Embed Size (px)
Citation preview
Física I
Ing. Alejandra Escobar
Estática y Dinámica. Leyes de Newton
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESTÁTICA
La estática es la rama de la mecánica clásica que analiza las cargas
(fuerza, par / momento) y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos
en equilibrio estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de
los subsistemas no varían con el tiempo.
Fuerza
La fuerza es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de
momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas. Según una
definición clásica, fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de
movimiento o la forma de los cuerpos. En el Sistema Internacional de Unidades,
la fuerza se mide en newton (𝑁).
En el lenguaje cotidiano, fuerza es un empujón o tirón. Una mejor definición
es que una fuerza es una interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su
ambiente.
Si se quiere representar la fuerza como vector de desplazamiento, se
puede decir que cuando se aplica una fuerza a un sólido rígido se puede
trasladar en la misma dirección sobre su misma line de acción sin que esto varíe
el efecto que produce.
Fuerzas que Actúan sobre un Cuerpo Rígido
Internas: son las fuerzas que mantienen unidas las partículas que forman
un cuerpo. Si el cuerpo rígido esta conformado por varias partes las fuerzas que
mantienen unidas esas partes también las llamamos fuerzas internas.
Externas: son representadas por la acción de otros cuerpos sobre el
cuerpo rígido en estudio generando un movimiento.
Cuerpos Rígidos
Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por
efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones
relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para
efectos de estudios de Cinemática. Un cuerpo rígido se deforma solo bajo la
acción de fuerzas muy grandes.
Equilibrio
Se puede decir que un cuerpo está en equilibrio cuando todas las fuerzas
que actúan sobre él se equilibran. También un cuerpo está en equilibrio cuando
permanece en reposo, o bien cuando se mueve en línea recta a velocidad
constante. El equilibrio solo puede producirse en dos casos: cuando no actúan
fuerzas sobre un cuerpo o cuando actúan varias fuerzas que se contrarrestaran
anulándose su efecto.
Todo cuerpo tiene la tendencia a caer. Para evitar esa caída se le puede
suspender o apoyar. Este criterio nos ayuda a dar una clasificación de los
cuerpos en equilibrio de la siguiente manera:
Cuerpos Suspendidos: son aquellos que pueden girar alrededor de su
eje. Un cuerpo suspendido puede tener tres tipos de equilibrio, los cuales son
estable, inestable e indiferente.
Equilibrio Estable: un cuerpo suspendido está en equilibrio estable
cuando al separarlo de su posición de equilibrio regresa a ella por sí misma
y el centro de suspensión está por encima del centro de gravedad.
Equilibrio Inestable: un cuerpo suspendido esta en equilibrio inestable
cuando al separarlo de su posición de equilibrio la pierde definitivamente y
el centro de suspensión está por debajo del centro de gravedad.
Equilibrio Indiferente: un cuerpo suspendido está en equilibrio
indiferente cuando al separarlo de su posición de equilibrio continua en
equilibrio en la nueva posición y el centro de gravedad coincide con el
centro de masa.
Cuerpos Apoyados: son aquellos que descansas sobre una base fija. Un
cuerpo apoyado esta en equilibrio estable cuando la vertical que pasa por su
centro de gravedad caen dentro de la base de sustentación del cuerpo, que es
la superficie sobre la cual descansa dicho cuerpo. La estabilidad de los cuerpos
apoyados depende de los siguientes factores:
Magnitud de la base de sustentación.
Ubicación del centro de gravedad.
Peso del cuerpo.
Cuerpos en Equilibrio
Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, la suma vectorial de todas las
fuerzas que actúan sobre él debe ser igual a cero. Esto significa que las fuerzas
actuantes no deben tener una resultante. Para que esto se cumpla debe existir
dos condiciones: la primera es que esté el equilibrio traslacional (la sumatoria de
fuerzas concurrentes tanto en el eje vertical como en el horizontal debe ser igual
a cero), y la segunda que esté en equilibrio rotacional (la sumatoria de los
momentos de torsión causados por fuerzas paralelas debe ser igual a cero).
Un cuerpo puede estar en equilibrio traslacional sin tener un equilibrio
rotacional y viceversa. Para que un cuerpo esté en completo equilibrio, debe
cumplir las dos condiciones antes mencionadas. Con respecto a lo anterior un
cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en reposo o realizando un
movimiento rectilíneo uniforme.
