Estudio Del Movimiento PARBOLICO

Estudio del movimiento: Movimiento

circular uniforme

La trayectoria de un mvil sabemos que puede tener formas muy diversas. Hasta ahorahemos estudiado el caso ms simple de trayectoria, la rectilnea. Ahora vamos a dar unpaso ms y vamos a estudiar de entre los movimientos cuya trayectoria no es recta, elms sencillo de todos. Sabes a qu movimiento nos referimos?

Algunos derechos reservados por robokow

Pues s, nos referimos al movimiento circular. Estamos seguros de que si haces un poco dememoria podrs recordar muchas movimientos en los que la trayectoria es unacircunferencia o parte de ella. Desde el movimiento de las manecillas de un reloj, hasta lanoria que ves en la fotografa pasando por la rueda de una bicicleta. En todos estos casoshay un punto del objeto que se mueve mantiendo fija su distancia a otro punto. En losejemplos que te acabamos de comentar ese punto sobre el que se gira es el eje del reloj,de la rueda o de la noria.

Decimos que un objeto se mueve con un movimiento circular si su trayectoria

Actividad

En este tema vamos a estudiar de entre los movimientos circulares, el ms sencillo detodos. Se trata del movimiento circular uniforme (en adelante MCU) que se caracterizapor tener una velocidad angular constante. Pero no adelantemos acontecimientos.

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Un movimiento circular es aquel en el que la trayectoria es una curva.

Un movimiento circular es un tipo particular de movimiento curvilneo.

El MCU adems de tener una trayectoria en forma de circunferencia, tieneuna velocidad constante.

Fotografa de la NASA de dominiopblico

Hay un caso de pista circularparticularmente llamativo en Nard,localidad situada en el tacn de la botaque forma la pennsula italiana. Se tratade una pista de pruebas para vehculos enla que se han batido rcords de velocidad,superndose los 400 km/h.

Las imgenes va satlite que facilita laNASA resultan espectaculares. Fjate enque la pista se observa con toda nitidezgracias a sus 12,5 km de longitud y a quesus muros exteriores tienen 3 metros dealtura.

La trayectoria seguida por un mvil quelleva mcu es circular, y mantiene unadistancia constante al eje de giro, que esprecisamente el radio de la circunferenciaque traza al moverse.

Pregunta Verdadero-Falso

una vuelta completa si circula a 300 km/h.

A pesar de no haber entrado todava en el mcu, puedes responder esascuestiones utilizando lo que ya sabes.

En primer lugar, como la longitud de la circunferencia es , y sabesque es 12,5 km, resulta que r es de casi 2 km (1989,4 m exactamente).

En cuanto al tiempo que necesita para dar una vuelta, puedes hacer unasencilla proporcin para determinar que en 150 s da una vuelta completa. Alfin y al cabo, en cuanto a espacio recorrido qu ms da la forma de latrayectoria? Por tanto, debes razonar exactamente igual que lo hacas en elmovimiento rectilneo.

Por ltimo, cmo se puede localizar al coche sobre la pista en un momentodado?

1. Movimientos circulares

Simulacin de Jess Peas bajo licencia Creative Commons

Observa los ds mviles de la animacin. Describen el mismo tipo de movimiento? Ambosdescriben una trayectoria circular pero , qu ocurre con su velocidad? Si te fijas el de laderecha da vueltas siempre al mismo ritmo mientras que el de la izquierda unas veces vams rpido y otras ms lento, incluso se para y cambia de sentido.

El engranaje de la derecha tiene un MCU mientras que el de la izquierda es unmovimiento circular variado.

1.1 La posicin de los mviles que giran

Fuente propia

Cmo podemos saber dnde se encuentra en unmomento concreto un mvil que llevamovimiento circular? Si sabemos situar un puntoen el plano, la tarea es sencilla. Recuerda que elvector de posicin se puede expresar en funcinde sus componentes cartesianas.

En este caso, el mvil se mantiene siempre auna distancia r del centro de giro, precisamenteel radio de la circunferencia que describe. Poreso en este caso particular de trayectoriacircular, es ms til utilizar las coordenadaspolares. La posicin en coordenadas polares sedescribe utilizando la distancia del punto alorigen de coordenadas y el ngulo que formadicho vector de posicin con la parte positiva del eje x.

