Estudio de investigación sobre técnicas de calibración de cámaras

ALUMNO: Jaime Martínez Verdú E-MAIL: [email protected] POSTGRADO: Máster Universitario de Investigación en Tecnologías Industriales y de telecomunicación ASIGNATURA: Visión por computador PROFESOR: Oscar Reinoso

Prefacio....

En este texto se pretende sintetizar un curso Calibración de Cámaras integradas a

un Sistema de Visión Artificial. En este trabajo se plantea la existencia, inherente a

cualquier Sistema de Visión Artificial, de un proceso de calibración de su cámara. Se

considera como sistema de visión, una cámara de video con la suficiente capacidad

técnica para realizar los estudios y lograr nuestros objetivos, así como los algoritmos

desarrollados para calibrar la cámara.

Muchas técnicas diferentes, en la actualidad, muestran como obtener información

3D del mundo físico usando una imagen o secuencia de imágenes capturadas por una o

más cámaras. Cada técnica incluye una serie de procesos que influyen directamente en

lograr un rendimiento eficaz; dentro de éstos, el principal proceso es la calibración. La

calibración es el inconveniente básico en aplicaciones de sistemas de visión en las que se

pretenda obtener información geométrica del espacio. Este problema consiste en

encontrar los valores de la posición y orientación de una cámara, así como sus

propiedades ópticas, geométricas y digitales a partir de puntos conocidos en el espacio

que son proyectados en una imagen. Es decir, la calibración de cámaras tiene como

objetivo establecer los parámetros que intervienen en el proceso geométrico de formación de la

imagen.

En la mayoría de los medios actuales, las propiedades de una cámara pueden

considerarse como estables y conocidas por lo que el problema se reduce a determinar la

orientación y posición del sistema de referencia de una imagen. Un modelo matemático

que describa y relacione correctamente la información del espacio 3D y su

correspondiente información 2D de una o unas imágenes, es la base principal de realizar

una buena calibración. De hecho, la calibración depende de la precisión con que

obtengamos la información del espacio y de la imagen.

El contenido de este texto comienza en el Capítulo 1 - Introducción que se trata una

breve presentación al desarrollo del trabajo. En este capítulo vendrá detallada la historia

de los sistemas de representación de geometrías e introduciremos una serie de conceptos y

términos relacionados con el campo de la calibración de cámaras. Asimismo,

expondremos aquellos factores que influyen directamente en la formación de la imagen y

analizaremos, a grandes rasgos, los parámetros principales que puede presentar una

cámara. En este capítulo desarrollaremos, a su vez, el procedimiento general de

calibración de una cámara.

Al Capítulo anterior le sucede el Capítulo 2 – Planteamiento matemático Geometría

de la formación de imágenes y que realiza un estudio de las herramientas matemáticas en las

cuales nos basaremos. Además, considera una descripción de la Teoría que mejor modela

la formación de las imágenes: La Geometría Proyectiva. Finalmente, éste capítulo expone el

modelo matemático de la cámara y estudia analíticamente los parámetros de localización y

orientación de la cámara.

A continuación, se ilustrarán distintos modelos existentes para establecer la

función de transferencia 3D ↔ 2D en un Sistema de Visión Artificial y se analizarán los

algoritmos más conocidos para llevar a cabo la calibración del sistema. Entre los expuestos

podremos encontrar los cuatro siguientes:

• Método de calibración del cálculo de la matriz de transformación

perspectiva.

• Método de calibración de los dos planos.

• Método de calibración de Roger Y. Tsai.

• Técnica de Ayache.

• Técnica de Song De Ma.

• Método de calibración de Zhang.

Finalmente, realizaremos un breve estudio sobre el auge de las aplicaciones de un

sistema de calibración de cámaras en la actualidad. Desarrollaremos dos ejemplos donde

se podrá comprobar la importancia, sobre todo en la industria y robótica, de la

calibración de un sistema de Visión Artificial.

Jaime Martínez Verdú

PREFACIO.

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN.

CAPÍTULO 2: PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO.

CAPÍTULO 3: TECNOLOGÍAS Y TÉCNICAS EXISTENTES.

CAPÍTULO 4: APLICACIONES.

CONCLUSIÓN.

BIBLIOGRAFÍA.

APÉNDICE A. La matriz pseudoinversa.

APÉNDICE B. Matemáticas De Zhang.

APÉNDICE C. Caso ejemplo

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN.

1.1. Un poco de historia 1-4

1.2. Terminología de calibración 1-7

1.2.1. Calibración de la cámara 1-7

1.2.2. Orientación de la cámara 1-7

1.2.3. Sistema de calibración 1-7

1.3. Factores que influyen en la formación de una imagen 1-8

1.3.1. Efectos internos 1-8

1.3.2. Efectos externos 1-9

1.4. Parámetros que influyen en la calibración de una cámara 1-10

1.4.1. Parámetros intrínsecos 1-10

1.4.2. Parámetros extrínsecos 1-11

1.5. Distorsión de la lente 1-12

1.5.1. Distorsión radial 1-12

1.5.2. Distorsión tangencial 1-13

1.6. Procedimiento general del método de calibración 1-14

CAPÍTULO 2: PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO. GEOMETRÍA DE LA

FORMACIÓN DE IMÁGENES.

2.1. Algunas transformaciones básicas 2-2

2.1.1. Coordenadas homogéneas 2-2

2.1.2. Traslación 2-2

2.1.3. Escalado 2-3

2.1.4. Rotación 2-4

2.1.5. Concatenación y transformación inversa 2-6

2.2. Proyecciones 2-8

2.2.1. Proyección de perspectiva 2-8

2.2.2. Proyección ortográfica 2-13

2.2.3. Proyección paralela 2-14

2.3. Modelo de la cámara 2-15

2.4. Recuperación de los parámetros de la cámara 2-16

2.4.1. Localización de la cámara 2-16

2.4.2. Orientación de la cámara 2-16

CAPÍTULO 3: TECNOLOGÍAS Y TÉCNICAS EXISTENTES.

3.1. Método de calibración del cálculo de la matriz de transformación perspectiva 3-5

3.1.1. Desarrollo matemático generalizado 3-6

3.1.2. Desarrollo matemático singularizado 3-10

3.1.3. Obtención del vector incógnita mediante el Método de los M C 3-12

3.1.4. Ejemplo de calibración del método estudiado 3-14

3.1.5. Procedimiento de calibración del método estudiado 3-17

3.2. Método de calibración de los dos planos 3-18

3.3. Método de calibración de Roger Y. Tsai 3-25

3.1.1. Los cuatro pasos de transformación desde las coordenadas 3D del mundo

a las coordenadas de la imagen en el computador 3-27

3.1.2. Ecuaciones de correspondencia entre las coordenadas 3D del mundo y las

coordenadas 2D de la imagen en el computador 3-31

3.1.3. Calibración de la cámara utilizando un conjunto de puntos coplanares 3-34

3.1.4. Calibración de la cámara utilizando un conjunto de puntos no coplanares 3-40

3.1.5. Enmiendas del método de calibración de Tsai I: Técnica de Ayache 3-44

3.1.6. Enmiendas del método de calibración de Tsai I:Técnica de Song De Ma 3-45

3.4. Método de calibración de Zhang 3-46

3.4.1. Desarrollo matemático generalizado 3-47

3.4.2. Resolución de la calibración de la cámara 3-53

3.4.3. Procedimiento de calibración del método estudiado 3-55

3.5. Comparativa sobre las técnicas y tecnologías existentes 3-56

CAPÍTULO 4: APLICACIONES.

4.1. Aplicaciones de calibración simultánea 4-5

4.2. Aplicaciones con cámaras precalibradas 4-7

Capítulo 1 Introducción

Jaime Martínez Verdú MTIT: Visión por Computador 1-1

INTRODUCCIÓN

¿Qué es la Visión Artificial? Dicho concepto hace referencia a una gran herramienta

para establecer la relación entre el mundo tridimensional y sus vistas bidimensionales

tomadas de él. Por medio de esta teoría se puede conseguir, por un parte, una

reconstrucción del espacio tridimensional a partir de sus vistas y, por otra, efectuar una

simulación de una proyección de una escena 3D en la posición deseada a un plano

bidimensional.

El presente texto estudia la técnica de calibración de cámaras y reflexiona sobre su

interés actual, pues se trata de un proceso esencial para lograr el buen funcionamiento de

un Sistema de Visión Artificial (AVS del inglés “Artificial Vision System”). De acuerdo con

la definición de la Real Academia de la Lengua Española, se entiende por calibración:

“Establecer con la mayor exactitud posible, la correspondencia entre las indicaciones de un instrumento de medida y los valores de la magnitud que se mide con él.”

En nuestro caso, se desea conseguir la relación entre píxeles de una imagen y

valores de la imagen en medidas reales. En un sentido amplio, la calibración de una

cámara hace referencia a la obtención de todos aquellos parámetros que intervienen en la

formación de la imagen, tanto los denominados geométricos, involucrados en el proceso

geométrico de formación de la imagen, como los radiométricos, que tienen que ver con

el brillo de los objetos proyectados. La calibración de una cámara es un proceso

importante en muchos problemas actuales; posiblemente los dos más importantes estén

relacionados con la construcción de un objeto tridimensional y la medición no invasiva.

Estos problemas tienen crecientes aplicaciones en robótica, metrología, diseño de

entornos visuales, análisis de movimiento, seguimiento de objetos, etc.

CAPÍTULO 1



El uso de sistemas del tratamiento digital de imágenes con propósitos de, por

ejemplo, robótica o metrología (ciencia que tiene por objeto el estudio de los sistemas de

pesas y medidas) implica la necesidad de calibración o verificación de dichos sistemas.

Por un lado, es conocido que la calibración simultánea de cámaras durante la

medida es un método muy empleado en la actualidad, y por otro lado, la calibración

independiente es particularmente útil en los casos siguientes:

o Cuando se desea obtener información acerca de la exactitud de un sistema

de adquisición de imágenes empleado para medir una escena y también

sobre la exactitud de la medida del objeto.

o Cuando la calibración simultánea del sistema de medida es irrealizable

durante la medida por razones intrínsecas al sistema de modo que algunos

parámetros del sistema, o incluso todos, deben ser predeterminados.

o Cuando sistemas de visión completos o componentes de ellos deban ser

ensayados por el fabricante con la intención de elaborar planes de calidad.

o Cuando las imágenes digitales, libres de los efectos del AVS, son generadas

para la configuración de un proceso de adquisición (como la rectificación).

Además, para la configuración o el setup del sistema de visión artificial, será

preciso determinar posiciones de cámaras u otros sensores respecto a un sistema de

coordenadas de orden superior denominado Sistema del Mundo que permitirá la

determinación de objetos tridimensionales respecto este sistema.

Cada vez que es fijado el entorno donde se va a utilizar la cámara requerimos de

su calibración. Una cámara normalmente se aproxima por el modelo pin—hole, esto es, por

medio del reflejo luminoso de un objeto los haces de luz entran por un orificio y a su vez,

éstos se reflejan en un plano denominado imagen. Para fines de modelación matemático,

este modelo es equivalente al proyectivo, donde el plano de la imagen está colocado entre

el foco y el objeto.

A lo largo del estudio, asumiremos que el plano de la imagen es ortogonal al eje

óptico de la cámara y por ello nos interesa conocer la posición de ésta con respecto al

escenario. Esta información queda resumida en una matriz de orientación R y un vector

de traslación T

, que se denominan parámetros extrínsecos. Sin embargo, la proyección

no consiste únicamente en desplazamientos y rotaciones, pues la imagen puede sufrir

deformaciones (por efecto óptico, diseño de la cámara CCD) que pueden ser vistas como

elongaciones o reducciones en alguno de los ejes, como sesgo de la imagen o corrimiento

del punto principal. Estos últimos suelen denominarse parámetros intrínsecos.



Entonces, calibrar la cámara consiste en encontrar los parámetros que influyen en

la transformación entre puntos 3D del entorno específico de la aplicación y puntos 2D de

la imagen, esto es, los parámetros intrínsecos y extrínsecos. En realidad, los sensores CCD

son muy sensibles a cambios ambientales:

Temperatura.

Humedad.

Iluminación.

y aunque los cambios no sean drásticos, pueden ser significativos en muchas

aplicaciones. En las cámaras más especializadas, las modificaciones de los valores

intrínsecos son compensadas vía programación o electrónica, aunque en muchas

ocasiones la excelente calidad de sus componentes evitan dichas distorsiones.

No obstante, la gran diversidad de cámaras fotográficas digitales y webcams que

existen comercialmente, evitan la necesidad de adquirir costosos equipos especializados,

utilizando las primeras para múltiples aplicaciones. No obstante, estas cámaras no fueron

diseñadas para estas actividades, ni se conocen sus parámetros, además de que son

susceptibles a variaciones, por lo que es muy importante la calibración que se realice en

ellas.

Lo primero que se debe obtener es un cuerpo geométrico preciso con dimensiones

conocidas, para usarlo como patrón de calibración, que corrientemente son cubos o

pirámides con base cuadrangular o planos patrón.

Las dimensiones de los objetos de calibración deben ser muy precisas y regulares.

Además, los ángulos rectos deben ser exactos, porque de ellos dependen la medición de

las distorsiones y rotaciones. Es difícil conseguir objetos de características tan estrictas,

porque implican una fabricación especial y una supervisión muy exigente de calidad.

Por supuesto, para que tales restricciones sean útiles, es necesario que la

calibración se realice bajo condiciones controladas. Antes de entrar de lleno con el tema

de calibración de la cámara se consideran los parámetros que intervienen en la formación

de una imagen y también un aspecto muy importante que es la distorsión de la lente.

En capítulos posteriores se expondrá la necesidad de conocer la geometría de la

cámara, a veces llamada el modelo de la cámara y se describirá algún método o proceso de

calibración de un AVS, enfocando principalmente en las técnicas fotogramétricas que

permiten la determinación homóloga y muy exacta de los parámetros requeridos.



1.1. Un poco de historia.

Todos sabemos que una cámara fotográfica origina imágenes planas procedentes

de un mundo físico percibido como tridimensional. Antes de la invención de la fotografía

existía un gran interés en interpretar este mundo 3D en imágenes planas 2D, como es el

caso de la pintura.

Los griegos llegaron a conocer muchas de las propiedades geométricas de la

proyección. Como es el caso de Thales de Mileto (640 a.C. – 548? a.C.) que con sus

conocimientos sobre el campo de la Geometría consiguió predecir un eclipse solar y,

además, medir la altura de una pirámide a partir de su sombra proyectada sobre el suelo.

No obstante, los griegos se engañaban al pensar que la visión era activa, es decir, que los

ojos emitían partículas al mundo 3D en vez de considerar a los ojos como dispositivos

pasivos receptores de luz.

Cabe mencionar dentro de los matemáticos griegos a Euclides, quien en el siglo

IV a.C. ideó la geometría plana. Para Euclides la geometría era concebida como un

conjunto de líneas y puntos, independientes de un sistema de coordenadas.

Posteriormente, los pintores italianos del Renacimiento fueron los primeros en

concebir la formación de las imágenes y, además, los primeros en estudiar la Geometría

para reproducir correctamente los efectos de la perspectiva en las imágenes del mundo

que observaban. La pintura anterior a esta época era plana, es decir, no mostraba la

diferencia de profundidad en los objetos representados, como se muestra en la Figura 1.1

izq.

La perspectiva fue inventada por Filippo Brunelleschi (1377-1446) alrededor de

1413. Brunelleschi fue un gran arquitecto del Renacimiento Temprano. Sus principales

obras se encuentran en Florencia, como por ejemplo la Catedral Santa Maria de Fiore,

cuya cúpula es la más grande del mundo con más de 50 metros de diámetro.

Artistas como Piero della Francesca (1415-1492), Leonardo da Vinci (1452- 1519)

y Albrecht Dürer (1471-1528), los dos primeros italianos y el tercero alemán que viajó a

Italia para llevar el Renacimiento a Alemania, realizaron serios estudios geométricos que

han venido empleándose hasta día de hoy. A partir de esta época, se empieza a considerar

el punto de fuga, en el que líneas paralelas que se alejan del observador convergen en un

punto.



Figura 1.1: Pintura pre-renacentista y renacentista. Izquierda: Jesús entrando a Jerusalén. Derecha: Iglesia del Espíritu Santo, Bruneleschi.

A modo de ejemplo, la Figura 1.1 muestra dos pinturas: una pre-renacentista y

otra renacentista. En la primera se puede observar la polidimensionalidad, en la cual los

puntos de vista de los objetos representados no son únicos. Asimismo, el tamaño de los

objetos está relacionado más con la importancia dentro de la obra que con la ubicación

espacial. En la segunda pintura se aprecia claramente la profundidad producida por las

líneas que convergen en un punto de fuga.

De esta manera se le hace creer al observador que está frente a una escena

tridimensional.

En el siglo XVI se desarrolla la teoría de la perspectiva. Se introducen las

Máquinas de Perspectiva (para obtener más información sobre este invento acuda a la

dirección http://www2.latech.edu/~wtwillou/A301_syl.htm) para ayudar a los pintores a

reproducir exactamente la perspectiva sin tener que recurrir a engorrosos cálculos

matemáticos.

Una de estas máquinas es representada en la Figura 1.2 por Albrecht Dürer. En

esta figura, el ojo del dibujante es mantenido fijo y un dispositivo es utilizado para

materializar la intersección de cada rayo visual con el plano de la imagen.

Las máquinas de perspectiva pueden ser consideradas como el primer intento de

una cámara. Ellas utilizan un plano R (plano de la imagen, ver rejilla en Figura 1.2) donde

se forma la imagen y un punto C (centro óptico, ver ojo del dibujante en Figura 1.2) que

no pertenece a R en el que se intersectan todos los rayos que forman la imagen.

http://www2.latech.edu/~wtwillou/A301_syl.htm



Figura 1.2: Varias imágenes de la Máquina de Perspectiva de Albrecht Dürer.

En el año 1545, el astrónomo Germina Frisius publica un estudio donde presenta

la cámara oscura. En la Figura 1.3 se representa un esquema de la cámara oscura.

Mediante un orificio muy pequeño C en una pared se deja entrar la luz externa que es

proyectada en una pared interior de la

cámara oscura. El resultado es una imagen

invertida del mundo exterior. La cámara

oscura sirvió a algunos pintores como a

Vermeer (1632-1675) para representar de la

manera más precisa posible la realidad.

A partir de la teoría del plano

cartesiano introducida por el matemático

Descartes (1596-1650) se empieza a concebir la geometría desde un punto de vista

algebraico. Así, las entidades geométricas son descritas como coordenadas y entidades

algebraicas.

En el año 1826 el químico francés Niepce (1765-1833) llevó a cabo la primera

fotografía, colocando una superficie fotosensible dentro de una cámara oscura para fijar la

imagen. Posteriormente, en 1838 el químico francés Daguerre (1787-1851) hizo el primer

proceso fotográfico práctico. Daguerre utilizó una placa fotográfica que era revelada con

vapor de mercurio y fijada con trisulfato de sodio.

En la actualidad se utilizan cámaras reflex y CCD que emplean lentes para

incrementar la potencia de la luz y mejorar el enfoque de la imagen. A pesar de la gran

mejora en cuanto a tecnologías empleadas para la obtención de imágenes en el día de

hoy, es inevitable la aplicación de técnicas de calibración, pues es un inconveniente

incrustado a la obtención de imágenes.

Figura 1.3: Cámara oscura.



1.2. Terminología de la calibración.

1.2.1. Calibración de la cámara.

La calibración de la cámara, en terminología fotogramétrica, se refiere a la

determinación de los parámetros de orientación y posición individuales y que son

intrínsecos a la cámara. Al tratar con imágenes digitales, es aconsejable analizar el sistema

de adquisición de imágenes por completo, incluso la cámara, las unidades de transmisión y

las posibles tarjetas digitalizadoras. Los parámetros a encontrar mediante una técnica de

calibración cualquiera dependen del tipo de cámara utilizado. Una vez el sistema ha sido

calibrado, después de haber orientado la cámara cuidadosamente, pueden realizarse las

medidas.

1.2.2. Establecimiento de la cámara.

El establecimiento de la cámara usualmente incluye la fijación de los parámetros

de orientación exterior para definir la posición del origen de la cámara y del eje de la

cámara en el sistema de coordenadas del mundo. Esto requiere la determinación de tres

rotaciones y tres parámetros de traslación, es decir, un total de seis parámetros para cada

cámara.

1.2.3. Sistema de calibración.

En muchas aplicaciones, se fijan setup’s de varios sensores para la realización de la

medida. Como ejemplos tenemos los sistemas de medida online en donde, por ejemplo,

varias cámaras, indicadores del láser, proyectores de patrón, fases rotatorias,… pueden ser

empleados simultáneamente. Si el sistema por completo se aplica como una herramienta

de medición integrada, entonces la calibración simultánea y el establecimiento de todos

los componentes involucrados debe definir la calibración del sistema de forma global.

Figura 1.4: Esquema general de las partes que componen un sistema de adquisición.

Aumento de la resolución

de los elementos

Sistema mecánico de

ajuste piezoeléctrico

Ópticas Sensores Almacenamiento de la imagen

Transmisión de señal

Sincronización interna

Sincronización externa

Sincronización a nivel de píxel

Transmisión digital



1.3. Factores que influyen en la formación de una imagen.

Todo componente que forma parte de un Sistema de Visión Artificial “deja

huella” en la imagen de un objeto y, por lo tanto, en las medidas resultantes obtenidas del

procesamiento de la imagen.

A continuación, presentamos una breve descripción de los elementos que son más

relevantes.

1.3.1. Efectos internos.

El sistema óptico. Prácticamente todas lentes presentan distorsión con simetría

radial lo cual puede provocar variaciones considerables en la magnitud medida. Por un

lado, las lentes destinadas a sistemas ópticos de medición están casi libres de distorsión.

Por otro lado, lentes de grandes ángulos, sobre todo, frecuentemente manifiestan

distorsión de varios 100 µm en los bordes de la imagen.

Las lentes de ojo de pez tienen su propia categoría; éstas, frecuentemente tienen

una distorsión extrema en los bordes. No obstante, a menudo se hace inevitable la

aparición de errores durante la fabricación de la lente, ocasionando aberraciones

manifestadas por los componentes en forma de distorsión simétrica radial y de distorsión

tangencial.

Los elementos ópticos adicionales en el camino recorrido por la luz, tales como un

filtro de barrera de IR o un filtro preservador del sensor, también pueden alterar la

imagen y deben ser considerados en la calibración de un sistema.

Los elementos de mejora de la resolución. Tanto el tamaño de la imagen como la

resolución de los sensores CCD están limitados por sus características y naturaleza.

Actualmente, en mercado se venden cámaras digitales con más de 4.000 × 4.000 elementos

del sensor. Con respecto a la estabilidad del bastidor de la cámara y la calidad de las

lentes, algunos de ellos se diseñan principalmente para mediciones, por ejemplo, la

cámara Rollei Q16 MetricCamera. Otros, usan las técnicas diseñadas para lograr una

resolución más alta cambiando los sensores comerciales en paralelo al plano de la imagen.

Básicamente, hay dos técnicas diferentes: microscanning y macroscanning.

En el caso de “el microscanning”, los sensores CCD del interline transfer son

reemplazados de modo que los elementos fotosensibles del sensor CCD caigan dentro de

los huecos entre los elementos de este tipo de sistema, dónde adquieren la información

adicional de la imagen.



Alternativamente, en “el macroscanning”, los sensores pueden cambiarse por un

múltiplo de su propio tamaño, produciendo un formato de la imagen más grande. Las

imágenes individuales se orientan entonces con respecto a la imagen global por un

sistema mecánico muy preciso u opto-numéricamente.

Todos los elementos que logran mejorar la resolución afectan a la exactitud global

del sistema de adquisición de imágenes. En los sistemas de escaneado de imágenes

individuales con correlación plenamente mecánica, la exactitud del mecanismo tiene un

efecto directo en la geometría de la imagen.

El sensor y el sistema de transferencia de señales. Debido a su diseño, los

sensores Charge-Coupled Device (CCD) normalmente ofrecen una alta exactitud

geométrica. Al analizar un sistema de adquisición de imágenes, su sensor debe evaluarse

junto con la tarjeta digitalizadora empleada.

Los errores geométricos de diferente magnitud pueden originarse durante la

conversión de A/D de la señal de video, dependiendo del tipo de sincronización, sobre

todo si la transferencia del píxel desde la cámara a su almacenamiento en la imagen no

está garantizada que se realice de forma síncrona.

Con cualquier sincronización, se hace necesario responder de un factor de

afinidad para más combinaciones del sensor de almacenamiento; en otros términos, los

píxeles pueden tener una extensión diferente en la dirección de líneas y columnas.

1.3.2. Efectos externos.

Si se usan varias cámaras online en un sistema de visión, tanto los parámetros de

ubicación interior como los de ubicación exterior pueden variar; el primero, por ejemplo,

puede ser causado por un reenfocando o por una variación de temperatura, y el último

por efectos mecánicos o fluctuaciones de temperatura.

El rango de efectos resultantes de los errores de la escala durante la medida de un

objeto da lugar a la determinación de un modelo de deformación compleja. Esto es por lo

que todos los sistemas de este tipo deben hacer posible la verificación o predeterminación

de los parámetros convenientes.



1.4. Parámetros que influyen en la calibración de una cámara.

La idea principal de calibrar una cámara es escribir las ecuaciones de proyección

uniendo las coordenadas conocidas de un conjunto de puntos en 3D con sus

correspondientes proyecciones, y resolverlas para los parámetros de la cámara. En una o

más imágenes se toma un patrón de calibración, que es un objeto en 3D de geometría

conocida y posiblemente ubicado en una posición también conocida en el espacio, y se

generan características de imagen que se pueden ubicar con precisión [Trucco y Verri,

1998]. La calibración implica el diseño de un modelo matemático para estimar los

parámetros extrínsecos e intrínsecos de la cámara dadas imágenes de un patrón de

calibración, y su precisión depende de cuán eficazmente ubiquemos los puntos en el

espacio y los puntos de referencia de la cámara. Los parámetros de calibración de una

cámara se dividen en dos tipos: Parámetros Intrínsecos y Parámetros Extrínsecos.

1.4.1. Parámetros intrínsecos.

Los parámetros intrínsecos son aquellos que definen las propiedades inherentes

de la cámara y de la óptica, es decir, aquellos involucrados en la transformación de puntos

3D en el sistema de referencia de la cámara a puntos 2D del plano imagen. Estos

caracterizan las propiedades ópticas, geométricas y digitales de la visión de la cámara que

son necesarias para unir las coordenadas en píxeles de un punto imagen con las

coordenadas correspondientes en el marco de la cámara. Estos parámetros también se

muestran en la Figura 1.5. Suelen considerarse los siete siguientes:

Distancia focal: f. Es la longitud de la lente al plano imagen.

Desplazamiento del centro de la imagen: cx y cy. Centro de imagen o

punto principal que intersecta el eje óptico de la cámara y el plano imagen.

