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ESTUDO DE MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES HIPERBÓLICAS PARA ESCOAMENTOS MONOFÁSICOS EM DUTO E SEU

ACOPLAMENTO COM MODELO DE PIG ESPUMA

Pedro Henrique Cardoso Paulo

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro Mecânico.

Orientador:

Gustavo César Rachid Bodstein

Rio de Janeiro

Novembro de 2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ




PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovado por:

Prof. Gustavo César Rachid Bodstein, Ph.D.

Prof. Nísio de Carvalho Lobo Brum, D. Sc.

Prof. Marcelo José Colaço, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ-BRASIL

NOVEMBRO DE 2018

Paulo, Pedro Henrique Cardoso

Estudo de métodos numéricos de solução de equações hiperbólicas para escoamentos monofásicos em duto e seu acoplamento com modelo de PIG espuma/ Pedro Henrique Cardoso Paulo – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2018.

viii, 79 p.: il.; 29,7 cm

Orientador: Gustavo César Rachid Bodstein

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Mecânica, 2018.

Referências Bibliográficas: p. 63-64.

1. Escoamento em duto 2. Deslocamento de PIG em duto 3. Escoamento monofásico 4. Simulação numérica 5. Equações hiperbólicas 5. Métodos de Runge-Kutta I. Bodstein, Gustavo César Rachid II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Engenharia Mecânica III. Estudo de métodos numéricos de solução de equações hiperbólicas para escoamentos monofásicos em duto e seu acoplamento com modelo de PIG espuma.

i

Agradecimentos

Agradeço, em especial a minha família por todo o apoio a mim dado até o presente momento, e sem o qual jamais conseguiria chegar até aqui. Agradeço também a Isabela, minha namorada, que me acompanhou e apoiou desde o início do curso, estando sempre comigo e oferecendo suporte quando precisei.

Agradeço também a meu orientador, Professor Gustavo Bodstein, por todas as oportunidades que me deu ao longo de minha vida acadêmica, por tudo que me ensinou, e pela oportunidade de desenvolver esse projeto. Agradeço a toda a equipe do LabMFA pelo suporte e por todo conhecimento que comigo compartilharam, sem os quais este trabalho não seria possível. Faço um agradecimento especial para Rodrigo Augusto Câmara Patrício e para o Professor Felipe Bastos de Freitas Rachid do TEM-PGMEC/UFF por todas as contribuições para este trabalho.

Por fim, agradeço também a todos os meus amigos do curso de Engenharia Mecânica pelo suporte ao longo deste ano de conclusão de curso.

ii

Resumo

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte integrante dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.




Orientador: Gustavo César Rachid Bodstein

Programa: Engenharia Mecânica

O estudo do escoamento no interior de dutos e o impacto da passagem de PIGs em seu interior é de grande interesse para a indústria de óleo e gás. Nesse campo, tanto a caracterização adequada do escoamento como a da dinâmica do PIG são essenciais para a adequada simulação do fenômeno. Este trabalho se propõe a estudar métodos numéricos diferentes para a solução do escoamento monofásico isotérmico ao longo de um duto horizontal, tal como alguns métodos para a simulação da passagem de um PIG por esse duto. O modelo para escoamento utilizado é o modelo monofásico de duas equações, sendo uma para a conservação de massa e outra para a conservação de quantidade de movimento linear. Foram selecionados seis métodos numéricos para a solução do sistema de equações, incluindo o FCT (Flux-Corrected Transport), Richtmyer, Lax-Friedrichs, FORCE, Rusanov e MUSCL-Rusanov. A presença do PIG foi considerada como uma fronteira móvel e o acoplamento foi feito pela divisão do duto em dois, sendo uma parte a montante e outra a jusante do PIG. Os métodos numéricos para a solução da equação de movimento do PIG selecionados foram os métodos de Runge-Kutta explícitos de primeira, segunda e quarta ordem e o método de Runge-Kutta implícito de quinta ordem RADAU5. Em uma primeira fase do estudo, apenas os métodos numéricos para a solução do escoamento foram analisados, sendo feito um estudo de acurácia e comparação de resultados com a solução analítica, seguido de dois estudos de caso pensados para avaliar o desempenho dos métodos para solução em regime transiente e sob o efeito de descontinuidades. Após essa fase preliminar, foram avaliados os métodos de solução para o problema do PIG, estudando o impacto da ordem do método na solução final e comparando este com os resultados numéricos disponíveis, tanto em escoamento de líquido quanto de gás. Os resultados apresentaram boa concordância para todas as grandezas físicas analisadas.

iii

Abstract

Abstract of Undergraduate Project presented to DEM/POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Mechanical Engineer.

A STUDY OF NUMERICAL METHODS FOR THE SOLUTION OF HYPERBOLIC EQUATIONS APPLIED TO SINGLE PHASE FLUID FLOW INSIDE PIPELINES AND THEIR COUPLING WITH FOAM PIG MODEL


Advisor: Gustavo César Rachid Bodstein

Department: Mechanical Engineering

The study of the flow inside pipelines and the impact of a PIG in their behavior is of great interest for the oil and gas industry. The adequate characterization of the flow and PIG dynamics are essential for proper simulation of the phenomenon. This work aims at studying different methods to solve the single-phase isothermal flow along a horizontal duct during the passage of a PIG through the duct. The flow model used is the single-phase model of two equations, one mass conservation equation and one momentum equation. Six numerical methods for the solution of the system were selected, including Flux-Corrected Transport (FCT), Richtmyer, Lax-Friedrichs, FORCE, Rusanov and MUSCL-Rusanov. The PIG was considered as a moving boundary and the coupling was carried out by dividing the duct in two, upstream and downstream the PIG. The selected numerical methods for the solution of the PIG motion equation were the first, second and fourth order explicit Runge-Kutta methods and the fifth order implicit Runge-Kutta method RADAU5. In the first stage of the study, only the numerical methods for the solution of the flow were analyzed. An accuracy study was performed, and the results compared the analytical solution. After, the performance of the methods for solution in transient regime and under the effect of discontinuities was evaluated. We concluded that the solution methods for the PIG problem were successful to evaluate the impact of the order of the method on the final solution and the comparison with the available numerical results, both in liquid and gas, presented very good agreement.

iv

Sumário

Agradecimentos ............................................................................................................... i

Resumo ...........................................................................................................................ii

Abstract ........................................................................................................................... iii

Lista de figuras ...............................................................................................................vi

Lista de tabelas ............................................................................................................. viii

1 Introdução ................................................................................................................ 1

1.1 Motivação ......................................................................................................... 1

1.2 Objetivos .......................................................................................................... 2

1.2.1 Objetivos gerais ........................................................................................ 2

1.2.2 Objetivos específicos ................................................................................ 2

2 Formulação matemática .......................................................................................... 3

2.1 Formulação matemática do escoamento ......................................................... 3

2.1.1 Modelagem do termo de pressão ............................................................. 3

2.1.2 Modelagem do atrito na parede do duto ................................................... 4

2.1.3 Condições iniciais e de contorno .............................................................. 5

2.2 Formulação matemática do deslocamento do PIG .......................................... 5

2.2.1 Modelagem da força de pressão 𝐹𝑃 ......................................................... 7

2.2.2 Modelagem da força hidrodinâmica 𝐹𝐻 .................................................... 7

2.2.3 Modelagem da força mecânica 𝐹𝑀 ........................................................... 8

3 Abordagem numérica .............................................................................................. 9

3.1 Abordagem numérica do problema do escoamento ........................................ 9

3.1.1 Forma conservativa do sistema de equações ........................................... 9

3.1.2 Análise de hiperbolicidade ...................................................................... 10

3.1.3 Métodos para a solução de sistemas de equações hiperbólicos ............ 11

3.1.4 Imposição das condições de contorno .................................................... 15

3.1.5 Critérios de estabilidade .......................................................................... 16

3.2 Abordagem numérica do problema do PIG .................................................... 16

3.2.1 Acoplamento do escoamento com o modelo do PIG .............................. 16

3.2.2 Métodos de solução da equação de movimento do PIG ........................ 18

4 Resultados e discussões ....................................................................................... 23

4.1 Propriedades dos fluidos e do duto simulado ................................................ 23

4.2 Escoamento em regime permanente em duto ............................................... 23

4.2.1 Análise de acurácia dos métodos numéricos .......................................... 24

4.2.2 Comparação dos resultados com a solução analítica ............................. 33

4.3 Estudo de problemas transientes: o tubo de choque ..................................... 38

v

4.3.1 Descrição do problema e solução exata ................................................. 38

4.3.2 Condições iniciais e parâmetros de simulação ....................................... 39

4.3.3 Comparação dos resultados com a solução exata ................................. 39

4.4 Estudo do impacto de descontinuidades: duto com mudança de rugosidade 42

4.5 Estudo do deslocamento do PIG ao longo de uma tubulação ....................... 45

4.5.1 Descrição do problema ........................................................................... 45

4.5.2 Parâmetros do PIG e dos métodos de solução ...................................... 45

4.5.3 Comparação entre os métodos numéricos de solução do PIG e do escoamento para o ar ............................................................................................ 46

4.5.4 Comparação entre os métodos numéricos de solução do PIG e do escoamento para a água ....................................................................................... 51

4.5.5 Comparação entre as soluções obtidas e os resultados de referência .. 54

5 Considerações finais ............................................................................................. 60

5.1 Conclusões ..................................................................................................... 60

5.2 Sugestões para trabalhos futuros .................................................................. 62

6 Referências ........................................................................................................... 63

Apêndice ....................................................................................................................... 65

A. Resultados para o teste de acurácia no espaço ................................................ 65

B. Solução analítica para o escoamento em dutos ................................................ 78

vi

Lista de figuras

Figura 2.1: PIG espuma ideal. ........................................................................................ 6 Figura 2.2: Esquema das principais variáveis do PIG. ................................................... 6 Figura 3.1: Ilustração do ponto de avaliação das grandezas conforme o índice. ......... 11 Figura 3.2: Separação do duto de acordo com a posição do PIG. ............................... 17 Figura 4.1: Pressão para a solução do escoamento de água pelo método de Richtmyer. ...................................................................................................................................... 25 Figura 4.2: Velocidade para a solução do escoamento de água pelo método de Richtmyer. ..................................................................................................................... 26 Figura 4.3: Pressão para a solução do escoamento de água pelo método de Lax-Friedrichs. ..................................................................................................................... 26 Figura 4.4: Velocidade para a solução do escoamento de água pelo método de Lax-Friedrichs. ..................................................................................................................... 27 Figura 4.5: Velocidade para a solução do escoamento de água pelo método MUSCL-Rusanov. ....................................................................................................................... 28 Figura 4.6: Teste de acurácia no espaço para a simulação do escoamento de água. 29 Figura 4.7: Teste de acurácia no espaço para a simulação do escoamento de ar. ..... 30 Figura 4.8: Pressão para a solução do escoamento de ar pelo método de Richtmyer 31 Figura 4.9: Velocidade para a solução do escoamento de ar pelo método de Richtmyer ...................................................................................................................................... 31 Figura 4.10: Pressão para a solução do escoamento de ar pelo método de Lax-Friedrichs ...................................................................................................................... 32 Figura 4.11: Velocidade para a solução do escoamento de ar pelo método de Lax-Friedrichs ...................................................................................................................... 32 Figura 4.12: Comparativo da solução analítica para a pressão com os resultados obtidos para os métodos numéricos em escoamento de água. ................................................ 35 Figura 4.13: Comparativo da solução analítica para a pressão com os resultados obtidos para os métodos numéricos em escoamento de ar. ..................................................... 35 Figura 4.14: Comparativo da solução analítica para a velocidade com os resultados obtidos para os métodos numéricos em escoamento de água. ................................... 36 Figura 4.15: Comparativo da solução analítica para a velocidade com os resultados obtidos para os métodos numéricos em escoamento de ar. ........................................ 36 Figura 4.16: Comparação dos resultados para velocidade obtidos no teste de malha para a água com o método MUSCL-Rusanov com a solução analítica do problema. . 37 Figura 4.17: Comparativo da solução exata para a velocidade com os resultados obtidos para os métodos numéricos para o tubo de choque. ................................................... 40 Figura 4.18: Comparativo da solução exata para a pressão com os resultados obtidos para os métodos numéricos para o tubo de choque. ................................................... 40 Figura 4.19: Detalhe da descontinuidade na curva de velocidade para o tubo de choque. ...................................................................................................................................... 41 Figura 4.20: Resultados da pressão ao obtidos para os métodos numéricos no caso de mudança na rugosidade. .............................................................................................. 43 Figura 4.21: Resultados da velocidade obtidos para os métodos numéricos no caso de mudança na rugosidade. .............................................................................................. 44 Figura 4.22: Resultados vazão mássica por unidade de área obtidos para os métodos numéricos no caso de mudança na rugosidade. .......................................................... 44 Figura 4.23: Resultado da pressão ao longo do duto com PIG em um escoamento de ar para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5. ...................................................................................................................... 47

vii

Figura 4.24: Resultado da velocidade com PIG em um escoamento de ar para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5. ............. 47 Figura 4.25: Resultado da velocidade do PIG em um escoamento de ar para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5. ............. 48 Figura 4.26: Curvas de pressão para diferentes instantes de tempo obtidas pelo método de Rusanov. .................................................................................................................. 48 Figura 4.27: Resultado da pressão com PIG em um escoamento de água para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5. ............. 52 Figura 4.28: Resultado da velocidade com PIG em um escoamento de água para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5. ... 52 Figura 4.29: Resultado da velocidade do PIG em um escoamento de água para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5. ............. 53 Figura 4.30: Comparação dos resultados obtidos para a pressão em água com os de Patrício (2016). ............................................................................................................. 55 Figura 4.31: Comparação dos resultados obtidos para a pressão em ar com os de Patrício (2016). ............................................................................................................. 56 Figura 4.32: Comparação dos resultados obtidos para a velocidade em água com os de Patrício (2016). ............................................................................................................. 57 Figura 4.33: Comparação dos resultados obtidos para a velocidade em ar com os de Patrício (2016). ............................................................................................................. 58 Figura 4.34: Comparação dos resultados obtidos para a velocidade do PIG em água com os de Patrício (2016). ............................................................................................ 59 Figura 4.35: Comparação dos resultados obtidos para a velocidade do PIG em ar com os de Patrício (2016). ................................................................................................... 59 Figura A.1: Pressão em água - Lax-Friedrichs. ............................................................ 65 Figura A.2: Velocidade em água - Lax-Friedrichs. ....................................................... 66 Figura A.3: Pressão em ar - Lax-Friedrichs. ................................................................. 66 Figura A.4: Velocidade em ar - Lax-Friedrichs. ............................................................ 67 Figura A.5: Pressão em água – Richtmyer. .................................................................. 67 Figura A.6: Velocidade em água – Richtmyer. ............................................................. 68 Figura A.7: Pressão em ar – Richtmyer. ....................................................................... 68 Figura A.8: Velocidade em ar – Richtmyer. .................................................................. 69 Figura A.9: Pressão em água – FORCE. ..................................................................... 69 Figura A.10: Velocidade em água – FORCE. ............................................................... 70 Figura A.11: Pressão em ar – FORCE. ........................................................................ 70 Figura A.12: Velocidade em ar – FORCE. .................................................................... 71 Figura A.13: Pressão em água – FCT. ......................................................................... 71 Figura A.14: Velocidade em água – FCT. .................................................................... 72 Figura A.15: Pressão em ar – FCT. .............................................................................. 72 Figura A.16: Velocidade em ar – FCT. ......................................................................... 73 Figura A.17: Pressão em água – Rusanov. .................................................................. 73 Figura A.18: Velocidade em água – Rusanov. ............................................................. 74 Figura A.19: Pressão em ar – Rusanov. ....................................................................... 74 Figura A.20: Velocidade em ar – Rusanov. .................................................................. 75 Figura A.21: Pressão em água - MUSCL-Rusanov. ..................................................... 75 Figura A.22: Velocidade em água - MUSCL-Rusanov. ................................................ 76 Figura A.23: Pressão em ar - MUSCL-Rusanov. .......................................................... 76 Figura A.24: Velocidade em ar - MUSCL-Rusanov. ..................................................... 77

viii

Lista de tabelas

Tabela 4.1: Propriedades relevantes da água utilizadas. ............................................. 23 Tabela 4.2: Propriedades relevantes do ar utilizadas. .................................................. 23 Tabela 4.3: Condições de contorno e tempo total simulado para escoamento em regime permanente. .................................................................................................................. 24 Tabela 4.4: Tempo de CPU em segundos para malha de 5000 células ...................... 33 Tabela 4.5: Valores do erro em relação a resposta analítica para água e ar. .............. 38 Tabela 4.6: Valores do erro em relação a resposta exata para o problema do tubo de choque. ......................................................................................................................... 41 Tabela 4.7: Parâmetros relevantes do PIG e dos métodos de solução ....................... 46 Tabela 4.8: Erro relativo da energia cinética média do PIG para os métodos de solução do PIG em cada método de solução do escoamento em ar. ........................................ 50 Tabela 4.9: Erro relativo da energia cinética total para os métodos solução do PIG para cada método de solução do escoamento em ar ........................................................... 51 Tabela 4.10: Erro relativo da energia cinética média do PIG para os métodos de solução do PIG em cada método de solução do escoamento em água. ................................... 54 Tabela 4.11: Erro relativo da energia cinética total para os métodos de solução do PIG em cada método de solução do escoamento em água. ............................................... 54 Tabela 4.12: Valores dos diferenciais de pressão causados pelo PIG e seus respectivos desvios.......................................................................................................................... 56

1

1 Introdução

1.1 Motivação

A indústria do petróleo desponta hoje como uma das mais importantes indústrias no cenário mundial devido às numerosas aplicações que essa matéria-prima e subprodutos de sua extração, como o gás natural, apresentam, que incluem a fabricação de materiais poliméricos, lubrificantes e combustíveis. A produção de petróleo bruto nos Estados Unidos, o maior produtor na atualidade, gira atualmente na casa de 11 milhões de barris por dia (EIA, 2018). Já no Brasil, a produção de petróleo vem ganhando maior importância ao longo dos anos, de modo que atualmente o país desponta como o nono maior produtor do mundo (ORDOÑEZ, 2018), com uma produção na casa dos 2,5 milhões de barris por dia (TRADING ECONOMICS, 2018).

