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CORINA ISAMAR MARTINEZ SIMANCAC.I: 20723477
Escuela: Ingeniería Industrial
MATEMATICA IV
transformada de Fourier
La buena transformada de Fourier (pr. fʊrieɪ), denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.
( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp( )2
f t F i t d
La transformadade
Fourier
La transformada de Fourier
Es decir,
donde:
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F() (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
deFtf ti)()( 21
dtetfF ti )()(
Identidad de Fouriero antitrans-formada de Fourier
Transformadade Fourier
La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier
( ) ( ) exp( )F f t i t dt
1( ) ( ) exp( )
2f t F i t d
A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir
En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir
deFtfFF ti)()()]([ 211
dtetffFtfF ti )()(ˆ)()]([
f̂
Transformadas integrales
–K(,t): núcleo o kernel.–Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio o recíproco.
–Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc
dttftKFb
a )(),()(
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Problem inTransform
space
Originalproblem
Solution inTransform
space
Solution oforiginal prob-
lem
Integral transform
Relatively easy solution
Difficult solution
Inverse transform
Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
9
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
tt
ttf
p
pp
p
2
22
2
010
)(
Integrando:
Usando la fórmula de Euler: i
eepsenpipi
2)2/(
2/2/
2/
2/
)()(p
p
titi dtedtetfF
2/
2/
1 p
p
tii e
)( 2/2/1 pipii ee
)2/(sinc2/
)2/()( ppp
psenpF
En forma gráfica,la transformada es:
-50 0 50
0
0.5
1F(w) con p=1
w
F(w
)
p =1
tt
ttf
p
pp
p
2
22
2
010
)(
)2/(sinc)( ppF
Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una ranura.
La función sinc(x)
Demostrar que la transformada de Fourier de la función triángulo, D(t), es sinc2(/2)
0
2sinc ( / 2)1
t0
( )tD1
1/2-1/2
TF
Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario o función de Heaviside, u(t):
Grafica U() = F[u(t)].¿Qué rango de frecuencias contiene U()?¿Cuál es la frecuencia predominante?
u(t)
0
1
t
La función delta de Kronecker y delta de Dirac
if 0( )
0 if 0t
tt
t
(t)
,
1 if 0 if m n
m nm n
La función impulso o delta de DiracRecordemos que podemos pensar en la función delta como el límite de una serie de funciones como la siguiente:
t
f1(t)
f2(t)
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√
f3(t)
(t)
Y recordemos algunas propiedades de la función
( ) 1t dt
t
(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a f t dt t a f a dt f a
exp( ) 2 (
exp[ ( ) ] 2 (
i t dt
i t dt
Transformada de Fourier de la (t):
)(ttf 1)(ˆ
dtetf ti
t
(t)
1
()
Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1/(2) es:
t
)(dtef̂ ti
21
21
Recordemos
f t
0 , t T2
1 , T2
t T2
0 , T2
t
T2
T2
T
2T
2T
2
2)(ˆT
TsenTf
2
, 022
, 1
2
, 0
tT
TtT
Tt
tf
2
2)(ˆT
TsenTf
f t 1
T ∞
dtef ti1ˆ )( 2
T ∞
Transformada de Fourier de la función coseno
21+000
0{cos( )}tFcos(0t) t
0
)cos( 0ttf
dtetf ti )cos(ˆ0
+
+
+
dteedteee tititititi
)()( 0000
21
2
)()(2
2)(ˆ00 ++f
)()()(ˆ00 ++f
Transformada de Fourier de la función seno:
)( 0tsentf
dtetsenf ti )(ˆ0
dte
iee ti
titi
2
00 dteei
titi
+ )()( 00
21
)()()(ˆ00 +if
+000
sen(0t) t
0
t)}sen({ 0F
La transformada de Fourier de la onda plana exp(i0 t)
La TF de exp(i0t) es una frecuencia pura.
F {exp(i0t)}
0 0
exp(i0t)
0 t
t Re
Im
0
)(2
}{
0)( 0
00
dte
dteeeF
ti
tititi
Sum
F {exp(i0t)}
0 0
exp(i0t)
0 t
t Re
Im
0
TF
0
TF
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
00,00 ,
attetf
at
0
ˆ dteef tiat
2222
0
)(
0
)(
1
1)10(1
+
+
+
+
+
+
+
+
ai
aa
iaia
ia
iaia
iaedte
tiatia
La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana.
