ESTUDO E APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER NA … · 2019-01-30 · iv ROCHA, Tiago Cavalcanti da – Estudo e Aplicação da Transformada de Fourier na Regularização de Dados

1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA – CT

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – CCET

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE

PETRÓLEO - PPGCEP

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

ESTUDO E APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER NA

REGULARIZAÇÃO DE DADOS SÍSMICOS NA EXPLORAÇÃO DE

PETRÓLEO

Tiago Cavalcanti da Rocha

Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena

Natal / RN, Fevereiro de 2016

ii

Estudo e Aplicação da Transformada de Fourier na Regularização de

Dados Sísmicos na Exploração de Petróleo

Tiago Cavalcanti da Rocha

Natal / RN, Fevereiro de 2016

Rocha, Tiago Cavalcanti da. Estudo e aplicação da transformada de Fourier naregularização de dados sísmicos na exploração de petróleo /Tiago Cavalcanti da Rocha. - Natal, 2016. xiii, 83f: il.

Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena. Coorientador: Prof. Dr. Gilberto Corso.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte. Centro de Tecnologia. Centro de Ciências Exatas e daTerra. Programa de Pós-graduação em Ciência e Engenharia dePetróleo.

1. Transformada de Fourier anti-vazamento - Dissertação. 2.Processamentos de dados - Dissertação. 3. Regularização de dadossísmicos - Dissertação. I. Lucena, Liacir dos Santos. II.Corso, Gilberto. III. Título.

Catalogação da Publicação na FonteUniversidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

iv

ROCHA, Tiago Cavalcanti da – Estudo e Aplicação da Transformada de Fourier na

Regularização de Dados Sísmicos na Exploração de Petróleo. Dissertação de Mestrado,

UFRN, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Área de

Concentração: Pesquisa e Desenvolvimento em Ciência e Engenharia de Petróleo. Linha de

Pesquisa: Física aplicada à exploração e à produção de petróleo e gás natural (FAP), Natal –

RN, Brasil.

Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena

Co-orientador: Prof. Dr. Gilberto Corso

RESUMO

Na área do petróleo os dados sísmicos geralmente são irregulares e esparsamente amostrados

ao longo das coordenadas espaciais em razão de obstáculos na colocação dos geofones.

Métodos de Fourier são eficientes se os dados de entrada estão em uma grade de amostragem

regular. Entretanto, quando os métodos de Fourier são aplicados a um conjunto de dados

amostrados irregularmente, a ortogonalidade entre as componentes de Fourier deixa de existir

e a energia de uma componente de Fourier pode ―vazar‖ para outros componentes, fenômeno

chamado de ―vazamento espectral‖ (spectral leakage). O objetivo da pesquisa desta

dissertação é estudar a representação espectral de dados amostrados irregularmente. Em

particular, será apresentada a estrutura básica da representação da transformada de Fourier

não igualmente espaçada (NDFT – nonuniform discrete Fourier transform), estudo de suas

propriedades e demonstração do seu potencial no processamento do sinal sísmico. Para isso,

estudamos a transformada de Fourier rápida (FFT – fast Fourier transform) e a transformada

de Fourier rápida não igualmente espaçada (NFFT – nonuniform fast Fourier transform) que

calculam rapidamente a transformada de Fourier discreta (DFT – discrete Fourier transform)

e a NDFT, respectivamente. Comparamos a recuperação do sinal usando a FFT, NDFT e

NFFT. Abordamos a interpolação do traço sísmico usando a transformada de Fourier anti-

vazamento (ALFT – antileakage Fourier transform) para superar o problema do vazamento

espectral causado pela amostragem irregular. As aplicações a dados sintéticos e dados reais

mostraram que o método ALFT funciona de maneira eficaz em dados sísmicos de geologia

complexa, sofre pouco com a amostragem espacial irregular dos dados e os efeitos de borda,

bem como é robusto e estável com dados com ruído. Entretanto, não é tão eficiente

computacionalmente quanto o FFT e sua reconstrução não é tão eficiente no caso de

preenchimento irregular de grandes buracos na aquisição.

Palavras-Chaves: sísmica, processamentos de dados, transformada de Fourier anti-

vazamento, regularização de dados.

v

ABSTRACT

In the oil prospection research seismic data are usually irregular and sparsely sampled along

the spatial coordinates due to obstacles in placement of geophones. Fourier methods provide a

way to make the regularization of seismic data which are efficient if the input data is sampled

on a regular grid. However, when these methods are applied to a set of irregularly sampled

data, the orthogonality among the Fourier components is broken and the energy of a Fourier

component may "leak" to other components, a phenomenon called "spectral leakage". The

objective of this research is to study the spectral representation of irregularly sampled data

method. In particular, it will be presented the basic structure of representation of the NDFT

(nonuniform discrete Fourier transform), study their properties and demonstrate its potential

in the processing of the seismic signal. In this way we study the FFT (fast Fourier transform)

and the NFFT (nonuniform fast Fourier transform) which rapidly calculate the DFT (discrete

Fourier transform) and NDFT. We compare the recovery of the signal using the FFT, DFT

and NFFT. We approach the interpolation of seismic trace using the ALFT (antileakage

Fourier transform) to overcome the problem of spectral leakage caused by uneven sampling.

Applications to synthetic and real data showed that ALFT method works well on complex

geology seismic data and suffers little with irregular spatial sampling of the data and edge

effects, in addition it is robust and stable with noisy data. However, it is not as efficient as the

FFT and its reconstruction is not as good in the case of irregular filling with large holes in the

acquisition.

Keywords: seismic, data processing, antileakage Fourier transform, data regularization.

vi

O que é o tempo?

(...)

De que modo existem aqueles dois tempos – o

passado e o futuro – se o passado já não existe e o

futuro ainda não veio? Quanto ao presente, se fosse

sempre presente e não passasse para o pretérito, já não

seria tempo, mas eternidade. Mas se o presente, para

ser tempo, tem necessariamente de passar para o

pretérito, como podemos afirmar que ele existe, se a

causa da sua existência é a mesma pela qual deixará

de existir? Para que digamos que o tempo

verdadeiramente só existe porque tende a não ser?

(...)

Quem, por conseguinte, se atreve a negar que as

coisas futuras não existem? Não está já no espírito a

expectação das coisas futuras? Quem pode negar que

as coisas pretéritas já não existem? Mas está ainda na

alma a memória das coisas passadas. E quem contesta

que o presente carece de espaço, porque passa num

momento? Contudo a atenção perdura e através dela

continua a retirar-se o que era presente. Portanto, o

futuro não é um tempo longo, porque ele não existe: o

futuro longo é apenas a longa expectação do futuro.

Nem é longo o tempo passado porque não existe, mas

o pretérito longo outra coisa não é senão a longa

lembrança do passado.

(...)

Santo Agostinho (354-430)

vii

Aos Meus Pais.

viii

AGRADECIMENTOS

À Universidade Federal do Rio Grande do Norte e ao PPGCEP.

Ao Professor e Orientador, Dr. Liacir dos Santos Lucena, que me ajudou na realização

deste trabalho dando toda a base científica para o seu desenvolvimento.

Ao Professor e Co-Orientador, Dr. Gilberto Corso, pelo norteamento constante,

revisão dos textos, criticas construtivas e elogios.

Aos meus companheiros de pesquisa Éberton da Silva Marinho, pela instalação do

pacote NFFT, pela ajuda constante na implementação de quase todos os algoritmos e gráficos

da dissertação e colaboração na pesquisa; Francisco Iranildo Ferreira do Nascimento Gomes e

Rutinaldo Aguiar Nascimento, pelas indicações de bibliografia e de sites de pesquisa.

Aos professores do PPGCEP, pela transmissão de novos conhecimentos.

À minha noiva pelo apoio diário e compressão pelas minhas ausências em razão do

trabalho e estudo em dedicação à pesquisa.

Aos meus pais, familiares e amigos que direta ou indiretamente contribuíram para a

concretização deste trabalho.

ix

SUMÁRIO

1. Introdução ........................................................................................................................... 2

2. Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes ..................... 6

2.1 TRANSFORMADA DE FOURIER ............................................................................................ 6

2.2 TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA – DFT ................................................................ 7

2.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE ........................................................................................... 9

2.4 TRANSFORMADA Z ............................................................................................................ 9

3. Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes ............ 15

3.1 TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA NÃO UNIFORME – NDFT .................................. 15

3.2 TRANSFORMADA Z NÃO UNIFORME – NZT ...................................................................... 16

3.2.1 Existência e unicidade da INDFT ............................................................................ 17

3.2.2 Cálculo da INDFT ................................................................................................... 19

3.2.2.1 Eliminação de Gauss ........................................................................................ 19

3.2.2.2 Interpolação polinomial .................................................................................... 19

3.2.2.3 Método da Pseudoinversa de Moore-Penrose .................................................. 21

3.2.3 Propriedades da NDFT ............................................................................................ 21

4. Algoritmos para os Cálculos das Transformadas ............................................................. 29

4.1 PARA GRADES UNIFORMES ............................................................................................... 29

4.1.1 Transformada Rápida de Fourier – FFT .................................................................. 29

4.1.1.1 Para valores de .................................................................................... 29

4.1.1.2 Para fatores arbitrários ...................................................................................... 31

4.1.2 Transformada Z CHIRP – CZT ............................................................................... 33

4.2 PARA GRADES NÃO UNIFORMES ....................................................................................... 34

4.2.1 Transformada Discreta de Fourier Warped – WDFT .............................................. 34

x

4.2.2 Método de Horner .................................................................................................... 39

4.2.3 Método de Goertzel ................................................................................................. 39

4.2.3.1 Interpretação do Filtro Digital .......................................................................... 39

4.2.3.2 Intepretação de Séries Trigonométricas ........................................................... 42

4.2.4 Transformada de Fourier rápida não igualmente espaçada – NFFT ....................... 44

4.2.4.1 Transformada de Fourier no toro ...................................................................... 45

4.2.4.2 Transformada Discreta de Fourier não igualmente espaçada no toro .............. 45

4.2.4.3 Algoritmos ........................................................................................................ 46

4.3 TRANSFORMADA DE FOURIER ANTI-VAZAMENTO – ALFT .............................................. 52

4.3.1 Amostragem regular, irregular e vazamento espectral ............................................ 52

4.3.2 Algoritmo ................................................................................................................ 52

5. Aplicações das transformadas em sísmica de petróleo ..................................................... 57

5.1 INTRODUÇÃO À SÍSMICA DE PETRÓLEO ............................................................................ 57

5.2 APLICAÇÕES .................................................................................................................... 58

6. Conclusões ........................................................................................................................ 76

7. Bibliografia ...................................................................................................................... 80

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: exemplo ilustrativo das localizações da amostra obtida por uma DFT de 20

pontos no plano . ..................................................................................................................... 11

Figura 2.2: exemplo ilustrativo das localizações da amostra obtida por uma transformada Z

CHIRP de 60 pontos no plano com , , e . ............ 12


CHIRP de 60 pontos no plano com , , e . ............... 12

Figura 3.1: exemplo ilustrativo de dez pontos de frequência ao longo do círculo unitário no

plano para a DFT e NDFT. .................................................................................................... 16

Figura 4.1: exemplo ilustrativo da localização das amostras de frequência para a DFT e

WDFT para . .................................................................................................. 38

Figura 4.2: algoritmo 1 – NFFT (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006). .................................. 48

Figura 4.3: algoritmo 2 – NFFTH (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006). ................................ 49

Figura 4.4: algoritmo 3 – Landweber (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006). .......................... 51

Figura 4.5: algoritmo 4 – gradientes conjugados para as equações normais (CGNE –

conjugate gradients for the normal equations) (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006). ............. 51

Figura 4.6: algoritmo 5 – ALFT. ............................................................................................. 54

Figura 5.1: em (a), (b), (c) e (d) temos a comparação entre as transformadas FFT, NDFT,

NFFT e ALFT, respectivamente, em um sinal sem ruído e com amostragem regular; e em (e),

(f), (g) e (h) em um sinal sem ruído e com amostragem irregular. ........................................... 59


NFFT e ALFT, respectivamente, em um sinal com ruído e com amostragem regular; e em (e),

(f), (g) e (h) em um sinal com ruído e com amostragem irregular. .......................................... 60

Figura 5.3: apresentação de um evento sísmico linear: (a) dados originais; (b) dados

amostrados irregulamente; (c) dados regularizados; (d) plotagem comparativa, em preto os

dados originais e em vermelho os dados regularizados. ........................................................... 63

xii

Figura 5.4: apresentação de quatro efentos sísmicos lineares: (a) dados originais; (b) dados



Figura 5.5: apresentação de um evento sísmico hiperbólico: (a) dados originais; (b) dados



Figura 5.6: apresentação de três eventos sísmicos hiperbólicos: (a) dados originais; (b) dados



Figura 5.7: apresentação de três eventos sísmicos hiperbólicos com a metade do sismograma:

(a) dados amostrados irregulamente; (b) dados regularizados. ................................................ 72

Figura 5.8: apresentação de eventos sísmicos reais: (a) dados originais; (b) dados amostrados

irregulamente; (c) dados regularizados; (d) plotagem comparativa, em preto os dados originais

e em vermelho os dados regularizados. .................................................................................... 74

Figura 6.1: gráfico comparativo do custo computacional da FFT – em vermelho, NFFT – em

verde, NDFT – em azul, e ALFT – em cinza. .......................................................................... 77

xiii

LISTA DE ABREVIATURAS

ALFT – antileakage Fourier transform;

AVO – amplitude variation with offset;

CGNE – conjugate gradients for the normal equations;

CZT – chirp z-transform;

DFT – discrete Fourier transform;

FFT – fast Fourier transform;

GFFT – generalised fast Fourier transform;

IDFT – inverse discrete Fourier transform;

IFFT – inverse fast Fourier transform;

INDFT – inverse nonuniform discrete Fourier transform;

NDFT – nonuniform discrete Fourier transform;

NDFTH – adjoint nonuniform discrete Fourier transform;

NFFT – non-equispaced fast Fourier transform;

NFFTH – adjoint nonuniform fast Fourier transform;

NUFFT – non-uniform fast Fourier transform;

NZT – nonuniform z-transform;

WDFT – warped discrete Fourier transform.

1

Capítulo 1

Introdução

Introdução

Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016. 2

1. Introdução

A representação de sinais e sistemas no domínio da frequência é uma importante

ferramenta no estudo do processamento de sinais, comunicação e outros campos. Em muitas

aplicações, sinais e sistemas de tempo discreto são caracterizados por sequências de

comprimento finito. Uma representação no domínio da frequência amplamente utilizada de tal

sequência é a transformada discreta de Fourier (DFT – discrete Fourier transform) que

corresponde às amostras igualmente espaçadas de suas transformadas de Fourier de tempo

discreto ou, de forma equivalente, às amostras de sua transformada Z avaliada no círculo

unitário do plano em pontos igualmente espaçados (BAGCHI e MITRA, 1967).

