ESTUDO COMPARATIVO DE TÉCNICAS DE CONTROLE DE …livros01.livrosgratis.com.br/cp106024.pdf · importancia de ir em busca dos sonhos. A minha fam´ılia pela certeza de sempre poder

INPE-12970-TDI/1018

ESTUDO COMPARATIVO DE TÉCNICAS DE CONTROLE DE ATITUDE EM TRÊS EIXOS PARA SATÉLITES ARTIFICIAIS

Gilberto Arantes Júnior

Dissertação de Mestrado do Curso de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia Espaciais/Mecânica Espacial e Controle, orientada pelo Dr. Ijar Milagre da Fonseca,

aprovada em 23 de fevereiro de 2005.

INPE São José dos Campos

2005

Livros Grátis

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Milhares de livros grátis para download.

629.7.062.2 ARANTES JR, G. Estudo comparativo de técnicas de controle de atitude em três eixos para satélites artificiais / G. Arantes Jr. – São José dos Campos: INPE, 2005. 201p. – (INPE-12970-TDI/1018). 1.Estabilização de veículos espaciais. 2.Controle de atitude. 3.Estabilização em três eixos. 4.rodas de reação. 5.Controle magnético. I.Título.

Aprovado (a) pela Banca Examinadora em cumprimento ao requisito exigido para obtenção do Título de Mestrado em Engenharia e Tecnologia Espaciais/Mecânica espacial e Controle

Aluno (a): Gilberto Arantes Junior

São José dos Campos, 23 de fevereiro de 2005

”No meio de qualquer dificuldade encontra-se a oportunidade”

ALBERT EINSTEIN

“A maior recompensa do trabalho do Ser humano nao e o que ele(a) ganha comisso, mas sim o que ele(a) se torna com isso.”

DESCONHECIDO

A meus pais, GILBERTO MOURA ARANTES eCELIA DIAS ARANTES,

pelo apoio e paciencia.E ao tio e amigo

MIGUEL BERNARDES DE CASTRO (in memorian).

AGRADECIMENTOS

A meus pais, pelo amor, compreensao, paciencia e por incentivar e acreditar na

importancia de ir em busca dos sonhos.

A minha famılia pela certeza de sempre poder contar com seu eterno apoio e incen-

tivo, em especial aos meus Avos, Jose, Terezinha, Jeronimo e Cacilda.

A querida tia Maria Jose e ao inesquecıvel tio Miguel (in memorian) por todos os

conselhos, incentivos e valiosa torcida.

Aos tios Aluisio pela amizade, generosidade e todos os “ensinamentos filosoficos”, e

Branca pelo amor de mae que me foi dedicado, serei eternamente grato.

Ao orientador e amigo Prof. Dr. Ijar Milagre da Fonseca pela orientacao, diretrizes,

conselhos e a valiosa confianca e por acreditar que eu pudesse realizar este trabalho.

Ao apoio financeiro dos meus pais e amigos.

Ao grande amigo e colega de curso Rolf Vargas por poder dividir minhas dificuldades

e pelo seu bom humor, nos momentos difıceis.

A todos os colegas do curso, pela amizade e companheirismo demonstrados, em

especial a Leandro e Cecılia, por toda a colaboracao.

Ao Laboratorio LABSIM e todos os tecnicos, pela oportunidade de estudos e uti-

lizacao de suas instalacoes.

Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), pela oportunidade.

Aos professores do INPE em especial a Andre Fenili, Marcelo Lopes, Waldemar de

Castro, Mario Ricci e Evandro Rocco, pelo conhecimento compartilhado.

Aos professores Helio Koiti Kuga e Roberto Vieira da Fonseca Lopes pelas, sugestoes

na elaboracao desse trabalho.

A meus amigos da Republica, mestre Clerio, a simpatica mexicana Nora Trelles e

ao disciplinado Marcos Timbo por toda a paciencia e stress compartilhado.

A amiga Rose e ao amigo Fred, pelo incentivo.

A Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior (CAPES), por um

ano de bolsa concedida.

A todas aquelas pessoas que de uma maneira ou de outra contribuıram, e por omissao

nao constam nessa lista, peco desculpas e agradeco.

RESUMO

Neste trabalho propoe-se um estudo sobre tecnicas de controle de atitude parasatelites estabilizados em tres eixos e, atraves da modelagem e simulacaocomputacional, analisar, comparar e fazer um estudo de alternativas/viabilidadede sistemas de controle de atitude (ACS) em tres eixos, com base nos requisitos demissoes espaciais. Para o estudo de alternativas/viabilidade dos sistemas decontrole de atitude foi realizado um estudo comparativo de diferentes tecnicas decontrole, utilizadas para estabilizacao de satelites em tres eixos, utilizando-sediferentes atuadores, tais como: 1) rodas (de reacao e volantes de inercia); 2)bobinas magneticas. Os procedimentos de estabilizacao estudados foram: 1)controle de atitude em tres eixos utilizando rodas (de reacao e volantes de inercia)e bobinas magneticas; 2) controle de atitude em tres eixos utilizando apenasbobinas magneticas. Foram utilizados a teoria do Regulador Linear Quadratico(LQR) e Regulador Quadratico Gaussiano (LQG) e controladores nao linearesbaseados em energia (energy based control) para o desemvolvimento do projeto decontrole no modo de estabilizacao. A teoria do LQR rastreio (tracking) e ocontrolador Proporcional Derivativo (PD) foram usados no modo de aquisicao deatitude. Para a fase de reducao da velocidade angular (detumbling) foi utilizado ocontrolador de Wisniewski ou Bdot. As diferentes configuracoes dos ACS saodiscutidas, comparadas e analisadas, visando avaliar o desempenho dosprocedimentos de controle aqui desenvolvidos para os modos de detumble,estabilizacao e aquisicao da atitude. A formulacao obtida nesse trabalho foiaplicada no controle de atitude do satelite brasileiro EQUARS (EquatorialAtmosphere Research Satellite), que motivou este trabalho. Os resultados obtidosatendem as especificacoes e os requisitos do satelite.

COMPARATIVE STUDY OF THREE AXES ATTITUDE CONTROLTECHNIQUES FOR ARTIFICIAL SATELLITES

ABSTRACT

This work deals with the study of attitude control techniques for three axesstabilized satellite, and through modeling and computational simulation, analyze,compare and develop a feasibility study for attitude control system based on spacemissions requirements. The attitude control system feasibility study is carried outby using different control techniques for satellite three-axis stabilization, anddifferent actuators such as 1) reaction wheels and momentum wheels; 2) torquecoils. The procedures used for stabilization were: 1) Three axis attitude control byusing reaction wheels and momentum wheels combined with torque coils; 2) Threeaxis attitude control by using torque coils only. Each of these technique wasimplemented in computer for the attitude control simulations. The control law wasbased on the Linear Regulator Quadratic (LQR) and Linear Quadratic Gaussian(LQG) for linear systems and on energy based control for no linear systems. Thesetechniques were used for the stabilization mode. The LQR tracking and theproportional derivative (PD) techniques were used for the acquisition mode. TheWisniewski or Bdot approach has been used for detumblig phase. The differentconfiguration results for the control modes are analyzed and discussed in terms ofthe performance of the control procedures associated with the attitude controlmodes (detumble, stabilization and acquisition). The control formulation has beenapplied for the brazilian satellite EQUARS (Equatorial Atmosphere ResearchSatellite). The results comply with the satellite specification and requirements.

SUMARIO

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

LISTA DE SIMBOLOS

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

CAPITULO 1– INTRODUCAO 31

CAPITULO 2– OBJETIVO 37

2.1 Meios e Recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

CAPITULO 3– REVISAO BIBLIOGRAFICA 41

3.1 Atitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Literatura do INPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

CAPITULO 4– DEFINICOES DE NOTACOES 51

4.1 Sistemas de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1 Referencial Inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.2 Referencial Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.3 Referencial do Satelite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Representacao da Atitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.1 Matriz de Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.2 Parametros de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.3 Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.4 Angulo Eixo Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.5 Rotacoes Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Sumario de Notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

CAPITULO 5– FORMULACAO DO PROBLEMA 63

5.1 Modelagem Matematica: Cinematica e Dinamica . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.1 Equacoes da Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1.2 Equacoes da Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.3 Torque devido ao Gradiente de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Campo Magnetico Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3 Tratamento das Equacoes da Dinamica para os Casos Estudados nesseTrabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4 Linearizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4.1 Linearizacao do Modelo do Satelite Equipado com Rodas . . . . . . . . 76

5.4.2 Linearizacao do Modelo do Satelite Equipado com Bobinas . . . . . . . 78

5.5 Consideracoes Sobre os Atuadores, os Modelos Matematicos e Sistemasde Referenica Adotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.5.1 Modelo dos Atuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.6 Torques Ambientais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.6.1 Torque Devido ao Gradiente de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.6.2 Torque Aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6.3 Torque de Pressao de Radiacao Solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.6.4 Torque Devido ao Dipolo Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.7 Perturbacoes internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

CAPITULO 6– PROJETO DE CONTROLE 91

6.1 Modo de Detumble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1.1 Controlador Bdot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2 Modo de Estabilizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.1 Metodo LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.2 Metodo LQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2.3 Controladores Baseados em Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3 Modo de Aquisicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.1 LQR Tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3.2 Proporcional Derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

CAPITULO 7– SIMULACOES 109

7.1 Modo de Detumble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2 Modo de Estabilizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2.1 Metodo LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.2.2 Controladores Baseados em Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2.3 Metodo LQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.3 Modo de Aquisicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.3.1 LQR Tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.3.2 Controle PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

CAPITULO 8– CONCLUSAO 141

8.1 Sugestoes para Tabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 147

APENDICE A–CALCULO DO GRADIENTE DE GRAVIDADE 157

APENDICE B–PROPAGACAO DA ORBITA E TRANSFORMACOES 163

B.1 Calculo da Orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

B.1.1 Posicionamento de Satelites - Problema Direto . . . . . . . . . . . . . . 163

B.1.2 Equacao de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

B.1.3 Matriz de Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

B.2 Matriz de Rotacao do Sistema Inercial - Sistema do Satelite . . . . . . . 169

B.2.1 Matriz RPOFECI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

B.2.2 Matriz ROFPOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

B.2.3 Matriz RBFOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.3 Calculo da Latitude, Longitude e Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

APENDICE C–IMPLEMENTACAO EM SIMULINK 183

APENDICE D–PROGRAMAS EM MATLAB 193

D.1 Projeto LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

D.2 Projeto LQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

APENDICE E–TOOLBOX ATITUDE 199

E.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

E.1.1 Equacoes do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

E.1.2 Ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

LISTA DE FIGURAS

4.1 Sistemas de referencia, inercial (ECI), orbital (OF) e do satelite (BF) 52

4.2 Construcao dos angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1 Sequencia de rotacoes 3(ψ)− 2(θ)− 1(φ) . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Ilustracao do satelite com rodas de reacao, bobinas e os referenciaisorbital OF (xo, yo, zo) e do corpo BF (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 Configuracao das bobinas magneticas no satelite . . . . . . . . . . . . 70

5.4 Campo magnetico local Bo usando o modelo IGRF 2000 . . . . . . . 72

6.1 Configuracao do controle LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2 Sistema planta mais controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.3 Estrutura basica do sistema de controle LQG . . . . . . . . . . . . . 99

6.4 Estrutura do filtro de Kalman-Bucy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.5 Configuracao do controle LQR tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.6 Configuracao do controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.1 Velocidade angular do satelite ωbib . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2 velocidade angular ωbib . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.3 Dipolo magnetico, torque magnetico e potencia . . . . . . . . . . . . 112

7.4 Dipolo magnetico, torque magnetico e potencia . . . . . . . . . . . . 113

7.5 Angulos de atitude roll, pitch e yaw em funcao do tempo para o caso 1116

7.6 Torque τ bw, torque de acoplamente e quantidade de movimento angu-

lar das rodas para o caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.7 Velocidades angulares ωbib e ωb

ob e rotacoes por minuto das rodas dereacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.8 Angulos de atitude roll, pitch e yaw em funcao do tempo para o caso 2118

7.9 Torque τ bw, torque de acoplamento e quantidade de movimento angu-



ob e rotacoes por minuto das rodas parao caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.11 Angulos de atitude roll, pitch e yaw e tempo para o caso 3 . . . . . . 120


ob e rotacoes por minuto das rodas parao caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121



7.14 Ganho do controlador em funcao das orbitas Kc(1, 1) . . . . . . . . . 122

7.15 Angulos de atitude roll, pitch e yaw em funcao do numero de orbitas,utilizando bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.16 Dipolo magnetico, torque de controle (τ bm) e potencia das bobinas em

funcao do numero de orbitas, utilizando bobinas . . . . . . . . . . . . 124

7.17 Angulos de atitude em funcao do numero de orbitas . . . . . . . . . . 125

7.18 Dipolo magnetico, torque de controle e potencia das bobinas emfuncao do numero de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126


ob e campo magnetico terrestre local Bb 127

7.20 Angulos de atitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.21 Dipolo magnetico, torque de controle e potencia das bobinas emfuncao do numero de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129


ob e campo magnetico local Bb emfuncao do numero de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.23 Angulos de atitude estimados em funcao do tempo . . . . . . . . . . . 131

7.24 Angulos de atitude simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.25 Angulos de atitude simulados e estimados . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.26 Erro dos angulos de atitude e variacao da atitude . . . . . . . . . . . 132


lar das rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.28 Angulos de atitude roll, pitch e yaw em funcao do tempo para aaquisicao de atitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135


lar das rodas em funcao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.30 Rotacoes por minuto das rodas de reacao e velocidades angulares ωbib

e ωbob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.31 Angulos de Euler em funcao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 138


lar das rodas em funcao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.33 Rotacoes por minuto das rodas e velocidades angulares ωbib e ωb

ob emfuncao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

B.1 Referenciais (inercial, da orbita) e os elementos Keplerianos (i, ω,Ω) . 164

B.2 Referencial inercial (ECI) e pseudo orbital (POF) . . . . . . . . . . . 170

B.3 Orientacao do referencial orbital (OF) e do referencial pseudo orbital(POF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

B.4 Referencial inercial e cartesiano geocentrico . . . . . . . . . . . . . . . 179

B.5 Longitude (λ), latitude (φ) e altura (h) do satelite . . . . . . . . . . . 179

C.1 Implemetacao em SIMULINK do Modo de detumble . . . . . . . . . 183

C.2 Lei de controle Bdot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

C.3 Implementacao em SIMULINK do modo de estabilizacao: sateliteequipado com bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

C.4 Controle LQR e controladores baseados em energia . . . . . . . . . . 185

C.5 Modo de estabilizacao: satelite equipado com rodas, usando o metodoLQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

C.6 Modo de estabilizacao: satelite equipado com rodas, usando o metodoLQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

C.7 Modo de aquisicao usando o controlador PD . . . . . . . . . . . . . . 186

C.8 Lei de controle LQR tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

C.9 Lei de controle PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

C.10 Modelo dinamico do satelite equipado com bobinas . . . . . . . . . . 187

C.11 Modelo dinamico do satelite equipado com rodas . . . . . . . . . . . . 188

C.12 Modelo das rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

C.13 Modelo das bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

C.14 Modelo do torque de gradiente de gravidade . . . . . . . . . . . . . . 189

C.15 Modelo do campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

C.16 Propagacao da orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

C.17 Calculo da latitude, longitude e altura . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

C.18 Matriz de transformacao entre os sistemas de referencia ECI e BF . . 191

E.1 Bloco Gyrostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

E.2 Bloco gradiente de gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

LISTA DE TABELAS

5.1 Elementos orbitais do satelite EQUARS . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1 Parametros de simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.2 Condicoes iniciais da simulacao para o modo de estabilizacao utili-zando a metodologia LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.3 Parametros de simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.4 Condicoes iniciais da simulacao para o modo de aquisicao utilizandorodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.1 Alternativas para o ACS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

B.1 Programa MATLAB para o calculo da orbita circular . . . . . . . . . 169

B.2 Programa MATLAB para o calculo de c1i, (i = 1, 2, 3) da matriz RBFECI 176



B.5 Programa MATLAB para o calculo da longitude, latitude do pontosub-satelite e altura do satelite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

D.1 Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo satelite equipadocom rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

D.2 Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo satelite equipadocom rodas (cont.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

D.3 Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo satelite equipadocom bobinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

D.4 Programa MATLAB para o projeto LQG do modelo satelite equipadocom rodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

D.5 Programa MATLAB para o projeto LQG do modelo satelite equipadocom rodas (cont.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

LISTA DE SIMBOLOS

Bb Vetor campo geomagnetico expresso no sistema BFBo Vetor campo geomagnetico expresso no sistema OFIn Matriz identidade de ordem nJ Tensor de inercial em relacao ao sistema BF

Ji Indice de desempenhoJo Tensor de inercial em relacao ao sistema oJs Tensor de inercial do satelite sem as rodasJw Tensor de inercial das rodasKd Matriz de ganhos derivativos do controlador PDKp Matriz de ganhos proporcionais do controlador PDL Quantidade de movimento angular do satelite referido e ex-

presso no sistema inercialLb Quantidade de movimento angular do satelite referido ao sis-

tema inercial e expresso no sistema BFQc Matriz de ponderacao de estadosQf Matriz de covarianca do ruıdo nas medidasRa

b Matriz de rotacao do sistema b para o sistema aRc Matriz de ponderacao da lei de controleRf Matriz de covarianca do ruıdo da dinamicaSa Operador anti-simetricoT Torque internoA Matriz do sistemaB Matriz dos atuadoresC Matriz de sensoresG(s) Matriz funcao de transferencia de um sistemaHo Quantidade de movimento angular nominal no eixo de pitchJx, Jy, Jz Momentos principais de inerciaK(s) Funcao de transferencia do controladorKc Matriz de ganhos do regulador LQRKf Matriz de ganhos do filtro de KalmanPc Matriz solucao da equacao de Riccati no regime estacionario

para o caso do reguladorPf Matriz de covariancas dos estados estimadosTo Perıodo orbitalV Funcao de Lyapunov do sistemaX, Y, Z Coordenadas do sistema inercialx Estimativa do estado xcb

1 Cosenos diretores de xo em relacao aos eixos do corpo x, y, zcb

2 Cosenos diretores de yo em relacao aos eixos do corpo x, y, zcb

3 Cosenos diretores de zo em relacao aos eixos do corpo x, y, zfw Sinal de comandohs Quantida de movimento angular do satelite

hw Quantida de movimento angular das rodas relativo ao satelitelw Quantida de movimento angular das rodasmb Momento dipolo magneico das bobinasmc Dipolo magnetico residual para o detumbleq Quaternionr Sinal de referencia

A Area da seccao da bobina magneticaD Matriz de influenca do controle na saıdae Excentricidade da orbitae Sinal de errogn

m, hnm Coeficiente de Gauss

h Altura do sateliteh Ganho do controlador EBC com realimentacao de velocidade

angulari Inclinacao da orbitaik Corrente que passa pela bobina magnetica disposta na direcao

kk Ganho do controlador BdotN Numero de espirasu Sinal de contolev Ruıdo branco na medidaw Ruıdo branco na dinamicax, y, z Coordenadas do sistema do satelitexo, yo, zo Coordenadas do sistema orbitaly Sinal de saıda do sistemaΩ Ascensao do nodo ascendente

Φ Angulo de rotacao em torno do vetor unitario λβ Ganho do controlador EBC com realimentacao de atitudeε Vetor do quaternionωb

bw Vetor velocidade angular das rodas referido ao sistema BF, ex-presso no sistema BF

ωbib Vetor velocidade angular do satelite referido ao sistema ECI,

expresso no sistema BFωb

iw Vetor velocidade angular das rodas referido ao sistema ECI,expresso no sistema BF

ωbob Vetor velocidade angular do satelite referido ao sistema OF,

expresso no sistema BFτ b

bc Torques de controle das bobinas magneticas ou magneto tor-ques

τ bcw Torques de controle das rodas

τ bc Torques de controle expresso no sistema BF

τ bd Torques extenos que agem sobre o satelite expresso no sistema

BFτ b

g Toque de gradiente de gravidadeτ b

m Torque magnetico devido ao dipolo residualτ a Toque de arraste aerodinamicoτ ext Torque(s) exteno(s) que agem sobre o sateliteτ s Toque de pressao de radiacao solar

η Parte real do quaternionωo Velocidade orbital mediaφr, θr, ψr Atitude de referencia

φ Angulo de rotacao em torno do eixo de roll

ψ Angulo de rotacao em torno do eixo de yaw

θ Angulo de rotacao em torno do eixo de pitch

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ACS Sistema de Controle de AtitudeBF Referencial do SateliteEBC Controladores Baseados em EnergiaECI Referencial InercialEQUARS Equatorial Atmosphere Research SatelliteFG Rereferencial Cartesiano TerrestreIAGA Association of Geomagnetism and AeronomyIGRF International Geomagnetic Reference FieldINPE Istituto Nacional de Pesquisas EspaciaisLQG Regulador Quadratico GaussianoLQR Regulador Linear QuadraticoMIMO Multiplas Entradas Multiplas SaıdasOF Referencial Orbital

OOF Referencial da OrbitaPD Proporcional DerivativoPMM Plataforma Multi-MissaoPOF Referencial Pseudo Orbital

SISO Unica Entrada Unica SaıdaVLHL Vertical Local e Horizontal Local

CAPITULO 1

INTRODUCAO

A orientacao de um satelite, em relacao a um sistema de referencia conhecido, e

denominada atitude e o movimento de rotacao em torno do seu centro de massa

e denominado movimento de atitude. Assim, a atitude e o movimento de atitude

especificam a orientacao espacial e o movimento rotacional em torno do centro de

massa do satelite (Wertz, 1978 e Hughes, 1986). Para determinar a atitude de um

satelite em relacao a um sistema de referencia, esse deve estar equipado com sensores

que possam fornecer a sua orientacao em relacao ao Sol, a Terra, e/ou alguma estrela

fixa bem como em relacao ao vetor campo magnetico terrestre (direcao e magnitude).

Em certos casos e necessario considerar elementos orbitais do satelite para que seja

possıvel determinar completamente a atitude e o movimento de atitude do veıculo

espacial. A analise de atitude pode ser dividida em determinacao, previsao e controle

de atitude (Wertz, 1978).

Este trabalho trata da previsao e o controle de atitude. A previsao e o processo de

prever a orientacao do satelite pelo uso de modelos que permitam extrapolar sua ati-

tude, sendo necessario conhecer as forcas perturbadoras que agem sobre o satelite,

portanto, necessario modela-las. O controle e o processo de orientar o satelite de

maneira que esse adquira ou mantenha a atitude prefixada pela missao. A imple-

mentacao do modelo cinematico e dinamico do satelite e feita neste trabalho utili-

zando o software MATLAB e SIMULINK, bem como a implementacao das leis e

estrategias de controle de atitude em tres eixos.

Satelites artificiais, em uma grande variedade de missoes espaciais, seja para fins

meteorologicos, de telecomunicacoes, de sensoriamento remoto e cientıfico, devem

estar com uma ou mais faces/equipamentos orientada(o)s para direcoes especıficas,

tais como para a Terra (BrasilSAT, Syncom, etc), para o Sol (Soho) ou para outras

estrelas (Hubble). E evidente a necessidade de se conhecer a atitude do satelite, de

modo que se possa estabilizar seu movimento de acordo com a atitude nominal es-

pecificada. Isto e feito atraves de um sistema de controle, projetado de acordo com

os requisitos da missao. O controle de atitude e, portanto, o processo de orientar o

satelite de maneira que este adquira ou mantenha a atitude nominal especificada.

Este processo pode ser visto sob dois modos: modo de aquisicao de atitude, que

31

consiste em levar o satelite para a atitude nominal a partir de uma atitude qual-

quer e modo normal de operacao, que consiste em estabilizar/manter a atitude, de

acordo com a atitude nominal, fazendo correcoes, quando necessarias. Durante a

fase de aquisicao de atitude sao, em geral, necessarias manobras de grandes angulos,

uma vez que o sistema de controle de atitude (ACS) deve ser capaz de, a partir de

uma atitude qualquer, levar o satelite para a atitude nominal. Ja a fase de estabi-

lizacao/manutencao, em geral, requer manobras de pequenos angulos objetivando

correcoes na atitude. Eventualmente os requisitos do ACS podem impor manobras

de grandes angulos para reorientar o satelite em determinada direcao. Um requisito

deste tipo requer manobra de reaquisicao da atitude.

As duas configuracoes basicas para estabilizar satelites sao aquelas em um eixo

(exemplos do SCD1 e SCD2) e em dois eixos, essa conhecida como estabilizacao

em tres eixos (exemplos do CBERS1 e CBERS2), uma vez que estabilizando-se

dois eixos garante-se a estabilizacao do terceiro eixo. O estudo da estabilizacao

em um eixo e descrito em Kuga L. D. e Guedes (1987), Kuga e Guedes (1987),

Quirelli (2002) e Zanardi et al. (2003a). Esse trabalho e dedicado ao estudo da

estabilizacao em tres eixos de satelites artificiais. A estabilizacao em tres eixos pode

ser descrita em relacao ao sistema orbital. Nesse referencial o movimento em torno

da direcao da velocidade orbital e denominado roll (rolamento). O movimento em

torno da direcao normal a orbita e denominado pitch (arfagem), e finalmente o

movimento em torno da direcao Nadir/Zenite e denominado yaw (guinada). Satelites

estabilizados em tres eixos podem ser vistos como um sistema com quantidade de

movimento angular nulo (zero momentum system) ou entao como um sistema em

que a quantidade de movimento angular e nao nula (bias momentum system). Os

sistemas com quantidade de movimento angular nao nulo contem, geralmente, um

volante de inercia com quantidade de movimento angular nominal diferente de zero

(Wertz, 1978 e Wie, 1998). Este equipamento difere das rodas de reacao pelo fato de

ter velocidade angular nominal diferente de zero em certa direcao (Larson e Wertz,

1992).

Atualmente o programa espacial brasileiro desenvolve, entre outros, projetos de dois

satelites; o Satelite Equatorial Upper Atmosphere Research Satellite de aplicacoes

cientıficas (EQUARS) e a plataforma multi-missao (PMM), visando uma pla-

taforma unica para satelites com diferentes missoes. Os requisitos dessas missoes

impoem um sistema de controle em tres eixos. Essas duas missoes espaciais consti-

32

tuem a principal motivacao para o desenvolvimento do trabalho.

Diversas tecnicas de estabilizacao podem ser utilizadas quando se deseja estabilizar

satelites em tres eixos. Dentre elas destacam-se nesse trabalho, aquelas que empre-

gam como atuadores: rodas de momentum e bobinas magneticas. Nesse trabalho sao

estudados/analisados tres modos de operacao:

• Detumble : reduzir a velocidade angular do satelite.

• Estabilizacao: adquirir e manter o referencial do satelite alinhado com o

referencial orbital (vertical local e horizontal local).

• Aquisicao: aquisicao de uma orientacao arbitraria.

Os modelos matematicos do veıculo espacial usados nos procedimentos de controle

de atitude avaliados para o modo de detumble e o modo de estabilizacao

sao: rodas de reacao combinadas com bobinas magneticas e um sistema empregando

somente bobinas magneticas. As bobinas sao utilizadas para a reducao da velocidade

angular, ou seja, no modo de detumble e desaturacao. Entretanto, nesse estudo a

estrategia de dessaturacao nao e estudada. Para o modo de aquisicao e avaliado

o emprego de rodas com objetivo de analizar a exequibilidade do procedimento a

partir das especificacoes das rodas para o satelite EQUARS.

As leis e estrategias de controle empregadas nesse trabalho sao associadas a tecnica

do Regulador Linear Quadratico (LQR), LQR tracking, Regulador Quadratico Gaus-

siano (LQG), controle proporcional derivativo (PD), controladores baseados em

energia (attitude feedback e angular velocity feedback) usando a teoria de Lyapunov

e o controlador Bdot que tambem e baseado na teoria de Lyapunov. As estrategias

de controle adotadas para os tres modos de operacao sao:

• O controlador Bdot, usando apenas medidas dos magnetometros, para o des-

capotamento/detumbling do satelite. Os atuadores empregados sao as bo-

binas magneticas.

• Os controladores LQR/LQG e os baseados em energia para o modo de esta-

bilizacao. A metodologia LQR e usada para rodas e bobinas e a metodologia

33

LQG apenas para rodas. Os controladores baseados em energia sao usados com

o emprego de bobinas magneticas.