Ambas descripciones guardan relacin. Podemos pasar de las coordenadas "x" e "y" a lascoordenadas polares "r" y " " ( se lee teta segn la Real Academia de la Lengua) yviceversa. Para ello necesitamos recordar las definiciones de seno y coseno. Tanto el senocomo el coseno son razones trigonomtricas.

De este modo usando las expresiones anteriores podemos determinar las coordenadas x ey conociendo r y :

O al revs, conociendo r y podemos determinar x e y:

La unidad de ngulo en el Sistema Internacional es el radin .

En la descripcin de los movimientos circulares tambin se suelen emplearotras unidades como el grado sexagesimal o la revolucin (vuelta).

Actividad


Expresa en grados los siguientes ngulos dados en radianes:

1. rad

2. rad

4. rad

En una calculadora cientfica es muy fcil calcular el seno y el coseno de un ngulo. Porejemplo imagina que queremos calcular el seno y el coseno de 60.

Para calcular el seno basta con escribir 60 y luego pulsar la tecla sin. Del mismo modo,pero pulsando la tecla cos, se calcula el coseno.

Y al revs? Si s que el seno de un ngulo es 0,25, cmo puedo calcular dichongulo? Pues basta con escribir 0,25 en tu calculadora y luego pulsar las teclas INV y sinsucesivamente.

Supongamos que tenemos rueda de una bicicleta cuyo radio mide 50 cm.Cules son las coordenadas cartesianas y polares de los puntos marcados enla fotografa? Estima aproximadamente los ngulos a partir de la fotografa.

Algunos derechos reservados por Jos Antonio Galloso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o no.

180 equivalen a radianes

Un ngulo de son 270

El mismo ngulo tiene como seno 1 y como coseno -1

Cuando el seno de un ngulo es cero, el coseno solamente puede ser 1

Dado que la distancia al centro de giro se mantiene fija en losmovimientos circulares , vamos a utilizar coordenadas polares para

describirlo. Daremos la distancia al centro y el ngulo entre el lado positivodel eje x y el vector de posicin de nuestro mvil.


Importante

1.2 La velocidad en los mviles que giran

Observa con el siguiente simulador el movimiento de un cuerpo con velocidad angularconstante. Modifica el radio de la trayectoria y la velocidad angular para observar distintosmovimientos.


Haciendo pruebas con el simulador anterior hemos tomado nota del ngulo (medido enradianes) en diferentes momentos.

Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ngulo (rad) 0,0 3,14 6,28 9,42 12,56 15,70 18,84 21,98 25,12

Si observas cmo va cambiando el ngulo te dars cuenta de que lo hace a un ritmoconstante. Representando el ngulo frente al tiempo podemos comprobarlodefinitivamente.

Est claro que en este caso el ritmo de cambio del ngulo es constante y precisamente aeso le debe el nombre el movimiento circular uniforme. Pero, qu magnitud medir elcambio en el ngulo? La velocidad angular que se mide en radianes por segundo.

En el caso de nuestros datos, obtenemos un valor constante de 3,14 rad/s para lavelocidad angular cualquiera que sea el intervalo de tiempo que seleccionemos.

Dado que en los MCU la valocidad angular es constante, podemos calcular podemoscalcular el ngulo recorrido en un cierto tiempo operando en la ecuacin anterior:

Si empezamos a estudiar el movimiento con el cronmetro a cero segundos y sustituimost 2 por t,

La ecuacin de la velocidad angular en un MCU es:

que recuerda mucho a la ecuacin velocidad de un MRU pero ahora el papel de lasposiciones lo juegan los ngulos y la velocidad angular ha sustituido a la velocidad. Msadelante veremos si existe alguna relacin entre estas magnitudes angulares y lineales.

Es la velocidad constante en un MCU?

Ya sabemos que la velocidad de un mvil es una magnitud vectorial y portanto no basta para describirla con dar el espacio recorrido cada segundo sinoque necesitamos indicar la direccin y el sentido con que se mueve. Es decir,la velocidad tiene dos componentes: por un lado su mdulo que indica cmode rpido se mueve el objeto y por otro la direccin y sentido.

