Estática dos Fluidos

PMC 3222 - 2020Prof. Marcos Tadeu Pereira

Estática dos fluidos

Objeto: estudo dos fluidos em repouso

Objetivo: Análise das pressões e sua variação e distribuição no interior do fluido e em contato com superfícies.

Aplicações:• Medição de pressão em tubulações• Estudo de cargas provocadas por fluidos em superfícies• Máquinas.

Conceituação de forças e tensões

Força de contato: arrasto, pressãoForça de campo: gravitacional, eletromagnéticaTensão

Tensão no ponto 𝐶 = lim∆ 𝐴→0

𝑑 𝐹

𝑑 𝐴

Não sabemos resolver a divisão de um vetor por outro neste momento, e escolhemos então uma normal 𝑛 à superfície do corpo em C, definindo então uma grandeza vetorial:

𝜏 𝐶, 𝑛 = lim∆𝐴→0

𝑑 𝐹

𝑑𝐴= 𝑑 𝐹

𝑑𝐴 𝑛

𝑇 𝐶, 𝑛 = 𝜎𝑛 + 𝜏 𝑡

𝜎 = tensão normal (tração ou compressão)

𝜏 = tensão de cisalhamento ou tangencial

Unidade: 𝑁 𝑚2 = Pa (Pascal)

Quanto às tensões normais, geralmente fluidos só estão submetidos a tensões de compressão

Tensão em um ponto em um fluido em repouso (não há tensões de cisalhamento):

Tensão em um ponto em um fluido em repouso (não há tensões de cisalhamento):

𝟐𝐚 𝐋𝐞𝐢 𝐝𝐞 𝐍𝐞𝐰𝐭𝐨𝐧 𝐞𝐦 𝐳:

𝑑𝐹𝑧 = 𝑑𝑚. 𝑎𝑧

−𝜎𝑧𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝜎𝑛𝑛𝑑𝑠𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜌𝑔𝑑𝑉 = 𝜌𝑑𝑉𝑎𝑧

e, como 𝑑𝑉 =𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

2𝑒 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

𝑑𝑦

𝑑𝑠, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎

−𝜎𝑧𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝜎𝑛𝑛𝑑𝑠𝑑𝑥𝑑𝑦/𝑑𝑠 − 𝜌𝑔𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧/2 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

2𝑎𝑧

e, como 𝑎𝑧 = 𝑜 𝑒 ÷ 𝑑𝑥𝑑𝑦 →

−𝜎𝑧𝑧 + 𝜎𝑛𝑛 − 𝜌𝑔𝑑𝑧 2 = 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑧~0 → 𝝈𝒛𝒛 = 𝝈𝒏𝒏

Pode-se mostrar igualmente que na direção y:

𝜎𝑛𝑛= 𝜎𝑦𝑦

Conclusão: como o formato do elemento é arbitrário, em um fluido em repouso a tensão normal em um ponto é a mesma em todas as direções e é portanto uma grandeza escalar.

Denominada Pressão.

Como o matemático da anedota, acabamos de provar que pressão existe.

Lei de Pascal

Em um sistema fechado, mudanças de

pressão em um ponto são transmitidas a

todo o sistema.

Se 𝐹1 = 50𝑁 𝑒 𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑠𝑡ã𝑜 𝐴2 = 20𝐴1, então 𝐹2 = 1000𝑁

Equação fundamental da estática

Equação fundamental da estática

Força de campo ∆ 𝐹𝑐 = 𝛾𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 −𝑘

Forças de superfície: ∆ 𝐹𝑠

∆ 𝐹𝑠 = 𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝛿𝑥

2𝛿𝑦𝛿𝑧 𝑖 + 𝑝 +

𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝛿𝑥

2𝛿𝑦𝛿𝑧 − 𝑖 +

𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝛿𝑦

2𝛿𝑥𝛿𝑧 𝑗 + 𝑝 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝛿𝑦

2𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑗 +

𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑧

𝛿𝑧

2𝛿𝑥𝛿𝑦𝑘 + 𝑝 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧

𝛿𝑧

2𝛿𝑥𝛿𝑦 −𝑘

∴ ∆ 𝐹𝑠 = −𝜕𝑝

𝜕𝑥 𝑖 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦 𝑗 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑘

𝐺𝑟𝑎𝑑 𝑝

𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 , e levando ao limite p/ ∆𝑉 = 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 → 0

𝑑𝐹𝑠

𝑑𝑉= −𝛻𝑝

Lei de Stevin

Tomando-se a 2ª lei de Newton:

∆ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑑𝑚. 𝑎 = 𝜌 𝑎∆𝑉 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 = 0 →