Centro de Masa
Se llama centro de masa de un cuerpo, al punto en el cual se debe aplicar
una fuerza exterior para que solo se le produzca un movimiento de traslación.
También se define como el punto en el cual se cortan todas las líneas de acción
de las fuerzas que sólo le producen movimiento de traslación. El centro de masa
de un cuerpo viene expresado en coordenadas, para determinar dichas
coordenadas se emplea lo siguiente: consideremos un sistema de coordenadas
rectangulares, y dos masas 𝑀1 y 𝑀2, dadas por sus coordenadas 𝑀1(𝑥1, 𝑦1) y
𝑀2(𝑥2, 𝑦2).
𝑋𝑐 =𝑀1𝑥1 + 𝑀2𝑥2
𝑀1 + 𝑀2
𝑌𝑐 =𝑀1𝑦1 + 𝑀2𝑦2
𝑀1 + 𝑀2
Centro de Masa: (𝑋𝑐, 𝑌𝑐)
Ejemplo: Tres masas, de 2 𝐾𝑔, 3 𝐾𝑔 y 6 𝐾𝑔, están localizadas en posiciones
(3 , 0), (6 , 0) y (4 , 0)respectivamente, en metros a partir del origen ¿En dónde
está el centro de masa de este sistema?
𝑋𝑐 =𝑀1𝑥1 + 𝑀2𝑥2 + 𝑀3𝑥3
𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3
𝑋𝑐 =2 𝐾𝑔. 3 𝑚 + 3 𝐾𝑔. 6 𝑚 + 6 𝐾𝑔. 4 𝑚
2 𝐾𝑔 + 3 𝐾𝑔 + 6 𝐾𝑔
= 4,36 𝑚
𝑌𝑐 =𝑀1𝑦1 + 𝑀2𝑦2 + 𝑀3𝑦3
𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3
𝑌𝑐 =2 𝐾𝑔. 0 𝑚 + 3 𝐾𝑔. 0 𝑚 + 6 𝐾𝑔. 0 𝑚
2 𝐾𝑔 + 3 𝐾𝑔 + 6 𝐾𝑔 = 0 𝑚
Centro de Masa: (𝑋𝑐, 𝑌𝑐) = (4,36 , 0)
Centro de Gravedad
El centro de gravedad es el punto donde se encuentra aplicada la
resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas partes
del cuerpo. También se puede definir cono el punto de aplicación del peso de un
cuerpo o fuerza gravitatoria resultante equivalente.
𝑀1
𝑀2
𝑦1
𝑥1
𝑦2
𝑥2
𝑦
𝑥
𝑀1 𝑀3 𝑀2
Trabajando con Peso
�̅� =∑ 𝑤𝑖𝑥𝑖
∑ 𝑤𝑖
=𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 + ⋯
𝑤1 + 𝑤2 + ⋯
�̅� =∑ 𝑤𝑖𝑦𝑖
∑ 𝑤𝑖
=𝑤1𝑦1 + 𝑤2𝑦2 + ⋯
𝑤1 + 𝑤2 + ⋯
Trabajando con Área
�̅� =∑ 𝐴𝑖𝑥𝑖
∑ 𝐴𝑖
=𝐴1𝑥1 + 𝐴2𝑥2 + ⋯
𝐴1 + 𝐴2 + ⋯
�̅� =∑ 𝐴𝑖𝑦𝑖
∑ 𝐴𝑖
=𝐴1𝑦1 + 𝐴2𝑦2 + ⋯
𝐴1 + 𝐴2 + ⋯
Centro de Gravedad: (�̅�, �̅�)
Para realizar el cálculo del centro de gravedad de una figura plana no
conocida se deben seguir los siguientes pasos:
1. Colocar la figura plana sobre un eje de referencia.
2. Dividir la figura plana en áreas de figuras planas conocidas.
3. Determinar el centro de gravedad y el área de cada figura plana conocida.
4. Aplicar la fórmula de centro de gravedad para áreas.
Ejemplo: determinar el centro de gravedad de la siguiente figura geométrica.