Tamaño efectivo del píxel en dirección horizontal y vertical sx, sy (en

milímetros), que dan el aspecto de una escena tomada según el

escalamiento y los elementos receptores de la cámara. También es

conocida como la razón de aspecto α, que es igual al tamaño del píxel en

dirección horizontal entre el tamaño del píxel en dirección vertical.

Coeficientes de distorsión: k1 y k2. Se presenta debido a que por la

naturaleza de la lente o del proceso de adquisición de una imagen al captar

objetos formados por líneas rectas, estas aparecen en la imagen como

líneas curvas, es decir, representa el desplazamiento radial dependiendo de

la calidad del lente de la cámara usado y la distancia del punto en el

espacio al centro de imagen. La distorsión es un fenómeno no deseable y

más aún en modelos geométricos.



Todas estas definiciones se refieren al centro óptico del sistema de lentes. El

origen de la cámara es justamente este punto (el eje óptico es el eje que, siendo

perpendicular el plano imagen, pasa por el centro óptico). El punto principal es de hecho,

pero no en todos los casos, el píxel central de la imagen.

1.4.2. Parámetros extrínsecos.

Estos identifican la orientación y posición de la cámara con respecto a las

coordenadas mundiales. De hecho, hacen referencia a seis parámetros que definen la

posición y orientación de la cámara con respecto al sistema de referencia absoluto:

Vector de Traslación: Tx, Ty, Tz. Este vector está definido en el espacio

describiendo las posiciones relativas de los orígenes de los dos marcos de

referencia, el de la cámara y las mundiales.

Matriz de Rotación R : ángulos , , . Cuyo efecto es traer los ejes

correspondientes de los dos marcos uno sobre el otro, con la condición de

ser una matriz ortogonal IRRRRTT .

Los parámetros que definen la traslación, describen la posición de la cámara

respecto a un sistema de coordenadas absoluto que denominaremos Sistema de

Coordenadas del Mundo. Los parámetros de la rotación, análogamente, describen la

orientación adquirida por la cámara respecto al sistema del mundo. Nosotros Se pretende

enfatizar diciendo que sólo existen tres

parámetros de rotación que sean

independientes y no nueve parámetros

como podríamos pensar.

En la Figura 1.5 se muestran los

parámetros extrínsecos de una cámara

en un modelo en proyección perspectiva

en donde se identifican a ),,( www ZYX

como los ejes en coordenadas del

sistema mundial, ),,( ccc zyx como los

ejes en coordenadas de la cámara y

),( yx las coordenadas en el plano de la

imagen. Se aprecia que w0 denota la transformación de (R,T

) de los parámetros

extrínsecos para alinear los ejes del sistema coordenadas mundiales y el de la cámara, es

decir, trasladar el origen de las coordenadas mundiales con el origen de las coordenadas

de la cámara y la rotación para alinear los respectivos ejes.

Figura 1.5: Modelo de cámara en proyección perspectiva.



1.5. Distorsión de la lente.

Como resultado de imperfecciones en el diseño, pulido y ensamblado de la

estructura de las lentes que conforman un sistema óptico, la relación lineal de proyección

en perspectiva no se cumple causando un deterioro en la calidad geométrica de la imagen

y, por lo tanto, en la capacidad para medir posiciones de los objetos en ella. Estas

imperfecciones implican que la proyección observada en el plano imagen difiere de la

ideal. En las distorsiones producidas por una lente cabe considerar dos componentes: una

radial y otra tangencial.

1.5.1. Distorsión radial.

Esta deformación es producida por el radio de curvatura de la lente. Este tipo de

distorsión de la lente hace que los puntos de las imágenes se desplacen en forma radial a

partir del eje óptico. Así, un desplazamiento radial negativo indica que los puntos de la

imagen adoptan una distorsión radial en “barril”. Esto es, las líneas rectas son vistas como

líneas curvas. Por otro lado, un desplazamiento radial positivo indica que los puntos

adoptan una distorsión tipo “cojín” alargándose en los extremos de la imagen. La

distorsión no es lineal y varía en función de la distancia al centro de la imagen. Su

principal causa es un pulido defectuoso de la lente (ver Figura 1.6 y 1.7).

Figura 1.6: Distorsión en una reja rectangular. Izquierda: reja sin distorsión. Centro: distorsión tipo “barril”. Derecha: la distorsión tipo “cojín”.

Considerando la distorsión radial de las lentes y las coordenadas en el plano se

tiene:

uxd XDX

uyd YDY

donde ),( dd YX son las coordenadas reales de la imagen, esto es distorsionadas,

y ),( uu YX son las coordenadas del punto corregido.

1.5.1

1.5.2



Los términos que suponen la distorsión vienen definidos de la siguiente forma:

)( 4

2

2

1 rkrkXD dx

)( 4

2

2

1 rkrkYD dy

22

dd YXr

donde r es la distancia radial observada y los términos ki son los distintos

coeficientes de distorsión y se requiere una serie infinita de términos. Sin embargo, de

acuerdo a la experiencia con un único coeficiente se obtienen buenos resultados:

)(

)(

22

22

2

2

22

dddy

dddxYXr

dy

dx

YXYkD

YXXkD

rkYD

rkXD

dd

Por lo tanto, al coeficiente k es llamado factor de distorsión radial, el cuarto

parámetro intrínseco de la cámara. No obstante, es una práctica común emplear dos

coeficientes:

))()((

))()((

222

2

22

1

222

2

22

1

dddddy

dddddx

YXkYXkYkD

YXkYXkXkD

Distorsión del barril - 0.6% en granangular. longitud focal: 38 milímetros Distorsión del barril - 0.1% en Telephoto. longitud focal: 380 milímetros

Figura 1.7: Geometrías de distorsión radial.

1.5.2. Distorsión tangencial.

Este tipo de distorsión se introduce cuando el sistema óptico no es estrictamente

colineal. Este tipo de imperfecciones aparecen debidas al diseño de la lente y a errores en

el ensamblaje de la cámara. Su efecto sobre la imagen suele ser mucho menor que la

distorsión radial por lo que a veces este efecto no suele ser considerado.

1.5.3

1.5.4

1.5.5

1.5.6

1.5.7

1.5.8

1.5.9



1.6. Procedimiento general del método de calibración.

La calibración de la cámara es un procedimiento necesario en visión por

computador para conseguir extraer la información dimensional y geométrica de una

imagen 2D. Como ya sabemos, la calibración es el método mediante el cual se estiman los

parámetros intrínsecos y extrínsecos de la cámara, así como los parámetros del

manipulador. También es posible estimar los parámetros del modelo de distorsión del

lente de la cámara. Existen dos métodos que son extensamente empleados para la

calibración: auto-calibración (self-calibration) y calibración fotogramétrica.

La auto-calibración. Las técnicas en esta categoría no usan ningún patrón de calibración.

Simplemente moviendo una cámara en una escena estática, la rigidez de la

escena da lugar, en general, a dos restricciones en los parámetros intrínsecos

de las cámaras para un determinado desplazamiento de la cámara usando tan

sólo la información procedente de la imagen. Por consiguiente, si las

imágenes son tomadas por la misma cámara con los parámetros intrínsecos

fijos, las correspondencias entre tres imágenes son suficientes para recuperar

tanto los parámetros intrínsecos como los extrínsecos que nos permiten

reconstruir la estructura 3D. Mientras que este método de calibración es muy

flexible, no es lo suficientemente maduro todavía pues existen muchos

parámetros por estimar, y no siempre es posible obtener unos resultados

fiables.

Calibración fotogramétrica. La calibración de la cámara, que puede hacerse eficazmente,

se ha realizado observando un patrón de calibración cuya la geometría en el

espacio 3D es conocida con alta precisión. Dicho patrón consiste

habitualmente en dos o tres planos ortogonales entre sí. Aunque, a veces,

también se emplea un plano sometido a una traslación conocida (métodos

estudiados hasta ahora). Estos procedimientos requieren un aparato de la

calibración caro, y una costosa preparación del equipo.

En la auto-calibración se toman varias imágenes de una misma escena y mediante

la correspondencia entre puntos de distintas imágenes se puede encontrar los mejores

parámetros del modelo que puedan otorgar esta correspondencia. La reconstrucción 3D

realizada con el modelo encontrado está afectada, sin embargo, por un factor de escala ya

que en este método no se puede saber cual es el tamaño real de los objetos captados por

las cámaras (un objeto pequeño cerca del centro óptico puede tener la misma imagen que

el mismo objeto agrandado más cerca del plano de imagen).



Si lo que se busca es una reconstrucción 3D precisa, como es el caso de muchas de

las aplicaciones de la robótica, es recomendable utilizar la calibración fotogramétrica. Esta

calibración utiliza un objeto 3D de referencia cuya geometría es conocida a la perfección.

N puntos de interés son escogidos del objeto de referencia, obteniendo así las

coordenadas Mi = [Xi Yi Zi 1]T, para i = 1,…, N. El objeto es a continuación captado por la

cámara y sus puntos de interés son vistos como puntos 2D con coordenadas wi = [ui vi 1]T.

Teniendo un modelo de la proyección es posible obtener una estimación teórica de los

puntos 3D. De esta manera se calculan los puntos: wi = f(Mi) donde f es la función de

proyección que involucra los parámetros de la cámara, de la lente y/o del manipulador

según sea el caso. Formalmente f es una función no lineal que depende de un vector de

parámetros µ que agrupa los parámetros del modelo. Para el caso de una proyección sin

distorsión se puede usar como función de proyección f.

El problema de calibración se transforma en un problema de optimización

mediante el cual una función objetivo que mide el error entre la proyección estimada iw y

la proyección medida iw debe ser minimizada. Se deben encontrar los parámetros de la

función de proyección f de tal manera que se minimice la siguiente función objetivo:

minˆ1

)(1

N

i

ii wwN

J

Además de estas técnicas, existen otras tales como la eliminación de los puntos

que coincidan en direcciones ortogonales y como técnicas basadas en rotaciones puras o

traslaciones puras.

Como ya se mencionó anteriormente, la calibración es un método estándar para

obtener los parámetros intrínsecos y extrínsecos de la cámara cuyo fin es el de obtener

imágenes de una estructura 3D conocida y buscar el conjunto de parámetros que mejor

proyectan los puntos observados entre las coordenadas del mundo tridimensional y las

coordenadas del píxel correspondiente.

Aunque existe una gran variedad de métodos y técnicas para la calibración de una

cámara, el procedimiento fundamental coincide para cada técnica y método diseñado.

Los pasos fundamentales de un proceso de calibración son los tres siguientes:

1. Determinar de forma precisa un cierto número de puntos 3D.

2. Definir sus correspondientes proyecciones en la imagen 2D.

3. Obtener los parámetros que mejor se adecuan a la correspondencia entre

unos y otros.



Para la realización de los dos primeros pasos se requiere conocer un conjunto de

puntos tridimensionales y sus respectivas proyecciones en la imagen. Estos son

denominados comúnmente puntos de calibración. Su disposición dependen del tipo de

método empleado para la calibración pues pueden, por ejemplo, ser coplanarios o no.

Para realizar el proceso de calibración mediante puntos coplanarios, comúnmente,

uno de los objetos más simples es un objeto o patrón de calibración plano, como el que

se muestra en la Figura 1.8. El plano de calibración

consiste de 49 marcas circulares sobre un fondo

blanco situadas dentro de un margen negro. La

distancia entre los centros de las marcas es de 1.25

cm y la distancia entre los bordes del margen es de

10 cm. Para facilitar el posicionamiento de los

puntos, y siempre que sea posible, el patrón de

calibración se coloca de forma paralela al plano XY

del sistema del mundo, lo cual implica que todos

ellos tengan la misma cota.

Para el caso de un conjunto de puntos no coplanarios el sistema es análogo

exceptuando porque el sistema emplea ahora varias plantillas en vez de una en diferentes

planos.

Figura 1.9: Plantilla de puntos no coplanarios. Izq: Dos planos. Der: Tres planos.

Figura 1.8: Plantilla de puntos coplanarios.



Las características que, según el criterio descrito por Javier González Jiménez en su

libro Visión por Computador, debe verificar una técnica de calibración son, básicamente, las

que vienen expuestas a continuación:

Autonomía: Cualquier procedimiento de calibración diseñado no debería

necesitar de la intervención de un operador, es decir, una buena

técnica debe prestarse a ser traducida a un algoritmo de forma que

el proceso de calibración pudiera automatizarse. Este

inconveniente se contempla, por ejemplo, cuando es necesario

proporcionar estimaciones iniciales o seleccionar ciertos

parámetros de manera mensual para la determinación de los cuales

es preciso la intervención de un operador.

Precisión: Gran cantidad de aplicaciones requieren una precisión enorme.

Estas aplicaciones, tales como la inspección de tolerancias

mecánicas, ensamblado o calibrado de un brazo robot,… necesitan

de una técnica de calibración capaz de poder alcanzar tales

requisitos.

Eficiencia: Al decir eficiencia nos referimos, principalmente, a eficiencia en

cuanto a carga computacional o número de operaciones realizadas

por el ordenador. Por tanto, el método de calibración al completo

no debería, en ninguno de los caso, incluir procedimientos de

coste computacional elevados.

Versatilidad: Finalmente, podríamos exigir a nuestro sistema de calibración que

su funcionamiento o manera de operar fuera uniforme y

autónomo en un amplio rango de funcionamiento en lo referente

a la aplicación, a las ópticas empleadas, a los niveles de precisión,…

Capítulo 2 Planteamiento matemático


PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO GEOMETRÍA DE LA FORMACIÓN

DE IMÁGENES

Para poder afrontar de una forma segura y clara la teoría orientada a la calibración

de cámaras necesitamos un respaldo matemático que viene detallado en el presente

capítulo 2. Puesto que la calibración de una cámara es un proceso donde debemos tener

conocimientos de la posición y orientación de la misma, es necesario que conozcamos,

antes de empezar a analizar las técnicas y tecnologías existentes, las transformaciones

básicas que pueden realizarse en el espacio ya sean traslaciones, rotaciones, escalados,…

Gracias a los conocimientos adquiridos a lo largo de la asignatura de Control de

Robots en 4º de Ingeniería Industrial reforzadas con los conceptos estudiados en Visión

por Computadora del MTIT, éstas bases necesarias para poder estudiar este texto ya son

conocidas por el estudiante. Efectivamente, en robótica las transformaciones en

coordenadas homogéneas son muy empleadas para el análisis de la estructura y

funcionamiento de un robot.

A continuación, se aborda el problema de la proyección de los objetos de la escena

en el plano imagen donde se presentan varias transformaciones importantes empleadas

en el estudio de la imagen y desarrollo de un modelo de cámara. En este estudio se

considera que la proyección se realiza mediante una transformación perspectiva.

CAPÍTULO 2



2.1. Algunas transformaciones básicas.

En este subapartado se presenta una representación unificada para problemas

como la rotación de la imagen, el cambio de escala y la traslación de objetos en el espacio.

Todas las transformaciones se expresan en un sistema cartesiano tridimensional en el cual

un punto posee unas coordenadas denotadas con letras mayúsculas [ ]TZYX ,, . En los

casos que impliquen imágenes bidimensionales, las coordenadas de un píxel se

representaran con letras minúsculas [ ]Tyx, .

2.1.1. Coordenadas homogéneas.

Las coordenadas homogéneas de un punto con coordenadas cartesianas [ ]TZYX ,,

se definen como [ ]TkZkYkXk ,,, ⋅⋅⋅ , donde k es una constante arbitraria distinta de

cero. En el caso de que 0=k las coordenadas determinan un vector en el infinito y, por

tanto, no definen una dirección.

La conversión de coordenadas homogéneas a coordenadas cartesianas se realiza

fácilmente dividiendo las tres primeras coordenadas homogéneas por la cuarta. Un punto

del sistema de coordenadas cartesiano real se expresa en forma vectorial como:

=Z

Y

X

w

mientras que su homogénea viene dada por:

=

k

kZ

kY

kX

wh

2.1.2. Traslación.

Las coordenadas de un punto cualquiera [ ]TZYX 222 ,, tras haber sufrido una

traslación de [ ]TZYX 000 ,, vienen dadas por:

012

012

012

ZZZ

YYY

XXX

+=+=+=

donde [ ]TZYX 111 ,, son las coordenadas del punto antes de realizar la traslación.

2.1.1

2.1.2

2.1.3



Este sistema de ecuaciones puede expresarse de forma matricial como:

⋅

=

1

1

1

0

0

0

2

2

2

100

010

001

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Para simplificar y facilitar la notación necesaria en la representación de varias

transformaciones (y por otros motivos que no serán analizados en este trabajo) se emplean

matrices cuadradas, quedando de esta forma la expresión anterior:

⋅=

⇒

⋅

=

1111000

100

010

001

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

0

0

0

2

2

2

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

T

donde T es la matriz de traslación y [ ]TZYX 000 ,, es el vector de traslación.

2.1.3. Escalado.

Las coordenadas de un punto que ha sido escalado a raíz de los factores Sx, Sy y Sz

en los ejes ZYX ,, respectivamente vienen dadas por:

z

y

x

SZZ

SYY

SXX

⋅=⋅=⋅=

12

12

12

Escribiendo en forma matricial donde S es la matriz de escalado:

⋅=

⋅

=

111000

000

000

000

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

Z

Y

X

SZ

Y

X

Sz

Sy

Sx

Z

Y

X

Si se pretende realizar un escalado uniforme en el que los tres ejes se escalan por

el mismo factor, es decir zyx SSS == , se puede utilizar la matriz de transformación:

S1000

0100

0010

0001

donde S es el factor de escalado elegido.

2.1.4

2.1.6

2.1.5

2.1.7

2.1.8



2.1.4. Rotación.

Se considera un vector cuyo extremo viene dado por las coordenadas [ ]TZYX 111 ,,

como muestra la Figura 2.1.

Figura 2.1: Rotación alrededor del eje Z.

donde R indica la longitud de dicho vector y φ el ángulo del vector con el eje X:

φφ

RsenY

RX

==

1

1 cos

Supongamos que el vector se rota un ángulo θ alrededor del eje Z en sentido

anti-horario. Las nuevas coordenadas [ ]TZYX 222 ,, del punto después de la rotación se

pueden expresar en función de sus coordenadas iniciales y del ángulo de rotación:

( )( ) φθφθφθ

φθφθφθsenRRsenRsenY

senRsenRRX

coscos

coscoscos

2

2

+=+=−=+=

Sustituyendo las dos primeras ecuaciones:

θθθθ

cos

cos

112

112

YsenXY

senYXX

+=−=

En forma matricial:

=

−

=

−

111000

0100

00cos

00cos

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

Z

Y

X

RZ

Y

X

sen

sen

Z

Y

X

Z

θθθθθ

donde ZR θ− es la matriz de rotación. El superíndice indica el eje de rotación y el

subíndice el ángulo en sentido de las agujas del reloj.

2.1.9

2.1.10

2.1.11

2.1.12

[ ]TZYX 111 ,,

[ ]TZYX 222 ,,



Otra forma de obtener la matriz de rotación es considerando dos sistemas de

coordenadas X, Y, Z y U, V, W (vectores unitarios) como muestra la Figura 2.2. Rotando

el sistema de coordenadas UVW alrededor del eje Z con un ángulo θ, se observa que el eje

W permanece fijo con el eje Z sin embargo, los ejes U y V han cambiado. Las nuevas

coordenadas del sistema U’, V’, W’ pueden escribirse en función del sistema X, Y, Z.

Figura 2.2: Sistemas de coordenadas XYZ y UVW. Figura 2.3: Sistema U’V’W’.

El vector U’ tiene dos componentes, una a lo largo del eje X y otra a lo largo del

eje Y, por tanto, el nuevo vector U’ viene dado por [ ]T0),sen(),cos( θθ . Del mismo modo

se obtiene las componentes del vector V’ [ ]T0),cos(),sen( θθ− . Como el vector W no ha

cambiado, permanece con las coordenadas [ ]T1,0,0 . La matriz de rotación se puede

obtener situando las coordenadas de U’, V’ y W’ en la primera, segunda y tercera

columna y la cuarta columna estará compuesta por [ ]T1,0,0,0 .

Luego,

−=

−

=−

1000

0100

00cos

00cos

1000

0100

00cos

00cos

θθθθ

θθθθ

θθsen

sen

Rsen

sen

R ZZ

Realizando el mismo procedimiento se obtiene la transformación de un punto

sobre el eje Y con un ángulo β (sentido horario):

−

=

−

=−

1000

0cos0

0010

00cos

1000

0cos0

0010

00cos

ββ

ββ

ββ

ββ

ββsen

sen

Rsen

sen

R YY

2.1.13

2.1.14



Finalmente, la rotación de un punto con un ángulo α alrededor de X se realiza

empleando la transformación:

−=

−=−

1000

0cos0

0cos0

0001

1000

0cos0

0cos0

0001

αααα

αααα

ααsen

senR

sen

senR XX

Figura 2.4: Rotación de un punto sobre cada uno de los ejes de coordenadas.

2.1.5. Concatenación y transformación inversa.

La aplicación de varias transformaciones se puede representar mediante una única

matriz de transformación que contenga la traslación, rotación y escalado.

Por ejemplo, la matriz de transformación de un punto que ha sufrido una

traslación, rotación y escalado viene dada por:

( ) AVVTSR =⋅⋅θ

donde A es la matriz de transformación. El orden en que se produce las sucesivas

transformaciones es importante ya que la multiplicación de matrices no es una operación

conmutativa.

La siguiente expresión representa la estructura de una transformación resultado

de la concatenación de una matriz de rotación R de dimensión 3 x 3, una matriz de

traslaciónTr

de 3 x 1 y una matriz S de dimensión 1 x 1 que realiza el escalado uniforme

del vector al que se aplica A.

=

S

TRA

0

2.1.15

2.1.16

2.1.17



Para poder realizar la transformación inversa es importante obtener la matriz

inversa de una matriz compuesta a partir de las inversas de las transformaciones

elementales de rotación, traslación y escalado. Por tanto, para la transformación A se

obtiene:

1111 −−−− = θRSTA

donde:

=−

S

S

000

0100

0010

0001

1

−−−

=−

1000

100

010

001

0

0

0

1

Z

Y

X

T

−−−−−

=−

1000

0100

00)cos()(

00)()cos(

1θθθθ

θsen

sen

R

2.1.18

2.1.18A

2.1.18B

2.1.18C



2.2. Proyecciones.

2.2.1. Proyección de perspectiva.

También conocida como proyección central, es la proyección de un punto del

espacio tridimensional en una superficie bidimensional por medio de líneas rectas que

pasan a través de un punto, llamado centro óptico o de proyección. La proyección de

perspectiva modela la formación de imágenes en una cámara pin-hole. Este modelo de

proyección no distorsiona los objetos en la proyección, sino que éstos se proyectan

invertidos y escalados de acuerdo con un factor dado por la distancia focal f.

En la Figura 2.5 se muestra un modelo de formación de imágenes. Definimos el

sistema de coordenadas de la cámara ),,( zyx de forma que el plano de la imagen coincida

con el plano xy y que el eje óptico (el que pasa por el centro óptico) coincida con el eje z.

Así el centro de la imagen es el origen de coordenadas y el centro de la lente tiene como

coordenadas [ ]Tf,0,0 . En esta sección suponemos que el sistema de coordenadas de la

cámara está alineado con el sistema de coordenadas absoluto.

Figura 2.5: Modelo básico del proceso de formación de imágenes.

Sean X, Y, Z las coordenadas absolutas de cualquier punto de una imagen en 3D y

suponiendo que Z es mayor que f, se obtiene la siguiente relación (mediante triángulos

semejantes) que nos da las coordenadas x e y de la proyección del punto X, Y, Z en el

plano imagen:

fZ

Y

f

y

fZ

X

f

x

−−=

−−=

donde los signos negativos indican que los puntos de la imagen son invertidos.

2.2.1B2.2.1A



Por tanto, las coordenadas sobre el plano imagen del punto proyectado:

Zf

fYy

Zf

fXx

−=

−=

Como se puede observar, estas ecuaciones no son lineales al aparecer divisiones

por la variable Z. Es habitual expresar dichas ecuaciones en coordenadas homogéneas. Las

coordenadas homogéneas de un punto cuyas coordenadas cartesianas son [ ]TZYXw ,,=

vienen dadas por [ ]Th kZkYkXkw ,,, ⋅⋅⋅= donde k es una constante arbitraria distinta de

cero.

Definiendo la matriz de transformación de perspectiva como:

−

=

1100

0100

0010

0001

f

P

El producto de dicha matriz por el vector expresado en coordenadas homogéneas

viene dado por:

+−=

−

==

kf

kZkZ

kY

kX

k

kZ

kY

kX

f

Pwc hh

1100

0100

0010

0001

Los elementos de ch son las coordenadas de la cámara en forma homogénea.

Dividiendo cada uno de los tres componentes de ch por el cuarto, se obtiene las

coordenadas de cualquier punto en el sistema de coordenadas de la cámara:

−

−

−

=

=

Zf

fZ

Zf

fY

Zf

fX

z

y

x

c

La transformación de perspectiva inversa proporciona los puntos de la imagen al

espacio tridimensional:

hhhh cPwPwc 1−=→=

2.2.2B2.2.2A

2.2.3

2.2.4

2.2.5

2.2.6



donde:

=

1100

0100

0010

0001

f

P

−

=−

1100

0100

0010

0001

1

f

P

Supongamos que un punto dado en la imagen tiene coordenadas [ ]Tyx 0,, 00 .

Dicho punto se puede expresar en forma de vector homogéneo como:

=

k

ky

kx

ch0

0

0

Luego, el vector de coordenadas absolutas homogéneas:

=

k

ky

kx

wh0

0

0

O bien en coordenadas cartesianas,

=

=0

0

0

y

x

Z

Y

X

w

Esto no es obviamente lo esperado, ya que se obtiene Z = 0 para cualquier punto

tridimensional. Este problema es causado por el hecho de que proyectar un conjunto de

puntos en el plano de la imagen es una transformación "varios a uno". El punto de la

imagen ),( 00 yx corresponde al con junto de puntos tridimensionales colineales que se

encuentran en la línea que pasa por [ ]Tyx 0,, 00 y [ ]T

f,0,0 . La ecuación de esta recta en el

sistema de coordenadas absoluto es,

)(

)(

0

0

Zff

yY

Zff

xX

−=

−=

2.2.7

2.2.8

2.2.9

2.2.10

2.2.11A

2.2.11B



Estas ecuaciones muestran que a menos que se conozca algo sobre el punto

tridimensional que generó un punto de imagen dado (por ejemplo su coordenada Z), no

podemos recuperar completamente el punto tridimensional a partir de su imagen. Esta

observación, se puede usar como una manera de formular una transformación de

perspectiva inversa usando simplemente la componente z de ch como una variable libre

en vez de ponerla a cero. Así suponiendo,

=

k

kz

ky

kx

ch

0

0

De la ecuación

hhhh cPwPwc 1−=→=

se obtiene

+

=

kf

kzkz

ky

kx

wh

0

0

que después de convertirse a coordenadas cartesianas, da como resultado,

+

+

+

=

=

zf

fz

zf

fy

zf

fx

Z

Y

X

w 0

0

Dicho de otro modo, tratando a z como una variable libre obtenemos,

zf

fzZ

zf

fyY

zf

fxX

+=

+=

+=

0

0

2.2.12

2.2.13

2.2.14

2.2.15

2.2.16A

2.2.16C

2.2.16B



Despejando z en la última ecuación y sustituyendo,

)(

)(

0

0

Zff

yY

Zff

xX

−=

−=

que resulta congruente con la observación ya mencionada de que recuperar un

punto tridimensional partiendo de su imagen y usando la transformación de perspectiva

inversa requiere el conocimiento de cómo mínimo una de las coordenadas absolutas del

punto.