2 2
2
{exp( )} exp( ) exp( )
exp( / 4 )
at at i t dt
a
F
t0
2exp( )at
0
2exp( / 4 )a
TF
.
La transformada inversa de FourierDada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:
dkekGkGFxg ikx)(21)()( 1
dxexgkG ikx)()(
)'(
)'(
)'(
''
21)(
)()(21
xg
xx
xxik
ikxikxikx
dxdkexg
dkedxexgdkekG
A partir de su definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función
33 35
32
+
iig
3orden de polo 3
3)(
32
:residuos) de (teoría de Cálculo
35
32
35
32
3
31
1
33
331
1
21
iziz
ezf
dei
I
I
dei
dei
deii
gF
deggF
izx
xi
I
xi
I
xi
xi
xi
+
+
0x;0I
0x;ex25π2f(z)πi10I
2eixf(z)
3 orden i polo de3z3iz
ef(z)
dωe3iω
5I
):e residuos (teoría d ICálculo de0x;0I
0x;eπx2f(z)πi4I2
eixf(z)
2
x32
i3z2
x32
i3z
3
izx
iωω32
2
1
x32
i3-z1
x32
i3-z
sRe
sRe
sResRe
+
+
0x;ex5
0x;ex2gF
:esFourier de inversa ada transformla Luego
x32
x321
61361)( 2
i
g
degxf xi)()(
A partir de la definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función:
Integrando en el plano complejo:
izizzzzz
zg23 ,
32 ,
))((61)( 21
21
• Si x > 0:
+
R
RR
kk
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
izxg(z)eG(z) Tomando
Haciendo lim R→∞
06136
1lim)(lim Como 2zz izzzg
-R R
C
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
R
izxdxezg
Entonces:
xx
k eezzGixf 32
23
52)),((Res2)(
• Si x < 0:
R
RR
kk
izx
dwwGdzzG
zzGidzezg
)()(
)),((Res2)(
)(
2
1
-R R
Haciendo lim R→∞
06136
1lim
)(lim Como
2z
z
izz
zg
Jordan) de 3 (Lema 0)(lim)(R
R
izxdxezg
Entonces: 0)),((Res2)( kzzGixf
0 , x 0
0 , x ee5π2
f(x)x
32x
23
Algunas funciones no poseen transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de
Fourier de f(x), F() exista es:
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones
que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a
+ y – en general no tienen transformadas de Fourier.
dxxg 2)(
La TF y su inversa son simétricas.
( ) exp( )
12 ( )exp( [ ] )2
F t i t dt
F t i t dt
Si la TF de f(t) es F(), entonces la TF de F(t) es:
Renombrando la variable de integración de t a ’, podemos ver que llegamos a la TF inversa:
12 ( )exp( [ ] )2
F i d
2 ( )f
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son un "par transformado."
Que podemos escribir:
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función original f(x) son ambas en general complejas.
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
)()()( kiFkFxfF ir +
potencia de espectro A
espectral fase espectral magnitud o amplitud
)(
)()()(
2222
22
)(
+
+
ir
ir
ki
FFF
A
FFkFA
ekAkFxfF
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
dx)kxsin()x(f)k(F
dx)kxcos()x(f)k(F
dx)kx(isen)kxcos()x(fdxe)x(f
i
r
ikx
)k(iF)k(F)x(fF ir +
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F .T . ˆ f g(t) F .T . ˆ g
f (t) + g(t) F .T . ˆ f + ˆ g
f (t) F .T . ˆ f (a + ib) f (t) F .T . (a + ib) ˆ f
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
)}({)}({)}()({
tgbFtfaFtbgtafF
++
f(t)
g(t)
t
t
t
F()
G()
f(t) + g(t)F() + G()
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f (t)
0 , t a2
1 , b2
t a2
2 , t b2
; a b 0
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t) g(t) + h(t)
donde g(t) 0 , t a
21 , t a
2
; h( t) 0 , t b
21 , t b
2
Luego:
ˆ f ( ) ˆ g () + ˆ h ()
2b2bsen
2b
2a2asen
2a)(f̂
+
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a0
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
f t
0, t a1, a t b0, b t b1, b t a0, t a
; h(t) 0 , t b1 , t b
g( t) 0 , t a1 , t a
f t g(t) h(t)
F.T . ˆ g () 2a2
sen(a)a
h(t) 0 , t b1 , t b
g( t) 0 , t a1 , t a
F.T . ˆ h () 2b2
sen(b)b
ˆ f () ˆ g () ˆ h () 2a2
sen(a)a
2b2
sen(b)b
)(ˆ ftfF
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ˆ1')'(1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado:
af
aatfF ˆ1
Efecto de la propiedad de escalado
f(t) F()
Pulsocorto
Pulsomedio
Pulsolargo
Mientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
t
t
t
La transformada de Fourier respecto al espacio
Si f(x) es función de la posición,
k se conoce como frecuencia espacial.
Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y se aplica los dominios x y k.
k
x )(ˆ)( kfdxexfxfF ikt
3. Traslación en el dominio de tiempos
featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( .... +
dtetgg ti )(ˆ
+ dteatf ti)(
dueufg aui )()(ˆ
dueufe uiai )(
)(ˆˆ feg ai
f (t + a) g(t)
4. : f (t) f *(t) ˆ f ˆ f *
)(ˆIm)(ˆIm
)(ˆRe)(ˆRe
ff
ff
5. :
dttff )(0ˆ
dff )(ˆ210
5. Identidad de Parseval : f *(t)g( t)dt
ˆ f *() ˆ g ( )d
dtdgdf ee titi '')'(ˆ)(ˆ *
edtgdfd ti
')'(ˆ')(ˆ )(*
( ' )
f (t) g(t) f (t) 2 dt
ˆ f ( ) 2
d
Teorema de Rayleigh
dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular:
Toda función puede escribirse como la suma de una función par y una función impar
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) [ ( ) ( )] / 2
( ) ( ) ( )
E x f x f x
O x f x f x
f x E x O x
+
+
E(-x) = E(x)
O(-x) = -O(x)
E(x)
f(x)
O(x)
Sea f(x) una función cualquiera.
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
dttff e ti )(ˆ
+
0
0
)()( dttfdttf ee titi
+
0 0
)()()(ˆ dttfdttff ee titi
+0
)( dttf ee titi
0
)cos()(2ˆ dtttff
+
0 0
)()()(ˆ dttfdttff ee titi
Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
dttff e ti )(ˆ
+
0
0
)()( dttfdttf ee titi
+0
)( dttf ee titi
0
)()(2ˆ dttsentfif
6. Transformada de la derivada:
ikF(k)ikF(f(x))(x))fF(
)k´(iF))x(f´(iF)x(xfF
7. Transformada xf(x):
Y en general:
F(k)ik(x))F(f n)n(
Y en general:
)k´(Fi)x(fxF nn
1. Encontrar la transformada de Fourier de la función:
2. A partir del resultado anterior y una conocida propiedad de la transformada de Fourier, determina la transformada de Fourier de la función:
211)(x
xf+
221 xx)x(g
+
iz-izzfz
zfdzzeI
dxxekF
ikz
ikx
+
+
+
21
22
2
y excepto C,z analítica es )(1
1)(con 3" tipo" integral1
:complejo plano al integral la Pasamos1
)( integral lapiden Nos1.
k
kikz
iz
ikz
iz
kikz
iz
ikz
iz
ekF
eiz
eizeikF
eiz
eizeikF
lím
lím
+
+
+
)(:que modo De
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
21
2)(
:C circuito elen integramos 0k Para
2
1
2
2
Res
ResC1
C2
21)(
12
12
:1
2y que Puesto
22
2222
22
k
k
eikxxFkG
eikxxF
xxF
xx
dxdf fikF
dxdfF
+
+
+
+
2.
Encontrar la transformada de Fourier de la función: siendo a>0 constante.
2exp)(
2axxf
)(2
exp)(2
exp)(22
xaxfaxaxxfaxxf
)´()( kiaFkikF
Derivando tenemos:
)´())(´()()())(())((
kiFxfiFxxfFkikFxfikFxfF
Transformando a ambos lados de la ecuación y usando las siguientes propiedades de la TF:
Veamos otra aplicación de estas dos últimas propiedades:
ak
t
uuax
ikxax
ak
ea
kF
adt
te
a
duea
duea
dxeFB
dxeeBekF
2
0
02
22
2
22
2
22
2)(
22
222)0(
)(
u2 = ax2/2
ak
BekFkiaFkikF 2
2
)()´()(
u2 = t