En un MRU sabemos que no cambia el mdulo de la velocidad porque siemprese mueve con el mismo ritmo y adems como la trayectoria es recta, lacomponente vectorial tampoco. Podemos decir que en un MRU la velocidad,tanto en mdulo como en direccin y sentido es constante.

En un MCU sabemos que no cambia el ritmo con que da vueltas pero aldescribir una circunferencia, la direccin y el sentido cambian continuamente.Por lo tanto, estrictamente la velocidad no es constante es un MCU y cuandodecimos que es uniforme queremos decir que el mdulo de la velocidad novara.

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

En un MCU, el mdulo de la velocidad lineal es constante.

En un MCU, el vector velocidad vara.

En un MCU, la velocidad angular es variable.

La velocidad de giro se puede expresar en unidades diferentes: vueltas por minuto( rpm , revoluciones por minuto) o por segundo ( rps ), grados por minuto o porsegundo, y radianes por segundo ( rad/s ), que es la unidad del Sistema Internacional.

Esta magnitud se llama velocidad angular, y se representa por . Se calcula como

donde es el ngulo girado en un tiempo t.

AV - Pregunta Verdadero-Falso

Algunos derechos reservados por kassandrapoised

Una lavadora centrifuga a 1200 rpm.

Podras convertir esta velocidad angular a rad/s?

Verdadero Falso

Verdadero Falso

En las siguientes cuestiones necesitars lpiz y papel, y utilizar las ecuacionesdel mcu.

Un punto que describe un mcu parte de la posicin 90 con una velocidadangular de 0,1 rps. Tardar 8 s en llegar a ocupar la posicin 270?

El baln de baloncesto da 90 vueltas en 30 segundos. Su velocidad angulares de rad/s.


Las ecuaciones, ms sencillas, del movimiento circular uniforme son:

En coordenadas cartesianas las ecuaciones del MCU son:

o bien esta, expresada en forma de vector:

Una moto gira en una pista circular de 5m de radio. Si lo hace a razn de 1vuelta cada 4 segundos, escribe la expresin de su vector de posicin enfuncin del tiempo. Adems, calcula dnde estar al cabo de 1, 2, 3 y 4segundos de comenzar a girar, sabiendo que inicialmente se encuentra en laposicin (5,0), justificando el resultado en cada caso.

Escribe tambin la ecuacin que nos da el ngulo descrito por la moto enfuncin del tiempo.

Piensa ahora en la lavadora que tienes en tu casa. El motor gira muy deprisapara que la ropa pierda el agua, que se escapa por los agujeros que tiene eltambor, quedando la ropa escurrida. Qu diferencia prctica habr entre unamuy moderna, que al centrifugar gira hasta a 1600 rpm, frente a las quesolamente alcanzan 900 rpm?

Actividad

1.3 La aceleracin en los movimientos

circulares

Fotografa de autor desconocido

uso educativo no comercial

Del mismo modo que en su momento definimos la aceleracin lineal como el ritmo delcambio de la velocidad, podemos definir una magnitud que mida el cambio en la velocidadangular.

Como la velocidad angular se mide en radianes por segundo, la aceleracin angular semide en radianes por segundo cada segundo, o lo que es lo mismo en radianes porsegundo al cuadrado.

En el siguiente apartado veremos que esta aceleracin guarda una relacin con laaceleracin tangencial.

En el caso de un MCU esta aceleracin es nula puesto que la velocidad angular semantiene constante.

Del mismo modo que dedujimos la ecuacin velocidad-tiempo para los MRUA, ahorapodramos hacer lo propio con la velocidad angular. Basta despejar de la definicin deaceleracin angular.

Si consideramos que en el instante inicial nuestro crnometro estaba puesto a cero,

Puedes observar el parecido de esta ecuacin con la ecuacin velocidad-tiempo de losMRUA. En lugar de velocidades aparecen velocidades angulares y en lugar de laaceleracin, la aceleracin angular.

1.4 Componentes tangencial y normal de la

aceleracin

Hemos indicado anteriormente que la velocidad tiene carcter vectorial. Como tal vectorpodemos distinguir en ella su mdulo y la direccin y el sentido. Cuando la velocidad deun objeto vara con el tiempo puede hacerlo bien porque vare el mdulo, porque vare ladireccin y sentido del movimiento o porque varen ambos aspectos.

