

tolerância relativa à execução de l O mm, deve ser, pelo menos, igual ao diâmetro

da barra. Devem ser observados os valores da Tabela 4.2, abaixo, extraída da

Tabela 7.2, da N BR 6118 -> 7.4.7.6.

Tabela 4.2 - Espessura do cobrimento de concreto em pilares de concreto armado

Classes de agressividade ambiental

Cobrimento nominal de concreto (cnom) mm

/

25

//

30

m40

W

50


As classes de agressividade ambiental e os respectivos riscos de deterioração

da estrutura são dados na Tabela 6.1 da norma. Para as estruturas usuais de

edifícios urbanos, residenciais e comerciais, a classificação da norma pode ser

simplificada na forma seguinte:

<* Classe I - Agressividade Fraca =^> risco de deterioração insignificante:

^ ambientes internos secos: dependências de apartamentos residenciais e

conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa

e pintura;

^ obras em regiões de clima seco (umidade relativa do ar<65%); partes da

estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou

regiões onde chove raramente.

*t» Ciasse II -Agressividade Moderada => risco de deterioração pequeno:

*+• ambientes internos úmidos ou com concreto aparente;

^ ambientes em atmosfera marinha: internos secos de dependências de

edificações residenciais e comerciais ou com concreto revestido com

argamassa e pintura;

**• obras em regiões de clima úmido (umidade relativa > 65%); partes da

estrutura expostas à chuva em ambientes predominantemente secos ou

regiões onde chove com frequência.

<* ClasseIII -Agressividade Forte => risco de deterioração grande:

^ ambientes em atmosfera marinha: externos, internos úmidos ou com

concreto aparente.

<* Classe IV-Agressividade Muito Forte => risco de deterioração elevado:

^ edificações sujeitas a respingos de maré ou em ambientes quimicamente

agressivos.


4.5.4.2 Comprimento de ancorasem das barras longitudinais por trespasse

Segundo a NBR 611 8 -> 9.4.1 : "Todas as barras das armaduras devem serancora-

das, de forma que os esforços a que estejam submetidas sejam integralmente

transmitidos ao concreto, seja por meio de aderência ou de dispositivos mecânicos

ou combinação de ambos". Ainda segundo o item 9.4.1 .1 da norma, a ancoragem

das barras por aderência dá-se "quando os esforços são ancorados por meio de um

comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho".

As barras comprimidas da armadura passiva com ancoragem reta por aderência

não devem ter ganchos. Aexistência de ganchos teria uma influência negativa,

podendo causar fissuras no concreto em seu entorno, além de dificultar a exe-

cução em zonas de grande concentração de armaduras.

O comprimento de ancoragem básico, / , é definido pela NBR 6118, no item 9.4.2.4,

como: "o comprimento reto de uma barra da armadura passiva necessário para

ancorar a força limite AJ, nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento,

resistência de aderência uniforme e igual a /M, conforme 9.3.2.1". Para as barras

de bitola 0 da armadura longitudinal comprimida de pilares, esse comprimento

de ancoragem é dado por:

I =È.,L>L (4.25)" 4 fM

onde:

fbd = resistência de aderência de cálculo, uniforme entre a superfície lateral da

armadura e o concreto no trecho de ancoragem, dada por:

,. 7. , , f r . , (4.26)od 'l '2 '3 ^J ctk, tnf 'c' ^ '

onde:

T]I = coeficiente de conformação superficial do aço => = 1,0 para barras lisas

(CA-25); = 1,4 para barras entalhadas (CA-60); = 2,25 para barras

nervuradas (CA-50);


ri2 = coeficiente da posição relativa das barras na concretagem (NBR 6118 ->

9.3.1) => = 1,0 para situações de boa aderência; = 0,7 para situações de

má aderência;

7j3 = coeficiente da bitola da barra =^> = l, O para <&<32; =(132-$)/l 00 para

0 > 32 mm.

Conforme o item 9.3.1 da norma, as barras longitudinais dos pilares com inclina-

ção > 45° sobre a horizontal estão situadas em zonas de boa aderência, onde se

pode garantir o bom adensamento e vibração do concreto, fatores essenciais para

evitar o deslizamento relativo dos materiais.

Para o aço CA-50, de uso quase exclusivo na armadura longitudinal de pilares, e

barras com bitola < 32 mm, as mais comuns na prática, sendo a resistência à

tração do concreto dada pela expressão (3.4), do Capítulo 3 (/..,= 0,21 f,2/3)

e / =1,4, de (4.26) obtém-se:

f M = 0,34fck2/3 = 0,42 fc™ (MPa) (4.27)

No dimensionamento de um pilar, após se calcular a área da armadura, A' „1 ' ' s.cal'

procede-se à escolha das barras comerciais, para se obter a área efetiva da

armadura, À' f, que, em geral, é superior à primeira. Isso permite uma reduçãos, y

do valor básico, lb, obtido da expressão (4.25), sendo denominado comprimento

de ancoragem necessário:

L = L(A' ,/A3 .)^l. . (4.28)b,nec b ^ s,cal s,ef' b,mm ^ '

O comprimento mínimo de ancoragem por aderência, da NBR 6118 —* 9.4.2.5,

deve ser:

\0,3lb

bfttiin } J.U W[l 00 mm

156 João CarlosTeatini de Souza Clímaco

ATabela 4.3, abaixo, apresenta os valores .do comprimento básico de ancoragem

reta, lb> para o aço CA-50 e concretos com resistências /Centre 20 e 50 MPa,

expressos em termos da bitola 0 das barras adotadas para a área efeíiva de

aço.^t' . Posteriormente, pode ser feita a redução para se obter o comprimento

necessário, da expressão (4.28).

Tabela 4.3 - Comprimentos de ancoragem reta (l ) por trespasse para aços CA-50

«^Boa

aderência

fck (MPa)

20

43$

25

570

30

330

35

300

40

270

45

25 0

50

240

4.6 EXEMPLOS

4.6.1 Para o exemplo do item anterior 4.3.2, verificar a segurançado pilar com os coeficientes da NBR 6118: 2003

a) Força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada

N,, = r rfNL =1.194 mSa.eq ' u ' f k

b) Forca normal resistente da seção de concreto armado (6020 = 18,85 cm2)

f 'cd = 0,85 fcd = 0,85x14,3 = 12,2 MPa

NRd=f3cdA'cJrf'^ A'=122x800 + 4.200 x 18,85=176.410 kgf= 1.764 W

c) Verificação de segurança

Nsde < NM => A segurança é atendida, com um excedente aproximado de

48% da força normal resistente em relação à força solicitante (1.764/1.194).

Quanto maior for essa diferença, menos económico é o dimensionamento.

Capítulo 4 - Cálculo, de pilares à compressão centrada 1 57

4.6.2 Dimensionar um pilar intermediário curto, de seção 20 x 50cm2, com / = 20 MPa e aço CA-50, para uma carga axial deserviço N=800kN

a) Parâmetros da seção, transversal

f*=fjv =f J 1,4 14,3 MPaJ cd •/ ck '• ç J ck ' '

f >cd = 0,85 fcd = 0,8.5 x 14,3 = 12,2 MPa

f' = 420,0 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3

Á' ~ 20x 50 = 1.000 cm2: área da seção de concreto

b) Verificação do valor da força normal reduzida (v)

/ = 1,4 (menordimensão da seção > 19cm)^> Nsd = 1,4x800 =1.120 kN.

Nas unidades kgfecm: v N^/(A1 cfcd} = 1,4x80.0007(1.000x 143)

= 0,78> 0,7 => OK

Portanto, pode-se aplicar o processo aproximado da NBR 6118: 2003 ->

17.2.5.1,

c) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão

centrada

Considerando a excentricidade, na direção crítica, paralela à menor dimensão,

da expressão (4.11)tem-se: eb = et — 1,5 + 0,03xb — 1,5 + 0,03x20

= 2,1 cm :=> eb/b= 2,1/20 = 0,105.

Como não se conhece a disposição das barras da armadura na seção, adota-

se um valor conservador: a = 7. Admitindo a bitola 0 = 20 mm, estribos com

0=5 mm e agressividade ambiental fraca (classe l), tem-se d' = 25 -f- 5 +

20/2 = 40 mm. Da expressão (4.12) resulta:

P=l/[(0,39 + 0,01x1} - 0,8 (4,0/20)] = 1/0,24 = 4,17

Da expressão (4.10): /„ = l +P(eb/b) = l + 4,17x 0,105 = 1,44

Portanto:^.. =y 7fN ,= 1,44 x 1,4x800 =2,02x800 = 1.616 MSd.eq ' u ' f k ' ' '

MPa

f d = 420 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3


d) Cálculo da área da armadura longitudinal

1 60 João Carlos Teatiní de Souza Ctimaco

A'' — 30x 40 = 1.200 cm2: área da seção de concreto.

c) Verificação do valor da força normal reduzida (v)

^1=1,4 (menor dimensão da seção > 19 cm) ^> Nsd=l,4x 1.700 = 2.380kN

v=NS(}/ (A'c f J = 238.000 / (1,200 x 179) = 1,12 z 0,7 => OK

É viável aplicar o processo aproximado da NBR 6118: 2003 -> 17.2.5.1.

d) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão

centrada, considerando a excentricidade na dtreção crítica, paralela à menor

dimensão

Da expressão (4.11): e lmjn = 1,5 -f 0,03 xb = 1,5 + 0,03 x 30 = 2,4 cm

=> eb/b =2,4/30 = 0,08

Como não se conhece a disposição das barras da armadura na seção, adota-se

o valor conservador, a = L Para a bitola $ = 20 mmt-estribos 0{ = 5 mm,

e agressividade ambiental moderada (classe 11), tem-se d' = 30 H- 5 +20/2

= 45 min. Da expressão (4.12) resulta:

P = l / [(0,39 + 0,01x1) - 0,8 (4,5/30)} = 1/0,28 = 3,57

Da expressão (4.10): ya = l +fi(eb/b) = l + 3,57x 0,08 = 1,29

Com j=l}4 vem:NSdie = yurfN = L,27xl,4x 1.700=1,81 x 1.700== 3.077kN

e) Cálculo da área da armadura longitudinal

Da expressão (4.15), tem-se:

A's= WwfaiO/fvr (307.700-152* 1.200) / 4200=29,83 cm2

=> p =À's/A'c = 0,0249 = 2,49%

pmín = 0,15 Nsd /(fydA'c) = 0,15x238000/(4350xl200)= 0,069 = 0,7%

=> 0,7 % < p = 2,49 % < 8 % => OK.

Portanto, as dimensões do pilar permitem um dimensionamento económico,

com a taxa de armadura entre 1 e 4%. Da Tabela 4,4 de barras comerciais,


com armadura simétrica, obtêm-se as opções: 16016" 32,1 7 cm2 ; 10020

= 31,42 cm2; 8022 = 30,41 cm2. As três são razoáveis; no entanto, a

bitola de 22 mm, muito grossa, dificulta a execução. No caso de se adotar a

primeira opção, a taxa efetiva de armadura será: p =A* s/A' c =2,68 % .

4.6.4 Dimensionar um pilar extremo de estrutura com agres-

sividade ambiental fraca, com a seção circular de diâmetro

30 cm, sujeito a uma força axial de 1.200 kN e a momentos

de 52kN.m, oriundos de vigas nele apoiadas, iguais nos dois

extremos e tracionando faces opostas do pilar. Ambos, N e M,

são esforços de serviço. Considerar o concreto co<mfck=25Pa,

aço CA-50 e comprimento de flambagem / =3,5 m.

a) Parâmetros da seção transversal

fc^fc^rc=fck/L4 = 17,9MPa *> f ^0,85 fÔ.SSx 17,9 = 15,2 MPa

/ 'j,, = 420 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3

À' c = TC 302/4 = 707 cm2: área da seção de concreto

b) Verificação do valor da força normal reduzida (v)

Yf=l,4 (menqr dimensão da seção > 19 cm) => N sd =1,4^1.200 = 1.680kN.

v ** N& f ( Á \ Cd > = 108.000 / (707 x J 79} = 1,32 * 0,7 => OK

É viável aplicar o processo aproximado da NBR 6118; 2003 -> 17.2.5.1,

ç) Exce.ntrícjd_a.de,s de, cájculo.

H* de 1 â qrdem relativa ao momento:

= 14 x 52/1.680 = 0,043 m = 4,3 cm

mínima de execução,, da expressão. (4,11):

e. . =1,5 + 0,03 d = 1,5 + 0,03 x 30 = 2,4 cm.l mm ' ' ' ' '


A excentricidade da força normal será: e = e , = 4,3 cm > e, ..r / ' Imm

d) Verificação quanto à fíambagem

& = 4 l / d = 4 x 350/30 = 46,7 => pilar medianamente esbelto

O enunciado forneceu uma situação favorável, com momentos extremos

tracionando faces opostas do pilar (ver Figura 4.8). Da NBR 6118 -^ 15.8.2,

alínea a), tem-se a, = 0,4.l ' O

Ã} = [25 + 12,5 (elb/d)} lab « [25 + 12,5 (4,3 130)] /0,4 = 67

Ã = 46,7<ÃJ

Logo, a consideração da fíambagem pode ser dispensada, por se verificar a

expressão (4.5).

e) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compres-

são centrada

Para seção circular, dos limites da expressão (4.13): a — - 4. Para

agressividade ambiental fraca (Classe l), bitola <£ — 20 mm e estribos tí> =5

mm, tem-se d' = 25 + 5 +20/2 = 40 mm. Da expressão (4.12) resulta:

/3= l / {[0,39 + 0,01 x (-4)] - 0,8 (4,0/30)} = 4,11

Da expressão (4.10): ya = l + p(e}/d) = l + 4,11 (4,3/30) = J,59

Com / = 1,4, tem-se:

Nsdieq = ru YfNk = 1,59 x 1,4 x 1.200 = 2,23 x 1.200 = 2.676 kN

f) Cálculo da área da armadura longitudinal


A's = (*« m ~f ctÁ>yf'yd = (267.600 - 152 x 707)/4200 « 38,13 cm2

p = Á1 /Á' — 0,054 = 5,4% < 8% => taxa inferior ao limite máximo da' S C '

norma, mas ainda elevada, só admitida no caso de não haver trespasse

das barras longitudinais. —


Da Tabela 4.4, para seção circular, tem-se: 13020 = 40,84 cm2 ou 11022 =

41,81 cm2.

4.6.5 Dimensionar um pilar intermediário de seção transversal

retangular, com a condição de pilar curto, com o comprimento

de flambagem 2,90 m, submetido a uma força normal axial

de serviço de 950 kN, sendo o aço CA-50 e fek = 20 MPa

a) Menor dimensão da seção para pilar curto (X < 35)

Ã. = 3,46 le/b = 3,46x 290 /b < 35 => b > 28,7 cm

Adotando-se a dimensão menor igual a 30 cm, satisfaz-se a condição do

enunciado. A conveniência dessa dimensão deve ser verificada no projeto de

arquitetura.

b) Parâmetros da seção transversal

f *=fJr =f J 1,4 = 14,3 MPa =$ f =0,85f =0,85x 14,3 = 12,2 MPaJ ca J CK ' c •> CK * ca ' J ca ' '

f yd = 420 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3

A' — 30 h', área da seção de concreto

c) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compres-

são centrada

Considerando a excentricidade acidental na direção principal crítica, paralela

à menor dimensão, da expressão (4.11) tem-se: eb — ej ln = 1,5 + 0,03 x b

= 1,5 + 0,03 x 30 = 2,4 cm => eb / b - 2,4/30 = 0,08

Como não se conhece a disposição das barras da armadura na seção, adoía-

se a=7,um valor conservador. Para 0 = 20 mm, <Pt~ 5 mm e agressividade

ambiental fraca (Ciasse I), tem-se d' — 40 mm. Da expressão (4.12) resulta:

P = 7 / [(0,39 + 0,01x1)- 0,8 (4,0 / 30)] = l / 0,29 « 3,45

Da expressão (4.10): yu = l +J3(eb/b) = 1 + 3,45 x 0}08 = 1,28


Com rf= 1,4, tem-se: JVJrf|(í= /„ rf N =128 x 1,4x950 =1,79x 950 = L700 kN

d) Determinação da seção de concreto

Como o enunciado menciona apenas pilar curto, sem impor qualquer outra

condição para a seção, é razoável adotar uma taxa de armadura de

compressão na faixa económica, por exemplo, p—2%, Da expressão (4.21),

obtém-se a área de concreto:

Á' >N,f /(f'+pf') = 170000 /(122 + 0,02 x 4200) = 825 cm2c ií/,ío *• •* ca 'J yd ' » '

=> h = 27,5 cm

Como a condição de pilar curto impõe h > 30 cm, adota-se a seção quadrada,

30 x 30 cm2.

e) Cálculo da área da armadura longitudinal


A's = (170.000 - 122 x 9QO) / 4200

A's = 24,3 cm2 => p = A's/A'c = 0,0258 = 1,58% =* próxima da taxa

admitida.

Da Tabela 4.4, para a seção quadrada, adotando-se armadura duplamente,

simétrica, tem-se como opçõesr 8016 -16,09 cm2 ; 12012,5 ~ 14,73. çnf.

A primeira alternativa será adotada no restante do exemplo, por ser, em

princípio, a mais adequada, pois o menor número, de barras, facilita o trabalho,

de armação. A disposição das barras na se.ção é dad.a. na. Figura 4,16^ a

seguir. Ataxa efetiva de armadura longitudinal será.: p,=A's M'c^ 1,7$%,

Apenas para fixação, verifica-se que: a = (nh - l)l(jib -1) — (3~l}/(3-l) =

1,0 => suposição OK.

f) Comprimento de ancoragem por trespasse


Da expressão (4.27), obtém-se:

fu « 0,34fck2/3 = 0,34 x 7,37 - 2,51 MPa

Da expressão (4.25), o comprimento de ancoragem básico por trespasse é:

lb = 69,3 cm

Poderia ser obtido diretamente da Tabela 4.3: lb— 430- 43 x l,6~ 68,8 cm

Sendo Â' ,/A' = 14,3/16,09 = 0,89s.cal s,ef ' ' '

De (4.28), o comprimento de ancoragem necessário: lb = 61,7 cm

Esse valore superior aos limites (4.29) de norma: 0,3 lb = 17,4 cm; 10 <P =

16 cm e 10 cm

Para facilitar a execução, adota-se o valor múltiplo de 5: ib = 65 cm.

g) Cálculo dos estribos (também em aço CA-50)

Do item 4,5.3 => bitola: $f > 0/4 (16/4 = 4 mm) e 5 mm =$ 0 = 5,0 mm

Dos limites da expressão (4.22), o espaçamento será o menor dos valores:

20 cm; menor dimensão da seçao = 30 cm ; 120 = 19,2 cm

Logo, o espaçamento será: s — 19 cm

h) Detalhamento

A Figura 4.16, a seguir, apresenta o detalhamento das armaduras do pilar

deste exemplo, supondo um trecho de pilar situado entre os pisos dos níveis

200 e 300 (com referência ao nível O do piso mais inferior) da estrutura do

edifício, sendo observadas as seguintes disposições:

**- Admitindo as vigas superior e inferior, entre as quais se situa o pilar, ambas

com 50 cm de altura, sendo o comprimento de flambagem de 290 cm

(para pilares de edifício: distância de eixo a eixo das vigas), tem-se a altura

livre do pilar:

/ = 290 - 2 x 25 = 240 cm.

166 João Carlos Teatini de Souza Ctimaco

Número de estribos no trecho: n ~(Io/s) -f l =13,63 O adotam-se14

estribos e o espaçamento será de, aproximadamente: st = 18,5 cm.

Observação: conforme o item anterior 4.5.3, a norma exige a presença de

estribos em toda a altura do pilar,"... sendo obrigatória sua colocação na

região de cruzamento com vigas e lajes". No entanto, essa disposição pa-

rece excessivamente rigorosa em casos em que as barras longitudinais do

pilar estejam fortemente confinadas no cruzamento com as vigas, com ple-

na garantia de segurança dessas barras à flambagem. Essa consideração

foi adotada no presente detaihamento.

Admitindo-se um pilar de edifício urbano em ambiente normal (cnom

cada "ramo" ou "perna" do estribo tem o comprimento aproximado da

respectiva dimensão da seção menos duas vezes o cobrimento. O com-

primento total reto da barra de cada estribo será:

2 (b + /? - 4 c ) + 10 cm = 2 (30 + 30 - 4 x 2,5) + 10 cm = 110 cm.^ /KJ/M' V '

O acréscimo de 10 cm é previsto para se dobrar os ganchos nas

extremidades, para fechamento do estribo.

• Conforme a Figura 4.14, sendo 200 = 10 cm, os estribos poligonais não

garantem as barras longitudinais centrais contra a flambagem. São

necessários grampos para evitar sua flambagem, com a mesma bitola e

espaçamento dos estribos.

• No detaihamento, cada barra de armadura recebe um número de ordem

(N...), que identifica barras de mesma bitola, comprimento e forma. Se

numa mesma planta de armação houver barras idênticas nesses três

aspectos, vão receber o mesmo número (também chamado "posição").


G"i»o"^

i^0"-s~%~

Soo

nível 300

T

11

L

50

'

«I

nível 200

i Tii

.5(9

1

i

-t

i

'

r~ trespasse Disposição das barras

ou "espera" na seção transversal:' in -\ c

u_ Cviga L «^^* sr •» 30 c\•-•LJI i

ít

Armadura longitudinal: 1NI - 8$6 |

c

eEsfribos : c

240 cm 14N2~</> 5,0 c/18,5 -110 !5 t

5 Z25 -s

cn

25c

/

Grampos : |28N3-<f> 5,0 c/18,5 -35 \ =

j P5 -viga 4 25 -fí

l ,5 \

Figura 4.16 - Detalhamento das armaduras do pilar do exemplo 4.6.5(escalas diferentes para o corte longitudinal e detalhes da seção transversal)

168 João Carlos Teatini de Souza Clímacq

4.7 AUTO-AVALIAÇÃOi

4.7.1 Enunciados

1. Um pilar intermediário curto, com seção transversal quadrada 30x 30 cm2,

concreto f = 20 MPa e armadura longitudinal 12012,5 (CA-50), recebe

uma força normal axial de serviço de 2.200 kN. Verificar a segurança do pilar

pelo processo de cálculo aproximado à compressão centrada, com os

coeficientes da NBR 6118: 2003. Redimensionar a seção do pilar, caso

necessário. Admitir estrutura com agressividade ambiental fraca (Classe l).

2. Determinar o coeficiente de segurança global (yu x 7.) para o cálculo

aproximado à compressão centrada de um pilar intermediário de seção circular,

com diâmetro 35 cm, sendo: / = 3,0 m; fck= 25 MPa ; N = 2.300 kN}

armadura longitudinal 11016 (CA-50); agressividade ambiental moderada.

Qual a máxima força axial de serviço que poderia ser aplicada para atender

à segurança mínima estabelecida pela NBR 6118: 2003?

3. Um pilar intermediário de edifício tem seção quadrada 25x 25 cm2, armadura

longitudinal 12020 (CA-50, com trespasse) e concreto com fck— 30 MPa.

Pede-se: a) o máximo comprimento de flambagem para poder se desprezar

os efeitos de 2- ordem; b) com o comprimento do item anterior, calcular a

máxima força axial de serviço do pilar.

4. Para o pilar curto de seção vazada da Figura 4.17 (a), determinará^ e Á'e

para a condição de menor valor da dimensão "a", admitindo não havertrespasse

das barras longitudinais. Dados: fck= 25MPa, N~ 1.500 kN, £e = 3meaço

CA-50. Detalhar as barras da armadura longitudinal na seção transversal do

pilar.

5. Uma ponte tem pilares de sustentação de concreto armado com seção vazada

(Fíg. 4.17b).Aarmadura longitudinal é composta por 64025 de aço CA-50 e

o concreto tem resistência fck= 40 MPa. Calcular a força axial resistente

máxima de serviço, considerando os pilares intermediários engastados nos


blocos de fundação e no vigamento principal, com o comprimento 46 w, de

eixo a eixo das vigas, e a agressividade ambiental Classe IV.

400cm

gramposnãomostradosna figura

a) Exercício 4 b) Exercício 5

Figura 4.17 - Exercícios de auto-avaliação do Capítulo 4

6. Dimensionar um pilar intermediário curto de concreto armado de seção

retangular, le = 3 m, N = 2.000 kN (força axial) e fck=- 25 MPa, situado em

meio com agressividade ambiental forte, obedecendo à condição de mínimo

consumo de aço (CA-50).

7. Dado um pilar extremo com l =3,0 m ,fck = 20 MPa e aço CA-50, determinar

a dimensão mínima (expressar em múltiplo de 5 cm) da seção retangular de

concreto para poder se desprezar no cálculo os efeitos de 2^ ordem. Esforços

solicitantes de serviço: força normal axial de 1.500 kN; momentos fietores

nas duas extremidades do pilar, oriundos de vigas nele apoiadas, tracionando

faces opostas da seção e com valores na razão de 1/4, sendo o maior deles de

50 kN.m. Calcular a armadura longitudinal correspondente.

8. Numa estrutura em que o concreto foi executado com a resistência de

dosagem 31,6 MPa (condição de preparo A, pela NBR 12655-^6.4.3.1), foi

projetadoum pilar com comprimento de flambagem 2,8 m, seção transversal

retangular 30x50 cm2 e armadura longitudinal com 6010 (CA-50). Verificar

a máxima força axial que esse pilar suporta pelo cálculo aproximado à

compressão centrada, supondo a agressividade ambiental fraca.

170 João Carlos Teatini .de Souza Clímaco

9. Dimensionar um pilar de seção retangular 20 x 50 cm2, submetido a uma

força axial de serviço de 900 kN, /, = 4,0 m, f^- 25 MPa e aço CA-50.

Considerar nas duas extremidades do pilar momentos iguais de 50 kN.m,

.oriundos de vigas nele apoiadas, tracionando faces opostas da seção, na

situação mais desfavorável,

4.7,2 Comentários e sugestões para resolução dos exercíciospropostos

1. É indispensável, de início, testar a condição de validade do cálculo aproxima-

do: v =7^,/(/T f .) > 0,7. Em seguida, verifica-se a taxa p = A '/A1òa ^ c •" c a ' u < i s e

com relação aos limites de norma. Se for inferior à mínima, a seção de concreto

é excessiva e, para se atender rigosamente à norma, deve-se tomar no cálculo

da força normal resistente apenas a área de concreto estritamente necessária:

A' ~Á' /p .. Se. ao contrário, existe aço em excesso, p > p , o raciocí-cn s ~ mm ' ' T r 'inax'

nio é análogo, com respeito à área de aço necessária. Caso a taxa de aço

esteja entre os limites, calcula-se a a força resistente de cálculo máxima, da

expressão (4.14), que, dividida pelo produto /H . yf, fornece a força resistente

característica ou de serviço, que, para haver segurança, deve ser superior à

solicitante, 1.200 kN.

2. Com relação apenas à força normal aplicada no pilar, o coeficiente de segu-

rança global é a razão da força resistente máxima, NRd> da expressão (4.14),

pela força característica dada. Para atender à segurança mínima da norma, a

máxima força axial de serviço será obtida d&NRd/yu . y,, ou seja, o coefici-

ente global deve ser sempre superior a yu. r.. O coeficiente de segurança

absoluto do pilar é determinado da força resistente, Nxd, calculada sem

reduzir a resistência do concreto, ou seja, com fck em lugar de fcd na

expressão (4.14). No caso do aço, como a resistência é limitada pelo encur-

tamento convencional limite do concreto, 2%o, não há alteração.

3. O comprimento máximo absoluto de flambagem seria extraído da

desigualdade À = 3,461 /b z 90, limite de pilar medianamente esbelto. No


exercício, as dimensões da seção e a condição de pilar intermediário impõem

ab = l, resultando em A; = 26 < 35. Este último valor se impõe pela norma

e irá definir o comprimento de flambagem do pilar. Deve-se, ainda, verificarp

= A' /A'. Caso essa taxa extrapole um dos limites, indicando áreas de

concreto ou aço excessivas, para se calcular a força normal axial resistente

com obediência rigorosa à norma, deve-se tomar apenas a área estritamente

necessária, de concreto ou aço, referida ao respectivo pu . Ao final, deve-

se, ainda, testar a validade do cálculo aproximado, ou seja, se v=Nsd/(A'c

fj * 0,7.

4. No pilar de seção vazada (ver NBR 6118 -» 13.2.6.c), deve-se limitar a

espessura (z/) mínima da parede. Como a norma não explicita um valor,

podem ser admitidas duas hipóteses: a) u k 19 cm => y." 1,4', b) u ~ 12

cm => yn = 1,95 - 0,05 x 12 - 1,35, que vai majorar y Da hipótese

b), com n = 12 cm, resulta a ~ 44 cm. Com esse valor, no exercício,

testam-se as outras condições: pilar curto: A <, 35', validade do cálculo

aproximado: v ~NSe} /(A'cfc(l} £ 0,7', e área mínima de concreto: p~A's

/Á' < 8% (sem trespasse). Caso uma dessas condições não se verifique,

ela passa então a ser determinante no cálculo da dimensão mínima "a".

5. Deve-se, de início, verificar p =Á' s/A' c com relação às taxas de armadura

longitudinal máxima (com trespasse = 4%) e mínima absoluta da norma,

0,4%. A disposição das barras na seção da figura, da mesma maneira que na

seção retangular bruta, é usada para se obter os parâmetros a (ver exemplo

do item 4.3.2), a e fi, para calcular o coeficiente de majoração ya. Caso a

taxa de aço esteja entre os limites, calcula-se a força resistente de cálculo,

da expressão (4.14), e divide-se por yu. y. para se obter a força máxima de

serviço. Deve-se, ainda, testar a validade do cálculo aproximado.

6. Fazendo A = 3,461 /b <, 35, obtém-se o menor lado da seção, b = 30cm,

para a condição de pilar curto. Desse valor, calculam-se o coeficiente de

majoração yu e a força normal equivalente, N^ . Substituindo, na expressão

(4.21), a taxa p pelo valor mínimo da expressão (4.20), atendendo à condição


de mínimo consumo de armadura, calcula-se a área da seção de concreto e

o lado maior. Após testar a validade do cálculo aproximado, verifica-se na

expressão (4.20) se a taxa mínima de armadura é superior ao mínimo abso-

luto de 0,4%. Caso não seja, novamente na expressão (4.20), fazendo a

taxa igual a 0,4%, calculam-se novos valores da área da seção e do lado

maior.

7. Da condição dos momentos nos extremos do pilar, da alínea a) do item 4.2.4,

determina-se a. — 0,5. A excentricidade máxima de 1-ordem é a razão dob

maior momento pela força normal. Adimensao mínima da seção para poder

desprezar os efeitos de 2- ordem é obtida iguaíando-se as expressões (4.3) e

(4.5). Verificar a validade do cálculo aproximado, a excentricidade mínima e a

condição /l ^ Á;. Calcular a armadura e comparar a taxa com os limites de

norma.

8. O valor de fcfc é obtido do item 3.9.2.2, Capítulo 3. De início, verifica-se o

valor de p = Á's/A'c. Sendo essa taxa inferior à mínima absoluta, a seção

de concreto é excessiva e, para se atender à norma, o cálculo da força

normal resistente deve ser feito com a área de concreto estritamente

necessária:^' -A3 /p ..cn s " mtn

9. Solução análoga ao exemplo 4.6.4. A situação mais desfavorável, no caso

da seção retangular, são os momentos tracionando as faces opostas de

dimensão 50 cm.

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada 1 73

Tabela 4.4 - Áreas das seções de armaduras passivas de açoÁ (cm2) para as bitolas padronizadas pela NBR 7480:1996.

0 (mm) {1)

fios

2,4

3,4

3,8

4,2

4,6

5,0

5,5

6,0

-

6,4

7,0

8,0

9,5

10

-

-

-

-

-

-

-

Barras

-

-

-

-

-

5,0

-

-

6,3

-

-

8,0

-

10

12,5

16

20

22

25

32

40

Massa

Linear

kg/m®

0,04

0,07

0,09

0,11

0,13

0,16

0,19

0,22

0,24

0,25

0,30

0,40

0,56

0,62

0,97 ,

1,58,

2,46

2,98

3,85

6,31

9,87

Número de fios ou barras

1

0,05

0,09

0,11

0,14

0,17

0,20

0,24

0,28

0,31

0,32

0,39

0,50

0,71

0,79

1,23

2,0 J

3,14

3,80

4,91

8,04

12,57

2

0,09

0,18

0,23

0,28

0,33

0,39

0,48

0,57

0,62

0,64

0,77

1,00

1,42

1,58

2,46

4,02

6,28

7,60

9,82

16,08

25,14

3

0,14

0,27

0,34

0,42

0,50

0,59

0,71

0,85

0,94

0,97

1,16

1,50

2,13

2,37

3,69

6,03

9,42

11,40

14,73

24,12

37,71

4

0,18

0,36

0,45

0,56

0,66

0,79

0,95

1,13

1,25

1,29

1,54

2,01

2,84

3,14

4,91

8,04

12,57

15,21

19,64

32,17

50,27

5

0,23

0,46

0,57

0,70

0,83

0,98

U9

1,42

1,56

1,61

1,93

2,51

2,55

3,93

6,14

10,05

15,71

19,01

24,54

40,21

62,83

6

0,27

0,55

0,68

0,83

1,00

1,18

1,43

1,70

1,87

11,93

2,31

3,02

4,25

4,71

7,36

12,06

18,85

22,81

29,45

48,26

75,40

7

0,32

0,64

0,79

0,97

1,16

1,37

1,67

1,98

2,18

2,25

2,70

3,52

4,96

5,50

8,59

14,07

21,99

26,61

34,36

56,30

87,96

8

0,36

0,73

0,90

1,11

1,33

1,57

1,90

2,26

2,49

2,58

3,08

4,02

5,67

6,28

9,82

16,09

25,13

30,41

39,27

64,34

100,53

9

0,41

0,82

1,02

1,25

1,49

1,77

2,14

2,55

2,81

2,90

3,47

4,52

6,38

7,07

11,04

18,10

28,27

34,21

44,18

72,38

113,10

10

0,45 '

0,91

1,13

1,39

1,66

1,96

2,38

2,83

3,12

3,22

3,85

5,03

7,09

7,85

12,27

20,11

31,42

38,01

49,09

80,43

125,66

ll) Outros diâmetros podem ser produzidos, por encomenda especifica,P) A massa linear (em kg/m ) referente a cada bitola é obtida pelo produto da área da :

vaior da massa específica do aço.açâo nominal (em m2) por 7.850 kg/m3.

CALGULq:DE ELEMENTOSLINEARES À FLEXÃO PURA

Coneitpsiprèliminares;f ' f . - l l

:3 Modos de ruptura aflexão pura

5.4 Dimensionamento dasseções à flexão:pura noestado limiteflúítimo

-Bcescri-CQ.e5-daJ,, r-, ,,—

NBR6118: 2001

retangulres comarmadura duplaCáLcuiO-d.eLseções.em __forma de "T"

5.8579 "ÁTíto-avaliação. - - — — *

Cálculo de elementos lineares à flexãopura

5.1 OBJETIVOS

Conceito: a flexão de um elemento estrutural linear caracteriza-se

pela atuação de momentos fletores, que produzem tensões normais

na seção transversal e a sua rotação.

Conforme os esforços solicitantes que atuam na seção transversal, além do

momento fletor, a flexão pode ser classificada em:

<* Flexão pura: quando se considera apenas o momento fletor (AQ solicitando a

seção, que fica sujeita somente a tensões normais.

<* Flexão simples: quando atuam conjuntamente o momento fletor e a força

cortante (M; V), produzindo tensões normais e tangenciais na seção.

*> Flexão composta: quando atuam conjuntamente o momento fletor e a força

normal (M; N}, produzindo tensões normais na seção.

Quando o plano solicitante contém um dos eixos principais de inércia da seção

transversal do elemento linear, a flexão é denominada plana, normal ou reta,

caracterizada por momentos fletores que produzem rotação apenas em relação

ao outro eixo principal da seção. Em caso contrário, tem-se a flexão oblíqua.

Conforme a classificação da NBR6118—> 14.3.1, apresentada no item 3.2 deste

texto, denominam-se vigas os elementos lineares ou barras em que a flexão é a

solicitação preponderante e o comprimento longitudinal supera em, pelo menos,

três vezes a maior dimensão da seção transversal.


Dessa forma, observada a esbeltez ///? ^ 3, admite-se que o dimensionamento

da armadura de flexão de uma viga de concreto armado seja feito considerando o

efeito isolado dos momentos fletores, ou seja, como se as seções estivessem

sob flexão pura. O cálculo da armadura transversal de combate ao cisalhamento

causado pela força cortante é feito em etapa posterior, também em processo

isolado, já conhecidas armadura de flexão.

Posteriormente, as armaduras longitudinal e transversal são compatibilizadas,

para levarem conta a ação conjunta momento fletor-força cortante, por meio da

imposição de diversas prescrições da norma, numa etapa do processo de cálculo

comumente denominada detalhamento,

Pretende-se que o conteúdo deste capítulo contribua para os seguintes objetivos:

a) Disposição e finalidade da armadura de flexão de vigas de concreto armado.

b) Modos de ruptura à flexão de vigas de concreto armado.

c) Hipóteses básicas do dimensionamento de vigas de concreto armado à flexão

pura.

d) Procedimentos para cálculo de vigas de seçãoretangular e T, com armaduras

simples e dupla, segundo as disposições da NBR 6118.

e) Prescrições da norma sobre dimensões da seção transversal de concreto,

arranjo e taxas mínima e máxima da armadura longitudinal.

5.2 CONCEITOS PRELIMINARES

A Figura 5.1 mostra o esquema de ensaio à flexão de uma viga de concreto

armado, em que se aplicam forças iguais e simétricas em seu eixo, em estágios

crescentes de carga até a ruptura da peça. Esse dispositivo de ensaio, conhecido

como "ensaio de Stuttgart", tem a vantagem de permitir, simultaneamente, a

observação do comportamento da viga sob flexão pura (trecho entre as cargas

simétricas) e flexão simples (trecho entre a carga e o apoio, denominado "vão

de cisalhamento ou de corte"):

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura 1 79

Macaco 7-7-7-hidráitlico Jéá_,

armadura de tração

Viga dedistribuiçãode cargas

L defletômetro

Figura 5.1 - Ensaio à flexão de viga de concreto armado (ensaio de Sttutgart)

Quando uma viga de concreto armado é submetida a um ensaio como o da

Figura 5.1, em cada estágio de carregamento podem ser medidas ou estimadas

diversas grandezas, como as deformações absolutas e específicas no concreto

e na armadura, flechas, rotações, etc. Da observação desses ensaios, à medida

que o carregamento assume valores crescentes até atingir a ruptura, podem

ser identificadas algumas fases bem definidas no comportamento da viga, que

foram denominadas "estádios" na literatura técnica brasileira.

A Figura 5.2, a seguir, mostra os três estádios característicos da flexão pura,

com as respectivas distribuições de tensões normais (mostradas à direita da

figura), na seção transversal de concreto armado (à esquerda da figura) retangular

no exemplo e com uma área de aço à tração Á .

A seção sofre rotação em virtude do momento fletorM, passando da posição

indeformada a-a para a'-a\o mostra a parte central da Figura 5.2 (corte

longitudinal). Admite-se que a seção permanece plana até a ruptura da peça,

conhecida como hipótese de Bernouilli. O concreto comprimido sofre o

encurtamento específico scc e o aço tracionado o alongamento e .

Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e ver i f icação

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Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura 181

<* Estádio l (peça não fissurada)

Corresponde à fase inicial do ensaio, para valores do momento fletor não muito

elevados M-. As tensões normais em cada ponto da seção têm variação

linear com sua distância à linha neutra: na zona de tração, a tensão máxima

G é inferior à resistência à tração do concreto, e a tensão máxima na zona

comprimida, a , está ainda longe de atingir a resistência à compressão do

concreto.

w- Estádio Ib (aparecimento iminente de fissuras)

Com o aumento nos valores de carga, ao final do estádio l, antes do concreto

esgotar sua resistência à tração e ser iminente o aparecimento da primeira

fissura, o concreto sofre plastificação na zona de tração, isto é, deixa de

haver resposta linear tensão - deformação no concreto tracionado.

<* Estádio II (peça fissurada)

Corresponde à fase de cargas em que o concreto esgota sua resistência à

tração, passando as tensões normais de tração a ser absorvidas apenas pela

armadura longitudinal. O momento fletor MB é resistido pelo binário constituído

pelas resultantes de tensões de compressão no concreto, R , e de tração no

aço, RS/. Apesar de a peça já estar fissurada, o aço tracionado, com &s<f d,

e o concreto comprimido estão ambos na fase elástica. Esse é o comportamento

elástico previsto de uma viga fletida nos estados limites de serviço. Dessa

forma, o momento fletor característico em uma viga sob cargas de serviço,

obtido dos diagramas traçados a partir de modelos da Teoria das Estruturas,

corresponde a um valor nesta fase, isto é: M, = M,.

*> Estádio III (iminência de ruptura por flexão)

Para haver aproveitamento integral da capacidade resistente dos materiais, a

ruptura da peça, ao atingir o estado limite último, deve ocorrer com o

esmagamento do concreto á compressão e o escoamento do aço à tração.

Dimensionar uma peça à flexão no ELU significa estabelecer uma margem

1.8 2. João Carlos Teatini de Souza Clímaco

.adequada de 'Segurança para que .a viga não atinja esse estádio. Isto é, o

momento último de ruptura (também chamado momento de .cálculo pu .de

projeto) deve ser igual ao momento característico (ou de serviço) majorado por

um coeficiente jdg rnajoracãp preestabelecido: MI}, Md — 7fM.k.

5.3 MODOS DE RUPTURA À FLEXÃO PURA

A ruptura de um elemento linear de concreto armado à flexão pura depende,

basicamente, da área da armadura longitudinal de tração, das dimensões da

seção e das resistências do concreto e do aço, podendo ocorrer num dos modos

seguintes:

*> Ruptura balanceada

Ruptura da peça com o esmagamento do concreto à compressão e o escoa-

mento do açotracionado. Segundo a NBR6118, item 17.2.2-Figura 17.1, a

seção que rompe desse modo é denominada "subarmada". Deve-se atentar

que esse termo não significa ser a armadura insuficiente, pois os dois mate-

riais alcançam o limite de suas resistências convencionais de cálculo, à

compressão e à tração, e a peça apresenta, antes da ruptura, sinais de aviso

de situações de risco-fissuras e flechas excessivas. Se a ruptura ocorrer

com o aço à tração exatamente no início do patamar de escoamento do

diagrama a - e e com o esmagamento do concreto, é comum no Brasil a

denominação seção "normalmente armada", que a literatura em idioma in-

glês classifica como seção "balanceada". Neste texto, o termo "ruptura ba-

lanceada" será usado para designar a ruptura das seções sub e normalmente

armadas.

