Estudio de algunos ejemplos y problemas de la Teoría del Caos

Camilo Andrés Pérez Triana

Trabajo de grado

Director:Álvaro Arturo Sanjuán Cúellar

Universidad Distrital Francisco José de CaldasFacultad de Ciencias y Educación

Proyecto Curricular de MatemáticasBogotá, Colombia

2017

A mis padres y hermana, que siempre hansido mi apoyo e inspiración.

Agradecimientos

A la Universidad Distrital, en donde encontré la oportunidad de renovar mis intereses; así co-mo a los docentes que transitaron a lo largo de mi vida académica, y a quienes les debo mi gustopor la carrera. En especial, al profesor y director de este trabajo, Arturo Sanjuán. Su admirablelabor de maestro, me dio el impulso y ánimo necesarios, para continuar y apasionarme a ella.

A Natalia, quien me ha brindado una partícular y muy valiosa amistad; cuya compañia ha-ce tornar todo muy apacible. A mi tía Ofelia y a mi primo Arbey, por siempre estar al tanto,y permitirme contar con ellos en diversas situaciones. Por supuesto, a mis padres Ángel y Ro-salba, cuyo esfuerzo y paciencia me motivan todos los días a trabajar sin desfallecer. Y a mihermana Alejandra, su optimismo, alegría y compañía es completamente gratificante.

Espero corresponderles de alguna forma, a todos los mencionados.

ÍNDICE GENERAL

Agradecimientos 2

1. Introducción 4

2. Preliminares 5

1. Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Sistema Dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Función de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Función de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Sistema de Lorenz 24

1. Descripción y comportamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Atractor y modelo geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Dinámica caótica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Conclusiones 41

3

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

La Teoría del Caos es una rama de la matemática que hace parte de los sistemas dinámicosbastante reciente. Sus inicios se debieron a Poincaré, quién en primer lugar, transforma el pa-radigma matemático del determinismo laplaciano que tiene como objetivo la predicción delpasado y futuro de un objeto, dadas unas condiciones iniciales; y en cambio, se concentra enun análisis cualitativo de lo que puede suceder con él. Por otra parte, Poincaré concentrado enel aún inquietante problema de los tres cuerpos, observa la existencia de innumerables fenó-menos que no eran completamente aleatorios y que a pequeñas alteraciones en las condicionesiniciales conducían a enormes cambios a lo largo del tiempo. Pero no fue sino hasta mediadosdel siglo XX, con Lorenz, quién esperaba predecir el clima a partir del estudio de la atmósferaterrestre, en especial de las ecuaciones ya conocidas como las de Navier-Stokes; obtuvo la tanfamosa figura conocida como la mariposa de Lorenz, en gran parte gracias al desarrollo de losprimeros computadores y los grandes avances en métodos numéricos. A pesar de los grandesdesarrollos a través de todo ese tiempo, Lorenz logró consolidar a través de este hecho unanueva teoría.

A partir de allí se han llevado a cabo diversas investigaciones muy fructíferas en el campoaunque no solo matemático, sino también en áreas como la biología, física, química, economía,meteorología, computación, entre muchas otras.

Este trabajo tiene como objetivo el de estudiar los aspectos básicos de la teoría del caos des-de otro punto de vista. En vez de iniciar con la teoría y desprender de ella una aplicación, seda el rumbo contrario. Que la teoría sea el producto de un hecho experimental de cierta com-plejidad. Es por eso, dada su trascendencia, que me enfoco en el sistema de Lorenz. Para ello,se inicia con algunos preliminares que corresponden a la teoría fundamental de las ecuacionesdiferenciales ordinarias y la teoría de estabilidad, entre otros.

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CAPÍTULO 2

PRELIMINARES

1. Teorema fundamental

En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, se está interesado en conocer bajo quecondiciones se obtienen existencia, unicidad, regularidad y la dependencia continua de las con-diciones iniciales de la solución. Las primeras dos afirmaciones las contiene el teorema principalde esta sección y es el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales ordinarias (Teore-ma 2.1). La respectiva demostración está basada en el método de aproximaciones sucesivas dePicard. La regularidad se desprende directamente de este teorema por su manera de ver la so-lución en el método, y aunque más adelante es de más utilidad, no es de mayor interés. Perosi va a ser de importancia la dependencia continua; ya que de esta propiedad se desprende laposibilidad de movimientos caóticos.

Sean W ⊂ Rn un conjunto abierto y f : W → E una función continua; se entiende por soluciónde la ecuación diferencial x′ = f (x) como una función u : J → W diferenciable, con J ⊂ R unintervalo, tal que para todo t ∈ J, u′(t) = f (u(t)). Otro de los conceptos de importancia antesdel teorema es:

Definición 2.1. Una función f : W → Rn, con W ⊂ Rn un abierto, se le denomina Lipschitzianasobre W si existe una constante K tal que para todo x, y ∈W,

| f (y)− f (x)| ≤ K|y− x|.

En general, se dice que f es localmente Lipschitz si cada punto de W tiene una vecindad W0 ⊂W tal que f |W0 es Lipschitz.

Antes del siguiente lema, se tiene en cuenta que el diferencial de f en un punto x ∈ W es unoperador lineal sobre Rn y se le dota con una norma:

‖D f (x)‖ = máx{|(D f (x))u| : u ∈ Rn, |u| ≤ 1}

5

Lema 2.1. Sea f : W → Rn de clase C1, con W ⊂ Rn abierto. Sea W0 ⊂W convexo, si ‖D f (x)‖ ≤ Kpara todo x ∈W0, entonces f |W0 es Lipschitz de constante K.

Teorema 2.1. [2, pág. 163] Sea W ⊂ Rn un abierto, f : W → Rn de clase C1 y x0 ∈ W. Entoncesexiste algún α > 0 y una única solución

x : (−a, a)→W

de la ecuación diferencialx′ = f (x); con x(0) = x0. (2.1)

Demostración. Sean x0 ∈ W y J un intervalo abierto que contiene al cero y tal que x : J → W esuna solución de (2.1). Sea W0 =

{x ∈W

∣∣∣|x− x0| ≤ b}. Por el Lema 2.1, se tiene una constantede Lipschitz para f sobre W0. Además, dado que f es continuo y W0 es compacto, existe M > 0tal que | f (x)| ≤ M. Sea a > 0, tal que

a < mı́n{

bM

,1K

}; (2.2)

y se establece J = [−a, a].Utilizando el hecho de que x es solución de (2.1) si y solo si satisface la ecuación integral

x(t) = x0 +∫ t

0f (x(s))ds,

se define una sucesión {un} de funciones de J en W0 como sigue:

u0(t) = x0,

u1(t) = x0 +∫ t

0f (u0(s))ds.

Suponiendo que uk(t) ha sido definido y que

|uk(t)−x0| ≤ b para todo t ∈ J,

entonces

uk+1(t) = x0 +∫ t

0f (uk(s))ds

está bien definida por estar uk(s) ∈W0, y de nuevo

|uk+1(t)− x0| ≤∫ t

0| f (uk(s))|ds ≤ Ma < b.

Además, si L = máx{|u1(t)− u0(t)| : |t| < a} por inducción se tiene que

|uk+1(t)− uk(t)| ≤ L(Ka)k.

6

De la desigualdad (2.2) obtenemos que aK < 1 y para e > 0, existe algún N ∈ N suficiente-mente grande tal que si r > s > N entonces,

|ur(t)− us(t)| ≤∞

∑i=N|uk+1(t)− uk(t)| ≤

∞

∑i=N

(aK)iL < e.

Esto implica que up converge uniformemente a una función continua x : J → W0. En conse-cuencia, x cumple con la ecuación integral:

x(t) = lı́mk→∞

uk+1 = x0 + lı́mk→∞

∫ t0

f (uk(s))ds,

= x0 +∫ t

0f(

lı́mk→∞

uk(s))

ds,

= x0 +∫ t

0f (x(s)) ds.

Y por tanto, x es una solución de (2.1) y esto muestra la existencia en el teorema. Para la unicidadse supone que existe otra solución y, que satisface también (2.1). Sea Q = máx

t∈J|x(t)− y(t)|, en

donde este máximo se encuentra en algún t1 ∈ J; luego

Q = |x(t1)− y(t1)| ≤∫ t1

0| f (x(s))− f (y(s))|ds,

≤∫ t1

0K|x(s)− y(s)|ds ≤ aKQ,

y de nuevo de la desigualdad (2.2) aK < 1. Por tanto Q = 0 y x(t) = y(t) para todo t ∈ J.

Aunque en el teorema se usa que f ∈ C1, para dar mayor entendimiento a la prueba, por el le-ma 2.1 se puede dar a f una condición más fuerte y que se siga cumpliendo el teorema. Con lasmismas hipótesis y si en cambio f es localmente Lipschitz se satisface el teorema fundamental.

Otra observación ahora cualitativa de la solución, es que si bajo las hipótesis del teorema, u, vson soluciones de (2.1) (con diferentes condiciones iniciales), las curvas que describen nunca secruzan. De la misma forma, si u es solución de (2.1), la curva que describe no se cruza, a menosque sea una curva cerrada.

El teorema que sigue, da un indicio de la dependencia continua; y aunque no se va a realizar laprueba, cabe resaltar de ella que es una aplicación directa de la desigualdad de Gronwall.

Teorema 2.2. [2, pág. 181] Sea W ⊂ Rn un abierto y supongamos f : W → Rn una función quees Lipschitz de constante K. Sea y(t), z(t) soluciones para la ecuación diferencial x′ = f (x) sobre elintervalo cerrado [t0, t1]. Entonces para todo t ∈ [t0, t1]:

|y(t)− z(t)| ≤ |y(t0)− z(t0)|eK(t−t0).

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Lema 2.2. Sea f : W → Rn una función de clase C1. Sean u(t), v(t) dos soluciones de la ecuación dife-rencial (2.1) definidas sobre un mismo intervalo J que contiene a t0 y satisface u(t0) = v(t0). Entoncesu(t) = v(t) para todo t ∈ J.

Ahora bien, el teorema fundamental, nos da la existencia de un intervalo donde hay soluciónúnica. Luego podemos ir uniendo intervalos de los cuales también haya solución y que con-tengan a la condición inicial en (2.1). El anterior lema garantiza que la solución es única sobreese nuevo intervalo; y dicho intervalo se le conocerá como maximal. Pero un hecho de gran im-portancia lo da el siguiente teorema conocido como el teorema de escape de compactos. El cualnos dice que si el intervalo maximal es acotado, la norma de la solución cuando se aproxima alextremo del intervalo donde se define tiende a infinito.