𝑤1
𝑤2
𝑦1
𝑥1
𝑦2
𝑥2
𝑦
𝑥
2 c
m
3 c
m
3 cm 3 cm 4 cm
6 cm
1
2
3
Área 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝑨𝒊 𝑨𝒊𝒙𝒊 𝑨𝒊𝒚𝒊
1 1
3. 3 = 1
(1
3. 3) + 2
= 3
3.3
2= 4,5 4,5 13,5
2 1
2. 7 = 3,5
1
2. 2 = 1 7.2 = 14 49 14
3 (1
2. 3) + 7 = 8,5
1
2. 6 = 3 3.6 = 18 153 54
∑ 36,5 206,5 81,5
�̅� =𝐴1𝑥1 + 𝐴2𝑥2 + 𝐴3𝑥3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3=
4,5 + 49 + 153
4,5 + 14 + 18=
206,5
36,5= 5,66 𝑐𝑚
�̅� =𝐴1𝑦1 + 𝐴2𝑦2 + 𝐴3𝑦3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3=
13,5 + 14 + 54
4,5 + 14 + 18=
81,5
36,5= 2,23 𝑐𝑚
DINÁMICA
La dinámica es la rama de la física que describe la evolución en el tiempo
de un sistema físico en relación con las causas que provocan los cambios
de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir
los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos
y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho
sistema de operación.
Leyes del Movimiento de Newton
En esta unidad usaremos dos conceptos nuevos, la fuerza y la masa, para
analizar los principios de la dinámica, los cuales están establecidos en solo tres
leyes que fueron claramente enunciadas por Sir Isaac Newton. Tales enunciados
se conocen como Leyes del Movimiento de Newton. La primera ley dice que
si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, su movimiento no cambia. La segunda
ley relaciona la fuerza con la aceleración cuando la fuerza neta no es cero. La
tercera ley es una relación entre las fuerzas que ejercen dos cuerpos que
interactúan entre sí.
Las leyes de Newton no son producto de deducciones matemáticas, sino
una síntesis que los físicos han descubierto al realizar un sinnúmero de
experimentos con cuerpos en movimiento. Newton uso las ideas y las
observaciones que muchos científicos hicieron antes que él, como Copernico,
Brahe, Kepler y especialmente Galileo Galilei. Dichas leyes son verdaderamente
fundamentales porque no pueden deducirse ni demostrarse a partir de otros
principios. Estas leyes son la base de la mecánica clásica, también llamada
mecánica newtoniana; al usarlas seremos capaces de comprender los tipos de
movimiento más conocidos.
Fuerza
Recordando lo estudiado anteriormente, la fuerza es una magnitud
física que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre dos
partículas o sistemas de partículas, es decir, es todo agente capaz de modificar
la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos.
Algunas Fuerzas Mecánicas Especiales
Fuerza de Contacto: cuando una fuerza implica contacto directo entre dos
cuerpos, como un empujón o un tirón que usted ejerce con la mano sobre un
objeto.
Fuerza Normal (𝑵): fuerza ejercida por un plano sobre un cuerpo que está
apoyado en él.
Peso de un Cuerpo (𝒘): fuerza con que él es atraído por la gravedad de
la tierra.
Fuerza de Tensión (𝑻): fuerza ejercida en cualquier punto de una cuerda,
considerada de masa despreciable e inextensible, sobre un cuerpo que esta
ligado a ella.
Gravedad y Fuerza de Gravedad: La atracción entre todos los cuerpos del
universo recibe el nombre de gravitación universal. De esta manera, se puede
decir que la fuerza de gravedad es la fuerza con que un cuerpo es atraído hacia
la tierra en un determinado lugar.
Fuerza de Roce (𝒇𝒓): fuerza que aparece en la superficie de contacto entre
dos cuerpos cuando uno de ellos se desliza sobre el otro. La fuerza de roce tiene
como definición la de ser la fuerza que siempre se opone al movimiento de los
cuerpos. Esta fuerza se genera en la superficie de contacto entre dos cuerpos, y
sucede cuando las imperfecciones de ambas coincidas o encajan. En si, la fuerza
de roce es la resistencia que se opone al movimiento de un cuerpo sobre otro.
Existen dos tipos de fuerzas de roce, las cuales son:
Fuerza de roce estático: es la fuerza que no te deja mover un cuerpo,
pues es la fuerza de oposición al inicio de cualquier movimiento de un
objeto sobre otro (superficie). El cuerpo tiene que estar en reposo sobre
una superficie horizontal para que se cumpla este roce. Matemáticamente
el roce estático es menor o igual al coeficiente de roce entre los dos objetos
multiplicado por la fuerza normal.
