Etude de matériaux minéraux renforcés par des fibres …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/mahmoud/10_chapitre_3.pdf · Essai d’extraction des renforts L’essai est réalisé à

Chapitre III : Étude du pontage d’une fissure par du bois en baguette

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Chapitre III :

Étude du pontage d’une fissure par du bois en baguettes

Dans ce chapitre, nous utilisons le même bois que celui caractérisé au chapitre

précédant, le peuplier. Nous commençons par décrire les éprouvettes et leur fabrication. On

détaille ensuite les aspects théoriques de l’essai mécanique et la mise en œuvre de cet essai. À

chaque étape nous décrivons les résultats obtenus et nous les discutons.

III.1. Procédure expérimentale

L’ajout de fibres dans une matrice fragile comme le ciment ou le béton augmente

fortement les caractéristiques mécaniques et en particulier la résistance à la fissuration. Dans

un composite réel où la matrice fragile est renforcée par des fibres courtes aléatoires, une

fissure matricielle est pontée par les renforts dont l’angle par rapport au plan de la fissure est

aléatoirement compris entre 0 et 90°.

Pour rendre compte de l’efficacité du pontage par un renfort oblique, nous avons

développé un essai d’extraction où les fibres sont orientées d’un angle θ et -θ par rapport au

sens de la traction qui est perpendiculaire au plan de la fissure. Les angles symétriques ±θ

permettent d’équilibrer les efforts et d’avoir un déplacement dans l’axe.


88

III.1.1. Fabrication des échantillons

L’élaboration des éprouvettes modèles avec des baguettes de bois (naturel, rétifié à

200, 230 et 260°C) de 2×2×48 mm3 et du ciment de type Portland (CPA 52.5 HTS PMES) est

un peu compliquée. L'angle d'orientation, positif et négatif, des baguettes est le même pour

toutes les baguettes d'une éprouvette, mais il doit pouvoir être modifié facilement. Chaque

échantillon se compose de deux blocs et la procédure de la fabrication de chaque bloc suit

plusieurs étapes. La Fig. III.1 schématise la procédure de fabrication des éprouvettes et

montre les différentes étapes :

1- premier bloc :

(a) : Gâchage : dans cette étape, nous avons mélangé du ciment à sec pendant 2 minutes à

vitesse lente. Ensuite, ajouté de l’eau au ciment (E/C = 0,35) et mélangé pendant 2

minutes aussi à la même vitesse. Enfin, nous avons continué à mélanger, pour une minute

encore à vitesse rapide, jusqu’à ce que le gâchage soit homogénéisé,

(b) : Moulage du premier bloc : nous avons versé le gâchage dans un moule de

dimension 48×40×80 (mm) avec vibration, en laissant libre un alésage pour la goupille de

traction.

(c) : Mise en place des renforts : nous avons mis en place 20 baguettes de bois, centrées

sur l’interface et positionnés à ±θ à l’aide d’un gabarit support (lors du contact avec la

pâte, le bois est sec), puis maintien de l’ensemble jusqu’à prise du ciment.

(d) : Stockage : nous avons stocké le premier bloc dans un milieu à 100% d’humidité

relative et à 21°C pour 24 heures.

B- deuxième bloc :

(e) : Démoulage et dépôt d’une couche mince d’huile : après 24h, nous avons démoulé

le premier bloc, mis le moule à l’envers pour mouler la deuxième partie, et déposé en

même temps une couche mince d’huile dans le but d’éviter l’accrochage du ciment avec

celui du second bloc,

Remarque : dans un premier temps, nous avons directement coulé le deuxième bloc sur le

premier sans la couche d’huile et pratiqué des entailles afin que le ciment se rompe

facilement dans le plan voulu. Comme la rupture du ciment masquait, le début de


89

l’extraction, nous avons préféré ensuite utiliser une couche d’huile permettant de séparer

les deux blocs de ciment.

(f, g) : Refaire les étapes a et b du premier bloc pour obtenir l’éprouvette finale,

(h) : Stockage de l’éprouvette, dans les mêmes conditions du premier bloc, pendant 14

jours avant de la tester.

Fig III.1 : Les étapes de la procédure de fabrication des éprouvettes d’extraction oblique.

La méthode utilisée pour fabriquer des éprouvettes a besoin de beaucoup de temps

pour arriver à l’échantillon final. La figure III.2 montre, en photos, cette procédure.

(a) gâchage (b) moulage 1er bloc (c) moulage 2éme bloc (d) éprouvette finale

Fig. III.2 : Photos des étapes de la procédure de fabrication des éprouvettes

cb d

(1) Premier bloc

(2) deuxième bloc

a

e f g h

ccbb dd

(1) Premier bloc

(2) deuxième bloc

a

e f g h


90

III.1.2. Essai d’extraction des renforts

L’essai est réalisé à température ambiante à l’aide du bâti INSTRON 1195 équipé

d’une cellule de force de 100 kN. (Fig. III.3 a) sur les éprouvettes fabriquées précédemment.

Cette machine de traction est constituée d'un bâti rigide qui comprend une traverse fixe à

laquelle est fixée l'une des têtes de l'éprouvette, l'autre extrémité est fixée à la traverse mobile.

Un dispositif spécifique a été réalisé dans l’atelier de GEMPPM (Fig. III.3.b), ce

dispositif permet de réaliser des essais de traction plane sur des éprouvettes de composite

ciment/bois de longueur 160 mm et de section rectangulaire de dimension 40×48 mm.

L’éprouvette est maintenue dans des chapes de traction à l’aide de goupilles. Un effort

de traction progressif est exercé suivant l’axe de l’éprouvette jusqu’à l’extraction finale. La

vitesse de la traverse utilisée dans notre essai est de 2mm/min. L'essai de traction est effectué

à température ambiante. Les paramètres mesurés sont la force d’arrachement en fonction du

déplacement de la traverse à l’aide de deux capteurs reliés à un ordinateur pour

l’enregistrement des données.

Fig. III.3 : Photos de la machine INSTRON 1195 avec le dispositif de traction (a) vue générale ; (b, c) le dispositif avec l’éprouvette

a b c


91

Selon l’éprouvette testée dans ce travail, nous avons trouvé deux types de courbes

d’extraction, une courbe d’extraction typique dans le cas où le ciment doit se rompre, pour

une éprouvette sans couche d’huile entre les deux parties (Fig. III.4) et l’autre, dans le cas où

la couche d’huile a supprimé la nécessité de rompre le ciment au début de l’extraction, qui est

illustré par la Figure. III.5.

Fig. III.4 : Courbe d’extraction avec rupture préalable du ciment (bois naturel sec, θ = 30°, 20 baguettes, H = 24 mm, 4 fibres rompues après l’extraction)

Fig. III.5 : Courbe d’extraction (R200°C, θ = 45°, 20 baguettes, H = 24 mm, 10 fibres

rompues pendant l’extraction)

La Fig. III.4 montre une courbe d’extraction obtenue pour un angle de désorientation

de θ = ± 30° (bois naturel sec) pour une éprouvette sans couche d’huile entre les deux partis et

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30

Déplacement en (mm)

Forc

e de

pon

tage

(kN

)

Fextraction=0.84 kN

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0 5 10 15 20 25 30

Déplacement (mm)

Forc

e de

pon

tage

(kN

)

F rupture du ciment

Fextraction = 0,9 kN


92

dans ce cas le ciment doit rompu. On constate que le début de l’extraction correspond à la fin

du crochet de force dû à la rupture du ciment. Donc, la force maximale de pontage dans ce cas

est de 0,9 kN pour 20 fibres, sachant qu’il y 4 fibres rompues pendant l’extraction. Cependant

le début d’extraction est difficile à déterminer dans le cas où le ciment doit se rompre. Mais

par contre, la Fig. III.5 montre que si les deux blocs de ciment sont désolidarisés au départ, le

début de l’extraction est très facile à déterminer.

III.2. Etude du pontage d’une fissure par une fibre

Dans ce paragraphe, tout d’abord, nous commençons par un étude théorique d’un cas

élémentaire des fibres droites où θ = 0, en comparant avec les résultats expérimentaux que

nous avons les obtenus. Ensuite, nous montrons les résultats expérimentaux dans le cas des

fibres obliques. Enfin, nous étudions théoriquement ces cas en mettant en oeuvre une

simulation basée sur un modèle analytique.

III.2.1. Étude des fibres perpendiculaires à la fissure (cas élémentaire θ = 0)

III.2.1.1. Étude théorique :

On distingue les deux cas suivants, selon qu’il y a décohésion ou non :

III.2.1.1.a. Cas θ = 0 et Gd = 0 (énergie de décohésion entre renfort et matrice nulle).

La contrainte de cisaillement est constante et l’extraction est contrôlée par frottement

simple. Le transfert de charge opère entre les deux constituants (ciment et bois), en faisant

intervenir un cisaillement à l’interface associé à du frottement qui s’amorce à l’entrée de

l’encastrement.

La Figure III.6 montre un schéma de la zone de transfert de charge d’une éprouvette

spéciale où la fibre est enchâssée dans un bloc de matrice des deux côtés de façon inégale.

Normalement, la fibre va glisser dans sa totalité là où l’enchâssement est le plus court

(extraction). Mais avant, chaque partie subit un glissement partiel, dont l’analyse est faite

pour une section rectangulaire (a×b) comme suit :

La moitié de déplacement U/2 de la section de la fibre est proportionnelle à l’aire du

triangle ABC, (Fig. III.6).


93

Si on considère un élément dx de fibre dans la zone de transfert de charge (Fig.III.6.a),

le déséquilibre longitudinal pour une section rectangulaire est balancé par un cisaillement à

l’interface τ*.

Fig. III.6.a : Transfert de charge sur un élément dx de fibre

Fig. III.6 : Extraction de fibre, profils des contraintes sous charge (Annexe B).

On a donc :

2 τ* (a+b) dx = dF = dσf .a.b

b.aτ*b)(a2

dxdσ f +=

dFdFτ*

dx

∫=l

f (x).dxε2U

(III.1) (x).lσ2E

12U

ff

=

σ

σf

b.aFmax

B A

C

D

E

U

D

U Plus grand

FixeGlisse

H >H

Bloc de ciment

FF

σ

F F

U

I

E

JK

MN

Avant glissement total du renfort

Pendant l’extraction

A

σ

σf

b.aFmax

B A

C

D

E

U

D

U Plus grand

FixeGlisse

H >H

Bloc de ciment

FF

U Plus grand

FixeGlisse

H >H

Bloc de ciment

FFFFF

σ

F FFF FFF

U

I

E

JK

MN

Avant glissement total du renfort

Pendant l’extraction

A


94

Où a et b sont la largueur et la hauteur de la fibre respectivement.