A importância dessa indústria e a grande dependência que ainda existe no mundo moderno de seus produtos torna essencial o uso de formas baratas e eficientes de transporte para o escoamento de seus produtos. Embora modais aquaviários e rodoviários possam ser utilizados em determinadas fases da produção, o método preferível para essa indústria tende a ser o transporte por dutos, devido a seu alto rendimento, escoamento contínuo e capacidade de cobrir longas distâncias (NGUYEN, et al., 2001). Devido a isso, descrever o escoamento ao longo de dutos, em especial a perda de carga ao longo da tubulação, é essencial para a seleção dos equipamentos necessários para a operação da rede dutoviária, como bombas e compressores.

A boa operação de redes dutoviárias exige também uma boa manutenção destas. A manutenção é em geral feita pela remoção de parafinas e rejeitos que ficam acumulados nas paredes por meio da passagem de um dispositivo, o PIG ou Pipeline Inspection Gauge (NGUYEN, et al., 2001). O dispositivo consiste em um corpo de diâmetro próximo ao diâmetro do duto que é posto dentro do escoamento, causando uma descontinuidade neste. Sendo uma barreira ao escoamento, o PIG causa uma diferença de pressão entre o fluido a montante e a jusante de si, que por sua vez é a principal responsável pelo seu movimento. Uma vez em movimento, o PIG faz a raspagem das paredes do duto, removendo materiais acumulados e desobstruindo a passagem de fluido para uma operação mais econômica e eficiente do sistema dutoviário.

Como o movimento do PIG é induzido pelo escoamento, essa operação pode ser considerada uma operação de risco, uma vez que há chances, para determinadas condições, de que o PIG agarre no duto, tornando-se uma obstrução permanente e exigindo manutenções mais severas, com substituições de parte da tubulação. Além disso, em tubulações longas, com dezenas de quilômetros de comprimento, o tempo de permanência do PIG no duto pode ser elevado, sendo sua estimativa essencial para o planejamento econômico de operações de manutenção. Todas essas exigências levam à necessidade de um modelo computacional eficiente, capaz de descrever, com boa fidelidade à natureza, a dinâmica de um PIG em um duto, determinando assim a variação de pressão introduzida por este na linha, de prever a possibilidade de agarramentos do PIG e a velocidade deste ao longo do duto, essencial para a determinação do tempo de permanência do PIG no duto.

2

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivos gerais

Este trabalho tem por objetivo promover um estudo de alguns métodos numéricos disponíveis na literatura para a solução de sistemas de equações diferenciais hiperbólicas, tal como o sistema que modela o escoamento isotérmico em dutos e a comparação do desempenho desses métodos entre si, tanto para escoamentos de líquidos quanto para escoamentos de gases. Deseja-se também simular o movimento de um PIG no duto e o acoplamento do modelo matemático do PIG com o modelo para o escoamento do fluido no duto. Esses métodos são analisados em conjunção com métodos numéricos alternativos a métodos de bibliotecas comerciais para a solução da equação de movimento do PIG, e são baseados nos métodos de Runge-Kutta. O estudo é desenvolvido utilizando linguagem FORTRAN 90 em compilador Intel® com ambiente

de desenvolvimento Microsoft Visual Studio® 2017.

1.2.2 Objetivos específicos

Neste trabalho é implementado um código numérico geral para a simulação de escoamentos em dutos fazendo uso dos métodos apresentados por Toro (1999). Para avaliar comparativamente os métodos em termos de acurácia, um estudo de convergência destes é feito de modo a determinar a ordem de convergência no espaço, seguindo os moldes de Figueiredo, et al (2012).

Concluído o estudo de convergência, é feita uma comparação dos resultados obtidos com a solução analítica disponível para o escoamento no duto. São então gerados resultados relativos a alguns casos de interesse, com o objetivo de avaliar o desempenho dos diversos algoritmos na representação de respostas transientes e problemas com descontinuidades.

Por fim, uma vez terminada a primeira etapa, dedicada ao estudo dos métodos numéricos para a solução das equações que regem o escoamento, uma segunda etapa, dedicada à simulação da passagem de um PIG pela linha é feita, através da modelagem de uma equação de movimento para este e seu acoplamento com os métodos numéricos estudados durante a primeira parte do trabalho. O modelo da equação de movimento para o PIG e seu acoplamento com o duto são baseados nos trabalhos de Patrício (2016), porém com certas simplificações no que se refere à força de atrito mecânica. Os métodos de solução para a equação de movimento são implementados e baseados nos métodos de Runge-Kutta (RUGGIERO e LOPES, 2000), testados aqui como alternativas a opções comerciais existentes, como as bibliotecas IMSL. Os resultados para o PIG são então comparados quanto ao impacto da ordem do método de Runge-Kutta utilizado, impacto do método de solução do escoamento e, por fim, comparados com a solução do PIG para o método FCT (Flux-Corrected Transport) acoplado ao método DAESL da biblioteca IMSL atualmente utilizado no Laboratório de Mecânica dos Fluidos e Aerodinâmica (LabMFA) da COPPE/UFRJ.

3

2 Formulação matemática

2.1 Formulação matemática do escoamento

O escoamento estudado neste trabalho é o escoamento monofásico e isotérmico em um duto de comprimento 𝐿, diâmetro 𝐷 e rugosidade 𝜖, que forma um ângulo 𝛽 com o plano horizontal. Tal escoamento pode ser descrito pelo modelo de duas equações (PATRÍCIO, et al., 2016)(a)

𝜕𝜌𝜕𝑡

𝜕 𝜌𝑢𝜕𝑥

0 2. 1

𝜕 𝜌𝑢𝜕𝑡

𝜕 𝜌𝑢 𝑝𝜕𝑥

𝜌𝑔 sin 𝛽𝜏 𝑆

𝐴

2. 2

onde 𝜌 é a massa específica do fluido, 𝑢 é a velocidade média do escoamento na seção transversal do duto, 𝑝 é a pressão absoluta à qual o fluido está submetido na seção, 𝑔 é a aceleração da gravidade, 𝜏 é a tensão cisalhante na parede do duto, 𝑆 é o comprimento da circunferência do duto e 𝐴 é a área da seção transversal do mesmo. Sendo a seção transversal do duto assumida como circular, temos que

𝑆 𝜋𝐷 2. 3

𝐴

𝜋𝐷4

2. 4

Embora esse modelo seja o mais simples dentre os modelos usados para o tratamento de escoamentos genéricos dentro de dutos, de forma independente de regime e considerando a perda de carga, as equações 2.1 e 2.2 apresentadas não são suficientes para a solução do problema, uma vez que apresentam um número de variáveis (𝜌, 𝑢, 𝑝) maior do que o número de equações. Esse problema pode ser resolvido juntando-se ao conjunto uma equação de estado que acople pressão e massa específica. Além disso, é necessário também modelar o termo correspondente à tensão cisalhante na parede do duto, 𝜏 , responsável pela perda de carga, como função das variáveis calculadas pelo modelo.

2.1.1 Modelagem do termo de pressão

A modelagem do termo de pressão é feita por uma equação de estado linear

4

𝑝 𝑝 𝑐 𝜌 𝜌 2. 5

Nessa relação, 𝑝 e 𝜌 são valores de pressão e massa específica de referência e 𝑐 fornece uma medida da compressibilidade. Para líquidos, em que o processo isotérmico assumido é essencialmente isentrópico, 𝑐 é assumido como o quadrado da velocidade de propagação do som no fluido, uma vez que a velocidade do som 𝑐 é definida por

𝑐

𝜕𝑝𝜕𝜌

2. 6

onde 𝑠 𝑐𝑡𝑒 indica que o processo é isentrópico. Além disso, 𝑝 é assumido como sendo a pressão atmosférica e 𝜌 como a massa específica do fluido à pressão atmosférica. Embora haja um embasamento físico na proposição desses valores, espera-se que a variação de massa específica do líquido ao longo do duto, mesmo com variações de pressão expressivas, seja desprezível devido às altas velocidades do som associadas aos líquidos, de modo que a equação de estado acima descrita serve principalmente como artifício para o cálculo da pressão na tubulação, eliminando a indeterminação do sistema.

Já em um segundo caso, aplicado a gases, é possível por meio da lei dos gases perfeitos encontrar um valor para 𝑐 . Nesses casos, sendo a lei dos gases perfeitos

𝑝 𝜌𝑅𝑇 2. 7

temos que

𝑐 𝑅𝑇 2. 8

onde 𝑅 é a constante de gás perfeito para o gás tratado e 𝑇 é a temperatura termodinâmica assumida para o escoamento. Nesse caso, devido à hipótese de gás ideal, tanto 𝑝 quanto 𝜌 são assumidos nulos.

2.1.2 Modelagem do atrito na parede do duto

A correta modelagem do atrito na parede é de fundamental importância uma vez que, devido ao modelo simplificado adotado, este termo é o responsável por levar em conta o regime do escoamento na determinação da resposta final, adequando a curva de pressão e a perda de carga tanto aos casos de escoamento laminar quanto turbulento. A modelagem deste termo em função de variáveis do escoamento é feita pela relação a seguir

5

𝜏

12

𝑓𝜌𝑢|𝑢| 2. 9

onde 𝑓 é o fator de atrito, calculado pela seguinte relação (MOODY, 1947)

𝑓 max

16𝑅𝑒

, 0,001375 1 2 10𝜖𝐷

1 10𝑅𝑒

2. 10

onde 𝑅𝑒 é o número de Reynolds, calculado por

𝑅𝑒

𝜌|𝑢|𝐷𝜇

2. 11

sendo 𝜇 a viscosidade dinâmica do fluido. Vale ressaltar que, em nosso modelo, todas as propriedades do fluido à exceção da massa específica (assumida dependente da pressão) são assumidas constantes, inclusive 𝜇 e 𝑐.

2.1.3 Condições iniciais e de contorno

A solução do sistema de equações diferenciais parciais proposto necessita da imposição de condições de contorno no espaço e de condições iniciais no tempo. Para o caso de condições de contorno, foram assumidas como constantes a pressão na saída do duto e a velocidade em sua entrada. Já para as condições iniciais, com o intuito de analisar a convergência do método para valores em regime permanente, tanto a pressão quanto a velocidade no interior do duto foram assumidas como inicialmente iguais aos valores impostos nos contornos do duto.

2.2 Formulação matemática do deslocamento do PIG

Como discutido em 1.1, o PIG é um corpo de diâmetro aproximadamente igual ao do duto que, em seu interior, causa uma diferença de pressão entre o escoamento a montante e a jusante de si e por essa diferença de pressão é impulsionado, deslocando-se ao longo do duto. Na indústria, múltiplos tipos de PIG são utilizados, com formas muitas vezes complexas. Neste trabalho, o PIG é modelado como um PIG ideal ou PIG espuma, cuja forma simples permite aproximá-lo por um cilindro de diâmetro aproximadamente igual ao do duto. A Figura 2.1 ilustra essa geometria simplificada.

6

Figura 2.1: PIG espuma ideal.

Sob essas condições, o movimento do PIG no duto é regido por uma equação de movimento deduzida a partir da Segunda Lei de Newton (PATRICIO, 2016), a saber

𝑀 𝑣 𝐹 𝐹 𝐹 𝑀 𝑔 sin 𝛽 2. 12

Nessa equação, 𝑀 representa a massa do PIG, 𝑣 sua velocidade, 𝐹 a força oriunda da diferença da pressão a montante e a jusante do PIG, 𝐹 a força hidrodinâmica devida ao escoamento de fluido pela folga entre o PIG e a parede do duto, e 𝐹 a força mecânica oriunda do atrito seco de partes da parede do duto com o PIG. A Figura 2.2 ilustra as principais variáveis geométricas referentes ao PIG.

Figura 2.2: Esquema das principais variáveis do PIG.

Outra equação essencial para o modelo é a equação de conservação de massa através da folga entre o PIG e a parede do duto. Por esse princípio, considerando-se o volume de controle V.C. também apresentado na Figura 2.2, temos que

7

𝜌 𝑢 𝑣 𝐴 𝜌 𝑢 𝑣 𝐴 𝑚 2. 13

Nessa equação, os sobrescritos “–“ fazem referência às propriedades tomadas a montante do PIG, enquanto que os sobrescritos “ ” referenciam as propriedades tomadas a jusante do PIG (vide Figura 2.2). Nota-se ainda, que 𝐴 é a área da seção transversal do PIG e 𝑚 é a vazão mássica de by-pass através da folga entre o PIG e a parede do duto, 𝛿. Essa vazão mássica, devido ao fato de 𝛿 ter dimensões muito inferiores ao diâmetro do PIG, pode ser modelada pelo escoamento entre duas placas planas paralelas, de modo que

𝑚 �̅�𝜋𝐷

𝛿12𝜇

𝑝 𝑝𝐿

𝛿2

𝑣 2. 14

onde 𝐿 é o comprimento do PIG e 𝜇 a viscosidade do fluido. A massa específica média, �̅�, é calculada neste trabalho como a média das massas específicas a montante e a jusante do dispositivo. Com essas três equações e o acoplamento com a solução do problema do escoamento no duto, é possível resolver o problema do movimento do PIG. Entretanto, é necessário ainda modelar os termos das forças que atuam sobre ele.

Desta forma, conhecidos os termos de força externa do lado direito da equação 2.12 , o sistema de equações composto pelas equações 2.12 , 2.13 e 2.14

encontra-se fechado, onde as incógnitas são 𝑣 , 𝑝 e 𝑢 . Nota-se que as variáveis 𝜌 e 𝜌 são determinadas a partir de 𝑝 e 𝑝 por meio da equação de estado 2.5 .