Em muitos cenários, entretanto, o fato da DFT amostrar o espectro de forma

igualmente espaçada compromete, em termos de precisão, a sua aplicabilidade direta. Quando

se calcula a DFT de uma sequência , -, com pontos obtidos pela amostragem de um sinal

contínuo a uma frequência , apenas as frequências

, com , podem

ser analisadas com precisão. Isso equivale a avaliar ( ), a transformada Z de , -, em

ângulos igualmente espaçados sobre a circunferência unitária no plano z (LIMA, DE SOUZA

e DE OLIVEIRA, 2008).

Na área do petróleo os dados sísmicos geralmente são irregulares e esparsamente

amostrados ao longo das coordenadas espaciais. As causas para a amostragem irregular

incluem a presença de obstáculos, tais como problemas de hardware (com geofones,

aquafones, canhões de ar comprimido, etc.), de regularização, falhas na edição de traços e

difusão. As causas para a amostragem esparsa geralmente estão relacionadas à economia.

Usar grandes espaçamentos na linha de tiro e receptores leva à aquisição mais rápida e mais

barata, mas também, obviamente, a amostragens esparsas (SCHONEWILLE, 2000).

Portanto, no caso dos estudos sísmicos para a indústria do petróleo, um esquema de

amostragem não uniforme, adaptado aos atributos do domínio da frequência do sinal, pode ser

mais útil e conveniente em algumas aplicações. Uma das ferramentas que está à disposição é a

transformada de Fourier discreta não igualmente espaçada (NDFT – nonuniform discrete

Fourier transform) de uma sequência de comprimento finito como amostras de sua

transformada Z avaliada em pontos arbitrariamente escolhidos no plano . O conceito desta

transformada é basicamente uma generalização da transformada de Fourier discreta

convencional (BAGCHI e MITRA, 1967) e que motivou o desenvolvimento de algoritmos

computacionalmente rápidos para o seu cálculo como a transformada rápida de Fourier não

Introdução


igualmente espaçada (NFFT – nonuniform fast Fourier transform) (POTTS, STEIDL e

TASCHE, 2001).

Métodos de Fourier fornecem um modo de fazer a regularização de dados sísmicos.

Esses métodos são eficientes se os dados de entrada estão em uma grade de amostragem

regular, e a reconstrução é para preencher os traços perdidos. Sua eficiência é devida ao uso

da transformada rápida de Fourier (FFT – fast Fourier transform) (COOLEY e TUKEY,

1965). Entretanto, quando esses métodos são aplicados a um conjunto de dados amostrados

irregularmente, a ortogonalidade entre as componentes de Fourier não vale mais. A energia de

uma componente de Fourier pode ―vazar‖ para outras componentes e essa interferência é

chamada ―vazamento espectral‖ (spectral leakage) (XU, ZHANG e LAMBARÉ, 2010). Para

minimizar este problema surge a interpolação do traço sísmico usando a chamada

transformada de Fourier anti-vazamento (ALFT – antileakage Fourier transform) que

reortogonaliza a base de Fourier global sobre sua grade amostrada irregularmente, resultando

em um espectro mais preciso dos coeficientes de Fourier para dados amostrados

irregularmente.

Existem muitas razões para efetuar a regularização dos dados em sísmica de petróleo,

como para aumentar a amostragem espacial, criar uma grade regular, reduzir o ruído,

melhorar a imagem de pré-empilhamento e análise de variação da amplitude com o

afastamento (AVO - amplitude variation with offset) (KHATCHATRIAN, 2012).

O objetivo da pesquisa desta dissertação é estudar o processamento de dados

amostrados irregularmente. Em particular, será investigada a aplicação do método de

reconstrução de Fourier e diversas variantes com generalizações e especializações,

apresentação da estrutura básica da representação NDFT, estudo de suas propriedades e

demonstração do seu potencial no processamento de sinal sísmico. Além disso, estudamos as

transformadas FFT e NFFT que calculam rapidamente a DFT e a NDFT, respectivamente.

Comparamos a recuperação do sinal para a FFT, a NDFT e a NFFT. Abordamos a

interpolação do traço sísmico usando o ALFT, para superar o problema do vazamento

espectral causado pela amostragem irregular, e aplicamos o ALFT a dados sísmicos reais da

área de petróleo.

Para implementar a NFFT e a NDFT usamos as bibliotecas NFFT 3.0 (KEINER,

KUNIS e POTTS, 2006) e FFTW3 (FRIGO e JOHNSON), e o pacote OMP4NFFT (KUNIS e

RAUHUT) e para os demais algoritmos e gráficos usamos os recursos padrão do MATLAB

(2012) e MAPLE (2012). Aplicamos os algoritmos primeiramente aos casos de dados

sísmicos sintéticos obtidos através da wavelet de Ricker gerados pela biblioteca

Introdução


SEISMICLAB (SACCHI) e depois a dados sísmicos reais obtidos de MOUSA e AL-

SHUHAIL (2011). O algoritmo ALFT foi cedido pelo professor Mauricio D. Sacchi, do

departamento de física da universidade de Alberta no Canadá, quando veio a Natal/RN em

2015, a partir de sua intepretação do artigo de XU, ZHANG e LAMBARÉ (2010).

A dissertação está organizada em sete capítulos, sendo este, a introdução, referente ao

Capítulo 1.

No Capítulo 2 estudamos a transformada discreta de Fourier e generalizações em

grades uniformes. Com grades uniformes queremos dizer o caso em que a amostragem é

regular, ou seja, igualmente espaçadas. Já grades não uniformes são aquelas em que as

amostras não estão igualmente espaçadas. Este capítulo abrange o estudo da transformada de

Fourier de tempo contínuo, da transformada de Fourier de tempo discreto, da transformada de

Fourier discreta, da transformada de Laplace, da transformada Z e da transformada Z de

tempo finito.

O Capítulo 3 trata da transformada discreta de Fourier e generalizações em grades não

uniformes, compreendendo a transformada Z não uniforme, a transformada de Fourier

discreta não uniforme e a transformada discreta de Fourier Warped (WDFT – warped discrete

Fourier transform).

No Capítulo 4 apresentamos os algoritmos para os cálculos de algumas das principais

transformada vistas nos capítulos anteriores, sendo para grades uniformes e não uniformes.

Para as primeiras, veremos a transformada rápida de Fourier – FFT e a transformada Z

CHIRP (CZT – chirp z-transform). Já para grades não uniformes veremos os métodos de

Horner e Goertzel para o cálculo da NDFT, e estudaremos a NFFT. Apresentamos ainda neste

capítulo o ALFT.

Por fim, no Capítulo 5 apresentamos aplicações em sísmica de petróleo das principais

transformadas estudadas e comparações entre os métodos; no Capítulo 6 abordamos as

conclusões que foram obtidas neste trabalho e as recomendações para trabalhos futuros; e,

finalizando, no Capítulo 7, são citadas as referências bibliográficas utilizadas neste trabalho.

Capítulo 2

Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades

Uniformes

Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Uniformes


2. Transformada Discreta de Fourier e

Generalizações em Grades Uniformes

Neste capítulo, revisaremos primeiro a definição da transformada de Fourier.

Desenvolvemos as modificações necessárias na transformada de Fourier para obtermos a

transformada discreta de Fourier. Generalizamos a transformada discreta de Fourier para a

transformada Z e discutiremos ainda as propriedades desta transformada e várias abordagens

desenvolvidas para o cálculo de amostras da transformada Z de uma sequência de

comprimento finito de localização específica no plano z, e pontos fora de seus limites.

2.1 Transformada de Fourier

Primeiro vamos considerar a definição da transformada de Fourier no domínio

contínuo. Seja ( ) um sinal de tempo contínuo. A transformada de Fourier de domínio

contínuo ( ) pode ser definida como

( ) ∫ ( )

(1)

em que é a frequência angular, com a frequência temporal em hertz, e √ a

unidade imaginária. Para que ( ) convirja é necessário que ( ) seja integrável em módulo,

que tenha um número finito de máximos e mínimos dentro de qualquer intervalo finito, que

tenha um número finito de descontinuidades e que cada uma das descontinuidades seja finita

(HSU, 2004). O sinal original é recuperado pela transformada de Fourier inversa de domínio

contínuo, dada por

( )

∫ ( )

(2)

Existe também a versão de tempo discreto, obtida a partir da série de Fourier, chamada

de transformada de Fourier de tempo discreto, dada por

( ) ∑ , -

(3)

em que é o tempo discreto. A inversa da transforma de Fourier de tempo discreto é

, -

∫ ( )

(4)

em que foi obtida de , com período (OPPENHEIM e WILLSKY,

2010).



2.2 Transformada de Fourier discreta – DFT

Nesta seção, desenvolvemos um caso especial da transformada de Fourier contínua

que é passível de cálculo por máquina que denominamos DFT. Enfatizamos, sinteticamente,

as modificações da teoria da transformada de Fourier contínua que são necessárias para

definir um par de transformadas orientadas a computador, desenvolvidas em BRIGHAM

(1974).

Considere a função ( ) e sua transformada de Fourier ( ). Para determinar a

transformada de Fourier de ( ) por meio de técnicas de análise digital, é necessário amostrar

( ) multiplicando-a pela função de amostragem ( ) ∑ ( ) , constituída de

funções delta de Dirac que formam um ―trem de impulsos‖, em que o intervalo de

amostragem é . Obtemos

( ) ( ) ∑ ( ) ( )

(5)

Para o cálculo de máquina é necessário truncar a função amostrada ( ) ( ) de modo

que apenas um número finito de pontos seja considerado. O produto da sequência infinita de

pontos ( ) ( ) e a função de truncamento ( ) no domínio do tempo, em que ( ) é 1,

em , e 0, caso contrário, com sendo a duração da função de

truncamento, produz a função de tempo de comprimento finito que vamos representar por

( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( )

(6)

Esse resultado modificado ainda não é aceitável para o computador porque a

transformação de frequência é uma função contínua. Com isso, é necessário modificar a

transformação de frequência pela função de amostragem de frequência

( ) ∑ ( ) , com em que o intervalo de amostragem é e o

número de funções impulso equidistantes encontrando-se dentro do intervalo de truncamento

é . No domínio do tempo este produto é equivalente à convoluir a forma da onda amostrada

(6) e a função de tempo ( ). Obtemos

( ) ∑ [∑ ( ) ( )

]

(7)

em que ( ) , ( ) ( ) ( ) - ( ), representada com um til para indicar que se trata de

uma aproximação da função ( ).



Desenvolvendo a transformada de Fourier de (7), usamos que: (7) é periódica com

período ; a transformada de Fourier de uma função periódica ( ) é uma sequência de

impulsos equidistantes; a integração é apenas sobre um período e . E obtemos

(

) ∑ ( )

(8)

Assim, após a amostragem no domínio do tempo e a amostragem no domínio da

frequência, fazemos .

/ , - e ( ) , -, por conveniência de notação, então a

relação matemática que resulta de cada modificação para desenvolver a transformadas de

Fourier é denotada por

, - ∑ , - ( )

(9)

que é definida como a transformada discreta de Fourier – DFT e que aproxima de forma

satisfatória a transformada de Fourier de domínio contínuo (BRIGHAM, 1974).

Usando a notação mais comum , em que ( ), lembrando

que ( ) é o resto da divisão de por , a expressão da DFT na equação (9) pode

ser reescrita como

, - ∑ , -

(10)

A DFT inversa (IDFT – inverse discrete Fourier transform) é dada por

, -

∑ , -

(11)

Na forma matricial, a DFT pode ser expressa como

(12)

[ , -

, -

, -

, -

, -]

[

( )

( )

( )

( )

( ) ]

[ , -

, -

, - , -

, -]

em que a matriz , de ordem , é chamada de matriz DFT.

A DFT é amplamente usada para calcular de forma muito eficiente os algoritmos da

transformada rápida de Fourier (FFT – fast Fourier transform) (COOLEY e TUKEY, 1965)

que veremos no Capítulo 4. O número de operações aritméticas envolvidas no cálculo direto



de (12) é ( ). O algoritmo FFT reduz este número para ( ) se é uma potência

de , ou ( ∑ ) com inteiros sendo fatores de .

2.3 Transformada de Laplace

A transformada de Fourier de tempo contínuo oferece-nos uma representação dos

sinais como combinações lineares de exponenciais complexas na forma com .

Contudo, em sua propriedade de autofunção e em muitas de suas consequências também se

aplicam a valores arbitrários de e não apenas para aqueles valores que são puramente

imaginários. Essa observação leva à generalização da transformada de Fourier de tempo

contínuo, conhecida como transformada de Laplace (OPPENHEIM e WILLSKY, 2010).

A transformada de Laplace de um sinal qualquer ( ) é definida como

( ) ∫ ( )

(13)

com variável complexa. A variável pode ser escrita na forma algébrica como ,

sendo e as partes real e imaginária, respectivamente. Quando , a Equação (13)

reduz-se à transformada de Fourier de ( ). A transformada de Laplace inversa é dada por

( )

∫ ( )

(14)

2.4 Transformada Z

Na seção anterior apresentamos a transformada de Laplace como uma extensão da

transformada de Fourier de tempo contínuo. Essa extensão foi motivada, em parte, pelo fato

de que a transformada de Laplace pode ser aplicada a uma classe mais ampla de sinais do que

a transformada de Fourier, pois existem muitos sinais para os quais a transformada de Fourier

não converge, mas a transformada de Laplace converge. Agora usamos a mesma abordagem

para o tempo discreto à medida que desenvolvemos a transformada Z, que é o equivalente de

tempo discreto da transformada de Laplace (OPPENHEIM e WILLSKY, 2010), e adequamos

a abordagem para permitir o cálculo por máquina.

Para uma sequência genérica de tempo discreto , -, a transformada Z é dada por

( ) ∑ , -

(15)

que é uma função de variável complexa (HSU, 1973).



Para , com real, a equação (15) reduz-se à transformada de Fourier de

tempo discreto de , -.

A transformada Z inversa é dada por

, -

∳ ( )

em que é um contorno anti-horário de integração que envolve a origem.

Note que a sequência , - em (15) é infinita, então devemos realizar uma alteração

para que a transformada seja orientada a computado. É necessário truncar a função amostrada

, - de forma análoga ao que fizemos para a transformada de Fourier de tempo contínuo, ou,

de forma equivalente, considerar sequências com apenas um número finito de pontos não

nulos.

Portanto, doravante, consideraremos, sem perda de generalidade, a sequência de

comprimento finito , -, com , de comprimento como a Transformada Z de

tempo finito dada por

( ) ∑ , -

(16)

que é uma função de variável complexa , que geralmente é expressa em forma polar como

, em que é a magnitude de e é o ângulo de .