Teorema 2.3. [2, pág. 171] Sea W ⊂ Rn un abierto, sea f : W → Rn de clase C1. Sea y(t) una soluciónde la ecuación diferencial sobre un intervalo abierto maximal J = (α, β) ⊂ R con β < ∞. Entonces paratodo K ⊂W compacto, existe un t ∈ (α, β) con y(t) /∈ K.

Demostración. Por contradicción, se supone que y(t) ∈ K para todo t ∈ (α, β). Como f es con-tinua, existe M > 0 tal que | f (x)| ≤ M si x ∈ K. Sea γ ∈ (α, β). Dado que para t0 < t1 en J yt1 − t0 < e/M para todo e > 0 se tiene:

|y(t0)− y(t1)| =∣∣∣∣∫ t1t0 y′(s)ds

∣∣∣∣ ≤ ∫ t1t0 | f (y(s))|ds ≤ (t1 − t0)M.Entonces y : (α, β) → Rn es uniformemente continua, y se puede obtener una función tambiéncontinua y : [γ, β]→ Rn. Esta función más que continua en β es diferenciable:

y(β) = y(γ) + lı́mt→β

∫ tγ

y′(s)ds = y(γ) + lı́mt→β

∫ tγ

f (y(s))ds = y(γ) +∫ β

γf (y(s))ds

Y así, y′(β) = f (y(β)). Ahora bien, como y es solución de (2.1) sobre el intervalo [γ, β], enespecial sobre β; por el teorema 2.1, existe a > 0 tal que existe una solución sobre el intervalo[β, δ). Por lo que y se puede extender al intervalo (α, δ). Pero esto contradice a que (α, β) es eldominio maximal de solución.

De esta manera, si por el contrario a como se supuso en el teorema, la solución nunca “esca-pa” de un compacto, es porque su intervalo maximal puede ser extendido a todos los reales.Adicionalmente con el siguiente lema:

Lema 2.3. Si f : W → Rn es localmente Lipschitz y A ⊂W un compacto, entonces f |A es Lipschitz.

Si f : K → Rn para K ⊂ Rn compacto, es de clase C1; f ya no es solamente localmente Lipschitzsino que globalmente Lipschitz. De esta manera, el siguiente teorema análogo al fundamentalnos habla de cuando podemos extenderlo a todos los reales:

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Teorema 2.4. Si f es globalmente Lipschitz sobre Rn, entonces para cada x0 ∈ Rn, el problema (2.1)tiene solución única y esta definida para todo t ∈ R.

Luego, por lo dicho anteriormente, si el campo f está definido sobre un compacto y f ∈ C1(K)entonces por este teorema, sus soluciones están definidas sobre todo R. Por otro lado, otra carac-terística a recalcar en las ecuaciones diferenciales es la dependencia continua a las condicionesiniciales:

Teorema 2.5. [2, pág. 173] Sea f : W → Rn de clase C1. Sea y(t) una solución para x′ = f (x) definidasobre el intervalo cerrado [t0, t1], con y(t0) = y0. Existe una vecindad U ⊂ Rn de y0 y una constante Ktal que si z0 ∈ U, entonces existe una única solución z(t) también definida sobre [t0, t1] con z(t0) = z0;tal que satisface:

|y(t)− z(t)| ≤ |y0 − z0|eK(t−t0) (2.3)para todo t ∈ [t0, t1].

Demostración. Por compacidad de [t0, t1] existe e > 0, tal que si |x− y(t)| ≤ e entonces x ∈ W.El conjunto de dichos puntos A es un conjunto compacto. Luego por Lema 2.3, f |A es Lipschitzde constante K.Sea δ > 0 tal que

δ ≤ mı́n{

e,e

K|t1 − t0|

}Si |z0 − y0| < δ, entonces por lo que se dijo anteriormente z0 ∈ W. Así, existe una soluciónz(t) que pasa por z0 y definida sobre un intervalo maximal [t0, β). Necesitamos demostrar queβ > t1; para ello, supongamos lo contrario que β ≤ t1. Por teorema 2.2, para todo t ∈ [t0, β)

|z(t)− y(t)| ≤ |z0 − y0|eK|t−t0| ≤ δeK|t−t0| ≤ e.

Por lo tanto, z(t) se encuentra en el compacto A, luego no escapa del compacto y por teorema2.3, [t0, β) no puede ser el intervalo maximal de solución. De esta manera, z(t) se define sobre[t0, t1]. Adicionalmente, por el lema 2.2 esta solución es única.

El anterior teorema es conocido como dependencia continua de las soluciones en términos delas condiciones iniciales. Otra manera de ver este teorema, es si u(t, z0) describe la solución u(t)de la ecuación diferencial tal que u(0, z0) = u(0) = z0 entonces:

lı́mx0→y0

u(t, z0) = u(t, y0)

uniformemente para todo t ∈ [t0, t1].

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Antes de seguir, hay una observación más de la desigualdad (2.3). Para condiciones inicialespróximas, y para t cercano a t0 los puntos y(t) y z(t) siempre se mantienen cerca. Mientras queentre más se aleje t de t0, por el término exponencial, se tiene menos certeza de lo cercanosque están y(t) y z(t). La distancia entre ambos puede variar mucho por el espacio en dondese pueden mover. Este último fenómeno de algunas ecuaciones es una de las características decaos.

2. Sistema Dinámico

Por otra parte, la descripción del cambio en el tiempo de los puntos en cierto espacio; que porejemplo podría ser el espacio de estados de un sistema físico, químico, biológico, o de algúnmodelo matemático; se le conoce como sistema dinámico:

Definición 2.2. Un sistema dinámico sobre Rn es una función φ : R× S → S de clase C1, conS ⊂ Rn un abierto, y que denotando a φ(t, x) := φt(x), la función φt : S → S satisface

a) φ0 : S → S es la función identidad,b) La composición φt ◦ φs = φt+s para cada t, s ∈ R.

Por resaltar un sistema dinámico da lugar a una ecuación diferencial. En efecto, si φ es unsistema dinámico y x ∈ S , si se define

f (x) =ddt

φt(x)∣∣∣t=0

,

f es un campo vectorial de S en Rn de clase C1 y si x(t) := φt(x) resulta una ecuación diferen-cial.

Por otro lado, bajo las hipótesis del teorema 2.1; para cada y ∈ Rn existe una única soluciónφ con φ(0) = y, definida sobre un intervalo maximal J(y) ⊂ R. Colocando explícitamente ladependencia de φ de la condición inicial, se denota φ(t) := φ(t, y). Sea

Ω = {(t, y) ∈ R×W|t ∈ J(y)}.

a la funciónφ : Ω → W

(t, y) 7→ φ(t, y) ,

se le conoce como el flujo de la ecuación (2.1). Y denotando φt(y) := φ(t, y), se obtiene que elflujo es un sistema dinámico.

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Adicionalmente, hablando un poco de la regularidad, si se conoce que tan suave es el cam-po f , resulta que tiene la misma suavidad el flujo φt. En el caso inicial, con la hipótesis de que fsea localmente Lipschitz implica que φ es continua y también localmente Lipschitz. De manerageneral:

Teorema 2.6. [5, pág. 83] Sean f : U → Rn de clase Cp, con p ∈ N y x0 ∈ U. Existen a, b > 0 talque el flujo local

φ : (−b, b)× Ba(x0)→ Ues de clase Cp.

3. Estabilidad

En esta sección es de interés el análisis cualitativo del sistema dinámico. Es decir, el comporta-miento del flujo a través del tiempo, así como el de varios de ellos; y que dependerán directa-mente de ciertos puntos distribuidos en el espacio y que se define en seguida.

Bajo las mismas hipótesis del teorema 2.1, un punto x ∈ W es un punto de equilibrio de (2.1)si f (x) = 0. Además como x(t) = x es solución de la ecuación diferencial, entonces debe ser laúnica. Por otra parte, el análisis a realizar es cuando el campo vectorial f es no lineal, ya quecuando f es lineal se tiene el siguiente resultado:

Teorema 2.7. Sea A la matriz asociada a un operador lineal sobre Rn. Entonces la única solución delproblema de valor inicial x′ = Ax, x(0) = K ∈ Rn es etAK

y además las siguientes propiedades tienen lugar sobre el origen:

a) Si los autovalores de la matriz A tienen todos parte real negativa, al origen se le conocecomo pozo o sumidero,

b) Si los autovalores de la matriz A tienen todos parte real positiva, al origen se le denominafuente,

c) Si los autovalores de la matriz A tienen parte real negativos y positivos, al origen se lellama silla,

d) Si los autovalores de la matriz A son imaginarios puros, al origen se le conoce como centro.

En la figura 2.1 (elaborada en Python®) se encuentran algunos diagramas de fase para estaclasificación. Si de manera análoga al ítem a), para x un punto de equilibrio de (2.1), los au-

11

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

(a)

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

(b)

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

(c)

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

(d)

Figura 2.1: clasificación de puntos de equilibrio sobre sistema lineal

tovalores de D f (x) tienen todos parte real negativa, se denomina al punto x como pozo y elsiguiente teorema muestra que localmente se comporta como el pozo del ítem a) para cuandof es no lineal.

Teorema 2.8. [2, pág. 181] Sea x ∈ W un pozo de la ecuación diferencial. Supongamos que todo auto-valor de D f (x) tiene parte real menor que −c, c > 0. Entonces existe una vecindad U ⊂ W de x talque

a) φt(x) esta definido y esta en U para todo x ∈ U, t > 0;

b) Existe una norma euclidiana sobre Rn tal que |φt(x)− x| ≤ e−tc|x− x| para todo x ∈ U, t ≥ 0;

c) Para cualquier norma sobre Rn, existe una constante B > 0 tal que |φt(x)− x| ≤ Be−tc|x− x|para todo x ∈ U y t ≥ 0.

Demostración. Sin pérdida de generalidad se supone que x = 0 y sea A = D f (0). Sea b > c talque las partes reales de los autovalores de A son menores que−b. En Rn existe una base B cuyanorma y producto interno correspondiente satisfacen

〈Ax, x〉 ≤ −b|x|2

Para todo x ∈ Rn. Por otra parte, de la definición de derivada

lı́mx→0| f (x + 0)− f (0)− Ax|

|x| = lı́mx→0| f (x)− Ax||x| = 0,

y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

lı́mx→0〈 f (x)− Ax, x〉

|x|2 = 0.

12

Esto significa que existe δ > 0 lo suficientemente pequeño tal que si |x| ≤ δ, entonces parax ∈W, 〈 f (x), x〉 ≤ −b|x|2 ≤ −c|x|2.