<* Ruptura frágil à compressão

Ruptura da peça por esmagamento do concreto à compressão sem o escoa-

mento do açotracionado. Segundo a NBR6118, item 17.2.2-Figura 17.1, a


seção com esse modo de ruptura é denominada "superarmada". Sendo a ar-

madura de tração excessiva, estando o aço ainda na fase elástica, a peça

rompe com o concreto atingindo o encurtamento limite de 3,5%o. É uma ruptura

em que a peça não apresenta sinais prévios de aviso, por serem reduzidos os

deslocamentos, o número, o comprimento e a abertura das fissuras.

*> Ruptura frágil à tração

Ruptura prematura da peça, brusca e sem aviso, quando a armadura de tração

é insuficiente sequer para absorver as tensões de tração transferidas do con-

creto após a fissuração. O aço escoa e rapidamente ultrapassa o alongamento

máximo convencional de 10%o, podendo mesmo romper. No presente texto, a

seção com esse modo de ruptura é denominada "fracamente armada", para

identificar os casos em que não se observa a armadura mínima de tração da

norma, dada no item seguinte 5.5.3. ANBR 6118 não apresenta uma termino-

logia específica para esse tipo de seção.

A edição anterior da norma (NB-1/78) explicitava, no seu item 5.1, como critério

básico de segurança que "as peças fletidas serão dimensionadas pretendendo-

se que, se levadas à ruína, esta ocorra quando atingido o momento fletor de

ruptura, sem que haja antes ruptura por cisalhamento, por escorregamento da

armadura ou por deficiência daancoragem desta". Apesar de a NBR6118:2003

não estabelecer esse critério com a mesma ênfase, no dimensionamento das

peças estruturais fletidas de concreto, é um principio fundamental de segurança

que a ruptura por flexão ocorra antes de qualquer outro tipo de ruptura.

Deve ficar claro que, apesar de os cálculos das armaduras longitudinal de flexão

e transversal da força cortante das peças de concreto armado serem feitos com

os esforços isolados, é essencial levar em conta a ação conjunta momento

fletor-força cortante, por meio de um detalhamento que considere as disposi-

ções de compatibilização, vistas no Capítulo 8.


5.4 DIMENSIONAMENTO DAS SEÇÕES A FLEXÃO PURA NO ESTADOLIMITE ÚLTIMO

5.4.1 Hipóteses básicas

O dimensionamento de uma peça à flexão consiste, necessariamente, de

duas etapas:

*t* Estabelecimento das dimensões da seção transversal da peça e da área das

armaduras, de forma que garanta uma margem preestabelecida de segurança

ao estado limite último, que deve ocorrer para um momento fletorde ruptura

ou de cálculo: Msd = 7f-Mk.

*> Verificação do comportamento adequado da peça aos estados limites de

serviço (flechas e fissuração inaceitáveis) para o momento fletor característico

ou de serviço: Mk.

Segundo a NBR6118-»-17.2.2, as hipóteses básicas de cálculo para elementos

sujeitos a solicitações normais no estado limite último (ELU) são as seguintes:

a) As seções transversais permanecem planas após as deformações de flexão,

até à ruptura da peça. Essa hipótese, conhecida como de Bernouilii, é

plenamente válida quando se despreza o efeito do empenamento da seção,

proveniente das tensões tangenciais originadas da força cortante.

b) A deformação das barras da armadura passiva, em tração ou compressão,

é a mesma do concreto em seu entorno.

c) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, são

desprezadas, obrigatoriamente, no ELU.

d) A distribuição de tensões de compressão no concreto faz-se pelo diagrama

paràbola-retângulo,6a Figura 3.5(b), do item 3.11.2.2 - Capítulo 3. Esse

diagrama pode sersubstituído pelo diagrama retangularsimplificado, com altura

y = 0,8 x , mostrado à direita na Figura 5.3. Essa substituição tem por base

duas constatações, de demonstração simples pela Mecânica dos Sólidos; as


resultantes de compressão, R , obtidas dos dois diagramas são iguais; a

posição da resultante é virtualmente a mesma, o que garante o mesmo braço

de alavanca, z, essencial para se obter o mesmo binário resistente nos dois

diagramas.

Seção transversal Corte longitudinal Parábola - Diagramaretângiilo Retangular

W i , / n o ff O" /= 0 85f

\

'

1

1

1

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C

> A^ V=fl#YT

•Kj/ a

? — * Rrr

Z

RstAS ò sd

Figura 5.3 - Diagramas de tensões na seção de concreto armado na ruptura por flexão

e) A tensão nas armaduras de aço deve ser obtida a partir dos diagramas de

cálculo a- £ (ver Figura 3.4, no item 3.11.1.4).

f) O alongamento máximo do aço da armadura de tração é de 10%o, para

evitar deformações plásticas excessivas da peça no ELU.

g) O encurtamento de ruptura do concreto é de 2%o, na compressão simples,

e de 3,5%o, na flexão simples, como mostra o diagrama parábola-retângulo

da Figura 3.5 (b).

Na Figura 5.3, adota-se a seguinte simbologia, que segue a convenção

internacional:

• h : altura total da seção = distância da fibra mais comprimida à mais

tracionada;

• d : altura útil = distância do centro de gravidade da armadura de tração à

fibra mais comprimida;


dl : distância do CG da armadura de tração à fibra mais tracionada: h =

x : distância (ou profundidade) da linha neutra da seção à fibra mais

comprimida. A linha neutra é o lugar geométrico dos pontos de tensão

nula da seção transversal;

y = 0} 8 x : altura do diagrama retangular simplificado, que define a linha neutra

"fictícia", abaixo da qual as tensões de compressão do concreto

são nulas;

R : resultante das tensões de compressão no concreto;

R : resultante das tensões de tração na armadura;

z : braço de alavanca das resultantes de tração e compressão;

e ,; a , : encurtamento e tensão máximos de compressão no concreto,

no ELU deflexão;

& ,; a ,: alongamento e tensão de tração máximos do aço na ruptura da

peça.

Na Figura 5.3, ao se adotar o diagrama retangular simplificado, a tensão máxima

de compressão no concreto pode assumir dois diferentes valores, conforme a

variação da largura da zona comprimida de concreto da seção transversal, como

mostra a Figura 5.4, a seguir.

a)

seçoes de largura constante oucrescente na zona comprimida:

' seçoes de largura decrescentena zona comprimida:

Figura 5.4 - Valores máximos da tensão de compressão no concreto nos ELU de flexão


5.4.2 Domínios de deformações das seções no estado limite último

Conceito: denomina-se domínio de deformações a um intervalo con-

vencional que compreende todas as possíveis situações de ruptura

da seção transversal plana de um elemento linear de concreto arma-

do, para uma determinada solicitação normal.

Cada domínio de deformações de um elemento linear sob solicitações normais

(que produzem tensões normais na seção) é Identificado com um modo de ruptura,

por sua vez associado ao tipo de solicitação, às dimensões da seção e à taxa e

disposição das armaduras de aço. Segundo a NBR 6118 -> 17.2.2, um ELU é

caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal

pertencera um dos cinco domínios, definidos a seguir e mostrados em conjunto

na Figura 5.5, admitindo-se que as seções permaneçam planas após a

deformação.

<* Domínio 1

Ruptura da peça portração não uniforme, sem compressão. O primeiro limite

é a reta at da Figura 5.5, da ruptura por uma força de tração no eixo da peça,

normal à seção, que sofre apenas translação. Desprezada a resistência à

tração do concreto, admite-se que a peça rompe quando o aço alcança o

alongamento de 10%o, limite convencional de deformação plástica excessiva.

As tensões são apenas de tração, se a resultante de forças está aplicada

dentro do núcleo central de inércia da seção (região em que, sendo uma força

normal aplicada no seu interior, todas as tensões têm o mesmo sinal da força

-tração ou compressão). A reta c, da Figura 5.5, representa uma ruptura em

que a resultante de tração é aplicada no limite inferior do núcleo central, com

tração máxima na fibra extrema mais próxima e compressão nula na

extremidade oposta. A ruptura no domínio 1 é denominada "tração com pequena

excentricidade".


10%o

alongamento encurtamento

2%o 3,5%o

aço

aço

Secão transversal

,....& w~r

Unhaneutra

JL

Figura 5.5 — Domínios de deformação das seções no estado limite último

Domínio2

Ruptura da peça com o escoamento do aço atingindo o alongamento máximo

convencional de 10%o, sem esmagamento do concreto. Nesse domínio, em

que a flexão predomina, deve-se prevenir a ruptura frágil da peça na zona

tracionada, característica das seções fracamente armadas, providenciando

uma armadura mínima de tração. A retadda Figura 5.5 representa um limite

da ruptura por flexão no domínio 2, tendo o aço o alongamento máximo e o

concreto esmagando ao atingir o encurtamento máximo convencionai de 3,5%o.

DomínioS

Ruptura da peça por flexão com o escoamento da armadura ocorrendo

simultaneamente ao esmagamento do concreto à compressão. Ruptura

característica de seções balanceadas ("subarmadas" na literatura brasileira;

denominação pouco apropriada por dar ideia de armadura insuficiente), com a

peça apresentando sinais visíveis do risco de ruptura: fissuras de grande abertura

e flechas acentuadas. A reta e da Figura 5.5 representa um limite da ruptura

da peça porflexão no domínio 3, com o aço no início do seu escoamento, com

o alongamento e ., e o concreto esmagando com o encurtamento máximo de


<* Domínio 4

Ruptura por flexão, ocorrendo o esmagamento do concreto sem o escoamento

do aço. Ruptura característica de seções superarmadas. Procura-se evitar o

dimensionamento nesse domínio, para prevenir o risco de ruptura sem aviso,

visto que o esmagamento do concreto ocorre de forma brusca. A reta/da

Figura 5.5 representa um limite hipotético da ruptura da peça por flexão no

domínio 4, tendo o aço alongamento zero e o concreto esmagando com o

encurtamento de 3,5%o. Esse limite, na prática, só ocorre na flexão composta.

w- Domínio 4 a: ruptura por compressão excêntrica, estando toda a seção e

as armaduras comprimidas, com exceção de uma pequena região

tracionada, nas fibras abaixo da armadura.

*> DomínioS

Ruptura por compressão não uniforme, sem tração. A resultante das tensões

de compressão está situada, portanto, dentro do núcleo central de inércia da

seção. Areta g da Figura 5.5 representa a ruptura da peça com a resultante

de compressão aplicada no limite do núcleo central, provocando o

encurtamento máximo de 3}5%o na fibra extrema mais próxima e tração nula

na extremidade oposta. A reta b da figura representa uma ruptura por

compressão uniforme ou axial, com a seção sofrendo apenas translação e

rompendo o concreto com o encurtamento máximo de 2,0%o. A ruptura de

seções no domínio 5 é proveniente da "compressão com pequena

excentricidade".

No dimensionamento de vigas à flexão pura, só têm significado os domínios 2, 3

e 4, cuja associação às deformações específicas correspondentes do aço e do

concreto, mostradas na Figura 5.5, pode ser expressa na forma seguinte:

- Limite 1-2: £ =0 e £ = 10%o;ca sa

e e = 10%osa


(seções fracamente armadas => caracteriza dimensões excessivas da

seção de concreto. No dimensionamento, deve-se prevenir o risco de ruptura

frágil, verificando-se a necessidade de uma armadura mínima de tração)

Limite 2-3: e , — 3,5%o e e . = 1096o (dimensionamento mais racional,

com ambos os materiais alcançando os [imites convencionais

máximos da norma)

domínio 3 : £ ,= 3,5%o e & ,< e ,< 1096o- cá ' yd sã

(seções balanceadas; dimensionamento recomendável, com os materiais

esgotando sua capacidade; no Brasil, têm a denominação usual de seções

subarmadas)

tLimite 3-4: £cd = 3}5%o e esd = £td (seções normalmente armadas)

$

domínio 4 : £cc! = 3J5%o e O < £sd < B .

(seções superarmadas - risco de ruptura sem aviso)

Limite 4~4a; £ ,= 3,5%o e £ , = Ocd ' sd

Capítulo -5 -.Cálculo de elementos lineares à flexão pura 191

5.4.3 .Seções retangular.es com armadura simples no .estado limite.último

:5.4-3f1 Princípios

Conceito; diz-se que ujna seção cie concreto armado é dimensionadacom armadura simples quando p .cálculo à flexão mostra a necessi-dade .apenas de Armadura na zona de tração.

Na zona de compressão, somente o concreto é suficiente para constituir o

binário interno resistente junto com uma armadura de tração (A ), cujo

momento (M^) deve equilibrar p momento solicitante proveniente das ações

(Msf}). O dimensionamento da seção transversal é feito por expressões obtidas

de duas vias:

*> compatibilidade de deformações: tendo por base a hipótese das seções

planas;

<* equilíbrio da seção: impondo a condição de o momento solicitante de cálculo

ser igual ou inferior ao binário resistente (M^ < MRd).

Junto à borda mais comprimida, é necessário colocar duas barras longitudinais,

como armadura de montagem, com o diâmetro no mínimo igual ao do estribo,

denominadas porta-estribos. Apesar de não serem consideradas no cálculo,

essas barras estão comprimidas e colaboram com o concreto à compressão.

A Figura 5.6, a seguir, mostra à esquerda os detalhes da seção transversal,

retangular apenas para fins de ilustração. No centro, é visto um corte

longitudinal, que contém o eixo neutro da peça, em que se representam as

deformações específicas da seção, suposta plana até a ruptura. À direita da

figura, são representadas as tensões normais na seção e as resultantes de

compressão no concreto e de tração no aço, que constituem o binário

resistente: M_, = R . z = R ,. z .Rd cc st


bw.

DTJJ~•o

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Alinha neutra V^ /fictícia

— l dl •'!

K c^f

/ porta-estribos

eixo neutro real

armadura de tração

a''\

,

x

•T-

,

y— í/, o x1

acrf

i

•

a

À/scc a°d w^\ — d- 0,4 x

R. = CT j Á

Figura 5.6 - Seção retangular com armadura simples no estado limite último

5.4.3.2 Compatibilidade de deformações do aço e do concreto

A seção transversal plana e indeformada a-a, submetida ao momento fletor

último Msd, sofre rotação e assume a posição a'~a't permanecendo plana.

Por semelhança de triângulos, da Figura 5,6, as deformações específicas do

aço e do concreto podem ser expressas:

d- x l-x/dx/d cd

É de interesse para a formulação definiro coeficiente adimensional k ~x/d,

chamado altura ou profundidade relativa da linha neutra, com o qual se obtêm as

expressões:

/c,. cd 'sd (5.1)

Ir -K "-d

•cd(5.2)


Entrando na expressão (5.2) com os valores limites das deformações máximas

do aço e do concreto, expostas noitem 5.4.2, podem ser definidos os seguintes

intervalos para os valores do coeficiente kx nos domínios de flexão simples:

• Limite entre os domínios 7-2: kv — O

*domínio 2

í

• Limite entre os domínios 2-3: k = 0,259x }

$domínio 3

í• Limite entre os domínios 3-4: k = k ,. = 3.5%o / (5.5%o + e ,)x xhm ' \ yd/

í

domínio 4

í• Limite entre os domínios 4-4a: k = l

x

Portanto, com o coeficiente kx variando no intervalo O < k < l, podem ser

definidas todas as situações possíveis do dimensionamento de secões de

concreto à flexão simples. Na realidade, nos domínios 2 e 4 de flexão simples

não são atingidos os (imites k = O ou l, que só ocorrem na flexão composta.

O coeficiente no limite dos domínios 3 e 4, denominado k é importante, pois

acima desse valor a seção será superarmada, com pouca dutilidade e risco de

ruptura sem aviso. Afigura a seguir ilustra como os domínios de deformações

das secões nos ELU da flexão simples se associam aos diagramas tensão x

deformação dos dois materiais.

Est

rutu

ras

de c

oncr

eto

arm

ado:

fun

dam

ento

s de

pro

jeto

, di

men

sion

amen

to e

ver

ific

ação

(Q C 3 Ol

D Q.

O CD O W O.

O 3 CL CD CL

CD 3 CU CD X O» o


Para o dimensionamento nos domínios 2 e 3, as seguintes situações peculiares

devem ser ressaltadas;

a) Domínio 2-variação da tensão de compressão no concreto:

Nesse domínio, o aço atinge o alongamento convencional limite de 10%ot

sem que haja esmagamento do concreto. Deve-se verificar a necessidade

de armadura mínima para prevenir o risco de ruptura frágil por tração,

seguindo a prescrições do item 5.6.2, à frente. Em função do valor assumido

pelo encurtamento máximo do concreto (e ) no ELU. conforme o diagramar N c,max' ' a

a - £ da Figura 3.5 (b), do Capítulo 3, e a respectiva expressão (3.16),

esse domínio pode ser subdividido em:

domínio 2 a: se 2%o < e < 3,5%o ; e Domínio 2b: se O < e <c, tnax ' ' c, max

2%o.

A distribuição de tensões de compressão no concreto, como descreve o

item 5.4.1, alínea d), e mostra a Figura 5.3, é expressa pelo diagrama

parábola-retângulo, que pode ser substituído pelo diagrama retangular

simplificado, com a altura y = 0,8xe atensão de compressão no concreto

a , = 0,85 f .. No entanto, nos dois intervalos de encurtamento doca ^ ca

concreto em que se subdivide o domínio 2, é necessário fazer uma correção

na tensão do concreto do diagrama retangular, a ,~ 0,85 p f , , para que

possa se manter a mesma altura y = 0,8x e resultante de compressão,

Rcc, nos diagramas parábola-retângulo e retangular. Estabelecendo como

base a equivalência dos valores das resultantes R dos dois diagramas, o

coeficiente p de correção da tensão de compressão no concreto pode ser

obtido a partir da compatibilidade de deformações na zona comprimida de

concreto e de princípios básicos da Mecânica dos Sólidos, O braço de

alavanca, z, das resultantes de compressão no concreto e de tração no

aço, rigorosamente, sofre uma ligeira alteração no domínio 2, ao se adotar

o diagrama retangular em lugar do parábola-retângulo. Entretanto, nesse

domínio, a profundidade da linha neutra, x, é muito reduzida em relação à

altura da peça, resultando em um erro desprezível, além de a favor da


segurança.

Dessa forma, as expressões para o coeficiente /? de correção da tensão de

compressão no concreto, no domínio 2, são:

^ Domínio 2 a:

2%o í e <, 3,5%o & 0 = 1,25 [l - 0,67/e (96o)] (5.3)cmax ' f i \. } cmax v /J * '

^ Domínio 2 b:

O <. e < 2%o ^> 8 = 0,59 [e (%o)}mcmax ' * *- rmax v /J

b) Domínio 3-garantia de boas condições de dutilidade da peça:

Segundo a NBR 6118-* 17.2.3, é necessário garantir uma boa dutilidade

das peças fletidas, principalmente nas zonas de apoio, adotando, se

necessário, armaduras de compressão. A dutilidade e a capacidade de

rotação dos elementos estruturais dependem da posição da linha neutra

no ELU, com valores muito elevados do coeficiente k =x/d resultando1 x

em menor dutilidade da peça.

Com o objetivo de melhorar a dutilidade nas regiões de apoio das vigas ou

de ligações com outros elementos estruturais, o item 14.6.4.3 da norma

exige que a posição da linha neutra observe os limites seguintes:

kx = — £ 0,50 para concretos com fck ^ 35 MPa

JCA'v - — £ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa(5.4)

Nos termos dos itens citados da norma, a observância de limites para k ê

obrigatória apenas nas regiões de apoio ou de ligação das vigas com outros

elementos, nas quais ocorrem cargas concentradas. Sendo assim, para os

momentos positivos de vãos sem cargas concentradas, depreende-se que o

limite da expressão (5.3) não é obrigatório.


5:4:3.3 Equilíbrio de esforços

Da distribuição de tensões na seção transversal de um elemento sujeito ao

momento solicitante de cálculo Msd, mostrada na Figura 5.6, pode-se escrever o

binário interno resistente para o concreto à compressão e o aço à tração, nas

formas seguintes:

a) Concreto à compressão

Msd = Rccz = (ocdbw y) (d - 0,4x) = (acd bw. 0,8x) (l - 0,4 ~) dd

Msd=0,8kx(l-0,4kx)bwd2acd

Para simplificar a formulação de cálculo, é de interesse definir dois coeficientes;

*> coeficiente do momento fletor de cálculo, k ,:' ma

MsdW*Sd ~ kmã^wd" fcd OU kmd ~ ~ -T— (5 5)b d f v-*"0/

»:* coeficiente do braço de alavanca (ou braço de alavanca relativo) das resultantes

de compressão no concreto e de tração no aço; A; = z/d = l - 0,4 k.

O coeficiente do momento de cálculo, kmd, é associado às grandezas referentes

ao concreto: largura (b J e altura útil (d) da seção transversal e resistência de

cálculo do concreto à compressão (fcd). É, em geral, o primeiro coeficiente a

ser obtido no cálculo, com as dimensões sendo definidas a partir do projeto

dearquítetura.

Nos domínios 3 e 4, a ruptura ocorre com o esmagamento do concreto, o que,

no caso mais geral da Figura 5.4a), corresponde à tensão de compressão

máxima acd = 0,85fcd. Da expressão (5.5) e do equilíbrio do binário resistente,

nesses domínios tem-se:


k =0,68 k (l-034k ) = 0,68 k k (5.6)ma ' x * * x' 3 x z v '

Da expressão (5.6), nos domínios 3 e 4, a profundidade relativa da linha

neutra é dada por:

kx = l,25-l,917 V 0,425 -kmd (5-7)

No ELU do domínio 2, o aço atinge o limite convencional de 10%o sem

esmagamento do concreto. Conforme explica a alínea a) do item anterior

5.4.3.2, para manter a consistência da substituição do diagrama parábola-

retângulo de compressão no concreto pelo diagrama retangular simplificado,

a tensão máxima assume a forma acã — 0,85 fifcí{. O coeficiente p é dado

pelas expressões (5.3), em função do encurtamento máximo do concreto,

que, pela segunda das expressões (5.1), também depende de kx, como:

e - 10%ok Al~ k ). Do equilíbrio do binário resistente no domínio 2,c, max x ^ x ' '

tem~se então k , = 0,68 8 k (l~Q,4k \, conhecido o coeficientema ' " x *• ' x J '

kmd da expressão (5.5) e com em função de k , pode-se obter este último,

numa formulação mais complexa que a expressão (5.7).

b) Aço à tração

Da Figura 5.6, sendo a resultante de tração no aço Rsf = As asd , a equação

de equilíbrio que limita o momento fletor solicitante de cálculo ao binário interno

resistente à tração será:

donde se obtém a área de aço necessária ao equilíbrio:

M,A... — 'sd

kz<f<rsll (5.8)

A tensão de tração no aço da armadura, asd, no estado limite último, é dada por:

^ Para cálculo nos domínios 2 ou 3: cr = f .sd J yd


Para cálculo no domínio 4: a , — E B ,. Nesse domínio, õ aço não escoasã s sã ' *

na ruptura da peça e a deformação no ELU, esd, é obtida da primeira das

expressões (5.1) com o encurtamento do concreto assumindo o limite

convencional E =3,596o.cd '

5.4.4 Considerações práticas sobre o dimensionamento

a) Os coeficientes adimensionais kx, kmd e kz são interdependentes e identi-

ficam o domínio de deformações no ELU para o dimensionamento à flexão.

Conhecido um dos coeficientes, pode-se determinar os demais. Como antes

mencionado, em geral, o primeiro termo obtido no dimensionamento é o coeficiente

do momento de cálculo kmà. Pela ordem, traçam-se os diagramas de momentos

fletores solicitantes, a partir de modelos da Teoria das Estruturas, definem-se a

resistência característica do concreto e as dimensões das peças, conforme o

projeto de arquitetura, para então se obter o coeficiente k à, da expressão (5.5).

b) Além desses coeficientes, da expressão 5.5 pode-se definir o coeficiente da

altura útil kd como:

d - k\f cd

(5.9)

Na nomenclatura técnica do Brasil, é comum atribuir o nome "altura útil mínima" da

seção ao valor da altura útil para o qual a seção seria normalmente armada com

.armadura simples, ou seja, fosse dimensionada no limite dos domínios 3 e 4:

A<w

'ctl(5.10)

Conhecida a altura útil da seção e calculando d ., pode ocorrer uma dass mm r

situações:


^ d- dmin O seção normalmente armada (limite dos domínios 3 e 4)

**• d> d . o seção subarmada ou fracamente armada (domínios 2 ou 3)mm y x '

^ d<dmín o seção superarmada (domínio 4).

c) A Tabela 5.2, ao final deste capítulo, apresenta os valores dos coeficientes

adimensionais do cálculo à flexão, incluindo, ainda, para cada grupo de

coeficientes, as deformações do aço e do concreto. No domínio 2, são também

fornecidos os valores de /f, das expressões (5.3), permitindo o cálculo da

tensão máxima de compressão no concreto: acd = 0,85/3 fcd. A tabela foi

construída para 0,050 < kx < 0,772, intervalo que atende â maioria dos

casos de dimensionamento. Para o domínio 2, com kx < 0,167, é essencial

verificaras disposições de armadura mínima, conforme o item 5.5.3, a seguir.

d) O valor do coeficiente no limite dos domínios 2 e 3, kx = 0,259, apresentado

com destaque na tabela, independe do tipo de aço e fornece o dimensionamento

com o uso mais racional dos dois materiais, no que se refere aos limites

convencionais de deformação específica da norma. São sublinhados, ainda,

os valores dos coeficientes no limite 3-4 para os aços CA-25, CA-50 e CA-60,

que dependem da deformação de escoamento de cada aço. Esse limite

corresponde à altura útil mínima para a viga com armadura simples, ou seja, à

seção comumente denominada "normalmente armada" na literatura técnica

brasileira.

e) A Tabela 5.2 destaca também os valores de kx = 0,500 e 0,400, limites

impostos pela NBR 6118 -*• 14.6.4.3 em função da resistência característica

do concreto, para garantir a dutilidade das peças fletidas nas zonas de apoio,

conforme expõe o item anterior 5.4.3.2.b). Essa disposição acarreta uma

mudança considerável no cálculo das armaduras de flexão das seções das

vigas sob momentos fletores negativos, com relação à versão da NB-1/78.



5.5.1 Largura mínima da seção transversal

Segundo a NBR 6118 -v 13.2.2:

"A seção transversal das vigas não deverá apresentar largura menor que

12 cm, e das vigas parede, menor que 15 cm. Esses limites podem ser

reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos

excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições:

a) alojamento das armaduras e suas interferências com armaduras de

outros elementos estruturais respeitando os espaçamentos e as

coberturas estabelecidos nesta Norma;

b) lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931".1

Portanto, em qualquer caso, a largura das vigas de seção retangular deve observar:

bw^10 cm (5.11)

5.5.2 Disposição das armaduras na largura da viga

A Tabela 5.3 apresenta as áreas de seção das armaduras, com as bitolas

padronizadas pela NBR 7480: 1996, e a largura mínima da viga, medida

internamente aos estribos, b , para se acomodar o número correspondente

de barras. Tendo os estribos a bitola 0 e sendo o cobrimento nominal exigido

de concreto c , deve-se adicionar à largura interna aos estribos, b , da tabela,no/n' a ' s' '

o valor 2(cnom + #,), específico para cada cálculo, donde se obtém a largura

mínima da viga, b . , necessária para se acomodar a armadura escolhida.a ' HWÍf/J ' r

Se esse valor é inferior à largura Z? , da seção transversal, uma situação favorável

ao cálculo e à execução, tem-se a disposição de barras longitudinais da

armadura em uma camada.

NBR 14931: 2003 - Execução de estruturas de concreto - procedimento.


Os valores mínimos da espessura da camada do cobrimento nominal de concreto

(c ) dependem da classe de agressividade ambiental da estrutura. Para as

armaduras positivas, os cobrimentos são os mesmos anteriormente dados na

Tabela 4.2 do item 4.5.4.1 do Capítulo 4, extraída da NBR 6118 -v 7.4.7.2. Para

as armaduras negativas, a norma permite que se adote o cobrimento nominal

> 15 mm, nos casos de haver argamassa de contrapiso, revestimentos finais

secos (tipo carpete e madeira), argamassa de revestimento e acabamento com

pisos de elevado desempenho, cerâmicos, asfálticos e outros.

Para armadura em uma camada, a distância do centro de gravidade da armadura

de tração à fibra mais tracionada, dl, da Figura 5.5, é dada por:

dl=h-d^c +&+ 0/2 (5.12)iiom í ^ '

No início do dimensionamento, em geral, é conhecida a altura total da viga, h, e

não a altura útil, d, usada no cálculo. Antes de ser calculada a armadura, não se

tem a bitola das barras longitudinais, 0, nem a dos estribos. É necessário, então,

um valor inicial como tentativa, por exemplo, dl = 40 mm, suficiente para

os valores do cobrimento até c =25 mm, bitola da armadura principal 0nem ' '

= 20 mm e diâmetro dos estribos, <f>{ = 5 mm. Esses valores cobrem boa

parte dos casos de estruturas usuais, para peças em condições normais de

exposição.

Em certos casos, sendo a largura da viga insuficiente para acomodar a área de

aço calculada, deve-se dispor a armadura em mais de uma camada. Nesse

caso, busca-se dispor o maior número de barras na 1- camada, mais próxima

da face da viga, e as demais, conforme a necessidade, igualmente espaçadas

da primeira na altura da viga. Isso acarreta mudança no valor iniciai de dl,

sendo necessário calcular o novo valor para o número de camadas adotado.

Caso a diferença encontrada do valor inicial seja apreciável, deve-se recalcular

a altura útil de a área da armadura, que irá aumentar em virtude da redução da

altura útil da viga. Trata-se, na realidade, de um processo iterativo, que pode

ser otimizado se, no início do processo, se consideram corretamente as

Capítulo 5 - Cálculo ífé -elementos lineares ã'flexão pura 203

condições de exposição da peça,-ã resistência do concreto e as dimensões da

seção transversal com relação aos momentos fletores atuafites.

Para a armadura em duas camadas, tem-se:

•dl = h - d = c +0+0+0/2nom t

onde:

a = espaçamento vertical entre duas barras, igual ao maior dos dois valores

2 cm e 0.

A disposição da armadura em mais de uma camada é possível, desde que se

verifique á condição a seguir, imposta pela norma no item 17.2.4.1, para que as

tensões de tração na armadura possam ser consideradas concentradas em seu

centro de gravidade. Para cada camada adicional, deve ser atendido:

Aí 20% h (5.13)

onde:

A - distância do centro de gravidade da armadura ao ponto de sua seção mais

afastado da linha neutra, medida normalmente a esta. Para a armadura de

tração em duas camadas de bitola 0, aproxima m ente, tem-se: A — 0 + a/2.

Para três camadas: A = l,50+a.

Caso não seja atendida a condição anterior para nenhuma bitola comercial, a

alternativa é aumentar a altura ou a largura da viga.

5.5.3 Armadura longitudinal mínima

Muitas vezes, por condições exigidas pelo projeto de arquitetura, podem ocorrer

dimensões excessivas da seção transversal de concreto, em algumas vigas ou

em algumas seções da mesma viga, que terão seu cálculo no domínio 2. Nesse

domínio, no caso de ocorrerem valores do coeficiente da profundidade da linha


neutra kx < 0,167 (ou kmd < 0,088 ), da Tabela 5.2, o concreto comprimido

teria encurtamento último ecd<2,Q%Q. Para prevenir ruptura frágil portração na

seção, devem ser tomadas precauções especiais que evitem deformações

excessivas da armadura tracionada.

O critério para se obter a armadura longitudinal de tração mínima de qualquer

elemento fletido é que a área de aço deve resistir a um momento igual ou superior

ao de ruptura da seção sem armadura, sem considerar a resistência à tração do

concreto. Com base nesse princípio, a NBR 6118 —*• 17.3.5.2.1 fornece uma

expressão do momento fletor mínimo para se determinar a armadura mínima de

tração, que, para seções retangulares, assume a forma:

M, . =0,052 b h2f La, mm 3 w J ck

2/3 (5.14)

O dimensionamento da armadura para atender a M, . pode ser considerador ti, min r

atendido se forem respeitados os valores da Tabela 5.1, obtida do item 17.375.2.1

da norma, que disponibilíza as taxas geométricas mínimas de armadura de

flexão, pmln =As/(bh)l respeitada a taxa mínima absoluta de armadura de

0,15%.

ATabela 5.1 atende a valores da resistência característica do concreto entre 20 e

SOMPa e diferentes formas da seção transversal, para o aço CA-50 e os coeficientes

de minoração do concreto e do aço, respectivamente, /c = 1,4 e ys = 1,15.

Tabela 5.1-Valores de pm/rt (%) (NBR 6118: 2003)

Forma da seção

Retangular

T (mesa comprimida)

T (mesa tracionada)

Circular

fck(MPa)

20

0,150

0,150

0,150

0,230

25

0,150

0,150

0,150

0,288

30

0,173

0,150

0,153

0,345

35

0,201

0,150

0,178

0,403

40

0,230

0,158

0,204

0,460

45

0,259

0,177

0,229

0,518

50

0,288

0,197

0,255

0,575

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura 20 5

Portanto, para as seções no ELU do Domínio 2 com valores de k < 0,167,

calcula-se a área de armadura da expressão (5,8), com os respectivos coeficien-

tes k da Tabela 5.2, verificando se é superior à mínima. Para seções retangula-

res com k < 0,05 (ou kmd < 0,014), pode-se adotar, diretamente, a armadura

mínima de tracão, com área Á = p . (b h).* ' s "mm *• w '

5.5.4 Armadura longitudinal máxima

É necessário impor também valores máximos para as armaduras de peças de

concreto armado, a fim de garantir a validade dos modelos de cálculo adotados e

a dutilidade da estrutura e evitar altas concentrações de ferragem, que podem

comprometer o bom adensamento e a compactação do concreto. Segundo a

NBR 6118 -> 17.3.5.2.4, a soma das armaduras de tracão e de compressão, ou

seja, a armadura total da seção,.^ , deve observar:

A ft=A +A> <,4%(b h) (5.15)s, fot s s ^ w •* \

5.6 CALCULO DE SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA

5.6.1 Fundamentos de cálculo

No cálculo de uma viga de concreto armado com armadura simples, quando se

obtém o coeficiente do momento k , > k ... (o mesmo que k > k ,. ouma malim v ^ x xhm

d< d . ), esse cálculo teria de ser feito no domínio 4, o que não é conveniente,

pois o dimensionamento resultaria em uma peça superarmada. Uma primeira

alternativa seria aumentar a altura da viga, para situar o cálculo nos domínios 3

ou 2, como seção subarmada.

Caso a altura da viga não possa ser aumentada, por restrições do projeto de

arquitetura, pode-se adotar a opção de reforçar a zona comprimida de concreto,

com a colocação de uma armadura de compressão. Nesse caso, diz-se que a

peça será dimensionada com "armadura dupla", ou seja, armaduras de tracão e


de compressão. Para o cálculo da seção, o momento fletor de cálculo, Msd, é

dividido em duas parcelas:

Â'a

Msd^V /

/

/

1-

f '

é | armadura$?. comprimidaA^

armadura tracionada

a

,

1

p-

i

X<

h.1a

'•

,.i.. v- -V».

% \N \ /-/7

- -] ~ ~ ~

bw

\\

,

1

L

X <X..hm'

*o *

11 ""^

^ = Âsl + ^J

Figura 5.8 - Seção reíangular com armadura dupla no estado limite último

a) Mdl: momento máximo resistido pelo concreto à compressão e por uma

parcela da armadura tracionada, As], por meio da imposição de duas

condições, conforme seja considerada uma seção do apoio ou do vão:

^ Secão do vão com momento positivo (sem carga concentrada ou ligação

com outros elementos estruturais): toma-se o momento máximo da seção

com armadura simples, ou seja, no limite entre os domínios 3-4, isto é:

M,=k fll, b d2fdj ntdlun w J icd (5.16)

Seção do apoio com momento negativo (ou seções de momento positivo

em vãos com carga concentrada ou ligação com outros elementos

estruturais): deve-se ter, no máximo, a seção com armadura simples com

o momento calculado com o valor kmd = 0,272, correspondente a kx =

0,500, para concretos comfck£ 35MPa, ouknid= 0,228, correspondente

a k = 0,400, para fck > 35 MPa. Esse limite é imposto pela norma, no

item 14.6.4.3, conforme descrito no item anterior 5.4.4, alínea d), visando


melhorar a dutilidade, especialmente nas regiões de apoio das vigas ou de

ligação entre elementos. Dessa forma, para^ < 35 MPa, tem-se:

M ' =0,272 b d2f , (5.17)dl J w J ca ^ '

b) M d2 : excesso do momento fletor Md, que deve ser resistido pelo binário da

armadura de compressão A1 -armadura tracão adicional Âs2, dado por:

Md2=MSd-Md, (5.18)

Dessa forma, a armadura total de tracão será a soma das parcelas calculadas

com os momentos fletores parciais Mdl e Md2 , ou seja, AS =As} + A T

A armadura correspondente ao momento MdJ é dada pelas expressões (5.19),

conforme sejam os momentos positivos (expressão à esquerda) ou negativos (à

direita, se^ < 35 MPa):

Av, = • - — — • ou Av! =" »

vKzlímdfyil 0,800 d f yil -

Para a segunda parcela do momento fletor, Md2 , a ser resistido pelo binário das

armaduras de compressão (A ' ) e de tracão (A 2), tem-se:

(5'20)

d,A's = /f (5.21)

'

A tensão no aço da armadura tracionada, para ambas as parcelas, AS} e A 2, é

igual à de escoamento, f id , pelas condições impostas para a obtenção do

momento Mdl , ou seja, no limite 3-4 ou no domínio 3, conforme as expressões

(5.16) ou (5.17).


Adeformação do aço da armadura comprimida, e' d% é obtida da compatibilidade

de deformações nas armaduras de compressão e tração, pela hipótese das seções

planas da Figura 5.8. Nas expressões (5.22), para seções com momento positivo,

adota-se a expressão com k{l; com momento negativo efck ^ 35 MPa, adota-

se kx = 0,500. Do diagrama a - £ do aço empregado (Figura 3.4), calcula-se a

tensão de compressão a* d.

x - d, (x/d) - (d, /d)t, r __ _ 2 3 c Q/ r*\ — . ' * 2 ' Q8 stl ~ ' - .J, J 700 *•> S sd - • - — - .3,

x x/d

xlim

0,500 -cL /dPara k = 0,500 O e'd=— - 2- — •.3,5%o

sd 0,500

5.6.2 Limite para emprego de armadura dupla

Apesar de a NBR 6118 não explicitar nenhuma limitação para o dimensionamento

de vigas com armadura dupla, é razoável a adoção de algum tipo de limite, para

se evitar peças com altura muito reduzida. Algumas publicações brasileiras

(MORAES, M. C., 1982; PFEIL, 1985) sugerem um limite da norma russa que,

possivelmente, tem relação com a expressão (5.5):

MSàíQ,425bwd*fcd (5.23)

A expressão (5.23) indica que não se deve usar armadura dupla quando o cálculo

da seção com armadura simples cair no domínio 4, com valores de kmd > 0,425.

Para o aço CA-50, isto corresponderia a, aproximadamente, Md2 = Md}/3. Quando

esse fato ocorrer, deve-se buscar outra alternativa, como o dimensionamento

como seção T ou o aumento da altura da viga. Para se conseguir a menor alteração

possível na altura da peça, deve-se impor kmd= 0,4,25 e calcular uma nova altura

Capitulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura 209

útil da expressão (5.9), com kd= 1,534, dimensionando então a seção com

armadura dupla.

5.7 CÁLCULO DE SEÇÕES EM FORMA DE "T"

5.7.1 Introdução

Nas estruturas de concreto armado, com o concreto moldado no local, na maioria

dos casos as lajes e as vigas que as suportam estão fisicamente interligadas,

isto é, trabalham solidárias. Quando a laje trabalha solidariamemte com a viga e

é também comprimida pelo momento fletor, como na Figura 5.9, tem-se um

aumento significativo na zona de compressão de concreto, que pode ser

aproveitado para o cálculo da armadura.

Apesar de ser uma solução que, em geral, resulta em grande economia de aço e

concreto, parte dos projetistas só lança mão da alternativa de considerar no

cálculo a seção transversal em T em vigas de altura muito reduzida, quando a

seção retangular se mostra inviável mesmo com armadura dupla. Segundo a

N BR 6118 -+14.6.2.2: "Aconsideração da seção T pode ser feita para estabelecer

as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos

na estrutura, de uma forma mais realista".

1 hfl laje Y//////;linha -•

neutraviga viga

nS//////X 4ííw

yM^

hviga

-T

Figura 5.9 - Laje solidária com a viga aumentando a zona comprimida de concreto

Nos casos em que a lajefortracionada pelo momento fletor, a capacidade resistente

não pode ser aumentada, pois a resistência à tração do concreto é desprezada

no cálculo.


5.7.2 Largura da laje colaborante ou mesa

A largura da mesa da viga de seção T , b fí ou seja, a parte da laje que pode ser

considerada no cálculo colaborando com a viga (Figura 5.10), é definida como a

soma da largura da nervura, b ,, com as distâncias das extremidades da mesa às

faces respectivas da nervura: bjt do lado interno em que existe uma viga adjacente,

e b3 do lado externo, no caso de haver bordo sem viga, válido também para a viga

T isolada, comum em caso de peças pré-moldadas.

lordoivre

-^

mesa__

b3almaouner-vura 01

///J laje

Figura 5.10 - Largura da mesa ou laje colaborante de seções T

Conforme o item 14.6.2.2 da NBR 6118;

0,1a0,5 b.