• A metodologia LQR tracking e o controlador PD para o modo de aquisicao,

com o objetivo de avaliar a exequibilidade/factibilidade do emprego das rodas

especificadas para o satelite brasileiro EQUARS.

A dissertacao esta organizada de acordo com a sequencia descrita a seguir.

No Capıtulo 1 e feita uma breve introducao sobre o trabalho, descrevendo brevemente

os procedimentos e estrategias de controle adotadas. Nesse Capıtulo e incluıda a

motivacao do estudo, que se refere a aplicacao desse estudo ao satelite brasileiro

EQUARS.

O Capıtulo 2 apresenta os objetivos do trabalho.

O Capıtulo 3 apresenta a revisao bibliografica sobre o tema.

No Capıtulo 4 e realizada uma revisao das definicoes e fundamentos matematicos

envolvendo atitude e movimento de atitude de veıculos espaciais.

No Capıtulo 5 sao apresentados os modelos matematicos da cinematica e dinamica do

veıculo espacial. E mostrado o modelo do campo magnetico terrestre e o modelo dos

principais torques ambientais (gradiente de gravidade, pressao de radiacao, arrasto

atmosferico e dipolo residual). No Capıtulo sao discutidos brevemente os torques de

origem interna e uma aproximacao do seu modelo. E apresentado ainda a linearizacao

dos modelos dinamicos e cinematicos da atitude para os diferentes procedimentos

adotados.

No Capıtulo 6 sao apresentados as estrategias de controle, os fundamentos e me-

todologias usadas na formulacao das leis de controle empregadas nos sistemas de

controle de atitude (ACS).

No Capıtulo 7 sao apresentadas as simulacoes da dinamica e controle do veıculo para

as diferentes configuracoes do ACS, envolvendo os diferentes modos de operacao. O

estudo e aplicado ao satelite brasileiro EQUARS. E feita a analise dos resultados

34

e comparacoes das estrategias de controle empregadas.

Capıtulo 8 encerra-se com a analise e discussoes dos resultados, sendo feitas sugestoes

para trabalhos futuros.

35

36

CAPITULO 2

OBJETIVO

Este trabalho visa modelar, simular, analisar, comparar resultados e apresentar um

estudo de alternativas de sistemas de controle de atitude (ACS) para satelites esta-

bilizados em tres eixos em diferentes modos de operacao, utilizando como atuadores:

• Rodas de reacao/volantes de inercia (reaction wheel/momentum wheel);

• Bobinas magneticas.

Os procedimentos adotados para os modos de detumble e estabilizacao

usando os atuadores citados acima sao: 1) satelite equipado com rodas e bobinas

magneticas; 2) satelite equipado apenas com bobinas magneticas. O projeto de con-

trole usado para o modo de estabilicao utiliza diferentes reguladores: 1) os basea-

dos nas tecnicas modernas de controle multivariavel: Regulador Linear Quadratico

(LQR) e Regulador Quadratico Gaussiano (LQG); 2) os controladores baseados em

energia (energy based control) com realimentacao de velocidade angular (angular

velocity feedback) e realimentacao de atitude (attitude feedback), ambos utilizando

a teoria de Lyapunov. O projeto de controle usado para o modo de detumble usa

apenas medidas dos magnetometros e e baseado na teoria de Lyapunov. O projeto

de controle para o modo de aquisicao utiliza: 1) controlador Proporcional De-

rivativo (PD); 2) LQR rastreio/tracking. Esse projeto tem o objetivo de avaliar e

discutir a factibilidade do emprego das rodas especificadas para o satelite brasileiro

EQUARS, em adquirir uma atitude arbitraria, e ainda comparar os controladores

usados.

O objetivo principal desse trabalho e realizar um estudo de alternativas e um

estudo comparativo em funcao do desempenho e analise de custo & benefıcio

dos diferentes sistemas de controle de atitude. As configuracoes dos ACS(s) es-

tudados serao aplicados ao satelite brasileiro EQUARS (Equatorial Upper At-

mosphere Research Satellite). O estudo desenvolvido nesse trabalho (estudo de al-

ternativas/viabilidade) pode se extendido por exemplo, a plataforma Multi-Missao

(PMM).

37

2.1 Meios e Recursos

Os principais meios e recursos utilizados para se alcancar os objetivos propostos no

trabalho sao:

• pesquisa bibliografica utilizando os recursos da biblioteca do INPE, artigos

publicados na literatura da area, e pesquisa no portal de periodicos da CAPES;

• uso dos recursos da divisao de Mecanica Espacial e Controle, no que se refere

a meios computacionais para simulacao, laboratorio LABSIM, incluindo os

ambientes MATLAB e SIMULINK para o desenvolvimento das simulacoes.

2.2 Metodologia

O desenvolvimento do trabalho proposto esta fundamentado nas seguintes metodo-

logias:

• Modelagem matematica da dinamica de atitude para um veıculo espacial con-

tendo como atuadores: rodas (de reacao e/ou volantes de inercia) e bobinas

magneticas, incluindo os efeitos do gradiente de gravidade.

• Analise dinamica do modelo matematico, incluindo a linearizacao do modelo,

usados no desenvolvimento do projeto de controle (reguladores), para os con-

troladores lineares (PD, LQR e LQG).

• Modelagem e implementacao, no ambiente SIMULINK, da orbita e do campo

magnetico terrestre, modelo IGRF (International Geomagnetic Reference Fi-

eld).

• Estudo do problema do regulador linear quadratico (LQR) e regulador

quadratico gaussiano (LQG).

• Estudo dos controladores baseados em energia, utilizando a teoria de Lyapu-

nov.

• Estudo do controlador proposto por Wisniewski (1996) ou Bdot.

38

• Implementacao dos sistemas dinamicos no ambiente MATLAB e SIMULINK.

• Simulacao dos sistemas dinamicos (nao lineares).

• Analise e comparacao das estrategias de controle empregadas nas diferentes

configuracoes dos ACS(s), desenvolvidos para satelites estabilizados em tres ei-

xos, nos diversos modos de operacao. Aplicacao do estudo ao satelite brasileiro

EQUARS.

39

40

CAPITULO 3

REVISAO BIBLIOGRAFICA

Este Capıtulo apresenta uma revisao da literatura relacionada ao principais assuntos

envolvidos nesse trabalho: controle de atitude de satelites, tecnicas de estabilizacao

em tres eixos, modelamento matematico dos sistemas (satelite, atuadores, meio) e

estrategias de controle. As metodologias modernas de controle multivariavel LQR,

LQR/tracking e LQG sao revistas, controladores PD e reguladores nao lineares ba-

seados em energia tambem sao apresentados.

3.1 Atitude

As referencias Wertz (1978), Kaplan (1976), Wie (1998) e Hughes (1986) apresentam

um estudo do movimento de atitude de satelites artıficiais, mostrando o historico,

os fundamentos e os conceitos fısicos fundamentais utilizados na previsao, controle

e determinacao de atitude. A modelagem, analise e controle de sistemas dinamicos

sao revistos, as tecnicas de controle de atitude para satelites artificiais estabilizados

em tres eixos tambem sao discutidas. Os tipos e descricao dos sensores e atuadores

empregados no movimento de atitude sao apresentados em Wertz (1978) e em Pil-

chowski (2001). Uma descricao do uso de sensores em satelites e mostrada em Wright

e Wong (1989). As varias formas de representacao/parametrizacoes da atitude (qua-

ternions, angulo eixo equivalente, angulos de Euler, cossenos diretores, variaveis de

Andoyer, parametros de Gibbs) sao apresentadas em Wertz (1978), Rodrigues e Za-

nardi (2004), Wie (1998), Fauske (2003) e Junkins e Turner (1986). O problema de

estabilizacao em tres eixos e tambem discutido em Martins Neto (2001).

A analise de missao e uma fase na qual define-se o que deve ser feito sem necessaria-

mente definir como fazer. A analise de missao envolvendo especificacoes do sistema

de controle de atitude para estabilizacao em tres eixos e descrita e discutida em

Larson e Wertz (1992). Em Marteau e Rogers (1996) e feita uma analise de siste-

mas de controle de atitude (ACS), abordando aspectos gerais sobre as especificacoes

(atuadores, sensores, computadores de bordo) de um sistema de controle de atitude

(ACS). O Autor discute um ACS com custo “razoavel”, para pequenos satelites

(< 500kg) que requeiram apontamento de “razoavel”precisao (20 arcsec), precisao

tıpica requerida para satelites ja operacionais como IRAS (Infrared Astronomical

41

Satellite) (Beichman et al., 2004), ASCA (Advanced Satellite for Cosmology and

Astrophysics) (Tamura, 1998) e SOHO (Solar & Heliospheric Observatory) (Gur-

man, 2004).

A modelagem da dinamica de atitude utilizando-se rodas (de reacao e volantes de

inercia) para estabilizacao em tres eixos e apresentada nas referencias Wie (1998)

(onde se utilizam duas rodas de reacao e um volante de inercia), Yairi (1994) e Fichter

e Zentcraf (1996). Yairi (1994) e Fichter e Zentcraf (1996) apresentam a mesma

modelagem de Wie (1998), mas utilizam quatro rodas de reacao, sendo uma delas

disposta na diagonal (skew symmetric), redundante. A roda redundante e disposta

de tal forma que forneca uma quantidade de movimento angular nas tres direcoes

principais de inercia, o que pode, eventualmente, em caso de falhas substituir uma ou

mais rodas ao longo dessas direcoes. Essas referencias mostram o desenvolvimento

das equacoes do movimento rotacional de um corpo rıgido equipado com rodas.

O problema otimo no procedimento de estabilizacao de satelites artifıciais com a

utilizacao de rodas e apresentado em El-Gohary (2003). Este autor apresenta um

estudo de estabilidade segundo Lyapunov. Em Varatharajoo e Fasoulas (1975) e feita

a analise do problema de atitude empregando rotores para satelites de observacao

da Terra. Spindler (2000) aborda o problema de controle para estabilizacao em

tres eixos empregando N volantes de inercia, exemplificando o procedimento para o

satelite MONS-ballerina .

O problema de estabilizacao de atitude em tres eixos usando apenas atuadores ele-

tromagneticos e discutida em Kaplan (1976), Wertz (1978), Bushenkov e Smirnov

(2002), Psiaki (2001), Wang e Shtessel (1998), Wisniewski e Blanke (1999) e Musser

e Ebert (1989). Em Wertz (1978) e Carrara (1982) e encontrada a modelagem das

perturbacoes ambientais (forcas e torques) que atuam sobre o satelite no espaco,

devido ao campo magnetico, o campo gravitacional e a radiacao proveniente do

Sol e da Terra. A modelagem do campo magnetico, modelo IGRF (International

Geomagnetic Reference Field) usado nesse trabalho e encontrado em Macmillan e

Quinn (2000). Outros modelos do campo magnetico (dipolo e quadripolo) podem

ser encontrados em Zanardi et al. (2003b) e Zanardi et al. (2004).

O Desenvolvimento das equacoes da dinamica de atitude usando atuadores eletro-

magneticos/bobinas magneticas e apresentado em Psiaki (2001), Musser e Ebert

(1989), Wisniewski (1997) e Marteau e Psiaki (1988). Outras referencias tambem

42

trazem as equacoes da dinamica e cinematica de atitude, como Bushenkov e Smir-

nov (2002), Fauske (2002), Grassi e Moccia (1995) e Wang e Shtessel (1998). Es-

sas referencias discutem a utilizacao de bobinas magneticas para o controle para

pequenos satelites visando menor custo para precisao requerida de 1o a 2o, sem re-

querer alta fonte de energia. Wisniewski e Blanke (1999) analisam a tecnica para o

satelite dinamarques Orsted (Clausen, 2004) (satelite aplicado no estudo do campo

magnetico da Terra). O autor mostra que e factıvel obter estabilizacao em tres eixos

utilizando apenas torques magneticos para satelites de orbita baixa (LEO), sujeitos

ao gradiente de gravidade. O ASRI (Australian Space Research Institute) (Ardebil,

2004) confirma a viabilidade de se usar apenas atuadores magneticos para o con-

trole de atitude de pequenos satelites, atraves da missao cientıfica TechSAT. Silani

e Lovera (2003) apresentam uma revisao do problema de estabilizacao de atitude em

tres eixos para pequenos satelites, usando atuadores magneticos (bobinas), baseado

na teoria de controle linear e nao linear. Junkins e Carrington (1980) realizam um

estudo de otimizacao para manobras de atitude usando atuadores magneticos.

A referencia Kim e Choi (1999) trata da utilizacao de um sistema de controle de

atitude (ACS), utilizando tres rodas de reacao combinadas com bobinas magneticas

para o microsatelite Koreano KITSAT-3 (satelite de telecomunicacoes), visando es-

tabilizacao em tres eixos, em orbitas baixas (LEO). Nos requisitos de payload/carga

util do KITSAT-3 sao exigidas alta precisao de apontamento (0.05o) e estabilidade

(0.014orad/s) da plataforma. Os atuadores magneticos tambem podem ser utilizados

para a desaturacao das rodas. Bang e Choi (2003) analisam a desaturacao de rodas

utilizadas para manobras de grandes angulos. Outra tecnica de controle para esta-

bilizacao em tres eixos, desenvolvida primeiramente para os satelites TIROS (Tele-

vision Infrared Observation Satellite), por Harold Perkel, utiliza uma configuracao

particular de um volante de inercia (momentum wheel), ao longo do eixo de arfa-

gem (pitch), combinando com dois atuadores eletromagneticos, dispostos ao longo

do eixo de rolamento (roll) e guinada (yaw). Esta tecnica e denominada stabilite

e e encontrada na referencia Perkel (1966). Em Hamzah e Hashida (1999) e descrito

o desenvolvimento do sistema de controle de atitude para o satelite TiungSAT-1,

utilizando-se a configuracao de Perkel obtendo uma precisao de ampontamento de

±1o.

Whitford e Forrest (1998) descrevem o desenvolvimento de um sistema de controle

de atitude (ACS) para estabilizacao em tres eixos tambem baseado na combinacao

43

de rodas (de reacao e volantes de inercia) e bobinas magneticas. Os varios modos

de operacao sao avaliados para sistema de controle de atitude (ACS). O ACS e apli-

cado ao satelite CATSAT (Co-operative Astrophysical and Technology Satellite) do

programa STEDI (Student Explorer Demonstration Initiative). Um dos principais

problemas inerentes a utilizacao de rodas e o da saturacao no processo de controle,

devido a manobras de grandes angulos (Bang e Choi, 2003) e/ou torques seculares.

Em Buckingham e Smirnov (1972) e discutida a desaturacao de rodas de reacao

empregando atuadores magneticos. Em Gokcev e Meerkov (2001) e apresentada a

metodologia para sistemas com saturacao de atuadores utilizados na estabilizacao

de satelites sujeito a perturbacoes seculares.

Da vasta literatura que apresenta o desenvolvimento das equacoes da dinamica nao

linear, para satelites equipados com bobinas, destacam-se os trabalhos de Fauske

(2002), Cohen (1973), Spencer (1977), Shigehara (1972) e Alfriend (). As equacoes

do sistema tornam-se variantes no tempo devido ao campo geomagnetico. A analise

da controlabilidade de satelites equipados apenas com bobinas magneticas e en-

contrada em Bhat e Dham (2003). Wisniewski e Markley (1999) desenvolvem uma

metologia de controle otimo aplicada ao controle de atitude em tres eixos. Propri-

edades eletricas de materiais utilizados em bobinas magneticas sao apresentados e

discutidos em Legg (2003). A descricao, especificacoes e precisoes de rodas (de reacao

e volantes de inercia) da TELDIX utilizadas para estabilizacao em tres eixos sao

encontrados em Auer (1983) e Heidelberg (2004). Em Auer (1983) sao tambem apre-

sentadas repostas para os comandos de controle.

3.2 Controle

Nesta secao e feita um revisao bibliografica das metodologias LQR, LQR rastreio

(tracking) e LQG. Uma revisao de controladores baseados em energia, tambem regu-

ladores, obtidos a partir da teoria de Lyapunov e apresentada. O controlador usado

para o modo de detumble, conhecido como Bdot e revisto.

Metodologia LQR e LQG

A teoria do regulador linear quadratico (LQR) e do regulador linear gaussiano (LQG)

aplicadas em controle multivariavel e encontrada em uma vasta literatura. As prin-

44

cipais referencias estudadas pelo autor para elaboracao e implementacao dessas me-

todologias no sistema de controle de atitude foram Dorato e Cerone (1995), Macie-

jowski (1989), Kwakernaak e Sivan (1972), Moore e Anderson (1990), Brown (1997)

e Kirk (1970). Essas referencias fornecem os metodos para formular a lei de controle

para sistemas dinamicos. O projeto de controle LQR e LQG e baseado na linea-

rizacao dos sistemas dinamicos, definindo uma funcao objetivo a ser minimizada, e

na obtencao de uma matriz de ganhos (variantes no tempo ou nao) usada na reali-

mentacao (Overby, 2004), o metodo se aplica a sistemas variantes no tempo, como

o caso de satelites equipados com bobinas magneticas, tornando-se uma alternativa

atraente, devido a robustez e facil implementacao, essa metodologia e usada por

Wisniewski e Markley (1999), Wisniewski (1996) e Marteau e Psiaki (1988) para

o sistema de controle de atitude de satelites equipados com atuadores magneticos.

Yairi (1994) usa a formulacao LQR para o sistema de controle de atitude de satelites

estabilizados em tres eixos equipados com rodas.

Nesse trabalho a lei de controle, formulada a partir do sistema linear, e aplicada

ao sistema dinamico completo, nao linear, assim como feito por Musser e Ebert

(1989) e Fauske (2002). No controle de atitude para satelites estabilizados em tres

eixos e necessario manter a atitude em relacao a um sistema de referencia, inercial ou

nao inercial, como e o caso de satelites Terra apontados em que o sistema do satelite

deve estar alinhado com a vertical local e horizontal local (VLHL) ou referencial

orbital, um sistema de referencia movel (Wertz, 1978). Portanto, no problema de

estabilizacao a referencia para o controlador e zero ou constante, tratando-se de um

regulador (Distefano e Willians, 1972). Em Kirk (1970) e Dorato e Cerone (1995) e

apresentada a formulacao das lei de controle para o caso em que a referencia difere

de zero, essa formulacao e conhecida como LQR rastreio/tracking (Dorato e Cerone,

1995).

Em Overby (2004) e discutido varias estrategias de controle e reguladores usados

para a estabilizacao do satelite Noruegues Ncube. Entre essas estrategias a meto-

dologia LQR e apresentada, mostrando boas propridades de estabilidade. Overby

(2004) e Kristiansen (2000) apresentam um algoritmo para a selecao dos ganhos das

matrizes de ajuste usadas no LQR, baseado na saturacao dos atuadores e interva-

los de operacao para os estados. Em Dorato e Cerone (1995), Kwakernaak e Sivan

(1972) e Souza (1987) e discutida a escolha/selecao das matrizes dos ganhos com

base nos requisistos e compromissos/trade-off do processo. Na metologia LQR nao

45

e levada em conta as incertezas do problema, ou seja, a metodologia LQR e de-

terminıstica. Atraves da utilizacao da metodologia LQG, um controlador baseado

em observador, essas incertezas (estocasticas) podem ser atribuıdas a planta ou pro-

cesso. A solucao do problema do LQG e obtida pelo uso do princıpio da separacao

que possibilita a separacao do problema original (estocastico) em dois problemas:

1) estimacao otima do estado, de modo que sua covariancia seja minimizada.

Esse sub-problema e resolvido pelo uso de um filtro de Kalman, ignorando-se com-

pletamente o problema de controle; 2) formulacao da lei de controle usando a

metodologia LQR, fazendo uso da estimativa como se fosse a medida exata do es-

tado, ignorando-se completamente os aspectos ou natureza estocasticas do processo

(Flora, , Moore e Anderson, 1990 e Dorato e Cerone, 1995).

A solucao do problema 1 consiste na determinacao da matriz ganho ou ganho de Kal-

man, a estrutura do filtro e encontrada em Maciejowski (1989), Kwakernaak e Sivan

(1972) e Athans (1971). A solucao do problema 2 consiste na derminacao da matriz

ganho do controlador usado na realimentacao. Para a solucao do problema LQG

ser assintoticamente estavel e necessario que o sistema seja completamente ob-

servavel, para a solucao do problema 1 e completamente controlavel, para a solucao

do problema 2 (Brown, 1997 e Dorato e Cerone, 1995).

Controladores baseados em energia

Uma importante ferramenta em teoria de controle e o uso de controladores nao line-

ares baseados em energia (energy based control), desenvolvidos atraves da teoria de

Lyapunov (Fauske, 2002 e Khalil, 2000). Fauske (2002) sugere diferentes controla-

dores baseados em energia para satelites equipados apenas com bobinas magneticas;

as leis de controle avaliadas para o modo de estabilizacao sao: 1) realimentacao de

velocidade angular (angular velocity feedback); 2) realimentacao de atitude (attitude

feedback). Overby (2004) realiza um estudo comparativo dos controladores 1 e 2 com

o controlador obtido pela teoria linear ou seja usando a metodologia LQR. Essas es-

trategias de controle sao aplicadas ao satelite Noruegues NCUBE. Hegrenes (2004)

realiza um estudo comparativo entre um controlador usando o metodo LQR e um

controlador PD, para o satelite NCUBE, no seu modo de estabilizacao.

A teoria de Lyapunov e desenvolvida em detalhes nas referencias Khalil (2000) e

46

Overby (2004). Para o modo de operacao de descapotamento/detumble, a lei de

controle e sugerida por Wisniewski (1996) e e baseada na teoria de Lypunov. Essa

lei de controle tambem e conhecida como Bdot (Silani e Lovera, 2003). Wells e

Jeans (2002) utilizam essa estrategia de controle para o satelite Canadense CanX-

1. Nesse trabalho a estrategia de controle de Wisniewski (1996) e usada para o

modo de operacao de detumble. Portanto nos dois sistemas de controle de atitude

(ACS(s)), o detumble e feito com o uso de bobinas magneticas.

3.3 Literatura do INPE

No acervo do INPE pesquisado, destacam-se o trabalho de Souza (1981), que apre-

senta o estudo e desenvolvimento de um sistema de controle ativo de atitude em

tres eixos para satelites artificiais, usando atuadores pneumaticos a gas frio e rodas

de reacao. O estudo e feito atraves de simulacao digital; Souza (1987) apresenta

o estudo de um sistema de controle de atitude em tres eixos utilizando rodas de

reacao. O autor ainda apresenta o modelo dinamico do satelite equipado com rodas,

utilizando as equacoes de corpo rıgido ou equacoes de Euler, assim como desen-

volvido nesse trabalho; Carrara (1982) faz o estudo das principais forcas e torques

atuantes em satelites artificiais, como gradiente de gravidade, pressao de radiacao

(solar e terrestre) e arrasto atmosferico, desenvolvendo um programa/software para

o computo numerico dessas influencias na atitude e orbita do satelite, a partir da

sua geometria.

Souza (1987) apresenta o estudo e o projeto experimental de um atuador do tipo

roda de reacao. Sua aplicacao esta no controle fino da atitude de satelites artificiais

atraves da troca de quantidade de movimento angular entre a roda e o satelite,

realiza, ainda testes de desempenho e confrontacao com os resultados obtidos em

simulacao digital. Trivelato (1988) apresenta o desenvolvimento de controladores

digitais de torques de rodas de reacao, usadas no controle de atitude de satelites

artificiais, o autor realiza simulacoes digitais e simulacao com hardware na malha de

controle, qualificando o controlador da roda para seu uso em sistemas de controle de

atitude. O estudo detalhado de um sistema de controle por referencia para operacao

de rodas e apresentado em Trivelato (1988).

O projeto de controle de atitude de satelites estabilizados em tres eixos utilizando a

47

metodologia LQR e LQG e apresentada em Moscati (1992) mostrando ser uma opcao

viavel para o sistema de controle de atitude, atraves dos resultados obtidos. Moscati

(1992) utiliza o modelo linear em suas simulacoes. Outros trabalhos se destacam no

estudo de atitude de satelite que incluem apendices flexıveis usando metodologias

modernas e distintas de controle (LQG/LTR (Loop Transfer Recovery) e H-infinito),

Roma (1991) desenvolve um software de um manipulador simbolico para obtencao

das equacoes do movimento de atitude. Flora () realiza o projeto de um sistema de

controle de atitude em tres eixos usando os metodos LQG/LTR e H-infinito. Souza

(1987) apresenta uma extensao na teoria do regulador linear quadratico (LQR) para

o caso de uma dinamica nao linear, sugerindo uma nova lei de controle de atitude

para satelites artificiais.

A partir da revisao da literatura do INPE nota-se uma grande diversidade e quali-

dade nos trabalhos voltados para o estudo de atitude em tres eixos, e implementacoes

de metodologias de controle. Entretanto, os trabalhos revistos tratam de tecnicas

que empregam apenas rodas como atuadores, incluindo ate mesmo o projeto da

mesma. As analises e simulacoes se restringem a um unico modo de operacao, o de

estabilizacao, envolvendo apenas manobras de pequenos angulos. O presente traba-

lho que inclue o estudo de atitude empregando rodas, especificadas para o satelite

EQUARS, e usado para outros modos de operacao, estabilizacao e aquisicao. O mo-

delo do satelite equipado com atuadores magneticos tambem e desenvolvido. Esse

trabalho aborda o problema do uso de rodas usando as metodologias usadas em

Souza (1987), Flora () e Moscati (1992) para a obtencao da lei de controle.

Na simulacao digital foi adotada o modelo completo da dinamica (nao linear e aco-

plada), assim como feito por Souza (1987). Na literatura disponıvel do INPE nao e

encotrada nenhuma referencia que trata da utilizacao de bobinas magneticas como

atuadores para a concepcao do sistema de controle de atitude para satelites estabi-

lizados em tres eixos. Constitue, portanto, uma importante contribuicao e desafio

desse trabalho, o estudo da estabilizacao em tres eixos de satelites artificiais atraves

de atuadores magneticos. Cabe salientar que esse estudo foi motivado pelos proje-

tos dos satelites Brasileiros EQUARS e a Plataforma Multi-Missao (PMM)

que estao sendo desenvolvidos pelo INPE. Esses satelites empregam como atuadores

rodas e bobinas magneticas para o controle de atitude. Como contribuicao desse es-

tudo desenvolveu-se um toolbox em SIMULINK, voltados para dinamica e controle

de atitude.

48

Neste trabalho as simulacoes digitais sao feitas no ambiente MATLAB e SIMU-

LINK. Nesses recursos computacionais sao encontrados nas referencias Hanselman e

Benjamin (1994), Levine e Leonard (1995), Hanselman e Littlefield (2003) e Bishop

(1997) e na documentacao disponibilizada pela Mathworks. Levine e Leonard (1995).

Ogata (1998) e Bishop (1997) apresentam uma introducao do uso do MATLAB em

engenharia de controle e automacao. Em Hanselman e Benjamin (1994) e Wie (1998)

e apresentado a implementacao das metodologias LQR e LQG atraves das functi-

ons do control toolbox do MATLAB. Hanselman e Littlefield (2003) mostra como

usar os recursos do MATLAB e apresentam todas as caracterısticas e benefıcios da

programacao em MATLAB. Hanselman e Littlefield (2003) mostram como realizar

o desevolvimento de um toolbox, usando SIMULINK. Para a geracao do software de

atitude em SIMULINK, foram usados alem desses recursos a documentacao dispo-

nibilizada pela Mathworks (http://www.mathworks.com/support/).

49

http://www.mathworks.com/support/

50

CAPITULO 4

DEFINICOES DE NOTACOES

A posicao e a atitude de um satelite podem ser representadas de varias formas

(Wertz, 1978, Larson e Wertz, 1992). Essa Secao introduz definicoes e notacoes

necessarias para o desenvolvimento do trabalho proposto.

4.1 Sistemas de Referencia

Os sistemas de referencia utilizados nesse trabalho sao definidos a seguir, a Figura

(4.1) ilustra os referenciais definidos.

4.1.1 Referencial Inercial

O referencial ECI, no qual as leis de Newton do movimento sao formuladas, e conside-

rado um referencial inercial (Fauske, 2002). O referencial inercial (X, Y, Z) definido

tem origem no centro da Terra. O eixo Z aponta na direcao do polo norte geografico,

o eixo X aponta na direcao do ponto vernal γ. O eixo Y e encontrado usando a regra

da mao direita, completando o sistema dextrogiro.

