Estabilidade de Sistemas Lineares Realimentadoseducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · atribuir graus de estabilidade (Item da pr´oxima aula) ⊲ A localiza¸c˜ao

Estabilidade de Sistemas Lineares Realimentados

◮ Analise de Estabilidade:

• Criterio de estabilidade de Routh

Fernando de Oliveira Souza pag.1 Engenharia de Controle – Aula 9

James Watt

James Watt (Escocia, 19/01/1736 - Inglaterra, 25/08/1819)

• 1788: Governador por bolas flutuantes


James Clerk Maxwell

James Clerk Maxwell (Inglaterra, 13/06/1831 - 05/10/1879)

• 1868: Desenvolveu equacoes

diferenciais, linearizadas, do

governador e concluiu que o sis-

tema e estavel se as raızes da

E.C. tiverem parte real nega-

tiva.

• 1877: Participou do comite

do Premio Adams, problema:

analise de estabilidade.


Edward John Routh

Edward John Routh (Canada, 20/01/1831 - Inglaterra, 07/06/1907)

• 1877: Venceu o premio Adams,

determinou um criterio baseado

nos coeficientes da E.C. que ve-

rifica se suas raızes tem parte

real negativa.

• Foi o primeiro de sua classe na

Cambridge University em 1854,

enquanto J. C. Maxwell foi o se-

gundo.


Adolf Hurwitz

Adolf Hurwitz (Alemanha, 26/03/1859 - Suıssa, 18/10/1919)

• 1895: propos de forma indepen-

dente um metodo equivalente

ao de Routh;

• Muitas vezes o metodo e

chamado como Routh-Hurwitz.


Estabilidade de Sistemas Lineares

⊲ O conceito de estabilidade e crucial na sıntese de

sistemas de controle realimentados

⊲ Nao e exatamente uma especificacao, mas sim um

pre-quesito para projeto...



⊲ Estabilidade absoluta: o sistema e estavel ou nao

⊲ Estabilidade relativa: para um sistema estavel pode-se

atribuir graus de estabilidade (Item da proxima aula)

⊲ A localizacao dos polos em malha fechada indica o

tipo da resposta temporal e da estabilidade relativa

⊲ Condicao necessaria e suficiente para que um sistema

seja estavel e que todos os polos da FT tenham parte real

negativa



G(s) =1

(s − p1)(s − p2)

p1,2 = −2 ± j5 p1,2 = ±j5 p1,2 = 2 ± j5

0 2 40

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 2 40

0.02

0.04

0.06

0.08

0 2 4−800

−600

−400

−200

0

200

400Estavel Marginalmente Estavel Instavel

TempoTempoTempo



G(s) =1

(s − p1)(s − p2)(s − p3)(s − p4)

p1,2 = −2 ± j5 p1,2 = ±j5 p1,2 = 2 ± j5

p3,4 = −2 ± j5 p3,4 = ±j5 p3,4 = 2 ± j5

0 2 40

0.5

1

1.5

2x 10

−3

0 2 4−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0 2 4−200

−100

0

100

200Estavel Instavel Instavel

TempoTempoTempo



Metodos para verificar estabilidade (ou nao):

1. Routh-Hurwitz (no plano-s)

2. Nyquist (domınio da frequencia)

3. Analise temporal

Por que aplicar algum metodo se basta calcular os polos da

Eq. Caracterıstica (EC) e verificar o sinal da parte real ? Os

metodos acima nao“calculam”as raızes da EC ...

Potencialidades ?


Analise de Estabilidade

⊲ O criterio e um metodo que fornece uma resposta

direta sobre a questao de estabilidade de sistemas lineares

⊲ Para a EC:

∆(s) = ansn + an−1s

n−1 + · · · + a1s + a0

= an(s − r1)(s − r2) · · · (s − rn)

= 0

ri e a i-esima raiz da EC. Para estabilidade, e necessario

verificar se todas estas raızes estao no semi-plano esquerdo


Analise de Estabilidade: Condicao Necessaria

Expandindo ∆(s) obtem-se

∆(s) = ansn− an(r1 + r2 + · · · + rn)s

n−1

+an(r1r2 + r2r3 + · · · )sn−2

−an(r1r2r3 + r1r2r4 + · · · )sn−3

+ · · · + (−1)nan(r1r2r3 · · · rn) = 0

Examinando ∆(s), pode-se notar que se todas as raızes

estiverem no semi-plano esquerdo, todos os termos do

polinomio tem o mesmo sinal. Alem disso, nenhum

coeficiente poderia ser nulo.


Analise de Estabilidade: Condicao Necessaria

Para a estabilidade

• Todos os coeficientes da E.C. devem ter o mesmo sinal

• Nenhum coeficiente pode ser nulo.