Après l’intégration sur H (longueur enchâssée la plus petite) on arrive à :

En introduisant l’équation (III.2) dans l’équation (III.1) on arrive à :

Avant glissement total, la courbe F- U est parabolique. Au maximum de la force, nous avons

Umax et Fmax, lorsque l = H :

Où : Fmax valeur de la force de pontage à U/2. (Fmax = σf (max) a.b)

Si on mesure F et U, il est possible d’accéder au cisaillement interfacial τ*.

Á la charge maximale, toute la fibre peut glisser. On a alors :

Fmax = 2 (a+b) H τ* (III.4)

La force diminue ensuite quasi-linéairement à mesure que la fibre est extraite. (Fig.III.6.b)

Fmax = 2 (a+b) (H-U) τ*

Fig. III.6.b : Courbe F- U lors de l’extraction

III.2.1.2.b. Cas θ = 0 et Gd ≠ 0

Dans ce cas, le cisaillement interfacial est aussi lié au frottement, mais, il doit y avoir

décohésion entre le renfort et la matrice. La condition de décohésion est contrôlée par

l’énergie unitaire de propagation de la fissure interfaciale Gd

On suppose que la matrice ne subit pas de contrainte (≈ vf très petit). Pour la

démonstration, on considère le cas où τ* est nul. Si τ* ≠ 0, le bilan énergétique doit prendre

(III.2) b)(a*τ2

a.b(x)σlb.a

b)(aτ*2l(x)σ

ff

+×=⇒

+=

bab)(aτE4F

2U

b)(a2τa.b(x)σ

2E1

2U

*f

2

*2f

f +=⇒

+=

(III.3) b.ab)(aτ*E4

F2

U

f

2maxmax

+=

U

F

<<H H

Fmax

U

F

<<H H

Fmax


95

en compte l’énergie dissipée par le frottement. Mais la condition critique de décohésion

obtenue pour τ* = 0 est la même que si τ* ≠ 0 [Ouw et al, 70].

On analyse les conditions de propagation d’une fissure à l’interface, de la taille C à la

taille c + dc.

Il y a donc création d’une nouvelle surface, l’énergie nécessaire pour cela s’écrit : dWsurf = 2(a+b) dc Gd (III.5) Gd : énergie unitaire de propagation de la fissure à l’interface. La fibre subit maintenant la contrainte σf sur une plus grande longueur, elle stocke donc une

énergie élastique supplémentaire qui s’écrit :

De ce fait, la fibre s’allonge, il y a donc un travail de la force F appliquée extérieure, celui- ci s’écrit : dWext = F ∆u avec ∆u = (σf/Ef) dc D’où

Le bilan énergétique conduit à la propagation de la fissure si l’énergie injectée dans le

système (dWext) est plus grande ou égale à l’énergie stockée dans le système (dWel+ dWsurf).

Dans ce cas, la contrainte σf est alors la contrainte critique de décohésion σfD

⇒ b.a

GEb)(a4b.a

F df

2D +=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

III.6) ( dc Eσ

21badW

f

2f

el =

(III.7) dcE

b)(aσdWf

2f

ext =

a.bGEb)4(a

)(σ

dc2E

)(σbaGdcb)2(adcE

)(σba

df2Df

f

2Df

df

2Df

+=

++=

F

CdC

F/a×bx

σf

F

CdC

F/a×bx

σf


96

On obtient finalement :

Dans le cas d’un cisaillement interfacial associé au frottement, le profil de contrainte

dans la fibre est donné par la Fig. III.7. Tant que σf appliqué est inférieur à σfD, il n’y a pas

décohésion. Si σf est supérieur de σfD, le glissement, contrôlé par τ*, a lieu sur une distance u.

Fig. III.7 : Profils des contraintes dans la fibre sous charge.

Lorsque le glissement se fait sur toute la zone de longueur H, le profil est donné par A

(Fig. III.7). Mais, la contrainte de décohésion n’ayant plus lieu d’être, le profil passe

brutalement à celui donné par B (qui correspond au cas où σfD = 0). Le saut de force

correspond est donc :

FD = σfD a.b

La Figure III.8 montre la courbe F- U correspondante.

Fig. III.8 : Courbe F- U en cas de décohésion.

La force de pontage maximale sera calculée par l’expression suivante :

Fmax = FD+2 (a+b) H τ*

(III.8) a.bF σet

Eb)(a(a.b)4)(F

GD

Df

f

2D

d =+

=

F

UH

Fmax

FD

Fa

Fb

F0 = FD

F

UH

Fmax

FD

Fa

Fb

F0 = FD

x

σfD

σ

Hu

σfmax

A

B

x

σfD

σ

Hu

σfmax

x

σfD

σ

Hu

σfmax

x

σfD

σ

Hu

σfmax

A

B

A

B


97

L’ordonnée à l’origine, F0, permet d’estimer la contrainte critique dans le renfort de

décohésion entre renfort et matrice, σfD :

F0 = FD = a.b. σfD

Finalement :

Fmax = a.b. σfD +2 (a+b) τ* H (III.9)

Fmax = A+B H

Où : A = a. b. σfD représente FD

B = 2 (a+b) τ* présent la pente ⇒

III.2.1.2. Résultats expérimentaux à θ = 0

Fig. III.9 : Courbes d’extraction (bois naturel, θ = 0°, 20 baguettes) pour différentes longueurs enchâssées.

En fait, la Fig. III.9 montre quelques exemples de courbes d’extraction expérimentales

obtenues pour un angle de θ = 0° pour différentes longueurs enchâssés. Les courbes montrent

deux parties distinctes :

- la partie A, qui correspond à la phase de décohésion progressive fibre- matrice (cf. Fig.

III.8).

- la partie B, qui correspond à l’extraction et donc au frottement de la fibre dans la gaine de

la matrice (cf. Fig.III.6).

Les grandeurs qui sont généralement déduites de cette courbe sont :

0

0,5

1

1,5

2

0 5 10 15 20 25Déplacement (mm)

Forc

e d'

arra

chem

ent (

KN

)

H=8mm H=16mm H=24mm

A B

Fa

Fb

b)(a2Bτ*

+=


98

• la décrochement au pic (Fa- Fb) = FD caractéristique de la cohésion fibre- matrice.

• la force de frottement maximale Fb caractéristique de la résistance à l’arrachement de la

fibre (cisaillement interfacial τ*).

La force décroît ensuite presque linéairement, la pente était également caractéristique de τ*.

Remarque : dans le cas des éprouvettes entaillées (sans la couche d’huile intermédiaire), la

rupture du ciment masquait totalement le problème de décohésion.

Dans le cas de l’extraction classique (θ = 0), on observe une évolution linéaire de la

force avec la profondeur d’enchâssement, H, conformément à l’expression suivante :

Où τ* est le cisaillement interfacial lié au frottement

Le Tableau III.1 présente les valeurs de Fmax pour le cas du bois naturel sec (a = b = 2

mm) avec différentes profondeur enchâssement, (H = 8, 16, 24 mm) qui nous permettent

l’évaluation de la contrainte de cisaillement interfacial et FD.

Tab. III.1. Valeurs de Fmax pour 1 fibre en fonction de la profondeur enchâssée pour

chaque éprouvette de A à E (cas du bois naturel sec)

Fig. III.10 : Bois naturel sec. Force d’arrachement pour une fibre en fonction de la profondeur enchâssée (X : moyenne des 5 essais sur 20 baguettes à la fois).

*τb)(a2dHdF

+=

H (mm) A B C D E moyenne8 17,3 18,4 19,2 16,8 18,1 18,016 24,5 22,3 26,7 19,8 20,8 22,824 27,5 25,0 24,2 36,6 31,4 28,9

Fmax en N

y = 0,6858x + 12,265

0

10

20

30

40

0 8 16 24 32longueur enchâssée, H (mm)

Forc

e d'

arra

chem

ent,

F (N

)

H=8 H=16 H=24


99

Si on considère les valeurs moyennes, la valeur de l’ordonnée à l’origine dans ce cas,

F0 = 12,265 N, nous permet d’estimer la contrainte critique de décohésion entre renfort et

matrice σfD.

Soit : σfD = 12,265/(2×2) = 3,1MPa

Et, à partir de la pente, le cisaillement interfacial est de τ* = 0,6858/(4×2) = 0,09 MPa

De la même façon, nous avons fait des essais sur du bois traité (cas rétifié à 200°C),

dans le but d’estimer les deux paramètres précédents (σfD, τ*).

Le Tableau III.2. montre aussi les valeurs de la force maximale d’extraction pour cas d’une

fibre de bois rétifié à 200°C (a = b = 2 mm) avec différentes profondeurs d’enchâssement, (H

= 8, 16, 24 mm)

Tab. III.2. Valeurs de Fmax pour 1 fibre en fonction de la profondeur enchâssée pour chaque éprouvette de A à E (cas bois rétifié à 200°C)

Fig. III.10a : Bois rétifié à 200°C. Force d’arrachement pour une fibre en fonction de la profondeur enchâssée (croix : moyenne des 5 essais sur 20 baguettes à la fois).

H (mm) A B C D E moyenne8 17,1 15,4 17,1 18,2 13,7 16,316 22,7 20,4 20,0 21,0 18,9 20,624 25,3 29,0 27,5 26,5 23,2 26,3

Fmax en N

y = 0,625x + 11,067

0

10

20

30

40

0 8 16 24 32Longueur enchassée, H (mm)

Forc

e d'

arra

chem

ent,

F (N

)

H = 8mm H = 16 mm H = 24 mm


100

Les résultats typiques de la Fig.III.10, relatifs au bois traité (R200°C) conduisent à un

cisaillement interfacial de 0,08 MPa et à la contrainte critique de décohésion de 2,8 MPa.

Les valeurs de σfD et de τ* sont très voisines pour les cas du bois naturel et rétifié à

200°C (cf. Tab. III.3). Les résultats relatifs aux bois rétifiés à 230° et à 260°C sont différents,

en particulier le seuil de décohésion σfD est sensiblement réduit de moitié et le cisaillement

interfacial τ* est aussi légèrement plus faible (Fig. III.12).

Fig. III.10b : Force d’arrachement pour une fibre en fonction de la profondeur enchâssée pour tous les cas de traitement.

Naturel sec R200°C R230°C R260°C σD

f (MPa) 3,1 2,8 1,7 1,2 τ* (MPa) 0,09 0,08 0,07 0,06

Tab. III.3 : Paramètres interfaciaux pour les diffèrent cas de traitements du bois.

0

10

20

30

40

0 8 16 24 32Longueur enchâssée, H (mm)

Forc

e d'

arra

chem

ent,

F (N

)

R260°C R230°C R200°C Naturel sec


101

III.2.2. Étude des fibres inclinées (θ est différent de zéro)

III.2.2.1. Résultats expérimentaux Dans cette partie, nous nous proposons de présenter et analyser les résultats des essais

d’extraction dans le cas de baguettes de bois orientées, entre 0 et 75°, dans les deux blocs de

ciment. (Voir Fig. III.12).