𝐹𝑒𝑥𝑡 = ∆ 𝐹𝑐 + ∆ 𝐹𝑠= 0 𝑜𝑢:

𝛾𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 −𝑘 −𝜕𝑝

𝜕𝑥 𝑖 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦 𝑗 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑘 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = 0 𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎:

𝜕𝑝

𝜕𝑥=

𝜕𝑝

𝜕𝑦= 𝑜 𝑃𝐿𝐴𝑁𝑂 𝐻𝑂𝑅𝐼𝑍𝑂𝑁𝑇𝐴𝐿

𝜕𝑝

𝜕𝑧= −𝛾

Lei de Stevin

Como p é independente de x e y

𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑝 𝑧 𝑒, ∴ ,𝜕𝑝

𝜕𝑧=

𝑑𝑝

𝑑𝑧

Integrando a equação 𝜕𝑝

𝜕𝑧= −𝛾 com a hipótese de fluido

incompressível, homogêneo, com g=constante e com 𝑝 =𝑝0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 𝑧0 resulta:

𝑝 − 𝑝0 = 𝛾 𝑧 − 𝑧0

Para líquidos, se fizermos uma mudança de variáveis com ℎ =− 𝑧 − 𝑧0 , resulta

𝒑 − 𝒑𝟎 = 𝜸𝒉 𝑞𝑢𝑒 é 𝑎 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑆𝑇𝐸𝑉𝐼𝑁

Pressão absoluta (𝑃𝑎𝑏𝑠), pressão atmosférica (𝑃𝑎𝑡𝑚), pressão manométrica ou efetiva (𝑃𝑒𝑓𝑒𝑡.), vácuo (𝑃𝑒𝑓𝑒𝑡.)

Representação de uma pressão manométrica ou efetiva (𝑃𝑒𝑓𝑒𝑡.) de 100 kPa em um tubo, em São Paulo.Representação de vácuo (𝑃𝑒𝑓𝑒𝑡.) de -50 kPa em um tubo, em São Paulo.

𝑃𝑎𝑏𝑠 = 0 𝑃𝑎 - Zero absoluto

𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 São Paulo ~700 mmHg~93,3kPa

𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 760 𝑚𝑚𝐻𝑔𝑃𝑒𝑓𝑒𝑡. = 100 𝑘𝑃𝑎

𝑃𝑎𝑏𝑠 = 193,3 𝑘𝑃𝑎

𝑃𝑒𝑓𝑒𝑡. = −50 𝑘𝑃𝑎 (vácuo)

𝑃𝑎𝑏𝑠 = 43,3 𝑘𝑃𝑎

𝑃𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑃𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑃𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Velocidade, V

Tubo de Pitot e as representações de 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎 + 𝑃𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎

Algumas unidades de pressão

101325 Pa (Pascal)=

1 atm (atmosfera=

1,01325 bar=

760 mmHg=

10,33 mH2O=

1,0332 Kgf cm2=

14,7 psi

Betz micro manometer

Forças hidrostáticas

sobre áreas planas

Distribuição de pressões em um reservatório aberto

Dois métodos de resolução: método dos momentos de 1ª e 2ª ordem e Método dos Prismas de Pressão

Forças sobre áreas planas – Método dos momentos de 1a e 2a ordem.

Centróide = CG (propriedade matemática da área)

Centro de Pressão = CP =Local de ação da força resultante

Forças sobre áreas planas

𝐹𝑅 = 𝛾ℎ𝑑𝐴 = 𝛾𝑦𝑠𝑒𝑛𝛼𝑑𝐴 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝛼

𝐴

𝑦𝑑𝐴

A integral é o Momento de 1ª ordem da área em relação ao eixo x

Forças sobre áreas planas

𝐹𝑅 = 𝛾ℎ𝑑𝐴 = 𝛾𝑦𝑠𝑒𝑛𝛼𝑑𝐴 = 𝛾𝑠𝑒𝑛𝛼

𝐴

𝑦𝑑𝐴

Como a integral é o Momento de 1ª ordem da área em relação ao eixo x, pode-se

escrever:

𝐴

𝑦𝑑𝐴 = 𝑦𝑐𝐴 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦𝑐 é 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑 𝑦 𝑑𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟ó𝑖𝑑𝑒