Sean U = {x ∈ Rn : |x| ≤ δ} y x(t) con 0 ≤ t ≤ t0, una solución de (2.1) en U (x(t) 6= 0).Dado que

ddt|x(t)| = 〈x

′(t), x(t)〉|x(t)| y como x

′ = f (x) entonces

ddt|x(t)| ≤ −c|x(t)|. (2.4)

Asi |x(t)| es decreciente y por lo tanto |x(t)| ∈ U para todo t ∈ [0, t0]. De la compacidad de U,por teorema 2.3, x no escapa del compacto y x(t) está definido y se encuentra en U para todot ≥ 0. Esto demuestra la parte a). La parte b), resulta de la ecuación (2.4), de donde

ddt

ln(|x(t)|) ≤ −c −→ |x(t)| ≤ etc|x(0)|. (2.5)

Además, debido a que todas las normas en Rn son equivalentes, c) se obtiene de la ecuación(2.5).

En general, para el caso no lineal la linealización de f es por medio de su diferencial D f :

Teorema 2.9. [3, pág. 151] Considerando el sistema x′ = f (x), donde f es de clase C1. Supongamosque:

1. x(t) es una solución de la ecuación x′ = f (x), el cual está definido para todo t ∈ [α, β] y satisfacex(t0) = x0,

2. u(t) es una solución de la ecuación variacional a lo largo de x(t), u′ = D f (x(t))u con u(t0) = u0,

3. y(t) es la solución de x′ = f (x) tal que y(t0) = x0 + u0.

Entonceslı́m

u0→0|y(t)− (x(t)− u(t))|

|u0|converge a 0 uniformemente en t ∈ [α, β].

Luego para cualquier sistema no lineal x′ = f (x) con punto de equilibrio x0, la ecuación varia-cional u′ = D f (x0)u, quién juega el rol de sistema linealizado en x0; las soluciones se encuen-tran lo suficientemente cerca entre ambos sistemas y de manera local. En otras palabras, sobreel punto de equilibrio se puede apreciar localmente un comportamiento “lineal”.

Así que para un punto de equilibrio del sistema no lineal, su clasificación es asociada al tipo depunto singular que sea bajo su sistema lineal. Ahora para x ∈ W un punto de equilibrio de laecuación diferencial x′ = f (x):

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Definición 2.3. x es un punto de equilibrio estable si para toda vecindad U de x en W existe unavecindad U1 de x en U tal que toda solución x(t) con x(0) ∈ U1 está definida y se encuentra enU para todo t > 0.

Por el contrario, si x es un punto de equilibrio que no es estable se le conoce como inestable.También:

Definición 2.4. x es un punto de equilibrio asintóticamente estable, si además de ser x estable,lı́mt→∞

x(t) = x.

Análogamente a cuando f es lineal, obtenemos como clasificar algunos de los puntos de equili-brio: pozos, fuentes, sillas o centros. Y ahora con las últimas definiciones acerca de estabilidad,se agrupan en: los puntos de equilibrio como fuentes o sillas son puntos inestables y los puntoscentro o pozo son estables; este último en particular es asintóticamente estable.

Teorema 2.10. [2, pág. 187] Sea W ⊂ Rn un abierto y f : W → Rn de clase C1. Suponiendo quef (x) = 0 y x es un punto de equilibrio estable de la ecuación x′ = f (x) entonces ningún autovalor deD f (x) tiene parte real positiva.

Ahora bien, según lo anterior se esperara que el diagrama de fase local para flujos de los dossistemas, sean lo suficientemente semejantes. Pero desafortunadamente no en todos los casosse puede afirmarlo, a este lo concierne uno de los teoremas mas importantes de la teoría:

Teorema 2.11 (Hartman-Grobman). Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto que contiene al origen, f ∈C1(U), y φt es el flujo asociado al sistema x′ = f (x). Supongamos que f (0) = 0 y que A = D f (0) notiene autovalores con parte real 0. Entonces existe un homeomorfismo H de un abierto V sobre un abiertoW, ambos contienen al origen, tal que para cada x0 ∈ V, existe un intervalo I ⊂ R al que se encuentreel 0, de modo que para t ∈ I

H ◦ φt(x0) = eAtH(x0)Es decir que, H envía trayectorias del sistema no lineal cerca del origen a trayectorias del sistema linea-lizado cerca al origen y preserva su orientación en el tiempo.

Se puede complementarle algo más a este teorema, para el cual después es también de im-portancia, y es añadirle como hipótesis que f sea un poco más regular; y así, en vez de H serhomeomorfismo pueda llegar a ser un difeomorfismo:

Teorema 2.12 (Hartman). Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto que contiene al punto x0, f ∈ C2(U) yφt el flujo para el sistema no lineal. Supongamos que f (x0) = 0 y que todo los autovalores de la matrizA = D f (x0) tienen parte real negativa o positiva. Entonces Existe un C1 difeomorfismo H de una

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vecindad V de x0 sobre un conjunto abierto W que contiene al origen tal que para cada x ∈ V existe unintervalo abierto Ix ⊂ R que contiene al 0, de modo que para todo t ∈ Ix

H ◦ φt(x) = eAtH(x)

A continuación, se dan ejemplos para el cual no se cumple el teorema de Hartman-Grobman,para aquellos puntos que no son hiperbólicos; y la importancia de que sea difeomorfismoen vez de homeomorfismo. Lo primero es transformas los sistemas no lineales bidimensio-nales x′ = f (x) de coordenadas cartesianas en coordenadas polares. En efecto, si f (x, y) =(P(x, y), Q(x, y)) entonces

ẋ = P(x, y)ẏ = Q(x, y)

→ rṙ = xẋ + yẏr2θ̇ = xẏ− yẋ →

ṙ = P(r cos(θ), r sin θ) cos(θ) + P(r cos(θ), r sin θ) sin(θ)

θ̇ =Q(r cos(θ), r sin θ) cos(θ)− P(r cos(θ), r sin θ) sin(θ)

r

Precisemos un poco algunos de los diferentes comportamientos de los puntos críticos, dispon-gamos de x0 como un punto de equilibrio para el sistema.

x0 se dice que es un centro-foco si existe una sucesión de curvas cerradas Γn, que sean curvasolución, con Γn+1 en el interior de Γn, tal que Γn → 0 cuando n→ ∞ y tal que toda trayectoriaentre Γn y Γn+1 son espirales que tienden hacia alguno de los dos cuando t→ ±∞.

x0 se le denomina foco estable si existe un δ > 0, tal que para 0 < r0 < δ y θ0 ∈ R, r(t, ro, θ0)→ 0y |θ(t, r0, θ0)| → ∞ cuando t → ∞. x0 es un foco inestable si r(t, ro, θ0) → 0 y |θ(t, r0, θ0)| → ∞cuando t→ −∞.

x0 se le denomina nodo estable si existe un δ > 0 tal que para 0 < r0 < δ y θ0 ∈ R, r(t, r0, θ0)→ 0cuando t → ∞ y lı́m

t→∞θ(t, r0, θ0) existe. x0 es un nodo inestable si existe δ > 0 tal que para todo

r0 ∈ (0, δ), r(t, r0, θ0) → 0 cuando t → −∞ y lı́mt→−∞

θ(t, r0, θ0) existe. Por último, x0 es un nodo

propio si es uno de los dos nodos, estable o inestable, y toda recta que pasa por el origen estangente a alguna trayectoria.

Ahora bien, considérese el siguiente sistema no lineal

ẋ = −y + x√

x2 + y2 sin

(1√

x2 + y2

)

ẏ = x + y√

x2 + y2 sin

(1√

x2 + y2

) (2.6)

para cuando x2 + y2 6= 0 y f (0) = 0 en el otro caso. Su correspondiente sistema de coordenadas

15

0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.20

0.15

0.10

0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

3 2 1 0 1 2 33

2

1

0

1

2

3

Figura 2.2: la figura izquierda representa el diagrama de fase del sistema (2.6), donde las lineasoscuras son las circunferencias de radio 1/nπ; mientras que a la derecha se encuentra la figuraque representa el de la parte linealizada de (2.6)

polares:

ṙ = r2 sin(

1r

)θ̇ = 1

Esto definido para cuando r > 0; y cuando r = 0 entonces ṙ = 0. Además cuando r =1

nπ, se

tiene igualmente que ṙ = 0. Por otra parte, para nπ < 1/r < (n + 1)π, ṙ < 0 si n es impar yṙ > 0 si n es par. Esto significa que el origen es un centro foco. Se puede observar en (2.6) quea la parte lineal se le suma una no lineal; así tomando solamente la parte lineal, esto es ẋ = −yy ẏ = x, resulta siendo un punto critico tipo centro. En la figura 2.2 (elaborada en Python®) semuestran los respectivos diagramas.

Por tanto, no tenemos un comportamiento siquiera similar (por lo que es impensable formarun homeomorfismo entre ambas) y en consecuencia, no se puede afirmar lo mismo que en elteorema de Hartman-Grobman cuando un punto de equilibrio no necesariamente sea hiperbó-lico. Sin embargo, para casos como el de este ejemplo, existe el siguiente resultado:

Teorema 2.13. [6, pág. 144] Sea U ⊂ R2 que contiene al origen y f ∈ C1(U) con f (0) = 0. Suponga-mos que el origen es un centro para el sistema lineal. Entonces el origen es o un centro, o un centro-focoo un foco para el sistema no lineal

Por otra parte, resulta incompleta la hipótesis de que f sea continuamente diferenciable, en elsentido que aunque el “parecido” entre las dos sea suficiente, aún sobreviven unas diferencias“sutiles”. Por lo que se necesita un poco más para que sea mayor la semejanza del sistema no

16

1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.51.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.51.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Figura 2.3: la figura izquierda representa el diagrama de fase del sistema (2.7); mientras que lafigura derecha representa el de la parte linealizada de (2.7). Figura elaborada en Python®

lineal con el de su linealización. Como ejemplo, consideremos el sistema

ẋ = −x− yln√

x2 + y2

ẏ = −y + xln√

x2 + y2(2.7)

para cuando x2 + y2 6= 0 y para otros casos que f (0) = 0. Nótese que este campo f no es C2sino únicamente C1. En coordenadas polares resulta

ṙ = −rθ̇ =

1ln(r)

De este último observamos que las soluciones son r(t) = r0e−t y θ(t) = θ0 − ln(

1− tln(r0)

).