La Fig. III.11 montre les courbes d’extraction obtenues pour un angle de

désorientation de θ = 45° (Rétifié 200°C). La force maximale est relativement peu dispersée.

La force décroît ensuite plus ou moins linéairement. Les écarts entre les lois d'extraction

peuvent provenir de ruptures qui apparaissent au cours de l'extraction. Après essai, les faciès

montrent que de 8 à 10 baguettes se sont rompues pour cet angle et certaines d'entre elles l'ont

été bien après que la force appliquée soit passée par le maximum (voir Fig.III.15).

Notons que la longueur d’enchâssements est a priori la même des deux côtés, mais pas

exactement en réalité. Bien entendu, le glissement global, et donc l’extraction, se fait du coté

le moins profondément enchâssé.

Fig. III.11 : Courbes d’extraction (rétifié 200°C, θ = ± 45°, 20 baguettes, H = 24 mm)

Le Tableau. III.4 ci-dessous montre l'ensemble des résultats d'extraction du bois rétifié

à 200°C (R200°C) Il donne, pour chaque échantillon testé : la force maximale pour

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25


Forc

e de

pon

tage

(KN

)

Rétifié 200°C- θ = 45°- 20 fibresFmax

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25


Forc

e de

pon

tage

(KN

)

Rétifié 200°C- θ = 45°- 20 fibresFmax


102

l’ensemble des baguettes présentes (20 baguettes dans l’éprouvette), le nombres de fibres

rompues comptées après l’extraction totale, la force maximale ramenée à 1 fibre et la

proportion de fibres rompues. Pour chaque orientation, on donne la valeur moyenne sur les 5

éprouvettes testées. Les autres cas de traitement du renfort sont donnés dans l'annexe C.

* Après l’extraction complète.

Tab. III.4- Ensemble des résultats obtenus pour le cas rétifié à 200°C (longueur enchâssée : H = 24 mm).

Angle θ N° Force maximale Nombre de Force maximale Taux de fibres (degrés) échantillon 20 fibres (KN) fibres rompues* pour 1 fibre (N) rompues (%)

1 0,8 0 40 02 0,58 0 29 03 0,55 0 27,5 04 0,53 0 26,5 05 0,78 0 39 0

0,648 0 32,4 01 0,88 2 44 102 0,61 4 30,5 203 0,64 4 32 204 0,6 7 30 355 0,8 3 40 15

0,706 4 35,3 201 0,9 4 45 202 0,78 6 39 303 0,77 8 38,5 404 0,68 8 34 405 0,83 5 41,5 25

0,792 6 39,6 311 0,91 9 45,5 452 0,88 11 44 553 0,86 9 43 454 0,82 10 41 505 0,91 8 45,5 40

0,876 9 43,8 471 0,63 11 31,5 552 0,65 12 32,5 603 0,68 10 34 504 0,6 12 30 605 0,73 9 36,5 45

0,658 11 32,9 541 0,45 13 22,5 652 0,51 12 25,5 603 0,58 10 29 504 0,48 13 24 655 0,64 10 32 50

0,532 12 26,6 58

θ = 15°

θ = 60°

θ = 45°

θ = 30°

θ = 0°

θ = 75°


103

Comme on peut le voir sur la Fig. III.12.b, l'extraction de la fibre (qui se fait du coté

où la longueur d'enchâssement est la plus petite) force celle-ci à prendre une courbure près

des encastrements. Cette courbure se déplace le long de la baguette en cours d'extraction et

elle peut conduire, à un moment donné, à sa rupture.

Fig. III.12 : Eprouvette d'extraction oblique. (a) : configuration initiale ; (b) : extraction.

La proportion de fibres rompues est variable avec l’angle de désorientation et le type

de baguettes de bois utilisées (traitées ou pas). Mais, dans tous les cas, cette proportion

augmente avec l’angle de désorientation, jusqu’à atteindre 60% à 75° (Fig.III.13).

Fig. III.13 : proportion de fibres rompues après l’extraction en fonction de l’angleθ.

On voit que la rétification à 200 et 230°C ne modifie pas significativement la

propension à rupture. Par contre, la rétification à 260°C entraîne un taux de ruptures important

dès 15°, celui-ci croît ensuite très lentement aux angles plus grands. Ce résultat est à mettre en

relation avec les distributions de Weibull (cf. chapitre. II) : une rétification à une température

élevée affaiblit le matériau en flexion et la probabilité de rupture induite par la flexion en

cours d'extraction se trouve donc accrue. Notons qu'au delà de 45°, dans tous les cas,

l'augmentation du nombre de fibres rompues se ralentit. Ceci est paradoxal car plus l'angle θ

est grand, plus on doit s'attendre à des efforts tranchants élevés et à des courbures élevées.

θa b

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Angle de désorientation (degrés)

Taux

fina

l de

fibre

s ro

mpu

es(%

)

Bois Naturel sec R200°C R230°C R260°C


104

La Fig. III.14 montre l'évolution de la force de pontage maximale moyenne pour les

cinq éprouvettes en fonction de l'angle de désorientation, pour les différents cas de

traitements. On remarque de manière générale que la force de pontage est maximale à 45° et

que nous avons deux familles où les comportements sont voisins : le bois naturel et rétifié à

200°C d'une part, et le bois rétifié à 230 et à 260°C d'autre part, résultat que nous avons déjà

remarqué pour θ = 0° (cf. § III.2.1.2).

Fig. III.14 : Force d’extraction maximale ramenée à une fibre initialement présente, en fonction de l’angle θ.

A θ = 0°, la force maximale reflète les résultats déjà évoqués précédemment : la

qualité de l'accrochage, en termes de liaison bois-ciment et de friction est d'autant plus

mauvaise que la rétification est menée à température élevée. Cette tendance reste présente

pour les angles non nuls jusqu’à 45°.

Au delà de 45°, la force maximale décroît significativement alors que le nombre de

fibres rompues n'a pas beaucoup augmenté. De plus, certains éléments nous portent à croire

que la plupart des fibres rompues comptées en fin d’essai se sont en fait rompues lors de

l'extraction et non pas avant d’atteindre le maximum de force.

Par exemple, la Fig. III.15 montre une courbe d'extraction pour θ = 75° où 13 fibres

sur 20 ont été observées rompues en fin d'essai. Pendant la décroissance de la force, on

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80Angle de désorientation (degrés)

Forc

e m

axim

ale

pour

une

fibr

e in

itial

emen

t pr

ésen

te (N

)

Bois Naturel sec R-200°C R-230°C R-260°C


105

observe un certain nombre de marches qui reflètent la diminution progressive du nombre de

renforts qui interviennent dans le système (cf. Equ.III.11).

Dans le cas précis de la Fig. III.15, la hauteur et le nombre de marches nous portent à

penser que de 8 à 9 renforts se sont rompus en cours d'extraction. Par conséquent, le nombre

de renforts qui conditionnent la force d'arrachement maximale au début de l'extraction n'est

pas beaucoup plus petit que le nombre initialement présent (ici probablement 15-16 au lieu de

20). Donc, le nombre de fibres rompues n'explique pas la chute de la force maximale en début

d'extraction pour θ > 45°.

Figure. III.15 : Force d’extraction en fonction du déplacement (R200°C).

En plus, si on s'intéresse aux renforts survivants après extraction, on constate que

ceux-ci présentent une certaine souplesse qui est d'autant plus marquée que l'angle θ est

grand. Il y a là un argument pour considérer les effets des efforts tranchants. Comme les

renforts sont extraits en condition humide, ces effets d'efforts tranchants sont favorisés. Les

baguettes se fendent donc longitudinalement et comme l'épaisseur des barreaux résultants

(Equ.III.10) est réduite, leur souplesse apparente s'accroît et leur probabilité de rupture via les

moments fléchissants est réduite. Aux grands angles, les baguettes se fendent rapidement et

sont donc susceptibles de se plier sans rompre en traction (Fig. III.16). Elles se comportent

donc comme une corde souple qui glisse sur la "poulie fixe" que constitue le ciment à

l'encastrement.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 6 12 18 24Déplacement (mm)

Forc

e de

pon

tage

(kN

)

Rétif ié 200°C - q = 75° - 20 fibres initiales, 13 rompuesθ


106

Fig. III.16 : Image d’une demi- éprouvette de traction présentant les baguettes pliées de bois (rétifié à 200°C). θ = 60° (à gauche) ; θ = 75° (à droite).

Dans ce cas, l'extraction est analogue à ce qui se passe pour θ = 0, hormis un certain

freinage supplémentaire car la force appliquée a tendance à augmenter la pression au contact

entre le renfort glissant et la "poulie fixe" que constitue le ciment. Si τ f est supposé constant

pendant l'extraction, la force, F, décroît linéairement en fonction du déplacement, U, comme

suit :

F = 2 (a + b) N τf (H -U) (III.11)

Où :

a, b sont la largeur et la hauteur de baguette du bois respectivement,

H est la longueur enchâssée initiale,

N est le nombre de renforts qui travaillent à l’extraction.

On voit bien sur la Fig. III.15 que la pente diminue à mesure que les fibres se rompent et donc

que N diminue.

L'accroissement de la force maximale entre 0 et 45° provient de la réaction à la flexion

des baguettes qui restent pour la plupart dans le domaine élastique. Pour ce qui concerne la

diminution de la force maximale de pontage après 45°, on considère qu’une proportion,

croissante avec l’angle, de baguettes sont rompues aux premiers stades de l’extraction, soit

avant Fmax. Nous n’avons cependant pas d’observations directes de ce phénomène.

(III.10) ba

F43 τ rupture la àet

baF

43τ max

max ==


107

III.2.3. Mécanismes d’arrachement d’une fibre inclinée

La Figure III.17 synthétise les mécanismes d’arrachement d’une fibre inclinée, elle

montre notamment l’apparition d’un frottement supplémentaire au niveau du point de sortie

de la fibre dans la matrice. Les essais d’arrachement réalisés sur des fibres de bois inclinées

ont montré qu’une orientation de la fibre provoquait une augmentation significative de la

charge d’arrachement. Cet accroissement de la charge varie en fonction de l’angle imposé.

L’observation d’une éprouvette en coupe permet de confirmer les mécanismes

d’arrachement des fibres. La rupture d’éléments du ciment au niveau de l’entrée de la fibre

dans la matrice a ainsi pu être observée. L’effet géométrique de la diminution de la longueur

réelle de fibre arrachée avec l’augmentation de l’angle d’inclinaison a également pu être mise

en évidence.

Fig. III.17 : Schéma des différents mécanismes associés à l’arrachement d’une baguette inclinée. N est la charge d'arrachement axiale à la baguette, P est la force de flexion et F

est la force mesurée lors de l'essai.