Comentario:

Como la imagen aparece invertida es costumbre utilizar en su lugar una

configuración geométricamente equivalente para conseguir que la imagen se sitúe en el

mismo lado del centro de proyección tal y como se muestra en la siguiente figura:

Figura 2.6: Transformación de perspectiva equivalente a la mostrada en la Figura 2.5.

Por semejanza de triángulos

2.2.17A

2.2.17B



Z

fYy

Z

fXx

=

=

2.2.18A

2.2.18B



2.2.2. Proyección ortográfica.

La proyección ortográfica es la proyección de una entidad tridimensional sobre un

plano por un conjunto de rayos paralelos ortogonales a este plano. En la figura se tiene

que Xx = e Yy = donde de nuevo ),( YX y ),( yx denotan las coordenadas del objeto y la

imagen respectivamente. Esta proyección es útil para la representación de la orientación

de cada vector perpendicular a una superficie en lo que se conoce como espacio

gradiente.

Figura 2.7: Proyección ortográfica.

Considerar la geometría de proyección de perspectiva de la Figura 2.6. A medida

que el objeto se aleja del centro óptico a lo largo del eje z, la imagen se hace más pequeña.

Y el factor de reducción f/Z en las ecuaciones de proyección de perspectiva se disminuye

la sensibilidad al parámetro Z. Esto es, f/(Z+∆Z) tiende a tomar un valor próximo a f/Z a

medida que Z/∆Z tiende a ser grande, esto significa que la distancia a la que se encuentra

un objeto Z es grande con relación al rango de distancias en el propio objeto ∆Z. Esta

aproximación de f/Z en lugar de f/(Z+∆Z) es válida siempre que la distancia a la que se

encuentra un objeto es grande con relación al rango de distancias en el propio objeto.

Para que la proyección de perspectiva pueda aproximarse por proyección ortográfica hasta

un factor de escala uniforme se han de cumplir dos condiciones:

1. El objeto debe situarse próximo al eje óptico.

2. Las dimensiones del objeto deben ser pequeñas.

Los términos próximo y pequeño se toman con respecto a la distancia del objeto a

partir del centro de proyección. La Figura 2.8 ilustra la aproximación de proyección de

perspectiva como un proceso de dos pasos: proyección ortográfica sobre un plano

próximo al objeto y paralelo al plano de la imagen y luego proyección de perspectiva sobre

el plano de la imagen.



Figura 2.7: Aproximación de la proyección de perspectiva por proyección ortográfica

2.2.3. Proyección paralela.

La proyección paralela es una generalización de la proyección ortográfica en la que

el objeto se proyecta sobre el plano de la imagen por un conjunto de rayos paralelos que

no son necesariamente ortogonales a este plano.

La proyección paralela, como la proyección ortográfica, es una transformación

lineal en el espacio tridimensional. La proyección paralela proporciona también una

aproximación conveniente para la proyección de perspectiva hasta un factor de escala

uniforme.

La proyección de perspectiva puede aproximarse por proyección paralela hasta un

factor de escala uniforme siempre que las dimensiones del objeto sean pequeñas

comparadas con la distancia media del objeto al centro óptico. La dirección de proyección

paralela es a lo largo de la dirección media de proyección de perspectiva. Cuando el

objeto además de ser pequeño está próximo al eje óptico, la dirección de proyección

paralela puede tomarse a lo largo del eje óptico, y en este caso obtendríamos proyección

ortográfica.



2.3. Modelo de la cámara.

La transformación de perspectiva relaciona las coordenadas del mundo con las

coordenadas de la imagen cuando la cámara se encuentra en el origen de coordenadas del

mundo. Sin embargo, en la realidad necesitamos trasladar y rotar la cámara para obtener

la imagen deseada de un objeto.

En un modelo simplificado asumimos que al principio la cámara se encuentra en

el origen de coordenadas del mundo, luego es trasladado mediante la matriz

G(X0, Y0, Z0), rotado alrededor del eje Z con un ángulo θ en de las agujas del reloj y

entorno al eje X con un ángulo φ en sentido horario y posteriormente trasladado por la

matriz C(r1, r2, r3). En este caso, las coordenadas homogéneas del mundo wh están

referidas a las coordenadas de la cámara ch de la siguiente manera:

h

ZX

h GWRPCRC θφ=

donde

−

=

1100

0100

0010

0001

f

P

−−−

=

1000

100

010

001

0

0

0

Z

Y

X

G

−−−

=

1000

100

010

001

3

2

1

r

r

r

C

−=

1000

0100

00cos

00cos

θθθθ

θsen

sen

RZ

−=

1000

0cos0

0cos0

0001

φφφφ

φsen

senR X

Nótese que las transformaciones inversas para la traslación y rotación son usadas

aquí. Esto es porque el sistema de coordenadas ligado a la cámara es el que se traslada y

rota en vez del objeto. Luego, las coordenadas cartesianas de la imagen son las siguientes:

frZZsenYYsensenXX

rsenZZYYsenXXfy

frZZsenYYsensenXX

rsenYYXXfx

++−−−+−−−−+−+−−=

++−−−+−−−−+−=

3000

2000

3000

100

cos)(cos)()(

)(coscos)(cos)(

cos)(cos)()(

)(cos)(

φφθφθφφθφθ

φφθφθθθ

2.3.1

2.3.2



2.4. Recuperación de los parámetros de la cámara.

Un problema interesante es recuperar los parámetros de una cámara. Por ejemplo,

dada una fotografía tomada por una cámara desde una posición desconocida la cual ha

sido cortada o ampliada, ¿cómo podemos determinar la posición de la cámara y su orientación, y

la medida en la que ha sido cortada o ampliada? Este tipo de aplicaciones son frecuentes en

diversas áreas. Por ejemplo, en navegación autónoma, un misil podría obtener la matriz

de transformación de la cámara que define la posición del vehículo. Otra aplicación sería

el monitorizar el área de trabajo de un brazo robot mediante una cámara estacionaria con

la que se determinaría la posición en la que se encuentra el brazo. Los parámetros de la

cámara se pueden obtener a partir de su matriz de transformación, y la posición y

orientación del manipulador en función de la cámara estacionaria.

2.4.1. Localización de la cámara.

Considérese un punto 3D X1 con coordenadas (X1, Y1, Z1,1). Si la matriz A de la

cámara es conocida se puede determinar las coordenadas de la imagen de un punto de la

siguiente manera, U1=A·X1 donde U1=(ch1 , ch2, ch3, ch4). Multiplicando U1 por la inversa

de A obtendremos el vector X1. Si ponemos ch3 = 0 entonces, U1’=(ch1 , ch2, 0, ch4),

realizando la misma multiplicación obtendremos nuevas coordenadas X11 que se

encuentran en la línea que une X1 con el centro de proyección L.

'

1

1

11 UX ⋅= −A

Del mismo modo, podemos coger otro punto X2(X2, Y2, Z2) y generar X21, el cual

se encontrará en la línea que pasa por X2 y el centro de proyección. Ahora, podemos

determinar fácilmente L mediante la intersección de ambas líneas.

2.4.2. Orientación de la cámara.

La orientación de la cámara se define como la orientación del plano imagen. A

medida que el objeto se acerca a la lente su imagen se sitúa más lejos, a lo largo del eje Y,

del centro de la imagen. Cuando el objeto se encuentre en la lente, la imagen se formará

en el infinito. La única forma de que la imagen de un punto infinito se forme en el

infinito es que la cuarta componente de las coordenadas homogéneas sea cero, es decir:

⋅=

10

3

2

1

Z

Y

X

C

C

C

h

h

h

A 2.4.2

2.4.1



La última ecuación proporciona la siguiente restricción en la orientación de la

cámara:

044434241 =+++ aZaYaXa

Dicha ecuación pertenece a un plano que pasa por la lente L paralelo al plano

imagen. De esta ecuación queda claro que (a41, a42, a43) es el vector normal al plano

imagen y paralelo a la cámara.

La orientación en función de una rotación θ (sentido horario) alrededor del eje X,

seguido de otra rotación φ alrededor del eje Y viene dada por:

2

43

2

42

2

41

41

43

42

aaa

aarcsen

a

aarctg

++

−=

−=

φ

θ

2.4.3

2.4.4

2.4.5

Capítulo 3 Técnicas y Tecnologías Existentes


TECNOLOGÍAS Y TÉCNICAS EXISTENTES

Esta sección introduce al conocimiento de varias técnicas para la estimación de los

parámetros intrínsecos y extrínsecos de una cámara, proceso comúnmente conocido con

el nombre de calibración geométrica de una cámara. Concretamente, toda la teoría

desarrollada en este capítulo va dirigida a la computación de los parámetros intrínsecos y

extrínsecos de una cierta cámara según una matriz de transformación que puede adoptar

varias formas dependiendo la naturaleza de la técnica de calibración:

• Método de calibración del cálculo de la matriz de transformación perspectiva.

• Método de calibración de los dos planos.

• Método de calibración de Tsai.

− Enmienda del método de calibración de Tsai realizada por Ayache.

− Enmienda del método de calibración de Tsai realizada por Song de Ma.

• Método de calibración de Zhang.

• …

Sin adentrarnos todavía en tales técnicas de calibración, en este apartado todavía

de carácter introductorio, daremos nuestros primeros pasos en un proceso de calibración

concreto e ideal que expondremos a continuación.

CAPÍTULO 3



Precisamente, supongamos que la cámara observa n entidades geométricas tales

como puntos o líneas cuyas posiciones son conocidas y se encuentran fijadas en el

Sistema de Coordenadas del Mundo.

Una vez la cámara ha sido calibrada, es posible establecer una cierta relación con

cualquier punto de la imagen de la cual nos estamos valiendo para, por ejemplo, la

realización de una operación llevada a cabo por un brazo robótico, el dimensionamiento

de un objeto, el control de calidad de una cadena de producción,… Esta relación con

cualquier punto de la imagen queda perfectamente definida mediante la recta de

proyección que pasa a través de dicho punto y el centro óptico de la cámara, y que

conduce a mediciones cuantitativas tridimensionales a partir de imágenes digitalizadas.

Un método de calibración de cámaras conceptualmente sencillo e intuitivo que,

llegados a este punto, puede plantearse, consiste en medir y almacenar los parámetros de

la recta de proyección de cada píxel de la imagen. No obstante, este método produciría

una tabla de consulta excesivamente grande, lo cual llevaría consigo una serie de

impedimentos relacionados con la velocidad de procesamiento de datos.

Utilizando éste método, dado un píxel, un simple indexado proporcionaría la

recta de proyección de dicho píxel, resolviendo con precisión el problema de la

proyección perspectiva inversa.

Efectivamente, si deseamos saber cual es la recta de proyección de un determinado

píxel (x*,y

*) lo único que hemos de hacer es obtener la información almacenada en dicha

posición tal y como viene mostrado en la Figura 3.1.

Figura 3.1: Proceso de ejecución del problema de la proyección perspectiva inversa.

A pesar de la simplicidad de la resolución del problema de la proyección

perspectiva inversa, existe un problema respecto a la resolución de la proyección directa

pues ésta no es tan simple ni precisa, ya que necesitaría recorrer la tabla hasta encontrar la

recta de proyección que pasase más cerca del punto en cuestión. Obviamente, estas

circunstancias comportarían una elevada carga computacional asociada a cada búsqueda.

Deseamos saber los parámetros de la

recta de proyección

del píxel (x* , y*)

Un simple indexado

proporciona la recta de

proyección del píxel del

cual deseábamos

Buscamos la

posición (x* , y*)

f(x* , y*)

cx,(x* , y*) cy,(x* , y*)

k1,(x* , y*) k2,(x* , y*)

Tx Ty Tz α β γ



Figura 3.2: Proceso de ejecución del problema de la proyección perspectiva directa.

Puesto que esta tabla de calibración puede llegar a ser tremendamente costosa de

operar, una posible solución sería almacenar una cantidad menor de píxeles e interpolar

entre los píxeles seleccionados. Caso de que el error en la interpolación fuese menor que

el error de medida no se perdería precisión con respecto a la tabla completa.

Fundamentalmente, la mayoría de los métodos de calibración desarrollados hasta

hoy día se basan en esta aproximación, es decir, escogen unos pocos píxeles de la imagen

y calculan los parámetros de la función de interpolación.

Las diferencias entre los distintos enfoques radican en la forma de la función de

interpolación y en la técnica matemática utilizada para determinar los parámetros. En las

diversas secciones del capítulo 3, se describirán algunas de las más empleadas.

Figura 3.3: Fotografía de una cámara mientras está siendo calibrada.

Deseamos saber los

parámetros de la recta de proyección

del píxel (x* , y*)

Una exhaustiva

búsqueda para hallar la

recta de proyección más

cercana a la deseada

Buscamos la

posición (x* , y*)

f(x* , y*)

cx,(x* , y*) cy,(x* , y*)

k1,(x* , y*) k2,(x* , y*)

Tx Ty Tz α β γ



En esta sección, principalmente se discuten dos métodos clásicos para calibración

de una cámara. Ambos métodos, que son los más populares dentro de la literatura, se

encuentran catalogados dentro del grupo de m de calibración de aquellas que realizan el

proceso basadas en una o más imágenes de un patrón de calibración.

Obviamente, la precisión de ambos métodos va de la mano con la precisión de las

mediciones realizadas del patrón de calibración, además de que la calibración de la

cámara implica la estimación de sus parámetros intrínsecos y de su orientación y posición.

Una técnica de calibración directa, recupera directamente los parámetros extrínsecos e

intrínsecos de la cámara mientras calibración basada en la matriz de proyección [Trucco

E. y Verri A., 1998], calcula los parámetros de la cámara como funciones en lazo cerrado

de las entradas de una matriz de proyección.

Existen otros métodos que a diferencia de los dos anteriores suponen que los

parámetros intrínsecos de la cámara son conocidos, por lo que se enfocan en hacer

únicamente la estimación de su posición y orientación.



3.1. Método de calibración del cálculo de la matriz de transformación perspectiva.

En el modelo de proyección

perspectiva descrito en el capítulo

anterior, la imagen de un punto del

espacio es la intersección con el

plano imagen de la recta que pasa

por el propio punto y por el centro

óptico de la cámara. Y es por el

centro óptico, lógicamente, por

donde pasarán todas las rectas de

proyección. De acuerdo con la ecuación 2.1 de la sección anterior se tiene lo siguiente:

hh wcrr ⋅⋅⋅⋅= GRCP

Un punto del espacio hwr

en coordenadas homogéneas absolutas (respecto al

sistema XYZ ) se proyecta según una matriz de transformación A, de tamaño 4×4, que es

función de los parámetros intrínsecos (sólo la distancia focal en este caso) y da lugar a las

coordenadas de un punto proyectado en la imagen. El vector hcr

se refiere a coordenadas

homogéneas vinculado al punto vista de la cámara.

Como se muestra en la ecuación anterior, la resolución de dicha igualdad requiere

el conocimiento de la distancia focal, las posiciones y los ángulos según ambos planos

(pan y tilt):

),,(),(),,()( 000 ZYXtttf zyx GRCPA ⋅⋅⋅= αθ

Aunque estos parámetros podrían medirse directamente, a menudo es más

conveniente (sobre todo cuando la cámara varía de posición frecuentemente) determinar

uno o más de estos parámetros empleando la propia cámara como instrumento de

medida. Esto requiere un conjunto de puntos de la imagen cuyas coordenadas espaciales

sean conocidas y, asimismo, un procedimiento de cálculo empleado para obtener los

parámetros de la cámara utilizando tales puntos conocidos.

Si despejamos la expresión que relaciona la matriz A con las matrices P, C, R y G

de la ecuación 3.1.1, sabemos que los elementos de A contienen todos los parámetros de

la cámara y, de esa misma ecuación, conocemos la relación entre plano imagen y plano

fotografía:

hh wcrr ⋅= A

3.1.1

3.1.2

3.1.3

X Y

Z

(X,Y,Z)

(xi,yi)

Espacio Objeto

Plano Imagen

Centro óptico

de la lente

Figura 3.4: Esquema del modelo de la cámara.

x

y



3.1.1. Desarrollo matemático generalizado.

Haciendo k = 1 en la representación homogénea, se tiene lo siguiente:

[ ] [ ]Th

kT

h ZYXwkkZkYkXw 11 =→= = rr

Además del resultado anterior obtenido, por un lado, conocemos la forma general

de las coordenadas desde un punto vista de la cámara (ya formulada en el capítulo

anterior) y, por otro lado, podemos representar la matriz A de forma general:

⋅

=

⇒⋅=

144434241

34333231

24232221

14131211

4,

3,

2,

1,

Z

Y

X

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

c

c

c

c

wc

h

h

h

h

hh

rrA

Recuérdese que la cuarta componente del vector hcr

es un factor de escala por el

cual hay que dividir las primeras dos componentes de modo que sea posible pasar de

coordenadas homogéneas a coordenadas cartesianas. Llevando a cabo el escalado y

apoyándonos en las representaciones del planteamiento matemático, las coordenadas de

la cámara en forma cartesiana quedarían del siguiente modo:

4,2,

4,

2,

4,1,

4,

1,

hh

h

h

hh

h

h

cycc

cy

cxcc

cx

⋅=⇒=

⋅=⇒=

Sustituyendo los dos valores obtenidos en las ecuaciones 3.1.6A y 3.1.6B en el

sistema matricial (definido anteriormente en la expresión 3.1.5) y desarrollando el

producto matricial se obtiene lo siguiente:

444342414,

242322214,

141312114,

44434241

34333231

24232221

14131211

4,

3,

4,

4,

1 aZaYaXac

aZaYaXacy

aZaYaXacx

Z

Y

X

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

c

c

cy

cx

h

h

h

h

h

h

h

+++=

+++=⋅

+++=⋅

→

→

→

⋅

=

⋅

⋅

donde la tercera de estas componentes (la que se establece en la dirección del eje

de la cámara) puede ser descartada puesto que, en este caso, no tiene ningún significado

(a priori). Las otras dos ch,1 y ch,2 están relacionadas con las coordenadas en la imagen del

punto proyectado x e y.

3.1.6A

3.1.6B

3.1.7

3.1.8

3.1.9

3.1.5

3.1.4



Aclaración.

Se ha omitido el desarrollo de ch,3 a causa de estar relacionado con el eje z y,

además, “por carecer de sentido el estudio de la componente z de una imagen 2D”. En un

principio esta afirmación puede parecer aberrante puesto que realmente sí tiene sentido

estudiar la profundidad de un objeto que aparece en una imagen 2D; no obstante, puesto

que estamos realizando el estudio de la calibración de cámaras y no el estudio concreto y

ceñido a la determinación de profundidades de objetos que aparecen en una imagen,

obviaremos este hecho y continuaremos con nuestro desarrollo matemático.

La sustitución de ch,4 3.1.9 en las dos primeras ecuaciones anteriores 3.1.7 y 3.1.8

proporciona dos nuevas ecuaciones con 12 incógnitas:

[ ][ ] 2423222144434241

1413121144434241

aZaYaXaaZaYaXay

aZaYaXaaZaYaXax

+++=+++⋅+++=+++⋅

0

0

4443424124232221

4443424114131211

=−−−−+++

=−−−−+++

yayZayYayXaaZaYaXa

xaxZaxYaxXaaZaYaXa

Desarrollando la ecuación 3.1.10 para un punto del espacio i en concreto se tiene

que, para su píxel correspondiente, existe un sistema de 2 ecuaciones y 12 incógnitas:

0

0

4443424124232221

4443424114131211

=−−−−+++=−−−−+++

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

donde Pi = (Xi, Yi, Zi) es el punto del espacio y pi = (xi, yi) su proyección en la

imagen, ambos conocidos. La proyección inversa viene dada por la recta de intersección

de los dos planos dados en la ecuación anterior, cuyos coeficientes son los elementos de la

matriz A. Si deseamos obtener la forma matricial de dicho sistema de ecuaciones hemos

de hacer lo siguiente:

=

⋅

−−−−−−−−

0

0

10000

00001

44

43

42

41

24

23

22

21

14

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

yZyYyXyZYX

xZxYxXxZYX

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

3.1.10

3.1.11

3.1.12



Se puede reconocer que tras este sistema de ecuaciones de la expresión anterior se

esconden 12 incógnitas (a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a41, a42, a43, a44) y 5 variables

conocidas (Xi, Yi, Zi, xi, yi). Efectivamente, un punto tridimensional con coordenadas del

mundo (Xi, Yi, Zi) y al cual le corresponde unas coordenadas imagen (xi, yi) aporta 2

ecuaciones con 12 incógnitas. Por tanto, n puntos darán lugar a 2n ecuaciones, que

pueden ser resueltas para las mismas 12 incógnitas. Primero supongamos que hemos

obtenido n puntos medidos:

Punto 1

=−−−−+++=−−−−+++

0

0

14411431142114124123122121

14411431142114114113112111

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

Punto 2

=−−−−+++=−−−−+++

0

0

24422432242224124223222221

24422432242224114213212211

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

Punto 3

=−−−−+++=−−−−+++

0

0

34433433342334124323322321

34433433342334114313312311

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

M

Punto n-1

=−−−−+++=−−−−+++

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

0

0

14411431142114124123122121

14411431142114114113112111

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

Punto n

=−−−−+++=−−−−+++

0

0

4443424124232221

4443424114131211

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

Una vez expresadas las 2n ecuaciones, podemos agruparlas para determinar el

sistema de ecuaciones global donde las ecuaciones vienen ordenadas según los puntos

1,2,…,n (la utilización de colores nos facilitará la visualización del sistema):

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4443424124232221

4443424114131211

14411431142114124123122121

14411431142114114113112111

34433433342334124323322321

34433433342334114313312311

24422432242224124223222221

24422432242224114213212211

14411431142114124123122121

14411431142114114113112111

=−−−−+++=−−−−+++=−−−−+++=−−−−+++

=−−−−+++=−−−−+++=−−−−+++=−−−−+++=−−−−+++=−−−−+++

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

MMMMMMMMM

Sin embargo, está forma de agruparlos no es la idónea pues en lugar de agruparlos

dispuestos respecto el número del punto, convendría agruparlos en función de las

coordenadas del punto imagen. Este procedimiento viene contemplado en la ecuación de

la página siguiente.



0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4443424124232221

14411431142114124123122121

34433433342334124323322321

24422432242224124223222221

14411431142114124123122121

4443424114131211

14411431142114114113112111

34433433342334114313312311

24422432242224114213212211

14411431142114114113112111

=−−−−+++=−−−−+++

=−−−−+++=−−−−+++=−−−−+++=−−−−+++=−−−−+++

=−−−−+++=−−−−+++=−−−−+++

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

MMMMMMMMM

MMMMMMMMM

Tal y como podemos observar, la forma de representar el sistema facilita

enormemente la transformación a la forma matricial. El sistema de ecuaciones anterior

puede representarse en su forma matricial de la siguiente manera:

=

⋅

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

10000

10000

10000

10000

10000

00001

00001

00001

00001

00001

44

43

42

41

24

23

22

21

14

13

12

11

1111111111

333333333

2222222222

111111111

1111111111

3333333333

2222222222

1111111111

M

M

MMMMMMMMMMMM

MMMMMMMMMMMM

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

xZxYxXxZYX

yZyYyXyZYX

yZyYyXyZYX

yZyYyXyZYX

yZyYyXyZYX

xZxYxXxZYX

xZxYxXxZYX

xZxYxXxZYX

xZxYxXxZYX

xZxYxXxZYX

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

O, expresado en su forma reducida, tenemos lo siguiente:

( ) ( )( ) ( ) [ ]ij

ninnnnn

ninnnnn ay

x=

−−−−

=××××××

×××××× XXXXAAAAr

rrr

rrr

131313

131313

10

01

iiiiiii

iiiiiii

ZYXyZYX0

ZYXx0ZYX

0rr

=⋅ XXXXAAAA

donde AAAA es una matriz de dimensión 2n×12, XXXX es un vector columna de 12×1. Así

pues, calibrar la cámara según este método equivale a determinar los 12 elementos de XXXXr

que intervienen en la expresión, para lo cual es necesario plantear un sistema de 12

ecuaciones, que requiere un mínimo de 6 puntos. Nosotros podemos ser capaces de

determinar las 12 incógnitas recurriendo a la inversa si son conocidos 6 o la

pseudoinversa si son conocidos más de 6 puntos 3D y sus respectivas coordenadas imagen.

3.1.13

3.1.14B

3.1.14A



3.1.2. Desarrollo matemático singularizado: 144 =a .

Puesto que el sistema de ecuaciones resultante es homogéneo, existen infinitas

soluciones, se hace necesario fijar una de las incógnitas, por ejemplo a44 = 1:

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

yZyaYyaXyaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

yZyaYyaXyaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

a

yaZyaYyaXyaaZaYaXa

xaZxaYxaXxaaZaYaXa

=

=−−−+++

↓

=−−−−+++

=−−−−+++

↓

=

↓

=−−−−+++

=−−−−+++

43424124232221

43424114131211

43424124232221

43424114131211

44

4443424124232221

4443424114131211

0

0

1

0

0

En efecto, si se pone la ecuación en forma matricial se tiene el siguiente sistema:

=

⋅

−−−−−−

i

i

iiiiiiiii

iiiiiiiii

y

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

ZyYyXyZYX

ZxYxXxZYX

43

42

41

24

23

22

21

14

13

12

11

10000

00001

En la práctica es conveniente emplear un mayor número de puntos, resultando un

sistema sobredeterminado que se resuelve por mínimos cuadrados. Tal como sabemos,

tras este sistema de ecuaciones se esconden 11 incógnitas (a11, a12, a13,…, a41, a42, a43) y

5 variables conocidas (Xi, Yi, Zi, xi, yi). Naturalmente, un punto tridimensional con

coordenadas del mundo (Xi, Yi, Zi) y al cual le corresponde unas coordenadas imagen

(xi, yi) aporta dos ecuaciones con 11 incógnitas. Por tanto, n puntos darán lugar a 2n

ecuaciones, que pueden ser resueltas para 11 incógnitas.