Como , - é uma sequência causal (isto é, sua saída em um tempo arbitrário

depende apenas da entrada , - para ) de comprimento finito, a região de

convergência de ( ) é todo o plano excluindo a origem (BAGCHI e MITRA, 1967).

Comparativamente, apesar das vantagens computacionais do uso da FFT, a DFT dá

apenas amostras igualmente espaçadas em um círculo unitário. Em uma tentativa de obter

uma amostragem mais geral da DFT no círculo unitário, introduziu-se a transformada Z

CHIRP, que discorreremos no Capítulo 4. Este algoritmo calcula rapidamente amostras da

transformada Z em pontos que estão no contorno circular ou espiral começando em

qualquer ponto arbitrário do plano . O espaçamento angular desses pontos é uma constante

arbitrária.

Fazendo a magnitude e o ângulo , na forma polar de em

(16), os pontos que estão no contorno circular ou espiral começando em qualquer ponto

arbitrário do plano , onde o espaçamento angular desses pontos é uma constante arbitrária,

são dados por , com em que e são os números

complexos e

.



O contorno do plano começa com o ponto , em que é a distância

à origem e o ângulo dessa posição.

Se , o contorno é uma arco de um círculo, se , espiralará para fora,

se espiralará para dentro. O espaçamento angular das amostras é .

Figura 2.1: exemplo ilustrativo das localizações da amostra obtida por uma DFT de 20 pontos

no plano .




CHIRP de 60 pontos no plano com , , e .


CHIRP de 60 pontos no plano com , , e .



Os valores da transformada Z geralmente são calculados ao longo da trajetória do eixo

do círculo unitário. Note que o caso , e corresponde à DFT no

plano z e tem muitas aplicações incluindo a estimativa do espectro, filtragem, interpolação e

correlação (RABINER, SCHAFER e RADER, 1969).

As aplicações do cálculo da transformada Z fora do círculo unitário são poucas, uma

delas é o aprimoramento de ressonância espectral em sistemas para os quais se tem alguma

previsão das localizações dos polos e zeros (RABINER, SCHAFER e RADER, 1969).

Substituímos em (16) e obtemos

( ) ∑ , -( )

(17)

Na forma matricial, a transformada pode ser expressa como

(18)

[ , -

, -

, -

, -]

[

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ( ))

( ( )) ( )

]

[ , -

, -

, -

, -]

que requer multiplicações e adições complexas para o cálculo direto.

Capítulo 3

Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades

Não Uniformes

Transformada Discreta de Fourier e Generalizações em Grades Não Uniformes


3. Transformada Discreta de Fourier e

Generalizações em Grades Não Uniformes

Neste capítulo desenvolvemos o conceito de transformada discreta de Fourier não

uniforme (NDFT – nonuniform discrete Fourier transform) e de transformada Z não uniforme

(NZT – nonuniform Z transform). Ademais, investigamos a existência e unicidade, o cálculo

da inversa e as propriedades da NDFT no círculo unitário complexo.

3.1 Transformada de Fourier Discreta não uniforme – NDFT

Agora queremos generalizar a definição e o cálculo da transformada de Fourier da

amostragem regular para o domínio de amostragem irregular. No caso geral, a definição de

transformada de Fourier discreta não uniforme (NDFT – nonuniform discrete Fourier

transform) é a mesma que a dada em (9), levando em consideração que as amostras podem ser

tomadas em intervalos irregulares no tempo ( ) e/ou na frequência ( ).

Os índices e de (9) são substituídos por e , respectivamente, se a

transformada de Fourier de dados desigualmente espaçados ( ) é avaliada em pontos de

grade desigualmente espaçados. A NDFT é uma extensão da DFT uniforme, ou seja, a última

é um caso especial da primeira. Assumindo as localizações de amostragem temporais

* + , ) e as localizações de amostragem de frequência *

+ , ), a sequência complexa * , - , -+ é convoluída com a

função exponencial correspondente para obter seu espectro * , - , -+, então

temos três tipos diferentes de NDFT generalizada como dado abaixo (RAO, KIM e HWONG,

2010).

NDFT-1: pontos de amostragem de tempo não uniforme e pontos de amostragem de

frequência uniforme, é definida como

, -

√ ∑ , -

(19)

que é obtida por uma função de amostragem no tempo constituída de um ―trem de impulsos‖

não uniformemente espaçado.

NDFT-2: pontos de amostragem de tempo uniforme e pontos de amostragem de

frequência não uniforme, é definida como

, -

√ ∑ , -

(20)



que é obtida por uma função de amostragem na frequência constituída de um ―trem de

impulsos‖ não uniformemente espaçado.

NDFT-3: pontos de amostragem de tempo não uniforme e pontos de amostragem de

frequência não uniforme, é definida como

, -

√ ∑ , -

(21)

que é obtida pelas duas amostragens não uniformes anteriores, no tempo e na frequência.

A transformada de Fourier de dados igualmente espaçados ( ) avaliada em pontos de

grade não igualmente espaçados , (NDFT-2) é mostrado na Figura 3.1.

Figura 3.1: exemplo ilustrativo de dez pontos de frequência ao longo do círculo unitário no

plano para a DFT e NDFT.

Em certas aplicações tais como análise espectral, é preferível amostrar a transformada

dada por ( ) em pontos distribuídos não igualmente sobre o círculo unitário no plano ,

dependendo do espectro de frequências. Devem ser atribuídos os espectros mais concentrados

no domínio da frequência e o maior número de amostras (RAO, KIM e HWONG, 2010).

3.2 Transformada Z não uniforme – NZT

Mais uma vez fazemos uma generalização. Generalizaremos o caso da transformada

de Fourier discreta não uniforme para a transformada Z não uniforme (NZT – nonuniform z-

transform) de tempo finito.

A transformada Z não uniforme de uma sequência , - de comprimento é definida

como



( ) ∑ , -

(22)

em que são pontos distintos localizados arbitrariamente no plano .

Note que quando os pontos estão localizados apenas em pontos igualmente

espaçados no círculo unitário do plano , isto corresponde à transformada discreta de Fourier

(DFT), bastando, para tanto, escrever

. E quando os pontos estão localizados

apenas em pontos não igualmente espaçados no círculo unitário do plano , isto corresponde à

transformada discreta de Fourier não uniforme (NDFT), fazendo

.

Podemos expressar a equação (22), na forma matricial como

(23)

[

( )

( )

( )

]

[

( )

( )

( )

]

[

, -

, -

, -

]

Para calcular cada amostra da transformada Z não uniforme precisamos de

multiplicações complexas e ( ) adições complexas, isto é, multiplicações reais e

( ) adições reais. Portanto, a quantidade de cálculo necessário para avaliar amostras

da transformada Z não uniforme é aproximadamente proporcional a . Note que é o mesmo

necessário para o cálculo direto da transformada Z uniforme.

3.2.1 Existência e unicidade da INDFT

Vamos mostrar que a inversa da transformada de Fourier não uniforme (INDFT –

inverse nonuniform discrete Fourier transform), no círculo unitário complexo, existe e é

única. Primeiramente, definiremos a matriz de Vandermonde.

A matriz da forma

[

] , em que são

números complexos, é definida como a matriz de Vandermonde complexa.

Alguns autores usam como definição de matriz de Vandermonde a transposta da

matriz , mas, para o nosso objetivo, a escolha de uma em detrimento da outra não causará

nenhum prejuízo.

Note que a matriz em (23) é uma matriz de Vandermonde complexa com

.



Mostramos abaixo que o determinante de pode ser expresso na forma fatorada como

( ) ∏ (

) , a partir de DAVIS (1975).

Teorema 1: dados pontos complexos distintos , o determinante da matriz de

Vandermonde complexa é dado por

( ) ∏ ( )

Demonstração:

Usando o princípio da indução finita, para temos [

], então

( ) , que satisfaz a condição.

Suponhamos que a propriedade vale para matrizes de ordem . Agora vamos

provar que vale para matrizes de ordem , ou seja, que vale para

[

]

Com algumas operações elementares da propriedade de Jacobi para matrizes, que não

alteram o determinante, vem

[ ( )

( )

( )

( )

( )

( )]

Pelo teorema do determinante de Laplace e pela propriedade da multiplicação de uma

fila por uma constante, temos

( ) ( ) ||

||

( ) ( )

Por hipótese de indução, temos que é o determinante de Vandermonde de ordem

, assim temos

( ) ∏ ( )

Portanto, a propriedade é válida para toda matriz de ordem

Por HOFFMAN e KUNZE (1976), temos o seguinte Teorema.



Teorema 2: seja uma matriz sobre um corpo Então, é inversível sobre se, e

somente se, é inversível em Quando é inversível a única inversa de é

( )

O conjunto dos números complexos é um corpo, então, em particular, uma matriz

sobre um corpo é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Assim, para a inversa existir e ser única, devemos ter . Dado que os pontos de

amostragem são distintos, do Teorema 1, temos que . Portanto, a

NDFT inversa existe e é única, e é dada por

3.2.2 Cálculo da INDFT

Já vimos que o problema no cálculo da INDFT é equivalente a resolver o sistema de

Vandermonde na equação . Isso pode ser colocado alternativamente como um

problema de interpolação polinomial (BAGCHI e MITRA, 1967).

Embora a solução deste problema seja única, existem vários métodos de resolução do

problema. Isso leva a diferentes modos de calcular a INDFT. Vejamos alguns métodos

baseados em RAO, KIM e HWONG (2010) e BAGCHI e MITRA (1967).

3.2.2.1 Eliminação de Gauss

Dada a NDFT, , e a matriz NDFT, , a INDFT, , é encontrada diretamente

resolvendo o sistema linear na equação , usando a eliminação Gaussiana. Isso envolve

( ) operações. O mesmo problema pode ser resolvido mais eficientemente usando

interpolação polinomial.

3.2.2.2 Interpolação polinomial

Nesta abordagem, a transformada , ( ), é determinada diretamente em termos dos

coeficientes NDFT, , - ( ), com usando métodos de interpolação

polinomial. A INDFT , - pode então ser identificada com os coeficientes desta interpolação

polinomial. Esta abordagem é usada em dois métodos de interpolação distintos, a interpolação

de Lagrange e de Newton.

Interpolação de Lagrange: ( ) é expresso como o polinômio de Lagrange de

ordem ,

( ) ∑ ( )

( ) , -

(24)



com , - ( ), em que ( ) ( ) ( ) são polinômios fundamentais, definidos

como

( ) ∏( )

(25)

Interpolação de Newton: ( ) é expresso na forma

( ) ( ) (

)( ) ∏(

)

em que o coeficiente é chamado a diferença dividida da -ésima ordem

de , - , - , - com relação a . As diferenças divididas são calculadas

recursivamente como segue:

, -

, -

, - (

)

( )(

)

Note que cada é uma combinação linear dos , - e, ademais, depende apenas de

, - , - , - e . Na representação de Lagrange, se incluirmos um ponto

adicional e aumentarmos a ordem da interpolação polinomial, todos os polinômios

fundamentais mudam e, consequentemente, devem ser recalculados. Na representação de

Newton, isso pode ser realizado pela simples adição de um ou mais termos. Assim, ele tem

uma propriedade permanente que é uma característica das séries de Fourier e outras expansões

ortogonais e biortogonais.

Como os coeficientes são calculados resolvendo o sistema de equações triangular

superior,

(26)

[ (

)

( )

(

)

∏( )

]

[

]

[ , -

, -

, -

, -]

isso envolve ( ) operações. A sequência , - pode agora ser facilmente calculada a partir

de . Assim, a interpolação de Newton fornece um método mais eficiente de resolver a

INDFT (BAGCHI e MITRA, 1967).



3.2.2.3 Método da Pseudoinversa de Moore-Penrose

Dados os valores complexos , com , em pontos não igualmente

espaçados , o objetivo é reconstruir um polinômio trigonométrico , - que está próximo

da amostra original como

, - ∑ , - ( )

ou

em que representa a forma matricial da transformada de Fourier inversa.

Um método padrão é usar a solução pseudoinversa de Moore-Penrose que resolve o

problema geral dos mínimos quadrados lineares

‖ ‖ ‖ ‖

que minimiza a norma residual ‖ ‖ . O cálculo do problema da pseudoinversa por uma

decomposição de valor singular é muito cara computacionalmente e não existe nenhum modo

prático. Para um modo mais prático, pode-se reduzir o erro aproximado , usando o

problema ponderado aproximado

‖ ‖

com

‖ ‖ (∑ | , -|

)

em que denota uma matriz ponderada diagonal (RAO, KIM e HWONG, 2010).

3.2.3 Propriedades da NDFT

Estudamos agora algumas propriedades relevantes da NDFT nesta seção. Muitas

dessas propriedades são análogas às da transformada e da transformada de Fourier. Por

conveniência notacional, denotamos um par de transformadas como ↔

colocando na posição superior à seta dupla a sigla da transformada.

Primeiramente vamos fazer algumas considerações sobre as propriedades que não

valem para a NDFT comparando com as propriedades da DFT.

A propriedade do deslocamento circular da DFT é análoga à propriedade do

deslocamento no tempo da transformada de Fourier de tempo discreto, mas com uma

diferença sutil. Vamos considerar a sequência de comprimento definida para o intervalo



. Tal sequência tem valores amostrados iguais a zero para e . Se

, - é tal sequência, então, para qualquer inteiro arbitrário , a sequência deslocada

, - , - não está mais definida para o intervalo . Precisamos,

portanto, definir outro tipo de deslocamento que sempre manterá a sequência deslocada no

intervalo . Isso é atingido definindo um novo tipo de deslocamento, chamado

deslocamento circular, usando uma operação de módulo de acordo com , -

módulo , tal que , - , - (MITRA, 2001).

, - ↔

, -

Já na NDFT, ao contrário da DFT, não existe periodicidade implícita na representação

geral da sequência de comprimento finito. Como resultado, não vale a propriedade do

deslocamento circular para a NDFT.

A propriedade da dualidade para a DFT diz o seguinte

, - ↔ , -

Mas, pela mesma razão apresentada para a propriedade do deslocamento circular, a

dualidade não vale para a NDFT.

As propriedades a seguir estão baseadas em BAGCHI e MITRA (1967) e RAO, KIM

e HWONG (2010).

Proposição (linearidade): sejam ( ) e ( ) as NDFTs das sequências , - e , -,

respectivamente. Então, , - , - ↔ ( ) ( ), em que e são constantes.

Demonstração:

( , - , -) ∑( , - , -)

∑ , -

∑ , -

( ) ( )

Corolário: se , - tem comprimento e , - tem comprimento , então a sequência

combinada linearmente , - , - , - terá um comprimento máximo de

( ).