Donc, l’arrachement d’une fibre inclinée fait intervenir des mécanismes identiques à

ceux d’une fibre alignée : la traction de la fibre, la décohésion fibre/matrice et le glissement

de la fibre. Il engendre également des mécanismes spécifiques : la déformation en flexion de

Décohésion et arrachement de la fibre

Partie fixe de la fibre

d

θ

Déformation de la fibre

Rupture du coin de matrice

Frottement supplémentaire

Partie déchausséde la fibre

F

N

F

P

1er Bloc du ciment

Décohésion et arrachement de la fibre

Partie fixe de la fibre

d

θ

Déformation de la fibre

Rupture du coin de matrice

Frottement supplémentaire

Partie déchausséde la fibre

F

N

F

P

1er Bloc du ciment


108

la fibre, le frottement supplémentaire et la rupture de la matrice. Ce dernier phénomène

apparaît comme limitatif à l’augmentation de la charge d’arrachement avec l’angle

d’inclinaison.

A partir de l’ensemble des données expérimentales, un processus d’arrachement d’une fibre

inclinée peut être proposé sur la Figure III.18, en quatre étapes :

• Etape 1 : c’est l’étape de départ, une fibre inclinée se trouve à cheval sur les deux blocs

de matrice indépendants qui sont sollicités en traction. La composante F de traction se

décompose en deux composantes : un chargement N axial à la fibre et une force

perpendiculaire P qui engendre la flexion.

• Etape 2 : c'est la la décohésion de la fibre. La fissure entre les deux blocs s’ouvre en

provoquant la déformation de la fibre et l’apparition de la composante de frottement

supplémentaire (effet de freinage).

Fig. III.18 : Processus d’arrachement d’une fibre inclinée.

• Etape 3 : l’arrachement de la fibre , la fibre peut glisser mais peut aussi être bloquée dans

la matrice et peut donc soit être rompue, soit conduire à la rupture de la matrice à cause

l’augmentation de la pression de contact qui vient de la flexion P. La charge

d’arrachement enregistrée est plus importante que pour une fibre alignée car elle englobe

en plus de la résistance au glissement, les composantes nécessaires à la déformation en

flexion de la fibre et à un frottement fibre-matrice supplémentaire.

P

(a) Etape 1

N

F

F

F

cimentFrottementsupplémentaire

F

F

ciment

(b) Etape 2

Fibredéformée

F

F

ciment

Rupture de la matrice

(c) Etape 3

F

ciment

F

Fibre déformée au niveau de l’éclat du ciment

(d) Etape 4

P

(a) Etape 1

N

F

FF

F

cimentFrottementsupplémentaire

FF

FF

ciment

(b) Etape 2

Fibredéformée

FF

FF

ciment

Rupture de la matrice

(c) Etape 3

FF

ciment

FF

Fibre déformée au niveau de l’éclat du ciment

(d) Etape 4


109

• Etape 4 : l'écartement des deux blocs se poursuit, la déformation en flexion de la fibre

devient plus facile, grâce aussi éventuellement à la rupture du coin de matrice en sortie

d'encastrement. Le processus d’arrachement reboucle sur l’étape 2 jusqu’à l’arrachement

complet de la fibre ou jusqu’à sa rupture.

Pour rendre compte de ce comportement complexe de façon quantitative, une

simulation basée sur un modèle d'encastrement oblique proposé par Zhang et Li [Zhang, et Li

02], sera présentée au paragraphe suivant.

Les observations des échantillons en Microscope Optique ZEISS (Fig. III.19) et au

microscope électronique à balayage (MEB) (Fig. III.20, III.21) ont confirmé la pliure et le fait

que les baguettes de bois se fendent.

(a) (b) (c)

Fig. III.19 : Observation au microscope optique d’une baguette du bois R200°C pliée au

point de départ du bloc du ciment.

La photo (III.19 a) a été obtenue après découpe de la matrice de ciment. On voit que la

baguette du bois qui est restée en place (c’est l’autre partie de la baguette qui est extraite) est

pliée à la sortie de l’encastrement. La photo (b) montre la rupture du coint de ciment en sortie

d'encastrement. On voit la pliure "aigue" de la baguette sur la photo (c).


110

Fig. III.20 : Observation MEB du bois rétifié à 200°C au droit de la pliure (Fig.III.19c)

(à gauche : ×100) ; (à droite : ×200) La rupture a eu lieu par pliage et compression

Fig. III.21 : Observation MEB du bois naturel sec (à gauche : ×30) ; (à droit : ×100) La baguette est fendue longitudinalement

Le Fig.III.20 et 21 montrent des coupes longitudinales des baguettes ayant subi

l’extraction. D’une manière générale, on obtenue du flambement de parois de cellules par

compression et des fissures longitudinales.

III.2.2.3. Étude théorique des fibres obliques (cas θ ≠ 0)

Dans ce paragraphe, nous allons essayer de modéliser le pontage par une fibre oblique.

Ensuite, nous comparons la théorie aux résultats expérimentaux. Enfin, nous validons ces

résultats sur des éprouvettes réelles et faisons une estimation de l’énergie de rupture.

[Zhan et al, 02] ont proposé un modèle de simulation pour analyser l’influence de

l’inclinaison de l'angle d’une fibre de section ronde sur la charge à la rupture dans un

100µm 100µm

100µm 100µm


111

composite cimentaire renforcée par des fibres de verre ou de carbone. Ils ont réalisé une étude

paramétrique, comprenant l'influence du module élastique de la fibre et de la matrice, la

contrainte de liaison interfaciale entre fibre et matrice, l'orientation de la fibre sur la résistance

apparente à la rupture de la fibre, donc sur l’efficacité du pontage.

Le modèle résultant indique qu'avec l'augmentation de l’angle d'inclinaison de la fibre,

la résistance apparente à la rupture des fibres diminue. En plus, le degré de dégradation de la

résistance à la rupture apparente de la fibre est influencé par le module élastique de la fibre et

de la matrice (avec l'augmentation du module de la fibre ou matrice, la résistance apparente de

la fibre augmente) et par la résistance de frottement de l'interface fibre / matrice

(l’augmentation de la résistance au frottement de l'interface fibre/matrice mène à une

diminution de la résistance à la rupture apparente).

Ce modèle analytique est basé sur le comportement d'une poutre en cantilever

encastrée obliquement dans un massif (Fig. III.23). Trois aspects doivent être pris en compte :

Premièrement, l’extraction d’une fibre orientée obliquement entraîne une pression de

contact entre le bois et le ciment plus importante du coté concave. La résistance au frottement

est donc augmentée. Selon [Li et al, 02], cet effet (effet de freinage ou snubbing effect) peut

être pris en compte en appliquant à la force d’extraction N un facteur multiplicatif, selon la

relation suivante :

Où, f est le coefficient du freinage qui rend compte de cet effet.

Deuxièmement, l’extraction d’une fibre oblique entraîne géométriquement la nécessité

d’une flexion de la fibre, ce qui donne une composante supplémentaire P à la force

d’extraction globale.

Troisièmement, la flexion de la fibre induit dans la fibre des contraintes

supplémentaires qui s’ajoutent à celle due à la simple force d’extraction. Il s’agit de

contraintes longitudinales en traction et compression induites par les moments fléchissant et

d’une contrainte de cisaillement produite par l’effort tranchant.

fθe0)θN(w,θ)N(w, ==


112

Les résultats expérimentaux semblent indiquer que les fibres subissent essentiellement un

« pliage », sans rupture. Celui-ci est induit par la contrainte de cisaillement, car la baguette

fendue longitudinalement est alors plus flexible.

Dans ce qui suit, nous avons adapté cette approche analytique à notre cas où les

baguettes du bois sont de section carrée et où elles sont susceptibles de se fendre sous l’effet

des efforts tranchants.

III.2.2.3.1. Dérivation du modèle pour une baguette du bois de section carrée (a×a)

A partir du modèle précédant, nous avons développé un modèle identique sur une

baguette de bois inclinée de coté a, dans un deux blocs de matrice du ciment (Fig.III.22).

Fig. III.22 : Eprouvette d'extraction oblique. (a) : configuration initiale ; (b) : extraction

Dans cette analyse, quand le composite ciment-baguette de bois subit une charge

d’extraction F, la baguette est fléchie dans la partie libre au milieu de la fissure d'ouverture W

(Fig. III.23).

Fig. III.23 : Section transversale (courbure de la fibre dans l'espace libre d’ouverture W)

Chaque partie de la fibre est alors assimilée à une poutre élastique, une partie

supportée dans l’encastrement et une partie libre en cantilever. La déflexion à la fin de la

partie libre,δ et la longueur de la partie libre, l, sont exprimées comme suit :

Où :

θa b

F

[ ] (III.12) ) (θ cos W )(θ tan a 21 l )(θsinW

21δ +==

a w

N


113

(III.14) xPyNdx

ydIE)M(x cc

c

c2

ffc +−=−=

w est l’ouverture de la fissure,

a est le coté de la section carrée de la baguette..

La Figure III.24, montre les deux parties avec les efforts. La partie libre en cantilever

subit un effort axial (effort d’extraction), N, lié au transfert de charge interfacial et un effort

perpendiculaire (force de flexion ou de courbure), P. La partie encastrée subit un chargement

axial, N, le chargement de cisaillement V (V = P) et moment de flexion M, provenant de la

partie en cantilever.

Fig. III.24 : Les charges de la partie supportée et de la partie pontante d’une fibre tirée.

[Zhang et Li 02]

La flèche de la partie supportée résulte de la charge de cisaillement V, et du moment de

flexion M, elle est donnée par :

Où :

k est la raideur de la matrice.

Ef et If sont le module d'élasticité et le moment d'inertie de la fibre, respectivement.

Pour la partie libre de la fibre, on peut exprimer le moment dans la fibre en termes de

chargement de flexion P et de chargement axial N à l’extrémité de la fibre, (où xc = 0), par la

relation suivante :

[ ] (III.13) ))xsin(λλM)x(cos(λλM)e(Vk2λy cs

xλc

c −+= −

12I,

IE4k 4

f4

ff

a==λ

Partie libre

Partie encastrée

Fissure


114

(III.15) xNP)xsinh(mC2y ccc +=

ff IENm =

δ==+=

===

)()0(

)()0(

lxyxy

lxdxdyx

dxdy

cccs

cs

sc

s

s

(III.16) PNsinh(ml)2KM;KδP 1

2

−==

[ ]

[ ]122

1

112

cosh(ml)mN2sinh(ml)λcosh(ml)mkNλ4K

Nlsinh(ml)K2sinh(ml)λcosh(ml)mNK

kλ4K

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−=

+++−=

4

ff IE4k=λ

A partir de l’Equ (III.14) avec les conditions limites de yc = 0 à xc = 0, la déflexion le long de

la partie libre peut être exprimée comme suit :

Où :

A partir des Equ. (III.13) et (III.15) en utilisant les conditions suivantes :

et en notant V=P, le moment M, la force de flexion P et la constante d’intégration C peuvent

être exprimées en fonction de la charge axiale N, de la déflection δ de la fibre et ainsi que de

la longueur de la partie libre l. Finalement, on obtient :

Où :

avec

Où δ et l sont données par l’Equ. (III.12).