𝑓𝑠 = 𝜇𝑠𝑁
Fuerza de roce dinámico o fricción cinética: esta fuera ocurre cuando
el cuerpo ya está en movimiento. Este roce es igual al coeficiente de roce
por la normal en todo instante.
𝑓𝑟 = 𝜇𝑁
Equilibrio de las Fuerzas
Se llama fuerzas equilibradas a las fuerzas que actúan simultáneamente
sobre un cuerpo al cual no le causan aceleración. Entonces se puede decir que
un cuerpo está en equilibrio cuando no se modifica su estado de reposo o de
movimiento.
Inercia
La inercia es una propiedad que poseen todos los cuerpos, y consiste en
que para que un cuerpo varíe su estado de reposo o de movimiento, es necesario
que potro cuerpo actúe sobre él durante un intervalo de tiempo determinado.
Masa
La masa de un cuerpo se define como la magnitud que expresa la medida
de su inercia.
Peso
El peso es la fuerza con la que la tierra atrae a los cuerpos hacia si misma.
Por ser una fuerza sus unidades son el newton (𝑁).
Diferencias entre Masa y Peso
Existe cierta confusión entre lo que es masa y peso, por ello se presentan
algunas diferencias entre masa y peso, las cuales son:
La masa es la medida de la cantidad de inercia que tienen los cuerpos. El
peso es el valor de la fuerza de atracción que la tierra ejerce sobre el cuerpo.
La masa es constante en cualquier lugar que se encuentre, en cambio el
peso varía según la distancia a la que se encuentra el cuerpo de la tierra.
La masa se expresa en 𝐾𝑔, en cambio el peso se expresa en 𝑁.
La masa es una magnitud escalar que se mide con una balanza, en cambio
el peso es una magnitud vectorial que se mide con un dinamómetro.
La ecuación para el cálculo del peso es la siguiente:
𝑤 = 𝑚. 𝑔
Leyes de Newton
1ra Ley de Newton. Ley de la Inercia
“Todo cuerpo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, tiende a
mantener su estado, siempre y cuando sobre él no actúe una fuerza externa que
altere su estado (equilibrio)”.
De otra manera, se puede decir que “Si sobre un cuerpo no actúa ninguna
fuerza, o actúan varias fuerzas que se anulan entre sí, entonces el cuerpo está
en reposo o movimiento rectilíneo uniforme (equilibrio)”.
Al estudiar la 1ra ley de Newton parece la 1ra Condición de Equilibrio.
Esta condición de equilibrio enuncia, que un cuerpo está en equilibrio de
traslación cuando la suma de las fuerzas aplicada sobre él es igual a cero.
∑ 𝐹𝑥 = 0 , ∑ 𝐹𝑦 = 0
2da Ley de Newton. Ley Fundamental de la Dinámica
“La variación del movimiento es proporcional a la fuerza motriz aplicada y
tiene lugar en dirección de la recta sobre la cual se aplica dicha fuerza”. Hablando
de la derivada de la velocidad en lugar de la variación del movimiento, la segunda
ley establece que “La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a
la fuerza resultante y tiene la misma dirección que esta fuerza”.
𝐹 = 𝑚. 𝑎 → {𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥
𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦
Cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo se tiene que:
∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎 → {∑ 𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦
3ra Ley de Newton - “Ley de Acción y Reacción”
“Siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, el segundo
cuerpo ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud pero en sentido
contrario”. A cada acción se opone siempre una reacción igual, o sea, las accione
mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias.
Las dos fuerzas de acción y reacción deben presentar las características
siguientes:
Deben actuar sobre cuerpos diferentes.
Deben actuar en sentidos opuestos.
Deben tener el mismo valor.
Nunca pueden anularse mutuamente.
Diagrama de Cuerpo Libre
Es un dibujo esquematizado donde se representa un cuerpo aislado de
todo lo que lo rodea, indicando las fuerzas que actúan sobre él, debido a la acción
de otros cuerpos. Algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre son los
siguientes:
1. Un bloque alado hacia la derecha sobre una superficie horizontal rugosa.
𝑁 = Normal, fuerza que ejerce el piso sobre
el bloque.
𝑇 = Tensión que se produce al alar el cuerpo.
𝑊 = Peso del cuerpo.
𝑓𝑟 = Fuerza de roce que se opone al
almacenamiento
2. Un bloque alado hacia arriba por una pendiente rugosa.
𝑁 = Normal, fuerza que ejerce el piso sobre
el bloque.
