Estudos de Controle - Aula 8: Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário (parte 2)

Estudos de Controle – Análise de Resposta Transitória e de Regime Estacionário

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Sistemas de Segunda Ordem

• São sistemas diferenciais que envolvem derivadas segundas da saída. Exemplo de função de transferência da malha fechada:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐾

𝐽𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾

• Pode ser reescrita como:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐾𝐽

𝑠 +𝐵2𝐽

+𝐵2𝐽

2

−𝐾𝐽

𝑠 +𝐵2𝐽

−𝐵2𝐽

2

−𝐾𝐽

2


• É mais conveniente definirmos: 𝐾

𝐽= 𝑤𝑛

2 𝑒 𝐵

𝐽= 2ζ𝑤𝑛 = 2𝜎

ζ =𝐵

𝐵𝑐=

𝐵

2 𝐽𝐾

• Resultando na chamada forma-padrão: 𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝑤𝑛2

𝑠2 + 2ζ𝑤𝑛𝑠 + 𝑤𝑛2

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• Parâmetros:

• 𝜎: atenuação.

• 𝑤𝑛: frequência natural não amortecida.

• ζ: coeficiente de amortecimento.

• B: amortecimento real.

• 𝐵𝑐: amortecimento crítico.

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• O comportamento dinâmico pode ser descrito em termos dos parâmetros ζ e 𝑤𝑛.

• Se 0 < ζ < 1 os pólos de malha fechada são complexos conjugados, o sistema é chamado subamortecido e a resposta transitória é oscilatória.

• Se ζ = 0 a resposta transitória não decai.

• Se ζ = 1 o sistema é chamado criticamente amortecido.

• Se ζ > 1 o sistema é chamado superamortecido.

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• Resposta ao degrau unitário para o sistema subamortecido (0 < ζ < 1):

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝑤𝑛2

(𝑠 + ζ𝑤𝑛 + 𝑗𝑤𝑑)(𝑠 + ζ𝑤𝑛 − 𝑗𝑤𝑑)

onde 𝑤𝑑 = 𝑤𝑛 1 − ζ2 é chamada frequência natural amortecida do sistema.

• Ou seja, fazendo 𝑅 𝑠 = 1

𝑠 , temos:

𝐶 𝑠 =𝑤𝑛

2

𝑠2 + 2ζ𝑤𝑛𝑠 + 𝑤𝑛2 𝑠

=𝑤𝑛

2

𝑠2 + 2ζ𝑤𝑛𝑠 + 𝑤𝑑2 + (ζ𝑤𝑛)2 𝑠

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• Expandindo em frações parciais:

𝐶 𝑠 =1

𝑠−

𝑠 + ζ𝑤𝑛

𝑠 + ζ𝑤𝑛2 + 𝑤𝑑

2 −ζ𝑤𝑛

𝑠 + ζ𝑤𝑛2 + 𝑤𝑑

2

• A transformada inversa de Laplace é:

𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡 cos 𝑤𝑑 𝑡 +ζ

1 − ζ2sin𝑤𝑑 𝑡

𝑐 𝑡 = 1 −𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡

1 − ζ2sin 𝑤𝑑𝑡 + tan−1

1 − ζ2

ζ

para 𝑡 ≥ 0.

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• Para 𝑤𝑛 = 1 e diferentes valores de zeta:

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𝑐 𝑡 = 1 −𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡

1 − ζ2sin 𝑤𝑑𝑡 + tan−1

1 − ζ2

ζ

para 𝑡 ≥ 0.

• Podemos observar que a frequência de oscilação transitória é a frequência natural amortecida do sistema 𝑤𝑑.

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• Erro pode ser calculado como:

𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡

= 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡 cos𝑤𝑑𝑡 +ζ

1 − ζ2sin 𝑤𝑑𝑡

para 𝑡 ≥ 0.

• O erro possui uma oscilação senoidal amortecida e é anulado em regime permanente (𝑡 → ∞).

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• Resposta ao degrau unitário para o sistema com ζ = 0:

𝑐 𝑡 = 1 − cos 𝑤𝑛𝑡 , para 𝑡 ≥ 0.

• A resposta não é amortecida e as oscilações continuam indefinidamente.