Le chargement axial N est lié aux conditions de décohésion et glissement de la fibre. On

distingue deux cas :

• Si le glissement n’a pas lieu sur toute la longueur enchâssés (cas où 0 ≤ W ≤ Wfd). La

charge axiale est dans ce cas est donnée par :

• Si la fibre s’extrait par glissement (W > Wfd) nous avons :

(III.17.a) WW0poure)η1

G2W(τaEη)(12N fd

θf21

d3f ≤≤⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++=


115

(III.19)aN 4

I2aMσf

m +=

)(III.20 cosθNsinθPF mmm +=

Où Wfd correspond à l’ouverture de fissure atteinte lorsque la fibre est décollée et que le

frottement se fait sur toute la longueur enchâssée. Elle est donnée par la relation suivante :

Où :

η = Vf Ef/Vm Em, avec Vf, Ef et Vm, Em qui sont les fractions volumiques et modules

élastiques de fibre et de matrice respectivement.

Il faut noter que pour quelques types de systèmes, l’énergie de décohésion Gd est nulle.

C’est le cas des carbone/ciment et acier/ciment [Zhan et al, 02]. Pour quelques autres, tel que

les verre/ciment et fibres d'alcool de polyvinyle/ciment, cette énergie doit être prise en compte.

Dans notre système bois/ciment, nous avons observé que Gd est différent de zéro (cf. §

III.2.1.2.).

L’Equ. (III.17.b) montre que la force de pontage est maximale si W = Wfd. Ensuite,

nous supposons que la contrainte maximum de traction dans la fibre due au chargement axial

et au chargement de flexion se produit au point de sortie de l’encastrement.

Donc, on peut calculer la contrainte de traction maximum dans la fibre par l’expression

suivante :

Ainsi, si σm = σRf, la fibre va casser, la force de pontage à la somme des effets de N et de P

correspond :

Où Pm et Nm sont la force de flexion et la charge axiale qui correspondent au cas où σm = σRf

Nous considèrerons le cas du pliage par les effort tranchants plus loin (cf. § III.2.2.3.2.b).

Pour conclure, on peut dire que la détermination de la force de pontage et de la

résistance à la rupture apparente de fibre dans une matrice en fonction de l'angle d'inclinaison

de fibre suit l'algorithme suivant :

(III.18)aE

η)(1LG32aE

η)(1Lτ4W21

f

2d

ff

2

fd ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++=

(III.17.b) WLWWpoure)WW(La4N fdfdθf

fd +<<−−= τ


116

Avec un jeu de paramètres décrivant les constituants et l’interface et en prenant un angle θ

donné, on peut calculer la force N en fonction de l’ouverture de la fissure (Equ. III.17.a, b).

Ensuite, on peut calculer Pet M (Equ. III.16). A partir de ces valeurs, il est ensuite facile de

déterminer les efforts tranchants et simuler (à partir des résultats du chapitre II) la proportion

de fibres pliées au début d’extraction.

Dans le paragraphe suivant, nous présentons tout d’abord les résultats du modèle dans

le cas où la rupture en traction et le pliage sont absents (valeurs ultimes correspondantes

infinies). Cela permet d’illustrer l’effet des différents paramètres qui interviennent dans le

modèle.

III.2.2.3.2. Résultats de la simulation et discussion

Dans cette section, nous présentons d’abord, le cas préliminaire où les renforts se

comportent de façon parfaitement élastique jusqu’à extraction complète. Ensuite, on étudie le

cas où les baguettes se fendent et se plient.

III.2.2.3 2.a. Cas préliminaire (pas de rupture, pas de pliage)

Les paramètres utilisés dans la simulation sont les suivants :

a : côté de la section carrée de la baguette.

Ef : module d’Young axial de la fibre (les renforts sont ici supposés isotropes).

Em : module d’Young de la matrice.

k : module de fondation qui détermine la déformation de la matrice.

τf : cisaillement interfacial associé au frottement entre fibre et matrice.

Gd : énergie de décohésion interfaciale.

f : coefficient de freinage (Snubbing).

σfR : contrainte à la rupture de la fibre (supposée ici, dans un premier temps, infinie).

Les valeurs numériques utilisées sont données dans le Tableau III.5 ci- dessous, où k/Em =

0.16, σfD = 0 et la longueur encastré (Le = H = 24 mm).

Paramètre a

(mm)

Ef

(GPa)

Em

(GPa)

k

(GPa)

τf

(MPa)

Gd

(J/m2)

f

Valeur 2 1 30 5 0.09 0 0,54

Tab. III.5 : paramètres utilisés (bois naturel).


117

Le but de cette simulation préliminaire est de montrer l’influence de ces paramètres

sur la courbe d’extraction, sans faire intervenir un quelconque endommagement du renfort.

La Figure III.25 montre les résultats de cette simulation pour différents angles d’orientation.

Fig. III.25 : Comparaison entre les courbes typiques calculées pour différents angles d’inclinaison

On constate que la force d’extraction passe par un maximum et décroît ensuite plus

lentement. Lorsque l’ouverture de la fissure correspond à la profondeur enchâssée, la force

de pontage n’est pas nulle et elle est d’autant plus élevée que l’angle est grand. Ces valeurs

non nulles proviennent de la flexion du renfort qui intervient tant qu’une partie reste

encastrée. Lorsque le renfort se libère de son encastrement, la force chute à zéro.

Fig. III.26 : Force maximale atteinte, donnée par la présente simulatio.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 15 30 45 60 75 90Angle d'orientation (degrés)

Fmax

(N)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 6 12 18 24 30

Ouverture de la fissure, W (mm)

Fmax

, (N

)

0° 15° 30° 45° 60° 75°

θ (degrés) = variablea (mm) = 2H (mm) = 24 (ΜPa) = infinie

Ef (GPa) = 1Em (GPa) = 30k (GPa) = 5 (MPa) = 0,09Gd (J/m2) = 0f = 0,54

σfRσfR

τ*τ*

θ (degrés) = variablea (mm) = 2H (mm) = 24 (ΜPa) = infinieEf (GPa) = 1Em (GPa) = 30k (GPa) = 5 (MPa) = 0,09Gd (J/m2) = 0 f = 0,54

σfRσfR

τ*τ*


118

La Figure III.26 montre l’évolution de la force maximale en fonction de l’angle.

Elle augmente pour atteindre un maximum vers 60°. On constate aisément que les niveaux

atteints sont nettement plus élevés que ceux observés expérimentalement. Le renfort subit

donc un endommagement que nous simulerons au §.2.2.3.2.b.

Effet du module élastique du renfort Ef

En utilisant les mêmes paramètres que ceux donnés au Tableau III.5, sauf pour le module

élastique du renfort Ef où nous prenons les valeurs Ef = 0,7- 0,8- 0,9- 1- et 2 GPa, proches

des valeurs expérimentales mesurées (entre 0,7 et 1 GPa).

La Figure III.27 présente l’effet du module élastique du renfort sur la force de pontage en

fonction des angles d’inclinaison. Comme on pourrait s’y attendre, la force maximale est

d’autant plus grande que la raideur du renfort est élevée. On voit ici directement

l’influence de la résistance à la flexion du renfort sur la force d’extraction. Pour la suite,

nous prenons Ef = 1,0 GPa.

Fig. III.27 : Effet de Ef sur la force maximale

Effet du cisaillement interfacial associé au glissement τ* De la même façon, en utilisant aussi les mêmes paramètres décrits au Tab. III.5, on a

choisi plusieurs valeurs proches de la contrainte interfaciale expérimentale déterminée

pour θ = 0°.

0

50

100

150

200

250

300


Fmax

, (N

)

Ef=0.7 Ef=0.8 Ef=0.9 Ef=1 Ef=2


Ef (GPa) = variableEm (GPa) = 30k (GPa) = 5 (MPa) = 0,09Gd (J/m2) = 0f = 0,54

σfRσfR

τ*τ*


119

Fig. III 28 : Effet de τ* sur la force maximale.

La Figure III.28 présente les courbes de la force maximale en fonction de l’angle

d’inclinaison pour différentes valeurs de τ* (0.01, 0.05, 0.09, 0.15 et 0.2). On remarque

que les courbes de la force maximale sont décalées vers le haut sans modification

sensible de leur forme. On a ici simplement l’effet de la résistance au glissement associé

à l’extraction. La courbe la plus basse (τ* = 0,01) correspond sensiblement à la force

générée par nécessité de fléchir la baguette lors l’extraction.

Effet du paramètre k (module de fondation de la matrice)

Fig. III.29 : Effet de k sur la force maximale.

0

50

100

150

200

250


Fmax

, (N

)tau=0,01 0,05 0,09 0,15 0,2

0

50

100

150

200

0 15 30 45 60 75 90

Angle d'orientation (degrés)

Fmax

, (N

)

k = 1 k = 3 k = 5 k = 7 k = 10


Ef (GPa) = 1Em (GPa) = 30k (GPa) = 5 (MPa) = variableGd (J/m2) = 0f = 0,54

σfRσfR

τ*τ*


Ef (GPa) = 1Em (GPa) = 30k (GPa) = variable (MPa) = 0,09Gd (J/m2) = 0f = 0,54

σfRσfR

τ*τ*


120

On constate que les courbes d’extraction se décollent vers le haut si le coefficient k

augmente. Cet effet provient du coin de matrice à l’entrée de l’encastrement qui subit la

pression imposée par le renfort oblique. Plus ce coin est rigide, plus la courbure du

renfort doit être prononcée pour obéir aux conditions géométriques. Pour la suite, nous

prenons (k = 5 GPa), valeur prise par [Zang et al, 02] dans le cas d’une matrice

cimentaire.

Effet du coefficient de freinage sur la poulie fixe (f)

Le coefficient de freinage influe peu sur la courbe de la force maximale. La Figure III.30

présente cet effet : Fmax augmente avec l’accroissement du coefficient de freinage en

fonction de l’angle de l’orientation θ en raison de la courbure. En fait, les courbes

montrent que ce paramètre affecte peu la force maximale calculée pour les angles

d’orientation compris entre 0°et 45°, et plus grande pour les angles plus 45°. Pour la suite,

nous prenons (f = 0,54), valeur proche de celle prise par [Zan et al, 02] et [Kat et al, 95]

dans le cas d’une matrice cimentaire (0,5).