Nota: De fato, o referencial acima e aproximadamente inercial, devido ao movimento

da Terra; para as escalas de tempo adotadas, entretanto, o referencial ECI constitui

uma boa aproximacao de um referencial inercial (Chobotov, 1996).

4.1.2 Referencial Orbital

O referencial orbital (OF) definido por (xo, yo, zo) e um sistema de coordenadas com

origem no centro de massa do satelite. O eixo zo aponta na direcao do centro da

Terra (direcao Nadir) e o eixo yo aponta na direcao normal a orbita. O eixo xo e

obtido pela regra da mao direita, e coincide com a direcao do vetor velocidade orbital

linear, para uma orbita circular (Wertz, 1978).

Nota: Esse referencial tambem e referido como Vertical Local e Horizontal Local

(VLHL).

51

4.1.3 Referencial do Satelite

O referencial do corpo (BF), ou do satelite definido por (x, y, z) e um sistema de

coordenadas com origem no centro de massa do satelite. Os eixos sao escolhidos como

sendo coincidentes com os eixos dos momentos principais de inercia. Para estudos

de satelite estabilizados em tres eixos, Terra-apontado, e pratico definir os eixos de

roll, pitch e yaw como sendo (Wie, 1998, Moscati, 1992)

• eixo de roll x, nominalmente alinhado com xo

• eixo de pitch y, nominalmente alinhado com yo

• eixo de yaw z, nominalmente alinhado com zo

Figura 4.1- Sistemas de referencia, inercial (ECI), orbital (OF) e do satelite (BF).

52

4.2 Representacao da Atitude

A atitude em tres eixos e convenientemente representada atraves de uma trans-

formacao de coordenadas, na qual transforma-se um conjunto de coordenadas no

espaco inercial em um conjunto de coordenadas fixadas ao satelite (Wertz, 1978).

Existem parametrizacoes/representacoes alternativas para estas transformacoes. A

principais representacoes sao:

• Matriz de rotacao ou matriz de atitude;

• Angulos de Euler;

• Quaternions ou parametros de Euler;

• Angulo eixo equivalente;

Cada um desses conjuntos de parametrizacoes apresentam vantagens e desvanta-

gens. Em Wertz (1978), Hughes (1986), Fauske (2003) e Wie (1998) sao discutidas

pormenorizadamente cada uma dessas parametrizacoes.

4.2.1 Matriz de Rotacao

A matriz de rotacao, tambem chamada de matriz de cossenos diretores, tem as

interpretacoes (Fauske, 2003):

• Descreve a orientacao mutua entre dois referenciais, onde cada vetor coluna

sao os cossenos dos angulos entre os dois referenciais;

• Transforma um vetor representado em um referencial para outro;

A matriz de rotacao R de um referencial a para um referencial b denotada por Rba

e um elemento do conjunto SO (3), definido como

SO (3) =R | R ∈ <3×3,RTR = I e detR = 1

, (4.1)

53

onde I e a matriz identidade 3× 3.

A notacao seguinte e usada para transformar um vetor r de um referencial para

outro:

rto = Rtofromrfrom (4.2)

onde o ındice superior descreve em qual referencial o vetor esta expresso.

Devido a propriedade de ortogonalidade, RTR = I, pode-se mostrar que a derivada

no tempo da matriz de rotacao e dada por

Rab = S(ωa

ab)Rba (4.3)

onde a notacao usada ωaab representa a velocidade angular do referencial b em relacao

ao referencial a, expressa no referencial a. Essa notacao e usada em todo o trabalho.

A velocidade angular tem a propriedade ωaab = −ωa

ba (Fauske, 2003), e S(ω) e o

operador anti-simetrico (skew-symmetric):

S (ω) =

0 −ωz ωy

ωz 0 −ωx

−ωy ωx 0

, ω =

ωx

ωy

ωz

(4.4)

reescrevemos (4.3), temos

Rab = S(ωa

ab)Rba = −S(ωa

ba)Rba (4.5)

Denotaremos a matriz de rotacao por

54

Rba =

[cb

1 cb2 cb

3

](4.6)

onde cbi =

[cbix cbiy cbiz

]T(i = 1, 2, 3) sao matrizes coluna, tendo como componentes

os cossenos diretores dos eixos de a em relacao aos eixos do referencial b. Daqui para

frente o ındice b sera usado para representar o referencial do corpo e o ındice o

sera usado para representar o referencial orbital. A ausencia de ındice representa o

referencial inercial.

4.2.2 Parametros de Euler

Os parametros de Euler, sao tambem chamados quaternions (Fauske, 2003), e sao

uma representacao atrativa devido a parametrizacao sem singularidades e equacoes

diferenciais da cinematica serem lineares (Fauske, 2003, Wie, 1998). A representacao

em quaternion requer menos tempo computacional que a representacao por angulos

de Euler (Arantes e Fonseca, 2004a), e portanto e usado em aplicacoes onde os

recursos computacionais sao limitados (Wertz, 1978).

Um quaternion q e definido como uma grandeza hiper-imaginaria composta por uma

parte real η e um vetor ε dada por

η = cosΦ

2, ε = λ sin

Φ

2(4.7)

que, representa uma rotacao de Φ em torno do vetor unitario λ. Um quaternion

satisfaz o vınculo qTq = 1, ou seja

η2 + ε21 + ε22 + ε23 = 1 (4.8)

As equacoes diferenciais da cinematica sao dadas por (Wertz, 1978, Wie e Arapos-

tathis, 1989, Wie, 1985):

55

q =1

2Ωq (4.9)

onde

Ω =

0 ωz −ωy ωx

−ωz 0 ωx ωy

ωy −ωx 0 ωz

−ωx −ωy −ωz 0

(4.10)

A matriz de atitude (4.1) obtida a partir dos quaternions e dada por (Wie, 1998)

Rba =

(η2 − qTq

)I + 2qqT − 2ηQ (ε) (4.11)

onde Q (ε) e o operador anti-simetrico dado por

Q (ε) =

0 −ε3 ε2

ε3 0 −ε1−ε2 ε1 0

(4.12)

Dada a matriz de atitude (4.1), podemos determinar η e ε pelas relacoes

η = (1 + c11 + c22 + c33)12 para 0 ≤ Φ

2≤ π (4.13)

ε =1

4η

c23 − c32c31 − c13c12 − c21

se η 6= 0 (4.14)

Se η = 0 escolhe-se outra sequencia de rotacoes.

56

4.2.3 Angulos de Euler

A orientacao de um corpo tambem pode ser descrita por tres angulos (tres

parametros independentes) denominados angulos de Euler. A Figura (4.2) ilustra

a sequencia de rotacoes necessarias para levar um referencial X ≡ (X, Y, Z) a outro

x ≡ (x, y, z), que sao listadas como.

• Rotacao em torno do eixo Z de um angulo φ que leva ao sistema ξ′, θ

′, ζ

′.

• Rotacao em torno do eixo ξ′de um angulo θ que leva ao sistema ξ, θ, ζ.

• Rotacao em torno do eixo ζ de um angulo ψ que leva ao sistema x, y, z.

Para essa sequencia de rotacoes 3− 1− 3 a matriz de atitude e dada por (Kaplan,

1976)

RXx =

cosψ cosφ− sinψ cos θ sinφ cosψ sinφ+ sinψ cos θ cosφ sinψ sin θ

− cosψ cosφ− cosψ cos θ sinφ − sinψ sinφ+ cosψ cos θ cosφ cosψ sin θ

sin θ sinφ − sin θ cosφ cos θ

Figura 4.2- Construcao dos angulos de Euler.

Em problemas de estabilizacao de atitude em tres eixos e comum definir:

• angulo de roll (φ) e o angulo de rotacao em torno do eixo de roll

57

• angulo de pitch (θ) e o angulo de rotacao em torno do eixo de pitch

• angulo de yaw (ψ) e o angulo de rotacao em torno do eixo de yaw

Note que os angulos sao definidos para rotacoes em torno de eixos distintos. Usados

comumente para relacionar o referencial orbital (OF) ou LVHL com o referencial

do satelite (BF), adequado para tais aplicacoes (Moscati, 1992). Existem doze (12)

conjuntos possıveis de angulos de Euler para descrever um referencial em relacao a

outro (Wertz, 1978). Esses conjuntos/sequencias sao dividas em dois tipos:

Tipo 1 (anti-simetrica): Nesse caso as rotacoes sao feitas, sucessivamente, em

cada um dos tres eixos. Esse tipo apresenta uma singularidade em θ = ±π2. As

sequencias sao 1− 2− 3, 2− 1− 3, 3− 2− 1, 2− 3− 1, 3− 1− 2, 1− 3− 2.

Tipo 2 (simetrica): Nesse caso a primeira e terceira rotacao sao feitas sobre o

mesmo eixo. Esse tipo apresenta uma singularidade em θ = π e θ = 0. As sequencias

sao 3− 1− 3, 2− 1− 2, 1− 2− 1, 2− 3− 2, 1− 3− 1, 3− 2− 3.

As matrizes de rotacao e as equacoes cinematicas para cada uma dessas sequencias

de rotacao (simetricas e anti-simetricas) sao encontradas nas referencia Wertz (1978)

e Hughes (1986). Apesar das equacoes da cinematica apresentarem singularidades do

tipo 1 e tipo 2, os angulos de Euler tem um clara interpretacao fısica e sao utilizadas

na entrada e saıda das simulacoes.

Dada a matriz de rotacao (4.11) escrita em termos de quaternions, os angulos de

roll (φ), pitch (θ) e yaw (ψ) para a sequencia de rotacao 3− 2− 1, ou seja, primeira

rotacao em yaw, segunda rotacao em pitch e terceira rotacao em roll, sao dados por

(Wie, 1998, Hughes, 1986):

φ = arctan

(c23c33

)0 ≤ φ ≤ 2π (4.15)

θ = arcsin (−c13) − π

2≤ θ ≤ π

2(4.16)

ψ = arctan

(c12c11

)0 ≤ ψ ≤ 2π (4.17)

58

Nota: A sequencia de rotacoes escolhida para ser utilizada nesse trabalho e 3−2−1.

4.2.4 Angulo Eixo Equivalente

O angulo eixo equivalente e definido a partir do teorema de Euler que diz: um

corpo rıgido pode atingir qualquer orientacao/atitude a partir de uma orientacao

arbitraria (de referencia), atraves de uma rotacao Φ sobre um eixo unitario fixo λ

em relacao ao corpo e a referencia. Esse eixo e chamado de eixo equivalente ou eixo

de Euler.

Definindo

λ =

λ1

λ2

λ3

e Λ =

0 −λ3 λ2

λ3 0 −λ1

−λ2 λ2 0

(4.18)

Pode-se mostrar que a matriz de atitude e dada por (Wie, 1998, Fauske, 2002):

Rba = cos ΦI + (1− cos Φ) λλT − sin ΦΛ (4.19)

onde I e a matriz identidade. A expressao (4.19) e tambem conhecida como formula

de Rodrigues.

Dada a matriz de atitude (4.1) Φ pode ser obtido como

cos Φ =1

2(c11 + c22 + c33) (4.20)

e pode se mostrar (Wie, 1998) que λ e dado por

59

λ =

λ1

λ2

λ3

=1

2 sin Φ

c23 − c32c31 − c13c12 − c21

para Φ 6= 0,±π,±2π, . . . (4.21)

Usando a parametrizacao (4.19) e a identidade trigonometrica (4.7), a matriz de

rotacao pode ser escrita em funcao dos quaternions como

Rba = 1 + 2ηS (ε) + 2S2 (ε) (4.22)

4.2.5 Rotacoes Infinitesimais

No modo de estabilizacao durante a manutencao da atitude nominal, em geral, sao

realizadas manobras de pequenos angulos para correcoes da atitude, justificando

aproximar a matriz de atitude por (Moscati, 1992)

Rbo =

1 ψ −θ−ψ 1 φ

θ −φ 1

(4.23)

que e a matriz de transformacao do sistema orbital (VLHL) para o sistema do

satelite. Os angulos φ, θ, ψ sao tomados no sentido anti-horario. Para rotacoes infi-

nitesimais a sequencia de rotacoes nao e importante (Wie, 1998, Moscati, 1992).

A representacao em quaternions, para pequenos angulos pode ser aproximado por

η ∼= 1 (4.24)

ε1 ∼=φ

2(4.25)

ε2 ∼=θ

2(4.26)

ε3 ∼=ψ

2(4.27)

60

sendo necessario a normalizacao dos quaternions para satisfazer a relacao

η2 + ε21 + ε22 + ε23 = 1 (4.28)

4.3 Sumario de Notacoes

As principais notacoes usadas nesse trabalho sao:

ωneb Velocidade angular do referencial b em relacao ao referencial e ex-

presso/escrito no referencial n

ra Vetor r expresso no referencial a

Rab Matriz de rotacao do referencial b para o referencial a. ra = Ra

brb

S (k) Operador anti-simetrico

r Versor ou vetor unitario

61

62

CAPITULO 5

FORMULACAO DO PROBLEMA

Neste Capıtulo o problema objeto desta dissertacao e formulado. A formulacao aqui

apresentada envolve:

• os modelos matematicos da cinematica e da dinamica de um satelite contendo

3 rodas de reacao e 3 bobinas magneticas;

• a modelagem do gradiente de gravidade e dos torques magneticos;

• a modelagem do campo geomagnetico, modelo IGRF;

• o tratamento das equacoes diferenciais, incluindo a linearizacao dos modelos

matematicos, para serem utilizadas no projeto de controle linear nos modos

de controle de estabilizacao e aquisicao;

• uma discussao do emprego de atuadores usados neste trabalho com enfoque

nas suas aplicacoes, factibilidade, vantagens e desvantagens;

• uma discussao dos torques ambientais incluindo o modelo de pior caso.

5.1 Modelagem Matematica: Cinematica e Dinamica

Esta sessao apresenta e discute os modelos matematicos da cinematica e da dinamica

de um satelite equipado com tres rodas de reacao e bobinas magneticas. As equacoes

da cinematica sao obtidas a partir da representacao da atitude em angulos de Euler e

quaternions. Essas parametrizacoes sao amplamente utilizadas na area de dinamica

de atitude uma vez que permitem representar a dinamica e a atitude dos veıculos

espaciais em diferentes sistemas de coordenadas. As equacoes da cinematica nao

envolvem as forcas ou torques associados ao movimento. Elas descrevem a velocidade

do veıculo espacial em termos de sua orientacao em relacao a um ou mais sistemas

de coordenadas. A orientacao do veıculo em relacao a um referencial conhecido

e chamada atitude. A atitude pode ser representada por diferentes conjuntos de

parametros, como e mostrado no Capıtulo (4).

63

5.1.1 Equacoes da Cinematica

A cinematica descreve a orientacao de um veıculo em relacao a um sistema de eixos

conhecido. O modelo matematico da cinematica e escrito na forma de um sistema de

equacoes diferenciais de primeira ordem que, em conjuncao com as equacoes de Euler,

permite escrever as equacoes do movimento na forma de estado e, por integracao

numerica, obter os angulos de atitude e sua derivada temporal em funcao do tempo.

Em geral as equacoes da cinematica podem ser representadas por quaternions, matriz

de rotacao, angulos de Euler, etc. Cada uma das formas de representar a atitude tem

vantagens e desvantagens. A representacao por quaternions tem a vantagem de nao

conter funcoes trigonometricas e nem conter singularidades, que sao tıpicas quando

se representa a cinematica em angulos de Euler. Wertz (1978), Kaplan (1976) e

Hughes (1986) apresentam as equacoes da cinematica em quaternions na forma

η =1

2εT ωb

ob (5.1)

ε =1

2ηωb

ob −1

2ωb

ob × ε (5.2)

Usando o operador anti-simetrico S (ω), a Equacao (5.2) pode ser reescrita como

ε =1

2[ηI + S (ε)] ωb

ob (5.3)

Os parametros de Euler ou quaternions dados nas equacoes (5.2) sao apresentados

na Secao (4.2). ωbob e o vetor velocidade angular do satelite escrito no referencial

do corpo, referido ao sistema orbital. As equacoes da cinematica podem tambem

ser escritas em funcao dos angulos de Euler. A forma do sistema de equacoes da

cinematica em termos dos angulos de Euler depende da sequencia de rotacoes esco-

lhidas para se passar de um sistema de referencia para outro. A forma mostrada a

seguir pode ser vista em Wertz (1978) e Wie e Arapostathis (1989) e e obtida para

a sequencia de rotacoes 3− 2− 1.

64

φθψ

=1

cos θ

cos θ sinφ sin θ cosφ sin θ

0 cosφ cos θ − sinφ cos θ

0 sinφ cosφ

ωbib +

ωo

cos θ

sinψ

cos θ cosψ

sin θ sinψ

(5.4)

onde ωo e a velocidade orbital, que para uma orbita circular e constante.

A Figura (5.1) mostra a sequencia de rotacoes associadas a Equacao (5.4) para

representar o sistema do corpo em relacao ao sistema orbital, atraves de rotacoes

subsequentes dos angulos ψ, θ e φ.

Figura 5.1- Sequencia de rotacoes 3(ψ)− 2(θ)− 1(φ) .

Os eixos x, y e z e os demais sistemas de eixos formados pelas rotacoes sao ortogonais.

Entretanto, as rotacoes em torno dos eixos que sao escritas as velocidades angulares

nao sao ortogonais . Por esta razao tem-se seno ou co-seno no denominador (depen-

dendo da sequencia de rotacoes escolhida) quando se representa o vetor [φ θ ψ]T

em funcao dos respectivos angulos e das componentes do vetor velocidade angu-

lar ωbob. Tal caracterıstica explica a singularidade sempre presente na representacao

da atitude via angulos de Euler, uma vez que para cos(±nπ

2

), n = 1, 3, 5, · · · e

sin (±nπ), n = 0, 1, 2, · · · tem-se denominador nulo. A Equacao (5.4) ilustra o caso

do co-seno.

65

5.1.2 Equacoes da Dinamica

O modelo real do satelite e aproximado por um modelo fısico constituıdo de um

corpo rıgido principal (main bus) contendo internamente 3 rodas de reacao, como

mostrado na Figura (5.2), tambem representadas por corpos rıgidos. O sistema,

entretanto, nao constitui de fato um corpo rıgido uma vez que contem partes moveis

internas, representadas pelas rodas de reacao. O modelo matematico da dinamica e

descrito pelas equacoes de Euler, expressas no sistema BF (x, y, z) do corpo, referida

ao sistema inercial. A origem do sistema de eixos do veıculo e definida no centro de

massa, CM , do satelite. Os eixos x, y e z sao coincidentes com os eixos principais de

inercia da espaconave. A Figura ilustra o conceito do satelite objeto da modelagem

matematica bem como os sistemas de referencias orbital OF(xo, yo, zo) e do corpo

BF (x, y, z). O referencial orbital foi apresentado e comentado na Secao (4.1.2).

As equacoes de Euler utilizadas aqui para representar a dinamica do satelite, sao

obtidas a partir da derivada temporal da quantidade de movimento angular, como

e mostrado a seguir.

Figura 5.2- Ilustracao do satelite com rodas de reacao, bobinas e os referenciaisorbital OF (xo, yo, zo) e do corpo BF (x, y, z).

Seja Lb a quantidade de movimento angular do satelite, expressa no sistema do

66

corpo. O torque externo τext e dado pela taxa de variacao no tempo da quantidade

de movimento angular. Matematicamente:

dLb

dt=

[dLb

dt

]b

+ ωbib × Lb = τ ext (5.5)

onde

Lb =

[dLb

dt

]b

= Jsωbib + Jw

(ωb

ib + ˙ωbbw

)(5.6)

onde Js e a matriz de inercia do satelite (sem considerar as rodas), Jw e a matriz de

inercia das rodas, ωbbw e a velocidade angular das rodas relativa ao satelite e ωb

ib e

a velocidade angular do satelite em relacao ao sistema inercial expresso no sistema

do satelite.

Lb pode ser escrito com a soma dos vetores quantidades de movimento angular do

corpo principal do veıculo (main bus) mais o vetor quantidade de movimento angular

das rodas de reacao. Matematicamente

Lb = hs + lw (5.7)

temos que hs = Jsωbib e a quantidade de movimento angular do satelite e lw =

Jw

(ωb

ib + ωbbw

)e a quantidade de movimento angular das rodas. Substituindo na

Equacao (5.5)

Escrevendo Lb dessa forma pode-se reescrever a Equacao (5.5) na forma:

dLb

dt= Jsω

bib + Jw

(ωb

ib + ωbbw

)+ ωb

ib ×(Jsω

bib + Jw

(ωb

ib + ωbbw

))= τ ext (5.8)

67

A matriz de inercia Js do corpo principal do satelite (main bus) e dada por

Js =

Jx −Jxy −Jxz

−Jxy Jy −Jyz

−Jxz −Jyz Jz

Jx =

∫B

(y2 + z2

)dm, Jy =

∫B

(x2 + z2

)dm, Jz =

∫B

(x2 + y2

)dm (5.9)

Jxy =

∫B

(xy) dm, Jxz =

∫B

(xz) dm, Jyz =

∫B

(yz) dm (5.10)

Como considerou-se o sistema BF (x, y, z) coincidente com os eixos principais de

inercia, essas matrizes sao diagonais e os elementos Jx, Jy e Jz sao os momentos

principais de inercia. Matematicamente:

Js =

Jx 0 0

0 Jy 0

0 0 Jz

(5.11)

Jw e matriz de inercia associada as tres rodas de reacao. Como cada rotor tem seu

eixo principal de inercia alinhado com cada um dos eixos principais de inercia do

veıculo, a matriz de inercia Jw, associada aos tres rotores, e tambem diagonal e

os elementos da diagonal sao os momentos de inercia axiais associados ao eixo de

rotacao de cada roda de reacao. Matematicamente:

Jw =

Jwx 0 0

0 Jwy 0

0 0 Jwz

(5.12)

Reescrevendo a Equacao (5.8) em termos das velocidade angulares e sua taxa de

variacao no tempo na forma:

68

dLb

dt= (Js + Jw) ωb

ib + Jwωbbw + ωb

ib ×((Js + Jw) ωb

ib + Jwωbbw

)) = τ ext (5.13)

A matriz de inercia total do veıculo e J = Js + Jw. Matematicamente

J = Js + Jw =

Jx + Jwx 0 0

0 Jy + Jwy 0

0 0 Jz + Jwz

(5.14)

Substituindo a Equacao (5.14) na Equacao (5.13) e usando o operador anti-simetrico,

reescrevemos a Equacao (5.13)

Jωbib + Jwωb

bw + S(ωb

ib

) (Jωb

ib + Jwωbbw

)= τ ext (5.15)

Pode-se identificar a expressao correspondente ao torque de controle gerado pelas

rodas de reacao:

Jwωbbw + S(ωb

ib)Jwωbbw = τ b

w (5.16)

ou seja, o torque das rodas de reacao aplicados no satelite para fins de controle e

estabilizacao. Usando esta definicao pode-se reescrever a expressao do torque (5.15)

como:

Jωbib + S

(ωb

ib

)Jωb

ib = τ ext − τ bw (5.17)

O torque externo τ ext representa o somatorio de todos os torques externos que

atuam no veıculo espacial. Neste trabalho considerou-se apenas o torque devido ao

gradiente de gravidade e o torque de controle gerado pela interacao das bobinas

magneticas com o campo magnetico da Terra. Considerou-se 3 bobinas, dispostas

69

segundo os eixos x, y e z, como mostrado na Figura (5.3). O torque externo pode,

entao, ser escrito como na forma:

Figura 5.3- Configuracao das bobinas magneticas no satelite.

τ ext = τ bd + τ b

m (5.18)

onde τ bd representa todos os torques de perturbacao externa (gradiente de gravidade,

pressao de radiacao, arrasto atmosfericos, etc) e τ bm representa o torque gerado pelas

bobinas, dado por (Fauske, 2002)

τ bm = mb ×Bb (5.19)

onde mb e o momento dipolo magnetico gerado pelas bobinas, cujas caracterısticas

depende de projeto (magnitude e direcao do torque) e pode ser representado na

forma

mb = mbx + mb

y + mbz =

NxixAx

NyiyAy

NzizAz

=

mx

my

mz

, (5.20)

Nessa Equacao x, y e z sao os eixos do sistema BF (x, y, z) e N , i e A sao o numero

de espiras, a corrente eletrica e a area da espira (parametros de projeto), respecti-

vamente, para as tres bobinas, dispostas segundo os eixos x, y e z.

Bb =[Bb

x Bby Bb

z

]T

e o vetor campo magnetico local, escrito no referencial do

70

satelite.

Portanto o modelo matematico que representa o satelite equipado com bobinas e

dado por:

Jωbib + S

(ωb

ib

)Jωb

ib = τ bd + τ b

m (5.21)

5.1.3 Torque devido ao Gradiente de Gravidade

O torque de gradiente de gravidade e causado devido a variacao da forca gravitaci-

onal ao longo do corpo do satelite. O torque depende da altitude, da geometria e da

atitude do satelite (Carrara, 1982). Esse efeito e usado para estabilizacao passiva de

satelites O gradiente de gravidade alinha o eixo de menor momento de inercia com

a vertical local (Fauske, 2002 e Arantes e Fonseca, 2004a). Esse fato requer que um

dos momentos principais de inercia do satelite seja muito menor dos que os outros.

Em geral essa configuracao e obtida atraves de mastros extensıveis colocados no

satelite. Uma vez em orbita o mastro e estendido segundo o eixo conveniente a ser

alinhado com a vertical local. Exemplos de satelites que usam a estabilizacao por

gradiente de gravidade sao DODGE, GEOS-3 e RAE-2.

Como deduzido no apendice A, o torque devido ao gradiente de gravidade, expresso

no referencial do satelite, e dado por

τ bg = 3ω2

ocb3 × Jcb

3 (5.22)

onde cb3 e o vetor coluna com os cosenos diretores da vertical local ou eixo zo nas

direcoes dos eixos x, y e z e ωo e a velocidade orbital.

5.2 Campo Magnetico Terrestre

O campo magnetico terrestre e calculado como o gradiente de uma funcao potencial

escalar, que e modelada por um serie de harmonicos esfericos, dada por (Fauske,

71

2002)

V (r, θ, φ) = a

∞∑n=1

(ar

)n+1n∑

m=0

[gmn cosmφ+ hm

n sinmφ]Pmn (θ) (5.23)

A funcao potencial V e uma funcao da posicao do satelite em coordenadas esfericas

no sistema ECI definido em 4.1.1. Os coeficientes gnm e hn

m sao chamados coeficientes

de Gauss, que sao constantes e obtidos empiricamente. A cada cinco anos a IAGA

(Association of Geomagnetism and Aeronomy) publica um novo conjunto de coefici-

entes que constituem o modelo IGRF (International Geomagnetic Reference Field).

Discussoes e detalhes desse modelo sao encontrados em Macmillan e Quinn (2000).

O modelo (codigo fonte nas linguagens C e FORTRAN) e fornecido em Mclean, .

Nesse trabalho a implementacao do modelo IGRF e feita no ambiente MATLAB e

SIMULINK. A Figura (5.4) mostra as componentes do vetor campo magnetico local

Bo =[Bo

x Boy Bo

z

]T, expresso no referencial da orbita (OF) ou VLHL, as compo-

nentes do campo magnetico sao dadas para tres revolucoes do satelite em torno da

Terra.

Figura 5.4- Campo magnetico local Bo usando o modelo IGRF 2000.

A propagacao da orbita e descrita no apendice B. Foi usada uma orbita circular ke-

pleriana. A orbita propagada para o calculo do campo magnetico e a orbita nominal

72

do satelite EQUARS. Os elementos orbitais sao mostrados na Tabela (5.1).

Tabela 5.1- Elementos orbitais do satelite EQUARS.

altura (h) 750 km

excentricidade (e) ∼= 0

ascencao do nodo ascendente (Ω) 30 graus

inclinacao (i) 20 graus

5.3 Tratamento das Equacoes da Dinamica para os Casos Estudados nesse

Trabalho

O controle de atitude de satelites artificiais tem inıcio na separacao foguete-satelite.

Ate entao, qualquer que seja o controle, sua atuacao e sobre o veıculo lancador.