2.2.1 Modelagem da força de pressão 𝐹

A força 𝐹 atuante sobre o PIG é oriunda da diferença entre a pressão a montante e a jusante do dispositivo. Assim, seu cálculo pode ser feito através da seguinte expressão

𝐹 𝑝 𝑝 𝐴 2. 15

2.2.2 Modelagem da força hidrodinâmica 𝐹

A força hidrodinâmica, tal como a vazão 𝑚 , pode ser modelada pelo escoamento entre duas placas planas, sendo igual à tensão cisalhante agindo sobre uma delas vezes sua área. Desenvolvendo-se essa expressão, chegamos a

𝐹 𝜋𝐷𝐿 𝜇

𝑣𝛿

𝑝 𝑝2𝐿

𝛿

2. 16

8

Essa equação parte do princípio que toda a lateral do PIG teria uma folga 𝛿 por onde passaria a vazão de by-pass de fluido. Entretanto, é fato que isso não acontece, uma vez que, em determinados pontos do PIG, haverá contato direto entre a superfície do dispositivo e a parede do duto. Para levar em conta esse efeito, o modelo de força hidrodinâmica leva em conta uma razão de contato 𝜉 (CAMPO, 1998), considerada constante (PATRÍCIO, et al., 2016)(a), definida como a razão entre a área lateral do PIG submetida a contato direto com a parede do duto e a área lateral total do PIG. Assim, o modelo corrigido para 𝐹 torna-se

𝐹 1 𝜉 𝜋𝐷𝐿 𝜇

𝑣𝛿

𝑝 𝑝2𝐿

𝛿 2. 17

2.2.3 Modelagem da força mecânica 𝐹

O modelo geral de força mecânica considera os casos de atrito estático (𝐹 ) e dinâmico (𝐹 ). Assim, temos que

𝐹sign 𝑣 𝐹 , se 𝑣 0

sign 𝐹 𝐹 𝑀𝑔 sin 𝛽 𝐹 , se 𝑣 0 e 𝑣 0𝐹 𝐹 𝑀𝑔 sin 𝛽 , se 𝑣 0 e 𝑣 0

2. 18

Tanto o caso de atrito estático quanto o dinâmico podem ser modelados, de forma mais geral, como forças oriundas do comportamento elástico do PIG e de fatores de atrito. Nessa abordagem, a força passa a ser função de uma interferência entre o PIG e o duto e das pressões a montante e a jusante do dispositivo. Essa é a abordagem utilizada nos trabalhos desenvolvidos por Patrício (2016), Patrício, et al (2016)(a) e Patrício, et al (2016)(b) para o deslocamento de PIG em meios monofásicos. Entretanto, neste trabalho, faremos a simplificação de que tanto 𝐹 quanto 𝐹 são constantes e iguais a uma força máxima 𝐹 , fornecida como parâmetro, vezes a fração de contato 𝜉. Assim

𝐹 𝜉𝐹 2. 19

𝐹 𝜉𝐹 2. 20

Esta estratégia, embora simples, é utilizada por softwares consagrados na área de simulação de escoamentos em dutos, como o OLGA (SCLUMBERGER).

9

3 Abordagem numérica

3.1 Abordagem numérica do problema do escoamento

3.1.1 Forma conservativa do sistema de equações

As equações 2.1 e 2.2 podem ser reescritas em sua forma conservativa como

𝜕𝑸𝜕𝑡

𝜕𝑭 𝑸𝜕𝑥

𝑺 𝑸 3. 1

Essa equação vetorial é a forma genérica de se escrever um sistema de equações parciais hiperbólico, organizando-se as variáveis em um vetor de variáveis conservadas (𝑸), um termo de fluxo (𝑭) e um termo fonte (𝑺). Para o nosso conjunto de equações, esses três vetores podem ser escritos em função das variáveis do escoamento como

𝑸 𝜌 𝜌𝑢 3. 2

𝑭 𝜌𝑢 𝜌𝑢 𝑝 3. 3

𝑺 0

𝜏 𝑆𝐴

𝜌𝑔 sin 𝛽 3. 4

A partir do vetor de variáveis conservadas, é possível determinar também o vetor de variáveis primitivas (𝑾), definido como

𝑾 𝑝 𝑢 3. 5

A obtenção do vetor de variáveis primitivas é o objetivo final da simulação numérica do escoamento. Entretanto, de forma geral, a implementação é feita baseada na equação 3.1 , sendo obtido como resultado o vetor de variáveis conservadas, a partir do qual

extrai-se o vetor de primitivas. Alternativamente, é possível a formulação do problema em função do vetor de variáveis primitivas, de modo que a equação vetorial assume a forma

𝑴𝑨

𝜕𝑾𝜕𝑡

𝑴𝑩𝜕𝑾𝜕𝑥

𝑺 𝑾 3. 6

10

Embora esta forma de escrever o problema não seja útil do ponto de vista de implementação dos métodos numéricos, esta forma é essencial para a realização da análise de hiperbolicidade do sistema de equações diferenciais.

3.1.2 Análise de hiperbolicidade

Com base na representação do problema dada pela equação 3.6 , é possível garantir a hiperbolicidade do conjunto de equações desde que todos os autovalores 𝜆 do problema sejam reais. Os autovalores podem ser determinados com base na equação 3.7

det 𝑴𝑩 𝜆𝑴𝑨 0 3. 7

A partir da equação 3.1 e da equação de estado 2.5 , as matrizes 𝑴𝑨 e 𝑴𝑩 podem ser obtidas. Assim

𝑴𝑨

1𝑐

0

𝑢𝑐

𝜌

3. 8

𝑴𝑩

𝑢𝑐

𝜌

𝑢𝑐

1 𝜌𝑢

3. 9

e o polinômio característico pode ser determinado como

𝑢 𝜆 𝑐 3. 10

o que leva aos seguintes resultados de autovalores

𝜆 𝑢 𝑐 𝜆 𝑢 𝑐 3. 11

Como ambos os autovalores são sempre reais, o sistema de equações é de fato hiperbólico e pode ser resolvido pelos métodos numéricos propostos neste trabalho.

11

3.1.3 Métodos para a solução de sistemas de equações hiperbólicos

Devido à complexidade da maioria dos problemas envolvendo o escoamento de fluidos, em especial quando considera-se o comportamento transiente destes, é praticamente impossível de se obter soluções analíticas, sendo em geral necessário fazer-se uso de métodos numéricos. Para esse fim, é necessário reescrever a equação que modela o escoamento isotérmico em um duto (equação 3.1 ) em sua forma discretizada no tempo e no espaço. Para esse fim, neste trabalho foi usada uma abordagem de diferenças finitas, na qual derivadas são transformadas em diferenças algébricas (OMGBA-ESSAMA, 2004)

𝑸 𝑸

𝛥𝑡𝛥𝑥

𝑭 𝑭 𝛥𝑡𝑺 3. 12

Nessa equação discretizada, Δ𝑡 e Δ𝑥 são, respectivamente, o passo no tempo e o tamanho de malha. Já a grandeza 𝑭 representa o fluxo numérico, cujo método de determinação é definido pelo método numérico utilizado.

Na equação 3.12 , o sobrescrito 𝑛 indica o passo de tempo atual e o subscrito 𝑗 o número da célula no centro d qual as grandezas são avaliadas. Vale ressaltar que,

para os casos de subscritos 𝑗 e 𝑗 , temos que

𝑭

12

𝑭 𝑭3. 13

𝑭

12

𝑭 𝑭3. 14

Nota-se que, enquanto as grandezas com subscrito inteiro são avaliadas no centro da célula indicada por seu subscrito, as grandezas com subscrito fracionado são avaliadas na fronteira ente as duas células, e seu subscrito indica a média do número das células em cuja fronteira a grandeza é avaliada. Essa ideia é ilustrada pela Figura 3.1, onde o centro das células é simbolizado pelos círculos pretos e sua fronteira por barras pretas.

Figura 3.1: Ilustração do ponto de avaliação das grandezas conforme o índice.

12

Para este trabalho, foram selecionados seis métodos numéricos para o cálculo do fluxo numérico. Seguindo a divisão usada em Omgba (2004), os métodos apresentados podem ser divididos em métodos baseados em diferenças centradas e métodos baseados nos autovalores do sistema de equações diferenciais.

3.1.3.1 Métodos baseados em diferenças centradas

3.1.3.1.1 Lax-Friedrichs

Esse é o método mais simples para a solução de equações hiperbólicas, sendo de primeira ordem no espaço e no tempo. Neste método, o fluxo numérico é dado por

𝑭

12

𝑭𝒋 𝟏 𝑭Δ𝑥2Δ𝑡

𝑸 𝑸 3. 15

3.1.3.1.2 Richtmyer

Método numérico baseado na aproximação por séries de Taylor em que o fluxo numérico é computado como sendo o fluxo obtido e função de um passo intermediário, calculado a partir da solução de Lax-Friedrichs para os pontos médios. Assim

𝑭 𝑭 𝑸 3. 16

O vetor intermediário, por sua vez, é obtido por

𝑸 𝑸

Δ𝑡2Δ𝑥

𝑭 𝑸 𝑭 𝑸Δ𝑡2

𝑺 𝑸 3. 17

3.1.3.1.3 Force

Os métodos de Richtmyer e Lax-Friedrichs são métodos, respectivamente, muito dispersivo e muito difusivo. Isso faz com que o resultado obtido por Lax-Friedrichs amorteça a maioria das características de interesse do escoamento, enquanto o resultado obtido por Richtmyer tenda a causar oscilações na resposta de origem puramente numérica. Tendo isso em mente, foi proposto um esquema de primeira ordem (TORO, 1999) que, com o objetivo de balancear essas características, assume o valor do fluxo numérico como sendo uma média dos valores de Lax-Friedrichs e Richtmyer. Assim

13

𝑭

12

𝑭 𝑭 3. 18

3.1.3.1.4 FCT (Flux Corrected Transport)

Esse método (BOOK, BORIS & HAINK, 1975; BORIS & BOOK, 1973) foi o primeiro método a inserir na literatura o conceito de limitadores. É um método tipo preditor-corretor em que uma grande quantidade de difusão é introduzida na fase da predição, sendo corrigida no estágio de correção por uma quantidade próxima de anti-difusão introduzida nesse estágio.

A primeira etapa desse método consiste no cálculo de um vetor atualizado (𝑸) a partir da solução gerada pelo método de Richtmyer. Seguindo a tendência de trabalhos anteriores desenvolvidos no LabMFA (FIGUEIREDO, et al., 2012; FIGUEIREDO, et al., 2016; PATRÍCIO, et al., 2017), o cálculo deste preditor não levou em conta o termo fonte, nem no cálculo do preditor do Richtmyer, nem no cálculo da solução para um passo deste.

O método começa pelo cálculo do fluxo difusivo, seguido pela difusão da solução

𝑭 𝜈 𝑸 𝑸 3. 19

𝑸 𝑸 𝑭 𝑭

3. 20

Após a difusão da solução, calcula-se o fluxo anti-difusivo

𝑭 𝜈 𝑸 𝑸 3. 21

Com o objetivo de se evitar o surgimento de novos máximos ou mínimos ou a acentuação dos já existentes, torna-se necessário limitar o fluxo anti-difusivo. Assim

𝑠 sign 𝑭

3. 22

𝑭 𝑠 ∙ max 0, min 𝑠 ∙ 𝑸 𝑸 , 𝑭 , 𝑠 ∙ 𝑸 𝑸

3. 23

Por fim, calcula-se o fluxo numérico a partir dos valores difusivo e anti-difusivo limitado

14

𝑭

Δ𝑥Δ𝑡

𝑭 𝑭 3. 24

Os coeficientes de difusão e anti-difusão, 𝜈 e 𝜈 são assumidos como constantes e iguais a 0,125.

3.1.3.2 Métodos baseados nos autovalores

3.1.3.2.1 Rusanov

O método mais simples baseado em autovalores, aplicável a uma grande variedade de problemas não-lineares unidimensionais é o método de Rusanov. Neste método de primeira ordem, o fluxo numérico é calculado como

𝑭

12

𝑭 𝑭 𝜆 𝑸 𝑸 3. 25

Nessa equação, 𝜆 é um valor médio da velocidade de propagação de onda, dado por

𝜆 max max 𝜆 , max 𝜆 , 𝑘 1, 𝑁 3. 26

onde 𝑁 é o número de equações do modelo numérico utilizado, no caso, 2.

3.1.3.2.2 MUSCL-Rusanov

Método que combina a abordagem MUSCL com a forma de avaliar os autovalores utilizada no método de Rusanov. O cálculo desse método começa pela determinação de diferenças limitadas 𝛿𝑸 , calculadas pela relação

𝛿𝑸 Min mod 𝑸 𝑸 , 𝑸 𝑸 3. 27

onde a função Min mod pode ser calculada em sua forma de primeira ordem como

Min mod 𝑥, 𝑦

12

sign 𝑥 sign 𝑦 min |𝑥|, |𝑦| 3. 28

15

Fazendo uso dessas diferenças limitadas, podemos determinar o vetor de passo

de tempo intermediário 𝑸

𝑸 𝑸

Δ𝑡2Δ𝑥

𝑭 𝑸12

𝛿𝑸 𝑭 𝑸12

𝛿𝑸𝛥𝑡2

𝑺 3. 29

Com o vetor intermediário determinado é possível calcular os vetores de estado 𝑸 e

𝑸 como

𝑸 𝑸

12

𝛿𝑸 𝑸 𝑸12

𝛿𝑸 3. 30

Uma vez em posse dos vetores de estado, calculamos o limitador dissipativo 𝚽

𝚽

𝛥𝑡Δ𝑥

𝜆 𝑸 𝑸 3. 31

onde, tal como no Rusanov, 𝜆 é calculado pela equação 3.26 . Por fim, o cálculo do

fluxo numérico é feito por

𝑭

12

𝑭 𝑸 𝑭 𝑸Δ𝑥2Δ𝑡

𝚽 3. 32

3.1.4 Imposição das condições de contorno

A solução do sistema de equações diferenciais parciais proposto depende da imposição adequada de condições de contorno. O método escolhido para impor essas condições nos testes feitos é com o uso de ghost cells (OMGBA-ESSAMA, 2004), no qual células adicionais são criadas tanto na entrada quanto na saída do duto (uma na entrada e uma na saída), e nessas células as condições de contorno são impostas.

A cada passo de tempo, a ghost cell, ao fim dos cálculos referentes ao passo, recebe a condição de contorno nela imposta (velocidade no caso da entrada do duto e pressão no caso da saída). A outra variável do vetor de primitivas que não é imposta como condição de contorno na respectiva célula é copiada de sua célula vizinha. Após a atualização do vetor de primitivas dessas células, os vetores de conservadas e de fluxo correspondentes às ghost cells são atualizados com base nos novos valores de 𝑝 e 𝑢.

16

3.1.5 Critérios de estabilidade

A estabilidade dos métodos numéricos está, em geral, atrelada a relação entre a discretização no tempo e a discretização no espaço. Essa relação é, em geral, expressa pela condição de 𝐶𝐹𝐿, dada por

𝐶𝐹𝐿

𝜆 Δ𝑡Δ𝑥

3. 33

Nesse critério, 𝜆 é um limite superior dos autovalores do problema simulado. A estabilidade dos métodos numéricos é vinculada a um limite máximo de 𝐶𝐹𝐿, em geral igual ou inferior a 1, sendo que quanto mais próximo desse limite superior para dado tamanho de malha e tempo de simulação, mais eficiente é o método numérico, pois um número menor de passos no tempo é necessário.

De forma geral, os métodos numéricos aqui estudados exigem que o 𝐶𝐹𝐿 seja inferior a 1, entretanto para o caso do FCT, a condição de estabilidade exige que o valor de 𝐶𝐹𝐿 seja inferior a 0,5 (SOD, 1985).

3.2 Abordagem numérica do problema do PIG

Nesta seção é descrita a abordagem numérica utilizada na solução do movimento do PIG dentro do duto. Para facilitar o entendimento do método de solução proposto, a descrição iniciará pelo acoplamento entre o modelo de PIG e o modelo de escoamento no duto. Após a discussão do acoplamento, são apresentados os métodos numéricos utilizados para a solução das equações que regem o movimento do PIG.

3.2.1 Acoplamento do escoamento com o modelo do PIG

Para o presente trabalho, o PIG é modelado como uma fronteira móvel de dimensões muito inferiores ao duto (𝐿 ≪ 𝐿). Dessa forma, o comprimento do PIG é desprezado em sua localização no interior do duto, de modo que se considera como se este sempre estivesse dentro de uma única célula 𝐽, cujo índice é dado por

𝐽 𝑖𝑛𝑡𝑥Δ𝑥

0,5 3. 34

onde 𝑥 é a posição do PIG dentro do duto, e a função 𝑖𝑛𝑡 𝑥 retorna o inteiro mais próximo do valor 𝑥. Nota-se que esta equação presume que o PIG entra na célula apenas quando este passa de seu centro. Essa escolha foi feita pois, para os métodos numéricos de solução do escoamento no duto, os valores das variáveis primitivas calculados para cada célula são os valores em seus centros. Vale ressaltar que, independentemente do método utilizado para a solução da equação de movimento do

17

PIG, seu deslocamento em cada passo de tempo Δ𝑥 é sempre calculado por um método de Euler simples, sendo

Δ𝑥 𝑣 Δ𝑡 3. 35

Uma vez que o PIG é considerado uma fronteira móvel, o duto de 𝑁 células reais (excluindo as ghost cells) pode ser quebrado em dois dutos, a serem simulados individualmente por métodos descritos na seção 3.1.3. O primeiro duto correspondente à parte a montante do PIG (da célula 1 até a célula 𝐽 1). Para ele, as células 0 e 𝐽 agem como ghost cells, nas quais as condições de contorno são impostas. Já o segundo duto corresponde a parte a jusante do PIG, indo da célula 𝐽 até a célula 𝑁. Para esse duto, as células 𝑁 1 e 𝐽 1 são as ghost cells. A Figura 3.2 ilustra como o PIG divide o duto e quais células são utilizadas para a solução de cada parte do escoamento.