Proposição (deslocamento no domínio do tempo): suponha que , - é zero fora do

intervalo . Então, , - ↔

( ) em que é um inteiro, e , -

, -, com

Demonstração:



A NDFT de , - é dada por

( ) ∑ , -

Substituindo na equação acima Note que quando ,

temos , e quando , temos , então

( ) ∑ , -

( )

Assim, um deslocamento no domínio do tempo corresponde a uma multiplicação da

NDFT ( ) por um fator complexo de .

Proposição (escalonamento e deslocamento no domínio ): seja ( ) a NDFT da

sequência , -. Então, , -

↔ ( ).

Demonstração:

Considere a sequência, , - , -, com . A NDFT de , - é

dada por

( ) ∑ , -

∑ , - ( )

( )

Proposição (conjugação): seja ( ) a NDFT da sequência , -. Então, , - ↔ (

).

Demonstração:

Seja , - , -, com . A NDFT de , - é dada por

( ) ∑ , -

{∑ , -( )

}

* ( )+

( )

Assim, a conjugação da sequência original leva à conjugação de sua NDFT, que foi

avaliada na localização da amostra conjugada no plano .



Proposição (parte real da sequência): seja ( ) a NDFT da sequência , -. Então,

* , -+ ↔

* ( )

( )+.

Demonstração:

A parte real de , - pode ser expressa como

, -

* , - , -+

( , -) (

* , - , -+)

Pela linearidade, temos

( , -)

* ( , -) ( , -)+

A NDFT de , - pode ser obtida aplicando o resultado da propriedade da conjugação

anterior , - ↔ (

), daí

( )

* , -

, -+

Proposição (parte imaginária da sequência): seja ( ) a NDFT da sequência , -. Então,

* , -+ ↔

* ( )

( )+.

Demonstração:

A parte imaginária de , - pode ser expressa como

, -

* , - , -+

( , -) (

* , - , -+)

Pela linearidade, temos

( , -)

* ( , -) ( , -)+

A NDFT de , - pode ser obtida aplicando-se o resultado da propriedade da

conjugação anterior , - ↔ (

), daí

( )

* ( )

( )+

( )

* ( )

( )+

Proposição (simetrias): se ( ) é real, então

i) ( ) (

);



ii) * ( )+ * ( )+

iii) * ( )+ * ( )+

iv) | ( )| | ( )|

v) * ( )+ * ( )+

Demonstração:

i)

Como , - é real, , - , -, então

( , -) ( , -)

Aplicando a propriedade da conjugação , - ↔ (

), obtemos

( ) (

)

ii)

Vamos expressar ( ) com um número complexo, ( ) , - , -,

, em que , - * ( )+ , - * ( )+

Conjugando ambos os lados da equação da propriedade (i) anterior ( ) (

),

temos

( ) ( ) (27)

Mas, da equação ( ) , - , -, temos

( ) , - , - (28)

Comparando as equações (27) e (28), obtemos

( ) , - , -

Daí, como , - * ( )+, então

* ( )+ * ( )+

iii)

Comparando as equações ( ) , - , - e ( ) , - , - do item

anterior, obtemos

, - * ( )+ * ( )+ (29)

iv)

Da propriedade de simetria (i) anterior, temos ( ) (

). Então, aplicando o

módulo em ambos os membros, temos

| ( )| | ( )|

v)

Da propriedade de simetria (i) anterior, temos ( ) (

) Então, aplicando o

argumento em ambos os membros, temos

* ( )+ * (

)+



* ( )+ * ( )+

Proposição (reversão no tempo): seja ( ) a NDFT da sequência , -.

i) , - ↔ ( );

ii) Se , - é real, então, , - ↔ ( )

Demonstração:

i)

Seja , - , -, com e , - é zero fora do

intervalo . A NDFT de , - é dada por

( ) ∑ , -

Substituindo acima, obtemos

( ) ∑ , -

∑ , - (

)

( )

Assim, a inversão no tempo da sequência resulta na inversão da localização da amostra

no plano .

ii)

Se , - é real e , então temos

( ) ( )

Como , - é real, podemos aplicar o resultado da propriedade simétrica (i) anterior,

para obter

( ) ( )

Portanto, obtemos o par NDFT

, - ↔ ( )

Neste caso, a inversão no tempo da sequência simplesmente corresponde ao conjugado

da NDFT.

Na proposição a seguir usamos para indicar a multiplicação componente a

componente de dois vetores.

Proposição (convolução linear): sejam e sequências com e elementos,

respectivamente. A convolução linear das duas sequências usando a NDFT é dada por



, -, em que e , com e os vetores de

comprimento preenchidos com zeros.

Demonstração:

Vamos aumentar as sequências e com zeros ao final para obter sequências e ,

que têm comprimentos .

[ , -

, -

, - ]

[ , -

, -

, -

]

Então, se tomarmos as NDFTs em pontos de e , em que é uma matriz NDFT

com pontos de amostragem, obtemos

Se multiplicarmos agora as NDFTs e (componente a componente) e tomarmos a

NDFT inversa do resultado, temos a sequência

, -

Para ver como esta sequência está relacionada a , avaliamos a transformada em

ambos os lados da equação em para obter

Assim,

, -

As equações , - e

, - mostram que é igual à

convolução linear . Portanto, a convolução linear de duas sequências pode ser calculada

preenchendo-a com zeros, multiplicando as NDFTs e tomando a NDFT inversa do resultado.

Capítulo 4

Algoritmos para os Cálculos das Transformadas



4. Algoritmos para os Cálculos das Transformadas

Para o estudo dos algoritmos rápidos para o cálculo da transformada de Fourier e da

transformada Z, dividimos este capítulo em duas partes: para grades uniformes e para grades

não uniformes.

4.1 Para grades uniformes

Nesta seção vamos estudar dois algoritmos rápidos para o cálculo da transformada de

Fourier e da transformada Z em pontos de amostra igualmente espaçados. Começaremos

estudando a Transformada Rápida de Fourier (FFT – fast Fourier transform) e depois

veremos um caso mais geral que é o da transformada Z CHIRP (CZT – chirp z-transform).

4.1.1 Transformada Rápida de Fourier – FFT

A transformada rápida de Fourier (FFT) é um conjunto de algoritmos que pode

calcular a transformada discreta de Fourier (DFT) muito mais rapidamente do que o cálculo

direto. Por esta razão, nossa discussão da FFT é endereçada apenas ao aspecto computacional

do algoritmo. Vamos nos restringir à versão de COOLEY E TUKEY (1965) do algoritmo em

BRIGHAM (1974).

Nesta subseção, primeiro construímos o algoritmo FFT para qualquer , com

avaliado nos inteiros, e depois fazemos uma generalização para em que é um

inteiro. Veremos que esses algoritmos resultam em uma enorme economia do tempo de

computação.

4.1.1.1 Para valores de

Vimos que a transformada discreta de Fourier é dada por (9). Em , podemos

representar os inteiros e como números binários da seguinte forma

(30)

em que e podem assumir os valores e apenas.

Usando esta representação, podemos reescrever (9) como

( ) ∑ ∑ ∑ ( )

(31)



em que ( )(

), e a

formulação (9) foi substituída por somas a fim de enumerar todos os bits da representação

binária de .

Como

, escrevemos

como

( )(

) (

)( )

(

) (32)

Agora considere o primeiro termo de (32),

(

)( ) 0

( )1 0 ( )1

0 ( )1

( )

( )

(33)

pois

[ ] . Analogamente, o segundo termo de (32) resulta

(

)( ) 0

( )1 0 ( )1

( )

( )

( )

(34)

Note que à medida que progredimos pelos termos de (32), adicionamos outro fator que

não se cancela pela condição . Esse processo continua até atingirmos o último termo

que não tenha cancelamento.

( ) ∑ ∑ ∑ ( )

( )

( )

(

) (35)

Realizando cada um dos somatórios separadamente e rotulando os resultados

intermediários, obtemos

( ) ∑ ( ) ( )

( ) ∑ ( ) ( )

( ) ∑ ( ) (

)



( ) ( ) (36)

Ou seja, os bits do resultado final ( ), da forma como foram obtidos,

estão invertidos com relação aos valores desejados ( ).

Esse conjunto de equações recursivas representa a formulação Cooley-Tukey da FFT,

. Relembre que a avaliação direta da transformação de um ponto requer

aproximadamente multiplicações complexas. Agora considere o número de multiplicações

necessárias para calcular as relações (36). Existem equações somatórias em que cada um

representa equações. Cada um das últimas equações contém duas multiplicações

complexas; entretanto a primeira multiplicação de cada equação é na verdade uma

multiplicação por unidade. Isso segue do fato de que a primeira multiplicação é sempre da

forma

, em que . Assim, apenas multiplicações complexas são

necessárias (BRIGHAM, 1974).

4.1.1.2 Para fatores arbitrários

O algoritmo FFT para qualquer , com avaliado nos inteiros resultou em uma

enorme economia do tempo de computação, mas a condição é muito restritiva. Então,

nesta seção desenvolvemos o algoritmo FFT que remove esta condição. Mostraremos que

significante economia de tempo pode ser obtida desde que seja altamente composto; ou

seja, em que é um inteiro.

Assuma que o número de pontos a ser transformado discretamente satisfaz

, em que são valores inteiros. Expressamos primeiro o índice de e na

representação da variável radix (BRIGHAM, 1974)

( ) ( ) ( ) ( )

(37)

em que , com , , e com

.

Podemos, agora, escrever a Equação (9) como

( ) ∑ ∑ ( )

(38)

em que ∑ representa um somatório sobre , com .

Note que

, ( ) - (39)

e o primeiro termo do somatório expande para

( )

, ( ) - ( )



, -, ( ) -

( ) (40)

Uma vez que

, então a Equação (40) pode ser escrita como

( )

( ) (41)

e, assim, a Equação (39) torna-se

( ) , ( ) - (42)

A equação (38) agora pode ser reescrita como

( ) ∑∑ ,∑ ( )

( )1

, ( ) - (43)

Note que a soma interna é sobre e é apenas uma função de variáveis e

. Assim, definimos uma nova matriz como

( ) ∑ ( ) ( )

(44)

A Equação (43) agora pode ser reescrita como

( ) ∑∑ ∑ ( )

, ( ) - (45)

Por argumentos análogos aos que levam à Equação (41), obtemos

( )

( ) ( ) (46)

A identidade (46) permite a soma interna de (45) a ser escrita como

( ) ∑ ( ) ( ) ( )

(47)

Podemos agora reescrever (45) na forma

( ) ∑∑ ∑ ( )

, ( ) - (48)

Se continuarmos reduzindo (48) desta maneira, obtemos um conjunto de equações

recursivas da forma

( )

∑ ( )

, ( ) - ( )



(49)

A expressão (49) é válida quando definimos ( ) para e

.

Os resultados finais são dados por

( ) ( ) (50)

A expressão (49) é uma extensão devida a BERGLAND (1968) do algoritmo original

de COOLEY e TUKEY (1965). Notemos que existem elementos na matriz , cada um

requerendo operações (uma multiplicação complexa e uma soma complexa), dando um

total de operações para obter . Analogamente, se gasta operações para calcular

de . Assim, o cálculo de requer ( ) operações. Este limite não leva

em conta as simetrias da exponencial complexa que podem ser exploradas. Essas simetrias

são discutidas em pormenor em BRIGHAM (1974).

4.1.2 Transformada Z CHIRP – CZT

Para o cálculo rápido da transformada Z em pontos que estão no contorno circular

ou espiral, começando em qualquer ponto arbitrário do plano , com espaçamento angular

constante, introduziu-se a transformada Z CHIRP. Usamos em (17) a substituição devida a

BLUESTEIN (1970), ( )

para o expoente de . Isso produz uma expressão

aparentemente mais pesada (BAGCHI e MITRA, 1967)

( )

∑ , -

( )

(51)

A Equação (51) pode ser expressa como uma convolução discreta da forma

( )

[( , -

)

] (52)

chamada transformada Z CHIRP (CZT – chirp z-transform).

Por MARTIN (2005), temos

( )

[ ( , -

) (

)]

O cálculo de , -

requer multiplicações. Técnicas de convolução de alta

velocidade usando a FFT podem ser usadas para avaliar a CZT de forma eficiente com

(( ) ( )) operações, para valores muito grandes de e . O produto do

resultado da convolução por requer multiplicações.

Como o número de amostras de ou cresce muito, o cálculo do tempo para a CZT

crescer assintoticamente como algo proporcional a ( ) ( ). Este é o mesmo



tipo de dependência assintótica da FFT, mas a constante de proporcionalidade é maior para a

CZT porque duas ou três FFT‘s são necessárias ao invés de uma, e porque é maior do

que ou . Ainda, a CZT é mais rápida do que o cálculo direto de (18) mesmo para valores

relativamente modestos de e , da ordem de 50 (RABINER, SCHAFER e RADER, 1969).

4.2 Para grades não uniformes

Estudamos primeiro nessa seção um caso particular da NZT que é a transforma da

Fourier discreta warped (WDFT – warped discrete Fourier transform). Além disso, três

métodos para o cálculo da NDFT são discutidos, quais sejam, o algoritmo de Horner e depois

o algoritmo de Goertzel em duas formulações. Estudamos ainda o algoritmo NFFT que faz o

cálculo rápido da NDFT.

4.2.1 Transformada Discreta de Fourier Warped – WDFT

Agora consideramos uma estrutura alternativa para a localização dos pontos de

frequência aplicando uma transformada passa-tudo para deformar o eixo de frequência,

baseada em MAKUR e MITRA (2001).

Lembrando que uma função sistema é a razão da transformada da sequência de saída

, - e a transformada da sequência de entrada , -; uma função sistema de resposta infinita

( ) com resposta de magnitude unitária para todas as frequências, isto é, | ( )| ,

para todo , é chamada uma função de transferência passa-tudo (MITRA, 2001).

Aplicando uma transformada passa-tudo para deformar o eixo de frequência, os pontos

uniformemente espaçados sobre o eixo de frequência deformado são equivalentes aos pontos

de frequência uniformemente espaçados sobre o eixo de frequência original. Isso levou ao

conceito de transforma da Fourier discreta warped (WDFT – Warped discrete Fourier

transform) que avalia as amostras de frequência de ( ) em pontos desigualmente espaçados

sobre o círculo unitário. Escolhendo os parâmetros de deformação podemos espaçar algumas

amostras de frequência mais próximas umas das outras fornecendo uma melhor resolução em

um intervalo de frequência selecionado sem aumentar o comprimento da DFT. MAKUR e

MITRA (2001) propuseram, então, uma realização eficiente da WDFT que é exata e mais

fácil de implementar do que o cálculo direto da WDFT.