Por exemplo, o lancador pode ter um sistema de controle que reduza a rotacao do

ultimo estagio, para nıveis de projeto, imediatamente antes da separacao. Conhe-

cida a atitude final do ultimo estagio do foguete, tem-se uma estimativa razoavel

da atitude do satelite imediatamente apos a separacao. Por outro lado, o ultimo

estagio do foguete pode garantir apenas a insercao do veıculo na orbita correta, nao

fornecendo dados sobre a atitude do satelite imediatamente apos a separacao. Nesse

caso, o sistema de controle do satelite deve ser capaz de controlar o movimento de

atitude do mesmo a partir de qualquer configuracao de atitude imediatamente apos

a separacao. Portanto, se o lancador nao fornecer, a priori, uma atitude final que

possa ser estendida ao satelite imediatamente apos a separacao, o sitema de controle

de atitude devera, de acordo com requisitos de missoes:

• Reduzir para valores especificados ou eliminar, de acordo tambem com espe-

cificacoes de projeto, a rotacao do satelite imediatamente apos a separacao.

Esta fase constitui um dos modos de estabilizacao, comumente conhecido como

detumble, traduzido aqui como descapotamento. E a operacao de eliminar o

movimento de rotacao arbitraria do satelite imediatamente apos a separacao.

Este aspecto e tratado nesta Secao porque o controle para este modo pode re-

querer manobras de grandes angulos e, neste caso, a linearizacao do sistema de

equacoes diferenciais e as tecnicas de controle linear nao se aplicam. Portanto

neste modo de operacao utiliza-se tecnicas de controle nao linear;

73

• Uma vez que o sistema de controle de atitude faca o detumbling e tenha con-

trole sobre a velocidade angular e atitude do veıculo, o satelite entra no modo

de estabilizacao. Uma vez reduzida a velocidade angular do satelite imedi-

atamente apos a separacao, o satelite deve ser manobrado para adquirir a

atitude nominal. Nesse caso, a rotacao residual pode sobrecarregar o sistema

de controle e, portanto, e desejavel que, no modo anterior, a velocidade angular

residual nao seja crıtica, ou seja, nao comprometa a eficiencia do sistema de

controle. A fase de estabilizacao pode requerer, tambem, manobras de grandes

angulos, uma vez que, no modo detumble, o objetivo e a reducao da velocidade

angular e nao manobras angulares para levar o veıculo para uma configuracao

nominal em atitude. Novamente, neste caso, deve se ter um certo conheci-

mento da atitude do satelite na fase final do detumbling para se decidir sobre

a aplicacao de leis de controle linear ou nao linear.

• Uma vez adquirida a condicao normal de operacao o sistema de controle deve

manter o veıculo estavel em torno da atitude nominal, de acordo com espe-

cificacoes de projeto para atender as missoes. Nesse trabalho, esse processo

tambem faz parte do modo de estabilizacao. Nesse modo o controle deve fazer

sempre manobras de pequenos angulos (correcoes) visando manter o veıculo

na atitude nominal especificada. Neste modo de operacao as equacoes do mo-

vimento podem ser linearizadas em torno da atitude nominal e as tecnicas de

controle linear se aplicam. Neste estudo as tecnicas de controle linear aplicadas

sao as do PD, LQR e LQG.

Eventualmente, dependendo da missao, pode-se requerer a mudanca de uma atitude

nominal para outra, arbitraria, por um certo intervalo de tempo. Nesse trabalho esse

modo de contigencia e chamado modo de aquisicao. Quando isto ocorre novamente

requer-se manobras de grandes angulos e posterior reaquisicao da nova atitude no-

minal.

A visao do sistema de controle em modos de operacao e mais pratica sob o ponto

de vista de que o projeto de sistemas de controle reais e implementado por modos

de operacao. Sao necessarias diferentes estrategias e tecnicas de controle para cada

modo.

74

5.4 Linearizacao

Para o projeto do controlador linear usando as metodologias LQR e LQG, que sao

baseadas em uma planta linear, e feita a linearizacao das equacoes do movimento

em torno de um ponto de operacao. As equacoes linearizadas tambem podem ser

usadas para estudos de estabilizacao/manutencao da atitude nominal, para os casos

onde sao realizadas manobras de pequenos angulos (< 15o). As equacoes usadas sao

escritas em termos dos angulos de Euler, ja que a sigularidade do tipo 1 (±π/2),

nao acontece para a faixa de manobras realizadas (pequenos angulos). Outra justi-

ficativa e a clara interpretacao fısica que os angulos de Euler fornecem. Sao feitas as

linearizacoes para as versoes:

• Satelite equipado com rodas, Equacao (5.17);

• Satelite equipado com bobinas, Equacao (5.21).

A Equacao da cinematica (5.4) pode ser escrita como (Bryson, 1994)

ωbib =

1 0 − sin θ

0 cosφ sinφ cos θ

0 − sinφ cosφ cos θ

φθψ

− ωo

cos θ sinψ

sinφ sin θ sinψ + cosφ cosψ

cosφ sin θ sinψ − sinφ cosψ

(5.24)

Para pequenos angulos a expressao (5.24) pode ser aproximada por (Bryson, 1994)

ω1 ≡ φ− ωoψ − ψθω2 ≡ θ − ωo − ψφω3 ≡ ψ + ωoφ− θφ

(5.25)

O valor medio, por orbita, dos termos nao lineares(ψθ, ψφ, θφ

)sao pequenos com-

parados com as magnitude media dos termos lineares em (5.25). Se φ e θ oscilam em

torno de zero ou se a magnitude de ψ e θ sao pequenos comparados com a velocidade

orbital ωo. Nesses casos a Equacao (5.25) pode ser aproximada por

75

φ ≡ ω1 + ωoψ

θ ≡ ω2 + ωo

ψ ≡ ω3 − ωoφ

(5.26)

Usando a notacao ωbib = [ω1 ω2 ω3]

T temos

ωbib = I

φθψ

+ ωo

−ψ−1

φ

(5.27)

onde I e a matriz identidade de ordem 3.

5.4.1 Linearizacao do Modelo do Satelite Equipado com Rodas

Definimos o vetor de variaveis de estado como

x =[φ θ ψ φ θ ψ

]T

(5.28)

Usando a notacao hw = [hw1 hw2 hw3]T onde hwi, (i = 1, 2, 3) sao as componen-

tes, ao longo das direcoes (x, y, z), da quantidade de movimento angular total das

rodas. Para a configuracao adotada para as rodas, cada componente da quantidade

de movimento angular corresponde a uma roda. Substituindo a Equacao (5.27) na

Equacao (5.17) e incluindo o torque de gradiente de gravidade dado pela Equacao

(5.22), obtemos

Jxφ = [4ω2o (Jz − Jy) + ωohw2]φ+ ωoh3 + [ωo (Jx − Jy + Jz) + hw2] ψ

+ [ωo (Jy − Jz)φ+ hw3 + (Jz − Jy)] θ − hw1

(5.29)

76

Jyθ = 3ω2o (Jz − Jx) θ − ωoφh1 − [ω2

o (Jz − Jx)φ+ ωohw3]ψ − [ωo (Jz − Jx)ψ + hw1] ψ

−[ωo (Jx − Jz)φ− hw3 + (Jx − Jz) ψ

]φ− hw2

(5.30)

Jzψ = [ω2o (Jx − Jy) + ωohw2]ψ − ωohw1 − [ωo (Jx − Jy + Iz) + hw2] φ

+[ωo (Jy − Jx)ψ + hw1 + (Jx − Jy) φ

]θ − hw3

(5.31)

onde Jx, Jy e Jz sao os momentos principais de inercia.

Transformando as equacoes (5.29), (5.30) e (5.31), de segunda ordem em equacoes

de primeira ordem e fazendo a expansao em serie de Taylor em (x = 0), ou seja, a

vertical e horizontal local (VLHL), obtemos

x∗ = 0

h∗w =[0 Ho 0

]T (5.32)

Onde o termo Ho e a quantidade de movimento angular na direcao do eixo de pitch

gerado pelo volante de inercia. Esse procedimento e utilizado para produzir rıgidez

giroscopica durante a fase de manutencao da atitude.

Escrevendo na forma de estados as equacoes linearizadas, temos

x = Ax + Bu (5.33)

com

77

A =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 14ω2

o(Jz−Jy)−ωoHo

Jx0 0 0 0 ωo(Jx−Jy+Jz)−Ho

Jx

0 3ω2o(Jz−Jx)

Jy0 0 0 0

0 0 ω2o(Jx−Jy)−ωoHo

Jz

ωo(−Jx+Jy−Jz)+Ho

Jz0 0

(5.34)

e

B =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

− 1Jx

0 0

0 − 1Jy

0

0 0 − 1Jz

(5.35)

O vetor de controle e dado por

u =[u1 u2 u3

]T

(5.36)

onde

u1 = hw1 − ωohw3

u2 = hw2

u1 = hw3 + ωohw1

(5.37)

5.4.2 Linearizacao do Modelo do Satelite Equipado com Bobinas

Definimos o vetor de variaveis de estado e o vetor de controle como

78

x =[φ θ ψ φ θ ψ

]T

(5.38)

e

u =[mx my mz

]T

(5.39)

Usando a notacao Bb =[Bb

x Bby Bb

z

], onde Bb

i ,(i = x, y, z) sao as componentes do

vetor campo magnetico local expresso no sistema do satelite. Substituindo a Equacao

(5.27) na Equacao (5.21) e incluindo o torque de gradiente de gravidade dado pela

Equacao (5.22), obtemos

Jxφ =[4ω2

o (Jz − Jy)− ωo (Jz − Jy) θ]φ+ ωo (Jx − Jy + Jz) ψ + (Jy − Jz) θψ

+myBbz(t)−mzB

by(t)

(5.40)

Jyθ = 3ω2o (Jx − Jz) θ −

[ω2

o (Jz − Jx)ψ + ωo (Jx − Jz) φ]φ+ ωo (Jx − Jz)ψψ

+ (Jz − Jx) φψ +mzBbx(t)−mxB

bz(t)

(5.41)

Jyψ =[ω2

o (Jx − Jy) + ωo (Jy − Jx) θ]ψ −

[ωo (Jx − Jy + Jz) + (Jy − Jx) θ

]φ

+mxBby(t)−myB

bx(t)

(5.42)

Transformando as equacoes (5.40), (5.41) e (5.42), de segunda ordem, em equacoes

de primeira ordem e fazendo a expansao em serie de Taylor em torno de (x = 0), ou

seja, a vertical e horizontal local (VLHL), obtemos

x = Ax + B (t)u (5.43)

79

com

A =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 14ω2

o(Jz−Jy)

Jx0 0 0 0 ωo(Jx−Jy+Jz)

Jx

0 3ω2o(Jz−Jx)

Jy0 0 0 0

0 0 ω2o(Jx−Jy)

Jz

ωo(−Jx+Jy−Jz)

Jz0 0

(5.44)

e

B =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 Bbz(t)Jx

−Bby(t)

Jx

−Bbz(t)Jy

0 Bbx(t)Jy

Bby(t)

Jz−Bb

y(t)

Jz0

(5.45)

O sistema linear dado pela Equacao (5.43) e variante no tempo (LTV), devido

ao campo magnetico terrestre nao ser constante. O campo e aproximadamente

periodico. No sistema linearizado, o vetor campo magnetico expresso no referen-

cial do satelite (Bb) coincide com o vetor campo magnetico expresso no referencial

orbital (Bo). Portanto a matriz B pode ser escrita como

B =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 Boz (t)Jx

−Boy(t)

Jx

−Boz (t)Jy

0 Box(t)Jy

Boy(t)

Jz−Bo

y(t)

Jz0

(5.46)

80

As equacoes (5.43) e (5.33) representam o modelo matematico linearizado do satelite

equipado com rodas (de reacao e volante de inercia) e bobinas magneticas, que

constituem uma boa aproximacao do modelo para manobras de pequenos angulos

(< 15o). Os projetos do controladores multivariavel LQR e LQG foram feitos sobre o

modelo linear dado pelas equacoes (5.43) e (5.33). Entretanto, a simulacao digital e

feita sobre o modelo completo, nao linear, equacoes (5.4), (5.21) e (5.17). O sistema

de controle no modo normal de operacao (que e a fase de manutencao da atitude

nominal), constitue um problema de regulador, ou seja, a referencia e constante e

igual a zero (x = 0). O que corresponde ao satelite estar alinhado com a VLHL.

O modelo linear do satelite equipado com bobinas, a atitude e descrita em quaterni-

ons e e dado em Arantes e Fonseca (2004b) e Overby (2004). No modelo do satelite

parametrizado em quaternions o estado e dado por

x =[ε1 ε2 ε3 ε1 ε2 ε3

]T

(5.47)

Escrevendo o modelo na forma da Equacao (5.43), as matrizes A e B sao dadas por

A =

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 14ω2

o(Jz−Jy)

Jx0 0 0 0 ωo(Jx−Jy+Jz)

Jx

0 3ω2o(Jz−Jx)

Jy0 0 0 0

0 0 ω2o(Jx−Jy)

Jz

ωo(−Jx+Jy−Jz)

Jz0 0

(5.48)

e

81

B =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 Boz (t)

2Jx−Bo

y(t)

2Jx

−Boz (t)2Jy

0 Box(t)2Jy

Boy(t)

2Jz−Bo

y(t)

2Jz0

(5.49)

Nota: As linearizacoes das equacoes da dinamica foram feitas com o auxılio do

manipulador simbolico do programa MATHEMATICA e as equacoes obtidas foram

aferidas com as encontradas na literatura.

A proxima Secao discute algumas consideracoes sobre os modelos matematicos e

sistemas de referencias associados, e os atuadores escolhidos para compor os sistemas

de controle nesse trabalho.

5.5 Consideracoes Sobre os Atuadores, os Modelos Matematicos e Sistemas

de Referenica Adotados

As consideracoes sobre os atuadores sao mostradas a seguir.

5.5.1 Modelo dos Atuadores

Existem varios tipos de atuadores que podem ser usados para o controle de atitude

de satelites artificiais. Os atuadores podem ser dividos em tres categorias: 1) propul-

sores; e 2) dispositivos de troca de quantidade de movimento angular, como rodas

e 3) atuadores magneticos. E comum o emprego de mais de um tipo de atuador

em satelites, dependendo dos requisitos da missao, e das caracterısticas do projeto

de controle, Wertz (1978) e Larson e Wertz (1992) apresentam uma descricao do

emprego de atuadores, empregados em diferentes missoes.

Roda de Reacao e Volante de Inercia

As rodas de reacao e volantes de inercia podem ser modelados como motores DC,

essa modelagem pode ser encontrada em Bryson (1994), Wilson (2000) e Trivelato

82

(1988). Uma aproximacao para a funcao de transferencia desses atuadores e dada

em Souza (1981). Define-se (Larson e Wertz, 1992)

• Rodas de reacao: rodas com quantidade de movimento angular nomi-

nal nulo

• Volante de inercia: sao rodas de reacao com quantidade de movimento

angular nominal diferente de zero

Satelites equipados com volantes de inercia sao referidos como satelites com quanti-

dade de movimento angular embarcado (momentum bias system), e satelites equipa-

dos com rodas de reacao sao referidos como satelites com quantidade de movimento

angular nulo (zero momentum system). Basicamente, o funcionamento consiste na

geracao de torques devido a aceleracao de uma roda, ligada ao rotor de um motor

eletrico, em relacao a seu estator que e fixado a estrutura do satelite (Souza, 1987).

A dinamica da roda e funcao do seu atrito, sua velocidade, e voltagem aplicada pelo

motor. Considera-se nesse trabalho que exista um sistema de controle fino para a

operacao das rodas, que seja eficiente, fornecendo o torque requisitado pelo sistema

de controle de atitude. Um estudo detalhado de um sistema de controle por referencia

para operacao de rodas pode ser encontrado em Trivelato (1988). Em Souza (1987)

e apresentado o estudo e o projeto de um modelo experimental de uma roda de

reacao.

O uso de volantes de inercia, que apresentam quantidade de movimento angular

nominal diferente de zero, fornece rıgidez giroscopica ao satelite. Para as rodas de

reacao espera-se que operem em torno de velocidade (relativa) nula ao longo de um

perıodo orbital, adequada para absorver torques externos cıclicos. A presenca de

torques seculares, pode levar a velocidade angular maxima da roda, exigindo a sua

dessaturacao. Isso pode ser feito por bobinas magneticas e/ou propulsores.

Nesse trabalho considerou-se somente rodas de reacao combinadas com atuadores

magneticos para compor o sistema de controle. Propulsores nao foram considerados.

83

Bobinas Magneticas

As bobinas magneticas podem ser modeladas como um circuito RL (resistencia e

indutancia) usando as leis de Kirchoff. As bobinas tem uma dinamica muito rapida

comparada com a dinamica do satelite. Incluindo a dinamica das bobinas na si-

mulacao, o sistema torna-se muito lento, pois envolve duas escalas de tempo distin-

tas, portanto, a dinamica das bobinas e ignorada na simulacao. O erro indroduzido

devido a isso e negligenciavel (Fauske, 2002). Logo, a dinamica total do sistema e

relativamente lenta.

Bobinas magneticas sao comumente usadas em aplicacoes espaciais desde que os

requisitos de tempo nao sejam muito exigentes. As manobras de grandes angulos via

bobinas magneticas podem levar horas, dependendo das especificacoes da bobina.

As bobinas sao tambem muito usadas para a dessaturacao de rodas de reacao. A

saturacao das rodas ocorre quando elas atingem sua quantidade maxima de quanti-

dade de movimento especificada. Quando isto ocorre nao se consegue mais acelerar

as rodas e, portanto, nao se consegue mais usa-las para finalidade de torque objeti-

vando o controle da atitude. As bobinas podem tambem ser usadas para manobras de

pequenos angulos. Uma aplicacao muito comum para manobras de grandes angulos

se refere as operacoes do controle no modo detumble.

O estudo de dessaturacao das rodas pode ser encontrado nas referencias Bryson

(1994) e Bang e Choi (2003). Para manobras de pequenos e grandes angulos, ou seja,

estabilizacao e aquisicao, respectivamente, as bobinas sao, em geral, usadas para

pequenos satelites (< 500kg) (Wisniewski e Blanke, 1999,Wisniewski e Markley,

1999), como e o caso do satelite brasileiro EQUARS (∼= 150kg). O controle de

pequenos satelites usando somente bobinas magneticas so e possıvel para orbitas

em que a variacao do campo magnetico seja suficiente para garantir o controle do

satelite (Wisniewski, 1997, Musser e Ebert, 1989).

O uso das bobinas magneticas para operacoes em orbita faz uso da interacao entre

o momento dipolo magnetico gerado pelas bobinas e do campo magnetico terres-

tre. Por isso, para efeitos de simulacoes para avaliacao do desempenho dos torques

magneticos e muito importante um bom modelo do campo magnetico terrestre.

Em termos de projeto e sempre possıvel, dentro das limitacoes de espaco, massa e

energia, alterar o momento das bobinas magneticas, via parametros de projeto tais

84

como numero de espiras, corrente disponıvel e area das bobinas. Entretanto nao se

tem controle do campo geomagnetico, que e parte do ambiente espacial. O modelo

do campo geomagnetico e sua eficiencia para os sistemas de controle com bobinas

magneticas depende dos parametros orbitais. Portanto, o estudo do controle via bo-

binas exige conhecimento do modelo do campo bem como do modelo da orbita do

satelite em questao.

Esse Capıtulo e concluıdo com a apresentacao dos modelos de pior caso para os

principais torques ambientais e um modelo de torques de perturbacao internos.

5.6 Torques Ambientais

Um satelite esta sujeito a pequenos mas a persistentes torques externos devido a

perturbacoes ambientais. Sem resistencia a essas perturbacoes o satelite pode perder

a atitude nominal. Os principais torques ambientais sao:

• torque devido ao gradiente de gravidade;

• torque aerodinamico;

• torque devido a pressao de radiacao (solar e terrestre);

• torque devido a interacao do dipolo residual com o campo magnetico.

Essa Secao discute brevemente esses torques ambientais, e apresenta o modelo de pior

caso, conveniente para dimensionalizacao dos atuadores (torque de controle), para

satelites em geral. Uma discussao pormenorizada e encontrada em Carrara (1982),

Wertz (1978), Hughes (1986) e Fauske (2002). Nesse trabalho somente o torque

devido ao gradiente de gravidade e considerado. Esse torque e considerado, nesse

estudo, como o mais importante em termos de perturbacao, desde que se considere

um bom balanceamento magnetico. Os outros torques nao sao considerados.

5.6.1 Torque Devido ao Gradiente de Gravidade

Este torque depende da altitude do veıculo, das suas propriedades de inercia e de sua

atitude em relacao a vertical local. Uma expressao que leva em conta estes aspectos e

85

que e apropriada para se calcular em primeira aproximacao a magnitude do torque

do gradiente de gravidade para o pior caso e dada em Larson e Wertz (1992) e

reproduzida aqui

τ bg =

3ω2o

2|Jx − Jz| sin 2θ (5.50)

onde θ e o angulo que descreve o deslocamento angular na direcao da vertical local

ou nadir. O gradiente de gravidade tem a propriedade de alinhar o eixo de menor

momento de inercia com a vertical local, em uma configuracao de estabilidade cha-

mada estabilizacao por gradiente de gravidade. Por esta razao satelites estabilizados

por gradiente de gravidade requerem o projeto estrutural de tal forma a permitir

que o eixo de apontamento para a Terra seja o eixo de menor momento de inercia.

Um exemplo interessante refere-se a primeira versao do satelite brasileiro de co-

leta de dados, SCD-1, que deveria ser estabilizado por gradiente de gravidade. O

veıculo deveria conter um mastro a ser destendido em orbita. O mastro teria um

comprimento de 10 m, com uma massa de 3 kg na ponta. Isto aumentaria de apro-

ximadamente dez vezes os momentos de inercia transversais do satelite enquanto

manteria o momento de inercia axial (eixo de apontamento para a Terra) aproxi-

madamente igual. Posteriormente a configuracao de estabilizacao foi reconsiderada

e o projeto modificado para a estabilizacao por spin (direcao de ω coincidente com

eixo axial do veıculo). Esta configuracao de estabilizacao requer apenas que o eixo

de rotacao do veıculo seja o de maior momento de inercia. A mudanca diminuiu

os riscos associados as operacoes de abertura e captura do satelite (SCD-1) em

torno da vertical local. Normalmente os satelites estabilizados por gradiente de gra-

vidade requerem um mastro a ser aberto em orbita para adequar as propriedades

de inercia do satelite a estabilizacao por gradiente de gravidade. Portanto a compli-

cada dinamica na fase transitoria da abertura dos mastros representam um aspecto

delicado para tal tipo de estabilizacao. Como existem restricao de espaco e volume

nos veıculos lancadores nao ha como lancar um satelite estabilizado por gradiente

de gravidade ja com a configuracao adequada em termos de propriedades de inercia.

A geometria em forma de lapis (pencil-shaped) que caracteriza os satelites estabili-

zados por gradiente de gravidade e, de fato, inadequada para os veıculos lancadores.

Daı a necessidade de mastros com massa adicional na ponta para dar ao satelite a

forma e as propriedades de inercia apropriadas para a estabilizacao por gradiente de

86

gravidade.

Neste trabalho considerou-se apenas o torque do gradiente de gravidade como per-

turbacao ambiental. A justificativa e que assumi-se um satelite de orbita baixa da

Terra, LEO (Low Earth Orbit). Assumiu-se tambem que o satelite objeto de si-

mulacoes, neste caso o EQUARS, tenha um balanco magnetico adequado de tal

forma que a perturbacao predominante seja associada ao gradiente de gravidade.

Entretanto outros torques podem perturbar o movimento do satelite em orbita da

Terra. A seguir ao feitas algumas consideracoes sobre outros torques importantes na

analise da dinamica e controle de atitude de satelites artificiais da Terra.

5.6.2 Torque Aerodinamico

Para satelites de orbitas baixas (< 900km) a densidade do ar e suficiente para

influenciar a dinamica de atitude do satelite. Alem da altitude o arrasto atmosferico

tambem depende das dimensoes do satelite, da sua geometria e velocidade relativa

(Fauske, 2002). O torque aerodinamico pode ser escrito como

τ a =1

2ρV 2CdA (uv × scp) (5.51)

onde ρ e a densidade da atmosfera em (kg/m3), A em (m2) e a area perpendicular a

uv, uv e o versor na direcao da velocidade, Cd e o coeficiente de arrasto aerodinamico,

V e a velocidade em (m/s) e scp e o vetor distancia do centro de massa ao centro

de pressao.

Uma expressao para o pior caso e dada por Fauske (2002)

τa = F (cpa − cg) (5.52)

F = 0.5(ρCdAV

2)

(5.53)

onde cg e o centro de gravidade e cpa e o centro de pressao.

87

5.6.3 Torque de Pressao de Radiacao Solar

A radiacao e partıculas do Sol afetam a dinamica do satelite. Para baixas orbitas o

efeito pode ser negligenciado se comparado com outros torques ambientais (Fauske,

2002). Uma expressao para o pior caso e dada por Larson e Wertz (1992)

τs = F (cps − cg) (5.54)

F =Fs

cAs (1 + q) cos i (5.55)

onde Fs e uma constante solar (1367W/m2), As e a area superficial irradiada em

(m2), cg e o centro de gravidade (m), i e o angulo de incidencia do Sol, c e a

velocidade da luz na vacuo em (m/s), cps e o centro de pressao solar (m) e q e o

fator de reflectancia, que varia de 0 a 1.

5.6.4 Torque Devido ao Dipolo Residual

Os sistemas eletronicos no satelite podem gerar um dipolo magnetico residual. Esse

dipolo residual ira interagir com o campo magnetico da Terra. O dipolo residual

tambem mascara as medidas de Bb, feitas pelos magnetometros. O torque resultante

pode ser expresso como (Fauske, 2002)

τm = D ·B (5.56)

onde D e o dipolo magnetico residual em (Am2) varia de 0.1 a 20Am2, dependendo

do tamanho e desbalanceamento magnetico do satelite, e B e o campo magnetico

da Terra medido em Tesla. Para uma orbita polar B pode ser aproximado por

B =2M

R2s

(5.57)

88

onde M = 7.95 · 1015T · m3 e o momento magnetico da Terra e Rs e distancia do

centro de massa da Terra ao centro de massa do satelite.

Nesta Secao faz-se tambem algumas consideracoes sobre torques internos ao sistema.

Esses torques nao alteram a quantidade de movimento angular do sistema, impli-

cando torque externo nulo. Entretanto, os efeitos dos torques internos podem causar

problemas no apontamento de antenas, paineis, telescopios (tipo Hubble). Por outro

lados efeitos internos dissipadores podem ser uteis, principalmente quando se tratam

dos amortecedores de nutacao, quase sempre requeridos quando se usa estabilizacao

por spin (SCD-1 e SCD-2).

5.7 Perturbacoes internas

Perturbacoes internas sao torques internos exercidos sobre o corpo do satelite devido

a partes moveis. O efeito de torques internos e a dissipacao de energia cinetica e a

redistribuicao das componentes da quantidade de movimento angular no sistema do

satelite (Wertz, 1978), como acontece na presenca de rodas. Entretanto, a presenca

de perturbacoes internas nao altera a quantidade de movimento angular referido ao

espaco inercial. As principais fontes de perturbacoes internas sao:

• Movimento de paineis, rodas, mastros, antenas, etc;

• slosh devido ao movimento de lıquidos (combustıvel);

• Deformacao na estrutura (snap) devido a dilatacao termica;

• Choque de gases no corpo do satelite propelidos pelo sistema de propulsao;

• etc.

Um exemplo bem conhecido onde a influencia de perturbacoes internas, provocado

pelo movimento de antenas, e o do satelite explorer 1, lancado em 1958. O efeito

de dissipacao de energia, resultou na mudanca do eixo de rotacao, eixo de menor

momento de inercia, para o eixo de maior momento de inercia (Kaplan, 1976).

Perturbacoes internas sao difıceis de serem modeladas e podem gerar jitter. Uma

aproximacao para esse efeito e fornecida por Wilson (2000)

89

T = a0 +∑

k

ak cos (kωot+ β) + bk sin (kωot+ β) (5.58)

no qual ωo e o velocidade orbital, ao, ak e bk sao coeficientes constantes e β a fase. A

influencia desse efeito e conveniente para estudos de longa duracao, particularmente

para sistema de controle com quantidade de movimento angular embarcado (Wilson,

2000).