Figura 3.2: Separação do duto de acordo com a posição do PIG.

O acoplamento entre o PIG e os dois dutos é feito pelas suas condições de contorno. No caso do duto a montante, a velocidade na entrada (célula 0) é fornecida como condição de contorno do problema do duto como um todo, sendo, portanto, conhecida. Já na célula 𝐽, a célula onde o PIG se encontra, a condição de contorno a ser imposta é uma condição de pressão, a princípio desconhecida. Essa condição de pressão a montante do PIG (𝑝 ) é, por sua vez, calculada pelo método de solução das equações do PIG, por meio das equações 2.12 , 2.13 e 2.14 . Para tal, deve ser fornecido ao método de cálculo do PIG a velocidade do fluido a montante (𝑢 ), calculada como parte da solução do escoamento a montante do dispositivo.

Para o duto a jusante, o tratamento é análogo ao do duto a montante, entretanto neste caso, a condição de pressão na célula 𝑁 1 é conhecida. Cabe ao método de solução do PIG fornecer a condição de velocidade a jusante (𝑢 ) para o contorno 𝐽 1 do duto a jusante, recebendo como insumo dessa vez a pressão 𝑝 . Novamente, são utilizadas as equações 2.12 , 2.13 e 2.14 .

18

Devido ao fato de, a princípio, não termos as informações da solução do escoamento do duto no instante em que vamos resolver o problema do PIG, é necessário utilizar informações do passo anterior para resolvê-lo e, assim, determinar as condições de contorno necessárias para evoluir, no tempo, a solução do duto. Dessa forma, o problema do PIG é resolvido utilizando-se os valores calculados de 𝑢 e 𝑝 pelo passo anterior da solução do problema do duto, retornando, além da nova velocidade do PIG 𝑣 , os valores de 𝑝 e 𝑢 , a serem utilizados para, novamente, resolver o problema do duto.

3.2.2 Métodos de solução da equação de movimento do PIG

Como desenvolvido na seção 2.2, as equações que regem o movimento do PIG em um duto são as equações 2.12 , 2.13 e 2.14 . Essas equações em conjunto formam um sistema de equações diferenciais algébricas, ou seja, o sistema tem equações diferenciais, que expressam funções para as derivadas no tempo de grandezas relevantes, e tem restrições, que são equações algébricas a serem resolvidas junto com o sistema. Esse tipo de sistema exige um tratamento diferente de sistemas de equações diferenciais ordinárias, uma vez que as restrições algébricas não são, a priori, consideradas pelos integradores como os métodos de Runge-Kutta. Embora rotinas comerciais como a DAESL da biblioteca IMSL, baseada no algoritmo DASSL (PETZOLD, 1982), sejam capazes de resolver esse tipo de problema, essas rotinas têm seu código fechado, pouca flexibilidade do código e custo da biblioteca considerável, o que dificulta seu uso no desenvolvimento de pesquisa na área de simulação numérica e motiva a busca por alternativas.

Neste trabalho, duas formas alternativas de solução do problema do PIG são testadas: a primeira consiste na aplicação de métodos de Runge-Kutta para a solução explícita da equação de movimento 2.12 com dados do passo de tempo anterior e posterior solução das equações 2.13 e 2.14 para a determinação das condições de contorno essenciais para a solução do problema do duto; e a segunda consiste na solução das três equações simultaneamente por meio de métodos de Runge-Kutta implícitos capazes de resolver sistemas de equações diferenciais algébricos.

3.2.2.1 Métodos baseados na solução explícita da equação de movimento

A equação 2.12 de movimento do PIG, caso sejam conhecidos os valores de 𝑝 , 𝑢 , 𝑝 e 𝑢 , se reduz a uma equação diferencial ordinária de primeiro grau da forma

𝑦 𝑓 𝑦, 𝑡 3. 36

Nessa equação, 𝑦 representa a velocidade do PIG, 𝑣 , e 𝑓 𝑦, 𝑡 é a força resultante atuando sobre o dispositivo dividida pela sua massa. Uma vez que o PIG parta do repouso (𝑦 0 0) no início da simulação, o problema passa a ser tratado como um problema de valor inicial, para o qual os métodos de Runge-Kutta se aplicam. Esses métodos são caracterizados por serem de passo único, ou seja, não usam o esquema

19

preditor-corretor, e por não demandarem o cálculo de derivadas da função 𝑓 𝑦, 𝑡 , pagando por isso, o preço de ter que calcular o valor da função em diversos pontos (RUGGIERO e LOPES, 2000). De forma geral, os métodos explícitos de Runge-Kutta podem ser resumidos na seguinte formulação genérica

⎩⎪⎨

⎪⎧ 𝑦 𝑦 ℎ 𝑏 𝑘

𝑘 𝑓 𝑦 ℎ 𝑎 𝑘 , 𝑡 𝑐 ℎ

3. 37

Nessa equação, 𝑒 representa a ordem do método, ℎ o passo de tempo do método, o sobrescrito 𝑛 indica o valor da grandeza no 𝑛-ésimo passo de tempo, e as constantes 𝑎 , 𝑏 e 𝑐 são constantes específicas do método, dependendo de sua ordem. A ordem do método numérico e o passo de tempo determina a ordem de seu erro, uma vez que para um método de ordem 𝑒, o erro do resultado aproximado obtido é da ordem de ℎ (RUGGIERO e LOPES, 2000). Neste trabalho, para os métodos de solução baseados na solução explícita da equação de movimento, são testadas três ordens do método de Runge-Kutta, a saber: primeira ordem, ou Euler, segunda ordem ou Ponto Médio, e quarta ordem.

3.2.2.1.1 Método de Euler

O método de Euler, ou Runge-Kutta de primeira ordem, tem a seguinte formulação

𝑦 𝑦 ℎ𝑓 𝑦 , 𝑡 3. 38

Esse método é exato para polinômios de primeiro grau, e retorna erro da ordem de ℎ para os demais casos.

3.2.2.1.2 Método do Ponto Médio

O método do Ponto Médio, ou Runge-Kutta de segunda ordem, tem o seguinte equacionamento

𝑦 𝑦

ℎ2

𝑓 𝑦 , 𝑡 𝑓 𝑦 ℎ𝑓 𝑦 , 𝑡 , 𝑡ℎ2

3. 39

20

De forma análoga ao caso de Euler, esse método é exato para parábolas e retorna erro da ordem de ℎ para os demais casos.

3.2.2.1.3 Método de Runge-Kutta de quarta ordem

O método de Runge-Kutta de quarta ordem é as vezes chamado apenas de Runge-Kutta ou Runge-Kutta clássico. Esse método segue o seguinte procedimento de cálculo

⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧𝑦 𝑦

16

𝑘 2𝑘 2𝑘 𝑘

𝑘 ℎ𝑓 𝑦 , 𝑡

𝑘 ℎ𝑓 𝑦𝑘2

, 𝑡ℎ2

𝑘 ℎ𝑓 𝑦𝑘2

, 𝑡ℎ2

𝑘 ℎ𝑓 𝑦 𝑘 , 𝑡 ℎ

3. 40

Esse método é o método de Runge-Kutta mais utilizado de forma geral em rotinas de soluções de equações diferenciais ordinárias, devido a sua boa relação custo-benefício em termos computacionais. O método é exato para polinômios de até quarta ordem, retornando erros da ordem de ℎ nos demais casos.

3.2.2.1.4 Acoplamento dos métodos explícitos com as equações algébricas: o método do ponto fixo

No início da seção 3.2.2.1, foi dito que a redução da equação 2.12 para uma equação da forma de 3.36 só é possível caso assumamos conhecidos os valores de 𝑝 , 𝑢 , 𝑝 e 𝑢 . Como discutido em 3.2.1, o acoplamento entre o problema do duto e o PIG presume que os valores de 𝑢 e 𝑝 são fornecidos pela solução do escoamento no duto no passo anterior, de modo que são entradas para o cálculo do PIG. Entretanto, cabe ao método de solução do PIG o cálculo de 𝑢 e 𝑝 , necessários para a solução de escoamento no duto no passo seguinte. Como, a princípio, o método de Runge-Kutta explícito não é capaz de resolver em conjunto com a solução da equação de movimento as equações algébricas 2.13 e 2.14 , é necessário o acoplamento desses métodos com um método capaz de determinar a solução das equações algébricas a partir da solução da equação do movimento 2.12 . Para tal, a estratégia implementada foi um método baseado no método de ponto fixo (RUGGIERO e LOPES, 2000), no qual, para uma equação que pode ser escrita na forma 𝑥 𝜑 𝑥 , a solução da equação pode ser determinada iterativamente por meio de

𝑥 𝜑 𝑥 3. 41

21

em que 𝑥 tende a solução da equação quando 𝑘 tende a infinito. Para o nosso caso, a seguinte implementação foi feita:

i.Assume-se, para a solução da equação 2.12 , que todos os valores necessários são iguais aos valores obtidos no passo anterior, atualizando-se 𝑣 por meio dela. Para o caso dos valores que são entradas para o método de solução do PIG (𝑝 e 𝑢 ), esses valores são assumidos constantes durante todo o processo, não sendo atualizados;

ii. Por meio das equações 2.13 e 2.14 , utilizando-se um valor atualizado de 𝑣 , calcula-se a nova aproximação da pressão a montante 𝑝 a partir dos valores anteriores de 𝑝 , 𝑢 e 𝑝 ;

iii. Calcula-se o erro relativo entre 𝑝 e 𝑝 e compara-se com uma tolerância. Caso o valor exceda a tolerância, retorna-se ao passo ii. Caso contrário, continua-se o processo;

iv. Com o valor final de 𝑝 determinado, calcula-se 𝑢 pela equação 2.13 .

3.2.2.2 Métodos baseados na solução implícita da equação de movimento

3.2.2.2.1 RADAU5: Runge-Kutta de quinta ordem com passo variável

A maior desvantagem dos métodos de Runge-Kutta explícitos apresentados em 3.2.2 é o fato de não ser possível resolver a parte diferencial e a parte algébrica com um mesmo método. Para contornar essa dificuldade, foi utilizado neste trabalho a rotina RADAU5, extraída do trabalho de Hairer & Wanner (1996). Esta rotina de solução é uma alternativa àquela descrita na seção 3.2.2.1.4. A rotina apresenta um método de Ruge-Kutta de quinta ordem, implícito, capaz de tratar problemas de múltiplas variáveis que possam ser escritos da forma

𝑴𝒚 𝑭 𝒚, 𝒕 3. 42

onde 𝑴 é uma matriz que pode ser singular ou não. Ao dar suporte a matrizes 𝑴 singulares, o método permite a solução de sistemas de equações diferenciais algébricos por meio da alocação das equações de restrição dentro do vetor 𝑭. A exemplo, o problema do PIG pode ser descrito nessa formulação definindo-se

𝒚 𝑣 𝑝 𝑢 3. 43

𝑴

𝑀 0 00 0 00 0 0

3. 44

22

𝑭 𝒚

𝐹 𝐹 𝐹 𝑀 𝑔 sin 𝛽𝑚 𝜌 𝑢 𝑣𝑚 𝜌 𝑢 𝑣

3. 45

onde a primeira componente da equação vetorial resultante representa a equação 2.12 e as duas linha subsequentes representam as equações 2.13 e 2.14 . Vale ressaltar que o cálculo dos valores para as forças 𝐹 , 𝐹 e 𝐹 ainda seguem o definido pelas equações 2.15 , 2.17 e 2.18 , respectivamente.

3.2.2.3 Subprocessamento do método de solução do PIG

Um parâmetro essencial para a boa simulação do PIG é a seleção do passo de tempo ℎ utilizado em sua integração. Embora, em uma primeira abordagem, o ideal fosse igualar o passo de integração do PIG ao passo de integração do duto (Δ𝑡), essa escolha não necessariamente é a mais adequada, uma vez que as elevadas pressões que tipicamente são encontradas dentro de dutos na indústria de óleo e gás podem levar a acelerações muito abruptas do PIG, em especial durante o início do movimento.

Para contemplar esses casos, foi implementada junto a todos os métodos de solução do PIG anteriormente descritos uma função de subprocessamento que permite, para dado passo Δ𝑡 do método de solução do duto, dividir a solução do PIG em 𝑚 passos de solução, relacionados ao passo do duto por

ℎ

Δ𝑡𝑚

3. 46

Em cada um desses passos, os valores fornecidos pela solução do duto 𝑝 e 𝑢 são considerados constantes, e o método de solução do PIG é acionado 𝑚 vezes, de modo a avançar a resposta do PIG no tempo em um intervalo igual ao avanço do duto, garantindo a boa solução do método mesmo para acelerações muito elevadas do PIG.

23

4 Resultados e discussões

4.1 Propriedades dos fluidos e do duto simulado

Os testes feitos neste trabalho consideraram como fluidos o ar e a água. As principais propriedades físicas destes fluidos podem ser vistas na Tabela 4.1 e na Tabela 4.2.

Tabela 4.1: Propriedades relevantes da água utilizadas.

Grandeza Símbolo Valor Velocidade do som no meio (m/s) 𝑐 1480Viscosidade dinâmica (Pa s) 𝜇 1,0 x 10-3

Pressão de referência (Pa) 𝑝 1,01325 x 105

Massa específica na pressão de referência (kg/m3) 𝜌 997,98

Tabela 4.2: Propriedades relevantes do ar utilizadas.

Grandeza Símbolo Valor Temperatura do ar (K) 𝑇 293,15Constante do ar (J/kgK) 𝑅 287,0Velocidade de propagação de onda (m/s) 𝑐 290,06Viscosidade dinâmica (Pa s) 𝜇 1,9 x 10-5

As simulações foram feitas considerando-se um duto de 45 km de comprimento com um diâmetro de 0,45 m. A parede do duto apresenta uma rugosidade 𝜖 de 4,572 x 10-5 m. O duto é simulado em posição horizontal, de modo que 𝛽 seja igual a 0°, eliminando-se assim os efeitos das forças gravitacionais no escoamento.

Para o cálculo do 𝐶𝐹𝐿 foram utilizados como valores de 𝜆 para a água e para o ar, respectivamente, os valores de 1480 m/s (igual a velocidade do som) e 400 m/s.

4.2 Escoamento em regime permanente em duto

Um dos problemas de maior interesse que pode ser resolvido utilizando os métodos aqui trabalhados é a descrição do escoamento em tubulações em regime permanente. A análise desse problema pode permitir tanto a determinação das curvas de perda de carga ao longo do duto quanto a distribuição de velocidades neste, o que é relevante no caso do escoamento de gases, onde a significativa variação de massa específica permite significativas variações da velocidade ao longo do duto. Esse caso é também usado nos estudos de acurácia dos métodos.

Para as simulações do escoamento em regime permanente, tanto para a água quanto para o ar, os valores das condições de contorno impostas podem ser vistas na Tabela 4.3.

24

Tabela 4.3: Condições de contorno e tempo total simulado para escoamento em regime permanente.

Condição Água Ar Velocidade na entrada do duto (m/s) 2,0 5,0 Pressão na saída do duto (Pa) 6,0 x 106 6,0 x 106 Tempo total simulado (s) 873 42500

A escolha do tempo total simulado é essencial para garantir que a simulação atinja o regime permanente, estado no qual espera-se que a resposta não varie mais com o tempo. Os valores selecionados foram escolhidos com base em testes preliminares, feitos com malha de 2500 células e 𝐶𝐹𝐿 de 0,45 de modo a determinar o tempo necessário para a convergência. Sendo o tempo necessário para atingir-se o regime permanente um fenômeno físico, dependente da velocidade de propagação de onda no meio, espera-se que, independentemente do método utilizado para solução do problema, a convergência ocorra sempre em tempos simulados próximos. Entretanto, como forma de garantir a convergência dos métodos, um excedente de cerca de 50% do tempo de convergência foi adicionado aos tempos obtidos por esses testes. Um critério de convergência, oriundo de uma aproximação da derivada temporal da norma do vetor 𝑸, foi também avaliado durante a solução como forma de garantir a convergência, a saber

𝑸 𝑸

Δ𝑡 𝑸𝜀

4. 1

em que 𝜀 é uma tolerância imposta e 𝑁 é o número de células usadas na discretização. Embora fosse também possível realizar a simulação até um ponto em que o critério 4.1 acusasse que o regime permanente foi atingido, manter um ponto no tempo fixo como critério de parada e apenas confirmar a convergência pelo critério foi a alternativa escolhida, pois permite a comparação de resultados de simulação em um mesmo instante de tempo.