3.1.15

3.1.16



Primero supongamos que hemos obtenido las n medidas de igual manera que en

el caso anterior. Al igual que en el procedimiento preliminar, una vez expresadas las 2n

ecuaciones, podemos agruparlas para determinar el sistema de ecuaciones global donde

las ecuaciones viene ordenadas según los puntos 1, 2,…, n (la utilización de colores nos

facilitará la visualización del sistema):

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

yZyaYyaXyaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

yZyaYyaXyaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

yZyaYyaXyaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

yZyaYyaXyaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

yZyaYyaXyaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

=−−−+++=−−−+++=−−−+++=−−−+++

=−−−+++=−−−+++=−−−+++=−−−+++=−−−+++=−−−+++

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

43424124232221

43424114131211

111431142114124123122121

111431142114114113112111

333433342334124323322321

333433342334114313312311

222432242224124223222221

222432242224114213212211

111431142114124123122121

111431142114114113112111

MMMMMMMM

Igual que en la táctica anterior, hemos de modificar la representación del sistema

de ecuaciones. Como ya sabemos, la forma previa de agrupar los términos no es la idónea

pues en lugar de agruparlos ordenados en función del número del punto, se deberían

agrupar en función de las coordenadas del punto imagen, es decir, agruparemos primero

todos los puntos desde 1 hasta n con las coordenadas de la imagen en x y posteriormente

aquellos restantes con las coordenadas de la imagen en y:

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn

yZyaYyaXyaaZaYaXa

yZyaYyaXyaaZaYaXa

yZyaYyaXyaaZaYaXa

yZyaYyaXyaaZaYaXa

yZyaYyaXyaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

=−−−+++=−−−+++

=−−−+++=−−−+++=−−−+++=−−−+++=−−−+++

=−−−+++=−−−+++=−−−+++

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

43424124232221

111431142114124123122121

333433342334124323322321

222432242224124223222221

111431142114124123122121

43424114131211

111431142114114113112111

333433342334114313312311

222432242224114213212211

111431142114114113112111

MMMMMMMM

MMMMMMMM

Tal y como podemos observar, al igual que en el caso anterior, la forma de

representar el sistema facilita enormemente la transformación a la forma matricial.



El sistema de ecuaciones anterior puede representarse en su forma matricial de la

siguiente manera:

=

⋅

−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−

−−−−−−−−−

−

−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

n

n

n

n

nnnnnnnnn

nnnnnnnnn

nnnnnnnnn

nnnnnnnnn

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

ZxYxXxZYX

ZyYyXyZYX

ZyYyXyZYX

ZyYyXyZYX

ZyYyXyZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

1

3

2

1

1

3

2

1

43

42

41

24

23

22

21

14

13

12

11

111111111

33333333

222222222

11111111

111111111

333333333

222222222

111111111

10000

10000

10000

10000

10000

00001

00001

00001

00001

00001

M

M

MMMMMMMMMMM

MMMMMMMMMMM

O, expresado en su forma reducida, tenemos lo siguiente:

bbbbXXXXAAAArr

=⋅

donde AAAA es una matriz de dimensión 2n×11, XXXXr

es un vector columna de

dimensión 11×1 y bbbbr

otro vector columna de dimensión 1×2n:

( ) ( )( ) ( )

[ ] ( )( )

==

−

−=

×

×

×××××

×××××

n

n

ij

nnnnn

nnnnna

1

1

31313

31313

10

01

i

i

iiiiiii

iiiiiii

y

x

ZYXyZYX0

ZYXx0ZYXbbbbXXXXAAAArr

rr

rr

Respecto a este sistema, la matriz AAAA y el vector bbbbr

son conocidos. Nosotros

podemos ser capaces de determinar las 11 incógnitas del vector XXXXr

utilizando la matriz

pseudoinversa, si al menos son conocidos 6 o más puntos 3D y sus respectivas

coordenadas imagen para así trabajar con un sistema sobredeterminado. Eso es así debido

a que para que el sistema sea resoluble, el número de columnas debe ser mayor al número

de filas, esto es,

65.52

11filas 11columnas 2 enteroser debe ≥ →=≥⇒≥ nnn n

3.1.3. Obtención del vector incógnita mediante el Método de los Mínimos Cuadrados.

Sabemos que un sistema de ecuaciones lineales, bxrr =⋅A , puede ser compatible,

con una o infinitas soluciones, o incompatible. A priori, puede parecer lógico pensar que

son estos últimos sistemas los menos interesantes, pero no es el caso: el cálculo de una

solución aproximada del sistema cuando no podemos encontrar una solución exacta es

un problema importante, sobre todo en ciencias experimentales, y nada trivial.

3.1.17

3.1.18A

3.1.18B



Existen diferentes métodos para encontrar esa solución aproximada, uno de ellos

es el Método de los Mínimos Cuadrados que es el que se va a desarrollar. Aplicaremos este

método a la resolución del problema de obtención de las 11 incógnitas (a11, a12, …, a42,

a43). El método se desarrolla en hojas posteriores.

Un poco de Álgebra Matricial: Técnica de Mínimos Cuadrados.

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales bxrr =⋅A . Supongamos que

el sistema es incompatible. Se

trata de encontrar un vector ∗xr

que se acerque a la solución

minimizando:

bxErr −⋅= A

En pos, resolveremos el

problema desde un punto de

vista geométrico. Aquello que

estamos buscando es el elemento del espacio vectorial deA que más se acerca a br

.

La solución es conocida, ese elemento es “la proyección ortogonal de br

sobre el

espacio vectorial de A ”. Por tanto, la solución en mínimos cuadrados que

minimizaA es aquella tal que pxrr =⋅ ∗

A es la proyección ortogonal de br

sobre el

espacio vectorial de A :

0)(0)(0,rrrrrrrrrrrr =⋅−⋅⋅⋅⇒=−⋅⋅⋅⇒>=−⋅⋅< bxybxybxy ttttt AAAAAAA

Por tanto, la solución que nos proporciona el método de los mínimos

cuadrados para un sistema incompatible bxrr =⋅A , es aquella que satisface

bx ttrr ⋅=⋅⋅ AAA . Es decir,

⇒⋅⋅⋅= −− bx ttrr

AAA 11 )( bx ttrr ⋅⋅⋅= −

AAA1)(

Nota.

Podríamos haber resuelto el problema también a partir de un cálculo distinto

(tal y como viene detallado en el Apéndice A). Para el vector ∗xr

que minimice la

función del error cuadrático:

0000 22

2

2

1

22

2r

Lrr =∇⇔=

∂∂=

∂∂=

∂∂

⇒−⋅= Ex

E

x

E

x

EbxE

n

A

∗⋅= xprr

A

bxrr −⋅Ab

r

Espacio vectorial deA

Figura 3.5: Vector solución por Mínimos Cuadrados.



Al aplicar el método de resolución matemático de la aproximación por mínimos

cuadrados, que viene detallado en el apéndice A, llegamos a la conclusión de que los

elementos de la matriz de transformación A pueden calcularse como la matriz

pseudoinversa multiplicada por el vector de componentes bbbbr

, es decir,

( ) bbbbAAAAXXXXbbbbAAAAAAAAAAAAXXXXrrrr

⋅=⇔⋅⋅⋅= ∗−∗ ψtt 1

Si observamos el valor despejado del vector de incógnitas, podemos comprobar

como la matriz ( ) ttAAAAAAAAAAAAAAAA ⋅⋅= −1ψ es la matriz pseudoinversa de la matriz AAAA . Obtenido

el vector solución ∗XXXXr

, y por consiguiente la matriz de transformación perspectivaA , es

posible determinar los parámetros del modelo de la cámara.

3.1.4. Ejemplo de calibración del método estudiado.

En la Tabla 3.1 se muestra un ejemplo con los resultados de computar la matriz de

transformación A para la calibración de una cámara utilizando el método estudiado. El

objeto empleado para la calibración viene mostrado en la Figura 3.6.

Cada uno de los vértices pertenecientes al objeto esta etiquetado con letras desde

la ‘A’ hasta la ‘P’ y sus coordenadas homogéneas absolutas o coordenadas desde el mundo

(Xi,Yi,Zi) vienen dadas en la Tabla 3.1 junto con las coordenadas de la imagen (xi,yi).

DATOS DE INPUT DATOS DE OUTPUT

Point Imagen 2-D (x,y) Coordenadas 3-D (X,Y,Z) Imagen 2-D computada Residuos X Y

A 95.00 336.00 0.00 0.00 0.00 94.53 337.89 0.47 -1.89

B 0.00 6.00 0.00

C 11.00 6.00 0.00

D 592.00 368.00 11.00 6.00 0.00 592.21 368.36 -0.21 -0.36

E 472.00 168.00 8.25 0.00 -4.50 470.14 168.30 1.86 -0.30

F 232.00 155.00 2.75 0.00 -4.50 232.30 154.43 -0.30 0.57

G 350.00 205.00 5.50 0.00 -3.50 349.17 202.47 0.83 2.53

H 362.00 323.00 5.00 6.00 -3.50 363.44 324.32 -1.44 -1.32

I 97.00 305.00 0.00 0.00 -0.75 97.90 304.96 -0.90 0.04

J 592.00 336.00 11.00 0.00 -0.75 591.78 334.94 0.22 1.06

K 184.00 344.00 2.00 0.00 0.00 184.46 343.40 -0.46 0.60

L 263.00 431.00 2.00 6.00 0.00 261.52 429.65 1.48 1.35

M 9.00 6.00 0.00

N 501.00 363.00 9.00 0.00 0.00 501.16 362.78 -0.16 0.22

O 467.00 279.00 8.25 0.00 -1.81 468.35 281.09 -1.35 -2.09

P 224.00 266.00 2.75 0.00 -1.81 224.06 266.43 -0.06 -0.43

Tabla 3.1: Datos de la calibración de la cámara utilizando el objeto de calibración

mostrado en la Figura 3.6.

3.1.19



Figura 3.6: Objeto de calibración de manufactura precisa con geometría dotada con

vértices. Las dimensiones del jig son 11 cm de profundidad, 6 cm de anchura y 4.5 cm de

altura. Todos y cada uno de los vértices viene dados en la Tabla 3.1.

Figura 3.7: Los residuos planos de la imagen son las diferencias entre los puntos

de la imagen actual observada y los puntos computerizados usando la matriz de

transformación A de la ecuación 3.1.2.

wPj

wP2

wP1

x

y

P1

∆x1

∆y1

∆y2

∆x2

P2



Hemos de notar que los vértices ‘B’, ‘C’ y ‘M’ permanecen ocultos en esta vista

por lo que no existen coordenadas imagen posibles.

La matriz A obtenida al utilizar las 13 correspondencias viene dada en lo alto de la

Figura y los residuos (diferencias entre los puntos observados en la imagen actual y los

puntos computados utilizando la matriz A de la cámara, Figura 3.7) viene mostrados a la

derecha.

Tal y como podemos observar, 16 de las 26 coordenadas (13×2 = 26) que han sido

computerizadas por la matriz A aplicadas a los puntos 3D tiene una diferencia menor a

un píxel con la coordenada observada de la imagen, 10 presentan una diferencia mayor a

un píxel, y sólo 2 presentan residuos mayores a 2 píxeles.

Este ejemplo está resuelto empleando un archivo de MatLab. Existen dos ficheros

donde el problema se ha resuelto para este caso concreto o para un caso más general. A

continuación se muestra la matriz de transformación obtenida A al ejecutar el código

implementado para el objeto y los puntos disponibles.

44.83753640 29.80557529 -5.52017968 94.52269238

2.51607339 42.24953970 40.77846773 337.8771055

-0.00068834 0.06491677 -0.01031234 1.0000000

Por tanto, a través de los datos obtenidos tenemos que el sistema es el siguiente

(recordemos que la tercera fila carecía de sentido por lo que podíamos desecharla):

⋅

+−+−

+++++−++

=

10000000.101031234.006491677.000068834.0

8771055.33777846773.4024953970.4251607339.2

52269238.9452017968.580557529.2983753640.44

34333231

4,

3,

2,

1,

Z

Y

X

aaaa

c

c

c

c

h

h

h

h

⇓

⋅

+−+−+++++−++

=

10000000.101031234.006491677.000068834.0

8771055.33777846773.4024953970.4251607339.2

52269238.9452017968.580557529.2983753640.44

4,

3,

2,

1,

Z

Y

X

c

c

c

c

h

h

h

h

Este ejemplo apoya la validez de la eficacia y precisión del modelo de la cámara

empleado, pero muestra los errores relacionados con la localización de las esquinas y la

distorsión debida a una longitud focal escasa.



3.1.5. Procedimiento de calibración del método estudiado.

El procedimiento de calibración, por lo visto anteriormente, consiste en:

1. Obtener 6≥n puntos del espacio (puesto que hay 2 ecuaciones) de coordenadas

conocidas ( )iii ZYX ,, para ni ,,2,1 K= .

2. Calcular las imágenes de estos puntos cuando la cámara está en una posición

determinada, para obtener los puntos correspondientes en la imagen ( )ii yx , para

ni ,,2,1 K= .

3. Emplear estos resultados en las ecuaciones siguientes para crear un sistema de

ecuaciones y disponerlo en su forma matricial:

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

yZyaYyaXyaaZaYaXa

xZxaYxaXxaaZaYaXa

=−−−+++=−−−+++

43424124232221

43424114131211

4. Obtener el sistema en forma matricial y diferenciar la matriz AAAA :

bbbbXXXXAAAArr

=⋅

=

⋅

−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−

−−−−−−−−−

−

−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

n

n

n

n

nnnnnnnnn

nnnnnnnnn

nnnnnnnnn

nnnnnnnnn

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

ZxYxXxZYX

ZyYyXyZYX

ZyYyXyZYX

ZyYyXyZYX

ZyYyXyZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

1

3

2

1

1

3

2

1

43

42

41

24

23

22

21

14

13

12

11

111111111

33333333

222222222

11111111

111111111

333333333

222222222

111111111

10000

10000

10000

10000

10000

00001

00001

00001

00001

00001

M

M

MMMMMMMMMMM

MMMMMMMMMMM

5. Calcular la pseudoinversa de AAAA para así poder calcular (a11,…, a43) y, por tanto, A :

( ) bbbbAAAAAAAAAAAAXXXXrr

⋅⋅⋅= −∗ tt 1

⋅

=

144434241

24232221

14131211

4,

2,

1,

Z

Y

X

aaaa

aaaa

aaaa

c

c

c

h

h

h



3.2. Método de calibración de los dos planos.

Esta técnica de calibración, propuesta por Martins y otros estudiosos del campo de

la visión artificial allá por el año 1981, es capaz de resolver únicamente el problema de la

proyección inversa pero solventándolo, pese a todo, con eficacia. A pesar de no conseguir

una solución para el problema de la proyección directa, presenta la ventaja de ofrecer

claramente la recta de proyección correspondiente a cada píxel de la imagen sin tener que

asumir ningún modelo de cámara en particular.

La Figura 3.8 ilustra el concepto de este método de calibración. Imaginemos dos

planos de calibración (también denominados planos de control) cualesquiera P1 y P2

separados entre sí una cierta distancia 12 ddd −= y, a su vez, separados respecto al plano

imagen una distancia 1d (medida desde el primer plano de control hasta el plano imagen).

Figura 3.8: Esquema general que representa el método de calibración de los dos planos.

Supongamos que tras un proceso de obtención de datos se conoce la información

de las posiciones tridimensionales de los puntos de calibración ubicados en cada plano (o

también patrón de calibración). Primeramente, hemos de realizar una captura de imagen

de ambos planos P1 y P2 para así poder extraer las posiciones de los puntos de calibración

proyectados. Al realizar la captura de imagen, tratamos con dos tipos de puntos:

• ijp � Son los puntos empleados en la calibración ubicados en los planos P1 y P2.

• ijq � Son los puntos resultantes de proyectar ijp en el plano imagen.

donde los subíndices i y j denotan el plano por un lado y el índice del punto

correspondiente por otro lado; para los puntos el rango de i y j es de 2,1=i (recordemos

que en esta técnica de calibración se emplean únicamente dos planos) y nj ,...,2,1= (si

tenemos n puntos). Efectivamente, tal y como podemos intuir, la relación entre ambas

variables ijp y ijq es el hecho de que la proyección de ijp en el plano imagen es ijq .

PLANO IMAGEN PLANO (O REJILLA) DE CALIBRACIÓN P1

PLANO (O REJILLA) DE CALIBRACIÓN P2

q1j q2j

v

p1j

u1

p2j

u2

X

Z

Y

Centro lente

M (x,y,z)

d1 d2



Un poco de geometría analítica en el espacio: La recta.

Supongamos tres puntos colineales, por lo que nosotros podemos obtener la

recta que pasa por dichos tres puntos:

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

−−=

−−=

−−

Si las igualdades consecutivas las dividimos en dos subproblemas distintos,

podemos realizar las siguientes operaciones:

)()()()(

)()()()(

12112112

1

12

1

12112112

1

12

1

xxzzzzxxzz

zz

xx

xx

xxyyyyxxyy

yy

xx

xx

−⋅−=−⋅−⇒−−=

−−

−⋅−=−⋅−⇒−−=

−−

Si a raíz de esto, realizamos una serie de simplificaciones modificando la forma

de la expresión, llegamos a las dos siguientes ecuaciones:

)()()()(

)()()()(

1211211212

1211211212

xxzzzxxxzzzx

xxyyyxxxyyyx

−⋅−−⋅=−⋅−−⋅−⋅−−⋅=−⋅−−⋅

que expresada en forma matricial se representa de la siguiente manera:

−⋅−−⋅

−⋅−−⋅=

⋅

−−

−−

)()(

)()(

0

0

121121

121121

1212

1212

xxzzzx

xxyyyx

z

y

x

xxzz

xxyy

Para continuar con la exposición del método de los dos planos, antes

expondremos una metodología de trabajo planteada por el autor del texto. Para aplicar

esta metodología, imaginemos un píxel genérico v de la imagen cuyas coordenadas

en x e y son ρ yγ , respectivamente. En efecto, la recta de proyección de dicho píxel v se

puede obtener, esencialmente, del siguiente modo:

1. Determinar el centro de la lente empleando para ello los puntos jp1 y jq1 y

jp2 y jq2 , conocidos.

RECTA 1 QUE PASA POR CENTRO LENTE jp1 y jq1

zz

z

yy

y

xx

x

jj

j

jj

j

jj

j

pq

pz

pq

py

pq

px

11

1

11

1

11

1

−−

=−

−=

−−

RECTA 2 QUE PASA POR CENTRO LENTE jp2 y jq2

zz

z

yy

y

xx

x

jj

j

jj

j

jj

j

pq

pz

pq

py

pq

px

22

2

22

2

22

2

−−

=−

−=

−−

3.2.1A 3.2.1B R1 R2



Figura 3.9: Obtención de la posición del centro focal del sistema de lentes de la cámara.

De ambas expresiones 3.2.1A y 3.2.1B podemos obtener la expresión de las dos

rectas representadas en la Figura 3.9 en forma matricial:

R1

−⋅−−⋅

−⋅−−⋅=

⋅

−−

−−

)()(

)()(

0

0

111111

111111

1111

1111

xxzzzx

xxyyyx

xxzz

xxyy

jjjjjj

jjjjjj

jjjj

jjjj

pqppqp

pqppqp

z

y

x

pqpq

pqpq

R2

−⋅−−⋅

−⋅−−⋅=

⋅

−−

−−

)()(

)()(

0

0

222222

222222

2222

2222

xxzzzx

xxyyyx

xxzz

xxyy

jjjjjj

jjjjjj

jjjj

jjjj

pqppqp

pqppqp

z

y

x

pqpq

pqpq

que se convierte en un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas (que hacen

referencia a las coordenadas del centro óptico) tal y como viene mostrado a continuación:

−⋅−−⋅

−⋅−−⋅

−⋅−−⋅

−⋅−−⋅

=

⋅

−−

−−

−−

−−

)()(

)()(

)()(

)()(

0

0

0

0

222222

222222

111111

111111

2222

2222

1111

1111

xxzzzx

xxyyyx

xxzzzx

xxyyyx

xxzz

xxyy

xxzz

xxyy

jjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

jjjjjj

jjjj

jjjj

jjjj

jjjj

pqppqp

pqppqp

pqppqp

pqppqp

z

y

x

pqpq

pqpq

pqpq

pqpq

Por tanto, para resolver el problema aplicamos la técnica vista de mínimos

cuadrados por lo que el punto central de la lente se podrá calcular como:

),(),( 2121 jjjj ppbxpprr =⋅A ⇒ ( ) bx tt

rr ⋅⋅⋅= −AAA

1

2. Determinar la localización del píxel v en el primer plano P1 empleando

únicamente el centro de la lente y obteniendo como resultado el punto 1u .

Supongamos tres puntos colineales por lo que nosotros podemos obtener la recta

que pasa por dichos puntos que son: el centro de la lente, el punto v y el buscado 1u .

q1j q2j

p1j

p2j

x

z

y

Centro lente

M (x,y,z)

RECTA 1

RECTA 2

3.2.2A

3.2.2B

3.2.3

3.2.4



RECTA QUE PASA POR CENTRO LENTE v y 1u

ϑϑ

γγ

ρρ

−−

=−

−=

−−

z

u

y

u

x

uzyx 111

Podemos obtener la expresión de las dos rectas en forma matricial:

−⋅−−⋅

−⋅−−⋅=

⋅

−−

−−

)()(

)()(

0

0

1

1

1

ρϑϑρ

ργγρ

ρϑ

ργ

xz

xy

u

u

u

xz

xy

z

y

x

de donde conocemos los valores de x, y y z obtenidos en la ecuación 3.2.3 y los

valores de ρ ,γ y ϑ que hacen referencia a las coordenadas del píxel v y las incógnitas

que se pueden despejar son x

u1 y y

u1 puesto que z

u1 es un valor conocido ya que es la

distancia entre el plano imagen y el primero de los dos planos de control. Por tanto, el

sistema a resolver es en realidad el siguiente:

−⋅+−−⋅

−⋅−−⋅=

⋅

−

−−

)()()(

)()(

0 11

1

ρϑϑρ

ργγρ

ϑ

ργ

xdz

xy

u

u

z

xy

y

x

cuya solución se puede obtener de la siguiente manera:

−⋅+−−⋅

−⋅−−⋅⋅

−

−−=

−

)()()(

)()(

0 1

1

1

1

ρϑϑρ

ργγρ

ϑ

ργ

xdz

xy

z

xy

u

u

y

x

Si calculamos el valor de la inversa de la matriz solicitada podremos resolver el

sistema de ecuaciones. La solución se calcula de la siguiente manera:

−⋅+−−⋅

−⋅−−⋅⋅

−⋅−−

−

−=

)()()(

)()(

)()(

1

10

11

1

ρϑϑρ

ργγρ

ϑργ

ρ

ϑxdz

xy

zx

y

x

z

u

u

y

x

−⋅−−⋅+−−⋅−+

−−⋅−−⋅

−−⋅+−−⋅

=

)()(

))()()()(()()(

)()()(

1

1

1

1

ϑρρϑϑργ

ρργγρ

ϑρϑϑρ

zx

xdzy

x

xyz

xdz

u

u

y

x

111

11

1

)()(2

)()(du

z

dy

x

yu

z

xdu

zyx=

−+⋅−−−

−−⋅=

−−⋅+−=

ϑϑγγ

ργρ

ϑρϑρ

3.2.5

3.2.6

3.2.7

3.2.8

3.2.9

3.2.10

3.2.11



3. Determinar mediante interpolación la localización del píxel la localización de v

en el primer plano P2 empleando para ello los puntos jp2 y jq2 o usando únicamente el

centro de la lente y obteniendo como resultado el punto 2u .

Supongamos tres puntos colineales por lo que nosotros podemos obtener la recta

que pasa por dichos tres puntos que son el centro de la lente, el punto v y el buscado 2u .

RECTA QUE PASA POR CENTRO LENTE v y 2u

ϑϑ

γγ

ρρ

−−

=−

−=

−−

z

u

y

u

x

uzyx 222

Podemos obtener la expresión de las dos rectas en forma matricial:

−⋅−−⋅

−⋅−−⋅=

⋅

−−

−−

)()(

)()(

0

0

2

2

2

ρϑϑρ

ργγρ

ρϑ

ργ

xz

xy

u

u

u

xz

xy

z

y

x

de donde conocemos los valores de x, y y z obtenidos en la ecuación 3.2.3 y los

valores de ρ ,γ yϑ que hacen referencia a las coordenadas del píxel v y las incógnitas que

se pueden despejar son x

u2 y y

u2 puesto que z

u2 es un valor conocido puesto que es la

distancia entre el plano imagen y el segundo de los dos planos de control. Por tanto, el

sistema a resolver es en realidad el siguiente:

−⋅+−−⋅

−⋅−−⋅=

⋅

−

−−

)()()(

)()(

0 22

2

ρϑϑρ

ργγρ

ϑ

ργ

xdz

xy

u

u

z

xy

y

x

cuya solución se puede obtener de la siguiente manera:

−⋅+−−⋅

−⋅−−⋅⋅

−

−−=

−

)()()(

)()(

0 2

1

2

2

ρϑϑρ

ργγρ

ϑ

ργ

xdz

xy

z

xy

u

u

y

x

De forma análoga al caso anterior, si calculamos el valor de la inversa solicitada

podremos resolver el sistema de ecuaciones.

Finalmente, después de operar de forma similar al caso anterior, obtenemos la

solución:

222

22

2

)()(2

)()(du

z

dy

x

yu

z

xdu

zyx=

−+⋅−−−

−−⋅=

−−⋅+−=

ϑϑγγ

ργρ

ϑρϑρ

3.2.12

3.2.13

3.2.14

3.2.15

3.2.16



4. La recta de proyección tiene la dirección 1u - 2u y pasa por el punto 1u :

zz

z

yy

y

xx

x

uu

uZ

uu

uY

uu

uX

21

2

21

2

21

2

−−

=−

−=

−−

Nota aclaratoria: Simplificaciones.

Para hacer las matrices mucho más sencillas se ha optado por establecer el

origen de coordenadas sobre el plano imagen por lo que los puntos tiene las siguientes

coordenadas:

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]22222222

11111111

22222222

11111111

2222222

1111111

,,,,

,,,,

0,,,,

,,,,

,,,,

0,,,,

0,,,,

duuuuuuu

duuuuuuu

vv

dppppppp

dppppppp

qqqqqqq

qqqqqqq

yxzyx

yxzyx

yjxjjzjyjxjj

yjxjjzjyjxjj

yjxjjzjyjxjj

yjxjjzjyjxjj

=⇒==⇒==⇒=

=⇒=

=⇒=

=⇒=

=⇒=

γρϑγρ

A partir de estos valores de coordenadas, resolver la calibración es resolver los

siguientes sistemas de ecuaciones, que se simplifican de la siguiente manera:

⋅−

−⋅−−⋅

⋅−

−⋅−−⋅

=

⋅

−−

−−

−−

−−

x

xxyyyx

x

xxyyyx

xx

xxyy

xx

xxyy

j

jjjjjj

j

jjjjjj

jj

jjjj

jj

jjjj

qd

pqppqp

qd

pqppqp

z

y

x

pqd

pqpq

pqd

pqpq

22

222222

11

111111

222

2222

111

1111

)()(

)()(

0

0

0

0

−⋅−⋅−⋅−−⋅

=

⋅

−−)(

)()(

0 11

1

ρρργγρργ

xdz

xy

u

u

z

xy

y

y

−⋅−⋅−⋅−−⋅

=

⋅

−−)(

)()(

0 22

2

ρρργγρργ

xdz

xy

u

u

z

xy

y

y

21

2

21

2

21

2

dd

dZ

uu

uY

uu

uX

yy

y

xx

x

−−=

−

−=

−−

3.2.18

3.2.19

3.2.20

3.2.17

3.2.21



A pesar de lo sencillo del sistema propuesto en este texto, no es fielmente el

expuesto por Martins y otros puesto que la recta de proyección del píxel v se puede

obtener de la otra siguiente forma que sí corresponde con el método de calibración

propuesto por Matins:

1. Determinar mediante interpolación la localización del píxel v en el primer

plano P1 empleando para ello los puntos jp1 y jq1 para obtener el punto 1u .