Cuando r0 < 1, r(t)→ 0 y |θ(t)| → ∞ siempre que t→ ∞. Esto significa que es un foco estable,mientras que su linealización es un nodo propio estable. Aunque por el teorema de Hartman-Grobman se encuentra un homeomorfismo entre abiertos de cada uno, la clave de que aún lefalte, es que no se puede encontrar un difeomorfismo. Al imponerle como hipótesis a f quesea de clase C2, por el teorema de Hartman resulta el difeomorfismo requerido. Gracias a esto,adicionalmente se obtiene que bajo esta nueva hipótesis, se caracteriza un nodo o foco (estableo inestable) de un sistema linealizado, con un nodo o foco (estable o inestable) respectivamentedel sistema original.

4. Función de Liapunov

Por lo visto, lo único por hacer hasta ahora para ver que un punto de equilibrio es estable, es verque sea un pozo o un centro. Y si no es ninguno de estos no queda mas remedio que resolver la

17

ecuación diferencial (2.1), para ver el comportamiento de las soluciones, lo que muchas vecesresulta imposible.

Luego otro enfoque para resolver este problema es por funciones de Liapunov. Mediante uncampo escalar definido sobre una vecindad del punto de equilibrio, que juega un papel similaral de la energía total sobre un sistema físico (de hecho para sistemas dinámicos físicos la ener-gía total con algunos ajustes hará el papel de función de Liapunov); determina si este puntoes estable, e incluso asintóticamente estable, sin el conocimiento de la solución de la ecuacióndiferencial. Más precisamente:

Teorema 2.14. [3, pág. 195] Sea x ∈ W un punto de equilibrio para x′ = f (x). Sea V : U → R unafunción continua definida sobre una vecindad U ⊂W de x, diferenciable sobre U − x, tal que

a) V(x) = 0 y V(x) > 0 si x 6= x;

b) V′ ≤ 0 en U − x,entonces x es estable. Además, si también:

c) V′ < 0 en U − x,entonces x es asintóticamente estable.

Para una función V que satisfaga a) y b) se le conoce como función de Liapunov. Si a cambiode b) cumple con c), se dice que es una función de Liapunov estricta. Es de observar que parax ∈ U, V′(x) = DV(x)( f (x)); o bien si φt es el flujo asociado al sistema, entonces

V′(x) =ddt

V(φt(x))∣∣∣∣t=0

.

Demostración. Sea δ > 0 tal que la bola cerrada Bδ(x) ⊂ U. Sea Sδ(x) el borde de Bδ(x).De lacompacidad de de Sδ(x) y la continuidad de V, existe α ∈ R el mínimo valor de V sobre Sδ(x),y por la parte a) α > 0. Definamos

U1 = {x ∈ Bδ(x)|V(x) < α}

Como V es decreciente sobre las curvas de solución, por la parte b), entonces toda solución quecomienza en U1 no se escapa de Bδ(x). Esto significa que x es estable.

Por otra parte, supongamos que se satisface c) y se procede por contradicción. Sea x(t) unasolución que inicia en U1 − x y por compacidad de Bδ(x), existe una sucesión tn ∈ R tal quetn → ∞ y x(tn) → z0, para z0 ∈ Bδ(x). Además por la continuidad de V y la hipótesis c),

18

V(x(t)) > V(z0) para todo t > 0. Suponiendo que z0 6= x y sea z(t) la solución que empie-za en z0. Luego, por el mismo argumento V(z(s)) < V(z0) para cualquier s > 0. De nuevopor la continuidad de V, para cualquier solución y(t) que inicie suficientemente cerca de z0 ytal que V(y(s)) < V(z0). Así haciendo y(0) = x(tn) para n suficientemente grande tenemosV(x(tn + s)) < V(z0); lo que es una contradicción. Por lo tanto, z0 = x y x es asintóticamenteestable.

Como ejemplo, Veamos que sobre un sistema físico podemos usar la energía total del sistemapara generar nuestra función de Liapunov.

En primer lugar, un campo de fuerza es un campo vectorial F : R3 → R, entendida como lafuerza que actúa sobre cada una de las partículas x. Si además, existe una función Φ : R3 → Rde clase C1 tal que F(x) = −grad Φ(x); F se conoce como campo de fuerza conservativa. A lafunción Φ se le denomina energía potencial. Ahora bien, considerando una masa constante mbajo la influencia del campo de fuerza conservativo F, donde Φ : W0 → R con W0 ⊂ R3 unabierto. Como x′(t) = v(t) es entendida como la velocidad y por la segunda ley de NewtonF = ma, que puede ser traducida en nuestros términos a F(x(t)) = mx′′(t) = mv′(t); el sistemadinámico sobre W = W0 ×R3 correspondiente es:

dxdt

= v

dvdt

= −grad Φ(x)m

Para (x, v) ∈ W. Por otra parte, los puntos de equilibrio (x, v) son cuando v = 0 y cuandograd Φ(x) = 0. En dichos puntos su estabilidad puede determinarse por medio de una funciónde Liapunov, para ello como dijimos antes es útil hallar la energía total. La energía cinética estádado por U(x) = 12 mx

′′2 y la potencial es Φ(x), por lo que la energía total es

E(x, v) =12

mv2 + Φ(x).

Para que ésta sea una función de Liapunov se debe anular en los puntos de equilibrio, y comono siempre Φ(x) = 0 entonces la función de Liapunov deberá ser V(x, v) = E(x, v) − Φ(x).Por la ley de la conservación de la energía V′(x, v) = 0 para todo (x, v) ∈ W. Esto solo puedeser cierto, si Φ(x) > Φ(x) y basta para los x cercanos x. Por lo tanto, solo si se tiene la últimacondición, V efectivamente en una función de Liapunov y cada (x, 0) son puntos de equilibrioestables.

Si x es un punto asintóticamente estable de un sistema dinámico, por definición existe unavecindad U1 de x tal que para cualquier solución x, si x(0) ∈ U1 entonces x(t) → x cuando

19

t → ∞. Luego si unimos todas estas curvas solución, obtenemos un conjunto B(x) llamado“cuenca”. Veamos que la cuenca B(x) es un conjunto abierto. Sea δ > 0 tal que la bola Bδ(x) ⊂U1, y sea {tn} una sucesión de reales positivos con tn → ∞; entonces por definición existeN ∈ N tal que si tn ≥ tN entonces ‖x(tn)− x‖ < δ2 . Si ‖y− x‖ < δ1 y y(t) es una solución queinicia en y (es decir, que y(0) = y) entonces por la dependencia continua sobre las condicionesiniciales, ‖y(tN)− x(tN)‖ < δ2 . En consecuencia,

‖y(tN)− x‖ ≤ ‖y(tN)− x(tN)‖+ ‖x(tN)− x‖ <δ

2+

δ

2= δ;

y(tN) ∈ Bδ(x) ⊂ B(x) y y(tn)→ x para tn ≥ tN, es decir, y ∈ B(x).

Cada cuenca queda únicamente identificada con cada punto asintóticamente estable. Otra delas utilidades de las funciones de Liapunov es que aproximan la extensión de la cuenca, que esde lo que habla el teorema que sigue. Antes se verán dos definiciones:

Definición 2.5. Un conjunto P se dice invariante positivo para un sistema dinámico, si paratodo x ∈ P, x(t) ∈ P para todo t ≥ 0

Definición 2.6. Al conjunto {x(t)|t ∈ R} donde x(t) esta definido para todo t ∈ R, se le conocecomo orbita entera del sistema.

Teorema 2.15. [3, pág. 200] Sea x ∈ W un punto de equilibrio del sistema dinámico x′ = f (x) y seaV : U → R una función de Liapunov para x, donde U es una vecindad de x. Sea P ⊂ U una vecindadde x que es cerrada en W. Supongamos que P es invariante positivo, y que no existe una orbita entera enP− x sobre el cual V sea constante. Entonces x es asintóticamente estable y P ⊂ B(x).

Este teorema aunque sin demostración se da un ejemplo que lo ilustre. Considérese el sistemadinámico sobre R2:

x′ = −2x− y2

y′ = −y− x2

Para este sistema existen dos puntos de equilibrio (0, 0) y(− 3√

2,− 3√

4)

. También:

D f (x, y) =

(−2 −2y−2x −1

)→ D f (0, 0) =

(−2 00 −1

), D f

(− 3√

2,− 3√

4)=

(−2 2 3

√4

2 3√

2 −1

)De lo anterior obtenemos que los autovalores de D f (0, 0) son λ1 = −2 y λ2 = −1 y deD f(− 3√

2,− 3√

4)

son λ1 = −12(3−√

33) y λ2 = 12(√

33− 3); por lo que (0, 0) es un pozo y(− 3√

2,− 3√

4)

es un punto de silla; como efectivamente lo muestra la figura 2.4 (elaborada enPython®).

20

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

−4 −2 0 2 4

−4

−2

0

2

4

Figura 2.4: la figura izquierda muestra una región contenida en la cuenca. La figura derechamuestra una aproximación local de la cuenca del sistema. Los puntos azules representan lospuntos de equilibrio.

Para la aplicación del teorema, es de interés analizar el punto (0, 0). Sea V(x, y) = x2 + y2 la fun-ción candidata. Para ver que esta es de Liapunov, en primer lugar debe suceder que V(0, 0) = 0y V(x, y) > 0 para (x, y) 6= (0, 0). Por otro lado,

V′(x, y) = 2xx′ + 2yy′,

= 2x(−2x− y2) + 2y(−y− x2),= −4x2 − 2xy2 − 2y2 − 2yx2,= −2x2(2 + y)− y2(2 + 2x).

Para que V′(x, y) ≤ 0 necesariamente 2 + y ≥ 0 o y ≥ −2, y 2 + 2x ≥ 0 o x ≥ −1. Luego siV : U → R, con U = {(x, y) ∈ R2|x ≥ −1, y ≥ −2} es una función de Liapunov en (0, 0)para el sistema. La bola B1(0, 0) está en la cuenca del punto (0, 0). Análogamente a como sedemuestra en el teorema 2.14, dado que B1(0, 0) ⊂ U, entonces para todo 0 < δ ≤ 1 tal queBδ(0, 0) ⊂ B1(0, 0) y si U1 = {x ∈ Bδ(0, 0)|V(x) < α} entonces para una solución x(t) queinicia en U1 nunca escapa de allí, y por tanto tampoco de B1(0, 0). Esto muestra que B1(0, 0) esinvariante positivo.

Para la segunda condición se supone que existe una solución x(t) en B1(0, 0) donde la funciónde Liapunov sobre esta es constante. Esto significa que V′(x(t)) = 0, pero según la expresiónhallada de V′, muestra que V′(x, y) < 0 cuando y > −2 y x > −1, por lo que V′(x(t)) < 0para todo t ≥ 0 lo que es una contradicción. Por lo tanto B1(0, 0) ⊂ B(0, 0). Aunque es posiblepensar que el dominio de la función de Liapunov es la cuenca, la cuenca tiene una forma aúnmas extraña, por lo que es un poco difícil de hallar completamente como lo muestra la figura2.4 (elaborada en Python®).