0}lab. (5.24)

onde:

b = distância entre as faces de duas nervuras sucessivas;

a = distância entre pontos de momento nulo, medida ao longo do eixo da viga,

em cada tramo, podendo ser obtida diretamente do diagrama de momentos

fletores, ou pelos seguintes valores, dados pela norma:

• viga simplesmente apoiada & a —Q

• viga com momento em uma só extremidade *> a = 0,75 Q


- tramo com momento nas duas extremidades £> a = 0,60 $

• tramo em balanço & a=2ô

Conforme a posição relativa das vigas, as seguintes situações podem ser

encontradas:

• b, — bw + b]es + b ldlr ^> seção T com duas vigas adjacentes

- b f= b + b j + b3 & seção T com uma viga adjacente e um bordo livre

• b f~ b + 2b, ^> seção T isoladaf w 3 *

- b f- bw + b} o viga extrema (o cálculo como seção T ainda é

viável, pois, em virtude da rigidez relativa, a laje

ainda colabora com a viga)

Nas vigas contínuas, podem ocorrer diferentes valores para a largura bf da mesa

da seção T, nos vários tramos da viga, conforme a disposição relativa das demais

vigas em um determinado piso. Segundo a NBR 6118: "No caso de vigas contínuas,

permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções,

inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja

calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a largura resulte mínima".

5.7.3 Altura útil de comparação

Conceito: a altura útil de comparação (d ) de uma seção T é defini-

da como o valor da altura para o qual a linha neutra fictícia é tangente

à face inferior da mesa, ficando a mesa da seção completamente

comprimida, ou seja, y — hf.

A altura útil de comparação é, na realidade, um valor teórico, obtido como um

recurso para se estimar a posição da linha neutra da seção T e, dessa forma,

definir em cada caso as situações de cálculo.


V 0.

linha neutrafictícia

= 0,85fcdbfhf

R st

Figura 5.11 -Seção T com a linha neutra fictícia tangente à mesa (d = áo]

Na Figura 5.11, o equilíbrio do momento fletor solicitante de cálculo Md é

garantido por um binário resistente em que a resultante de compressão é

fornecida pela mesa comprimida de concreto, que compreende toda a espessura

da laje, hf. Dessa forma, pode-se obter a expressão para cálculo da altura útil

de comparação:

O d = *Sd

0,85fcdbfhf 2(5.25)

Obtido o valor da altura útil de comparação, d t sendo d a altura real da viga,

predefinida em função do projeto de arquitetura, pode-se verificar a posição da

linha neutra fictícia comparando esses dois valores, podendo ocorrer as situações

seguintes:

- Se d = d Q •*• y = hf: linha neutra fictícia tangente à mesa

• S e d> d •* y<h,: linha neutra fictícia dentro da mesao S f

• S e d< d •*• y > h,: linha neutra fictícia dentro da nervurao J f

Nas duas primeiras situações, a zona comprimida da seção será retangular,

enquanto, na terceira, a linha neutra fictícia estará situada dentro da nervura, com

a zona comprimida assumindo a forma de T.


5.7.4 Dimensionamento

1e caso: d^ d * y <>het J

J_

Figura 5.12 - Viga de seção T com a linha neutra fictícia dentro da mesa ( d k d o }

Com a linha neutra fictícia no interior da mesa, ou, no limite, tangente à face

inferior da mesa, a zona comprimida da seção é retangular. Dessa forma, o cálculo

pode ser feito como uma seção retangular de largura b. e altura h, visto que na

zonadetração, abaixo da linha neutra, apenas a armadura deve ser considerada

para fins de cálculo, uma vez que é desprezada a resistência do concreto à

tração. Dessa forma, serão usadas no cálculo as expressões seguintes, originadas

das anteriores (5.5) e (5.8);

M,Sd

d2 fccll *f«(5.26)

22 caso: d<d y>hf:

bf-

[y>»f ^%%^

-v-

Figura 5.13 - Viga de seção T com a linha neutra fictícia dentro da nervura (d<do


Nesse caso, estando a linha neutra fictícia dentro da nervura, a zona comprimida

de concreto tem a forma de T, como mostra a Figura 5. 13. 0 cálculo da armadura

será feito, então, dividindo-se o momento fletor de cálculo, Md, em duas parcelas,

como se segue:

a) M df '. momento fletor equilibrado na zona de compressão pelas áreas laterais

da mesa, com largura b .- b , e na zona tracionada por uma parte da

armadura de tração 4 ..

M,,fh/2 O « _ L _

b) Mdw = Md - Mdf : resistido pela seção retangular bw h, constituída pelo

concreto da nervura e garantindo o equilíbrio com uma

segunda parcela da armadura de tração, A .

Mdw = MS(I- Mdf O klíld = -*- O kt O Asw = - - (5.28)

V f cd âjyi

Dessa forma, a área da armadura total de tração será =Âtf+Âsw.

5.7.5 Comentários sobre o cálculo como seção T

a) No dimensionamento da viga como seção T, tanto no 1^ caso de cálculo

como para a nervura da viga no 2^ caso, o cálculo é feito como seção

retangular. Dessa forma, os limites para os coeficientes adímensionais,

descritos anteriormente neste capítulo, devem ser observados. No entanto,

caso ocorra k ,> k _„. , ou seja, caso esteja a seção no domínio 4 noma malim' J ' J s

ELU, deve-se evitaro dimensionamento de seçÕesTcom armadura dupla,

pois isso iria resultar em uma altura de viga bastante reduzida, implicando

uma diminuição da segurança adicional da estrutura, além da considerada

no cálculo. Nesse caso, as alternativas podem ser o aumento das dimensões

da viga ou a introdução de mudanças no lançamento estrutural.

CapituloS - Cálculo de'éfemeritos lineares à flexão pura 21 5

b) É bastante comum no dimensionamento como seção T, especialmente no

12 caso de cálculo, se encontrar valores para os coeficientes adínYensiõnais

abaixo do limite inferior da Tabela 5.2 (k < 0.167 ou k . < 0,088). Nesse\ * ma ' '

caso, aplicarn-se as mesmas disposições do item 5.5.3 deste capítulo, com

as taxas geométricas mínimas da Tabela 5-.1 sendo referidas à área de

concreto de toda a seção T, isto é, a alma acrescida da laje colaborante, ou

seja, À . —p ..Á com A —b h + (b,-b ) /?, . Notar que a tabelaJ ' smm r tmn c c w / » 7

distingue dois casos para o cálculo da armadura mínima: seção T com a

mesa toda comprimida (linha neutra na nervura:>» > hf) e seção T com mesa

tracionada (linha neutra na mesa:;; < hf).

c) Algumas normas proíbem o cálculo de vigas como seção T em vãos em que

exista carga concentrada. Outras permitem o cálculo desde que se reduza o

valor de b , com a aplicação de umfatorde redução (l -Mp/MT), em que Mp

é o momento da carga concentrada e MT o momento da carga total

(MORAES, 1982).Anorma brasileira não aborda essa questão.

d) Em seu item 18.3.7 -Armaduras de ligação mesa-alma ou talão-alma, a

NBR 6118 dispõe sobre a necessidade de colocação dessa armadura em

seções calculadas como T, na forma seguinte: "As armaduras de flexão da

laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas como parte da

armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se

necessário. Aseção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por

toda a largura útil e ancorada na alma, será de 1,5 cm2 por metro".


5.8 EXEMPLOS

5.8.1 Verificar o domínio em que pode ser efetuado o dimensiona-mento à flexão de uma seção retangular, com b w = 150mm e d = 400 mm, sujeita a um momento fletor de serviçoM = 50 kN.m. Admitir o concreto com resistência f ck = 20MPa e a armadura de aço CA-50, sendo a classe deagressividade ambiental da estrutura CAA I.

a) Parâmetros da seção transversal

Não tendo o enunciado estabelecido nenhuma condição específica, adotam-

se os valores usuais para os coeficientes de ponderação: -y, = 1,4 para o

momento solicitante; yc = 1,4 para o concreto e js = 1,15 para o aço.

Md =rf.M= 1,4 x 50 = 70 kN.m = 7x105 kgf.cm

f , = f 1/7 = 20/1,4 = 14,3 MPaJ ca J CK ' c ' '

f^ = 435 MPa -> da Tabela 3.3, do Capítulo 3,

Observações

*»» ATabela 5.3 apresenta as áreas de aço em cm2 e dimensões lineares em

cm. As unidades kgfe cm serão utilizadas nos exercícios, por facilidade,

para se obter as áreas em cm2, de uso mais frequente na prática.

*»* Para o cálculo de vigas, não se aplica o aumento de y queaNBRG118:

2003 exige para pilares com a menor dimensão da seção transversal inferior

a 19 cm,

b) Coeficientes adimensionais e domínio de dimensionamento

Da expressão (5.5), calcula-se o coeficiente do momento o k d — 0,204

Da expressão (5.7) ou da Tabela 5.2, obtém-se o k = 0,349

Para o aço CA-50, tem-se: h ... = Ot320 e k ,. = 0,6283 ' mcllim ' xlim '

Capitulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura 217

0,158 < k ,<k ... ou 0.259 < k < k ,. o portanto, o cálculo pode ser1 ma mahm ' x xlirn r ' r

feito com armadura simples no domínio 3, sendo a seção balanceada ou

subarmada.

c) Cálculo da armadura

Para k = 0,349 O k = l - 0,4 k = 0,860x ' z ' x '

A área de aço é obtida da expressão (5.8) o A = 4,68 cm2

Da Tabela 5.3, escolhem-se as áreas de aço mais próximas e imediatamente

superiores à calculada, obtendo-se as opções 40 12,5 ~ 4,91 cm2 ou

60 10 = 4,71 cm2. Sendo a classe de agressividade ambiental CÂA /, o

cobrimento mínimo de concreto para momentos positivos ê c =25 mm.r ~ nom

Para estribos de bitola 5,0 mm, a armadura em uma camada não é viável, por

ser insuficiente a largura da viga, restando as seguintes opções, ambas com

armadura em duas camadas:

(20+2$) 12,5 = 4,91 cm2 com bs - 4,5 cm

(30+30) 10 = 4,71 cm2 com bs = 7,0 cm

Dessas duas opções, obtêm-se os valores da distância do centro de gravidade

da armadura à borda mais tracionada, d}, 5,25 cm (0 = 12,5 mm) e 5,0 cm

(0= 10 mm), da expressão do item 5.5.2. Portanto, a altura total da seção,

h — d + dl, deve ser, no mínimo, de 45 cm.

5.8.2 No exercício anterior, verificar qual a máxima reduçãopossível na altura útil da seção para que a peça não sejasuperarmada.

Na expressão (5.10), entrando com o valor kd!ím = 1,768, do aço CA-50, tem-

se a altura útil mínima d = 31,9 cm. A redução possível é, portanto, de 8,1

cm. Para valores menores da altura útil da seção, a peça seria superarmada.


No entanto, se a seção estiver submetida, a momentos negativos, ou seja,

situada nas zonas de apoio, para garantir boas, condições.de dutilídade das

vigas, mesmo não sendo a seção superarmada, no domínio 4, deve-se observar

a disposição da NBR 6118 -> 14.6.4.3, que limita o valor máximo do coeficiente

dja linha neutra, Jç = 0,500. Da Tabela 5.2 obtém-se.^ ~ 1,917', resultando,

da expressão 5.9, uma altura útil de 34,6 cm.

5'.,8:.3 O diagrama; de momentos, fletores de uma viga contínua, deseção retangular constante, apresenta os valores, demomentos máximos positivo e negativo de 50 kN.m e 75kN.m, respectivamente. Sendo b}i = 15 cm; fck~ 25 MPa,dimensionar a: seção, sabendo, que, por razões de projeto,a altura total da viga não pode ultrapassar 4.0 cm. Calcularas armaduras das seções mais solicitadas, com o aço CA-50.

a) Definição da altura total h

Máximo momento de cálculo em módulo: M= y.M^ l,4x 75 105kN,m

(negativo)

f a ~fck /rc = 25/1,4 = 17,9 MPa; fyd = 435 MPa, da Tabela 3,3.

Para o aço CA-50, no caso de momento negativo, deve-se tomar Ã: < Q,5QQ}

ao qual corresponde kà = 1,917. Da expressão (5.10), obtém-se, então, a

altura útil mínima da seção do apoio para armadura simples, d —37,9 cm.

Admitindo o valor dl = 4 cm, resulta h - 41,9 cm, maior que a altura máxima

disponível 40 cm. Pode-se concluir, portanto, que na seção de máximo

momento negativo será necessária uma armadura de compressão, ou seja, a

seção do apoio deverá ser dimensionada com armadura dupla,

b) Cálculo da seção de máximo momento negativo

Para. h= 40 cm, com dl = 4 cm resulta d — 36 cm

Da expressão (5,5) o kmd - 0,301 < 0,425 o é possível o cálculo com

armadura dupla.


Das expressões (5.17) e (5.18), obtém-se;

MáJ = 0,272 bw d2fcd = 0,272 x 15 x 362 x 179 = 946.500 kgf.cm

Md2 = Md - Md} = 103.500 kgf.cm

Da expressão (5.19), com kz = 0,800, tem-seÁS} — 7,55 cm2.

Adotando-se para a armadura de compressão d2 — 3 cm, da expressão (5.20)

obtém-se:

Ás2 = 0,72 cm2;

Às = Asl -í- As2 = 8,27 cm2 o armadura de tração disposta junto à face

superiordaviga.

ATabela 5.3 fornece a área de aço mais próxima 3020 = 9,42 cm2 com

b = 10,0 cms '

Supondo o cobrimenío nominal de concreto c -25 mm e estribos de bitola 5,01 noni '

mm, a armadura em uma camada é inviável, pela largura insuficiente da viga.

Aérea mais próxima, com três barras, não é razoável em duas camadas. Podem-

se então adotaras seguintes opções, ambas com armadura em duas camadas:

3016 + 2072,5 = 8,48 cm2 ou (30 + 20) 16 = 10,05 cm2; ambas com

bs= 8,8 cm

É ainda necessário verificar a possibilidade de colocação da armadura em

duas camadas, tendo em vista a exigência da norma, da expressão (5.13), de

ser A £ 10% h . No caso presente, sendo A = 0 + a!2, tomando a ~2 cm

e bitola longitudinal 0=16 mm, tem-se:

A = 2,6 cm < 10% h = 4,0 cm, sendo a exigência atendida.

Para o cálculo da armadura de compressão da expressão (5.22), com

kx = 0,500, tem-se:

e' = 2,9296o > e. ._, O cr' . = / . = 435 MPasã ' yd, SOA sd J yd


Da expressão (5.21), tem-se Á* s~ 0,72 cm2 O 306,3 ~ 0,94 cm2 ou 20

8,0 = 1,01 cm2, barras dispostas na face inferior da viga.

c) Cálculo da armadura da seção de máximo momento positivo

Md = 1,4x50 = 70 kN.m

Admitindo a altura da viga constante, da expressão (5.5), obtém-se:

k =0,201 < k ... „. = 0,320 O Domínio 3. Na Tabela 5.2, obtém-semd ' mdlim, SOA ' '

kz = 0,864.

Da expressão (5.8), obtém-se Ás = 5,l 7cm2 O 3016 = 6,03 cm2: armadura

em uma camada, disposta junto à face inferior da viga.

Em resumo, as armaduras no apoio e no vão serão:

Momento máximo negativo de 75 kN.m: Ás = 3016 + 2012,5 e A''s = 20 8,0

Momento máximo positivo de 50 kN.m: As = 3016

Observação:

No Capítulo 7, será estudada a disposição ao longo da viga das barras

longitunais da armadura de flexão, positivas e negativas, com a finalidade de

cobrir o diagrama de momentos fletores e compatibilizaros cálculos à flexão

e força cortante.

5.8.4 Determinar o momento fletor resistente característico máxi-mo de uma seção transversal retangular 20 x 50 cm2, comuma armadura de flexão 40 16 (CA-50), concreto comresistência fck- 25 MPa e os coeficientes de segurança daNBR 6118.

a) Equilíbrio da seção

R =R , O b y a , = Â a ,cc si w' ca s sã


Supondo-se, inicialmente, estar a peça nos domínios 2 ou 3, a ruptura ocorreria

com o esmagamento do concreto e o escoamento do aço, donde:

b , 0,8x. 0,85 f =A f . O x = (Âf.)/(b . 0,68. f ,)w ' ' J ca s* yd v sJ ydJ v w ' J ca J

Com os dados do exercício presente, f^— 25/1,4 = 17,9 MPa; AS = 8,04 cm2

e adotando d} = 4 cm, tem-se:

x = (8,04 . 435)1(0,68 . 20 .17,9)^14,4 cm O k= x/d = 14,3/46 = 0,312

0,259 < kx < kxílm CA_30 = 0,628 O domínio 3 o suposição confirmada

b) Determinação do momento fletor característico resistente da seção

k = 0,312 O k = 0,875x ' z '

M,= k.dÂ f = 0,875 .46 .8,04. 4350 = 1.407.703 kgf.cm = 141 kN.md z s •* y d ' CJ

Mk =Md /rf = 141 / IA = 101 kN.m

c) Observação para o domínio 4

Caso na verificação do domínio, da alínea a) deste exercício, a seção

caísse no domínio 4, ou seja, fosse encontrado k > k n , a suposição

efetuada inicialmente não teria validade. Em consequência, o valor

encontrado para a profundidade da linha neutra, x , não seria correto, pois

a tensão o~ ,, no ELU no domínio 4, é inferior à resistência de escoamentosd> '

do aço. Nesse caso, na mesma equação de equilíbrio estabelecida, deve-

se entrar com a expressão genérica para a tensão do aço do trecho linear,

a d = E esd. A deformação do aço no ELU, exd, é relacionada com a

profundidade da linha neutra, por meio da expressão (5.1), da qual se obtém,

fazendo e ,= 3,5%o, o valor do coeficiente k que foi usado noca ' ' x ^

dimensionamento da seção. Desse coeficiente, obtêm-se k , analiticamente

ou da Tabela 5.2, e o momento resistente, como na alínea b) do exemplo

anterior.



5.9.1 Enunciados

1. Uma viga tem seção transversal retangular 20 x 50 cm2. Considerando a

estrutura na classe de agressividade ambiental fraca (CÂA I) e o concreto

com resistência fck= 20 MPa, determinar as armaduras de flexão para resistir

ao momento de serviço de 100 kN.m, para os aços CA-25, CA-50 e CA-60.

2. Determinar o momento fletor resistente característico de uma viga com seção

20 x 35 cm2, armadura de flexão 40 20 (CA-50), fck = 25 MPa, com os

coeficientes da NBR 6118.

3. Determinar os valores da altura útil e respectivas áreas da armadura de flexão,

de modo que uma seção retangular de largura b — 50 cm resista a um momento

fletor de serviço de 1.500 kN.m, para concreto com fc!c~25 MPa e aço CA-50,

para duas condições: a) uso mais racional dos materiais; b) seção normalmente

armada.

4. Dimensionara armadura de flexão de uma viga de seção retangular, 40 x 175

cm2, concreto comf^ = 30 MPa e aço CA-50, para um momento característi-

co M= 2.500 kN.m, supondo a classe de agressividade ambiental muito

forte (CAAIV).

5. A viga de seção retangular da Figura 5.14 (a) está sujeita às cargas g=25 kN/m

(permanente, incluindo peso próprio) e q = 15kN/m (variável, com comprimento

qualquer). Sendo a largura bw — 30 cm, fck=25MPa e aço CA-50, considerando

as situações mais desfavoráveis de carregamentos, pede-se:

a) a altura útil e correspondente armadura de flexão na seção central da víga,

para os limites dos domínios 2 e 3 (uso mais racional dos materiais) e dos

domínios 3 e 4;

b) as armaduras nas seções dos apoios para as duas alturas definidas no

item anterior.


6. Determinar a armadura de flexão de uma viga de seção retangular, dados:

M = 65 kN.m (positivo}, bw~ 12 cm, d ~ 40 cm,fck - 20 MPa, aço CA-50

e classe ambiental CAAIIL O que muda no exercício se o momento fletorfor

negativo?

7. Uma viga de seção retangular tem a altura útil d = 120 cm e a armadura

simples de flexão com área A — 15020(C/\-5Q). Sendo o momento fletor de

serviço 1.350 kN.m, calcular a profundidade da linha neutra, a largura e a

altura total da seção. Criticar o dimensionamento para o caso de ser o momen-

to negativo no apoio. Dados: classe ambiental CAA I e fck= 30 MPa.

8. Dimensionar a armadura de flexão de uma viga de seção retangular (20x 65

cm2), submetida a um momento fletor característico negativo de 380 kN.m,

sendo/ci= 40 MPa e aço CA-50.

9. Numa viga de ponte com agressividade ambiental muito forte, determinar a posição

da linha neutra e a armadura de flexão de uma seção retangular 30 x 120 cm2,

sob ação simultânea dos momentos fletores: M , = 1.000 kN.m; M ,- - 700* gk qk

kN.m; MA = -200 kN.m (em razão, por exemplo, da possibilidade de recalque

de apoio e/ou retração do concreto). Tomar o concreto com fck= 40 MPa e

aço CA-50.

10.Para uma seção retangular 50x 140 cm2, sendo a classe de agressividade

ambiental forte,/^= 30 MPa e a armadura de flexão As- 16020 (CA-50),

determinar o máximo momento de serviço que a seção resiste.

11. Dimensionar as armaduras de flexão das seções mais solicitadas de uma

viga engastada-apoiada de vão 12 jn, sujeita a uma carga total de 15 kN/rn,

com as dimensões da nervura central mostrada na Figura 5.14 (b), sendo

/ck = 30 MPa e aço CA-50.

12. Dimensionar a seção mais solicitada de viga engastada-apoiada, com vão de

15 me a seção da nervura central mostrada na Figura 5.14 (c), para aço

CA-50 e fck = 25 MPa. Além do seu peso próprio, a viga estará sujeita às


cargas atuantes na laje, assim discriminadas: cargas permanentes de 140

kgf/m2, em virtude do acabamento de piso e peso de forro/luminárias, e uma

carga variável de utilização de 1000 kgf/m2.

13.Uma viga biapoiada com a seção da nervura central da Figura 5.14 (d) tem

vão de 6,5 m e está sujeita a uma carga total de serviço de 6,0 kN/m. Deter-

minar a armadura de flexão para o aço CA-50, fck-25 MPa e classe ambiental

CAAIII.

14. Para uma viga contínua de três vãos iguais de 5/77, com seção transversal

da Figura 5.14 (e), calcular a armadura de flexão da seção central do vão

central, submetida a um momento positivo de 320 kN.m. Dados: /dfc= 20

MPa e CA-50.

q (comprimento variável)T _ T Í Í Í _ t

T T T T T T T T T T T T T TSm ,„ 2m^,w 2m^

(a) - Exercício 5

h f =10cm

JOOcm pg

300CAÍÍ ,_

25 25(c) - Exercício 12

(e) - Exercício 14

25

h f =8cm

IQQcm \ x xJOOcm

75 15(b) - Exercício 1 1

h f— Semw ( í

.u:/£s y^TT

50cm 50cm

h f =12cm

25

75

:ir72 72

(d ) - Exercício 13

Figura 5.14- Figuras dos exercícios de auto-avaliação do Capítulo 5



1. Ver o roteiro do exemplo 5.8.1. Lembrar que o aço CA-60 só é fornecido em

bitolas até 10 mm,

2. Ver exemplo 5.8.4.

3. Na condição a), a altura útil é obtida da expressão (5.9), tomando o coeficiente

kd = 2,517, no limite dos domínios 2-3 do ELU, da Tabela 5.2. A condição b)

implica o dimensionamento no limite dos domínios 3-4, com kállm —1,768, do

aço CA-50.

4. Pelo valor elevado do momento, mesmo com a seção de concreto tendo di-

mensões compatíveis, é provável que a armadura de tração exija a disposição

das barras em mais de uma camada. Nadasse CAAIV, com o cobrimento de

concreto de 50 mm (Tabela 4.2 - Capítulo 4) e supondo duas camadas de

barras longitudinais de bitola até 25 mm e estribos até 10 mm, é razoável

tomar, de início, dl = 10 cm. Calcula-se a área da armadura como no exemplo

5.8.1, determinam-se o número e a bitola das barras da Tabela 5.3 e verifica-se

o número de camadas, conforme o item anterior 5.5.2.

5. Na pergunta a), o carregamento mais desfavorável para a seção central da viga

ocorre com a carga variável aplicada apenas no vão central de 8,0 m e, obvia-

mente, a carga permanente em toda a sua extensão. Para cálculo das duas

alturas e respectivas armaduras, o uso mais racional dos materiais corresponde

aos coeficientes no limite dos domínios 2 e 3 e a seção normalmente armada

ao limite dos domínios 3 e 4. Na pergunta b), o carregamento mais desfavorável

para os apoios vai ocorrer com a carga variável aplicada somente nos balanços

de 2,0 m, com a carga permanente em toda a viga.

6. A classe CAA 111 exige o cobrimento mínimo de concreto de 40 mm (Tabela 4.2

- Capítulo 4), de cada lado da viga. Considerando estribos de bitola 5 mm, com

b — 12 cm, a largura interna disponível para acomodar as barras de tração é

2.26 João Carlos Teatini de Souza Climaco

de apenas 3 cm, insuficiente para permitir o espaçamento mínimo de norma

entre duas barras, de 2 cm. Portanto, a primeira ação é aumentar a largura

para 15 cm, para permitir o uso de bitolas longitudinais de até 20 mm.

O cobrimento de 40 mm vai exigir dl > 5,5 cm para uma das camadas de

barras longitudinais de bitola até 20 mm e estribos 5 777777. Por ser a altura

reduzida, no cálculo da armadura pode ser necessário o emprego de armadura

dupla. Para o momento fletor negativo, o limite do coeficiente do momento, k d

, passa a ser de, no máximo, 0272, para garantir a dutiiidade da peça, confor-

me a alínea e) do item 5.4.4. No caso de armadura dupla, o mesmo valor é

exigido na parcela do momento resistido pelo concreto à compressão. Confor-

me descreve o segundo parágrafo do item 5.5.2, a norma permite um cobrimento

de 1 5 mm para as armaduras negativas, se houver argamassa de contrapiso e

revestimento final seco. Para a armadura em uma camada nas condições aci-

ma, resultaria d} = 3, 0 cm, com um valor da altura útil mais favorável, na situ-

ação em que isso é mais necessário.

7. Supondo a seção em um dos domínios 2 ou 3, calcula-se o coeficiente kz pelo

equilíbrio de momentos fletores na seção com o binário à tração. Da Tabela

5.2, verifica-se a validade da suposição e obtêm-se k , k d e a profundidade da

linha neutra, x = kx . d. Calcula-se a largura bw do equilíbrio de momentos

fletores com o binário à compressão. Com essa largura, determina-se a altura

total da seção, h, após verificar o número de camadas para as barras da arma-

dura dada.

8. Não sendo explicitado no enunciado, supor a classe de agressividade fraca,

CAA 1. Sendo o momento negativo e a resistência do concreto superior a 55

MPa, conforme o exposto na alínea e), do item 5.4.4, a norma impõe o limite

kmd = 0,228, para garantir a dutiiidade da seção com armadura simples;

caso não seja atendido, deve-se efetuar o cálculo com armadura dupla.

9. Obter os momentos de cálculo da expressão (3.10), do Capítulo 3. 0 coeficiente

Yo da Tabela 3. 2 pode assumir os valores 1,4 e 1,0. Com r =1,4 e r =1,2g ' ' ' q ' ' E '

resultam momentos de sinais contrários, para os quais devem ser calculadas


armaduras distintas. A seção deve resistir ao momento isolado da carga

permanente,

10, Ver exemplo 5,8,4. Analisar o número de camadas da armadura de flexão para

determinar aalturaútjl,

1-1. Obter os momentos fletores máximos, negativo e positivo, do diagrama res-

pectivo da Tabela 8,5 - Capítulo 8. No dimensionamento, deve-se analisar

primeiro a seção do momento negativo, de valor superior ao positivo, lem-

brando que não se aplica a opção do cálculo como seção T, pois a laje

superior será tracionada pelo momento. A seção do máximo momento positi-

vo pode ser calculada como T; com a altura da viga constante, haverá folga

nessa seção, devendo ser verificada a armadura mínima, da Tabela 5.1.

12.A viga central recebe as cargas das lajes a partir da metade da distância entre

nervuras, ou seja, a 1,50 m de cada face lateral; portanto, a largura de influên-

cia sobre o eixo da viga, de 3,2$ w, multiplicada pelas parcelas dadas, perma-

nente e variável, forne. çe a. ga.rgg uniforme por unidade de comprimento da viga.

Para estimar o pesg próprio por metro na viga central, maltiplica-se pelo peso

específico do concreto g soma. das áreas laterais, 3,0 mx 0,10 mt com a área

da viga., ftJ5 77? x 0,9$ w. Para o cálculo como seção T, a largura da laje

çolaborante, b, =? b w -H 2b}, é obtida da primeira desigualdade da expressão

(5.24), com b j - QJa - 0,1, (0,75 x 1530) = 1,13 m (momento em uma só

extremidade), que prevalece sobre 0,5 b2 = 0,5 x 3,0 ~ 1,5 m.

13.Da mesma forma que no exercício 6, a largura dada é insuficiente para a

classe CAA III, que exige o cobrimento mínimo de 40 mm. Portanto, deve-

se aumentar a largura para 15 cm, no mínimo. Feito o cálculo como se-

ção T, se for necessária mais de uma camada para a armadura de tração,

pode haver problema com o limite da expressão (5.13), por insuficiência

na altura da viga. A largura da laje colaborante é obtida como no exercício

12, prevalecendo o menor dos limites na expressão (5.24):

b, = 0,5b2 = 25cm.

228 João Carlos Teatinf de Souza Clímaco

14.A largura da laje colaborante, bf = bw + 2bj,è semelhante ao exercício 12,

prevalecendo na primeira desigualdade da expressão (5.24) o termo 6 = 0,1a -

0,1.(0,6 x 5,0) = 0,30 m (tramo com momento nas duas extremidades), sobre

0,5 b 2- 0,5x10,0 = 5,0 m. O restante é similar ao exercício 13.

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230 João C

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CÁLCULO DE ELEMENTOSLINEARES À FORÇA CORTANTE

ObjetivosDistribuição das tensõestangenciais na seçãoDimensionamento à forçacortante pelo modelo datreliça de MõrschPrescrições daNBR 6118: 2003Compatibilização doscálculos à flexão e à forçacortanteExemplos"""" """ — - - -Auto-avaliação

Cálculo de elementos lineares à forçacortante

6.1 OBJETIVOS

Conceito: dá-se o nome "císalhamento na flexão" à solicitação origi-

nada da atuação conjunta de forças cortantes e momentos fletores,

para a qual deve serdimensionada uma armadura específica, trans-

versal ao eixo do elemento estrutural.

Conforme descrito no item 5.1, do Capítulo 5, o dimensionamento da armadura

de flexão para vigas de concreto armado com esbeltez l/h > 3 é realizado

considerando o efeito isolado dos momentos fletores, ou seja, como flexão

pura. Neste capítulo, vai ser abordado o cálculo da armadura transversal para o

combate ao cisalhamento associado à força cortante, considerando seu efeito

isolado, após conhecida a armadura de flexão. As disposições de detalhamento

da norma NBR 6118: 2003, para compatibilização das armaduras longitudinal e

transversal e para resistir à ação conjunta momento fletor-força cortante, são

também apresentadas.

Pretende-se que este capítulo contribua para os seguintes objetivos:

a) Entendimento da finalidade e das formas de disposição da armadura transversal

em vigas de concreto armado.

b) Modos de ruptura ao cisalhamento na flexão.

c) Procedimentos para o cálculo da armadura transversal.

d) Prescrições da NBR 6118: 2003 sobre dimensões da seção transversal,

espaçamento e taxas da armadura transversal constituída por estribos.


e) Disposições do detalhamento para compatibilizar as armaduras longitudinal e

transversal.

6.2 DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS NA SEÇÃO

6.2.1 Peça de concreto não fissurada

Em uma peça estrutural submetida à carga distribuída qt contida em seu plano

médio, o equilíbrio de um elemento longitudinal de comprimento dx (Figura 6.1 , a

seguir), limitado por duas seções transversais paralelas, com a atuação conjunta

de momentos fletores (M) e forças cortantes (V), é estabelecido pelas expres-

sões seguintes:

Z7 = O => V- qdx - (K+ dV) = O *> q=- dV/ch

£M0=0 O M+ V(dx/2) = (M -t- dM) - (7+ dV} dx / 2 = O O F« dM/dx

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V = dM/dx

(6.1)

(6.2)

Figura 6.1 - Equilíbrio de um elemento submetido à flexão simples

As expressões (6.1) e (6.2) relacionam, em cada seção, a ordenada de carga

com o momento fletor e a força cortante. Elas são indispensáveis à construção

dos diagramas desses esforços: nas seções de momento fletor máximo, a força

cortante é nula, e nas seções sob carga concentrada, o diagrama de momentos

fletores apresenta duas inclinações diferentes, ou seja, um ponto anguloso, e o

s cortantes ua descontinuidade.de forças cortantes, uma descontinuidade.

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante 23 5

Em se tratando de uma peça de concreto armado ainda não fissurada, no regime

elástico, ou seja, no estádio l, definido no item 5.2 do Capítulo 5, as tensões

normais (O) e tangenciais ou de cisalhamento (T) em cada seção são dadas

pelas expressões (6,3), da mecânica dos sólidos:

, M yI

r =bl

(6.3)

onde:

J : momento de inércia da seção total em relação à linha neutra;

b : largura da seção na ordenada "y" em relação à linha neutra;

S,: momento estático em relação à linha neutra da área acima de "y.

A Figura 6.2 mostra as trajetórías das tensões principais de uma viga biapoiada,

na fase elástica, com cargas concentradas simétricas. As trajetórias são linhas

em que as tangentes em cada um de seus pontos fornecem as direções das

tensões principais de compressão e de tração nesse ponto. À direita da figura,

são representadas as distribuições das tensões normais (<J) e tangenciais (T)

ao longo da altura da seção. Essas tensões apresentam variação oposta: nas

fibras em que a tensão normal é máxima, a tangencial é mínima, e vice-versa.

Trcijeíórías de tensõesprincipais:

[raçãocompressão

Tensões na seçãoSeção Nonnals Tangenciais

transversal O" T" - " a ã

[—7

Figura 6.2 -Trajetória das tensões principais em peça não fissurada sob flexão simples

Para uma seção transversal retangularè;*:/?, as tensões máximas assumem os

valores:

M/7/2 M M _ ~,a = - = - = — O nas noras extremasb h3/ 12 b h2/ 6 W

nalínhaneutra

bl b.W/12 2bh


6.2.2 Peça de concreto armado no estado limite último

Com a peça de concreto armado passando ao estádio II, jáfissuradamascom o

concreto comprimido na fase elástica, a resistência do concreto à tração é

desprezada, admitindo-se que todas as tensões de tração sejam absorvidas peio

aço. Com o aumento de cargas, atingindo-se o ELU em qualquer ponto entre a

linha neutra e a armadura tracionada^ , na obtenção da tensão tangencial só se

considera o momento estático da armadura, tomada como uma área de concreto

equivalente, por meio dos módulos de elasticidade (E /E ) A . Admitindo

constante a largura da seção transversal, a tensão tangencial da expressão (6.3)

é também constante entre a linha neutra e a armadura, sem considerar a região

tracionada de concreto.

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Figura 6.3 — Distribuições de tensões normais e tangenciais na seção no ELU

Considerando um elemento longitudinal de uma peça de concreto armado de

largura b e comprimento infinitesimal dx, compreendido entre duas seções

paralelas aã e a'a'e submetido a momento fletor e força cortante, a distribuição

de tensões normais no estado limite último é mostrada na Figura 6.4. Estando

a peça em equilíbrio, destacando-se um trecho desse elemento dx por um

piano paralelo ao eixo longitudinal, ele deve estar também em equilíbrio.

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante 237

°cd a dx

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Figura 6.4 - Equilíbrio de um elemento de peça sob flexão simples no ELU

O equilíbrio do elemento vai ser garantido pelas tensões tangenciais, id, contidas

no plano de corte e distribuídas na largura b e cuja resultante Tdb dx deve ser

igual à diferença das resultantes das tensões normais Rs e Rs+dRs nas faces

aã e a 'a', respectivamente:

ZX = O dRs =rdbwdx T =

Admitindo ser o braço de alavanca z constante em toda a extensão da peça, no

ELU, o que é bem próximo da realidade em elementos de altura constante, da

expressão (6,2) tem-se:

dRs _ d(MSd/z) _ dMsd i _ Vsd

z zdx. dx

Assim, com b ~ constante, a tensão tangencial máxima na seção, da Figura

6.3, será também constante na zona tracionada, abaixo da linha neutra. Para

maior simplicidade de cálculo e a favor da segurança, pode-se considerar essa

tensão máxima constante na altura de seção, que, das duas expressões

anteriores, será dada por:

ilmax(6.4)

2.38 João Carlos Teatini de Souza Clímaco

É uma simplificação corrente e prática para as formulações de cálculo, adotada

em normas de vários países, tomar para o braço de alavanca das resultantes de

compressão no concreto e de tração no aço na seção um valor constante no

ELU, tomado como a média aproximada dos coeficientes k da Tabela 5.1, do

Capítulo 5, na forma seguinte:

z = 0,9 d (6.5)

6.2.3 Peças com altura variável

Seja um elemento linear de concreto armado, submetido à flexão simples e com

a altura variável, de um ângulo p, acompanhando o aumento do diagrama de

momentos fletores, como mostra a Figura 6.5. A resultante das tensões de tração

na armadura, Rs, pode ser projetada na horizontal, Rsh, dando origem a uma

componente vertical, R , que se opõe à força cortante Kê vai resultarem uma

redução nessa força, Vsdreá,

Figura 6.5 - Equilíbrio da seção de peça de altura variável sob flexão símpfes

A força cortante total na seção, Vsdioi, pode ser então obtida na forma seguinte:

^Sd

y = y -r Sa,tot .«/

'Sd ;P (6.6)

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante 23:9

Da análise da expressão (6.6), conforme seja estabelecida a variação da altura

da peça com relação ao diagrama de momentos fletores, pode-se deduzir que:

a) Se o momento fletor MScl e a altura útil d forem ambos crescentes ou

decrescentes no mesmo sentido, em valor absoluto, como no exemplo da

Figura 6.5 e na expressão (6.6), tem-se uma redução favorável na força

cortante com a variação da altura. É o caso das vigas com as formas da

Figura 6.6 (a).

b) Se Msd é crescente e d é decrescente, em valores absolutos, ou vice-versa,

o sinal será positivo na expressão (6.6) É um efeito prejudicial, porque resulta

em aumento da força cortante com a variação da altura, como na viga da

Figura 6.6 (b). No entanto, em viga com mesma.forma e biengastada, em vez

de biapoiada, a variação de altura seria positiva.

b)

Figura 6.6 - Vigas de altura variável

6.2.4 Dimensionamento de peças de concreto armado ao cisalha-mento na flexão

Para vigas com largura constante ou de secãoT com nervura de largura constante,

situações mais comuns na prática, as tensões principais de tração e de

compressão têm as trajetórias mostradas na Figura 6.2, na fase elástica. Em

cada ponto, essas tensões são perpendiculares entre si e com inclinação variável

em relação ao eixo da peça. Caso não haja armadura disposta de forma

conveniente, podem surgir fissuras no concreto, na direção perpendicular às

tensões principais de tração, ao ser atingida a resistência à tração do material.

240 João Carlos Teatini de Souza Clírnaco

Dessa forma, as eventuais fissuras de cortante-flexão em peças de concreto

vão ter a direção aproximada da trajetória das tensões de compressão, ou seja,

as linhas tracejadas da Figura 6.2.

Conforme descrito no item 6.2.3, com a largura constante da seção e

desprezando a resistência do concreto na região tracionada, após a fissuração,

a tensão tangencial é constante entre a linha neutra e a armadura longitudinal

de tração, assumindo o valor da expressão (6.4). Caso a seção tenha variação

de largura, a distribuição de tensões tangenciais também varia, como mostra a

Figura 6.7 (a), para uma seção em forma de T.

O estado de tensões no eixo neutro da peça, considerando um elemento

infinitesimal com as faces paralelas e perpendiculares ao eixo, mostrado na Figura

6.7 (b), caracteriza-se pela presença apenas de tensões tangenciais nessas

faces, o que é denominado "estado de cisalhamento puro". As tensões principais

de tração, a , e de compressão, <72, em módulo, são: <J: = &2 = tf Essas

tensões têm inclinação de 45°com o eixo neutro; portanto, esse será o ângulo

aproximado de eventuais fissuras de cortante no eixo da peça.

~~

d_

,

L

L*••

\y-^ ,

rrfFissuras de cisalhamento na flexão

bwa) Distribuição de tensões tangenciais na seção T cr2 =-i

b) Estado de cisalhamento puro

Figura 6.7 - Distribuição de tensões tangenciais na seção T e fissuras da força cortante


Dessa forma, o dimensionamento de uma peça de concreto à força cortante

envolve, sempre, duas etapas:

<* Verificação das "diagonais" ou "bielas" comprimidas quanto ao esmagamento

do concreto pela ação das tensões de compressão <JT

<* Dimensionamento da armadura transversa! de combate ao cisalhamento na

flexão, para absorver as tensões de tração cj;. Essas tensões inclinadas

cortam o plano neutro da peça (plano que contém o eixo neutro e um dos

eixos principais da seção transversal) a um ângulo de 45°, aproximadamente.

A armadura transversal pode ser constituída por estribos, a 90° ou inclinados,

ou por barras da armadura de flexão, dobradas a partir das seções em que

são dispensadas no combate ao momento fletor. Na prática, é mais comum

o uso de estribos a 90°, por facilidade de execução.

Do exposto, conclui-se que não existe a ruptura do tipo "corte" ou cisalhamento

típico em peças de concreto. Na realidade, a ruptura pela ação combinada da

força cortante e do momento fletor ocorre com o esgotamento da resistência do

concreto das diagonais comprimidas ou pelo escoamento do aço da armadura

transversal.

O mecanismo resistente de elementos de concreto armado ao cisalhamento na

flexão é complexo e envolve diversas variáveis, entre elas: resistência do concreto

e do aço, disposição das armaduras, modo de atuação e posição das cargas em

relação aos apoios.