Ya sabemos que la magnitud que mide la variacin de la velocidad es la aceleracin. Esposible definir la aceleracin como suma de otras dos:

1. La aceleracin tangencial (a t ) que informa del cambio en el mdulo de lavelocidad.

2. La aceleracin normal (a n ) que informa del cambio en la direccin y en elsentido de la velocidad.

Componentes intrnsecas de la aceleracin. Imagen de dominio pblico alojada en Wikipedia .

En el siguiente cuadro resumimos qu valor tendra cada una de estas dos componentesde la velocidad en los movimientos que hemos estudiado hasta ahora y en el MCU.

Tipo de movimiento Aceleracin tangencial Aceleracin normal Aceleracin

Reposo

MRU

MRUA

MCU

En un MCU, lgicamente la aceleracin tangencial es nula porque no vara el ritmo con elque gira el mvil (siempre da las mismas vueltas por segundo). Sin embargo la normal esdistinta de cero puesto que la direccin y el sentido cambian constantemente para dibujarla trayectoria circular.

La aceleracin debida al cambio de direccin del vector velocidad se llamanormal o centrpeta , est dirigida hacia el centro de giro y tiene como

valor .

La aceleracin debida al cambio en el mdulo del vector velocidad se llamatangencial y est dirigida en el sentido de la velocidad, es decir, tangente a

la trayectoria.

Mostrar retroalimentacin

Se est probando un prototipo de carreras en la pista de Nard. Se muevecon mcu a 250 km/h, por la pista, que tiene un radio de 1989,4 m. Quafirmaciones son ciertas en relacin con su aceleracin normal?

Es de 31,42 m/s 2

Tiene un valor de 2,42 m/s 2

Es perpendicular a la trayectoria y dirigida hacia el centro

Es tangente a la trayectoria

Pregunta de Seleccin Mltiple

con el tiempo. Sern nulas las componentes tangencial y vectorial de laaceleracin?

1.5 Magnitudes lineales y angulares

Hay un caso de mcu que tiene un inters especial: se trata de aquellos mecanismos enlos que el mcu se transforma en movimiento lineal. Es decir, auitomviles, tractores,bicicletas, etctera, en los que el giro de las ruedas apoyadas sobre el suelo hace que elmvil avance a retroceda.

Cmo podemos determinar la velocidad lineal del mvil si sabemos la velocidad angularde sus ruedas? Y el espacio recorrido a partir del ngulo girado? Para ello, es necesarioestablecer la relacin existente entre magnitudes lineales y angulares.

Fotografa de Jester79 bajo licencia GNU

Vas a comprobar de formaexperimental la relacin entrengulo girado y espacio recorrido.Para ello, debers utilizar uncoche o tractor de juguete, quetenga unas ruedas de al menos 2cm de dimetro. Haz una marcablanca en el lateral de la rueda(usa corrector typex o algoparecido). Apoya la rueda deforma que el punto marcadoquede junto al suelo, y haz unamarca con lpiz en ese punto deapoyo. Mueve el coche de formaque la rueda gire cinco vueltas completas, contando una cada vez que elpunto marcado quede junto al suelo, y haz otra marca en el suelo alfinalizar el recorrido.

Mide la distancia entre las dos marcas, que corresponder al espaciorecorrido en cinco vueltas de rueda. Mide ahora el dimetro de la rueda, conlo que sabrs su radio. Utiliza un flexmetro o una regla.

Ahora, calcula el valor de cinco veces la longitud de la circunferencia () y compralo con el espacio medido sobre el suelo. El resultado debe seraproximadamente el mismo!

Por ltimo, solamente debes tener en cuenta que cuando la rueda da un girocompleto, ha descrito un ngulo de radianes, y ha avanzado metros. Es decir, el espacio recorrido es el ngulo descrito en radianesmultiplicado por el radio.

