Método de Euler e Runge-Kutta para solução de Equações diferenciais

ordinárias

Leonardo Gonçalves Brito, Tatiane Reis do Amaral

Departamento de Matemática, IFNMG-Campus Januária

39480-000, Januária, MG

E-mail: goncalvesleonardo35@yahoo.com.br, tatianeramaral@gmail.com

Palavras-chave: Métodos Numéricos, Equações diferenciais, Método de Euler, Método de

Runge-Kutta

Resumo: Este trabalho apresenta três métodos numéricos para solução de Equações

diferenciais ordinárias (EDO): o método de Euler, Runge-Kutta de segunda ordem e Runge-

Kutta de quarta ordem. Uma mesma EDO será resolvida com cada um dos métodos, apontando

o erro local encontrado em cada um, onde para efetuação dos cálculos será utilizado o

software MATLAB. Posteriormente será realizado uma comparação entre os métodos.

1 - Introdução

Chama-se equação diferencial uma equação em que a incógnita é uma função, e

apresenta uma relação com as derivadas desta função. As equações diferenciais são utilizadas na

resolução de problemas de modelagem matemática e quando a função desconhecida depende de

uma única variável independente, são chamadas de equações diferenciais ordinárias [4].

Cabe ressaltar que nem toda EDO pode ser resolvida analiticamente, pois os métodos

analíticos são aplicáveis apenas a certas formas especiais de funções, mas toda EDO pode ser

resolvida através da utilização de métodos numéricos [2].

Quando estes são utilizados com o auxilio de computadores propiciam uma melhor

agilidade no estudo das equações diferenciais, pois produzem tabelas e gráficos que possibilitam

fazer um estudo mais detalhado dos dados obtidos na resolução [1]. Para resolver a equação

diferencial deste trabalho utilizamos o software MATLAB ao qual foi inseridas rotinas de

resolução no mesmo. Realizaremos uma comparação entre os métodos numéricos baseados no

erro local obtido em cada resolução.

2 - Método de Euler e os métodos de Runge-Kutta

Os métodos apresentados serão utilizados para calcular uma aproximação da solução

exata sujeita a determinada condição inicial, nos respectivos pontos:

, onde muitas vezes é definido como passo, e

sendo o número de subintervalos de .

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O primeiro método utilizado é Método de Euler, é um método de primeira ordem, cuja

aproximação se dá por uma reta [1]. A equação principal deste método é dada por

(1)

Dada à seguinte EDO proposta por [1].

(2)

sujeita a condição .

Para a equação (2) temos solução analítica igual a

. (3)

Resolvendo a equação (2) por Euler, obtemos o seguinte gráfico considerando um intervalo de

solução de [0,2] com = 50.

Figura1: Resolução pelo método de Euler

O segundo método utilizado é Runge-Kutta de 2ª e 4ª são métodos baseado nos métodos

de series de Taylor, mas que não exigem o cálculo de qualquer derivada [3]. Estes métodos

apresentam as seguintes equações principais para Runge-Kutta de segunda ordem

(4)

para o método de Runge-Kutta de quarta ordem temos

(5)

em que,

Resolvendo a equação (2) por Runge-Kutta de segunda ordem e quarta ordem obtemos

resultados melhores. Para cada método observamos as diferenças de ordem nas aproximações

das soluções conforme a Figura 2 onde comparando os três métodos.

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Figura 2: Comparação entre os métodos

A resolução numérica pode ter grau crescente de aproximação, de acordo com o método

numérico escolhido e o tamanho do passo, como coloca [1]. Observa-se que a solução da

equação (2) apresentou valores diferentes em cada método, onde uma analise mais detalhada

dos dados aponta que o erro local, diferença entre a solução exata e a solução aproximada para

cada , foi maior no método de Euler e menor no método de Runge-Kutta de quarta ordem.

Como todos os métodos apresentados neste trabalho são de fácil implementação, pela figura 4

observa-se que o método de Runge-Kutta de quarta ordem se mostra adequado para este

problema.

3 - Conclusão

Os métodos apresentados neste trabalho são métodos de implementação simples e produzem

soluções eficientes para diversos problemas envolvendo equações diferenciais.

Referências

[1] W.E. Boyce, C.R. DiPrima, “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores

de contorno”, LTC, Rio de Janeiro, 2011.

[2] F.F. Campos, “Algoritmos Numéricos”, LTC, Rio de Janeiro, 2007.

[3] M.A.G. Ruggiero, V.L.R. Lopes, “Cálculo numérico: aspectos teóricos e

computacionais”, Makron Books, São Paulo, 1996.

[4] J. Stewart, “Cálculo – volume 1”, Pioneira Thomson Learning, São Paulo, 2006.

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