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Relação entre Resposta Transitória de Malha Fechada e Resposta em
Frequência de Malha Fechada
22
2
2 nn
n
sssT
sR
sC
222222
2
4
nn
njT
Valor Máximo do Módulo da Resposta em Frequência de Malha Fechada
2
221;
12
1
nppM2
2
Relação entre Pico da Magnitude da Resposta em Frequência e Percentual de
Ultrapassagem
Banda Passante da Resposta em Frequência
É definida como sendo a frequência onde o valor da curva de magnitude vale -3dB
244211
244214
24421
242
2
242
242
p
BW
sBW
nBW
T
T
Para o Tempo de Subida Temos
Relação entre Resposta Transitória de Malha Fechada e Resposta em Frequência de Malha
Aberta
• Margem de Fase e Relação de Amortecimento:
42
1
412
2
tgM
Relação entre Resposta Transitória de Malha Fechada e Resposta em Frequência de Malha
Aberta
• A banda Passante de Malha Fechada é igual a frequência na qual a magnitude de malha aberta esta entre -6 e -7,5 dB se a fase estiver entre -135º e -225º e então podemos utilizar as equações abaixo:
244211
244214
24421
242
2
242
242
p
BW
sBW
nBW
T
T
Exemplo:
• Para o sistema mostrado abaixo estime o Tempo de Estabilização e o Tempo de Pico Utilizando a resposta em frequência de malha aberta:
-
R(s) C(s)
+ 63
50
sss
segundosT
T
T
tg
s
s
sBW
M
M
BW
14,5
232,0432,0432,02132,0
45,3
244214
32,03167,0412
2
35145180
5,3
242
242
42
1
000
%6,34%100x%100x..%
36,1
232,0432,0432,02132,01
5,3
244211
22 32,0132,0
1
242
2
242
2
eePU
segundosT
T
T
P
P
p
BW
EXERCÍCIO• Através da resposta em frequência de malha aberta estime o
Percentual de Ultrapassagem do sistema para uma entrada degrau unitário se K=40. Qual a margem de ganho para o sistema com este valor de K?
-
R(s) C(s)
+ 254
)5(2
sss
sK
Solução
• Freqüência de zero dB 7,8 rad/seg. Observando o diagrama de fase nessa freqüência, a margem de fase é 9°. Usando a Eq. (10.73) ou a Fig. 10.48, a relação de amortecimento vale 0,08. Dessa forma, %UP vale 78%.
Projeto Através da Resposta em Frequência
• Por Ajuste do Ganho;
• Por atraso de fase;
• Por avanço de fase;
• Por avanço-atraso de fase.
Metodologia de Projeto por ajuste de ganho
• Calcule a relação de amortecimento para o %U.P. desejado;
• Calcule a Margem de Fase necessária;• Trace o diagrama de Bode para um valor qualquer de K
(preferencialmente um valor que permita traçar o gráfico assintótico mais facilmente);
• Verifique no gráfico de bode em que frequência ocorre o ângulo na qual a margem de fase é atendida;
• Calcule no gráfico de módulo na frequência encontrada; quantos Decibéis são necessários para que nesta frequência o módulo se torne ZERO dB;
• Calcule o ganho adicional a ser acrescentado.
Projeto no Domínio da Frequência através do ajuste do ganho de
malha aberta • Exemplo: Calcule,
utilizando as técnicas de resposta em frequência, o ganho K de malha aberta, para que o sistema ao lado apresente uma resposta ao degrau unitário com %U.P.= 9,5%
-
R(s) C(s)
+ )100(36
100
sss
K
6,0095,0ln
095,0ln22
Exemplo
• Primeiro traçamos o diagrama de Bode de módulo e fase para um ganho total de malha aberta igual a 100, ou seja K=1.
0
42
1
42
1
2,59
6,0416,02
6,02
412
2
M
M
M
tg
tg
Exemplo
• Neste caso percebemos que para que o módulo seja zero dB na margem de fase desejada precisamos aumentar o gráfico de módulo em 55,2 dB ou seja em um ganho K=575,44