A WDFT é um caso especial da NZT. Mais especificamente, a WDFT de pontos

, - de uma sequência , - de comprimento é dada por amostras de frequência

igualmente espaçadas de uma transformada Z, ( ), modificada a partir de ( ) aplicando-se

a transformação



( ) (53)

em que ( ) é o filtro passa-tudo de coeficientes reais de ordem . Note que a transformação

passa-tudo deforma a escala de frequência e, assim, os pontos uniformemente espaçados sobre

o círculo unitário no plano são aplicados nos pontos não uniformemente espaçados sobre o

círculo unitário do plano .

Aplicando o mapeamento da equação (53) em (16), obtemos

( ) ∑ , - ( )

(54)

Se denotarmos

( ) ( )

( ) (55)

em que ( ) ( ), chegamos a

( ) ∑ , - ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

em que ( ) ∑ , - ( ) ( ) é um polinômio de grau ( ) que é uma

função de , - e o denominador ( ) ( ) é outro polinômio de grau ( ) que

não é, entretanto, uma função de , -.

A WDFT é definida como ( ) avaliada em , ou seja,

, - ( )| ( )|

( )| (56)

Definindo-se

( ) ( ) ∑ [ ∑

( )

]

(57)

em que é o -ésimo coeficiente de ( ).

Analogamente, defina

( ) ( ) (58)

em que ( ) e ( ) têm grau . Como | o cálculo da WDFT como

mostrado em (56) pode ser simplificado para

, - ( )|

( )| (59)

Sejam , -, , - os pontos DFT de sequências de comprimento obtida a partir

dos coeficientes de ( ) e ( )



, - ( )| , - ( )| (60)

Então,

, - , -

, - (61)

Usando a notação matricial, defina o vetor de entrada como

[

, -

, -

, -

] (62)

e seja o vetor coluna formado a partir dos coeficientes de ( ). Então, podemos encontrar

como

(63)

em que é uma matriz real discutida adiante.

Além disso, , - pode ser obtido como

[ , -

, -

, -]

(64)

em que é a matriz DFT , { }

. Finalmente, os coeficientes da

WDFT são obtidos como segue:

[ , -

, -

, -]

[

, -

, -

, -]

[ , -

, -

, -]

(65)

Assim, obtemos uma fatoração da matriz WDFT no produto de uma matriz diagonal, a

matriz DFT, e uma matriz real.

A matriz tem coeficientes reais uma vez que ( ) tem coeficientes reais. Como

denota o coeficiente de ( ), podemos escrever

[

( )]

(66)

em que é uma matriz real ( ( ) ) .

Mostremos primeiro que as linhas de formam pares de imagem espelho.



A partir de ( ) ∑ , - ( ) ( ) , a -ésima coluna de é obtida a

partir dos coeficientes de ( ) ( ), considerando que a ( )-ésima coluna de

é obtida a partir dos coeficientes de ( ) ( ).

A partir de ( ) ( ) pode ser mostrado que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (67)

Uma vez que cada coluna é de dimensão ( ), segue-se que a -ésima coluna de

é a imagem espelho de sua ( )-ésima coluna. Portanto, as linhas também são

pares de imagem espelho. Se denota a -ésima linha de , então é a imagem espelho

de ( ) .

Assim, é obtido a partir de pela soma de linha da última, como pode ser visto de

( ) ( ) ∑ [∑ ( ) ]

.

Seja a -ésima linha de , . Então,

∑ ( )

(68)

Para um inteiro apropriado, tal que , a ( )-ésima

linha de é

∑

∑ ( )

(69)

Isto ocorre porque ( ( ) ) , portanto qualquer tal que

também satisfará ( ( ) ) . Mas, ( ) é a

imagem espelho de . Portanto, segue-se que também é a imagem espelho de .

Note que, se para algum , , então esta linha é simétrica.

Uma vez que todas as linhas de são pares de imagem espelho (ou, simétricas), cada

uma dessas partes pode ser expressa como a soma e a diferença de um vetor linha simétrico e

uma antissimétrico. Assim, pode ser calculado usando apenas multiplicações para

cada linha.

O exemplo mais simples de uma aplicação não trivial é obtida usando a função passa-

tudo de primeira ordem tendo ( ) , em que | | para estabilidade. Então, de

(53) e (55), temos



Substituindo e , em que a frequência angular original é e a

frequência warped é , tomando a raiz quadrada de ambos os lados e tomando a razão da

parte imaginária e da parte real de cada lado, temos

(

(

))

Esta transformação mantém a ordem dos pontos de frequência. Entretanto, para um

positivo (negativo), a aplicação não linear se estende para a região de altas (baixas)

frequências fornecendo altas resoluções de frequência enquanto comprime a parte restante. A

DFT convencional torna-se um caso especial quando e a aplicação é linear. A Figura

4.1 ilustra a amostragem não uniforme de WDFT mostrando a localização das amostras sobre

o círculo unitário do plano para a DFT e WDFT para (MAKUR e MITRA, 2001).

Figura 4.1: exemplo ilustrativo da localização das amostras de frequência para a DFT

e WDFT ( ) para .

Quanto ao custo computacional, sendo um vetor de entrada complexo

dimensional, o cálculo direto dos coeficientes WDFT a partir de (semelhante ao NDFT)

requer que se multiplique por uma matriz complexa , ou multiplicações reais e

somas reais (assumindo que uma multiplicação complexa envolve quatro

multiplicações reais e duas somas reais, e uma soma complexa envolve duas somas reais). A

realização proposta tem exigência total de ( ) multiplicações reais e

( ) somas reais.

Uma vez que a WDFT oferece a escolha de aumentar a frequência de resolução de

qualquer parte selecionada do eixo espectral sem mudar , como também determina a

frequência de qualquer ponto exato pela escolha de coeficientes passa-tudo, ela pode ser

usada como uma ferramenta na análise de sinal. A principal aplicação da WDFT para os fins



do nosso trabalho é na análise de sinal, na resolução de duas ou mais senoides estreitamente

espaçadas com uma transformada de comprimento menor do que o necessário no uso da DFT

convencional (MAKUR e MITRA, 2001). Outras aplicações também são encontradas em

MENEZES (2014) e MAKUR e MITRA (2001).

Nas seções seguintes vamos aos métodos para calcular a NDFT baseados em BAGCHI

e MITRA (1967) e RAO, KIM e HWONG (2010).

4.2.2 Método de Horner

Multiplicando em ambos os membros de (22) e realizando pequenas

manipulações, podemos reescrever a NDFT como

( ) ( ) (70)

em que ∑ , -

.

Para evitar o uso de coeficientes , podemos expressar como uma

multiplicação aninhada, também conhecida como método de Horner (ATKINSON, 1989), da

seguinte forma

( ( , - , -) ) , -

em que começamos avaliando a expressão nos parênteses mais internos da equação

( ( , - , -) ) , - e procedemos à resolução para .

Podemos encontrar ( ), então, usando a equação ( ) ( ) .

Isso requer um total de multiplicações reais e ( ) adições reais, que é o

mesmo que o do método direto. Entretanto, no método de Horner, precisamos apenas de dois

coeficientes, e ( )

, para avaliar a amostra NDFT ( ) Note que a NDFT foi

expressa como mostrado na equação (70), de modo que podemos começar a avaliar a

multiplicação aninhada na equação com a primeira amostra , -, ao invés da última

amostra , -, isso elimina a necessidade de armazenar o sinal de entrada.

4.2.3 Método de Goertzel

4.2.3.1 Interpretação do Filtro Digital

Considere a amostra NDFT dada por

( ) ∑ , -

(71)

Multiplicando ambos os membros da Equação (71) por e realizando algumas

alterações, temos



( ) ∑ , -

Vamos agora definir a sequência

, - ∑ , - , -

em que , - denota a sequência degrau unitário.

Note que a equação , - é equivalente à convolução discreta , - , - , -

e que ( ) , -| .

Assim, a amostra NDFT ( ) é obtida multiplicando com a -ésima amostra da

saída de um sistema, cuja resposta ao impulso é , -. Este é um sistema recursivo de

primeira ordem, cuja função sistema é

( )

(72)

Para calcular ( ) usando este sistema, precisamos de ( ) multiplicações reais

e ( ) adições reais. Essas são aproximadamente as mesmas para o método direto.

Entretanto, apenas dois coeficientes, e , são necessários.

A seguir, consideramos um caso especial para o qual o número de multiplicações pode

ser reduzido por um fator de dois.

Continuando, multiplicando o numerador e o denominador da equação (72) por

( ), em que

é o conjugado complexo de , obtemos

( )

( )

* + | |

Seja | | .

( )

* +

Assim, a NDFT está sendo avaliada em um ponto no círculo unitário no

plano .

( ) ( )

* +

Neste caso, podemos simplificar a equação acima para obter a função sistema

( )

(73)



Assim, podemos interpretar o algoritmo Goertzel como o cálculo da saída deste filtro

digital recursivo de segunda ordem.

Como queremos calcular apenas , -, a multiplicação por na seção de

realimentação não precisa ser realizada até a -ésima iteração. Os sinais intermediários,

, - e , -, são calculados recursivamente usando a equação de diferenças

, - , - , - , - (74)

em que o coeficiente é dado por

e as condições iniciais são

, - , -

Finalmente, avaliamos , - como segue:

, - , - , - (75)

O cálculo total necessário para ( ) é ( ) multiplicações reais e ( )

adições reais. Assim, o número de multiplicações é aproximadamente metade da do método

direto. Ademais, precisamos apenas de dois coeficientes, e . Note que algoritmo

Goertzel descrito aqui se reduz ao usado para o cálculo da DFT, quando .

A quantidade de cálculo necessária para o DFT e o NDFT é aproximadamente a

mesma. Apenas uma multiplicação complexa extra é necessária no caso da NDFT.

Em algumas aplicações, estamos interessados em encontrar apenas a magnitude

quadrada da NDFT, i.e., , ( )- . Neste caso, o algoritmo Goertzel pode ser modificado

como segue.

Como , inferimos da equação ( )

, -| que

, ( )- | , -|

(76)

Substituindo por , - da equação , - , - , -, obtemos

| , -| | , -

, -|

| , -|

, - , - , - , -

como , temos

| , -|

, - , - , - , -

Este esquema modificado usa apenas um coeficiente real . Se tivermos um sinal de

entrada real, então aritméticas complexas são evitadas, e precisamos apenas de ( )

multiplicações reais e ( ) adições reais. Note que isto é igual ao cálculo necessário para

encontrar a magnitude quadrada da DFT (BAGCHI e MITRA, 1967).



4.2.3.2 Intepretação de Séries Trigonométricas

O algoritmo originalmente proposto por GOERTZEL (1958) foi um método para

avaliação de séries trigonométricas finitas. BAGCHI E MITRA (1967) chegaram a essa

interpretação de forma independente enquanto tentavam calcular a NDFT em pontos em um

círculo unitário no plano .

Considere a amostra NDFT dada por

( ) ∑ , -

Multiplicando ambos os membros da equação acima por ( ) e com uma

pequena manipulação, a amostra NDFT em pode ser expressa como

( ) ( )

em que ∑ , - ( ) .

Usando a fórmula de Euler, podemos decompor os como , em que

∑ , - ( ) e ∑ , - ( )

.

O cálculo direto de e requer os valores de coeficientes e .

Para evitar isso, usamos um método de cálculo iterativo que usa apenas os valores de e

. Para este fim, definimos as somas parciais como

( ) ∑ , - ( )

( ) ∑ , - ( )

(77)

de modo que ( )

( ).

Focando nossa atenção nos , obtemos primeiro que

( ) , - ( ) , - ( )

( ) , - (( ) ) , - ( ) (78)

Usando a relação trigonométrica ( ) ( )

podemos expressar a Equação (78) como

( ) * , - , -+ ( ) , - ( )

A próxima soma parcial pode ser expressa como

( )

( ) , - ( )

( ) * , - , -+ ( ) * , - , -+ ( )



Podemos continuar substituindo o cosseno do -ésimo harmônico pelos dos dois

harmônicos menores e formando as somas parciais sucessivas, obtemos

( ) ( ) ( )

em que , -, , -, , , - , com

.

Portanto, podemos calcular pela resolução recursiva para e , como

( )

( ( )) ( ( ) )

Analogamente, para encontrar ,

( ) , - ( ) , - ( )

( ) , - (( ) ) , - ( )

Usando a relação ( ) ( ) podemos expressar

a equação acima como

( ) * , - , -+ ( ) , - ( )

A próxima soma parcial pode ser expressa como

( )

( ) , - ( )

( ) * , - , -+ ( ) * , - , -+ ( )

Continuando substituindo o seno do -ésimo harmônico pelos dos dois harmônicos

menores e formando as somas parciais sucessivas, obtemos

( ) ( ) ( )

em que , -, , -, , , - , com

.

Isso implica que

( )

( ( )) ( ( ) )

Portanto, também podemos calcular a partir dos valores já encontrados para e .

Finalmente, calculamos usando a equação e, portanto, ( ) a

partir da equação ( ) ( ) .

O cálculo total é de ( ) multiplicações reais e ( ) adições reais. Além

disso, precisamos apenas dos coeficientes, , e ( ) . Se o sinal de



entrada é real, e também são reais, portanto, o cálculo total se reduz a ( )

multiplicações reais e ( ) adições reais (BAGCHI e MITRA, 1967).

4.2.4 Transformada de Fourier rápida não igualmente espaçada – NFFT

Nesta seção vamos descrever o algoritmo da transformada de Fourier rápida não

igualmente espaçada (NFFT – nonuniform fast Fourier transform).

Alguns nomes comuns e siglas para o NFFT são: transformada de Fourier rápida não

uniforme (NUFFT – non-uniform fast Fourier transform) (FESSLER e SUTTON, 2003),

transformada de Fourier rápida generalizada (GFFT – generalised fast Fourier transform)

(DUTT e ROKHLIN, 1993), transformada de Fourier rápida desigualmente espaçada

(unequally spaced fast Fourier transform) (BEYLKIN, 1995), aproximação rápida da

transformada de Fourier para dados irregularmente espaçados (fast approximate Fourier

transforms for irregularly spaced data) (WARE, 1998), transformada de Fourier rápida não

equiespaçada (NFFT – non-equispaced fast Fourier transform) (FOURMONT, 2003) ou

gradeamento (gridding) (JACKSON, MEYER, et al., 1991).

A ideia principal do algoritmo NFFT é usar as FFTs padrão em combinação com um

esquema de aproximação que é baseado em funções janeladas (KEINER, KUNIS e POTTS,

2008).