Fig. III.30 : Effet de f sur la force maximale

Pour conclure, nous avons montré par simulation l’influence des différents paramètres sur

la force maximale. Dans les domaines de variation de ces paramètres, aucune simulation ne

s’approche des résultats expérimentaux. Il faut donc introduire un endommagement du

renfort. Comme nous l’avons discuté au § II.2.3, l’endommagement le plus vraisemblable est

0

2040

6080

100

120140

160180

200


Fmax

, (N

)

f =0,1 f =0,3 f =0,54 f =0,7 f =0,9


Ef (GPa) = 1Em (GPa) = 30k (GPa) = 5 (MPa) = 0,09Gd (J/m2) = 0f = variable

σfRσfR

τ*τ*


121

que les baguettes de bois sont fendues longitudinalement sous l’effet des efforts tranchants.

C’est ce que nous analysons au paragraphe suivant dans le but d’obtenir un modèle en accord

satisfaisant avec les résultats expérimentaux.

III.2.2.3.2.b. Simulation en cas de pliage

Comme nous l’avons montré au début du chapitre, l’endommagement que subissent

les renforts lors de l’extraction est induit par les efforts tranchants. Les baguettes fendues ont

alors un moment d’inertie vis à vis de la flexion qui diminue très fortement. On peut

considérer que les renforts se comportent alors comme une corde parfaitement flexible qui

glisse sur une poulie fixe.

A partir de l’Equ. III.20 de la simulation précédente, on a vu que la force de pontage

s’écrit par la relation suivante, si les fibres ne sont pas pliées :

F1 = P sin θ + N cos θ

La courbure élastique du renfort génère la force transversale P.

Si les fibres sont pliées par les efforts tranchants, la force de pontage dans ce cas est donnée

par :

F2 = N (Fig. III.31)

La baguette fendue se plie sous l’effet d’un effort très faible et nous pouvons négliger la

force P.

Fig. III.31 : Schéma de la force de pontage si la fibre est pliée ou non.

θ

N

P

F1 = P sin θ+N cos θ

F2 =N

Bloc du ciment π/2-θ

θ

N

P

F1 = P sin θ+N cos θ

F2 =N

Bloc du ciment π/2-θ


122

Pour une courbure élastique donnée (ou pour une valeur de P donnée), on peut estimer la

probabilité de « pliage » en utilisant la statistique de Weibull relative à la rupture en

cisaillement (Equ.II.1) que nous redonnons ici :

Où τ est la contrainte de cisaillement induite par l’effort tranchant et calculée, à partir de P,

par :

et τ0 est le facteur d’échelle (Weibull).

On considère que la simulation met en jeu un grand nombre de fibres. A un état de

chargement donné, les fibres intactes génèrent la force F1 liée à P et N et la force F2 si les

fibres sont pliées. Dans ces conditions, la force de pontage s’écrit comme suit :

F pontage = PR F2 + (1-PR) F1

Où PR est donc la proportion de fibres pliées et (1- PR) la proportion de fibres intactes.

Ce qui donne finalement :

Tab. III.6 : Paramètres utilisés (cas du bois naturel, H = 24 mm)

Les paramètres utilisés, relatifs au cas du bois naturel, pour les simulations avec

différents angles d’inclinaison et avec une longueur enchâssée H = 24 mm, sont donnés dans

le Tableau III.6. Les paramètres de Weibull sont pris directement des résultats de flexion 3

points obtenus au Chapitre II.

Deux courbes typiques de l’évolution de la force de pontage en fonction de l’angle

d’orientation dans cette simulation sont présentées sur la Figure III.32. Pour le cas du bois

naturel (θ = 15° et 0°).

Paramètre a

(mm)

Ef

(GPa)

Em

(GPa)

k

(GPa) τ*

(MPa)

σfD

(J/m2)

f

m

τ0

(MPa)

Valeur 2 1 30 5 0,09 3,1 0,54 8,0 4,9

RdM) la de hypothèses les avec établieéquation ( a4P3τ 2=

(III.21) ττexp1Ρ

m

0R

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

(III.22) θ)cosNθsin(P))(Ρ(1N)(τΡF RRpontage +−+= τ


123

Fig. III.32 : Courbes de pontage simulées (Bois naturel, H = 24 mm) pour θ = 0° et 15°.

Fig. III.33 : Zoom détaillé de la courbe de pontage simulée (la décohésion et le pliage)

On remarque sur les courbes de la Fig. III.32, que la valeur de la force de pontage

augmente avec l’accroissement de l’angle d’inclinaison et que leurs valeurs sont très proches

des valeurs expérimentales. En plus, la courbe de pontage simulée se comporte de la même

manière que la courbe expérimentale avec l’ouverture de fissure en deux parties distinctes, la

partie de chargement et la partie de l’extraction (glissement des fibres) des fibres jusqu’à la

fin. Mais, elles ne montrent pas les différents effets qu’ils ont lieu au début de l’extraction

comme l’effet de décohésion (debonding) et le pliage de fibre. Pour cela, nous avons fait un

0

10

20

30

40

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Ouverture de la fissure w (mm)

Forc

e de

pon

tage

(N)

F (0°) F (15°)

Décohésion progressive de fibre et chargement

Pliage de fibre

Effet de f

Instabilitéfinale

Seuil de décohésion

Fpic

Ff

FD

FD

AB

C

DPr= 0,01 Pr= 1

0

10

20

30

40

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3


Forc

e de

pon

tage

(N)

F (0°) F (15°)

Décohésion progressive de fibre et chargement

Pliage de fibre

Effet de f

Instabilitéfinale

Seuil de décohésion

Fpic

Ff

FD

FD

AB

C

DPr= 0,01 Pr= 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 6 12 18 24


Forc

e de

pon

tage

(N)

F (0°) F (15°)

θ (degrès) = 0-15a (mm) = 2H (mm) = 24Ef (GPa) = 1Em (GPa) = 30k (GPa) = 5 (MPa) = 0,09 (MPa) = 3,1

f = 0,7m = 8τ0 = 4,9

τ*τ*

σfDσfD

θ (degrès) = 0-15a (mm) = 2H (mm) = 24Ef (GPa) = 1Em (GPa) = 30k (GPa) = 5 (MPa) = 0,09 (MPa) = 3,1

f = 0,7m = 8τ0 = 4,9

τ*τ*

σfDσfD


124

zoom sur le début des courbes d'extraction simulées (Fig. III.33) dans le but de préciser la

succession des phénomènes précédents.

La Figure III.33 montre un zoom détaillé d’une courbe de pontage simulée en

fonction de l’ouverture de fissure pour θ = 15° (bois naturel sec) en comparaison avec la

courbe de θ = 0°. On peut distinguer sur ce zoom quatre parties :

● La partie A, qui correspond à la phase de décohésion progressive fibre-matrice au

début du chargement. Elle débute lorsque la charge atteint la charge d’initiation de la fissure

FD (seuil de décohésion). La condition de décohésion dans ce domaine est contrôlée par

l’énergie unitaire de propagation de la fissure interfaciale, Gd. jusqu’à ce que la force de

pontage maximale (Fpic) soit atteinte où W = 0,244 mm et la proportion des fibres pliées

atteint PR = 1 dans notre exemple.

● La partie B, qui correspond à la phase de pliage (augmentation de la proportion des

fibres pliées) suivie par une augmentation de la force de pontage à cause de l’accroissement

de l’effet de freinage des fibres pliées (frottement supplémentaire) au niveau de la sortie de

fibre de la matrice, en comparaison avec la courbe de θ = 0°.

● La partie C, qui correspond au saut de la force au moment où la fissure de

décohésion à l'interface fibre-matrice atteint l'extrémité enchâssée de la fibre. La force

appliquée qui est la somme de la force de décohésion FD et de la force nécessaire au

glissement est maintenant trop forte. Il en résulte un décrochement de force dont l'amplitude

est égale à FD. A partir de maintenant la force appliquée est simplement celle nécessaire pour

faire glisser la fibre.

● La partie D, correspond à la force de frottement d’une longueur donnée de la fibre

dans la matrice après décohésion complète de l’interface fibre-matrice. Donc, la fibre va

glisser avec frottement jusqu’à l’extraction complète de la matrice et la force correspondante

diminue avec la diminution de la longueur de fibre encore enchâssée.

Les grandeurs qui sont généralement extraites de cette courbe sont :

le décrochement au pic (Fpic- Ff) = FD, caractéristique de la décohésion fibre-matrice.

la force de frottement (Ff) caractéristique de la résistance à l’arrachement de la fibre,

contrôlée par le cisaillement interfacial τ*.


125

On peut expliquer ce qui c’est passé par le profil de contrainte dans la fibre, donné par

la Fig. III.34. Tant que σf appliqué est inférieur à σfD, il n’y a pas décohésion. Si σf est

supérieur à σfD, le glissement contrôlé par τ* a lieu.

Fig. III.34 : Profils des contraintes dans la fibre sous charge (à gauche) et courbe force- déplacement correspondante(à droite).

Lorsque le glissement se fait sur une distance proche de H, le profil est donné par la

droite A (Fig. III.34 à gauche). Mais, la contrainte de décohésion n’ayant plus lieu d’être, le

profile passe brutalement à celui donné par B (qui correspondant au cas où σfD = 0). Le saut

de force correspondant est donc : FD = σfD a2

Les résultats de la simulation, en utilisant les mêmes paramètres qu’au Tab.III.6, sont

comparés avec les résultats expérimentaux, sur la Figure III.35.

Fig. III.35 : Comparaison entre la simulation et les résultats expérimentaux de la force

maximale de pontage (cas du bois naturel).

U

F

H

Fmax

FD

x

σfD

σf

Hui

σfmax

A

B

FD

ui

A

B

U

F

H

Fmax

FD

x

σfD

σf

Hui

σfmax

A

B

FD

F/a2

ui

A

B

U

F

H

Fmax

FD

x

σfD

σf

Hui

σfmax

A

B

FD

ui

A

B

U

F

H

Fmax

FD

x

σfD

σf

Hui

σfmax

A

B

FD

F/a2

ui

A

B

0

10

20

30

40

50

60

0 15 30 45 60 75 90Angle désorientation (degres)

F po

ntag

e (N

)

simulation exp

θ (degrès) = variablea (mm) = 2H (mm) = 24Ef (GPa) = 1Em (GPa) = 30k (GPa) = 5 (MPa) = 0,09 (MPa) = 3,1

f = 0,7m = 8τ0 = 4,9

τ*τ*

σfDσfD


126

On constate que le jeu de paramètres utilisés rend relativement bien compte des

résultats expérimentaux. Aux petits angles, ≤ 45°, la simulation conduit à une augmentation

de la force maximale peu différente de celle observée expérimentalement, mais toujours un

peu plus grande. Par contre, pour θ = 60 et 75° la force simulée est nettement plus grande que

celle mesurée.