4.2.1 Análise de acurácia dos métodos numéricos

Uma parte essencial do estudo de métodos numéricos é a análise de acurácia destes, em especial no espaço. Essa análise foi feita por meio de cinco testes, nos quais o duto foi discretizado em 100, 500, 1000, 2500 e 5000 células. De modo a avaliar o impacto da discretização no espaço de forma independente da discretização no tempo, o valor de Δ𝑡 foi mantido fixo nesses testes, sendo seu valor correspondente a um 𝐶𝐹𝐿 de 0,45 para a malha mais refinada. Os resultados dos testes para o caso Richtmyer e Lax-Friedrichs, executados para a água, podem ser vistos a seguir (Figura 4.1 a Figura 4.4). É importante notar que esses resultados servem de exemplo da diferença entre métodos dispersivos e métodos difusivos. Métodos difusivos tendem a amortecer a maioria das características do escoamento, enquanto métodos dispersivos tendem a apresentar soluções oscilatórias e ondulações numéricas, que podem levar e instabilidades (OMGBA-ESSAMA, 2004). O caráter amortecedor dos métodos difusivos

25

leva a curvas mais arredondadas, como as que podem ser vistas na Figura 4.3 para o teste de acurácia de pressão e Figura 4.4 para o teste de acurácia de velocidade, ambas para o resultado do método de Lax-Friedrichs. Já métodos dispersivos tendem a representar melhor os detalhes da curva, gerando resultados próximos da resposta obtida para malhas mais refinadas mesmo com discretizações grosseiras, como fica evidente pela Figura 4.1, onde a análise de acurácia da pressão ao longo do duto para o método de Richtmyer mostra que diferenças entre a curva para 100 células e para 5000 células são praticamente imperceptíveis. Entretanto, os métodos dispersivos mostram-se sensíveis a oscilações numéricas, como fica evidente pela Figura 4.2, onde são mostradas as curvas de velocidade obtidas pela análise de acurácia do método de Richtmyer.

Figura 4.1: Pressão para a solução do escoamento de água pelo método de Richtmyer.

26

Figura 4.2: Velocidade para a solução do escoamento de água pelo método de Richtmyer.

Figura 4.3: Pressão para a solução do escoamento de água pelo método de Lax-Friedrichs.

27

Figura 4.4: Velocidade para a solução do escoamento de água pelo método de Lax-Friedrichs.

Os resultados obtidos para todos os testes executados nesta seção podem ser vistos no Apêndice A. Uma análise completa das curvas obtidas permitiu constatar que, pelo comportamento observado das respostas numéricas, em especial olhando para as curvas de velocidade do escoamento, que os métodos Richtmyer (Figura A.6) e MUSCL-Rusanov (Figura A.22) apresentam um caráter mais dispersivo, enquanto os métodos Lax-Friedrichs (Figura A.2) e FORCE (Figura A.10) apresentam um caráter predominante difusivo. Os métodos Rusanov (Figura A.18) e FCT (Figura A.14) apresentaram um caráter intermediário em comparação com os demais métodos,. Entretanto, entre os dois o FCT apresenta maior proximidade dos métodos difusivos, enquanto o Rusanov é mais próximo dos métodos dispersivos.

Outro aspecto que merece destaque, já observável nesses testes, é a influência das condições de contorno na solução final. Como fica evidente na Figura 4.4, as oscilações induzidas para malhas grosseiras pelo método de Richtmyer são mais intensas próximas dos contornos, em especial no início do duto, onde a condição de velocidade é imposta. Em geral, métodos dispersivos tendem a apresentar oscilações induzidas sempre próximas a descontinuidades. Embora não haja uma descontinuidade física no contorno, o método numérico de solução é quem gera a descontinuidade na solução. Outro caso em que fica evidente o impacto dos contornos na resposta final é para a curva de velocidade do caso MUSCL-Rusanov, mostrada na Figura 4.5. Nesse caso, mais uma vez o impacto das condições de contorno na resposta fica evidente. Entretanto, esse impacto mostra-se restrito, em todas as malhas testadas para o método MUSCL-Rusanov, a uma célula além da ghost cell, o que indica, e é confirmado pela Figura 4.5, que em casos de malhas mais refinadas, essas perturbações tendem a se reduzir, tornando-se desprezíveis frente ao valor real da grandeza.

28

Figura 4.5: Velocidade para a solução do escoamento de água pelo método MUSCL-Rusanov.

A análise de acurácia neste trabalho é baseada na energia cinética integrada ao longo do duto como um todo (FIGUEIREDO, et al., 2016). Assim, pode-se definir uma grandeza 𝑃, dada por

𝑃

12

𝜌𝑢 𝐴𝑑𝑥 4. 2

A medida de erro para a malha de 𝑁 divisões é dada por

𝐸 𝑁

𝑃 𝑁 𝑃𝑃

4. 3

onde, para nosso estudo, é assumido 𝑃 𝑃 5000 , escolhendo, assim, como referência a malha mais refinada utilizada nos testes. Os valores obtidos para essa análise nos testes com água são mostrados na Figura 4.6, onde são postos como função de um tamanho de malha adimensional, definido como 1/𝑁. Na figura, também aparecem as linhas cuja inclinação representa métodos de segunda e de primeira ordem.

29

Figura 4.6: Teste de acurácia no espaço para a simulação do escoamento de água.

Por esses resultados, é possível concluir que os métodos dispersivos apresentam erros menores mesmo com malhas mais grosseiras. A comparação da Figura 4.2 e da Figura 4.5 com a Figura 4.4 parecem confirmar essa tendência, uma vez que, mesmo com o comportamento oscilatório apresentado pelo método de Richtmyer, é possível ver que, em média, seu resultado se encontra mais próximo do caso de referência de que, por exemplo, o que ocorre com o Lax-Friedrichs. Apesar disso, é interessante notar que os métodos difusivos apresentam ordens de convergência maiores que os métodos dispersivos, ficando mais próximos de segunda ordem que os métodos dispersivos, que em geral se mantém mais próximos de primeira ordem. Isso faz com que, para malhas mais refinadas, os erros de ambos os tipos de método se aproximem.

A mesma análise foi repetida para o escoamento de ar, como pode ser visto na Figura 4.7.

30

Figura 4.7: Teste de acurácia no espaço para a simulação do escoamento de ar.

Os resultados obtidos na análise de acurácia no espaço para o escoamento de ar concordam com os resultados obtidos para a água, corroborando as discussões já apresentadas. Além disso, no caso do ar, fica mais evidente a diferença de ordem entre os métodos dispersivos e difusivos, assim como o aumento de ordem apresentado por ambos conforme aumenta-se a discretização do duto. Vale a pena notar que todos os resultados obtidos até o momento para o FCT concordam em tendência com os obtidos para o FCT por Figueiredo, et al. (2012) o que, embora não sirva de validação para toda a análise feita, legitima os métodos utilizados para os estudos apresentados.

Outro aspecto importante que deve ser notado é que, para qualquer discretização, a simulação do escoamento com ar retornou erros maiores que a simulação com água, indicando que meios gasosos tendem a ser representados com maiores erros. Esse resultado pode ser justificado pela maior compressibilidade de meios gasosos, o que faz com que as variações nas grandezas, em especial a velocidade, sejam mais apreciáveis nos gases, tal como seus erros. Sendo a métrica da energia cinética total proporcional ao quadrado da velocidade, diferenças absolutas maiores nessa grandeza tendem a levar a medidas de erro maiores.

Para o leitor interessado, as curvas obtidas na análise da acurácia no espaço para todos os métodos em ar também são apresentadas no Apêndice A. Para fins de comparação qualitativa, os resultados para a simulação do escoamento de ar pelo método de Richtmyer e pelo método de Lax-Friedrichs são também apresentadas. Mais uma vez, é interessante salientar como a diferença entre as curvas para diferentes discretizações é acentuada em escoamentos gasosos. Comparando-se as curvas apresentadas para escoamentos de líquidos (Figura 4.1 a Figura 4.4) com suas curvas correspondentes para o escoamento de gás (Figura 4.8 a Figura 4.11), em especial atentando-se para a escala dos gráficos, vê-se que a distância entre os resultados gerados por discretizações diferentes para gás é bem mais acentuada que para líquidos, em especial nas curvas de velocidade, o que justifica os maiores erros obtidos.

31

Figura 4.8: Pressão para a solução do escoamento de ar pelo método de Richtmyer

Figura 4.9: Velocidade para a solução do escoamento de ar pelo método de Richtmyer

32

Figura 4.10: Pressão para a solução do escoamento de ar pelo método de Lax-Friedrichs

Figura 4.11: Velocidade para a solução do escoamento de ar pelo método de Lax-Friedrichs

Duas outras conclusões importantes podem ser obtidas a partir do estudo de acurácia no espaço: primeiro, considerando-se um erro máximo de 5% aceitável para fins de aplicações de engenharia, uma malha de 2500 células é suficiente para todos os métodos tanto na simulação de líquidos quanto de gases. Além disso, comparando os valores de erro obtidos e o perfil final das curvas, o método MUSCL-Rusanov se apresenta como a melhor opção do ponto de vista de resultados, uma vez que apresenta um baixo erro relativo, da mesma ordem do erro relativo do Richtmyer, sem, entretanto, apresentar uma componente oscilatória proeminente. Vale ressaltar que, do ponto de

33

vista de eficiência computacional, para o problema de determinação de regime permanente em um duto, o método Rusanov apresenta-se como uma boa opção, pois além de bons níveis de erro, abaixo de todos os métodos difusivos, esse método apresenta um custo computacional muito baixo para problemas que, como no caso monofásico estudado, permitem um cálculo analítico dos autovalores. De fato, o método Rusanov foi, na maioria dos testes executados, o método que demandou o menor tempo computacional, e seus resultados rivalizam em qualidade com o FCT, que é o atual padrão utilizado nos trabalhos desenvolvidos pelo LabMFA. Isso é em especial evidenciado ao compararmos o tempo de CPU de cada método, em segundos, para o caso mais refinado no teste de acurácia no espaço, apresentado na Tabela 4.4. Nela, podemos ver que o método de Rusanov foi o que, para todos os casos, demandou o menor tempo de CPU, o que serve de indício de sua eficiência computacional. Vale ressaltar que o hardware de referência, em que os testes foram rodados, trata-se de um computador com sistema operacional Windows 10, processador Intel i7 e 8 GB de memória RAM.

Tabela 4.4: Tempo de CPU em segundos para malha de 5000 células

Método Água Ar FCT 1450,0 17618,7 Lax-Friedrichs 782,3 9775,9 Richtmyer 878,5 10220,9 FORCE 1069,7 11014,6 Rusanov 643,6 6993,0 MUSCL-Rusanov 1525,0 16912,1

4.2.2 Comparação dos resultados com a solução analítica

4.2.2.1 Solução analítica

As equações 2.1 , 2.2 , 2.5 e 2.9 , para o caso de escoamento de um fluido em regime permanente em um duto (derivadas no tempo igual a zero, velocidade do escoamento sempre positiva) horizontal (𝛽 0) permitem modelar a velocidade do escoamento ao longo do duto pela seguinte equação diferencial

1𝑢

𝑑𝑢𝑑𝑥

11

𝑀𝑆𝑓2𝐴

4. 4

Uma dedução completa desta equação pode ser encontrada no apêndice A. Nela, 𝑢 representa a solução analítica para a velocidade em regime permanente e 𝑓 é o fator de atrito no duto calculado em regime permanente. Como o fator de atrito é função do número de Reynolds, constante ao longo do duto para o regime permanente (supondo 𝜇 constante), 𝑓 é um valor também constante. Ainda na equação 4.4 , 𝑀 é o número adimensional de Mach, definido como

34

𝑀

𝑢𝑐

4. 5

Essa EDO tem uma solução analítica que gera uma expressão implícita para a velocidade do escoamento ao longo do duto. Entretanto, com uma análise mais detalhada do termo entre parênteses na equação 4.4 , podemos ver que para velocidades do escoamento muito inferiores a velocidade característica 𝑐 (números de Mach muito inferiores a unidade), uma solução explícita aproximada pode ser calculada partindo-se da seguinte aproximação

1

1𝑀

1𝑀

4. 6

Assim, para os nossos casos de estudo, em que 𝑀 ≪ 1, a solução analítica para a velocidade do escoamento no duto pode ser calculada por

𝑢 𝑥 𝑢𝑆𝑓 𝑥

𝐴𝑐

4. 7

onde 𝑢 é a velocidade imposta como condição de contorno na entrada do duto. A solução analítica para a pressão é deduzida a partir da solução analítica para a velocidade e a lei de conservação de massa. Considerando 𝑝 a pressão imposta na saída do duto (em 𝑥 𝐿), a conservação de massa nos permite escrever que

𝜌 𝑝 𝑥 𝑢 𝑥 𝜌 𝑝 𝑢 𝐿 4. 8

onde 𝑝 𝑥 é a função que descreve a variação de pressão ao longo do duto e 𝜌 𝑝 é dada pela equação 2.5 . Desenvolvendo a expressão, é possível escrever

𝑝 𝑥

𝑝 𝑢 𝐿𝑢 𝑥

𝑝 𝑐 𝜌 1𝑢 𝐿𝑢 𝑥

4. 9

4.2.2.2 Comparação com a solução analítica

Para a comparação dos resultados dos métodos com a solução analítica, foram gerados resultados tanto para água quanto para gás com malhas de 2500 células, de acordo com as conclusões obtidas na seção 4.2.1. O 𝐶𝐹𝐿 usado foi de 0,45, de modo a ser ligeiramente inferior ao valor máximo para a estabilidade do método FCT. Nesta seção, são apresentados os comparativos dos resultados obtidos.

35

Figura 4.12: Comparativo da solução analítica para a pressão com os resultados obtidos para os métodos numéricos em escoamento de água.

Figura 4.13: Comparativo da solução analítica para a pressão com os resultados obtidos para os métodos numéricos em escoamento de ar.

36

Figura 4.14: Comparativo da solução analítica para a velocidade com os resultados obtidos para os métodos numéricos em escoamento de água.

Figura 4.15: Comparativo da solução analítica para a velocidade com os resultados obtidos para os métodos numéricos em escoamento de ar.

Observando-se os resultados, é possível ver que dentre as grandezas estudadas, a pressão é a menos sensível aos erros numéricos, em especial para o caso de simulações em água (Figura 4.12), uma vez que as variações de pressão presentes no duto tendem a ser bem maiores que os erros introduzidos pelo método. Na verdade, é interessante notar que para o escoamento de água, todos os métodos geraram uma

37

curva de pressão praticamente igual a solução analítica, o que pode ser justificado pelo fato de a incompressibilidade do líquido levar a velocidades praticamente constantes ao longo do duto e mais próximas da solução analítica que o escoamento de gás, como pode ser visto ao compararmos a Figura 4.14, com os resultados de velocidade para o líquido, e a Figura 4.15, com os resultados de velocidade para o gás. A maior proximidade da velocidade introduz menos erros no cálculo da perda de carga oriunda da tensão cisalhante na parede do duto, uma vez que esta é proporcional ao quadrado da velocidade, pela equação 2.9 . Também vale a pena notar que os erros maiores na pressão ocorrem na extremidade oposta à condição de contorno de pressão imposta, ou seja, no ponto mais distante na malha do ponto em que a pressão é imposta, o que é em especial evidente ao olharmos a Figura 4.13 para o escoamento de ar.