2. Determinar de igual manera la localización del punto en el plano P2 para

obtener el punto 2u .

3. La recta de proyección tiene la dirección 1u - 2u y pasa por el punto 1u .

Martins y otros (1981) proponen tres tipos de interpolación con diferentes grados

de precisión:

• Precisión lineal.

• Precisión cuadrática.

• Precisión “spline” (special line) lineal.

La mayor precisión se obtiene con este último tipo de interpolación, y es del

orden de 4 mm a una distancia de unos 0.6 mm. Como es lógico, la precisión depende

del número de puntos de calibración escogidos en cada plano, siendo necesario un

mínimo de 24 puntos (12 en cada plano) para los cuales hay que almacenar los

parámetros de interpolación correspondientes al método que se utilice.

Una ventaja adicional es que las ecuaciones a resolver son lineales, lo que

computacionalmente es una gran ventaja.

A partir de esta técnica se ha propuesto otras que de una manera más general

resuelven tanto la proyección directa como la inversa (Isaguirre y otros, 1985, Breaban y

otros, 1985).



3.3. Método de calibración de Roger Y. Tsai.

La técnica propuesta por Roger Y. Tsai en [1] es, a día de hoy, una de las más

extensamente empleadas, mayormente en aplicaciones industriales de visión artificial, por

su precisión y versatilidad. En esta técnica, se consideran

cuatro etapas en el proceso de transformación de puntos

3D en el sistema de referencia del mundo a píxeles en la

imagen.

El estudio de investigación de Roger Y. Tsai tiene

como objetivo fundamental la búsqueda de una

restricción, o ecuación en donde intervengan diversas

constantes, que sean únicamente una función de un

subconjunto de los parámetros de calibración para

reducir el tamaño del espacio de parámetros de

calibración.

Éste método tiene muy en cuenta el efecto

producido por la distorsión de la lente pues deteriora la

calidad geométrica de la imagen y, por tanto, la capacidad para medir posiciones de los

objetos en ella. La distorsión de la lente puede clasificarse como radial o tangencial.

Ambos tipos de distorsión surgen porque los rayos de luz no emergen de las lentes en las

direcciones previstas por las leyes ópticas. Ambos tipos se explican a grosso modo a

continuación:

La distorsión radial de la lente

hace que los puntos de las imágenes se

desplacen de forma radial a partir del

eje óptico. Su principal causa es un

pulido defectuoso de la lente.

La distorsión tangencial ocurre

en ángulos rectos a las líneas radiales a

partir del eje óptico. Su principal causa

es un centrado defectuoso de todos los

elementos que configuran el sistema de

lentes.

La restricción mencionada es únicamente función de la rotación y traslación

(excepto para la componente z ) entre la cámara y los puntos de calibración.

Figura 3.10: Imagen de Roger Y. Tsai

Figura 3.11: Distorsión de la lente.



Además, aunque la restricción no es una función lineal de los parámetros de

calibración antes mencionados (que denominaremos como parámetros del grupo I), existe

una manera sencilla y eficiente de computarlos. El resto de parámetros de calibración

(que denominaremos parámetros del grupo II) son computados con ecuaciones de

perspectiva normal. Además de describir la geometría de la cámara (posición y

orientación de la misma respecto a algún sistema de coordenadas), el modelo de la

cámara describirá varias características internas, es decir, los parámetros intrínsecos que se

obtendrán, tal y como apunta Arturo de la Escalera en su libro [2]:

• Distancia focal, f .

• Coeficiente de distorsión radial, K .

Por otro lado, los parámetros intrínsecos que se toman como datos son los

siguientes:

• Factor de escala xs , necesario para establecer la relación entre el número

de elementos de la cámara CCD y el número de píxeles que constituyen la

imagen.

• Centro de la imagen xc y yc .

• El número de píxeles de la cámara CCD, cxN .

• Número de píxeles en una línea muestreados por el ordenador, fxN .

• El tamaño en la dirección del elemento sensor de la cámara,'xd ,

'yd .

• El tamaño del píxel en una línea muestreada por el ordenador,''

xd ,''

yd .

Para pasar de un sistema de coordenadas que se trata de la referencia del mundo

al de la cámara, se aplicará, en este método, una rotación seguida de una traslación;

transformación que viene representada por la ecuación 3.3.1A. Los parámetros

extrínsecos que describen la geometría serán, por lo tanto, los siguientes:

• Las rotaciones para la transformación entre el origen de coordenadas del

mundo y el de la cámara : θRr

, φRr

, ψRr

.

• Las traslaciones para la transformación entre el origen de coordenadas del

mundo y el de la cámara: xT , yT , zT .

En esta sección se establece el modelo de la cámara y se definen los parámetros

de calibración. El modelo de la cámara empleado es básicamente el mismo que se ha

empleado para cualquier tipo de técnica vista hasta ahora.



3.3.1. Los cuatro pasos de transformación desde las coordenadas 3D del mundo a las

coordenadas de la imagen en el computador.

Primeramente se establece el modelo de la cámara y, seguidamente, las ecuaciones

que lo describen bajo la transformación de perspectiva equivalente. Tal y como podemos

observar en la Figura 3.12, aparecen una serie de relaciones entre algunos de los

parámetros involucrados en el proceso. Los diferentes sistemas de coordenadas que

intervienen en el proceso de formación de imágenes según la Figura 3.12 son:

• El Sistema de Coordenadas del Mundo ),,( www zyx , tiene el centro en el

punto wO y sus orientaciones son arbitrarias. En pos, se designará SCM.

• El Sistema de Coordenadas de la Cámara ),,( zyx , tiene el centro en el

punto O, que es a su vez el centro óptico, y con el eje z superpuesto al eje

óptico. De ahora en adelante tal sistema será apodado como SCC.

• El Sistema de Coordenadas de la Imagen ),,( zYX está centrado en iO

(intersección del eje óptico z y el plano de la imagen) y paralelo a los

ejes ),( yx . A partir de ahora, dicho sistema se denominará SCI.

Figura 3.12: Esquema general que representa el método de calibración de los dos planos.

wx

wy

wz ),,( cccc zyxP

),,( wwww zyxP

x

yO

X

Yiyx Occ =),(

),( uuu YXP

),( ddd YXP

PLANO DE LA IMAGEN

SISTEMA DE LA CÁMARA

SISTEMA DEL MUNDO

),0,0( coc zP

OBJETO

f

wO



Los elementos de interés ilustrados en la Figura 3.12 son los siguientes:

• El punto ),,( wwww zyxP son las coordenadas 3D del punto del objeto que

vienen expresadas respecto el sistema de coordenadas SCM.

• Por otro lado, las coordenadas 3D del punto del objeto vistas en el SCC se

expresa mediante ),,( cccc zyxP .

• La variable f hace referencia a la distancia de separación entre el plano de

la imagen y el centro óptico.

• El punto ),( uuu YXP son las coordenadas del punto imagen ),,( cccc zyxP

teniendo en cuenta el modelo de la cámara ideal de pin-hole.

• Si nos fijamos en el punto ),( ddd YXP , podemos comprobar que se trata de

las coordenadas reales de la imagen que difieren de ),( uuu YXP debido al

fenómeno de distorsión que ocurre en el sistema de lentes.

Nota aclaratoria: Conversión de unidades.

Puesto que las unidades para las coordenadas utilizadas en el computador

),( YX son número de píxeles para la imagen discreta, necesita especificar (y calibrar)

parámetros adicionales para relacionar las coordenadas de la imagen en el plano de la

imagen con el sistema de coordenadas del computador.

La transformación absoluta para pasar de coordenadas ),,( www zyx a ),( YX se

muestra en la Figura 3.13. A continuación, explicaremos en cuatro pasos y de forma

analítica dicha transformación, viniendo todo ello ilustrado en la Figura 3.13.

Figura 3.13: Esquema general que representa los cuatro pasos de transformación.

),,( www zyx

),,( ccc zyx

Paso 1 Transformación desde ),,( www zyx a ),,( ccc zyx

Parámetros a calibrar: R y Tr

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Proyección de perspectiva ideal

Parámetros a calibrar: f

Distorsión radial de las lentes

Parámetros a calibrar: 1k y 2k

Transformación desde ),,( www zyx a ),,( ccc zyx

Parámetros a calibrar: cx, cy y sx

),( YX

Coordenadas 3D desde SCM

Coordenadas 3D desde SCC

),( uu YXCoordenadas

imagen ideales sin distorsión

),( dd YXCoordenadas imagen con distorsión



Paso 1: Transformación desde el Sistema de Coordenadas del Mundo ),,( wwww zyxP =

hacia el Sistema de Coordenadas de la Cámara ),,( cccc zyxP = . Se aplicarán una

rotación seguida de una traslación; transformación de viene representada por:

TPP wc

r+⋅= R ⇔ T

z

y

x

z

y

x

w

w

w

c

c

c

r+

⋅=

R

donde R es una matriz de rotación de dimensión 3×3, compuesta por vectores

ortonormales [ ] [ ] [ ]TTT rrrrrrrrr 963852741 ,,y ,,,,, como cualquier matriz de rotación que se

precie, y Tr

es un vector de traslación de dimensión 1×3. Los parámetros a calibrar son la

matrizR y el vectorTr

:

=

987

654

321

rrr

rrr

rrr

R

=

z

y

x

T

T

T

Tr

Debemos percatarnos de que la transformación desde un sistema de coordenadas

cartesiano ),,( www zyx a otro ),,( ccc zyx es única si dicha transformación viene definida

como una rotación respecto el origen (tal rotación puede ser definida como tres

rotaciones individuales – Yaw, Pitch and Roll YPR – sobre un eje que pase a través del

origen) seguida de una traslación 3D.

Muchas de las técnicas existentes para la calibración de cámaras definen la

transformación como una traslación seguida de una rotación. Se verá posteriormente que

el orden de las operaciones (rotación seguida de traslación) es crucial para la estimulación

y desarrollo de la nueva técnica de calibración.

Paso 2: Transformación desde el Sistema de Coordenadas de la Cámara

tridimensional ),,( cccc zyxP = hacia el Sistema de Coordenadas de la Imagen ideal (no

distorsionada) ),( uuu YXP que viene dada por la proyección de perspectiva, vista en el

Capítulo 2 Sección 2.2. Se usan las ecuaciones ya vistas para el modelo pin-hole:

c

cu z

xfX =

c

cu z

yfY =

En el paso 2, el parámetro que debemos calibrar es la longitud focal efectiva de la

lente f .

3.3.1B

3.3.1A

3.3.2A

3.3.2B



Paso 3: Transformación de imagen ideal a imagen distorsionada (se considera

únicamente distorsión radial) en el plano imagen. En efecto, si consideramos tanto la

distorsión radial de las lentes como las coordenadas de la imagen se tiene lo siguiente:

xdu DXX +=

ydu DYY +=

donde ),( dd YX son las coordenadas reales de la imagen, esto es, distorsionadas, en

el plano imagen y los valores xD y yD viene expresados a continuación:

)( 63

42

21 L+⋅+⋅+⋅⋅= rkrkrkXD dx

)( 63

42

21 L+⋅+⋅+⋅⋅= rkrkrkYD dy

Los parámetros a calibrar son los coeficientes de distorsión ik . El modelado de

distorsión de las lentes puede encontrase en la sección de introducción a nuestro texto. Si

recordamos, existen dos clases de distorsiones: radial y tangencial. Para cada clase de

distorsión se requiere una serie infinita de términos. Sin embargo, siguiendo la

experiencia expuesta en Tsai, 1987, con un único coeficiente se logran buenos resultados.

Paso 4: La transformación de coordenadas de la imagen distorsionada en el sensor

),( dd YX a coordenadas de la imagen tal y como las proporciona el computador:

xx

xd c

d

sXX +⋅=

''

yy

d cd

YY +⋅=''

1

donde ),( YX es el par formado por el número de fila y el número de columna

del píxel de la imagen en memoria del computador. El factor xs se denomina factor de

incertidumbre de escala. Se trata de una relación entre las coordenadas calculadas de los

píxeles y las coordenadas reales ),( dd YX , debido a errores en el proceso de digitalización.

Los valores ),( yx cc definen el número de fila y de columna del centro de la imagen en

memoria del computador, respectivamente. Por otro lado, la distancia entre centros de los

elementos sensores CCD adyacentes en la dirección Y es '''yy dd = . Además, se conoce

una relación entre la distancia en la dirección de exploración X , 'xd , y la distancia, ''

xd :

x

x

f

cxx N

Ndd ''' =

donde cxN es el número de elementos sensores CCD en la dirección X y fxN es el

de píxeles en una línea tal y como aparecen tras el proceso de muestreo del computador.

En este cuarto paso, el parámetro a calibrar será el factor de incertidumbre xs .

3.3.3A

3.3.3B

3.3.4A

3.3.4B3.3.4C

3.3.5A

3.3.5B

3.3.6

22dd YXr +=



3.3.2. Ecuaciones de correspondencia entre las coordenadas 3D del mundo y las

coordenadas 2D de la imagen en el computador.

Combinando los tres últimos pasos, es decir, operando sobre las ecuaciones

3.3.2A, 3.3.2B, 3.3.3A, 3.3.3B, 3.3.4A, 3.3.4B, 3.3.5A y 3.3.5B de la siguiente manera:

c

cu z

xfX =

xdu DXX +=

21 rkXD dx ⋅⋅=

xx

dx c

d

XsX /+⋅=

''

c

cu z

yfY =

ydu DYY +=

21 rkYD dy ⋅⋅=

yy

d cd

YY /+=

'

3.3.2A ⇔ 3.3.3A

xdc

c DXz

xf +=

3.3.7A ⇔ 3.3.4A

)1( 21 rkX

z

xf d

c

c ⋅+⋅=

3.3.8A ⇔ 3.3.5A

)1( 21

''

rks

dX

z

xf

x

x

c

c ⋅+⋅⋅=

3.3.2B ⇔ 3.3.3B

ydc

c DYz

yf +=

3.3.7B ⇔ 3.3.4B

)1( 21 rkY

z

yf d

c

c ⋅+⋅=

3.3.8B ⇔ 3.3.5B

)1( 21

' rkdYz

yf y

c

c ⋅+⋅⋅=

de donde se obtienen las ecuaciones que relacionan las coordenadas 2D

),( YX del computador con las coordenadas 3D ),,( ccc zyx del sistema de la cámara para

el punto del objeto y, suponiendo que ),( yx cc es )0,0( , vienen dadas por:

)1( 21

''

rks

dX

z

xf

x

x

c

c ⋅+⋅⋅=

)1( 21

' rkdYz

yf y

c

c ⋅+⋅⋅=

Nota aclaratoria: El valor derrrr.

El valor de la variable r se puede obtener a partir de la ecuación 3.3.4C,

sustituyendo en ella las ecuaciones 3.3.5A y 3.3.5B obteniendo el siguiente resultado:

( )2'

2''22

''

''

''

yx

xdd

ydy

dx

xd

x

dx

dYs

dXrYXr

dYYd

YY

s

dXX

d

XsX

⋅+

⋅=⇒+=⇒

⋅=⇒=

⋅=⇒⋅=

3.3.2A

3.3.3A 3.3.3B

3.3.4B

3.3.5B

3.3.2B

3.3.5A

3.3.4A

3.3.7A

3.3.8A

3.3.9A

3.3.7B

3.3.8B

3.3.9B

3.3.9A

3.3.9B

0 0



Si desarrollamos el sistema matricial de la ecuación 3.3.1A, sustituyendo antes los

respectivos valores que aparecen en la ecuación 3.3.1B obtenemos tres ecuaciones

distintas que conforman las siguientes coordenadas:

wwwc

wwwc

wwwc

z

y

x

w

w

w

c

c

c

zryrxrz

zryrxry

zryrxrx

T

T

T

z

y

x

rrr

rrr

rrr

z

y

x

⋅+⋅+⋅=⇒

⋅+⋅+⋅=⇒

⋅+⋅+⋅=⇒

+

⋅

=

987

654

321

987

654

321

Si sustituimos el valor de la ecuación 3.3.10A y 3.3.10C en la ecuación 3.3.9A se

obtiene lo siguiente:

)1( 21

''

987

321 rks

dX

Tzryrxr

Tzryrxrf

x

x

zwww

xwww ⋅+⋅⋅=+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

Análogamente, si sustituimos las expresiones 3.3.10B y 3.3.10C en la ecuación

3.3.9B se obtiene lo siguiente:

)1( 21

'

987

654 rkdYTzryrxr

Tzryrxrf y

zwww

ywww ⋅+⋅⋅=+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

La técnica propuesta por Tsai asume que la única distorsión que se produce en la

imagen es radial, lo que significa que ésta no afecta a la dirección del vector que va desde

el origen al punto en la imagen, es decir, los vectores diPO y uiPO , son colineales. Del

mismo modo, el vector wocPP es paralelo a estos vectores, donde ocP es un punto sobre el eje

Z a la altura de P (ver Figura 3.12). Esta restricción se conoce con el nombre de restricción

de alineamiento radial, y se cumple independientemente de los coeficientes radiales k1 y k2,

de la distancia focal efectiva f, y de la componente Tz del vector de traslación Tr. Sobre esta

base descansa la metodología de esta técnica.

Para la realización del método de calibración

de Tsai, se suele emplear una imagen de cuadrados

similar al que aparece en la Figura 3.14, cuyas

esquinas se utilizan como puntos de calibración.

Dicha imagen es tomada de una estructura de bloques

metálica. Con todo lo anterior, el problema que se

plantea es el de obtener los parámetros intrínsecos y

extrínsecos (que viene representados en la Tabla 3.2)

resolviendo las ecuaciones 3.3.11A y 3.3.11B a partir

de un conjunto de puntos de los objetos cuyas coordenadas en el sistema del

mundo ),,( www zyx son conocidas y cuyas coordenadas de la imagen ),( YX son medidas.

3.3.10A

3.3.10B

3.3.10C

3.3.11A

3.3.11B

Figura 3.14: Imagen patrón para calibración.

xd'xd

yd

'yd



Nota aclaratoria: El valor deR .

Los parámetros que intervienen en el Paso 1 de la Figura 3.13 de

transformación de coordenadas del objeto 3D al sistema de coordenadas 3D de la

cámara centrado en el centro óptico son justamente los parámetros extrínsecos. Existen

seis parámetros extrínsecos: los ángulos de Euler de Yaw θ, pitch φ y tilt ψ para la

rotación, y las tres componentes del vector de traslaciónTr

. En concreto, la matriz de

rotación R puede ser expresada en función de θ, φ y ψ del siguiente modo:

⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅+

⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅−

−⋅⋅+

=

)cos()cos()cos()sen()sen()sen()cos()cos()sen()cos()sen()sen(

)sen()cos()sen()sen()sen()cos()cos()cos()sen()cos()cos()sen(

)sen()cos()sen()cos()cos(

φθφθψφψφθψφψ

φθφθψφψφθψφψ

θθψθψ

R

PRÁMETROS INTRÍNSECOS PARÁMETROS EXTRÍNSECOS

DESIGNACIÓN OBSERVACIONES DESIGNACIÓN OBSERVACIONES

Longitud focal efectiva, f

Distancia entre el plano imagen y el centro de

proyección o centro óptico Matriz de rotación, R

Parámetros de la transformación entre el

sistema de coordenadas del mundo y el de la cámara

Distorsión de la lente, 1

k

Parámetro que modela la distorsión radial de la lente en

las direcciones x e y Matriz de traslación, T

r

Incertidumbre de escala, x

s

Factor de escala entre las coordenadas calculadas de los

píxeles y las coordenadas reales, debido a errores en el

proceso de digitalización

Coordenadas ),( yx cc Las coordenadas del punto

central de la imagen en píxeles

Tabla 3.2: Esquema general que representa el método de calibración de los dos planos.

El método de Tsai presenta dos variantes: una que emplea puntos de calibración

coplanarios y otra que requiere puntos de calibración en distintos planos. Ambas son

parecidas, si bien la segunda que es algo más precisa, exige un poco más de tiempo de

computación y es algo más laboriosa ya que necesita varios planos de calibración.



3.3.3. Calibración de la cámara utilizando un conjunto de puntos coplanares.

Para ayudar a aquellos lectores que piensan llevar a cabo la técnica propuesta en

sus propias aplicaciones, el desarrollo se orientará a la utilización del algoritmo.

Primeramente se expondrá el procedimiento del cómputo para cada paso de forma

individual aunque puedan aparecer otros problemas teóricos. La mayoría de los detalles

técnicos aparece en los cuadros de texto de demostraciones.

Figura 3.15: Esquema de la preparación experimental para la calibración de una cámara empleando un conjunto de puntos coplanares.

La Figura 3.15 ilustra el esquema de calibración empleando una cámara que usa

un patrón de puntos coplanar, todos ellos en el mismo plano. En el setup real, el plano

ilustrado en la figura es la superficie superior de un bloque de metal. La descripción

detallada del setup físico se da en la Sección IV-A1 del documento “A versatile camera

calibration technnique for high-accuracy 3D machina vision metrology usin off-the-shelf

TV cameras and lenses”.

Puesto que los puntos de la calibración están en un plano común, el Sistema de

Coordenadas ),,( www zyx puede escogerse tal que 0=wz y el origen de manera que no

esté próximo al centro de la vista, o eje de y, del Sistema de Coordenadas de la Cámara.

La ubicación del sistema ),,( www zyx puede ser definido por el propio usuario pues el

origen es arbitrario; de hecho, no presenta ningún problema que el origen de ),,( www zyx

esté fuera del campo de vista y no cerca del eje de y. El propósito de esto último es

asegurarse de que Ty no sea exactamente cero, para que el procedimiento de cómputo

descrito pueda hacerse de forma sencilla y concernida.

HARDWARE PARA ADIQUISICIÓN DE IMÁGENES

Y COMPUTADORA

CÁMARA

SUPERFÍCIE PLANA QUE CONTIENE LOS PUNTOS DE CALIBRACIÓN QUE SON LAS ESQUINAS DE LOS CUADRADOS



Los detalles sobre la resolución de las diferentes ecuaciones y los pasos a seguir,

según Roger Y. Tsai, son los que se citan a continuación:

1) Para cada punto de calibración i, obtener ),( didi YX despejando los oportunos

valores diX e diY de la ecuación 3.3.5A y 3.3.5B considerando el factor de escalado sx con

valor 1, puesto que no se calibra.

2) Resolver las cinco incógnitas 11 rTy ⋅−

, 21 rTy ⋅−

, xy TT ⋅−1, 4

1 rTy ⋅−, 5

1 rTy ⋅−, a partir de

la ecuación 3.3.12, que se obtiene por la aplicación de la restricción de alineamiento

radial, es decir, a partir de las ecuaciones 3.3.8A y 3.3.8B:

[ ] di

y

y

xy

y

y

widiwididiwidiwidi X

rT

rT

TT

rT

rT

yXxXYyYxY =

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅⋅−⋅−⋅⋅

−

−

−

−

−

51

41

1

21

11

El conjunto de i puntos daría lugar a un sistema matricial que resolveríamos por

mínimos cuadrados estudiado en el apéndice A si la cantidad de puntos no es 5. Los

subíndices i corresponden a los diferentes puntos de calibración.

Demostración 3.1: Obtención de la ecuación 3.3.12.

El sistema de ecuaciones 3.3.12 se puede obtener dividiendo las expresiones

3.3.8A y 3.3.8B y realizando posteriores operaciones. Además, debemos saber 0=wz :

di

di

ci

ci

di

di

ci

ci

ci

ci

Y

X

y

x

rkY

rkX

z

yf

z

xf

=⇒⋅+⋅⋅+⋅=⇒

)1(

)1(

B8.3.3

A8.3.32

1

21

Aplicando lo conocido en las ecuaciones 3.3.10A y 3.3.10B tenemos:

di

di

ywiwi

xwiwi

di

di

ywiwi

xwiwi

Y

X

Tyrxr

Tyrxr

Y

X

Tryrxr

Tryrxr =+⋅+⋅+⋅+⋅

⇒=+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

44

21

654

321

0

0

Operando en la expresión llegamos al resultado final que es el sistema matricial:

diwidiywidiydixywidiywidiy

ydiwidiwidixdiwidiwidi

ydiwidiwidixdiwidiwidi

ywiwidixwiwidi

XyXrTxXrTYTTyYrTxYrT

TXyXrxXrTYyYrxYr

TXyXrxXrTYyYrxYr

TyrxrXTyrxrY

=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅

⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅

+⋅+⋅⋅=+⋅+⋅⋅

−−−−− )()()()()(

)()(

41

411

21

11

5421

5421

5421

3.3.12



En pos, presentados las dos situaciones posibles, un sistema con una matriz

cuadrada de fácil resolución y otro sobredeterminado a resolver por mínimo cuadrados:

1

51

41

1

21

11

555555555

444444444

333333333

222222222

111111111

d

y

y

xy

y

y

wdwddwdwd

wdwddwdwd

wdwddwdwd

wdwddwdwd

wdwddwdwd

X

rT

rT

TT

rT

rT

yXxXYyYxY

yXxXYyYxY

yXxXYyYxY

yXxXYyYxY

yXxXYyYxY

=

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅

−

−

−

−

−

1

51

41

1

21

11

222222222

111111111

d

y

y

xy

y

y

wndnwndndnwndnwndn

wdwddwdwd

wdwddwdwd

X

rT

rT

TT

rT

rT

yXxXYyYxY

yXxXYyYxY

yXxXYyYxY

=

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅

⋅−⋅−⋅⋅

⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅

−

−

−

−

−

MMMMM

La restricción de alineamiento radial POPO ocdi || que aparece en la Figura 3.12 se

obtiene del argumento geométrico de que diPO y POoc son la intersección de un plano

que pasa a través de O, Poc y P con dos planos paralelos, uno el plano de la imagen y el

otro paralelo al plano de la imagen y que pasa a través de Poc y P. Igualmente,

POPO ocui || , por tanto uiocdi POPOPO |||| . La condición POPO ocdi || es equivalente a

decir que el producto vectorial POPO ocdi × es nulo, esto significa que

0)()( =⋅+⋅×⋅+⋅ jyixjYiX ccdd

rrrr

Aplicando el método general de producto escalar podemos calcular el vector

resultante y su correspondiente módulo:

0)(

0

0 =⋅−⋅ →⋅⋅−⋅= cdcdMÓDULO

cdcd

cc

dd xYyXkxYyX

yx

YX

kjir

rrr

La ecuación anterior 3.3.14 puede derivarse algebraicamente de 3.3.10A y 3.3.10B

para llegar a una ecuación semejante a la 3.3.12, que contiene las coordenadas de la

imagen ),( dd YX y las coordenadas mundiales ),,( www zyx de los puntos de calibración. Se

pueden usar las ecuaciones citadas obteniendo,

)()( 321654 xwwwdywwwd TzryrxrYTzryrxrX +⋅+⋅+⋅⋅=+⋅+⋅+⋅⋅

Reagrupando los términos en 3.3.15 de modo que, 11 rTy ⋅−

, 21 rTy ⋅−

, xy TT ⋅−1,

41 rTy ⋅−

, 51 rTy ⋅−

sean tratadas como incógnitas, y considerando el caso coplanar,

haciendo 0=wz , se obtiene la ecuación 3.3.12.