Expérimentalement, nous avons remarqué que la force maximale diminue après θ =

45°. Ceci peut être dû à une plus grande proportion de baguettes qui se sont rompues avant

d'atteindre Fmax, car les courbures imposées sont plus fortes aux grands angles. Les baguettes

rompues en début d'essai ne participent plus au pontage, ce qui conduit à diminuer Fmax.

L’observation les éprouvettes aux grands angles montre d’une proportion des fibres

sont rompues avant l’extraction (Fig. III.36).

Fig. III.36. Demi-éprouvette après extraction complète (θ = 75°).

Fig. III.37. Courbe d'extraction typique (θ = 75°)

Fibres cassées avant extractionFibres cassées avant extractionFibres cassées avant extraction

0,5

0

0,1

0,2

0,3

0,4


Forc

e de

arr

ache

men

t (kN

)

Rétifié 200°C - θ = 75° - 20 fibres initiales, 13 rompues4 fibres rompus Avant le maximum

0,5

0

0,1

0,2

0,3

0,4


Forc

e de

arr

ache

men

t (kN

)

Rétifié 200°C - θ = 75° - 20 fibres initiales, 13 rompues0,5

0

0,1

0,2

0,3

0,4


Forc

e de

arr

ache

men

t (kN

)

Rétifié 200°C - θ = 75° - 20 fibres initiales, 13 rompues

0

0,1

0,2

0,3

0,4


Forc

e de

arr

ache

men

t (kN

)

Rétifié 200°C - θ = 75° - 20 fibres initiales, 13 rompues4 fibres rompus Avant le maximum4 fibres rompues avant le maximum

9 fibres rompues après le maximum


127

Comme exemple, nous avons choisi une courbe d'extraction typique pour θ = 75° où

13 fibres sur 20 ont été rompues après extraction complète (Fig. III.37).

Nous voyons que pendant la décroissance de la force, qu’il y a un certain nombre de

marches qui rendent compte de la diminution progressive du nombre de renforts qui

interviennent dans le système. Nous pouvons estimer que 9 fibres se sont rompues pendant

l’extraction. Donc, il y 4 fibres qui se sont rompues en début d'essai, avant d'atteindre Fmax.

Cela explique la différence entre la simulation et l’expérience.

Un zoom détaillé de la courbe de pontage simulée pour θ = 75° montre que les fibres

commencent à plier plus tard par rapport aux angles plus petits (Fig. III.38 et III 39).

Fig. III.38 : Zoom détaillé de la courbe de pontage simulée (θ = 75°)

Pr : proportion de fibres pliées

Fig. III.39 : Zoom des courbes de pontage simulées (θ = 45, 60 et 75°)

0

10

20

30

40

50

60

0 0,5 1 1,5 2w (mm)

Forc

e de

pon

tage

(N)

F (60°) F (45°) F(75°)

F(75°)

0

10

20

30

40

0 0,5 1 1,5 2w (mm)

Forc

e de

pon

tage

(N)

Pr= 0,01

Pr= 0,5

Pr= 1

F(75°)

0

10

20

30

40

0 0,5 1 1,5 2w (mm)

Forc

e de

pon

tage

(N)

Pr= 0,01

Pr= 0,5

Pr= 1Pr= 0,01

Pr= 0,5

Pr= 1


128

Les résultats sont similaires (voir Annexe D).pour les autres traitements lorsqu’on

utilise les paramètres de Weibull et de décohésion correspondants dans le cas qu’il suppose

les fibres sont fendus et « pliées » par la suite des efforts tranchants. Le Tableau ci- dessous

(Tab.III.7) rassemble ces paramètres.

Tab. 7 : Paramètres de Weibull et de décohésion pour les différents traitements.

En Annexe D, nous avons aussi utilisé la simulation en prenant en compte les

contraintes induites par les moment fléchissant. Nous avons supposé dans ce cas que si le

renfort est rompu, il ne participe plus au pontage. Cela revient simplement à multiplier la

force de pontage (cf. Equ. III.20) par la facteur (1-PR) où la probabilité de rupture PR est

donnée par la statistique Weibull avec les paramètres m et σ0 correspondants à la rupture due

aux moments fléchissant.

Nous constatons, Annexe D, qu’un bon ajustement peut- être obtenu en prenant un

facteur d’échelle σ0 plus grand que celui qui a été déterminé au chapitre II. Cela signifie que

les résultats expérimentaux ne peuvent pas être directement décrits en considérant la rupture

induite par le moment fléchissant. De plus, nous avons des observations qui indiquent qu’une

grande proportion de baguettes sont extraites sans être rompues. Cela est un argument

supplémentaire pour l’hypothèse du « pliage ».

Paramètres

Types

de traitement

τ0

(MPa)

m σfD

(MPa)

τ*

(MPa)

Bois Naturel 4,9 8,0 3,1 0,09

R200°C 4,6 4,8 2,8 0,08

R230°C 3,3 4,4 1,7 0,07

R260°C 2,7 4,1 1,2 0,06


129

III.3. Estimation de l’énergie de rupture

On suppose que la matrice se rompt suivant une section droite, par propagation d’une

fissure amorcée, par exemple, à une extrémité de fibre (Fig.III.40).

Figure III.40 : Éprouvette fissurée avec des fibres de longueur L, d’orientation 0° et de

longueur enchâssée comprise entre Lp = 0 et Lp = L/2

La séparation nécessite d’extraire les fibres et cette extraction concerne bien entendu

le côté le moins profondément enchâssé. L’énergie nécessaire pour séparer les deux parties

du composite fait intervenir les énergies de rupture de la matrice qui est égale à 9,3

J/m2.[Mod, 79], éventuellement celle des fibres et, surtout, le travail d’extraction des fibres

[Rou, 99].

III.3.1 : Calcul théorique de l’énergie d’extraction

III.3.1.1 : Cas θ = 0°

Considérons une fibre enchâssée sur une profondeur Lp, le travail d’extraction de

l’élément dz est :

et le travail pour extraire une fibre est alors :

On suppose aussi qu’aucune fibre n’est susceptible d’être rompue et Lp est compris

entre 0 et L/2, avec une distribution uniforme. Cela signifie que la longueur les fibres est

(III.23) L..2.az.dz..a4)0,W(LpL

0

2pfrotp ∫ ==° frotτ τ

Longueur d’extraction, Lp amorçage

F F

Longueur d’extraction, Lp amorçage

F F

Lp

dz. z

Lp

dz. z

Lp

dz. z

Lp

dz. z

dzzτa4dw frot=


130

inférieure à la longueur critique, ce qui est le cas avec les baguettes utilisées. Le travail

unitaire moyen pour extraire les fibres est alors donné par :

À partir des Equ. III.23 et III.24, on remarque que la valeur moyenne du travail unitaire si les

fibres sont distribuées entre 0 et L/2 (L longueur de fibre) égale un tiers du travail d’une fibre

seule, enchâssée de Lp = L/2.

Donc :

Donc, l’énergie de rupture, c’est-à-dire l’énergie nécessaire pour créer une rupture sur la

section A, qui contient N fibres, s’écrit :

On a finalement :

et

On remarque que G est proportionnel au taux de fibres et au cisaillement interfacial,

et que l’énergie de rupture croît avec le carré de la longueur des fibres.

Le Tableau III.8 montre l’énergie d’extraction nécessaire pour un fraction volumique

de 3% de bois pour les différents traitements utilisés (a = 2 mm), dans le cas où θ = 0°.

L’énergie de l’extraction est trois fois plus grande quand Lp = L/2 que de cas 0 < Lp <L/2, et

par contre, elle est plus grande pour le bois naturel que pour les autres cas, à cause de la

diminution de la contrainte de cisaillement interfacial.

Tab. III.8 : Énergie d’extraction pour une fraction volumique de 3%

(θ = 0°, Lp = 24 mm, τfrot= 0,09, 0,08, 0,07 et 0,06 MPa respectivement

G (J/m2) type

Vf = 3% Bois naturel R200°C R230°C R260°C

1658 1474 1290 1105

553 492 430 369

(III.24) 6

LdL),0W(L

2L1)0,

2L(W

2

p

2L

0p

frota τ=°=° ∫

fibres de taux AaNVoù

2

f2 ===aV

ANavec

AWNG f

(III.25) 2LL0pour V

6.aLτ

G pf

2frot <<=

3

)0,2LW(

)0,2L(W

°=°

(III.26) 2LLpour V

a2Lτ

G pf

2frot ==

2LL p =

2LL0 p <<


131

III.3.1.2 : Cas où θ est diffèrent de zéro

L’expérience montre que les fibres sont pliées, mais non rompues (Fig. III 41 a). Il y a

quelques ruptures pendant l’extraction, nous en tiendrons compte dans un second temps.

(a) : Les fibres pliées, mais non rompues correspondent au cas où θ = 0°, mais avec τ*(θ ≠ 0°)

> τ(θ = 0°) car l’effet de freinage sur la poulie fixe (coefficient f) augmente avec

l’accroissement de l’angle d’orientation, mais son influence est faible sur la courbe de

pontage (Figure III.30), nous négligeons donc cet effet et le calcul donnera donc une bonne

inférieure.

Fig. III 41 : Schéma de l’approximation

On peut écrire que la force de pontage à chaque déplacement est donnée par (Fig. III 41a) :

F(x) = Fmax – A u

Avec les conditions de limites, on peut calculer la constante A comme suit :

Quand x = Lp, F = 0, 0 = Fmax – A u ⇒ A = Fmax / Lp

Finalement :

Et donc, l’énergie de l’extraction sera calculée comme suit :

Mais, Fmax = 4a τfrot Lp (III.27)

En remplaçant Fmax, Lp = L/2 et en faisons l’intégration, on obtient finalement :

W1 = a τfrot L2 /2 (III.28)

(III.26) )Lu(1FF(x)

pmax −=

du)Lu(1Fθ),W(L

pL

0 pmaxp ∫ −=

F(x)

FFmax

x Lp

u

(a)

Fmax

Lp

F

u

x

(b)

F(x)

FFmax

x Lp

u

(a)

Fmax

Lp

F

u

x

(b)


132

On retrouve, bien entendu, le résultat de l’équ. III.23

Si les fibres ont une profondeur enchâssée comprise entre 0 et L/2, l’énergie

d’extraction résultante par unité d’air de section est donnée par l’équ. III.25.