Outro fato que merece atenção é o erro inerente da imposição de condições de contorno pelo método das ghost cells, algo evidenciado em especial pelas curvas de velocidade apresentadas na Figura 4.14 e na Figura 4.15. É possível ver, ao observar os resultados, que a velocidade do escoamento na entrada do duto obtida no resultado final é ligeiramente inferior a imposta como condição de contorno tanto no caso do líquido quanto do gás. Isso faz com que todas as respostas numéricas obtidas para a velocidade sejam deslocadas em relação a solução analítica ligeiramente para baixo, introduzindo um erro sistemático para dada malha. Vale ressaltar que, observando-se as curvas do teste de acurácia de malha apresentadas em 4.2.1, que o uso de malhas mais refinadas, por reduzir as dimensões das ghost cells, tende a reduzir esse erro sistemático, o que fica evidente ao compararmos as curvas apresentadas na Figura 4.5 com a resposta analítica, o que é feito na Figura 4.16. Nela, fica evidente a redução do erro introduzido pelas condições de contorno com o aumento do número de células, não apenas reduzindo a perturbação introduzida pelo contorno como também aproximando a curva final da solução analítica como um todo ao reduzir o salto no contorno.

Figura 4.16: Comparação dos resultados para velocidade obtidos no teste de malha para a água com o método MUSCL-Rusanov com a solução analítica do problema.

38

Na Tabela 4.5, são apresentados os valores dos erros em relação a resposta analítica esperada para os testes com ar e água, calculados segundo e expressão 4.1 . Mais uma vez, é possível ver que os métodos dispersivos apresentaram erros menores que os difusivos de maneira geral. Entretanto, para esse caso, vale notar a proximidade do FCT do Rusanov, uma vez que ambos apresentaram valores de erro bastante próximos. Na verdade, para regime permanente, esses métodos tendem a gerar resultados extremamente próximos, com curvas praticamente indistinguíveis quando vistas em gráfico, o que mais uma vez sinaliza a possibilidade de usar-se o método de Rusanov como uma alternativa computacionalmente mais barata ao FCT. Evento similar ocorre com os métodos MUSCL-Rusanov e Richtmyer, entretanto, embora muito parecidos em regiões contínuas, os resultados gerados por esses métodos destoam bastante na presença de descontinuidades e contornos, o que justifica a diferença nos erros apresentados. De fato, o método de Richtmyer é mais sensível a perturbações numéricas que o método de MUSCL-Rusanov.

A análise da Tabela 4.5 também evidencia novamente que a simulação de ar tende a produzir desvios maiores que a de água, algo já constatado ao longo da análise de acurácia apresentada em 4.2.1. Com a análise aqui apresentada, fica evidente que o escoamento de gás também apresenta desvio consideravelmente maior que o de líquido se comparado com a solução analítica do problema. Entretanto, como o desvio permanece inferior a 3% para todos os métodos, o resultado obtido ainda pode ser considerado satisfatório.

Tabela 4.5: Valores do erro em relação a resposta analítica para água e ar.

Método Água Ar FCT 7,32 x 10-4 1,42 x 10-2

Lax-Friedrichs 1,18 x 10-3 2,61 x 10-2 Richtmyer 5,29 x 10-4 8,50 x 10-3 FORCE 8,53 x 10-4 1,80 x 10-2 Rusanov 7,31 x 10-4 1,36 x 10-2 MUSCL-Rusanov 5,30 x 10-4 8,70 x 10-3

4.3 Estudo de problemas transientes: o tubo de choque

4.3.1 Descrição do problema e solução exata

O tubo de choque é um problema que consiste em uma massa de gás dentro de um tubo dividido em duas por uma membrana, cada uma com uma pressão e massa específica próprias (SOD, 1978). O fluido parte do repouso e no instante inicial (𝑡 0), no qual a membrana é removida e o escoamento evolui. O escoamento é suposto sem atrito (𝑓 0).

O tubo de choque apresenta uma solução exata apresentada por Toro (1999) e disponibilizada por ele na forma de um código em FORTRAN. Entretanto, a abordagem teórica do tubo de choque parte do princípio que o processo ocorre de forma adiabática, sendo a relação entre a massa específica e a pressão do fluido dada por

39

𝑝𝜌

𝑝

𝜌 4. 10

onde 𝛾 é a razão de calores específicos do gás. Como a hipótese fundamental da solução exata do tubo de choque difere da adotada no modelo de escoamento aqui estudado, que presume escoamento isotérmico do gás, seria impossível, a princípio, utilizar esse exemplo para um estudo de transientes dos métodos aqui apresentados. Apesar disso, é possível adaptar a solução exata adiabática para uma solução exata isotérmica fazendo o expoente 𝛾 tender a 1, condição na qual a equação 4.10 coincide com a equação que regem os processos isotérmicos em um gás.

4.3.2 Condições iniciais e parâmetros de simulação

O problema do tubo de choque foi simulado utilizando como fluido o ar. A interface foi posta no meio do duto e as pressões a direita e a esquerda da interface nas condições iniciais foram, respectivamente 1 x 105 Pa e 1 x 106 Pa. A condição de velocidade imposta na entrada do duto foi de velocidade nula e a pressão na saída foi igual a pressão a direita da membrana. O tempo total simulado foi de 20,2 s, o que garante, pela velocidade de propagação da onda no ar em condições isotérmicas que a perturbação iniciada na região na membrana devido a seu rompimento esteja, aproximadamente, a meio caminho dos contornos, garantindo que estes não influenciem na solução final obtida. A malha foi construída com 2500 células e o 𝐶𝐹𝐿 foi de 0,45. Os dados do fluido e do duto são os mesmos expostos em 4.1.

4.3.3 Comparação dos resultados com a solução exata

Os resultados obtidos, comparados com a solução exata, podem ser vistos na Figura 4.17, que mostra os comparativos para os resultados de velocidade, e na Figura 4.18, que faz o mesmo para a pressão:

40

Figura 4.17: Comparativo da solução exata para a velocidade com os resultados obtidos para os métodos numéricos para o tubo de choque.

Figura 4.18: Comparativo da solução exata para a pressão com os resultados obtidos para os métodos numéricos para o tubo de choque.

Os resultados demonstram que, mesmo em uma situação de transiente, os métodos numéricos escolhidos e a discretização utilizada conseguiram obter resultados consideravelmente próximos da resposta exata esperada. Tanto a pressão ao longo do duto, mostrada na Figura 4.18, quanto a velocidade, apresentada na Figura 4.17, mostra que os resultados obtidos por todos os métodos foi bem próximo do esperado. O erro

41

dos resultados em relação ao resultado exato, baseado na equação 4.1 é mostrado na Tabela 4.6.

Tabela 4.6: Valores do erro em relação a resposta exata para o problema do tubo de choque.

Método Erro (-) FCT 5,47 x 10-3

Lax-Fredrichs 1,39 x 10-2

Richtmyer 1,30 x 10-2

FORCE 2,82 x 10-3

Rusanov 4,72 x 10-3

MUSCL-Rusanov 8,93 x 10-3

É importante notar que nesse teste, os maiores erros foram apresentados pelo método de maior caráter difusivo (Lax-Friedrichs) e pelo método de maior caráter dispersivo (Richtmyer). Isso provavelmente é devido ao comportamento destes métodos na proximidade da descontinuidade, onde a difusividade leva a um adoçamento exagerado da curva e a dispersividade leva a um comportamento oscilatório de amplitude considerável. Essa diferença entre dispersividade e difusividade entre os métodos Isso fica mais evidente na visualização em detalhe da variação de velocidade entre as coordenadas 𝑥 30000 e 𝑥 35000, mostrada na Figura 4.19.

Figura 4.19: Detalhe da descontinuidade na curva de velocidade para o tubo de choque.

A observação da curva apresentada na Figura 4.19 permite ver como os métodos mais dispersivos tendem a se aproximar mais das descontinuidades, tal como salienta também a questão da resposta oscilatória, evidenciada em especial pela curva do

42

método de Richtmyer. O adoçamento difusivo próximo a descontinuidade também é evidenciado para o método de Lax-Friedrichs nessa figura. Por fim, para esse problema, o destaque positivo foi para os métodos de caráter mais próximo do intermediário, em especial para o FORCE, resultado de uma média entre o Richtmyer e o Lax-Friedrichs, que conseguiu retornar o menor valor de erro relativo para esse problema.

4.4 Estudo do impacto de descontinuidades: duto com mudança de rugosidade

Uma descontinuidade tipicamente encontrada em ambientes industriais é a variação da rugosidade ao longo de um duto. Uma situação corriqueira capaz de gerar esse tipo de descontinuidade é a substituição de parte da tubulação por tubos novos, ainda não usados em operação, o que levaria a uma mudança abrupta da rugosidade do duto no ponto de junção entre o tubo antigo e o tubo novo. Essa mudança de rugosidade deve causar uma mudança também no fator de atrito e, por consequência, na inclinação da curva de pressão ao longo do duto no ponto em que ocorre a descontinuidade.

Com o objetivo de trabalhar o exemplo acima, foi considerada uma tubulação com as mesmas características expostas em 4.1, porém em que a segunda metade da tubulação tivesse a rugosidade dez vezes maior que a descrita na referida seção. Pela tubulação passa água e as condições de contorno são as mesmas descritas na Tabela 4.3, inclusive o tempo de simulação, mantido para garantir a convergência para o regime permanente.

A análise dos resultados para a pressão apresentados pela Figura 4.20 nos permite concluir que todos os métodos são perfeitamente capazes de representar a tendência da curva de pressão frente a esse tipo de descontinuidade, onde é esperado que em regiões de maior rugosidade ocorra uma queda mais rápida da pressão ao longo do duto devido a um maior fator de atrito e consequente perda de carga. Além disso, mais uma vez fica evidente que, para um regime permanente em líquidos, todos os métodos são capazes de representar igualmente bem a curva de pressão ao longo da tubulação, mesmo frente a descontinuidades.

43

Figura 4.20: Resultados da pressão ao obtidos para os métodos numéricos no caso de mudança na rugosidade.

A análise da Figura 4.21, que mostra os resultados deste teste para a velocidade do escoamento, por outro lado, mais uma vez mostra a diferença entre os métodos dispersivos e difusivos. Uma resposta oscilatória foi gerada na região da descontinuidade para os métodos dispersivos. Além disso, um aspecto interessante que surgiu neste teste é o salto da velocidade na região da descontinuidade, presente em especial nos métodos predominantemente difusivos. A princípio, esse salto não é esperado, pois uma descontinuidade na velocidade, supondo-se uma massa específica quase constante e uma seção transversal também constante ao longo do duto pode implicar em uma variação da vazão mássica ao longo do duto, o que violaria a equação 2.1 . Essa mudança de vazão mássica pode ser melhor vista ao analisarmos o gráfico

de vazão mássica por unidade de área da seção transversal (𝑄 𝜌𝑢) ao longo do duto, apresentado na Figura 4.22.

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Figura 4.21: Resultados da velocidade obtidos para os métodos numéricos no caso de mudança na rugosidade.

Figura 4.22: Resultados vazão mássica por unidade de área obtidos para os métodos numéricos no caso de mudança na rugosidade.

Como podemos ver, houve de fato uma variação da vazão mássica, o que indica uma fuga de massa do duto na descontinuidade. Entretanto, como a maior variação obtida foi da ordem de 0,01% da vazão mássica real, esse erro numérico é considerado aceitável, e os resultados obtidos pelos métodos difusivos podem ser considerados satisfatórios. Além disso, mais uma vez os resultados gerados pelos métodos FCT e

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Rusanov foram praticamente iguais, o que também ocorreu para os métodos Richtmyer e MUSCL-Rusanov fora da região de descontinuidade, indicando mais uma vez a proximidade dos resultados desses pares de métodos em permanente.

4.5 Estudo do deslocamento do PIG ao longo de uma tubulação

4.5.1 Descrição do problema

O problema do lançamento do PIG simulado consiste na simulação de um PIG, que parte do repouso de uma posição ligeiramente a montante do centro do duto (𝑥 𝑡 0 21591 𝑚). O escoamento no duto já se encontra em regime permanente e é iniciado utilizando-se a solução analítica apresentada em 4.2.2.1. Embora já tenha sido constatado ao longo da seção 4.2.2 que as respostas dos métodos numéricos não convergem exatamente para a solução analítica deduzida, e grande parte por erros introduzidos pela imposição da condição de contorno, a convergência de uma condição inicial igual a solução analítica para a solução em regime permanente fornecida pelo método é rápida, de modo que não se espera que essa escolha interfira com o resultado final.

O estudo do deslocamento de um PIG em um duto é feito tanto para um escoamento de água quanto para um escoamento de ar, sendo as propriedades dos fluidos e do duto as mesmas da seção 4.1, tal como as condições de contorno impostas ao duto. As vinte e quatro combinações de métodos numéricos para a solução do PIG e métodos numéricos para a solução do duto foram testadas, de modo a permitir uma análise da influência dos métodos de solução do PIG e dos métodos de solução do escoamento na resposta final, tal como a comparação dos resultados com os obtidos por meio de um método conhecido e já testado (PATRÍCIO, et al., 2016)(a)

4.5.2 Parâmetros do PIG e dos métodos de solução

Os parâmetros utilizados para as simulações do PIG foram baseados nos valores utilizados por Patrício, et al. (2016)(b) e são descritos na Tabela 4.7. Os valores selecionados para as forças de atrito estática e dinâmica respeitam a ordem de grandeza de 1000 N assumida para esse tipo de problema, porém são maiores que 1000 N de modo a permitir uma melhor visualização da queda de pressão sofrida na linha na região onde o PIG se encontra.

Os parâmetros do duto utilizados são os mesmos apresentados em 4.1 e o diâmetro do PIG é assumido como igual ao diâmetro do duto. A simulação é executada até que o PIG atinja a saída do duto, finalizando seu percurso. A malha gerada foi de 2500 células, e o 𝐶𝐹𝐿 utilizado foi de 0,45.

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Tabela 4.7: Parâmetros relevantes do PIG e dos métodos de solução

Grandeza Símbolo Valor Massa do PIG (kg) 𝑀 10,0Comprimento do PIG (m) 𝐿 0,61Fração de contato (-) 𝜉 0,95Folga entre a parede do duto e o PIG (m) 𝛿 0,001Força de atrito estática máxima (N) 𝐹 5500Força de atrito dinâmica máxima (N) 𝐹 5000Número de passos para subprocessamento do PIG 𝑚 50

4.5.3 Comparação entre os métodos numéricos de solução do PIG e do escoamento para o ar

Os resultados para o caso estudado podem ser vistos nesta seção para o método de solução do PIG RADAU5 (HAIRER & WANNER, 1996), para o escoamento de ar. Vale notar que, para o estudo da distribuição de pressão e velocidade de escoamento ao longo do duto sob influência do PIG foram selecionados dois instantes específicos de simulação, correspondentes a um tempo simulado de 1800 segundos para o ar.

Os resultados obtidos (Figura 4.23 a Figura 4.25) respeitam as tendências observadas por Patrício, et al. (2016)(a) para o escoamento de gás na presença do PIG, o que de fato ocorreu para todas as combinações de métodos numéricos para solução do escoamento e do movimento do PIG apresentados neste trabalho. É possível ver, nas curvas de pressão (Figura 4.23) e de velocidade do escoamento (Figura 4.24), que a presença do PIG causa uma descontinuidade representada por um salto nos valores de velocidade e pressão do escoamento na região em que ele se encontra. Esse resultado, além de corroborar com resultados já presentes na literatura, é fisicamente plausível, em especial para a curva de pressão, uma vez que uma pressão a montante superior a pressão a jusante é necessária para garantir o movimento do PIG.

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Figura 4.23: Resultado da pressão ao longo do duto com PIG em um escoamento de ar para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG

RADAU5.

Figura 4.24: Resultado da velocidade com PIG em um escoamento de ar para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5.

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Figura 4.25: Resultado da velocidade do PIG em um escoamento de ar para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5.

Nota-se também que essa descontinuidade se move conforme o PIG avança na linha, o que fica evidenciado claramente na Figura 4.26, onde a curva de pressão obtida nos testes com a passagem do PIG para o método de Rusanov é mostrada para três instantes de simulação diferentes. Nota-se claramente que, conforme a simulação avança, a descontinuidade da pressão tende a seguir o PIG, sendo sua observação uma forma eficiente também de localizar o dispositivo ao longo do duto.

Figura 4.26: Curvas de pressão para diferentes instantes de tempo obtidas pelo método de Rusanov.