3.3.13

3.3.14

3.3.15

3.3.12A

3.3.12B



3) Obtener los valores de ),,,,( 91 yx TTrr K a partir de 11 rTy ⋅−

, 21 rTy ⋅−

, xy TT ⋅−1,

41 rTy ⋅−

, 51 rTy ⋅−

. Para ello, se define ia para 5,4,3,2,1=i del siguiente modo:

11

1 rTa y ⋅= − 21

2 rTa y ⋅= −

xy TTa ⋅= −13 4

14 rTa y ⋅= −

51

5 rTa y ⋅= −

que son valores previamente obtenidos a través de la ecuación 3.3.12.

3.1) Obtener || yT . Para ello, a partir de 11 rTy ⋅−

, 21 rTy ⋅−

, xy TT ⋅−1, 4

1 rTy ⋅−, 5

1 rTy ⋅−, se

define la siguiente matriz C como:

=

=

YY

YY

T

r

T

rT

r

T

r

cc

cc

54

21

54

21C

Si no hay ninguna fila o columna de C totalmente nula, entonces obtener 2yT

como sigue:

( )( )2

4251

24251

22

2

4

cccc

ccccSST rr

y ⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−−

=

24

23

22

21 ccccSr +++=

En caso contrario obtener 2yT como sigue,

222 1

jiy cc

T+

=

donde ci y cj son elementos de una fila o una columna no nula de la matriz C, es

decir, c1 y c2 o c4 y c5 o c1 y c4 o c2 y c5.

3.2) Determinar el signo de Ty de igual manera al caso coplanar.

3.2.1) Seleccionar un punto concreto i del objeto cuyas coordenadas de la imagen

),( ii YX estén lejos del centro de la imagen ),( yx cc .

Las coordenadas de dicho punto respecto al Sistema de Coordenadas Mundial

son ),,( wiwiwi zyx .

3.2.2) Elegir el signo de Ty como +1.

3.3.17

3.3.18

3.3.20

3.3.19

3.3.16A

3.3.16E

3.3.16B

3.3.16C 3.3.16D



3.2.3) Obtener las siguientes expresiones:

yTar ⋅= 11 yTar ⋅= 22

yx TaT ⋅= 3 yTar ⋅= 44

yTar ⋅= 55

xwiwic Tyrxrx +⋅+⋅= 21 ywiwic Tyrxry +⋅+⋅= 54

donde los valores de ai son los obtenidos al resolver el sistema 3.3.12.

3.2.4) Si cx y iX coinciden en signo y además cy y iY , entonces el signo de yT es +1, sino -1.

3.3) Obtener la matriz de rotación R, es decir, los valores 987654321 ,,,,,,,, rrrrrrrrr .

3.3.1) Obtener las siguientes expresiones (las mismas que en caso anterior):

yTar ⋅= 11 yTar ⋅= 22

yx TaT ⋅= 3 yTar ⋅= 44

yTar ⋅= 55

donde los valores de ai son los obtenidos al resolver el sistema 3.3.12.

3.3.2) Obtener la matriz de rotación R empleando la expresión 3.3.1B.

Dados los valores 6,5,4,3,2,1=iri , que son elementos en las dos primeras filas

de R, los términos que faltan 963 y , rrr se determinan a partir de la propiedad de

ortonormalidad de la matriz R con las dos primeras filas y considerando que los vectores

fila son unitarios y el determinante de R es 1. Esto es,

111

11

11

11

11

25

24

22

21

28

279

29

28

27

25

228

28

25

22

24

217

27

24

21

25

246

26

25

24

22

213

23

22

21

−+++=−−=⇒=++

−−=⇒=++

−−=⇒=++

−−⋅=⇒=++

−−=⇒=++

rrrrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrsrrrr

rrrrrr

−+++−−−−−−⋅

−−=

111

1

1

25

24

22

21

25

22

24

21

25

2454

22

2121

rrrrrrrr

rrsrr

rrrr

R

3.3.22A

3.3.22B

3.3.22C

3.3.21A

3.3.21E

3.3.21B

3.3.21C 3.3.21D

3.3.21F 3.3.21G

3.3.21A

3.3.21E

3.3.21B

3.3.21C 3.3.21D

3.3.23

3.3.22D

3.3.22E



4) Obtener la longitud focal efectiva, los coeficientes de distorsión y la posición cz .

4.1) Obtener un valor aproximado de f y zT , ignorando la distorsión de la lente.

Para cada punto de calibración i, debemos establecer la siguiente ecuación lineal

donde intervienen f y zT como incógnitas,

[ ] iyi

z

yi YdwT

fdy ⋅⋅=

⋅− ''

donde ywiwii Tryrxry +⋅+⋅+⋅= 0654 y 0987 ⋅+⋅+⋅= ryrxrw wiwii .

Con varios puntos de calibración del objeto se obtiene un sistema

sobredeterminado de ecuaciones lineales que se puede resolver para encontrar solución a

las incógnitas f y zT . El plano de calibración debe ser lo menos paralelo posible al plano

imagen puesto que esto conllevaría que en el sistema de ecuaciones 3.3.1B aparecerían

dependencias lineales impidiendo su resolución.

La ecuación 3.3.1B se obtiene, tal y como podría haber intuido el lector, de la

ecuación 3.3.11B considerando la constante de distorsión k1 nula. Puesto que a esta

altura del procedimiento ya son conocidos R, Tx y Ty son conocidos, la ecuación 3.3.1B es

una ecuación lineal con incógnitas f y zT . El sistema de ecuaciones sobredeterminado

puede resolverse por el método de mínimo cuadrados.

Conviene advertir que aunque la ecuación 3.3.11A proporciona una ecuación

similar, resultaría redundante, puesto que las incógnitas que de dicho sistema de

ecuaciones ya las habríamos obtenido antes.

Si tras este proceso de longitud focal resultara con un valor negativo ( 0<f ),

entonces la matriz R de 3.3.23 debe recalcularse de la siguiente manera:

−+++−−−−−−−−⋅−

−−−=

111

1

1

25

24

22

21

25

22

24

21

25

2454

22

2121

rrrrrrrr

rrsrr

rrrr

R

4.2) Obtener la solución exacta de f , zT y 1k .

Resolver la ecuación 3.3.11B con f , zT y k1 como incógnitas utilizando algún

método de optimización, tal como el gradiente conjugado. Utilizar las estimas anteriores

para f y zT como estimas iniciales y poner k1 a cero también para la estima inicial.

3.3.24

3.3.25



3.3.4. Calibración de la cámara utilizando un conjunto de puntos no coplanares.

Con el método de calibración de Tsai de datos coplanares no puede calcularse el

factor de escala sx. Para poder obtenerlos se debe usar otro método en el que los puntos

no estén en el mismo plano. Por tanto, cuando sx no sea conocido a priori deben usarse

las técnicas de la calibración que usan un conjunto de puntos de calibración no

coplanares.

El mismo patrón usado en el caso coplanar puede emplearse ahora, sólo con la

diferencia de que en el caso anterior el patrón se movía a varias alturas z. Podemos pensar

en emplear para el procedimiento de calibración un patrón que sea físicamente no

coplanar, claro, pero es mucho más sencillo de fabricar un patrón de puntos coplanares

que de no coplanares pues deben conocerse las coordenadas de la imagen con precisión.

Por tanto, la dificultad radica ahora en generar un patrón de puntos del que se conozcan

con exactitud sus coordenadas, ya que es más fácil realizarlo si todos están en el mismo

plano.

Los detalles sobre la resolución de las diferentes ecuaciones y los pasos a seguir

son:

1) Para cada punto de calibración i, obtener ),( didi YX despejando los

correspondientes valores diX e diY de la ecuación 3.3.5A y 3.3.5B considerando el factor de

escalado sx.

2) Resolver las siete incógnitas 11 rsT xy ⋅⋅−

, 21 rsT xy ⋅⋅−

, 31 rsT xy ⋅⋅−

, xxy TsT ⋅⋅−1,

41 rTy ⋅−

, 51 rTy ⋅−

, 61 rTy ⋅−

a partir de la ecuación 3.3.26, que se obtiene por la aplicación de

la restricción de alineamiento radial y a partir de las ecuaciones 3.3.8A y 3.3.8B como en

el caso coplanar.

[ ] di

y

y

y

xxy

xy

xy

xy

widiwidiwididiwidiwidiwidi X

rT

rT

rT

TsT

rsT

rsT

rsT

zXyXxXYzYyYxY =

⋅

⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅⋅

−

−

−

−

−

−

−

61

51

41

1

31

21

11

El conjunto de i puntos daría lugar a un sistema matricial que resolveríamos por

mínimos cuadrados si tenemos más de siete puntos de calibración, en caso contrario,

resolveríamos de forma directa si tiene exactamente siete puntos de calibración.

3.3.26



3) Obtener los valores de ),,,,( 91 yx TTrr K a partir de 11 rsT xy ⋅⋅−

, 21 rsT xy ⋅⋅−

,

31 rsT xy ⋅⋅− , xxy TsT ⋅⋅−1 , 4

1 rTy ⋅− , 51 rTy ⋅− , 6

1 rTy ⋅− . Para ello, se define ia para 7,,2,1 K=i

del siguiente modo:

11

1 rsTa xy ⋅⋅= − 21

2 rsTa xy ⋅⋅= − 31

3 rsTa xy ⋅⋅= −

xxy TsTa ⋅⋅= −14 4

15 rTa y ⋅= − 5

16 rTa y ⋅= −

61

7 rTa y ⋅= −

3.1) Obtener || yT . Para ello, a partir de las expresiones 3.3.27ELF, se aplica la

siguiente expresión:

27

26

25

1||

aaaTY

++=




2

2

26

25

24

2

2

26

25

24

2

26

2

25

2

24

26

125

124

1

61

7

51

6

41

5

27

26

25

||1

||||1

||1

||

)()()(

1||

1||

yY

y

Y

y

Y

y

Y

yyy

Y

yyy

Y

y

y

y

Y

TTT

Trrr

TT

T

rrrT

T

r

T

r

T

rT

rTrTrTT

rTa

rTa

rTa

aaaT

=⇒=⇒++

=⇒++

=⇒

++=

⋅+⋅+⋅=⇒

⋅=

⋅=

⋅=

⇒++

=−−−

−

−

−

3.2) Determinar el signo de Ty de igual manera al caso coplanar.

3.3) Determinar el valor de sx. Para ello, a partir de las expresiones 3.3.27ALC,

23

22

21|| aaaTs Yx ++⋅=




22

2

23

22

212

2

2

22

32

22

22

22

1

23

122

121

1

31

3

21

2

11

1

23

22

21

1||

||||

)()()(||||

xxx

y

Yx

y

xYx

y

x

y

x

y

xYx

xyxyxyYx

xy

xy

xy

Yx

sssT

Tsrrr

T

sTs

T

sr

T

sr

T

srTs

rsTrsTrsTTs

rsTa

rsTa

rsTa

aaaTs

=⇒⋅⋅=⇒++⋅⋅=⇒⋅+⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=⇒

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

⇒++⋅= −−−

−

−

−

3.3.28

3.3.29

3.3.27A 3.3.27B

3.3.27G

3.3.27C

3.3.27D 3.3.27E 3.3.27F



3.4) Obtener la matriz de rotación R, es decir, los valores 987654321 ,,,,,,,, rrrrrrrrr .

3.4.1) Obtener las siguientes expresiones:

11

1 asTr xy ⋅⋅= − 21

2 asTr xy ⋅⋅= − 31

3 asTr xy ⋅⋅= −

54 aTr y ⋅= 65 aTr y ⋅= 76 aTr y ⋅=

41 asTT xyx ⋅⋅= −

que puede convertirse en las siguientes nuevas ecuaciones si aplicamos lo

conocido de 3.3.25 y 3.3.26:

23

22

21

11 )sgn(

aaa

aTr y

++⋅=

27

26

25

54 )sgn(

aaa

aTr y

++⋅=

23

22

21

22 )sgn(

aaa

aTr y

++⋅=

27

26

25

65 )sgn(

aaa

aTr y

++⋅=

23

22

21

33 )sgn(

aaa

aTr y

++⋅=

27

26

25

76 )sgn(

aaa

aTr y

++⋅=

23

22

21

4)sgn(aaa

aTT yx

++⋅=

donde los valores de ai son los obtenidos al resolver el sistema 3.3.26 y la función

sgn(x) define el signo de la variable x, es decir, ||)sgn(y

yy T

TT = .

3.4.2) Obtener la matriz de rotación R empleando la expresión 3.3.1B.

Dados los valores 6,5,4,3,2,1=iri , que son elementos en las dos primeras filas

de R, los términos que faltan 987 y , rrr se determinan a partir de la propiedad de

ortonormalidad de la matriz R con las dos primeras filas y considerando que los vectores

fila son unitarios y el determinante de R es 1. Esto es,

26

239

29

26

23

25

228

28

25

22

24

217

27

24

21

11

11

11

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

−−=⇒=++

−−=⇒=++

−−=⇒=++

−−−−−−=

26

23

25

22

24

21

654

321

111 rrrrrr

rrr

rrr

R

3.3.30A 3.3. 30B

3.3.30G

3.3.30C

3.3.30D 3.3.30E 3.3.30F

3.3.31A

3.3.31B

3.3.31G

3.3.31C

3.3. 31D

3.3.31E

3.3.31F

3.3.32A

3.3.32B

3.3.32C

3.3.33



4) Obtener la longitud focal efectiva, los coeficientes de distorsión y la posición cz .


Para cada punto de calibración i, debemos establecer la siguiente ecuación lineal

donde intervienen f y zT como incógnitas,

[ ] iyi

z

yi YdwT

fdy ⋅⋅=

⋅− ''

donde ywiwii Tryrxry +⋅+⋅+⋅= 0654 y 0987 ⋅+⋅+⋅= ryrxrw wiwii . Con varios

puntos de calibración del objeto se obtiene un sistema sobredeterminado de ecuaciones

lineales que se puede resolver para encontrar solución a las incógnitas f y zT .

El plano de calibración debe ser lo menos paralelo posible al plano imagen puesto

que esto conllevaría que en el sistema de ecuaciones 3.3.1B aparecerían dependencias

lineales impidiendo su resolución.

La ecuación 3.3.1B se obtiene, tal y como podría haber intuido el lector, de la

ecuación 3.3.11B considerando la constante de distorsión k1 nula. Puesto que a esta

altura del procedimiento ya son conocidos R, Tx y Ty son conocidos, la ecuación 3.3.1B es

una ecuación lineal con incógnitas f y zT . El sistema de ecuaciones sobredeterminado

puede resolverse por el método de mínimo cuadrados.

Conviene advertir que aunque la ecuación 3.3.11A proporciona una ecuación

similar, resultaría redundante, puesto que las incógnitas que de dicho sistema de

ecuaciones ya las habríamos obtenido antes.

Si tras este proceso de longitud focal resultara con un valor negativo ( 0<f ),

entonces la matriz R de 3.3.26 debe recalcularse de la siguiente manera:

−−−−−−−−−−

=2

62

32

52

22

42

1

654

321

111 rrrrrr

rrr

rrr

R


Resolver la ecuación 3.3.11B con f , zT y k1 como incógnitas utilizando algún

método de optimización, tal como el gradiente conjugado. Utilizar las estimas anteriores

para f y zT como estimas iniciales y poner k1 a cero también para la estima inicial.

3.3.34

3.3.35



3.3.5. Enmiendas del método de calibración de Tsai I: Técnica de Ayache.

Este método se fundamenta, principalmente, en la

utilización de un modelo de cámara que coincide con el modelo

empleado en la calibración de Tsai y que, como recordaremos,

venía expresado a través de la ecuación 3.3.1A.

En sí, y al igual que el método de calibración de Tsai, este

método trata de obtener los elementos que conforman la matriz

de rotación R y las componentes del vector de

traslación Tr

partiendo de la ecuación 3.3.1A:

TPP wc

r+⋅= R ⇔ T

z

y

x

z

y

x

w

w

w

c

c

c

r+

⋅=

R

Sin embargo, y a pesar de la gran cantidad de similitudes que presenta éste

método respecto al anterior, la diferencia principal entre ambas técnicas radica en el valor

de la componente Tr

del vector Tr

pues puede considerase con un valor unitario, de forma

que se tiene las once incógnitas siguientes:

[ ]Tyx TTrrrrrrrrr 987654321=θ

Además, se toma la consideración de asumir un valor para la distancia focal

de 1=f . Dado un punto de la imagen representado en coordenadas 3D del mundo

),,( wwww zyxP y su respectiva proyección dada por la expresión 3.3.1A, se obtiene dos

ecuaciones sustituyendo las premisas indicadas en las ecuaciones 3.36A y 3.36B:

)1(1

21

''

987

321 rks

dX

zryrxr

Tzryrxr

x

x

www

xwww ⋅+⋅⋅=+⋅+⋅+⋅

+⋅+⋅+⋅

)1(1

21

'

987

644 rkdYzryrxr

Tzryrxry

www

ywww ⋅+⋅⋅=+⋅+⋅+⋅

+⋅+⋅+⋅

En esta situación, dados n puntos de la imagen, se obtiene un sistema de

ecuaciones que puede resolverse por el método de mínimo cuadrados o por el filtro de

Kalman. En este último caso, añadiendo un ruido adicional en la medida de las

coordenadas del punto imagen.

3.3.1A

3.36B

3.36A

Figura 3.15: Imagen de Nicholas Ayache.



3.3.6. Enmiendas del método de calibración de Tsai II: Técnica de Song De Ma.

Este método de calibración considera exactamente los mismos parámetros

extrínsecos que venían descritos en la sección 3.3 y que eran empleados el método de

Tsai, aunque no ocurre lo mismo con los parámetros intrínsecos. Los parámetros

intrínsecos obtenidos durante el proceso de calibración son los siguientes:

• Centro de la imagen ),( yx cc .

• Distancias focales, xf y yf donde dichos valores son:

xx d

ff =

yy d

ff =

Siendo xf y yf las dimensiones de un píxel en las direcciones x e y.

En cuanto al procedimiento de calibración, éste se realiza mediante

desplazamientos de la cámara. Cuando tales desplazamientos se pueden definir como

traslaciones puras, los vectores desplazamiento intersectan en un punto conocido como

Foco de Expansión.

Los parámetros extrínsecos se determinan a partir de un movimiento general y los

parámetros intrínsecos a partir de 6 traslaciones puras. Como quiera que dichos

parámetros puedan desajustarse, propone un método de auto-calibración sin usar objeto

de referencia conocido.



3.4. Método de calibración de Zhang.

A lo largo de este apartado proponemos una nueva

técnica flexible para calibrar una cámara fácilmente. Sólo se

exige a la cámara observar un patrón bidimensional mostrado

en unas pocas (por lo menos dos) orientaciones diferentes.

Una de las partes tiene libertad de movimiento, es decir, o la

cámara o el patrón plano puede moverse libremente, pero

ambos a la vez no. No es completamente necesario tener

conocimiento del movimiento llevado a cabo y, como otra de

las ventajas que puede tener este método, se trata del

planteamiento de un modelo de distorsión radial de la lente.

El procedimiento propuesto consiste en una solución closed-form, seguida por un

refinamiento no lineal basado en el criterio de máxima probabilidad. Según Zhengyou

Zhang, se han obtenido unos resultados tremendamente buenos y se han empleado los

datos reales obtenidos de la cámara para aplicarlos en simulación de la computadora y

probar, de este modo, la técnica propuesta. El software correspondiente está disponible

de la página de Web del autor http://research.microsoft.com/~zhang/.

Comparado con técnicas clásicas que usan un equipo más caro, la técnica

propuesta es fácil de usar y flexible. Avanza un paso más en la visión 3D por computador

permitiendo un salto desde laboratorios hacia un uso en el mundo cotidiano. La técnica

que viene desarrollada en la presente sección únicamente exige la observación,

obviamente por parte de la cámara, de un patrón de calibración plano en unas (por lo

menos) diferentes orientaciones. Tal patrón puede imprimirse directamente de una

impresora o fotocopiadora láser y puede unirse a otros patrones ya creados mediante, por

ejemplo, una encuadernación dura. Tanto la cámara como el patrón plano pueden

moverse a mano, pero recordando que tal movimiento debe ejecutarse alternativamente y

no simultáneamente. Además, no debemos obligatoriamente ejecutar un movimiento

conocido por lo que no es necesario afinar en el movimiento. El procedimiento

propuesto, que emplea información de medición 2D, esta catalogado como una

combinación de calibración fotogramétrica, que utiliza un modelo explícito 3D y auto-

calibración, que emplea movimientos rígidos o, equivalentemente, información 3D

explícita. Se ha experimentado usando simulación por computador a partir de los datos

reales para probar la técnica propuesta, y se han obtenido los resultados muy buenos.

Comparado con las técnicas clásicas, la técnica propuesta es considerablemente más

flexible. Comparado con la auto-calibración, gana un grado considerable de robustez.

Figura 3.15: Imagen

de Zhengyou Zhang



3.4.1. Desarrollo matemático generalizado.

Examinaremos las restricciones que aparecen en los parámetros intrínsecos de la

cámara procedentes de la observación de un solo plano. Primeramente expondremos la

notación matemática empleada en esta sección.

Un punto bidimensional viene denotado por un vector de la siguiente manera:

=

y

xpr

Un punto tridimensional se denota por un vector cuyas componentes son las

siguientes:

=

Z

Y

X

Pr

Emplearemos el carácter alfanumérico ~ para referirnos a la adición de una

componente con valor unitario al final del correspondiente vector, esto es,

=

1

~y

x

pr

=

1

~

Z

Y

X

Pr

En esta técnica, como en las anteriores estudiadas, se basa en la utilización de un

modelo de cámara apoyado en el modelo pin-hole. Por lo tanto, la relación entre un punto

tridimensional y su correspondiente imagen viene dado por la expresión siguiente:

[ ] PTps~~ rrr ⋅⋅=⋅ RA

donde s es un factor de escala arbitrario y A es llamada matriz intrínseca de la

cámara.

3.4.1A

3.4.2B

3.4.1B

3.4.2B

3.4.3



En la matriz A aparecen las coordenadas del punto principal ),( 00 yx , α y β son

factores de escala en las direcciones de los ejes x e y del sistema de coordenadas de la

imagen y, además, el parámetro γ describe la inclinación de ambos ejes de la imagen:

=

100

0 0

0

y

x

β

γα

A

Los parámetros R y Tr

son conocidos como los parámetros extrínsecos (similares a

los seleccionados en la técnica de calibración de Tsai) y hacen referencia a una rotación R

y una traslación Tr

que relacionan el sistema de coordenadas del mundo con el sistema de

coordenadas de la cámara:

=

987

654

321

rrr

rrr

rrr

R

=

z

y

x

T

T

T

Tr

Sin perdida de generalidad, a lo largo del desarrollo teórico de esta técnica

asumiremos que el modelo plano está a una altura 0=Z respecto al sistema de

coordenadas del mundo. De la expresión 3.4.3 podemos obtener, sustituyendo en ella los

valores de cada término (ecuaciones 3.4.1B, 3.4.2B, 3.4.3A y 3.4.3B), una expresión

nueva del modelo seguido:

[ ] PTps T~~ rrr ⋅⋅=⋅ RA ⇔

⋅

⋅

=

⋅

1

0100

0

1 987

654

321

0

0

Y

X

Trrr

Trrr

Trrr

y

x

y

x

s

z

y

x

β

γα

Abusando de notación, emplearemos Pr

para referirnos a un punto en el modelo

plano, pero, en realidad, la ecuación 3.4.2B se convierte en [ ]TYXP =r

puesto que Z

siempre va a anularse. De igual manera, pasamos a una expresión [ ]TYXP 1~

=r

:

=

Y

XPr

=

1

Y

X

Pr

3.4.3A

3.4.3B

3.4.4

3.4.5A

3.4.5B



Debido a los cambios realizados, un punto tridimensional y su imagen viene

relacionados por la siguiente expresión:

⇒

⋅

⋅

=

⋅

1

0100

0

1 987

654

321

0

0

Y

X

Trrr

Trrr

Trrr

y

x

y

x

s

z

y

x

β

γα

⋅

⋅

=

⋅

1100

0

1 87

54

21

0

0

Y

X

Trr

Trr

Trr

y

x

y

x

s

z

y

x

β

γα

Pps~~ rr ⋅Η=⋅

donde la matriz que relaciona ahora ambas coordenadas se denomina homografía

H:

⋅

=

z

y

x

Trr

Trr

Trr

y

x

87

54

21

0

0

100

0 β

γα

H

Dada una imagen del modelo plano, podremos estimar una homografía, es decir,

desarrollando la ecuación 3.4.8 multiplicando ambas matrices, obtenemos la siguiente

expresión:

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

=

z

zy

zyx

Trr

TyTryrryr

TxTTrxrrrxrr

87

0805704

080527041

βββ

γαγαγα

H

Definimos una nueva matriz como el resultado de la ecuación 3.4.9 multiplicado

por un cierto escalar:

[ ]TT

hhh

hhh

hhh

rRA ⋅⋅=

λ

987

654

321

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅=

z

zy

zyx

Trr

TyTryrryr

TxTTrxrrrxrr

hhh

hhh

hhh

87

0805704

080527041

987

654

321

βββ

γαγαγα

λ

donde λ es un escalar arbitrario.

3.4.6

3.4.8

3.4.7

3.4.9

3.4.10B

3.4.10A



Usando el conocimiento de que los vectores [ ]Trrr 741 y [ ]Trrr 852 son

ortogonales, tenemos lo siguiente:

[ ] ( ) 0

8

5

2

11

741 =

⋅⋅⋅ −−

h

h

h

AAhhhT

que viene demostrado en el apéndice B, apartado B, del final del estudio.

Además, podemos obtener otra expresión:

[ ] ( ) [ ] ( )

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅ −−−−

8

5

2

11

852

7

4

1

11

741

h

h

h

AAhhh

h

h

h

AAhhhTT

que también viene demostrado en dicho apéndice, apartado C. Estas dos

expresiones 3.4.11 y 3.4.12 son dos restricciones básicas de los parámetros intrínsecos,

que dan lugar a una homografía. Puesto que una homografía tiene ocho grados de

libertad, siendo seis de ellos parámetros extrínsecos (tres para rotación y otros tres para

traslación), nosotros seremos capaces de obtener dos restricciones para los parámetros

intrínsecos. Debemos tener en cuenta que el valor de ( ) 11 −− ⋅ AAT

viene desarrollado en el

apéndice B, apartado A. En seguida, daremos a lo visto una interpretación geométrica.

