Estudo de estabilidade - Sistemas Lineares

EA932 - Prof. Von ZubenDCA/FEEC/Unicamp

Tpico 5 Estudo de Estabilidade em Sistemas No-Lineares 1

Estudo de estabilidade em sistemas no-lineares

{ } 0 tal que, para qualquer R < R0, existe um r,

0 < r < R, tal que, se x(0) pertence a S( x ,r), ento x(t) pertence a S( x ,R), t 0.

2. assintoticamente estvel se estvel e alm disso x(t) tende a x quandot .

3. marginalmente estvel se estvel, mas no assintoticamente estvel.

4. instvel se no estvel. Um ponto de equilbrio x instvel se, para algum

R > 0 e qualquer r > 0, existe um ponto na regio esfrica S( x ,r) tal que, se oestado for inicializado nesse ponto, o estado move-se para fora de S( x ,R) emalgum momento.



1 Anlise de estabilidade via linearizao

neste tpico, vamos recorrer freqentemente a tcnicas de linearizao de um

sistema no-linear em torno de um ponto de operao. Isto permite que o

sistema linear resultante seja analisado com base nas poderosas ferramentas deanlise vlidas para o caso linear.

como a linearizao uma aproximao em torno de um ponto de operao,

ela s pode levar predio do comportamento do sistema em uma vizinhana

deste ponto. Nenhum outro comportamento no-local, muito menos o

comportamento global do sistema em todo o espao de operao, podem ser

preditos pelo modelo linearizado.

no h nada que deponha contra extrair o mximo de informao possvel arespeito do comportamento de um sistema no-linear via linearizao. O

nico problema que no se pode ir alm desse mximo.



Exemplo: Linearizao do sistema no-linear ( ))(txfx =Em torno de x1 = 4: ( ) 143)( 11

1

+=

+=

xxxxxx

fxfx

xx

Em torno de x2 = 6: ( ) ( ) 52627)( 222

+=

+=

xxxxxx

fxfx

xx

7

2

3

x1 = 4 x2 = 6 x

f(x)



srie de Taylor para : f: n , com n = 1 e em torno do ponto x = x :

( ) ( )3222

)(21)()()( xxOxx

dxfd

xxdxdf

xfxfxxxx

+++==

=

( ) ( )3222

)()(21))(()()( xxOxxxf

dxd

xxxfdxd

xfxf +++=

( ) ( )32 )()(21))(()()( xxOxxxfxxxfxfxf +++=

aproximao de 1a ordem (aproximao linear):

))(()())(()()()()( xxxfxfxxxfdxd

xfxxdxdf

xfxfxx

+=+=+=

ou, fazendo xxy = ,

yxfxfyxfdxd

xfydxdf

xfyxfxx

)()()()()()( +=+=++=



x

f(x)

x

f( x )f( x + y)

f( x ) + f( x )y

funes de n variveis: f : n

( ) ( ) ( ) ( ) nnn

nnnn yxxfx

yxxfx

xxfyxyxf ,...,...,...,,...,,..., 1111

111

++

+++

ou, em notao matricial,yxfxfyxf T)()()( ++

aproximao de 2a ordem: yxfyyxfxfyxf TT )(21)()()( 2+++



onde

=

nx

x

x

1

=

ny

yy

1

=)(

)()(

1

xfx

xfx

xf

n

considerando, agora, n funes f1, ..., fn : n

yxfxfyxf

yxfxfyxfyxfxfyxf

Tnnn

T

T

)()()(

)()()()()()(

222

111

++

++++

ou, em notao matricial,yxfyxf F++ )()(

onde F denominada matriz Jacobiana de f, avaliada em x , sendo que:



=

)(

)()(

)( 21

xf

xfxf

xf

n

=

Tn

T

T

xf

xfxf

)(

)()(

2

1

F

2 Linearizao em torno de um ponto de equilbrio

seja x n um ponto de equilbrio, ento: para sistemas contnuos: ( ))(txfx = , 0)( =xf , e tomando )()( tyxtx += :

( ) )()()()( tyytyxftyxfy FF ++= para sistemas discretos: ( ))()1( kxfkx =+ , xxf =)( , e tomando

)()( kyxkx += : )()1()()()1( kykykyxfkyx FF ++++ com este desenvolvimento, a anlise de estabilidade dos pontos de equilbrio

de sistemas no-lineares pode ser conduzida atravs de resultados conhecidos

acerca da estabilidade de sistemas lineares.



3 Autovalores e autovetores de uma matriz

os autovalores de uma matriz quadrada F nn so os escalares reais e/oucomplexos 1, ..., n que satisfazem a igualdade

iii xx =F , i = 1,...,n

onde xi 0 o autovetor associado ao autovalor i, ou seja, uma direoinvariante sob a transformao realizada pela matriz F. Esta igualdade pode

ser reescrita na forma:

( ) 0= ii xFI . para que existam solues no-triviais para xi, necessrio que FI i seja

uma matriz singular, o que implica:

( ) 0det = FIi . os n autovalores da matriz quadrada F nn (denominada matriz de ordem

n), alm de poderem ser reais ou complexos, podem apresentar diferentes



multiplicidades. Se todos apresentarem multiplicidade 1, ento temos n

autovalores distintos.

Exemplo:

01001

det2221

1211

2221

1211=

= ffff

ffff

F

0det0

0det

2221

1211

2221

1211=

=

ffff

ffff

( )( ) 0)det( 12212211 == ffffFI

( ) ( ) 01221221122112 =++ ffffff



4 Condies de estabilidade baseadas nos autovalores de F

um ponto de equilbrio x de um sistema dinmico no-linear contnuo assintoticamente estvel se todos os autovalores de F possurem parte realnegativa: { } 0Re i , para algum i {1,...,n}.



no caso de sistemas contnuos, se todos os autovalores de F possurem parte

real no-positiva ( { } 0Re i , i = 1,...,n) e pelo menos um possuir parte realnula, ento o ponto de equilbrio x pode ser estvel, assintoticamente estvel

ou instvel.

no caso de sistemas discretos, se todos os autovalores de F possurem mdulo

menor ou igual unidade ( 1i , i = 1,...,n) e pelo menos um possuir mdulounitrio, ento o ponto de equilbrio x pode ser estvel, assintoticamente

estvel ou instvel.

Nota: Obviamente, as concluses extradas a respeito do tipo de ponto de

equilbrio pela anlise dos correspondentes sistemas lineares, obtidos pela

linearizao dos sistemas no-lineares originais, so vlidas desde que a funof seja, por exemplo, analtica em torno do ponto de equilbrio.

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