Mas antes de começarmos devemos dar a base para o tema. A partir de agora vamos

trabalhar a transformada de Fourier sobre o toro e , que são os domínios onde a NFFT

estão definidas. Então, precisamos indicar o motivo. Neste ponto devemos enfatizar quanto é

fundamental o estudo sobre o toro unidimensional . Primeiro, curvas de Jordan

suaves, especialmente a esfera unidimensional , são difeomórficas a . Segundo, a teoria

sobre o toro -dimensional às vezes reduz-se ao caso de . Além disso,

comparada à teoria dos operadores pseudo-diferenciais sobre , o caso de é muito mais

simples. Isso se deve ao fato de que é um grupo abeliano compacto – enquanto que é

apenas localmente compacto – onde a ajuda poderosa das séries de Fourier está à nossa

disposição. Além disso, os resultados sobre e são parecidos (RUZHANSKY e

TURUNEN, 2010).

A seguir apresentamos o estudo da transformada de Fourier no toro, com base

fundamentalmente em POTTS, STEIDL e TASCHE (2001), KEINER, KUNIS e POTTS

(2006) e KUNIS (2006).



4.2.4.1 Transformada de Fourier no toro

Para uma dimensão seja 0

/

a representação padrão do toro, em que

os lados opostos são identificados um com o outro. Tipicamente, denotamos pelo vetor

um tempo ou nó espacial, usamos o multi-índice para endereçar uma

localização de frequência e abreviar seu produto interno . Assim, para ( ),

com , definimos a transformada de Fourier semi-discreta para uma função integrável

sobre o toro como (KUNIS, 2006)

( ) ∫ ( )

(79)

4.2.4.2 Transformada Discreta de Fourier não igualmente espaçada no

toro

Em aplicações práticas geralmente somos confrontados com a situação que uma

função tem que ser avaliada (ou apenas seus valores são conhecidos) em conjuntos de

amostragem finitos, então seja o toro 2 ( )

3 de dimensão dado. Ele servirá como domínio a partir do qual os nós não

igualmente espaçados são tomados. Assim, o conjunto de amostragem é dado por

* +.

As frequências possíveis são coletadas no conjunto de multi-índices

2 ( )

3 em que ( ) com

. Para manter a notação simples, o multi-índice endereça também elementos dos

vetores e matrizes. O produto interno entre a frequência de índice e o nó temporal/espacial

é definido do modo usual . Ademais, dois vetores

podem ser combinados pelo produto componente a componente

( ) com sua inversa .

/

O espaço de todas as funções 1-periódicas de variáveis está restrito ao

espaço de polinômios trigonométricos de variáveis ( ) com grau

( ) na -ésima dimensão. A dimensão do espaço de polinômios

trigonométricos de -variáveis é dada por | | ∏ (KEINER, KUNIS e

POTTS, 2006).

Dado um número finito de termos ( ) , queremos avaliar



( ) ∑ ( )

(80)

em nós não igualmente espaçados , com . Expressado em termos de

um produto vetor matriz,

(81)

em que ( )

é chamada de matriz de Fourier não igualmente

espaçada, ( ( )) é o vetor de amostras e ( ( ))

a transformada de

Fourier de . O algoritmo a seguir para este produto vetor matriz é a transformada de Fourier

discreta em nós não igualmente espaçados (NDFT) para | | frequências equidistantes

e nós de amostragem não igualmente espaçados .

Um produto vetor matriz relacionado é a NDFT adjunta

( ) ∑ ( )

(82)

que chamamos de NDFTH.

Ademais, transformadas relacionadas são a NDFT conjugada, multiplicando com , e

a NDFT transposta, multiplicando com , em que

(KUNIS, 2006).

4.2.4.3 Algoritmos

Para nós igualmente espaçados, o cálculo dos dados de entrada ( ) e as amostras de

(81) podem ser calculadas pela transformada de Fourier rápida (FFT). Além disso, tem-se a

fórmula de inversão | | que não vale para o caso geral não igualmente

espaçado (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006).

Por uma questão de simplicidade, explicamos as ideias por trás do NFFT e do

algoritmo NFFT para o caso de uma dimensão . A generalização do FFT é um

algoritmo aproximado e tem complexidade computacional ( ( ) ), em que

denota a precisão desejada. A ideia principal é usar os FFTs padrão e a função janelada

que está bem localizada no domínio do tempo/espaço e no domínio da frequência

O problema considerado é a rápida avaliação de (80) em nós arbitrários ,

. Quer-se aproximar o polinômio trigonométrico em (80) por uma

combinação linear de funções janeladas 1-periódicas deslocadas como

( ) ∑ (

)

(83)



Com a ajuda de um fator de superamostragem , o comprimento do FFT é dado

por .

A função janelada

Começando com uma função janelada razoável , assume-se que sua versão

1-periódica , isto é, (83) com

( ) ∑ ( )

tem uma série de Fourier uniformemente convergente e está bem localizada no domínio do

tempo/espaço e no domínio da frequência . A função janelada periódica pode ser

representada pela sua série de Fourier

( ) ∑ ( )

com coeficientes de Fourier

( ) ∫ ( )

∫ ( )

( )

A primeira aproximação – corte no domínio da frequência

Mudando, da definição (80), para o domínio da frequência, obtém-se

( ) ∑ ( )

∑ ∑ ( ) ( )

* +

com os coeficientes discretos de Fourier

∑

(84)

Comparando (80) a (83) e assumindo ( ) pequeno para | |

sugere definir

{ ( )

( )

Então, os valores podem ser obtidos de (84) por

∑

( )

uma FFT de tamanho .

Esta aproximação causa um erro de falseamento (aliasing) (KEINER, KUNIS e

POTTS, 2006).

A segunda aproximação – corte no domínio do tempo/espaço

Se está bem localizada no domínio do tempo/espaço ele pode ser aproximado por

uma função



( ) ( ) [ ]( )

com [ ], , . Novamente, define-se sua versão periódica com

suporte compacto em como

( ) ∑ ( )

Como a ajuda do conjunto de índices ( ) * +

uma aproximação para é definida por

( ) ∑ (

)

( )

Esta aproximação causa um erro de truncamento (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006).

Os algoritmos NFFT

Em resumo, o seguinte Algoritmo 1 é obtido para o cálculo rápido de (80) com

(| | | | ) operações aritméticas.

Entrada: ,

[

]

, e ( ) , ,

1: Para calcule

( )

| | ( )

2: Para calcule pela FFT -variada

∑ (

)

3: Calcule

( ) ∑ ( )

( )

Saída: valores aproximados de ( ).

Complexidade: (| | | | ).

Figura 4.2: algoritmo 1 – NFFT (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006).

O Algoritmo 1 se lê, na notação matriz vetor, como



em que denota a matriz esparsa | | real . ( )/ é a matriz de

Fourier de tamanho | | | | e é a matriz | | | | ‗diagonal‘ real

⨂ . | . ( ( ))/ | /

com matrizes zero de tamanho

.

O cálculo correspondente do produto vetor matriz adjunto

Com a ajuda do conjunto de índices trasposto ( ) *

+ obtém-se o Algoritmo 2 para a NFFT adjunta. Devido à caracterização dos

elementos não nulos da matriz , ou seja, (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006)

⋃ ( )

⋃

( )

Entrada: ,

[

]

, e ( ) ,

1: Para calcule

∑ ( ) ( )

( )

2: Para calcule pela FFT -variada (inversa)

∑ (

)

3: Para calcule

| | ( )

Saída: valores aproximados , com .

Complexidade: (| | | | ).

Figura 4.3: algoritmo 2 – NFFTH (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006).

Para manter pequeno o erro de aliasing e o erro na reconstrução, algumas funções

com boa localização no domínio do tempo e da frequência podem ser utilizadas, como, por

exemplo, a gaussiana, -splines centrais cardinais, sinc e Kaiser-Bessel, dentro outras em

KUNIS (2006) e POTTS e STEIDL (2003).

Na utilização do NFFT, vamos empregar a função janelada Gaussina. De GABRIELE

(1998), para fixo, seja

( )

√ ∑ ( ( ))



o sino Gaussiano periodizado e dilatado. Então, vale

( )

( )

Seja

( )

√ ∑ ( ( ))

( )( ( ))

com e

( )( ( )) { ( )

A escolha de

fornece um erro de truncamento e de aproximação

equilibrados (POTTS, STEIDL e TASCHE, 2001).

INFFT

Agora vamos descrever o INFFT (inverse nonuniform fast Fourier transform), ou seja,

pretendemos resolver sistemas de equações lineares

(85)

para o vetor | |. Tipicamente, o número de amostras e a dimensão do espaço de

polinômios | | não coincidem, isto é, a matriz é retangular. Não existem inversões simples

para matrizes de Fourier não igualmente espaçadas em geral e buscamos por algumas

soluções pseudoinversas ϯ. Entretanto, de KUNIS e POTTS (2007) concluímos que a matriz

tem posto completo se

( )

ou

( )

em que ( ) ‖( ) ‖ é a distância entre dois pontos.

Consideramos uma solução por mínimos quadrados ponderados para o caso

superdeterminado e uma interpolação para o caso de consistência indeterminada. Ambos os

casos são resolvidos por meio de algoritmos iterativos em que os Algoritmos NFFT e NFFTH

são usados para a multiplicação vetor-matriz com e , respectivamente (KEINER, KUNIS

e POTTS, 2006).

Mínimos quadrados

Para um polinômio de baixa comparação de grau | | o sistema (85) é

superdeterminado, de modo que em geral os dados fornecidos serão apenas aproximados até o

resíduo . Considera-se a equação normal ponderada do primeiro tipo

(86)



que pode incorporar pesos , ( ) , para compensar clusters no

conjunto de amostragem . Aplicando Landweber a (86) produz o seguinte algoritmo.

Entrada: , | |,

1:

2:

3: para faça

4:

5:

6:

7: fim para

Saída:

Figura 4.4: algoritmo 3 – Landweber (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006).

Interpolação

Para um polinômio de alta comparação de grau | | espera-se interpolar os dados

fornecidos exatamente. O sistema linear (consistente) (85) está superdeterminado. Considera-

se equação normal amortecida do segundo tipo

(87)

que pode incorporar ‗fatores de amortecimento‘ , ( ) . Aplicando o

esquema do gradiente conjugado a (87) resulta no algoritmo a seguir.

Entrada: , | |

1:

2:

3: para faça

4:

5:

6:

7:

8:

9: fim para

Saída: .

Figura 4.5: algoritmo 4 – gradientes conjugados para as equações normais (CGNE –

conjugate gradients for the normal equations) (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006).



4.3 Transformada de Fourier anti-vazamento – ALFT

4.3.1 Amostragem regular, irregular e vazamento espectral

SCHONEWILLE (2000) descreve com muita propriedade o processo de amostragem

regular e irregular reproduzido a seguir. Um sinal digital contínuo de banda limitada pode ser

reconstruído se for uniformemente amostrado com um intervalo suficientemente pequeno de

amostragem .

O processo de amostragem é uma multiplicação do sinal contínuo por um ―trem de

impulsos‖ que gera o sinal amostrado. No domínio de Fourier, o espectro do sinal contínuo é

convoluído com o espectro do ―trem de impulsos‖, que também é um ―trem de impulso‖, com

intervalo , a periodicidade no domínio de Fourier. O resultado é um espectro repetido. A

reconstrução é uma multiplicação com uma função retangular no domínio de Fourier, que é

equivalente à convolução do sinal amostrado com uma função sinc (SCHONEWILLE, 2000).

No caso da amostragem não uniforme, a amostragem é uma multiplicação por um

―trem de impulsos‖ não uniformemente espaçado. O espectro desta função de amostragem

não é um ―trem de impulsos‖, mas tem um pico em e um caráter de ruído para outros

valores . O espectro do sinal contínuo não é repetido, mas perturbado. É claro que agora o

sinal não pode ser reconstruído com perfeição pelo filtro passa baixa (SCHONEWILLE,

2000).

Como se pode ver, o vazamento espectral causado pela amostragem não uniforme

prejudica a reconstrução do sinal. A seguir apresentamos a transformada de Fourier anti-

vazamento (ALFT – antileackage Fourier transform) que visa atenuar o vazamento dos

coeficientes de Fourier (XU, ZHANG, et al., 2005).

4.3.2 Algoritmo

Em 1949, Shannon publicou o artigo ―Communication in the Presence of Noise‖

(Comunicação na Presença de Ruído), que precisou um mecanismo geral para converter um

sinal analógico em uma sequência de números. Isto o levou a afirmar o teorema da

amostragem clássico logo no início do seu artigo, nos seguintes termos (UNSER, 2000)

Teorema 3: se uma função ( ) não contém frequências maiores do que (em radianos

por segundo), ela é completamente determinada dando suas coordenadas em séries de pontos

espaçados com afastamento de segundos.

A fórmula da reconstrução foi dada por Shannon

( ) ∑ ( )



em que ( ) é a função base.

Em grades regulares, com e inteiros, as funções base , como Fourier, são

ortogonais, ou seja,

⟨ ⟩

em que é a função delta de Kronecker e ⟨ ⟩ é o produto interno convencional em .

Além disso, vale a condição unitária

∑ ( )

Porém, em uma grade arbitrariamente irregular, a condição de ortogonalidade e a

condição unitária não valem. Essas condições são importantes pois simplificam grandemente

a implementação da reconstrução dos dados e reduzem o vazamento espectral.

É fácil reconstruir a condição unitária em uma grade irregular (XU, ZHANG, et al.,

2005). Geralmente, pode-se normalizar a condição unitária com alguns pesos aplicados aos

dados. Denotando por ( ), então a reconstrução normalizada torna-se

( ) ∑

∑

(88)

Entretanto, o método de reconstrução baseado em (88) não atende à condição de

ortogonalidade, logo os dados reconstruídos não batem com as medições originais em uma

grade irregular. Então, trabalhamos no método de interpolação em grades irregulares

prestando atenção à condição de ortogonalidade, que é considerada a condição mais

importante na reconstrução dos dados (UNSER, 2000).

Para inserir a condição unitária aos coeficientes de Fourier consideramos agora a soma

de Fourier normalizada para um único valor de variáveis da transformada de Fourier. A

transformada direta e inversa são definidas como

( )

∑ ( )

( ) ( )

(89)

em que é o intervalo de soma, é o peso dos dados no somatório, ( ) é o coeficiente

de Fourier para a frequência e ( ) denota a componente da frequência nos dados de

entrada.

Em uma grade amostrada regularmente, ( ) afetará apenas a estimativa dos

coeficientes de Fourier de frequência por causa da condição de ortogonalidade de Fourier.

Mas em uma grade irregularmente amostrada, a condição de ortogonalidade falha, e o ( )

não nulo vazará para todas as outras frequências (XU, ZHANG, et al., 2005).



Para reduzir o vazamento, XU, ZHANG, et al. (2005) propõem o ALFT, que trabalha

estimando os coeficientes de Fourier recursivamente, começando com os de máxima energia e

continuando descendo para o de menor energia (ou magnitude). Depois de cada passo de

estimativa, o ( ) calculado será redefinido para zero pela atualização dos dados de entrada.