A Figura 6.8, a seguir, mostra esquematicamente os diferentes modos de ruptura

por cisalhamento em vigas de concreto armado. Dos dois modos da Figura 6.8

a), a ruptura no caso de estribos com espaçamento excessivo é brusca e sem

aviso, pois as fissuras não são "costuradas" por nenhuma barra transversal. Da

Figura 6.8 b), a ruptura por esmagamento do concreto da biela comprimida ocorre

também sem aviso, em região próximo ao apoio, antes de escoarem os estribos.

242. João Carlos Teatiní' de SoUza'Clímaco

estribos com espaçamento excessivo nptura por compressão diagonal:tírm adura transversal ele vá da

armadura transversal insuficiente:escoamento dos estribos

riiptitrapor esmagamento de biela:armadura transversal excessivae/ou seção de concreto insuficiente

a) Ruptura porcísaíhamehto-traçãoou tração diagonal

b') 'Rupturas por ci$'a:lhametito'co'mpressãoou compressão diagonal

Figura 6.8 - Modos de ruptura por cisalhamento na flexão em vigas de concreto armado

6.3 DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE PELO MODELO DATRELIÇA DE MÕRSCH

6.3.1 Introdução

Os pesquisadores alemães Rittèr e Mõrsch idealizaram um modelo para explicar

a resistência de uma viga de concreto armado, após a fissuráção, no qual a viga

tem um funcionamento análogo a uma treliça, sendo o banzo superior constituído

pelo concreto comprimido na flexão, o banzo inferior peia armadura longitudinal

de tração, as diagonais tracionadas pela armadura transversal e as diagonais

comprimidas por bielas de concreto inclinadas. Esse modelo, mostrado na Figura

6.9, foi exaustivamente testado por Mõrsch, no início do século XX, sendo

considerado uma das maiores contribuições ao estudo das estruturas de concreto.

Ainda hoje, com algumas adaptações, é a base para dimensionamento ao

cisalhamento na flexão de peças de concreto armado.


Banzo deconcreto

Diagonal comprimida comprímldo /de concreto (biela) rf /\ da biela:

a-zsenQ(cot6 + cota)

Diagonal(racionada

Banzo de aço (racionado ' e = z (cota -i- cot9) '

Figura 6.9 - Modelo de funcionamento de uma viga deconcreto segundo a trelíça de Mõrsch

Os elementos do modelo da treliça de Mõrsch podem ser assim descritos:

a) D/agoA?a/s frac/onadas (armadura transversal)

São constituídas por barras de aço transversais ao eixo da peça, a 90° ou

inclinadas. Para fins do modelo, todas as barras compreendidas en.tre dois

nós consecutivos da íreliça são supostas concentradas e.m uma diagonal. Na

Figura 6.9, tem-se:

^ CC= ângulo de inclinação das barras com o eixo da peça: 45° <, a<, 90°

»/ para estribos a 90°: a= 90°

*^ para barras da armadura principal, dobradas para combater a força

cortante, o ângulo mais usual é a= 45°

w- e —z (cotO.+ cota) = distância entre dois nós consecutivos da treliça.

b) D/ago/?a/s comprimidas (bielas de compressão de concreto)

Na proposta original da treliça de Mõrsch, as diagonais comprimidas teriam a

inclinação de 45°com o eixo da peça, no nível da linha neutra, coerentemente

com a trajetória,das tensões principais de compressão daFigura 6.2. Entretanto,

resultados de ensaios mostram que as armaduras transversais calculadas

segundo essa hipótese resultam superdimensionadas, isto é, a adoção de

244 João Cactos Teatini de Souza Clímaco

diagonais comprimidas inclinadas de um ângulo inferior a 45° produz maior

economia na armadura transversal de tração. Na Figura 6.9, tem-se:

*•• 9 = ângulo de inclinação das diagonais comprimidas em relação ao eixo

longitudinal;

w- a = zsenO(cot9 + cota) = largura cja diagonal pprnprjrnjda.;

^ b .a = área comprimida da diagonal na seção retangular.

A norma NBR 6118: 2003, item 17.4, admite para os elementos lineares dois

modelos de cálculo "que pressupõem a analogia com modelo em treliça, de banzos

paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos

no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional

Yc". Essa componente é definida pela norma, no item 17.1, como a "parcelada

força cortante resistida por mecanismos complementares ao modelo em treliça".

Trata-se, então, de uma parcela de correção que vem reduzir a armadura

transversal, visto que o cálculo pela proposta de Mõrsch, com o ângulo 6 = 45°,

resulta conservador. Os dois modelos de cálculo da norma são (itens 17.4.2.2 e

17.4.2.3):

<* Modelo l : diagonais comprimidas com inclinação @.= 45°.

*> Modelo II: diagonais comprimidas com inclinação 30°< 9< 45°.

As normas internacionais adotam procedimentos similares. O Código Modelo

MC-90 da Federação Internacional do Concreto (FIB) é um pouco mais arrojado

com relação à inclinação das diagonais comprimidas, ao estabelecer o limite

e z J8°.

Nesta publicação, é apresentado somente o Modelo II, em que o ângulo #da

diagonal de compressão com o eixo longitudinal do elemento varia livremente no

intervalo 30°^ O < 45°. Esse modelo é mais geral e compatível com a tendência

internacional das normas. Inclinações menores reduzem a armadura transversal

e aumentam a compressão na biela, com a parcela V sendo reduzida em função

do aumento da força cortante solicitante de cálculo, V ,.

Capítulo 6 - Cátcuto de elementos lineares à força cortante 245

6;3.2 Verificação das bielas comprimidas de concreto quanto aoesmagamento

A análise datreliça da Figura 6.9 pode ser feita pelo método de Ritter, tomando-

se uma seçãoSque corte uma diagonal comprimida, como na Figura 6.10.

/ \ \ \ \

/ \/ \

/ \

/ Ax>A

/rT

1

K

Fc

Msd

Stf

RS

z

Figura 6.10- Equilíbrio da treliça de Mõrsch comuma seção que corte uma diagonal comprimida

Do equilíbrio na direção vertical da Figura 6.10, tomando a biela com largura

a dada na Figura 6.9 e o braço de alavanca z das resultantes nos banzos

comprimido e tracionado, da expressão (6.5), tem-se:

F = com F = b a a ,c w ca

acd=VSí}/(bwasen9) ~ Vsd/\b wsen6. zsen9(cot9 + cota)]

Sd

0,9 bwd Sen26(cotO+cota) (6.7)

Da expressão (6.7), a tensão de compressão de cálculo na biela de concreto

depende do ângulo arda armadura transversal com o eixo longitudinal da peça.

Para estribos a 90° com o eixo, a tensão de compressão na diagonal de

concreto é o dobro daquela para estribos inclinados a 45°, como se pode ver

dos valores abaixo, referidos ao ângulo de inclinação da biela de concreto

comprimida Q— 45° e à tensão tangencial T , da expressão (6.4):


• Armadura transversal composta apenas por estribos a 90°:

(a = 90°) O cr =2 T,^ J ca a

• Armadura transversal composta apenas por estribos a 45°:

(a = 45') O acd=*d

A tensão máxima de compressão na biela é limitada pelo valor 0,60 f c(}, pois

comprova-se de resultados experimentais que, estando fissurado, o concreto

da diagonal comprimida, o esmagamento ocorre para tensões de compressão

inferiores ao limite 0,85 f^ adotado como limite do banzo comprimido pela

flexão. A NBR 6118: 2003, como outras normas, prescreve um processo

simplificado de verificação. A seguir, é apresentado o Modelo II da norma, mais

geral.

<* Verificação da compressão diagonal do concreto pelo Modelo II da NBR

6118:2003

A resistência do elemento estrutural quanto à diagonal comprimida do concreto,

pela NBR 6118, item 17.4.2.3, é considerada satisfatória numa determinada

seção transversal quando se verifica a seguinte condição:

Vsd * VM2 (6.8)

onde:

Vsd = força cortante solicitante de cálculo '(Vsd = 7, F );

VRd2 - força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por esmagamento

das diagonais comprimidas de concreto, dada por;

k, =0,54a7f,b d sen2 è (cot a + cot 8) (é.S)Rd2 * v2J ca w ^ y * '

com av2 dado pela expressão (6.9) é tabela 6.1, ã seguir:

av2 = ti -fck/25°} e /«k em MPa . (G-1 °)


Tabela 6.1 - Valores do coeficiente a ^ para verificação das diagonais de concreto

/0-v2

f*(MPa)

20

0,92

25

0,90

30

0,88

35

0,86

40

0,84

45

0,82

50

0,80

n

cc&(/

Pode-se notar que a expressão (6.9), a menos do coeficiente av2 , é obtida

da expressão (6.7) fazendo a tensão máxima de compressão na biela igual a

0,60 fc(!, A justificativa desse coeficiente é uma precaução adicional quanto

ao risco de ruptura por esmagamento da biela, particularmente desastrosa,

no caso de concretos de resistência mais elevada.

Para estribos a 90°, caso mais comum na prática, tem-se da expressão (6.9):

= °^7a J ,b dsén2Q (6.11)J v2J ca w ^ J

6.3.3 Cálculo da armadura transversal

6.3.3.1 Cálculo peia iréliça de Mõrsch

Na Figura 6.11 , para a seção "S" cortando uma diagonal tracionada da treliça, as

barras transversais, bom espaçamento s, resistem a uma força por unidade de

comprimento do eixo da peça igual a (Á A)a . A resultante das forças de

tração nas barras no trecho entre dois nós consecutivos será (Áâê/s, que

deve equilibrar a componente vertical da força cortante V sd\ T/- /

Pt = Vsd/sena = '(cot O + cot a)S - . - L

onde:

A /s = área por unidade de comprimento do eixo longitudinal da peça de todas

as barras dá armadura transversal (ramos de estribos ou barras dobradas)

que cortam o plano neutro;


cr = tensão de tração de cálculo na armadura transversal no estado limiteJ1TO y

último.

e — z (cota + coto)

JR.

Figura 6.11 — Equilíbrio da treliça de Mõrsch com uma seçãocortando uma diagonal tracionada

Da expressão anterior, a área da armadura transversal por unidade de comprimento

do eixo da peça será:

Sd J l,^ sen a (cot9 + cota) Q,9d a^ seno. (cotQ + cota)

Essa expressão é genérica para o dimensionamento da armadura transversal.

ANBR6118: 2003 optou por apresentar dois modelos de cálculo, introduzindo

a parcela F, que considera a contribuição na força cortante resistente de

mecanismos complementares à treliça de Mõrsch, entre eles: a resistência ao

deslizamento nas duas faces de uma fissura inclinada fornecida pelo

engrenamento e pelo atrito dos agregados (aggregate interlock) e o efeito de

pino ou rebite da armadura longitudinal de flexão que cruza essa fissura (dowel

action}. Neste trabalho (item seguinte), decidiu-se por apresentar apenas o

Modelo de Cálculo II, mais genérico. Na realidade, o Modelo l pode ser

considerado um caso particulardo II, fazendo 9-45°. Para valores de Vsd£ Vc

do Modelo l, as armaduras calculadas pelos dois modelos são iguais.


Ó..3.3..2 Cálculo da armadura transversal pelo Modelo de Cálculo l! da NBR6118: 2003

Pela norma, em caráter geral, para elementos lineares, a armadura transversal

de combate à força cortante deve atender:

^ NBR 6118-*-17.4.1.1.3: "A armadura transversal (A ) pode ser constituída

por estribos (fechados na região de apoio das diagonais, envolvendo a armadura

longitudinal) ou pela composição de estribos e barras dobradas; entretanto,

quando forem utilizadas barras dobradas, estas não devem suportar mais do

que 60% do esforço total resistido pela armadura".

^ NBR 6118-* 17.4.1.1.5: "O ângulo de inclinação, das armaduras transversais

em relação ao eixo longitudinal, dp elemento estrutural deve estar situado no

intervalo 45° < a< 90°".

De. acordo, com Q Modelo N da NBR 6118: 2003 (item 17.4.2.3), a resistência do

elemento estrutural quanto à armadura transversal é considerada satisfatória, se

verificada a seguinte condição:

V.,Z V=V + F (6.13)Sá Ra3 c sw \

ou:

V z V,,- V (6.14)sw Sá c * '

onde:

VRd3 = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína portração diagonal;

V - parcela da força cortante absorvida pela armadura transversal, dada por:

V =(A /s) 0,9 d f , (cot a + cot 0) sen a (6.15)sw ^ sw J * J ywa ^ ' * '

com f , = tensão na armadura transversal, limitada ao valor/, no caso deJ y\d ' -J yd

estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se

tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435


V = parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares à

treliça, sendo:

V —Vc}: na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando

a seção, com:

na

expressão (6.16), a seguir;

^ ^cj = O quando Vsd = VKd2, interpolan,do-se

linearmente para valores intermediários ^> 7 2

das expressões (6.9) e (6.11).

Em outros casos, tem-se:

7=0: elementos estruturais tracionados com a linha neutra situada fora dac

seção;

7 = V . (1+ M. /Mw . ) < 2V , : na flexocompressão.c cl \ Sd,max' c] r

Segundo esse modelo, a variação da parcela complementar da força cortante na

flexão simples, 7c = 7 ;1 pode ser representada graficamente pela figura seguinte:

Figura 6.12-Variação da parcela V com a força cortante de cálculo

Capítulo "6- Cálculo de •erémejífoy lineares à Torça cortante 25 T

A norma define (item 17.1) a força VcQ como-o valorde refèrência~de F para 9=

45°', dado, no item 17.4.2.2.(b), em função da resistência à traça o do concreto:

V n = °>6f ,„*> d (6-16)eu ' J cia w \

Corifórrríê a ríormã, tomando a resistência à tração caractêlfstica inferior do

concreto, dà;"éxp'ress"ãò (3.4) ~ Capítulo 3 e o coeficiente de mineração do concreto

mais usual yc- l,4ta expressão (6.16) assume a forma seguinte:

V = 0,09fL2/3b d (6.17)CO ' J CK W \

A área da armadura transversal por unidade de comprimento do eixo da peça, das

expressões (6.14) e (6.15), será genericamente dada por:

s 0,9 d fy<wd sen a (cotO -f-cota) (6.18)

6.3.3.3 Armadura transversal constituída apenas por estribos a 90°

Fazendo em (6.16), a = 90° e /^ =?/^ , tem-se:

A V V - V

OJdfya (6.19)

onde; À nn = área por unidade de comprimento de estribos a 90° com o eixosw,yO ' '

da peça.

Observação:

Deve-se atentar que as expressões (6.18) e (6.19) fornecem a área da armadura

transversal por unidade de comprimento, ou seja, nas unidades mm2/mm ou

cm2/cm, conforme sejam as unidades de entrada. Por exemplo, se adotado o

sistema internacional de unidades, deve-se entrar com as unidades JVe mm. No

entanto, no Brasil, é prática comum se trabalhar com as áreas de armadura por

unidade de comprimento em cm2/m; pára se obter a área diretamente nessa

252 João Carlos Teatíni de Souza Clímaco

unidade, e obter bitolas e espaçamentos da Tabela 6.4, recomenda-se, por

comodidade, entrar com a força cortante em kgf, a altura útil d em metros e a

tensão de escoamento do aço, f d , em kgf/cm2

6.3.3.4 Considerações sobre o dimensionamento ao cisalhamento na flexão

a) Armadura transversal apenas com estribos a 45° com o eixo da peça

Fazendo oc— 45° na expressão (6.18), tem-se:

Amlt j* V

b) Armadura transversal de estribos a 90° e barras da armadura principal dobradas

a 45° com o eixo da peça

Conforme antes exposto, a norma dispõe que as barras da armadura principal

dobradas para combater a força cortante devem ter a tensão máxima limitada

emfywd ™ 0>7f<d e não devem suportar mais do que 60% da força cortante

total resistida pela armadura. Impondo essas duas condições e tomando a

inclinação das bielas a 45°, apenas por facilidade, da expressão (6.1 8) tem-

se, aproximadamente:

sw

Vi? UJyd

onde:

(6.21)

A ,= área da seção de todas as barras dobradas da armadura principal,

por unidade de comprimento do eixo longitudinal da peça.

Cabe enfatizar que, em geral, é mais conveniente combater a força cortante apenas

com estribos, preferencialmente a 90° com o eixo longitudinal da peça, restringindo-

se o emprego das barras dobradas da armadura de flexão apenas aos casos em


que for realmente necessário aumentar o espaçamento dos estribos. As razões

que tornam desfavorável o uso de barras dobradas para combate à força cortante

são as seguintes:

© Se a armadura transversal pudesse ser constituída apenas por barras da

armadura principal dobradas a 45°, a área de aço seria menor que aquela

do uso exclusivo de estribos a 90°, para a mesma força; por outro lado,

essas barras têm comprimento maior, o que resulta em um volume

aproximadamente igual de consumo de aço.

(D A tensão de cálculo do aço das barras dobradas é limitada por norma a 0,7

/ irf, para prevenir o fendilhamento do concreto interno à dobra. Além disso,

a norma impõe que no máximo 60% da força cortante seja absorvido pelas

barras dobradas.

CD ANBR 6118-^ 18.3.3.3.1 exige que as barras dobradas para combater a

força cortante tenham ao final do trecho inclinado um comprimento de

ancoragem no mínimo igual a lb , dado pela expressão (6.30) do item

6.4.2 deste capítulo, o que exige um aumento adicional no comprimento

dessas barras.

© O uso de barras dobradas aumenta o custo da mão-de-obra na execução

de armações.

c) Emprego da Tabela 6.4 (ao final deste capítulo)

A tabela fornece valores das áreas de armadura transversal por unidade de

comprimento do eixo longitudinal da peça, Anv/s, na unidade cm2/m, para

dois ramos de estribos cortando o plano neutro, para as bitolas padronizadas

pela norma NBR 7480:1996.

254 João Carlos Teatíní de Souza Ctímaco


6.4.1 Força cortante em regiões próximas aos apoios

Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoios diretos, isto é, em que

a carga e a reação de apoio são aplicadas em faces opostas do elemento estrutural,

comprimindo-o, a NBR 6118 -> 17.4.1.2.1 permite que se reduza a força cortante

nas regiões próximas aos apoios, pelas prescrições seguintes, mostradas na

Figura 6.13:

"a) A força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho

entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face de apoio, constante e

igual à desta seção" (Figura 6.13.a).

P

V

^ A(b)

Figura 6.13 - Redução da força cortante em regiões próximas aos apoios

"b) A força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância

a<,2d 6o eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser

reduzida multiplicando-a pora/(2dy (Figura 6.13.b).

As reduções indicadas vaiem apenas para o cálculo da armadura transversal,

não se aplicando à verificação da resistência à compressão das diagonais do


concreto, da expressão (6.8), e ao caso de apoios indiretos. As-duas reduções,

a) e b), podem ser aplicadas no mesmo elemento, cada uma sobre a parcela

respectiva da força cortante.

6.4.2 Disposições sobre estribos em vigas

6.4.2.1 Área mínima de estribos

A exigência de uma armadura transversal mínima visa (imitar a abertura das

fissuras inclinadas de cisalhamento na flexão, nas faces laterais das vigas, nos

estados limites de utilização. A NBR 6118 -> 17.4.1.1.1 estabelece que todos

os elementos lineares submetidos à força cortante devem conter armadura

transversal mínima constituída por estribos, com a taxa geométrica:

Ps» = bs. sen a (6.22)

A taxa geométrica mínima de estribos a 90°com o eixo longitudinal da peça,

compreendendo todos os ramos que cortam o plano neutro da peça, é dada por:

sw,90 0,06 f*2/3

fywk(6.23)

A tabela seguinte fornece os valores das taxas mínimas de estribos a 90° por

unidade de comprimento, para diversas resistências do concreto, fck, assumindo

o coeficiente usual de mineração do concreto, yc = 1,4, para o aço CA-50:

Tabela 6.2 - Valores da taxa geométrica mínima de estribos a 90° ( p , „„ )a x ~ s\vmín,9Q '

20

0,08925

0,70230

0,776

350,729

40

0,747

450,752

500,763


Conforme o item anterior 6.3.3.3 - Observação, para se obter a área mínima

por unidade de comprimento de estribos a 90°com o eixo longitudinal da peça,

Â . ... na unidade mais comum, cm2/m, basta multiplicar o valor obtido dajiwmn.PO1 ' r

Tabela 6.2 pela largura da seção retangular, b^ em centímetros. Por exemplo,

para uma viga com b = 25 cm e concreto com fck = 30 MPa , a área mínima

será Â . nn = 0,116x25 =2.9 cm2/m. Da Tabela 6.4, têm-se as opções deswmm,9Q ' ' > r y

estribos: bitola 5 mm e espaçamento 13 cm, cuja notação é 0 5,0c/13, ou

0 6,3c/2L

6.4.2.2 Forço cortante resistido peta área mínima de estribos

É de interesse obter, logo no início do processo de cálculo, o valor da força

cortante de serviço resistida pela área mínima de estribos a 90°, VRm!n90, o que

permite verificar de antemão os trechos do diagrama de forças cortantes que

serão cobertos por essa área, dispensando o cálculo de estribos nesses trechos.

Caso o valor obtido para V 9Q seja superior à força cortante máxima de serviço

de todo o diagrama da viga (com as reduções descritas no item anterior 6.4.1),

pode-se adotar a armadura mínima em toda a viga.

Da expressão (6.19), com o coeficiente de majoração das ações, y = 1,4, a

força cortante resistida peia área mínima de estribos a 90° com o eixo longitudnal

da peça é dada pela expressão seguinte:

VJ

A parcela complementar da força cortante, Ve , é calculada pela formulação da

Figura 6.12, com o emprego das expressões (6.16), para se obter V , e (6.11),

Para

Quando se têm trechos do diagrama com V>YRmíii90 , é conveniente, para facilitar

a execução e o detalhamento, adotar a armadura transversal em trechos com

espaçamento uniforme de estribos ao longo da viga. O número de trechos vai


depender do diagrama de forças cortantes e do comprimento da viga; na maioria

dos casos de estruturas de edificações usuais, adotam-se três trechos: um com

a armadura mínima (cortante V. , nn) e dois outros com os estribos calculadosx Rmlii.yO'

para combateras respectivas forças cortantes que excedem o mínimo.

6.4.2.3 Diâmetro das barras e espaçamento de estribos

Segundo a NBR 6118 -> 18.3.3.2- Elementos estruturais armados com estribos:

"Os estribos para forças cortantes devem ser fechados através de um ramo

horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e ancorados

na face oposta. Quando essa face também puder estar tracionada, o estribo

deve ter o ramo horizontal nessa região, ou complementado por meio de barra

adicional".

O diâmetro das barras dos estribos deve estar entre os limites:

5,0 mm £ <*>,<: bw/10 (6.25)

Quando a barra que constitui o estribo for lisa, seu diâmetro não pode ser superior

a 12 mm. No caso de estribos formados portelas soldadas, o diâmetro mínimo

pode ser reduzido para 4,2 mm, desde que sejam tomadas precauções contra a

corrosão dessa armadura.

O espaçamento mínimo entre estribos, medido no eixo longitudinal do elemento,

deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo, assim, um

bom adensamento do concreto. Em estruturas usuais, recomenda-se o mínimo

de 8,0 cm.

O espaçamento máximo entre estribos deve atender às seguintes condições:

*• se V-.í Q,67 V M O s = 0,6 d < 300 mm (6.26)Sa ' Rd2 max J ^ '

^ se V>0,67VRin O s = 0,3 d <200 mm (6.27)Sa ' Jtd2 max ' x '


Nota-se nessas expressões a preocupação da norma quanto ao esmagamento

da diagonal comprimida, o que faz diminuir o espaçamento dos estribos quando

Vsd se aproxima de YM2.

6.5 COMPATIB1LIZAÇÃO DOS CÁLCULOS À FLEXÃO E À FORÇACORTANTE

6.5.1 Deslocamento do diagrama de momentos fletores

O dimensionamento da armadura longitudinal de flexão de uma viga de concreto

armado, conforme apresentado no Capítulo 5, é feito com base na compatibilidade

de deformações e equilíbrio de esforços da seção transversal de um modelo de

barra fletída, da Mecânica dos Sólidos. O dimensionamento da armadura

transversal resistente à força cortante, por outro lado, é feito com base no modelo

da treliça de Mõrsch, descrito neste capítulo.

As diferenças de concepção entre esses modelos tornam necessária uma

compatibilização dos cálculos, no que se refere ao detalhamento da armadura de

tração, descrito a seguir e mostrado na Figura 6.14.

<* Modelo de barra fletida

A resultante das tensões de tração na armadura de flexão de uma seção

transversal qualquer é dada por R — Msd/z. Para peças de altura constante,

e supondo também constante o braço de alavanca das resultantes de tração

e compressão, z, a lei de variação de Rgl ao longo da viga tem o mesmo

aspecto do diagrama de momentos fletores, como no exemplo da Figura 6.11.

Nesse exemplo, a resultante de tração na armadura é nula no apoio, assim

como o momento.

<* Modelo de treliça

A força normal em cada barra da treliça é constante, de tração ou compressão.

A resultante no banzo tracionado, R , no modelo de treliça, apresenta


descontinuidades nos nós de ligação de duas barras tracionadas adjacentes,

fazendo que numa mesma seção, fora de um nó, a resultante seja superior

àquela calculada peio modelo de viga. Dessa forma, por esse modelo, a

resultante de tração na armadura que chega ao apoio não é nula, como no

modelo de viga.

diagonais Modelo Trdica t , diagonaiscomprimidas banzo comprimido {racionadas

Modelo viga:diagrama

= Msd /z

envoltóriaâeforçasde traçãona armadura ai

Modelo treliça:diagrama Rst

Figura 6.14 - Compatibílização dos modelos de barra (viga) e de treliça

Para compatibilizar os modelos resistentes de viga e treliça, deve-se adotar a

situação mais desfavorável, tomando-se a envoltória do diagrama das resultantes

de tração nas barras da armadura do modelo de treliça, representada pela linha

traço-ponto da Figura 6.14. Essa linha é obtida pelo deslocamento de um


comprimento af do diagrama Rs = M^/z, por meio de uma translação paralela

ao eixo da peça, no sentido mais desfavorável. A Figura 6.15 mostra o

deslocamento do diagrama de momentos fletores no vão extremo de uma viga

contínua.

Diagrama corrigidode momentos e da

resultante detraçõo Rst

Diagrama dosmomentos Msde da resultantede traçao Rst

Figura 6.15 — Deslocamento (decalagem) do diagrama de momentos fletores

O valor do deslocamento al, comumente denominado "decalagem", do diagrama

de momentos fletores, de acordo com o Modelo de Cálculo II da NBR 6118 -*

17.4.1.1.3, é dado por:

a{ = 0,5 d (cot 6- cot a) (6.28)

Devem ser observados os limites:

a^ 0,5 d o estribos a 90° (caso mais geral) (6.29)

a f k 0,2 d o estribos a 45°


6.5.2 Detalhamento da armadura longitudinal de tração na flexãosimples

Após o cálculo da área da armadura de flexão, em que são definidos a bitola e

o número de barras, o comprimento das barras longitudinais é determinado

com base no diagrama deslocado de momentos fletores, como na Figura 6.15.

Na extremidade de cada barra tem início o trecho considerado como

"ancoragem", a partirda seção teórica ao fim do deslocamento, em que a tensão

na barra começa a diminuir e a força de tração na armadura deve ser transferida

para o concreto. Esse trecho, de comprimento lb, deve se prolongar, pelo menos,

10 0 além do ponto teórico em que a tensão se torna nula, não podendo em

nenhum caso ser inferior ao comprimento necessário / , , estipulado nar btnec ' r

expressão (4.29), do Capítulo 4.

Determinam-se, assim, com base no diagrama de momentos, os pontos de

interrupção das barras, em que podemos retirá-las de serviço e a partir dos

quais elas devem ser ancoradas. As barras podem, ainda, a partir desses pontos

de interrupção, ser utilizadas no combate à força cortante, por dobramento.

No detalhamento da armadura longitudinal de tração na flexão simples, pode-

se adotara regra prática detalhada a seguir e expressa na Figura 6.16.

a) Deslocar o diagrama de momentos fletores, no sentido mais desfavorável, do

comprimento a., da expressão (6.28).

b) Dividir as ordenadas dos momentos fletores máximos (positivos ou negativos)

pelo número de barras da respectiva armadura escolhida. Dos pontos dessa

divisão, traçam-se retas paralelas ao eixo da viga (no exemplo da Figura 6.16,

admitiu-se a armadura negativa de flexão constituída por quatro barras e a

positiva por três).


opção de armaduranegativa com

quatro barras iguais

armadura domomento máximo

negativo no apoio:4 barras

-ti

armadura dol momento máximoí positivo no vão:J 3 barras

Alternativas fieancoragem das barras:- reta sem gancho- inclinada sem combater

a força cortante- inclinada combatendo

a força cortante

Figura 6.16 - Detalhamento das barras da armadura longitudinal de tração

Capitulo 6 - Cálculo de elementos lineares â força cortante 263

c) Os pontos de interseção das paralelas com o diagrama deslocado de

momentos (para os momentos positivos:^, B e C\a os negativos:^', B',

C' e D') definem as seções em que a força de tração é transferida para o

concreto e as barras são dispensadas do combate à flexão. A partir desses

pontos elas devem serãncoradas com o comprimento/^.Aúltima barra a ser

interrompida, positiva ou negativa, corresponde ao próprio eixo da viga. Na

parte superior da figura, mostra-se uma opção prática e económica, em muitos

casos, com todas as barras negativas com comprimentos iguais e ancoragem

suficiente.

d) Em vigas simples ou contínuas, a NBR 6118 -»-18.3.2.4 exige que se prolongue

até cada apoio uma parte da armadura principal de tração (^4 ) da seção de

momento máximo positivo no tramo (M _ ) . Essas barras devem ser ancoradasr \

convenientemente, a partir da face do apoio, de modo que se tenham as áreas

mínimas de:

^ 1/3 À . o se o momento no apoio, M ., for nulo ou negativo.í, vão ~ ' apoio' ° '

com o valor absoluto M . ^ 0,5 M .;apoio ' vão'

*+* 1/4 A , o se M . for negativo, com o valor absolutos.vão apoio 3 '

M , > 0,5 M ..apoio vão

Nos apoios intermediários, as barras da armadura devem penetrar um

comprimento mínimo de 100, a partir da face do apoio.

e) O comprimento necessário de ancoragem por aderência das barras tracionadas

retas, sem gancho, da NBR 6118 -* 9.4.2.5, será:

, _ ,b,nec ~ b '

f A °>3li>Jyd AStCa, \

100 mm

onde:

A ,= área calculada da armadura;s, cal


Á . - área existente da armadura em bitolas comerciais;s,y

fbd = resistência de aderência de cálculo entre o aço e o concreto, dada

pela expressão (4.28), para zonas de boa aderência.

Conforme descrito no item 4.5.4.2 do Capítulo 4, de acordo com a posição

das barras na concretagem, a NBR 6118 -»• 9.3.1 define as "zonas de boa

aderência", em que se pode garantir o bom adensamento e a vibração do

concreto, como segue:

^ com inclinação maior que 45° sobre a horizontal;

^ horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que:

- para elementos estruturais com h < 60 cm , localizados no máximo

30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem

mais próxima;

- para elementos estruturais com h > 60 cm, localizados no mínimo 30

cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem

mais próxima.

Os trechos das barras em outras posições devem ser considerados em má

situação quanto à aderência e, nesse caso, a resistência de aderência de

cálculo, fbd> da expressão (4.28) deve ser multiplicada por 0,7, com o

comprimento de ancoragem aumentando de 43%.

O comprimento de ancoragem reto pode ser reduzido com a utilização de

ganchos nas extremidades das barras tracionadas, que propiciam um aumento

na resistência mecânica da ancoragem. Os tipos de ganchos e reduções

permitidas são dados pela NBR 6118 -> 9.4.2.3. O item 9.4.2.5 permite uma

redução de até 30% no comprimento de ancoragem da expressão (6.30), desde

que a espessura do cobrimento de concreto no plano normal ao do gancho

seja > 30.


ATabela 6.5, ao final deste capítulo, fornece diretamente os comprimentos de

ancoragem reta (Ib) por trespasse, para o aço CA-50, para diferentes

resistências características do concreto (f entre 20 e 50 MPa), em função

da bitola <£das barras da armadura. Em zonas de má aderência, o comprimento

de ancoragem básico deve ser 1,43 vezes o comprimento respectivo da zona

de boa aderência.

6.6 EXEMPLOS

6.6.1 Dimensionar as armaduras de flexão e cisalhamento deuma viga de seção retanguiar 20 x 60 cm2, com vão teóricode 6,0 m (de centro a centro dos apoios), suposta biapoiadaem pilares de largura 60 cm na direção do eixo da viga esubmetida a uma carga distribuída total de 20 kN/m.Considerar concreto comfck=20MPa, aço CA-50 para ambasas armaduras e a classe ambiental CAA l.

a) Esforços solicitantes máximos

Mmax = 20 x 6 2/S = 90 kN.m O Msd = 1,4 x 90 = 126 kN.m

Vmax = 20x6/2 = 60kN O Vsd = 1,4 x 60 = 84 kN

b) Armadura de flexão

Adotando-se dl - 4 cm & d = 60 - 4 = 56 cm — 560 mm

fCà = fck /Tc = 20/ 1,4 = 14,3 MPa = 14,3 N/mm2

fyd = 435 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3;

Da expressão (5.5) e Tabela 5.2 kmd = 0,140 O kx = 0,234 (domínio 2)

O ks = 0,907

Da expressão (5.8) vem: A —5,70 cm2

2'66: João Carlos Teatini de Souza Climaco

Da Tabela 5.3. admitindo o;cobrimento-de--concreto-c = 2.5 mm (classe' liom ' \A I) e estribos-de bitola 5,0 mm, tem-sevaarmaduta;em'uma.;carnacia o

3016 = 6,03cm2 (bs= 8,8 cm)

Tãxa7geométriGa;-daiacm'adUra5efètÍvaídejflfexã.0í p.—fr,03S(2J)x60) — O,SÓ %

c) Verificação do concreto da:biela^comprimida_

Da-Tabela_6.1, para fck ~20 MPa- <=í> a-v2 ~ 0,92

Para estribos a;90° e adotando' aã bielas de.compressãp;com-a. inclinação

mínima da NBR 6118, Q- 30°, da expressão (6.11) tem-se:

¥&- 84 kN £VfííJ3t90= 0,27: 0,9-21 If4}3. 2W. 560, sen 6'0° =•

344,547 N = 345 kN

Estando o concreto, portanto, com uma ampla folga, de mais dê.quatro vezes,

na diagonal comprimida. Pode-se verificar que caso se adotassem as bielas

com a inclinação máxima, 9 = 45°, seria VRd290 ~ 398 kN, com folga ainda

maior.

d) Armadura transversal mínima

Da expressão (6.23) e Tabela 6.2 o Aswmín9Q - 0,089x20 = 1,78 cm2/m

Da Tabela 6.4 O &5,0c.22 =2,79cm2/m

O espaçamento máximo de estribos da expressão (6.26) será:

P,. =84kN < 0,67 F... = 231 kN O s = 0,6 d « 336 mm > 300mmSei ' Rd2 mox '

<=$ adota-se:

s = 300 mm O s = 22 cm: OKrnox

e) Força cortante de serviço resistida pela armadura transversal mínima

Da expressão (6.17): VcQ = 0,09. 202/3. 200. 560 = 74.344 N= 74,3 M


Da Figura 6.12: Vc = Vcl = 74,3. [(345 - 84)1(345 - 74,3)] = 71,6 kN

Da expressão (6.24), vem:

v*min.9Q = (0^0179 x 0,9 x 56 x 4350 cot 30° + 7160yi,4 =

9969 kgf = 99,7 kN > V = 60 kNGJ ' max

Conclui-se que o valor de VR { 9Q é superior ao cortante máximo de serviço

na viga, mesmo sem levar em conta a redução da força no apoio, conforme

a Figura 6.13.a, possível pela largura elevada do pilar, 60 cm, na direção

do eixo da viga. Dessa forma, a obtenção de VRltllll90 antes do cálculo dos

estribos pode poupar tempo. Aarmadura mínima, 05,0 c. 22 cm pode ser

adotada ao longo de toda a viga, como mostra o detalhamento, na Figura

6.17.

O número total de estribos será: 600/22 + l = 28,3 = 29 estribos. Com

uma maior precisão, o espaçamento de estribos é reduzido para 21,5 cm.

f) Comprimento de ancoragem por trespasse da armadura longitudinal

Estando a armadura principal positiva em zona de boa aderência, obtém-

se da Tabela 6.5: /, = 430 = 43 x 16 = 688 mm. Sendo Á ,/ A ,=b s,cal s,ef

5,70/6,03 = 0,945, o comprimento de ancoragem necessário, da expressão

(6.30), será: lbnec- 650 mm, superior aos limites da Norma: 0,3 l b — 206

mm; 100 = 160 mm e 100 mm.

No diagrama deslocado de momentos, a barra central da armadura principal,

denominada N1 no desenho, pode ser dispensada nos pontos A, a partir de

onde se inicia o comprimento de ancoragem. As duas barras laterais,

denominadas N2, podem ser dispensadas em B e C, pontos que caem dentro

da largura dos apoios; nesse caso, a ancoragem tem início na face dos pilares

respectivos. Em geral, o diagrama não consta da planta de armaduras.

Estr

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O CD 3" 5= QJ 3 CD

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j)5,

0-14

6

A ti

Capitulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante 269

b) Armadura de flexão

Por precaução, prevendo armadura em duas camadas:

dl — 5 cm ^> d — 55 cm — 550 mm

Da expressão (5.5) e Tabela 5.2 O k = 0,305 O kx = 0,585 (domínio 3)

•=> Ãrz = 0,766

Da expressão (5,8) vem: Ás = 14,44 cm2

Da Tabela 5.3, para o cobrimento c = 25 mm (classe CAA l) e estribos 0 =

5,0 mm, tem-se a armadura em duas camadas, (30+20)20 = 15,71cm2i

com b ~ 10 cm. atendendo ao limitei - 0 + a/2 = 2 + 2/2 = 3cm < 10%s '

h- 6 cm. Com duas camadas, muda a distância dl = 6 cm e a altura útil d

= 54 cm = 540 mm, com um acréscimo na armadura de flexão.

Os coeficientes da flexão ficam: kmd = 0,317 O kx = 0,620 (domínio 3) O

k = 0, 752, e a nova área de aço será A =14,44cm2, coberta pela armadura

adoíada.

Taxa geométrica da armadura efetiva de flexão

p = 15,71/(20x 60} = 1,31%

c) Verificação do concreto da biela comprimida

Para estribos a 90° e bielas com inclinação, 6— 30°, da expressão (6.11),

tem-se:

V sd = 7764 kN £ V Rd2i90 = 0,27. 0,92. 14,3. 200. 540. sen 60° = 332.233

N = 332 kN

Portanto, o concreto da diagonal comprimida continua com folga, agora menor.


d) Armadura transversal mínima

Continuam valendo:

Á swm.mi90 = 0,089 x 20 = l, 78 cm 2/m O 0 5,0 c.22 = l, 79 cm 3/m e

7 = 176,4 kN < 0,67 V»„ = 222 kN O s = 300 mm.Sd ' ' Rd2 mox

Portanto, prevalece s —22 cm.

e) Força cortante de serviço resistida pela armadura transversal mínima

Da expressão (6.17), prevalece: VcQ = 71,6 kN

Da Figura 6.12: Vc= Vcl = 71,6[(332 - 176,4)/(332 - 71,6)] = 42,8 kN.

Da expressão (6.24):

VRmini9Q = (0,0179 x 0,9 x 54 x 4350 cot 30° + 4280)11,4 = 7738 kgf =

77 kN < V = 126 kNntax

Conclui-se que o valor de V0 . nn é inferior à força cortante máxima de serviçon Rmm,9Q r y

na viga. Nesse caso, vale a pena levar em conta a redução da força cortante no

apoio, em virtude da largura elevada do pilar, 60 cm, na direção do eixo da viga,

f) Redução da força cortante na região dos apoios

Conforme a Figura 6.13.a), do item 6.4.1, pode-se adotar para o cálculo das

armaduras transversais o valor da força cortante à distância d/2 da face do apoio.

A Figura 6.18, a seguir, mostra essa redução, tomando V constante a partir da

seção a (30 + 27,5) cm = 57,5 cm do centro do apoio ou 300 - 57,5 = 242,5

cm do centro do vão:

V. = 126 x 2,425/3,0 = 102 kN > V, . Qn = 77 kNred ' ' Rmin.yQ

Dessa forma, a armadura mínima, 05,0 c.22 cm, pode ser adotada np trecho

central da viga, a partir de uma distância do centro igual a: 300 (77/126) =

183 cm.

Capítulo 6 - Cálculo, de elementos lineares à força cortante 271

g) Cálculo da armadura transversal para a força cortante máxima

Na expressão (6.19), com os valores da força cortante complementar, V' ~

42,8 kN, e da solicitante, Vsd = 176,4 kN, em kgf, a altura úti| tf em. metros

e a resistência de escoamento do aço, /rf) em kgf/cm2, obtém~se a área de

estribos a 90° por unidade de comprimento do eixo da peça, diretamente na

unidade cm2/m:

A ^H- 4 G Vsd.red ~ ^c , yno 1,4*10.200. - 4.280 n CV7 - 73 2/4-ni,Qn = tgv = —' • tg3Q - — : 0,577 = 2,73 cm /m"*** O J d f y t * Q,9dfyd & 0,9x0,54x4350 • • • • • • . - <

Sendo s = 300 mm, da Tabela 6.4, as opções seguintes são possíveis:

& 0 5,0 c. 14 = 2,81 cm2/m ou 0 6,3 c. 21 = 2,83 cm2/m.

h) Detalhamento da armadura transversal na viga

A Figura 6.18, a seguir, apresenta p detalharnepto dos estribos. Para major

clareza do desenho, não foi traçado o diagrama de mofnentps, com os pontos

de dispensa das barras de flexão e início de ancoragem, como no exemplo

anterior 6.6.1.

Na parte inferior da figura, no corte longitudinal da viga, a disposição das

barras da armadura c|e flexão é apenas ilustrativa. Os estribos têm os ramos

horizontais e verticais com comprimentos obtidos das dimensões respectivas,

descontando o cobrimento de cada face (CAA I: ç, = 25 rnm) e a bitola do

estribo (5 mm). Dessa forma, tem~se;

f ramo horizontal -20-^2 (2,5 + 0,5) = 14 cm

• ramo vertical = 60-2 (2,5 + 0,5) = 54 cm

O comprimento total ,da barra .do estribo é igual a 2 (56 + 16) 4-10 cm =

154 cm. O aumento de 10 cm é para preyisão dos ganchos de fechamento

dos estribos. O número total de estribos, com espaçamentos de 22 cm np

trecho central de 366 cm e de 14 cm pás laterais de 117 cm, ê dado por

366/22 + 2 . 117/14 + l = 34,4 = 35 estribos.