Una partcula cuando se mueve sobre una circunferencia describe un ngulo perotambin recorre un espacio sobre su trayectoria. Existe alguna relacin entre ambasmagnitudes? S y es muy sencilla de obtener. Vayamos a un caso particular. Imagina queel mvil ha dado una vuelta completa. El espacio que habr recorrido es justo la longitudde la circunferencia, es decir:

Como vemos el espacio es el producto del ngulo completo por el radio. Si en vez dehaber dado una vuelta completa, hubiera dado media entonces el espacio recorrido sera:

De nuevo el producto del ngulo correspondiente a media circunferencia por el radio. Enel caso de que se haya batido un ngulo cualquiera, el espacio recorrido ser:

Esta misma relacin se da entre las velocidades y las aceleracin tangencial:

En el caso de la aceleracin normal la relacin es:

Las magnitudes lineales s, v y a t se pueden calcular multiplicando lasangulares por el radio de giro, con todas las unidades en el SistemaInternacional.

A continuacin te mostramos un resumen las ecuaciones de los diferentes movimientosque hemos estudiado hasta ahora as como las de los MCU y del movimiento circularuniformemente variado. Podrs observar que son muy similares.

Movimiento rectilneo y uniforme Movimiento circular uniforme.

Movimiento rectilneo uniformementeacelerado

Movimiento circular uniformementeacelerado

Actividad

Algunos derechos reservados por swisscan

Un tractor se mueve con velocidad constante de 5 m/s en lnea recta.

1. Qu tipo de movimiento lleva un punto de la cubierta delneumtico de una de sus ruedas?

2. Si las ruedas traseras tienen un dimetro 1,60 metros , con quvelocidad angular girarn?

3. Y las ruedas delanteras si su dimetro es de 1 metro?

4. Mientras las ruedas traseras dan una vuelta, cuntas vueltas danlas ruedas delanteras?

1.6 Movimiento circular uniforme: periodo

y frecuencia

Algunos derechos reservados por The Knowles Gallery

En el caso de un movimiento circular uniforme, en el que la velocidad angular no cambia,podemos definir dos magnitudes que pueden ayudarnos a describir el movimiento.


El perodo es el tiempo que invierte un objeto que describe un MCU en dar una vueltacompleta. Se mide en segundos y se representa por una T.

La frecuencia es el nmero de vueltas por segundo que da un objeto que se muevesiguiendo un MCU. Se mide en ciclos por segundo o Hertzios y se representa por la letra f.

Por la forma es que estn definidas, perodo y frecuencia son una la inversa de la otra:

La velocidad angular se puede expresar en funcin de la frecuencia y del periodo. Como elperodo es el tiempo que tarda un objeto en dar una vuelta, la velocidad angular de eseobjeto ser:

Usando la relacin entre frecuencia y periodo tambin podemos escribir que:

La frecuencia y el periodo son dos magnitudes inversas, relacionadas comof=1/T T=1/f .

Determina con el simulador la velocidad angular si el periodo delmovimiento es 3s y seala la respuesta correcta:

2.09 rad/s

0.69 rad/s

1 rad/s

La posicin de este mvil quedar perfectamente descrita si damos la distancia al eje degiro (r) y el ngulo que forma el vector de posicin y eje x (su parte positiva

concretamente). Este ngulo vara con el tiempo segn la ecuacin:

En este caso particular de movimiento circular, no cambia el mdulo de la velocidad, slolo hace su direccin y sentido.

Por eso la aceleracin tangencial es cero pero la normal no.

Actividad

AV - Pregunta de Eleccin Mltiple

Algunos derechos reservados por Johan J.Ingles-Le Nobel

Sabiendo que la distancia entre la Tierra y Luna es de 384000 Km y que tardaen dar una vuelta alrededor de la Tierra 27 das 7 horas y 43 minutos,calcula:

1. El perodo y la frecuencia de giro.

2. La velocidad angular.

3. La velocidad lineal.

4. La aceleracin angular y normal.

5. El ngulo rotado durante un da.

Nota: supn que el movimiento de la Luna es un MCU.

Satlites geoestacionarios

Los satlites que se envan al espacio tienen funciones de toma de datos yfotografas con fines muy diversos, desde meteorolgicos hasta militares, ytambin como transmisores de seales en telecomunicaciones.

Objetivos

Imagen de autor desconocido bajo licenciade uso educativo no comercial

distancia fija, manteniendo unmovimiento circular uniforme.Algunos de ellos siempre seencuentran situados sobre elmismo punto de la Tierra, y sellaman geoestacionarios, mientrasque otros pasan varias veces alda sobre el mismo sitio.