21

5. Función de Poincaré

Ya en las anteriores secciones se ha tratado con la estabilidad de los puntos en el espacio. Perono siempre sucede que la estabilidad se presenta en solo un punto, puede pasar como se viocuando un punto no era hiperbólico, una estabilidad sobre una curva cerrada; aunque tambiénes posible que suceda en conjuntos aún más extraños como es el caso de los atractores.

La función de Poincaré tiene como objetivo el análisis de la estabilidad de curvas cerradasque sean solución del sistema no lineal x′ = f (x). Para ello, desde una idea geométrica reduceel problema a uno discreto y ahora el análisis es sobre un conjunto de una dimensión menos(hiperespacio) que el espacio de estados en que se esta desarrollando el sistema. Esto último,hace que el análisis no sea sobre el flujo, sino se convierta en un análisis de nuevo como el quehemos estudiado, la estabilidad sobre puntos.

Pero antes de definirlo, para que tenga sentido, se demuestra lo siguiente

Teorema 2.16. [6, pág. 212] Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto, f ∈ C1(U) y x0 ∈ U. Supongamosque φt(x0) es una solución periódica para x′ = f (x), de período T. Sea

Γ = {x ∈ Rn|x = φt(x0), 0 ≤ t ≤ T}

un ciclo contenido en U. Adicionalmente, sea

Σ = {x ∈ Rn|〈(x− x0), f (x0)〉 = 0}

un hiperplano ortogonal a Γ en x0; entonces existe un δ > 0 y una única función τ : Uδ(x0) → R+continuamente diferenciable con τ(x0) = T y para cada x ∈ Uδ(x0), φτ(x)(x) ∈ Σ.

Demostración. Defínase una nueva función como F(t, x) = 〈φt(x) − x0, f (x0)〉. Luego por elteorema 2.6, F ∈ C1(R× U). Además por ser φt(x0) de periodo T, x0 = φ0(x0) = φT(x0) yentonces F(T, x0) = 0. La derivada direccional con respecto a la primera variable es distinta acero, en efecto:

∂F(T, x0)∂t

=

〈∂φ(T, x0)

∂t, f (x0)

〉= 〈 f (x0), f (x0)〉 6= 0.

En consecuencia por el teorema de la función implícita, existe δ > 0 y una única función τdefinida sobre una vecindad Uδ(x0), continuamente diferenciable, con τ(x0) = T y tal queF(τ(x), x) = 0. Así, para todo x ∈ Uδ(x0)

〈φ(τ(x), x)− x0, f (x0)〉 = 0,

y esto es que φτ(x)(x) ∈ Σ

22

Definición 2.7. Sea Γ, Σ, δ y τ(x) como en el teorema previo. A

P : Uδ(x0) ∩ Σ→ Σx 7→ P(x) = φτ(x)(x)

se le denomina la función de Poincaré

Según esta definición, implica que la función de Poincaré P ∈ C1(V) con V = Uδ(x0) ∩ Σ. Estodebido a que τ ∈ C1(Uδ(x0)) y por teorema 2.6 φt(x) ∈ C1(R×U). Por lo tanto, con este mismorazonamiento, obtenemos que P ∈ Cp(V)(e incluso analítica) siempre y cuando f también losea.

23

CAPÍTULO 3

SISTEMA DE LORENZ

“When the present determines the future, but the approximate present does not ap-proximately determine the future”. Edward Lorenz

Existen una cantidad innumerable de ejemplos con presencia de caos: la ecuación de Van derPol, las ecuación de Duffing, la dinámica del péndulo doble, la dinámica de una pelota querebota, la función de Henón, entre otras. No obtante, hay un sistema particular por el cual, dehecho, existe la teoría: el sistema de Lorenz. Y es a este sistema es al que se le dedica espacio. Enprincipio, trata de una aplicación directa de los resultados obtenidos en el anterior capítulo, yposteriormente se realiza un modelo geométrico, que ayude a determinar su comportamientocaótico. Este modelo fue realizado por Guckenheimer y Williams ([1]), y junto con la exposiciónen el texto [3, cap.19], es la base para lo que sigue.

1. Descripción y comportamiento

En 1963 Lorentz a través de una simplificación de las ecuaciones de Naiver-Stokes para la ex-plicación del comportamiento del clima, obtuvo un sistema de ecuaciones diferenciales dadaspor:

x′ = σ(y− x)y′ = rx− y− xzz′ = xy− bz

(3.1)

donde se involucran 3 parámetros: σ como el número de Prandtl, el número de Rayleigh r yun tercer parámetro b; todas ellas positivas y con σ > b + 1. Los puntos de equilibrio para estesistema son tres:

σ(y− x) = 0rx− y− xz = 0

xy− bz = 0

→x = y

(r− 1− z)x = 0x2 = bz

→ x = 0 ó z = r− 1;z = 0 ó x = ±√b(r− 1)24

P = (0, 0, 0) y Q± =(±√

b(r− 1),±√

b(r− 1), r− 1)

; claro que para cuando r < 1, soloexiste un punto de equilibrio. Según lo hablado en el anterior capítulo, podemos obtener unalinealización del sistema, por medio de su diferencial:

D f (x, y, z) =

−σ σ 0r− z −1 −xy x −b

Aunque es bien sabido, esto solo se aplica a los puntos de equilibrio, no es cierto que la linea-lización se parezca al original en cualquier punto, y esto solo es de manera local. Ahora bien,haciendo variar el parámetro r, por cálculos numéricos, el comportamiento de cada uno de lospuntos de equilibrio es:

1. r < 1. En este caso los autovalores de D f (P) son

λ1 =12

(−√(σ + 1)2 + 4σ(r− 1)− σ− 1

)λ2 =

12

(√(σ + 1)2 + 4σ(r− 1)− σ− 1

)(3.2)

λ3 = −b

los cuales como se puede observar son todos negativos, por lo que P es un pozo, un puntoasintóticamente estable. No obstante, su dinámica no es solo local, sino global:

Proposición 3.1. Si r < 1, toda solución del sistema de Lorentz tiende al origen.

Demostración. Sea L : R3 → R definida por L(x, y, z) = x2 + σy2 + σz2. Es de observar que L esuna función estricta de Liapunov. En efecto, esta función es diferenciable en R y en especial enR− P ya que sus derivadas parciales son continuas y por tanto también L es continua. AdemásL(P) = 0, y

L̇(P) = DL(P)( f (P)) = 2xx′ + 2σyy′ + 2σzz′ = −2σ(

x2 + y2 − (1 + r)xy)− 2σbz2.

Esto último se obtiene sustituyendo en (3.1), x′, y′ y z′. Resta por ver que L̇ < 0; para ello sereduce el problema a probar que g(x, y) = x2 + y2 − (1 + r)xy > 0 para (x, y) 6= (0, 0). Dadoque sobre la recta x = 0, g(0, y) > 0, por lo que se cumple la condición. Por otra parte, a lo largode la recta y = mx resulta

g(x, mx) = x2(m2 − (1 + r)m + 1)

Puesto que r < 1 y la cuadrática que se encuentra entre paréntesis adquiere un mínimo en1 + r

2,

el término cuadrático es positivo y por tanto también g. En consecuencia, L es una funciónestricta de Liapunov sobre todo R3 y P es un punto global asintóticamente estable .

25

x

−4−3

−2−1

01

23

4

y

−5−4−3−2−1

0

1

2

3

4

z

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

(3, 3, 3)

(−3,−3,−3)

(3,−3, 3)

(0, 0, 0)

0 2 4 6 8 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3x(t)

0 2 4 6 8 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3y(t)

0 2 4 6 8 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3z(t)

Figura 3.1: Tres distintas soluciones del sistema de Lorentz, desde los puntos (3, 3, 3) (azul),(−3,−3,−3) (roja) y (3,−3, 3) (verde); con parametros σ = 10, β = 8/3 y r = 0,9.

Ver por ejemplo, la figura 3.1 (elaborada en Python®).

2. r = 1. Los autovalores de D f (P) son λ1 = 0, λ2 = −σ− 1 y λ3 = −b; ellos son distintosya que σ > b + 1, por lo que −σ− 1 < σ + 1 < −b < 0; y como no tiene autovalores conparte real positiva entonces P es estable.

3. r > 1. Como los autovalores son los mismos que en (3.2), el único cambio que sufre es queλ2 > 0; por lo que P se convierte en un punto de silla. En lo que respecta a los puntos Q±,sus autovalores son difíciles de calcular, por lo que estabilidad se analiza en la siguienteproposición.

Proposición 3.2. Los puntos Q± son pozos siempre que

1 < r < r∗ = σ(

σ + b + 3σ− b− 1

).

Demostración. A pesar de la dificultad de encontrar los autovalores de D f (Q±), es posible en-contrar su polinomio característico. En efecto este será:

fr(λ) = λ3 + (1 + b + σ)λ2 + b(σ + r)λ + 2bσ(r− 1).

Como para r = 1 ya se habían obtenido en el ítem 2. los autovalores, según el comportamientode fr(λ) para r > 1 suficientemente cercano al valor 1, siguen obteniéndose tres autovalores

26

10

5

0

5

10 15

10

5

0

5

10

15

0

5

10

15

20

(a)

1510

50

5

10

1520

10

0

10

20

0

10

20

30

40

(b)

200

2040

50

0

50

100

50

100

150

200

250

(c)

Figura 3.2: Las soluciones para el sistema de Lorentz, desde los puntos (0, 0,1, 0) (azul) y(0,−0,1, 0) (verde). De parámetros σ = 10, β = 8/3 y r = 15 para la figura a), r = r∗ en lafigura b) y r = 160 para la figura c). En la ultima imagen, se observa que tiende a una orbitaperiódica. Gráfico elaborado en Python®

reales, cercanos a los existentes y todos negativos; ya que si λ ≥ 0 y r > 1 entonces fr(λ) > 0.De ahí que los puntos Q± son pozos.

Para hallar el r∗ se desea saber hasta que r, fr comienza a tener algún autovalor con partereal 0, digamos que es autovalor tenga la forma ±iw con w 6= 0. Luego resolviendo fr(iw) = 0obtenemos:

fr(iw) =(iw)3 + (1 + b + σ)(iw)2 + b(σ + r)(iw) + 2bσ(r− 1)=(bw(σ + r)− w3)i + (2bσ(r− 1)− (1 + b + σ)w2) = 0;

b(σ + r) = w2

2bσ(r− 1) = (1 + b + σ)w2

}→ b(σ + r) = w2 = 2bσ(r− 1)

1 + b + σ→ r = σ(σ + b + 3)

σ− 1− b ,

y es a lo que se quería llegar.