272 João Carlos Teatiní de Souza Climaco

126W Vred =102kN

183 cm = 300 (77/126) 183 cm

77 kN= VRmin,9Q

57,5

SOOcm

102kN

117cm

30 [27,5

(j)5,0 c. 14117cm

s/escala

pilar

Diagrama V solicitante

77kN

. Diagrama V resistente

183cm

183cm

102kN126W

117cm

242,5 cm

77kN102M\ 5,0 c. 22cm

4)5,00.14E——

2<j)5,0117cm

d ~ 54cm

14

54«n"

Figura 6.18 - Detalhamento das armaduras da viga do exemplo 6.6,2,com redução da força cortante à distância d/2 do centro do apoio

6.6.3 Dimensionar as armaduras de cisalhamento na flexão da vigado exemplo 6.6.2, apenas com estribos a 90°, adotando paraas diagonais de compressão de concreto a inclinação 0= 45°.

Os itens a), b) e d) do exemplo anterior permanecem os mesmos.


c) Verificação do concreto da biela comprimida

Para estribos a 90° e bielas com inclinação 6- 45°, da expressão (6.11) tem-se:

Vsd = 176,4 kN < VRd2i9Q = 0,27. 0,92. 14,3. 200. 540. sen 90° = 384 kN

O concreto da diagonal comprimida apresenta agora uma folga maior.

d) Força cortante de serviço resistida pela armadura transversal mínima

Da expressão (6.17) prevalece: V cQ = 71,6 kN

Da Figura 6.12: Ve = Vcl = 71,6. [(384 - 176,4)1(384 - 71,6)] = 47,6 kN.

Da expressão (6.24) vem:

VRmitii9Q = (0,0179 x 0,9 x 54 x 4350 cot 30° + 4760)11,4 =

6103 kgf = 61,0 kN > V = 126 kN<-" '

O valor de V 0 . diminuiu de 26% em relação ao cálculo com bielas comKniin J

inclinação 6 = 30°, sendo ainda bem inferior ao cortante máximo de serviço.

Vale também considerar a redução da força cortante no apoio, em razão da

largura elevada do pilar, 60 cm, na direção do eixo da viga. Tem-se o mesmo

valor V ,= 104 kN > V D . - 61 kN, com a armadura mínima, 05,0 c,22red Rmm ' '

cm, adotada num trecho central menor, à distância do centro da viga, para

cada lado, igual a: 300 (61/126} = 145 cm.

e) Cálculo da armadura transversal para a força cortante máxima

Na expressão (6.19), com os valores da força cortante complementar, V ' c =

47,6 kN, e solicitante, VS(} - 176,4kN, em kgf, altura útil d = 0,54m e a

resistência de escoamento/^ = 4350 kgf/cm2, a área por unidade de

comprimento de estribos a 90° será:

t fí & * / A^ 14-280 " 4-760 i n A sn 2/tgtí = • - tg45 ~ - 1,0 = 4,50 cm /m&0,9 d fy, 0}9dfyd 0,9x0,54x4.350

274 João Carlos Téatini de Souza Ctímaco

Portanto, um aumento substancial de 65% na área de estribos com relação

às bielas com Q- 30°. Da Tabela 6.4, as opções são: ,

05 ,0 c.8 = 4,91 cm2/m\ 6,3 c.13 = 4,80 cm 2/m

ou 0 8,0 c.22 = 4,57 cm2/m

O detalhamento segue as regras dos exemplos anteriores.

6.6.4 Sérri fazer a redução da força cortante em função da larguradó pilar, comparar os "dimensionamentos da viga do exemplo6.6.2, apenas com estribos a 90°, pelas disposições da NBR6118: 2003 e NB-1/78, no tocante à compressão na diagonalde concreto e às áreas de armadura transversal. Para aNBR 6118: 2003, utilizar os dois modelos de cálculo, l e II,este último com as diagonais comprimidas com as inclinaçõesextremas de 30° e 45°.

a) NBR 6118:2003 - Modelo de Cálculo II

Os cálculos segundo esse modelo, para diagonais comprimidas com

inclinações de 30° e 45°, foram mostrados nos exemplos dos itens 6.6.2 e

6.6.3, respectivamente. A tabela a seguir apresenta os resultados desses

cálculos, com as áreas unitárias de estribos a 90° de, respectivamente,

3,65 e 6,10 cm2/m, obtidas com o Valor da força cortante sem redução:

V = 126 M O F = 1,4 x 126 = 176,4 kN.max Sá,max '

b) NBR 6118: 2003 - Modelo de Cálculo l

No cálculo por esse modelo, a verificação da biela comprimida é igual à do Modelo

II com diagonais inclinadas de 45°, como na alínea c) do exemplo 6.6.3.

Aforça cortante complementar, calculada como na alínea e) do exemplo 6.6.2,

assume o valor V = V n-71.6kN.C CU '

Da expressão (6.19), com os valores acima das forças cortantes de cálculo e

complementar, obtém-se a área de estribos a 90°: Á = 4,96 cm2/m.~ ' sw,90 '

Gapjtuto-6,-:- Cá

' norma trabalha com -tensões-tangenciais-

em.vez da força qortante, mostradas na última coluna da direita da tabela,

T - , =-V „, /(b- d} = tensão tangencial convencionai máxima de cálculo:wd,max Sd.max ^ w ' ' a - • '

r- =. 0,25 f '.=: tensão limite para verificação do concreto da diagonal,ivw ' • • J ca, r y . o , ,1

comprimida;

r = tensão tangencial complementar para correção do cálculo com bielas a

45°;

T = 1,25 T .-T = tensão' tangencial.de Qálculo;d ' nvt c ....... a — • * • - - - - - - - -i J

d) Comparação dos processos de cálculo,

Como mostra a Tabela 6.3, a diagonal comprimida apresenta folga menor no

Modelo II, com diagonais inclinadas de 30°. Nos Modelos l e II com as diagonais

a 45°, obtém-se a resistência limite da diagonal, 2,18 vezes a força cortante

máxima de cálculo; esse valor é muito próximo da verificação da NB-1/78:

T = 2,25 T , .IITÍ * HtJ.mox

A parcela da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares à

trefíça, V , é maior no Modelo l, igual a 41% da força cortante máxima,

reduzindo-se para 24% no caso do Modelo II com diagonais a 30°. Atensão

complementar da NB-1/78 é cerca de 40% da tensão tangencial máxima de

cálculo.

A armadura transversal mínima é bastante superior na NB-1/78, e a força cortante

de serviço resistida pela armadura mínima é praticamente a mesma no Modelo l

e no Modelo II com diagonais a 30°, muito próxima também da NB-1/78.

Quanto às áreas da armadura transversal com estribos a 90°, para a força

cortante máxima, o valor obtido pelo Modelo I é muito próximo da média das


áreas calculadas pelo Modelo II, com inclinações de 30° e 45°. O valor obtido

pela NB-1/78 é elevado, mas um pouco inferior ao do Modelo II da NBR6118:

2003 com diagonais a 45°.

Da comparação efetuada, conclui-se que o dimensionamento mais económico

foi o do Modelo II com diagonais inclinadas de 30°, que forneceu também uma

verificação satisfatória para o concreto da diagonal comprimida. Caso houvesse

problema com essa verificação, seria mais conveniente adotar o Modelo l, o

que viria aumentar a área de estribos. No presente exemplo, o acréscimo foi

36% sobre a área de estribos do Modelo II com diagonais inclinadas a 30°.

Tabela 6.3 - Comparação dos dimensionamentos à força cortante pelas edições da normaNBR6118: 2003 e NB-1/78

\l comprimidaVc (complementar)

^(estribos a 90°)

YRmln,9Q

ÂA semin,90

Á se,90

NBR 6118: 2003 (Vsd = 176,4 kN )

Modelo 1

Vjui2 = 384®f

7 '1,6 kN

104,8 kN

80 kN

1, 79 cm2 /m

4,96 cm* 7m

Modelo 116= 30°

VM2 = 332kN

42,8 kN

133,6 kN

77 kN

1, 79 cm' '/m

3, 65 cnr/m

Modelo l iB = 45 °

VRd2 = 384kN

47,5 kN

128,9 kN

61 kN

1, 79 cm2 /m

6,10 cm2 /m

NB-1/78

wd,max

l,6MPa

Tmi = 3,6MPa

rc = 0}63MPa

Td=l,2MPa

83 kN

2, 80 cm2 /m

5, 74 cm2 /m


6.7 AUTO-AVALIAÇAÒ :

6.7.1 Enunciados

1. Para a viga da Figura 6.19 (a), com seção transversal de largura constante,

pede-se:

a) esboçar os diagramas de momentos fletores e de forças cortantes;

b) esboçar os diagramas de tensões normais e tangenciais nas seçõesA-A'

e B-B', no estádio 1, com as expressões correspondentes;

c) a direção e a natureza das tensões principais nos pontos 1, 2, 3, 4 e 5;

d) esboçar a tipología de eventuais fissuras de flexão e cisalhamento na viga.

2. Quais são os tipos possíveis de ruptura associadas a ação da força cortante

em uma peça de concreto armado? É possível ocorrer a "ruptura por

cisalhamento" do típo "corte", em peças fletidas de concreto?

3. Qual a justificativa do uso da parcela complementar Veno dimensionamento

da armadura transversal pelos modelos de cálculo da NBR 6118: 2003?

É correto chamá-la "contribuição do concreto" na resistência ao cortante?

4. Dimensionar as armaduras de flexão e força cortante.da viga da Figura 6.19(b),

de seção transversal retangular (bw = 15 cm; h = 60 cm), sendo/V^ 20 MPa,

aço CA-50 e a classe ambiental CAAI. Calcular a armadura transversal com a

condição de máxima economia de aço, para estribos a 90° com o eixo da viga

e até três trechos de igual espaçamento no vão AB. Detalhar as barras da

armadura longitudinal ao longo da viga.

5. No exercício anterior, calcular a armadura transversal da viga sob a condição

de minimizar as tensões de compressão na diagonal de concreto, em duas

situações: estribos a 90° e a 45°com o eixo da viga.

6. Dada uma viga na classe de agressividade ambiental CAA li, da Figura 6.19 (c),

com seção transversal retangular (bw= 20 cm; h - 40 cm), calcular as


armaduras de flexão (GA-50) e de cisalhamentp na flexão, para estribos a 90°

.com o eíxp-da viga, de ,05}Ç mm e aço-CA-6Q; concreto,cpm fck = 25J$P_,a,

7. Na viga,da.Figura;6.-19.(d),,de s.eção rqtangular:(bw = 15,cm;h =.8Ç,cm) e

classe ambiental CAA II, a.armadura transversal:é constituída apenas.por

estribos.a 90°, 08,0c/20ci^, acp.CA-50, em toda a extensão^.,? viga."§endp

fck - 30 MPa, calculara máxima carga -distribuída uniforme q para haver

segurança à força cortante, aplicando todas as reduções permitidas pela.norma.

al

P

' 4 *P a

^11 ' 4\1 °3

21 5*9

(o)A1 B1

20 kN/m

i i i i i i i n ,2m

30 kN10 kN/m

• H H J. 2. 5 m 2,5 m T

A h

20 kN/m

u u u u ,1.1 .u nA

7m

(b)B

2m

100 W

i i i i .. i i ' i i30r

3m 3m130

(c) (d)

Figura 6.19 - Figuras dos exercícios do Capítulo 6


1. Para as questões b) e c), ver Figura 6.2; para a questão d), ver Figura 6.7.

2. Ver o final do item 6.2.4.


3. Ver o final do item 6.3.3.1.

4. Esboçar os diagramas de momentos fletòres e forças cortantes. Calcula? as"

armaduras longitudinais para os momentos fletores máximos, positivo e

negativo. Para a armadura transversal, seguir o roteiro das alíneas c) a g) do

exemplo 6.6.2, a menos da alínea f), por não ter sido dada a largura dos

apoios. Para o detalhamento das barras longitudinais, vero roteiro do item

6.4.2 e a Figura 6.16.

5. Para a primeira situação, vero exemplo 6.6.3.As tensões mínimas absolutas

na diagonal comprimida de concreto ocorrem na segunda situação, fazendo

0= a = 45° nas expressões (6.11) e (6.20).

6. Esboçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes. Calcular as

armaduras longitudinais para os momentos fletores máximos, positivo e

negativo. Para a armadura transversal, como o enunciado não impõe nenhuma

condição, toma-se, de início, 0=30°, para maior economia de estribos. Caso

atendidas a expressão (6.11), de verificação do concreto da biela comprimida,

e a expressão (6.26), para se obter um espaçamento económico de estribos,

o cálculo segue a rotina dos exemplos 6.6.1 ou 6.6.2, conforme os valores de

K5 (característico) e V^.

7. Esboçar o diagrama de forças cortantes de serviço, em termos da carga

distribuída q, fazendo a redução permitida nos apoios, conforme a Figura

6.13(a). Na expressão genérica (6.12), a força cortante de cálculo, Vsd, é

maximizada com 9 = 30°. Com as dimensões da seção e a área de estribos

a 90°, das expressões da Figura 6.12 (e 6.19) podem-se calcular as duas

incógnitas: Vsd e a parcela complementar da força cortante, Vc. Deve-se,

ainda, verificar a diagonal comprimida de concreto, da expressão (6.11). Caso

V sd > V Rd2, este último valor se impõe como limite para a força cortante e

daí se obtém um novo valor da carga.

Est

rutu

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T3 3 CD CL ro o o 3


Tabela 6.5 - Comprimento básico de ancoragem reta (/ô) em função da bitola (0),para o aço CA-50, j —1,15 e ye = 1,4

Zonas de boa aderência

Zonas de má aderência

fck(MPa)

20

430

25

37

530

30

330

470

35

300

430

40

270

390

45

250

360

50

240

340

CAllCULO DE LAJESMACIÇAS RETANGULARES

7,2 í;^3';

7.4

7.5

7.6

7.77.87.9

Objetivos / """ ' " ~"^Considerações--prèliminaresf ^— í r %/i . • ,,

Avaliafão^de-cargas :<?.^l ; v ^ '- --Ç

nas lajesCálculo de esforços emlajes retangularesCargas das lajes nas , 3C

vigas L : a^. ,Dimetjsjonamento de lajesretangLitajesDetalKarne"rítioExemploj;Auto-avaliacão

Cálculo de lajes maciças retangulares

7.1 OBJETIVOS

Conceito: lajes são elementos estruturais laminares, submetidos a

cargas predominantemeníe normais à sua superfície média, que têm

a função de resistirás cargas de utilização atuantes na estrutura.

As lajes são classificadas como elementos integrantes da estrutura terciária da

superestrutura de uma edificação, tendo a finalidade de suportar a aplicação

direta das cargas distribuídas em superfície (item 3.5 - Capítulo 3).

Conforme a natureza de seus apoios, as lajes podem ser classificadas (Figura 7.1):

iais_

bordolivre viga l l viga

" viga

a) Laje apoiada em vigas

TP 1r capa de concreto

DDDDDD

anãanã

aaaanã

naanan r

. ,principal

b) Laje nervurada

tijolos ou blocos nervtirafde enchimento nef w" as

c) Laje mista

1 laíe

liar

**

pilar

'' capitei

pilar pilar

d) Laje cogumelo ou lisa (apoiada diretamente em pilares)

Figura 7.1 -Tipos mais comuns de lajes


<* Lajes apoiadas sobre vigas

São sustentadas por vigas nos bordos, usualmente executadas em um

processo único de moldagem. Um bordo eventualmente sem viga de

sustentação denomína-se "bordo livre".

*> Lajes nervuradas

Podem sercompletamente moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas;

nestas últimas, uma "capa de concreto" moldada no local trabalha à compressão

e a resistência à tração é fornecida pelas nervuras. No caso de ser colocado

algum material inerte entre as nervuras, tijolos ou blocos, para fornecer o teto

liso, são denominadas "lajes mistas".

*í* Lajes lisas e cogumelo

Apoiadas diretamente em pilares. São chamadas de lajes-cogumelo caso haja

alargamento, chamado capitel, na transição pilar-laje; caso contrário, são

denominadas lajes lisas.

O presente capítulo tem por objetivo apresentar os procedimentos para o cálculo

de lajes maciças retangulares de edificações usuais, apoiadas continuamente

em seu contorno em elementos lineares, que são as vigas de bordo. Os

procedimentos apresentados podem ser estendidos, com as devidas adaptações,

a outros tipos de lajes.

Os objetivos deste capítulo são:

a) Hipóteses básicas de cálculo de lajes maciças retangulares de concreto

armado.

b) Avaliação das cargas nas lajes de estruturas de edifícios.

c) Avaliação das cargas transmitidas peias lajes às vigas de bordo.

d) Cálculo de esforços e dimensionamento de lajes retangulares.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares 287

e) Prescrições da NBR 6118: 2003 sobre as dimensões das lajes e disposição

das armaduras-taxas e detalhamento.

7-2 .CONSIDERAÇÕES 'PRELIMINARES

7.;2.1 Hipóteses simplificadpras

a) O peso próprio da.laje é tomado.como uma carga-uoifprmemente distribuída

em toda a área da laje.

b) A sobrecarga de utilização ou carga acidental é suposta uniformemente

distribuída na .área de laje. Os valores mínimos a serem.adotados no cálculo

para essas cargas, de acordo com a finalidade do edifício e com as

características de utilização, são estabelecidos pela norma NBR 6120:1978 -

Cargas para cálculo de estruturas de edificações-procedimento (NB-5). Essa

norma fornece ainda os pesos específicos dos materiais de construção usuais

e dos materiais de armazenamento.

c) As lajes são calculadas como peças laminares isoladas, por meio de uma

decomposição virtual que as separa de suas vigas de bordo, a fim de aproveitar

as teorias de cálculo próprias para as lajes (teoria das placas). A consideração

correta dos vínculos nos bordos das lajes é fundamental para o cálculo.

d) As vigas de bordo das lajes são consideradas apoios indeslocáveis. Essa

hipótese exige verificação rigorosa dos deslocamentos das vigas de apoio,

cujos valores máximos devem obedecer aos limites impostos pela NBR 6118:

2003-> 13.3.

Afigura a seguir mostra, esquematicamente, as plantas de um painel de quatro

lajes maciças (L1 al_4), apoiadas em vigas (V1 a V7), por sua vez sustentadas

pelos pilares P1 a P7. As letras que acompanham as notações das vigas

indicam os vãos de uma viga contínua. Por exemplo, a viga contínua V7 tem

dois vãos, V7a e V7b, e está apoiada nos pilares P7, P5 e P3. Por sua vez,


a viga V5 apóia-se em V2 e P2, e V6 apenas nas vigas V3 e V2. Na planta de

lajes, à direita da figura, os traços cheios representam os eixos longitudinais

das vigas e os pontos cheios os pilares de apoio. Essa planta pode ser utilizada

como planilha de cálculo, como será visto no exemplo 7.8, neste capítulo.

PI Via P2 Vlb P3

1

P4

C!

LI

/i

L2

ry72

L3 g L4

-Q

.TJ

LI L2

L3 14

V3

Figura 7.2 - Planta de formas e planta de lajes de um pavimento

e) As cargas transmitidas pelas lajes às vigas (reações de apoio nos bordos das

lajes) são admitidas como uniformemente distribuídas, por unidade de

comprimento das vigas.

f) Em duas lajes de mesmo nível adjacentes, apoiadas de forma contínua sobre

uma viga com a qual são moldadas monoliticamente, esse bordo é admitido

para o cálculo como um engastamento perfeito para ambas as lajes. Na Figura

7.2, é o caso de L1-L2, apoiadas em V5, e L1-L3, L2-L3 e L2-L4, em V2. Caso

não haja continuidade sobre um bordo, pela ausência de laje adjacente ou

ocorrências de vazios de comprimento considerável, a laje é considerada no

cálculo como simplesmente apoiada nesse bordo.

Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares 28 9

g) Da NBR 611 8 -M 4.7.2.2; "Quando os apoios puderem ser considerados sufi-

cientemente rígidos quanto à translação vertical", considera-se como vão efetivo

ou teórico da laje, numa dada direção, o valor obtido da expressão:

Os valores de a}ea2, em cada extremidade do vão, dependem da largura da

viga de bordo respectiva, t e t2 , e da espessura da laje, h, da Figura 7.3, sendo

o menor dos dois valores: a . < (0,5 t.; 0,3 h)

laje laje

ti\-\\

t2

pi

viga viga'Xfrema intermediária

Figura 7.3 -Vão efetivo de lajes

Para as estruturas de edificações usuais, na prática, é comum considerar o vão

teórico como a distância de centro a centro dos apoios, ou seja, de eixo a eixo

das vigas de bordo.

7.2.2 Classificação de lajes retangulares apoiadas em todo ocontorno

Para fins de cálculo, as lajes retangulares são classificadas em:

a) Lajes em cruz (ou calculadas nas duas direções)

^» quando a relação entre os vãos teóricos é menor ou igual a 2.

w- os momentos fletores na laje são calculados segundo as duas direções,

para quaisquer condições de apoio nos bordos- engaste ou apoio simples.

290 João Carlos Teatíni dê Souza CÍímàco

apoios apoios

3) laje em cruz B) laje erri uma-sõ díreçaò

Figura 7.4 - Classificação de lajes retanguiares maciças apoiadas erri" todo d contorno

b) Lajes calculadas erh uma só direção

^ quando a relação dos vãos efetivòs é superiora 2.

*•* apenas os bordos maiores são considerados como apoios pãra:fins de

cálculo. Os momentos fietores são calculados apenas na direção paralela

ao menor vão, dos quais se obtém a correspondente armadura principal.

A armadura na direção paralela ao vão maior não é calculada, sendo

denominada "armadura de distribuição" e fixada como uma parcela da

principal. Esse tipo de laje é comumente chamada de "armada em uma

só direção", denominação imprecisa, pois existem armaduras nas duas

direções, mesmo que seja calculada apenas a paralela à menor direção.

7.2.3 Espessura das lajes

A NBR 6118 -* 13.2.4.1 estabelece os seguintes limites mínimos para as

espessuras de lajes maciças de edifícios:

a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço;

b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;

c) J O cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;


d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN\) 15 cm para lajes com pretensão;

f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.

A espessura deve serfixada de início do projeto, pois é necessária à obtenção do

peso próprio da laje. No pré-dimensionamento de um painel de lajes, tomam-se

aquelas mais desfavoráveis, quanto aos vãos, cargas e condições de apoio, e

fixa-se um valor da espessura igual ou superior ao mínimo de norma. Com esse

valor, determina-se o peso próprio da laje, calculam-se os momentos mais

desfavoráveis e impõe-se a condição de o dimensionamento da laje ser feito com

armadura simples e subarmada. O uso de armadura dupla em lajes deve ser

evitado, pois a espessura reduzida causa dificuldades na execução, especialmente

para se manter a posição das barras, o que afeta a posição da linha neutra, pela

pouca altura da laje.

Atendida a condição citada, calculam-se as flechas (Capítulo 8), que devem atender

aos limites de norma. Assim, por um processo iterativo, define-se a espessura

definitiva da laje.

A altura útil de uma laje, d, é definida como a distância da fibra mais comprimida

ao centro de gravidade da armadura de maior área (principal). É, assim, função

da espessura total da laje, h, da espessura da camada de cobrimento nominal de

concreto, c , e da bitola das barras da armadura principal, 0. conforme a1 nom ' r r i i

Figura 7.5:

d = Jl - C»an<~ <pf 2

Cnom = cobrimento

armadura principal armadura secundária nominal de concreto(bitola (/)) (menor área)

Figura 7.5 -Armaduras principal e secundária e altura útil (d] de lajes maciças


ANBR 6118 -»• 7.4.7 estabelece os valores mínimos para a espessura nominal da

camada de cobrímento de concreto. Segundo a Tabela 6.1, da NBR 6118 -*

7.4.7, as classes de agressividade ambiental são classificadas como CAA l a

CAAIV (fraca, moderada, forte e muito forte). Para as lajes de concreto armado,

devem ser observados os valores da Tabela 7.1, a seguir, extraída da Tabela 7.2

da norma.

Tabela 7.1 - Espessura do cobrimento de concreto (c } em lajes de concreto armador v nom' '

Classes de agressividade ambiental

Cobrimento nominal de concreto (cmm) mm

/

20

//

25

///

30

IV

45

ANBR 6118 -*• 7.4.7.5 permite para as armaduras da "face superior de lajes e

vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos

finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e

acabamento com pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, asfálticos e

outros tantos" que as exigências dessa tabela sejam reduzidas, respeitado o

cobrimento nominal > 15 mm. Com o aumento significativo dos cobrimentos

em relação à NB-1/78, essa redução é importante para o dimensionamento,

visto que, no cálculo por métodos elásticos, em geral, a espessura da laje é

imposta pelos momentos negativos nas seções dos apoios, mais elevados que

os positivos nos vãos. Dessa forma, para as armaduras negativas de lajes

revestidas no interior de edifícios, nas condições citadas, o cobrimento mínimo

é de 15 mm, nas quatro classes.

Para bitolas da armadura até 10 mm e classe ambiental CAA l, podem ser

adotados os valores da altura útil da laje (distância do centro de gravidade da

armadura principal até a fibra mais comprimida);

armaduras negativas: d~h -2yO cm

armaduras positivas: d = h -2,5 cm

(7.1)


Para outras classes ambientais, a altura útil pode diminuir muito. Na classe IV,

por exemplo, para uma laje revestida de espessura 12 cm, têm-se para armaduras

negativas d = 10 cm e positivas d = 7 cm.

7.3 AVALIAÇÃO DE CARGAS NAS LAJES

7.3.1 Cargas permanentes

7.3.1.1 Peso próprio

Tomando o valor da espessura da laje, h, em centímetros, obtém-se a carga

permanente por área de laje maciça, admitida como uniformemente distribuída,

pela expressão;

g = 25h (kgf/m*) (7.2)

7.3.1.2 Peso dos revestimentos inferior e superior

Nos casos usuais de piso com tacos de madeira, argamassa de contrapiso e

revestimento inferior da laje com argamassa de a\.é2,0cjn de espessura, é comum

se adotar uma carga permanente adicional com o va\or 100kgf/m2.

Uma execução deficiente, em especial quanto a formas e escoramentos, pode

conduzir a valores bem superiores, pela necessidade de uma maior espessura

da argamassa de contrapiso e de nivelamento do piso. Nos casos especiais de

pisos de materiais mais pesados, como, por exemplo, mármore ou granito, a

carga por área pode ser obtida da tabela de pesos específicos dos materiais de

construção, da norma NBR 6120: 1978 (NB-5).

7.3.1.3 Peso do enchimento em lajes rebaixadas

Por exigência do projeto de arquitetura, pode haver em um pavimento alguma(s)

laje(s) em nível abaixo das demais, denominadas "rebaixadas". Em edificações


mais antigas, era uma medida comum para se embutir tubulações. Atualmente,

é uma solução superada, pois, para maior rapidez e economia nas formas e

facilidade de reparo das tubulações, as instalações hidráulico-sanitárias são

localizadas sob a laje, embutidas em forros de fácil remoção e peso reduzido.

Nas lajes rebaixadas, se houver algum tipo de enchimento, para nivelar o piso,

deve ser ainda acrescida a carga adicional respectiva. Nesses casos, pode-se

tomar como peso específico do material de enchimento (em geral, entulho de

obra) o valor L 000 kgf/m3.

laje

• • •

viga ' : ^ \ viga delaje rebaixada tubulações bordo

Figura 7. 6 -Laje rebaixada em relação ao nível do piso

7.3.1 .4 Cargas de paredes apoiadas diretamente sobre as lajes

No lançamento estrutural, é conveniente dispor as vigas alinhadas sob as paredes

principais, para receber sua carga. Entretanto, isso nem sempre é possível, sendo

frequente haver paredes assentadas diretamente sobre as lajes.

A Tabela 7.2, a seguir, apresenta valores do peso por m2 da parede "acabada",

isto é, revestida dos dois lados, com argamassa de espessura até 2,5 cm, para

as espessuras usuais. Para blocos de argamassa ou concreto, existe grande

variedade de dimensões e os valores da tabela são' apenas indicativos, devendo

ser consultadas as especificações do fabricante. Com o uso de tecnologias

modernas e métodos racionais de execução, a espessura de paredes e o peso

do seu revestimento podem ser reduzidos de forma significativa.

Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares 295

Os valores da tabela são obtidos com os pesos específicos da norma NBR 6120:

• Tijolo cerâmico furado: y = 1.300 kgf/m3

• Tijolo cerâmico maciço: / = 1.800 kgf/m3

• Bloco de argamassa: y = 2.200 kgf/m3

- Argamassa de cimento e areia: / = 2.100 kgf/m3

No caso de tijolo cerâmico furado de dimensões 10x20x20 cm, os pesos por

área de parede acabada, p', da Tabela 7.2, são calculados como se segue

(aproximação em múltiplos de 10):

w> parede de 15 cm O g = 1300 x 0,10 + 2100 x 0,05 = 240 kgf/m2

^ parede de 25 cm O g = 1300 x 0,20 + 2100 x 0,05 = 370 kgf/m2

Tabela 7.2 — Valores do peso unitário de parede acabada (p}: kgf/m2)

Espessura daparede acabada

12 cm15 cm25 cm

Tijolo cerâmico furado10 x 20 x 20 cm

240370

Blocos de concreto celular(dimensões em cm )

200 (bloco de 8x20x40)230 (bloco de 12x20x40)310 (bloco de 20x20x40)

blocos deargamassa

260330550

A determinação da carga proveniente de paredes apoiadas diretamente sobre as

lajes é feita em função do valor da relação de vãos das lajes, na forma seguinte;

a) Cargas de paredes apoiadas sobre lajes em cruz

O peso da parede (g , ) é tomado como uma carga distribuída

uniformemente em toda a área da laje. No exemplo da Figura 7.7 (a), sendo

p' o peso unitário das paredes, da Tabela 7.2, e Ha sua altura (pé direito),

com os comprimentos a e b , tem-se:

oparede„ (a + b )Hpr

l 2

(7.3)


L

>• R

h/2

U U U U U / aliiiiiiiiiÁ A Â A

P + g parP.

G

UUUiiiA

Lajes em cruz: / ; /12 £ 2 b) Lajes em uma díreção: l} /12 > 2

Figura 7.7 - Cargas de paredes diretameníe apoiadas sobre lajes retangulares maciças

b) Cargas de paredes apoiadas sobre lajes em uma dlreção

Conforme mostra a Figura 7.7 (b), duas posições podem ser consideradas

para avaliar a carga da parede sobre a laje: parede paralela ou perpendicular

ao menor vão. No primeiro caso, a parede transmitirá à laje uma carga

distribuída e, no segundo, concentrada:

^ 1 caso - parede paralela ao menor vão: a carga da parede pode ser

considerada uniformemente distribuída na região de influência B e acrescida

à carga total da laje, p. A largura da região B pode ser tomada como a

metade do vão menor. Sendo a extensão da parede / Q , a carga por área

g arede é dada pela primeira das expressões (7.4).


2^ caso - parede perpendicular ao menor vão: a carga da parede, G, é

considerada concentrada, em uma faixa de largura unitária na região B de

influência (p': Tabela 7.2):

Q , = ¥-1 ' P°reiíe - p ' ' Pare(le& parede 7 / 7 / 9 1 , ->

12{12/1) 12

(7.4)G = p'.H.lm (kgf)

Observações:

• Nos dois casos de lajes em uma direção, em termos exclusivos de consumo

de aço, o mais económico seria calcular armaduras distintas para as regiões

com e sem influência da parede, B e A da Figura 7.7 (b), respectivamente.

Entretanto, tal procedimento, além de aumentar o trabalho de cálculo e

desenho, dificulta e introduz maior risco de erro no trabalho de armação. Por

isso, é prática comum calcular apenas as armaduras para as situações mais

desfavoráveis e repeti-las em toda a extensão da laje,

• No cálculo da carga de paredes, em geral, não se descontam os vãos de

portas e janelas. É a favor da segurança e pode cobrir eventuais modificações

posteriores.

• No caso de haver divisórias sem posição definida sobre a laje, a NBR 6120

determina que se considere um acréscimo na carga de, no mínimo, 100

kgf/m2.

7.3.2 Cargas acidentais

As cargas variáveis de utilização da edificação, também chamadas "acidentais,

sobrecargas de utilização ou cargas de serviço", são definidas na Tabela 2 da

NBR 6120, quefornece os valores mínimos de carga uniforme por m2 de laje, para

edificações de várias naturezas e seus respectivos tipos de espaço. Em situações


especiais, outros tipos de carga devem ser considerados, exigindo-se atenção

às disposições dos itens seguintes da norma:

• item 2.1.2 o paredes divisórias sobre as lajes

• item 2.2.1.3 o armazenagem de materiais de construção e outros materiais

• item 2.2.1.5 o cargas em parapeitos e balcões

• item 2.2.1.6 cí> cargas em lajes de garagens

7.4 CÁLCULO DE ESFORÇOS EM LAJES RETANGULARES

7.4.1 Introdução

Os métodos de cálculo de esforços são classificados, quanto à sua natureza,

em elásticos ou plásticos. Os primeiros calculam os esforços da estrutura na

fase elástica, com base na sua geometria indeformada, sob cargas de serviço.

Os métodos plásticos admitem a laje em regime de ruptura, obtendo-se daí as

configurações de equilíbrio para o cálculo dos esforços últimos. A seguir,

descrevem-se, sucintamente, esses métodos.

a) Cálculo no regime elástico

O cálculo de esforços e deslocamentos em lajes maciças baseia-se na solução

de uma equação diferencial, denominada equação de Lagrange, estabelecida

pela teoria das placas. Para materiais elásticos e uniformes, a equação relaciona

o deslocamento elástico z de um ponto de coordenadas x e y (Figura 7.8)

com a carga unitária por área p, uniforme e normal à superfície média da

placa, na forma seguinte:

p (cargo/área)

_ + - - -t- — — = __ (7.5)e9x4 ax~.av^ av -L*j

\ h (espessura)

Figura 7.8 - Placa de material elástico e uniforme

Capítulo' 7 - Calculo" de lajes rnãcíças retângCiláVéà

A rigidez à flexão da placa elástica êdada por:

E h3

12 (J _ (7-6)

oTíde:

h -espessura'da'rJlacá

E = módulo" de elasticidade do material

v - coeficiente de Pôisson do material.

As condições de contorno para solução da equação diferenciai (7.5) são:

^flecha nula: z — O (em todos os bordos apoiados)

^•momentonulo: d2 z/ dx 2 — O (Bordbs simplesmente apoiados)

^ rotação nula: az / â x = O (bordos engastados)

Da expressão (7.5), deduzem-se as expressões (7.7) é (7.8), para cálculo dos

momentos fletores em duas direções ortogonais na laje:

**• M = momento por unidade de comprimento de laje na direção paralela ao

eixo "y"

^ M = momento por unidade de comprimento de laje na direção paralela ao

1-3,2 ;j2

-£-L + v — \7 7^â x2 dy*\

Mv = -â y2 â x2

No regime elástico, o cálculo dos momentos nas lajes pode ser feito por diferentes

métodos, que variam em grau de aproximação, conforme as ferramentas

disponíveis:


a.1) Métodos clássicos

Dos métodos clássicos, o mais antigo é a Teoria das Grelhas ou dos

Quinhões de Carga, que consiste na divisão da laje retangular em faixas

ortogonais de largura unitária, nas direções x ey, paralelas aos bordos.

A carga total por área da laje (p) é também dividida em duas parcelas,

chamadas "quinhões de carga", p -f p —p, nas faixas ortogonais.x y

Cada faixa é então calculada como uma viga submetida à respectiva

parcela da carga total. O método é conservador quanto aos esforços

produzidos, pois despreza a ligação lateral entre as faixas na mesma

direção, obviamente existente na peça monolítica.

a.2) Métodos baseados na teoria da elasticidade

Têm como base a solução da equação de Lagrange, por técnicas numéricas

com diferentes fundamentos e graus de precisão:

^ Integração por séries trigonométricas: métodos de Kalmanok, Czérni e

Bares.

^ Integração numérica conduzindo a sistemas de equações lineares:

métodos das diferenças finitas e dos elementos finitos.

a.3) Métodos mistos

São métodos de caráter prático, que corrigem os momentos obtidos da

teoria das grelhas por meio de coeficientes obtidos da solução da equação

de Lagrange pela teoria da elasticidade. Desses métodos, o mais tradicional

e mais utilizado na prática é o método de Marcus, apresentado neste texto,

no item 7.4.3.1.

b) Cálculo no regime rígido-plástico

Baseia-se na configuração de equilíbrio da laje imediatamente antes da ruptura,

após a plastificação dos materiais, considerando atingidos o esmagamento

do concreto e o escoamento do aço. Sob a ação das cargas últimas, confirma-


se experimentalmente que a laje se divide em painéis rígidos, que giram em

torno de rótulas, denominadas "linhas de ruptura, charneiras ou rótulas

plásticas", que têm a direção das fissuras na laje, conforme a Figura 7.9, que

mostra a configuração provável de ruptura de uma laje retangular engastada

nos quatro bordos, sujeita a carga distribuída uniforme em toda a área.

Segundo essa configuração, ao se aproximar a ruptura, a laje se divide em

triângulos e trapézios, com as linhas cheias no interior da laje representando

as fissuras ou rótulas plásticas que se formam na sua face inferior e as

linhas tracejadas seriam as fissuras na região vizinha às vigas de apoio,

sobre a face superior.

laje em planta

fissuras na faceinferior da laje

fissuras na facesuperior da laje

Figura 7.9 - Configuração de ruptura em laje retangular engastada nos quatro bordos

Do exposto, com base nos doís métodos descritos - elástico e rígido-plástico -,

existem duas alternativas para o cálculo dos esforços nas lajes de concreto

armado:

(D Calcular os momentos fletores de serviço na laje, Mk, por um método elástico

e com eles obter os momentos últimos de cálculo (ruptura da laje), com a

majoração: M. ,., = y,M,. O dimensionamento das armaduras efeito comJ s a.elasl 'f k

os momentos Mdel^ e as verificações aos estados limites de serviço -

flechas e fissuração, com Mk . É o processo mais simples e a favor da

segurança, principalmente no que se refere aos momentos negativos. Em

geral, algum balanceamento posterior dos momentos positivos e negativos é

conveniente.


(D Calcular os momentos de ruptura na laje, M, ,.,, pelo método das linhas de. ' . • . : r' - J ' a.plasf ' ~

ruptura, a partir de uma .relação prefixada entre .95 monêntos,negativos e

positivos, em geral tomando-os cqm va|or igual. Das condições de equilíbrio

correspondentes, obtêm~se os mqrneptos-últimos, ,que pode.rn ser.diferentes

.dos M, ,. ...e^dimensionam-se as armaduras. .O-emprego de algum, método- - - • • a.eíasl'- - * < V ! ; - • • . . • : • . - • ; • . * , • : >i • • . • • . ' . ; ! • ; - ' i \'.>\*' ;. ' - ' ' ; . • - . , • ' , 'i • • ' . • " • • . . '

,elástico, é ainda necessário.para se obter os momentos de siervjço, ,Mk, par.a

a verificação aos ELS. Na maioria das vezes, essa alternativa é mais económica,

pelo balanceamento prévio dos momentos positivos e/.^negatiyos^.rTras-.exige

dois procedimentos de cálculo.

As normas admitem os dois processos e o projetista pode escolher a opção mais

económica, com a segurança adequada aos ELU e funçi.pnalidade aos- ELS -

flecha e fissuração. A tendência moderna, com a disponibilidade de ferramentas

computacionais, é dimensionar as armaduras pela alternativa (D e verificar as

flechas nas lajes pela alternativa (D.

7.4.2 Cálculo de momentos nas lajes em uma só direção

7.4.2.1 Lajes isoladas

Os momentos fletores são calculados considerando as faixas de largura unitária,

paralelas à menor direção, como vigas apoiadas nos bordos maiores. As diversas

condições de apoio nesses bordos podem ser vistas na Figura 7.10 (a), a seguir.

A armadura principal é calculada apenas para os momentos calculados no vão

menor, positivos e negativos. Quanto à direção maior, é exigida uma armadura de

"distribuição", obtida como uma fração da armadura principal, como será visto no

item 7.6.3.3.


In

L

T p

•í^îp!2/S

UK

p!2/8

a) Lajes isoladas em uma direção

lm

i; L2 L4

H l t u t t t l l H U ITT

"L "jV/2

b) Lajes contínuas em uma direção

L

p!2/2

Momentos fletores:

Positivos

M,- =p l"; j /3 = JJ vão extremo

B fí=J5 vão interno

Negativos

X,j =

2 vãos : /? — á"

f j3 = 8 primeiro emais de j último apoios2 vãos 1 i

i, f} = 9 demais

Figura 7.10 — Momentos fletores em lajes calculadas em uma só direção


7.4.2.2 Lajes contínuas

A edição anterior da norma, a NB-1/78, no item 3.3.2.6, apresentava um processo

aproximado, de interesse prático, para o cálculo de uma faixa de largura unitária,

paralela à menor direção da laje, tomada como uma viga contínua, como mostra

a Figura 7.10 (b). A condição de uso é que os vãos mínimo e máximo nessa

direção observem a relação / . ^.0,81 . Quando essa relação de vãos não é1 •* ruiu ' max s

obedecida ou existem cargas concentradas nas lajes, deve ser usado outro método

para o cálculo como viga contínua. Pelo método, os momentos fletores máximos

(positivo ou negativo), em cada faixa de largura 1 metro, são dados pela expressão

abaixo, sendo o coeficiente fi definido na Figura 7.10 (b).

Mmax = (g + q)l*//1=pl2//} (7.9)

Para o cálculo dos momentos negativos, o vão / é tomado como a média dos

vãos adjacentes ao apoio considerado, sendo /? igual a 8, para os apoios extremos,

e igual a 9 para os apoios internos, quando houver mais de dois vãos, Tomando

como exemplo a laje de quatro vãos da Figura 7. 10 (b), os momentos positivos e

negativos pelo método da NB-1/78 seriam:

=pl*/ll M2 = pl22/15 M3 =p 132/15 M4 =p 142/11

=P [d,+l2)/2]2/8 X23 = p [(l2+l$)/2J2/9 X34 =p [fl3+l4)/2]2/8

7.4.3 Cálculo de momentos nas lajes em cruz

7.4.3.1 Lajes isoladas - método de Marcus

Para o cálculo dos momentos fletores nas lajes em cruz, ou seja, com relação de

vãos < 2, o o método de Marcus é, provavelmente, o mais utilizado no Brasil.