Assim 𝐹𝑅 = 𝛾𝐴 𝑦𝑐𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝛾ℎ𝑐𝐴

Forças sobre áreas planas

𝐹𝑅𝑦𝑅 =

𝐴

𝑦𝑑𝐹 =

𝐴

𝛾𝑠𝑒𝑛𝛼𝑦2𝑑𝐴

E como 𝐹𝑅 = 𝛾𝐴 𝑦𝑐𝑠𝑒𝑛 𝛼 ,resulta 𝑦𝑅 = 𝐴 𝑦2𝑑𝐴

𝑦𝑐𝐴

A integral é momento de 2ª ordem da área, ou momento de inércia 𝐼𝑥𝑦𝑅 =

𝐼𝑥

𝑦𝑐𝐴e, pelo teorema dos eixos paralelos 𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝑐 + 𝐴𝑦𝑐

2

Assim, 𝑦𝑟 =𝐼𝑥𝑐

𝑦𝑐𝐴+ 𝑦𝑐 similarmente 𝑥𝑟 =

𝐼𝑥𝑦𝑐

𝑦𝑐𝐴+ 𝑥𝑐

a linha de ação da força resultante, 𝑦𝑟,

pode ser determinada pela soma dos

momentos em relação a x (o momento da

força resultante = momentos das forças

de pressão)

Determine a magnitude e a força resultante da exercida pela água sobre a comporta circular com 4m de diâmetro.

Determine o momento a ser aplicado no eixo para abrir a comporta.

𝐹𝑅 = 𝛾ℎ𝐶𝐴 = 9,8. 103. 10. 𝜋42

4= 1,23. 106𝑁

Ponto de aplicação

𝑦𝑅 =𝐼𝑥𝑐

𝑦𝑐𝐴+ 𝑦𝑐 e 𝑥𝑅 =

𝐼𝑥𝑦𝑐

𝑦𝑐𝐴+ 𝑥𝑐 (por simetria)

da tabela 𝐼𝑥𝑐=

𝜋𝑅4

4e 𝑦𝑐 =

10

𝑠𝑒𝑛60→ 𝑦𝑟 =

𝜋𝑅4

4

10 𝑠𝑒𝑛60+

10

𝑠𝑒𝑛60= 11,6𝑚

𝑦𝑅 − 𝑦𝑐 = 11,6 −10

𝑠𝑒𝑛60= 0,0866, 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑢co abaixo do centroide C, o que implica que o

batente está forçado.

Para dimensionar o motor/redutor para abrir a comporta e sangrar o reservatório, calcula-se o momento ou torque

𝑀𝑐 = 0 e portanto 𝐹𝑅 = 𝑦𝑅 − 𝑦𝑐 = 1,23. 106. 0,0866 = 1,07. 105𝑁𝑚

ℎ𝐶=10 m= altura da coluna de água no Centróide (propriedade matemática da área)

ℎ𝐶

Método do Prisma de Pressão

• P varia linearmente com profundidade P=𝛾ℎ

• 𝑃𝑒𝑓𝑒𝑡 = 0 na superfície

• 𝑃𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 ocorre em plano h/2 na distribuição triangular

𝐹𝑅 que atua na área A=b.h é 𝐹𝑅 = 𝑃𝑚é𝑑𝑖𝑎 . 𝐴 = 𝛾.ℎ

2. 𝐴

𝐹𝑅 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 =1

2𝛾ℎ. 𝑏ℎ = 𝛾

ℎ

2𝐴

𝑏𝑎𝑠𝑒.𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2. 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎

Método do Prisma de Pressão

Mesma abordagem vale quando a superfície está totalmente submersa

𝐹𝑅= 𝐹1 + 𝐹2 ∆ + ⎕

A localização de 𝐹𝑅é determinada a partir do momento em relação a um eixo𝐹𝑅𝑦𝑅 = 𝐹1𝑦1 + 𝐹2𝑦2

Tanque pressurizado com ar contém óleo (densidade=0,9) e possui uma vigia para limpeza e inspeção com 0,9x0,9 m2. Qual a magnitude e localização da força nesta placa?

𝐹1 = 𝑃𝑔𝑎𝑠 + 𝜌𝑔ℎ1 𝐴 = 50𝑥103 + 0,9𝑥103𝑥9,81𝑥2 x0,36 =

24400N

𝐹2 = 𝜌𝑔ℎ1−ℎ2

2𝐴 = 0,9𝑥103𝑥9,81𝑥

0,6

2x0,36 = 950N

𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 = 25.400𝑁

Localização vertical do ponto de aplicação da 𝐹𝑅: obtida somando os momentos em relação ao eixo que passa pelo ponto zero:

𝐹𝑅 . 𝑦𝑅 = 𝐹1 0,3 + 𝐹2 0,2

∴ 𝑦𝑅 =24,4𝑥103𝑥0,3+0,95𝑥103𝑥0,2

25,4𝑥103 = 0,296m