90

CAPITULO 6

PROJETO DE CONTROLE

Este Capıtulo e dedicado a apresentar as estrategias de controle usadas para os

modos de operacao do satelite: 1) detumble, fase em que o satelite e injetado em

orbita; 2) estabilizacao, fase em que o satelite adquire a vertical local e realiza a

manutencao da atitude nominal e 3) aquisicao, fase em que o satelite faz uma reo-

rientacao da atitude. E apresentado o controlador Bdot, os controladores baseados

em energia e as metodologias do Regulador Linear Quadratico (LQR) e do Regu-

lador Quadratico Gaussiano (LQG) usados no modo de estabilizacao. O metodo

LQR e analisado primeiramente, formando a base para um melhor entendimento do

metodo LQG. Essas estrategias sao discutidas pormenorizadamente nas referencias

Dorato e Cerone (1995), Maciejowski (1989), Kwakernaak e Sivan (1972), Moore e

Anderson (1990), Brown (1997), Kirk (1970), Fauske (2002) e Overby (2004).

6.1 Modo de Detumble

O objetivo do controlador usado no modo de detumble e dissipar a energia cinetica

do satelite, reduzindo sua velocidade de rotacao.

6.1.1 Controlador Bdot

O controlador usado nesse trabalho para o detumble e proposto por Wisniewski

(1996) e e conhecido como controlador Bdot (Silani e Lovera, 2003). O controlador

Bdot ou de Wisniewski (1996) usa a taxa de variacao das medidas feitas pelos

magnetometros embarcados no satelite. Sua viabilidade e confirmada pela aplicacao

no satelite Canadense CanX-1 (Wells e Jeans, 2002).

A lei de controle e dada por

mb = −kBb −mc (6.1)

onde

91

mc = [0 0 mc] (6.2)

no qual k e uma constante escalar maior que zero e mc o momento dipolo nominal

da bobina disposta na direcao z.

A demostracao analıtica de que a lei de controle Bdot dissipa a energia cinetica de

rotacao do satelite, e dada usando a teoria de Lyapunov. Essa demostracao e encon-

trada em Fauske (2002) e Wisniewski (1996). Nos dois procedimentos ou sistemas de

controle de atitude propostos, o detumbling e feito com o uso do controlador acima,

atraves dos atuadores magneticos.

6.2 Modo de Estabilizacao

Para modo de estabilizacao definido no Capıtulo 1 as leis de controle sao baseadas:

• na metodologia LQR e LQG;

• nos controladores baseados em energia.

Essas estrategias sao apresentadas a seguir.

6.2.1 Metodo LQR

O metodo LQR e baseado na linearizacao de sistemas dinamicos, pois a metodologia

e formulada para sistemas lineares. O problema de controle otimo consiste em mini-

mizar uma funcao custo quadratica e gerar uma matriz de ganhos para realimentacao

(Dorato e Cerone, 1995 e Maciejowski, 1989). A metodologia LQR e formulada para

os dois sistemas dinamicos envolvidos: 1) satelite equipado com rodas e 2) satelite

equipado com bobinas. As equacoes linearizadas dos modelos, Equacao (5.33), inva-

riante no tempo e Equacao (5.43) variante no tempo sao utilizadas para o projeto

de controle. A formulacao do problema e feita no domınio do tempo e e descrita a

seguir.

92

Seja um sistema linear descrito por

x = A(t)x + B(t)u (6.3)

O problema de otimizacao consiste em encontrar uma lei de controle linear do tipo

u = −Kc(t)x (6.4)

que minimize o ındice de desempenho quadratico

Jp =

∫ T

0

[xTQcx + uTRcu

](6.5)

onde Qc e uma matriz positiva semi-definida (Qc ≥ 0), Rc positiva definida (Rc >

0), x e o vetor de estado de dimensao n × 1 e u e o vetor de controle de dimensao

m × 1. As matrizes Qc e Rc sao as ponderacoes no vetor de estado e no vetor de

controle, respectivamente.

Nota: para a existencia e estabilidade da solucao do problema LQR, a condicao

necessaria e suficiente e que o sistema seja completamente controlavel (Dorato e

Cerone, 1995 e Maciejowski, 1989). As analises de controlabilidade, mostradas em

Kwakernaak e Sivan (1972), feitas para os sistema envolvidos. As equacoes (5.33) e

(5.43), garantem a solucao do problema LQR.

A solucao do problema LQR, ou seja, o calculo do ganho de controle e obtido resol-

vendo a Equacao de Ricatti, dada por (Moore e Anderson, 1990)

Pc = −PcA(t)−A(t)TPc + PcB(t)R−1c BTPc −Qc (6.6)

Resolvendo a Equacao diferencial matricial de Ricatti obtemos o controlador variante

no tempo:

93

u = −R−1c B(t)Pc(t)x (6.7)

Da Equacao (6.4), temos

Kc = R−1c B(t)Pc(t) (6.8)

A Figura (6.1) mostra a configuracao do LQR para o sistema em malha fechada.

Figura 6.1- Configuracao do controle LQR.

O controlador (6.7) exige um grande esforco computacional, devido ao fato de que

a cada passo de integracao Pc(t) deve ser computado, nos casos em que o sistema

for variante no tempo, Equacao (5.43).

Metodo LQR Aplicado para o Satelite Equipado com Rodas

Devido ao fato do sistema (5.33) ser invariante no tempo e considerando o intervalo

de otimizacao infinito, ou seja, T da Equacao (6.5) tendendo ao infinito. A solucao

do problema LQR e dada para o estado estacionario. Esse problema e referido como

problema do LQR estacionario (steady-state LQR) (Dorato e Cerone, 1995). Nessas

condicoes a Equacao diferencial matricial de Ricatti torna-se uma Equacao matricial

algebrica, dada por:

0 = −PcA−ATPc + PcBR−1c BTPc −Qc (6.9)

94

e a lei de controle para o sistema dado pela Equacao (5.33) resulta em

u = −R−1c BPcx (6.10)

onde as matrizes A e B sao dadas em (5.34) e (5.35), respectivamente.

Metodo LQR Aplicado para o Satelite Equipado com Bobinas

Para a formulacao da lei de controle usada no sistema (5.43) utilizando a metodolo-

gia LQR, pode ser feita a seguinte aproximacao: consideramos o campo magnetico

apresentado na secao 5.2, periodico, e tomamos um valor medio de Bo. Dessa forma

assumimos que o modelo (5.43) seja invariante no tempo. Com essas consideracoes

e tomando (T → ∞) o problema se reduz ao problema LQR estacionario. Temos

que a Equacao de Ricatti resulta

0 = −PcA−ATPc + PcBR−1c BTPc −Qc (6.11)

e a lei de controle para o sistema dado pela Equacao (5.33) resulta em

u = −R−1c BPcx (6.12)

Overby (2004) e Silani e Lovera (2003) apresentam resultados satisfatorios usando

o procedimento acima. Entretanto, nesse trabalho, a Equacao matricial algebrica

de Ricatti e calculada para cada passo de integracao, considerando-se a matriz de

entrada B(t) variante no tempo, obtida a partir das componentes do campo geo-

magnetico, dada pela Equacao (5.49). A solucao da Equacao algebrica matricial de

Ricatti resulta em um ganho variante no tempo para o controlador, dado por

u = −R−1c B(t)Pc(t)x (6.13)

95

ou

u = −Kc(t)x (6.14)

onde Kc(t) = R−1c B(t)P(t).

As matrices de ponderacao Qc e Rc sao definidas como:

Rc = diag ([r1, r2, · · · , rna ]) (6.15)

Qc = diag ([q1, q2, · · · , qns ]) (6.16)

onde na e o numero de atuadores no sistema de controle e ns e o numero de estados

de interesse. Para o EQUARS nos dois procedimentos/modelos temos na = 3 e

ns = 6. O desempenho desejado do sistema e obtido pelo ajuste das ponderacoes.

Como sugerido por Overby (2004) e Kristiansen (2000) as ponderacoes sao escolhidas

como:

qi =1

(∆xi)2e ri =

1

(∆ui)2(6.17)

Os valores de ∆ui sao baseados no maximo esforco de controle ou valor maximo

de operacao dos atuadores, ou seja, maximo torque no caso de rodas e maximo

momento dipolo no caso de bobinas. Os valores de ∆xi sao baseados na faixa/interva-

lo de operacao dos estados. Para os sistemas dinamicos avaliados as escolhas dos

parametros usados sao baseadas nas especificacoes do satelite EQUARS, temos

∆xi = 10 graus, ∆ui = 75 mNm (i = 1, 2, 3) e ∆xi = 1 graus/s (i = 4, 5, 6)

(6.18)

96

para o modelo do satelite equipado com rodas

e

∆xi = 10 graus, ∆ui = 1 Am2 (i = 1, 2, 3) e ∆xi = 1 graus/s (i = 4, 5, 6)

(6.19)

para o modelo do satelite equipado com bobinas.

6.2.2 Metodo LQG

Nessa secao o problema do LQG e apresentado. A metodologia sera implementada

ao sistema (5.43). A solucao e obtida no estado estacionario (T →∞). As medidas

sao corrompidas por ruıdos, modelados como distribuicoes aleatorias gaussianas. E

apresentado a estrutura do filtro de Kalman-Bucy e o princıpio da separacao.

O problema LQG e apresentado como segue. Dado o sistema da Figura (6.2), onde

G e a funcao de transferencia da planta. O problema LQG pode ser colocado como

sendo o de calcular uma lei de controle que matenha o sistema estavel e minimize um

criterio de erros quadraticos (Maciejowski, 1989). O sinal de referencia r na Figura

e tomado como nulo (r = 0).

Figura 6.2- Sistema planta mais controlador.

97

Representado o sistema da Figura (6.2) na forma de variaveis de estado, temos

x = Ax + Bu + Γw (6.20)

y = Cx + v (6.21)

onde x e o vetor de estado, u e o vetor de controle e y e o vetor de saıdas corrom-

pidas por v; w e v sao modelados como ruıdos brancos, caracterizando processos

estocasticos gaussianos com media zero. Considera-se que w e v nao sao correlacio-

nadas no tempo e entre si, tendo as covariancias:

EwwT

= Rf ≥ 0 E

ννT

= Qf > 0 E

wνT

= 0 (6.22)

No problema LQG deseja-se minimizar a funcao custo:

Jp =

∫ T

0

[xTQcx + uTRcu

](6.23)

Onde as matrizes Qc e Rc sao as mesmas definidas em 6.2.1. Considera-se que o

vetor de saıda seja os estados do sistema, nesse caso a matriz de saıda e uma matriz

identidade, ou seja:

y = Cx (6.24)

onde C = I, I e a matriz indentidade de ordem 6.

O sistema 6.21 esta sujeito a perturbacoes da planta e ruıdos na observacao da saıda,

a filosofia do projeto do controlador Kc pode ser estruturada (Athans, 1971) em tres

passos:

98

• projeto/analise determinıstica do problema do controle;

• projeto/analise do problema de estimacao estocastica do estado;

• projeto de um sistema de controle estocastico.

A Figura (6.3) mostra a configuracao do sistema de controle utilizado, note que o

controle LQG e baseado em observador.

Figura 6.3- Estrutura basica do sistema de controle LQG.

A solucao do problema LQG e conseguida pelo princıpio da separacao que pos-

sibilita a separacao do problema original em dois problemas:

Problema 1: Obter uma estimativa otima x do estado x de modo que

E

(x− x)T (x− x)

seja minimizado. Esse sub-problema e resolvido pelo uso de

um filtro de Kalman-Bucy, ignorando-se completamente o problema de controle.

Problema 2: Obter o controlador para o problema linear quadratico determinıstico

(LQR considerando a referencia zero (r = 0)), fazendo uso da estimativa x como se

fosse a medida exata do estado, ignorando-se completamente os aspectos estocasticos

do problema. O problema do LQR e resolvido na secao 6.2.1.

Nota: para a existencia e estabilidade da solucao do problema de estimacao e/ou

observacao, a condicao necessaria e suficiente e que o sistema seja completamente

99

observavel (Dorato e Cerone, 1995 e Maciejowski, 1989). As analises de observabi-

lidade, mostradas em Kwakernaak e Sivan (1972), feitas para os sistema envolvido,

Equacao (5.33), garantem a solucao do problema 2.

A solucao do problema 1 consiste na determinacao da matriz ganho Kf . A estrutura

do filtro de Kalman-Bucy e mostrado na Figura (6.4).

Figura 6.4- Estrutura do filtro de Kalman-Bucy.

A matriz ganho de Kalman Kf e dada por (Athans, 1971 e Maciejowski, 1989)

Kf = PfCTR−1

f (6.25)

Onde Pf e dada pela Equacao matricial algebrica de Ricatti

0 = −PfA−ATPf + PfCTR−1

f Pf −Qf (6.26)

E possıvel mostrar que os autovalores do sistema completo, filtro mais controlador,

sao compostos pelo soma dos autovalores do filtro e do LQR (Kwakernaak e Sivan,

1972). As referencias Flora (), Dorato e Cerone (1995) e Maciejowski (1989) mos-

100

tram que os autovalores do filtro e do LQR estao no semi-plano esquerdo (SPE)

do plano complexo, ou seja os dois projetos sao assintoticamente estaveis, entao o

sistema completo e, tambem assintoticamente estavel. Na analise de robustez os dois

projetos quando considerados isoladamente apresentam boas caracterısticas de ro-

bustez. Entretanto, como mostrado por Doyle (1978), o sistema completo, formado

pelo filtro de Kalman-Bucy e pelo controlador determinıstico nao mantem as boas

caracterısticas de robustez apresentadas, isoladamente, pelo filtro e pelo controlador.

A recuperacao das propriedades de robustez e conseguida pelo metodo LQG/LTR

(loop transfer recovery), esse metodo e discutido em Maciejowski (1989) e Kwaker-

naak e Sivan (1972).

6.2.3 Controladores Baseados em Energia

Nesta secao os controladores com realimentacao de velocidade angular e atitude

sao investigados para o modo de estabilizacao. Ambos sao baseados em energia e

usam os atuadores magneticos para o controle. Diz-se que esses controladores sao

baseados em energia pois a partir do calculo da energia do sistema e escolhido uma

lei de controle que satisfaz os criterios de estabilidade, usando para isso a teoria de

Lyapunov. A funcao de Lyapunov V e escolhida como sendo a energia do sistema. As

discussoes sao baseadas nas referencias Wisniewski (1996) e Fauske (2002). A prova

da estabilidade dos controladores propostos e a obtencao dos pontos de equilıbrio

estaveis do sistema sao obtidos a partir da teoria de Lyapunov, e nao fazem parte da

proposta desse trabalho. Essas provas sao fornecidas em Wisniewski (1996), Fauske

(2002) e Overby (2004).

Realimentacao de Velocidade Angular

A lei de controle com realimentacao de velocidade angular e dada por (Fauske, 2002)

mb = hωbob ×Bb (6.27)

onde h e uma constante escalar maior que zero (h > 0), que faz com que o sistema

satelite equipado com bobinas, seja assintoticamente estavel sobre quatro pontos de

equilıbrio.

101

(ωb

ob, cb3, c

b2

): (0,±co

3,±co2)

(6.28)

onde coi i = 1, 2, 3 sao matrizes coluna tendo como componentes os cosenos diretores

dos eixos do referencial do corpo em relacao aos eixos do referencial orbital. Os

quatro pontos de equilıbrio correspondem a orientacao dos eixos x, y e z na mesma

direcao dos eixos xo, yo e zo, respectivamente.

Realimentacao de Atitude

A lei de controle com realimentacao de atitude e dada por (Fauske, 2002)

mb = hωbob ×Bb − αε×Bb (6.29)

onde ε e a componente vetorial do quaternion, Equacao (4.7), e α e uma constante

escalar, essa lei de controle faz com que o sistema, satelite equipado com bobinas,

seja assintoticamente estavel sobre a referencia ou a VLHL.

(ωb

ob, cb3, c

b2

): (0, co

3, co2)

(6.30)

6.3 Modo de Aquisicao

Para o estudo de aquisicao de uma atitude arbitraria, definido nesse trabalho como

modo de aquisicao e feita a implementacao da metodologia LQR rastreio (tracking)

e um controlador proporcional derivativo (PD). O objetivo e avaliar, atraves da for-

mulacao desenvolvida nesse trabalho, a factibilidade do uso das rodas da TELDIX

especificadas para o satelite EQUARS, para manobras de atitude e tambem com-

parar e discutir as leis de controle formuladas. Nas simulacoes os controladores sao

aplicados a dinamica completa, nao linear.

102

6.3.1 LQR Tracking

Na aquisicao de uma atitude arbitraria, onde a referencia difere de zero (x 6= 0),

o problema de formular uma lei de controle utilizando a metodologia LQR e co-

nhecido como LQR rastreio/tracking. No LQR traking a lei de controle envolve um

termo antecipativo (feedfoward) adicionado ao termo de realimentacao do estado

(state-feedback) (Dorato e Cerone, 1995 e Kirk, 1970), apresentado na secao 6.2.1. O

problema de LQR tracking consiste em minimizar um ındice de desempenho definido

como

Jp =

∫ T

0

[xTQcx + uTRcu

](6.31)

onde

x(t) = x(t)− xd(t) (6.32)

onde xd e a trajetoria de referencia ou o estado desejado, x e obtido atraves do

sistema dinamico

x = A(t)x + B(t)u (6.33)

No problema assumimos que o estado desejado (xd) e conhecido e que o todos os

estados x sao disponıveis para realimentacao. As matrizes Qc e Rc sao as mesmas

definidas na secao 6.2.1. A lei de controle otima para o problema de tracking e dada

por (Kirk, 1970)

u = −Kc(t)x + fw(t) (6.34)

onde Kc(t) e a matriz de ganhos para realimentacao dos estados, obtido pela Equacao

(6.8), obtido atraves da Equacao de Ricatti, Equacao (6.6), definida na secao 6.2.1:

103

P = −PA(t)−A(t)TP + PB(t)R−1c P−Qc (6.35)

e o termo antecipativo (fw(t)) e denominado sinal de comando e e dado por

fw(t) = −RcBT s(t) (6.36)

onde s(t) e calculado a partir da Equacao diferencial linear (Kirk, 1970)

s = −[A(t)−PB(t)R−1

c B(t)−1]s(t) + Qcxd (6.37)

Note que o sinal de comando (fw(t)) depende dos parametros do sistema e do sinal

de referencia. A Figura (6.5) mostra a configuracao do LQR tracking.

Figura 6.5- Configuracao do controle LQR tracking.

6.3.2 Proporcional Derivativo

O controlador proporcional derivativo (PD), tambem e projetado a partir da

planta linearizada, Equacao (5.33). Nesse trabalho o projeto do controlador PD

e baseado em Kaplan (1976). Uma discussao pormenorizada dos controladores in-

dustriais PD e PID e encontrada em Ogata (1998). Primeiro e obtida uma lei de

controle para o movimento em torno do eixo de pitch, como se fosse um sistema

104

SISO, pois o movimento em pitch (θ) e desacoplado dos outros movimentos, roll e

yaw. Em seguida e projetada uma lei de controle para o sistema de equacoes diferen-

ciais acopladas, que descrevem o movimento de roll e yaw, e constitue um sistema

MIMO com duas entradas e duas saıdas.

Projeto em Pitch

A partir da Equacao (5.33), obtemos a Equacao linearizada do movimento em pitch

dada por

J2θ + 3ω2o (J1 − J3) θ + u2 = 0 (6.38)

onde u2 representa o torque de controle da roda de reacao disposta na direcao

do eixo de pitch. Note que a Equacao (6.38) indica que o sistema nao apresenta

amortecimento, isso pode ser obtido atraves do sinal de controle u2. Uma forma

satisfatoria para a lei de controle, discutida em Kaplan (1976) e dada por

u2 = Kp2

(Td2 θ + θ − θr

)(6.39)

onde o termo θ introduz amortecimento ao sistema, Kp2 e o ganho proporcional

(P) e Td2 a constante de tempo. O ganho derivativo e dado por Kd2 = Kp2Td2 , θr

e o angulo de pitch de referencia, considerado constante. Com a lei de controle o

movimento em pitch torna-se o classico sistema amortecido de segunda ordem.

J2θ +Kp2Td2 θ +(Kp2 + 3ω2

o (J1 − J3))θ −Kp2θr = 0 (6.40)

Os ganhos do controlador PD (Kp2 e Kd2), sao obtidos nesse trabalho a partir da

metodologia LQR, ou seja, a partir da matriz Kc tomando-se os ganhos da linha 2,

que correspondem ao sinal de controle u2. Uma outra alternativa para escolha dos

ganhos e ajustar/sintonizar os ganhos a partir do diagrama de lugar das raızes, esse

procedimento e usado em Kaplan (1976).

105

Projeto em Roll e Yaw

A partir da Equacao (5.33), obtemos as equacoes linearizadas do movimento em roll

e yaw dadas por

J1φ+ a1φ+ a2ψ + u1 = 0 (6.41)

J3ψ + c1ψ + c2φ+ u3 = 0 (6.42)

onde os coeficientes a1, a2, c1 e c2, sao

a1 = 4ω2o (J2 − J3) + ωHo (6.43)

a2 = −ωo (J1 − J2 + J3) +Ho (6.44)

c1 = ω2o (J2 − J1) + ωHo (6.45)

c2 = ωo (J1 − J2 + J3)−Ho (6.46)

os sinais de controle u1 e u3 sao os torques de controle gerados pelas rodas de reacao

dispostas na direcao do eixo de roll e yaw, respectivamente. Devido ao acoplamento

dos movimentos as leis de controle sao escolhidas como sendo

u1 = Kp1Td1φ+Kp1 (φ− φr) +Kc1ψ (6.47)

e lei de controle para o movimento em roll. O termo φ introduz amortecimento

ao sistema, Kp1 e o ganho proporcional (P), Td1 a constante de tempo. O ganho

derivativo e dado por Kd1 = Kp1Td1 , φr e o angulo de roll de referencia, conside-

rado constante. O termo Kc1 e inserido devido ao acoplamento entre os movimentos

em roll e yaw. Com a lei de controle o movimento em roll torna-se um sistema

amortecido de segunda ordem.

106

J1φ+ a1φ+ a2ψ +Kp1Td1φ+Kp1 (φ− φr) +Kc1ψ = 0 (6.48)

Anologamente, a lei de controle para o movimento em yaw e escolhida como

u3 = Kp3Td3ψ +Kp3 (ψ − ψr) +Kc3φ (6.49)

O termo ψ introduz amortecimento ao sistema, Kp3 e o ganho proporcional (P),

Td3 a constante de tempo, o ganho derivativo e dado por Kd3 = Kp3Td3 , ψr e o

angulo de yaw de referencia, considerado constante. O termo Kc3 e inserido devido

ao acoplamento entre os movimentos. Com a lei de controle o movimento em yaw

torna-se em um sistema amortecido de segunda ordem.

J3ψ + c1ψ + c2φ+Kp3Td3ψ +Kp3 (ψ − ψr) +Kc3φ = 0 (6.50)

Reescrevendo a equacoes (6.41) e (6.42) temos

J1φ+Kp1Td1φ+ (a1 +Kp1)φ−Kp1φr + (Kc1 + a2) ψ = 0 (6.51)

J3ψ +Kp3Td3ψ + (c1 +Kp3)ψ −Kp3ψr + (Kc3 + c2) φ = 0 (6.52)

A Figura (6.6) mostra a configuracao do controlador PD.

Os ganhos sao obtidos a partir da metodogia LQR (matriz Kc), assim como feito

para o projeto de controle em pitch. A partir da matriz Kc toma-se os ganhos das

linhas 1 e 3, que correspondem ao sinal de controle para u1 e u3, respectivamente.

Os valores de referencia (φr, θr, ψr) correspondem a uma atitude nominal arbitraria.

A vantagem do uso do controlador PD e que a realimentacao e apenas dos angulos

de atitude, nao sendo necessario medir as taxas de variacao dos angulos, entretanto,

o procedimento de derivacao dos angulos gera erros.

107

Figura 6.6- Configuracao do controlador PD.

108

CAPITULO 7

SIMULACOES

Neste Capıtulo, sao feitas as simulacoes utilizando as estrategias de controle para os

modos de operacao:

• Detumble;

• Estabilizacao;

• Aquisicao.

As configuracoes propostas para o ACS utilizam como atuadores: rodas de reacao

combinadas com bobinas magneticas e apenas bobinas magneticas para o controle

autonomo do satelite, nos dois primeiros modos de operacao (detumble e estabi-

lizacao). O controlador Bdot e utilizado para o descapotamento/detumbling do

satelite. O controlador proposto para estabilizacao e manutencao da atitude nominal

e obtido usando a metodologia LQR e LQG. Outra alternativa apresentada para fase

de estabilizacao e manutencao da atitude nominal, usando bobinas magneticas, sao

os controladores baseados em energia: realimentacao da velocidade angular (angular

velocity feedback) e realimentacao da atitude (ε)(attitude feedback). Nas simulacoes

sao usados os parametros do satelite brasileiro EQUARS. Para a fase de aquisicao

e analisada a exequibilidade da utilizacao das rodas de reacao onde e proposto o

controle PD e LQR rastreio/tracking.

Os parametros usados na simulacao sao mostrados na Tabela (7.1). Os parametros

e especificacoes obtidos para o satelite EQUARS sao baseados em Carvalho (2003)

e Heidelberg (2004). As tres rodas de reacao sao iguais e as tres bobinas tambem

sao iguais.

7.1 Modo de Detumble

O controlador usado para o modo de detumble foi o controlador Bdot. As condicoes

iniciais e os parametros do controlador sao listados a seguir.

109

Tabela 7.1- Parametros de simulacao.

Parametros Valores

Tensor de inercia do satelite (J) Jx = 13.31, Jy = 14.22, Jz = 11.20 kgm2

Precisao de apontamento 1o sobre cada eixo (φ, θ, ψ)

Bobinas magneticas:

Maximo momento dipolo 2 Am2

Secao da area 0.075 m2

Numero de espiras 100

Resistencia 20 Ω

Rodas de reacao:

Momento de inercia Jw = 0.015 kgm2

Maxima rotacao por minuto 7500 rpm

Maxima quantidade de movimento angular 12 Nms

Maximo torque 75 mNm

Parametros orbitais:

Altura (h) 750 km

Excentricidade (e) ∼= 0

Ascencao do nodo ascendente (Ω) 30 graus

Inclinacao (i) 20 graus

Velocidade orbital media ωo = 0.001 rad/s

Perıodo orbital To∼= 1h40mim

Data da simulacao 31− 12− 2004

110

Condicoes iniciais ωbib = [10 10 10]T graus/s

Parametros de controlador k = 2 · 105, mc = −0.1 Am2

onde a lei de controle Bdot e dada pela Equacao (6.1)

mb = −kBb −mc (7.1)

A escolha da velocidade angular inicial foi baseada nas simulacoes feitas para o

modo de estabilizacao, Secao (6.2). Para essa condicao inicial de velocidade angular

(ωbix, ω

biy, ω

biz) (≈ 2 rpm) os atuadores especificados saturam rapidamente no modo

de estabilizacao e nao sao capazes de estabilizar ou controlar a atitude do veıculo,

definindo uma situacao ou velocidade angular crıtica. Os parametros do controlador

foram obtidos por tentativa. A Figura (7.1) mostra a reducao da velocidade angular

do satelite. Depois de quatro revolucoes em volta da Terra, o veıculo ja esta apto a

executar manobras de atitude, ou seja, entrar no modo de estabilizacao.

Figura 7.1- Velocidade angular do satelite ωbib.

A Figura (7.2) mostra o amortecimento da velocidade angular do satelitea partir

da quarta orbita. Reduzindo a velocidade de rotacao do satelite para abaixo de (2

graus/s) .

111

Figura 7.2- velocidade angular ωbib.

A Figura (7.3) mostra o dipolo magnetico das bobinas, o torque de controle gerado e

a potencia de cada bobina. Os valores do dipolo magnetico atendem as especificacoes

dos atuadores magneticos (mx,my e mz < 2 Am2).

Figura 7.3- Dipolo magnetico, torque magnetico e potencia.

112

A Figura (7.4) mostra os mesmos resultados mas tomados a partir da quarta orbita.

Figura 7.4- Dipolo magnetico, torque magnetico e potencia.

A lei de controle apresentada (Bdot) e de simples implentacao e nao requer in-

formacoes da atitude do veıculo. Apesar das simulacoes terem avaliado uma condicao

inicial crıtica de velocidade angular, essa pode ser maior, dependendo de como o fo-

guete lanca o satelite na sua orbita, ou seja, depende do veıculo lancador. Ainda

assim o controlador Bdot pode ser utilizado, entretanto, exigindo um tempo maior

para a reducao da velocidade angular.