Conforme exposto no item anterior 7.4.1 - alínea a.3), é um método elástico

misto, que fornece valores satisfatórios para os momentos da laje nos estados

limites de serviço, isto é, sob as cargas previstas de uso.


Em geral, os momentos negativos de cálculo obtidos pela simples majoração

Md = yMfrSão conservadores com relação aos momentos de ruptura do cálculo

plástico. Dessa forma, pode ser conveniente reduzir os momentos negativos por

meio de uma redistribuição em que, para manter o equilíbrio, se aumentem os

momentos positivos. O processo de redistribuição de momentos é previsto na

NBR 6188 -> 14.7.3.2, por meio de um coeficiente â, relacionado com a altura

relativa da linha neutra, x/d, dado por:

"a) õ > 0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck < 35 MPa ou

b) Õ > 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa"

Os momentos negativos teriam seu valor reduzido para 5M e os positivos

aumentados na mesma proporção. Pela Norma, o coeficiente de redistribuição

deve observar o limite Õ > 0,75, que impõe que a máxima redução permitida dos

momentos negativos seja de 25%, atendidas as condições acima.

Para as lajes retangulares apoiadas em todo o seu contorno, o método de Marcus

prevê seis casos de cálculo, em função da natureza dos vínculos nos bordos -

apoio simples ou engaste.

Em cada caso, o parâmetro de entrada é o coeficiente /l = / / lx . A condição

fundamental para o emprego do método é a definição do vão / das lajes, como

mostra a Figura 7.11, a seguir.

/ : vãos na direção da normal ao maior número de bordos engastados. Havendo

igualdade nessa primeira condição, lx será o menor vão. Dessa forma, têm-

se para o parâmetro Ide entrada nas tabelas 7.6, ao final deste capítulo, as

seguintes situações:

Casos 1 , 3 e 6 O 1,0 ^ Ã ^ 2,0

Casos 2, 4 e 5 O 0,5 £ À, £ 2,0


Figura 7.11 - Definição dos seis casos de lajes retangulares em cruz peio método de Marcus

Os momentos fietores positivos e negativos em cada direção da laje, por unidade

de comprimento, são calculados peias expressões (7.10) e (7.11), a partir dos

coeficientes m , m , n ,ni9 obtidos das tabelas 7.6 (a) a (f), ao finai deste

capítulo, para os seis casos da Figura 7.11, entrando com o parâmetro A.

momentos positivos o (7.10)

momentos negativos o AT = (7.11)

As tabelas fornecem ainda um coeficiente k , com o qual se obtém o "quinhão"

da carga total por área (p) nas direções ortogonais x e y: p = kxp e

p = (1-k^p. Esses quinhões podem ser usados para cálculo de flechas em

faixas isoladas, com resultados muito conservadores.


7.4.3.2 Lajes contínuas

O cálculo é efetuado como lajes isoladas, por meio de uma decomposição virtual,

em que se consideram engastadas entre si as lajes em que haja continuidade

sobre o bordo comum. Nos bordos onde não houver continuidade, consideram-se

apoios simples.

Nas lajes calculadas como peças isoladas, obtêm-se dois valores para o momento

negativo no bordo comum com continuidade, que podem ser diferentes, em função

dos vãos e das cargas das lajes. Entretanto, na estrutura monolítica, o momento

negativo no bordo deve ter um valor único, o que exige a uniformização dos

momentos diferentes obtidos naquele bordo. A Figura 7.12, a seguir, apresenta

um critério simplificado e a expressão genérica para o cálculo do momento

uniformizado, X.. .f, ao longo de um bordo.ij.nnif °

Quando as lajes adjacentes apresentam grandes diferenças de vãos, é necessário

corrigir, também, os momentos positivos calculados nas lajes isoladas. Tal

correção pode apontar diferenças significativas quando a diferença dos vãos

contíguos ultrapassa 25%.

Planta de lajes:

LI

L3

îj.iinif^

L2

L4

Xij + Xji

0,8 (maior deXy e Xj[

Separação para fins de cálculo:

LI L2

XJ3 X.

J3,unif •

24'

V2

L3X34 X43

L4

^24,unÍf

Figura 7.12 — Decomposição virtual para cálculo de lajes continuas


7.4.4 Considerações especiais sobre continuidade entre lajes

Havendo continuidade entre lajes adjacentes, considera-se para o cálculo haver

engastamento perfeito entre elas sobre o bordo comum. Caso contrário, o bordo é

tomado como um apoio simples. Vale destacar os casos seguintes, de caráter prático:

a) Se no bordo de uma laje não existe continuidade completa, para fins de

cálculo considera-se a continuidade (engaste) em todo o bordo se houver

continuidade em 2/3 ou mais de seu comprimento; caso contrário, toma-se

todo o bordo como apoio simples. A Figura 7.13 mostra os dois casos para

a laje L1. O bordo ÂB dessa laje pode ser considerado todo engastado ou

simplesmente apoiado, dependendo da razão do trecho contínuo AC para o

comprimento ÁB do bordo todo. Em qualquer das situações obtidas, a laje

L2 será engastada em L1, pois existe continuidade em toda a extensão de

seu bordo AC. Deve-se fazer o equilíbrio do momento J^^ (momento negativo

na laje L2 pela continuidade com L1)comXiW:2, nocasodeser^C> 2/3 AB,

ou com zero, se AC < 2/3 ÂB.

Para fins de cálculo:

se AC 2 2/3 AB: seAC<2/3AB:flama de lajes

A

LIC

L2

v, >*- x1

,- s.

s vazio s

/

B

Í7

sí:s.s.sí ot/

í:

xN. ri

~

LI

Í^!^^M

A xxxxxxxx

\$

Z2 e/» ambos os casos

À

Figura 7.13 - Considerações sobre os apoios em bordos sem continuidade completa


b) Não se considera a continuidade entre lajes de níveis diferentes. Na Figura

7.14, sendo a laje L2 rebaixada, as lajes L1, 13 e L4 serão calculadas

considerando os bordos comuns a L2 como apoios simples.

Para fins de cálculo:

Planta de lajes

rebaixadade 20cm, emrelação aonível de \

Figura 7.14 - Decomposição de painéis de lajes com níveis diferentes

7.5 CARGAS DAS LAJES NAS VIGAS

Para avaliaras reações de apoio nas vigas de bordo de lajes maciças retangulares

com carga uniforme, a NBR 6118 -> 14.7.6.1 adota um processo baseado numa

análise rígido-plástica, segundo a qual a laje no estado limite último se divide em

painéis rígidos, que giram em torno de "charneiras ou rótulas plásticas". Nessa

configuração de ruptura, a laje fica dividida em trapézios e triângulos, por linhas

de ruptura partindo dos seus vértices, conforme mostram os exemplos da Figura

7,15. O processo admite que toda a carga referente a cada um desses painéis é

transmitida como uniformemente distribuída por unidade de comprimento à viga

de bordo que é a base dos trapézios/triângulos. Procede-se como se a laje fosse

dividida em áreas de influência, por retas inclinadas a partir dos vértices, com os

ângulos seguintes:

**- 45° — entre dois apoios do mesmo tipo (ambos engastes ou apoio simples);

^ 60° - a partir do apoio engastado, se o outro for considerado simplesmente

apoiado;

^ 90° - a partir do apoio, quando o bordo vizinho for livre.


p = carga unitária por área nas lajes

VI60C

V3

_.-\45° V2 45°f-..

x/-* sss-s^s-S

s"Ss*S

S"S"

£ S

N

'')•; V]

60° """--.,., 7

3

V3 /"' 2

/\45° V2

"s

bordolivre

Carga na viga Vi = p.(área i) /li Carga na viga V3 — p.(área 3) /h

Figura 7.15-Cargas nas vigas de bordo de lajes retangulares (Método da NBR 6118)

A Tabela 7.7, ao final deste capítulo, apresenta expressões para o cálculo

aproximado das reações nas vigas de bordo em lajes maciças retangulares com

carga uniforme, pelo processo da áreas de influência, para os casos 1 a 6 do

método de Marcus (ver Figura 7.11).

7.6 DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES

7.6.1 Verificação da espessura da laje

As lajes maciças apoiadas em vigas no contorno são armadas com armadura

simples, em uma só camada, na grande maioria dos casos da prática, pelas

razões expostas no item anterior 7.2.3. Deve ainda ser atendido o limite imposto

à profundidade relativa da linha neutra, x/â, pela NBR 6118 -> 14.6.4.3, para

melhorar a dutilidade nas regiões de apoio sobre as vigas, conforme descrito nos

itens 5.4.3.2, alínea b),-e 5.4.4, alínea e), do Capítulo 5.

A espessura das lajes de um painel deve ser verificada, portanto, no início do

cálculo, para duas condições: dutilidade adequada aos momentos negativos (k ici

< 0,272 ou 0,228, conforme a resistência do concreto) e viabilidade de cálculo

com armadura simples para momentos positivos (k ,< k ... ). Na maioria dos~ -~ ~ \ nialim'

casos, basta a verificação ao momento negativo máximo equilibrado de todo o

Capítulo 7 - Cálculo de-lajes maciças retaogulares 3-1 1

painel. Da expressão (5.5), para faixas de |aje delargura unitária como vigas de

b = 1,0 m, devem-se verificar as expressões seguintes:

..{y .momentos fletores negativos nos apoios

Sá/ , 35MPfl o M-, ~rM'~ &0&72.d?f . (7.12).• J ck • • ' i Sd.ttiax- 'f- max ?- \- cá v >

Se / , > 35 M?a o M w = />Af ' ^ 0£28-'d*f .J ck . Sa,inax- ' f max J J ca

^-.m.qmentQsfletqres.positivos

Mw =?Vtf* ^ A r - ,. d2/. (7.13)Ja, max ' f max maitm J ca » /

.onde.:

^m« = momentafletor máximo (positivo ou n.egatívo), em módulo, para faixas

de largura unitária em lajes de mesma espessura h\ ... = coeficiente adimensional do momento fletor, no limite entre os domínios

mdlim '

3e4daflexão, com um valor para cada aço (Tabela 5.2 -Capítulo 5);

d-h~c- 0/2 = altura útil da laje, sendo c a espessura do cobrimento nominal

de concreto e 0 o diâmetro das barrras da armadura principal

(ver Figura 7.5);

bw = l metro = para o cálculo como viga de largura um metro.

Para obter momentos em kgf.m, em faixas de largura unitária, adota-se;

d o cm;/^ o kgf/cm2.

7.6.2 Cálculo das armaduras

As armaduras de uma laje, positivas e negativas, são calculadas, em cada direção,

como uma viga de largura bw = l m. Conhecida a espessura da laje e o momento

fletor de cálculo por metro.de largura de laje, em cada direção, procede-se como

no cálculo de armadura de vigas, exposto no Capítulo 5:


k =mã

J»fM (7-14)

com: Msd O em kgf.m; d O em cm;fcd O em kgf/cm 2.

Calculado o coeficiente kmd , obtém-se o valor de k (da Tabela 5.2), com o qual

se determina a armadura por metro de laje, em uma dada direção:

A =_^_ (cm2/m) (7.15)

com: Msd O em kgf.m; d O em metros; f ^ O em kgf/cm 2.

Obtidas as áreas de armaduras positivas (Á * ,À +) e negativas (A ~,Á ~\emr ^ sx ' sy ' ° ^ sx ' sy /'

cm 2/m, a Tabela 7.5 fornece as bitolas das barras e espaçamentos, com as seguintes

observações;

a) É recomendável adotar espaçamentos s >10 cm, visando obter um bom

lançamento e adensamento do concreto.

b) O uso do aço CA-60 em lajes resulta em economia, pelo maior valor da tensão

de escoamento f d e pela disponibilidade de bitolas mais finas que 5 mm.

Especial atenção deve ser dada às precauções quanto ao cálculo no domínio 2,

situação muito comum em lajes, em especial para os momentos positivos, para

prevenir a ruptura frágil e deformações excessivas das armaduras.

As disposições para armadura mínima, do item 7.6.3.1, a seguir, devem ser

atendidas. Para valores de k <> 0,05 (ou k , < 0,014), pode-se adotarx ' ^ ma ' Jjr-

diretamente^4 = Á . .


7.6.3 Prescrições da NBR 6118: 2003

7.6.3.1 Armadura mínima em ia j es

Conforme dispõe a NBR 6118 -*• 9.3.3.1: "Os princípios básicos para o

estabelecimento de armaduras máximas e mínimas são os dados no item 17.3.5.1.

Como as lajes armadas nas duas direções têm outros mecanismos resistentes

possíveis, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação

aos dados para elementos estruturais lineares".

Quanto às armaduras mínimas, estabelece: "Para melhorar o desempenho e a

dutilidade à flexão e à punção, assim como controlar a fissuração, são necessá-

rios valores mínimos de armadura passiva, dados na tabela 19.1. Essa armadura

deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou portelas

soldadas",

ATabela7.3, a seguir, extraída daTabeia 19.1 da norma, apresenta as taxas de

armadura mínima para as lajes de concreto armado. Como esclarece a norma, as

lajes em cruzou calculadas nas duas direções dispõem de mecanismos resisten-

tes adicionais ao elementos lineares, pelo funcionamento como placa, e, por isso,

valores menores são admitidos para as armaduras positivas mínimas.

Tabela 7.3 - Taxas de armadura mínima para lajes de concreto armado

//p,=A,/(bvh)

ArmadurasNegativas

Ps* P min

Armaduras Positivas

Lajes em cruz

Principal: p szQ,67pmln

Secundária:^ s è 0}2ASipt,ínc

Lajes em uma direção

Principal

PsZPmto

Secundária

ps2Q,5pmín

As > 0,2ASiprinc

As è 0,9 cm2/ m

As taxas p da Tabela 7.3 são referidas aos valores de p . , da Tabela 7.4,"s ' mm

também extraída da norma. Para se obter as armaduras mínimas da laje, positivas

e negativas, em cm2/m , entra-se com h em. cm e bw = 100 cm na expressão:

31-4 João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Tabela 7.4-Valores de p . (NBR 61f8 ^M7.3;5:2.1)" min ^ J

0,1.5

.25

0,15 0,173 0,201 0,23

45

0,259

50

0,288

7.6.3.2 Bitola das barras da armadura

Não é definido um .limite inferior para-a;bitola;,entretanto, não devem ser utilizadas

barras com bitola inferior,a 3,4 mm, a menos de telas soldadas. AMBK 6118 -»•

20.1 determina a bitola máxima da armadura em função da.espessura da laje:

h/8 (h = espessura da laje) (7.17)

7.6.3.3 Armadura de distribuição em lajes em uma só direção

A armadura de distribuição de lajes em uma só direção é paralela ao maior vão,

sendo fixada como 1/5 da armadura principal, calculada, como indicado na última

coluna à direita da Tabela 7.3, na forma seguinte:

A ,,. =A . /S k 0,5p . k 0,9 cm2/ms,aist s,pnnc } * min J(7.18)

7.6.3.4 Espaçamento das barras da armadura

Segundo a NBR 6118-* 20.1: "As barras da armadura principal de flexão devem

apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor

desses dois valores na região dos maiores momentos fletores.

A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura

principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm.

Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares 315

A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das

barras da armadura principal".

Com a prescrição do espaçamento máximo de 33 cm, a norma impõe o mínimo

de três barras por metro para as armaduras de lajes. fs*

Pode-se concluirtambém das disposições da norma que a área mínima absoluta

para as armaduras positivas e negativas é 0,9 cm2/m.

As alternativas seguintes podem ser adotadas peio projetista para o detaihamento

das armaduras, condicionando os espaçamentos e o comprimento das barras:

a) Armadura corrida

(D Barras retas de mesmo comprimento em cada direção, de face a face

(externas) das vigas de bordo. Espaçamentos: armadura principal o

s < 2h ou 20 cm\a o s' < 33 cm.

(D Barras retas com dois comprimentos em cada direção: metade das barras

de face a face (externas) das vigas de bordo e a outra metade concentrada

na região central, à distância 0,21 do centros das vigas, sendo / o vão

menor. Espaçamentos: armaduras principal e secundária O s < 16,5 cm

(Figura 7.16 a).

b) Armadura alternada

Barras retas alternadas, a partir da face externa de cada viga de bordo, de

mesmo comprimento em cada direção, igual ao respectivo vão teórico menos

0,21 , sendo / o vão menor. Espaçamentos: armaduras principal e secundária

O s < 16,5 cm (Figura 7.16 b).

3 16 João Carlos Teatíní de Souza Clímaco

_JQ,2L

0,2

armadura principal: s

0,2l

0.5A*

0,5A,y

L

2h

l^ly niO,2lx

armadura secundária: s' 33cm

0,21* r

Figura 7.16 -Arranjo de barras das armaduras positivas em lajes apoiadas em quatro vigas

7.7 DETALHAMENTO

7.7.1 Recomendações básicas

O desenho das armaduras das lajes é feito díretamente sobre a planta de formas

da estrutura do pavimento. A Figura 7.17 mostra um exemplo de detalhamento de

armaduras positivas, com o desenho feito sobre um trecho da planta de formas.

As seguintes regras básicas devem ser observadas:

a) Na planta de armadura de lajes, desenham-se em cada laje, no máximo, duas

barras representativas da armadura de cada direção, positiva ou negativa. Ao

longo dessas barras, anotam-se as informações seguintes: número de barras

iguais naquela direção, bitola, espaçamento entre barras e comprimento unitário.

b) Uma convenção comum nos desenhos de ferragens de lajes adotava a

representação das barras da armadura positiva por linhas cheias e da negativa

por linhas tracejadas. Com o advento do cálculo informatizado, essa prática

caiu em desuso.


c) Não devem ser superpostos os desenhos de armaduras positivas e negativas,

quando houver possibilidade de confusão na planta. Em estruturas com

simetria em planta, podem-se desenhar as armaduras positivas de um lado

e as negativas do outro.

d) Todas as barras da planta com mesma bitola, comprimento e formato

recebem um número de ordem ou posição, com que serão identificadas no

quadro analítico de ferros.

e) Na planta de armaduras de lajes devem constar as informações: resistência

característica do concreto, f ' a(s) classe(s) de aço empregada(s) e os

respectivos quadros de armadura "analítico" e "resumo", descritos no item

7.7.3.

1

0,50]

0,50 14.

R"

5-(4

15e2

-

-s"T.

ar24<j>5,Qc/]6-(515e355)

~4-

—\J

* O,2x4m

0,80

o,so

0,80

=5

24$ 5.0 ci '16-435

0,80\a 7.17 — Detalhamento de armaduras positivas em lajes sobre quatro vigas (exemplo)

7.7.2 Arranjo de armaduras negativas

As barras da armadura principal de tração sobre os apoios, denominada "negativa",

situadas na face superior da laje, devem se estender para cada lado, a partir

do eixo da viga de apoio, de acordo com um diagrama triangular de momentos

(Já deslocado), com o espaçamento das barras não excedendo 20 cm ou 2 h.


Em lajes retangulares contínuas de edifícios sob carga distribuída uniforme, com

a sobrecarga e a carga permanente observando a relação q <> g, não é necessário

determinar o diagrama exato dos momentos negativos.

Conforme dispõe a publicação Prática recomendada Ibracon ~ comentários

técnicos NB~1 (2003), na ausência de determinação das distribuições de

momentos, desde que as vigas de apoio sejam suficientemente rígidas (ou seja,

deve-se ter cuidado especial no caso das chamadas "vigas chatas") e não seja

necessário considerara alternância de cargas, as armaduras negativas podem

ser dispostas conforme os arranjos seguintes, representados sinteticamente na

Figura 7.18, a seguir.

<* Em bordos simplesmente apoiados, portanto sem continuidade, em se

tratando de lajes com valores de cargas e vãos elevados (ern geral, superiores

a 6,0 m), devem-se prever armaduras específicas junto às faces superiores,

para prevenir fissuras paralelas às vigas na região próxima a esses bordos.

As barras são normais ao bordo, com espaçamento uniforme, sendo sua

área uma fração (0,25) da armadura positiva da laje paralela ao bordo, como

mostra a Figura 7.18.

<* Nos cantos sem continuidade, é necessária ainda uma armadura em ambas

as faces, para se combater os "momentos volventes", originados de uma

tendência de elevação dos cantos da placa, com a inversão das reações nesses

cantos, de cima para baixo, nos extremos das vigas de apoio. Elas têm por

objetivo evitar fissuras diagonais nos cantos, que surgem na face superior,

quando há restrição ao deslocamento vertical da borda, e na inferior, em caso

contrário. Essa armadura é estabelecida como uma fração (0,75) da maior

armadura positiva na laje, com barras nas duas direções, dispostas nas faces

superior e inferior. Na face inferior, a área dessa armadura adicional incorpora

as barras positivas existentes.


Para momento volvente: face superiorambas as faces da laje Á,^0,25Áî y

A ^n n'*À . Ixi / ^ ^ 1x2^1x1-*!

i

ly > L,

•JX

facesuperior

1

iT

I

Vr

_L

J.

m °'21"

Q 2I,j__

©

tttt t

L'0,251,2i

rl j

;ft2 Jf Jft í

0,251,i î ^

@

ft2'"[[ ^ íFigura 7.18 -Armaduras negativas para duas lajes apoiadas em vigas

*> No caso de cruzamentos de vigas, mostrados em planta na Figura 7.19, a

norma não estabelece um procedimento específico para detalhamento de

armaduras negativas. Nesses cruzamentos pode ocorrer uma concentração

excessiva de ferragem que dificulta o lançamento e o adensamento do concreto.

Um critério prático que pode ser adotado, quando apenas um apoio é interrompido,

como mostra o esquema em planta à esquerda da figura, consiste em interromper

a ferragem negativa sobre ele, entre as lajes L2 e I_3, no exemplo. Quando duas

vigas se cruzam no mesmo nível, como no esquema à direita, mantém-se a

continuidade da armadura de maior área, representada na figura pelas barras

negativas entre L1-L3 e L2-L4, interrompendo-se as demais.

Esses critérios, mostrados na Figura 7.19, são recomendados no livro Curso

prático de concreto armado, vòl.1, do prof. Aderson M. Rocha, a publicação

mais usada por projetistas de concreto no Brasil, nas décadas de 1960-1980.

No entanto, como não constam da norma, seu emprego deve ser bem avaliado

em casos de lajes com grandes vãos e/ou cargas.


_J3O

nj

;u3

J

D

5

u

3

2

L)

ÍIJ3

1

3u=

i i

w11

1 l _ l L l l L .11

-J.JL-

L2 --— -

/--

__!..-.

I I LB_ -L

— T

interrompe-se a armadurasobre a viga que termina

L _J

r i

1 — -LI --

i ii i

1 1 i ii ii i

.J.. 14

L3 --_— -

/--

,.

-

— •

•~ •

L-L

— -

•

L2

,

interrompem-se as armadurasde menor área

L

Figura 7.19 - Interrupção de armaduras negativas de lajes sobre o cruzamento de vigas

Nas lajes em balanço, como os momentos fletores diminuem no sentido do

engaste para a borda livre, a armadura negativa não é necessária em toda a

sua extensão. Dessa forma, pode-se adotar o arranjo da Figura 7.20, conforme

dispõe a Prática recomendada Ibracon — comentários técnicos NB-1 (2003).

A metade das barras da armadura negativa total deve ser disposta na face

superior em toda a extensão do balanço, sendo ancoradas na laje interna com

o mesmo comprimento reto. Para a segunda metade, as barras são intercaladas

com as da primeira, estendendo-se até a metade do balanço e ancoradas

com o mesmo comprimento na laje interna.


na face superior

•±

'(W*

LI

.— __ — . _ _^_ .

0,5ÁS— i

0,5ÁS1

0,5lx

L2laje embalanço

Figura 7.20 -Arranjo de armaduras negativas de lajes em balanço

7.7.3 Quadros de armadura

Em todas as plantas de armadura de estruturas de concreto armado, devem

constar dois quadros de armaduras, Analítico e Resumo. Para cada painel de

lajes, o Quadro Analítico apresenta a quantidade total de barras de mesma posição

ou número de ordem N, que identifica barras de mesma bitola, comprimento e

desenho, para as diferentes bitolas utilizadas, com os respectivos comprimentos

unitário e total. Esse quadro é utilizado para o corte e a montagem das armaduras.

No exemplo simplificado a seguir, as posições N1, N2 e N3 indicam barras retas

de mesma bitola (5 mm] mas com comprimentos unitários diferentes. Essas

barras podem ser usadas em diferentes lajes do painel, mesmo que os

espaçamentos sejam diferentes nas lajes. Em geral, as posições são ordenadas

com as bitolas crescentes, como no exemplo.


Quadro Analítico (exemplo)

N° de ordem(Posição)

NI

N2

N3

N4

N5

^(mm)

5,0

5,0

5,0

6,3

6,3

Quantidade

200

150

100

100

50

Comprimento (m)

Unitário

1,50

2,00

4,00

3,00

4,00

Total

300

300

400

300

200

A partir do Quadro Analítico, elabora-se o Quadro Resumo, usado na elaboração

de orçamentos e compra de armaduras. O peso total das barras correspondentes

a cada bitola é obtido multiplicando-se o comprimento total referente a cada

bitola, do Quadro Analítico, pelo peso por metro linear, fornecido na Tabela 4.4.

Deve-se prever, ainda, um acréscimo no peso total, da ordem de 5 a 10%, para

prevenir perdas inevitáveis com o corte de barras na obra.

Quadro Resumo (exemplo)

Bitola O

5,06,3

Comprimento total (m)

1000500

Total:

Peso (kgf)

160120

2.120

7.8 EXEMPLOS

Para o painel de lajes da Figura 7.21, todas de mesma espessura 9 cm,

calcular os momentos fletores e dimensionar as armaduras, positivas e

negativas, para uma sobrecarga de utilização de 2,5 kN/m3, sendo a carga

Capítulo 7 -GálGUlo-de'.lajes maciças retangulares .323

correspondente aos revestimentos .superior e inferionda laje de 1,0 kN/m2,

•concreto com f , — 20 MPa e aço GA-60.•* CK *

2,50 0,9 3,50m 2,50

CsN'

""1

s

LI L2

L4

L3

h = 9cm

"^ *

\ /

\{

/

L5

x f

C3

<N

f

Figura 7.21 - Planta de lajes do exemplo 7.8

a) Definição dos apoios das lajes

l_1 o calculada nas duas direções ou em cruz (2,5/2,0 = 1,25); engastada

em L2 e L4; caso 3 do processo de Marcus;

L2 O calculada em uma direção (2,0/0,9 =2,22); biengastada, em L1 e

L3 (momentos no vão / = 0,9 m O M = pP/24; X = p

L3 O laje em cruz (5, 5 / 3,5 = 7,57), engastada no bordo comum com L2

e L4 e apoio simples com L5, pois 2,0 < (2/3} 5,5 = 3,67', caso 2 do

processo de Marcus;

L4 o laje em cruz (3, V3, 4 = 1,03}, engastada em L3 e no bordo comum

a L1 e L2 (alguns autores não consideram continuidade em bordos

de comprimento inferior a l, O m] mesmo se aplicado esse critério,

ainda seria considerado engaste pois no trecho contínuo tem-se

2,5 > (2/3) 3,4 = 2,28; caso 3 do processo de Marcus;


L5 O laje em cruz (2,5/2,0 = 1,25), engastada em L3; caso 2 de Marcus.

b) Avaliação das cargas nas lajes

/ Peso próprio da laje: ..g = 25,h = 225 kgf/m2 = 2,25 kN/m2

/Revestimento: 100 kgf/m2 = 1,00 kN/m2

S Sobrecarga (q): 250 kgf/m2 = 2,50 kN/m2

/Cargatotal: 575 kgf/m2 = 5,75 kN/m2

É prática comum se adotar múltiplos de 50 kgf/m2 para a carga total de

lajes. Dessa forma, para todas as lajes do exercício, será adotada a carga

O p = 600 kgf/m2 = 6,0 M/m2.

c) Cálculo dos momentos

A Figura 7.22 apresenta a planta de lajes do exemplo, que é utilizada como

planilha para o cálculo dos momentos nas lajes pelo processo de Marcus, por

meio das expressões (7.10) e (7.11). Em cada uma das lajes em cruz da

planta, escrevem-se os valores da relação de vãos Ã = /// , parâmetro de

entrada das seis tabelas de Marcus (Tabelas 7.6 a~f), com os respectivos

coeficientes obtidos para os momentos m ,m ,n ,n . No cruzamento dosx y x y

eixos, anota-se o valor da carga total de cada laje, p = 600 kgf/m2. Os

momentos positivos são escritos ao longo dos eixos:c ey e os negativos junto

ao bordo comum a duas lajes. Em um retângulo junto a cada bordo, registra-

se o momento negativo uniformizado, obtido da expressão apresentada no

item 7.4.3.2. No bordo entre as lajes L1, l_2 e L4, por exemplo; o momento

negativo de L4,431 kgf.m, é uniformizado, separadamente, com os momentos

272 kgf.m e zero, resultando no momento único neste bordo de 345 kgf.m,

igual a 0,8 vezes o maior momento no bordo, 43 J kgf.m. No bordo de L3 com

L2 e L4, a uniformização de 865 kgf.m com 459 kgf.m e 41 kgf.m resulta no

momento negativo de 692 kgf.m. Entre L3 eL5,entreOe237Â:g/?m, prevalece

também 0,8 do maior momento = 190 kgf.m.


(LI) *X f ,

o.

600

6

\

-4

y>

r-i=0--t

00

Ã =1,25 ;/J/j. — 2jtj j _

nx=ll,3 cáí 1 „ „

ny~ ' y voí

50 * "í12 :31 \345\'"

[ Ã =1,03m x =3 '5,1nx =15,1m =37,2n y, =16,1

196

1 (B ':^v_X ,

. 20 :

*-i --i;

1 '•

'u 1 1 1 n i ii

(T~~A\ '-f

o,"

JC Y^

• i

1 ^s—'

• "o

,

^=A57mx =7<S,5w i =5,5m =59,4

*\. ^

397 ^

^

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*.•- *

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/

—i y\^ o\ 5

ín1 600

/•

/•'

*%

\

/' *\

'-.

\.*.

Ã =0,80mx=44,7nx =13,8my=34,3

X

84 x-T(L5)

i/£T

D.

C(1

rcr

ca

c•

c

0

n

c

c

•

tc

Figura 7.22 - Planta de lajes com momentos calculados pelo método de Marcus

d) Verificação da espessura das lajes

É uma etapa que precede o dimensionamento das armaduras, tomando-se o

momento máximo, positivo ou negativo, em valor absoluto, de todo o painel.

No exemplo, trata-se do momento negativo uniformizado entre as lajes L3 e

L4, 692 kgf.m, do qual se obtém:

Mw - 1,4 M =1,4 x 692 = 969 kgf.mSa.inox ' max ' *-"

Supondo a classe de agressividade ambiental fraca, CAA l, e adotando a mesma

altura útil para cálculo das armaduras positiva e negativa, a favor da segurança,

das expressões (7.1) tem-se: á~h-2,5 cm = 6,5 cm. Da expressão (7,12),

com a resistência de cálculo do concreto fc(j= 200/1,4 = 143 kgf/cm2, é

atendido o momento resistente limite para garantir a dutilidade da laje nos

apoios: MM = 0,272 x 6,52 x 143 = 1.643 kgf.m.


Sendo Msînax < MRd, da expressão (7.13), a espessura da laje é suficiente

para ter todas as lajes com armaduras simples, podendo até ser reduzida,

dependendo da verificação de flechas, apresentada no Capítulo 8, Todas as, - , ' ' • ' V ~. • • . . •-• •• -r -' ' • £ • _ - 'i V; H , V ,s » , , ., _;:fv- ' '• :,• •• • • ". 'ri '-•-

lajes ppderãa então, serâr.rnadas com Armadura sjmples.

e) Cálculo das armaduras

As planilhas seguintes apresentam as áreas calculadas de armaduras positivas

e negativas, (barras corridas). Os .coeficientes kmd vê.rryda expressão .(7,14),

com o mesmo denominador para as lajes de mes.ma espessura; 6,52xl43 —

6.042. Os coeficientes kz são obtidos da Tabela 5.2, as armaduras da expressão

(7.15) e as bitolas e espaçamentos da Tabela 7.5.

Conforme o final do item 7.6.2, para cálculo no domínio 2, sendo k d ú 0,014,

adota-se diretamente a armadura mínima. Da expressão (7.16) e Tabelas 7.3

e 7.4, tem-se:

^ armadura negativa mínima entre todas as lajes e positiva principal da

laje L2, em uma só direção: A t = 0,0015 x 100 x 9 = 1,35 cm2/m

O 0 5,0 c.14 cm = 1,4 cm 2/m.

^ armaduras positivas nas lajes em cruz: A . = 0,67 x J,35 cm2/m =' J s.niin '

0,9 c/77 Vm O <P5,Oc.2L

w armadura positiva de distribuição mínima da laje L2, em uma só direção:

Asnilii= 0,5x 1,35 cm2/m = 0,7 cm2/m\e 0,9 cm2/m

O 05,0 c.2L

Para valores de kind > 0,014, calcula-se a armadura da expressão (7.15) e,

caso inferior à área mínima, esta será adotada. Observadas as prescrições do

item 7.6.3, na escolha das bitolas e espaçamento das barras, optando pelo

detalhamento com armadura corrida (item 7.6.3.3, alínea a-®), procura-se adotar

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangutares 327

o menor número de bitolas diferentes, para maior economia. O espaçamento

máximo da armadura principal positiva e armaduras negativas é imposto pelo

limite 2h = 18 cm < 20 cm.

A seguir, são apresentadas as planilhas de cálculo das armaduras positivas e

negativas, em barras corridas, com a última coluna à direita mostrando as

bitolas das barras adotadas e respectivos espaçamentos.

Armaduras positivas das lajes (armadura corrida)

Laje

L1

L2

L3

L4

L5

Direção

xy

principaldistribuição

xyxyxy

M (kgf.m)

9360

20

397124

196186

84109

Md (kgf.m)

13084

28

556174

274260

118153

k>nd

0,0210,014

0,005

0,0920,029

0,0450,043

0,0200,025

kz

0,9740,980

min

0,9310,968

0}9550,954

0,9740,972

Á s (cm 2/m)

0,900,90

1,400,90

1,760,90

0,900,90

0,900,90

As($, esp.)

$5,0c.l805,0c.21

$5,QcJ4$5,0c.21

$5,0c.ll$5,0c.21

$5,0c.l8$5,0c.21

05tOc.21$5,0c.28


3•n.>•oj

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31

J

3

ODrí.

Armaduras negativas das lajes

Entre lajes

L1 -L2

L1 -L4L2-L4

L2-L3L3-L4

L3-L5

X(kgf.m)

109

345

692

190

Xd(kgf,m)

153

483

967

266

l-K-md

0,025

0,080

OJ60

0,044

^z

0,972

0,937

0,894

0,958

A s (cm 2/m)

1,4

1,82

3,19

1,4

As(0,esp.)

$5,0c.l4

<P5,Oc.lO

$8,0c.l4

3>5,0c.l4

Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangutares 329


7.9..1 Enunciados

1. Para a planta de lajes da Figura 7.23 a), de pavimento destinado a escritórios,

todas com mesma espessura 10 cm, calcular as armaduras positivas e

negativas das lajes. Adotar o concreto com fek = 20MPa, classe de

agressividade ambiental fraca e aço CA-60.

2. Dimensionar as armaduras da laje L da Figura 7.23 b), destinada a garagem

de edificação residencial. Determinar as cargas unitárias transmitidas às vigas

de bordo. Piso com lajotas cerâmicas de espessura l, O cm, assentadas com

argamassa de cimento e areia de espessura 1,5 cm e revestimento inferior da

laje com argamassa de cal, cimento e areia de espessura 0,5 cm. Concreto

com fck — 30 MPa; classe de agressividade ambiental forte e aço CA-50.

3. Para a laje L da Figura 7.23 c), destinada a depósito de papel, calcular a

espessura mínima (valor inteiro em cm) e a correspondente carga máxima por

m2, para o dimensionamento como normalmente armada com armadura

simples. Calcular as armaduras da laje para o concreto com fck = 25 MPa,

classe de agressividade ambiental moderada e aço CA-50.

4. Dimensionaras armaduras das lajes da planta da Figura 7.23 d), com espessura

O, l O m, sobrecarga de serviço de 2,0 kN/m2, revestimentos superior e inferior

com l,O kN/m2, fck = 25 MPa e aço CA-60. Determinar o carregamento da

viga V2, admitindo todas as vigas da planta com seção 15 x 45 cm2. Sobre

todas as vigas, supor que sejam assentadas paredes de tijolo cerâmico furado,

com espessura acabada de 15 cm e pé direito 2,40 m.

5. Para as lajes da planta da Figura 7.23 e), todas de mesma espessura h = 8 cm,

sobrecarga de uso de 3,0 kN/m2, fck = 20 MPa e aço CA-50, calcular as

armaduras positivas e negativas.


P2 m P3

PI

-Q

SJi

x /-*.

P4

1

TV

' t,4

^ x x xl

3 K2a

12

V3a

P//ti

t */

LI

5

Q

PS

>±

V2b P6

$L3 ^

73b P9

4,20 ' 5,20

\ sobre as lajes de tijolo cerâmico furado:j pé-direito: 2,50m; espessura: QJ5m

a) Exercício 1

5,00m ^ 2,00m o 3Mn

-rnVla m

LI S

P4 V2a P5

L3

£

12 g

V2b Pó

L4

£

\. pó

.'•'K3fl p,? K3è

d) Exercício 4

6,00m

VI

L

V2

b) Exercício 2

c) Exercício 3

;,5m 2,0m 1,0 2,5m* } 1; 1; 1V

-^

L2

L4L5

Csdv

e) Exercício 5

Figura 7.23 — Plantas de lajes dos exercícios de auto-avaliaçao do Capítulo 5 (escalas diversas)



1. A laje L1 tem a relação de vãos maior que dois, sendo calculada em uma só

direção, paralela ao vão menor, como engastada em L2 e L3 e simplesmente

apoiada no bordo oposto. Têm-se todas as três situações de cálculo da Figu-

ra 7.7 b): um trecho à esquerda de 2,0 m, com a carga concentrada da

parede perpendicular ao menor vão; um trecho de 1,60 m, adjacente a L3,

com a carga distribuída da parede paralela ao menor vão; e dois trechos, ao

centro e à direita, apenas com a carga permanente e sobrecarga. Os mo-

mentos fletores são obtidos dos diagramas respectivos da Figura 7.10 a).

Para a armadura positiva principal de L1, paralela ao vão menor de 3,20 m,

pode-se adotar em toda a extensão da laje a armadura calculada com o

maior dos momentos positivos dos dois trechos de carregamento com pare-

des, a favor da segurança, mas facilitando a execução. As lajes L2 e L3 são

em cruz. A carga da parede em L2 é dada pela expressão (7.3). Para a

armadura negativa entre as lajes L1-L2, adotar o momento negativo do trecho

com carga concentrada, equilibrado com o de L2. Analogamente, entre L1-

13, adotar o momento negativo do trecho com carga distribuída, equNjb.rado

com o correspondente, de L3.

2. Adotar a espessura mínima de laje do item 7.2.3, alínea c). Na NBR 6120,

figuram os pesos específícqs dos materiais de construção (Tabela 1) e o valor

mínimo da carga acidental (Ta,bela 2). Caso necessário, fazer a redistribuição

dos momentos do segundo parágrafo do item 7.4.3.1 deste capítulo. Para

obter as cargas por unidade de comprimento das vigas, verificar na Tabela 7.7,

no caso 2, em qual dos dois tipos a laje se enquadra.

3. Para a sobrecarga de utilização, fazer um desconto de 20% na área total da

laje, para fins de circulação, tomando o y o ej = 15 kN/m3, da NBR 6120. Nas

expressões (7.2) e (7.10), o peso próprio e os momentos fletores característicos

podem ser expressos em função da espessura h. Para cálculo como^

normalmente armada, tomam-se os coeficientes no, limite dos domínios 3-4,


ou seja, o momento máximo resistente da expressão (7.13), em função da

altura útil dt relacionada à espessura pela expressão (7.1).

4. Conforme explica o item 4.2.2, do Capítulo 4, pode-se considerar a viga V2

como contínua, simplesmente apoiada nos pilares P4, P5 e P6. As vigas V5,

V6 e V7 transmitem cargas concentradas em V2, podendo ser admitidas como

biapoiadas. Para as cargas em V2, V6 e V5 das lajes L1 e L3, em uma

direção, na Tabela 7.7, adotam-se os casos 2 (2^ tipo) e 3, respectivamente.

Em razão do trecho vazio entre as vigas V7 e V8a, o bordo V7para a laje L4,

sem continuidade, é considerado apoio simples. Para L2, o trecho contínuo

em V2b é menor que 2/3(3 ni)\ esse bordo também é um apoio

simples.

5. Atenção às condições de apoio da laje L4, no bordo comum a L5, e 15, no

bordo comum a L3, em função da descontinuidade parcial nesses bordos,

adjacentes ao vazio.