𝑇 = Tensión que se produce al alar el cuerpo.
𝑊 = Peso del cuerpo. Hay que determinar sus
componentes.
𝑓𝑟 = Fuerza de roce que se opone al
almacenamiento
𝑁
𝑇 𝑓𝑟
𝑊
𝑁 𝑇
𝑓𝑟
𝑊
3. Dos bloques en contacto sobre una superficie sin fricción.
𝐹 = Fuerza aplicada.
𝑄 = Fuerza de
contacto.
Cuerpo 1
Cuerpo 2
4. Dos masas conectadas por una cuerda ligera, la superficie es rugosa y la
polea sin fricción.
Cuerpo 1
Cuerpo 2
Ejemplos:
1. La figura muestra una piñata de 25 𝑙𝑏𝑓 de peso, que se halla sostenida
por dos cables 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶. Se pide:
a) Diagrama de cuerpo libre.
b) Tensión de las cuerdas 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶.
𝐹
1
2
𝑁
𝑄 𝐹
𝑊
𝑁
𝑄
𝑊
1
2
𝑁
𝑇 𝑓𝑟
𝑊
𝑇
𝑊
Diagrama de Cuerpo Libre
Calculamos y :
𝑡𝑎𝑛𝑔 ∝= 2𝑝𝑖𝑒𝑠
6𝑝𝑖𝑒𝑠 => ∝ = 𝑡𝑎𝑛𝑔−1 (
1
3) = 18,43
𝑡𝑎𝑛𝑔 = 2𝑝𝑖𝑒𝑠
4𝑝𝑖𝑒𝑠 => = 𝑡𝑎𝑛𝑔−1 (
1
2) = 26,57
Aplicando la 1ra Condición de equilibrio: (separando las fuerzas en sus
componentes)
Para X: ∑ 𝐹𝑥 = 0
𝑇𝐴𝐶𝑋 − 𝑇𝐴𝐵𝑋 = 0 (1)
Para Y: ∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑇𝐴𝐵𝑌 + 𝑇𝐴𝐶𝑌 – 𝑊 = 0 (2)
Por trigonometría tenemos que:
𝑠𝑒𝑛 = 𝑇𝐴𝐶𝑌
𝑇𝐴𝐶 ⇒ 𝑇𝐴𝐶𝑌 = 𝑇𝐴𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠 = 𝑇𝐴𝐶𝑋
𝑇𝐴𝐶 ⇒ 𝑇𝐴𝐶𝑋 = 𝑇𝐴𝐶 ∗ 𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑛 = 𝑇𝐴𝐵𝑌
𝑇𝐴𝐵 ⇒ 𝑇𝐴𝐵𝑌 = 𝑇𝐴𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠 = 𝑇𝐴𝐵𝑋
𝑇𝐴𝐵 ⇒ 𝑇𝐴𝐵𝑋 = 𝑇𝐴𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠
A
B C 4 𝑝𝑖𝑒𝑠 6 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 𝑝
𝑖𝑒𝑠
𝛽 𝛼
𝑊
𝑇𝐴𝐵 𝑇𝐴𝐶
𝛽 𝛼
Sustituyendo estas ecuaciones en (1) y (2)
Para 1:
𝑇𝐴𝐶𝑋 − 𝑇𝐴𝐵𝑋 = 0
𝑇𝐴𝐶 ∗ cos ∝ − 𝑇𝐴𝐵 ∗ cos 𝛽 = 0 (3)
Para 2:
𝑇𝐴𝐵𝑌 + 𝑇𝐴𝐶𝑌 − 𝑊 = 0
𝑇𝐴𝐵 ∗ sen + 𝑇𝐴𝐶 ∗ sen 𝛼 − 𝑊 = 0
(4)
Despejando 𝑇𝐴𝐶 de 3 y sustituyendo en (4)
𝑇𝐴𝐶 = 𝑇𝐴𝐵∗cos 𝛽
cos 𝛼 sustituyendo en (4)
𝑇𝐴𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 + 𝑇𝐴𝐵∗cos 𝛽
cos 𝛼𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑊 = 0 despejando 𝑇𝐴𝐵
𝑇𝐴𝐵 (𝑠𝑒𝑛 𝛽 + cos 𝛽
cos 𝛼𝑠𝑒𝑛 𝛼) = 𝑊
𝑇𝐴𝐵 = 𝑊
(𝑠𝑒𝑛 𝛽+ cos 𝛽
cos 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼)
= 23 𝑙𝑏𝑓
𝑠𝑒𝑛 26,57+ cos 26,57
cos 18,43 ∗𝑠𝑒𝑛 18,43
=
33,54 𝑙𝑏𝑓 sustituyendo en (3)
𝑇𝐴𝐶 ∗ cos 18,43 − 33,54 𝑙𝑏𝑓 ∗ cos 26,57 = 0
𝑇𝐴𝐶 = 33,54 𝑙𝑏𝑓∗cos 26,57
cos 18,43 = 31,62 𝑙𝑏𝑓
2. Dos esferas idénticas, uniformes y de igual peso, se encuentran en el
fondo de un recipiente rectangular como se muestra en la figura. Determine las
fuerzas que actúan sobre las esferas en términos de 𝑊, según el
a. Por efecto de las paredes del recipiente.