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Comparando os métodos de solução do escoamento, mais uma vez fica evidente a diferença entre as respostas dispersivas e difusivas, em especial ao analisarmos a Figura 4.24, onde é apresentada a solução para a velocidade do escoamento. Sendo o PIG uma descontinuidade no escoamento, é natural que os métodos dispersivos apresentem oscilações próximas de sua posição, o que de fato ocorre e pode ser facilmente visualizado pela resposta obtida para a velocidade do escoamento a montante do PIG pelos métodos de Richtmyer e MUSCL-Rusanov. Oscilações menores podem também ser vistas nas respostas encontradas pelo método de Rusanov e também pelo FCT. Tal comportamento não aparece nos resultados do FORCE e do Lax-Friedrichs, indicando que a componente difusiva desses métodos para o problema estudado superou a dispersiva, levando ao amortecimento dessas oscilações. Vale ressaltar que, apesar disso, todos os métodos foram capazes de representar igualmente bem a curva de pressão ao longo do duto (Figura 4.23), mais uma vez indicando que a pressão é uma variável bem menos sensível a erros numéricos.

É interessante notar também que os métodos que nesse exemplo apresentaram uma resposta mais difusiva foram também os que apresentaram maior queda da velocidade através do PIG. Isso parece corroborar os resultados encontrados em 4.4, em que a presença de uma descontinuidade no duto em regime permanente causou uma queda na velocidade do escoamento e uma consequente queda na vazão mássica nos métodos difusivos. Este último resultado é teoricamente inconsistente uma vez que viola a conservação de massa, embora o erro introduzido seja de pequena magnitude, já que a queda da vazão mássica através da descontinuidade foi muito inferior ao valor absoluto dessa grandeza. Nesse exemplo, não foi estudada a vazão mássica ao longo da linha, de modo que não é possível afirmar se houve uma perda de massa causada pela descontinuidade, porém é interessante notar que tal comportamento persiste para métodos numéricos similares.

Quanto à comparação dos métodos de solução do problema do PIG, os resultados para a velocidade do dispositivo (Figura 4.25) obtidos para métodos distintos foram muito próximos, algo que foi constatado para todos os métodos de solução do escoamento utilizados. Essa constatação indica que, para dado método de solução do escoamento do duto, a ordem do método de solução do problema do PIG acoplado ao problema do escoamento no duto tem pouca influência no resultado final obtido para os métodos de Runge-Kutta testados neste trabalho, de modo que um método simples como Euler poderia ser usado sem grandes prejuízos a qualidade final do resultado. Como forma de confirmar essa hipótese, o erro da velocidade final do PIG obtida para os diferentes métodos de solução do problema do PIG foi quantificada com base no desvio da energia cinética média do PIG ao longo do percurso. Assim, o erro calculado para a velocidade do PIG 𝐸 é dado por

𝐸

𝐾 𝐾

𝐾

4. 11

onde 𝐾 é sua a energia cinética média ao longo de seu percurso, definida como

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𝐾

1

𝐿 𝑥

12

𝑀 𝑣 𝑑𝑥 4. 12

e 𝑥 é a posição inicial do PIG. Vale ressaltar que a seleção dessa métrica foi baseada na sua similaridade com a métrica definida pelas equações 4.2 e 4.3 . Para o valor de referência, uma vez que essa comparação visa avaliar apenas os métodos de solução do problema do PIG, foi escolhido o resultado gerado pelo método RADAU5 para o respectivo método de solução do escoamento (note que métodos de solução do escoamento diferentes terão referências distintas). Os resultados são mostrados na Tabela 4.8.

Tabela 4.8: Erro relativo da energia cinética média do PIG para os métodos de solução do PIG em cada método de solução do escoamento em ar.

Método de solução do escoamento

Método de solução do PIG

Euler Ponto Médio Runge-Kutta de 4ª

Ordem FCT 9,71 x 10-4 5,51 x 10-5 3,11 x 10-4

Lax-Friedrichs 1,36 x 10-3 4,51 x 10-4 5,02 x 10-4

Richtmyer 1,30 x 10-3 4,06 x 10-5 2,96 x 10-3

FORCE 6,39 x 10-4 1,51 x 10-3 1,03 x 10-3 Rusanov 2,07 x 10-2 4,03 x 10-3 1,88 x 10-3 MUSCL-Rusanov 2,38 x 10-3 2,27 x 10-3 7,61 x 10-4

Como podemos ver, pela métrica utilizada, todos os métodos apresentaram erro inferior a 3%, o que pode ser considerado um erro aceitável para a maioria das aplicações de engenharia. Nesse aspecto, um destaque negativo foi para o método Rusanov combinado com o método de Euler, uma vez que essa combinação gerou erros uma ordem de grandeza acima dos demais resultados para o mesmo método de solução do PIG. Além disso, é interessante notar que em nem todos os casos um aumento da ordem do método implicou em uma redução do erro, como pode ser visto nos casos FCT, Lax-Friedrichs e Richtmyer quando comparados seus resultados para os métodos do Ponto Médio e para o Runge-Kutta de quarta ordem. Uma vez que nossas comparações são feitas assumindo-se como referência o método numérico de maior ordem e dados experimentais para a validação das soluções não encontram-se disponíveis, não é possível por essa análise determinar o método que mais se aproxima da resposta real do fenômeno, mas ainda assim, por essa análise, é possível confirmar a hipótese levantada de que os métodos estudados para a solução do PIG geram resultados suficientemente próximos, de modo que métodos mais simples, em especial o método do Ponto Médio, que apresentou os menores valores de erros em média, podem ser usados para a simulação desse tipo de problema sem prejuízos consideráveis na qualidade da resposta.

A comparação apresentada na Tabela 4.8 demonstra, para o caso do ar, a proximidade dos resultados gerados pelos métodos de solução para a velocidade do PIG. É de grande interesse garantir que tais resultados sejam também suficientemente próximos para a resposta do escoamento no duto. Para avaliar isso, uma comparação similar a feita para os dados da velocidade do PIG foi feita para os dados do escoamento obtidos para cada método de solução do problema do duto. A métrica de erro é a

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baseada na energia cinética total apresentada pelas equações 4.2 e 4.3 e o resultado de referência também é o obtido pela combinação do método RADAU5 com o respectivo método para a solução do escoamento utilizado para cada caso. Os resultados podem ser vistos na Tabela 4.9.

Tabela 4.9: Erro relativo da energia cinética total para os métodos solução do PIG para cada método de solução do escoamento em ar




Ordem FCT 3,21 x 10-9 1,49 x 10-11 2,09 x 10-10


Richtmyer 3,93 x 10-9 2,38 x 10-11 3,09 x 10-7


Mais uma vez, os resultados da Tabela 4.9 indicam que, apesar de certas flutuações serem percebidas no erro para cada método, de forma geral a diferença obtida nos resultados para diferentes métodos de solução do PIG tendem a ser desprezíveis, tendo impactos ainda menores no escoamento que os vistos na velocidade do mesmo, de forma que no conjunto dos métodos estudados pata a solução do movimento do PIG, os mais simples podem ser usados sem prejuízo aos resultados, garantindo uma maior eficiência computacional.

4.5.4 Comparação entre os métodos numéricos de solução do PIG e do escoamento para a água

De forma similar ao feito para o ar e apresentado na seção 4.5.3, foram gerados resultados referentes as vinte e quatro combinações possíveis de métodos para a solução do escoamento com métodos para a solução do PIG. Os resultados obtidos são aqui apresentados, onde as curvas de pressão e velocidade de escoamento são tomadas com 4500 segundos de simulação.

Tal como constatado no caso da simulação em ar, os resultados obtidos (Figura 4.27 a Figura 4.29) apresentam a mesma tendência dos resultados obtidos por Patrício, et al. (2016)(b) para o caso de líquido, com a velocidade do PIG, indicada na Figura 4.29, ficando aproximadamente constante e igual à velocidade imposta como condição de contorno ao duto na entrada, uma vez que a quase incompressibilidade do líquido garante uma velocidade quase uniforme ao longo do duto. A diferença entre métodos de comportamento difusivo e dispersivo fica mais uma vez evidente ao observarmos a Figura 4.28 onde, devido a menor variação da velocidade ao longo do duto, as oscilações induzidas pela dispersividade ficam mais evidentes. De fato, observando-se a escala do gráfico, é possível ver que essas oscilações tem uma amplitude de cerca de três ordens de grandeza abaixo dos valores de velocidade do escoamento sendo seu efeito, para fins práticos, muito pequeno. Mais uma vez, os resultados de pressão apresentados na Figura 4.27 não apresentaram diferenças expressivas entre os

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métodos, indicando a pouca sensibilidade dessa grandeza ao método de solução utilizado.

Figura 4.27: Resultado da pressão com PIG em um escoamento de água para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5.

Figura 4.28: Resultado da velocidade com PIG em um escoamento de água para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5.

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Figura 4.29: Resultado da velocidade do PIG em um escoamento de água para os cinco métodos de solução do escoamento e método de solução do PIG RADAU5.

Outro fato que merece destaque é o de que todos os métodos apresentaram perturbações em posições aproximadamente iguais. Embora, em um primeiro momento, essas perturbações possam ser atribuídas a meros efeitos numéricos, a sua presença em todas as soluções permite especular que sua origem tenha motivação física, como frentes de onda emitidas ou refletidas pela fronteira móvel que é o PIG ou pelos contornos do duto em resposta ao movimento deste. A confirmação desta hipótese demandaria uma investigação mais detalhada que, a princípio, não é feita neste trabalho.

De forma geral, embora as oscilações sejam pequenas frente a velocidade do fluido, é importante notar que, para o método de Richtmyer, perturbações significativas foram geradas na resposta obtida para a velocidade do PIG ao longo do duto. Estas perturbações apresentam picos de velocidade que superam a velocidade do PIG em determinados instantes. Isso revela uma das maiores desvantagens do uso de métodos excessivamente dispersivos acoplados ao problema do PIG, uma vez que as oscilações numéricas geradas pela dispersividade podem contaminar a velocidade do PIG obtida, levando a grandes erros. Na Tabela 4.10, são apresentados os valores para os desvios na energia cinética média do PIG. Os cálculos são feitos seguindo os mesmos critérios da seção 4.5.3.

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Tabela 4.10: Erro relativo da energia cinética média do PIG para os métodos de solução do PIG em cada método de solução do escoamento em água.




Ordem FCT 9,65 x 10-5 1,19 x 10-4 4,74 x 10-5


Richtmyer 1,34 x 10-4 1,34 x 10-4 1,57 x 10-4


Como podemos ver na Tabela 4.10, a tendência de baixos desvios entre os métodos se manteve também neste teste, confirmando a teoria de que os métodos mais simples testados podem ser usados para solucionar o problema proposto. Nem mesmo os picos proeminentes presentes na resposta obtida pelo Richtmyer, que apresentaram variações significativas de amplitude entre um teste e outro, foram capazes de distorcer os valores de erro, mesmo com seu caráter errático, em especial devido ao fato de serem picos pontuais, que surgem e se dissipam em pouquíssimos passos de tempo.

Na Tabela 4.11 são apresentados os valores de desvio relativos a resposta do escoamento, calculados com base na métrica do desvio da quantidade de movimento total. Mais uma vez, os desvios encontrados foram muito pequenos, indicando que, para a solução do problema do PIG, os métodos mais simples como Euler e Ponto Médio seriam suficientes. Vale ressaltar novamente que, tanto no que se refere aos erros da resposta do escoamento quanto aos erros da velocidade do PIG, o gás apresentou maiores diferenças entre os métodos de Runge-Kutta utilizados, mais uma vez mostrando como a compressibilidade torna sua resposta mais sensível a erros numéricos.

Tabela 4.11: Erro relativo da energia cinética total para os métodos de solução do PIG em cada método de solução do escoamento em água.




Ordem FCT 7,01 x 10-11 6,89 x 10-11 8,66 x 10-14


Richtmyer 2,63 x 10-11 2,52 x 10-11 7,46 x 10-14


4.5.5 Comparação entre as soluções obtidas e os resultados de referência

Nesta seção, os resultados obtidos para a solução do PIG pelos métodos de Runge-Kutta aqui estudados são comparados com os resultados gerados pelo código

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desenvolvido por Patrício (2016) e verificado em comparação com o software comercial OLGA (SCLUMBERGER). Uma vez que os resultados de referência obtidos foram gerados utilizando-se o método FCT para a solução do escoamento, os resultados obtidos neste trabalho para o FCT e método de solução do PIG RADAU5 são usados na comparação. Os resultados de Patrício (2016) foram gerados utilizando os mesmos parâmetros das simulações aqui apresentadas, e as curvas de pressão e velocidade do escoamento foram geradas em momentos em que o PIG ocupasse a mesma posição que os resultados aqui apresentados.

A Figura 4.30 apresenta a comparação dos resultados para a pressão em água, enquanto a Figura 4.31 apresenta a mesma comparação para os resultados em ar. Mais uma vez fica evidente que a pressão é uma grandeza pouco sensível a erros numéricos, tendo sido bem representada por quase todos os exemplos neste trabalho estudado.

Figura 4.30: Comparação dos resultados obtidos para a pressão em água com os de Patrício (2016).

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Figura 4.31: Comparação dos resultados obtidos para a pressão em ar com os de Patrício (2016).

Além disso, é importante notar que ambas as simulações retornaram valores para o salto de pressão próximos. Isso é esperado uma vez que ao longo do duto a velocidade do PIG tende a variar muito lentamente (a exemplo, a aceleração média do PIG no escoamento de gás é da ordem de 2 x 10-4 m/s2), e sendo a força hidrodinâmica muito inferior aos valores de força mecânica impostos, o diferencial de pressão tende a ser aproximadamente igual a força de atrito mecânica dividida pela área da seção transversal do duto. De fato, os desvios relativos entre as duas respostas foram na casa de 2%, o que é aceitável e condiz com a ordem de grandeza da maioria dos erros e desvios encontrados neste trabalho. Os valores para esse diferencial de pressão obtidos nas simulações de ar e água podem ser vistos na Tabela 4.12, tal como os valores dos desvios medido em relação ao diferencial obtido pela referência.

Tabela 4.12: Valores dos diferenciais de pressão causados pelo PIG e seus respectivos desvios.

Método Água Ar FCT + RADAU5 30,95 kPa 30,51 kPa Patrício (2016) 33,00 kPa 29,99 kPa Desvio (%) 6,21 1,77

As curvas de velocidade do escoamento ao longo do duto para os casos de água (Figura 4.32) e ar (Figura 4.33) são apresentadas. É interessante notar que, tal como visto nos demais métodos, a solução de referência também apresenta ondulações em pontos próximos aos resultados por aqui simulados, o que fortalece a hipótese levantada em 4.5.4 de que essas ondulações tem uma origem física, como por exemplo ondas propagadas no meio fluido em que o PIG se move.

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Nota-se, mais uma vez, que os resultados obtidos estão suficientemente próximos dos resultados de referência, em especial para os resultados em escoamento de líquido, apresentado na Figura 4.32. Além disso, os resultados para o gás apresentados na Figura 4.33 mais uma vez mostram uma diferença maior entre a referência e o resultado simulado, não só na região onde se encontra o PIG quanto ao longo do duto, com diferenças maiores longe da condição de contorno de velocidade imposta, onde espera-se que, para um mesmo método, os valores de velocidade convirjam para um valor próximo do imposto. Apesar disso, é importante notar que o salto na velocidade do escoamento ocasionado pela presença do PIG, em ambos os casos, mostrou-se suficientemente próximo da referência, indicando mais uma vez que o método de Runge-Kutta utilizado foi capaz de simular com boa precisão o fenômeno físico desejado. Vale ressaltar também que esse salto é pequeno frente ao valor da grandeza, ficando em torno de 0,03% do valor desta para a água.

Figura 4.32: Comparação dos resultados obtidos para a velocidade em água com os de Patrício (2016).

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Figura 4.33: Comparação dos resultados obtidos para a velocidade em ar com os de Patrício (2016).

Como podemos ver tanto na Figura 4.34, que mostra a velocidade do PIG ao longo do duto para a água, quanto na Figura 4.35, que faz o mesmo para o ar, os resultados obtidos apresentaram uma boa concordância com a referência, tendo os métodos de Runge-Kutta demonstrado não apenas sua capacidade de representar bem o processo de aceleração do PIG no início de seu movimento quanto sua velocidade em regime permanente. Isso é de extrema importância, uma vez que a velocidade do PIG é determinante na estimativa do tempo necessário para a passagem do dispositivo pela linha, algo de grande interesse para o planejamento dessas operações de manutenção.