7.2 Modo de Estabilizacao

As estrategias de controle usada no modo de estabilizacao sao baseadas nas metodo-

logias LQR e LQG, apresentadas no Capıtulo 6. A metodologia LQR e implementada

nos dois modelos: satelite equipado com bobinas e satelite equipado com rodas. A

metodologia LQG e usada no modelo do satelite equipado com rodas. Os controla-

dores baseados em energia sao usados no modelo do satelite equipado com bobinas.

113

7.2.1 Metodo LQR

Nessa Secao o metodo LQR e usado na formulacao da lei de controle do modelo do

satelite equipado com rodas. Sao investigados tres cenarios:

• condicoes iniciais crıticas (ωx, ωy, ωz > 1 rpm) ;

• condicoes iniciais quase crıticas (ωx, ωy, ωz = 1 rpm);

• velocidade angular (ωx, ωy, ωz∼= 0 rpm).

O objetivo e avaliar situacoes nas quais o projeto LQR ainda e valido no controle de

atitude em tres eixos. A Tabela (7.2) mostra as condicoes iniciais para os tres casos.

Tabela 7.2- Condicoes iniciais da simulacao para o modo de estabilizacao utili-zando a metodologia LQR.

casos velocidade angular inicial atitude inicial

1 ωbib = [0 0 0]T graus/s (φ, θ, ψ) = (30,−20, 25) graus



Em seguida sera usada a formulacao da lei de controle do modelo do satelite equipado

com bobinas. O objetivo e estudar/analisar os dois procedimentos para o modo de

estabilizacao

Satelite Equipado com Rodas

Caso 1: Velocidade Angular

Para o primeiro caso considera-se que a velocidade angular do satelite seja nula,

conseguida atraves do controlador Bdot. A partir dessa condicao inicial temos que

a lei de controle para o modo de estabilizacao e dada pela Equacao (6.7), reescrita

aqui

114

u = −Kcx (7.2)

onde

Kc = R−1c BPc (7.3)

onde Pc e dado pela solucao da Equacao de Ricatti, Equacao (6.6). Os valores

numericos das matrizes A e B, usadas no projeto de controle, sao obtidos a partir

das equacoes (5.34) e (5.35). As matrizes de ponderacao Rc e Qc selecionadas sao

mostradas na Secao (6.2.1). Resolvendo a Equacao de Ricatti, obtemos o ganho

usado na lei de controle

Kc =

−0.0286 0.0000 0.0004 −0.8476 0.0000 0.0000

0.0000 −0.0287 0.0000 0.000 −0.9180 0.0000

−0.0004 0.0000 −0.0286 0.000 0.0000 0.9510

(7.4)

E importante resaltar que em todas as simulacoes aplicou-se a lei de controle linear

para o modelo completo, nao linear. A Figura (7.5), mostra os angulos de atitude

em funcao do tempo, durante o modo de estabilizacao. O resultado mostra um bom

desempenho do sistema de controle. Note que a partir de 100 segundos o satelite

ja atinge a precisao requerida (< 1o) para a atitude nominal especificada, (VLHL),

realizando em seguida a manutencao da atitude nominal.

A Figura (7.6) mostra o torque gerado pelas tres rodas de reacao. O primeiro grafico

mostra o torque (τ bw) gerado pelas rodas dispostas nas tres direcoes principais de

inercia. O segundo grafico mostra o torque de acoplamento devido ao movimento de

rotacao do satelite, sendo da ordem de 100 vezes menor que o torque τ bw gerado pelas

rodas. O torque efetivo de controle e a soma dos dois torques. Para efeito de projeto

da roda o efeito de acoplamento e considerado uma perturbacao. O ultimo grafico

mostra a quantidade de movimento angular das rodas, note que a roda ao longo do

eixo de pitch (normal a orbita) tem uma quantidade de movimento angular nominal

diferente de zero, fornecendo rıgidez giroscopica ao sistema durante a manutencao

115

Figura 7.5- Angulos de atitude roll, pitch e yaw em funcao do tempo para o caso1.

da atitude nominal.

Figura 7.6- Torque τ bw, torque de acoplamente e quantidade de movimento angular

das rodas para o caso 1.

A Figura (7.7) mostra as rotacoes por minuto de cada uma das rodas e as velocidades

116

angulares ωbib e ωb

ob, respectivamente. Como era de se esperar a velocidade relativa

entre os referenciais do satelite (BF) e orbital (OF) e nula.

Figura 7.7- Velocidades angulares ωbib e ωb

ob e rotacoes por minuto das rodas dereacao.

A simulacoes mostram que, para a condicao inicial de velocidade angular assumida,

Tabela (7.2), todos os requisitos de precisao e operacao sao atendidos, nao havendo

saturacao dos atuadores no modo de estabilizacao.

Caso 2: Velocidade Angular Quase Crıtica

Para o segundo caso considera-se que a velocidade angular residual do satelite seja

de 1 rpm, que equivale a 6 graus/s. A partir dessa condicao inicial usa-se a lei de

controle dada pela Equacao (6.7), como no caso 1. O objetivo e avaliar se mesmo

sob uma condicao de velocidade angular nao nula. Esta configuracao poderia, por

exemplo, ser causada por imprecisao de medidas ou falha no sistema de controle

para o modo de detumble. Os resultados mostram que ainda assim, o sistema de

controle ainda e capaz de estabilizar e controlar o movimento de atitude, a partir

dos atuadores (rodas) especıficadas para o satelite EQUARS. Os valores de Kc

obtidos e as matrizes de ponderacao Rc e Qc selecionadas sao as mesmas utilizadas

no caso 1.

117

A Figura (7.8), mostra os angulos de atitude durante o modo de estabilizacao. O

resultado mostra um desempenho pobre do sistema de controle. Note que, apesar do

desempenho, a partir de 200 segundos o satelite atinge a precisao requerida (< 1o)

para a atitude nominal especificada (VLHL), realizando em seguida manutencao da

atitude nominal sem maiores problemas.

Figura 7.8- Angulos de atitude roll, pitch e yaw em funcao do tempo para o caso2.

A Figura (7.9) mostra o torque gerado pelas tres rodas de reacao, o primeiro grafico

mostra o torque (τ bw) gerado pelas rodas, o grafico mostra, claramente, a saturacao

dos atuadores, todas as rodas em algum momento sofrem saturacao o segundo grafico

mostra o torque de acoplamento devido ao movimento de rotacao do satelite, sendo

bem maior a influencia que no caso 1. O ultimo grafico mostra a quantidade de mo-

vimento angular das rodas, note que apesar da saturacao em torques (> 75mNm),

nenhuma das rodas apresentam saturacao na quantidade de movimento angular

(< 12Nms).

A Figura (7.10) mostra as rotacoes por minuto de cada uma das rodas e as veloci-

dades angulares ωbib e ωb

ob.

A simulacoes mostram que para a condicao inicial de velocidade angular assumida

(Tabela (7.2)) mesmo sob saturacao das rodas, todos os requisitos de precisao sao

118

Figura 7.9- Torque τ bw, torque de acoplamento e quantidade de movimento angular

das rodas para o caso 2.


ob e rotacoes por minuto das rodas parao caso 2 .

atendidos pelo sistema de controle.

119

Caso 3: Velocidade Angular Crıtica

Para o terceiro caso analisado usamos o mesmo projeto de controle dos casos 1 e 2,

e as condicoes iniciais mostradas na Tabela (7.2). A Figura (7.11) mostra os angulos

de atitude em relacao ao tempo. Nota-se que o sistema de controle nao e capaz de

atender os requisitos no modo de estabilizacao, devido a uma velocidade angular

crıtica de aproximamente 1.5 rotacoes por minuto (rpm). Portanto, para o projeto

do sistema de controle avaliado e necessario garantir que no modo de estabilizacao

a velocidade angular inicial seja igual ou menor que 1.5 rpm. Essa reducao e obtida

no modo de detumble como mostrado nas simulacoes, Secao (7.1).

Figura 7.11- Angulos de atitude roll, pitch e yaw e tempo para o caso 3.

A Figura (7.12) mostra os graficos das velocidades angulares ωbib e ωb

ob e as rotacoes

por minuto das rodas, nota-se que as rodas dispostas ao longo dos eixos de roll e yaw

saturam (> 7500rpm). A roda em roll atinge rapidamente sua velocidade maxima

de operacao.

A Figura (7.13) mostra a saturacao em torque e quantidade de movimento angular

das rodas.

Os resultados da simulacao mostram que o sistema de controle nao e capaz de

120


ob e rotacoes por minuto das rodas parao caso 3.

Figura 7.13- Torque τ bw, torque de acoplamente e quantidade de movimento an-

gular das rodas para o caso 3.

estabilizar e controlar a atitude. Isso se deve, fundamentalmente, a limitacao dos

atuadores e a dinamica se tornar altamente nao linear.

121

Satelite Equipado com Bobinas

A formulacao da lei de controle utilizando a metodologia LQR para o modelo do

satelite equipado com bobinas foi discutida na Secao (6.2.1). O ganho de controle

Kc e variante no tempo, dada pela Equacao (6.13)

u = −Kc(t)x (7.5)

A matriz solucao da Equacao de Ricatti Pc, Equacao (6.6), e calculada para

cada passo de integracao, sendo aproximadamente periodica devido ao campo geo-

magnetico (Bo) ser quase periodico. Os valores numericos das matrizes A, B, usadas

no projeto de controle, sao obtidos a partir das equacoes (5.48) e (5.49). A Figura

(7.14) mostra a variacao do elemento Kc(1, 1) da matriz de ganho do controlador,

mostrando claramente que os ganhos sao aproximadamente periodicos. Isso permite

reduzir o esforco computacional introduzindo uma matriz de ganhos previamente

calculada para uma orbita nominal.

Figura 7.14- Ganho do controlador em funcao das orbitas Kc(1, 1).

As matrizes de ponderacao Rc e Qc selecionadas sao mostradas na Secao (6.2.1). As

condicoes iniciais sao listadas a seguir

122

Condicoes iniciais:

Velocidade angular ωbib = [0 0 0]T graus/s

Atitude inicial (φ, θ, ψ) = (15,−10, 10)

Novamente utilizou-se nas simulacoes o modelo completo, nao linear e no caso do

satelite equipado com bobinas o modelo tambem e variante no tempo. A Figura

(7.15) mostra os angulos de atitude durante o modo de estabilizacao, o resultado

mostra um desempenho razoavel do sistema de controle, a partir dos parametros

selecionados para o controlador. Note que e necessario duas revolucoes do satelite

em torno da Terra (≈ 3h20min) para que esse atinga a precisao requerida (< 1o)

realizando em seguida a manutencao da atitude nominal, ou seja, alinhado com a

vertical local (VLHL).

Figura 7.15- Angulos de atitude roll, pitch e yaw em funcao do numero de orbitas,utilizando bobinas.

A Figura (7.16) mostra o dipolo magnetico das bobinas, o torque de controle gerado,

e a potencia de cada bobina, os valores do dipolo magnetico atendem as especi-

ficacoes dos atuadores magneticos (mx,my e mz < 2 Am2), ficando bem abaixo do

dimensionado para o sistema de controle de atitude.

Apesar das bobinas apresentarem um tempo de resposta bem maior, a potencia

exigida pelo sistema de controle e muito menor do que aquela usada no sistema de

123

Figura 7.16- Dipolo magnetico, torque de controle (τ bm) e potencia das bobinas

em funcao do numero de orbitas, utilizando bobinas.

controle de atitude do satelite equipado com rodas; tornando-se uma opcao atrativa,

devido a seu custo e baixo consumo de energia.

7.2.2 Controladores Baseados em Energia

Uma alternativa para o sistema de controle de atitude empregando bobinas

magneticas sao os controladores nao lineares propostos na Secao (6.2.3). Sua prin-

cipal vantagem e a de que as leis de controle sao formuladas a partir do sistema

nao linear, baseado nos crıterios de estabilidade de Lyapunov. Isso garante a estabi-

lizacao, nao sendo valida somente em torno de um ponto de operacao, como no caso

de sistema lineares. Sao analisados duas leis de controle: realimentacao de velocidade

angular e realimentacao de atitude.

Realimentacao de Velocidade Angular

A lei de controle e dada pela Equacao (6.27)

124

mb = hωbob ×Bb (7.6)

As condicoes iniciais e os parametros do controlador obtidos por tentativa sao lista-

dos a seguir

Condicoes iniciais:


Atitude inicial (φ, θ, ψ) = (60,−30, 40)graus

Parametros do controlador h = 3.25 · 106

A Figura (7.17) mostra os angulos de atitude no modo de estabilizacao usando a

realimentacao de velocidade angular. O resultado mostra um desempenho razoavel

para os angulos de roll e pitch. Para o eixo de yaw e obtido um pobre desempenho do

sistema de controle. Esse resultado ocorre devido a falta de informacao da atitude.

E necessario quatro revolucoes do satelite em torno da Terra (≈ 6h40min) para que

esse atinga a precisao requerida (< 1o) nos eixos de roll e pitch, sendo necessario

quase o dobro de revolucoes para o eixo de yaw. Em seguida realiza-se a manutencao

da atitude nominal, ou seja, alinhado com a vertical local (VLHL).

Figura 7.17- Angulos de atitude em funcao do numero de orbitas.

A Figura (7.18) mostra o dipolo magnetico das bobinas, o torque de controle gerado,

125

e a potencia de cada bobina, os valores do dipolo magnetico atendem as especi-

ficacoes dos atuadores magneticos, ficando abaixo do dimensionado para o sistema

de controle de atitude. O terceiro grafico mostra que a potencia exigida pelas bobinas

e bem baixa.

Figura 7.18- Dipolo magnetico, torque de controle e potencia das bobinas emfuncao do numero de orbitas.

A Figura (7.19) mostra as velocidades angulares e o campo geomagnetico expresso

no sistema do satelite.

E possıvel mostrar (Fauske, 2002 e Overby, 2004) que a lei de controle apresentada

nao garante, sobre outras condicoes iniciais, a estabilizacao e o controle em tres eixos

de interesse, ou seja, alinhado com a VLHL. Isso se deve, ao sistema dinamico ter

mais de um ponto de equilıbrio, sendo necessario informacoes da atitude para a es-

tabilizacao de interesse. A lei de controle apresentada e uma alternativa que deve ser

considerada, para os casos em que nenhuma informacao da atitude e disponıvel para

o sistema de controle, devido a possıveis falhas nos sensores de atitude. Entretanto,

nao se pode garantir, em alguns casos, o controle em para a orientacao de interesse

(VLHL). Novamente o uso de bobinas apresenta um baixo consumo de energia.

126


ob e campo magnetico terrestre localBb .

Realimentacao de Atitude

A lei de controle e dada pela Equacao (6.29)

mb = hωbob ×Bb − αε×Bb (7.7)

As condicoes iniciais e os parametros do controlador sao listados a seguir

Condicoes iniciais:


Atitude inicial (φ, θ, ψ) = (60,−30, 40)graus

Parametros do controlador h = 3.25 · 106 α = −3000

A Figura (7.20) mostra os angulos de atitude no modo de estabilizacao usando a

realimentacao de velocidade angular e atitude. O resultado mostra um desempenho

razoavel para os angulos de roll, pitch e yaw. E necessario duas revolucoes do satelite

em torno da Terra (≈ 3h20min) para que esse atinja a precisao requerida (< 1o)

nos eixos de roll, pitch e yaw. O desempenho do sistema de controle e proximo

127

ao obtido com a metodologia LQR, entretanto, a atitude inicial assumida e bem

maior. O resultado mostra que a informacao da atitude e importante para um bom

desempenho do sistema de controle, na estabilizacao da atitude em tres eixos. A

partir da segunda revolucao do satelite em torno da Terra ocorre a manutencao

da atitude nominal (VLHL), ou seja, o sistema se estabiliza em torno da atitude

nominal.

Figura 7.20- Angulos de atitude.

A Figura (7.21) mostra o dipolo magnetico das bobinas, o torque de controle ge-

rado, e a potencia de cada bobina. Os valores do dipolo magnetico atendem as

especificacoes dos atuadores magneticos, Tabela (7.1), ficando abaixo do dimensio-

nado para o sistema de controle de atitude. O terceiro grafico mostra que a potencia

exigida pelas bobinas e bem baixa.

A Figura (7.22) mostra as velocidades angulares e o campo geomagnetico expresso

no sistema do satelite.

A lei de controle apresentada e uma boa alternativa para o sistema de controle de

atitude em tres eixos, pois apresenta um desempenho razoavel. A principal vantagem

em relacao a metodologia LQR e que mesmo sob as nao linearidades, a eficiencia do

sistema de controle de atitude na estabilizacao do sistema e garantida. Novamente o

128

Figura 7.21- Dipolo magnetico, torque de controle e potencia das bobinas emfuncao do numero de orbitas.


ob e campo magnetico local Bb emfuncao do numero de orbitas.

uso de bobinas apresenta uma opcao atrativa devido a baixa potencia, o que equivale

a um baixo consumo de energia.

129

7.2.3 Metodo LQG

Como descrito na Secao (6.2.2), metodogia LQG e usada no modo de estabilizacao

para o satelite equipado com rodas. As condicoes iniciais, e os parametros do filtro

de Kalman sao listados na Tabela (7.3)

Tabela 7.3- Parametros de simulacao.

Condicoes iniciais:

Velocidade angular ωbib [0 0 0]T graus/s

Atitude inicial (φ, θ, ψ) (30,−20, 25)graus

Parametros do filtro:

Matriz Rf diag[(1, 1, 1, 0.1, 0.1, 0.1)]0.52 × (π/180o)

Matriz Qf diag[(1, 1, 1, 1, 1, 1)]152 × (π/180o)

A matriz Rf e obtida a partir do desvio padrao de sensores solares (0.5o) e de

girometros (0.05graus/s) tıpicos. A matriz Q e obtida atraves de ajustes por ten-

tativa. A partir dos parametros do filtro obtemos o matriz de ganho de Kalman

Kf =

30.0002 0.0000 0.0000 0.9091 0.0000 0.0000

0.0000 30.0002 0.0000 0.000 0.9109 0.0000

0.0000 0.0000 30.0002 0.000 0.0000 0.9509

0.0000 0.0000 0.0000 300.0000 0.0000 0.0001

0.0000 0.0091 0.0000 0.0000 300.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0091 0.001 0.0000 300.0000

(7.8)

Os parametros do controlador usado sao os mesmos utilizados no metodo LQR.

A Figura (7.23) mostra os angulos de atitude ou de Euler estimados com o filtro de

Kalman. O desempenho do controlador e muito proximo ao obtido com o projeto

LQR (caso 1).

A Figura (7.24), mostra os angulos de Euler simulados, esses sao corrompidas por

ruıdos de distribuicao aleatoria e uniforme.

130

Figura 7.23- Angulos de atitude estimados em funcao do tempo.

Figura 7.24- Angulos de atitude simulados.

A Figura (7.25) confronta os angulos de atitude estimados e simulados, mostrando

claramente a suavizacao do sinal estimado, que e usado na realimentacao do sistema

de controle. A Figura (7.26) mostra os graficos do erro (valor real (simulado) −valor estimado). O primeiro grafico mostra o erro nos angulos de atitude e o segundo

131

grafico mostra o erro nas taxas de variacao dos angulos de atitude. Em ambos os

casos o erro e menor que a covariancia em ∼= 70% dos casos, representada pela linha

vermelha.

Figura 7.25- Angulos de atitude simulados e estimados.

Figura 7.26- Erro dos angulos de atitude e variacao da atitude.

A Figura (7.27) mostra o torque gerado pelas tres rodas de reacao, o torque de

132

acoplamento e a quantidade de movimento angular. O primeiro grafico mostra o

torque (τ bw) gerado por cada roda, o segundo grafico mostra o torque de acoplamento

devido ao movimento de rotacao do satelite. As magnitudes ou esforco de controle

sao proximas as obtida no projeto LQR (caso 1), como era de se esperar, pois o

controlador e o mesmo desenvolvido no caso 1. O ultimo grafico mostra a quantidade

de movimento angular das rodas. A roda ao longo do eixo de pitch (normal a orbita)

tem uma quantidade de movimento angular nominal diferente de zero, fornecendo

rıgidez giroscopica ao sistema durante a manutencao da atitude.


gular das rodas.

7.3 Modo de Aquisicao

Para o sistema de controle no modo de aquisicao sao avaliados duas alternativas

para o projeto de controle: 1) controlador Proporcional Derivativo (PD); 2) LQR

rastreio/tracking. Esse projeto tem o objetivo de avaliar a factibilidade do emprego

das rodas especificadas para o satelite brasileiro EQUARS (ver Heidelberg, 2004),

na execusao de manobras de grandes angulos. No modo de aquisicao, assume-

se que a condicao inicial o satelite esta alinhado com a vertical e horizontal local

(VLHL), ou seja, o satelite parte do modo de estabilizacao. As condicoes iniciais e

a atitude de referencia sao mostradas na Tabela (7.4).

133

Tabela 7.4- Condicoes iniciais da simulacao para o modo de aquisicao utilizandorodas.

Lei de controle velocidade angular inicial atitude inicial atitude de referencia

(φ, θ, ψ) (φr, θr, ψr)

LQR tracking ωbib = [0 0 0]T graus/s (0, 0, 0) graus (−60, 70, 130) graus

PD ωbib = [0 0 0]T graus/s (0, 0, 0) graus (−60, 70, 130) graus

7.3.1 LQR Tracking

A lei de controle ao metodo LQR tracking no modo de aquisicao, apresentada na

Secao (6.3.1), e dada pela Equacao (6.34),

u = −Kc(t)x + fw(t) (7.9)

onde a matriz Kc e obtida atraves da solucao da Equacao de Ricatti. As matrizes de

ponderacao Qc e Rc sao as mesma utilizadas no projeto LQR. O sinal de comando

e dado pela Equacao (6.36).

fw(t) = −RcBT s(t) (7.10)

onde o vetor s(t) e funcao da referencia, atitude (φr, θr, ψr) e velocidades angulares

(φr, θr, ψr), calculada pela Equacao (6.37). As matrizes obtidas no projeto LQR

tracking sao:

Kc =

−0.0286 0.0000 0.0004 −0.8476 0.0000 0.0000

0.0000 −0.0286 0.0000 0.0000 −0.9180 0.0000

0.0004 0.0000 −0.0286 0.0000 0.0000 −0.9510

(7.11)

e

134

s =

0.1015

−0.1285

−0.2472

1.3734

−1.8581

−3.7070

(7.12)

A Figura (7.28) mostra os angulos de atitude durante o modo de aquisicao. O resul-

tado mostra um bom desempenho do sistema do controle, usando o metodo LQR

tracking. A partir de 200 segundos o satelite atingi a precisao requerida (< 1o) para

a atitude especificada ou de referencia (φr, θr, ψr) = (−60, 70, 130). O modelo do

satelite usado nas simulacoes e o modelo completo, nao linear.

Figura 7.28- Angulos de atitude roll, pitch e yaw em funcao do tempo para aaquisicao de atitude.

A Figura (7.29) mostra o torque gerado pelas tres rodas de reacao, o primeiro grafico


inercia o segundo grafico mostra o torque de acoplamento devido ao movimento

de rotacao do satelite. O torque efetivo de controle e a soma dos dois torques. O

resultado mostra que mesmo para manobras de grandes angulos, nao ha saturacao

da quantidade de movimento das rodas (hw < 12Nms), ficando abaixo do valor

135

de saturacao. O primeiro grafico mostra que nao ocorre saturacao do esforco ou

torque de controle (τ bw < 75mNm). Esse resultado mostra a viabilidade da utilizacao

das rodas especificadas para o satelite EQUARS para a aquisicao de uma atitude

arbitraria.


gular das rodas em funcao do tempo.

A Figura (7.30) mostra as rotacoes em rpm de cada uma das rodas e as velocidades

angulares ωbib e ωb

ob. Na manutencao da atitude de referencia as velocidades das

rodas sao nominalmente diferentes de zero.

Nas simulacoes, apesar do projeto do controlador LQR tracking se basear na planta

linear, o controle empregado sobre a planta nao linear apresenta boas caracterısticas

de desempenho. O resultado se deve em parte as boas propriedades de robustez do

controle LQR. O controle LQR e uma alternativa atraente devido a otimalidade. A

escolha de ponderacoes para o estado e controle, permite ao projetista um projeto

de controle com base em informacoes e especificacoes dos atuadores e respectivas

faixas de operacao. Um menor esforco para o ajuste dos ganhos Qc e Rc tambem e

conseguido, atraves do algoritmo apresentado, Equacao (6.17).

136

Figura 7.30- Rotacoes por minuto das rodas de reacao e velocidades angulares ωbib

e ωbob.

7.3.2 Controle PD

Os ganhos para o controlador PD foram obtidos usando a metodologia LQ, Secao

(6.2.1). A lei de controle PD, obtida na Secao (6.3.2), equacoes (6.47), (6.39) e (6.49)

podem ser reescritas como

u = Kp

φ− φr

θ − θr

ψ − ψr

+ Kd

φθψ

(7.13)

Onde as matrizes Kp e Kd sao as matrizes com os ganhos proporcionais e derivativos,

respectivamente. Os ganhos do controlador PD obtidos sao

Kp =

−0.0286 0.0000 0.0000

0.0000 −0.0286 0.0000

0.0000 0.0000 −0.0286

(7.14)

137

e

Kd =

−0.8476 0.0000 6.2714 · 10−5

0.0000 −0.9180 0.0000

8.1064 · 10−5 0.0000 −0.9510

(7.15)

A Figura (7.31) mostra os angulos de atitude durante o modo de aquisicao. O

resultado mostra um bom desempenho do sistema do controle, a partir dos ga-

nhos Kp e Kd usados para o controlador PD. A partir de 200 segundos o satelite

ja atinge a precisao requerida (< 1o) para a atitude especificada ou de referencia

(φr, θr, ψr) = (−60, 70, 130). Novamente foi usado o modelo completo (nao linear),

nas simulacoes.

Figura 7.31- Angulos de Euler em funcao do tempo.

A Figura (7.32) mostra o torque gerado pelas tres rodas de reacao. O primeiro grafico


inercia. O segundo grafico mostra o torque de acoplamento devido ao movimento

de rotacao do satelite. O torque efetivo de controle e a soma dos dois torques. O

ultimo grafico mostra a quantidade de movimento angular das rodas. Note que as

tres rodas ao longo dos eixos de roll, pitch e yaw apresentam uma quantidade de

138

movimento angular nominal diferente de zero, fornecendo rıgidez giroscopica ao sis-

tema durante a manutencao da atitude de referencia. O resultado mostra que mesmo

para manobras de grandes angulos nao ha saturacao de quantidade de movimento

angular das rodas (hw < 12Nms), ficando abaixo desse valor. O primeiro grafico

mostra que nao ocorre saturacao do esforco de controle (τ bw < 75mNm), chegando a

um valor maximo no eixo de yaw de ∼= 60mNm. Esse resultado mostra que as rodas

especificadas para o satelite EQUARS podem ser usadas para realizar manobras

de grandes angulos, ou seja, ser usadas para aquisicao de uma atitude arbitraria.


gular das rodas em funcao do tempo.

A Figura (7.33) mostra as rotacoes por minuto de cada uma das rodas e as veloci-

dades angulares ωbib e ωb

ob. Na manutencao da atitude de referencia as velocidades

das rodas sao nominalmente diferentes de zero.

O resultados obtidos mostram que e factıvel o uso das rodas especificadas (Tabela

7.1), para o modo de aquisicao do satelite EQUARS. Uma das vantagens no uso

do controlador PD em relacao ao LQR e usar como realimentacao apenas a atitude.

Entretanto, tem como incoveniente a derivacao dos sinais. A metodologia LQ usada

para selecao/ajuste dos ganhos mostra-se muito pratica para o controle PD.

139

Figura 7.33- Rotacoes por minuto das rodas e velocidades angulares ωbib e ωb

ob emfuncao do tempo.

140

CAPITULO 8

CONCLUSAO

Nesse Capıtulo apresentam-se as principais conclusoes relacionadas aos resultados

obtidos, encerrando com sujestoes para trabalhos futuros.