b. Por acción de una esfera sobre la otra si los centros forman un ángulo
de 45° respecto a la horizontal.
Diagrama de Cuerpo Libre
Esfera A
Esfera B
Aplicando la 1ra Condición de equilibrio: (separando las fuerzas en sus
componentes)
Para la Esfera A
Para X: ∑ 𝐹𝑥 = 0
𝑃1 − 𝑅𝑋 = 0 (1)
Para Y: ∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑁 − 𝑅𝑌 – 𝑊 = 0 (2)
Para la Esfera B
Para X: ∑ 𝐹𝑥 = 0
𝑅𝑋 − 𝑃2 = 0 (3)
Para Y: ∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑅𝑌 – 𝑊 = 0 (4)
Por trigonometría tenemos que:
𝑠𝑒𝑛 45° = 𝑅𝑌
𝑅 ⇒ 𝑅𝑌 = 𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛 45° 𝑐𝑜𝑠 45° =
𝑅𝑋
𝑅 ⇒ 𝑅𝑋 = 𝑅 ∗ cos 45°
Sustituyendo 𝑅𝑌 en la ecuación 4
𝑅 ∗ cos 45° − 𝑊 = 0 ⇒ 𝑅 =𝑊
cos 45°= 1,41𝑊
45° A
B
𝑁
𝑊
𝑅
𝑃1
𝑊
𝑅
𝑃2
Sustituyendo 𝑅𝑋 en la ecuación 1
𝑃1 − 𝑅 ∗ cos 45° = 0 ⇒ 𝑃1 = 𝑅 ∗ cos 45° (5)
Sustituyendo el valor de 𝑅 en la ecuación 5
𝑃1 = 1,41𝑊 ∗ cos 45° = 0,99𝑊
Sustituyendo 𝑅𝑌 en la ecuación 2
𝑁 − 𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛 45° – 𝑊 = 0 ⇒ 𝑁 = 𝑅 ∗ 𝑠𝑒𝑛 45° + 𝑊 (6)
Sustituyendo el valor de 𝑅 en la ecuación 6
𝑁 = 1,41𝑊 ∗ 𝑠𝑒𝑛 45° + 𝑊 = 1,99𝑊
Sustituyendo 𝑅𝑋 en la ecuación 3
𝑅 ∗ cos 45° − 𝑃2 = 0 ⇒ 𝑃2 = 𝑅 ∗ cos 45° (7)
Sustituyendo el valor de 𝑅 en la ecuación 6
𝑃2 = 1,41𝑊 ∗ cos 45° = 0,99𝑊
Así;
𝑅 = 1,41𝑊 , 𝑁 = 1,99𝑊 , 𝑃1 = 0,99𝑊 , 𝑃2 = 0,99𝑊
3. Se tiene un bloque cuyo peso es de 25 𝑁𝑤 y se encuentra colocado en una
superficie plana cuyo coeficiente de rozamiento estático es de 𝜇𝑠 = 0,25. A dicho
bloque se le esta aplicando una fuerza externa horizontal hacia la derecha.
Calcular cuanto debe ser la fuerza aplicada para que el bloque no se mueva.
Aplicando primera condición de equilibrio
∑ 𝐹𝑥 = 𝐹 − 𝑓𝑟 = 0 (1) ∑ 𝐹𝑦 = 𝑁 − 𝑊 = 0 (2)
De la ecuación 2 obtenemos 𝑁
𝑁 = 𝑊 = 25 𝑁𝑤
Se conoce que la fuerza de roce es:
𝑓𝑟 = 𝜇𝑁 = 0,25 ∗ 25 𝑁𝑤 = 6,25 𝑁𝑤
De la ecuación 1 obtenemos 𝐹
𝐹 = 𝐹𝑟 = 5, 25 𝑁𝑤
4. ¿Qué fuerza resultante se ejerce sobre un bloque de masa 24 𝐾𝑔 cuando su
aceleración es de 1,80 𝑚 𝑠2⁄ ?
𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 24 𝐾𝑔 ∗ 1,80 𝑚 𝑠2⁄ = 43,2 𝑁
5. Un bloque cuya masa es de 10 𝐾𝑔 se encuentra en reposo sobre una
superficie horizontal. ¿Qué fuerza horizontal constante 𝑇 es necesaria para
comunicarle una velocidad de 4 𝑚 𝑠⁄ en 2 𝑠, partiendo del reposo, si la fuerza de
rozamiento entre el bloque y la superficie es cosante e igual a 5 𝑁.
𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡 ⇒ 𝑎 =𝑣𝑓 − 𝑣𝑜
𝑡=
4 𝑚𝑠⁄ − 0 𝑚
𝑠⁄
2 𝑠= 2 𝑚
𝑠2⁄
Para las fuerzas con respecto a 𝑥
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥 ⇒ 𝑇 − 𝑓𝑟 = 𝑚. 𝑎
𝑁
𝐹
𝑓𝑟
𝑊 𝑊
𝑓𝑟 𝐹
𝑁
𝑇 = 𝑚. 𝑎 + 𝑓𝑟 = 10 𝐾𝑔 ∗ 2 𝑚𝑠2⁄ + 5 𝑁 = 25 𝑁
6. Un ascensor y su cargan pesan en total 1600 𝐿𝑏𝑓. Calcular la tensión en el
cable soporte cuando el ascensor, que se mueve inicialmente hacia abajo a la
velocidad de 20 𝑝𝑖𝑒 𝑠⁄ , es llevado al reposo con aceleración constante en un
recorrido de 50 𝑝𝑖𝑒.
Primeramente realicemos las transformaciones requeridas
𝑤 = 1600 𝐿𝑏𝑓 ∗1 𝑁
0,22481 𝐿𝑏𝑓= 7117,12 𝑁
𝑣𝑜 = −20𝑝𝑖𝑒
𝑠∗
1 𝑚
3,2808 𝑝𝑖𝑒= −6,10 𝑚
𝑠⁄
𝑦𝑜 = 50 𝑝𝑖𝑒 ∗1 𝑚
3,2808 𝑝𝑖𝑒= 15,24 𝑚
Según la 2da Ley de Newton
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎 ⇒ 𝑇 − 𝑤 = 𝑚. 𝑎 ⇒ 𝑇 = 𝑚. 𝑎 + 𝑤 (𝐸𝑐. 1)
Calculemos la masa
𝑤 = 𝑚. 𝑔 ⇒ 𝑚 =𝑤
𝑔=
7117,12 𝑁
9,8 𝑚𝑠2⁄
= 726,24 𝐾𝑔
Calculemos la aceleración
𝑣𝑓2 = 𝑣𝑜
2 + 2𝑎(𝑦𝑓 − 𝑦𝑜) ⇒ 0 = 𝑣𝑜2 − 2𝑎𝑦𝑜 ⇒ 𝑎 =
𝑣𝑜2
2𝑦𝑜=
(−6,10 𝑚𝑠⁄ )2
2 ∗ 15,24 𝑚
= 1,22 𝑚𝑠2⁄
De la (𝐸𝑐. 1)
𝑇 = 𝑚. 𝑎 + 𝑤 = 726,24 𝐾𝑔 ∗ 1,22 𝑚𝑠2⁄ + 7117,12 𝑁 = 8003,13 𝑁
7. En la figura se muestra un bloque (1) que tiene una masa de 8 𝐾𝑔 y se mueve
sobre una superficie horizontal lisa unido por una cuerda ligera y flexible, que
pasa por una pequeña polea sin rozamiento, a un segundo bloque (2) que su
masa es de 5 𝐾𝑔. ¿Cuál es la aceleración del sistema y cual es la tensión de la
cuerda que una a ambos bloque?