El ms conocido de los satliesgeoestacionarios es el Meteosat,que orbita a 35800 km situadosobre el cruce del meridiano 0de Greenwich, que atraviesa lasPirineos, y la lnea ecuatorial dela Tierra. Desde l se tomanimgenes cada media hora, en las que se ve muy bien Espaa, y son lafotografas que podemos ver en las predicciones del tiempo.

Aunque su velocidad angular es muy pequea (1 vuelta al da, que son7,3.10 -5 rad/s), se mueve realmente muy deprisa, ya que su radio de giro

es de 42200 km (6400 km del radio de la Tierra ms 35800 km de altura degiro sobre al Tierra), con lo que su velocidad es de 3080,6 m/s, queequivalen a 11090 km/h!

Son suficientes tres satlites geoestacionarios, colocados formando unngulo de 120 grados cada uno con respecto a los otros dos, para cubrir todoel globo y asegurar un sistema de comunicaciones rnundial. Dibuja untringulo equiltero y una circunferencia centrada dentro de l, querepresenta a la Tierra, de forma que en los vrtices estn los tres satlitesde comunicaciones. Si un satlite recibe informacin que quiere enviar a lasantpodas, no puede trasnsmitirla directamente, ya que no "ve" en lnearecta el punto de recepcin. Por esa razn la pasa previamente a uno de losotros dos satlites, que es el que enva la seal a tierra. No tienes mas quehacer el dibujo para comprobarlo.

Una lavadora centrifuga a 900 rpm en la ltima fase de su programa delavado. Indica si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:

f=15 Hz

Pregunta de Seleccin Mltiple


T=0,1 s

1.7 La bicicleta

Fuente propia

En las bicicletas se ve muy bien cmo elmovimento circular de las ruedas se transformaen desplazamiento lineal de la mquina. Elciclista pedalea y el movimiento circular de lospedales hace girar el plato, transmitindose elgiro al pin mediante una cadena, con lo quese consigue que gire la rueda trasera.

Tanto el plato como el pin son dos ruedasdentadas, de forma que segn cul sea larelacin de dientes entre ambas se modifica larelacin de vueltas giradas por las ruedas porcada giro completo de los pedales.Habitualmente hay ms de un plato y de un pin: con el cambio de marchas se pasa deuno a otro.

Observa en la simulacin cmo al pulsar sobre el pedal y, sin soltarlo, hacer girar lospedales una vuelta, la rueda trasera de la bicicleta da tres vueltas (es decir, la relacin esde 3 a 1), con lo que con un giro completo de pedales -dos pedaladas, una con cadapierna- se avanza el equivalente a tres giros de las ruedas.

Esa relacin depende del nmero de dientes del plato y del pin unidos por la cadena. Enel caso de la simulacin que acabas de ver, el plato tiene el triple de dientes que el pin.Reflexiona!

Adems, hay que tener en cuenta que cuanto mayor es el tamao de las ruedas, labicicleta avanza ms por cada giro que realizan cuando el ciclista pedalea.

Flash de S.Wilkinson bajo licencia de uso libre educativo no comercial

2. Movimientos peridicos

Animacin de autor desconocido

Fotografa de Lourdes Cardenal bajo licencia GNU

El mcu es un caso particular de movimiento peridico, que se caracterizan porquelos mviles ocupan la misma posicin en intervalos de tiempo iguales.

Fjate en las aspas de losmolinos de viento.Cuando giran con mcu, alcabo de un tiempodeterminado vuelven apasar por la mismaposicin: se trata de unmovimiento peridico.Ese tiempo es menorcuanto ms deprisagiren.

Lo mismo sucede con labola que cuelga delmuelle y oscila de formaperidica. Su movimientoes muy caracterstico, yrecibe el nombre de

movimiento armnico simple.

Una magnitud fundamental para describir un movimiento peridico es superiodo T o tiempo que tarda en repetirse el movimiento.

Importante


Indica si los siguientes movimientos son peridicos:

La Luna alrededor de la Tierra

Una moto GP compitiendo en un circuito del campeonato del mundo

El pndulo de un reloj de pared

Indica al menos otros dos movimientos peridicos. Para ello, utiliza cualquierbuscador, realizando la pregunta adecuada en google, yahoo, altavista, ....

Documents

Estudio Del Movimiento PARBOLICO