Matematicamente, é equivalente a remover o componente ( ) dos dados de entrada:

( ) ( ) ( ) (90)

com o índice de iteração do algoritmo.

Portanto, a regularização pelo ALFT em uma grade irregular pode ser implementada

nos seguintes passos:

Entrada: ( ) , .

1: Inicie o vetor , que receberá os valores transformados, com zeros.

2: Calcule todos os coeficientes de Fourier dos dados de entrada usando o NDFT.

3: Selecione o coeficientes de Fourier com maior energia.

4: Guarde o valor de maior energia no vetor .

5: Subtraia a contribuição deste coeficiente dos dados de entrada – Equação (90).

6: Repita as etapas 3 a 5 até um limiar.

Saída: valores de ( ).

Figura 4.6: algoritmo 5 – ALFT.

Usa-se, então, esta entrada recém subtraída para resolver, para o próximo coeficiente

de Fourier, com o mesmo critério de energia máximo. Repetimos o procedimento até que

todos os coeficientes sejam resolvidos, isto é, até que todos os valores nas entradas

atualizadas tendam a zero (na pratica, abaixo de um limiar). Baseado neste procedimento, não

há necessidade de afunilar a borda dos dados para mitigar os efeitos de envoltória.

Assumimos aqui que as funções de base global são ortogonais. A Equação (90) funciona

como um mecanismo de ortogonalização para as bases de Fourier em uma grade irregular.

Isto leva a uma solução prática para a minimização dos efeitos de vazamento de uma

frequência para a outra. Ademais, a última atualização dos dados de entrada na grade irregular

tenderá a zero depois de todas as operações de subtração. Isto implica que os dados

reconstruídos dos coeficientes de Fourier obtidos se ajustam às medições originais. Portanto,

o método de regularização de dados proposto atende a todos os requisitos de interpolação

(XU, ZHANG, et al., 2005).

No caso de amostragem regular, os coeficientes de Fourier do ALFT são idênticos ao

do FFT. Mas, por causa do cálculo que envolve a subtração, o algoritmo ALFT não é tão



rápido quanto a FFT. Na verdade, o seu custo computacional é muito alto, aproximadamente

de ( ) (XU, ZHANG e LAMBARÉ, 2010).

Capítulo 5

Aplicações das Transformadas em Sísmica

Aplicações das transformadas em sísmica


5. Aplicações das transformadas em sísmica de

petróleo

5.1 Introdução à sísmica de petróleo

O petróleo e o gás natural são hidrocarbonetos que se originam a partir do depósito de

matéria orgânica junto com sedimentos, que se incorporam e migram através de rochas

porosas até serem interrompidos pela existência de alguma armadilha geológica (estrutura

impermeável ou de baixa permeabilidade) que leva ao seu acúmulo, formando o chamado

reservatório de petróleo e/ou de gás natural (THOMAS, 2001).

A perfuração de jazidas de petróleo em uma nova área é uma tarefa muito cara,

envolvendo milhares de dólares. Por isso a análise de dados geofísicos e geológicos das bacias

sedimentares é essencial na exploração de petróleo. Com esse estudo, deseja-se localizar as

situações geológicas que tenham condições de acumular petróleo e, dentre essas, a que tem

mais chance de conter hidrocarbonetos recuperáveis.

Existem basicamente três grupos de métodos para a exploração, quais sejam, os

geológicos, os potenciais e os sísmicos. Os primeiros consistem na realização de estudos

geológicos com o propósito de reconstruir as condições de formação e acumulação de

hidrocarbonetos. Os métodos potenciais estão ligados à aquisição, ao processamento e a

intepretação de dados coletados por instrumentos especiais, com o objetivo de obter

informações sobre a estrutura e composição das rochas em subsuperfície. Já os métodos

sísmicos podem ser métodos de refração, que registram somente as ondas refratadas com

ângulo crítico, e métodos de reflexão, o mais utilizado hodiernamente. Os métodos de

reflexão fornecem alta definição das feições geológicas em superfícies propícias à

acumulação de hidrocarbonetos, a um custo baixo (THOMAS, 2001).

Nos métodos de reflexão, as ondas sísmicas são produzidas na superfície e, em geral,

são geradas por uma fonte explosiva e, portanto, correspondem a sinais limitados

representados por pacotes de ondas. Esses pacotes de ondas se propagam no subsolo onde são

deformados pelo meio dispersivo (CORSO, KUHN, et al., 2003) que são as interfaces entre

duas camadas de rochas com propriedades distintas, de onde são refletidas. Estas reflexões

são medidas por sensores distribuídos ao longo da superfície chamados geofones para serem

processadas computacionalmente com o objetivo de obter uma imagem do subsolo, bem

como algumas de suas propriedades, como a velocidade de propagação das ondas, para se

inferir as características da subsuperfície necessárias às aplicações. O conjunto dessas técnicas



de processamento é chamado de processamento sísmico (ROMANO, LOPES e TYGEL,

2011).

A fonte explosiva é chamada de tiro e os geofones são chamados de receptores. Estes

medem os tempos de chegada da onda refletida que podem ser convertidos em valores de

profundidade e, assim, as interfaces geológicas podem ser mapeadas. A representação gráfica

da saída de um único geofone é chamada de traço e o conjunto de todos os traços de um tiro é

chamado de sismograma. O afastamento da fonte a cada um dos geofones é chamado, em

inglês, de offset (KEAREY, BROOKS e HILL, 2009).

5.2 Aplicações

Nessa seção vamos aplicar algumas das transformadas vistas ao longo deste trabalho.

Num caso ideal onde os refletores (camadas da subsuperfície) são planos horizontais ou

planos com mergulho (inclinados), a figura gerada no sismograma, resultado de um tiro, é

hiperbólica (SHERIFF e GELDART, 1995). Em casos mais complexos, temos uma série de

mergulhos e descontinuidades de camadas que geram figuras muito mais complexas, indo de

segmentos de retas e curvas suaves a curvas irregulares com múltiplas descontinuidades

severas. Portanto, aplicamos as transformadas a dados sintéticos como base nessas figuras

geométricas para tentar simular alguns desses casos, indo dos mais simples para os mais

complexos.

Como dissemos no capítulo anterior, o FFT foi projetado para utilizar dados

igualmente espaçados. A utilização dele em dados obtidos de grades não igualmente

espaçadas, na sua formulação original, é possível, como fizemos abaixo, mas o algoritmo

calcula os valores como se tivessem sido obtidos em grades regulares, desconsiderando a

forma da grade onde foram colhidos os dados. Além disso, no caso de falta de pontos são

acrescentados zeros à direita para preencher a lacuna. A intensão em utilizar o FFT em dados

não igualmente espaçados é verificar o seu desempenho dessas condições.

Na programação dos algoritmos e geração dos gráficos usamos os recursos padrão do

MATLAB (2012) e MAPLE (2012). Para implementar a NFFT e a NDFT usamos as

bibliotecas NFFT 3.0 (KEINER, KUNIS e POTTS, 2006) e FFTW3 (FRIGO e JOHNSON), e

o pacote OMP4NFFT (KUNIS e RAUHUT), disponíveis em http://www.fftw.org,

http://www.tu-chemnitz.de/~potts/nfft e http://www.univie.ac.at/nuhag-php/mmodule/#,

respectivamente. O algoritmo ALFT foi cedido pelo professor Mauricio D. Sacchi, do

departamento de física da universidade de Alberta no Canadá, quando veio a Natal/RN em

2015, a partir de sua intepretação do artigo de XU, ZHANG e LAMBARÉ (2010).



A Figura 5.1 apresenta a comparação entre as transformadas FFT, NDFT, NFFT e o

ALFT em um sinal sem ruído da função original ( ) em 20 pontos de amostragem. Em

(a), (b), (c) e (d) à esquerda, temos a função original sem ruído e com amostragem regular; no

centro, a FFT, a NDFT, a NFFT e o ALFT desse sinal, respectivamente; à direita, a

recuperação do sinal original. Essa comparação é importante para verificar o desempenho dos

algoritmos que trabalham com grades irregulares quando expostos a grades regulares, tendo

como parâmetro a FFT. Em (e), (f), (g) e (h) à esquerda, temos a função original sem ruído e

com amostragem irregular; no centro, a FFT, a NDFT, a NFFT e o ALFT desse sinal,

respectivamente; à direita, a recuperação do sinal original.


NFFT e ALFT, respectivamente, em um sinal sem ruído e com amostragem regular; e em (e), (f), (g) e

(h) em um sinal sem ruído e com amostragem irregular.

Na Figura 5.2 apresentamos a comparação entre as transformadas FFT, NDFT, NFFT

e ALFT usando como função original ( ) somado ao ruído aleatório (rand(1, 20) - 0.5) *



0.5 em 20 pontos de amostragem. Agora verificamos o desempenho dos algoritmos que

trabalham com grades irregulares quando expostos a grades regulares com ruído, tendo como

parâmetro o FFT. Em (a), (b), (c) e (d) à esquerda, temos a função original com ruído e

amostragem regular; no centro, a FFT, a NDFT, a NFFT e o ALFT desse sinal,

respectivamente; à direita, a recupberação do sinal original. Em (e), (f) e (g) e (h) à esquerda,

temos a função original com ruído e amostragem irregular; no centro, a FFT, a NDFT, a

NFFT e o ALFT desse sinal, respectivamente; à direita, a recuperação do sinal original.


NFFT e ALFT, respectivamente, em um sinal com ruído e com amostragem regular; e em (e), (f), (g) e

(h) em um sinal com ruído e com amostragem irregular.

Note que na amostragem irregular da Figura 5.1 e da Figura 5.2 utilizamos o pior dos

casos, pois usamos uma amostragem aleatória. Casos mais realistas são amostragens em que a

maioria dos pontos de amostragem estão regulares e apenas alguns deles estão faltando ou

estão irregulares. Mas, em (h) de ambas as figuras, o ALFT recuperou o sinal com ótima



qualidade, mas com uma leve atenuação. Essa mesma atenuação também foi verificada em (d)

de ambas as figuras, isto é, amostragem regular e dados sem ruído e com ruído. Então,

aplicamos um ganho em ambos os casos. Isso justifica a utilização do ALFT nas aplicações a

dados sísmicos sintéticos e reais. Os algoritmos FFT, NDFT e NFFT sofreram muito com a

amostragem aleatória, entretanto em casos mais realistas estes métodos têm bons resultados.

Agora vamos usar o algoritmo ALFT para a regularização de dados. A maioria dos

dados sísmicos sintéticos foi obtida através da wavelet de Ricker gerados pela biblioteca

SEISMICLAB (SACCHI), disponível em http://seismic-lab.physics.ualberta.ca/, e usamos o

sismograma obtido no capítulo 4 de MOUSA e AL-SHUHAIL (2011), e que está disponível

em http://www.morganclaypool.com/doi/pdfplus/10.2200/S00384ED1V01Y201109SPR010.

Em todas as aplicações o algoritmo do Sacchi usa o FFT na vertical, uma vez que no tempo o

sismograma tem espaçamento regular, e depois o ALFT é aplicado na horizontal, já que no

espaço a amostragem é irregular. Fizemos apenas pequenas adaptações. A reconstrução segue

o NDFTH e IFFT. Acreditamos que esse sequenciamento foi realizado com a finalidade de

aproveitar as correlações existentes entre os dados.

Primeiro mostramos alguns testes simples com dados sintéticos para a interpolação do

traço sísmico.

Na Figura 5.3, apresentamos um evento sísmico linear. A wavelet sísmica foi obtida

de MOUSA e AL-SHUHAIL (2011). A Figura 5.3(a) é a amostragem ideal com 73 traços

igualmente espaçados com 40m de distância de um para outro. Na Figura 5.3(b), os traços

nos offsets de números , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , foram retirados para simular um caso de amostragem irregular. Na

Figura 5.3(c) reconstruímos o evento sísmico regularizando os dados usando o ALFT. Na

Figura 5.3(d) sobrepusemos os dados originais (em preto) e os regularizados (em vermelho)

para pudermos comparar o resultado. Observe que o resultado da interpolação foi muito bom.





Figura 5.3: apresentação de um evento sísmico linear: (a) dados originais; (b) dados

amostrados irregulamente; (c) dados regularizados; (d) plotagem comparativa, em preto os dados

originais e em vermelho os dados regularizados.



Agora, na Figura 5.4, existem quatro eventos sísmicos em que dois dos eventos estão

alinhados. A wavelet sísmica é a wavelet de Ricker com uma frequência de pico de 40 Hz. A

Figura 5.4(a) é a amostragem ideal com 73 traços igualmente espaçados com 40m de

distância de um para outro. Na Figura 5.4(b), os traços nos offsets de números , ,

, , , , , , , , , , , , , , foram retirados. Na

Figura 5.4(c) reconstruímos o evento sísmico regularizando os dados usando o ALFT. Na

Figura 5.4(d) sobrepusemos os dados originais (em preto) e os regularizados (em vermelho).

Este exemplo simula um caso mais complexo em que há vários mergulhos com inclinações

severas e cruzadas.





Figura 5.4: apresentação de quatro efentos sísmicos lineares: (a) dados originais; (b) dados



Já na Figura 5.5, simulamos um caso simples para o evento sísmico mais comum que

é o hiperbólico. A wavelet sísmica e a frequência de pico utilizadas são as mesmas do

exemplo da Figura 5.4. A Figura 5.5(a) apresenta a amostragem ideal nas mesmas condições

do exemplo da Figura 5.4. Na Figura 5.5(b) retiramos os mesmos traços realizados no

exemplo anterior. Na Figura 5.5(c) reconstruímos o evento sísmico regularizando os dados

usando o ALFT. Na Figura 5.5(d) sobrepusemos os dados originais (em preto) e os

regularizados (em vermelho). E, nessas mesmas condições e sequência, apresentamos um

exemplo na Figura 5.6 em que existem três eventos sísmicos hiperbólicos. Note que a

reconstrução não ficou tão boa quanto as anteriores. Para casos mais complexos como este,

percebemos que as inclinações severas geram dificuldade na reconstrução.

Usamos também o algoritmo apenas para metade do sismograma e os resultados ficam

bons, até para um caso bem complexo em que temos uma grande lacuna e uma amostragem

aleatória, como pode ser visto na Figura 5.7, onde usamos a wavelet de Ricker com uma

frequência de pico de 20 Hz. A Figura 5.7(a) mostra o resultado de uma amostragem

aleatória em 36 traços em que os traços 20, 21, 22 foram retirados. Na Figura 5.7(b)



reconstruímos o evento sísmico regularizando os dados usando o ALFT para uma amostragem

regular de 72 traços com espaçamentos entre as amostras de 20m. Não pusemos uma figura

comparativa por sobreposição neste caso uma vez que a amostragem da Figura 5.7(a) e da

Figura 5.7(b) são diferentes.