• 𝑤𝑛 é a frequência natural do sistema sem amortecimento

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• Resposta ao degrau unitário para o sistema criticamente amortecido (ζ = 1):

• Os dois pólos são iguais, resultando na seguinte saída:

𝐶 𝑠 =𝑤𝑛

2

𝑠 + 𝑤𝑛2𝑠

• A transformada inversa de Laplace é:

𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑤𝑛𝑡 1 + 𝑤𝑛𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0

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• Resposta ao degrau unitário para o sistema criticamente amortecido (ζ = 1):

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• Resposta ao degrau unitário para o sistema superamortecido (ζ > 1):

• Os pólos são reais, não negativos e diferentes:

𝐶 𝑠 =𝑤𝑛

2

𝑠 + ζ𝑤𝑛 + 𝑤𝑛 ζ2 − 1 𝑠 + ζ𝑤𝑛 − 𝑤𝑛 ζ2 − 1 𝑠

• A transformada inversa da equação é:

𝑐 𝑡 = 1 +𝑤𝑛

2 ζ2 − 1

𝑒− ζ+ ζ2−1 𝑤𝑛𝑡

ζ + ζ2 − 1−

𝑒− ζ− ζ2−1 𝑤𝑛𝑡

ζ − ζ2 − 1,

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0

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• De acordo com o valor de ζ, uma das exponenciais decrescentes predominam e o sistema pode ser aproximado a uma resposta de primeira ordem com a resposta:

𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒− ζ− ζ2−1 𝑤𝑛𝑡

, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0.

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• Resposta ao degrau unitário para os diferentes valores de ζ:

17 Para 𝑤𝑛 = 1. Para 𝑤𝑛 = 0.5.


• Resposta ao degrau unitário para os diferentes valores de ζ:

• Se os sistemas tiverem o mesmo valor de ζ, mas valores de 𝑤𝑛 diferentes, eles irão apresentar os mesmos sobre-sinais e andamento oscilatório. Portanto, diz-se que eles possuem a mesma estabilidade relativa.

• Um sistema com ζ entre 0,5 e 0,8 se aproxima do valor final mais rapidamente que do que um sistema criticamente amortecido ou superamortecido.

• Entre os que não apresentam oscilação, o criticamente amortecido se aproxima mais rapidamente.

• O sistema superamortecido é sempre mais lento. 18


• Análise da resposta transitória:

• Os sistemas possuem energia armazenada e não conseguem responder instantaneamente.

• Resposta transitória acontece sempre que o sistema estiver sujeito a um sinal de entrada ou distúrbio.

• Geralmente, as características de desempenho de um sistema de controle são especificadas de acordo com a resposta ao degrau unitário.

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Análise de Resposta Transitória

• Na prática, antes de atingir o regime permanente, a resposta apresenta oscilações amortecidas. E assim, define-se o seguinte:

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• Tempo de atraso 𝑡𝑑

• Tempo de subida 𝑡𝑟

• Tempo de pico 𝑡𝑝

• Máximo sobre-sinal 𝑀𝑝

• Tempo de acomodação 𝑡𝑠


• Especificações:

• Tempo de atraso, 𝑡𝑑, é o tempo requerido para que a resposta alcance metade do valor final pela primeira vez.

• Tempo de subida, 𝑡𝑟, é o tempo requerido para que a resposta passe de 10% a 90% do valor final.

• Tempo de pico, 𝑡𝑝, é o tempo para que a

resposta atinja o primeiro pico de sobre-sinal.

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• Máximo sobre-sinal, 𝑀𝑝, é o valor máximo de

pico da curva medida a partir da unidade. É comum utilizar em porcentagem. Indica diretamente a estabilidade relativa do sistema:

𝑀𝑝 =𝑐 𝑡𝑝 − 𝑐(∞)

𝑐(∞)× 100

• Tempo de acomodação, 𝑡𝑠, é o tempo necessário para que a resposta alcance valores em uma faixa (2% ou 5%) em torno do valor final, permanecendo aí indefinidamente.

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• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário:

• Tempo de subida: precisamos encontrar 𝑐 𝑡𝑟 = 1.

𝑐 𝑡𝑟 = 1 − 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡𝑟 cos𝑤𝑑 𝑡𝑟 +ζ

1 − ζ2sin𝑤𝑑 𝑡𝑟

Como 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡𝑟 não é igual a 0 nunca, então

cos𝑤𝑑 𝑡𝑟 +ζ

1 − ζ2sin𝑤𝑑 𝑡𝑟 = 0

tan𝑤𝑑𝑡𝑟 =1 − ζ2

ζ= −

𝑤𝑑

𝜎

𝑡𝑟 =1

𝑤𝑑tan−1 −

𝑤𝑑

𝜎

• Portanto, para um menor 𝑡𝑟 utiliza-se um 𝑤𝑑 maior.