Tabela 7.5 - Área da seção de barras da armadura passiva por unidade decomprimento (cm2/m) em bitolas padronizadas da NBR 7480: 1996 (EB-3)

Espaçamento(cm)

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

11,0

12,0

13,0

14,0

15,0

16,0

16,5

17,0

18,0

19,0

20,0

21,0

22,0

23,0

24,0

25,0

26,0

27,0

28,0

29,0

30,0

31,0

32,0

33,0

Bitolas 0 (mm)

3,4 (1)

1,30

1,21

1,13

1,071,01

0,96

0,91

0,83

0,76

0,70

0,65

0,61

0,57

0,55

0,53

0,50

0,48

0,45

0,43

0,41

0,39

0,38

0,36

0,35

0,34

0,32

0,31

0,30

0,29

0,28

0,28

4,2<1>

1,98

1,85

1,73

1,63

1,54

1,46

1,39

1,26

1,15

1,07

0,99

0,92

0,87

0,84

0,81

0,77

0,73

0,69

0,66

0,63

0,60

0,58

0,55

0,53

0,51

0,49

0,48

0,46

0,45

0,43

0,42

5

2,81

2,62

2,45

2,312,18

2,07

1,96

1,79

1,64

1,51

1,40

1,31

1,23

1,19

1,16

1,09

1,03

0,98

0,94

0,89

0,85

0,82

0,79

0,76

0,73

0,70

0,68

0,65

0,63

0,61

0,60

6,3

4,45

4,16

3,90

3,67

3,46

3,28

3,12

2,83

2,60

2,40

2,23

2,08

1,95

1,89

1,83

1,73

1,64

1,56

1,48

1,42

1,36

1,30

1,25

1,20

1,15

1,11

1,07

1,04

1,01

0,97

0,94

8

7,18

6,70

6,28

5,91

5,59

5,29

5,03

4,57

4,19

3,87

3,59

3,35

3,14

3,05

2,96

2,79

2,65

2,51

2,39

2,28

2,19

2,09

2,01

1,93

1,86

1,80

1,73

1,68

1,62

1,57

1,52

10

11,22

10,47

9,82

9,24

8,73

8,27

7,85

7,14

6,55

6,04

5,61

5,24

4,91

4,76

4,62

4,36

4,13

3,93

3,74

3,57

3,41

3,27

3,14

3,02

2,91

2,81

2,71

2,62

2,53

2,45

2,38

12,5

17,53

16,36

15,34

14,44

13,6412,92

12,27

11,16

10,23

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8,18

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7,44

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6,82

6,46

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4,09

3,96

3,83

3,72

16

28,72

26,81

25,13

23,65

22,34

21,16

20,11

18,28

16,76

15,47

14,36

13,40

12,57

12,19

11,83

11,17

10,58

10,05

9,57

9,14

8,74

8,38

8,04

7,73

7,45

7,18

6,93

6,70

6,49

6,28

6,09

apenas para o aço CA-60

Est

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Tabela 7.7 - Reações de apoio uniformemente distribuídas nos bordos de lajes retangularesmaciças apoiadas em todo o contorno (NBR 6118, item 14.7.6.1)

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(*) casos do método de Marcus p: carga uniforme por área da lajeri, r2, r3, r4 = reações uniformes nas vigas de bordo, por unidade de comprimento

Verificações aos estados limites de serviço

8.1 OBJETIVOS

Conceito: Estados Limites de Serviço são aqueles relacionados àdurabilidade da estrutura e à boa utilização, funcionalidade e aparên-

cia da edificação, seja em relação ao conforto do usuário, seja quan-

to às máquinas e aos equipamentos utilizados.

A noção intuitiva de segurança está ligada à ideia de sobrevivência e, dessa

forma, uma estrutura poderia serconsiderada segura se houvesse alguma garantia

de que durante sua vida útil não seriam atingidos estados de desempenho

patológico. Entretanto, esse conceito intuitivo deve ser mais bem estabelecido

tecnicamente, em função do respeito à vida humana e às condições psicológicas

e económicas dos usuários das construções, que são, em geral, leigos e não

obrigados a entender o funcionamento das estruturas.

Segundo o conceito de segurança estrutural apresentado no item 3.8.1 - Capítulo

3, entende-se que uma estrutura é segura quando atende aos três requisitos

seguintes:

a) Mantém durante sua vida útil as características originais do projeto, a um

custo razoável de execução e manutenção.

b) Em condições normais de utilização, não apresente aparência que cause

inquietação aos usuários ou ao público em geral, nem apresente falsos sinais

de alarme que lancem suspeitas sobre a sua segurança. Em outras palavras,

uma estrutura segura deve ter aparência que transmita segurança.


c) Sob utilização indevida deve apresentar sinais visíveis-flechas, deformações e

fissuras - de advertência quanto a eventuais estados de perigo. Isto é, qualquer

possibilidade de ruptura sem aviso ou de colapso progressivo deve ser prevenida.

Portanto, um conceito amplo de segurança está intimamente relacionado ao

comportamento da estrutura com a utilização prevista em projeto, para o qual se

definem os Estados Limites de Serviço (ELS). Considera-se que esses estados

são atingidos quando a estrutura não mais atende aos requisitos específicos da

edificação, sob condições normais de uso e ambientais. No entanto, os ELS não

estão associados a risco iminente de colapso da estrutura.

Os ELS que são objeto de verificação comum no projeto de estruturas de concreto

armado das edificações usuais são:

• fissuração excessiva que afete de forma adversa a aparência, a durabilidade

ou as condições de estanqueidade;

• deslocamentos que causem prejuízo à aparência ou ao uso efetivo da edificação

(incluindo mau funcionamento de máquinas ou serviços), ou danos inaceitáveis

em outros elementos, estruturais ou não, da construção;

• tensões de compressão no concreto excessivas, produzindo deformações

irreversíveis e microfissuras que possam levar à perda de durabilidade;

• vibrações resultando em desconforto, alarme ou perda de funcionalidade.

No que se refere aos ELS, deve-se considerar, ainda na fase de projeío:

• As sobrecargas de utilização podem mudar com o decorrer do íempo (por

exemplo, edifícios residenciais que passam a ser usados como escritórios).

• Cabe ao projetista definir as classes de agressividade ambiental da estrutura

e suas partes, segundo as exigências específicas de proteção e durabilidade,

conforme a Tabela 6.1, da NBR 6118-> 7.4.7. As classes são classificadas

como CAA l a CAAIV (fraca, moderada, forte e muito forte), com os respectivos

valores mínimos da espessura nominal da camada de cobrimento das peças

de concreto fornecidos na Tabela 7.1 da norma.

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço 3-45

• O projetista deve verificar se as flechas calculadas, mesmo quando inferiores

aos limites da norma, não resultarão em danos a elementos da construção

situados sobre ou sob o elemento estrutural, prevendo-se, caso necessário,

dispositivos adequados ou contraflechas para evitar consequências

indesejáveis.

• O projeto da superestrutura deve considerar as características do solo onde

as fundações serão assentadas, a fim de analisar a probabilidade de ocorrência

de recalques dos pilares, para, caso necessário, considerá-los no cálculo de

esforços das peças estruturais.

Portanto, o dimensionamento das estruturas de concreto armado deve garantir a

segurança necessária em face da ruptura (Estados Limites Últimos - ELU) e,

além disso, o comportamento aceitável nas condições normais de utilização

(Estados Limites de Serviço - ELS).

Dessa forma, são os seguintes os objetivos desta unidade:

a) Identificar os ELS típicos a serem considerados nas estruturas de concreto

armado de edificações usuais,

b) Apresentar os critérios de projeto para a verificação ao Estado Limite de

Deformações Excessivas (ÊLS-DEF) de elementos lineares sujeitos a

solicitações normais, visando à comparação das estimativas de flechas com

os limites estabelecidos pela NBR 6118: 2003.

c) Idem quanto ao Estado Limite de Abertura de Fissuras (ELS-W).

d) Verificação de lajes retangulares maciças de concreto armado ao Estado Limite

de Deformações Excessivas.

8.2 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

Em razão de serem os ELS relacionados ao comportamento da estrutura em

utilização normal, a sua verificação busca considerar os valores mais


representativos das ações/solicitações e das resistências dos materiais, nas

situações de uso previstas no projeto.

Em serviço, as resistências características dos materiais não devem ser

ultrapassadas, e o comportamento global da estrutura não é substancialmente

afetado por variações localizadas das propriedades do concreto e do aço, que

justificam a aplicação dos coeficientes de mineração de resistências no cálculo

aos ELU.

As verificações de projeto devem levar em conta as combinações de ações

representativas das situações reais de serviço, sendo, por isso, admitidas reduções

nas ações/solicitações provenientes das ações variáveis.

ANBR6118-»-11.8 (Tabelas 11.2 e 11.4) e o documento Prática recomendada

Ibracon - comentários técnicos NB-1 (2003) apresentam para os ELS típicos de

estruturas de concreto armado de edificações usuais, definidos pela NBR 6118

-> 3.2, as combinações mais prováveis das solicitações F k , associadas às

cargas permanentes, e F k, às cargas acidentais ou variáveis, como segue:

*> Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF):

H- estado em que as deformações atingem os limites para utilização normal

dados pela norma, item 13.4.2, com as estimativas segundo as disposições

do item 17.3.2.

^ considerar as "combinações quase-permanentes" de serviço das ações

variáveis:

F, = F. + ur7F. (8.1)dêr gk T 2 qk \

sendo: para edifícios residenciais: \jf2= 0,3

para edifícios comerciais: \f/2 = 0,4

para bibliotecas, arquivos, oficinas, garagens: y2 = 0,6

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço 34 7

<* Estado Limite de" Abertura de Fissuras (ÈLS-W):

^ estado dm que às fissuras apresentam aberturas iguais aos máximos

especificados pela norma, no item 13.4.2, com as estimativas segundo as

disposições do item 17.3.3.

^ consideraras ''combinações frequentes" de serviço das ações variáveis:

Fá = F.+ ys,F . (8.2)fljier i'A T l qk \

sendo: para edifícios' residenciais: ys}= 0,4

para edifícios comerciais: \}S} = 0,6

para bibliotecas, arquivos, oficinas, garagens: \js} = 0,7

Os valores recomendados pela norma pararas coeficientes redutores, e í/r

levam em conta a probabilidade reduzida de atuação conjunta das ações acidentais

com seus valores máximos em situações de 'Serviço, Essa consideração é

necessária para se obter estimativas realistas para os efeitos previsíveis em projeto.

Sob solicitações normais, os elementos lineares de concreto armado nos ELS

trabalham parcialmente no estádio I (peça não fissurada) e no estádio II (peça

fissurada em regime global elástico), conforme a definição desses "estádios ou

fases" de carregamento, no item 5.2 do Capítulo 5. A separação das partes do

elemento num ou noutro estádio é definida pelo momento de físsuração, dado

pela expressão aproximada da NBR6118-* 17.3.1:

sendo:

(8.3)

a = parâmetro que relaciona as resistências do concreto à tração na flexão e

direta

a = 1 ,2 cc> seções T ou duplo T

a = 1,5 £> seções retangulares


y = distância do centro de gravidade da seção transversal à fibra mais tracíonada

/ = momento de inércia da seção bruta de concreto (não fissurada)

/ = resistência à tração direta do concreto (NBR 6118 -> 8.2.5).

Conforme o item 17.3.1 da norma, para os dois estados limites de serviço típicos

de estruturas usuais de concreto armado, o momento de fissuração de seções

retanguiares é determinado como segue:

^ ELS-DEF: /c,,m - 0,30 f*30 (MPa) O Mr = 0,075 bw h2 f J* (8.4)

ÊLS-W: f4.w~0.21f*2* (MPa) O Mr - 0,053 bw h 2//J

8.3 ESTADO LIMITE DE ABERTURA DE FISSURAS (ELS-W)

8.3.1 Limites para fissuração

A classe de agressividade ambiental da estrutura e a abertura das fissuras são

fatores determinantes para a durabilidade e a vida útil.

A NBR 6118, nos itens 13.4.1 e 17.3.3, aborda a verificação quanto afissuração

levando em conta os aspectos seguintes:

^ A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é inevitável,

em razão da grande variabilidade e da baixa resistência do concreto à

tração. Valores críticos de tensões de tração podem ser atingidos mesmo

sob as ações de serviço (utilização).

w- o controle da abertura das fissuras visa obter um bom desempenho na

proteção das armaduras, tendo em vista a corrosão e a aceitabilidade

sensorial dos usuários.

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço 349

^*- A presença de fissuras com aberturas que respeitem os limites de norma,

em estruturas de concreto armado bem projetadas, construídaste

submetidas às cargas permanentes e sobrecargas previstas, não deve

causar perda de funcionalidade, durabilidade ou segurança quanto aos

estados limites últimos.

^ As fissuras em elementos de concreto podem ainda ocorrer por outras

causas, como a retração plástica térmica ou as reações químicas internas

do concreto nas primeiras idades, que podem ser evitadas ou limitadas por

cuidados tecnológicos, especialmente no que tange à definição do traço e

à cura adequada do concreto.

A NBR 6118 -> 13.4 estabelece os limites para fissuração e proteção das

armaduras quanto à durabilidade, na forma seguinte:

^ A abertura máxima característica das fissuras, wk, da ordem de 0,3 a

0,4 mmt sob ação das combinações frequentes, não tem importância

significativa na corrosão das armaduras passivas em elementos de concreto

armado.

^ Em virtude do estágio atual dos conhecimentos e da alta variabilidade das

grandezas envolvidas, os limites da abertura de fissuras devem ser vistos

apenas como critérios para um projeto adequado de estruturas.

*+- As estimativas de abertura de fissuras devem respeitar os limites de w

mas não se deve esperar que as aberturas reais correspondam estritamente

às estimativas. Isto é, as fissuras reais podem, eventualmente, ultrapassar

os limites, sem que o fato, isoladamente, seja motivo de alarme.

ATabela 8.1 a seguir, extraída da NBR 6118 -> 13.4, no que se refere a elementos

de concreto armado, apresenta os limites para a abertura de fissuras, em função

da classe de agressividade ambiental.

350 João CarlosTeatini de Souza Ctímaco

Tabela 8.1 - Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e proteção da armadura(NBR 6118 -> Tabela 13.3 - modificada)

Tipo de concretoestrutural

Concretoarmado

Classes de agressividadeambiental e tipo de proteção

CAAI

CAA li a CAA IV

Exigências relativasà fissuração

ELS-W:wk*0,4mm

£LQ-\N\wkzQt3nim

Combinação de açõesem serviço a utilizar

Combinação frequente

Combinação frequente

Quanto ao controle da fissuração de elementos estruturais lineares de concreto

armado, a norma, no item 17.3.3, fornece dois critérios, apresentados a seguir:

a) Controle da fissuração pela limitação da abertura estimada das fissuras

Nesse controle, apresentado no item 8.3.2, a seguir, a norma expressa o

cuidado em fixar o entendimento de que as estimativas para abertura de fissuras

não podem ser encaradas como técnica e cientificamente èJCátás e destaca

dois aspectos:

^* A influência de restrições existentes às variações volumétricas da estrutura,

que são de difícil consideração no projeto estrutural. As condições de

execução da estrutura também têm influência óbvia na abertura das fissuras.

^ Os critérios das normas para estimar a abertura de fissuras devem ser

encarados como avaliações aceitáveis do comportamento geral do elemento

estrutural, mas não garantem a avaliação precisa da abertura de uma fissura

específica.

b) Controle da fissuração sem a verificação da abertura dê fissuras

É um controle expedito (item 8.3.3, a seguir), em que se dispensa a avaliação

da abertura de fissuras, desde que respeitados a bitola e o espaçamento

máximos das barras da armadura. Em geral, é a primeira verificação após o

cálculo de armaduras e a definição das bitolas das barras. Caso não atendido,

passa-se à verificação pelo item 8.3.2, mais rigorosa.


8.3.2 Contrple da fissuração por meio da limitação da aberturaestimada

Observados os limites da Tabela 8.1 e sob as combinações frequentes de serviço

das ações variáveis, segundo a NBR 6118 -> 17.3.3.2, a grandeza da abertura de

fissuras, wk, deve ser determinada para cada região de envolvimento da armadura

pelo concreto, sendo o menor dentre os valores obtidos pelas expressões seguintes:

<J>:

(8-5)+ 4s\- Es \

onde:

0 = diâmetro da barra longitudinal para cada área de envolvimento em exame

(mm);

f dm ~ 0>30fck/3 (MPa) = resistência à tração média do concreto;

77 = coeficiente de aderência ao concreto do aço empregado. Para os aços

CA-50 e 60, a norma indica: rj. = 2,25 (CA-50); 77 = 1,4 (CA-60);

cr. = tensão nas barras da armadura em exame, sob solicitações de serviço,

que podem ser reduzidas, em vista das combinações frequentes das ações

acidentais em estruturas de edifícios, conforme a expressão (8.2). No

caso mais geral da seção retangular com armadura simples, no estádio II,

sendo Mk o momento fletor máximo de serviço, Ás a área da armadura de

tração, b wa largura e d a altura útil da seção, tem-se:

(8.6)


No estádio 11, a profundidade da [inha neutra da seção, x , é dada por:

/ N

S aeAs> v — K •>73 ~\- II

* b= w

7 +

( N2bwd

1 + w r* ->\ A t"'7)

<**A, J

a ~E /E - razão dos módulos de elasticidade do aço e do concreto.e s c y i

com o módulo secante do concreto da expressão (3.15), do

Capítulo 3:

= 4.760fckJ/2 MPa (8.8)

Observação: O código ACI-318, do American Concrete Institute, permite adotar a

tensão no aço em serviço por uma expressão equivalente a as =f,d/Jf> em que

f d é a tensão de escoamento do aço e j.= 1,4. Em geral, a simplificação é a

favor da segurança.

p , = A IA , = taxa de armadura de íração relativa à área À ..doconcreto"cri s crí y cri'

de envolvimento e proteção contra a fissuração da barra 0..

A norma define como a área do "retângulo cujos lados não

distam mais de 7,5<P. do eixo da barra da armadura".

linha neutro da seção

•

•í J>

1

zonatracionada

estribo <j)i

bitola^1

^lCnom

(£i 7,

7í*l

i

•

5?},'V^

^

•^~

/ //

/

/

S.^\

de pele(racionada

/da barra <j>i

hrt

Para seções retangulares ou T, com

armadura de tração em uma camada e

barras de diâmetro 0. , tem-se:

(8.9)

Figura 8.1 - Área Á . do concreto de envolvimento

Capitulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço 353

Como as expressões (8.5) são semi-empíricas, baseadas em resultados de

ensaios, nãosãoexatas. Dessa forma, pode-se admitir uma margem de tolerância,

de até 10%, com relação às desigualdades. Se o resultado do controle da

fissuração pela limitação da abertura estimada não for satisfatório, a opção mais

simples é adotar barras mais finas para a armadura, ou seja, diminuirá bitola 0.

Experiências demonstram que peças estruturais com barras de menor bitola

apresentam maior número de fissuras, porém, com menor abertura, o que diminui

a área exposta das armaduras e, consequentemente, reduz o risco de corrosão.

8.3.3 Controle da fissuração sem verificação da abertura defissuras

Neste critério, a avaliação da abertura de fissuras pode ser dispensada, sendo

considerado atendido o estado (imite de fissuração em elementos de concreto

armado (wkmax< 0,3mm], se forem respeitados valores máximos para a bitola,

0 , e o espaçamento s , das barras da armadura, além das disposiçõesmax ' r J max ' ' ~ 3

sobre o cobrimento e a armadura mínima.

A dispensa é dada conforme a tabela a seguir, extraída da norma, em função do

valor da tensão no aço cr, calculada no estádio II, pela expressão (8.6):

Tabela 8.2 - Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de altaaderência (NBR 6118 -»• Tabela 17.2 - modificada)

Tensão no aço

0, (MPa)

160200240280320360

Valores máximos

Concreto sem armaduras ativas

<2Vv(mm)

322516

12,5108

•?,„„* (cm)

30252015106


8.3.4 Considerações práticas sobre ô controle da fissuração

No estado atual de conhecimento, não se deve esperar grande precisão quantitativa

dessas verificações de fissuração, em especial do controle sem verificação da

abertura de fissuras. As informações têm um caráter qualitativo, cujo maior valor

reside nas orientações que ministram ao projetista. Do ponto de vista do controle

da fissuração no projeto e na execução de estruturas de concreto armado, devem-

se observar as seguintes recomendações:

a) Diâmetro das barras

Sua diminuição melhora as condições de fissuração, conduzindo a um maior

número de fissuras, porém de menor abertura. Essa redução não deve ser

levada a extremos, especialmente em peças pouco armadas e ambientes

agressivos, porque, a partir de certo valor, a diminuição da bitola não tem

efeito na abertura e distância entre fissuras, além de que barras muito finas

são mais afetadas pela corrosão.

b) Espessura da camada de cobrímento de concreto

A obediência às exigências da norma deve ser rigorosa; os valores nominais

da NBR 6118: 2003 são bem mais elevados que os da anterior NB-1/78, em

consonância com a tendência das normas internacionais.

c) Garantia da qualidade do concreto

Na execução, é essencial assegurara baixa permeabilidade e a resistência

adequada à compressão e abrasão. Para isso, especial atenção deve ser

dada aos quatro "Cs" que garantem um bom concreto: constituintes da mistura,

cobrimento, compactação e cura.

d) Armadura de pele

Em vigas de altura superior a 60 cm, tensões elevadas de tração podem provocar

fissuras nas faces laterais. Para limitar aberturas, a NBR 6118, itens 17.3.5.2,3


e 18.3.5, prescreve a colocação de uma "armadura de pele", composta por

barras laterais longitudinais de alta aderência (77. > 2,25 O CA-50), com

espaçamento não maior que d/3 ou 20 cm. Essa armadura deve ter área

mínima de 0,10%À [ma, em cada face da alma da viga.

8.4 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÕES EXCESSIVAS (ELS-DEF)

8.4.1 Limites para deformações

A norma NBR 6118, nos itens 13.3 e 17.3.2, aborda a verificação de flechas na

forma seguinte:

^ Para verificação aos [imites de deformação, os elementos estruturais são

analisados isoladamente, sob as combinações quase-permanentes das ações

variáveis, devendo a análise ser realizada por modelos que considerem a rigidez

efetiva das seções, a presença da armadura, a existência de fissuras no

concreto e as deformações diferidas no tempo, ou seja, a ação prejudicial da

fluência do concreto.

^ A deformação real da estrutura depende, em grande parte, do processo

construtivo, das propriedades dos materiais, principalmente, do módulo de

elasticidade e da resistência à tração, na idade da solicitação efetiva. Dessa

forma, a variabilidade das estimativas é grande com relação às deformações

reais, não se podendo esperar grande precisão nas previsões de deslocamentos

pelos processos analíticos prescritos.

Na verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas de uma

estrutura de concreto armado, adotam-se valores práticos para os deslocamentos

limites, classificados em quatro grupos básicos, segundo a NBR 6118 -*• 13.3:

"a) aceitabilidade sensorial: caracterizado porvibrações indesejáveis

ou efeito visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir

essas vibrações, em situações especiais de utilização, deve ser

realizada como estabelecido na seção 23;


b) efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização

adequada da construção;

c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais

podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que,

apesar que não fazerem parte da estrutura, estão a ela ligados;

d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem

afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando

afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas. Se

os deslocamentos forem relevantes para o elemento

considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a

estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-

as ao modelo estrutural adotado".

Cabe também aqui ressaltar o maior rigor introduzido pela NBR 6118: 2003, com

os limites de deslocamentos sendo compatibilizados com as normas

internacionais e sendo fornecidas ao projetista amplas condições para proceder

à verificação, pela Tabela 8.3, a seguir. Por outro lado, deve-se ressaltar que a

amplitude de limites fornecidos pela tabela aumenta a responsabilidade do projeto

estrutural, no que se refere aos diversos tipos de estimativas dos deslocamentos

das peças estruturais.


Tabela 8.3 - Limites para deslocamentos (NBR 6118 -> Tabela 13.2 - modificada)

Tipo dedeslocamento

Aceitabilidadesensória!

Estrutura emserviço

Efeitos emelementos não

estruturais

Efeitos emelementosestruturais

Razão dalimitação

Visual

Outro

Superfíciesque devemdrenar águaPavimentosque devempermanecer

planos

Elementosque suportamequipamentos

sensíveis

Paredes

Forros

Ponte rolante

Afastamentoem relação àshipóteses de

cálculoadotadas

Exemplo

Deslocamentos visíveisem elementos estruturaisVibrações sentidas nopiso

Coberturas e varandas

Ginásios e pistas deboliche

Laboratórios

Alvenaria, caixilhos erevestimentos

Divisórias leves ecaixilhos telescópicos

Movimento lateral deedifícios

Movimentos térmicosverticaisMovimentos térmicoshorizontais

Revestimentos colados

Revestimentospendurados ou comjuntas

Desallnhamento detrilhos

Deslocamento aconsiderar

Total

Devidos a cargasacidentais

Total

Total

Ocorrido após aconstrução do piso

Ocorrido apósnivelamento doequipamento

Após a construção daparede

Ocorrido após ainstalação da divisória

Provocado pela ação dovento para combinaçãofrequente (v/,=0,30)Provocado por diferençade temperaturaProvocado por diferençade temperaturaOcorrido apósconstrução do forroDeslocamento ocorridoapós construção doforroDeslocamentoprovocado pelas açõesdecorrentes da frenação

Deslocamentolimite

í/250

í/350

í/250 1J

f/350 + contra-flecha 2)

í/600

De acordo comrecomendação do

fabricante doequipamento

í/5003) ou

10 mm ou9=0,001 7 rã d4'

í/2503) ou

25 mmH/1700 ou

HÍ/85051 entrepavimentos6*

í/4007) ou

15 mm

HÍ/500

í/350

í/175 "

H/400

Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado,seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estruturadevem ser considerados, Incorporando-as ao modelo estruturaladotado.

nvr

C

C

&v

Cnrcrrcn

ãcc

c

cQ

H

Cij

C(1

T;ctj:

rir

C

Q

(

C

n

i

rD•rDC

1) As superfícies devem sersuficlentemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado porcontraflechas, de modo a não. se ter acúmulo de água.2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflBchas. Entretanto, a atuação isolada da

contra flecha não pode ocasionar umdesvlo do plano maior que t /350.3) O vão i deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve.4) Rotação nos elementos que suportam paredes.5) H é a altura total do edifício e Hto desnível entre dois pavimentos vizinhos.6) Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido á atuação de ações horizontais. Não devem

ser Incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o deslocamento verticalrelativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento, quando H{ representa o comprimento do lintel.

7) O valor £ refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.

NOTAS:1. Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão í suportados em ambas as extremidades por apoios que não

semovem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço.2. Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideramque o vatorí é o menorvão, exceto emcasos de verificação de

paredes e divisórias, onde Interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse valora duas vezeso vão menor.3. O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes de

acompanhamento definidos na seção 11.4. Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados porcontrafiechas.


8.4.2 Avaliação aproximada da flecha imediata causada por açõesde curta duração

8.4.2.1 Vigas de concreto armado

A flecha imediata elástica máxima pode ser calculada a partir da curvatura máxima

da barra fletida, por uma expressão do tipo:

(8.10)

a = coeficiente que depende do esquema estático da viga e do carregamento.

ATabela 8.5, ao final desta unidade, apresenta valores de a para alguns

casos típicos;

M - momento característico máximo no vão;a '

l = vão efetivo ou teórico;

(El) ~ rigidez equivalente da seção transversal, dada pela fórmula de Branson,

utilizada por diversas normas internacionais, que faz um balanço dos

trechos no estádio l (peça não fissurada) e no estádio II (peça fissurada

em regime global elástico):

l J(EDa*Ea\\-í\c l — (8.11)

E = módulo de elasticidade secante do concreto, dado pela expressão (8.8);

Es - 2,1 x IO5 MPa = módulo de elasticidade do aço;

Ma = momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo

no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para

balanços;

Capitulo 8 - Verificações aos estados [imites de serviço 359

M - momento dê-físsurãção da elemento estrutural, dado pela expressão (8.3);

/ = momento de inércia da seção bruta de concreto;

/ = momento de inércia da seção fissurada no estádio II, Para a seção

retangularcom armadura simples, é dada por:

A M z ( d - x ) (8.12)

tínde: A = areada armadura traCionada;

z = braço de alavanca das resultantes de tração e compressão;

x = profundidade da linha neutra na seção, da expressão (8.7).

Cabe notar que, em se tratando de um método não linear, em casos de

carregamentos mais complexos, a flecha calculada não é igual à soma das flechas

obtidas dos casos individuais de carga. Na falta de cálculo mais preciso, ã

superposição pode ser adotada, sendo, no entanto, recomendável uma

comparação com a flecha calculada com o valor de a do caso mais similar

tabelado, adotando-se os momentos fíetores do diagrama total. Nesses casos, é

prudente adotar alguma majoração adicional da flecha calculada.

Para o momento de inércia da seção de concreto fissurada, x é dado pela

expressão (8.7), e o braço de alavanca, considerando a distribuição linear de

tensões no concreto da zona comprimida no estádio II, é dado por:

Z = d- x/ 3 (8.13)

No estádio li, é usual a simplificação de tomar o valor médio do braço de alavanca:

z = 0,9 d (8.14)

Donde resulta, da expressão (8.1 3):

x = 0,3 d (8.15)


Na estimativa das flechas, deve-se ainda considerar que a avaliação da rigidez

equivalente com a inércia calculada da expressão (8.12), válida para seções

retangulares fissuradas com armadura simples, é conservadora, pois não leva

em conta as contribuições seguintes, favoráveis à redução de flechas em vigas

de concreto armado:

^ existência de armadura comprimida, como porta-estribos ou calculada, no

caso de seção com armadura dupla, o que aumenta a inércia da seção;

^ a laje solidária com a viga, funcionando à compressão como mesa de vigas de

seção T.

Para a seção transversal retangular, não considerando a presença da armadura,

o momento de inércia da seção bruta de concreto, no estádio l, é dada por:

/ -ô h3/12 (8.16)C W \

8.4.2.2 Lajes de concreto armado

A norma permite o cálculo de flechas no estádio l, admitindo o momento de

inércia da seção geométrica de concreto sem fissuras. Isso se justifica, pois os

painéis de lajes usuais de edifícios têm, na maioria dos casos, espessura uniforme,

definida a partir do máximo momento fletor de todo o painel, em valor absoluto,

que no cálculo elástico são, em geral, os momentos negativos. Desse fato resulta,

para a maioria das lajes usuais, uma capacidade resistente à flexão bastante

satisfatória quanto à fissuração sob cargas de serviço, pois, adicionalmente, as

armaduras das lajes são constituídas por barras de bitola reduzida.

Para as lajes calculadas em uma só direção (relação de vãos > 2,0), pode-se

fazer o cálculo de flechas considerando faixas de largura unitária, paralelas ao

menor vão, como vigas com bw — 100 cm e altura igual à espessura da laje,

com a inércia obtida da expressão (8.16).

Para as lajes maciças retangulares em cruz (relação de vãos < 2,0 e momentos

calculados nas duas direções), apoiadas em todo o contorno, é recomendável


determinar as flechas imediatas por um processo mais preciso, que considere a

rigidez como placa.

Neste trabalho, é apresentado o método de cálculo elástico de A.S. Kalmanok

(Manualpara cálculo de placas), que resolve a equação diferencial de Lagrange

para placas fletidas, da expressão (7.5) - Capítulo 7, por meio de séries

trigonométricas simples.

A Tabela 8.6, ao final desta unidade, foi construída a partir do trabalho de

Kalmanok e permite obter o coeficiente CO, para seis diferentes casos de

condições de apoio, em função da relação de vãos. Os vãos a e 6 são definidos

da mesma forma que os vãos / e / do método de Marcus, respectivamente,x y

como apresentado no Capítulo 7 - item 7.4.3.1.

A flecha elástica imediata é dada por:

r -m P^

com D =

D

E h3

12 (l -v3)

onde:

p = carga uniformemente distribuída por área na laje;

/ = menorvão da laje;

D = rigidez à flexão da laje;

E = módulo de elasticidade secante do concreto, dado pela expressão (8.8);

h = espessura da laje;

v = coeficiente de Poisson do concreto. A NBR 6118, item 8.2.9, recomenda

v = 0,2. No entanto, Kalmanok destaca que a hipótese mais adequada

para lajes de concreto armado seria v = 0. Esse valor resulta em flechas

da ordem de 4% superiores àquelas obtidas com o valor da norma.


8.4.3 Avaliação aproximada da flecha final das ações de longaduração

Segundo a NBR 6118 -^ 17.3.2.1.2, deve-se avaliar a flecha diferida causada por

cargas de longa duração, em razão da fluência do concreto. Essa flecha pode ser

calculada de forma aproximada como o produto da flecha imediata por um fator a ,

função da idade da estrutura para a qual se deseja calcular a flecha (t) e da idade na

aplicação das cargas de longa duração (t0), além da taxa da armadura de compressão

na seção.Aflecha total será a soma da imediata com a diferida, como segue:

fdif ~ °'ffi

f» =f,+f<r=(l+ " f) f i

(8.18)

(8.19)

O faíor de fluência, a., é dado por:

af = (8.20)l + 50 p'

sendo:

p '—A' /bd= taxa da armadura de compressão na seção crítica do vão considerado;

AC— Ç (f) - Ç (t0) = coeficiente de fluência diferida, em função do tempo t.

Afluência é função de vários fatores (item 3.11.2.3, alínea c-Capítulo 3): idade

do concreto da peça estruturai, especialmente na aplicação das cargas de

longa duração (retirada do escoramento, implantação de paredes e elementos

fixos), umidade do ambiente, dimensões da peça, composição do concreto e

desenvolvimento da retração e fluência com o tempo. A norma prescreve esse

coeficiente pela tabela:

Tabela 8.4 - Valores do coeficiente Ç(t] (NBR 6118 -*• Tabela 17.1)

Tempo (t) meses

Coeficiente gft)

0

0

0,5

0,54

1

0,68

2

0,84

3

0,95

4

1,04

5

1,12

10

1,36

20

1,64

40

1,89

i 70

2


É prevista na NBR6118 -> 17.3.2.1.2 uma ponderação das diferentes idades de

aplicação das parcelas da carga de longa duração, tQÍ o que pode ser interessante

no sentido de se reduzir o valor do coeficiente adicional da flecha diferida, af.

No cálculo da flecha diferida, vale ressaltar que não é necessário considerar a

totalidade das cargas, mas apenas aquelas que tenham caráter permanente, ou

seja, de longa duração. Essa observação, aparentemente óbvia, pode ser importante

quando se obtêm valores muito elevados da flecha total, pela expressão (8.19).

Um cálculo mais apurado, e realista, poderia separar as flechas imediatas

produzidas pelas solicitações permanentes (/ ) e pelas acidentais (f ), obtendo-

se a flecha total de longa duração pela aplicação do fator de fluência, afí apenas

sobre a flecha das cargas permanentes, isto é: (l + af*)ff +/, -

8,4.4 Considerações sobre os valores limites das flechas

Não existe concordância absoluta na literatura especializada sobre os valores

limites a observar para as flechas. Na maioria das normas, os limites são

estabelecidos em função de /, vão efetivo das vigas ou o menor vão para as lajes.

As solicitações para o cálculo de flechas no ELS-DEF são obtidas da expressão

(8.1), com as combinações quase-permanentes de serviço das ações variáveis, o

que permite reduzir as solicitações por um coeficiente \J/2, que varia conforme a

natureza da edificação.

Os limites de deslocamentos, da NBR 6118 -> Tabela 13.2, estão transcritos na

Tabela 8.3. Para vigas e lajes de estruturas usuais, o primeiro limite da flecha

total é o da aceitabilidade sensorial, ou seja, os deslocamentos não devem ser

visualmente incómodos ao usuário:

f«*/*. = l/250 (8-21)

Outros limites devem ser obedecidos, conforme a natureza da estrutura, pela

Tabela 8.3. Alguns se aplicam a todas as ações, permanentes e acidentais


(S "*" #)' quando se considera o efeito da fluência, e outros são aplicáveis apenas

às cargas variáveis. Por exemplo, se houver necessidade de estimar os efeitos

em paredes de alvenaria, caixilhos e revestimentos - elementos não estruturais, a

flecha após a construção da parede é limitada a 1/500 ou 10 mm.

Diversas outras considerações podem ser feitas para uma verificação mais

apurada. Por exemplo, os elementos não estruturais passíveis de danos (divisórias,

esquadrias, etc.), em geral, são instalados alguns meses após a retirada do

escoramento da estrutura, já tendo, portanto, ocorrido as flechas imediatas das

cargas permanentes. Dessa forma, pode-se verificar a interferência da estrutura

com esses elementos, tomando, em vez da flecha para todas as cargas, a soma

da flecha diferencial somente das cargas permanentes (/„) com a flecha imediata

em função das sobrecargas (/ ).

8.4.5 Considerações práticas

Levando-se em conta que a estimativa de flechas não pode ser feita de forma

muito precisa, especialmente no que se refere às flechas produzidas pelas ações

de longa duração, pelas dificuldades de avaliação da influência no fenómeno de

fatores como a retração, a fluência, a razão sobrecarga/carga permanente e os

efeitos de temperatura e umidade, é recomendável, na verificação de flechas,

observar os seguintes aspectos:

• evitar a utilização de elementos demasiadamente esbeltos;

• evitar taxas de armadura de tração muito baixas;

• utilizar armaduras de compressão;

• efetuar cura adequada do concreto;

• retardar o mais possível a aplicação das cargas permanentes na estrutura,t*

evitando a retirada prematura dos escoramentos.


Deve-se ressaltar que o módulo de elasticidade do concreto, E , cresce com a

idade, mas em proporção menor que o crescimento da resistência. Assim, a prática

comum de se retirarem os escoramentos antes dos prazos prescritos por norma,

ao ser alcançado o valor dq^nos ensaios de corpos de prova à compressão, pode

ser prejudicial quanto aos deslocamentos da estrutura, a longo prazo.

Em estruturas esbeltas, deve-se verificar adequadamente as flechas imediatas e

diferidas, causadas não só pelas ações de longa duração mas também pela transição

paulatina do estádio l ao estádio II, nas seções mais solicitadas da peça. Essa

verificação pode prevenir os vários tipos de danos que podem comprometer uma

edificação, especialmente no que se refere à funcionalidade e à estética.

A Figura 8,2, a seguir, mostra alguns tipos de danos comuns em edificações usuais

com estrutura de concreto armado, sucintamente comentados na sequência:

a) Fissuras em paredes de material frágil (divisórias constituídas por materiais

como placas de gesso ou arenito calcáreo), assentadas sobre lajes de piso de

vãos elevados (> 5,0 m) e vigas muito esbeltas (h < 1/15) (ver Figura 8.2 a).

b) Risco de ruptura por flexocompressão de paredes ou pilares esbeltos, em

virtude da rotação causada por flechas excessivas das lajes ou vigas de piso,

ligadas rigidamente aos elementos de apoio (Figura 8.2 b).

c) Flechas elevadas em lajes e vigas de piso, causando danos às fachadas

próximas, constituídas por paredes não estruturais ou esquadrias, acima e/ou

abaixo das vigas, podendo mesmo prejudicar a movimentação de esquadrias,

no caso de grandes painéis (Figura 8.2 c).

d) Fissuras horizontais em paredes externas de alvenaria, ao longo do bordo

inferior da laje maciça esbelta nela apoiada, em virtude da rotação no apoio

provocada por flecha excessiva da laje, frequentemente acompanhada por

fissura interna horizontal ao longo do pé da parede. Esse tipo de fissura é

responsável, em grande parte, por problemas de infiltração de água nas

fachadas expostas (Figura 8.2 d).


e) Flechas imediatas elevadas em lajes de piso, por deficiência na execução de

formas/escoramento durante a construção, exigindo revestimento adicional

para nivelamento, o que acarreta um acréscimo de carga, com aumento

posterior de flechas,

f) Flechas excessivas em balanços, especialmente em lajes de cobertura e

marquises, causando inversão na inclinação prevista e consequente acúmulo

de detritos e água de chuva, no caso de haver parapeito.

Deve-se ainda ressaltar que, em havendo qualquer possibilidade de ocorrência

futura de danos à edificação, estruturais ou não, cabe ao projetista notificar, por

escrito, as flechas estimadas ao responsável técnico pela obra, para que sejam

levadas em conta nos acabamentos e nas fachadas. Além disso, as "contraflechas"

eventualmente necessárias em lajes e vigas, abordadas no item seguinte (8.4.6),

devem ser indicadas nas plantas de forma e, quando necessário, o responsável

pela obra deve ser instruído sobre o tempo de cura, prazo e formas de retirada do

escoramento de lajes e vigas, de modo que as hipóteses admitidas na estimativa

de flechas sejam satisfeitas.

Os casos mostrados na Figura 8.2, de forma bastante sintética, têm caráter

ilustrativo de uma variedade muito grande de danos associados à movimentação

da estrutura. A consideração de efeitos de temperatura, umidade ambiente, retração

e fluência do concreto é bastante complexa, fato que, associado à esbeltez das

peças, vãos elevados e rapidez da execução recomenda uma atenção compatível

no projeto estrutural.


{ £ S_£_£. / S\ S ^f _/ J J -J T 7

(a) Danos em parede devido a flecha excessiva de laje de piso esbelta

aRisco deflambagemde pilares ouparedes esbeltas

flrtl»! /f/f/fft

(b) Risco de flambagem de apoios devido à rotação causada por flecha excessiva

Parede de alvenaria fissuras devido a flecha excessivade vigas e lajes sob a parede

Fissuras de deformaçãoda esquadria

abertura

f Esquadriatmarcoou verga

(c) Fissuras em peças não estruturais devido às flechas excessivas de vigas

^ fissura interna

fissura externa^ l l ^^^^/ laje maciça

(d) Fissuras em paredes devido à rotação causada por flecha excessiva da laje

Figura 8.2 - Danos causados por flechas excessivas a elementos da edificação


8.4.6 Critérios para a adoção de contraflechas

A contraflecha consiste na execução das formas de lajes e vigas com uma curvatura

contrária àquela produzida pelas flechas imediata e total, de modo que a estrutura

sob carga reproduza a geometria prevista em projeto.

A NBR 6118: 2003 é sucinta no assunto e a maioria da bibliografia especializada

é também bastante vaga. Do exposto em itens anteriores, pode-se concluir que a

contraflecha deve ser estudada em cada caso, tendo em vista a possibilidade de

ocorrência de danos à estrutura e seus componentes,

Um critério prático bastante comum, quando houver dúvidas se as flechas

diferidas poderão causar danos a outros elementos da edificação, estruturais

ou não, é adotar uma contraflecha igual ao dobro da flecha imediata estimada

apenas para as cargas permanentes. Cabe, entretanto, lembrar que uma

contraflecha muito elevada pode ser tão prejudicial quanto uma flecha excessiva.

Por essa razão, a Tabela 13.2 da norma prescreve que a atuação isolada da

contraflecha incorporada às formas das vigas e lajes "não pode ocasionar um

desvio do plano maior que 1/350".