Nota Aclaratoria: las homografías y las escenas planas.

Este tipo de ente matemático es empleado, generalmente, en estudios de

geometría descriptiva de dos cámaras cuando el mundo está compuesto por un plano.

Las imágenes de puntos 3D sobre un plano están relacionadas por una homografía,

por tanto se dice que un plano induce una homografía entre las vistas. La homografía

transfiere puntos de una vista a la otra como si estos estuvieran sobre el plano.

Figura 3.15: Imagen de Zhengyou Zhang

3.4.11

3.4.12



Si relacionamos las ecuaciones 3.4.11 y 3.4.12, no es excesivamente complicado

verificar que el modelo plano, en arreglo a nuestra conformidad, esté descrito en el

sistema de coordenadas de la cámara por la siguiente ecuación:

[ ] 0963963 =

⋅⋅+⋅+⋅

c

c

c

c

zyx

w

z

y

x

TrTrTrrrr

De la expresión anterior conocemos que si 0=cw , lo es para puntos ubicados en

el infinito y 1=cw para el resto de casos. Este plano intersecta el plano en el infinito en

una línea que puede percibiese fácilmente:

0

7

4

1

r

r

r

y

0

8

5

2

r

r

r

Son dos puntos particulares de la línea. Cualquier otro punto contenido en esta

recta es una combinación lineal de tales puntos, es decir,

⋅+⋅

⋅+⋅

⋅+⋅

=

⋅+

⋅=∞

000

87

54

21

8

5

2

7

4

1

rbra

rbra

rbra

r

r

r

br

r

r

axr

Por definición, el punto ∞xr

, conocida con el nombre de punto circular, satisface

la siguiente expresión:

0=⋅ ∞∞ xxT rr

3.4.13

3.4.14A

3.4.14B

3.4.15

3.4.16



es decir,

⋅+

⋅⋅

⋅+

⋅=⋅ ∞∞

0000

8

5

2

7

4

1

8

5

2

7

4

1

r

r

r

br

r

r

ar

r

r

br

r

r

axx

T

T rr

El resultado final, demostrado en el apéndice B apartado C, es el siguiente:

022 =+ ba

La solución a la última expresión es iab ⋅±= , donde i es la variable imaginaria.

Sustituyendo este valor obtenido en la ecuación 3.4.15, tenemos que los dos puntos de

intersección son:

⋅±⋅

⋅±⋅

⋅±⋅

⋅=

⋅⋅±

⋅=∞

000

87

54

21

8

5

2

7

4

1

rira

rira

rira

ar

r

r

iar

r

r

axr

El significado de este par de puntos complejos conjugados radica en que éstos son

invariantes a transformaciones euclídeas. Su proyección en el plano imagen viene dada,

para un factor escalar, por

⋅±

=

⋅±

⋅⋅=∞

8

5

2

7

4

1

8

5

2

7

4

1

00

~

h

h

h

i

h

h

h

r

r

r

ir

r

r

p Aλr

De igual manera, tendríamos,

[ ] [ ]( ) ( ) 0

8

5

2

7

4

1

11

852741 =

⋅±

⋅⋅⋅⋅± −−

h

h

h

i

h

h

h

AAhhhihhhT

que requiere que tanto la parte imaginaria como la real sean nulas. Esto puede

verse al aplicar las expresiones 3.4.11 y 3.4.12.

3.4.17

3.4.19

3.4.20

3.4.21

3.4.22



3.4.2. Resolución de la calibración de la cámara.

Esta sección proporciona los detalles suficientes para conocer cómo resolver el

problema de calibración de cámara de manera eficaz. Nosotros empezamos con una

solución analítica, seguida por una técnica de optimización de no lineal basada en el

criterio de probabilidad máximo. Finalmente, tal y como se había explicado al principio

de la sección 3.4, tenemos en cuenta la distorsión de lente, damos ambas soluciones,

tanto la analítica como la del no lineal.

Primeramente obtenemos como solución de closed-form la siguiente matriz B:

( ) 11 −− ⋅= AABT

Para ello nos hace falta conocer el valor de la inversa por lo que la calcularemos

empleando el método por pivotación de Gauss:

−

−−

=−

100

10

1

0

00

1

ββ

αββγ

αβγ

αy

xy

A

Por tanto, tenemos que la matriz B se puede obtener de la siguiente forma:

( )

++−+−−

+−+−

−−

=

⋅= −−

22

22

0

22

00

22

22

00

2

00

22

22

00

22

22

2

2

00

22

333231

232221

131211

11

)()()(

)(

1

βαβαβγ

βααγβγ

βαβγ

βααγβγ

βααγ

βαγ

βαβγ

βαγ

α

yxyyxxy

yx

xy

BBB

BBB

BBB

TAAB

Debemos notar que la matriz B es simétrica, definida por un vector de seis

componentes,

[ ]TBBBBBBb 332322131211 ,,,,,=r

Una vez estimado el vectorbr

, nosotros podemos computar todos los parámetros

intrínsecos de la cámara. La matriz B se estima para un cierto escalar, es decir,

( ) 11 −− ⋅⋅= AABTλ

con λ un escalar arbitrario.

3.4.23

3.4.24

3.4.25

3.4.26

3.4.27



Sin dificultad alguna, podemos extraer los parámetros intrínsecos de la matriz B:

2

122211

231113120

BBB

BBBBy

−−=

11

231113120

2

1333

)(

B

BBBByBB

−+−=λ

11B

λα =

2

122211

11

BBB

B

−= λβ

12

2

Bλ

βαγ −=

13

2

00 Byxλ

ααγ −=

Una vez obtenido el valor de la matriz A, los parámetros extrínsecos para una

imagen son rápidamente computados. De la ecuación 3.4.8, tenemos lo siguiente:

⋅⋅=

−

7

4

1

1

7

4

1

h

h

h

r

r

r

Aλ

⋅⋅=

−

8

5

2

1

8

5

2

h

h

h

r

r

r

Aλ

×

=

8

5

2

7

4

1

9

6

3

r

r

r

r

r

r

r

r

r

⋅⋅=

−

9

6

3

1

h

h

h

T

T

T

z

y

x

Aλ

Con un valor de λ concreto. Por supuesto, si existiera un ruido en la obtención de

la información, la matriz computada R no sería, en general, una matriz que satisfaciera las

propiedades de una matriz de rotación, es decir, los módulos de los vectores deben ser

unitarios. Por tanto, el valor de λ debe ser:

1

8

5

2

1

1

7

4

1

1

−

−

−

−

⋅=

⋅=

h

h

h

h

h

h

AAλ

3.4.28A

3.4.28B

3.4.28C

3.4.28D

3.4.28E

3.4.28F

3.4.29A

3.4.29B

3.4.29C

3.4.29D

3.4.30



3.4.3. Procedimiento de calibración del método estudiado.

El procedimiento de calibración recomendados es el siguiente:

1) Imprimir un patrón y unirlo a una superficie plana.

2) Tomar una serie de imágenes del modelo plano desde diferentes

orientaciones moviendo para ello la cámara o el plano.

3) Detectar los puntos importantes de la imagen.

4) Estimar los cinco parámetros intrínsecos y todos los parámetros

extrínsecos utilizando una solución de tipo closed-form, descrita antes.

5) Afinar todos los parámetros, incluyendo la distorsión de la lente.



3.5. Comparativa sobre las técnicas y tecnologías existentes.

En esta sección se realiza una comparativa analizando las ventajas y desventajas de

las tecnologías expuestas en el capítulo anterior para la realización de una buena

calibración de cámaras.

La calibración de la cámara es un procedimiento necesario en visión por

computador para conseguir extraer la información dimensional y geométrica de una

imagen 2D. Como ya sabemos, la calibración es el método mediante el cual se estiman los

parámetros intrínsecos y extrínsecos de la cámara, así como los parámetros del

manipulador.

El calibrar la cámara según la matriz de transformación de perspectiva equivale a

determinar 12 elementos, para lo cual es necesario plantear un sistema de 12 ecuaciones,

que requiere un mínimo de 6 puntos. Cuando el sistema de ecuaciones es homogéneo se

hace necesario fijar una de las incógnitas.

Respecto a este sistema podemos ser capaces de determinar las 11 incógnitas del

vector utilizando la matriz pseudoinversa, si al menos son conocidos 6 o más puntos

3D y sus respectivas coordenadas imagen para así trabajar con un sistema

sobredeterminado.

El método de calibración de cámaras mediante dos planos aunque no soluciona el

problema de la proyección directa, presenta la ventaja de ofrecer la recta de proyección

correspondiente a cada píxel de la imagen sin tener que asumir ningún modelo de cámara

en particular además de que las ecuaciones a resolver son lineales, ya que la calibración de

cámaras mediante dicho método se realiza a partir de rectas de proyección, lo que

computacionalmente es de gran importancia.

Sin embargo, la técnica propuesta por Roger Y. Tsai es a día de hoy, una de las

más extensamente empleadas. La mayor parte de las aplicaciones industriales de visión

artificial utilizan dicha técnica por su gran precisión y versatilidad. Ya que como se ha

comentado anteriormente, el objetivo fundamental de dicha técnica es la búsqueda de

una restricción, o ecuación en donde intervengan diversas constantes, que sean

únicamente una función de un subconjunto de los parámetros de calibración para reducir

el tamaño del espacio de parámetros de calibración.



Además, la técnica propuesta por Tsai tiene en cuenta el efecto de la distorsión de

la lente, asumiendo que la única distorsión que se produce en la imagen es radial.

Se ha de tener encuenta que el método de Tsai presenta dos variantes: una que

emplea puntos de calibración coplanarios y otra que requiere puntos de calibración en

distintos planos. Ambas son parecidas, si bien la segunda que es algo más precisa, exige

un poco más de tiempo de computación y es algo más laboriosa ya que necesita varios

planos de calibración.

Una técnica flexible para calibrar una cámara fácilmente se basa en la observación

de un patrón bidimensional mostrado en unas pocas (por lo menos dos) orientaciones

diferentes. Dicha técnica es la correspondiente al método de calibración de Zhang, donde

como se ha comentado en capítulos previos, una de las partes tiene libertad de

movimiento sin necesidad de conocer el movimiento llevado a cabo en la observación de

dicho patrón.

Comparado con técnicas clásicas que usan un equipo más caro, la técnica

propuesta es fácil de usar y flexible. Avanza un paso más en la visión 3D por computador

permitiendo un salto desde laboratorios hacia un uso en el mundo cotidiano.

Otros métodos comúnmente utilizados para realizar la calibración de cámaras son

la auto-calibración y la calibración fotogramétrica. Como se comentó en el capítulo

anterior, mediante la auto-calibración no se puede saber cual es el tamaño real de los

objetos captados por las cámaras (un objeto pequeño cerca del centro óptico puede tener

la misma imagen que el mismo objeto agrandado más cerca del plano de imagen), ya que

la reconstrucción realizada con dicho modelo viene afectada por un factor de escala.

Si lo que se busca es una reconstrucción 3D precisa, como es el caso de muchas de

las aplicaciones de la robótica, es recomendable utilizar la calibración fotogramétrica.

Capítulo 5 Aplicaciones


APLICACIONES

En cualquier sistema de visión artificial que se precie es necesaria una calibración

de la cámara de dicho sistema puesto que, como ya conocemos, si la cámara está

correctamente calibrada, será posible establecer una relación entre las coordenadas

tridimensionales de los objetos que forman parte de la escena y sus correspondientes

proyecciones bidimensionales, y viceversa.

A continuación, expondremos una serie de aplicaciones o ejemplos de utilización

de un sistema de visión donde se encuentra implicada la calibración de la cámara en el

desarrollo del proceso que realiza dicho sistema.

Efectivamente, en esta sección se muestran algunos ejemplos en los que se puede

apreciar el campo de aplicaciones de la calibración de un Sistema de Visión Artificial:

• Fotogrametría.

En la fotogrametría se persigue realizar mediciones del espacio 3D a partir de

fotografías tomadas de la escena. De esta manera es posible medir superficies,

construcciones, objetos, etc.

Asimismo, se puede llevar a cabo una topología de un terreno o incluso la

medición del posicionamiento de una borrasca.

CAPÍTULO 4



• Rectificación Métrica.

Mediante esta técnica es posible hacer correcciones de perspectiva (ver Figura 4.1)

y correcciones de distorsión de lente (ver Figura 4.2).

Si se elimina la distorsión por proyección de una imagen (imagen afín), es posible

medir distancias en esta imagen mediante el hecho de que dos líneas ortogonales (en

espacio euclidiano, pero medidas en la proyección) l’, m’ cumplen con la siguiente

relación:

0'' *r

=⋅⋅ ∞ mClT

Se requieren en este caso dos pares de líneas ortogonales en espacio euclidiano.

(a) Distorsión de perspectiva (b) Corrección de perspectiva

Figura 4.1: Ejemplo de rectificación desde la perspectiva (a) a la (b).

(a) Distorsión de la lente (b) Corrección de la distorsión

Figura 4.2: Ejemplo de rectificación de distorsión de una lente.



• Reconstrucción 3D.

A partir de las vistas, mediante la técnica de triangulación, es posible obtener un

modelo 3D del objeto proyectado en las vistas. El principio de triangulación viene

mostrado en la Figura 4.3: sabiendo que los puntos A y B son proyecciones de un mismo

punto tridimensional Q, es decir A y B son correspondientes, y conociendo los centros

ópticos de la proyección C1 y C2, se puede encontrar el punto Q a partir de la intersección

entre las dos rectas ⟨C1 , A⟩ y ⟨C2 , B⟩.

Figura 4.3: Esquema de triangulación.

• Matching y Tracking.

Por medio del Matching y Tracking es posible encontrar la correspondencia entre

puntos de varias imágenes. Los puntos correspondientes son aquellos que representan

una proyección del mismo punto físico en el espacio 3D. En la Figura 4.4 se pueden

apreciar tres vistas de una taza tomadas por una cámara fija mediante la rotación del eje

central de la taza.

Se puede observar que los puntos m1, m2 y m3 en las imágenes 1, 2 y 3

respectivamente, son correspondientes entre sí porque son proyecciones del mismo punto

m de la taza.



Mediante la teoría de Visión Artificial podemos responder las siguientes

preguntas:

i) Conociendo el punto m1 en la imagen 1, ¿dónde está su punto

correspondiente en las imágenes 2 y 3?

ii) Conociendo los puntos m1 y m2 y sabiendo que son correspondientes,

¿dónde se encuentra el punto correspondiente en la tercera imagen?

Figura 4.4: Obtención de correspondencia de puntos.

• Computación gráfica.

Si se tiene un modelo de la formación de la imagen f: 3D/2D, es posible entonces

simular gráficamente las vistas bidimensionales que se obtendrían de un objeto

tridimensional.

• Estimación de Movimiento.

Mediante una cámara que toma imágenes de un objeto en movimiento es posible

estimar el movimiento del objeto a partir de los puntos de correspondencia en la

secuencia de imágenes.



4.1. Aplicaciones con calibración simultánea.

La configuración del sistema de adquisición para algunas aplicaciones

fotogramétricas permite el proceso de calibración simultánea de cámaras. Éste suceso es una

ventaja de la solución pues no requiere ningún esfuerzo adicional para la calibración

externa de las cámaras y la cámara de datos configurada como actual durante el momento

de la exposición puede determinarse por ajuste. Este procedimiento, sin embargo, sólo es

posible si el software de evaluación ofrece la opción de calibración simultánea. Como

ejemplo, permita mostrarle la medida de una parte automovilística (Figura 4.5).

Figura 4.5: Medida del lateral trasero de un coche.

Se tomaron un total de nueve fotografías con una cámara de tipo Rollei Q16

MetricCamera (Figura 4.6) con una resolución de 4.096 × 4.096 elementos del sensor. De

hecho, se usó, con gran efectividad para la evaluación de la técnica, el software del Puesto

de Trabajo Digital que proporcionaba RolleiMetric. Esto permite la determinación

totalmente automática de las coordenadas 3D, mientras que partiendo de la medida de

los puntos de la imagen se consigue corregir el cómputo de todos los parámetros

conocidos de la cámara. Además de los tamaños del objeto y de las coordenadas 3D de

todos los puntos medidos en el sistema de Coordenadas Mundiales, éstos incluyen los

parámetros de la cámara y todos los posibles estados de la cámara. Para este ejemplo las

coordenadas tienen una exactitud de aproximadamente 1/100 mm en cada uno de los

tres ejes de coordenadas. La Figura 4.7, b ilustra otro ejemplo dentro de la industria

automovilística. Aquí, las pruebas de la torsión se realizan en función del curso de

medidas de la deformación. Los datos se obtuvieron por medio de fotogrametría.



Un total de 3.000 puntos alrededor del vehículo fueron grabados en un total de

170 imágenes con la ayuda de una cámara digital con una resolución de 3.000 × 2.000

elementos sensores. Aquí también, la cámara se calibró simultáneamente durante la

adquisición de la imagen. Los puntos medidos eran exactos dentro de un rango de

aproximadamente 5/100 mm.

La mayoría de las aplicaciones de fotogrametría para el trabajo de alta precisión

tridimensional de la metrología industrial se basa en la calibración simultánea. Pueden

encontrarse numerosos usos en la industria de la aviación (midiendo componentes del

avión y adornos), en la industria aeronáutica (midiendo satélites y antenas), y en la

ingeniería civil (midiendo los componentes acabados).

Figura 4.6: Cámara Rollei Q16 MetricCamera.

Figura 4.7: a Medida de un coche; b Vista 3D de los puntos medidos.



4.2. Aplicaciones con cámaras precalibradas.

Los robots de la industria KUKA Robotertechnik de Augsburg han sido ajustados,

medidos y calibrados en dos lugares con instalaciones especiales durante años. Para medir

la posición y orientación necesaria se ha utilizado un sistema de metrología que consiste

en posicionar una o dos cámaras del tipo RolleiMetric Réseau Scanning Cameras (RSCs)

en un trípode (Ver figura 4.8). Utilizando un sensor CCD estándar, estas cámaras

alcanzan una resolución de 4.200 x 4.200 píxeles en un formato de imagen de 50 x 50

mm2 con una sensibilidad de 1µm. La orientación de las imágenes por separado en

relación con la imagen completa se realiza de una forma óptico-numérica con una medida

réseau.

Además, este método permite enfocar la cámara sin necesidad de cambiar la

orientación interna.

Figura 4.8: Ajuste de un robot.

Las cámaras son controladas con un computador comercial mediante un captador

funcionando en Windows NT. El PC realiza el procesado y proporciona los resultados

además de realizar la conexión para el control del robot. El sistema de medición es

independiente del control del robot.



La orientación interior de las cámaras se determina con una calibración previa

especial. Con el conocimiento de la orientación interior se puede determinar la

orientación de las cámaras. Se utilizan varias tarjetas con reflectantes como puntos de

control, que también se identifican como herramientas para el robot. Una tarjeta

secundaria con un adaptador se utiliza para una determinación previa de la orientación

externa y de la base del robot.

La calidad del sistema de orientación se verifica con unas medidas especiales. Se

suele realizar una recalibración del sistema en periodos de algunos meses.

Otras aplicaciones para la captura de objetos en 3D se pueden encontrar, por

ejemplo, en la fotografía de accidentes y en arquitectura. En estos campos, la cámara es

calibrada para diferentes puntos de vista utilizando distintos métodos. Un ejemplo es el

RolleiMetric ChipPack con una resolución de 2.000 x 2.000 elementos sensores. Para

mantener la calibración interior de la cámara durante periodos largos se utiliza unas

lentes métricas especiales. Los datos de la orientación interior se almacenan en el

software. Esto garantiza una gran precisión en las imágenes con mínimo coste en la fase

de adquisición de la imagen.

Conclusión....

En este texto se definió el término calibración, el cual, es esencial su

entendimiento para los intereses de este trabajo; así también se mostró los parámetros

extrínsecos e intrínsecos que constituyen la calibración de una cámara y como afectan

cada uno de ellos a un sistema de visión. Se explicaron a detalle dos métodos clásicos de

calibración y otros dos más novedosos y sus diferencias, que nos dan una idea de las

herramientas matemáticas necesarias y condicionantes para alcanzar los resultados

correctos de una calibración.

Hay que remarcar que muchos de los métodos de calibración en la literatura se

han desarrollado con la base de obtener los puntos 3D en el espacio de patrones de

calibración, los cuales se han explicado como funcionan en este ámbito y para con ello

hacer notar diferencias con respecto a nuestro trabajo.

De la misma forma se han revisado antecedentes de la calibración, desde aquellos

trabajos que han propuesto el uso de los mencionados patrones de calibración a otros en

esencia más complejos al estimar los parámetros de una cámara en base a objetos en

movimiento, y que se pretendió hacer énfasis en ellos por encontrar ideas cercanas a la

propuesta que se hace en este estudio.

Bibliografía....

ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN. [1] A versatile Camera Calibration Technique for High-Accuracy 3D Machine Vision metrology Using Off-th-Shelf TV Cameras and Lenses. ROGYER Y. TSAI [2] Análisis aplicado de métodos de calibración de cámaras para usos fotogramétricos. Sanchez Martín. [3] A Flexible New Technique for Camera Calibration. Zhengyou Zhang. [4] Tsai’s camera calibration method revisited. Berthold K.P. Horn

LIBROS. [1] Visión por Computador. Javier González Jiménez. [2] Visión por Computador. Fundamentos y Métodos. Arturo de la Escalera Hueso. [3] Visión por Computador: Imágenes Digitales y Aplicaciones. Pajares, G., de la Cruz, J. M. [4] Robótica: Control, Detección, Visión e Inteligencia. Fu, K. S., González, R. C., Lee, C. S. G. [5] Tratamiento digital de imágenes. Rafael C. González, Richard E. Woods. [6] Computer Vision. Linda Saphiro. [7] Computer Vision - A Modern Approach (Prentice Hall 2002).pdf [8] Computer Vision and Aplications. Bernd Jähne, Horst HauBecker.

Apéndice A La matriz pseudoinversa

Jaime Martínez Verdú MTIT: Visión por Computador A-1

APÉNDICE A

LA MATRIZ PSEUDOINVERSA

Primeramente, recordaremos el sistema del cual partíamos y el objetivo de nuestro

análisis matemático pues éste residía en la obtención de las incógnitas que conformaban

la matriz de transformaciónA (a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a41, a42, a43). El sistema

de ecuaciones se podía expresar, según la ecuación 3.17, de forma matricial así:

=

⋅

−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−

−−−−−−−−−

−

−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

n

n

n

n

nnnnnnnnn

nnnnnnnnn

nnnnnnnnn

nnnnnnnnn

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

ZxYxXxZYX

ZyYyXyZYX

ZyYyXyZYX

ZyYyXyZYX

ZyYyXyZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

ZxYxXxZYX

1

3

2

1

1

3

2

1

43

42

41

24

23

22

21

14

13

12

11

111111111

33333333

222222222

11111111

111111111

333333333

222222222

111111111

10000

10000

10000

10000

10000

00001

00001

00001

00001

00001

M

M

MMMMMMMMMMM

MMMMMMMMMMM

Efectivamente, tanto el estudio matemático aplicado como los cálculos metódicos

desarrollados a lo largo de este apéndice, van encaminados a conseguir una solución

analítica que permita obtener, de forma rápida y precisa, el conjunto de variables

incógnitas (a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a41, a42, a43) a partir de las medidas de 5

variables conocidas (Xi, Yi, Zi, xi, yi) para n puntos distintos.

APÉNDICE A



A la par, a partir de las ecuaciones 3.18A y 3.18B, somos capaces de representar el

sistema de ecuaciones anterior en su forma matricial reducida tal y como se muestra a

continuación:

bbbbXXXXAAAArr

=⋅

( ) ( )( ) ( )

[ ] ( )( )

==

−

−=

×

×

×××××

×××××

n

n

ij

nnnnn

nnnnna

1

1

31313

31313

10

01

i

i

iiiiiii

iiiiiii

y

x

ZYXyZYX0

ZYXx0ZYXbbbbXXXXAAAArr

rr

rr

donde AAAA es una matriz de dimensión 2n×11, XXXXr

es el vector de incógnitas de

dimensión 11×1 y bbbbr

otro vector columna de dimensión 1×2n.