Para el bloque (1)
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎 ⇒ 𝑇 = 𝑚1. 𝑎 (𝐸𝑐. 1)
Para el bloque (2)
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎 ⇒ 𝑇 − 𝑤2 = 𝑚2. 𝑎 ⇒ 𝑇 = 𝑚2. 𝑎 + 𝑚2. 𝑔 = 𝑚2(𝑎 + 𝑔) (𝐸𝑐. 2)
Igualando (𝐸𝑐. 1) y (𝐸𝑐. 2)
𝑚1. 𝑎 = 𝑚2(𝑎 + 𝑔) ⇒ 𝑚1. 𝑎 = 𝑚2. 𝑎 + 𝑚2. 𝑔 ⇒ 𝑎 =𝑚2. 𝑔
𝑚1 − 𝑚2=
5𝐾𝑔 ∗ 9,8 𝑚𝑠2⁄
8𝐾𝑔 − 5𝐾𝑔
= 16,33 𝑚𝑠2⁄
Calculemos 𝑇, sustituyendo 𝑎 en la (𝐸𝑐. 1)
𝑇 = 𝑚1. 𝑎 = 8𝐾𝑔 ∗ 16,33 𝑚𝑠2⁄ = 130,67 𝑁
Momento o Torque
Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, dicho
cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. Ahora
bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con
una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza.
De esta manera, se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad
de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto o eje de
giro.
Para explicar con un ejemplo sencillo el concepto de torque, cuando se
gira algo, tal como una puerta, se está aplicando una fuerza rotacional. Esa
fuerza rotacional es la que se denomina torque o momento. Cuando empujas
una puerta, ésta gira alrededor de las bisagras. Pero en el giro de la puerta
1
2
vemos que intervienen tanto la intensidad de la fuerza como su distancia de
aplicación respecto a la línea de las bisagras.
Entonces, considerando estos dos elementos, intensidad de la fuerza y
distancia de aplicación desde su eje, el momento de una fuerza es,
matemáticamente, igual al producto de la intensidad de la fuerza (módulo) por la
distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro.
𝑀 = 𝐹. 𝑑
Rotación en sentido anti horario
𝑀 = 𝐹1𝑏
Rotación en sentido horario
𝑀 = −𝐹2𝑏
Una aplicación práctica del momento de una fuerza es la llave
mecánica (ya sea inglesa o francesa) que se utiliza para apretar tuercas y
elementos similares. Cuanto más largo sea el mango (brazo) de la llave, más
fácil es apretar o aflojar las tuercas.
Con este ejemplo vemos que el torque y la fuerza están unidos directamente.
Para apretar una tuerca se requiere cierta cantidad de torque sin importar
el punto en el cual se ejerce la fuerza. Si aplicamos la fuerza con un radio
pequeño, se necesita más fuerza para ejercer el torque. Si el radio es grande,
entonces se requiere menos fuerza para ejercer la misma cantidad de torque.
𝐹1
𝐹2 𝑜 𝑏
2da Condición de Equilibrio
“Un cuerpo está en equilibrio de rotación cuando la suma algebraica de
los momentos de todas las fuerzas que actúan sobre el son cero”.
∑ 𝑀 = 0 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑗𝑒)
Ejemplos:
1. Una barra rígida cuyo peso propio es despreciable está atado en el punto 𝑂
y soporta en el extremo 𝐴 un cuerpo de peso 𝑊1 = 4 𝐾𝑔. Hallar el peso 𝑊2 de un
segundo cuerpo atado al extremo 𝐵 si la barra esta en equilirio, y calcular la
fuerza ejercida por el pivote situado en 𝑂.
Aplicando primera condición de equilibrio (para el eje 𝑦)
∑ 𝐹𝑦 = 𝑃 − 𝑊1 − 𝑊2 = 0 (1)
Aplicando la segunda condición de equilibrio
∑ 𝑀 = 𝑊1𝑏1 − 𝑊2𝑏2 = 0 (2)
De la ecuación 2 obtenemos 𝑊2
𝑊2 =𝑊1𝑏1
𝑏2=
4 𝐾𝑔. 3 𝑚
4 𝑚= 3 𝐾𝑔
De la ecuación 1 obtenemos 𝑃
𝑃 = 𝑊1 + 𝑊2 = 4 𝐾𝑔 + 3 𝐾𝑔 = 7 𝐾𝑔
𝐴 𝐵 𝑂
𝑊1 𝑊2
3 𝑚 4 𝑚 𝐴 𝐵 𝑂
𝑊1 𝑊2
𝑃
𝑏1 𝑏2