Nesse trabalhos apresentou-se um estudo de alternativas de sistemas de controle

(ACSs) para satelites artificiais estabilizados em tres eixos. Os procedimentos ado-

tados foram: 1) satelite utilizando rodas e bobinas como atuadores e 2) satelite

utilizando apenas bobinas magneticas. Para cada um dos procedimentos analisou-se

a exequibilidade dos ACS(s) para os dois principais modos de operacao estudados:

1) detumble, 2) estabilizacao. As leis de controle empregadas para esses modos foram

LQR, LQG e controladores baseados em energia (Bdot, realimentacao de atitude e

velocidade angular). Os metodos LQR e LQG resultam em projetos lineares e os re-

guladores baseados em energia resultam em projetos nao lineares. Apesar do projeto

linear os metodos LQR e LQG foram aplicados a dinamica nao linear, apresentando

bons resultados, no que se refere ao desempenho e robustez, tambem fornecendo

boas margens de ganho e de fase.

A Tabela (8.1) resume as diferentes configuracoes dos ACS(s) estudados e as dife-

rentes estrategias de controle.

Tabela 8.1- Alternativas para o ACS.

Modo ACS Lei de controle

Detumble bobinas Bdot

Rodas e bobinas Bdot

Estabilizacao Rodas e bobinas LQR

Rodas e bobinas LQG

Bobinas LQR

Bobinas Realimentacao de velocidade angular

Bobinas Realimentacao de atitude

Aquisicao Rodas e Bobinas PD

Rodas e Bobinas LQR tracking

A lei de controle Bdot utilizada no modo de detumble, apresentou um bom resul-

141

tado em termos de tempo, reduzindo a velocidade de rotacao do satelite para um

nıvel tıpico admissıvel (< 0.01rpm), colocando o satelite em condicoes de inicializar

o modo de estabilizacao. A partir de uma velocidade crıtica ∼= 2rpm(definida nesse

trabalho como a velocidade em que o ACS no modo de estabilizacao nao e apropri-

ado, devido a saturacao dos atuadores) a estrategia de controle leva aproximada-

mente quatro orbitas para atingir uma faixa de velocidades angulares admissıveis.

A estrategia de controle e factıvel de ser empregada, tomando como base a consumo

de energia dos atuadores e valores de saturacao. A analise de factibilidade do sis-

tema de controle foi feita com base na potencia especificada para satelites tıpicos do

EQUARS. A lei de controle e facil de ser implementada e nao requer informacoes

ou conhecimento da atitude do veıculo, mas apenas dados dos magnetometros. Ape-

sar das simulacoes terem avaliado uma condicao inicial de velocidade angular crıtica

de ∼= 2rpm, ela pode ser maior dependendo do veıculo lancador. Entretanto, o con-

trolador Bdot ainda pode ser usado, se o requisito de tempo nao for muito estreito,

pois exigiria um tempo maior para a reducao da velocidade angular.

Para o modo de estabilizacao foram comparados o uso de bobinas e rodas. Na

utilizacao de rodas foram analisadas tres cenarios: 1) com velocidade residual de

rotacao nula (ωbib = [0, 0, 0]Tgraus/s), 2) com velocidade quase crıtica (ωb

ib =

[6, 6, 6]Tgraus/s) e 3) com velocidade crıtica (ωbib = [10, 10, 10]Tgraus/s). Os re-

sultados mostram que para o primeiro caso o sistema de controle consegue atender

os requisitos de operacao muito bem, nao ocorrendo saturacao na velocidade da ro-

das nem em esforco de controle ou torque. Para o segundo caso mesmo ocorrendo

saturacao no torque o sistema de controle consegue estabilizar a atitude e reali-

zar a manutencao ou o alinhamento com a VLHL. Para o terceiro caso o sistema

de controle desestabiliza a atitude devido a saturacao nos atuadores. Uma solucao

para esse problema seria ajustar os ganhos do controlador atraves das matrizes de

ponderacao do estado e controle (Qc e Rc), Diminuindo o esforco de controle e au-

mentado o tempo para estabilizacao que nos casos 1 e 2 estudados e relativamente

rapido (< 200s).

O metodo LQR desenvolvido para os dois modelos: satelite equipado com rodas e

satelite equipado com bobinas, atende as especificacoes do sistema de controle em

ambos os casos. As principais caracterısticas apresentadas pelo metodo sao: controle

otimo, robustez, facil implementacao, ponderacoes no estado e controle permitindo

ao projetista um maior sentimento fısico do problema. A principal desvantagem do

142

metodo e o esforco computacional para o caso de sistema variantes no tempo, como

e o caso do satelite equipado com bobinas. Entretanto isso pode ser contornado

estocando-se um ganho previamente calculado que, devido a quase periodicidade

do campo geomagnetico, o ganho e quase periodico, com mostrado nas simulacoes.

Outro importante resultado e que, devido a robustez do metodo ele se mostra efi-

ciente quando aplicado para o sistema nao linear. No metodo LQR e necessario

conhecer todos os estados para a realimentacao, caso nao seja possıvel medir todos

os estados podemos usar um controlador baseado em observador como e o caso do

metodo LQG. Para o metodo LQG implentado para o satelite equipado com ro-

das, considerou-se um modelo com incertezas estocasticas na saıda e na dinamica,

tornando o estudo mais realista. As medidas dos sensores foram corrompidas com

ruıdos de distribuicao gaussiana, a partir dos ajustes do filtro de Kalman obtemos

uma boa estimacao do estado, como pode se ver nos resultados das simulacoes. Ape-

sar da perda de robustez que a insercao do filtro pode causar os resultados mostram

um desempenho proximo do obtido pelo metodo LQR, o que evidencia que a selecao

das ponderacoes do controle sugeridas por Kristiansen (2000) e conveniente.

Os controladores baseados em energia usando realimentacao de atitude e velocidade

angular, para o modo de estabilizacao, mostram-se eficientes, apresentando como

vantagem a simplicidade na implementacao. A lei de controle utilizando apenas

realimentacao de velocidade angular nao garante, para outras condicoes iniciais, a

estabilizacao e o controle em tres eixos de interesse, sendo necessario informacoes da

atitude. Entretanto ainda e uma alternativa que deve ser considerada, para os casos

em que nenhuma informacao da atitude e disponıvel para o sistema de controle. Os

resultados mostram que a lei de controle apresentada e uma boa alternativa para

o sistema de controle com realimentacao de velocidade angular e atitude, obtendo

um desempenho razoavel para o controle em tres eixos. Em ambos os casos o uso

de bobinas apresenta uma opcao atrativa devido ao baixo consumo de energia. Uma

vantagem em relacao a metodologia LQR e que mesmo sob manobras de grandes

angulos, a eficiencia do sistema de controle de atitude na estabilizacao do sistema e

garantida.

Realizou-se o estudo de viabilidade do uso de rodas para manobras de grandes

angulos durante o modo de aquisicao. Para esse modo de operacao as leis de con-

trole empregadas foram: 1) LQR tracking e 2) controle PD. Para o controle PD

foi utilizado a metodologia LQ para o calculo dos ganhos do controlador. As si-

143

mulacoes mostram desempenhos muito proximos dos dois controladores devido ao

uso da metodologia LQ para o controlador PD. O metodo LQR utiliza o estado como

realimentacao e o PD apenas informacoes da atitude, entretanto tem a desvantagem

de necessitar derivar esses sinais. Os resultados mostram que e viavel e factıvel o uso

das rodas especificadas para manobras de aquisicao. E mesmo para as manobras de

grandes angulos os controladores que sao baseados na planta linear apresentam um

bom desempenho.

Finalizando esse trabalho contribuiu para a area de dinamica e controle de atitude

no sentido de que:

• apresenta um estudo de referenciais e parametros mais usados para representar

a atitude;

• apresenta o modelo matematico da dinamica de atitude para veıculos espaciais

contendo rodas de reacao e bobinas magneticas;

• discute e apresenta as tecnicas de controle otimo (LQR, LQR tracking e LQG)

bem como as leis de controle desenvolvindas pelo metodo de energia;

• desenvolve as leis de controle utilizando as tecnicas referidas no ıtem anterior

para aplicacao de dois conceitos de sistemas de controle para satelites estabi-

lizados em tres eixos. Um procedimento que utiliza uma combinacao de rodas

de reacao e bobinas magneticas como atuadores e outro que utiliza somente

bobinas magneticas com atuadores;

• simula em ambiente MATLAB/SIMULINK o controle de satelites estabiliza-

dos em tres eixos, utilizando diferentes leis de controle para as concepcoes de

sistemas de controle;

• disponibiliza um pacote de sofware desenvolvido na plataforma MA-

TLAB/SIMULINK que podera ser utilizado no futuro para o estudo de

dinamica e controle de atitude.

8.1 Sugestoes para Tabalhos Futuros

Referente ao modelo seria propoe-se alem do modelo do torque de gradiente de

gravidade os modelos dos torques de pressao de radiacao, arrasto atmosferico, dipolo

144

residual e o efeito jitter, associado a fontes de perturbacao interna. Outra sugestao

seria a implementacao do metodo LQG para o satelite equipado com bobinas e

a apresentacao rigorosa das provas de estabilidade para os controladores baseados

em energia usando a teoria de Lyapunov. Sugere-se tambem inserir um filtro para

estimacao dos dados dos magnetometros para o projeto do ACS que utiliza bobinas.

Para uma simulacao mais realista sugere-se:

• incluir o modelo da roda de reacao;

• incluir o modelo do magnetometro;

• testes de robustez atraves de Monte Carlo.

145

146

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155

156

APENDICE A

CALCULO DO GRADIENTE DE GRAVIDADE

No desenvolvimento do modelo do torque devido ao gradiente de gravidade

consideram-se as seguintes aproximacoes, validas para satelites em orbita da Terra

em sua maioria.

• somente o campo gravitacional da Terra e considerado;

• a Terra e considerada esferica com distribuicao de massa uniforme;

• as dimensoes do satelite sao pequenas em comparacao com a distancia Terra

- satelite;

• o satelite e um corpo simples .

A partir das aproximacoes 1, 2 e 3 o torque devido ao gradiente de gravidade pode

ser expresso por

τ g = −µ∫

sat

r×R

R3dm (A.1)

onde µ e a constante geo-gravitacional, R e o vetor distancia do centro da Terra

ao elemento de massa dm do satelite e r e o vetor distancia do centro de massa do

satelite ao elemento de massa dm. Tem-se que

R = |Rs + r| (A.2)

onde Rs e o vetor distancia do centro de massa do satelite ao centro de massa da

Terra.

Substituindo a Equacao (A.2) em (A.1), expandindo o termo |Rs + r|−3 em serie

de Taylor e desprezando os termos de ordem igual e superior a dois, O(

|r||Rs|

)2

,

admissıvel com base na aproximacao 4 ( |r||Rs| << 1) obtemos

157

τ g =µ

R5s

∫sat

(Rs · r) (r×Rs) dm (A.3)

Manipulando a Equacao (A.3) como segue (Wie, 1998)

τ g = −3µ

R5s

Rs ×∫

sat

r (r ·Rs) dm (A.4)

= −3µ

R5s

Rs ×∫

sat

rrdm ·Rs (A.5)

Usando a notacao dyadic, pormenorizadas em Hughes (1986) e Wie (1998), o tensor

de inercia pode ser escrito como

J =

∫sat

(r2I− rr

)(A.6)

onde I = xx+ yy+ zz e o dyadic unitario, e x, y e z sao os vetores unitarios/versores

que formam a base do sistema do satelite.

Substituindo (A.6) na Equacao (A.5), temos

τ g = −3µ

R5s

Rs ×[∫

sat

r2I− J

]·Rs (A.7)

= −3µ

R5s

Rs ×∫

sat

r2Idm ·Rs + 3µ

R5s

Rs × J ·Rs (A.8)

de (A.6) e da relacao I ·Rs = Rs obtemos

τ g = 3µ

R5s

Rs × J ·Rs (A.9)

158

O torque devido ao gradiente de gravidade pode ser expresso por

τ g = 3µ

R3s

Rs

Rs

× J · Rs

Rs

(A.10)

= 3µ

R3s

Rs × J · Rs (A.11)

onde Rs e o vetor unitario na direcao Rs. Escrevendo o torque de gradiente de

gravidade no referencial orbital ou VLHL, resulta

τ og = 3

µ

R3s

zo × J · zo (A.12)

onde zo e o vetor intario na direcao nadir/vertical local.

A velocidade orbital media e dada por

ωo =

√µ

R3s

(A.13)

Substituindo na Equacao (A.12) obtemos

τ og = 3ω2

o zo × J · zo (A.14)

Usando a notacao do operador anti-simetrico para o produto vetorial, reescrevemos

a Equacao (A.14)

τ og = 3ω2

oS (zo)J · zo (A.15)

Expressando o vetor unitario zo no referencial do satelite (x, y, z) temos

159

zo = cb3xx + cb3yy + cb3zz (A.16)

onde cb3i, (i = x, y, z) sao os cosenos diretores do vetor initario zo nas direcoes x, y, z.

Desenvolvendo a Equacao (A.15)

τ bg = 3ω2

o

0 −cb3z cb3y

cb3z 0 −cb3x

−cb3y cb3x 0

J

cb3x

cb3y

cb3z

(A.17)

Como os eixos do sistema de referencia do satelite coincide com os eixo principais

de inercia, temos que os produtos de inercia sao zeros, temos que a Equacao (A.17)

resulta

τ bg = 3ω2

o

0 −cb3z cb3y

cb3z 0 −cb3x

−cb3y cb3x 0

c

b3xJx

cb3yJy

cb3zJz

(A.18)

Desenvolvendo a Equacao (A.18) obtemos o modelo do torque de gradiente de gra-

vidade expresso no referencial do satelite

τ bg = 3ω2

o

(Jz − Jy) cb3yc

b3z

(Jx − Jz) cb3xc

b3z

(Jy − Jx) cb3xc

b3y

(A.19)

Podemos escrever o gradiente de gravidade em termos dos angulos de Euler/de

atitude; roll (ψ), pitch (θ) e yaw (φ) como segue

Para a sequencia de rotacao 3− 2− 1 os cosenos diretores cb3 sao dados por (Wertz,

1978)

160

cb3x = − sin θ (A.20)

cb3y = sinφ cosψ (A.21)

cb3z = cosφ cosψ (A.22)

Substituindo na Equacao (A.19) obtemos o modelo do torque de gradiente de gra-

vidade em funcao dos angulos de Euler

τ bg = 3ω2

o

(Jz − Jy) sinφ cosφ cos θ2

(Jx − Jz) cosφ cos θ sin θ

(Jy − Jx) sinφ sin θ cos θ

(A.23)

Usando a Equacao (4.11) do Capıtulo (4), Secao (4.2.2), podemos expressar o gra-

diente de gravidade em funcao dos parametos de Euler/quaternions como

τ bg = 6ω2

o

(Jz − Jy) (ε1η + ε2ε3) (1− 2ε21 − 2ε22)

(Jx − Jz) (ε1ε3 − ε2η) (1− 2ε21 − 2ε22)

2 (Jy − Jx) (ε1ε3 − ε2η) (ε1η + ε2ε3)

(A.24)

Linearizacao da Expressao do Torque de Gradiente de Gravidade

No modo de operacao onde sao realizadas manobras de pequenos angulos, e razoavel

aproximar as equacoes por equacoes lineares, validas em torno de um ponto de

operacao. Considerando θ, φ e ψ menores que ate 15 graus, podemos fazer as se-

guintes aproximacoes sinφ ≡ φ, sin θ ≡ θ, cos θ ≡ 1 e θφ ≡ 0. Fazendo essas

aproximacoes, o modelo do torque de gradiente de gravidade, dado pela Equacao

(A.23) e aproximado por (Wie, 1998, Kaplan, 1976)

τ bg = 3ω2

o

(Jz − Jy)φ

(Jx − Jz) θ

0

(A.25)

161

Em termos dos parametros de Euler o modelo do torque de gradiente de gravidade

pode ser aproximado por

τ bg = 3ω2

o

(Jz − Jy) 2ε1

(Jx − Jz) 2ε2

0

(A.26)

162

APENDICE B

PROPAGACAO DA ORBITA E TRANSFORMACOES

Esse apendice descreve de maneira detalhada a teoria necessaria para o calculo da

propagacao da orbita Kepleriana (modelo de dois corpos). Sao descritas ainda as

transformacoes entre os diferentes referenciais envolvidos e o calculo da longitude,

latitude e altura do ponto sub-satelite. Todas as transformacoes e o calculo da orbita

sao implementados em MATLAB.

Para a propagacao do campo magnetico terrestre (modelo IGRF) e necessario in-

cluir:

• calculo/propagacao da orbita (Kepleriana);

• matriz de transformacao do sistema inercial para o sistema do satelite;

• obtencao da latitude, longitude e a altura do ponto sub-satelite;

A partir desses calculos podemos obter as componentes do campo magnetico terres-

tre, espressas no referencial do satelite.

Nota: O modelo IGRF, disponıvel nas linguagens C e FORTRAN foi con-

vertido para ambiente MATLAB e SIMULINK, usando S-functions. Detalhes

desse procedimento e encotrado na documentacao da mathworks, disponıvel em

www.mathworks.com .

B.1 Calculo da Orbita

B.1.1 Posicionamento de Satelites - Problema Direto

O problemo direto consiste em dados os elementos Keplerianos (a, e, i, ω,Ω,M) de-

terminar a posicao do satelite em coordenadas cartesianas X = [Xi Zi Zi]T (Kuga

e Kondapalli, 1995). Onde X e o vetor posicao no referencial inercial (ECI).

163

Figura B.1- Referenciais (inercial, da orbita) e os elementos Keplerianos (i, ω,Ω).

Pela Figura (B.1) pode-se notar que os elementos Keplerianos que representam os

angulos de Euler sao:

• Ω e a ascensao do nodo ascendente 0o ≤ Ω ≤ 360o;

• i e a inclinacao da orbita em relacao ao equador −90o ≤ i ≤ 90o;

• ω e o argumento do perigeu 0o ≤ ω ≤ 360o.

Esses elementos Keplerianos definem a orientacao da orbita. Os elementos Kepleri-

anos (a, e) definem o tamanho e tipo (elıptica, circular, hiperbolica) da orbita.

Sistema da orbita (OOF): O sistema da orbita definido (Xo, Yo, Zo) e um sistema

de coordenadas com origem no centro de massa da Terra. O eixo Xo aponta na

direcao do perigeu Π, o eixo Zo aponta na direcao normal ao plano da orbita. O eixo

Yo e obtido pela regra da mao direita.

B.1.2 Equacao de Kepler

As coordenadas do satelite em relacao ao sistema da orbita sao dadas por

164

Xo = a (cosu− e) (B.1)

Yo = a√

1− e2 (sinu) (B.2)

Zo = 0 (B.3)

onde a e o semi-eixo maior, u e a anomalia excentrica e e e a excentricidade da

orbita.

A Equacao de Kepler e dada por (Brown, 1998)

M = u− e sinu (B.4)

onde M e a anomalia media dada por

M = n (t− to) (B.5)

n e o movimento medio, que e dado por

n =

√µ

a3(B.6)

e

µ = GM (B.7)

onde G e a constante gravitacional e M a massa do corpo central. Para a Terra

temos µ = 398600.4km3

s2

165

B.1.3 Matriz de Rotacao

Dados os elementos orbitais (i,Ω, ω) temos que a matriz de transformacao/rotacao

que fornece as coordenadas do sistema inercial em funcao das coordenadas do sistema

da orbita e dada por (Kuga e Kondapalli, 1995).

R (i,Ω, ω) = RZo (−Ω)RXo (−i)RZo (−ω) (B.8)

Sendo a relacao/transformacao dos sistemas expressa por

Xi

Yi

Zi

= R (i,Ω, ω)

Xo

Yo

Zo

(B.9)

Temos, para cada sequencia de rotacoes, as matrizes

RZo (−ω) =

cosω − sinω 0

sinω cosω 0

0 0 1

(B.10)

RZo (−Ω) =

cos Ω − sin Ω 0

sin Ω cos Ω 0

0 0 1

(B.11)

RXo (−i) =

1 0 0

0 cos i − sin i

0 sin i cos i

(B.12)

Substituindo na Equacao (B.8) obtemos.

166

R (i,Ω, ω) =

cos Ω cosω − sin Ω cos i sinω − cos Ω sinω − sin Ω cos i cosω sin Ω sin i

sin Ω cosω + cos Ω cos i sinω − sin Ω sinω + cos Ω cos i cosω − cos Ω sin i

sin i sinω sin i cosω cos i

(B.13)

Portanto, de (B.1), (B.2), (B.3) e (B.13) em (B.9), obtemos as coordendas do satelite

no sistema inercial.

Xi

Yi

Zi

=

(cos Ω cosω − sin Ω cos i sinω)Xo − (cos Ω sinω − sin Ω cos i cosω)Yo

(sin Ω cosω + cos Ω cos i sinω)Xo − (sin Ω sinω + cos Ω cos i cosω)Yo

sin i sinωXo + sin i cosωYo

(B.14)

Orbita Circular

Para uma orbita circular temos que:

a = R⊗ + h (B.15)

e ∼= 0 (B.16)

ω = 0 (B.17)

Note que a referencia para o inıcio do calculo da orbita circular e tomado sobre o

nodo. R⊗ e o raio medio da Terra e h a altitude do satelite. Da Equacao de Kepler

(B.4) resulta.

M = u = f (B.18)

logo de (B.5) temos

167

u = n (t− to) (B.19)

onde n = ωo = velocidade orbital constante.

As equacoes (B.1), (B.2) e (B.3) se reduzem a

Xo = a cosu (B.20)

Yo = a sinu (B.21)

Zo = 0 (B.22)

e a matriz de transformacao (B.13) se reduz a

R (i,Ω, ω) =

cos Ω − sin Ω cos i sin Ω sin i

sin Ω cos Ω cos i − cos Ω sin i

0 sin i cos i

(B.23)

Substituindo na Equacao (B.9), obtemos as coordenadas dos satelite no sistema

inercial para o caso de uma orbita circular.

Xi

Yi

Zi

=

a cos Ω cos u− a sin Ω cos i sinu

a sin Ω cos u+ a cos Ω cos i sinu

a sin i sinu

(B.24)

A Tabela (B.1) apresenta o programa em MATLAB para a propagacao da orbita

circular.

168

Tabela B.1- Programa MATLAB para o calculo da orbita circular.

function [X] = SimOrbitaECI(par)

% by Gilberto Arantes 2004 INPE

%

% [X] = SimOrbitaECI(par) Propaga uma orbita circular

%

% Calculo da posicao do satelite no referencial ECI

%

% Input

% par = [ h i asc nodo u]

% h = altura do satelite (km)

% i = inclinacao da orbita (graus)

% asc nodo = ascensao do nodo ascendente (graus)

% u = anomalia excentrica (rad)

%

% Output

% X = vetor posicao no referencial inercial (km)

%

h = par(1);

i = par(2);

asc nodo = par(3);

u = par(4);

r = 6378 + h; % a = distancia do centro da Terra ao satelite em km

% Calculo da matriz de tranformacao do sistema orbital para o inercial (ref.: Kuga, 1995)

fator = pi/180;

a = 0; % Orbita circular: argumento do perigeu e zero

b = fator*i;

c = fator*asc nodo;

R = [(cos(c)*cos(a)-sin(c)*cos(b)*sin(a)) (-cos(c)*sin(a)-sin(c)*cos(b)*cos(a)) (sin(c)*sin(b))

(sin(c)*cos(a)+cos(c)*cos(b)*sin(a)) (-sin(c)*sin(a)+cos(c)*cos(b)*cos(a)) (-cos(c)*sin(b))

sin(b)*sin(a) sin(b)*cos(a) cos(b) ];

% Posicao no referencial orbital

xo = r*cos(u);

yo = r*sin(u);

zo = 0;

Xo=[xo;yo;zo]; % Coordenadas no Sistema da Orbita

% Posicao no referencial inercial ECI

X = R*Xo; % X = X [X Y Z]’

% end

B.2 Matriz de Rotacao do Sistema Inercial - Sistema do Satelite

O calculo da matriz de transformacao do sistema inercial ECI (definido em 4.1.1)

para o sistema do satelite e mostrado nessa Secao. As etapas do procedimento para

o calculo da matriz de transformacao sao:

• obtemos a matriz de transformacao do referencial inercial (ECI) para o pseudo

169

orbital (POF) (RPOFECI );

• obtemos a matriz de transformacao do referencial pseudo orbital (POF) para

o orbital (OF)(ROFPOF );

• obtemos a matriz de transformacao do referencial orbital (OF) para o sistema

do satelite (BF) (RBFOF ).

Obtida cada uma das matrizes de rotacao, temos que a matriz de transformacao do

sistema inercial para o sistema do satelite sera dada por

RBFECI = RBF

OF ROFPOFRPOF

ECI (B.25)

B.2.1 Matriz RPOFECI

Referencial pseudo orbital: O referencial pseudo orbital (POF) definido por(X

′o, Y

′o , Z

′o

)e um sistema de coordenadas com origem no centro da Terra. O eixo

X′o aponta na direcao do centro de massa do satelite, o eixo Z

′o aponta na direcao

normal a plano da orbita. O eixo Y′o e obtido pela regra da mao direita (Ulrich,

2004). Note que o referencial pseudo orbital e um referencial girante, assim como o

referencial orbital, definido em 4.1.2. A Figura (B.2) ilustra o referido referencial.

Figura B.2- Referencial inercial (ECI) e pseudo orbital (POF).

170

A partir da Figura (B.2) podemos ver que a sequencia de rotacoes que leva o sistema

inercial para o sistema pseudo orbital e dada por RZi(u)← RXi

(i)← RZi(Ω), ou

seja, primeira rotacao de um angulo Ω em torno do eixo Zi, segunda rotacao de um

angulo i em torno do eixo Xi e terceira rotacao de um angulo u em torno do eixo

Zi, essa sequencia e valida para uma orbita circular.

Temos para cada sequencia de rotacao

RZi(u) =

cosu sinu 0

− sinu cosu 0

0 0 1

(B.26)

RZi(Ω) =

cos Ω sin Ω 0

− sin Ω cos Ω 0

0 0 1

(B.27)

RXi(i) =

1 0 0

0 cos i sin i

0 − sin i cos i

(B.28)

Temos que a matriz de transformacao e dada por

R (i,Ω, u) = RZi(u)RXi

(i)RZi(Ω) (B.29)

onde

X′o

Y′o

Z′o

= R (i,Ω, u)

Xi

Yi

Zi

(B.30)

Substituindo a Equacao (B.26), (B.27) e (B.28) em (B.29), obtemos a matriz de

171

rotacao que leva o sistema inercial (ECI) para o sistema pseudo orbital (POF)

RPOFECI =

cosu cos Ω− cos i sinu sin Ω cos Ω cos i sinu+ cosu cos Ω sin i sinu

− cos Ω sinu− cos i cosu cos Ω cos Ω cos i cosu− sinu sin Ω sin i cosu

sin i sin Ω − cos Ω sin i cos i

(B.31)

B.2.2 Matriz ROFPOF

O referencial orbital foi definido em (4.1.2), a Figura (B.3) ilustra a orientacao do

referencial orbital em relacao ao referencial pseudo orbital, note que o referencial

pseudo orbital e representado no centro de massa do satelite.

Figura B.3- Orientacao do referencial orbital (OF) e do referencial pseudo orbital(POF).

A sequencia de rotacoes que descreve o referencial pseudo orbital em relacao ao

referencial orbital e RX′o(−90o)← RZ′

o(90o), onde

RZ′o(90o) =

0 1 0

−1 0 0

0 0 1

(B.32)

172

RX′o(−90o) =

1 0 0

0 0 −1

0 1 0

(B.33)

Temos que a matriz de transformacao e dada por

ROFPOF = RX′

o(−90o)RZ′

o(90o) (B.34)

onde

xo

yo

zo

= ROFPOF

X′o

Y′o

Z′o

(B.35)

Substituindo as equacoes (B.32) e (B.33) em (B.34), obtemos a matriz de trans-

formacao do referencial pseudo orbital para o referencial orbital

ROFPOF =

0 1 0

0 0 −1

−1 0 0

(B.36)

B.2.3 Matriz RBFOF

A matriz de rotacao do sistema orbital para o sistema do corpo e obtida a partir

dos angulos de atitude ou angulos de Euler. A sequencia de rotacoes escolhida foi

3− 2− 1, cuja matriz de atitude e dada por (Wertz, 1978)

173

RBFOF =

cos θ cosψ cos θ sinψ − sin θ

− cosφ sinψ + sinφ sin θ cosψ cosψ cosφ+ sinψ sin θ sinφ sinφ cos θ

sinψ sinφ+ cosφ sin θ cosψ − sinφ cosψ + cosφ sin θ sinψ cosφ cos θ

(B.37)

Matriz RBFECI

Substituindo as equacoes (B.31), (B.36) e (B.37) na Equacao (B.25), e com o auxılio

do manipulador simbolico do programa MATHEMATICA, obtemos finalmente a

matriz de transformacao do sitema inercial para o sistema do satelite.