Os renomados autores alemães Leonhardte Monnig (Construções de concreto-

vol. 4, 1978) apresentam recomendações relevantes para a adoção de

contraflecha, valendo ressaltar dois casos específicos:

a) Vigas e lajes de um só vão

Na execução, incorporar às formas uma contraflecha calculada com base

apenas nas cargas permanentes. Os autores sugerem que logo após a retirada

do escoramento deva permanecer uma contraflecha da ordem def/2 , de

modo que após um tempo infinito as deflexões não vão superar a metade da

flecha imediata da carga permanente somada àquela das sobrecargas, isto

®> U/2 (f. ) +f. ]. Dessa forma, a contraflecha recomendada seria:

cf = 1,5 f*

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de sen/iço 369

b) Lajes em balanço

Antecipando uma possível inversão da inclinação prevista para o balanço e

sabendo que medidas corretivas posteriores são difíceis, os autores

recomendam prever na execução uma contraflecha mais elevada, na

extremidade do balanço, da ordem de:

cf=2,3fíg (8.23)

8.5 EXEMPLOS

8.5.1 Exemplo de verificação ao estado limite de fissuração

Verificar quanto à fissuração uma viga de concreto armado na classe ambiental

CAA II (agressividade moderada - risco de deterioração pequeno), sujeita ao

momento fletor característico máximo de 300 kN.m, sendo as dimensões da

seção retangular: bw = 25 cm, h = 80 cm, d ~ 75 cm\a de flexão

Á = 5020, aço CA-50; concreto com /, = 25hfPa.s i y ' j cff

a) Parâmetros de entrada

M= 300 x J O6 N.mm

Ás = 15,75 cm2 = 1.575 mm2; 7jb = 2,25 (CÁ-50)

fctm = 0,3 f = 2,56 MPa O da expressão (8.4)

À =b (c + 0+80) =25 (3,0 + 0,5 + 8x2,0) =487,5 cm2 O dacri w ^ nom í •> \ ' * J >

expressão (8.9), para seção retangular com armadura de tração em uma

camada.

pcr[ = As/Acrí = 75,75 / 457,5 = 0,032

E^ = 4.760 f ^ ** = 2,38 x IO4 MPa, da expressão (8.8); Et = 2,1 x IO5 MPa

a =E / E = 2JO.OOO/ 23.800 = 8,82


b) Profundidade da linha neutra e tensão na armadura em serviço

As expressões (8.7) e (8.6) fornecem:

8,82.15,75 7 , 2.25. 75 „ «x = _L - '. — -i + A l + • - = 23,8 cmn 25 \ j

* -. _ 00'10" =284 MPa

1.575 750 -l 3 )

c) Controle da fissuraçao sem a verificação da abertura de fissuras

Com o valor da tensão de tração de serviço no aço cr. = 284 MPa, da Tabela

8.2 obtém-se 0 = 12,5 mm es =15 cm. De acordo com essemax ' max

critério, a armadura de flexão composta por barras com CP = 20 mm não

passa no critério da bitola máxima. Cabe, então, fazer a verificação pelo controle

da abertura de fissuras, mais rigoroso e, talvez, com resultado mais satisfatório.

d) Controle da fissuraçao pela limitação da abertura estimada

Aplicando as expressões (8.5) da NBR 6118 -* 17.3.3.2, para estimativa em

projeto da abertura de fissuras, com a espessura do cobrimento de concreto

c =30 mm da classe CAA II, tem-se :nom

20 284 .±(2841 = 0,32 > 0,3 mm. .12,5ní Es fctm 12,5x2,25 210.000 2,56

$ M 4 ^ 20 284 4 > / < ) mx *- nu-w = ,_^1 —. + 45\ . . + 45 \ 0,16 < 0,3 mm12,5n. Es l pcr[ l 12,5 x 2,25 210.000 ( 0,032 j


Portanto, a menor das aberturas, da segunda expressão anterior, é inferior à

abertura máxima de fissuras da classe CAA II, de 0,3 mm, indicando

comportamento satisfatório quanto ao estado limite de fissuração, o que não

se verificou pelo critério da bitola máxima.

e) Comentários

(D Usando a simplificação do AGI, cr = f,d/7f -435/1,4 = 311 MPa, as

expressões ficariam 0,38>Q,3 e 0,18 < 0,3 , resultado ainda satisfatório

quanto ao controle da fissuração pela abertura estimada.

(D Caso se adotasse o valor aproximado da profundidade da linha neutra, da

expressão (8.15), x - 0,3 d = 22,5 cm, seria obtido cr. = 282 MPa, uma

excelente aproximação quanto ao valor calculado, a = 284 MPa.

(D Supondo que o momento de serviço de 300 kN.m seja decomposto em

duas parcelas, M k = 220 kN.m (das cargas permanentes) e Mk = 80

kN.m (da carga acidental), e admitindo se tratar de estrutura de edifício

comercial, o momento para verificação da fissuração, da expressão (8.2),

pode ser reduzido com as combinações frequentes de serviço das ações

variáveis. A redução é feita multiplicando a parcela M. do momento pelo9*fator \|// = 0,6, resultando em Mdjer = 220 + 0,6 x 80 = 268 kN.m.

Dessa redução, tem-se a tensão em serviço cr. = 254 MPa, mais favorável

para controle da fissuração.

8.5.2 Exemplo de verificação ao estado limite de deformaçõesexcessivas

Verificara viga do exemplo anterior, suposta biapoiada com o vão teórico I = 8 m,

quanto ao estado limite de deformações excessivas, admitindo a carga de longa

duração distribuída uniformemente na viga, aplicada na estrutura com a idade de

um mês.

372 João Carlos Teatiní de Souza Climaco

a) Cálculo da flecha imediata

Do exemplo anterior tem-se:

Es = 2,1 x IO5 MPa; E a = 4760 f ^ m = 2,38 x JO4 MPa

a =E /E = 8,82e s es '

x = 23,8 cm

Da expressão (8.13), tem-se o braço de alavanca das resultantes de tração e

compressão no ELS:

z = d-x/ 3 = 67,0 cm. Aplicando o valor na expressão (8.12) resulta:

I = As.z(d- x) = 8,82 x 15,75 x 67 (75 - 23,8) = 476.534 cm4

= 476,5 x IO7 mm4

E I~L134xlQuN.inm2es n


I -=b h3 112 = 25 x 803 = 1.066.667 cm4 = 1.067x1 07 mm4C »'

Momenío de fissuração do elemento estrutural com seção retangular, da

expressão (8.4):

M = 0,075 b h2/.2* « 0,075.250.800 2.252/3 = 103x10 6 N.mmr ' w J ck

Com o momento máximo no vão M ~ 300 x IO6 N.mm e os momentos dea

inércia anteriores, a rigidez equivalente da peça será:

*2,38xW4\—\7 +300)

j .300

= 2,38x5QO,4xWn


Pode-se notar que a rigidez equivalente é muito próxima da rigidez calculada

com a peça fissurada, Ea . In = 1.134 x 10 n N.rnm2, o que indica uma

probabilidade alta de existência na viga de fissuras sob as cargas de serviço.

Isso ocorre por ser o momento de fissuração muito reduzido para as

características da peça - geometria, vínculos e carregamento. O aumento

desse momento pode ser obtido por acréscimos nas dimensões da seção e/

ou na resistência do concreto à compressão. Da fórmula de Branson, nota-se

que, no limite, fazendo M. = Mg, a rigidez equivalente seria igual à da seção

bruta de concreto, ou seja, da peça sem fissuras.

Da Tabela 8.5, para viga biapoiada, tem~se a = 5/48 , obtendo-se a flecha

elástica imediata com a expressão (8.4), com as unidades Newton e

milímetros:

, Mkl2 5 300.106x8.0002f; - a = —•. =17 mm(EI)eq 48 L191xlOn

b) Flechas diferida e total produzidas porações de longa duração

Sendo a carga de longa duração, com a retirada do escoramento, aplicada à

estrutura com a idade de um mês, considerando-se para a estimativa da flecha

diferida a idade de 70 meses e a ausência de armadura resistente de cálculo

à compressão, da Tabela 8.4 e expressão (8.20), tem-se:

af=ÁÇ/(l + 50p") = 1,32

fdíf = af.f, = 1,32 x 17,0 = 22,4 mm

flol -/, +/.V = (^ + «/)/, = 2,32 x 17,0 = 39 mm

Comparando com o limite para deslocamento total da Tabela 8.3, vem:

/ = 39 mm >/,. = J/250 « 8.000/250 = 32 mm•> lol J lim


Portanto, a flecha estimada não atende à limitação da norma quanto ao aspecto

de sua percepção visual, com um excesso da ordem de 22%. A seguir, são

.analisadas algumas alternativas para superar o problema.

c) Verificação da flecha com redução do momento fletor da carga acidental

Supõe-se, como no item (D da alínea e) do exemplo anterior, que o momento

de serviço de 300 kN.m seja decomposto em duas parcelas, M k = 220

kN.m (das cargas permanentes) e M £ = 50 kN.m (da carga acidental). Para

as combinações quase-permanentes de serviço, o momento para a verificação

da flecha, da expressão (8.1 ), para edifício comercial, pode ser reduzido pela

multiplicação do momento M k pelo fator \[T2 = 0,4, o que vai resultar em

M, = 220 + 0,4 x 80 « 252a,ser '

Com esse valor do momento, a rigidez equivalente da peça ficaria:

(ET) eq = 1.230 x 10 n < 2.539 x 10 n N.mm 2

As flechas imediata e total mudam para:

/, = 14,0 mm O fioi = (l + a/)fi = 2,32 x 14,0 = 32,5 mm

Nesse caso, pode-se considerar, pela diferença muito reduzida de 0,5 mm,

a ser realizada no prazo de 70 meses, que a flecha estimada atende à

limitação da norma quanto ao aspecto de sua percepção visual. Deve, ainda,

ser analisado em projeto se essa flecha não poderá causar danos a outros

elementos, estruturais ou não, ligados à viga, verificando os outros limites

para deslocamentos da Tabela 8.2. Caso seja previsto algum risco de dano,

a flecha pode ser parcialmente compensada pela especificação de

contraflecha, em valor limitado a 1/350 = 23 mm. Esse valor da contraflecha

deve ser explicitado na planta de formas.

d) Comentários

(D Se na verificação ainda persistisse o não-atendimento ao limite de flechas

da norma, poderia ser analisada a possibilidade de colocação de uma


armadura de compressão. Por exemplo, para uma taxa p — 0,5%, que

corresponde à área de aço comprimida de Á's = 9,4 cm2, o coeficiente de

fluência cai para a.- 1,06 e a flecha total diminui para 29 mm.

> Caso fossem usados os valores aproximados x = 0,3 d = 22,5 cm e

z = 0,9 d — 67,5 cm, resultaria na inércia de peça fissurada Iu =

492,3x 107mm4, com um erro de apenas 3%, no entanto contrário à

segurança.

> É interessante comparar a versão da NBR 6118:2003 com a anterior NB-1/

1978 na estimativa de flechas. Aplicando as disposições desta última ao

exemplo presente, adotando o mesmo momento de inércia da seção

fissurada/7/, a flecha imediata assumiria o valor/J =17,4mm, muito próximo

do obtido na alínea a) do exemplo 8.5.2. Isso mostra que o uso da rigidez

equivalente, com a correção pela razão dos momentos M / Ma, só é

significativo para valores elevados de M . No entanto, a NBR 6118:2003

mostra-se bem mais rigorosa na consideração da flecha diferida das ações

de longa duração: o coeficiente de acréscimo da flecha imediata obtido

pelas disposições da NB-1/78 teria o valor aproximado de 1,6 contra 2,32

da nova versão. Em vista disso, a ponderação das diferentes idades de

aplicação das parcelas da carga de longa duração, tQ, prevista na NBR

6118-*• 17,3.2.1.1, pode ser interessante para reduzir o valor do coeficiente

adicional da flecha diferida, a..

1 A verificação de flechas pode ser ainda mais refinada, pelo cálculo em

separado das flechas das parcelas de momento das cargas permanentes,

M k, e da sobrecarga, M k, este reduzido pelofator \|/2 = 0,4.0 coeficiente

adicional da flecha diferida, af , poderia, então, ser aplicado apenas sobre

a parcela da flecha imediata /; , do momento Mk. No exemplo presente,

esse critério implica uma flecha total com uma folga ligeiramente maior em

relação ao limite:

f =22,2 x 2,32 + 1,8 = 30,1 mm </.. = 1/250 = 32 mm•> lot ' ' ' ' J hm


Cabe aqui relembrar a importante observação da NBR6118—> 17.3.2, de

que, em face da grande variabilidade dos parâmetros envolvidos e, portanto,

das deformações reais, não se pode esperar grande precisão nas previsões

de deslocamentos dadas pelos processos analíticos prescritos.

8 .5 .3 Exemplo de verificação de laje ao estado limite dedeformações excessivas

Para uma laje retangular maciça de edifício, com vãos teóricos 5 777 e 6 m, verificar

o estado limite de deformações excessivas, admitindo-se engastamento perfeito

em um dos bordos de 5 777 e os demais como apoios simples. Considerar a

espessura da laje 10 cm, a carga total (peso próprio, revestimento e sobrecarga)

de 6}O kN/m2 e concreto com /. = 20 MPa.' J CK

a) Módulo de rigidez â flexão da laje

Das expressões (8,8) e (8.17), adotando-se para o coeficiente de Poisson do

concreto valor igual a 0,2, conforme a NBR6118, item 8.2.9, tem-se:

£ra = 4.760fck!/2 =2,13 x IO4 MPa

D = Ecsh3 - 2J.300xl003 = 1 850xW6 N mm = j S50 w m

12(1 - v2) 12(1 - 0,22) '

b) Flecha elástica ou imediata

Entrando na Tabela 8.6 do método de Kalmanok com a relação de vãos

b/a = 5/6 ~ 0} 83, na coluna do caso 2, obtém-se o coeficiente ú) = 0,00465,

e de (8.17):

nl4 -r -,f. = co -£-!— = 0,00465 ox:> = 9,4x10 "3 m = 9,4 mm' D 1.850


c) Flecha de longa duração

Para as ações de longa duração aplicadas logo após o término da construção,

da soma das flechas inicial com a diferida, das expressões (8.19) e (8.20),

obtém-se a flecha total na laje, a ser comparada com a flecha limite para a

carga total, da expressão (8.21):

/,= U + &,)/. = 2,32 x 9,4 = 21,8 mm >L = 1/250 = 5.000/250 = 20mmJ tol \ / J i i ' ' J Imj

A diferença muito pequena entre a flecha total e a limite, inferior a 2 mm

(10%), em princípio, não significa que haverá problemas de deformações

excessivas na laje, a longo prazo, pois, conforme o item anterior 8.41, a

NBR 6118 destaca que "a variabilidade das estimativas é grande com relação

às deformações reais, não se podendo esperar grande precisão nas previsões

de deslocamentos pelos processos analíticos prescritos". No entanto, sendo

a flecha total superior ao dobro do limite 1/500 = 10 mm, da Tabela 8.3, a

possibilidade dê dano a elementos estruturais ou não ligados à laje é real,

devendo-se analisar a necessidade de adoíar uma contraflechá na execução

ou indicações específicas no projeto quanto aos elementos passíveis de

danos.-

Pode-se ainda refinar ã verificação de flechas, com o recurso de dividir a carga

de serviço ria laje nas parcelas da carga permanente e da sobrecarga, aplicando

ã esta í3Ífim'á" õ' fafor reéftitory = 0,4. Admitindo-se, por exemplo', ser a carga

péíffiáfiêhíé 4,-Ô kN/lrf e a sobrecarga 2S0 kft/m*, a carga dê serviço páYa

verificação da flecha pocfè sêf reduzida para 4 + 0/4 x 2 ~ 4,8 kN/m2.- Gom1

esse Vátôf, as ffêêftãs iriíóláf ê1 íoíal aSsiffffêfrf os válôíês 7f§ fiiftf- é 17,4 mm,.

fêsp'é'ótivãrnêhfè,- mais favoráveis quanto aos limites da nõ'fm'á.



8.6.1 Enunciados

Para a planta de lajes da Figura 8.3, a seguir, todas de mesma espessura h =10 cm,

tem-se a sobrecarga 2,5kN/m2 e o peso dos revestimentos superior e inferior da

laje de l,OW/m2. Admitindo a estrutura na classe de agressividade fraca, concreto

com resistência^=25 MPa, aço das armaduras das lajes CA-60 e vigas CA-50

(longitudinal e transversal); vigas V6, V7 e V8 com dimensões da seção transversal

20x 70 cm2 e as demais com 15x 40 cm2, resolver as questões a seguir:

1. Dimensionar as armaduras das lajes da planta.

2. Verificar as lajes mais desfavoráveis quanto ao estado limite de fissuração,

segundo as disposições da NBR 6118.

3. Verificar as lajes mais desfavoráveis da planta quanto ao estado limite de

deformações excessivas, pelo método de Kalmanok.

4. Verificar a alteração nas flechas da laje L1, supondo sobre ela uma carga

adicional referente a uma parede de espessura acabada 15 cm, de tijolo

furado, comprimento 6m e pé-direito 2,6m, paralela à viga V6, admitindo

que possa haver sob a laje divisórias de material frágil.

5. Dimensionar as armaduras de flexão e de cisalhamento da viga V6 e verificá-

la quanto aos estados de fissuração e deformações excessivas. Considerar

sobre essa viga uma parede de tijolo cerâmico furado, com espessura

acabada 15 cm e altura 2,6 m.

6. Dimensionar as armaduras de flexão e de cisalhamento da viga V8 e verificá-

la quanto aos estados de fissuração e deformações excessivas.


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CQ

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P4

V4

V3

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Figura 8.3 - Planta de lajes do item 8.6 -Auto-avaliação


1. Em virtude das dimensões relativas das lajes L1 e L4, a hipótese mais razoável

é a laje menor L4 engastada em L1, sobre a viga de bordo V4; no entanto,

considerar 1_1 engastada em L4 não é razoável, em virtude da grande diferença

de vãos: 8,0 m e 1,5 m. Dessa forma, toma-se no cálculo a laje 1_1 como

simplesmente apoiada no bordo V4 e engastada em L2/L3, pois o trecho

contínuo de L1 nesse bordo tem 6m> (2/3)8,0 = 5,34 m t conforme o item

7.4.4a); portanto, a laje em cruz L1 estará no caso 2 do método de Marcus.

As lajes em cruz L2 e L3 caem no caso 3 (dois bordos engastados adjacentes)


e a laje L4, em uma direção, tem na direção principal, de 1,5 m, um bordo

engastado e o outro livre, o primeiro caso à direita da Figura 7.10 a).

2. Com a mesma carga em todas as lajes e tendo a laje L1 apenas um bordo

engastado, ela será a mais desfavorável quanto à fissuracão.Averificação

deve serfeita para a armadura calculada para o momento negativo equilibrado

entre L1 e L2 ou l_3, com certeza o momento máximo do painel.

3. A laje LI é também a mais desfavorável quanto a deformações excessivas,

sendo o restante do exercício similar ao exemplo 8.5.3.

4. Acargada parede na laje se obtém do item 7. 3. 1.4 e Tabela 7.2. O limite da

flecha total deve ser 1/500 = 10 mm, pela possibilidade de dano a elementos

não estruturais ligados à laje. Caso necessário, determinar a còntraflecha

necessária à execução da forma da laje, segundo as recomendações do

item 8.4.6.

5. Avaliar a carga transmitida pela laje L4 à viga V6 pelo processo do item 7.5

- Capítulo 7, dada na Tabela 7.7 péla reáçãõ ri do dasõ 2 2^ tipo. Â ví§a

V6 pode ser considerada como biapoiada em P1 e P5, com um balanço de

1,5 m-. No dimensionamento ã flexão da armadura pára ô momento' positivo

máximo da viga V6 pode-se considerar ã seçãô córriõ T, pJélô fato dê a laje

L1 funcionar como mesa de compressão e manter a linha neutra dê V6

hofizontalj pela restrição às deformações da viga; Dessa forma, podem sêf

utilizadáê as disposições para cálculo como Viga T, dó iteríi 5:7-6â'p1tu1ò5.

6, Notar que a viga V3 está apoiada hò 'pilar P4 ê na vítjã V/8,. onde,

apiifía Uma carga Concentrada. Para" õbtêrífão dos èêfófps' sSlÍõitãhíêsy

momento íièiõf e fófçá cortante, todos os apoios das vigas* sêjâêrh pilares cití

em outras vigas, podem ser tomados como simples, simplificação' aceitável

para os objetivos desta publicação.


Tabela 8.5- Coeficientes a para cálculo da flecha elástica = Ot (Ml2/El)

Tabela 8.5 : Valores do coeficientes oc para cálculo da flecha elástica = a (Ml2/El)

Esquema estrutural e momentos

\P P \

a •» a — »— a «•• a

Pab/l

Ml M2

Mm

MlK

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Mm

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3 - 4(a/l}2

24

= 1/10

1/16

1/8

J_(l - M1±M1)48 lOMm

(M! c M2 em módulo)

_]_(!- M1+ M2)12 4 Mm

Esquema estrutural e momentos

ft l l l l l l l l l l J-

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PI/8

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n i ,i i rnjji KTpl2/14,2

3P//16

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1/16

1/24

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^//3

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(sob a carga)

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Apêndice

A.1 Roteiro p_ara o cálculo depilares pelo processoaproximado da compressãocentrada-equivalente

,;. A.2 Roteiro parado cálculo de!^-v'j|-M_-::elementos lineares àf'-'HáUfiflexão pura :^ --OU:, •• ' -

Roteiro para o calculo deelementos lineares àforça cortante-

?A^ríáRòteiro oara o.cálculo de;' / liSrtt íi, '-! " ':- -1 "l> r

d-aPjes réjtangUlares

Apêndice

A.1 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE PILARES PELO PROCESSOAPROXIMADO DA COMPRESSÃO CENTRADA EQUIVALENTE

1 Alternativa ao cálculo à flexão composta, válido nas condições:

a) Força normal reduzida de cálculo:

Nsd = YfNk~ força normal solicitante de cálculo, no centro de gravidade

da seção;

Á ' c - área da seção transversal de concreto comprimido;

fcd - resistência de cálculo do concreto à compressão.

b) SecÕes transversais retangulares ou circulares e armadura simétrica

c) Cálculo da seção nas duas direções principais, com o valor respectivo do

coeficiente y :1 u

Para pilares intermediários sob compressão centrada, sem considerar

os momentos das vigas, basta o cálculo na direção principal mais

desfavorável (direção paralela ao lado menor b, para seçpes retangulares),

quefornece o maiorvalorde /u.As expressões seguintes já foram escritas

para esse caso.

d) Pilares curtos ( A £ 55) e medianamente esbeltos (35 < À. <, 90):

A = / e / Z á r ^ / f sendo: 35 <; Ã l = [25 -f- 12,5 (eb/b)] /ab z 90

394 João CarlosTeatini de Souza Climaco

*•> eb = Msd/NScl - excentricidade de 1 ordem da força normal, na direção

de b, com o valor mínimo; e , , = 1/400 ^ 7,5 + 0,03b' I min

(em c/n);

^ ab = 1,0 O Pilares biapoiados com momentos fietores menores que o

mínimo de 1 ordem (caso de pilares intermediários com

carga centrada);

w ]tO > ab = 0,60 + 0,40 MB/MÃ >. 0,40 O Pilares biapoiados sem

cargas transversais, com momentos extremos, em módulo, M'A >. MB

(caso geral de pilares extremos)

2 Força normal equivalente para cálculo simplificado à compressãocentrada

N... = r Nv. ~Y rrN,Sd,eq 'u Sá ' a ' f k

<* Coeficiente de majoração do processo aproximado: yv =1 +fi(eb/b)

w Parâmetro dependente do arranjo das barras longitudinais na seção

tran versai:

P=1/[(Q,39 + 0,01á)-0,8d'/b]

/ d' = distância à borda da seção mais próxima do centro de gravidade da

armadura longitudinal disposta na borda paralela ao lado h

/ para seções circulares O a = -4

/ para seções transversais retangulares:

a = -l/a se a < l com: a = (n, - 7) / (n, - 1}s s s ^ h J ^ o J

a= a se a > ls s

a— 6 se a > 6

Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003 395

nh— número de barras longitudinais da área de aço Á' s nas bordas paralelas ao

lado h (barras que combatem o momento Msddevido à excentricidade eb

da força normal N^, na direção principal paralela ao lado b);

n = número de barras da área Â' s nas bordas paralelas ao lado b.

3 Área da armadura longitudinal comprimida

A' z (N,, -/'.A' ) / f c .s l Sd,eq •'ca c' J yd

A's= área das barras de aço de armadura comprimida, nas bitolas padroni-

zadas pela NBR 7480:1996 (Tabela 4.4 - Capítulo 4);

A' = área da seção transversal de concreto comprimido;

f cd ~ ®'85fcc} = resistência máxima de cálculo do concreto à compressão;

f'yd= resistência máxima do aço à compressão, limitada pelo encurtamento

máximo de ruptura do concreto = 2 %o (Tabela 3.3 - Capítulo 3).

4 Prescrições da NBR 6118: 2003

a) Bitolas mínima e máxima das barras da armadura longitudinal:

10 mm < 0< b /8

b) Taxas mínima e máxima da armadura longitudinal (p = A's/A'c):

p . =0,15 N,./(f ,.A') > 0,4 %; p =8% (incluindo regiões de" mm ' Sd v J yd c/ ' ' r max \^

trespasse).

c) Dimensão mínima da seção transversal:

*• pilares maciços de qualquer forma: menor dimensão z 19 cm


^ ,permite-se 12 cm £ b < 19 cm, fazendo N „, = r r rr. N. er ' Sa.eq ' n ' u ' f k

sendo 1,0 <,yn~ 1,95 - 0,051 £ 1,35

^ Em qualquer caso, a seção transversal do pilar deve ter área:

Â'c> 360 cm2

d) Espaçamento das barras longitudinais na seção transversal:

20 mm

' agreg.

400 mm2b

e) Proteção contra flambagem das barras longitudinais:

. • fc> • ! • m

m •

-200 f

estribo duplogrampo

f) Espaçamento de estribos no eixo .da peça:

st = o menor dos valores seguintes:

200 mm; menor dimensão da seção; 120(Ch-5Q e 60); 120 (CA-25)

g) Espessura da camada de cobrimento do concreto:

Tabela 4.2-Capítulo 4

h) Comprimento de ancoragem reta por trespasse:

lb O Tabela 4.3 - Capítulo 4.


A. 2 ROTEIRO PARA O CALCULO DE ELEMENTOS LINEARES A FLEXÃOPURA

1 Traçar o diagrama de momentos fletores

o determinar as secões de momentos máximos - positivos e negativos.

2 Obter nas secões críticas os momentos solicitantes de cálculo

c"> M = y ?(/f1VJ-sd ff J Uk

3 Dimensionamento de secões retangulares em T

a) Obterá altura útil da seção (largura bw) e os coeficientes adimensionais

da flexão:

d= altura útil = distância da fibra mais comprimida ao CG da armadura

*> Armadura de tracão em uma camada: d = h - (c + <2> + 0/2}\ >• nom t •"

<* Armadura de tracão em duas camadas; d=h-(c + 0, + 0 + a/2)y ^ nom t '

^*- Espaçamento entre duas camadas de barras O a > (2cm e 0)

*•• Espessura do cobrimento de concreto o cnoni : Tabela 4.2 -

Capítulo 4

*+ Para armaduras negativas, permite-se c =15 mm no caso de0 * ~ nom

argamassa de contrapiso, revestimentos finais secos, argamassas

de revestimento e acabamento e pisos de elevado desempenho,

cerâmicos, asfálticos, etc.

*t* Bitola das barras longitudinais = &} bitola dos estribos = <£;

b) Coeficientes adimensionais interdependentes (Tabela 5.2 - Capítulo 5):


k = £ , / ( £ , + s ,); k = l - 0,4x ca ^ ca sd-n z '

Domínios 3 e 4: k . ~ 0,68 k kma ' x z

Domínios 2: k = 0.0,68 k k \ , = 8.0,85 f ^ma ' ' x : ' cd " ' J cd

c) Cálculo da armadura simples de tração:

<* Tabela 5.2 - Capítulo 5: coeficientes adimensionais da flexão simples:

k .0 k O A =M,/(k d f . Y d=k,[M ./(b /.)]'*ma z s d ^ z •> yd -" d L sd ^ »'•' cd •'-1

w- Domínios 2 e 3; a, — f,sd •> yd

w- Domínio 4: a . = E e . com e, = 0,0035 (l - k V ksd s sd sd 3 ^ x' .r

^ Domínio 2; quando < 0,167 O verificar armadura mínima.

*> Tabela 5.3 - Capítulo 5: áreas de aço, Â , e largura interna aos

estribos, b , .' smm

<* Tabela 5.1 -Capítulo 5: taxa mínima de armadura

O p . = Á . /(b h)'mm smm ^ w '

**• Taxa mínima absoluta de armadura de tração: 0,15%

^ Taxa máxima absoluta de armadura longitudinal: 4,0 %.

d) Cálculo da armadura dupla de flexão (As: tração; A ' : compressão):

<* Alternativa de cálculo para evitar a seção superarmada e garantir a

dutilidade o não usar se k . > 0,425.ma '

d. 1 ) Momentos positivos:

usar para k , > k ... ou d < d . O Mw = M., + M,.1 md mahm min Sá dl d2

o A =À , +A .s si s2

cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003 399

Momento limite da nervura: k md - kmdtim

(impõe: kx - kxlim e k: = kzj

Asl - dim dfyd

d. 2) Momentos negativos:

k A > 0,272 se /. < 35 MPa ouma J CK

k . > 0,228 se /. > 35 MPama •* CK

**• Momento limite da nervura:

/ se /. < 35 MPa C k , - 0,272 O M., - 0,272 b d2 f ,J ck ma aí ' \ •' cd

O A , = M,,/(0,800df ,)si dl ^- ' J yd'

/ se /. > 35 MPa O k =0,228 O M = 0,228 b d2f,J ck ma ' dl ' w •' cd

d. 3) Para ambos os momentos, positivos ou negativos:

M = M - M

com

d 2 = distância da borda mais comprimida ao centro de

gravidade da armadura de compressão ^> em uma

camada: d = c + & + 0/2.2 nom l

e) Cálculo como seção T:

*> Alternativa quando a laje de concreto (mesa colaborante) é comprimida:

mesa colaborante: espessura hf e largura (ver Fig. 5.1 0 -Capítulo 5):


^ aba interna da mesa: b, <í 0,1a; 0,5b2; aba externa: b3 í 0,1a; b4

^ viga T isolada (laterais da mesa: bordos livres) O b = b + 2b' f w 3

^ viga T com duas vigas adjacentes o bf~ b + b "* + b dir

^ viga T com uma viga adjacente e um bordo livre o b = bw + b} + b3

Altura útil de comparação: d o = [Ms(i/(0,85fcc!bf A )] + A /2

^ do = altura útil para ;> = A

Caso 1: ;:/> c?o (ou 3? < /?.) o Linha neutra fictícia dentro da mesa

^ cálculo como seção retangular de largura ò- com:

k = M . / (& ,< /* / / ) ° ^ ^^«/(^^/Jmi/ sã ^ f J cd' s Sá ^ z J ya'

Caso 2: rf < c/o (ou y > /i .) O Linha neutra fictícia na nervura o

w cálculo como com o momento em duas parcelas:

MM « M^ -í- M : resistido pela armadura de tração: Âs = Âtf + A^v

O AsMd/[(d-h/2}f}s d f

<+ Em ambos os casos, se ytx< 0,^7 o verificar armadura mínima


a) Limites para armaduras de flexão:

w- mínima de tração: pmin = Ás/Ác O Tabela 5.1 - Capítulo 5


Seção retangular: A . = p , (b li)~ a smm "m!n ' w '

Seção T: Á . = p . [b h + (b f~ b ) /?,]T snnn ' min L w v. / wj /-J

**• máxima na seção: A , , = A + A' á 4% (b /?)r J,/fl/ J í V w J

b) Largura mínima da seção retangular ou da nervura de seção T:

b >. 10 cmw

c) Limite para armaduras de flexão em mais de uma camada:

A < 10% h

A = distância do ponto mais afastado da armadura ao seu centro de gravidade.

Para barras de bitola 0 e espaçamento entre camadas: a > (2 cm e 0)

^ duas camadas de armadura: A ~ 0+ a/2

**• três camadas de armadura: A = 1,50+ a.

d) Precauções no cálculo como seção T:

**• não usar se para o momento na nervura, M, , ocorrer: k ,> k ,,.1 ' í/H'1 ma nidjim

*+- ern vãos com carga concentrada: reduzira largura da mesa, bfi multipli-

cando pelo fator l - MP/M(, função da razão dos momentos da carga

concentrada e total.


A. 3 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE ELEMENTOS LINEARES À FORÇACORTANTE

Formulação para o Modelo II da NBR 6118 (ângulo das diagonais de concreto com

0 eixo longitudinal do elemento: 30° £ 0< 45°) e estri*- s a 90° com o eixo.

1 Traçar o diagrama de forças cortantes

2 Obter nas seções críticas as forças solicitantes de cálculo

V = r V1 Sd f f *

**• altura útil (d} obtida da disposição da armadura efetiva de tração,^.

3 Dimensionamento (unidades sugeridas apenas para maior simplicidade)

a) Ângulo de inclinação da diagonal de concreto comprimida:

w- 0=30° o Armadura transversal mais económica, máxima compressão

no concreto da diagonal comprimida.

w* 0=45° O maior segurança ao esmagamento do concreto da diagonal

comprimida.

^ segurança máxima ao esmagamento: estribos com a - 45° com o

eixo da peça.

b) Verificação do esmagamento do concreto da diagonal comprimida:

K, <r K, - Qfí = 0,27 a J.b d sen 20Sd Ra2,9Q ' v2J ca w

av2 = l - (fck/250) O Tabela 6.1 - Capítulo 6

O fcd e fck: MPa; bw& d: mm; VRd2i90: Newtons (N)


c) Espaçamento máximo dos estribos (s):

,£ 0,677»., O s . = 0,6d í 300 mm' Rd2 tflox '

vsd > °>67yRd2 ^ SMÓC = ®3d * 200 mm O neste caso, pode ser

mais económico adotar um valor maior de d. para aumentar V 0 ,. e s .' r Rd2 mox

d) Área de estribos mínima:

Á . on - P • m ° P • '• Tabela 6.2 - Capítulo 6swmm,9Q ' vrmin.yO w r w,mm r

O b : cm; A . •. cm2/mw ' M\min,90

O Bitolas-espaçamentos: Tabela 6.4 -Capítulo 6

e) Força cortante resistente de serviço referente à área mínima de estribos:

7R . Qn = (A . wQ,9df , cote + V )/rfRmm,9Q l nvtntn,9Q ' J ywd c / 'f

^» unidades coerentes (por ex.);

O 70 . nn e V : Newtons; A . ' mm2/mm; d: mm; / . ^ 435 MPaRmm,9Q c ' swmln.yQ ' ' J ywd

V c~ força cortante absorvida pelos mecanismos complementares à treliça

*> Na flexão simples e flexotração com a linha neutra cortando a seção;

VcQ = valor de referência de Vc . Para 0=45°e y^lA

(Figura 6.12- Capítulo 6)

^ se Vsd * VcQ o 70 = VcQ - 0,09 f*3* bw d

O /, : MPa; b , d\; K n : NJ ck ' w ' ' eu

* se r > y * v- r V - v /v - vca

<* verificar no diagrama de cortantes os trechos cobertos pela área mínima

de estribos

404 João Carlos Teatiní de Souza Ctímaco

*> nos trechos onde V> VD . nnO calcular as áreas necessárias deRmm,90

estribos.

t) Armadura transversal de estribos a 90° por unidade de comprimento do

eixo:

O /;W: kgf/cm2; VScí e Vc: kgf; d: m; /í^: cm2/m


a) Reduções da força cortante nas regiões próximas aos apoios diretos

apoio direto: a carga e a reação aplicadas em faces opostas do elemento

estrutural, comprimindo-o:

^ carga distribuída: no trecho entre o apoio e a seção a d/2 da face do

apoio, pode-se tomar a força cortante V d constante e igual ao valor

do cortante nesta seção.

^ carga concentrada: à distância a <> 2d do eixo do apoio O tomar nesse

trecho a força Vred constante e igual ao valor ( a/2á)V'.

^ reduções válidas apenas para cálculo das armaduras transversais o

não devem ser usadas na verificação das diagonais comprimidas.

b) Diâmetro mínimo e máximo da barra dos estribos:

5,0 mm í 0t < bw/10 .


A.4 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS

1 Determinar os vãos efetivos (ou teóricos) das lajes

/,= / +a, + a,ef o l 2

*I* lo = distância de face a face das vigas de bordo, de largura t ; ai á 0,5t.

ou 0,3h

2 Classificar as lajes do painel conforme a relação de vãos efetivos

Com Ijèl2:

Lajes em cruz: l}/12 £2,0; Lajes em uma só direção: l /12> 2,0

3 Definir a espessura das lajes do painel (h)

Limites mínimos da norma o item 7.2.3-Capítulo 7

4 Qbteqção dQs carregamentos

a) Peso próprio:

g = 25h o h em cm; g em kgf/m2

b) Revestimento superior e inferior, adotar 100 kgf/m2:

*•* pisos de madeira + argamassas de conírapiso e d.e rebatimento jnferjor

da laje

ç) Cargas, de paredes (revestidas nas duas faces):

Parede: extensão a, altura ou pé direito H e peso p' por m2 o Tabela 7.2

-Capítulo 7


^ lajes em cruz (vãos l s /2): carga uniforme em toda a areada laje

g , = a.H.p=/(l,JJ*-> parede * " i 2'

*+- lajes em uma só direção: influência das paredes nas faixas de largura

unitária, paralelas ao vão menor I2.

/ parede paralela ao menor vão: carga uniforme

O g j ~2a.H.p'/L2<-> parede •* 2

/ parede perpendicular ao menor vão: carga concentrada

O G=p'.H.2m

d) Cargas acidentais, sobrecargas de utilização ou cargas de serviço (g):

^ Tabela2-NBR6120:1980

e) Carga total por área na laje:

P — g + q + revestimento + paredes (se houver) (l kN/in2 = 100 kgf/ir?)

5 Cálculo dos momentos em lajes retangulares maciças

a) Lajes em uma só direção:

Faixas de laje de largura l m paralelas ao vão menor calculadas como

vigas apoiadas nos bordos maiores:

<* Lajes isoladas O Figura 7.10a —Capítulo?

<* Lajes contínuas O Figura7.10b-Capítulo7.

b) Lajes em cruz (método de Marcus: vãos / e /,):x y

<* lx ~ vão na direção normal ao maior número de bordos engastados ou o

menor vão no caso de igualdade na primeira condição.


<* Conforme a natureza dos apoios (simples ou engaste): casos 1 a 6

*+- Tabelas 7.6 (a) a (f) - Capítulo 7 o parâmetro de entrada:

A =1/1y x

^ Obtêm-se coeficientes para cálculo dos momentos fletores por faixa de

laje de largura unitária, em cada díreção: 777 , m >} n ,nt

momentos positivos: Mx-plx2/mx ; M =plx2/m

momentos negativos: X —vi2/n : X = pí 2/nz> x f x x ' y f x y

6 Condição de continuidade entre lajes com bordo comum

<* continuidade completa entre lajes: engastamento no bordo; do contrário,

apoio simples;

*> continuidade parcial entre lajes: considera-se engastamento em todo o

bordo se houver continuidade em 2/3 ou mais; do contrário, apoio simples

em todo o bordo;

*** não se considera continuidade entre lajes de níveis diferentes.

7 Compatibilização dos momentos negativos em um bordo

*t* Adota-se o maior dos dois valores:

(X+X)/2 ou 0,8 (maior entre X e X)

8 Dimensionamento

<* Obter os momentos positivos e negativos de cálculo, em cada direção:


<* Verificar a espessura das lajes, /?, para o momento máximo do painel, em

módulo:

^ Para momento negativo:

/ se / . <£ 35 MPa: M,, = J M <, 0,272 d2 f ,•> ck Sd.mox ' f neg.wax ' J ca

/ se /. > 35 MPa: Mw = 7, M <> 0,228 d2f ,•> ck Sd.max ' f pos.max ' -J ca

^ Para momento positivo:

/ M,, = y.M í k ... d2f ,Sd, mox ' f pos,mox mdlim •* eu

<* Obter coeficientes da flexão simples (unidades sugeridas para maior simpli-

cidade):

*-•> determinar k ,-M ,/(d2f ,}ma sd ^ •* ca J

O Msd: kgf.m; d: cm; fcí}: kgf/cm2

*> Calcular armaduras positivas e negativas em cadadireção:

*- Tabela 5.2 -Capítulo 5: kz O Âs = Md/(kzdfy(})

O Msd: kgf.m; d: metros; fc(]: kgf/cm2; À s: cm 2/m

^ Domínio 2: se Â: ,< 0.088 O verificar armadura mínimama

^ Armadura secundária de lajes em cruz: área =A , /5 ^ 0,9 cirf/m' • - - - . J • s,princ '

"^ Armadura de distribuição de lajes em uma só direçãp (paralela ao maior vão):

área = A . 15 k 0,5 p , t 0,9 cm2/ms.prmc ' "mín ' • '


9 Carga das lajes nas vigas

*t* Processo da NBR 6118, baseado no método das linhas de ruptura:

w- dividir a laje com retas a partir dos vértices O inclinadas de 60° a partir de

bordos engastados e de 45° dos apoios simples.

*+ reações por unidade de comprimento da viga de bordo

o Tabela 7.7 - Capítulo 7


a) Armadura mínima:

Á . =100 p hs.min ' s

O h em cm

p = taxa em % (Tabela 7.3 - Capítulo 7)

O função depmfn (Tabela 7.4- Capítulo 7)

b) Bitola máxima das barras:

0 ^ h/8

c) Espaçamento máximo das barras:

w- armadura corrida (de face a face das vigas de bordo da laje):

/" principal: s £ 2 h ou 20 cm (o menor dos dois valores)

/ secundária: s £ 33 cm

w- armadura alternada (espaçamento de barras na região central da laje):

/ principal: s < 2 h ou 16,5 cm

/ secundária: s < 16,5 cm

410 João Carlos Teatfni de Souza Cíímaco

d) Espaçamento mínimo das barras:

**• não prescrito pela norma. Recomendável ^10 cm.

e) Detalhamento de armaduras:

Figuras 7.16 a 7.20 - Capítulo 7.

1

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Estrutura de Concreto Armado - João Carlos Teatini de Souza Clímaco