Por fim, é importante notar que, embora os resultados finais tenham sido suficientemente próximos, uma pequena diferença em relação a resposta durante a aceleração do PIG em gás pode ser vista entre o método aqui apresentado e a referência, o que se reduz consideravelmente com o progresso do movimento do PIG. Uma vez que essa diferença foi pequena, os resultados ainda são considerados aceitáveis, sendo a diferença justificável pelo uso de métodos distintos na solução do problema do PIG.

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Figura 4.34: Comparação dos resultados obtidos para a velocidade do PIG em água com os de Patrício (2016).

Figura 4.35: Comparação dos resultados obtidos para a velocidade do PIG em ar com os de Patrício (2016).

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5 Considerações finais

Neste trabalho foram estudados vários métodos de solução de equações hiperbólicas aplicados ao problema do escoamento monofásico isotérmico em um duto, tal como o estudo de métodos alternativos a opções comerciais para a solução da equação de movimento de um PIG ao longo do duto. Em um primeiro momento, o modelo matemático para o escoamento monofásico isotérmico, composto de duas equações diferenciais parciais e uma equação de estado foi apresentado, tal como o um modelo para a descrição do movimento de um PIG em um duto. Em seguida, seis métodos para a solução de equações hiperbólicas (Lax-Friedrichs, Richtmyer, FORCE, FCT, Rusanov e MUSCL-Rusanov) foram apresentados, tal como duas abordagens baseadas em métodos de Runge-Kutta para a solução do sistema de equações diferenciais algébricas que rege o movimento do PIG, sendo uma baseada no acoplamento de um método de Runge-Kutta explícito (primeira, segunda ou quarta ordem) para a solução da parte diferencial do modelo do PIG com um método do ponto fixo para a solução da parte algébrica do problema, e uma outra baseada em um método de Runge-Kutta de quinta ordem implícito capaz de resolver sistemas com matrizes de massa singulares, e, portanto, sendo capaz de tratar sistemas de equações diferenciais algébricas.

Foi realizado também um estudo de acurácia dos métodos numéricos relativo à sua discretização no espaço. Essa parte foi essencial para a seleção de um tamanho de malha e de um passo de tempo ótimos para os testes a serem realizados a seguir e foi feita tanto para água quanto para o ar. Uma malha de 2500 células com 𝐶𝐹𝐿 de 0,45 foi selecionada. Após esse estudo, foi feita uma comparação entre os resultados obtidos com o tamanho de malha ótimo e a solução analítica para o escoamento ao longo de um duto. Nessa fase, efeitos como os erros introduzidos pelas condições de contorno e desvios entre as soluções foram evidenciados. Ao fim do estudo dos métodos, foram feitos dois estudos de caso com o objetivo de analisar o comportamento destes frente a situações transientes e descontinuidades. Para tal, os exemplos escolhidos foram o tubo de choque e um tubo com rugosidade variável.

Após o estudo dos métodos de solução do escoamento, foi realizado um estudo dos métodos de Runge-Kutta selecionados para a solução do movimento do PIG. Em primeira análise, os resultados dos três métodos explícitos, de menor ordem, foram comparados com os resultados do método implícito, de maior ordem, para os seis métodos de solução do escoamento estudados, de modo a verificar o impacto da ordem do método na solução final. Concluída essa análise, os resultados obtidos para o FCT foram comparados com os valores obtidos utilizando a rotina DAESL da biblioteca IMSL para a solução do sistema do PIG. Os resultados apresentaram boa concordância, o que indica que os métodos de Runge-Kutta são alternativas viáveis para os métodos comerciais atualmente utilizados.

5.1 Conclusões

A análise dos métodos numéricos para a solução do escoamento nos permitiu classifica-los qualitativamente em dois grupos. O primeiro grupo, composto pelos métodos MUSCL-Rusanov e Richtmyer foi classificado como dispersivo devido a sua tendência a apresentar oscilações de origem numérica na proximidade de

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descontinuidades, tal como sua capacidade de melhor representar os perfis das curvas presentes nas soluções, algo evidenciado tanto para os testes em transiente e na presença de descontinuidades quanto pelos resultados dos testes de acurácia. O segundo grupo, composto em especial pelos métodos de Lax-Friedrichs e FORCE, foi classificado como difusivo por sua tendência a amortecer as características do escoamento, levando a perfis arredondados perto de descontinuidades. Essa tendência levou inclusive a pequenos erros na conservação de massa nos testes com rugosidade variável, embora esses erros tenham sido secundários e não invalidem a solução final obtida. Os métodos FCT e Rusanov foram considerados intermediários a esses dois tipos, com o FCT sendo mais próximo aos métodos difusivos e o Rusanov aos dispersivos.

Os testes de acurácia no espaço demonstraram que os métodos de solução mais difusivos apresentaram uma ordem de convergência do erro no espaço maior que os métodos dispersivos. Entretanto, os métodos dispersivos mesmo em malhas mais grosseiras apresentaram erros menores que os métodos difusivos, de modo que mesmo com malhas de 100 células, métodos como o Richtmyer foram capazes de representar com precisão a curva da queda de pressão em um meio líquido.

Os estudos de convergência em conjunto com a comparação com a solução analítica permitiram também constatar o impacto da imposição das condições de contorno na resposta final obtida. Além de introduzirem perturbações na resposta, limitadas a uma célula para dentro do duto no caso do método de MUSCL-Rusanov, a imposição de condições de contorno pelo método das ghost cells causa também um erro sistemático na resposta obtida, uma vez que a condição obtida na entrada do duto difere da imposta, desvio esse que pode ser atribuído tanto a fatores numéricos quanto ao prolongamento artificial do duto causado pela adição de células extras. Isso é em especial verdade para a velocidade, onde tanto para os resultados em líquido quanto em gás, esse erro sistemático fica evidente. Outra conclusão importante foi que os testes com fluido gasoso retornaram ao longo de todos os estudos erros maiores que os resultados em fluidos líquidos. Isso pode ser atribuído a compressibilidade dos gases, que permite maiores variações de suas propriedades ao longo da tubulação, em especial a velocidade, da qual a métrica de erro adotada depende grandemente. Além disso, foi possível constatar que em todas as simulações feitas a velocidade foi a propriedade mais sensível a erros, sendo a pressão quase sempre bem representada por todos os métodos, com resultados bastante próximos entre eles. De fato, para o caso do líquido, todos os métodos encontraram curvas de pressão indistinguíveis em gráfico da resposta analítica considerada.

Como conclusão final sobre os métodos, pode-se dizer que todos, para os casos estudados, foram capazes de representar com fidelidade e qualidade os escoamentos propostos, mesmo em situações transientes e frente a descontinuidades. Dentre eles, o destaque positivo foi o método Rusanov que, além de apresentar o menor custo computacional de todos os métodos, produziu resultados para os casos monofásicos trabalhados equivalentes aos obtidos pelo FCT, atualmente usado nas pesquisas desenvolvidas pelo LabMFA, e não apresenta o inconveniente das oscilações numéricas que métodos de menor erro, como o MUSCL-Rusanov e o Richtmyer, apresentam. Isso leva a escolha do método de Rusanov como o melhor para a simulação de escoamentos monofásicos isotérmicos em duto.

Os estudos desenvolvidos sobre a simulação do escoamento na presença de um PIG simulado por métodos de Runge-Kutta levaram a conclusão de que a ordem do método utilizado, tal como seu caráter implícito ou explícito, tem pouca influência na

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solução final para qualquer que seja o método numérico aplicado ao escoamento. Dessa forma, seria possível utilizar métodos de menor ordem, como Euler ou Ponto Médio, para um aumento da eficiência computacional sem perda da qualidade dos resultados. Além disso, foi possível constatar que a descontinuidade representada pelo PIG introduziu oscilações numéricas na resposta do escoamento quando estes foram resolvidos por métodos dispersivos, o que, embora não impossibilite seu uso, interfere com a resposta do PIG, não sendo recomendável o uso de métodos extremamente dispersivos para a simulação de escoamentos na presença do dispositivo. Viu-se também, em especial nos resultados de velocidade para o líquido, que todas as combinações de método foram capazes de pegar oscilações em pontos aproximadamente iguais para dada posição do PIG, o que pode indicar que as combinações de métodos estudadas foram capazes de representar fenômenos como propagações de onda oriundas do movimento do PIG no fluido.

Ao comparar os resultados obtidos com os resultados simulados de referência, constatou-se que os métodos de Runge-Kutta apresentaram boa concordância com o resultado esperado, tanto no tocante a posição e dimensão das descontinuidades causadas pela presença do PIG quanto no que se refere ao comportamento dinâmico do PIG, durante sua aceleração inicial e durante seu percurso ao longo do duto. Essas evidências indicam que as estratégias abordadas foram capazes de resolver de forma adequada o sistema de equações diferenciais algébricas que modela o movimento do PIG, permitindo concluir que os métodos de Runge-Kutta podem ser alternativas viáveis para os métodos comerciais atualmente disponíveis e em uso para a solução deste problema.

5.2 Sugestões para trabalhos futuros

O estudo aqui desenvolvido sobre os métodos para a simulação de escoamento monofásico isotérmico indicou o método de Rusanov como a melhor opção para a simulação desse tipo de escoamento, embora o método FCT tenha produzido resultados muito semelhantes. Apesar disso, não há evidência de que este método apresente a mesma qualidade de resultados para escoamentos monofásicos com troca de calor ou escoamentos bifásicos, sendo a extensão dessa análise para outros modelos um próximo passo, de modo a avaliar o melhor método numérico para cada caso.

Os resultados obtidos para o PIG sugerem que os métodos de Runge-Kutta são capazes de resolver o problema do PIG, pondo-se como alternativas aos métodos atualmente usados, ao menos para escoamentos monofásicos. Uma extensão do estudo aqui feito, avaliando os resultados gerados por esses métodos em escoamentos bifásicos ou mesmo para outras situações, com outros conjuntos de parâmetros, em escoamentos monofásicos, de modo a se confirmar a possibilidade de um uso deste método para a solução numérica do PIG em situações distintas da aqui trabalhadas, seria uma sugestão de trabalho futuro.

Por fim, devido à grande quantidade de métodos abordados neste estudo, o impacto dos métodos de solução do escoamento na simulação do PIG foi apenas qualitativamente abordado. Analisar, de forma quantitativa, o impacto desses métodos na resposta do PIG, mesmo que fazendo uso das ferramentas comerciais atualmente usadas, como o IMSL, é uma possível continuação a esse estudo.

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6 Referências

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PATRÍCIO, R. A. C., SONDERMANN, C. N, FIGUEIREDO, A. B., BAPTISTA, R. M., RACHID, F. B. F., BODSTEIN, G. C. R., “Simulação Numérica de Escoamento

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Monofásico de Liquido em Dutos na Presença de PIG Utilizando o Método FCT (Flux-Corrected Transport)”. Congresso Nacional de Engenharia Mecânica, Fortaleza, 21-25 Agosto 2016(b).

PATRÍCIO, R. A. C., SONDERMANN, C. N, FIGUEIREDO, A. B., BAPTISTA, R. M., RACHID, F. B. F., BODSTEIN, G. C. R., “Numerical Simulation of PIG Motion in Two-Phase Flow with Stratified Pattern Pipelines Using the Flux-Corrected Transport Method”. In: Proceedings of the ASME 2017 International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Tampa, 3-9 Novembro 2017.

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Apêndice

A. Resultados para o teste de acurácia no espaço

Neste apêndice são apresentados os resultados obtidos durante os testes de acurácia no espaço para as simulações em água e ar. Para efeitos de comparação, a solução analítica é apresentada junto às curvas.

a. Resultados para o método de Lax-Friedrichs

Figura A.1: Pressão em água - Lax-Friedrichs.

66

Figura A.2: Velocidade em água - Lax-Friedrichs.

Figura A.3: Pressão em ar - Lax-Friedrichs.

67

Figura A.4: Velocidade em ar - Lax-Friedrichs.

b. Resultados para o método de Richtmyer

Figura A.5: Pressão em água – Richtmyer.

68

Figura A.6: Velocidade em água – Richtmyer.

Figura A.7: Pressão em ar – Richtmyer.

69

Figura A.8: Velocidade em ar – Richtmyer.

c. Resultados para o método FORCE

Figura A.9: Pressão em água – FORCE.

70

Figura A.10: Velocidade em água – FORCE.

Figura A.11: Pressão em ar – FORCE.

71

Figura A.12: Velocidade em ar – FORCE.

d. Resultados para o método FCT

Figura A.13: Pressão em água – FCT.

72

Figura A.14: Velocidade em água – FCT.

Figura A.15: Pressão em ar – FCT.

73

Figura A.16: Velocidade em ar – FCT.

e. Resultados para o método Rusanov

Figura A.17: Pressão em água – Rusanov.

74

Figura A.18: Velocidade em água – Rusanov.

Figura A.19: Pressão em ar – Rusanov.

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Figura A.20: Velocidade em ar – Rusanov.

f. Resultados para o método MUSCL-Rusanov

Figura A.21: Pressão em água - MUSCL-Rusanov.

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Figura A.22: Velocidade em água - MUSCL-Rusanov.

Figura A.23: Pressão em ar - MUSCL-Rusanov.

77

Figura A.24: Velocidade em ar - MUSCL-Rusanov.

78

B. Solução analítica para o escoamento em dutos

A solução analítica para o escoamento de dutos foi deduzida a partir das equações 2.1 , 2.2 , 2.5 e 2.9 para o regime permanente (derivadas no tempo nulas). Sob essa hipótese, as equações que regem o escoamento monofásico em regime permanente em um duto horizontal podem ser escritas como

𝑑 𝜌𝑢𝑑𝑥

0 B. 1

𝑑𝑑𝑥

𝜌𝑢 𝑝𝑆

2𝐴𝑓𝜌𝑢|𝑢|

B. 2

𝑑𝑝𝑑𝑥

𝑐𝑑𝜌𝑑𝑥

B. 3

Nessas equações, a equação B. 1 representa a versão em regime permanente da equação de conservação de massa (equação 2.1 ), a equação B. 2 representa a forma em regime permanente da equação de quantidade de movimento já com a modelagem feita para a tensão cisalhante na parede e considerando duto horizontal (equações 2.2 e 2.5 ) e a equação B. 3 representa a equação de estado utilizada na modelagem da compressibilidade em sua forma diferencial (equação 2.4 ). Vale ressaltar que sob as hipóteses feitas, espera-se que a velocidade do escoamento no duto seja sempre positiva, de modo que

𝑢|𝑢| 𝑢 B. 4

Desenvolvendo-se as derivadas na equação B. 1 , chegamos a

𝜌

𝑑𝑢𝑑𝑥

𝑢𝑑𝜌𝑑𝑥

B. 5

Fazendo o mesmo procedimento com a equação B. 2 e considerando a igualdade proposta na equação B. 4

𝑢

𝑑𝜌𝑑𝑥

2𝜌𝑢𝑑𝑢𝑑𝑥

𝑑𝑝𝑑𝑥

𝑆2𝐴

𝑓𝜌𝑢 B. 6

Substituindo a equação B. 3 na equação B. 6 , eliminando o termo da derivada da pressão, chegamos a

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𝑢 𝑐

𝑑𝜌𝑑𝑥


𝑆2𝐴

𝑓𝜌𝑢 B. 7

Substituindo a equação B. 5 na B. 7 , é possível eliminar a derivada da massa específica, chegando-se a seguinte expressão

𝜌 𝑢

𝑐𝑢

𝑑𝑢𝑑𝑥


𝑆2𝐴

𝑓𝜌𝑢 B. 8

Dividindo a equação B. 8 por 𝜌𝑢 e pondo a derivada da velocidade em evidência, chegamos a seguinte relação

𝑑𝑢𝑑𝑥

1𝑢

𝑐𝑢

𝑆2𝐴

𝑓 B. 9

A equação B. 9 modela a velocidade ao longo de um duto em situação de regime permanente. Sua solução nos fornece, sob as hipóteses consideradas, uma solução analítica para fins de comparação das respostas simuladas numericamente para esse sistema. Assim, para enfatizar as condições de regime permanente e de resposta analítica, o subscrito 𝑎 (indicando solução analítica) e o sobrescrito 𝑠𝑠 (indicando regime permanente ou Steady State) foram incorporados a velocidade, levando a expressão

1𝑢

1𝑐

𝑢𝑑𝑢𝑑𝑥

𝑆2𝐴

𝑓 B. 10

que, fazendo uso da igualdade 4.5 para o número de Mach, se reduz a equação 4.4 , usada na seção 4.2.2.1.

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