⊲ Estas condicoes sao apenas necessarias, ie, se alguma

nao se verificar, o sistema e instavel, caso contrario nao

pode-se afirmar que seja estavel...


Criterio de Routh

Exemplo O polinomio abaixo tem coeficientes positivos

porem nao e estavel

∆(s) = s3 + s2 + 11s + 51

= (s + 3)(s−1 + 4j)(s−1 − 4j)

O que fazer ? Utilizar condicoes necessarias e suficientes

para verificar estabilidade: ex. criterio de Routh


Criterio de Routh

Um sistema e estavel se, e somente se,

todos os elementos na primeira coluna

do arranjo de Routh forem positivos

Criterio de Routh assegura que o numero de raızes com

parte real positiva e igual ao numero de mudanca de sinais

dos elementos da primeira coluna do arranjo de Routh


Criterio de Routh

Analise de Estabilidade: Criterio de Routh

∆(s) = ansn + an−1s

n−1 + · · · + a1s + a0

Como aplica-lo ? Organiza-se os coeficientes da EC

(∆(s)) na forma de um arranjo do tipo

sn an an−2 an−4 · · ·

sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·


Criterio de Routh

O arranjo completo tem a forma:

sn an an−2 an−4 · · ·

sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·

sn−2 b1 b2 b3

sn−3 c1 c2 c3...

......

...

s0 ?1

⊲ Como obter as linhas subsequentes?


Criterio de Routh

sn an an−2 an−4 · · ·

sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·

sn−2 b1 b2 b3

sn−3 c1 c2 c3...

......

...

s0 ?1

sendo que

b1 =(an−1)(an−2) − an(an−3)

an−1

=−1

an−1

∣

∣

∣

∣

∣

an an−2

an−1 an−3

∣

∣

∣

∣

∣


Criterio de Routh

sn an an−2 an−4 · · ·

sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·

sn−2 b1 b2 b3

sn−3 c1 c2 c3...

......

...

s0 ?1

sendo que

b2 =−1

an−1

∣

∣

∣

∣

∣

an an−4

an−1 an−5

∣

∣

∣

∣

∣


Criterio de Routh

sn an an−2 an−4 · · ·

sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·

sn−2 b1 b2 b3

sn−3 c1 c2 c3...

......

...

s0 ?1

sendo que

c1 =−1

b1

∣

∣

∣

∣

∣

an−1 an−3

b1 b2

∣

∣

∣

∣

∣


Criterio de Routh

Exemplo de sistema de 2a ordem

∆(s) = a2s2 + a1s + a0

o arranjo de Routh e

s2 a2 a0

s1 a1 0

s0 b1 0

⇒ b1 =(a1)(a0) − a2(0)

a1

= a0

⊲ Portanto um sistema de 2a. ordem e estavel se os coeficientes da

EC forem todos positivos ou todos negativos


Exercıcio 1

• Determine quantas raızes do polinomio abaixo estao no

SPD.

∆(s) = s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + s2 + 4s + 4


Exercıcio 1

∆(s) = 1s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + 1s2 + 4s + 4


s6 1 3 1 4

s5 4 2 4 0

s4 5/2 0 4

s3 2 −12/5 0

s2 3 4

s1 −76/15 0

s0 4

⊲ Portanto, o polinomio tem duas raızes no SPD.


Exercıcio 2

• Determine para qual faixa de valores de K o sistema

abaixo e estavel.

Ks+1

s(s−1)(s+6)

R(s) Y (s)+

−


Exercıcio 2

∆(s) = s3 + 5s2 + (K − 6)s + K


s3 1 K − 6

s2 5 K

s1 (4K − 30)/5

s0 K

para a estabilidade temos

4K − 30

5> 0 e K > 0

⊲ Portanto, o sistema e estavel se (K > 7,5).


Exercıcio 3

• Determine para qual faixa de valores dos parametros

K e KI o sistema abaixo e estavel.

K + KI

s

1(s+1)(s+2)

R(s) Y (s)+

−


Exercıcio 3

∆(s) = s3 + 3s2 + (2 + K)s + KI


s3 1 2 + K

s2 3 KI

s1 (6 + 3K − KI)/3

s0 KI

⊲ Portanto, o sistema e estavel se

KI > 0 e K >1

3KI − 2


Exercıcio 4

• Determine quantas raızes do polinomio abaixo estao no

SPD.

∆(s) = s5 + 2s4 + 2s3 + 4s2 + 11s + 10


Exercıcio 4

obtem-se o arranjo

s5 1 2 11

s4 2 4 10

s3 0 6 0

s2 ? ? ?

s1 ? ? ?

s0 ? ? ?

⊲ Casos especiais: Casos em que ha zeros na primeira

colunaFernando de Oliveira Souza pag.29 Engenharia de Controle – Aula 9

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