Es importante resaltar dos cosas. En primer lugar se observa, que al variar el parámetro r através del valor 1, hay un cambio cualitativo en el sistema; específicamente, pasa de haber unsolo punto de equilibrio a que existan tres; y por otro lado, que el punto P pase de ser un pozoa ser un punto de silla. Esto intuitivamente hace referencia a una bifurcación. Lo otro es queexiste otro cambio, de dinámica del sistema ahora sobre los puntos Q± cuando r pasa a travésdel valor r∗. Pero en este caso, a cambio de que pase de ser un pozo a ser una silla o una fuente,

27

resulta generando órbitas periódicas a las que va a tender y va a ser su conjunto ω-limite. Aeste tipo de suceso se le conoce como bifurcación de Hopf.

Aunque las soluciones para r > 1 no tiendan al origen, por lejanas que estén siempre llegana estar bastante cerca del origen, un conjunto tipo elipsoide, al cual entrarán las soluciones ynunca más abandonaran al mismo.

Proposición 3.3. Para el elipsoide V(x, y, z) = rx2 + σy2 + σ(z − 2r)2 existe v∗ tal que para so-luciones que empiecen fuera de V(x, y, z) = v∗ entran a este elipsoide y quedan dentro para siempre.

Demostración. Calculando V̇ obtenemos:

V̇ = −2σ(rx2 + y2 + b(z2 − 2rz))= −2σ(rx2 + y2 + b(z− r)2 − br2).

Luego para que V̇ < 0, se necesita que para el elipsoide rx2 + y2 + b(z − r)2 = µ, µ > br2.Escogiendo un v∗ suficientemente grande tal que V(x, y, z) = v∗ contenga al elipsoide rx2 +y2 + b(z− r)2 = br2; y como V̇ < 0 para todo v ≥ v∗, toda solución es atraída a este elipsoide,entra y no volverá a salir.

En realidad esto significa que las soluciones así como eran atraídas al punto (0, 0, 0) cuandor < 1, son atraídas a un conjunto dentro del elipsoide definido en la proposición. A este con-junto se denota como Λ y es el conjunto de puntos cuyas órbitas enteras se encuentran dentrodel elipsoide.

Por otra parte, dado que la divergencia de un campo mide la tasa a la cual el volumen cambiabajo el flujo y sean D ⊂ Rn una región, F un campo vectorial sobre Rn y ϕt su flujo asociado. SiV(t) denota el volumen de ϕt(D) entonces

dV(t)dt

=∫

ϕt(D)∇ · F dx1 · · · dxn;

y por el teorema de Louville:

Teorema 3.1 (Louville). Si ∇ · F = 0 entonces ϕt conserva el volumen

El volumen del conjunto Λ puede ser encontrado

Proposición 3.4. El volumen de Λ es cero

28

20

10

0

10

20 20

10

0

10

20

0

10

20

30

40

0 5 10 15 20 25 3020

15

10

5

0

5

10

15

20x(t)

0 5 10 15 20 25 3030

20

10

0

10

20

30y(t)

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50z(t)

Figura 3.3: Dos distintas soluciones del sistema de Lorentz, desde los puntos (3, 3,1, 3) (azul) y(3, 3, 3) (roja); con parametros σ = 10, β = 8/3 y r = 28. Figura elaborada en Python®

Demostración. La divergencia para nuestro sistema de Lorentz F es:

∇ · F =3

∑i=1

∂Fidxi

(x, y, z) = −σ− 1− b.

Si D una región dentro del elipsoide rx2 + σy2 + σ(z− 2r)2 = v∗, por el teorema de Louville,dV(t)

dt= −(σ + 1 + b)

∫ϕt(D)

dx dy dz = −(σ− 1− b)V(t),

y la solución para esta ecuación diferencial es:

V(t) = e−(σ+1+b)tV(0).

Así V(t) → 0 cuando t → ∞. De la anterior proposición se concluye que a través del flujo, Dtiende a Λ. Por lo tanto, el volumen de Λ es cero.

2. Atractor y modelo geométrico

Hasta ahora se ha dado un análisis como el de cualquier otro sistema de ecuaciones, Sin aúnconocer como es en realidad el comportamiento, en especial en el conjunto Λ. A continuación

29

se introduce la parte más importante del sistema: la prueba de que este conjunto es un “atractorcaótico”. Para ello se necesita primero conocer lo que significa ser un atractor:

Definición 3.1. Sea X′ = F(X) un sistema de ecuaciones diferenciales en Rn con flujo φt. Unconjunto Λ se conoce como atractor si:

a) Λ es compacta e invariante,

b) existe un conjunto abierto U ⊂ Λ tal que para cada X ∈ U, φt(X) ∈ U para todo t ≥ 0 y⋂t≥0

φt(U) = Λ,

c) Para todo Y1, Y2 ∈ Λ y cualquier vecindad abierta U1, U2 ⊂ U de Y1, Y2, existe una curvasolución que empieza en U1 y pasa por U2.

De manera más general, también se le conoce a Λ como atractor, si las mismas propiedades secumplen pero ya no sobre el flujo sino sobre cualquier función continua G : X → X; es decirque además de que Λ sea compacta e invariante bajo G que:

a) Existe un conjunto abierto U ⊂ Λ tal que G(U) ⊂ U y⋂n∈N

Gn(U) = Λ,

b) Para todo Y1, Y2 ∈ Λ y cualquier vecindad abierta U1, U2 ⊂ U de Y1, Y2, existe n ∈ N talque

Gn(U1) ∩W2 6= ∅.

Para continuar se necesita dar más detalles del comportamiento del sistema; para simplificar esde utilidad un modelo geométrico. Este modelo, es descrito a partir de una serie de suposicio-nes que son consistentes y complementan a los resultados del sistema “real”. Lo primero es quese fijan los parámetros a σ = 10, b = 8/3 y r = 28; tal como los trabajo Lorentz. Desde luego,también imponerle al modelo que todos los resultados anteriores sean válidos.

A continuación, respecto a lo que se obtuvo directamente del sistema, se realizan unas suposi-ciones análogas para el modelo:

1. Supongamos que existe un punto de equilibrio en (0, 0, 0) y que el sistema es lineal sobreel cubo S = {(x, y, z) ∈ R3 : |x|, |y|, |z| ≤ 5} y que el modelo es simétrico al eje z. Ademássu sistema lineal es

x′ = −3xy′ = 2yz′ = −z

(3.3)

30

Este sistema es de comportamiento similar que el de la linealización obtenida inicialmen-te; osea que no está tan mal suponer esto. Por otra parte, se esta interesado en conocercomo transita la solución entre el cubo, para ello; sea h : R1 → R2, donde

R1 = {(x, y, z) ∈ R3|z = 1, |x| ≤ 1, 0 < y ≤ e < 1},R2 = {(x, y, z) ∈ R3|y = 1, |x| ≤ 1, 0 < z ≤ 1}.

Del sistema (3.3) obtenemos:

x = x0e−3t

y = y0e2t

z = z0e−t

→x = x0e−3t

1 = y = y0e2t

z = e−t

→x = x0y

320

y0 = e−2t

z = z0y120

.En consecuencia, para (x, y) ∈ R1

h (x, y) =(

xy32 , y

12

).

2. Tal como se obtuvo en el sistema de Lorentz, se supone para el modelo que existen otrosdos puntos de equilibrio y son Q± = (±10,±20, 27), tales que en las rectas

γ± = {(x, y, z) ∈ R3|y = ±20, z = 27}

las soluciones son asintóticamente estables a los punto Q± y los otros autovalores tienenparte real positiva y conjugados complejos.

3. Sea Σ = {(x, y, z) ∈ R3|z = 27, |x|, |y| ≤ 10}, suponiendo que el campo vectorial apuntahacia abajo dentro de este cuadrado, se puede definir la función de Poincaré sobre éstecuadrado. La superficie estable de (0, 0, 0) interseca a Σ y en esta línea por lo tanto, nuncaretorna la solución a Σ ya que tiende al punto de equilibrio (0, 0, 0). Además las dos so-luciones que se desprenden del eje inestable para el origen, denotadas por ζ+ y ζ− parala rama derecha y la izquierda respectivamente. Además al primer punto de interseccióncon el plano Σ de ζ±, representarlo como ρ± = (±x∗,±y∗).

Principales hipótesis del modelo

4. Condición de retorno. Sea Σ+ = Σ ∩ {y > 0} y Σ− = Σ ∩ {y < 0}. Si se suponeque toda solución que comienza en Σ± retorna en algún momento a Σ entoncesse obtiene una función de Poincaré

Φ : Σ+ ∪ Σ− → Σ,

y por la simetría del modelo Φ(x, y) = −Φ(−x,−y) para (x, y) ∈ Σ+ ∪ Σ−.

31

5. Dirección de contracción. La función Φ envía a cada linea y = v 6= 0 en Σ en larecta y = g(v) para cierta función g. Adicionalmente Φ contrae esta linea en ladirección x.

6. Dirección de expansión. Φ estira a Σ+ y a Σ− en la dirección y con un factor mayora√

2.

7. Condición de hiperbolicidad. Entre las suposiciones expansión y contracción delos dos anteriores ítems, DΦ envía vectores tangentes en Σ± cuyas pendientesson ±1 a vectores cuya inclinación es de magnitud mayor que µ > 1.

Las últimas cuatro son las suposiciones más fuertes debido a que no se conocían antes. De ellosresulta que la función de Poincaré Φ tiene la forma:

Φ(x, y) = ( f (x, y), g(y))

de la condición 6. g′(y) >√

2 y la condición 5. implica que 0 <∂ f∂x

< c < 1. De la hiperbolicidad

resulta que si v = (a,±a) y P ∈ Σ±:

DΦP(v) =

∂ fdx (x, y)∣∣∣∣P

∂ fdy

(x, y)∣∣∣∣P

0 g′(y)∣∣P

( a±a)

=

a∂ fdx (x, y)∣∣∣∣P± a∂ f

dy(x, y)

∣∣∣∣P

±ag′(y)∣∣P

.Así la pendiente de DΦ(x,y)(v) es

| ± ag′(y)|∣∣∣∣a ∂ fdx (x, y)± a∂ fdy (x, y)∣∣∣∣ > µ→ g

′(y) > µ∣∣∣∣∂ f∂x (x, y)± ∂ f∂y (x, y)

∣∣∣∣ .En particular si |v| ≥ |u| sobre el plano tangente en P como:

|v|g′(y) > |v|µ∣∣∣∣∂ fdx (x, y) + ∂ fdy (x, y)

∣∣∣∣ ≥ µ ∣∣∣∣|u|∂ fdx (x, y) + |v|∂ fdy (x, y)∣∣∣∣ ,

significa que a esta sección, su imagen en DΦ se encuentra estrictamente dentro de ella misma;

y para∣∣∣∣∂ fdx

∣∣∣∣ y ∣∣∣∣∂ fdx∣∣∣∣ suficientemente pequeños, su pendiente es aún mayor.