Una vez establecida la problemática, primeramente, debe definirse el vector de

error EEEEr

de manera que nos sirva de herramienta útil para buscar un vector ∗XXXXr

que se

acerque a la solución. Por lo tanto, definiremos dicha variable del siguiente modo:

bbbbXXXXAAAAEEEErrr

−⋅=

Puesto que deseamos que el vector se acerque todo lo posible a la solución, es

necesario minimizar el error cuadrático definido como la norma del vector de error al

cuadrado, esto es,

{ }{ } { })()(minmin

minmin2

2

bbbbXXXXAAAAbbbbXXXXAAAAEEEEEEEE

bbbbXXXXAAAAEEEE

rrrrrr

rr

−⋅⋅−⋅=⋅

−⋅=

tt

Desarrollando algunos de los términos, la expresión A.2 se transfigura a otra

expresión, la ecuación A.3. Las operaciones para variar de una expresión a otra son:

bbbbbbbbXXXXAAAAbbbbbbbbAAAAXXXXXXXXAAAAAAAAXXXX

bbbbbbbbXXXXAAAAbbbbbbbbXXXXAAAAXXXXAAAAXXXXAAAA

bbbbXXXXAAAAbbbbbbbbXXXXAAAAXXXXAAAA

bbbbXXXXAAAAbbbbXXXXAAAAbbbbXXXXAAAAbbbbXXXXAAAA

rrrrrrrr

rrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrr

⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=

⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=

−⋅⋅−−⋅⋅⋅=

=−⋅⋅−⋅=−⋅⋅−⋅

tttttt

tttt

tt

ttt

)()(

)()()(

)())(()()(

{ } { }bbbbbbbbXXXXAAAAbbbbbbbbAAAAXXXXXXXXAAAAAAAAXXXXEEEEEEEErrrrrrrrrr

⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅ tttttttminmin

Puesto que el mínimo se alcanza cuando la derivada se hace cero:

{ } [ ] 0minrrr

rrrr

r=⋅⇔⋅=

∗

∗

XXXX

EEEEEEEEXXXXdddd

EEEEEEEEXXXXtt d

A.1

A.2

A.3

A.4



A partir de las ecuaciones A.3 y A.4, obtenemos la siguiente igualdad:

[ ] [ ]0r

r

rr

r

rr

r

rr

r

rr

rrrrrrrrr

rrr

=⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=

=⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅

XXXXdddd

bbbbbbbb

XXXXdddd

XXXXAAAAbbbb

XXXXdddd

bbbbAAAAXXXX

XXXXdddd

XXXXAAAAAAAAXXXX

bbbbbbbbXXXXAAAAbbbbbbbbAAAAXXXXXXXXAAAAAAAAXXXXXXXXdddd

EEEEEEEEXXXXdddd

tttttt

ttttttt

dddd

dd

La derivada de cada término se calcula a continuación:

AAAAAAAAXXXXXXXXAAAAAAAA

AAAAAAAAXXXXXXXXAAAAXXXXXXXXAAAAXXXXXXXXAAAAAAAA

XXXXdddd

XXXXAAAAAAAAXXXXXXXX

XXXXdddd

AAAAAAAAXXXX

XXXXAAAAXXXXdddd

AAAAXXXXXXXXAAAAAAAA

XXXXdddd

XXXX

XXXXdddd

XXXXAAAAAAAAXXXX

⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

ttt

ttttttt

tttt

ttt

ttt

dd

ddd

rr

rrrrrr

r

rrr

rr

rr

rrr

r

r

rr

I00I

bbbbAAAA

AAAAXXXXbbbbXXXXbbbbAAAA

XXXXdddd

bbbbAAAAXXXXbbbb

XXXXdddd

AAAAXXXXbbbbAAAA

XXXXdddd

XXXX

XXXXdddd

bbbbAAAAXXXX

r

rrrr

r

rrr

rrr

r

r

r

rr

⋅=

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

t

ttttt

ttt

ttttt dddd

00I

AAAAbbbb

AAAAbbbbXXXXbbbbXXXXAAAA

XXXXdddd

XXXXAAAAbbbbXXXX

XXXXdddd

AAAAbbbbXXXXAAAA

XXXXdddd

bbbb

XXXXdddd

XXXXAAAAbbbb

⋅=

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

t

tt

tttt dddd

r

rrrr

r

rrr

rrr

r

r

r

rr

I00

0

00

==⋅+⋅=

=⋅⋅+⋅=⋅

t

ttt ddd

bbbbbbbb

XXXXdddd

bbbbbbbbbbbb

XXXXdddd

bbbb

XXXXdddd

bbbbbbbb

rr

r

rrr

r

r

r

rr

Una vez calculado cada término, sustituimos sus respectivos valores A.5A, A.5B,

A.5C y A.5D en la derivada global A.5:

[ ] [ ]

AAAAbbbbbbbbAAAAAAAAAAAAXXXXXXXXAAAAAAAA

XXXXdddd

bbbbbbbb

XXXXdddd

XXXXAAAAbbbb

XXXXdddd

bbbbAAAAXXXX

XXXXdddd

XXXXAAAAAAAAXXXX

bbbbbbbbXXXXAAAAbbbbbbbbAAAAXXXXXXXXAAAAAAAAXXXXXXXXdddd

EEEEEEEEXXXXdddd

⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=

=⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅

ttttt

tttttt

ttttttt

dddd

dd

rrrr

r

rr

r

rr

r

rr

r

rr

rrrrrrrrr

rrr

A.5

A.5A

A.5B

A.5C

A.5D

A.6



Para minimizar, despejamos lo obtenido en la ecuación A.6 en la A.5 de modo

que tenemos lo siguiente:

[ ]

0

0

0

rrrrr

rrrrr

rrrr

r

r

=⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅

=⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅

=⋅

∗∗

∗

∗


A)A)A)A)bbbbbbbbAAAAAAAAAAAAXXXXXXXXAAAA(A(A(A(A

EEEEEEEEXXXXdddd

XXXX

XXXX

ttttt

ttttt

td

Para solventar la expresión que resulta podemos resolverla por partes, es decir, los

términos de ∗XXXXr

y bbbbr

por un lado y por otro los términos det∗

XXXXr

y tbbbbr

por otro,

0000

0

00

rrrr444 3444 21

rr

444 3444 21

rr

rrrrr

rr=+⇔=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅

=⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅

=

∗

=

∗

∗∗

AAAAbbbbAAAAAAAAXXXXbbbbAAAAXXXXAAAAAAAA


ttttt

ttttt

De la resolución del primer término obtenemos la solución buscada denominada

en términos matemáticos matriz pseudoinversa:

( ) bbbbAAAAAAAAAAAAXXXX

bbbbAAAAXXXXAAAAAAAAbbbbAAAAXXXXAAAAAAAArr

rrrrr

⋅⋅⋅=⇒

⋅=⋅⋅→=⋅−⋅⋅−∗

∗∗

tt

tttt

1

0

Resolviendo el segundo término llegamos a una conclusión cierta, de donde partía

nuestro problema, puesto que el vector solución debe estar contenido en el espacio

vectorial de A:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )bbbbXXXXAAAA

bbbbAAAAXXXXbbbbAAAAXXXX

AAAAbbbbXXXXAAAAbbbbXXXXAAAAAAAAAAAAbbbbXXXX

AAAAAAAAAAAAbbbbXXXXAAAAbbbbAAAAAAAAXXXXAAAAbbbbAAAAAAAAXXXX

rr

rrrr

rrrrrr

rrrrrrr

=⋅⇒

⋅=→⋅=→

⋅=→⋅=→⋅⋅⋅=→

⋅⋅⋅=→⋅=⋅⋅→=⋅−⋅⋅

∗

−∗−∗

−∗−∗−−∗

−∗∗∗

11

1111

10

tt

tt

tt

ttt

tttttttt

ttttttttt

Si observamos el valor despejado del vector de incógnitas, podemos comprobar

cómo la matriz ( ) ttAAAAAAAAAAAAAAAA ⋅⋅= −1ψ es la matriz pseudoinversa de la matriz AAAA .

Obtenido el vector solución ∗XXXXr

,

bbbbAAAAXXXXrr

⋅=∗ ψ

y por consiguiente, la matriz de transformación perspectivaA , es posible

determinar los parámetros del modelo de la cámara.

A.7

A.8A

A.8B

A.8

A.8B

Apéndice B Matemáticas de Zhang

Jaime Martínez Verdú MTIT: Visión por Computador B-1

APÉNDICE B

MATEMÁTICAS DE ZHANG

a) Si deseamos obtener el valor ( ) 11 −− ⋅ AAT

, primeramente nos hace falta conocer

el valor de la inversa de la matriz A por lo que la calcularemos empleando el método por

pivotación de Gauss:

→

⋅−→

⋅−→

3022

3011

100|100

010|0

001|

0

0

FyFF

FxFF

y

x

β

γα

→

−

−→ 22

1

0

0

100|100

10|00

01|0FF

y

x

ββ

γα

→

−

−

⋅−→ 211

100|100

10|010

01|0

0

0

FFFy

x

γ

ββ

γα

APÉNDICE B



→

−

−−

→ 11

1

0

00

100|100

10|010

1|00

FFy

xy

α

ββ

βγ

βγα

−

−−

100|100

10|010

1|001

0

00

ββ

ααβγ

αβγ

αy

xy

Por lo tanto, la inversa de la matriz A es la siguiente matriz:

−

−−

=−

100

10

1

0

00

1

ββ

αββγ

αβγ

αy

xy

A

De igual modo, conocemos que la matriz transpuesta de la matriz inversa de A es

la siguiente:

( )

−−

−=−

1

01

001

000

1

βαββγ

βαβγ

α

yxy

TA

Finalmente, el producto de ambas es el siguiente:

( )

−

−−

⋅

−−

−=⋅ −−

100

10

1

1

01

001

0

00

000

11

ββ

αββγ

αβγ

α

βαββγ

βαβγ

αy

xy

yxy

AAT



( )

++−+−−

+−+−

−−

=⋅ −−

22

2222

0

2

00

22

22

00

2

00

22

22

00

22

22

2

2

00

22

11

)()(

)(

1

βαβααβγ

βααγβγ

βαβγ

βααγβγ

βααγ

βαγ

βαβγ

βαγ

α

yxyyxxy

yx

xy

AAT

( )

++−+−−

+−+−

−−

=⋅ −−

)()()(

)(1

22

0

22

00

22

00

2

00

22

00

22

2

00

2

22

11

βαβγαγβγβγβ

αγβγαγγβ

βγβγββ

βαyxyyxxy

yx

xy

AAT

Por tanto, hemos obtenido el valor de la matriz resultante del producto.

b) Demostración de la ecuación 3.4.11.

[ ] ( ) 0

8

5

2

11

741 =

⋅⋅⋅ −−

h

h

h

AAhhhT

⋅+⋅

⋅+⋅+⋅

⋅=

7

704

7041

7

4

1

r

ryr

rxrr

h

h

h

β

γα

λ

⋅+⋅

⋅+⋅+⋅

⋅=

8

805

8052

8

5

2

r

ryr

rxrr

h

h

h

β

γα

λ

( ) 0

8

805

8052

11

7

704

7041

=

⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅ −−

r

ryr

rxrr

AA

r

ryr

rxrrT

T

βγα

λβγα

λ

0

)()()(

)(

1

8

805

8052

22

22

0

22

00

22

22

00

2

00

22

22

00

22

22

2

2

00

22

7

704

7041

2 =

⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅

++−+−−

+−+−

−−

⋅

⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅r

ryr

rxrr

yxyyxxy

yx

xy

r

ryr

rxrrT

βγα

βαβαβγ

βααγβγ

βαβγ

βααγβγ

βααγ

βαγ

βαβγ

βαγ

α

βγα

λ

3.4.11

[ ]

⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅−

⋅−⋅+⋅⋅

⇓

++−+⋅+⋅⋅+−+⋅+⋅+⋅⋅−

+−+⋅+⋅⋅++⋅+⋅+⋅−

−+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅

⇓

⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅

++−+−−

+−+−

−−

22

8

22

5

2

0200

22

5

2

2

2

802

822

2222

0

2

00

22

805

22

00

2

805200

822

22

00

22

805

22

2

8052

82

00

2

805

2

8052

8

805

8052

22

2222

0

2

00

22

22

00

2

00

22

22

00

22

22

2

2

00

22

)(

)1(

)()()()()(

)()()(

)()(

)(

1

βαβαβαβγβα

βαβαγβα

βαγβα

βαβααβγ

βαβαγβγ

βαγαβγ

βααγβγ

βαβαγ

βαγαγ

βαβγ

βαβγ

αγα

βγα

βαβααβγ

βααγβγ

βαβγ

βααγβγ

βααγ

βαγ

βαβγ

βαγ

α

rryrxy

rr

ryr

NDOSIMPLIFICA

ryxyryryxrxrrxy

ryxryrrxrr

rxyryrrxrr

r

ryr

rxrr

yxyyxxy

yx

xy

[ ]

)(

)1()1(

)1(

))((

))(())1()((

)(

)()1(

)(

)(

)1(

875421

22

87

22

750

2

720

2

720750

2

72054

22

42

2

8700840

81072

2

042

2

21

22

78

22

5

2

0200

5

2

27048027041

722

8

22

5

2

0200

22

5

2

2

7042

802

7041

22

8

22

5

2

0200

22

5

2

2

2

802

77047041

2

rrrrrr

rrrryrrxrryrry

rryrrrrrryxrry

rryrrxrrrr

rrryrxy

rrryrryrrxrr

rrryrxy

rrryr

ryrrxrr

rryrxy

rr

ryr

rryrrxrr

⋅+⋅+⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=

⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅⋅−

⋅+⋅+⋅−⋅+⋅⋅

⋅+⋅+⋅=

=

⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅−

⋅−⋅+⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅

βαβαβαβαγβαβα

γβαβαγβαγβγγβγβαβαγβαβα

βαβαβγβαβαγβαββγβαγα


βαβαγβαβ

βαγβαγα


βαβαγβα

βαγβα

βγαλ

0)( 875421

22 =⋅+⋅+⋅⋅⋅ rrrrrrβα

Lo cual es lógico puesto que 875421 rrrrrr ⋅+⋅+⋅ representa el producto escalar de dos vectores ortonormales que es justamente nulo.



c) Si desarrollamos tal producto 3.4.17 sabiendo que son vectores

ortonormales, es decir, son perpendiculares entre si y a su vez son de

módulo unitario, tenemos lo siguiente:

[ ] [ ] [ ] [ ]

⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅=⋅ ∞∞

0

0

0

0

0

0

0

0

8

5

2

852

2

7

4

1

852

8

5

2

741

7

4

1

741

2

r

r

r

rrrbr

r

r

rrrbar

r

r

rrrbar

r

r

rrraxxTrr

Si observamos la expresión término a término tenemos lo siguiente:

[ ]

⋅⋅

0

0

7

4

1

741

2

r

r

r

rrra 2222

7

2

4

2

1

2 1)0( aarrra =⋅=+++⋅= , por ser un vector ortonormal.

[ ]

⋅⋅⋅

0

0

8

5

2

741

r

r

r

rrrba 00 =⋅⋅= ba , por ser ortogonales entre sí.

[ ]

⋅⋅⋅

0

0

7

4

1

852

r

r

r

rrrba 00 =⋅⋅= ba , por ser ortogonales entre sí.

[ ]

⋅⋅

0

0

8

5

2

852

2

r

r

r

rrrb 2222

8

2

5

2

2

2 1)0( bbrrrb =⋅=+++⋅= , por ser un vector ortonormal.

Por lo tanto, a partir de la ecuación 3.4.16 y de la 3.4.18, el resultado final es el

siguiente:

022 =+ba 3.4.19

Apéndice C Caso ejemplo

Jaime Martínez Verdú MTIT: Visión por Computador C-1

APÉNDICE C

CASO EJEMPLO

A continuación, se muestran varias maneras de resolver el ejemplo 3.1.4:

Empleando Derive I:

APÉNDICE C



Empleando Derive II:

X1 ≔ 0

Y1 ≔ 0

Z1 ≔ 0

x1 ≔ 95

y1 ≔ 336

X2 ≔ 11

Y2 ≔ 0

Z2 ≔ 0

x2 ≔ 592

y2 ≔ 368

X3 ≔ 8.25

Y3 ≔ 0

Z3 ≔ -4.5

x3 ≔ 472

y3 ≔ 168

X4 ≔ 2.75

Y4 ≔ 0

Z4 ≔ -4.5

x4 ≔ 232

y4 ≔ 155

X5 ≔ 5.5

Y5 ≔ 0

Z5 ≔ -3.5

x5 ≔ 350

y5 ≔ 205

X6 ≔ 5

Y6 ≔ 6

Z6 ≔ -3.5

x6 ≔ 362

y6 ≔ 323

X7 ≔ 0

Y7 ≔ 0

Z7 ≔ -0.75

x7 ≔ 97

y7 ≔ 305

X8 ≔ 11

Y8 ≔ 0

Z8 ≔ -0.75

x8 ≔ 592

y8 ≔ 336

X9 ≔ 2

Y9 ≔ 0

Z9 ≔ 0

x9 ≔ 184

y9 ≔ 344

X10 ≔ 9

Y10 ≔ 0

Z10 ≔ 0

x10 ≔ 501

y10 ≔ 363

X11 ≔ 2.75

Y11 ≔ 0

Z11 ≔ -1.81

x11 ≔ 224

y11 ≔ 266

X12 ≔ 8.25

Y12 ≔ 0

Z12 ≔ -1.81

x12 ≔ 467

y12 ≔ 279

X13 ≔ 2

Y13 ≔ 6

Z13 ≔ 0

x13 ≔ 263

y13 ≔ 431







Empleando MatLab I:

X01=0; Y01=0; Z01=0; x01=95; y01=336; X02=11; Y02=0; Z02=0; x02=592; y02=368; X03=8.25; Y03=0; Z03=-4.5; x03=472; y03=168; X04=2.75; Y04=0; Z04=-4.5; x04=232; y04=155; X05=5.5; Y05=0; Z05=-3.5; x05=350; y05=205; X06=5; Y06=6; Z06=-3.5; x06=362; y06=323; X07=0; Y07=0; Z07=- 0.75; x07=97; y07=305; X08=11; Y08=0; Z08=-0.75; x08=592; y08=336; X09=2; Y09=0; Z09=0; x09=184; y09=344; X10=2; Y10=6; Z10=0; x10=263; y10=431; X11=9; Y11=0; Z11=0; x11=501; y11=363; X12=8.25; Y12=0; Z12=-1.81; x12=467; y12=279; X13=2.75; Y13=0; Z13=-1.81; x13=224; y13=266; a=[X01, Y01, Z01, 1, 0, 0, 0, 0, - x01*X01, - x01*Y 01, - x01*Z01; X02, Y02, Z02, 1, 0, 0, 0, 0, - x02*X02, - x02*Y 02, - x02*Z02; X03, Y03, Z03, 1, 0, 0, 0, 0, - x03*X03, - x03*Y 03, - x03*Z03; X04, Y04, Z04, 1, 0, 0, 0, 0, - x04*X04, - x04*Y 04, - x04*Z04; X05, Y05, Z05, 1, 0, 0, 0, 0, - x05*X05, - x05*Y 05, - x05*Z05; X06, Y06, Z06, 1, 0, 0, 0, 0, - x06*X06, - x06*Y 06, - x06*Z06; X07, Y07, Z07, 1, 0, 0, 0, 0, - x07*X07, - x07*Y 07, - x07*Z07; X08, Y08, Z08, 1, 0, 0, 0, 0, - x08*X08, - x08*Y 08, - x08*Z08; X09, Y09, Z09, 1, 0, 0, 0, 0, - x09*X09, - x09*Y 09, - x09*Z09; X10, Y10, Z10, 1, 0, 0, 0, 0, - x10*X10, - x10*Y 10, - x10*Z10; X11, Y11, Z11, 1, 0, 0, 0, 0, - x11*X11, - x11*Y 11, - x11*Z11; X12, Y12, Z12, 1, 0, 0, 0, 0, - x12*X12, - x12*Y 12, - x12*Z12; X13, Y13, Z13, 1, 0, 0, 0, 0, - x13*X13, - x13*Y 13, - x13*Z13; 0, 0, 0, 0, X01, Y01, Z01, 1, - y01*X01, - y01*Y 01, - y01*Z01; 0, 0, 0, 0, X02, Y02, Z02, 1, - y02*X02, - y02*Y 02, - y02*Z02; 0, 0, 0, 0, X03, Y03, Z03, 1, - y03*X03, - y03*Y 03, - y03*Z03; 0, 0, 0, 0, X04, Y04, Z04, 1, - y04*X04, - y04*Y 04, - y04*Z04; 0, 0, 0, 0, X05, Y05, Z05, 1, - y05*X05, - y05*Y 05, - y05*Z05; 0, 0, 0, 0, X06, Y06, Z06, 1, - y06*X06, - y06*Y 06, - y06*Z06; 0, 0, 0, 0, X07, Y07, Z07, 1, - y07*X07, - y07*Y 07, - y07*Z07; 0, 0, 0, 0, X08, Y08, Z08, 1, - y08*X08, - y08*Y 08, - y08*Z08; 0, 0, 0, 0, X09, Y09, Z09, 1, - y09*X09, - y09*Y 09, - y09*Z09; 0, 0, 0, 0, X10, Y10, Z10, 1, - y10*X10, - y10*Y 10, - y10*Z10; 0, 0, 0, 0, X11, Y11, Z11, 1, - y11*X11, - y11*Y 11, - y11*Z11; 0, 0, 0, 0, X12, Y12, Z12, 1, - y12*X12, - y12*Y 12, - y12*Z12; 0, 0, 0, 0, X13, Y13, Z13, 1, - y13*X13, - y13*Y 13, - y13*Z13]; b=[x01;x02;x03;x04;x05;x06;x07;x08;x09;x10;x11;x12; x13;y01;y02;y03; y04;y05;y06;y07;y08;y09;y10;y11;y12;y13]; c=(a'*a)^(-1)*a'*b;



k=[c(1,1),c(2,1),c(3,1),c(4,1);c(5,1),c(6,1),c(7,1) ,c(8,1);c(9,1),c(10,1),c(11,1),1] im01=k*[X01,Y01,Z01,1]'; im01=(im01(1:2,:)/im01 (3,1))'; im02=k*[X02,Y02,Z02,1]'; im02=(im02(1:2,:)/im02 (3,1))'; im03=k*[X03,Y03,Z03,1]'; im03=(im03(1:2,:)/im03 (3,1))'; im04=k*[X04,Y04,Z04,1]'; im04=(im04(1:2,:)/im04 (3,1))'; im05=k*[X05,Y05,Z05,1]'; im05=(im05(1:2,:)/im05 (3,1))'; im06=k*[X06,Y06,Z06,1]'; im06=(im06(1:2,:)/im06 (3,1))'; im07=k*[X07,Y07,Z07,1]'; im07=(im07(1:2,:)/im07 (3,1))'; im08=k*[X08,Y08,Z08,1]'; im08=(im08(1:2,:)/im08 (3,1))'; im09=k*[X09,Y09,Z09,1]'; im09=(im09(1:2,:)/im09 (3,1))'; im10=k*[X10,Y10,Z10,1]'; im10=(im10(1:2,:)/im10 (3,1))'; im11=k*[X11,Y11,Z11,1]'; im11=(im11(1:2,:)/im11 (3,1))'; im12=k*[X12,Y12,Z12,1]'; im12=(im12(1:2,:)/im12 (3,1))'; im13=k*[X13,Y13,Z13,1]'; im13=(im13(1:2,:)/im13 (3,1))'; im=[im01;im02;im03;im04;im05;im06;im07;im08;im09;im 10;im11; im12;im13] res01=[x01,y01]-im01; res02=[x02,y02]-im02; res03=[x03,y03]-im03; res04=[x04,y04]-im04; res05=[x05,y05]-im05; res06=[x06,y06]-im06; res07=[x07,y07]-im07; res08=[x08,y08]-im08; res09=[x09,y09]-im09; res10=[x10,y10]-im10; res11=[x11,y11]-im11; res12=[x12,y12]-im12; res13=[x13,y13]-im13; res=[res01;res02;res03;res04;res05;res06;res07;res0 8; res09;res10;res11;res12;res13] X=[0, 0, 0, 95, 336; 11, 0, 0, 592, 368; 8.25, 0, -4.5, 472, 168; 2.75, 0, -4.5, 232, 155; 5.5, 0, -3.5, 350, 205; 5, 6, -3.5, 362, 323; 0, 0, -0.75, 97, 305; 11, 0, -0.75, 592, 336; 2, 0, 0, 184, 344; 2, 6, 0, 263, 431; 9, 0, 0, 501, 363; 8.25, 0, -1.81, 467, 279; 2.75, 0, -1.81, 224, 266]; figure plot(im(:,1),im(:,2), 'yo' ,X(:,4),X(:,5), 'r+' ) XLABEL('Componente en x de la imagen' ) YLABEL('Componente en y de la imagen' ) TITLE( 'Comparacion entre las imagen de input y las de out put' ) LEGEND('Coordenadas del punto proyectado empleando la tran sformacion homogenea' , 'Coordenadas del punto proyectado ideales' )



Los resultados obtenidos al ejecutar este código son los siguientes:

>> mattranfpersconc k = 44.8375 29.8056 -5.5202 94.5227 2.5161 42.2495 40.7785 337.8771 -0.0007 0.0649 -0.0103 1.0000 im = 94.5227 337.8771 592.2197 368.3429 470.1265 168.2782 232.3253 154.4196 349.1691 202.4502 363.4382 324.3184 97.9056 304.9348 591.7796 334.9156 184.4517 343.3820 261.5265 429.6493 501.1653 362.7691 468.3418 281.1742 224.0594 266.5171 res = 0.4773 -1.8771 -0.2197 -0.3429 1.8735 -0.2782 -0.3253 0.5804 0.8309 2.5498 -1.4382 -1.3184 -0.9056 0.0652 0.2204 1.0844 -0.4517 0.6180 1.4735 1.3507 -0.1653 0.2309 -1.3418 -2.1742 -0.0594 -0.5171

0 100 200 300 400 500 600150

200

250

300

350

400

450

Componente en x de la imagen

Com

pone

nte

en y

de

la im

agen

Comparacion entre las imagen de input y las de output

Coordenadas del punto proyectado empleando la transformacion homogeneaCoordenadas del punto proyectado ideales



Empleando MatLab II:

X=[0, 0, 0, 95, 336; 11, 0, 0, 592, 368; 8.25, 0, -4.5, 472, 168; 2.75, 0, -4.5, 232, 155; 5.5, 0, -3.5, 350, 205; 5, 6, -3.5, 362, 323; 0, 0, -0.75, 97, 305; 11, 0, -0.75, 592, 336; 2, 0, 0, 184, 344; 2, 6, 0, 263, 431; 9, 0, 0, 501, 363; 8.25, 0, -1.81, 467, 279; 2.75, 0, -1.81, 224, 266]; [m,n]=size(X); %m=13 n=5 a=zeros(2*m,11); for i=1:1:2*m if i<=m a(i,1)=X(i,1); a(i,2)=X(i,2); a(i,3)=X(i,3); a(i,4)=1; a(i,5)=0; a(i,6)=0; a(i,7)=0; a(i,8)=0; a(i,9)=-X(i,4)*X(i,1); a(i,10)=-X(i,4)*X(i,2); a(i,11)=-X(i,4)*X(i,3); else a(i,1)=0; a(i,2)=0; a(i,3)=0; a(i,4)=0; a(i,5)=X(i-m,1); a(i,6)=X(i-m,2); a(i,7)=X(i-m,3); a(i,8)=1; a(i,9)=-X(i-m,5)*X(i-m,1); a(i,10)=-X(i-m,5)*X(i-m,2); a(i,11)=-X(i-m,5)*X(i-m,3); end end b=zeros(2*m,1); for i=1:1:2*m if i<=m b(i,1)=X(i,4); else b(i,1)=X(i-m,5); end end c=(a'*a)^(-1)*a'*b; k=[c(1,1),c(2,1),c(3,1),c(4,1);c(5,1),c(6,1),c(7,1) ,c(8,1);c(9,1),c(10,1),c(11,1),1] im=zeros(m,2); for i=1:1:m



aux=k*([X(i,1:3),1]'); im(i,1:2)=(aux(1:2,1)/aux(3,1))'; end im res=zeros(m,2); for i=1:1:m res(i,1:2)=[X(i,4)-im(i,1),X(i,5)-im(i,2)]; end res figure plot(im(:,1),im(:,2), 'yo' ,X(:,4),X(:,5), 'r+' ) XLABEL('Componente en x de la imagen' ) YLABEL('Componente en y de la imagen' ) TITLE( 'Comparacion entre las imagen de input y las de out put' ) LEGEND('Coordenadas del punto proyectado empleando la tran sformacion homogenea' , 'Coordenadas del punto proyectado ideales' )

Los resultados obtenidos al ejecutar este código son los siguientes:

>> mattranfpersgral k = 44.8375 29.8056 -5.5202 94.5227 2.5161 42.2495 40.7785 337.8771 -0.0007 0.0649 -0.0103 1.0000 im = 94.5227 337.8771 592.2197 368.3429 470.1265 168.2782 232.3253 154.4196 349.1691 202.4502 363.4382 324.3184 97.9056 304.9348 591.7796 334.9156 184.4517 343.3820 261.5265 429.6493 501.1653 362.7691 468.3418 281.1742 224.0594 266.5171 res = 0.4773 -1.8771 -0.2197 -0.3429 1.8735 -0.2782 -0.3253 0.5804 0.8309 2.5498 -1.4382 -1.3184 -0.9056 0.0652 0.2204 1.0844 -0.4517 0.6180 1.4735 1.3507 -0.1653 0.2309 -1.3418 -2.1742 -0.0594 -0.5171



Tal y como puede observarse, independientemente del método seguido, los

resultados son semejantes. Se lo desea el lector, puede obtener el código programado

enviando un correo a la dirección [email protected].

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Estudio de investigación sobre técnicas de calibración de cámaras