RBFECI =

c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33

(B.38)

com

c11 = −cθsisψsΩ− cθcψ (cΩsu− cicusΩ)− sθ (cisusΩ− cucΩ)

c12 = cθsisψcΩ + cθcψ (−sΩsu− cicucΩ)− sθ (−cisucΩ− cusΩ)

c13 = cucθsψsi+ sisusθ − cicθsψ(B.39)

que sao os cosenos diretores de Xi em relacao aos eixos do satelite (x, y, z)

c21 = −sisΩ (cφ+ sθsφsψ) + (cψsθsφ− cφsψ) (−cΩsu− cicusΩ) + cθsφ (−cucΩ + cisusΩ)

c22 = sicΩ (cφ+ sθsφsψ) + (cψsθsφ− cφsψ) (−sΩsu+ cicucΩ) + cθsφ (−cusΩ− cisucΩ)

c23 = −cθsisusφ+ cusi (cψsθsφ− cφsψ)− ci (cφcψ + sθsφsψ)

(B.40)

que sao os cosenos diretores de Yi em relacao aos eixos do satelite (x, y, z)

174

c31 = −sisΩ (−cψsφ+ cφsθsψ) + (cφcψsθ + sφsψ) (−cΩsu− cicusΩ) + cθcφ (cisusΩ− cucΩ)

c22 = sicΩ (−cψsφ+ cφsθsψ) + (cφcψsθ + sφsψ) (−sΩsu+ cicucΩ) + cθcφ (−cisucΩ− cusΩ)

c23 = −cθcφsisu− ci (cφsθsψ − cψsφ) + cusi (cφcψsθ + sφsψ)

(B.41)

que sao os cosenos diretores de Zi em relacao aos eixos do satelite (x, y, z)

A matriz RBFECI e usada para expressar o vetor campo magnetico, fornecido em

coordenadas inerciais, no sistema do satelite.

As Tabelas (B.2),(B.3) e (B.4) apresentam o programa em MATLAB para o calculo

da matriz RBFECI .

B.3 Calculo da Latitude, Longitude e Altura

Para o calculo da latitude, longitude e altura, primeiro expressamos a posicao do

satelite no referencial cartesiano geocentrico.

Referencial cartesiano terrestre ou geocentrico: (FG) (Xg, Yg, Zg) e um sis-

tema de coordenadas com origem no centro de massa da Terra. O eixo Xo aponta

na direcao do meridiano de Greenwich, o eixo Zo aponta na direcao normal ao plano

do equador. O eixo Yo e obtido pela regra da mao direita. A Figura (B.4) ilustra o

referencial inercial e o referencial cartesiano geocentrico (Kuga e Kondapalli, 1995).

Na Figura (B.4) θg e o tempo sideral de Greeenwich. O calculo do tempo sideral

de Greenwich e mostrado em Escobal (1965). A matriz de transformacao do sistema

inercial para o sistema cartesiano geocentrico e dada por (Pilchowski e Ferreira,

1981)

RFGECI (θg) =

cos θ sin θ 0

− sin θ cos θ 0

0 0 1

(B.42)

175

Tabela B.2- Programa MATLAB para o calculo de c1i, (i = 1, 2, 3) da matriz RBFECI .

function [R1] = ECI2BF X(par)


%

% [R1] = ECI2BF X(par) Cosenos diretores X.x X.y X.z

%

% Calculo dos cosenos diretores

%

% Input

% par = [orb atitude]

%

% atitude [phi teta psi] = angulos de atitude (rad)

% orb = [u i asc nodo] = elementos orbitais/Keplerianos (rad, graus, graus]

%

% Output

% R1 = [r11,r21,r31]

% r11 = cos(X.x)

% r21 = cos(X.y)

% r31 = cos(X.z)

orb(1) = par(1); %u

orb(2) = par(2); %i

orb(3) = par(3); %asc nodo

%

f = pi/180; %graus->radianos

at(1) = par(4); %rad phi

at(2) = par(5); %rad teta

at(3) = par(6); %rad psi

%


%

% cos(X.x)

r11 = -cos(at(2))*sin(orb(2)*f)*sin(at(3))*sin(orb(3)*f)+...

cos(at(2))*cos(at(3))*(-cos(orb(3)*f)*sin(orb(1))-cos(orb(2)*f)*cos(orb(1))*sin(orb(3)*f))-...

sin(at(2))*(-cos(orb(1))*cos(orb(3)*f)+cos(orb(2)*f)*sin(orb(1))*sin(orb(3)*f));

% cos(X.y)

r21 = cos(at(2))*sin(orb(2)*f)*sin(at(3))*cos(orb(3)*f)+...

cos(at(2))*cos(at(3))*(-sin(orb(3)*f)*sin(orb(1))+cos(orb(2)*f)*cos(orb(1))*cos(orb(3)*f)-...

sin(at(2))*(-cos(orb(1))*sin(orb(3)*f)-cos(orb(2)*f)*sin(orb(1))*cos(orb(3)*f));

% cos(X.z)

r31 = cos(at(2))*sin(orb(2)*f)*cos(at(3))*cos(orb(1))+...

sin(orb(2)*f)*sin(orb(1))*sin(at(2))-cos(orb(2)*f)*cos(at(2))*sin(at(3));

%

R1 = [r11 r21 r31];

%

% end

Obtido as coordenadas do satelite no referencial cartesiano geocentrico podemos

obter a latitude φ a longitude λ e a altura h do satelite, como segue.

176


function [R2] = ECI2BF Y(par)


%

% [R2] = ECI2BF Y(par) Cosenos diretores Y.x Y.y Y.z

%


%

% Input



% obr = [u i asc nodo] = elementos orbitais/Keplerianos (rad, graus, graus]

%

% Output

% R1 = [r12,r22,r32]

% r12 = cos(Y.x)

% r22 = cos(Y.y)

% r32 = cos(Y.z)

%


u = par(1); % rad

i = par(2); % graus

nodo = par(3); % graus

%

phi = par(4); %rad phi

teta = par(5); %rad teta

psi = par(6); %rad psi

%


%

% cos(Y.x)

r12 = -sin(i*f)*sin(nodo*f)*(cos(phi)*cos(psi)+sin(teta)*sin(phi)*sin(psi))...

+(cos(psi)*sin(teta)*sin(phi)-cos(phi)*sin(psi))*(-cos(nodo*f)*sin(u)-cos(i*f)*cos(u)*sin(nodo*f))+...

cos(teta)*sin(phi)*(-cos(u)*cos(nodo*f)+cos(i*f)*sin(u)*sin(nodo*f));

% cos(Y.y)

r22 = cos(nodo*f)*sin(i*f)*(cos(phi)*cos(psi)+sin(teta)*sin(phi)*sin(psi))+...

cos(teta)*sin(phi)*(-cos(u)*sin(nodo*f)-cos(i*f)*sin(u)*cos(nodo*f))+...

(cos(psi)*sin(teta)*sin(phi)-cos(phi)*sin(psi))*(-sin(nodo*f)*sin(i*f)+...

cos(i*f)*cos(u)*cos(nodo*f));

% cos(Y.z)

r32 = -cos(teta)*sin(i*f)*sin(u)*sin(phi)+...

cos(u)*sin(i*f)*(cos(psi)*sin(teta)*sin(phi)-cos(phi)*sin(psi))-...

cos(i*f)*(cos(phi)*cos(psi)+sin(teta)*sin(phi)*sin(psi));

%

R2 = [r12 r22 r32];

%

% end

Observando a Figura (B.5), temos que

177


function [R3] = ECI2BF Z(par)


%

% [R3] = ECI2BF Z(par) Cosenos diretores Z.x Z.y Z.z

%


%

% Input



% obr = [u i asc nodo] = elementos orbitais/Keplerianos (rad, graus, graus]

%

% Output

% R3 = [r13,r23,r33]

% r13 = cos(Z.x)

% r23 = cos(Z.y)

% r33 = cos(Z.z)

%


u = par(1); % rad

i = par(2); %rad

nodo = par(3); %rad

%

phi = par(4); %rad phi

teta = par(5); %rad teta

psi = par(6); %rad psi

%


%

% cos(Z.x)

r13 = -sin(i*f)*sin(nodo*f)*(-sin(phi)*cos(psi)+sin(teta)*cos(phi)*sin(psi))+...

(cos(psi)*sin(teta)*cos(phi)+sin(phi)*sin(psi))*(-cos(nodo*f)*sin(u)-cos(i*f)*cos(u)*sin(nodo*f))+...

cos(teta)*cos(phi)*(-cos(u)*cos(nodo*f)+cos(i*f)*sin(u)*sin(nodo*f));

% cos(Z.y)

r23 = cos(nodo*f)*sin(i*f)*(-sin(phi)*cos(psi)+sin(teta)*cos(phi)*sin(psi))+...

cos(teta)*cos(phi)*(-cos(u)*sin(nodo*f)-cos(i*f)*sin(u)*cos(nodo*f))+...

(cos(psi)*sin(teta)*cos(phi)+sin(phi)*sin(psi))*(-sin(nodo*f)*sin(u)+cos(i*f)*cos(u)*cos(nodo*f));

% cos(Z.z)

r33 = -cos(teta)*sin(i*f)*sin(u)*cos(phi)+...

cos(u)*sin(i*f)*(cos(psi)*sin(teta)*cos(phi)+sin(phi)*sin(psi))-...

cos(i*f)*(-sin(phi)*cos(psi)+sin(teta)*cos(phi)*sin(psi));

%

R3 = [r13 r23 r33];

%

% end

Xg

Yg

Zg

= (R⊗ + h)

cosφ cosλ

cosφ sinλ

sinφ

(B.43)

178

Figura B.4- Referencial inercial e cartesiano geocentrico.

Figura B.5- Longitude (λ), latitude (φ) e altura (h) do satelite.

Logo, a longitude sera dada por:

λ = arctan

(Yg

Xg

)onde 0 ≤ λ ≤ 2π (B.44)

A latitude sera dada por:

φ = arcsin

(Zg

R⊗ + h

)onde − π

2≤ φ ≤ π

2(B.45)

179

e a altura dada por:

h =√X2

g + Y 2g + Z2

g −R⊗ (B.46)

A Tabela (B.5) apresenta o programa em MATLAB para o calculo da longitude,

latitude do ponto sub-satelite e altura do satelite.

180

Tabela B.5- Programa MATLAB para o calculo da longitude, latitude do ponto sub-satelite e altura do satelite.

function [LLA] = ECI2LLA(par)


%

% [LLA] = ECI2LAA(par) para uma orbita circular

%

% Calculo da latitude, longitude do ponto sub-satelite e altitude do satelite

%

% Input

% par = [ teta g X ]

% teta g = Tempo sideral em graus

% X = [X Y Z] coordenadas no referencial inercial em km

%

% Output

% LLA = [latitude longitude altitude]

% latitude em rad

% Longitude em rad

% altitude em km

%

teta g = par(1);

X(1) = par(2)*1000; % transformando para metros

X(2) = par(3)*1000;

X(3) = par(4)*1000;

%

Raio t = 6378000; % R = Raio da Terra em m

%

% Calculo da matriz de tranformacao do sistema inercial para o terresrte (ref.: Silva, 1981)

%

fator = pi/180;

a = teta g*fator;

%

R = [ cos(a) sin(a) 0

-sin(a) cos(a) 0

0 0 1];

% Posicao no referencial terrestre

x g = R*transpose(X); % x g = [x g y g z g]’

% Calculo da altura

h = ((sqrt( x g(1)2 + x g(2)2 + x g(3)2 ) - Raio t))/1000;

% Calculo da latitude

lat = asin(x g(3)/(Raio t+h)); % Sul (-) Norte (+)

% Calculo da longitude

long = atan2(x g(2),x g(1)); % Leste (+) Oeste (-)

% conversao da saida (0 <= long <= 360)

if sign(long) < 0;

long = 2*pi+long;

else sign(long) >= 0;

long = long;

end

%

LLA = [lat long h];

%

% end

181

182

APENDICE C

IMPLEMENTACAO EM SIMULINK

Os modelos apresentados no Capıtulo (5) e as leis de controle apresentadas no

Capıtulo (6) foram implementedas em SIMULINK. O sistema foi dividido nos blocos

de: 1) dinamica que contem o modo completo do satelite equipado com bobinas

e rodas; 2) ambiente que contem o modelo do gradiente de gravidade e do campo

magnetico; 3) orbita com o calculo da orbita (modelo kepleriano) do satelite e 3)

com os controladores avaliados para os tres modos de operacao. A implentacao e

feita para os tres modos de operacao:

• Detumble;

• Estabilizacao;

• aquisicao.

A Figura (C.1) mostra a implemtacao em SIMLINK do modo de detumble . A

Figura (C.2) mostra o controlador usado para o detumbling.

Figura C.1- Implemetacao em SIMULINK do Modo de detumble.

183

Figura C.2- Lei de controle Bdot.

A Figura (C.3) mostra o modo de estabilizacao, para o procedimento de controle

caracterizado por bobinas, os diferentes controladores, LQR e baseados em energia,

que sao implentados usando-se multiport switches, Figura (C.4), o que torna facil

selecionar a lei de controle para o modo de estabilizacao.

Figura C.3- Implementacao em SIMULINK do modo de estabilizacao: sateliteequipado com bobinas.

As Figuras (C.5) e (C.6) mostram o modo de estabilizacao, com comtrole via rodas

de reacao. A primeira utilizando o metodo LQR e a segunda utilizando o metodo

LQG. Sao mostrados o modelo linear e o completo (nao linear) da dinamica, para

efeito de comparacao dos resultados relativos a aplicacao das leis de controle para

ambos os modelos.

184

Figura C.4- Controle LQR e controladores baseados em energia.

Figura C.5- Modo de estabilizacao: satelite equipado com rodas, usando o metodoLQR.

185

Figura C.6- Modo de estabilizacao: satelite equipado com rodas, usando o metodoLQG.

A Figura (C.7) mostra o sistema de controle para o modo de aquisicao utilizando-

se um controlador PD. A Figura (C.8) mostra a lei de controle do metodo LQR

tracking implementada para a fase de aquisicao.

Figura C.7- Modo de aquisicao usando o controlador PD.

186

Figura C.8- Lei de controle LQR tracking.

Figura C.9- Lei de controle PD.

As Figuras (C.10) e (C.11) mostram a implementacao em SIMULINK dos modelos:

satelite equipado com bobinas e satelite equipado com rodas, respectivamente.

Figura C.10- Modelo dinamico do satelite equipado com bobinas.

A Figura (C.12) mostra o modelo das rodas de reacao. Note que as saturacoes sao

incluıdas. A Figura (C.13) mostra o modelo das bobinas magneticas.

187

Figura C.11- Modelo dinamico do satelite equipado com rodas.

Figura C.12- Modelo das rodas.

A Figura (C.14) mostra o modelo do gradiente de gravidade e a Figura (C.15) mostra

o modelo do campo magnetico.

As Figuras (C.16), (C.17) e C.18) mostram a implemetacao da propagacao da orbita,

do calculo da latitude e longitude do ponto sub-satelite e das transformacoes dos

referenciais envolvidos, respectivamente. Note que a implemtentacao para orbita e as

transformacoes utilizam os arquivos mostrados em MATLAB mostrados na Secao

(B).

188

Figura C.13- Modelo das bobinas.

Figura C.14- Modelo do torque de gradiente de gravidade.

189

Figura C.15- Modelo do campo magnetico.

Figura C.16- Propagacao da orbita.

190

Figura C.17- Calculo da latitude, longitude e altura.

Figura C.18- Matriz de transformacao entre os sistemas de referencia ECI e BF.

191

192

APENDICE D

PROGRAMAS EM MATLAB

A seguir sao apresentados os arquivos de inicializacao com o projeto LQR para os

modelos do satelite equipado com rodas e bobinas e o projeto LQG.

D.1 Projeto LQR

As Tabelas (D.1) e (D.3) mostram os programas em MATLAB para o projeto LQR

dos dois modelos analisados.

D.2 Projeto LQG

A Tabela (D.4) mostra o programa em MATLAB para o projeto LQG, usado no

modelo do satelite equipado com rodas.

193

Tabela D.1- Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo satelite equipado com rodas.

% Por Gilberto Arantes @INPE 2003

%

% Gera as matrizes para o projeto do sistema de controle LQR e LQR rastreio

% Calculo da equacao matricial de Ricatti e implementacao do LQR

% Matrizes A, B, C e D do sistema: satelite equipado com rodas

% d/dt(x) = Ax + Bu

% y = Cx +du

% Inicializacao clc

clear all

close all

%

deg2rad = pi/180;

rad2deg = 180/pi;

mi=3.986e14; % moviemnto medio em (m)

r=(6378+750)1000; % raio da orbita circular em (m)

n=sqrt(mir3)); % movimento orbital medio em (rad/s)

H o = n*0.01; % Momento angular nominal kgm2/s

% Momentos e produtos de inercia (14/10/2003 de Sebastiao)

% Ixx = 13.31 kg.m2 Ixy = 0.37 kg.m2

% Iyy = 14.22 kg.m2 Ixz = 0.39 kg.m2

% Izz = 11.2 kg.m2 Iyz = -0.22 kg.m2

I = [13.31 0.37 0.39

0.37 14.22 -0.22

0.39 -0.22 11.2];

% Momentos principais de inercia

[v, e] = eig(I);

I1 = e(1,1); I2 = e(2,2); I3 = e(3,3);

% inercia da roda

Iw = 12/(45000*(pi/180)) ;

hs = 12; %saturacao

ws = 7500*6 ;%7500rpm*6graus/s

a2rpm = 1/6;

%---------------------------------------------------------------------

% Dinamica linearizada: satelite + rodas

%----------------------------------------------------------------------

% Matriz A

A =[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;...

(-4*n2*(I2-I3)-n*H o)/I1 0 0 0 0 (n*(-I2+I3+I1)-H o)/I1;...

0 3*n2*(-I1+I3)/I2 0 0 0 0;...

0 0 (n2*(-I2+I1)-n*H o)/I3 (-n*(I1-I2+I3)+H o)/I3 0 0];

% Matriz B

B=[0 0 0

0 0 0

0 0 0

-1/I1 0 0

0 -1/I2 0

0 0 -1/I3];

%Matriz C e D

C=eye(6);

D=zeros(6,3);

194

Tabela D.2- Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo satelite equipado com rodas (cont.).

% Calculo da matriz de controlabilidade

co = ctrb(A,B);

posto co = rank(co);

posto A = rank(A);

%-------------------------------------------------

% Lei LQ Regulador

%------------------------------------------------

% Matrizes R e Q (ganho) ref. Overby, 2004

rc = 1/((5e-3)(2)); % u = 5mNm

qc1 = 1/((10*(pi/180))(2)); % x = 10 graus

qc2 = 1/((1*(pi/180))(2)); % xdot = 1 grau/s

Rc = rc*diag([1,1,1]); %peso do controle

Qc = diag([qc1,qc1,qc1,qc2,qc2,qc2]); %peso do estado

% Matriz Kc: ganho do controlador

[Kc, S, E] = LQR(A, B, Qc, Rc);

%-----------------------------------------------

% Tracking r(t)

%-----------------------------------------------

% u = Kc*x + v

% v = -inv(R)B’s

% ds/dt = -[A’-K*B*inv(R)*B’]s + Q*r(t)

% r(t) vector reference

At = - [A’-S*B*inv(Rc)*B’];

Bt = Qc;

Ct = C;

Dt = zeros(size(A));

% simulink

run(’SimLQEquarsRodasSat’)

% end

195

Tabela D.3- Programa MATLAB para o projeto LQR do modelo satelite equipado com bobinas.

% Por Gilberto Arantes INPE 2004

%

% sintaxe [K] = LQcontrolNcube(B)

% Output

% K = control matrix gain

% Input

% B = magnetic field

% ------------------------------

% LQ Initialization

%-------------------------------

function [K] = LQcontrolNcube(B)

% Initial Values

Ix = 18.941;

Iy = 21.726;

Iz = 16.983;

n = 1.083e-3;

kx = (Iy - Iz)/Ix;

ky = (Ix - Iz)/Iy;

kz = (Iy - Ix)/Iz;

% The Goeomagnetic field

Bx o = B(1);

By o = B(2);

Bz o = B(3);

A = [ 0 0 0 1 0 0;

0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 0 1;

-4*kx*n2 0 0 0 0 (1-kx)*n;

0 -3*ky*n2 0 0 0 0;

0 0 -kz*n2 -(1-kz)*n2 0 0];

% The input matrix for the linearied system

B = [zeros(3,3);

0 Bz o/(2*Ix) -By o/(2*Ix);

-Bz o/(2*Iy) 0 Bx o/(2*Iy);

By o/(2*Iz) -Bx o/(2*Iz) 0];

% LQ weighting matrices

Q = diag([1 1 1 0 0 0])*inv(10*pi/180)2;

P = diag([1 1 1])*inv(.1)2;

K = -lqr(A,B,Q,P);

% Coil Parameters

Nx = 100; Ny = 100; Nz = 100; % nunber of coil windings

Ax = 0.075; Ay = 0.075; Az = 0.075; % coil area [m2]

Rx = 20; Ry = 20; Rz = 20; % Coil resistance [Ohm]

M = Nx*Ax;

%end

196

Tabela D.4- Programa MATLAB para o projeto LQG do modelo satelite equipado com rodas.

% Por Gilberto Arantes @INPE 2003

%

% Gera as matrizes para o projeto do sistema de controle LQG

% Calculo da equacao matricial de Ricatti e implementacao do LQG

% Matrizes A, B, C e D do sistema d/dt(x) = Ax + Bu

% y = Cx +du

% Inicializacao

clc

clear all

close all

deg2rad = pi/180;

rad2deg = 180/pi;

mi=3.986e14; % moviemnto medio em (m)

r=(6378+750)*1000; % raio da orbita circular em (m)

n=sqrt(mi/(r3)); % movimento orbital medio em (rad/s)

H o = n*0.01; % Momento angular nominal kgm2/s

% Momentos e produtos de inercia (14/10/2003 de Sebastiao)

% Ixx = 13.31 kg.m2 Ixy = 0.37 kg.m2

% Iyy = 14.22 kg.m2 Ixz = 0.39 kg.m2

% Izz = 11.2 kg.m2 Iyz = -0.22 kg.m2

I = [13.31 0.37 0.39

0.37 14.22 -0.22

0.39 -0.22 11.2];

% Momentos principais de inercia

[v,e] = eig(I);

I1 = e(1,1); I2 = e(2,2); I3 = e(3,3);

% inercia da roda

Iw = 12/(45000*(pi/180)) ;

hs = 12; %saturacao

ws = 7500*6 ;%7500rpm*6graus/s

a2rpm = 1/6;

%--------------------------------------------------------

% Dinamica linearizada: satelite + rodas

%--------------------------------------------------------

% matriz A

A = [0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;...

(-4*n2*(I2-I3)-n*H o)/I1 0 0 0 0 (n*(-I2+I3+I1)-H o)/I1;...

0 3*n2*(-I1+I3)/I2 0 0 0 0;...

0 0 (n2*(-I2+I1)-n*H o)/I3 (-n*(I1-I2+I3)+H o)/I3 0 0];

% Matriz B

B=[0 0 0

0 0 0

0 0 0

-1/I1 0 0

0 -1/I2 0

0 0 -1/I3];

%Matriz C e D

C=eye(6);

D=zeros(6,3);

197

Tabela D.5- Programa MATLAB para o projeto LQG do modelo satelite equipado com rodas (cont.).

% Calculo da matriz de controlabilidade

co = ctrb(A,B);

posto co = rank(co);

posto A = rank(A);

%---------------------------------------------------

% Lei LQ Regulador

%---------------------------------------------------

Matria R e Q (ganho)

rc = 1/((5e-3)(2)); % u = 5mNm

qc1 = 1/((10*(pi/180))(2)); % x = 10 graus

qc2 = 1/((1*(pi/180))(2)); % xdot = 1 grau/s

Rc = rc*diag([1,1,1]); %peso do controle

Qc = diag([qc1,qc1,qc1,qc2,qc2,qc2]); %peso do estado

% Matriz Kc: ganho do controlador

[Kc,S,E] = LQR(A,B,Qc,Rc);

%---------------------------------------------------

% Tracking r(t)

%---------------------------------------------------

% u = Kc*x + v

% v = -inv(R)B’s

% ds/dt = -[A’-K*B*inv(R)*B’]s + Q*r(t)

% r(t) vector reference

At = - [A’-S*B*inv(Rc)*B’];

Bt = Qc;

Ct = C;

Dt =zeros(size(A));

%--------------------------------------------------

%---------------------------------------------------

% Implementation Kalman filter

% dynamic d/dt(x) = Ax + Bu + Gw

% y = Cx + du + v

% state estimation

% d/dt(xe) = Axe + Bu + Kf(delta - Cxe - Du) delta = yn-ym

% d/dt(xe) = Axe + B(-kcxe) + Kf(delta - Cxe - Du)

% covariance noise sensor: Evv’ = Rk

% covariance noise dynamic Eww’ = Qk

G = eye(6,6);

sigma angle = (0.5*deg2rad)2; % desvio padrao dos sensor de orientacao

sigma rate = (0.05*deg2rad)2; % desvio padrao dos giros

Qk = eye(6)*(15*deg2rad)2; % angle +/-(0.5 graus )

Rk = [eye(3)*sigma angle zeros(3); zeros(3) eye(3)*sigma rate];

[Kf,P,E2] = lqe(A,G,C,Qk,Rk);

% Structure of compensator

% Ac = A - B*Kc - Kf*C;

% Bc = Kf;

% Simulink

run(’SimLQGEquarsRodas’)

%end

198

APENDICE E

TOOLBOX ATITUDE

Durante o desenvolvimento do trabalho foi desenvolvido um toolbox para atitude,

no ambiente MATLAB e SIMULINK, constituindo uma importante contribuicao

desse trabalho. Esse apendice tem por objetivo divulgar o uso do toolbox, apresen-

tando alguns exemplos. A versao final do toolbox sera disponibilizado para uso do

INPE e instituicoes interessadas em pesquisas envolvendo dinamica e controle de

atitude. A documetacao do toolbox, estara disponıvel na bibiloteca do INPE.

O toolbox e divido nos blocos:

• Equacoes do movimento: Cinematica e dinamica

• Orbita

• Ambiente

• Controle

• Visualizacao

O bloco Equacoes do movimento contem as equacoes da cinematica em diferentes

representacoes: angulos de Euler e quaternions. O modelo dinamico da atitude (corpo

rıgido) e o modelo dinamico do gyrostat (extensao das equacoes do corpo rıgido

envolvendo movimento interno de rodas).

O bloco Orbita contem modelo de orbita Kepleriana, calculo da latitude e longitude

sub-satelite e altura do veıculo e transformacoes entre os referenciais envolvidos no

estudo de atitude e orbita.

O bloco Ambiente contem o modelo do torque de gradiente de gravidade, modelo

do campo magnetico IGRF, e modelo do torque devido ao momento dipolo residual

do satelite.

O bloco Controle contem os controladores desenvolvidos nesse trabalho: LQR, LQR

tracking, LQG, PID e controladores baseados em energia (Energy based control).

199

O bloco Visualizacao contem a visualizacao/animacao da atitude do veıculo.

E.1 Exemplos

E.1.1 Equacoes do Movimento

A Figura (E.1) mostra um dos blocos que fazem parte do bloco equacoes do mo-

vimento, o bloco mostrado integra as equacoes do movimento de um corpo rıgido

contendo rodas (gyrostat), modelo completo, nao linear. No ambiente SIMULINK

existem varios integradores disponıveis de passo fixo e/ou variavel. A janela mostra

os parametros de entrada.

(a) Modelo do Gyrostat (b) Parametros de entrada

Figura E.1- Bloco Gyrostat.

E.1.2 Ambiente

O bloco mostrado na Figura (E.2) calcula o modelo completo, nao linear, do torque

de gradiente de gravidade. A janela mostra os parametros de entrada.

200

(a) Modelo do gradientede gravidade

(b) Parametros de entrada

Figura E.2- Bloco gradiente de gravidade.

201

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