Según la descripción del mapa de Poincaré, Φ(x, 0) no está definido; sin embargo,

lı́my→0±

Φ(x, y) = ρ±. (3.4)

A ρ± se le conoce como el vertedero de Φ(Σ±).

32

b

b

b

b

b

Φ(Σ−)

Φ(Σ+)

R− R+

Q+

Q−

Σ−

Σ+

ρ+

ρ−

ζ+ζ−

y

x

Figura 3.4: Gráfico de la descripción dada para el modelo del sistema de Lorenz. Figura reali-zada en PSTricks.

Ahora bien, restringiendo el plano Σ hasta |y| ≤ y∗(recordando que ρ± = (±x∗,±y∗)), no-tado por R, toda solución que empiece en Σ± y fuera de R, en algún momento llega a R y nuncasale de tal rectángulo (por las condiciones 5. y 6.). Así que es suficiente analizar a Φ sobre R.Además es de notar que Φ(R) ⊂ R.

Si Φn es la n-ésima iteración de la función Φ, sea A como

A =∞⋂

n=0Φn(R).

Así A es la intersección del atractor para el flujo con el rectángulo R. Luego si

A =(⋃

t∈Rϕt(A)

)∪ {(0, 0, 0)},

lo que sigue es demostrar que este conjunto es el atractor esperado para el modelo, pero antescomo no es tan inmediato probar la propiedad de transitividad en la definición de atractor, porlo que antes va un lema. Dado un conjunto U ⊂ R, se denota Πy(U) como la proyección de Usobre el eje y. También se denota por `y(U) como la longitud de Πy(U)

Lema 3.1. Para todo conjunto abierto W ⊂ R, existe n > 0 tal que Πy(Φn(W)) es el intervalo[−y∗, y∗].

Demostración. Sin pérdida de generalidad supongamos que W es conexo, o de lo contrario esposible encontrarle un subconjunto conexo V a W. Como primer caso, W cruza a la recta y = 0.Para W± = R±∩W ambos son conjuntos conexos, `y(W+∪W−) = `y(W) y Φ(W±) se extiendehasta ρ± (por 3.4). Si alguno de los dos cruza la recta y = 0, por decir Φ(W+), entonces existe un

33

b

b

b

b

W

Φ(W)

Φ(W)

R+R−

W ′

Φ(W ′)

Φ2(W ′)

Φ2(W ′)

ρ−

ρ+

R−R+

ρ+

ρ−

Figura 3.5: Descripción gráfica del argumento principal del lema. Figura realizada en PSTricks.

W ′ ⊂ Φ(W+) ∩ R+ cuya longitud de su proyección es `y(W ′) = y∗. Al ser Φ continua, Φ(W ′)es conexa y por la hipótesis 6 del modelo,

`y(Φ(W ′)) >√

2`y(W ′) =√

2y∗.

Pero Φ(W ′) se extiende a lo largo de ρ+ y más allá de la recta y = 0. Aplicando de nuevo Φ,Φ2(W ′) es un conjunto conexo y `y(Φ2(W ′)) > 2y∗. Como Φ(W ′)∩ R está divido en dos partes,por (3.4) significa que, Φ2(W ′) se extiende desde ρ− hasta ρ+; por lo que

Πy(Φ3(W)) = Πy(Φ2(W ′)) = [−y∗, y∗].

Ver figura 3.5. Por otro lado, si ninguno de los dos Φ(W±) atraviesan la recta y = 0, aplicamosΦ al conjunto, y Φ2(W±) es conexo,

`y(Φ2(W±)) > 2`y(W±).

Así que para al menos uno de los dos, W+ o W−, `y(Φ2(W±)) > `y(W). Si uno de los Φ2(W±)cruza el eje y = 0, se aplica el anterior razonamiento y concluye la prueba; de lo contrario, sininguno lo cruza, no queda más remedio que seguir iterando. Por propiedad arquimediana,siempre existe n ∈N tal que

√2

n>

y∗

`y(W±)o también para el que 2n >

y∗

`y(W).

El primer caso iterando una cantidad impar de veces y para el último una cantidad par. De am-bas maneras obtenemos un n ∈ N tal que `y(Φn(W±)) > y∗, es decir que Φn(W±) entrecruzala recta y = 0, y se puede aplicar el razonamiento anterior. Finalmente, si se supone que Wno cruza la recta y = 0, iteramos cuantas veces sea necesario tal como se hizo antes, hasta quetraspase y = 0 y aplicar el argumento principal de la demostración.

34

Para demostrar que A es un atractor, esto con respecto al flujo ϕt asociado, reduciremos elproblema a probar que A es un atractor con respecto a la función de Poincaré:

Teorema 3.2. A es un atractor para el modelo del sistema de Lorentz

Demostración. Para la parte a) de la definición, como A es intersección numerable de conjuntoscerrados entonces A es cerrado, y por la proposición 3.3, es acotado, luego del teorema deHeine-Borel se concluye que A es compacto. Dado que para cada a ∈ A, está en cada uno delos Φn(R) para n ≥ 0, en especial para n = 0, a ∈ R. Si a ∈ R, por definición,

∞⋂n=0

Φn(a) ∈ A.

Para cuando a ∈ R− R, es decir, cuando a es un punto de la recta y = 0 la función de PoincaréΦ no esta definida. Para solventar este problema, se retorna a la anterior definición de atractorcon respecto al flujo ϕt y se aplica sobre los puntos de y = 0. Pero por definición de A es claroque para cada a ∈ A y en especial en esta recta, ϕt(a) ∈ A para todo t ≥ 0. Además como(0, 0, 0) es un punto de equilibrio, entonces A es invariante.

Para la parte b) de la definición, si U se encuentra en el interior de Σ, para cada (x, y) ∈ U,existe n tal que Φn(x, y) ∈ R. En consecuencia,

A =∞⋂

n=0Φn(R) ⊂

∞⋂n=0

Φn(U) ⊂ A.

Para la propiedad transitiva, sean P1, P2 ∈ A y W1, W2 ⊂ U conjuntos abiertos de P1 y P2respectivamente con W2 = Be(P2) para cierto e > 0. De la hipótesis 5, para cada k ∈ N,Φk(x1, y) y Φk(x2, y) pertenecen al mismo segmento que es paralelo al eje x, su distancia secontrae en la x dirección a un factor de c < 1:∣∣∣Φk(x1, y)−Φk(x2, y)∣∣∣ ≤ ck|x1 − x2|.Dado que según las suposiciones, la extención de R a lo largo de la dirección x es 40, por propie-dad arquimediana existe m ∈N tal que 40cm < e. Se observa que como P2 ∈ ∩m≥0Φm(R) tienesentido considerar a Φ−m(P2) y supongamos que es igual a (α, η). Del lema anterior, existe unn ∈N tal que

Φy(Φn(W1)) = [−y∗, y∗].Así que para (β, η) ∈ Φn(W1) y digamos que Φn(x′, y′) = (β, η) para (x′, y′) ∈ W1. Dado quetanto Φn(x′, y′) como Φ−m(P2) tienen la misma segunda coordenada, Entonces:

|Φm+n(x′, y′)− P2| = |Φm(β, η)− P2|,= |Φm(β, η)−Φm(α, η)|,≤ 40cm < e.

35

Esto significa que para el punto (x′, y′) ∈ W1, la solución pasa por W2, que es lo que se queríaprobar.

3. Dinámica caótica del modelo

Es interesante notar que para el estudio del comportamiento de las soluciones del sistema deLorenz, se redujo el problema al análisis de la dinámica sobre la función de Poincaré; por lo quetambién se ha reducido de un sistema de tres dimensiones a uno de dos.

Ahora bien, De acuerdo a las suposiciones, dos puntos con la misma segunda coordenada, sussoluciones atraviesan de nuevo a Σ con la misma g(y) segunda coordenada. Y por la condicion5, la distancia entre estos dos es menor que la distancia en que se encontraban inicialmente.Así bajo las iteraciones de la función Φ sobre la recta y = c, solamente basta con analizar cuáles el cambio en la segunda coordenada del modelo bajo las iteraciones de g. De esta manerase observa que la función de Poincaré está determinada por sólo este análisis, y por tanto, elanálisis de todo el sistema. En conclusión, se ha reducido a un análisis unidimensional: el de lafunción g.

Como en el modelo que se trabaja, se centra el estudio sobre el rectángulo R, y según las suposi-ciones impuestas se obtiene que g : [−y∗, y∗]− {0} → (−y∗, y∗), que satisface g(−y) = −g(y),por la simetría, g′(y) >

√2, por la condición 6, 0 < g(y∗) < y∗ y −y∗ < g(−y∗) < 0; y por

último quelı́m

y→0±g(y) = ∓y∗.

Sean I = [−y∗, y∗] y y0 ∈ I. Se define la órbita positiva (o hacia adelante) de y0 como lasecuencia {yn} de tal manera que yn = g(yn−1) = gn(y0). Si para algún k ∈ N, yk = 0 y alno tener imagen, se dice que la orbita termina allí y yk es el ultimo termino de la secuencia.Por otra parte, se define una orbita negativa (o hacia atrás) de y0, como la sucesión {y−n}n∈Ndonde g(y−n) = y−k+1. Análogamente que el anterior, si para algún k ∈ N, y−k = ±y∗, comoeste no tiene pre-imágenes, la secuencia termina en y−k. A partir de estas definiciones es posibleconocer cuantas se pueden tener.

Lema 3.2. Si y0 ∈ I, la órbita positiva está únicamente determinada, y hay una cantidad infinita deórbitas negativas distintas excepto en el caso de que y0 = ±y∗.

Demostración. La primera afirmación resulta directamente de el hecho de que g sea función ysin importar si la secuencia es finita o infinita, es decir, si existe o no n ∈N con gn(y0) = 0. Parala segunda parte, obsérvese primero que para y0 ∈ [g(−y∗), g(y∗)] existen dos pre-imágenes,

36

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0g (y∗)

g (−y∗)

Figura 3.6: Gráfica según las suposiciones impuestas a la función de Poincaré, de g. Figuraelaborada en Python®

mientras que para y0 ∈ (−y∗, g(−y∗)) o y0 ∈ (g(y∗), y∗) solo hay una única pre-imágen.