(b) : Si maintenant on considère qu’il y a une proportion α(u) de fibres rompues à un état

donné de l’extraction (Fig. III.41b), on peut calculer la force d’extraction à chaque

déplacement comme suit :

F(x) = 4 a τ (Lp- x) α avec

On considère le cas simplifié où les fibres se rompent progressivement pendant

l’extraction, donc que α = 0 au départ et que α = 1 si x = Lp. C’est un cas plus critique que

celui observé expérimentalement, car ici toutes les fibres sont rompues à l’extraction

complète (Fig. III.13). Rappelons que les fibres sont pliées dés le début de l’extraction et

qu’elles se rompent ensuite progressivement pendant la suite de l’extraction.

En remplaçant α dans la relation précédante et rassemblant les termes, on obtient finalement :

Enfin, l’énergie de l’extraction dans ce cas peut se calculer comme suit :

En faisant l’intégration et en remplaçant Fmax par l’Equ.III.27, alors, l’énergie de l’extraction

s’écrit finalement :

A partir de l’équ. III.28 et 30, on remarque que le rapport de l’énergie de l’extraction du

deuxième cas sur le premier est égal à deux tiers.

(III.29) )Lu(1FF(x) 2

p

max −=

du)Lu(1FW 2

L

0 Pmax2

p

∫ −=

(III.30) 3

Lτa W

2L L mais

3Lτ4a

W2

frot2p

2pfrot

2 =⇒==

32

WW

1

2 =

p

P

LuLα −

=


133

De la même façon, on remarque que le rapport de l’énergie d’extraction dans les deux cas est

aussi de deux tiers

Le Tableau III.9 présente les valeurs supérieures (fibres non cassées) et inférieures

(fibres cassées) de l’énergie de l’extraction selon les Equ. III.25 et 31 pour les différents

traitements du bois utilisés, avec une fraction volumique de 3%.

Tab. III.9 : Énergie d’extraction pour une fraction volumique de 3% (théoriquement)

III.3.2 : Détermination expérimentale de l’énergie de l’extraction

À partir de la courbe F- U, nous avons calculé l’énergie de l’extraction pour 1 fibre

comme une aire sous la courbe pour chaque angle θ de 0 à 90°, en prenant en compte de

négliger l’effet de décohésion FD car nous avons pris la force maximale au pic de la courbe

F- U (Fig. III.5). Ensuite, on calcule l’énergie moyenne, en supposant que θ est uniforme

entre 0 et 90° comme suit :

Avec G (θ = 90°) = 0

Enfin, nous avons calculé l’énergie pour un composite ciment-bois, de fraction volumique de

bois égale à 3% et de section 50×50 mm2, afin de comparer avec les résultats théoriques.

Le Tableau III.10 rassemble les valeurs numériques de l’énergie de l’extraction

moyenne pour les différents bois utilisées avec une fraction volumique de 3%.

type Bois naturel R200°C R230°C R260°C

G1 (J/m2) 1658 1474 1290 1105

G2 (J/m2) 1105 983 860 737

(III.31) 32

rupture) de pas(G)extractiond' coursen ruptures(G

1

2 =

7)90G(θ......)15G(θ)0G(θ °=++°=+°==G


134

Tab. III 10 : Énergie d’extraction pour une fraction volumique de 3% (expérimentalement)

Les courbes d’évolution de l’énergie de rupture en fonction de l’angle d’inclinaison

tracées pour différents types de bois utilisés montrent que l’énergie de rupture augmente de

façon régulière avec l’angle d’inclinaison de la fibre jusqu’à un angle de 45° pour lequel

cette énergie est maximale (Fig.III.42). Pour des angles d’inclinaison supérieurs, l’énergie de

rupture diminue progressivement à cause de l’augmentation de taux de fibres rompues.

Fig. III 42 : Évolution de l’énergie de rupture en fonction de l’angle d’inclinaison pour

les différents traitements utilisés (ramenée à 1 fibre).

La comparaison entre les deux résultats, théorique et expérimental, montre que les

énergies sont voisines et que l’énergie d’extraction d’un composite ciment-bois est plus

importante que l’énergie de rupture du ciment que nous avons estimé entre 10 et 15 J/m2.

Donc, le bois produit une énergie supplémentaire mais pas suffisante pour pouvoir retarder la

création de la fissure.

Type Bois naturel R200°C R230°C R260°C

Gmoy(J/m2) 1704 1884 965 579

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 15 30 45 60 75 90Angle d'inclinaison (degrés)

Ene

rgie

de

rupt

ure

,1 fi

bre,

G (J

/m2)

Bois naturel R200°C R230°C R260°C


135

III.4. Composite réel

Nous avons fait des essais sur un composite réel de fraction volumique de bois de 3%

et 6%, sur des éprouvettes entaillées chargées en flexion 3 points, avec une distance entre axes

de 180 mm (Fig. III 43). Le bois est mélangé au ciment avant coulée, les baguettes sont donc

d'orientation aléatoire. Les essais ont été réalisés en chargement monotone dans le but

d'estimer la résistance à la propagation de la fissure.

Les éprouvettes utilisées (50×50×200 mm) sont munies d'un entaille d'une profondeur

relative a/w de 0,35. Cette entaille provient de la coulée. Les essais ont été réalisés à

déplacement imposé, avec une vitesse de déplacement de traverse constante égale à 2 mm/min.

Fig. III 43 : Schéma d’une éprouvette de flexion 3 points entaillée

Les observations des éprouvettes pendant l’essai montrent que la fissure s'amorce en

fond de l'entaille et se propage rapidement sur toute la longueur du ligament. Ensuite, à

mesure que le point d'application de la force se déplace, les deux parties du barreau pivotent

avec une certaine résistance due à l'extraction des fibres (Fig. III 44).

Fig. III 44 : Photo d’une éprouvette fissurée

La figure III 45 montre des enregistrements de la charge en fonction du déplacement

pour les différentes fractions volumiques : 0, 3 et 6% de bois dans l'état naturel sec. La

rupture est catastrophique, de caractère fragile pour le ciment pur. Elle l'est aussi

P/2 L = 180 mm

B

W

P

aP/2


136

partiellement pour les composites : le pic est dû à la propagation rapide de la fissure sur tout

le ligament. La force après le pic reflète la résistance au pivotement associée à l'extraction des

baguettes de bois. Cette résistance est plus forte pour 6% de bois et on peut penser que pour

12 % de bois, le renfort commence à retarder la propagation de la fissure.

Fig. IV.34 : Charge en fonction du déplacement pour différents Vf

En conclusion, nous observons que

Le bois n’améliore pas la résistance ultime du ciment.

L’extraction du renfort ne permet pas de contrôler la rupture du ciment, du

moins pour des taux de renfort de 6%.

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Déplacement (mm)

F (k

N)

Ciment pur Vf = 0

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5


Vf = 0,06Vf = 0.06

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5


Vf = 0,06Vf = 0.06

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5


Vf = 0,06Vf = 0.06

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5


F(K

N)

Vf = 0,03Vf = 0.03

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5


F(K

N)

Vf = 0,03Vf = 0.03

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5


F(K

N)

Vf = 0,03Vf = 0.03


137

III.5. Conclusion

Dans ce chapitre, nous nous sommes intéressés à l’extraction de renforts, sous forme

de baguettes de bois qui pontent obliquement une fissure dans le ciment.

Pour un angle de désorientation nul (θ = 0°), nous avons déterminé une contrainte

critique de décohésion qui se situe à environ 3 MPa et une contrainte de cisaillement

interfacial associé au glissement un peu inférieure à 0,1 MPa. Le traitement de rétification à

200°C ne modifie pas sensiblement ces grandeurs, mais aux plus hautes températures, on

constate une réduction de 50% de la contrainte de décohésion, sans modification significative

des conditions de glissement. L’extraction se fait sans rupture du renfort, pour la longueur

utilisée (L = 48 mm).

Lorsque le renfort est oblique, on observe une augmentation de la force

d’arrachement avec l’angle de désorientation jusqu’à θ = 45°. Elle diminue ensuite pour les

angles θ plus grands. Les mécanismes qui opèrent pendant l’extraction peuvent être décrits

schématiquement comme suit :

A- Du fait de leur orientation oblique, les baguettes subissent une flexion d’autant

plus prononcée que l’angle θ est grand. Cela conduit à un phénomène de

« pliage » du bois, sans pour autant que celui-ci soit rompu en traction

immédiatement. Les baguettes « pliées » se comportent alors comme une

corde souple qui glisse sur la « poulie fixe » que constitue l’encastrement.

B- Ce glissement est d’autant plus difficile que l’angle θ est grand. Il est pris en

compte dans l’analyse théorique par le facteur exp[ f(θ)], où le paramètre f

rend compte de cet effet de freinage. En dessous de θ = 45°, c’est surtout cet

effet de freinage qui explique l’augmentation de la force d’arrachement. Dans

ce domaine, la proportion de baguettes rompues, au début ou en cours de

l’extraction, reste faible.

C- La proportion de baguettes rompues augmente de façon quasi- linéaire avec

l’angle θ, sauf pour le traitement de rétification le plus sévère (260°C), où les

fibres rompues sont plus nombreuses dès θ = 15°. Sur le nombre de baguettes

rompues à la fin de l’essai, une part significative d’entre-elles se sont rompues


138

en cours d’extraction. Celles-ci participaient donc encore à la force maximale

de pontage en début d’extraction. La diminution de la force de pontage au-delà

de θ = 45° s’explique par un nombre croissant de baguettes qui se sont

rompues lors du chargement du pontage ou pendant les tout premiers stades de

l’extraction.

Le modèle analytique du pontage oblique rend compte des résultats expérimentaux de

façon tout à fait satisfaisante. En particulier, le mécanisme de « pliage » est bien décrit par

les paramètres de Weibull mesurés au chapitre II dans le cas de la rupture en flexion par

l'effet des efforts tranchants.

L’énergie d’extraction des baguettes, mesurée sur nos éprouvettes modèles, permet

d’estimer la contribution des fibres à l’énergie de rupture d’un composite réel. Ainsi, un

composite contenant une fraction volumique de 3% de baguettes de bois de 48 mm de long,

orientées aléatoirement, aurait une énergie d’extraction de l’ordre de 600 J/m2. Cette valeur

est bien plus importante que l’énergie de rupture du ciment que l’on peut estimer entre 10 et

15 J/m2. Le bois apporte donc une énergie de rupture supplémentaire, mais au pris d’une

ouverture de fissure extrêmement grande (dans cet exemple : 24 mm). En d’autres termes, le

bois n’est pas suffisamment adhérent au ciment pour pouvoir empêcher ou retarder

l'amorçage et la propagation de la fissure.

Dans le chapitre suivant, nous faisons la même approche, expérimentale et théorique,

dans le cas de rubans flexibles de verre métallique, où le renforcement mécanique est

significatif.

Documents

Etude de matériaux minéraux renforcés par des fibres …docinsa.insa-lyon.fr/these/2005/mahmoud/10_chapitre_3.pdf · Essai d’extraction des renforts L’essai est réalisé à