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• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário : • Tempo de pico: pode ser obtido derivando-se a resposta no tempo e

igualando a 0.

𝑑𝑐 𝑡

𝑑𝑡= ζ𝑤𝑛𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡 cos𝑤𝑑 𝑡 +

ζ

1 − ζ2sin 𝑤𝑑 𝑡

+ 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡 𝑤𝑑sin 𝑤𝑑 𝑡 −ζ𝑤𝑑

1 − ζ2cos𝑤𝑑 𝑡

𝑑𝑐 𝑡

𝑑𝑡 𝑡=𝑡𝑝

= 𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡𝑝𝑤𝑛

1 − ζ2sin 𝑤𝑑 𝑡𝑝

sin 𝑤𝑑 𝑡𝑝 = 0

𝑤𝑑𝑡𝑝 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, …

• Como o tempo de pico corresponde ao primeiro pico, então 𝑤𝑑𝑡𝑝 = 𝜋 e 𝑡𝑝 =

𝜋

𝑤𝑑.

• O tempo de pico corresponde a meio ciclo da frequência de oscilação amortecida.

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• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada degrau unitário :

• Máximo sobre-sinal:

𝑀𝑝 = 𝑐 𝑡𝑝 − 1

= 𝑒−ζ𝑤𝑛 𝜋 𝑤𝑑 cos 𝜋 +ζ

1 − ζ2sin 𝜋

𝑀𝑝 = 𝑒− 𝜎 𝑤𝑑 𝜋 = 𝑒− ζ 1−ζ2 𝜋

𝑀𝑝 % = 𝑀𝑝 × 100

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• Tempo de acomodação:

• Existem curvas envoltórias a resposta 1 ±𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡

1−ζ2:

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• Tempo de acomodação: • A constante de tempo das envoltórias é 𝑇 =

1 ζ𝑤𝑛 .

• O tempo de acomodação pode ser medido através dessa constante

𝑡𝑠 = 4𝑇 =4

ζ𝑤𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 2%

𝑡𝑠 = 3𝑇 =3

ζ𝑤𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 5% 27



• O valor do tempo de acomodação é inversamente proporcional a ζ e 𝑤𝑛.

• O valor de ζ é em geral determinado a partir da especificação do sobre-sinal máximo.

• Portanto, o valor do tempo de acomodação é determinado principalmente pela frequência natural não amortecida 𝑤𝑛.

• Todas essas equações foram obtidas para a forma-padrão do sistema de segunda ordem e portanto só valem para esses sistemas.

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• Relação entre o máximo sobre-sinal e ζ :

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• Resposta para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário: • A resposta ao impulso unitário (𝑅 𝑠 = 1) é:

𝐶(𝑠) =𝑤𝑛

2

𝑠2 + 2ζ𝑤𝑛𝑠 + 𝑤𝑛2

• As transformadas inversas de Laplace são: • Para 0 ≤ ζ < 1:

c t =𝑤𝑛

1 − ζ2𝑒−ζ𝑤𝑛𝑡 sin 𝑤𝑛 1 − ζ2 𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0

• Para ζ = 1:

c t = 𝑤𝑛2𝑡𝑒−𝑤𝑛𝑡, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0

• Para ζ > 1:

c t =𝑤𝑛

2 1 − ζ2𝑒−(ζ− ζ2−1)𝑤𝑛𝑡 − 𝑒−(ζ+ ζ2−1)𝑤𝑛𝑡 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 0

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• Resposta para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário:

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• Resposta para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário:

• No caso de subamortecimento a resposta oscila em torno de zero a assume valores negativos e positivos.

• No caso do amortecimento crítico e superamortecimento a resposta é sempre positiva ou nula.

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• Especificações da resposta transitória para sistemas de segunda ordem com entrada impulso unitário:

• Tempo de pico:

𝑡𝑝 =tan−1 1 − ζ2

ζ

𝑤𝑛 1 − ζ2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < ζ < 1

• Máximo sobre-sinal:

𝑀𝑝 = 𝑤𝑛 exp −ζ

1 − ζ2tan−1

1 − ζ2

ζ, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < ζ < 1

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• Análise com o MATLAB:

• Para encontrar as especificações para a entrada degrau unitário basta usar a função stepinfo(sys)

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freqN = 1; zeta = 0.6; num = [freqN*freqN]; den = [1 2*zeta*freqN freqN*freqN]; sys = tf(num,den) stepinfo(sys)

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