Por todos esses exemplos, concluímos que a precisão é boa o suficiente para as

aplicações práticas.





Figura 5.5: apresentação de um evento sísmico hiperbólico: (a) dados originais; (b) dados







Figura 5.6: apresentação de três eventos sísmicos hiperbólicos: (a) dados originais; (b) dados





Figura 5.7: apresentação de três eventos sísmicos hiperbólicos com a metade do sismograma:

(a) dados amostrados irregulamente; (b) dados regularizados.

Agora vamos aplicar o algoritmo ALFT para dados sísmicos reais de um sismograma

obtido de MOUSA e AL-SHUHAIL (2011). A Figura 5.8(a) é a amostragem ideal com 33

traços igualmente espaçados com aproximadamente 220m de distância de um para outro. Na

Figura 5.8(b), os traços nos offsets de números , , , , , , , , , foram

retirados. Na Figura 5.8(c) reconstruímos o evento sísmico regularizando os dados usando o

ALFT. Na Figura 5.8(d) sobrepusemos os dados originais (em preto) e os regularizados (em

vermelho), e o erro relativo ficou em 31,72%.





Figura 5.8: apresentação de eventos sísmicos reais: (a) dados originais; (b) dados amostrados

irregulamente; (c) dados regularizados; (d) plotagem comparativa, em preto os dados originais e em

vermelho os dados regularizados.

Capítulo 6

Conclusões

Conclusões


6. Conclusões

Neste capítulo descrevemos as principais conclusões obtidas nesta pesquisa e algumas

indicações que poderão ser empregadas em trabalhos futuros. As conclusões se baseiam no

custo computacional das transformadas e em propriedades e características que podem

favorecer a utilização de um método em detrimento de outro.

Para dados igualmente espaçados, num vetor de entrada real dimensional, temos que

o número de operações aritméticas envolvidas no cálculo direto da DFT é ( ). O

algoritmo FFT reduz este número para ( ) se é uma potência de , ou ( ∑ )

com inteiros sendo fatores de . A imensa velocidade faz com que a transformada de

Fourier seja uma das principais ferramentas no processamento de dados na indústria de

petróleo tendo em vista a massiva quantidade de dados envolvida nas explorações sísmicas.

O cálculo rápido da transformada Z em pontos que estão na espiral, num vetor de

entrada real dimensional, não é suportado pela FFT, mas temos a transformada Z Chirp que

realiza o cálculo com (( ) ( )) operações, para valores muito grandes de

e . Porém, suas aplicações são muito limitadas, uma delas é o aprimoramento de ressonância

espectral em sistemas para os quais se tem alguma previsão das localizações dos polos e

zeros.

Para dados não igualmente espaçados, num vetor de entrada complexo dimensional,

a realização da WDFT tem custo computacional total de ( ) multiplicações

reais e ( ) somas reais. A WDFT tem aplicações na análise de sinal, na

resolução de duas ou mais senoides estreitamente espaçadas, portanto sua aplicação está

limitada a casos em que fazemos análises locais.

Uma forma mais geral é o cálculo direto da transformada Z não uniforme, que requer

multiplicações complexas e ( ) adições complexas, isto é, multiplicações reais e

( ) adições reais. Portanto, o mesmo necessário para o cálculo direto da transformada Z

uniforme. Apresentamos o custo computacional do cálculo direto para servir como parâmetro

de comparação com os métodos de Horner e Goertzel para calcular a NDFT e também o

algoritmo rápido NFFT.

O método de Horner requer um total de multiplicações reais e ( ) adições

reais, que é o mesmo que o do método direto. Entretanto, no método de Horner, precisamos

apenas de dois coeficientes para avaliar a amostra NDFT Além disso, podemos começar a

avaliar a multiplicação aninhada com a primeira amostra, ao invés da última amostra, isso

elimina a necessidade de armazenar o sinal de entrada.

Conclusões


No método Goertzel, na interpretação de séries trigonométricas, o cálculo total é de

( ) multiplicações reais e ( ) adições reais, e precisamos apenas de três

coeficientes. Se o sinal de entrada é real o cálculo total se reduz a ( ) multiplicações

reais e ( ) adições reais, que é uma significativa redução.

O algoritmo NFFT dá um valor aproximado da NDFT e tem complexidade

computacional ( ( ) ), em que denota a precisão desejada. Utilizamos

uma precisão de quatro casas decimais.

Já o algoritmo ALFT tem um enorme custo computacional de aproximadamente

( ).

Figura 6.1: gráfico comparativo do custo computacional da FFT – em vermelho, NFFT – em

verde, NDFT – em azul, e ALFT – em cinza.

Nas aplicações os algoritmos FFT, NDFT e NFFT sofreram muito com a amostragem

aleatória, entretanto em casos mais realistas estes algoritmos têm bons resultados. Mas,

Conclusões


mesmo em casos mais complicados, o ALFT recuperou o sinal com ótima qualidade, apenas

com uma leve atenuação que pode ser facilmente corrigida, e isso justificou a utilização do

ALFT nas aplicações.

As aplicações a dados sintéticos e dados reais mostraram que o método ALFT

funciona de maneira eficaz em dados sísmicos de geologia complexa, sofre pouco com a

amostragem espacial irregular dos dados e os efeitos de borda, bem como é robusto e estável

em dados com ruído. No caso testado em dados reais, obtivemos um erro relativo de 31,72%.

Entretanto, seu custo computacional é altíssimo em razão da subtração das contribuições dos

coeficientes de maior energia dos dados de entrada que depende da precisão escolhida, e sua

reconstrução não é tão eficiente no caso de preenchimento irregular de grandes buracos na

aquisição e angulações muito severas.

Existe ainda a versão multidimensional do ALFT (XU, ZHANG e LAMBARÉ, 2010)

e sua implementação em 2D e 3D para a hipótese de um deslocamento comum e azimute

comum dos dados demonstrou resultados promissores.

Pretendemos fazer um estudo dos algoritmos apresentados neste trabalho em suas

versões multivariadas e aprofundar o estudo de modo a aprimorar a reconstrução do

sismograma para dados não igualmente espaçados.

Capítulo 7

Referências bibliográficas

Bibliografia


7. Bibliografia

ATKINSON, K. E. An Introduction to Numerical Analysis. 2ª. ed. [S.l.]: John

Wiley & Sons, 1989.

BAGCHI, S.; MITRA,. The Nonuniform Discrete Fourier Transform and its

Applications in Signal Processing. 1ª. ed. [S.l.]: Springer, 1967.

BERGLAND, G. D. A fast Fourier transform algorithm for real-valued series. ACM,

v. 11, p. 703-710, October 1968.

BEYLKIN, G. On the fast Fourier transform of functions with singularities. Appl.

Comput. Harmon. Anal., v. 2, p. 363–381, 1995.

BLUESTEIN, L. I. A linear filtering approach to the computation. IEEE

Transactions on Audio and Eletroacustics, December 1970. 451-455.

BRIGHAM, E. O. Fast Fourier Transform. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, Inc.,

1974.

COOLEY, J. W.; TUKEY, W. An Algorithm for the Machine Calculation of Complex

Fourier Series. Mathematics of Computation, v. 19, p. 297-301, April 1965.

CORSO, G. et al. Seismic ground roll time–frequency filtering using the gaussian

wavelet transform. Physica A, 2003. 551-561.

DAVIS, P. J. Interpolation and Approximation. New York: DOVER

PUBLICATIONS, INC. , 1975.

DUTT, A.; ROKHLIN, V. Fast Fourier transforms for nonequispaced data. SIAM J.

Sci. Stat. Comput., v. 14, p. 1368–1393, 1993.

FESSLER, J. A.; SUTTON, B. P. Nonuniform fast Fourier transforms using min-max.

IEEE Trans. Signal Process., v. 51, p. 560–574, 2003.

FOURMONT, K. Non equispaced fast Fourier transforms with applications to

tomography. J. Fourier Anal. Appl., v. 9, p. 431–450, 2003.

FRIGO, M.; JOHNSON, S. G. FFTW, C subroutine library. [S.l.]: [s.n.]. Disponível

em: <http://www.fftw.org>.

Bibliografia


GABRIELE, S. A note on fast Fourier transforms for nonequispaced grids. Advances

in Computational Mathematics, n. 9, p. 337–352, 1998.

GOERTZEL, G. An Algorithm for the Evaluation of Finite Trigonometric Series. The

American Mathematical Monthly, v. 65, p. 34-35, January 1958.

HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e

Científicos Editora S.A., 1976.

HSU, H. P. Análise de Fourier. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora

Ltda, 1973.

HSU, H. P. Teoria e Problemas de Sinais e Sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2004.

JACKSON, J. I. et al. Selection of a convolution function for Fourier inversion using

gridding. IEEE Trans. Med. Imag., v. 10, p. 473–478, 1991.

KEAREY, P.; BROOKS, M.; HILL, I. Geofísica de Exploração. São Paulo: Oficina

de textos, 2009.

KEINER, J.; KUNIS, S.; POTTS, D. NFFT 3.0 - Tutorial. [S.l.]: [s.n.], 2006.

Disponível em: <https://www-user.tu-chemnitz.de/~potts/nfft/guide3/html/tutorial.html>.

Acesso em: 01 jun. 2015.

KEINER, J.; KUNIS, S.; POTTS, D. NFFT 3.0, C subroutine library. [S.l.]: [s.n.],

2006. Disponível em: <http://www.tu-chemnitz.de/~potts/nfft>.

KEINER, J.; KUNIS, S.; POTTS, D. Using NFFT 3 – a software library for various

nonequispaced fast Fourier transform. ACM Transactions on Mathematical Software, v. V,

p. 1-23, 2008.

KHATCHATRIAN, V. Fourier Domain Regularization 5D and More. [S.l.]: [s.n.],

v. 37, 2012. Disponível em: <http://csegrecorder.com/articles/view/fourier-domain-

regularization-5d-and-more>. Acesso em: dezembro 2015.

KUNIS, S. Nonequispaced fft - generalisation and inversion. Lübeck: [s.n.], 2006.

KUNIS, S.; POTTS, D. Stability results for scattered data interpolation by

trigonometric polynomials. Society for Industrial and Applied Mathematics, v. 29, p.

1403-1419, 2007.

Bibliografia


KUNIS, S.; RAUHUT, H. NuHAG-MATLAB-Center. Disponível em:

<http://www.univie.ac.at/nuhag-php/mmodule/#>. Acesso em: novembro 2015.

LIMA, J. B.; DE SOUZA, M. C.; DE OLIVEIRA,. Um Algoritmo Aritmético para

Análise Espectral Não-Uniforme. XXVI Simpósio Brasileiro De Telecomunicações -

SBrT’08, Rio de Janeiro, 02-05 Setembro 2008.

MAKUR, A.; MITRA, S. K. Warped Discrete-Fourier Transform: Theory and

Applications. IEEE Transactions on circuits and Systems, v. 48, p. 1086-1093, September

2001.

MAPLE. Maple 16 – The Essential Tool for Mathematics and Modeling, 2012.

Disponível em: <http://www.maplesoft.com/products/Maple/index.aspx>. Acesso em: 2014.

MARTIN, G. D. Chirp Z-Transform Spectral Zoom Optimization with MATLAB®.

Sandia National Laboratories, Albuquerque, 2005.

MATLAB. Matlab – The Language of Technical Computing. [S.l.]: [s.n.], 2012.

Disponível em: <http://www.mathworks.com/products/matlab/>. Acesso em: janeiro 2015.

MENEZES, A. S. Uma Contribuição à Análise Espectral de Sinais Estacionários e

não Estacionários. Juiz de Fora: [s.n.], 2014.

MITRA, S. K. Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach. 2. ed. [S.l.]:

McGraw-Hill, 2001.

MOUSA, W. A.; AL-SHUHAIL, A. A. Processing of Seismic Reflection Data Using

MATLAB, Synthesis Lectures on Signal Processing. [S.l.]: Morgan & Claypool Publishers,

2011.

OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. 2ª. ed. São Paulo: Pearson

Education do Brasil Ltda, 2010.

POTTS, D.; STEIDL, G. Fast Summation at Nonequispaced Knots by NFFT. SIAM

Journal on Scientific Computing, v. 24, p. 2013-2037, 2003.

POTTS, D.; STEIDL, G.; TASCHE, M. Fast Fourier transforms for nonequispaced

data: A tutorial. In: BENEDETTO, J. J.; FERREIRA, P. J. S. G. Modern Sampling Theory:

Mathematics and Applications. Boston: Birkhäuser, 2001. p. 247–270.

Bibliografia


RABINER, L. R.; SCHAFER, R. W.; RADER, C. M. The Chirp z-transform

Algorithm. IEEE Transactions On Audio And Electroacoustics, Lexington, June 1969. 86-

92.

RAO, K. R.; KIM, D. N.; HWONG, J.. Fast Fourier Transform: Algorithms and

Applications. 1ª. ed. [S.l.]: Springer, 2010.

ROMANO, J. M. T.; LOPES, R. R.; TYGEL, M. Processamento Digital de Sinais

Geofísicos. Curitiba: [s.n.], 2011. Disponível em:

<http://www.decom.fee.unicamp.br/~rlopes/conf/sbrt11_Proc_Sismico.pdf>. Acesso em:

Agosto 2015.

RUZHANSKY, M.; TURUNEN, V. Pseudo-Differential Operators and

Symmetries - Background Analysis and Advanced Topics. Boston: Birkhäuser, 2010.

SACCHI, M. D. Seismic Lab. Disponível em: <http://seismic-

lab.physics.ualberta.ca/>. Acesso em: julho 2015.

SCHONEWILLE, M. A. Fourier Reconstruction of Irregularly Sampled Seismic

Data. Delft: [s.n.], 2000.

SHERIFF, R. E.; GELDART, L. P. Exploration Seismology. 2ª. ed. New York:

Cambridge University Press, 1995.

THOMAS, J. E. Fundamentos de Engenharia de Petróleo. Rio de Janeiro:

Interciência, 2001.

UNSER, M. Sampling — 50 years after Shannon. Proceedings of the IEEE, v. 88, p.

569–587, 2000.

WARE, A. F. Fast approximate Fourier transforms for irregularly spaced data. SIAM

rev., v. 40, p. 838–856, 1998.

XU, S. et al. Antileakage Fourier transform for seismic data regularization. Society of

Exploration Geophysicists, v. 70, p. V87–V95, Julho 2005.

XU, S.; ZHANG, Y.; LAMBARÉ, G. Antileakage Fourier transform for seismic data

regularization in higher dimensions. Society of Exploration Geophysicists, v. 75, p. WB113-

WB120, dezembro 2010.

Documents

ESTUDO E APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER NA … · 2019-01-30 · iv ROCHA, Tiago Cavalcanti da – Estudo e Aplicação da Transformada de Fourier na Regularização de Dados