Si y0 6= ±y∗, además supóngase en primer lugar, que y0 no está en la órbita negativa de ±y∗;esto es, que para todo n ∈ N, y−n 6= ±y∗ por lo que la secuencia es infinita. Así según lo dichoanteriormente, cada y−k tiene ya sea una o dos pre-imágenes. En el caso de que tuviera uno,tiene que ser que

y−k ∈ (−y∗, g(−y∗)) ∪ (g(y∗), y∗);y por como se comporta la función g implica que y−k−1 ∈ [g(−y∗), g(y∗)]. Por lo tanto, y−k−1tiene dos pre-imágenes y−k−2 y y′−k−2. En consecuencia, no pueden haber puntos con pre-imágenes únicas mostrando así que existen infinitas maneras de órbitas negativas.

En cambio, si y0 esta en la órbita negativa de ±y∗, y−n = ±y∗ para algún n ∈ N, la secuenciaes finita, porque y−n no tiene pre-imágenes. Sin embargo, el sucesor es

y−n+1 = g(y−n) = g(±y∗).

Por lo que tiene dos pre-imágenes y−n y y′−n. En consecuencia, continuando según lo anteriorcaso, las órbitas en y′−n también hay infinitas orbitas distintas.

Proposición 3.5. El atractor A para el modelo del sistema de Lorentz pasa por cada una de las rectasy = y0 6= y∗ en R en infinitos puntos distintos. Para todo tiempo futuro la curva solución a través decada punto sobre esta linea o bien:

37

0 10 20 30 40 50−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

Figura 3.7: Ejemplo de orbitas hacia adelante con puntos iniciales x0 = 1× 10−9(azul) y x1 =99× 10−10(roja). Resulta un comportamiento caótico. Figura elaborada en Python®

a) interseca la recta y = 0, en ese caso las curvas de solución tienden al punto de equilibrio (0, 0, 0),o bien;

b) Continuamente intersecan a R, y las distancias entre esos puntos de intersección sobre la rectay = yk tienden a 0 cuando t→ ∞.

Demostración. Sea Jk el segmento de recta y = y−k en R. Dado que Φ es continua, Φk(J−k) escerrado y por la hipótesis de dirección de contracción del modelo, Φk(J−k) ⊂ J0; esto paracada k ∈ N. Luego hay una sucesión de intervalos cerrados encajados y el teorema del mismonombre nos asegura que ⋂

k∈IΦk(J−k) 6= ∅;

donde I es un conjunto de índices que puede ser N en caso de que la secuencia de la órbitanegativa sea infinita, o I = {0, 1, 2, . . . , m} si y−m = ±y∗. Para el caso infinito, por la condición6, la longitud de Φk(J−k)→ 0 cuando k→ ∞. Por lo tanto,

⋂k∈I Φk(J−k) es un único punto, sea

este y0, y sobre este existe una órbita negativa dada por {y0, y−1, y−2, . . .}.

Lo que sigue es querer dar más información de la función de Poincaré a partir de la función g:

Proposición 3.6. Sean 0 < v < y∗ y y0 ∈ I = [−y∗, y∗]. Para todo e > 0, existen u0, v0 ∈ I con|u0 − y0| < e, |v0 − y0| < e y n > 0 tal que |gn(u0)− gn(v0)| ≥ 2v.

Demostración. Sea Be(y0) la bola cerrada de radio e y centrada en y0. Por la condición 6 delmodelo, g

(Be(y0)

)la expande a una longitud de factor mayor a

√2 de la inicial. Luego por la

38

propiedad arquimediana existe un n ∈ N para el cual gn(

Be(y0))

contenga a 0. Por lo tanto,

en la siguiente iteración gn+1(

Be(y0))

contiene puntos tan cercanos como se quiera a ±y∗, yen consecuencia se puede garantizar que para ciertos u, v ∈ gn+1

(Be(y0)

)|u− v| ≥ 2v,

de donde u0 = g−n(u) y v0 = g−n(v) cumplen con las hipótesis y termina la prueba

Esta proposición indica como se presumía antes que el sistema de Lorentz es sensible a las con-diciones iniciales.

Para la siguiente proposición, se dice que un punto y0 es periódico para g si gn(y0) = y0 paraalgún n > 0.

Proposición 3.7. Los puntos periódicos de g son densos en I

Demostración. Se debe demostrar que para cualquier sub-intervalo de I es posible encontrar unpunto periódico dentro de él. Para todo intervalo J ⊂ I−{0} es posible encontrarle un conjuntoabierto W ⊂ R tal que su proyección sobre el eje y sea Πy(W) = J. Se sigue de la prueba dellema 3.1 que existe un n > 0 tal que Φn(W) cruza la recta y = 0, es decir que

[0, y∗) ⊂ gn(Πy(W)

)= gn(J).

Así para cierto intervalo J′ ⊂ J, la función gn(J′) = [0, y∗) es inyectiva. Además por la hipótesis6 del modelo, cada vez que iteramos g sobre J′ este se va estirando, por lo que puede queJ′ ⊂ gn(J′), o de lo contrario, J′ ⊂ gn+1(J′). En cualquiera de los dos casos, la gráfica de lafunción gn o gn+1 intersección a la recta y = x sobre J′; esto es precisamente que existe unpunto periódico en J.

No obstante, este resultado se puede expandir sobre el conjunto A y analizar la densidad de lospuntos periódicos respecto a la función de Poincaré.

Proposición 3.8. Puntos periódicos de Φ son densos en A.

Demostración. Sean P ∈ A y U una vecindad abierta de P. Si se supone que U no cruza la rectay = 0; si la cruzara se escoge una vecindad contenida en esta para el que no interseque con larecta y = x. Sea W ⊂ U un rectángulo que mide 2e y e en las direcciones x e y respectivamente;para un e > 0 suficientemente pequeño. Sea W1 ⊂ W un cuadrado centrado en P, cuyos ladosmiden e/2. Por el teorema 3.2, para Q ∈W1 existen Q1 ∈W1 y n > 0 tal que Φn(Q1) = Q. Paran lo suficientemente grande tal que cn < e/8, donde c es la constante con la que se contrae en

39

la dirección x. De esta manera por la condición de hiperbolicidad, el conjunto Φn(W) cruza elinterior de W oblicuamente y se extiende mas allá de los limites de W.

Ahora bien, como los segmentos de rectas y = c en W, son enviadas a otros segmentos rec-ta en Φn(W) contraídas por la suposición 5 y como por la condición 6 se expande en la otradirección, muchas segmentos en W son trasladados hacia arriba o hacia abajo, por lo que existeuna segmento de recta γ dada por y = c0 en donde Φn(γ) ⊂ γ, y por teorema del punto fijo,existe un único punto fijo sobre Φn(γ), x0. En consecuencia, x0 es un punto periódico para Φen W y como es para cada e > 0, se concluye la densidad de los puntos periódicos en A.

Cuando se habla de que un punto es periódico respecto a Φ, adicionalmente quiere decir quepara el flujo asociado al modelo, la curva generada a través de ese punto es cerrada. Por lotanto, según la proposición recién probada, se concluye que el conjunto de puntos que generanorbitas cerradas en el flujo es un conjunto denso de el atractor A.

En resumen, todos los resultados obtenidos para el modelo del sistema de Lorentz y que cons-tituyen su dinámica en el espacio es:

Teorema 3.3. La función de Poincaré Φ restringida a el atractor A para el modelo tiene las siguientespropiedades:

1. Φ tiene dependencia sensible a las condiciones iniciales,

2. Puntos periódicos de Φ son densos en A,

3. Φ es transitivo sobre A

Aunque no es clara una definición especifica de caos, una función que cumpla con las anteriorespropiedades se define como caótica.

Por último, se podría sospechar de la veracidad de todo esto aplicado para el sistema de Lorenz,ya que esto se concluyó para el modelo. De hecho, esto fue un inconveniente por muchos añosentre los matemáticos, que esto no sólo ocurriera en un modelo, sino como se sospechaba porresultados de computadora, que efectivamente tuviera las mismas propiedades aludidas en elteorema 3.3. Pues bien, para acabar con las dudas esto fue demostrado por Warwick Tucker [7]en un artículo de 1999, por medio de métodos numéricos y haciendo uso de forma normal.

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CAPÍTULO 4

CONCLUSIONES

A partir del sistema de Lorentz, se observa que un sistema no lineal de ecuaciones diferencialesordinarias puede resultar mucho más complejo de lo esperado. Lo que es un hecho es que nopodemos encontrar sistemas continuos caóticos de menor dimensión. En efecto, para un siste-ma por ejemplo de dimensión dos, es decir un sistema planar; si se supone que Λ es un atractorpara este sistema, por definición debe ser compacto e invariante. Pero para estos sistemas existeun resultado conocido como el teorema de Poincaré- Berdixon

Teorema 4.1. [3, pág. 225] Sea Ω un conjunto limite no vacío, compacto de un sistema planar deecuaciones diferenciales que no contienen puntos de equilibrio. Entonces Ω es una orbita cerrada

Por lo que no hay posibilidad de que el conjunto Λ sea caótico en absoluto. En conclusión, lossistemas que pueden presentar caos son de tres dimensiones en adelante. Es de notar, que estoes bajo sistemas autónomos; por que para sistema no autónomos por ejemplo, obtenemos laecuacion o oscilador de Duffing, o el oscilador de Van der Pol forzado; es precisamente la pre-sencia de términos senusoidales que dependen del tiempo, la que genera para estos sistemasbi-dimensionales la presencia de caos.

Por otra parte, se puede observar que para la demostración de que el modelo es caótico seutiliza principalmente las tres ultimas condiciones del modelo. Estas suposiciones resultan serel epicentro del comportamiento, y sin ellas no sería posible llegar al resultado obtenido.

Por último, debido a la complejidad señalada del sistema se ve en la necesidad de reducirdos veces el estudio de ésta. Primero reducir, una dimensión a el espacio en que se encuentra ypasar de un sistema continuo a uno discreto, a través de la función de Poincaré Φ. Y de nuevosintetizarlo a una función g; que reduce aún más la dimensión del espacio a tratar.

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BIBLIOGRAFÍA

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[7] W. Tucker. The Lorenz Attractor Exists. Uppsala dissertations in mathematics. Departmentof Mathematics, Uppsala University, 1998.

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